MATEMATIKA EKONOMI SOPAR M.H

𝒘 𝒕 = 𝒆−

𝟏𝒅𝒕 (𝑨

+

– 𝒕𝒆

𝟏𝒅𝒕 𝒅𝒕)

MATEMATIKA EKONOMI

SOPAR M.H

i

Untuk Kedua Orangtuaku

ii

SETANGGI TIMUR

Buku Matematika Ekonomi ini disusun sedemikian rupa untuk dapat digunakan di seluruh rumpun Ekonomi , baik jurusan Studi Pembangunan , Akuntansi , Manajemen Bisnis , Manajemen Keuangan , manajemen Sumber Daya Manusia , maupun Manajemen Rumah Sakit . Buku Matematika Ekonomi bukanlah buku Matematika Dasar tetapi lebih condong ke Matematika Terapan Lanjutan , yaitu Tingkat Madya , maupun Studi lebih lanjut (advanced ) , tetapi disajikan sedemikian rupa untuk dapat digunakan di Strata S-1 . Karena buku ini pegangan lanjutan , bukan dasar , maka penulis menganggap seluruh pembaca , seperti mahasiswa dianggaap sudah menguasai seluruh materi matematika di SMA , dengan demikian penyajiannya tidak sederhana namun tidak begitu kompleks. Buku Matematika Ekonomi ini disusun sesuai perkembangan ekonomi era kini , yang menampilkan seluruh bagian yang berhubungan dengan Riset- riset Ekonomi baik Ekonomi makro maupun Ekonomimikro , apalagi ekonomimikro menjadi prasyarat mengambil mata kuliah ekonomimakro , demikian pula matematika ekonomi menjadi prasyarat mata kuliah Statistik . Sekalipun prasyarat terakhir agak rancu , sebab antara matematika ekonomi dan statistik hampir tidak berhubungan , sekalipun statistik yang dimaksud Statistik Ilmu Sosial . Yang lebih tepat matematika ekonomi dan statistik ilmu sosial sebagai prasyarat mata kuliah Ekonometrik , atau Risearch Design , sesuai tuntutan perkembangan ilmu ekonomi era modern . Akhirnya penulis ucapkan terimakasih pada sidang pembaca yang telah menggunakan buku ini , dan dengan terbuka menerima saran sidang pembaca untuk revisi .

Banda Aceh, Desember 2004. Hormat Penulis

Sopar M.H.

i

DAFTAR ISI

Contents SETANGGI TIMUR ...................................................................................................................................... i DAFTAR ISI................................................................................................................................................. ii INTEGRAL SEBAGAI ANTI DIFFERENSIAL (IAD) .............................................................................. 1 1.

Definisi ................................................................................................................................................. 1

2.

Integral Substitusi ................................................................................................................................ 1

3.

Integral Separatis (Integral Sepihak) .................................................................................................. 2

4.

Differensial Fungsi Dua Variabel ....................................................................................................... 3

BAB II........................................................................................................................................................... 5 ALJABAR MATRIK .................................................................................................................................... 5 1.

Definisi Matrik ..................................................................................................................................... 5

2.

Penjumlahan Matrik ............................................................................................................................ 5

3.

Perkalian Matrik .................................................................................................................................. 5

4.

Matrik Nol ............................................................................................................................................ 6

5.

Matrik Identitas .................................................................................................................................... 6

6.

Matrik Transpose ................................................................................................................................. 6

7.

Skalar.................................................................................................................................................... 6

8.

Vektor ................................................................................................................................................... 6

9.

Invers Matrik ........................................................................................................................................ 7

10.

Determinan Matrik .......................................................................................................................... 7

BAB III ......................................................................................................................................................... 8 PENERAPAN DALAM EKONOMI............................................................................................................ 8 1.

Sistim Persamaan Linier (Pangkat Satu) dengan Tiga Peubah (Variabel) ..................................... 8

2.

Persamaan Kuadrat (Pangkat Dua) .................................................................................................... 9

3.

Konsep Marginal (MP) ,Rerata (AP), Total (TP) ............................................................................... 9

4.

Metode Gauss Untuk Menyelesaikan Persamaan Linier ................................................................. 11

5.

Ekspansi Laplace ............................................................................................................................... 12

6.

Kaidah Crammer Untuk Penyelesaian Matrik ................................................................................. 13

7.

Determinan Jacobian ......................................................................................................................... 14

8.

Determinan Hessian .......................................................................................................................... 14

9.

Analisis Input –Output....................................................................................................................... 15 ii

10.

Akar dan Vektor Karakteristik (Nilai Eigen ,Vektor Eigen ) ....................................................... 18

11.

Linier Programming : Metode Simpleks ....................................................................................... 20

12.

Investasi ,Biaya Total , dan Biaya Marginal................................................................................. 24

13.

Nilai Sekarang dari Arus Kas ........................................................................................................ 25

BAB IV ....................................................................................................................................................... 26 PERSAMAAN DIFFERENSIAL ................................................................................................................ 26 1.

Definisi ............................................................................................................................................... 26

2.

Rumus Umum Persamaan Differensial Linier Jenjang Satu .......................................................... 26

3.

Penyelesaian Umum Persamaan Differensial Linier Jenjang Satu ................................................ 26

4.

Persamaan Differensial Eksak .......................................................................................................... 27

5.

Kaidah-kaidah Faktor Pengintegralan ............................................................................................. 28

6.

Pemisahan Variabel ........................................................................................................................... 29

7.

Persamaan Bernuolli ......................................................................................................................... 32

BAB V ........................................................................................................................................................ 33 PERSAMAAN DIFFERENSI (SELISIH) .................................................................................................. 33 1.

Definisi ............................................................................................................................................... 33

2.

Rumus Umum Persamaan Differensi Linier Jenjang Satu ............................................................. 33

3.

Rumus Umum Penyelesian Persamaan Differensi Linier Jenjang Satu......................................... 33

4.

Model Cobweb .................................................................................................................................... 35

MISCELANOUS PROBLEM ( SOAL CAMPURAN ) ............................................................................. 36 DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................................................. 39 CURICULUMVITAE .................................................................................................................................. 40

iii

BAB I INTEGRAL SEBAGAI ANTI DIFFERENSIAL (IAD) 1. Definisi Diketahui sebuah fungsi Umum pangkat n , sebagai berikut , F(x) = Y = axn ; a  koeifisien xn ,arbitrary (sembarang), n  pangkat (arbitrary). Jika Y = axn didefferensial, diperoleh Y = axn d(differensial) n dY = dax ,(seolah-olah notasi d dilekatkan begitu saja , sebab d semata-mata hanya operator differensial) diperoleh, dY = naxn-1dx ,(naxn-1 disebut fungsi Turunan .) Jadi fungsi Primitif Y = axn hanya dikalikan n dan power (pangkat) nya dikurangi satu. Jika sekarang diintegralkan (diintegrasi) diperoleh, dY = naxn-1dx ∫(integral) , hasilnya

𝑌=

𝑛𝑎𝑥 𝑛 −1 +1 𝑛 −1 +1

+𝑘

, k  konstanta

,(hasil ini disebut IAD ) ,ini memang

dikarang-karang saja agar hasilnya kembali ke fungsi Primitif, Y = axn + k , Perbedaannya hanya konstanta, k . Fungsi primitif yang di-defferensial memberikan fungsi Turunan, dan fungsi Turunan yang diintegrasi kembali ke fungsi Primitif. Tapi fungsi , Y = axn + k , Jika di-defferensial maka member hasil Y = naxn-1 pula , sebab d(k) = 0. 2. Integral Substitusi Diberikan sebuah fungsi Y = 3x (x2 + 1). Jika sekarang ingin dicari integral dari fungsi di atas, yaitu ∫3x (x2 + 1) dx , maka dilakukan pemisalan , u = x2 + 1 d 2 du = d(x + 1) = d(x2) + d(1) du = 2x dx + 0 dx = 2x dx du = 2x dx ( X 3/2 ) 3 2

𝑑𝑢 = 3𝑥𝑑𝑥

Integrasi di atas ditransformasi menjadi 1

𝑥 2 + 1 3𝑥𝑑𝑥 = 𝑢

3 2

3

𝑑𝑢 = 2 𝑢𝑑𝑢 =

3 𝑢 1+1

2 1+1 3 1 2 = 𝑢 2 2

+𝑘 3

3

4

4

= 𝑢2 + 𝑘 = (𝑥 2 + 1)2 + 𝑘.

