MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA

M ASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA

DIPLOMOVÁ PRÁCE

Ekonometrický výdajový model spotřeby piva

BC. KABÁTOVÁ RADANA

Vedoucí práce:

RNDr. Dalibor Moravanský, CSc.

Studijní program: Aplikovaná matematika Studijní obor:

Matematika – Ekonomie

2011

Bibliografický záznam Autor:

Bc. Radana Kabátová Přírodovědecká fakulta Masarykova univerzita Ústav matematiky a statistiky

Název práce:

Ekonometrický výdajový model spotřeby piva

Studijní program:

Aplikovaná matematika

Studijní obor:

Matematika – Ekonomie

Vedoucí práce

RNDr. Dalibor Moravanský, CSc.

Rok obhajoby:

2011

Klíčová slova:

Shephardovo lemma, Royova identita, Marshallovská poptávka, Hicksovská poptávka, Slutského substituční matice, Lineární výdajový systém, AIDS-téměř dokonalý výdajový

systém,

Rotterdamský

Diferenciální poptávková funkce, pivo.

výdajový

systém,

Bibliographic entry Bc. Radana Kabátová

Author:

Faculty of Science Masaryk University Department of Mathematics and Statistics

Title of Thesis:

Econometric Expenditure Model of the Beer Consumption

Degree Programme:

Applied Mathematics

Field of Study:

Mathematics - Economics

Supervisor:

RNDr. Dalibor Moravanský, CSc.

Year of Defence:

2011

Keywords:

Shephard´s lemma; Roy identity; Marshallian demand function; Hicksian demand function; Slutsky substituion matrix; Linear Expenditure System; AIDS-Almost Ideal Demand System; Rotterdam Expenditure System; Differential demand fiction; Beer

Prohlášení Prohlašuji, ţe jsem diplomovou práci Ekonometrický výdajový model spotřeby piva vypracovala samostatně pod vedením RNDr. Dalibora Moravanského, CSc. a uvedla v ní všechny pouţité literární a jiné odborné zdroje v souladu s právními předpisy, vnitřními předpisy Masarykovy univerzity a vnitřními akty řízení Masarykovy univerzity a Přírodovědecké fakulty MU. V Brně dne 12.5.2011

vlastnoruční podpis aut orky

.

Poděkování Na tomto místě bych ráda poděkovala zejména RNDr. Daliboru Moravanskému, CSc. Jehoţ odborné rady a věcné připomínky byly pro mě vţdy přínosné a inspirující. Mé poděkování mu náleţí také za to, ţe i při debatách na odborná témata si zachoval lidský přistup a porozumění. Váţím si také drahocenného času, který mi a mé diplomové práci věnoval. Ráda bych touto cestou své „děkuji“ vyjádřila i svým rodičům, Zdence a Stanislavovi; přestoţe k matematice ani k ekonomii nemají příliš osobní vztah, plně mě podporovali nejen ve studiích, ale také v osobním ţivotě. Mé poděkování patří také Masarykově univerzitě, která mi poskytla různorodé a vţdy vysoce odborné zázemí pro mé vzdělání. Také děkuji Ivě M. za inspiraci při výběru tématu této práce. Děkuji.

Abstrakt Předmětem diplomové práce „Ekonometrický výdajový model spotřeby piva“ je seznámit čtenáře se základními souvislostmi týkající se Lineárního výdajového systému, AIDS systému a Rotterdamského modelu. Zároveň tyto modely aplikujeme na spotřebu piva v České republice v období 1989 aţ 2009, posoudíme efekty cenových změn nejen piva, ale i jiných komodit. Na závěr výsledky výdajových systémů zhodnotíme a posoudíme vypovídací hodnotu jednotlivých modelů.

Abstract Subject of thesis “Econometric Expenditure Model of the Beer Consumption” is to acquaint the reader with fundamental interactions related to Linear Expenditure System, AIDS – Almost Ideal Demand System and Rotterdam Expenditure Model. Simultaneously we apply the data of beer consumption in Czech Republic since 1989 till 2009 to particular models and we evaluate the impact of price changes. Finally, we consider results of estimations and weight up the information value of the particular models.

Obsah 1

ÚVOD.................................................................................................................................................. 1

2

ÚVOD DO TEORIE SPOTŘEBY .................................................................................................... 3 2.1

SPOTŘEBITEL ................................................................................................................................ 3

2.2

UŢITEK ......................................................................................................................................... 4

2.2.1 2.3 3

Užitková funkce .................................................................................................................... 4

ODVOZENÍ POPTÁVKY................................................................................................................... 5

MARSHALLOVSKÉ POPTÁVKOVÉ FUNKCE A JEJICH ZÁKLADNÍ RESTRIKCE ........ 6 3.1

ÚVOD............................................................................................................................................ 6

3.1.1

Výdajová funkce ................................................................................................................... 6

3.1.2

Nepřímá užitková funkce ...................................................................................................... 7

3.1.3

Marshallovské poptávkové funkce........................................................................................ 7

3.1.4

Hicksovské poptávkové funkce ............................................................................................. 7

3.1.5

Shephardovo lemma ............................................................................................................. 8

3.1.6

Royova identita .................................................................................................................... 9

3.2

ZÁKLADNÍ RESTRIKCE KLADENÉ NA SOUSTAVY POPTÁVKOVÝCH FUNKCÍ .................................... 9

3.2.1

Součtovatelnost Marshallovských poptávek ....................................................................... 11

3.2.2

Homogenita Marshallovských poptávek ............................................................................ 12

3.2.3

Symetrie Marshallovských poptávek .................................................................................. 12

3.2.4

Negativita diagonály Slutského substituční matice ............................................................ 14

3.2.5

Separabilita ........................................................................................................................ 14

3.3

DALŠÍ FAKTORY OVLIVŇUJÍCÍ CHOVÁNÍ POPTÁVKY .................................................................... 16

3.3.1

Jiné determinanty ............................................................................................................... 16

3.3.2

Dynamika ........................................................................................................................... 17

3.3.3

Náhodné odchylky .............................................................................................................. 17

3.4

AGREGACE POPTÁVKY ................................................................................................................ 18

3.5

VHODNÉ TVARY POPTÁVKOVÝCH FUNKCÍ .................................................................................. 20

3.5.1

Poptávkové funkce odvozené z přímé užitkové funkce ........................................................ 20

3.5.2

Poptávkové funkce odvozené z nepřímé užitkové funkce .................................................... 21

3.5.3

Přímo specifikované poptávkové funkce ............................................................................ 22

3.6

EMPIRICKÉ SROVNÁNÍ POPTÁVKOVÝCH SYSTÉMŮ ...................................................................... 23

3.6.1 4

LINEÁRNÍ VÝDAJOVÝ SYSTÉM ............................................................................................... 26 4.1

SPECIFIKACE LINEÁRNÍHO VÝDAJOVÉHO SYSTÉMU .................................................................... 26

4.1.1 5

6

Odhad parametrů ............................................................................................................... 28

TÉMĚŘ DOKONALÝ VÝDAJOVÝ SYSTÉM - AIDS ............................................................... 30 5.1.1

Specifikace AIDS modelu ................................................................................................... 30

5.1.2

Linearizovaný AIDS model ................................................................................................ 32

5.1.3

Obecnost modelu ................................................................................................................ 33

5.1.4

Odhad................................................................................................................................. 33

ROTTERDAMSKÝ MODEL ......................................................................................................... 35 6.1

DIFERENCIÁLNÍ POPTÁVKOVÉ FUNKCE ....................................................................................... 35

6.2

ROTTERDAMSKÝ MODEL ............................................................................................................ 36

6.2.1 7

Empirické testy teoretických restrikcí ................................................................................ 24

Agregace spotřebitelů – konvergenční přístup................................................................... 37

KVANTITATIVNÍ ANALÝZA MODELŮ A INTERPRETACE ZÍSKANÝCH VÝSLEDKŮ39 7.1

POUŢITÁ DATA ............................................................................................................................ 39

7.2

VYHODNOCENÍ MODELŮ ............................................................................................................. 40

7.2.1

Výsledky lineárního výdajového modelu ............................................................................ 42

7.2.2

Výsledky AIDS – Téměř dokonalého výdajového schématu ............................................... 44

7.2.3

Výsledky Rotterdamského modelu ...................................................................................... 45

7.3

SROVNÁNÍ MODELŮ ................................................................................................................... 47

8

UPLATNĚNÍ ZVOLENÉ METODOLOGIE ............................................................................... 48

9

ZÁVĚR ............................................................................................................................................. 50

SEZNAM POUŢITÝCH ZDROJŮ ........................................................................................................ 51 SEZNAM TABULEK .............................................................................................................................. 53 SEZNAM POUŢITÉHO OZNAČENÍ ................................................................................................... 54 PŘÍLOHA Č. 1: METODY NEJMENŠÍCH ČTVERCŮ..................................................................... 55 PŘÍLOHA Č. 2: POSTUP VYHODNOCENÍ VÝSLEDKŮ ROTTERDAMSKÉHO MODELU .... 56 PŘÍLOHA Č. 3: JAKÝ JE ČESKÝ SPOTŘEBITEL PIVA VE SKUTEČNOSTI?.......................... 58

1 Úvod Ekonometrie je vědní disciplína, která uţitečným způsobem spojuje teorii ekonomie, statistiky a matematiky. Pro obsáhlý teoretický základ je ekonometrie v praxi neobyčejně přínosná. Nejčastěji se jedná o aplikaci určité matematicko-statistické metody na data s cílem ověření zadané ekonomické teorie nebo vybrané souvislosti. V této práci vyuţijeme metodu nejmenších čtverců (OLS), metodu váţených nejmenších čtverců (WLS) a metodu zobecněných nejmenších čtverců (GLS)1. Ekonomickým základem nám bude teorie spotřebitele, uţitku a poptávky. Konkrétně se zaměříme na Marshallovskou poptávku po komoditě, kterou získáme maximalizací uţitku spotřebitele. Snad jako kaţdý model i modely zmíněné v této práci v sobě skrývají řadu restrikcí, těmi mimo jiné jsou: homogenita, součtovatelnost, nezápornost a symetrie Marshallovských poptávek. Tvar poptávkové funkce můţe být prakticky jakýkoliv, my budeme uvaţovat tři typy: poptávková funkce odvozená z přímé a nepřímé uţitkové funkce a přímo specifikované poptávková funkce. Ve snaze o zdokonalení empirické analýzy v oblasti spotřebitelského chování se začínají prosazovat komplexnější vícerovnicové poptávkové systémy. Tyto systémy provázaných poptávkových rovnic se snaţí podchytit celý spotřební koš, v našem případě část spotřebního koše. Takové vícerovnicové modely bývají označovány jako poptávkové, téţ výdajové systémy. My se v práci zaměříme na tři výdajové systémy: Lineární výdajový systém Stonea a Gearyho; AIDS – téměř dokonalý poptávkový systém (Almost Ideal Demand System) autorů Deatona a Muellbauera a Rotterdamský výdajový systém Theila a Bartena. Kaţdý systém je něčím specifický: Lineární výdajový systém vychází z přímé uţitkové funkce, jeho výhodami jsou: snadná interpretace výsledků, nevýhodou můţe být iterační přístup při kalkulaci výsledků; AIDS systém odvozený z nepřímé uţitkové funkce vyuţívá logaritmy cen komodit, sympatickou vlastností je především transparentnost modelu a Rotterdamský výdajový systém vyuţívá diferenciály cen a mnoţství, respektive aritmetický podíl hodnot dvou po sobě jdoucích období; uţitečnou vlastností tohoto systému můţe být zahrnutí rozdílů parametrů ve dvou po sobě jdoucích období. V praktické části s pomocí programu MATLAB aplikujeme data českého spotřebitele pro období 1989 aţ 2009 týkající se spotřeby a cen piva, vína, destilátů a tabákových výrobků na jednotlivé výdajové modely. Je otázkou, zda budou dodrţeny poţadované restrikce kladené na výdajové systémy. Podaří se ve výdajových systémech nalézt statisticky významné

1

Více o OLS, WLS a GLS v Příloze č. 1.

1

koeficienty? Který z modelů bude mít nejvyšší vypovídací hodnotu? Budou výsledky výdajových systémů srovnatelné, nebo se budou významně lišit? Který výdajový systém bude nejlépe odpovídat skutečnosti?

2

2 Úvod do teorie spotřeby 2.1 Spotřebitel Chování, kterým se spotřebitelé projevují při hledání, nakupování, uţívání, hodnocení a nakládání s výrobky a sluţbami, od nichţ očekávají uspokojení svých potřeb, nazýváme spotřebitelské chování. První úvahy o chování spotřebitele se dají připisovat například T. Veblenovi (1899), jednalo se však spíše o psychologické pozadí rozhodování spotřebitele; aţ kolem roku 1960 se začínají objevovat první technicky pojaté texty, např. T. Levitt. S vývojem samotné disciplíny spotřebitelského chování dochází k jejímu ovlivňování i mnohými dalšími vědními disciplínami. V rámci teorie spotřebitele můţeme pracovat na třech úrovních: individuální, mikroekonomické a makroekonomické. Na úrovní individuálního chování se zabýváme procesy, které ovlivňují jednotlivce při výběru a při spotřebě (získávání informací, naučené chování, motivace ke spotřebě,…). Na mikroekonomické úrovni jsou důleţité faktory týkající se vlivů probíhajících mezi jednotlivci a vliv skupin na rozhodování jednotlivců (formy komunikace, vliv rodiny,…). Makroekonomický přístup se zabývá širokou škálou vlivů (kultura, sociální prostředí,…), které vedou mnoho spotřebitelů k podobnému chování. Spotřebitelé nabývají mnoha forem od šestiletého dítěte ţádajícího svou matku o ovocné ţvýkačky aţ po vysoce postaveného pracovníka ve velké společnosti rozhodujícího o koupi extrémně nákladných počítačových systémů. Spotřebitelem můţe být organizace nebo skupina lidí, ve které jedna osoba můţe rozhodnout o nakoupení produktů, které ale budou vyuţívány mnoha lidmi. Důleţitou „skupinou“ je rodina, kde různí členové hrají klíčové role. Komodity, které jsou spotřebovávány, mohou zahrnovat cokoliv od plechovky fazolí přes masáţ aţ po rapovou hudbu. V současnosti existuje rostoucí zájem o chování spotřebitele, nejen z pohledu marketingového, ale také z hlediska sociálních věd všeobecně. Prodejci si uvědomují, ţe spotřebitelské chování je neustálý proces, nejedná se jen o bezprostřední okamţik prodeje. Před platbou se spotřebitel rozhoduje o tom, zda daný produkt skutečně potřebuje a uvaţuje o nejlepším zdroji informací a o jiných alternativách. Při nakupování si spotřebitel všímá, zda je samotný nákup příjemný či stresující. Po nákupu spotřebitel zvaţuje, zda mu produkt přináší potěšení nebo zda produkt plní svou funkci. Případně jak se produktu zbavit a jaké jsou environmentální následky takového činu. Porozumění chování spotřebitele znamená velmi dobrý byznys. Základní koncept marketingu je, ţe firmy existují proto, aby uspokojovaly potřeby spotřebitele. Ale jednotlivé potřeby mohou být uspokojeny jen v případě, ţe trhy rozumí lidem nebo společnostem, které

3

budou vyuţívat nabízený produkt nebo sluţbu. Tyto znalosti týkající se spotřebitelů jsou začleněny prakticky do kaţdé stránky úspěšného marketingového plánu. Síla, která vede lidi k tomu, aby nakoupili a pouţívali daný produkt, je mnohdy zřejmá, jako kdyţ si nspotřebitel koupí krabici mléka poté, co dopil poslední mléko v domácnosti; ale zůstává nezodpovězena jiná otázka, proč si kupuje mléko, proč si nekupuje něco jiného. A proč si kupuje konkrétní značku raději neţ jinou značku. Tyto a jiné volby bývají často ovlivněny „osobními hodnotami,“ prioritami a informacemi o světě.

2.2 Uţitek Spotřebitel přichází na trh výrobků a sluţeb s cílem uspokojit své potřeby prostřednictvím nakupování statků. K základním vlastnostem potřeb patří naléhavost a proměnlivost. Potřeby se mění v čase, obecně se škála potřeb rozpíná a současně se však potřeby proměňují, například s věkem spotřebitele. Spotřebitel je ve své spotřebě vţdy nějak omezen, nejčastěji je to důchodem, fyzicky nebo časově. Rozhodnutí spotřebitele je tedy postaveno na užitku, který mu získané zboţí přinese, a na rozpočtovém omezení, kterým je limitován. Vţdy se však snaţí docílit touto cestou maximálního uţitku. Existuje několik předpokladů týkajících se měření uţitku spotřebitele: musí se jednat o racionálního spotřebitele, tedy ţe se snaţí maximalizovat vlastní uţitek a má určité preference, některé statky jsou pro něj lákavější neţ jiné. Uţitek spotřebitele je subjektivní, neboť co jednomu přináší pocit uspokojení, potěšení či uţitečnosti, pro jiného nic neznamená. Podle přístupu k měřitelnosti uţitku lze odlišit kardinalistickou a ordinalistickou verzi teorie uţitku. Kardinalistické pojetí teorie uţitku předpokládá měřitelnost uţitku, zatímco ordinalistická verze vychází z nemoţnosti měření uţitku, spotřebitel je pouze schopen seřadit kombinace statků dle jejich uţitečnosti, ale není schopen určit velikost uţitku těchto kombinací, ani kvantifikovat rozdíl v uţitku ze spotřeby jednotlivých kombinací statků. A. Marshall, zastánce kardinalistického pojetí uţitku, navrhoval měření uţitku nepřímo a to prostřednictvím peněz, které spotřebitel obětuje ve prospěch získání poţadovaného zboţí. Ordinalistická metoda povaţuje za nejjednodušší způsob měřit uţitek zboţí jiným druhem zboţí; porovnáváme, jakého zboţí jsme ochotni se vzdát, abychom získali ţádoucí zboţí. Obecně se nejlépe měří uţitek penězi. Současná ekonomická teorie vychází z ordinalistické metody.

2.2.1 Uţitková funkce Nechť 𝑞 = (𝑞1 , 𝑞2 , … , 𝑞𝑛 ) je vektor kvantit statků, které spotřebitel můţe spotřebovávat. Uţitková funkce 𝑢(𝑞) je funkce nebo pravidlo, které kaţdému nakupovanému statku přiřazuje reálné číslo. Tedy reprezentuje spotřebitelské preference, jestliţe všechny soubory téţe

4

indiferenční mnoţiny mají totéţ číslo a jestliţe soubory v preferovaných indiferenčních mnoţinách mají čísla vyšší.

2.3 Odvození poptávky Poptávka je mnoţství zboţí, které jsou kupující ochotni při dané ceně koupit. Zaznamenává tedy závislost poptávaného mnoţství statku na jeho ceně. Existuje agregátní poptávka, poptávka všech kupujících po všech druzích výrobků. Spolu s agregátní nabídkou tvoří základ pro úvahy týkajícím rovnováhy trhu. Dále existuje tržní poptávka, coţ je poptávka všech zákazníků po konkrétním výrobku a individuální poptávka, tedy poptávka jediného kupujícího. Poptávku lze odvodit na základě indiferenční analýzy, ta vychází z ordinalistického pojetí uţitku. Uvaţujme racionálního spotřebitele, tzn.: spotřebitel se chová podle následujících třech axiomů: axiom nenasycenosti (spotřebitel preferuje větší mnoţství statků před menším), axiom rozmanitosti (preferuje průměrnou spotřebu všech statků před maximální spotřebou jediného statku) a axiom tranzitivity (schopnost spotřebitele jednoznačně seřadit nabízené varianty statků podle míry uţitku). Indiferenční křivkou rozumíme vyjádření různých kombinací statků, které spotřebiteli přinášejí stejnou velikost celkového uţitku. Indiferenční křivka je klesající a konvexní (vyplývá z axiomu rozmanitosti), se neprotíná s jinou indiferenční křivkou (vyplývá z axiomu tranzitivity); indiferenční křivka leţící dále od počátku os souřadnic představuje vyšší úroveň celkového uţitku (axiom nenasycenosti). Optimum spotřebitele se musí nacházet právě v bodě, kde se linie rozpočtu (vyjadřující finanční omezení spotřebitele) zdola dotýká indiferentní křivky. V chování spotřebitele se odráţí tyto dva efekty: důchodový a substituční. Substituční efekt je schopnost spotřebitele dosahovat po cenové změně původní úrovně celkového uţitku v důsledku nahrazení statku relativně draţšího statkem relativně levnějším. Důchodový efekt souvisí se změnou reálného důchodu. V případě normálních statků důchodový efekt motivuje spotřebitele, aby s růstem svého reálného důchodu nakupoval větší mnoţství všech těchto statků. Chceme-li odvodit křivku poptávky, musíme opustit předpoklad, ţe ceny statků se nemění. Potřebujeme zjistit, jaký vliv budou mít změny cen na optimum spotřebitele, a tím i na mnoţství statků, které bude poptávat. „Protoţe je trţní poptávka odvozená z individuálních poptávek, záleţí poptávané mnoţství na daném trhu na stejných faktorech, které ovlivňovaly poptávané mnoţství jednotlivce. Trţní poptávané mnoţství tedy nezáleţí jen na ceně statku, ale také na příjmech, preferencích a očekáváních kupujících a na cenách substitutů a komplementů.“ [13]

5

3 Marshallovské poptávkové funkce a jejich základní restrikce 3.1 Úvod Při odvozování poptávkové funkce můţeme vycházet buďto z minimalizace výdajové funkce anebo z maximalizace uţitkové funkce. Minimalizací výdajové funkce dospějeme k Hicksovské poptávkové funkci, nazvané podle Johna Hickse, někdy se také nazývá kompenzovaná poptávková funkce. Budeme-li při odvození poptávkové funkce postupovat přes maximalizaci uţitkové funkce, získáme Marshallovské poptávkové funkce. Pojmenovaná podle Alfreda Marshalla; někdy se také nazývá Walrasiánská nebo nekompenzovaná poptávková funkce. Součet Marshallovských poptávkových funkcí reprezentuje nepřímou uţitkovou funkci. Marshallovské poptávkové funkce determinují, co je spotřebitel ochoten nakoupit za různé ceny a za různé úrovně příjmu. Kdeţto Hicksovské poptávkové funkce reprezentují takovou poptávku spotřebitele, která minimalizuje jeho výdaje, zatímco je hladina uţitku fixní.

3.1.1 Výdajová funkce Nechť 𝑢(𝑞) je uţitková funkce, 𝑝 = (𝑝1 , 𝑝2 , … , 𝑝𝑛 ) je cenový vektor, a 𝑢 je určená konkrétní velikost uţitku (skalární). Potom funkci 𝑒 𝑢, 𝑝 = min[𝑝𝑞; 𝑢(𝑞) ≥ 𝑢] nazveme výdajovou funkcí ve vztahu k uţitkové funkci 𝑢(𝑞). Výdajová funkce představuje minimální moţné náklady vynaloţené na nákup statků, které poskytují spotřebiteli uţitek přinejmenším o velikosti 𝑢 . (Výdajová funkce 𝑒(𝑢, 𝑝) je: reálná konečná nezáporná funkce; rostoucí v 𝑢 pro jakýkoliv cenový vektor 𝑝 > 0, neklesající v 𝑝 a rostoucí aspoň v jedné z cen 𝑝𝑖 pro libovolnou úroveň uţitku 𝑢 ; spojitá v uţitku 𝑢 i v cenách 𝑝 ; lineárně homogenní v cenách 𝑝 pro libovolnou úroveň uţitku 𝑢; konkávní v cenách 𝑝 pro libovolnou úroveň uţitku 𝑢.) Pomocí výdajové funkce lze generovat systém Hicksovských poptávkových funkcí.2

2

Tato vlastnost plyne z modifikace Shephardova lemmatu. (viz. 3.1.5) Z uvedeného lemmatu vyplývá, ţe Hicksovskou poptávkovou funkci po 𝑗-té komoditě lze psát ve tvaru: 𝜕𝑒 (𝑢 ,𝑝) = 𝑕𝑗 𝑢, 𝑝 . 𝜕𝑝 𝑗

6

3.1.2 Nepřímá uţitková funkce Nechť 𝑀 = 𝑒(𝑢, 𝑝) je výdajová funkce, kde 𝑀 je konkrétní velikost výdajů. Pak funkci 𝜓 𝑀, 𝑝 = max[𝑢 𝑞 ; 𝑝𝑞 = 𝑀] nazveme nepřímá užitková funkce. (Nepřímá uţitková funkce je reálná a konečná nezáporná funkce; je rostoucí ve výdajích 𝑀 pro jakýkoliv cenový vektor 𝑝 > 0 a spojitá v cenách 𝑝 pro libovolnou pevnou hodnotu výdajů 𝑀; je homogenní funkce stupně 0 současně v cenách 𝑝 a výdajích 𝑀; je kvazikonkávní funkce3 v cenách 𝑝 pro jakoukoliv úroveň výdajů 𝑀.)

3.1.3 Marshallovské poptávkové funkce Poptávková funkce po 𝑖-té komoditě v Marshallovském tvaru 𝑞𝑖 = 𝑞𝑖 (𝑀, 𝑝) má tyto základní vlastnosti: je reálná konečná a nezáporná funkce; je nerostoucí v ceně 𝑖-té komodity 𝑝𝑖 a neklesající v příjmu 𝑀4; je spojitá v příjmu 𝑀 a spojitá v 𝑝; je homogenní stupně 0 současně v cenách a příjmu. Soustava Marshallovských poptávkových funkcí je aditivní a součtovatelná, tedy

𝑛 𝑖=1 𝑝𝑖 𝑞𝑖

𝑀, 𝑝 = 𝑀 . „Kříţové“ derivace Marshallovských poptávek

(podle jednotlivých cen) jsou symetrické, tedy platí 𝑞𝑖

𝜕𝑞 𝑗 (𝑀,𝑝) 𝜕𝑀

𝑠𝑖𝑗 =

𝜕𝑞 𝑖 (𝑀,𝑝) 𝜕𝑝 𝑗

𝜕𝑞 𝑖 (𝑀,𝑝) 𝜕𝑝 𝑗

+ 𝑞𝑗

𝜕𝑞 𝑖 (𝑀,𝑝) 𝜕𝑀

=

𝜕𝑞 𝑗 (𝑀,𝑝) 𝜕𝑝 𝑖

+

pro všechna 𝑖, 𝑗 . Substituční matice 𝑆 rozměrů 𝑛 × 𝑛 sestávající z prvků + 𝑞𝑗

𝜕𝑞 𝑖 (𝑀,𝑝) 𝜕𝑀

je negativně semidefinitní

5

. Přímým důsledkem negativní

semidefinitnosti matice 𝑆 je, ţe vlastní cenové pruţnosti jsou nekladné. Poptávkové rovnice v Marshallovském tvaru získáme substitucí uţitkové funkce 𝑢(𝑞) do příslušné nepřímé uţitkové funkce 𝜓 𝑀, 𝑝 společně s aplikací Royovy identity (viz. 3.1.6).

3.1.4 Hicksovské poptávkové funkce Poptávková funkce po 𝑖-té komoditě v Hicksovském tvaru 𝑞𝑖 = 𝑕𝑖 (𝑢, 𝑝) informuje o závislosti spotřebitelovy poptávky na cenovém vektoru 𝑝 a na spotřebitelem ţádané hladině uţitku 𝑢. Má tyto vlastnosti: je reálná, konečná a nezáporná funkce; je nerostoucí v ceně 𝑖-té komodity 𝑝𝑖 a neklesající v uţitku 𝑢; je spojitá v uţitku 𝑢 a spojitá v 𝑝; je homogenní Ze striktní kvazi-konkávnosti funkce 𝑢 𝑞 plyne: 𝑥´𝑈𝑥 ≤ 0 pro všechna 𝑥 ≠ 0 taková, ţe 𝑈𝑞´𝑥 = 0. Proměnná 𝑀 vyjadřuje výdaje vydané na spotřebu; ale stejně tak můţeme 𝑀 povaţovat za disponibilní důchod /příjem spotřebitele vydaný na spotřební statky (nezahrnujeme finanční statky). Více o proměnné 𝑀 viz. kapitola 3.2. 5 Matice 𝐴 je negativně semidefinitní pokud existuje 𝑥 takové, ţe 𝑥 ≠ 0: 𝑥´𝐴𝑥 ≤ 0. 3 4

7

stupně 0

v cenách. Úplná soustava Hicksovských poptávkových funkcí je aditivní

a součtovatelná, tedy

𝑛 𝑖=1 𝑝𝑖 𝑕𝑖

𝑢, 𝑝 = 𝑀. „Kříţové“ derivace Hicksovských poptávek (podle 𝜕𝑕 𝑖 (𝑢,𝑝) 𝜕𝑝 𝑗

jednotlivých cen) jsou symetrické, tedy platí rozměrů 𝑛 × 𝑛 sestávající z prvků 𝑠𝑖𝑗∗ =

𝜕𝑕 𝑖 (𝑢,𝑝) 𝜕𝑝 𝑗

=

𝜕𝑕 𝑗 (𝑢,𝑝) 𝜕𝑝 𝑖

pro všechna 𝑖, 𝑗. Matice 𝑆 ∗

je negativně semidefinitní. Poptávkové rovnice

v Hicksovském tvaru získáme jako parciální derivace výdajové funkce 𝑒(𝑢, 𝑝) podle ceny této komodity 𝑝 (Shephardovo lemma, viz. část 3.1.5). Fixujeme-li ceny 𝑝 v Marshallovské poptávkové funkci, získáme Engelovu křivku 6 pro 𝑖-tou komoditu, informující o závislosti spotřebitelovy poptávky na jeho příjmu 𝑀.

3.1.5 Shephardovo lemma Nejdůleţitějším vztahem mezi výdajovou funkcí a soustavou Hicksovských poptávkových funkcí v rovnováţné situaci je Shephardovo lemma. Ronald W. Shephard (1953) jej formuloval původně pro vztah mezi nákladovými funkcemi a poptávkovými funkcemi v teorii produkce. Shephardovo lemma umoţňuje generovat Hicksovské poptávkové funkce z výdajové funkce. Mějme danou výdajovou funkci 𝑒(𝑢, 𝑝) příslušnou k uţitkové funkci 𝑢(𝑞). Potom kaţdou ze soustavy Hicksovských poptávkových funkcí po komoditách získáme tímto způsobem: 𝑞𝑖 = 𝑕𝑖 (𝑢, 𝑝) =

𝜕𝑒 (𝑢 ,𝑝) , 𝜕𝑝 𝑖

coţ znamená, ţe tvar Hicksovské poptávkové funkce po komoditě je určen jako parciální derivace výdajové funkce podle ceny této komodity. Pokud bychom chtěli odvodit Marshallovské poptávkové funkce, stačí substituovat za argument 𝑢 ve výdajové funkci hodnoty nepřímé uţitkové funkce 𝜓(𝑝, 𝑀). Dostaneme 𝑞𝑖 = 𝑕𝑖 𝑢, 𝑝 = 𝑕𝑖 𝜓 𝑀, 𝑝 , 𝑝 = 𝑞𝑖 (𝑀, 𝑝), tzn. soustavu poptávkových funkcí v Marshallovském tvaru. Chceme-li odvodit Hicksovské poptávkové funkce z Marshallovských, potom lze postupovat inverzně. Dosadíme za argument 𝑀 hodnotu výdajové funkce 𝑒(𝑢, 𝑝): 𝑞𝑖 = 𝑞𝑖 𝑀, 𝑝 = 𝑕𝑖 𝑒 𝑢, 𝑝 , 𝑝 = 𝑕𝑖 (𝑢, 𝑝).

6

Engelova křivka vyjadřuje vztah mezi celkovým důchodem a nakupovaným mnoţstvím určitého statku. U normálních statků je Engelova křivka rostoucí (s rostoucím příjmem spotřebitele roste nakupované mnoţství normálního statku). Pro méněcenný statek je charakteristická Engelova křivka, která od jisté úrovně důchodu klesá.

8

Vztah mezi nepřímou uţitkovou a výdajovou funkcí, jeţ jsou vzájemně inverzní, lze zapsat identitou: 𝜓 𝑀, 𝑝 = 𝜓(𝑒 𝑢, 𝑝 , 𝑝) ≡ 𝑢.

3.1.6 Royova identita Obdobou Shephardova lemmatu formulovaného ve vztahu k výdajové funkci za účelem odvození Hicksovských Marshallovské

poptávkové

poptávkových funkcí je Royova identita, formulující vztah funkce

a

nepřímé

uţitkové

funkce.

Je

pojmenována

po francouzském ekonomovi a matematikovi René Royovi (1943). Máme danou nepřímou uţitkovou funkci 𝜓(𝑝, 𝑀) příslušnou uţitkové funkci 𝑢(𝑞). Potom soustavu Marshallovských poptávkových funkcí po komoditách získáme tímto způsobem:

𝑞𝑖 𝑀, 𝑝 =

𝜕𝜓 (𝑀 ,𝑝 ) 𝜕𝑝𝑖 𝜕𝜓 (𝑀 ,𝑝 ) 𝜕𝑀

−

.

3.2 Základní restrikce kladené na soustavy poptávkových funkcí Specifikaci a odhadu poptávkového systému se věnovali například C.E.V. Leser (1941), později R. Stone (1954), W.H. Somermeyer, J.W.W.A. Wit (1956) a také H. Houthakker (1960). Od té doby se soustavy Marshallovských poptávkových rovnic staly hlavním tématem mnoha článků a knih. My se nyní stručně zaměříme na jádro problému, jeho moţnosti a omezení. Mnoţinu 𝑛 Marshallovských poptávkových funkcí spotřebitele můţeme tedy psát 𝑞 = 𝑞(𝑀, 𝑝),

(1.1)

vzhledem k poptávaným mnoţstvím, cenám a celkovým výdajům spotřebitele: 𝑀 = 𝑝´𝑞.

(1.2)

Tato definice celkových výdajů 𝑀, a vztah (1.1) tvoří úplnou mnoţinu poptávkových funkcí. (V následujícím textu bude pod pojmem „poptávková funkce“ automaticky myšlena Marshallovská poptávková funkce.) Ve většině empirickým aplikací jsou 𝑀 a 𝑝 dány exogenně. Pak (1.2) omezuje komoditní prostor, v němţ je maximalizován vztah (1.1). Další omezení jsou převzata z teorie poptávky spotřebitele. 9

Empirická aplikace vyţaduje specifikaci vhodného funkčního tvaru poptávkových rovnic. Pro tento účel se pouţívaly různé přístupy. Povaha dat však zabraňuje jednoznačnému rozhodnutí ohledně nadřazenosti jakékoliv volby. Jsou pouţívána různá kritéria, jako vhodnost, všeobecnost a teoretická významnost. Záleţí zde hodně na preferencích, cílech a zájmech výzkumníka. Některá teoretická omezení a také (1.2) představují omezení jdoucí napříč rovnicemi, proto všechny rovnice přijatého výdajového schématu musí být odhadnuty simultánně. Metody odhadu, jako je maximální věrohodnost (ML) nebo metoda nejmenších čtverců (OLS)7, jsou zde navrţeny tak, aby profitovaly z rostoucí vydatnosti odhadu parametrů zvoleného funkčního tvaru výdajového schématu v případě, kdy empirická data prokazují platnost těchto omezení. Takové simultánní odhadové metody vyţadují existenci nesingulární 8 kovarianční matice odhadu pro náhodné odchylky odhadu. Nicméně pokud důchod 𝑀 a ceny 𝑝 jsou exogenní, pak ze vztahu (1.2) plyne lineární závislost sdruţeného rozdělení náhodných odchylek. Teoretická kovarianční matice odchylek je tedy singulární 9 . Tento problém se většinou řeší vynecháním jedné rovnice ze systému. 10 Stále platí poţadavek, aby odhadnutá kovarianční matice zredukovaného systému rovnic byla nesingulární, z toho plyne, ţe počet pozorování musí být přinejmenším tak velký jako počet rovnic v systému; tato podmínka je v rozumně formulovaných empirických úlohách v realitě vţdy splněna. Věnujme nyní pozornost významu celkových výdajů, 𝑀. Z definice se jedná o součet výdajů spotřebitelem vydaných na pořízení komodit vektoru 𝑞. V mnoha případech je vektor 𝑞 brán jako vektor poptávek po nefinančních statcích za rok, v takovém případě je 𝑀 celkový výdaj spotřebitele za rok. Pokud jsou jedním z prvků vektoru 𝑞 i úspory nebo dluhy, pak lze o 𝑀 uvaţovat jako o celkovém příjmu spotřebitele. V intertemporálním kontextu můţe 𝑀 nabývat významu celkového bohatství jedince. Lze také omezit 𝑞 na spotřebu určité podmnoţiny statků během určitého období, řekněme poptávku po jídle. V takovém případě má 𝑀 význam výdajů na potraviny za toto období. Ale co je důleţité, formálně je 𝑀 dáno dříve neţ rozhodnutí o tom, jak tyto prostředky přerozdělit mezi nakupované statky. Takové

7

V praktické části budeme vyuţívat metodu odhadu OLS, WLS a GLS. Stručně se o těchto metodách zmíníme v příloze. 8 Nesingulární matice, jinak také Regulární matice má nenulový determinant. 9 Singulární matice má sloupce, respektive řádky, lineárně závislé. Determinant singulární matice je roven nule. 10 Pro daný příjem 𝑀 a cenový vektor 𝑝 , vztahy (1.1) a (1.2) definují systém 𝑛 + 1 vztahů mezi 𝑛 neznámými. Můţeme vymazat jakoukoliv z 𝑛 rovnic ze vztahu (1.1) aniţ bychom ztratili informaci o chování poptávky po statku, kterému byla rovnice vymazána. Formálně bylo toto provedeno v díle Bartena (1969), Solariho (1971) a Berndta a Savina (1975).

10

přerozdělení příjmu je popsáno v (1.1), coţ bývá občas nazýváno jako „alokační model poptávky“.

Nechť poptávkový systém 𝑞(𝑀, 𝑝) je diferencovatelný vzhledem k 𝑀 a 𝑝. Tento systém lze zapsat v diferenciální formě jako 𝑑𝑞 = 𝑞𝑀 𝑑𝑀 + 𝑄𝑝 𝑑𝑝.

(1.3)

Výraz označuje měnící se poptávku v závislosti na „parametrech“ úloh tzn. příjmu spotřebitele a cenách. Člen 𝑑𝑝 vyjadřuje změnu poptávaných mnoţství v závislosti na změně příjmu 𝑑𝑀 a změnách cen 𝑑𝑝. Maticově vyjádřený rozklad totálního diferenciálu (1.3)

𝑑𝑞1 ⋮ = 𝑑𝑞𝑛

𝜕𝑞1 𝜕𝑀 ⋮ 𝜕𝑞𝑛 𝜕𝑀

𝜕𝑞1 𝜕𝑝1 ∙ 𝑑𝑀 + ⋮ 𝜕𝑞𝑛 𝜕𝑝1

𝜕𝑞1 𝜕𝑝𝑛 ⋮ 𝜕𝑞𝑛 𝜕𝑝𝑛

… ⋱ …

∙

𝑑𝑝1 ⋮ 𝑑𝑝𝑛

kde 𝑞𝑀 je vektor derivací poptávek po statcích podle 𝑀 délky 𝑛 ; a 𝑄𝑝 je matice derivací poptávek podle 𝑝 velikosti 𝑛 × 𝑛 . Pak diferenciální tvar (1.2) je 𝑑𝑀 = 𝑝´𝑑𝑞 + 𝑞´𝑑𝑝. 𝑑𝑀 = 𝑝1

…

𝑝𝑛

𝑑𝑞1 ⋮ + 𝑞1 𝑑𝑞𝑛

(1.4) …

𝑞𝑛

𝑑𝑝1 ⋮ 𝑑𝑝𝑛

Některá omezení lze formulovat přímo ze vztahu (1.1) nebo z jeho derivací. Nyní se podívejme na podmínky součtovatelnosti, homogenity, symetrie Marshallovských poptávek a podmínku nezápornosti (negativní semidefinitnost Slutského substituční matice). [7]

3.2.1 Součtovatelnost Marshallovských poptávek Podmínka součtovatelnosti

𝑛 𝑖=1 𝑝𝑖 𝑞𝑖

= 𝑀 vyplývá ze souběţné platnosti (1.1) a (1.2),

nebo alternativně z (1.3) a z (1.4). Pro derivace se tato podmínka v podstatě rovná dvojici vztahů 𝑝´𝑞𝑀 = 1,

𝑝´𝑄𝑝 + 𝑞´ = 0 . 𝜕𝑞1

Maticově zapsaných:

𝑝1

… 𝑝𝑛

𝜕𝑀

⋮

𝜕𝑞𝑀 𝜕𝑀

11

=1

(1.5)

𝜕𝑞1

𝑝1

… 𝑝𝑛

𝜕𝑝1

⋮

𝜕𝑞𝑛 𝜕𝑝1

… ⋱ …

𝜕𝑞1 𝜕𝑝𝑛

⋮

𝜕𝑞𝑛

+ 𝑞1

… 𝑞𝑛 = 0

… 0

𝜕𝑝𝑛

Způsob, jakým bývají data konstruována, většinou garantuje, ţe splňují (1.2). Odhadovaná verze

poptávkových

systémů

buď

splňuje

podmínku

součtovatelnosti

automaticky,

nebo v průměru pro vybrané období, závisí na typu pouţitého vhodného tvaru.

3.2.2 Homogenita Marshallovských poptávek Podmínka homogenity odpovídá předpokladu, ţe poptávkové funkce jsou kaţdá homogenní stupně nula11 pro 𝑀 a 𝑝 zároveň, pro kladné 𝛼 a tedy musí platit 𝑞 = 𝑞(𝛼𝑀, 𝛼𝑝).

(1.6)

S pouţitím Eulerova teorému12 lze tato podmínka přepsat pro derivace jako 𝑞𝑀 𝑀 + 𝑄𝑝 𝑝 = 0. 𝜕𝑞1

𝜕𝑞1 𝜕𝑀

⋮

𝜕𝑞𝑀 𝜕𝑀

∙𝑀+

𝜕𝑝1

⋮

𝜕𝑞𝑛 𝜕𝑝1

… ⋱ …

𝜕𝑞1 𝜕𝑝𝑛

⋮

𝜕𝑞𝑛

(1.7)

𝑝1 0 ∙ ⋮ = ⋮ 𝑝𝑛 0

𝜕𝑝𝑛

Pouţitím této podmínky můţeme eliminovat důsledky inflace. Tato vlastnost se stává přitaţlivou, pokud je poptávka spotřebitele necitlivá na inflační pohyby. Coţ se hodí hlavně pro úvahy v dlouhém období. Podmínka homogenity je zaloţena na předpokladu, ţe kaţdý jednotlivý spotřebitel se rozhoduje bez ohledu na monetární jednotku účetnictví (měnu). To také nepřímo znamená, ţe 𝑞 neobsahuje čistě peněţní statky.