3. Integral Separatis (Integral Sepihak) Jika persoalan yang sama seperti di atas ingin di-integralkan dengan integral separatis, yaitu ∫3x (x2 + 1) dx , apakah hasilnya sama ? Karena fungsi di atas adalah fungsi perkalian dua fungsi, maka Y = u .v

– dalam fungsi x – dalam fungsi x

; u = u(x) v = v(x) d

Y = u .v dY = d(u.v) dY = v du + u dv ∫ ∫dY = ∫v du + ∫u dv Y = ∫v du + ∫u dv ∫u dv = Y – ∫v du ∫u dv = u.v – ∫v du Jika, u = x2 + 1 d du = 2x dx dv = 3x dx ∫ v = ∫3x dx 3 = 1+1 𝑥1+1 3

= 2 𝑥2

Jadi, ∫3x (x2 +1) dx = ∫(x2+1) (3x dx) = ∫u dv 2 ∫(x +1) (3x dx) = u.v – ∫v du = 𝑥2 + 1 = 𝑥2 + 1 = 𝑥2 + 1 = 𝑥2 + 1 3

3

3 2 3 2 3

2

𝑥 2 (2𝑥𝑑𝑥)

𝑥 2 − 3𝑥 3 𝑑𝑥 3

𝑥 2 − 3+1 𝑥 3+1 + 𝑘 2 3 2 2

3

𝑥2 − 4 𝑥4 + 𝑘

= 4 𝑥4 + 2 𝑥 + 𝑘 3

3

𝑥2 −

3

= 4 𝑥 4 + 2𝑥 2 = 4 (𝑥 2 + 1)2 + 𝑘 2

4. Differensial Fungsi Dua Variabel Apa yang dilakukan dengan IAD , Integral Substitusi , Integral Separatis adalah penyelesaian dengan fungsi satu variabel x . Sekarang, jika kedua variabel x dan y disatukan dalam sebuah fungsi, sebutlah z = f (x,y) , dalam sebuah ruang tiga dimensi , Z Y

X

Ingin dicari differensial dari sebuah fungsi lebih dari satu variabel , sebutlah W = W(x,y,z,…) dalam n dimensi. Diberikan sebuah fungsi dua variabel Z= Z(x,y) = 2xy + x2 – y2 Z Z = 2xy + x2 – y2 d 2 2 dZ = d(2xy + x –y )

(X,Y)

Hyperboloida

Untuk menemukan fungsi turunannya diasumsikan fungsi tersebut hanya satu variabel, ceteris paribus , variabel yang lain diasumsikan konstan , demikian dilakukan seterusnya sampai seluruh variabel terdefferensial. Untuk maksud ini diadakan sebuah notasi differensial partial ( sebagian-sebagian ) , yaitu z/x , dan z/y , yang dibaca do-zet-do-ex ,untuk membedakan dari dy/dx , de-ye-de-ex. Tentu , z/x , berarti differensial z terhadap x , ceteris paribus , dan z/y , differensial z terhadap y , ceteris paribusi . Jikalau dilaksanakan diperoleh , Z = 2xy + x2 – y2  z/x = 2y + 2x (y diasumsikan kontanta) 3

z/y = 2x – 2y (x diasumsikan konstanta.) Asumsi yang bahasa inggrisnya “assume” hanyalah penyederhanaan persoalan agar differensial fungsi satu variable dapat digunakan untuk fungsi n variable. Tetapi jika keduanya dijumlahkan , yaitu z terhadap x dan z terhadap y , diperoleh differensial Total z , atau dZ = z/x dx + z/y dy dZ = (2y + 2x ) dx + (2x – 2y) dy

Differensial Total

Differensial Parsial satu variable terha dap x

Differensial Parsial satu variable terhadap y

4

BAB II ALJABAR MATRIK 1. Definisi Matrik Matrik adalah sekumpulan data berbentuk segi- empat . Dalam operasinya berlaku hukum Aljabar perkalian dan Penjumlahan. Pengurangan adalah negatif dari Penjumlahan , sedang Pembagian adalah balikan ( invers) dari Perkalian. Data matrik disebut element ( anggota) , atau entry (masuk) , dan diikat dengan notasi „ kurung siku „ atau „ tanda- kurung.‟ Diberikan sebuah matrik sebagai berikut , 0 2 3 , disebut matrik ordo 2 x 3 , 3 4 5 dengan elemen 2 baris , dan 3 kolom. Generalisasi matrik , 𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑚 𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑚 , a11 elemen baris 1 kolom 1. ⋱ 𝑎3𝑚 ⋮ ⋮ 𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 … 𝑎𝑛𝑚 𝑛 𝑥 𝑚

2. Penjumlahan Matrik Tiap elemen dijumlahkan dengan elemen matrik lain yang seletak. 0 2 2 7 2 5 + = 1 3 8 9 7 6 Jadi , A + B = C . Matrik yang dapat dijumlahkan adalah matrik dengan ordo sama. A+B=B+A ( Hukum Komutatif). 3. Perkalian Matrik

2 3 4 5 6 7

2𝑥𝟑

2𝑥1 + 3𝑥0 + 4𝑥2 5𝑥1 + 6𝑥0 + 7𝑥2

1 2 0 1 2 3

= 𝟑𝑥 2

2𝑥2 + 3𝑥1 + 4𝑥3 5𝑥2 + 6𝑥1 + 7𝑥3

= 2𝑥2

5

10 19 19 37

2𝑥2

Dua buah matrik dapat dikalikan , jika kolom matrik pertama sama dengan jumlah baris matrik kedua. Matrik dikalikan , dengan cara mengalikan semua baris matrik pertama keseluruh kolom matrik kedua, sampai selesai. A.BB.A (Hk.Komutatif ) A . ( B + C ) = A .B + A . C (Hk.Distributif ) A . ( B . C ) = (A .B ) . C (Hk.Assosiatif ) 4. Matrik Nol Adalah matrik yang seluruh entry-nya nol. 5. Matrik Identitas Adalah matrik yang diagonal utamanya 1 , dan yang lainnya 0. I.A= A.I 1 0 0 𝐼3 = 0 1 0 0 0 1 6. Matrik Transpose Dua buah matrik saling Transpose jika baris matrik pertama ditukar dengan kolom matrik kedua , dan sebaliknya. 2 4 2 0 𝐴= 𝐴𝑇 = ; AT  matrik transpose 0 3 4 3 7. Skalar 𝐴=

2 0 = 2 𝐼 = 𝑘 𝐼 , k = 2 adalah scalar matrik A. 0 2

8. Vektor Vektor adalah matrik dengan satu baris atau satu kolom. 1 , 𝑣𝑒𝑘𝑡𝑜𝑟 𝑘𝑜𝑙𝑜𝑚 2 1 2 , 𝑣𝑒𝑘𝑡𝑜𝑟 𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠.

6

9. Invers Matrik Invers matrik adalah balikan dari sebuah matrik. A . A-1 = A-1.A = I ; A-1  invers matrik Berlaku hukum Komutatif , perkalian sebuah matrik dan invers- nya menghasilkan matrik identitas. Akibat dari sifat ini : I.A=A.I=A ( matrik diri sendiri.) 10. Determinan Matrik 𝑎 𝑏 , maka 𝑐 𝑑 Determinan matrik A = ad – bc

Diberikan 𝐴 =

𝐴−1 =

1 𝐴

. 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑘 𝑎𝑑𝑗𝑜𝑖𝑛𝑡 𝐴 ,

matrik adjoint A (sekawan A)  adj. A ;

𝐴 ≡ 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑘 𝐴 𝑑 −𝑏 𝑎𝑑𝑗. 𝐴 = −𝑐 𝑎 Sebuah matrik mempunyai determinan jika berordo persegi ( jumlah baris = jumlah kolom.) Sebuah matrik Singular , jika determinan-nya sama dengan nol, dan tidak ada penyelesaian.

7

BAB III PENERAPAN DALAM EKONOMI 1. Sistim Persamaan Linier (Pangkat Satu) dengan Tiga Peubah (Variabel) Contoh : Tentukan harga dan kuantitas keseimbangan untuk tiga barang substitusi. Penyelesaian : Qd1 = 23 – 5P1+ P2 +P3 ; Qs1 = –8 + 6P1 Qd2 = 15 + P1 –3P2 + 2P3 ; Qs2 = –11 + 3P2 Qd3 = 19 + P1+ 2P2 – 4P3 ; Qs3 = –5 + 3P3 , d = demand ;s = supply, ( P = price = harga, Q = kuantitas = jumlah.) Qd1 = Qs1 ( pasar keseimbangan) Qd2 = Qs2 23 – 5P1 + P2 +P3 = –8+6P1 15 + P1–3P2 + 2P3 = –11+ 3P2 31 –11P1+ P2 + P3 = 0 .........(1) 26 + P1 –6P2 + 2P3 = 0 ………(2) Qd3 = Qs3 19 + P1+ 2P2–4P3 = –5 + 3P3 24 + P1 + 2P2 –7P3 = 0 ……..(3) (a) & (3) : 31 –11P1+ P2 + P3 = 0 24 + P1 + 2P2 –7P3 = 0 (2) & (3) : 26 + P1 –6P2 + 2P3 = 0 24 + P1 + 2P2 –7P3 = 0

(x2)

(x3)

62– 22P1 + 2P2 + 2P3 = 0 24 + P1 + 2P2 –7P3 = 0 – 38–23P1+ 9P3 = 0 ……….(4) 26 + P1 –6P2 + 2P3 = 0 72 + 3P1 + 6P2–21P3 = 0 + 98 + 4P1–19P3 = 0 ……… (5)

(4) & (5) : 98 + 4P1–19P3 = 0 38–23P1+ 9P3 = 0

(x9) 882 + 36P1–171P3 = 0 (x19) 772–432P1 + 171P3 = 0 + P1 = 4 Substitusi P1 ke (5) : Substitusi P3 ke (3) : 98 + 4(4)–19P3 = 0 24 + 4 + 2P2 –7(6) = 0 P3 = 6 P2 = 7 Untuk memperoleh kuantitas Qd1, Qd2, Qd3 , Qs1, Qs2, dan Qs3 , substitusi P1,P2, dan P3 ke masing- masing persamaan tersebut. Jika harga beras naik maka konsumen akan melakukan substitusi konsumsi beras dengan konversi ke konsumsi lain yang lebih murah, seperti jagung atau ubi.

8

2. Persamaan Kuadrat (Pangkat Dua) Contoh : Fungsi laba (keuntungan ) untuk dua perusahaan yang berbeda masing=masing adalah 1 = –Q2 + 7Q –42 1 = –Q2 + 16Q –38 Jika persamaan kuadrat ax2 + bx + c =0 diselesaikan , maka ada dua penyelesaian ,yaitu

𝑥1,2 =

−𝑏± 𝑏 2 −4𝑎𝑐

, 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 ≥ 0.

2𝑎

a) Pada tingkat output berapa perusahaan pertama akan mendapatkan laba nol ? b) Pada tingkat output yang mana perusahaan kedua akan mendapatkan laba Rp.25, ? Penyelesaian : a) – Q2 + 7Q –42 = 0 ; a = –1, b = 17 , c = –42, diperoleh 𝑄1,2 =

−17 ± 172 − 4 −1 (−42) = 14,3 2(−1)

b) – Q2 + 16Q –38 = 25 – Q2 + 16Q –63 = 0 ; a = –1, b = 16 , c = –63, diperoleh 𝑄1,2 =

−16 ± 162 − 4 −1 (−63) = 9,7 2(−1)

3. Konsep Marginal (MP) ,Rerata (AP), Total (TP) Total output C B

TP

A Input X Output marginal, rerata

A B AP MP

C

Input X

9

TC = TC(Q) = Total Cost (Biaya) TR = TR(Q) = Total Revenue (Penerimaan) Marginal Cost = MC = dTC/dQ ; TR = PQ ; P  Price Average Cost =AC = TC/Q

Marginal Revenue = MR = dTR/dQ

Contoh

: Tentukan Marginal , rerata , dan fungsi total cost berikut . Hitung fungsi pada Q = 3 , Q = 5. Penyelesaian : TC = 3Q2 + 7Q + 12 (1) MC = dTQ/dQ = 6Q + 7 (Konsep Marginal adalah kosep differensial) Untuk Q = 3 , MC = 6(3) + 7 = 25 Q = 5 , MC = 37 (2) AC = TC/Q = (3Q2 + 7Q + 12)/Q (rerata ,membagi fungsi dengan Q) = 3Q + 7 + 12/Q Untuk Q = 3 , AC = 20 Q = 5 , AC = 24,4 Contoh

: Sebuah perusahaan mempunyai fungsi permintaan 22 –0,5Q –P = 0 dan 2 AC = 1/3Q –8,5Q + 50 + 90/Q Tentukan output maksimum. Penyelesaian : 22 –0,5Q –P = 0 P = 22 –0,5Q TR = (22 –0,5Q )Q = 22 –0,5Q2 TR maksimum , jika MR = 0 MR = dTR/dQ = 22 –Q = 0 Q = 22 Laba =  = TR –TC TC = AC x Q = (1/3Q2 –8,5Q + 50 + 90/Q) TC = 1/3Q3 –8,5Q2 + 50Q + 90 TR = 22 –0,5Q2 – 3 2  = TR –TC = –1/3Q +8Q –28Q – 90  Maksimum , jika d/dQ = 0 d/dQ = –Q2 = 16Q -28 = 0

10

Q = 14 ,

Q=2

Pada Q =14 , diperoleh  = 171,33 4. Metode Gauss Untuk Menyelesaikan Persamaan Linier Metode Eliminasi Gauss untukk penyelesaian persamaan linier semata- mata dengan menerapkan operasi baris berulang- ulang sampai matrik koeifisien sebuah matrik berubah menjadi matrik identitas. Algoritma : 1. Perhatikan elemen diagonal utama 2. Ubah elemen a11 matrik koeifisien menjadi 1 3. Dengan operasi baris rubah semua elemen lain dalam kolom pertama menjadi nol (0) 4. Ubah elemen a22 menjadi 1 5. Dengan operasi baris rubah semua elemen lain dalam kolom kedua menjadi nol (0) 6. Ulangi langkah di atas sampai selesai Contoh

: Tentukan penyelesaian sistim persamaan 2x1 + 12x2 = 40 8x1 + 4x2 = 28 Penyelesaian : Rubah sistim persamaan menjadi ke bentuk matrik 2 12 𝑥1 40 = 𝑥 8 4 28 2 1. Perhatikan elemen diagonal utama 2. Baris pertama dikali dengan ½ , diperoleh 𝟐 8

12 𝟒

𝑥1 40 𝑥2 = 28

(X ½)

Matrik koeifisien Diagonal utama

𝟏 8

6 𝟒

𝑥1 20 𝑥2 = 28 , diperoleh

a11 = 1 (diagonal utama ) 2.b Kalikan baris pertama dengan 8 , diperoleh 11

𝟖 8

48 𝟒

𝑥1 160 𝑥2 = 28

(X8)

2.c Baris kedua dikurang baris pertama , diperoleh 𝟏 0

6 −44

𝑥1 20 𝑥2 = −132

Tetap seperti sebelumnya

, diperoleh a21 = 0 (kolom pertama) 3. Baris kedua dikali dengan –1/44 𝑥1 𝟏 6 20 (X−1/44 ) = 0 −44 𝑥2 −132 , diperoleh 𝟏 6 𝑥1 20 = , diperoleh 𝑥 0 1 3 2 a21 = 1 (diagonal utama) 3.b Baris kedua dikali dengan 6 , diperoleh 𝟏 6 𝑥1 20 = 0 6 𝑥2 18 3.c Baris pertama dikurang baris kedua , diperoleh 0 𝑥1 2 = 𝑥 1 3 2 a12 = 0 (kolom kedua) 𝑥1 2 𝐼 𝑥 = 3 2 𝑥1 2 𝑥2 = 3

Tetap seperti sebelumnya

𝟏 0

x1 = 2 , x2 = 3

5. Ekspansi Laplace Ekspansi Laplace dari determinan ordo 3 x 3 dinyatakan sebagai berikut 𝑎11 𝑎 𝐴 = 21 𝑎31

𝑎12 𝑎22 𝑎32

𝑎13 𝑎23 𝑎33

𝐴 = 𝑎11 𝐶11 + 𝑎12 𝐶12 + 𝑎13 𝐶13 , di mana Cij suatu kofaktor determinan ordo 2 x 2. 𝐶𝑖𝑗 = −1

𝑖+𝑗

𝑎11 𝑀𝑖𝑗 12

𝑀𝑖𝑗 adalah minor , yaitu , determinan dari sub matrik 2 x 2 setelah menghapus baris –i dan kolom ke- j . 𝑎22 𝑎23 Jadi , 𝑀𝑖𝑗 = 𝑎 𝑎33 32 𝑖+𝑗 −1 adalah tanda matrik kofaktor . Karena (-1) dipangkat ganjil adalah negative , maka tanda matrik kofaktor , dibuat sbb , + − + − + − , berganti-ganti tanda . + − + Contoh

:

12 7 0 𝐴= 5 8 3 6 7 0 𝐴 = 𝑎13 𝐶13 + 𝑎23 𝐶23 + 𝑎33 𝐶33 , Dipilih kolom ketiga , karena berisi banyak elemen nol , 𝐴 = −126 6. Kaidah Crammer Untuk Penyelesaian Matrik Kaidah Crammer , dinyatakan sebagai :

𝑋𝑖 =

𝐴𝑖 𝐴

𝐴 adalah determinan matrik koeifisien. 𝐴𝑖 adalah determinan , di mana kolom ke-i matrik koeifisien diganti dengan matrik konstanta. Contoh

: Carilah x1 , dan x2 dari sistim persamaan linier 6x1 + 5x2 = 49 3x1 + 4x2 = 32 Penyelesaian : 49 6 5 𝑥1 = 𝑥 32 2 3 4

Matrik koeifisien

Matrik konstanta

𝐴 = 6 5 =9

𝐴1

3 4 6 49 49 5 = = 36 ; 𝐴2 = = 45 , 3 32 32 4 13

Diperoleh ,

𝑋1 =

36

=4 ,

9

𝑋2 =

45 9

=5

7. Determinan Jacobian Determinan Jacobian digunakan untuk menentukan bebas linier atau tidak. Jika determinan Jacobian , 𝐴 = 0 , Singular maka tidak bebas linier. Contoh

: Diberikan y1 = f1(x1,x2,x3) y2 = f2(x1,x2,x3) y3 = f3(x1,x2,x3)