3.2.3 Symetrie Marshallovských poptávek Zatímco podmínka součtovatelnosti je spíše formální povahy, podmínka homogenity reflektuje poţadavky na chování spotřebitele, tedy na individuální volbu chování. Podmínky symetrie a negativity mají také základ v mikroekonomické teorii. Funkce 𝑓 je homogenní stupně 𝑚 pro všechna 𝑥𝑖 právě tehdy, kdyţ 𝑓 𝛼𝑥1 , 𝛼𝑥1 , … , 𝛼𝑥𝑛 = 𝛼 𝑚 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ). 12 Eulerův teorém pro funkci 𝑓(𝑥, 𝑦) homogenní stupně 𝑛; definujme dále 𝑥´ ≡ 𝑥𝑡, 𝑦´ ≡ 𝑦𝑡, pak 𝜕𝑓 𝜕𝑥 ´ 𝜕𝑓 𝜕𝑦 ´ 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝑛𝑡 𝑛−1 𝑓 𝑥, 𝑦 = + =𝑥 +𝑦 =𝑥 +𝑦 . 11

𝜕𝑥 ´ 𝜕𝑡

𝜕𝑦 𝜕𝑡

𝜕𝑥 ´

12

𝜕𝑦 ´

𝜕(𝑥𝑡 )

𝜕(𝑦𝑡 )

Podmínka symetrie Marshallovských poptávek, také známá jako Slutského podmínka, vyţaduje, aby derivace Marshallovské poptávky po 𝑗-tém statku podle ceny 𝑝𝑘 𝑘-tého statku byla rovna derivaci Marshallovské poptávky po 𝑘-tém statku podle ceny 𝑝𝑗 -tého statku. Tato podmínka můţe být shrnuta do vztahu 𝜕𝑞 𝑖 (𝑀,𝑝) 𝜕𝑝 𝑗

+ 𝑞𝑗

𝜕𝑞 𝑖 (𝑀,𝑝) 𝜕𝑀

=

𝜕𝑞 𝑗 (𝑀,𝑝) 𝜕𝑝 𝑖

+ 𝑞𝑖

𝜕𝑞 𝑗 (𝑀,𝑝) 𝜕𝑀

,

pak 𝑆 je negativně semidefinitní Slutského substituční matice 𝑛 × 𝑛 tvořena prvky 𝑠𝑖𝑗 =

𝜕𝑞 𝑖 (𝑀,𝑝) 𝜕𝑝 𝑗

+ 𝑞𝑗

𝜕𝑞 𝑖 (𝑀,𝑝) . 𝜕𝑀

Slutského substituční matice je velmi důleţitou částí teorie spotřeby, proto věnujme struktuře této matici ještě okamţik:

𝑠11 𝑆= ⋮ 𝑠𝑖1

… 𝑠1𝑗 ⋱ ⋮ … 𝑠𝑖𝑗

𝜕𝑞1 (𝑀, 𝑝) 𝜕𝑞1 (𝑀, 𝑝) 𝜕𝑞1 (𝑀, 𝑝) 𝜕𝑞1 (𝑀, 𝑝) + 𝑞1 … + 𝑞𝑗 𝜕𝑝1 𝜕𝑀 𝜕𝑝𝑗 𝜕𝑀 = = ⋮ ⋱ ⋮ 𝜕𝑞𝑖 (𝑀, 𝑝) 𝜕𝑞𝑖 (𝑀, 𝑝) 𝜕𝑞𝑖 (𝑀, 𝑝) 𝜕𝑞𝑖 (𝑀, 𝑝) + 𝑞1 … + 𝑞𝑗 𝜕𝑝1 𝜕𝑀 𝜕𝑝𝑗 𝜕𝑀 = 𝑄𝑝 + 𝑞𝑀 𝑞´

kde 𝑄𝑝

𝑖𝑗

=

𝜕𝑞 𝑖 (𝑀,𝑝) 𝜕𝑝 𝑗

a 𝑞𝑀 𝑞´

𝑖𝑗

= 𝑞𝑗

𝜕𝑞 𝑖 (𝑀,𝑝) . 𝜕𝑀

Stručně řečeno, pro Slutského substituční matici 𝑆 platí: 𝑆 = 𝑄𝑝 + 𝑞𝑀 𝑞´ = 𝑆´,

(1.8)

člen 𝑄𝑝 lze povaţovat za vyjádření substitučního efektu a část 𝑞𝑀 𝑞´ za vyjádření důchodového efektu. Podmínka (1.8) sama o sobě poskytuje

𝑛(𝑛−1) 2

omezení kladených na matici 𝑆,

a tedy i na 𝑄𝑝 a 𝑞𝑀 . Ze vztahu (1.5) vyplývá 𝑝´𝑆 = 0,

(1.9)

protoţe zřejmě platí v důsledku platnosti obou podmínek v (1.9), ţe

𝑝´𝑆 = 𝑝´ 𝑄𝑝 + 𝑞𝑀 𝑞´ = 𝑝´𝑄𝑝 + 𝑝´𝑞𝑀 𝑞´ = 𝑝´𝑄𝑝 + 𝑞´ = 0 coţ je vyjádření pro podmínku součtovatelnosti vyjádřenou pro Slutského substituční matici 𝑆. Ze vztahu (1.9) plyne 𝑛 omezení. Podmínka homogenity (1.7) spolu s (1.2) implikují

13

𝑆𝑝 = 0

(2.11)

protoţe zřejmě platí v důsledku (1.7) a rozpočtového omezení 𝑀 = 𝑝´𝑞 = 𝑞´𝑝, ţe

𝑆𝑝 = 𝑄𝑝 + 𝑞𝑀 𝑞´ 𝑝 = 𝑄𝑝 𝑝 + 𝑞𝑀 𝑞´𝑝 = 𝑄𝑝 𝑝 + 𝑞𝑀 𝑀 = 0 a tento vztah poskytuje podmínku homogenity pro Slutského substituční matici

𝑆.

Opět je zde 𝑛 omezení na matici 𝑆 plynoucí z rozpočtového omezení (1.3). Pokud je podmínka symetrie pouţita spolu s podmínkami součtovatelnosti a homogenity, tak získáme pouze 𝑛−1 (𝑛−2) 2

omezení. Pro 𝑛 ne příliš malá je to spíše velký počet a podmínka symetrie je v tomto

ohledu silná.

3.2.4 Negativita diagonály Slutského substituční matice Ze vztahů (1.9) a (1.10) plyne, ţe matice 𝑆 nemá plnou hodnost, protoţe její sloupce i řádky jsou lineárně závislé. To je také vyjádřeno podmínkou negativní semidefinitnosti Slutského substituční matice: 𝑦´𝑆𝑦 < 0 pro všechna 𝑦 ≠ 𝛼𝑝, kde 𝛼 je reálný skalár.

(1.11)

Důsledkem této podmínky je, ţe prvky na diagonále matice 𝑆 jsou negativní. Slovy Samuelsona (1947) matice 𝑆 „představuje nejdůleţitější část teorie spotřeby.“

3.2.5

Separabilita Důleţitým zdrojem restrikcí je předpoklad oddělitelnosti, který je definován v teorii

nazvané „Strom uţitku“ (Sono 1945, Leontief 1947a, 1947b, Strotz 1957, 1959, a další). Pokud je uspořádání preferencí určité skupiny nezávislé na tom, co je spotřebováno mimo tuto skupinu, pak je uspořádání preferencí rozdělitelné do vzájemně vylučitelných skupin statků. Můţeme tedy v rozhodovacím procesu rozlišovat dvě úrovně. V první úrovni se spotřebitel rozhoduje o tom, jaké finanční částky celkově utratí za jednotlivé skupiny. Na druhé úrovni, kde jsou jiţ dané celkové výdaje na skupinu, se spotřebitel rozhoduje o tom, jaká mnoţství jednotlivých statků v kaţdé skupině se nakoupí. Tato alokace druhé úrovně je formálně analogická celkovému problému volby. Jinými slovy, pro kaţdou komoditní skupinu existuje mnoţina Marshallovských poptávkových funkcí, jako je (1.1), kde argumenty jsou vydané na skupinu a ceny statků této skupiny. Nechť 𝑞𝐹 je vektor mnoţství statků náleţícím do skupiny 𝐹, 𝐹 = 1, … , 𝑁; a 𝑝𝐹 jsou příslušné ceny a 𝑀𝐹 = 𝑝𝐹´ 𝑞𝐹 , pak 𝑞𝐹 = 𝑞𝐹 (𝑀𝐹 , 𝑝𝐹 ).

14

(1.12)

Ceny statků jiné skupiny mohou ovlivnit poptávku po spotřebě statků 𝑞𝐹 pouze svým vlivem na 𝑀𝐹 . Z toho plynou důleţitá omezení na Slutského substituční matici 𝑆. Nechť 𝐹 ≠ 𝐺 a nechť 𝑆𝐹𝐺 je submatice matice 𝑆 související se substitučním efektem 𝑝𝐺 na 𝑞𝐹 . Pak z (1.12) plyne 𝜕 𝑞𝐹 𝜕𝑝´𝐺

=

𝑞 𝑒𝐹 𝜕𝑀𝐹 𝜕𝑝´𝐺

,

(1.13)

𝜕𝑞

kde 𝑞𝑒𝐹 = 𝜕𝑀𝐹 , na základě předchozích výsledků ze Slutského substituční matice dostáváme 𝐹

𝜕 𝑞𝐹 𝜕𝑝´𝐺

kde 𝑞𝑀𝐹 =

𝜕𝑞 𝐹 . 𝜕𝑀

= −𝑞𝑀𝐹 𝑞´𝐺 + 𝑆𝐹𝐺 ,

Poznamenejme jen, ţe 𝑞𝑀𝐹 je proporcionální k 𝑞𝑒𝐹 , jelikoţ platí 𝑞𝑒𝐹 =

(1.14) 𝜕𝑀𝐹 𝜕𝑀

.

Kombinací (1.13) a (1.14) získáme 𝑆𝐹𝐺 = 𝑞𝑒𝐹

𝜕𝑀𝐹 𝜕𝑝´𝐺

+

𝜕𝑀𝐹 𝜕𝑀

𝑞´𝐺 .

(1.15)

Z hlediska symetrie matice 𝑆, 𝑆𝐹𝐺 = 𝑆´𝐺𝐹 , pak můţeme psát 𝑆𝐹𝐺 = −𝜓𝐹𝐺 𝑞𝑒𝐹 𝑞´𝑒𝐺 = 𝑆´𝐺𝐹 ,

(1.16)

kde 𝜓𝐹𝐺 je (skalár) faktor proporcionality. Analogicky můţeme také psát 𝑆𝐹𝐹 = 𝑆𝐹 − 𝜓𝐹𝐹 𝑞𝑒𝐹 𝑞´𝑒𝐹 ,

(1.17)

kde 𝑆𝐹 je substituční matice související se subsystémem (1.12). V praxi má předpoklad separability několik zajímavých důsledků. Za prvé, můţeme soustředit pozornost na jednotlivý subsystém, jako je subsystém 𝐹 v (1.12). Například, můţeme roztřídit komodity podle období jejich spotřeby. Pokud je třídění preferencí oddělitelné v těchto skupinách, pak existuje subsystém pro kaţdé období. Otázka kolik utratit za spotřebu by měla být zodpovězena „teorií spotřebních funkcí“, kde důleţitou roli hrají intertemporální prvky a očekávání. Způsob jakým je toto mnoţství příjmu alokováno mezi statky je otázkou pro „teorii spotřebitelských poptávkových funkcí“, kde můţeme ignorovat intertemporální aspekty. Tato dekompozice vytváří podmínky pro koncentraci do jednoho tématu v čase. Za druhé, díky oddělitelnosti lze najít přirozené řešení pro problém agregace komodit. Tento důsledek odůvodňuje vyuţití přístupu s úplnou soustavou při agregaci komodit, coţ je empiricky nevyhnutelné. Při odhadování celého systému můţe být vztah (1.16) pouţit implicitně nebo explicitně. Implicitně znamená, ţe začneme specifikací uţitkové funkce, která je dělitelná ve skupině statků, 15

𝑢 = 𝑢 𝑢𝐴 𝑞𝐴 , 𝑢𝐵 𝑞𝐵 , … , 𝑢𝑁 𝑞𝑁 ,

(1.18)

kde 𝑢𝐹 (𝑞𝐹 ) je parciální uţitková funkce. Je moţné, ţe tyto částečné uţitkové funkce jsou dále dělitelné do podskupin, a tak dále. Taková struktura se nazývá Strom užitku. Silná separabilita nastane, v případě, ţe lze 𝑢 transformovat do uţitkové funkce, která je aditivně separabilní v dílčích uţitkových funkcích. Krajní případ separability je takový, ţe uţitkové funkce jsou silně dělitelné pro elementární komodity. Právě z takových uţitkových funkcí vychází mnoho aplikací. Při silné separabilitě se (1.16) transformuje na 𝐹 ≠ 𝐺 𝑆𝐹𝐺 = −𝜓 ∗ 𝑞𝑀𝐹 𝑞´𝑀𝐺 ,

(1.19)

kde 𝜓 ∗ je nezávislé na dvojicích skupin zapojených statků.

3.3 Další faktory ovlivňující chování poptávky Podstatná část mikroekonomické teorie týkající se poptávkových systémů je provázána se změnami v disponibilním důchodu spotřebitele 𝑀 a v cenách 𝑝. Skutečné chování poptávky nepochybně zobrazuje změny v determinantách 𝑀 a 𝑝 , ale důleţitou roli hrají také nedokonalosti vzniklé volbou a úpravami tvaru poptávkových rovnic. Existuje několik moţností jak zvýšit smysluplnost modelu: zavedení jiných determinant neţ jsou 𝑀 a 𝑝, uváţení dynamiky a náhodných odchylek.

3.3.1 Jiné determinanty Nechť 𝑥 = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑘 ) je vektor „jiných“ determinant délky 𝑘 , jedná se o determinantu jinou neţ je 𝑀 a 𝑝 ovlivňující změny poptávaného mnoţství, 𝑞 . Předpokládejme, ţe poptávkové funkce jsou diferencovatelné vzhledem k 𝑥, matice 𝑄𝑥 bude pouţita pro označení matice derivací 𝑞 podle 𝑥 . Z definice plyne, ţe jiná determinanta 𝑥 neovlivní důchod spotřebitele 𝑀 ani cenový vektor 𝑝, derivace obou stran 𝑝´𝑞 = 𝑀 vycházejí za podmínky součtovatelnosti jako 𝑝´𝑄𝑥 = 0.

(1.20)

Jinými slovy, změna poptávky po jednom statku musí být kompenzována změnou poptávky po jiných statcích.

16

Změny v jiných determinantách 𝑥 nás zajímají proto, ţe ovlivňují podmínku prvního řádu 𝑢𝑝 = 𝜆𝑝. Derivací této podmínky podle 𝑥 dostáváme 13

𝑈𝑄𝑥 + 𝑈𝑞𝑥 = 𝑝𝜆´𝑥 , kde 𝑈𝑞𝑥 =

𝜕𝑢 𝑞 𝜕𝑥 ´

𝜕𝜆

(1.21) 1

a 𝜆𝑥 = 𝜕𝑥 . Drobnými úpravami získáme 𝑄𝑥 = − 𝜆 𝑆𝑈𝑞𝑥 , coţ ukazuje,

ţe vliv „jiných“ faktorů souvisí se substitučním efektem cenových změn.

3.3.2 Dynamika Za smysluplný předpoklad lze povaţovat skutečnost, ţe chování spotřebitele v minulosti ovlivní jeho preference a tedy i chování v současnosti. Mohou vznikat návyky a averze vůči určitým statkům. V kontextu s lineárním výdajovým modelem R. A. Pollak a T. J. Wales (1969) zavedli definici toho, jak poptávka v předchozím období změní uţitkovou funkci a výsledné poptávkové funkce. Vzhledem k tomu, ţe zkoumání dymanických aspektů výdajových schémat není ústředním prvkem této práce, zmíníme se o nich přehledově voddíle pojednávajícím o Rotterdamském (Theil-Bartenově) modelu.

3.3.3 Náhodné odchylky Náhodné odchylky jsou do poptávkových rovnic obvykle zavedeny aţ dodatečně. Pokud mají náhodné odchylky svůj původ v náhodných změnách preferencí, pak jejich vlivy na poptávky mohou být spojovány s příčinami, které způsobují cenové změny. Např. definování náhodných odchylek jako negativně proporcionální prvky k Slutského substituční matici 𝑆 má zajímavé následky pro odhady. Nejenţe při dané fixní velikosti výběru máme k dispozici více informací, neţ bylo dostupných při odhadu 𝑆 , ale také jsou tak navrţeny podmínky pro vyuţití metod s úplnou informací (3SLS, FIML) k odhadnutí systému, a to v případě, ţe časové řady nejsou dostatečně dlouhé, aby dovolily neomezený odhad kovarianční matice. „Neomezeným“ odhadem rozumíme odhad všech prvků (symetrické) kovarianční matice, aniţ bychom zaváděli na některé kovariance apriorní omezení (získaná mimo datový vzorek modelu) potřebná pro dosaţení jeho identifikovanosti (odhadnutelnosti). Uvědomme si, ţe náhodně se měnící preference jsou pouze jedním zdrojem chyb v poptávkových rovnicích. Všechny ostatní moţné nedokonalosti přístupu budou zobrazeny v členu chyby a jsou lehce izolovatelné. [7]

Podmínka prvního řádu: maximalizací uţitkové funkce 𝑢(𝑞) vzhledem k vektoru 𝑞 získáme 𝑢𝑝 = 𝜆𝑝, ´ kde 𝜆 je Lagrangeův multiplikátor. Pro 𝑆 = 𝑄𝑝 + 𝑞𝑀 𝑞´ platí: 𝑈𝑆 = 𝜆(𝐼 − 𝑝𝑞𝑀 ). 13

17

3.4 Agregace poptávky Teoretické základy systémů poptávkových funkcí jsou především zaloţeny na teorii individuálního spotřebitele. Zatímco data pouţívaná pro empirické aplikace se většinou týkají poptávky po statcích celé ekonomiky. Je tedy nezbytná agregace spotřebitelů. Zavedeme index 𝑐 = (𝑐1 , 𝑐2 , … , 𝑐𝑁 ) , který značí, ţe se jedná o chování individuálního spotřebitele, zatímco proměnná bez indexu 𝑐 značí odpovídající průměr. Definujme tedy 1

𝑞=𝑁

𝑐

1

𝑞𝑐 , 𝑀 = 𝑁

𝑐

1

𝑀𝑐 = 𝑁

𝑐

𝑝´𝑞𝑐 = 𝑝´𝑞.

(1.23)

Ceny jsou shodné pro individuální i průměrné hodnoty. Mikroekonomická teorie se vztahuje k systému: 𝑞𝑐 = 𝑞𝑐 (𝑀𝑐 , 𝑝),

(1.24)

𝑞 = 𝑞(𝑀, 𝑝).

(1.25)

1 𝑁

(1.26)

kdeţto pro empirickou práci nás zajímá

Kombinací vztahů (4.1) a (4.2) získáme 𝑞=

𝑐

𝑞𝑐 (𝑀𝑐 , 𝑝).

Zřejmě vztahy (1.25) a (1.26) jsou ekvivalentní pouze při zavedení restriktivních podmínek vztahujících se ke změnám parametrů 𝑀𝑐 a 𝑞𝑐 ( ), které se týkají individuálního spotřebitele. Tento problém lze také formulovat v diferenciálním tvaru; příslušný tvar pro (1.25) je 𝑑𝑞 = 𝑞𝑀 𝑑𝑀 + 𝑄𝑝 𝑑𝑝,

(1.27)

kdeţto pro (1.26) 1

𝑑𝑞 = 𝑁 kde 𝑆 =

1 𝑁

𝑐

𝑐

𝑞𝑀𝑐 𝑑𝑀𝑐 − 𝑞´𝑐 𝑑𝑝 + 𝑆 𝑑𝑝,

(1.28)

𝑆𝑐 . Poznamenejme, ţe Slutského substituční matice 𝑆 má všechny vlastnosti jako

𝑆𝑐 . Bez vniku komplikací můţeme říci, ţe 𝑞𝑀𝑐 = 𝑞𝑀 pro všechna 𝑐. Pak jsou (1.27) a (1.28) ekvivalentní a platí 𝑄𝑝 = 𝑆 − 𝑞𝑀 𝑞´

a navíc všechny mikroekonomické podmínky

z předcházející sekce přetrvávají i pro makroekonomickou úroveň. Tato podmínka (průměrování chování individuálních spotřebitelů) je pouze nepatrně slabší neţ předpoklad „reprezentativního spotřebitele,“ který odpovídá předpokladu, ţe všichni spotřebitelé jsou identičtí.

Výsledkem

této

úvahy

je,

ţe

vlastnosti

jsou ekvivalentní příslušným mikroekonomickým vztahům.

18

makroekonomických

souvislostí

Jiné způsoby agregace jsou zaloţeny na uvedení mikroekonomické teorie a příslušné makroekonomické

aplikace

do

souladu.

Můţeme

formulovat

distribuční

funkce

mikroekonomických charakteristik tak, aby měly makroekonomické vztahy poţadované vlastnosti. Do poptávkových rovnic můţeme tyto vlastnosti rozdělení zavést explicitně. Ale takové přístupy nás nebudou zajímat. V současnosti

zůstávají

problémy

s agregací

nevyřešeny.