𝐴 =

Contoh

𝜕𝑦1 ,𝜕𝑦2 ,𝜕𝑦3 𝜕𝑥 1 ,𝜕𝑥 2 ,𝜕𝑥 3

=

𝜕𝑦1

𝜕𝑦1

𝜕𝑦1

𝜕𝑥 1 𝜕𝑦2

𝜕𝑥 2 𝜕𝑦2

𝜕𝑥 3 𝜕𝑦2

𝜕𝑥 1 𝜕𝑦3

𝜕𝑥 2 𝜕𝑦3

𝜕𝑥 3 𝜕𝑦3

𝜕𝑥 1

𝜕𝑥 2

𝜕𝑥 3

: y1 = 5x1 + 3x2 y2 = 25x12 + 30x1x2 + 9x22

Penyelesaian

: 𝜕𝑦1 𝜕𝑥 1

𝐽 =

=5

,

5 50𝑥1 + 30𝑥2

𝜕𝑦1 𝜕𝑥 2

=3 ,

3 30𝑥1 + 18𝑥2

𝜕𝑦2 𝜕𝑥 1

= 50𝑥1 + 30𝑥2

𝐽 = 0 , ( tidak bebas linier ) 8. Determinan Hessian Syarat optimum ( maksimum/ minimum ) fungsi multivariable z = f (x,y) : i. ii. iii. iv.

zx ,zy = 0 zxx ,zxy  0 zxy ,zyy < 0 zxxzyy > (zxy)2

(turunan parsial pertama) (minimum) (maksimum)

z Definit positif positif f Y

X

𝑧𝑥𝑥 Determinan Hessian, 𝐻 = 𝑧 𝑦𝑥 zxy = zyx

𝑧𝑥𝑦 𝑧𝑦𝑦

minimu mm

(Theorema Young) 14

𝐻1 = 𝐻 = H1 > 0 , H1 < 0 , Contoh:

zxx (positif) 𝐻2 > 0 H2 > 0 H2 > 0

diperoleh minimum definit positif (selalu positif) definit negative

z = 6x2−9x−3xy−7y+5y2 zxx = 12 , zyy = 10 , zxy = −3 𝐻 = 111 > 0 definit positif , minimum 𝐻1 = 12 > 0

Menggunakan Operator Leibnitz

𝑧𝑥𝑥 = 𝑧𝑥𝑦 =

𝜕(𝜕𝑧 ) 𝜕𝑥𝜕𝑥 𝜕(𝜕𝑧 ) 𝜕𝑥𝜕𝑦

= =

𝜕2𝑧 𝜕𝑥𝜕𝑥 𝜕2𝑧 𝜕𝑥𝜕𝑦

:

( partial kedua ) ( partial kedua ) ,

Setelah partial pertama z = f(x,y) terhadap x , dilakukan partial kedua z/x terhadap y. 9. Analisis Input –Output Output baja memerlukan input antara batu- bara , bijih , besi , listrik , dll. Output baja adalah permintaan akhir. Permintaan total X untuk produk , i , sama dengan jumlah semua input antara ditambah permintaan akhir , b . Pengguna akhir adalah konsumen , investor , pemerintah , dan eksportir . Jika , aij , adalah koeifisien teknis yang menyatakan harga input , i , yang diperlukan untuk memproduksi produk baja, j ,seharga satu rupiah , maka permintaan total produk , i , dinyatakan sebagai , Xi = ai1x1 + ai2x2 + …+ aimxn + b1 , i = 1,2,…,n . Atau bentuk matriknya X = AX + B 𝑏 𝐵= 2 ⋮ 𝑏𝑛

di mana 𝑥1 𝑎11 𝑥2 21 X= ⋮ 𝐴 = 𝑎… 𝑎𝑛1 𝑥𝑛

𝑎12 𝑎22 … 𝑎𝑛2

… … … …

𝑎1𝑛 𝑎2𝑛 … 𝑎𝑛𝑛

A disebut matrik koeifisien teknis. Jadi, X – AX = B ( I – A)X = B X = ( I – A)-1B 15

Untuk perekonomian tiga sector , diperoleh : 𝑥1 1 − 𝑎11 −𝑎12 −𝑎13 −1 𝑏1 𝑥2 = −𝑎21 1 − 𝑎22 −𝑎23 𝑏2 , 𝑥3 −𝑎31 −𝑎32 1 − 𝑎33 𝑏3 1 0 0 𝐼 = 0 1 0 , di mana ( I – A ) adalah matrik Leontief. 0 0 1 Dalam sebuah table input-output lengkap, tenaga kerja dan modal juga dimasukkan sebagai input, yang merupakan nilai tambah perusahaan. Jumlah vertikal elemen-elemen dalam kolom j dalam model tersebut sama dengan satu : biaya input untuk memproduksi sebuah unit komoditi atau memproduksi komoditi seharga satu rupiah. Contoh : Diketahui Tabel Permintaan Transaksi Antarindustri di bawah ini dalam jutaan Rupiah. Tentukan Matrik Koeifisien Teknis . Sektor Tujuan Sektor Asal Baja Batu bara Besi Mobil Nilai Tambah Produksi Bruto

Baja 86 200 220 60 40

Batu bara 20 50 110 140 280

Besi 110 90 30 160 10

Mobil 230 120 40 240 370

600

600

400

1000

Permintaan Akhir

Permintaan Total

160 140 0 400 400

600 600 400 400 1000

Perhatikan jumlah Produksi Bruto masing- masing input sama dengan Permintaan Total masingmasing input . Koeifisien teknis aij menyatakan jumlah unit atau rupiah , i , yang diperlukan untuk memproduksi satu unit atau satu rupiah produk , j,. Jadi a11  persentase baja dalam satu rupiah baja , a21  persentase besi dalam satu rupiah baja , dan a31  persentase mobil dalam satu rupiah baja . Untuk mencari koeifisien teknis tersebut bagikan setiap elemen dalam masing – masing kolom dengan nilai produksi bruto yang terletak di bagian bawah kolom dengan mengeluarkan nilai tambah . Penyelesaian : Jadi ,

16

𝐴=

Contoh

80

20

110

230

600 2000

600 50

400 20

1000 120

600 220

600 110

400 30

1000 40

600 60

600 1400

400 160

1000 240

600

600

400

1000

0,033 0,083 0,183 0,237

0,275 0,23 0,225 0,12 0,075 0,04 0,40 0,24

: Diketahui Tabel Permintaan Transaksi antar industry di bawah ini : a. Tentukan matrik koeifisien teknis b. Cocokkan jawaban yang diperoleh

Sektor asal

Sektor tujuan 1 20 50 40 30 140

1 2 3 Nilai tambah Produksi bruto

Penyelesaian

0,133 0,333 = 0,367 0,10

2 60 10 30 50 150

Permintaan akhir 3 10 80 20 20 130

50 10 40

Permintaan total 140 150 130

: a. 𝐴=

20

40

10

140 50

150 10

130 80

140 40

150 30

130 20

140

150

130

0,143 = 0,357 0,286

0,4 0,067 0,2

0,143 0,4 0,077 b. 𝐴𝑋 = 0,357 0,067 0,615 0,286 0,2 0,154

0,077 0,615 0,154 140 90 150 = 140 130 90

140 90 50 𝑋 − 𝐵 150 − 10 = 140 130 90 40 Perhatikan AX = X-B 17

Contoh

: Anggaplah bahwa nilai tambah (value added) dari soal di atas seluruhnya terdiri Input primer tenaga kerja . c. Berapa banyak tenaga kerja diperlukan untuk mencapai permintaan akhir ? d. Jika jumlah tenaga kerja yang tersedia dalam perekonomian adalah 100 , apakah komposisi dari bauran output (output mix) tersebut mungkin (feasible) ? e. Cocokkan ketelitian koeifisien teknis Penyelesaian : c. Bagilah masing- masing nilai tambah dengan produksi bruto . Diperoleh , 𝑎𝐿1 = 30/40 = 0,214 ; 𝑎𝐿2 = 50/150 = 0,333 ; 𝑎𝐿3 = 20/130 = 0,154 . Jumlah tenaga kerja yang diperlukan untuk permintaan akhir sama dengan koeifisien teknis tenaga kerja dikali dengan permintaan akhir , karena tenaga kerja juga digunakan untuk memproduksi produk-produk antara . Jadi , diperoleh : 140 𝐿 = 0,214 0,333 0,54 150 = 99,93 130 d. Karena 99,93 < 100 , maka komposisi di atas layak . e. Karena setiap rupiah output harus dihitung dalam satuan input , maka koeifisien teknis diperiksa dengan menjumlahkan seluruh koeifisien teknis yang jumlahnya sama dengan satu .

1 2 3 Nilai tambah (tenaga kerja)

1 0,143 0,357 0,286 0,24

2 0,4 0,067 0,2 0,333

3 0,077 0,615 0,154 0,154

1

1

1

10. Akar dan Vektor Karakteristik (Nilai Eigen ,Vektor Eigen ) Akar karakteristik suatu matrik digunakan untuk memeriksa kedefinitan tanpa definisi defferensial ( derevatif.) Diberikan A matrik persegi , dapat ditemukan 18

AV = cV , di mana V adalah vector  0 dan c adalah scalar yang memenuhi persamaan di atas . Mungkinkah AV = cV ? , di mana A matrik persegi Anxn dan c sbuah scalar (konstanta ) ? Tentu ordo V ruas kiri sama dengan ordo V ruas kanan . Dan V sudah pasti vector kolom , sebab Anxn tak dapat dikalikan dengan vector baris . Kalau demikian jawabnya , persamaan di atas dapat terjadi. Di sini c disebut akar karakteristik atau ( eigen value) , dan V disebut vector karakteristik atau ( eigen vector ) . Persamaan di atas dapat dinyatakan sebagai , AV = cIV (I  identitas ) AV – cIV = 0 (A-cI)V = 0 (A – cI ) disebut matrik karakteristik dari A. Jika V  0 , maka salah satu dari ( A –cI )V = 0 , harus nol , dan singular . 𝑎11 − 𝑐 𝐴 − 𝑐𝐼 = 𝑎21 𝑎31

𝑎12 𝑎22 − 𝑐 𝑎32

𝑎13 𝑎23 = 0 , untuk A3x3 . 𝑎33 − 𝑐

Karena 𝐴 − 𝑐𝐼 = 0 , maka persaman AV = cV mempunyai penyelesaian yang tak terhingga banyaknya . Untuk memperoleh penyelesaian tunggal , dilakukan Normalisasi , dengan syarat element vi dari V , memenuhi  vi2 = 1 , atau v12 + v22 + v32 = 1 , atau 𝑎11 − 𝑐 𝑎21 𝑎31

𝑎12 𝑎22 − 𝑐 𝑎32

𝑎13 𝑎23 𝑎33 − 𝑐

𝑣1 0 𝑣2 = 0 𝑣3 0

Syarat ke-definit-an : 1) Semua c positif , A definit positif 2) Semua c negatif , A definit negatif 3) Semua c tidak negatif , dan paling sedikit satu c =0 , A semi definit positif 4) Semua c tidak positif , dan paling sedikit satu c =0 , A semi definit negatif 5) Berapa c positif dan berapa negative , A indefinite .

19

Contoh

: Diketahui , 𝐴=

Penyelesaian

−6 3 3 −6

: 𝐴 − 𝑐𝐼 =

−6 − 𝑐 3

3 =0 −6 − 𝑐

(−6 − 𝑐) −6 − 𝑐 − 3.3 = 0 ( c + 9 )( c + 3 ) = 0 c1 = –9 c2 = –3 Kedua c negative , maka A definit negatif. ( A –cI )V = 0 𝑣1 −6 3 =0 3 −6 𝑣2 3v1 + 3v2 = 0  v1 = –v2 Dari Normalisasi :  vi2 = 1 v12 + v22 = 1 (–v22) + v22 = 1  v22 + v22 = 1  2v22 = 1  v2 =  ½ 2 Jadi, 1

𝑉=

2

2 1

−2 2

,sebagai eigenvector .

11. Linier Programming : Metode Simpleks Metode Simpleks atau algoritma simpleks digunakan untuk menyelesaikan Sistim Pertidaksamaan Linier yang berisi sangat banyak variable linier menggunakan grafik . Contoh

: Maksimumkan fungsi laba berikut ,  = 5x1 + 3x2 ( fungsi objektif / sasaran ) , dengan Kendala 6x1 + 2x2  36 2x1 + 4x2  28 5x1 + 5x2  40 x1, x2  0 Penyelesaian :

20

Algoritma

: 1. TABEL SIMPLEKS AWAL i. Ubah pertidaksamaan menjadi persamaan dengan menaambah variable slack, diperoleh 6x1 + 2x2 + s1 = 36 5x1 + 5x2 + s2 = 40 2x1 + 4x2 + s3 = 28 Penambahan variable slaxk ,s memungkinkan penulisan pertidaksamaan menjadi persamaan . ii. Bentuk matrik persamaan 𝑥1 6 2 𝟏 𝟎 𝟎 𝑥2 36 5 5 𝟎 𝟏 𝟎 𝑠1 = 40 2 4 𝟎 𝟎 𝟏 𝑠2 28 𝑠3 Identitas 3x3

iii. Buat table simpleks awal : Tuliskan vektor kolom variabel di atas matrik koeifisien . Tuliskan koeifisien fungsi objektif di bawah matrik koeifisien , dengan member tanda negatif ( indikator) ,  = 5x1 + 3x2 + 0s1+ 0s2+ 0s3 = 0. Elemen kolom konstanta dituliskan sama dengan nol (0) , yaitu fungsi objektif di titik asal ( 0,0 ) ,  = 5.0 + 3.0 = 0 , di mana x1 = x2 = 0 Tabel simpleks awal

:

5 2

x1 2 5 4

s1 1 0 0

s2 0 1 0

s3 0 0 1

Konstanta 36 40 28

–5

–3

0

0

0

0 (Fungsi ob jektif awal )

x1 (X 1/6)

6

Indikator 2. Elemen Pivot dan perubahan dasar (basis ) . 21

i.

ii.

Kolom Pivot : Tentukan nilai absolute terbesar dari indikator negatif . Karena nilai absolute −5 = 5, maka –5 merupakan indikator yang pertama dipilih . Karena –5 terletak pada kolom pertama , maka x1 masuk ke dalam basis , dan kolom x1 menjadi kolom Pivot , ditandai dengan tanda panah . Baris Pivot : Bagi elemen konstanta dengan kolom Pivot ,diperoleh 36/6 < 40/5 < 28/2 . Pembagian terkecil , dengan mengabaikan hasil lebih kecil atau sama dengan nol (  0 ) , {0, -1/2 , . . . }, menentukan variabel yang mrninggalkan basis . Karena 36/6 terkecil , baris pertama adalah baris Pivot . Karena s1 mempunyai koeifisien 1 pada baris Pivot , maka s1 keluar dari basis. Perpotongan baris Pivot dan kolom Pivot , merupakan elemen Pivot . Jadi , 6 adalah elemen Pivot.

3. Pivoting i. Kalikan baris Pivot dengan balikan elemen Pivot , diperoleh

x1 1 5 2

x1 1/3 5 4

–5

–3

Tabel Kedua s1 1/6 0 0 0 ii.

s2 0 1 0

s3 0 0 1

Konstanta 6 40 28

0

0

0

Reduksi seluruh elemen kolom Pivot menjadi nol (0) , kecuali elemen baris pivot , diperoleh: ( baris 2 ) dikurang ( 5x baris 1) , ( baris 3 ) dikurang ( 2x baris 1), ( baris 4 ) dikurang ( 5x baris 1), Baris Pivot

22

x1 1 0 0

x1 1/3 10/3 10/3

s1 1/6 –5/6 –1/3

s2 0 1 0

s3 0 0 1

Konstanta 6 10 16

0

–4/3

5/6

0

0

30

Diperoleh , 4. Pilih kembali elemen indikator yang negatif , yaitu , –4/3 . bagi kolom konstanta dengan kolom Pivot ( kolom 2) , diperoleh 10/3 sebagai elemen Pivot . Karena s2 mempunyai koeifisien 1 pada baris Pivot , s2 akan meninggalkan basis . Pivotting : i. Kalikan baris 2 dengan balikan 10/3 , yaitu 3/10 , diperoleh ii. Reduksi elemen kolom Pivot menjadi nol , kecuali baris 2 , diperoleh , ( baris 1 ) dikurang ( 1/3x baris 2) , ( baris 3 ) dikurang ( 10/3x baris 2), ( baris 4 ) ditambah ( 4/3x baris 2), Baris Pivot

x1

x1 1 0

0 1

0

0

0

0

diperoleh , Tabel Ketiga s1 ¼ –1/4 ½ ½

s2 –1/10 3/10 –1

s3 0 0 1

Konstanta 5 3 6

2/5

0

34

Pada baris indikator tidak terdapat lagi elemen negative , maka penyelesaian sudah optimum . Elemen pada kolom konstanta menunjukkan , 𝑥1 = 5 , 𝑥2 = 3 , 𝑠3 = 6

23

12. Investasi ,Biaya Total , dan Biaya Marginal Investasi bersih didefinisikan sebagai tingkat perubahan dalam formasi saham modal (capital stock ) K selama waktu , t . Pembentukan modal sepanjang waktu , diperoleh I(t) = dK(t) / dt = K(t) . Pembentukan modal merupakan integral yang berkenanan dengan waktu investasi bersih . I(t) = dK(t) / dt I(t) dt = dK(t) ∫ ∫I(t) dt = ∫dK(t) = K(t) + c c = K0 = saham modal awal K0 . Biaya marginal adalah perubahan dalam biaya total akibat perubahan incremental (tambahan ) dalam output , MC = dTC / dQ , dan hanya biaya Variabel yang berubah bersamaan dengan tingkat output , MC = dTC / dQ MC dQ = dTC ∫ ∫MC dQ = TC = VC + c C = FC (Fixed Cost ) = biaya awal . VC (Variabel Cost ) Contoh

: Diberikan Investasi bersih , I(t) = 140 t3/4 dan saham awal pada t = 0 adalah 150 . Diperoleh , K = ∫I(t) dt = ∫140 t3/4dt = =

140 3 +1

3 +1 4

140 7 4

𝑡4

+𝑐

7

𝑡4 + 𝑐

= 80𝑡 7/4 + 𝑐 , c = K0 = 150 𝐾 = 80𝑡 7/4 + 150 . Contoh

: Diketahui , MC = dTC / dQ = 32 + 18 Q –12Q2 , FC = 43 Tentukan , TC , AC , , dan VC 24

Penyelesaian : TC = ∫(32 + 18 Q –12Q2 )dQ = 32Q + 9Q2 –4Q3 + c = VC + c Pada , Q = 0 , TC = FC= 43 TC = 32Q + 9Q2 –4Q3+ 43 AC = TC/ Q = 32 + 9Q –4Q2 + 43 / Q VC = 32Q + 9Q2 –4Q3 13. Nilai Sekarang dari Arus Kas Nilai sekarang dari sejumlah uang yang diterima di masa mendatang , bila dimajemukkan -n secara kontinu , ditunjukkan oleh P = Se . Oleh karena itu , nilai sekarang dari suatu arus penghasilan yang akan datang ( uang yang diterima setiap tahun selama n tahun ) , ditunjukkan oleh integral 𝑃𝑛 = =

𝑛 𝑛 −𝑟𝑡 1 −𝑟𝑡 𝑛 −𝑟𝑡 𝑆𝑒 𝑑𝑡 = 𝑆 𝑒 𝑑𝑡 = 𝑆 − 𝑒 0 0 𝑟 0 𝑆 𝑆 −𝑛 𝑛 −𝑟𝑛 −𝑟(0) −𝑟 𝑒 0 = −𝑟 𝑒 −𝑒 𝑆 𝑆 −𝑟𝑛 −𝑟𝑛

= −𝑟 𝑒

−1 =𝑟 1−𝑒

;

r  tingkat bunga majemuk.