Nemá

smysl

snaţit

se vysvětlovat zamítnutí testů mikroekonomických podmínek v kontextu makroekonomických systémů pouze z pohledu agregace. Zamítnutí

mohou být způsobena neadekvátními daty,

nevhodnou specifikací náhodných odchylek, nekorektním zacházením, atd.. Empirická důleţitost moţných distorzí, způsobených agregačními chybami není známa. [7]

19

3.5 Vhodné tvary poptávkových funkcí Principiálně existuje nekonečně mnoho způsobů, jak vyjádřit vhodný tvar poptávkových rovnic. V praxi se pouţívají tři rozdílné přístupy ke specifikaci vhodného tvaru poptávkových funkcí. První vychází z vhodně specifikované přímé uţitkové funkce; druhý z nepřímé uţitkové funkce. Tyto dva přístupy mají tu výhodu, ţe výsledné poptávkové funkce zobrazují více či méně automaticky všechny vlastnosti, o kterých jsme mluvili dříve. Třetí přístup definuje vhodný tvar poptávkových rovnic přímo a zavádí dodatečné podmínky. Nyní se blíţe podívejme na jednotlivé případy. [7]

3.5.1 Poptávkové funkce odvozené z přímé uţitkové funkce Většina pouţívaných přístupů, vycházejících z vhodně specifikované přímé uţitkové funkce, uvaţuje o těchto funkcích jako o silně separabilních v elementárních statcích nebo ve skupinách statků. L. Johansen (1969) formuloval modifikovanou addilog funkci tvaru14: 𝑢=

𝛽 𝑖 𝑞 𝑖 −𝛾 𝑖 𝛼 𝑖 , 𝑖 𝛼 𝛽𝑖 𝑖

(1.29)

kde 𝛼𝑖 < 1, 𝛽𝑖 > 0 a 𝛾𝑖 < 𝑞𝑖 jsou konstanty. Pokud 𝛼𝑖 = 0, tak náleţitý člen v (1.29) bude nahrazen limitou 𝛼𝑖 → 0, tedy 𝛽𝑖 ln 𝑞𝑖 − 𝛾𝑖 − 𝛽𝑖 ln 𝛽𝑖 . Pokud 𝛼𝑖 = 0 pro všechna 𝑖 , pak lze uţitkovou funkci psát jako 𝑢 =

(1.30) 𝑖

𝛽𝑖 ln(𝑞𝑖 − 𝛾𝑖 ) ,

nazývanou také Stone-Gearyho užitková funkce. Z podmínky prvního řádu získáme 1 𝛼 𝑖 −1

𝑞𝑖 = 𝛾𝑖 + 𝛽𝑖 𝜆𝑝𝑖

.

(1.31)

Pouţívání rozpočtových rovnic neposkytuje nijak elegantní analytické výsledky. Proto bychom pro eliminaci 𝜆 z (1.31) z praktického hlediska odhadu měli vybrat jeden konkrétní statek, řekněme 𝑛-tý, 1

𝑞𝑖 = 𝛾𝑖 + 𝛽𝑖

𝑞 𝑛 −𝛾𝑛 𝛼 𝑛 −1 𝑝 𝑖 𝛼 𝑖 −1 , 𝛽𝑛 𝑝𝑛

pro 𝑖 = 1, … , 𝑛 − 1,

(1.32)

vyjadřující závislost poptávky po 𝑖-tém statku relativně vůči spotřebě 𝑛- tého statku a poměru cen

𝑝𝑖 𝑝𝑛

.

14

Johansenova přímá uţitková funkce je zobecněním přímého výdajového addilog systému: 𝛼 𝑢 = 𝑖 𝛽𝑖∗ 𝑞𝑖 𝑖 .

20

Pokud 𝛼𝑖 = 0 a zároveň 𝛾𝑖 < 𝑞𝑖 , pak z Johansenovy uţitkové funkce obdrţíme lineární výdajový systém: 𝑞𝑖 = 𝛾𝑖 +

𝛽𝑖 𝑝𝑖

𝑀−

𝑝𝑘 𝛾𝑘 , který je pojmenovaný „lineární“ protoţe

𝑘

je lineární v příjmu 𝑀 i v cenách 𝑝, nikoliv však v parametrech. Lineární výdajový systém je jeden z nejvíce pouţívaných systémů. Prvně byl aplikovaný R. Stonem (1954). Více se na tento systém zaměříme později. V této souvislosti je vhodné zmínit se o tom, ţe Johansenovu funkci lze poměrně snadno rozvinout pro potřeby silné separability ve skupinách, a to zápisem: 𝑢=

𝑢 𝐹 (𝑞 𝐹 )−𝛾 𝐹 𝛼 𝐹𝑖 , 𝛽𝐹

𝛽𝐹 𝐹 𝛼 𝐹

(1.33)

kde 𝑢𝐹 je definováno vztahem (1.29), a 𝑖 odkazuje na statek ve skupině 𝐹.

3.5.2 Poptávkové funkce odvozené z nepřímé uţitkové funkce Při odvozování poptávkových systémů zaloţených na nepřímých uţitkových funkcích můţeme začít z obecného vyjádření nepřímé uţitkové funkce, zvolené ve tvaru: 𝛽 𝑖 𝛼 𝑖 −1 𝑖 𝛼𝑖

𝜓(𝑀, 𝑝) =

kde 𝑧𝑖 =

𝑝𝑖 , 𝑀−𝑀0

𝑀0 =

𝑘

𝛾𝑘 𝑝𝑘𝑣

1 𝑣

𝑧𝑖 − 𝜌𝑖

𝛼𝑖 𝛼 𝑖 −1

,

(1.34)

< 𝑀 , navíc 𝛼𝑖 < 1, 𝛽𝑖 > 0, 𝜌𝑖 < 𝑧𝑖 a 𝛾𝑖 jsou konstanty.

Pokud 𝛼𝑖 = 0 , pak příslušný člen v (1.34) je nahrazen svou limitou pro 𝛼𝑖 → 0 , tedy 𝛽𝑖 ln(𝑧𝑖 − 𝜌𝑖 ). Aplikujeme Royovu identitu na 𝜓(𝑀, 𝑝), pak výsledné poptávkové rovnice jsou následující:

𝑞𝑖 = 𝛾𝑖

𝑀0 1−𝑣 𝑝𝑖

1

𝛽 𝑖 𝑧 𝑖 −𝜌 𝑖 𝛼 𝑖 −1

+

1

𝛼 𝑘 −1 𝑝 𝑘 𝑘 𝛽 𝑘 𝑧 𝑘 −𝜌 𝑘

(𝑀 − 𝑀0 ).

(1.35)

Vyjádření (1.34) se zuţuje na nepřímý addilog výdajový systém15 od H.S. Houthakkera (1960) pro 𝜌𝑖 = 0 a 𝛾𝑖 = 0, z čehoţ plyne 𝑀0 = 0. Pak se (1.35) změní na

𝑞𝑖 =

15

1 𝑝 𝑖 𝛼 −1 𝑖 𝑀 𝛼𝑘 𝑝 𝑘 𝛼 −1 𝑘 𝑘 𝛽𝑘 𝑀

𝛽𝑖

.

Nepřímý addilog výdajový systém má nepřímou uţitkovou funkci ve tvaru: 𝑛 𝑀 𝛼𝑘 𝜓 𝑀, 𝑝 = 𝛽𝑘 . 𝑝𝑘 𝑘=1

21

(1.36)

Tento systém byl navrţen poprvé C.E.V. Leserem (1941) a byl značně vyuţíván W.H. Somermeyerem (1956, 1962, 1972, 1973). Poznamenejme ještě, ţe v (1.35) jsou parametry 𝛽𝑖

identifikovatelné

pouze

jako

konstanty

proporcionality,

𝑖

𝛽𝑖 = 0 .

Ve skutečnosti, kdyţ 𝜌𝑖 = 0, 𝑣 = 1 a 𝛼𝑖 = 𝛼 a 𝛼𝑖 = 0 obdrţíme lineární výdajový systém. Nicméně pro 𝑣 ≠ 1 obdrţíme obecnější výdajový systém, coţ odpovídá nahrazení 𝛾𝑖 za 𝛾𝑖

𝑀0 1−𝑣 . 𝑝𝑖

Definování (1.35) obsahuje 4𝑛 parametrů, ačkoliv nám to přináší flexibilitu, poznamenejme, ţe ceny jiných statků vstupují do poptávkových rovnic pouze ve formě indexů a deflátorů. R.A. Pollak (1972) nazval tuto vlastnost „obecnou aditivní separabilitou“.

3.5.3 Přímo specifikované poptávkové funkce Všeobecná aditivní separabilita16 je také vlastností poptávkových funkcí C. Fourgeauda a A. Natafa (1959): 𝑞𝑖 = 𝑞𝑖

𝑀 𝑝𝑖 , 𝑃 𝑃

,

(1.37)

kde 𝑃 je funkce cen, která je homogenní stupně jedna. Dříve zmíněný lineární výdajový systém je zřejmě typu (1.37) s 𝑃 =

𝑘

𝑝𝑘 𝛾𝑘 . Silným článkem Fourgeaud-Natafova přístupu

je flexibilita, která dovoluje zavedení vlivu celkových výdajů 𝑀, a nedostatkem jsou omezení kladená na cenové vlivy. Jiné způsoby definování poptávkových funkcí se pouţívaly tak, aby nevytvářely příliš omezené vztahy hned ze začátku. Nicméně, zavádění různých podmínek vede k zúţení moţností interakcí. Jedním dobře známým způsobem omezující specifikace poptávkové funkce je vyjádření výdajů na statky jako lineární funkci celkových výdajů a cen. Výsledkem pouţití podmínek homogenity, součtovatelnosti a symetrie je lineární výdajový systém, který zobrazuje silnou separabilitu . Více méně podobný příběh lze vypovědět o log-lineárních 17 poptávkových funkcích. H. Theil (1965) navrhnul variantu log-lineární specifikace, která se následně stala známou jako Rotterdamský model. V Rotterdamském modelu jsou závislé proměnné 𝑤𝑖𝑡 ∆ ln 𝑞𝑖𝑡 ,

16

Funkce 𝐹(𝑥, 𝑦) je aditivně separabilní pokud lze psát 𝐹 𝑥, 𝑦 = 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑦) pro nějaké

jednorozměrné funkce 𝑓 𝑥 a 𝑞(𝑦). Pro aditivně separabilní funkci 𝐹(𝑥, 𝑦) platí:

𝜕2𝐹

𝜕𝑥𝜕𝑦

= 0.

Příklad log-lineární poptávkové funkce: ln 𝑞𝑥 = 𝛽0 + 𝛽𝑥 ln 𝑝𝑥 + 𝛽𝑦 ln 𝑝𝑦 + 𝛽𝑀 ln 𝑀, kde 𝛽𝑥 je cenová elasticita, 𝛽𝑦 je kříţová cenová elasticita a 𝛽𝑀 je důchodová elasticita. Log-lineární poptávková funkce implikuje konstantní cenovou elasticitu poptávky. 17

22

1

kde 𝑤𝑖𝑡 = 2 (𝑤𝑖𝑡 + 𝑤𝑖,𝑡−1 ). Všechny obvyklé restrikce plus ty, které vyplývají ze separability, mohou být snadno vyjádřeny pomocí parametrů modelu. Rotterdamskému modelu se budeme věnovat více později.

3.6 Empirické srovnání poptávkových systémů Zřejmě ne všechny změny v pozorované poptávce mohou být vysvětleny pouze změnou v důchodech nebo v cenách jednotlivých komodit. Na přístupy k poptávkovým systémům bychom se měli dívat více jako na pokus popsat vliv, jaký mají změny důchodu a cen, neţli se snaţit důkladně vysvětlit změny poptávky. Někteří autoři se pokoušeli srovnávat empirické provedení různých tvarů poptávkových systémů. R.W. Parks (1969) pouţíval průměrnou hodnotu nepřesného měření při srovnávání interpretací Rotterdamského modelu, nepřímého addilog výdajového systému a lineárního výdajového modelu, s a bez lineárních trendů v 𝛽𝑖 a v 𝛾𝑖 , a také zkoumal jednoduchý model předpokládající nulové meziroční změny. Pouţil data odpovídající poptávce po spotřebních statcích

v osmi

švédských

odvětvích

v letech

1862-1955.

Z výzkumu

vyplynulo,

ţe Rotterdamský model výrazně převyšuje nad ostatními modely. Nepřímá addilog výdajová funkce se ukázala být jen málo lepší neţ lineární výdajový systém, kde zavedení trendů neovlivnilo dramaticky výsledky. Stejný výsledek plyne i z porovnávání 𝑅 2 pro jednotlivé rovnice. A.S. Deaton (1974) pouţil britská data pro devět skupin statků za léta 1900-1970. Vyuţil hodnoty pravděpodobnostní funkce maximalizované pro různé modely. Rotterdamský model opět dominoval nad přímým addilog výdajovým systémem, nad lineárním výdajovým systémem a nad modelem s nulovou substituční maticí, v tomto pořadí. Součtovatelná verze Rotterdamského modelu je horší neţ lineární výdajový systém, nicméně, lepší neţ model s nulovou substituční maticí. H. Theil (1975) cituje S. Goldmana (1971), který aplikoval průměrnou informaci nepřesného měření na predikci, která se vztahovala k roční britské poptávce po čtyřech skupinách statků v období 1950-1955. Srovnával tři modely: lineární výdajový systém, nepřímý addilog výdajový systém a součtovatelnou variantu Rotterdamského modelu; pouţil data z období 1900-1938. Rotterdamský model se ukázal být vhodnější neţ nepřímý addilog výdajový model, který byl ale lepší neţ lineární výdajový model. J.M. Alston a J.A. Chalfant ve své práci „A Test of the Almost Ideal and Rotterdam Models“ z roku 1993 srovnávají výsledky aplikace Rotterdamského modelu a lineární

23

aproximace AIDS modelu na čtvrtletních datech z let 1967-1988 pro hovězí, kuřecí, vepřové a rybí maso ve Spojených státech. Několika způsoby definují reálný příjem spotřebitele, na základě této diferenciace přichází s výsledky, ţe alternativní testy se více liší pro AIDS neţ pro Rotterdamský model. Proto se jim jeví jako více vhodné pouţití Rotterdamského modelu. [1] W. Barnett a O. Seck vydali roku 2008 práci s názvem „Rotterdam Model versus Almost Ideal Demand Systém: Will the Best Specification Please Stand Up?“ Aplikují zde Rotterdamský model a lineární aproximaci AIDS modelu na datech, která jsou generována pro tři statky na základě kvadratické uţitkové funkce. Operují se třemi cenovými indexy. S vyuţitím techniky Monte Carlo dospěli k výsledkům, ţe oba modely, tedy Rotterdamský i lineární AIDS, fungují lépe, kdyţ je substituce mezi statky nízká. Čím je vyšší hladina agregace, tím je niţší elasticita substituce mezi agregáty. Je-li substituce mezi všemi statky velmi vysoká, pak lineární AIDS funguje lépe neţ Rotterdamský model. Při snaze o zavedení konzistentních agregátů funguje lépe Rotterdamský model. V případě slabě reparabilních skupin můţe lineární AIDS model klasifikovat substituty jako komplementy nebo přecenit elasticity substitucí mezi jednotlivými komoditami. [3] Tyto výzkumy většinou potvrzují, ţe v empirickém provedení vítězí Rotterdamský model nad konkurenčními modely. Nyní zbývá otázka, jak významná je nadřazenost Rotterdamského modelu, a jaký rozsah je v důsledku rozdílu počtu volných parametrů. Má tedy smysl zopakovat srovnání modelů pro jiná data, o to se pokusíme v praktické části této práce.

3.6.1 Empirické testy teoretických restrikcí Pro ověření empirické platnosti homogenity, symetrie a podmínky nezápornosti a také předpokladu silné separability preferencí bylo provedeno mnoho prací. Homogenita v testování obstojí snadněji pro malé modely, neţ pro velké, kde obvykle dochází k silnému zamítnutí. Symetrie Slutského substituční matice je potvrzena snadněji neţ homogenita. Při dané symetrii a homogenitě se nezdá být negativita semidefinivní Slutského substituční matice velmi omezující. Silná separabilita nebo součtovatelnost se zdají být příliš limitující kdykoli je potvrzena empirická platnost. Není jednoduché vysvětlit tato zamítnutí. Negativní výsledky pro homogenitu jsou zneklidňující, jelikoţ se v několika ohledech jeví jako slabé omezení. Důvodem zamítnutí můţe být také nepřítomnost dynamických prvků. Závěrem poznamenejme, ţe má smysl nepouţívat poptávkové systémy, kde všechny restrikce jsou zahrnuty hned ze začátku, a je tedy těţko testovatelná empirická platnost. Můţeme se také pokusit lokalizovat zdroj potíţí. Testy, jejichţ proces testuje celou sadu

24

omezení v jeden okamţik, jsou obvykle velmi sensitivní na jedinou silnou odchylku oproti nulové hypotéze. Pokud je pro jedinou rovnici nulová hypotéza homogenity zmítnuta, pak je zamítnuta pro celý systém. I specifická povaha poptávky po komoditě nebo data mohou být příčinou negativního výsledku.

25

4 Lineární výdajový systém 4.1 Specifikace lineárního výdajového systému Autory lineárního výdajového systému (Linear Expenditure System) jsou Richard Stone a Roy C. Geary, 1950-1954. Prvotní impulsy, které vedly ke vzniku lineárního výdajového systému, přicházely z výzkumů spotřebitelských výdajů. Klíčovým rysem takového výzkumu je, ţe není zaměřen pouze na poptávku po individuálních komoditách anebo skupinách komodit existujících v jakési izolaci, nýbrţ poptávka po všech komoditách nakupovaných spotřebiteli klasifikovaných v několika skupinách. Pouţívejme jiţ zavedená označení, tedy nechť

𝑝

je cenový vektor a 𝑞 je vektor mnoţství komodit a nechť 𝑀 ≡ 𝑝´𝑞 jsou celkové výdaje spotřebitele. Stone a Geary vyuţili tvar uţitkové funkce: 𝑈 =

𝑖

𝑞𝑖 + 𝑐𝑖

𝑏𝑖

. Pro 𝑐𝑖 = 0 se tato

funkce redukuje na Cobb-Douglasovu funkci. Uvaţujme dále vztah 𝑝𝑞 = 𝑝𝑞 + 𝑏(𝑀 − 𝑝´𝑞 ),

(L1)

kde 𝑞 je vektor mnoţství nakupovaných statků, které spotřebitel pokládá za statky nezbytné, lze uvaţovat o statcích nutných pro ţivotní standard. Vektor 𝑏 je vektor konstant, které v součtu dají jedna. Pak ze vztahu (L1) plyne, ţe výdaje na i-tou komoditu jsou rovny součtu nezbytné spotřeby, 𝑞𝑖 , vyhodnocené v běţných cenách, a části, 𝑏𝑖 , zbylého příjmu spotřebitele, (měřeného celkovými výdaji, 𝑀 , menšími o výdaje vydané na spotřebu nezbytných statků, 𝑝´𝑞 ). Předpokládejme, ţe platí 𝑀 > 𝑝´𝑞 , pak spotřebitel v první řadě vyuţije svůj běţný příjem k získání nezbytných komodit, 𝑞, a teprve pak přerozdělí svůj zbývající důchod mezi ostatní dostupné komodity a to ve fixním poměru daném vektorem b. Jestliţe spotřebitel přerozděluje svůj důchod výhradně ve fixním poměru, tedy jestliţe 𝑞 je rovno nulovému vektoru, pak se vztah (L1) zúţí na upravený tvar lineární výdajové funkce: 𝑝𝑞 = 𝑏𝑀,

(L2)

kde součin 𝑝𝑞 jsou výdaje na jednotlivé komodity nebo koše komodit. Z rovnice (L2) plyne, ţe kaţdý z těchto výdajů je proporcionální příjmu spotřebitele, 𝑀. Rovnici (L1) lze také zapsat takto 𝑞 = 𝑝−1 𝑏𝑀 + (𝑏𝑖´ − 𝐼)𝑐𝑝 ,

(L3)

kde 𝑖 je jednotkový vektor, 𝐼 je jednotková matice a platí 𝑐 = −𝑞 . Pokud rovnici (L3) vynásobíme vektorem 𝑝, pak získáme systém, ve kterém jsou výdaje na individuální komodity vyjádřeny jako lineární funkce celkových výdajů a cen. Takový systém 𝑝𝑞 = 𝑏𝑀 + 𝑏𝑖´ − 𝐼 𝑐𝑝 nazýváme lineární výdajový systém. Právě tento systém je nejvíce všeobecný lineární výdajový systém, který je kompatibilní s podmínkami zavedenými pro soustavy poptávkových rovnic: 26

1. Součtovatelnost: 𝑝´𝑞 ≡ 𝑀.

(L4)

2. Homogenita: 𝑞 −1 𝑎𝑀 + 𝐴𝑝 ≡ 018.

(L5)

kde 𝑎 je vektor mnoţství vzhledem k příjmu, 𝐴 je matice mnoţství vzhledem k cenám. 3. Symetrie Slutského substituční matice: 𝑆 ≡ 𝑆´,

(L6)

kde matice 𝑆 je definována pomocí vztahu 𝑆 = 𝑞 −1 (𝑎𝑖´ + 𝐴𝑞 −1 )𝑀. 4. Negativita: 𝑦´𝑆𝑦 < 0 pro všechna 𝑦 ≠ 𝛼𝑝, kde 𝛼 je reálný skalár; jinými slovy: matice S nemá plnou hodnost V publikaci: „Linear Expenditure Systems and Demand Analysis: An Application to the Pattern of British Demand“ R. Stone dokázal, ţe přidání podmínek (L4),(L5) a (L6) k systému (L3) je opravdu nejvšeobecnější vyjádření výdajového systému. Při dokazování pouţije ještě více všeobecné vyjádření výdajového systému (L3) a to konkrétně tvar 𝑝𝑞 = 𝑏𝑀 + 𝐵𝑝.