,

25

BAB IV PERSAMAAN DIFFERENSIAL 1. Definisi Jenjang atau orde suatu persamaan differensial adalah jenjang atau orde dari turunan tertinggi yang terdapat di dalam persamaan . Derajat (degree) suatu persamaan differensial ditunjukkan oleh pangkat tertinggi dari turunan jenjang tertinggi dalam persamaan differensial . Contoh

: dy / dx = 2x + 6 . 𝑑𝑦 4 𝑑𝑥 𝑑2𝑦 𝑑𝑥 2

− 5𝑥 5 = 0 . 𝑑𝑦 3

+

𝑑2𝑦

Jenjang pertama , derajat pertama .

7

𝑑𝑥 2

𝑑𝑥

+

Jenjang pertama , derajat empat .

+ 𝑥2 = 0

𝑑3𝑦

5

𝑑𝑥 3

= 75𝑦 .

Jenjang kedua , derajat pertama . Jenjang tiga , derajat lima .

2. Rumus Umum Persamaan Differensial Linier Jenjang Satu dy / dt + vy = z ,

v , z , konstanta , atau fungsi waktu .

3. Penyelesaian Umum Persamaan Differensial Linier Jenjang Satu 𝑦 𝑡 = 𝑒−

𝑣𝑑𝑡

(𝐴 + 𝑧𝑒

𝑣𝑑𝑡

𝑑𝑡) ,

A  konstanta sembarang . * ( Penyelesaian Umum ini akan diuraikan setelah pasal Persamaan Differensial Eksak .)

Penyelesaian berisi dua bagian : 𝐴𝑒 − 𝑣𝑑𝑡 , disebut fungsi pelengkap ( komplementer ) ; yc , 𝑒 − 𝑣𝑑𝑡 𝑧𝑒 𝑣𝑑𝑡 𝑑𝑡 ,disebut integral khusus (particular ),yp . yc , penyimpangan dari keseimbangan . yp , keseimbangan antar waktu ( level ekuilibrium .) Untuk y(t) dinamis stabil : y(t) = yp ; yc = 0 . Contoh

: Selesaikan dy / dt + 4y = 12 Penyelesaian : v = 4 , z = 12 . 𝑦 𝑡 = 𝑒 − 4𝑑𝑡 (𝐴 + 12𝑒 4𝑑𝑡 𝑑𝑡) 26

= 𝑒 −4𝑡 (𝐴 + 12𝑒 4𝑡 𝑑𝑡) = 𝑒 −4𝑡 (𝐴 + 3𝑒 4𝑡 ) = 𝐴𝑒 −4𝑡 + 3 Untuk t  ∽ , maka e-4t  0 , sehingga , yt = yp = 3 , keseimbangan dinamis stabil .

Ingat IAD : Jika d(et) = etdt , Maka , ∫etdt = et Jadi :

𝑒 4𝑡 𝑑𝑡 =

𝑒 4𝑡 𝑑 4𝑡 . 1/4

= 1/4 𝑒 4𝑡 𝑑 4𝑡 = 1/4𝑒 4𝑡 4. Persamaan Differensial Eksak Diketahui persamaan fungsi dua variabel F( y,t ) , di mana : M = F / y dan N = F / t , differensial totalnya : dF( y,t ) = F / y dy + F / t dt. Jika , disamakan dengan nol , diperoleh Mdy + Ndt = 0 , ( disebut Persamaan Differensia Eksak. ) Syarat : M / t = (F / y)/t = 2F / yt N / y = (F / t)/y = 2F / ty Menurut Theorema Young : 2F / yt = 2F / ty Contoh : Selesaikan (6yt + 9y2 ) dy + ( 3y2 + 8t ) dt = 0 Penyelesaian : 1. M = (6yt + 9y2 ) M / t = 6y sama N = ( 3y2 + 8t ) N / y = 6y 2. Buat integral Partial yang terdiri dari M = F / y , dan Z(t) , untuk mencari fungsi primitive F(y,t) . F(y,t) = ∫(6yt + 9y2 ) y + Z(t) = 6𝑦 1+1 1+1

+

𝑦 2+1 3

+𝑍 𝑡 =

2

F(y,t) = 3y + 3y3 + Z(t) 3. Differensial F(y,t) terhadap t ’

’

F / t = 3y2 + Z (t) ; Karena F / t = N , maka ’

Z (t)  differensial parsial ’

3y2 + 8t = 3y2 + Z (t)  Z (t) = 8t 27

’

4. Integralkan Z (t) terhadap t , diperoleh ’

∫Z (t) dt = ∫8t dt = 4t2 ’

Ingat IAD : ∫Z (t) dt = Z(t) 5. Substitusi Z(t) ke F(y,t) , diperoleh , F(y,t) = 3y2 + 3y3 + 4t2 , yang merupakan penyelesaian yang dicari. 5. Kaidah-kaidah Faktor Pengintegralan Persamaan jenjang pertama non – linier dapat diselesaikan dengan persamaan differensial eksak menggunakan faktor pengintegralan . Assumsikan, M / t  N / y Kaidah 1 . Jika 1/N [M / t – N / y] = f(y) sendiri , maka 𝑒 pengintegralan . Kaidah 2 . Jika 1/M [N / y – M / t] = g(t) sendiri , maka 𝑒 pengintegralan .

𝑓(𝑦)𝑑𝑦 𝑔(𝑡)𝑑𝑡

adalah faktor adalah faktor

Contoh

: 5yt dy + (5y2 + 8t ) dt = 0 Penyelesaian : M / t = 5y  N / y = 10y  persamaan tak dapat diselesaikan . Kaidah 1. [1/ (5y2 + 8t )]( 5y – 10y) = –5y / ( 5y2 + 8t ) ,( bukan fungsi y sendiri .) Kaidah 2. (1/ 5yt )( 10y – 5y) = 5y / ( 5yt ) = 1/t , ( fungsi t sendiri .) Dengan demikian faktor pengintegralannya , 𝑒 1/𝑡𝑑𝑡 = 𝑒 ln 𝑡 = 𝑡 Ingat IAD :

Jadi , penyelesaiannya : 5yt dy + (5y2 + 8t ) dt = 0 (kedua ruas dikali faktor pengintegralan , t . Diperoleh , 5yt2dy + (5y2t+ 8t2)dt = 0 Sekarang , M = 5yt2 , N = 5y2t+ 8t2 M / t = 10y , N / y = 10y , dengan demikian persaman diffe-

Jika , d(ln t ) = 1/t dt , maka ∫1/t dt = ln t. Juga ingat Hukum Eksponen dan Logaritma : Misalkan : 𝑒 ln 𝑡 = 𝑥__ ln (kedua ruas dilogaritmakan ) , diperoleh Ln t ln e = ln x Ln t .1 = ln x  ln t = ln x  x = t , jadi 𝑒 ln 𝑡 = 𝑡

28

rensial eksak dapat diselesaiakan . 6. Pemisahan Variabel Merubah persamaan differensial eksak M dy + N dt = 0 , menjadi M(y) dy + N(t) dt = 0 , tanpa faktor pengintegralan . Contoh : dy / dt = y2 t Penyelesaiannya : dy / dt = y2t ( X (dt/ y2) ) dy / y2 = t dt (1 /y2) dy = t dt 𝑦 −2 𝑑𝑦 = 𝑡 𝑑𝑡

∫

1

−𝑦 −1 + 𝑐1 = 2 𝑡 2 + 𝑐2 t2 + 1/y + c3 = 0 (X 2y) 2 t y + 2 + c3y = 0 y = –2 / (t2 + c4)

*Penyelesaian Umum Persamaan Differensial Linier Jenjang Satu Berikut ini diturunkan Penyelesaian Umum Persamaan Differensial Linier Jenjang Satu dy / dt + uy = w

dirubah ke persamaan homogen , menjadi

dy + (uy – w ) dt = 0

, persamaan homogen mempunyai faktor

integrasi

e

udt

 eksponen (  udt ) , yang diperoleh dari penyelesaian umum

persamaan homogen . Misalkan I merupakan faktor integrasi , sehingga persamaan di atas , menjadi I dy + I (uy –w) dt = 0 M

N

29

M fungsi I saja , u = u(t) , w = w(t) , maka N yang berisi I dan u , w , harus fungsi dalam t saja . Test eksak M / t = N / y M / t = I / t I / t = Iu = dI / dt

N / y = Iu karena I fungsi satu variable dalam t . Jadi , I / t = Iu 𝑑𝐼 𝑑𝑡 𝐼



𝐼

=𝑢

=𝑢

______________ 𝑑𝐼 𝑑𝑡 𝐼

𝑑𝐼 𝑑𝑡

𝑑𝑡 =

𝑙𝑛 𝐼 =

∫ 𝑢𝑑𝑡

𝑢𝑑𝑡 + 𝑐

𝑢𝑑𝑡

𝐼=𝑒

. 𝑒 𝑐 = 𝐴𝑒

Dari pada menggunakan 𝑒 𝑢𝑑𝑡 , lebih baik menggunakan 𝑒 tungan . Kalau faktor integrasi ini dikalikan ke persamaan I dy + I (uy –w) dt = 0 𝑒

𝑢𝑑𝑡

𝑑𝑦 + 𝑒

𝜕𝑀 𝜕𝑡 = 𝜕𝑁 𝜕𝑦 = Jadi , M / t = N / y .