(L7)

Během důkazu platnosti součtovatelnosti dojde k závěru, ţe musí platit 𝑖´𝑏 = 1 a 𝑖´𝐵 = 0´. Při dokazování platnosti podmínek (L5) a (L6) získá nejvšeobecnější tvar matice 𝐵, který je nezávislý na 𝑝, 𝐵 = (𝑏𝑖´ − 𝐼)𝑐 ,

(L8)

kde 𝑐 je vektor konstant. Soustava rovnic daná vztahem (L7) s maticí 𝐵 určenou vztahem (L8) neumí popsat systém, který obsahuje podřadné nebo komplementární skupiny komodit. Nechť

platí

𝑆 = 𝑞 −1 𝑝−1 𝑏𝑖´ + 𝐵 − 𝑝−1 (𝑏𝑀 + 𝐵𝑝) 𝑞 −1 𝑀.

A

také

platí

𝑆 = 𝑞 −1 𝑝−1 𝑏𝑖´ + 𝐵 − 𝑞 𝑞−1 𝑀 . Řekněme, ţe pro 𝑖𝑗 -tý prvek matice 𝑆, 𝑠𝑖𝑗 lze napsat 𝑠𝑖𝑗 =

𝑏 𝑖 −𝛿 𝑖𝑗 𝑏 𝑗 𝑀 𝑝 𝑖 𝑞 𝑖 𝑝𝑞 𝑗

(𝑀 + 𝑝´𝑐) , kde 𝛿𝑖𝑗 je Kroneckerova delta. Pro praktické účely lze

předpokládat, ţe zbylý příjem, (𝑀 + 𝑝´𝑐), je kladný. Pokud je 𝑠𝑖𝑖 negativní, coţ podle teorie musí být, pak tedy platí 0 < 𝑏𝑖 < 1. Coţ vylučuje podřadné statky a tedy 𝑏𝑖 𝑏𝑗 je nevyhnutelně kladné, z čehoţ plyne, ţe všechny prvky matice 𝑆 mimo diagonálu musí být kladné. Coţ vylučuje komplementární (doplňkové) statky.[20]

18

𝑎 = 𝑝 −1 𝑏, 𝐴 = 𝑝−1 𝐵 − 𝑝 −1 𝑏𝑀 + 𝐵𝑝

27

4.1.1 Odhad parametrů Při aplikacích lineárního výdajového systému se budeme zajímat o všeobecný lineární model výdajových funkcí19 daný vztahem (L7) s maticí 𝐵 danou vztahem (L8) 𝑝𝑞 = 𝑏𝑀 + 𝐵𝑝

(L7)

𝐵 = (𝑏𝑖´ − 𝐼)𝑐.

(L8)

Upravený model výdajových rovnic, korespondující s modelem daným vztahem (L2), je dán, pokud 𝑐 je nulový vektor. Upravený a všeobecný tvar lineárních výdajových systémů lze aplikovat na individuální komodity; a kombinací těchto modelů lze získat tzv. smíšený systém, který ale nesplňuje předpoklad buď (L4) nebo (L6). Předpokládáme-li, ţe 𝑐 je nulový vektor, pak 𝐵 ze vztahu (L7) je nulová matice a vektor 𝑏 lze odhadnout metodou nejmenších čtverců (OLS) regresí 𝑝𝑖 𝑞𝑖 na výdaje 𝑀 v kaţdé z 𝑚 rovnic. Pokud 𝑐 není nulový vektor, pak odhady parametrů v rovnici (L7) nelze provést uváţením jedné rovnice za druhou, neboť kaţdý prvek vektoru 𝑐 vstupuje do kaţdé rovnice. Proto bude výhodné pouţít metodu iterační. Provizorní odhad parametru 𝑏, označme jej 𝑏 ∗ , lze získat tak, jak jsme uvedli výše; a vztah (L7) s maticí 𝐵 danou vztahem (L8) lze zapsat v období 𝑡 (𝑡 = 1, … , 𝑛) ve formě 𝑦𝑡 = 𝑋𝑡 𝑐 + 𝜀𝑡 ,

(L9)

𝑦𝑡 ≡ (𝑝𝑡 𝑞𝑡 − 𝑏 ∗ 𝑀𝑡 ),

(L10)

𝑋𝑡 ≡ (𝑏 ∗ 𝑖´ − 𝐼)𝑝𝑡 ;

(L11)

kde

vektor 𝜀𝑡 označuje náhodné odchylky. Nezdá se být neřešitelné odhadnout prvky 𝑐 metodou minimalizování neváţené sumy čtverců odchylek a to ve všech rovnicích a ve všech časech. Nechť tedy 𝑦 ≡ 𝑦1 , … , 𝑦𝑛 , 𝑋 ≡ 𝑋1 , … , 𝑋𝑛 , 𝜀 ≡ 𝜀1 , … , 𝜀𝑛 , pak celá mnoţina 𝑚𝑛 rovnic pro 𝑚 komodit napříč 𝑛 časových period lze zapsat ve formě: 𝑦 = 𝑋𝑐 + 𝜀.

(L12)

Pak metodou nejmenších čtverců získaný odhad 𝑐 ∗ parametru 𝑐 je dán 𝑐 ∗ = (𝑋´𝑋)−1 𝑋´𝑦.

19

Pro statistické účely lze psát kombinaci (L7) a (L8) ve tvaru: 𝑝𝑖 𝑞𝑖 = 𝑏𝑖 𝑀 +

28

(L13)

𝑐𝑖 𝑝𝑖 − 𝑐𝑖 𝑝𝑖 .

S tímto odhadem parametru 𝑐 je nyní moţno formulovat rovnice 𝑤𝑡 = 𝑍𝑡 𝑏 + 𝜖𝑡 ,

(L14)

𝑤𝑡 ≡ 𝑝𝑡 (𝑞𝑡 + 𝑐 ∗ ),

(L15)

𝑍𝑡 ≡ 𝑀𝑡 + 𝑐 ∗´ 𝑝𝑡 𝐼

(L16)

kde

a vektor 𝜖𝑡 označuje náhodné odchylky. Nyní budeme formulovat nový odhad 𝑏, označme jej 𝑏 ∗∗ , uveďme proto rovnice 𝑤 = 𝑍𝑏 + 𝜖

(L17)

𝑤 ≡ 𝑤1 , … , 𝑤𝑛 , 𝑍 ≡ 𝑍1 , … , 𝑍𝑛 , 𝜖 ≡ 𝜖1 , … , 𝜖𝑛 . Pak tento nový odhad nabývá formy 𝑏 ∗∗ = (𝑍´𝑍)−1 𝑍´𝑤, kde 𝑍´𝑍 =

𝑡

𝑍𝑡2 .

Tudíţ při odhadování parametru 𝑏, na rozdíl od parametru 𝑐, jsou skupiny komodit uvaţovány jedna po druhé. S tímto novým odhadem 𝑏 lze znovu odhadnout 𝑐. A tímto iteračním postupem pokračovat do odhadnutí parametru 𝑏 a 𝑐 s poţadovanou přesností. Odhad parametrů ve smíšeném systému neukrývá další nástrahy. Dodatečné kritéria můţeme vyuţít při rozhodování o tom, pro které komodity je vhodné pouţít upravený model a pro které všeobecný model. Všeobecný model pouţijeme pro takové komodity, které tvoří podmnoţiny s cenově provázanými statky. Zaprvé, vypočítáme 𝑏𝑖 pro komodity, které budou popsány upraveným modelem. Zadruhé, od výdajů 𝑀 odečteme výdaje vydané na tuto podmnoţinu, získáme tak 𝑀∗ . Vztah daný rovnicí (L7) s maticí 𝐵 danou vztahem (L8) je vhodný pro zbývající komodity s 𝑀∗ (na místo 𝑀) bez ohledu na ceny první skupiny komodit popsané v jednoduchém modelu. Lze očekávat, ţe všeobecný tvar ( 𝑝𝑞 = 𝑝𝑞 + 𝑏(𝑀 − 𝑝´𝑞 ) ), který dovoluje kaţdé jednotlivé ceně, aby byla uvedena do kaţdé poptávkové funkce, bude dávat lepší výsledky, neţ upravená forma ( 𝑝𝑞 = 𝑏𝑀) . Nicméně, všeobecný tvar výdajových systémů nedokáţe popsat situace, ve kterých jsou poptávaná mnoţství pod určitou hladinou. Tato omezení všeobecné formy lze překročit, pokud rozšíříme teorii o limitování kvantit (omezování mnoţství). Zdá se, ţe zavedením smíšených systémů, (ve kterých jsou některé komodity popsány upravenou formou a zbylé jsou popsány všeobecnou formou výdajových systémů) získáme lepší popis aktuálního chování, neţ v předchozím všeobecném modelu. 29

5 Téměř dokonalý výdajový systém - AIDS Autory téměř dokonalého výdajového systému (Almost Ideal Demand System - AIDS) jsou Angus Deaton a John Muellbauer (1980). Popularita AIDS modelu se zakládá především na těchto dvou vlastnostech: jedná se o velmi flexibilní tvar výdajového systému a navíc je tento systém kompatibilní s agregací spotřebitelů, druhou výhodou modelu je relativní snadnost odhadu a interpretace. Model AIDS předpokládá moţnost aproximace (do prvního stupně přesnosti) libovolného výdajového systému svou vlastní modelovou specifikací; navíc také přesně splňuje poţadované vlastnosti preferenční strukruty; dokáţe dokonale agregovat jednotlivé spotřebitele bez odvolávání se na Engelovu křivku; má vhodný tvar konsistentní s daty rozpočtového omezení individuálních domácností. Pomocí lineárních omezení uvalených na fixní parametry lze pomocí modelu AIDS testovat homogenitu i symetrii výdajového schématu. [11]

5.1.1 Specifikace AIDS modelu A. Deaton a J. Muellbauer ve svém návrhu vlastního výdajového systému pouţívají specifické řazení preferencí, známé také jako PIGLOG, které dovoluje přesně agregovat spotřebitele. PIGLOG (Price Independent Generalized Logaritmic) v sobě kombinuje PIGL 20 (Price Independent Generalized Linear) výdajový systém, z něhoţ je vyvozen tvar uţitkové funkce a TRANSLOG21 (Transcendental Logaritmic) výdajový systém, ze kterého

je

pouţit tvar cenové indexní funkce. PIGLOG zobrazuje trţní poptávku pomocí reprezentativního racionálně chovajícího se spotřebitele. Preference spotřebitele jsou vyjádřeny prostřednictvím výdajové funkce, 𝑒(𝑢, 𝑝), která definuje minimální náklady nutné pro získání specifické úrovně uţitku při daných cenách. PIGLOG je definován takto: log 𝑒 𝑢, 𝑝 = 1 − 𝑢 log 𝑎(𝑝) + 𝑢 log 𝑏(𝑝) , kde funkce 𝑎(𝑝) a 𝑏(𝑝) jsou jednotlivé náklady na ţivotní minimum respektive na absolutní blahobyt spotřebitele. Dále nechť log 𝑎 𝑝 = 𝑎0 + a také nechť log 𝑏 𝑝 = log 𝑎 𝑝 + 𝛽0 log 𝑒(𝑢, 𝑝) = 𝛼0 +

𝑘

𝑘

𝑘

1

𝛼𝑘 log 𝑝𝑘 + 2

𝑘

𝑗

∗ 𝛾𝑘𝑗 log 𝑝𝑘 log 𝑝𝑗

𝛽

𝑝𝑘 𝑘 pak AIDS výdajová funkce má tvar 1

𝛼𝑘 log 𝑝𝑘 + 2

𝑘

𝑗

∗ 𝛾𝑘𝑗 log 𝑝𝑘 log 𝑝𝑗 + 𝑢𝛽0

𝑘

𝛽

𝑝𝑘 𝑘 ,

(A1)

kde 𝛼𝑖 , 𝛽𝑖 a 𝛾𝑖𝑗∗ jsou parametry modelu, 𝑝 je vektor cen komodit, 𝑢 je uţitek. Výdajová funkce 𝑒 𝑢, 𝑝

je lineárně homogenní v cenách 𝑝 za předpokladu, ţe platí

𝑖

1

PIGL výdajová funkce: 𝑒 𝑢, 𝑝 = 1 − 𝑢 𝑎(𝑝)𝛼 + 𝑢𝑏(𝑝)𝛼 𝛼 , 𝛼 > 0. 1 21 Cenová funkce typu TRANSLOG: log 𝑃 = 𝛼0 + 𝑘 𝛼𝑘 log 𝑝𝑘 + 𝑗 20

2

30

𝑘

𝛾𝑘𝑗 log 𝑝𝑘 log 𝑝𝑗 .

𝛼𝑖 = 1 ,

𝑗

∗ 𝛾𝑘𝑗 =

∗ 𝑘 𝛾𝑘𝑗

=

𝑗

𝛽𝑗 = 0. Uţitek takto pojatý nabývá hodnot mezi jedničkou a nulou; pro

uţitek blízký nule platí, ţe spotřebitel spotřebovává statky v takovém mnoţství, které uspokojuje jakési ţivotní minimum, dosahuje-li spotřebitel blahobytu, pak se jeho uţitek blíţí k jedničce. Fundamentální vlastností výdajové funkce je, ţe jejím derivováním podle ceny získáme poptávaná mnoţství jednotlivých statků (Shephardovo lemma): 𝜕𝑒 (𝑢,𝑝) 𝜕𝑝 𝑖

= 𝑞𝑖 .

Poptávkové funkce lze odvodit ze vztahu (A1), a to aplikací Shephardova lemmatu; pak obě strany rovnice vynásobíme

𝑝𝑖 𝑒(𝑢,𝑝)

a dospějeme ke vztahu

𝜕 log 𝑒(𝑢,𝑝) 𝜕 log 𝑝 𝑖

𝑝 𝑞

𝑖 𝑖 = 𝑒(𝑢,𝑝) = 𝑤𝑖 , kde 𝑤𝑖

označuje podíl rozpočtu spotřebitele vynaloţený na 𝑖-tý statek. Aplikujeme-li tento poznatek na (A1), pak dostaneme vztah 𝑤𝑖 = 𝛼𝑖 +

𝑗

𝛾𝑖𝑗 log 𝑝𝑗 + 𝛽𝑖 𝑢𝛽0

𝑘

𝛽

𝑝𝑘 𝑘 ,

(A2)

1

kde pro koeficienty 𝛾𝑖𝑗 platí: 𝛾𝑖𝑗 = 2 (𝛾𝑖𝑗∗ + 𝛾𝑗𝑖∗ ). Maximalizuje-li spotřebitel svou uţitkovou funkci, pak můţe být výdajová funkce, 𝑒 𝑢, 𝑝 , invertována tak, abychom získali nepřímou uţitkovou funkci, 𝜓(𝑀, 𝑝). Aplikováním této informace na vztah (A1) a substitucí výsledku do vztahu (A2) získáme poţadované AIDS Marshallovské poptávkové funkce ve tvaru rozpočtové účasti 𝑤𝑖 = 𝛼𝑖 +

𝑗

𝛾𝑖𝑗 log 𝑝𝑗 + 𝛽𝑖 log

𝑀 𝑃

,

(A3)

kde P je cenový index definován jako cenová funkce typu TRANSLOG takto log 𝑃 = 𝛼0 +

𝑘

1

𝛼𝑘 log 𝑝𝑘 + 2

𝑘

𝑗

𝛾𝑘𝑗 log 𝑝𝑘 log 𝑝𝑗 .

(A4).

Parametr 𝛾𝑖𝑗 v (A3) vyjadřuje změnu podílu 𝑖-tého statku na rozpočtu spotřebitele způsobenou změnami cen, a parametr 𝛽𝑖 v (A3) značí změnu podílu 𝑖-tého statku na rozpočtu spotřebitele způsobenou změnami reálných výdajů; 𝛽𝑖 > 0 identifikuje statky luxusní, a 𝛽𝑖 < 0 statky nezbytné. Nechť tedy 𝑃 je cenový vhodně definovaný index, pak

𝑀 𝑃

značí reálné výdaje. Pokud

budeme uvaţovat ve vztahu (A2) 𝑝 = 1 a 𝑢 = 0 , vidíme, ţe 𝛼𝑖 reprezentuje výdajovou účast rozpočtu na 𝑖-tý statek, kdyţ výdaje jsou na minimální úrovni. Nepřímou užitkovou funkci AIDS výdajového systému můţeme zapsat jako: 𝜓 𝑀, 𝑝 =

log 𝑀−log 𝑃 𝛽0

31

𝛽𝑘 𝑛 𝑖=1 𝑝 𝑘

.

Model AIDS musí také splňovat omezení kladená na poptávkové systémy: homogenita 𝑛 𝑖=1 𝛽𝑖

poptávkové funkce je zajištěna díky

= 0; Slutského podmínka symetrie je vyjádřena

vztahem (A7) vyjadřujícím symetrii koeficientů 𝛾𝑘𝑗 v TRANSLOG cenové funkci. Při splnění podmínek (A5), (A6) a (A7), rovnice (A3) reprezentuje systém poptávkových funkcí, které dávají při součtu celkové výdaje ( 𝑤𝑖 = 1), jsou homogenní stupně nula v cenách a celkovém výdaji a které splňují Slutského symetrii substituční matice. 𝑛 𝑖=1 𝛼𝑖

𝑛 𝑖=1 𝛽𝑖

= 1, 𝑗

=0

(A5)

𝛾𝑖𝑗 = 0

(A6)

𝛾𝑖𝑗 = 𝛾𝑗𝑖

(A7)

Pokud budeme rovnice (A3) a (A4) povaţovat za výchozí hypotézu, můţeme testovat vliv omezení (A5)-(A7); tato omezení jsou vyţadována proto, aby byl model konzistentní s teorií poptávky. Omezení (A5+A6) nezývejme omezeními součtovatelnosti, coţ má zajistit

𝑤𝑖 ≡ 1.

Homogenita poptávkové funkce vyţaduje dodrţení omezení (A6), které lze testovat rovnici po rovnici. Slutského symetrie je dodrţena rovnicí (A3) právě tehdy, kdyţ platí omezení (A7). Negativita nelze zajistit ţádným omezením uvaleným na parametry. Ale lze ověřit pro dané odhady kalkulací vlastní hodnoty Slutského substituční matice 𝑠𝑖𝑗 . Ve skutečnosti je jednodušší nepouţít

𝑠𝑖𝑗 , ale pouţít

𝑘𝑖𝑗 =

𝑝 𝑖 𝑝 𝑗 𝑠𝑖𝑗 𝑀

,

𝑘𝑖𝑗 = 𝛾𝑖𝑗 + 𝛽𝑖 𝛽𝑗 log

𝑀 𝑃

− 𝑤𝑖 𝛿𝑖𝑗 + 𝑤𝑖 𝑤𝑗 , kde 𝛿𝑖𝑗

je Kroneckerovo delta 22 . Kromě této podmínky negativity lze všechny podmínky vyjádřit lineární formou omezující pouze parametry. Změny v reálných výdajích se zrcadlí v koeficientu 𝛽𝑖 , který dává dohromady nulu, je kladný pro luxusní statky a negativní pro statky nezbytné.

5.1.2 Linearizovaný AIDS model Při kvantifikaci modelu budeme čelit problému nelinearity cenového indexu ve vztahu (A4). Ačkoliv to nepředstavuje příliš velký problém pro samostatný odhad rovnice, tak v případě obsáhlejšího systému s dlouhými časovými řadami by to znamenalo déle trvající výpočty. Při hledání vhodné aproximace cenového indexu došli Deaton a Muellbauer (1980) ke Stoneovu cenovému indexu 𝑃∗ = log 𝑃 = 𝛼0 +

𝑛 𝑘=1 𝑤𝑘

𝑛 𝑘=1 𝑤𝑘

log 𝑝𝑘 . Vztah (A4) tedy nahradíme výrazem

log 𝑝𝑘 , který lze vyjádřit v kaţdém časovém okamţiku. Dostáváme

se tak k tzv. lineárnímu téměř dokonalému poptávkovému systému (LAIDS), ten získáme substituováním

𝑃∗ =

𝑛 𝑘=1 𝑤𝑘

log 𝑝𝑘 do vztahu (A3) 𝑤𝑖 = 𝛼𝑖 +

𝑗

𝛾𝑖𝑗 log 𝑝𝑗 + 𝛽𝑖 𝑙𝑜𝑔

𝑀 𝑃

tedy:

22

Kroneckerovo delta je funkce dvou proměnných. Tato funkce se rovná 1, kdyţ se proměnné rovnají, a 0 v ostatních případech.

32

𝑤𝑖 = 𝛼𝑖∗ +

𝑗

𝛾𝑖𝑗 log 𝑝𝑗 + 𝛽𝑖 𝑙𝑜𝑔

𝑀 𝑃∗

.

5.1.3 Obecnost modelu AIDS výdajová funkce má tu příznivou vlastnost, ţe má velmi flexibilní tvar, z čehoţ plyne, ţe poptávkové funkce odvozené z ní jsou aproximací prvního stupně libovolné skupiny poptávkových funkcí odvozených z chování spotřebitele maximalizující uţitek. Tedy, AIDS je stejně obecný jako jiné flexibilní formy, jako je například Rotterdamský model. Všeobecnost modelu s sebou nicméně nese určité problémy. Model obsahuje mnoho parametrů a na většině datových vzorků pravděpodobně nebudou zcela korektně určitelné. Existují ale postupy pro eliminaci nepotřebných parametrů. V AIDS modelu lze takovou eliminaci provést určením, zda omezení uvalená na parametr 𝛾𝑖𝑗 jsou empiricky nebo teoreticky věrohodná. V některých případech bude moţno zavést taková omezení na jednotlivou rovnici; v modelu AIDS lze pouţít zavedení restrikcí na parametry 𝛾𝑖𝑗 .

5.1.4 Odhad Odhad poptávkové funkce s vysvětlovanou proměnnou výdajové účasti 𝑤𝑖 můţe být proveden substituováním (A4) v (A3), tím získáme: 𝑤𝑖 = 𝛼𝑖 − 𝛽𝑖 𝛼0 +

𝑗

𝛾𝑖𝑗 log 𝑝𝑗 + 𝛽𝑖 log 𝑀 −

𝑘

1

𝛼𝑘 log 𝑝𝑘 − 2

𝑘

𝑗

𝛾𝑘𝑗 log 𝑝𝑘 log 𝑝𝑗 , (A8)

a odhad tohoto nelineárního systému rovnic můţe být proveden metodou maximální věrohodnosti nebo jinou metodou s nebo bez zavedených omezení (A6) a (A7). Rovnici (A8) není těţké odhadnout, pokud podmínky pro aproximaci prvního řádu pro maximalizaci věrohodnosti jsou lineární v 𝛼 a 𝛾 při daných parametrech 𝛽 , a obráceně, takţe „koncentrace“ dovoluje iteraci na podmnoţině parametrů. Tedy maximalizaci „koncentrované“ věrohodnostní funkce lze provést iteračním způsobem, při němţ jsou iterace vztaţeny pouze k podmnoţinám těchto parametrů. Ačkoli všechny parametry v (A8) jsou identifikované při dostatečné proměnlivosti nezávisle proměnných, bude v mnoha případech praktická identifikace 𝛼0 problematická. V situacích, kdy jednotlivé ceny jsou úzce kolineární, log 𝑃 nebude pravděpodobně velmi sensitivní na volbu vah, takţe změny v úrovňové konstantě (A8) způsobené proměnlivostí v 𝛼0 mohou být kompenzovány v 𝛼 alfách s minimálním vlivem na log 𝑃. Coţ lze v praxi překonat přidáním hodnoty 𝛼0 a priori. Protoţe tento parametr lze interpretovat jako výdaj na minimální ţivotní standard, pak pokud máme jednotkové ceny (obvykle ve výchozím roce) je zvolení přijatelné hodnoty snadné.

33

Nicméně, v mnoha situacích je moţno vyuţít kolinearitu v cenách k pouţití mnohem jednodušší odhadovací techniky. Všimněme si, ţe pokud známe 𝑃, tak v (A3) je model lineární pro parametry 𝛼, 𝛽 a 𝛾, a odhad (konečně bez omezení mezi rovnicemi, jako je symetrie) lze uskutečnit rovnici po rovnici pomocí metody nejmenších čtverců, která je v tomto případě a při normálně rozloţených náhodných sloţkách ekvivalentní odhadu maximální věrohodností. Tímto odhadem je přidané omezení (A5) automaticky splněno. V případech, kdy ceny jsou úzce kolineární je vhodné pouţít cenový index k aproximaci 𝑃 . Uvaţujme Stoneho index log 𝑃∗ =

𝑤𝑘 log 𝑝𝑘 . Pokud řekněme 𝑃 ≅ 𝜙𝑃∗ , pak (A8)

lze odhadnout následovně 𝑤𝑖 = 𝛼𝑖 − 𝛽𝑖 log 𝜙 +

𝑗

𝛾𝑖𝑗 log 𝑝𝑗 + 𝛽𝑖 log

𝑀 𝑃∗

(A9)

V rámci tohoto schématu, budou parametry 𝛼𝑖 identifikované aţ na skalární násobek parametrů 𝛽𝑖 . Jestliţe zapíšeme 𝛼𝑖∗ = 𝛼𝑖 − 𝛽𝑖 log(𝜙), pak lze vidět, ţe platnost podmínky být i nadále vyţadována pro platnost podmínky součtovatelnosti

𝛼𝑘∗ = 0 musí

𝛽𝑘 = 0.

Připomeňme, ţe (A9) existuje pouze jako aproximace (A8) a bude přesná pouze za určitých okolností.

Na závěr poznamenejme, ţe pokud je jednotlivá rovnice odhadu

pouţívána k vyšetření vhodných omezení mezi parametry 𝛾, pak omezené odhady provedené metodou nejmenších čtverců nebudou nadále automaticky totoţné s odhady parametrů získanými metodou maximální věrohodnosti, vyhovujícími součtové podmínce. Jakmile jsou jednou zvoleny restrikce, pak (A8) můţe být pouţita na znovu odhadnutí celého systému. [11]

34

6 Rotterdamský model 6.1 Diferenciální poptávkové funkce K uvedení Rotterdamského modelu by mohl být uţitečný stručný úvod do diferenciálních poptávkových

funkcí.

Diferenciální

tvar

Marshallovské

poptávkové

funkce

𝑞𝑖 = 𝑞𝑖 𝑀, 𝑝1 , … , 𝑝𝑛 , 𝑖 = 1, … , 𝑛 (R1) lze vyjádřit (H. Theil and Clements, 1987) také zápisem 𝑤𝑖 𝑑 log 𝑞𝑖 = 𝜃𝑖 𝑑 log 𝑄 +

𝑛 𝑗 =1 𝑣𝑖𝑗 𝑑

𝑝𝑗

log 𝑃´ ,

(R2)

kde: 

𝑤𝑖 =

𝑝𝑖 𝑞𝑖 𝑀



𝜃𝑖 =

𝜕(𝑝 𝑖 𝑞 𝑖 ) 𝜕𝑀



𝑑 log 𝑄 =

je podíl statku i na rozpočtu spotřebitele; je mezní podíl 𝑖-tého statku na rozpočtu spotřebitele; 𝑛 𝑖=1 𝑤𝑖 𝑑(log 𝑞𝑖 )

je Divisiův objemový index změny v reálném důchodu

spotřebitele; 𝑝𝑗



𝑑 log



a 𝑣𝑖𝑗 = 𝑀 𝑝𝑖 𝑢𝑖𝑗 𝑝𝑗 (R3) je (𝑖, 𝑗) cenový koeficient, kde 𝜆 je mezní uţitek z příjmu a 𝑢𝑖𝑗

je změna v cenách 𝑗-tého statku deflovaná indexem Frischovy elasticity23;

𝑃´ 𝜆

je

𝑖, 𝑗

prvek 𝜕 2 𝑢(𝒒)

(𝑼 =

𝜕𝑞 12

⋮

𝜕 2 𝑢(𝒒) 𝜕𝑞 𝑛 𝜕𝑞 1

… ⋱ …

z inverzní

Hessovy

matice

užitkové

funkce,

𝜕2𝑢

𝑈 = 𝜕𝑞 𝜕𝑞 𝑖

𝑗

𝜕 2 𝑢(𝒒) 𝜕𝑞𝜕𝑞 𝑛

⋮

𝜕 2 𝑢(𝑞) 𝜕 𝑞 𝑛2

, je symetrická a negativně semidefinitní u kvazikonkávní

uţitkové funkce). Dále platí

𝑛 𝑗 =1 𝑣𝑖𝑗

= 𝜙𝜃𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑛, kde 𝜙 =

𝜕(log 𝜆) −1 𝜕(log 𝑀)

je flexibilita příjmu spotřebitele.

Rovnice (R2) je formulována ve smyslu relativních (neboli deflovaných) cen; příslušná verze pro absolutní ceny je 𝑤𝑖 𝑑 log 𝑞𝑖 = 𝜃𝑖 𝑑 log 𝑄 +

𝑛 𝑗 =1 𝑠𝑖𝑗 𝑑(log 𝑝𝑗 ),

(R4)

kde 𝑠𝑖𝑗 = 𝑣𝑖𝑗 − 𝜙𝜃𝑖 𝜃𝑗 je (𝑖, 𝑗) Slutského koeficient. Tento koeficient splňuje poptávkovou homogenitu

23

𝑛 𝑗 =1 𝑠𝑖𝑗

= 0 , 𝑖 = 1, … , 𝑛 , a Slutského symetrii 𝑠𝑖𝑗 = 𝑠𝑗𝑖 , 𝑖, 𝑗 = 1, … , 𝑛. Matice

Frischův cenový index: 𝑑 log 𝑃 ∗ =

𝑛 𝑖=1 𝜃𝑖 𝑑(log 𝑝𝑖 )

35

transformuje absolutní ceny do relativních.

𝑠𝑖𝑗

velikosti 𝑛 × 𝑛 je negativně semidefinitní s hodností (𝑛 − 1). Poptávková homogenita

implikuje, ţe proporční změna ve všech cenách nemá vliv na spotřebu (vzájemné cenové poměry se nemění, spotřebitel nemá důvod ke změně svého chování). Naproti tomu Slutského symetrie implikuje, ţe substituční efekt cenových změn je symetrický.

6.2 Rotterdamský Model Toto modelové schéma poprvé pouţili v krátkém období po sobě Holanďane Henri Theil (1965) a Anton P. Barten (1966). Model je nazván po jejich tehdejším působišti, můţeme se také setkat s označením Theil-Bartenův model. Způsob, který zvolili, je v mnoha směrech podobný Stoneově specifikaci, liší se však tím, ţe místo zacházení s logaritmy operují s diferenciály. Poptávkové systémy (R2) a (R4) byly formulovány pro nekonečně malé změny. Nicméně ekonomická data jsou dostupná v konečných časových intervalech, například měsíční data, roční, čtvrtletní data. Konverzí nekonečně malých změn v (R2) a (R4) do formy s konečnou změnou, a předpokladem, ţe parametry jsou konstantní v pozorováních napříč časem, dostáváme Rotterdamský model. Rotterdamský model je jednoduše pozměněná verze diferenciálních poptávkových rovnic uvedených výše. Abychom získali verzi Rotterdamského modelu s relativními cenami, 1

musíme provést úpravy vztahu (R2). Výdajovou účast 𝑤𝑖 nahradíme 𝑤𝑖𝑡 = 2 𝑤𝑖𝑡 + 𝑤𝑖,𝑡−1 coţ je aritmetický průměr dvou po sobě jdoucích výdajových účastí pro statek 𝑖; 𝑑 log 𝑞𝑖 nahradíme změnou v logaritmu 𝑞𝑖 při přechodu od období 𝑡 − 1 do 𝑡; 𝐷𝑞𝑖𝑡 = log 𝑞𝑖𝑡 − log 𝑞𝑖,𝑡−1 = Δ log 𝑞𝑖𝑡 𝑑(log 𝑄) nahradíme členem 𝐷𝑄𝑡 =

𝑛 𝑖=1 𝑤𝑖𝑡

𝐷𝑞𝑖𝑡 ; a ještě nahradíme 𝑑(log 𝑝𝑗 ) členem 𝑓

𝐷𝑝𝑗𝑡 = log 𝑝𝑗𝑡 − log 𝑝𝑗 ,𝑡−1 , a místo 𝑑(log 𝑃 𝑓 ) budeme uvaţovat 𝐷𝑃𝑡 = Platí

𝑛 ∗ 𝑗 =1 𝑤𝑗𝑡 𝐷𝑞𝑗𝑡

+

𝑛 ∗ 𝑗 =1 𝑤𝑗𝑡 𝐷𝑝𝑗𝑡

𝑛 𝑖=1 𝜃𝑖 𝐷𝑝𝑖𝑡

.

= 𝐷𝑀𝑡 . Mezní podíl 𝜃𝑖 a cenový koeficient 𝑣𝑖𝑗

v (R2) nemusí být nutně konstanta. V Rotterdamském modelu je však budeme povaţovat za konstanty pro zjednodušení. Provedeme-li všechny tyto úpravy, pak dostáváme poptávkovou rovnici pro i-tý statek Rotterdamského modelu pro relativní ceny: 𝑤𝑖𝑡 𝐷𝑞𝑖𝑡 = 𝜃𝑖 𝐷𝑄𝑡 +

𝑛 𝑗 =1 𝑣𝑖𝑗 (𝐷𝑝𝑗𝑡

𝑓

− 𝐷𝑃𝑡 ),

(R7)

𝑖 = 1, … , 𝑛 , 𝑗 = 1, … , 𝑛 , 𝑡 = (1, … , 𝑇). Celý model se skládá z n rovnic typu (R7), jedna pro kaţdý statek. Z definice cenového koeficientu 𝑣𝑖𝑗 daného ve vztahu (R3) dostáváme, 36

ţe tento koeficient nese informaci o rozsahu, kterým komodity 𝑖 a 𝑗 ovlivňují uţitkovou funkci. Nechť i-tá poptávková funkce Rotterdamského modelu s absolutními (nezávislými na příjmu) cenami je: 24 𝑛 𝑗 =1 𝑠𝑖𝑗 𝐷𝑝𝑗𝑡 .

𝑤𝑖𝑡 𝐷𝑞𝑖𝑡 = 𝜃𝑖 𝐷𝑄𝑡 +

(R8)

Stejně jako restrikce kladené na model tak i model samotný daný vztahem (R8) jsou lineární v parametrech, odhad a testování hypotézy budou tedy poměrně snadné. Omezení kladená na parametry v Rotterdamském modelu (R8): 𝑛 𝑖=1 𝜃𝑖

= 1,

𝑛 𝑗 =1 𝑠𝑖𝑗

𝑛 𝑗 =1 𝑠𝑖𝑗

= 0 pro všechna 𝑖 = 1, … , 𝑛;



součtovatelnost:



homogenita poptávky:



symetrie Slutského substituční matice: 𝑠𝑖𝑗 = 𝑠𝑗𝑖 , 𝑖, 𝑗 = 1, … , 𝑛;



konkávnost navíc vyţaduje, aby Slutského matice 𝑆 byla negativně semidefinitní,

= 0 pro všechna 𝑖 = 1, … , 𝑛;

s hodností 𝑛 − 1. Podmínky homogenity a symetrie hrají důleţitou roli pro redukování počtu odhadovaných volných parametrů. Rotterdamský model s absolutními cenami (R8) je lineární v parametrech, na rozdíl od Rotterdamského modelu s relativními cenami (R7). Tato informace činí odhad rovnice (R8) a testování hypotéz snazšími. [21], [10]

6.2.1 Agregace spotřebitelů – konvergenční přístup Poptávkové rovnice takové, jaké jsme si je uvedli výše, jsou zaloţeny na chování jednotlivých spotřebitelů maximalizujících svůj uţitek. Ale data jsou v ekonomice dostupná v agregované formě. Pro zajímavost pouţijeme v následujícím textu konvergenční přístup k analýze agregačního problému. Tento přístup je statistickým nástrojem, který se pouţívá k analýze trţních poptávkových funkcí, kdyţ je velikost populace spotřebitelů velmi velká. Uváţíme rovnici (R4), verzi s absolutní cenou diferenciální poptávkové rovnice pro statek 𝑖. Přidáním označení jednotlivého spotřebitele, 𝑐, získáme individuální spotřebu 𝑤𝑖𝑐 𝑑 log 𝑞𝑖𝑐 = 𝜃𝑖𝑐 𝑑 log 𝑄𝑐 +

𝑛 𝑗 =1 𝑠𝑖𝑗𝑐 𝑑(log 𝑝𝑗 ) , 𝑐

= 1, … , 𝑁,

(R9)

kde uvaţujeme předpoklad, ţe všichni spotřebitelé platí stejné ceny. N je počet spotřebitelů. Mikroekonomické koeficienty 𝜃𝑖𝑐 a 𝑠𝑖𝑗𝑐 z mikroekonomické poptávkové funkce (R9) jsou

24

Poptávková funkce Rotterdamského modelu s absolutními cenami lze tedy rozepsat do tvaru:

𝑤𝑖𝑡 (log 𝑞𝑖𝑡 − log 𝑞𝑖,𝑡−1 ) = 𝜃𝑖

𝑛 𝑖=1 𝑤𝑖𝑡

(log 𝑞𝑖𝑡 − log 𝑞𝑖,𝑡−1 ) +

37

𝑛 𝑗 =1 𝑠𝑖𝑗 (log 𝑝𝑗𝑡

− log 𝑝𝑗 ,𝑡−1 ).

funkcí příjmu a cen a splňují podmínky homogenity a symetrie (R5) a (R6). Definujme proměnné na osobu, které budeme potřebovat v makroekonomických proměnných, 1

1

𝑁 𝑐=1 𝑞𝑖𝑐 ,

𝑞𝑖 = 𝑁

𝑀=𝑁

𝑀𝑐 𝑁 𝑐=1 𝑁𝑀 𝑤𝑖𝑐 𝑑

𝑁 𝑐=1 𝑀𝑐

log 𝑞𝑖𝑐 =

=

𝑛 𝑖=1 𝑝𝑖 𝑞𝑖 ,

𝑀𝑐 𝑁 𝑐=1 𝑁𝑀 𝜃𝑖𝑐 𝑑

𝑤𝑖 =

log 𝑄𝑐 +

𝑝𝑖 𝑞𝑖 , 𝑀 𝑁 𝑐=1

𝑀𝑐 𝑛 𝑗 =1 𝑁𝑀 𝑠𝑖𝑗𝑐 𝑑

log 𝑝𝑗

(R10)

𝑀𝑐 𝑁 𝑐=1 𝑁𝑀 𝑤𝑖𝑐 𝑑(log 𝑞𝑖𝑐 ),

(R11)

S vyuţitím vztahů 𝑤𝑖 𝑑 log 𝑞𝑖 =

𝑝 𝑖 𝑑𝑞 𝑖 𝑀

=

𝑝𝑖 𝑁𝑀

𝑁 𝑐=1 𝑑𝑞𝑖𝑐

𝜃𝑖 𝑑 log 𝑄 + 𝑛 𝑗 =1 𝑠𝑖𝑗 𝑑

=

Cov 𝐾𝑖𝑐 ,𝑉𝑐 𝐸 𝑀𝑐

𝑀𝑐 𝑝 𝑖 𝑞 𝑖𝑐 𝑑𝑞 𝑖𝑐 𝑁 𝑐=1 𝑁𝑀 𝑀 𝑐 𝑞 𝑖𝑐

+ 𝑜𝑝 1 =

log 𝑝𝑗 + 𝑜𝑝 1 =

𝑁 𝑐=1

=

𝑀𝑐 𝑁 𝑐=1 𝑁𝑀 𝜃𝑖𝑐 𝑑(log 𝑄𝑐 ),

(R12)

𝑀𝑐 𝑛 𝑗 =1 𝑁𝑀 𝑠𝑖𝑗𝑐 𝑑

(R13)

log 𝑝𝑗

a za předpokladů, ţe příjmy 𝑀1 , … , 𝑀𝑁 jsou identicky a nezávisle distribuovány/rozděleny. Také předpokládáme, ţe makroekonomické koeficienty definovány jako 𝜃𝑖 = 𝑠𝑖𝑗 =

𝐸 𝑀𝑐 𝑠𝑖𝑗𝑐 𝐸 𝑀𝑐

𝐸 𝑀𝑐 𝜃 𝑖𝑐 𝐸 𝑀𝑐

,

, 𝑖, 𝑗 = 1, … , 𝑛 existují a jsou konečné. Tyto makroekonomické koeficienty jsou

populační verzí váţeného průměru mikroekonomických koeficientů s váhami proporcionálními příjmu 𝑀𝑐 .