𝑢𝑑𝑡

𝜕 𝑒 𝑢𝑑𝑡 𝑑𝑡

, A = ec

untuk

memudahkan

perhi

, diperoleh

𝑢𝑦 − 𝑤 𝑑𝑡 = 0 =𝑒

𝜕 𝑒 𝑢𝑑𝑡 (𝑢𝑦 −𝑤 𝑑𝑦

𝑢𝑑𝑡

𝑢𝑑𝑡

𝑢𝑑𝑡 𝜕

.

𝑢𝑑𝑡 𝑑𝑡

= 𝑢. 𝑒

= 𝑢. 𝑒

𝑢𝑑𝑡

𝑢𝑑𝑡

Ingat IAD :

du(t) = du(t)dt u(t) = u(t)dt

30

Sekarang , i.

Persamaan terakhir diintegrasi partial terhadap y untuk mencari y . Misalkan : 𝐹 𝑦, 𝑡 =

𝑢𝑑𝑡

𝑒

𝑑𝑦 + Ψ 𝑡 = 𝑘

Jadi : (t) merupakan penyelesaian suku kedua , 𝑒 𝑢𝑑𝑡 𝑢𝑦 − 𝑤 𝑑𝑡 , dan d(k) = 0 , F(y,t) fungsi primitif . 𝑢𝑑𝑡

𝐹 𝑦, 𝑡 = 𝑦𝑒 ii.

+Ψ 𝑡 = 𝑘

Untuk mencari (t) , persamaan ini dideferensial partial terhadap t , diperoleh 𝜕𝐹 𝜕𝑡 = 𝑦𝑒 𝑢𝑦𝑒 Tapi

𝑢𝑑𝑡

𝑢𝑑𝑡

𝑢𝑑𝑡 𝜕𝑡 + Ψ′ 𝑡 = 𝑘

.𝜕

+ Ψ′ 𝑡 = 𝑘

𝜕𝐹 𝜕𝑡 = 𝑁 = 𝑒

𝑢𝑑𝑡

(𝑢𝑦 − 𝑤)

Maka , dengan identitas , diperoleh Ψ′ 𝑡 = −𝑤𝑒 iii.

𝑢𝑑𝑡

Sekarang untuk mencari (t) , maka Ψ′ 𝑡 = −𝑤𝑒

𝑢𝑑𝑡

Ψ 𝑡 = − 𝑤𝑒 iv.

𝑢𝑑𝑡

, diintegrasi , diperoleh 𝑑𝑡

Substitusi ke bentuk I , diperoleh − 𝑤𝑒

𝑢𝑑𝑡

𝑑𝑡 = 𝑘

𝑦 = 𝑘 + 𝑤𝑒

𝑢𝑑𝑡

𝑑𝑡

𝑦 𝑡 = 𝑒−

𝐴 + 𝑤𝑒

𝑦𝑒

𝑢𝑑𝑡

𝑢𝑑𝑡

𝑒

𝑢𝑑𝑡 𝑢𝑑𝑡

𝑑𝑡

di mana k = A

31

7. Persamaan Bernuolli Persamaan Bernoulli adalah persamaan differensial non-linier berbentuk dy / dt = ay = byn , a , b , konstanta atau fungsi t , n  0 , n  1 . Dengan memisalkan = 𝑦1−𝑛 , diperoleh Persamaan Differensial Linier dw / dt + (1–n) aw = (1–n) b yang dapat diselesaikan dengan memisalkan v = (1–n) a dan z =(1–n) b . Contoh : Persamaan Bernoulli , dy / dt – y = ty2 (Persamaan y dalam t .) Penyelesaian : dy / dt – y = ty2 , jika dibandingkan dengan Persamaan Umum Bernoulli , dy / dt + ay = byn , diperoleh a = –1 , n = 2 , b = t . Dirubah ke Persamaan Linier dw / dt + (1–n) aw = (1–n) b ( Persamaan w dalam t .) dw / dt + (1–2) (–w) = –1 t diperoleh Persamaan Differensial Linier Jenjang Satu  v = t , z = –t Maka penyelesaiannya adalah , dw / dt + w) = t

𝑤 𝑡 = 𝑒−

1𝑑𝑡

(𝐴 + – t𝑒

1𝑑𝑡

𝑑𝑡)

= 𝑒 −𝑡 (𝐴 + – t𝑒 𝑡 𝑑𝑡) = 𝐴𝑒 −𝑡 − 𝑡 + 1 Kembali ke pemisalan Bernoulli , diperoleh 𝑤 = 𝑦1−𝑛 = 𝑦1−2 = 1/𝑦 Jadi penyelesaiannya dalam y , adalah 𝑦 𝑡 = (𝐴𝑒 −𝑡 − 𝑡 + 1)−1 Penyelesaian Persamaan Differensial Linier Jenjang Dua dapat diselesaikan dengan Software Matematika Wolfram .

32

BAB V PERSAMAAN DIFFERENSI (SELISIH) 1. Definisi Persamaan differensi menyatakan hubungan antara suatu variabel tak bebas dan variabel bebas bersenjang ( lagged independent variabel ) yang berubah pada interval waktu diskrit (putus – putus ) . Berbeda dengan Persamaan differensial yang tergantung pada interval waktu kontinu ( berlanjut .) Jenjang atau orde persamaan differensi ditentukan oleh banyaknya priode selang terbesar. Jenjang pertama menyatakan suatu kesenjangan waktu ( time lag ) dalam satu priode ; jenjang kedua , dalam dua priode , dan seterusnya . Perubahan dalam y karena t berubah dan t ke (t + 1) disebut differensi pertama dari y , yaitu , ∆y / ∆t = ∆yt = yt+1 – yt , Operator ∆ menggantikan operator d / dt untuk mengukur perubahan kontinu dalam persamaan differensial . Contoh

Contoh

: It = a ( Yt –1 – Yt –2 ) jenjang 2 Qs = a + bP t –1 jenjang 1 yt+3 – 9yt+2 + 2yt+1 + 6yt = 8 jenjang 3 ∆yt = 5yt jenjang 1 : Diketahui y awal y0 , dalam persamaan differensi yt+1 = b y3 Untuk t = 0,1,2,3, dan seterusnya , diperoleh y1 = by0 y2 = b y1 = b (by0) = b2y0 ⋮ yt = bty0

2. Rumus Umum Persamaan Differensi Linier Jenjang Satu yt = by t –1 + a

,

a , b konstanta

3. Rumus Umum Penyelesian Persamaan Differensi Linier Jenjang Satu 𝑎

𝑎

𝑦𝑡 = 𝑦0 − 1−𝑏 𝑏 𝑡 + 1−𝑏

jika b 1

*) 33

yt = y0 + at

Penurunan untuk *)

jika b = 1

**)

:

yt = by t –1 + a y1 = by0 + a y2 = by1 + a = b(by0 + a ) = b2y0 + ab + a y3 = by2 + a = b(b2y0 + ab + a) + a = b3y0 + ab2 + ab + a y4 = by3 + a = b(b3y0 + ab2 + ab + a) = b4y0 + ab3 + ab2 + ab + a ⋮ 𝑦𝑡 = 𝑏 𝑡 𝑦0 + 𝑎𝑏 𝑡−1 + 𝑎𝑏 𝑡−2 + 𝑎𝑏 𝑡−3 + ⋯ + ⋯ + 𝑎𝑏 3 + 𝑎𝑏 2 + 𝑎𝑏 + 𝑎 𝑎

𝑎

𝑎

= 𝑏 𝑡−1 𝑦0 + 𝑎 + 𝑏 + 𝑏 2 + 𝑏 3 + ⋯ + ⋯ + 𝑎𝑏 3 + 𝑎𝑏 2 + 𝑎𝑏 + 𝑎 𝑎

𝑎

𝑎

= 𝑏 𝑡 𝑦0 + 𝑏 + 𝑏 2 + 𝑏 3 + ⋯ + ⋯ + 𝑎𝑏 3 + 𝑎𝑏 2 + 𝑎𝑏 + 𝑎 1

= 𝑏 𝑡 𝑦0 + 𝑎

1

1

+ 𝑎𝑏 ⋯ + 𝑏 2 + 𝑏 + 1 + 𝑎

+ 𝑏2 + 𝑏3 + ⋯ 𝑏 1 𝑏

= 𝑏 𝑡 𝑦0 + 𝑎 𝑎

1−0

+ 𝑎𝑏

1 1− 𝑏

1 𝑏

1−0 1 𝑏

1−

+𝑎

𝑎

= 𝑏 𝑡 𝑦0 − 1−𝑏 + 1−𝑏 ,

untuk b  1 ( jika b =1 , tidak terdefinisi .)