Získáváme konečně tvar makroekonomických poptávkových rovnic 𝑤𝑖 𝑑 log 𝑞𝑖 = 𝜃𝑖 𝑑 log 𝑄 + Ale člen

Cov 𝐾𝑖𝑐 ,𝑉𝑐 𝐸 𝑀𝑐

Cov 𝐾𝑖𝑐 ,𝑉𝑐 𝑛 𝑗 =1 𝑠𝑖𝑗 𝑑(log 𝑝𝑗 ) + 𝐸 𝑀𝑐

+ 𝑜𝑝 (1).

je zanedbatelně malý, proto, pro dostatečně velké 𝑁 lze makroekonomické

poptávkové rovnice napsat (nejedná se o Rotterdamský, ale o všeobecnou diferenciální poptávkovou funkci) 𝑤𝑖 𝑑 log 𝑞𝑖 = 𝜃𝑖 𝑑 log 𝑄 +

𝑛 𝑗 =1 𝑠𝑖𝑗 𝑑(log 𝑝𝑗 ),

(R14)

kde 𝑝 limN→∞ 𝑜𝑝 1 = 0. Rovnice (R14) je makroekonomickou analogií k mikroekonomické poptávkové rovnici (R9). Makroekonomické koeficienty v (R14) splňují podmínky homogenity a symetrie (R5) a (R6). Všechna omezení ustanovena pro individuálního spotřebitele přetrvávají platná do agregátních rovnic. Proto nebudeme rozlišovat mezi mikroekonomickými koeficienty a proměnnými a jejich makroekonomickými protějšky. [4] 38

7 Kvantitativní analýza modelů a interpretace získaných výsledků 7.1 Pouţitá data Data jsou posbírána z publikovaných pramenů Českého statistického úřadu z databázích tříděných podle klasifikace COICOP (Classification of Individual Consumption by Purpose), která se pouţívá v systému národních účtů. Předmětem klasifikace CZ-COICOP je zatřídění všech druhů individuální spotřeby (zboţí, sluţeb, apod.) podle účelu. Data o skupinových cenových indexech (se základem r.2005) jsou publikována čtvrtletně (šetřeními u jednotlivých prodejních míst), data o výdajích domácností jsou přebírána(ve čtvrtletní frekvenci) ze statistik rodinných účtů. Vstupní údaje o spotřebách (potřebná např. pro Rotterdamský model) jsou spočtena deflováním výdajů příslušným cenovým indexem. Základní údaje obvykle pocházejí z jednoho nebo více následujících zdrojů: přehledy výdajů domácností, statistiky maloobchodních prodejů a odhady „toku zboţí“, které obsahují vymezení celkové dodávky zboţí a sluţeb do výrobní spotřeby a konečného uţití. Výdajová struktura (mezinárodně jednotného) členění spotřebních výdajů COICOP sestává z těchto 12 skupin spotřebních vydání: Základní kategorie COICOPu: 01 Potraviny a nealkoholické nápoje; 02 Alkoholické nápoje, tabák a narkotika; 03 Odívání a obuv; 04 Bydlení, voda, energie a paliva; 05 Bytové vybavení, zařízení domácnosti a opravy; 06 Zdraví; 07 Doprava; 08 Pošty a telekomunikace; 09 Rekreace a kultura; 10 Vzdělávání; 11 Stravování a ubytování; 12.4 Sociální péče; 12 kromě 12.4 Ostatní zboţí a sluţby. Pro sledovaný účel, modelování spotřeby piva, jsem se rozhodla po konzultaci s vedoucím mé diplomové práce vybrat tyto vysvětlující proměnné: 

Pivo – konkrétně pivo lahvové světlé,



Víno – konkrétně víno jakostní bílé,



Destiláty – konkrétně tuzemský rum,



Tabákové výrobky – konkrétně cigarety Sparta.

Pro tyto parametry jsme vyhledali ceny (pivo lahvové světlé: Kč/0,5l; víno jakostní bílé a tuzemský rum: Kč/l; Tabák – cena za balení) a prodané mnoţství (litry, kusy za rok). Mimo to jsme při kalkulaci výdajových modelů potřebovali spotřební výdaje na osobu a podíl výdajů vydaných na jednotlivé parametry. Abychom tato data mohli implantovat do modelů, potřebujeme všechny výše uvedené údaje vyjádřené pro časové řady, konkrétně pro 21 po sobě jdoucí ročních období: 1989-2009.

Proměnné zařazené do výdajového schématu nebyly 39

vybrány náhodně, ale byly zvoleny téţ s ohledem na uzavřenost modelu 25 . Jde o typické reprezentanty 2. komoditní skupiny COICOPu, tvořené podskupinami alkoholické nápoje, tabák a drogy (poslední z nich není v ČR sledována), přičemţ výdaje na ně jsou evidovány (resp. publikovány) za tuto skupinu jako celek. Případné zařazení dalších poloţek (potenciálně ovlivňujících spotřebu piva) by zasahovalo (z hlediska výdajů na ně) do výdajů jiných skupin, konkrétně 1. potraviny a nealko-nápoje a 8. stravování a ubytování, takţe pro ukazatel příslušných výdajů 𝑀 bychom nenalezli příslušná data.(Většina potravin a tedy výdajů na ně zřejmě neovlivňuje spotřebu piva jako takovou). Výdajové funkce byly odhadovány pro závisle proměnné: Pivo, Víno, Destiláty a Tabákové výrobky. Jako regresory byly vzaty všechny vysvětlující proměnné v souladu se specifikací daného konkrétrního modelu. Čtyřrovnicový (simultánní) výdajový model, který jsme takto zformulovali, pokrývá - z hlediska dostupných dat - základní komoditní členění 2. skupiny COICOPu (s jiţ zmíněnou výjimkou poloţku "drogy", které česká statistika neeviduje.) I přes vyvinutou snahu a dotazy na VÚP (Výzkumný ústav pivovarnický) se bohuţel nepodařilo získat podrobnější údaje (ve vztahu ke spotřebám i cenám) o vnitřní/detailnější struktuře trhu s pivem (tzn. v členění na piva základních stupňů včetně speciálních, případně i na jednotlivé, aspoň hlavní značky). Zde souhrnné údaje poskytované ČSÚ nepostačují, neboť statistiky rodinných účtů detailnější členění výdajů za pivo neobsahují a pivovary, resp. jejich vlastnické skupiny (nepochybně téţ z důvodu obchodní taktiky) taktéţ nezveřejňují údaje o cenách jimi vyráběných a distribuovaných piv.

7.2 Vyhodnocení modelů Ve vhodném matematicko-statistickém programu, v našem případě Matlab, vytvoříme skripty pro jednotlivé modely; nejprve Lineární výdajový model, poté AIDS model a na závěr Rotterdamský výdajový systém. Pro posouzení platnosti a věrohodnosti výsledků modelu vyuţijeme tyto statistiky: 

Směrodatné odchylky parametrů: 𝝈 =

var(𝑋) =

𝐸 𝑋 2 − (𝐸 𝑋 )2 , vypovídají

o tom, s jakou mírou spolehlivosti je ten-který parametr spočten danou odhadovou

25

Mmodel lze pokládat za uzavřený, pokud poptávková (výdajová) struktura pracuje vedle cen komodit tohoto systému s výdajem přesně pokrývajícím právě komodity zahrnuté v systému. V našem případě se jedná o druhou komoditní skupinu COICOP.

40

metodou. Nízká hodnota 𝜎 (relativně vůči hodnotě parametru 𝑏𝑗 ) znamená vţdy vyšší spolehlivost. Téţ se uţívá označení standardní chyba. 

𝑏

t-statistiky: 𝒕𝒃 = 𝑠 ~𝑡(𝑛 − 2), kde 𝑏 je hodnota parametru a 𝑠𝑏 = 𝑏

směrodatná

odchylka.

Nulovou hypotézu 𝐻0 (o nulové

𝑠 (𝑥 𝑖 −𝑥 )2

hodnotě

je jeho

parametru

a tedy nadbytečnosti jemu příslušné proměnné v rovnici) oproti alternativě 𝐻1 (o nenulovém parametru a tedy oprávněnosti zařazení proměnné do rovnice) zamítneme tehdy, pokud je spočtená statistika 𝑡𝑏 větší (v absolutní hodnotě), neţ odpovídající tabulková hodnota pro daný počet stupňů volnosti a zvolenou hladinu významnosti. 

Koeficient determinace: 𝑹𝟐 =

𝑆𝑆𝑅 𝑆𝑆𝑇

, kde 𝑆𝑆𝑅 je regresní součet čtverců a 𝑆𝑆𝑇 je

celkový součet čtverců hodnot závisle proměnné. Pokud je 𝑅 2 blízké hodnotě 1, pak je míra vystiţení závisle proměnné uvaţovaným souborem vysvětlujících proměnných vysoká. 𝑅 2 vypovídá o tom, jaký podíl rozptylu v pozorování závislé proměnné se podařilo regresí vysvětlit. 

Rektifikovaný (korigovaný) koeficient determinace:

𝑛−1

𝑹𝟐 = 1 − 𝑛−𝑘 (1 − 𝑅 2 ) ,

kde 𝑘 je počet proměnných, 𝑛 je počet pozorování. Vhodná statistika chceme-li penalizovat modely s velkým 𝑘 , jedná se o úpravu 𝑅 2 přihlíţející k počtu stupňů volnosti a preferující modelové specifikace s menším počtem vysvětlujících proměnných. 

𝜀 𝑡 −𝜀 𝑡−1 2 𝜀 𝑡2

Durbin – Watsonovu statistiku: 𝑫𝑾 =

; pomocí DW testu autokorelace

se ověřuje, zda jsou náhodné chyby nekorelované, 𝐷𝑊 ∈ 0,4 . Pro nezamítnutí nulové hypotézy o nekorelovanosti náhodných poruch se hodnoty testového kritéria musí pohybovat kolem hodnoty 2. Příslušné meze pro rozpoznání nekorelovanosti od kladné/záporné autokorelace reziduí (závisející na počtu pozorování a na počtu vysvětlujících proměnných) obsahují všechna ekonometrická software. 

von Neumannův podíl: 𝑽𝑵 =

𝐷𝑊∙𝑛 . 𝑛−𝑘

Charakteristika obdobná 𝐷𝑊-koeficientu s tím,

ţe při normálně a nezávisle rozdělených náhodných sloţkách, je její rozdělení také přibliţně normální se známou střední hodnotou a rozptylem. Kritické hodnoty 𝑉𝑁koeficientu jsou tabelovány, statistika se však uţívá řidčeji neţ 𝐷𝑊 -koeficient. Durbinovo 𝒉 : 𝑫𝑯 = 1 −

𝐷𝑊 2

∙

𝑛 1−𝑛∙𝑠𝑏2

2

; statistiku 𝑕 testujeme přes normované

rozdělení 𝑈(0,1) , kdy pro 𝑕 ≥ 𝑈1−𝛼 usuzujeme autokorelaci, pro předpokládáme sériovou nezávislost náhodných sloţek.

41

𝑕 < 𝑈1−𝛼

7.2.1 Výsledky lineárního výdajového modelu

Tabulka č. 1. Lineární výdajový model b

c

R

DW

1 Pivo

Parametry

0,0522

-184,688

0,9935

1,2944

2 Víno

Parametry

-0,0427

-11,2444

0,9728

0,2227

3 Destiláty

Parametry

-0,1635

-4,2707

0,8878

0,4939

4 Tabák

Parametry

-22,958

-85,3478

0,9327

0,8163

Nejprve zaměříme pozornost na platnost jednotlivých omezení (homogenity, součtovatelnosti, symetrie a negativní semidefinitnosti). Homogenita stupně 0 současně pro ceny 𝑝 a příjem 𝑀 je potvrzena z definice, empirické testování není moţné. Pro potvrzení podmínky součtovatelnosti vyuţijeme rozepsaný zápis: 𝑛 𝑖=1 𝑝𝑖 𝑞𝑖

𝑛 𝑖=1 𝑝𝑖 𝑞𝑖

=−

𝑛 𝑖=1 𝑐𝑖 𝑝𝑖

+

=−

𝑛 𝑖=1 𝑐𝑖 𝑝𝑖

+𝑀

𝜕𝑞 𝑖 (𝑀,𝑝) 𝜕𝑝 𝑗

+ 𝑞𝑗

𝜕𝑞 𝑖 (𝑀,𝑝) 𝜕𝑀

=

𝜕𝑞 (𝑀,𝑝) 𝑞𝑗 𝑖𝜕𝑀

+

𝑛 𝑖=1 𝑏𝑖

𝑛 𝑖=1 𝑏𝑖

+

∙

𝑛 𝑘=1 𝑐𝑘 𝑝𝑘

. Odkud je zřejmé, ţe má-li platit 𝑛 𝑖=1 𝑏𝑖

Tento

lineární

výdajový

model

= 1. Zároveň platí rovnost

součtovatelnost

nepotvrzuje

= −23,112 ≠ 1 . Slutského substituční matice definovaná předpisem

𝜕𝑞 𝑖 (𝑀,𝑝) 𝜕𝑝 𝑗

𝑏𝑖 𝑐 𝑝𝑖 𝑗

𝑛 𝑘=1 𝑐𝑘 𝑝𝑘

𝑀+

= 𝑀, pak parametry musí splňovat podmínku

𝐵 = 𝑏−1 𝑐 =1 . 𝑛 𝑖=1 𝑏𝑖

𝑛 𝑖=1 𝑏𝑖

𝑞𝑗 𝑏𝑖 𝑝𝑖

=

𝑏𝑗 𝑝𝑗

=

𝜕𝑞 𝑗 (𝑀,𝑝) 𝜕𝑝 𝑖

+ 𝑞𝑖

𝑏 𝜕 −𝑐 𝑖 + 𝑖 𝑀+ 𝑐 𝑘 𝑝 𝑘

=

𝑝𝑖

𝜕𝑝 𝑗

𝑏 𝜕 −𝑐 𝑖 + 𝑖 𝑀+ 𝑐 𝑘 𝑝 𝑘

𝑐𝑖 +

𝑝𝑖

𝜕𝑀 𝑞𝑖 𝑏𝑗 𝑝𝑗

𝜕𝑞 𝑗 (𝑀,𝑝) 𝜕𝑀

=

, lze psát v konkrétním případě:

𝜕𝑞 𝑗 (𝑀,𝑝)

𝑏𝑖 𝑐, 𝑝𝑖 𝑗

𝜕𝑝 𝑖

𝑏𝑗 𝑝𝑗

𝜕 −𝑐 𝑗 +

=

𝑀+ 𝑐 𝑘 𝑝 𝑘 𝜕𝑝 𝑖

𝑏

= 𝑝 𝑗 𝑐𝑖 𝑗

𝑏𝑗

=

𝑏𝑖 𝑞𝑗 𝑝𝑖

𝑞𝑖

,

pro všechna 𝑖, 𝑗 ; tj.

𝜕𝑞 𝑗 (𝑀,𝑝)

𝑏 𝑖 (𝑞 𝑗 +𝑐 𝑗 ) 𝑝𝑖

𝜕𝑀

=

=

𝜕 −𝑐 𝑗 + 𝑀+ 𝑐 𝑘 𝑝 𝑘 𝑝

𝑏 𝑗 (𝑞 𝑖 +𝑐 𝑖 ) 𝑝𝑖

𝑗

𝜕𝑀

neboli

𝑝 𝑗 (𝑞 𝑗 +𝑐 𝑗 ) 𝑏𝑗

= =

𝑏𝑗 𝑞𝑖 𝑝𝑖 𝑝 𝑖 (𝑞 𝑖 +𝑐 𝑖 ) . 𝑏𝑖

Symetrie Slutského substituční matice tedy platí univerzálně bez dodatečných omezení kladených na parametry modelu. Pro prokázání negativní semidefinitnosti Slutského substituční matice 𝑠𝑖𝑗 =

𝜕𝑞 𝑖 (𝑀,𝑝) 𝜕𝑝 𝑗

+ 𝑞𝑗

𝜕𝑞 𝑖 (𝑀,𝑝) 𝜕𝑀

Diagonální prvek matice 𝑆: 𝑠𝑖𝑖 =

nám postačí, aby prvky na diagonále byly menší neţ 0.

𝜕𝑞 𝑖 (𝑀,𝑝) 𝜕𝑝 𝑗

+ 𝑞𝑗

𝜕𝑞 𝑖 (𝑀,𝑝) 𝜕𝑀

42

𝜕𝑞 𝑖 (𝑀,𝑝) 𝜕𝑝 𝑖

=

−𝜕𝑐 𝑖 𝜕𝑝 𝑖

=

+

𝜕

𝑏 𝜕 −𝑐 𝑖 + 𝑖 𝑀+ 𝑐 𝑘 𝑝 𝑘 𝑝𝑖

𝑏𝑖 𝑀 𝑝𝑖

𝜕 𝑝𝑖

𝑏 𝑀

𝑐𝑖 𝑏𝑖 𝑝𝑖

= − 𝑝𝑖 2 + 𝑖

𝑞𝑖

𝜕𝑞 𝑖 (𝑀,𝑝) 𝜕𝑀

=

𝜕𝑝 𝑗

+ −

𝜕

𝑏𝑖 𝑐𝑝 𝑝𝑖 𝑖 𝑖

𝜕𝑝 𝑖 𝑐𝑖 𝑏 𝑖 𝑝𝑖

+

𝑏𝑖 𝑐 𝑝 𝑝 𝑖 𝑖+1 𝑖+1

𝜕

𝑏

− 𝑝 𝑖2 𝑖

𝑛 𝑘=1 𝑐𝑘 𝑝𝑘 −𝑖

𝑏

+

𝑏𝑖 𝑐 𝑝 𝑝 𝑖 𝑖+3 𝑖+3

𝜕𝑝 𝑖

𝑛 𝑘=1 𝑐𝑘 𝑝𝑘 −𝑖

= − 𝑝 𝑖2 𝑀 + 𝑖

=

.

𝑖

𝑖

−

𝜕𝑝 𝑖

𝜕

𝑏

𝑏

𝑏𝑖 𝑝𝑖2

𝑏𝑖 𝑐 𝑝 𝑝 𝑖 𝑖+2 𝑖+2

= 𝑞𝑖 𝑝 𝑖 .

Dohromady: 𝑠𝑖𝑖 = − 𝑝 𝑖2 𝑀 + =

+

𝜕𝑝 𝑖

𝜕

𝑛 𝑘=1 𝑝𝑘 𝑞𝑘 −𝑖

−

𝑛 𝑘=1 𝑐𝑘 𝑝𝑘 −𝑖

𝑛 𝑘=1 𝑐𝑘 𝑝𝑘 −𝑖

=

𝑏𝑖 𝑝𝑖2

𝑏

𝑏

+ 𝑞𝑖 𝑝 𝑖 = 𝑝 𝑖2 −𝑀 − 𝑖

−

𝑖

𝑛 𝑘=1 𝑝𝑘 −𝑖

𝑐𝑘 + 𝑞𝑘

𝑛 𝑘=1 𝑐𝑘 𝑝𝑘 −𝑖

+ 𝑝𝑖 𝑞𝑖 =

< 0.

Omezení kladená na parametry v důsledku negativní semidefinitnosti Slutského substituční matice jsou: 𝑏𝑖 > 0 a

𝑛 𝑘=1 𝑝𝑘 −𝑖

𝑐𝑘 + 𝑞𝑘 > 0 nebo 𝑏𝑖 < 0 a

𝑛 𝑘=1 𝑝𝑘 −𝑖

𝑐𝑘 + 𝑞𝑘 < 0 . Podmínka negativity

je tedy omezeně empiricky testovatelná vyšetřením platnosti 𝑏𝑖 > 0 a nebo 𝑏𝑖 < 0 a

𝑛 𝑘=1 𝑝𝑘 −𝑖

𝑛 𝑘=1 𝑝𝑘 −𝑖

𝑐𝑘 + 𝑞𝑘 > 0

𝑐𝑘 + 𝑞𝑘 < 0.

Koeficient determinace 𝑅 se pohybuje v rozmezí od 0,8878 do 0,9935, z těchto hodnot je patrné, ţe na základě modelu se podařilo vysvětlit 88% - 99% variability vysvětlované proměnné. V případě výdajové rovnice pro víno, destiláty a tabákové výrobky prokazuje Durbin-Watsonův koeficient slabou pozitivní autokorelaci. Pro výdajovou rovnici piva nelze rozhodnout o korelaci reziduí. T-statistiky vypovídající o statistické významnosti dílčích parametrů se nepodařilo získat. První pohled na získané koeficienty nabádá k závěru, ţe 5% celkového příjmu vydá spotřebitel na nákup piva, nehledě na jeho cenu a cenu komplementárních statků. Ostatní koeficienty 𝑏𝑖 (𝑖 = 2,3,4 ) mají zápornou hodnotu, tedy zvýšení příjmu spotřebitele povede v prvé řadě ke sníţení výdajů na víno, destiláty a tabákové výrobky. Úvaha o koeficientech 𝑐𝑖 respektive 𝑏𝑖 𝑐𝑖 − 𝑐𝑖

26

nás dovede k výsledku, ţe růst ceny (všech uvaţovaných komodit)

bude mít za následek zvýšení výdajů na nákup dané komodity. Konkrétně, růst cen tabákových výrobků o 10% v roce 2008, ceteris paribus, způsobí pokles spotřebovávaného mnoţství o 6,31%. Zvedne-li se cena piva o 10%, ceteris paribus, pak nakoupené mnoţství vzroste

𝑝𝑖 𝑞𝑖 = 𝑏𝑖 𝑀 + 𝑏𝑖 𝑐𝑖 𝑝𝑖 − 𝑐𝑖 𝑝𝑖 , pro 𝑖 = 1: 0 < 𝑏1 < 1, 𝑐1 < 0 → Růst 𝑝1 vyvolá pokles 𝑝1 𝑞1 o 𝑏1 ∙ 𝑐1 a růst 𝑝1 𝑞1 o 𝑐1 : 𝑏1 ∙ 𝑐1 < 𝑐1 , celkové náklady na pivo tedy porostou.

26

43

o 22,8%. Růst ceny vína o 10% by podle výsledků modelu pro rok 2008 znamenal nárůst poptávaného mnoţství o 18,1%. Pro destiláty by zvýšení ceny o 10% znamenalo růst nakupovaného mnoţství o 15,6%. V tomto konkrétním případě, pro rok 2008 lineární výdajový model funguje nejlépe pro tabákové výrobky. Pro případ, kdy vzroste spotřebitelův příjem o 10%, a ostatní hodnoty se nezmění, lineární výdajový model předpovídá růst poptávaného mnoţství piva o 1,17%.