Penurunan untuk **) : yt = by t –1 + a ,

Untuk b = 1, maka

yt = y t –1 + a y1 = y0 + a y2 = y1 + a = (y0 + a ) + a = y0 + 2a y3 = y2 + a = (y0 + 2a ) + a = y0 + 3a ⋮ yt = y0 + at

34

Contoh

: Diketahui persamaan differensi yt = –7y t –1 + 16 dan y0 = 5 Penyelesaian : b = –7 , a = 16 , 16

16

maka , 𝑦𝑡 = (−7)𝑡 5 − 1+7 + 1+7 = 3(−7)𝑡 + 2 4. Model Cobweb Untuk komoditi hasil pertanian , yang ditanam setahun sebelum dipasarkan , penawaran saat ini tergantung pada harga tahun yang lalu . Jika , Qdt = c + bPt dan Qst = g + hP t –1 Dalam keseimbangan , Qdt = Qst 𝑕

𝑔−𝑐

𝑏

𝑏

𝑃𝑡 = 𝑃𝑡−1 +

Jadi ,

Karena b < 0 dan h > 0 ( Karena b koeifisien permintaan selalu negatif , h koeifisien penawaran selalu positif , maka menurut penyelesaian Persamaan Differensi Linier jenjang satu , 𝑕 𝑏

≠ 1 < 0 , maka , diperoleh penyelesaian persamaan differensi berikut „ 𝑃𝑡 = 𝑃0 −

𝑔−𝑐

𝑕 𝑡

𝑏−𝑕

𝑏

+

𝑔−𝑐 𝑏−𝑕

,

Jika dalam keseimbangan : Pt = P t –1 ( karena berada di satu titik potong yang sama .) Dengan demikian Pe = Pt = P t –1 (Pe  harga ekuilibrium ) , sehingga diperoleh Pe =

Jadi

𝑔−𝑐

𝑏−𝑕

: 𝑃𝑡 = 𝑃0 − 𝑃𝑒 𝑕/𝑏

𝑡

+ 𝑃𝑒

Karena itu h / b < 0 , dan lintasan waktu beralun . Jika : 𝑕 > 𝑏 , 𝑕/𝑏 > 0 , lintasan waktu Pt meledak . Jika : 𝑕 = 𝑏 , 𝑕/𝑏 = −1 , lintasan waktu beralun seragam Jika : 𝑕 < 𝑏 , 𝑕/𝑏 < 1 , lintasan waktu Pe konvergen , dan Pt mendekati . Penyelesaian untuk Persamaan differensi linier jenjang dua dapat diselesaikan menggunakan Software Matemetika Wolfram .

35

MISCELANOUS PROBLEM ( SOAL CAMPURAN ) 1.

Tentukanlah keseimbangan harga dan kuantitas untuk dua barang komplementer , celana ( S) dan jaket (J) , dengan menggunakan metode eliminasi (1) QdS = 410 –5PS –2PJ QsS = –60 + 3PS (2) QdJ = 295 –PS –3PJ QsJ = –120 + 2PJ

2.

Sebuah perusahaan elektronika memproduksi TV (T) dan streo (S) . Kurva transformasi ( transformation curves) , juga disebut kurva kemungkinan produksi ( production possibility curve ) , yang menunjukkan kombinasi berbeda untuk setiap barang yang yang dapat diproduksi perusahaan dengan menggunakan semua sumber dayanya secara efisien , dinyatakan dengan persamaan S2 + 3S + 5T = 130 . Tentukan : (a) Jumlah maksimal stereo yang dapat diproduksi oleh perusahaan , (b) Jumlah maksimal TV , (c) Jumlah maksimal stereo jika 18 TV diproduksi , dan (d) Jumlah maksimal TV jika 7 stereo diproduksi (e) Gambar grafik kurva transformasi untuk perusahaan tersebut

3.

Cari fungsi –fungsi MR yang berhubungan dengan fungsi penawaran berikut . Hitung fungsi tersebut pada Q = 4 , Q = 10 . P = Q2 + 2Q + 1 Gunakan Metode Gauss untuk menyelesaikan sistim persamaan linier

4.

6x1 + 2x2 + 5x3 = 73 7x1 – 3x2 + x3 = –1 4x1 + 8x2 – x3 = –9 5.

Dengan ekspansi Laplace tentukan determinan dari matrik berikut 2 4 1 5 𝐴= 3 2 5 1 1 2 1 4 3 4 3 2

36

6.

Syarat jenjang pertama optimisasi berkendala adalah : TC / x = 16x –y +  = 0 TC / y = 16y –x +  = 0 TC /  = x + y –42 = 0 , Gunakan Kaidah Crammer untuk mencari x , dan y .

7.

Gunakan determinan Jacobian untuk menentukan ketergantungan fungsi dalam sistim persamaan : y1 = x12 –3x2 + 5 y2 = x14 –6x12x2 + 9 x22

8.

Optimumkan fungsi berikut , dengan menggunakan determinan Hessian untuk syarat jenjang kedua . y = 3x12 –5x1–x1x2 + 6x22–4x2 + 2x2x3 + 4x32 + 2x3– 3x1x3

9.

Tentukan permintaan total untuk industry 1, 2 , dan 3 , apabila diketahui matrik koeifisien teknis A dan vektor permintaan akhir B berikut : Output industry 1 2 3 0,4 0,3 0,1 1 140 0,2 0,2 0,3 𝐴= 2 input industry 𝐵 = 220 0,2 0,4 0,2 3 18

10.

Gunakan eigenvalue untuk memaksimumkan laba , 4 6 3 𝐴= 0 2 5 0 1 3

11.

Gunakan metode Simpleks untuk memaksimumkan laba ,  = 3 y1 + 4y2 , dengan

kendala 2,5 y1 + y2  20 3 y1 + 3y2  30

y1 + 2y2  16 y1 , y2  0

12.

Diketahui MC = 16e0,4Q , dan FC = 100 . Cari TC

13.

Tingkat investasi bersih I = 60 t1/3 dan saham modal pada t =1 adalah 85 . 37

Cari K . 14. 15.

Nilai sekarang dari Rp.100 yang dibayarkan tiap- tiap tahun selama 3 tahun apabila suku bunga 5 % dimajemukkan secara kontinu adalah ? Selesaikan persamaan differensial eksak berikut : 2 ( 4y + 8t ) dy + ( 16yt –3) dt =0

16.

Selesaikan persamaan differensial non linier , Bernoulli berikut :

17.

dy / dt + y = ty3 Selesaikan persamaan differensi ( selisih ) dari yt = 6y t –1

18.

Qdt = 180 –0,75Pt , dan Qst = –30 + 0,3P t –1 , P0 = 0 . Tentukan : a. Harga keseimbangan pasar , Pe b. Stabilitas lintasan waktu .

Untuk

38

DAFTAR PUSTAKA Alpha C.Chiang.1993.Dasar-Dasar Matematika Untuk Ekonomi.Jilid I,II.Erlangga.Jakarta. Dowling E.1995.Matematika Untuk Ekonomi.Erlangga.Jakarta. Murray R.Spiegel.1981.Advanced Calculus.McGraw-Hill International Book Company. Singapore. Piskunov.N.Differential and Integral Calculus.Vol I.Mir Publisher Moscow.

39

CURICULUMVITAE Identitas

: Nama : Sopar M.H. Lahir : 19 Pebruari 1967 di Balik Papan , Kalimantan Timur Pendidikan : 1. SD NEGERI 060922 MEDAN SUNGGAL 2. SMP BUDI BERSUBSIDI SUNGGAL , MEDAN 3. SMPP NEGERI 24 , MEDAN SUNGGAL /IPA /TAMAT 1986 4. IKIP NEGERI MEDAN / SARJANA PENDIDIKAN MATEMATIKA/ TAMAT 1991 5. UNSYIAH BANDA ACEH /MAGISTER SAINS EKONOMI / TAMAT 2005 6. UNPAD BANDUNG / PROGRAM DOKTOR SAINS EKONOMI / MASUK 2005 Pekerjaan : Dosen PNS KOOPERTIS WIL. I SUMUT-NAD Pengalaman : 1. Dosen MATEMATIKA ASTRONOMI , MATEMATIKA TEHNIK , MATEMATIKA EKONOMI Akademi Maritim Belawan (AMB) ,Medan , Tahun 2001 – 2005 . 2. Dosen MATEMATIKA EKONOMI , EKONOMIMIKRO , EKONOMI MAKRO di Universitas HKBP NOMMENSEN , UHN Medan , 2012 – sekarang . Jabatan

Riset

: Sekretaris PPL (Program Pengalaman Lapangan ) FKIP HKBP NOMMENSEN MEDAN . : Simulasi Gauss Seidel- Reformasi Pajak Indonesia .2003. Computable General Equilibrium.Pemanasan Global Indonesia.2005.

Sopar M.H.

40