7.2.2 Výsledky AIDS – Téměř dokonalého výdajového schématu Tabulka č. 2. AIDS model const. 1 Pivo

2 Víno

4 Tabák

ln(p4)

ln(M/P)

R/DW

0,4229 -0,2332 -0,0383 -0,1831

-0,047

0,911

-3,375 -0,4765 -3,9043

-1,3445

1,4343

0,1902 -0,0987 -0,0092

-0,083

0,8142

-3,7488

1,9152

Parametry

1,5601

t-statistiky

5,5266 13,3035

Parametry

3 Destiláty

ln(p1)

0,436

-0,055

ln(p2)

t-statistiky

2,4412 -2,7333

Parametry

2,1129

0,0988 -0,2972 -0,1104

0,012

-0,0295

0,8992

t-statistiky

4,7492

1,9715 -2,7285 -0,8713

0,1619

-0,5359

1,4553

Parametry -13,2881

-1,922 12,1466 12,3642

6,0818 -27,7128

0,9754

t-statistiky

-0,5798 -0,7446

4,3488

ln(p3)

2,1647

-1,94 -0,3105

1,8938

1,5974

-9,7581

1,33

Výsledky AIDS modelu aplikovaného na data českého spotřebitele pro období 19892009 můţeme vidět v tabulce č. 2. Výsledky se zdají být uspokojivé; koeficient determinace se pohybuje v rozmezí od 0,81 do 0,97, jinými slovy, na základě modelu se podařilo vysvětlit 81% - 97% variability vysvětlované proměnné. Durbin-Watsonův koeficient neprokazuje ţádnou statisticky významnou autokorelaci. Počet statisticky významných proměnných se pohybuje mezi 3 a 5. Nejvíce pro 2. parametr (víno), kde je statisticky významných 5 proměnných. Výdajová rovnice pro 1. parametr (pivo) obsahuje 4 statisticky významné proměnné. Ceny vína jsou v kaţdé rovnici statisticky významné. Ve třech výdajových rovnicích se statisticky významně vyskytuje cena piva.

44

Silný inverzní vztah lze vidět mezi spotřebou tabákových výrobků (4. parametr) a logaritmem deflovaného příjmu; jinými slovy: nepatrná kladná změna v příjmu spotřebitele má velký negativní vliv na spotřebu tabákových výrobků. Všechny ostatní sledované komodity (pivo, víno a destiláty) vykazují slabou negativní korelaci mezi nakupovaným mnoţstvím jednotlivých statků a logaritmem deflovaného příjmu spotřebitele. Matematicky nepříliš náročnou kalkulací můţeme z výsledků modelu zjistit, například,ţe zvýšení ceny piva o 10% v roce 2008, ceteris paribus, bude znamenat pokles poptávaného mnoţství piva o 1,07%. Naopak, vzroste-li spotřebiteli příjem o 10% (opět uvaţujeme rok 2008), a jiné veličiny se nezmění, pak spotřeba piva vzroste o 7,8%. Z ostatních výdajových rovnic plyne, ţe 10% růst ceny vína bude znamenat pokles poptávaného mnoţství vína o 4,8%. Zdraţení destilátů o 10% bude znamenat sníţení poptávky o 10,9%. Pro tabákové výrobky zřejmě AIDS model nefunguje zcela korektně, neb z něj plyne, ţe 10% růst ceny tabákových výrobků způsobí pokles poptávaného mnoţství 95,3%. Homogenita modelu je potvrzena s výjimkou pro výdajovou rovnici tabákových výrobků. Symetrie substituční matice je také nepatrně narušena tabákovými výrobky, konkrétně v kombinaci s destiláty a vínem. Součtovatelnost je zajištěna uzavřeností modelu. Výpočtem vlastních čísel Slutského substituční matice lze testovat nezápornost modelu; byť jsou 3 ze 4 vlastních čísel nezáporné, tak podmínka nezápornosti není splněna.

7.2.3 Výsledky Rotterdamského modelu Tabulka č. 3. Rotterdamský model const. 1 Pivo 2 Víno 3 Destiláty 4 Tabák

dLP1

dLP2

dLP3

dLP4

∑w.dLQ

R/DW

Parametry

-0,0039 -0,0128 -0,0331

0,1715 -0,0077

0,003

0,5364

t-statistiky

-1,3783 -0,5969 -1,0646

3,5048 -0,3278

2,5448

2,3267

Parametry

0,0011 -0,0208 -0,0066 -0,0096

0,0492

0,0011

0,5864

t-statistiky

0,8641

-2,082 -0,4578 -0,4216

4,4595

2,012

1,8532

Parametry

0,003

0,0891 -0,0313 -0,1499

0,0258

0,0018

0,4218

t-statistiky

0,5508

2,1414 -0,5177 -1,5743

0,561

0,7992

1,5545

0,071 -0,0119 -0,0673

0,994

0,9999

0,8815 -0,0936 -1,0982 324,3517

1,6928

Parametry

-0,0003 -0,0556

t-statistiky

-0,0377 -1,0022

Na závěr se podívejme na výsledky Rotterdamského modelu s daty pro českého spotřebitele v letech 1989-2009, viz. Tabulka č. 3. Výsledky tohoto modelu jsou i nejsou 45

uspokojivé, koeficient determinace se pohybuje v rozmezí pouze 0,4219 a 0,5864 aţ na výjimku pro čtvrtou rovnici výdajového systému pro tabákové výrobky, kdy koeficient determinace dosahuje aţ na hodnotu 0,9999! Všechny koeficienty náleţí do pásma, ve kterém nelze vyhodnotit korelovanou reziduí. Durbin Watsonův koeficient pro 3 ze 4 koeficientů se blíţí do úseku, kde je indikována nekorelovanou reziduí. Nejvíce statisticky významných parametrů je ve výdajové rovnici pro víno, konkrétně 3. V rovnici pro pivo jsou to 2 statisticky významné parametry a pro destiláty a tabákové výrobky se objevil pouze jeden statisticky významný parametr. Ani jednou se neprojevila cena vína (respektive rozdíl logaritmů cen dvou po sobě jdoucích období) jako významný parametr jakékoliv výdajové rovnice. Co je ale vítanou změnou oproti AIDS modelu je, ţe pro všechny cenové elasticity vyšly záporné hodnoty, byť statisticky nepříliš významné. Výsledky modelu odpovídají homogenitě ve všech jednotlivých výdajových rovnicích. Symetrie substituční matice je také prokázána. Součtovatelnost vyplývá z uzavřenosti modelu a z podstaty dat. Nezápornost Slutského substituční matice nebyla prokázána; 2 ze 4 vlastních čísel byla záporná. Interpretace výsledků Rotterdamského modelu je moţná i tímto způsobem: V důsledku zdraţení piva o 10% v roce 2008, ceteris paribus, dojde k poklesu poptávky po pivu o 0,25%. Byť parametr 𝑠𝑝𝑖𝑣𝑜 ,𝑝𝑖𝑣𝑜 není statisticky příliš významný, tak skutečnost, ţe zdraţení piva se téměř nepromítne do poptávaného mnoţství piva, aţ příliš reálně vystihuje českého spotřebitele. Podrobně popsaný postup kalkulace tohoto výsledku naleznete v Příloze č. 2: Postup vyhodnocení výsledků Rotterdamského modelu. Růst ceny vína v roce 2008 o 10%, ceteris paribus, způsobí pokles poptávaného mnoţství vína o 2,2%. Zdraţení destilátů o 10% bude mít podle výsledků Rotterdamského modelu za následek 6,5% růst ptávaného mnoţství. U tabákových výrobků bude 10% růst ceny znamenat pokles poptávaného mnoţství o 0,55%.

46

7.3 Srovnání modelů Kaţdý výdajový model má své světlé stránky i svá úskalí; porovnáme-li výsledky předchozích tří modelů aplikovaných na datech pro Českou republiku v letech 1989 aţ 2009 na statky 2. spotřební skupiny COICOP, pak při posuzování platnosti jednotlivých restrikcí zjistíme, ţe: - Podmínka homogenity stupně 0 poptávkových funkcí (v 𝑝 a v 𝑀 současně) nejlépe obstála v Rotterdamském výdajovém modelu, o něco hůře v AIDS modelu, zde situaci komplikuje výdajové schéma týkající se tabáku. U lineárního výdajového modelu nelze homogenitu testovat, povaţujeme ji automaticky za platnou. - Symetrie Slutského substituční matice je splněna v Rotterdamském modelu a v lineárním modelu platí bez dodatečných omezení uvalených na parametry. V AIDS modelu je symetrie nepatrně narušena tabákovými výrobky. - Negativní semidefinitnost Slutského substituční matice nejlépe obstála v AIDS modelu (3 ze 4 vlastních čísel matice 𝑆 jsou nezáporná); v Rotterdamském modelu jsou 2 ze 4 vlastních čísel Slutského matice záporná, podmínka tedy není splněna. Pro lineární výdajový model znamená dodrţení negativity uvalení dodatečné podmínky na parametry. - Součtovatelnost je zajištěna uzavřeností modelu a podstatou dat. V lineárním výdajovém modelu přesto není dodrţena. Z hlediska hodnot koeficientů determinace vychází nejlépe lineární výdajový model, pak AIDS model a nejniţší hodnoty má Rotterdamský model. Porovnáme-li Rotterdamský model a AIDS model podle počtu významných koeficientů, pak AIDS model vítězí. Úvahu o reálnosti výsledků jednotlivých modelů přenechám čtenáři, pomůckou mu můţe být následující tabulka: Tabulka č.4 Porovnání výsledků modelů vliv na poptávané množství na základě modelů pro rok 2008 Lineární výdajový model růst ceny dané komodity o 10%

AIDS model

Rotterdamský model

pivo

růst o 22,8%

pokles o 1,07%

pokles o 0,53%

víno

růst o 18,1%

pokles o 4,8%

pokles o 2,2%

destiláty

růst o 15,6%

pokles o 10,9%

růst o 6,5%

tabákové výrobky

pokles o 6,31%

pokles o 95,3%

pokles o 0,55%

47

8 Uplatnění zvolené metodologie To, co statistik pozoruje na datech, je ve skutečnosti výsledek působení mnoha faktorů. Kaţdá jednotlivá hodnota vzniká souhrou mnoha vlivů: kaţdý spotřebitel je originální jedinec, má své vlastní návyky a averze; ovlivňují ho reklamy, názory nejuţšího sociálního okolí a časové limity, z nichţ plynou třeba i finanční moţnosti. Spotřebu určité komodity ovlivňují i módní trendy týkající se nejen komodity samotné, ale stejně tak i statků komplementárních a substitutů. Prací a posláním statistika je, popsat vývoj vysvětlované proměnné na základě několika vysvětlujících proměnných. Byť se tento úkol můţe zdát snadný, opak je pravdou. Důleţitým krokem takového statistického projektu a první komplikací zároveň je zvolení proměnných na základě teoretické vhodnosti. Druhou komplikací se jeví dostupnost vhodné datové základny v dostatečně dlouhých časových řadách. Dále se statistik musí rozhodnout, jaký model vyuţije pro zpracování dat; směrodatná je teoretická vhodnost vzhledem k druhu dat a moţnost interpretace výsledků. Model musí být také kalkulace schopný. Pak přichází na řadu úpravy modelu a vyhodnocení výsledků. Přes všechnu tuto důslednou a komplikovanou práci můţe být výsledek sporný či dokonce nemusí odpovídat realitě vůbec. Coţ povede k uváţení vhodnosti jednotlivých proměnných, zváţení vhodnosti modelu a ověření správnosti kalkulace. V momentě, kdy statistik získá výsledky odpovídající realitě, kterým se dá věřit, pak nastává prostor pro tvorbu predikcí. Tato část výzkumu je nesmírně zajímavá nejen pro statistika, ale třeba pro manaţery plánování výroby ať uţ sledované komodity nebo jejich komplementů či substitutů. Z tohoto hlediska má statistické modelování výdajových schémat nemalé uplatnění. Aby toto vyuţití výsledků bylo moţné, je třeba vytvořit obsáhlejší práci neţli je tato diplomová práce. Abychom nalezli nejvhodnější model, bylo by zapotřebí jich vyzkoušet mnohem více (například kvadratické modely, TRANSLOG model a další). Přesnosti výsledků a tedy i jejich interpretace by prospělo například členění vysvětlované proměnné podle značky (Radegast 10° lahvové / Pilsner Urquell 12° čepovaná), sledování sezónních výkyvů poptávky (horké léto / dlouhá zima) nebo přesnější lokalizace posbíraných dat (Ostrava / Plzeň). Věřím, ţe dostatečně podrobný model (nebo souhrn modelů) by se mohl stát uţitečnou pomůckou při plánování nabídky sledované komodity. Výsledky modelů mohou odhalit i změny v poptávaném mnoţství sledované komodity způsobené změnou ceny nebo nabízeného mnoţství jiného statku. Do modifikovaných modelů můţeme zahrnout i vlivy reklamy na poptávaná mnoţství a sledovat tak výnosnost prostředků investovaných například do TV reklam a billboardů.

Výdajové modely popisující chování spotřebitelů mohou být přínosné

i z hlediska sociálních a psychologických výzkumů; ať uţ se jedná o působení reklam

48

na spotřebitelovo chování nebo vlivy módních trendů na nakupované statky. Roztřídíme-li spotřebitele do skupin, pak můţeme pozorovat například rozdíly v chování ekonomicky slabších skupin a finančně lépe situovaných skupin v reakci buďto na změny cen substitutů a komplementů, vlivy reklamy anebo sezónních trendů.

49

9 Závěr Práce pojednává o ekonometrických výdajových modelech, konkrétně o lineárním výdajovém modelu, AIDS - téměř dokonalém poptávkovém systému a Rotterdamském výdajovém schématu.

Diplomová práce se sice zaměřuje na výdajové modely, ale pro

čtenářovo pohodlí a komplexnost práce obsahuje i základy teorie spotřebitele a teorie uţitku. V textu se čtenář také dověděl, jakým způsobem se odvozují tzv. Marshallovské poptávky, jaký mají vztah k přímým i nepřímým uţitkovým funkcím. Jednotlivé modely jsou definovány v kapitolách 4,5 a 6, spolu s restrikcemi kladenými na jejich parametry. Konečně v kapitole 7 byly modely aplikovány na data českého spotřebitele v období 1989-2009, týkající se spotřeby piva, vína, destilátů a tabákových výrobků. Výsledky jsou pozoruhodné, některé modely splňují poţadované restrikce parametrů snadno, některé modely mají potíţe s dodrţením poţadovaných omezení. Modely mají různé vypovídací schopnosti. Pro ilustraci byly provedeny aplikace modelů na konkrétní jev (jednalo se především o 10% nárůst ceny piva, ceteris paribus). Výsledky jsou různé: lineární výdajový model pro takovou změnu předpovídá nárůst poptávaného mnoţství piva o 22,8%, AIDS model indikuje pokles poptávaného mnoţství piva o 1,07% a Rotterdamský model diktuje pro stejnou změnu pokles poptávaného mnoţství piva o 0,53%; otázkou zůstává, který z výsledků nejlépe odpovídá skutečným změnám poptávky po pivu. Poptávka je veličina ovlivněná mnoha vlivy (nákupní trendy, stav ekonomiky, sociální prostředí spotřebitelů, vliv hrají i reklamy a doporučení, vlastní zkušenosti spotřebitelů z minulosti…), a jako taková se dá jen velmi těţko matematicky modelovat. I přes to, můţeme říci, ţe modely: lineární výdajový, AIDS i Rotterdamský dávají výsledky slučitelné se skutečností. K více korektním a přesnějším výsledkům modelů by určitě vedly vhodněji specifikovaná data, geografické či sociologické členění uţitých dat, rozšíření modelu o více výdajových rovnic či širší datová základna (data získaná pro delší časové řady).

50

Seznam pouţitých zdrojů27 [1]

ALSTON, Julian M. – CHALFANT, James A. A Test of the Almost Ideal and Rotterdam Models. American Journal of Agricultural Economics, svazek 75, číslo 2, 1993. Strany 304-313.

[2]

ALSTON, Julian M. – CHALFANT, James A.The Silence of the Lambdas: A Test of the Almost Ideal and Rotterdam Models. American Journal of Agricultural Economics, svazek 75, číslo. 2, 1993. Strany 304-313.*

[3]

BARNETT, William A. – SECK, Ousmane. Rotterdam Model Versus Almost Ideal Demand Systém: Will the best specification please stand up?. Journal of Applied Econometrics, svazek 23, 2008. Strany 795-824. *

[4]

BARNETT, William A. – SERLETIS, Apostolos. The Differential Approach to Demand Analysis and the Rotterdam Model. MPRA Paper, číslo 12319/ 21, 2008. *

[5]

BARNETT, William A. Theoretical Foundations for the Rotterdam Model. The Review of Economic Studies,

svazek 46, číslo 1, 1979.

Strany 109-130. * [6]

BARTEN, Anton – BÖHM, Volker. Handbook of Mathematical Economics. II. Vydání. North-Holland Publishing Company, 1982. Charter 9 Consumer Theory.

[7]

BARTEN, Anton P. The Systems of Consumer Demand Functions Approach: A Review. Econometrica. Svazek 45, číslo 1, 1977. Strany 23-50. *

[8]

BLUNDELL, Richard. Consumer Behaviour: Theory and Empirical Evidence – A Survey. The Economic Journal. Svazek 98, 1988, strany 16-65.

[9]

BUSE, Adolf. Evaluating the Linearized Almost Ideal Demand Systém. American Journal of Agricultural Economics, svazek 76, číslo 4, 1994. Strany 781-793.

[10]

CLEMENTS, Kenneth W. – SELVANATHAN, E. Antony. The Rotterdam Demand Model and Its Application in Marketing. Marketing Science, svazek 7, číslo 1, 1988. Strany 60-75.

27

Hvězdičkou (*) jsou označeny zdroje, které velkou měrou přispěly k tvorbě této práce.

51

[11]

DEATON, Angus – MUELLBAUER, John. An Almost Ideal Demand Systém. The American Economic Review, svazek 70, číslo 3, 1980. Strany 312-326. *

[12]

GEARY, R.C. A Constant-Utility Index of the Cost of Living. The Review of Economic Studies. Svazek 18, číslo 1, 1950-1951. Strany 65-66.

[13]

MANKIW, Gregory M. Zásady ekonomie. Grada, 2009. Kapitola 4.

[14]

MORAVANSKÝ, Dalibor. Expenditure systems and thein applicability in the COICOP – classification framework. Příspěvek na konferenci MME, Ostrava 2006. *

[15]

MOUNTAIN, Dean C. The Rotterdam Model: An Approximation in Variable Space. Econometrica, svazek 56, číslo 2, 1988. Strany 477-484.

[16]

MOWEN, C. John. Consumer Behaviour. Macmillan Publishing Company. 2. Vydání, 2002.

[17]

POLLAK, Robert A. – WALES, Terence J. Estimation of the Linear Expenditure

Systém.

Econometrica,

svazek

37,

číslo

4,

1969.

Strany 611-628. [18]

SOLOMON, Michael – BAMOSSY, Gary – ASKEGAARD, Soren. Consumer Behaviour - A European Perspective. Prentice – Hall, Inc., 2. Vydání, 2002.

[19]

STEM/MARK kolektiv: BRIŠKA, Radek – HABERLOVÁ, Magda – HABERLOVÁ, Věra – KLIMEŠ, Jan – LAISEK, Zbyněk – NOVOTNÝ, Oto – PŘIBYLOVÁ, Marie – RAITER, Tomáš – RATHOUSKÁ, Jana – ŠIMONÍK, Pavel – ŠPLÍCHALOVÁ, Jitka – VOBOŘILOVÁ, Gabriela. Český spotřebitel 2000. Strategie Praha s.r.o., 1. Vydání, 2000. Strany 36-46. *

[20]

STONE, Richard. Linear Expenditure Systems and Demand Analysis: An Application to the Pattern of British Demand. The Economic Journal. Svazek 64, číslo 255, 1954. Strany 511-527. *

[21]

THEIL, Henri. The Information Approach To Demand Analysis. Econometrica. Svazek 33, číslo 1, 1965. *

52

Seznam tabulek TABULKA Č. 1:

Lineární výdajový systém…………………………………..……………42

TABULKA Č. 2: AIDS-téměř dokonalý výdajový systém…………..…..…………………44 TABULKA Č. 3: Rotterdamský výdajový systém……………………………..……………45 TABULKA Č. 4: Porovnání výsledků modelů……………………………..………………..47

53

Seznam pouţitého označení

𝑝 = (𝑝1 , 𝑝2 , … , 𝑝𝑛 )

Vektor cen statků

𝑞 = (𝑞1 , 𝑞2 , … , 𝑞𝑛 )

Vektor spotřebovávaného mnoţství komodit

𝑀

Disponibilní důchod spotřebitele (příjem / celkové výdaje spotřebitele) Uţitková funkce, která kaţdému nakupovanému statku přiřadí reálné

𝑢(𝑞)

číslo 𝑒(𝑢, 𝑝)

Výdajová funkce

𝜓(𝑀, 𝑝)

Nepřímá uţitková funkce

𝑕𝑗 (𝑢, 𝑝)

Hicksovská poptávková funkce

𝑞𝑖 (𝑀, 𝑝)

Marshallovská poptávková funkce

𝑆 = 𝑠𝑖𝑗

𝑛×𝑛

Slutského substituční matice

𝑈

Hessova matice

𝑥

Jiné determinanty

𝑤𝑖

Podíl rozpočtu spotřebitele na 𝑖-tou komoditu

𝑏, 𝐵, 𝑐 𝛼𝑖 , 𝛽𝑖 , 𝛾𝑖𝑗 𝜃𝑖 , 𝑠𝑖𝑗

Parametry Lineárního výdajového systému Parametry AIDS-téměř dokonalého výdajového modelu Parametry Rotterdamského modelu

54

Příloha č. 1: Metody nejmenších čtverců

Metody nejmenších čtverců jsou matematicko - statistické metody určeny zejména pro řešení soustav lineárních rovnic 𝒀 = 𝑿𝜷 + 𝜺 , díky čemuţ jsou fakticky ekvivalentní tzv. lineární regresi.

Metoda nejmenších čtverců – OLS (Ordinary Least Square) Metoda pro výpočet parametrů 𝑎 a 𝑏 z lineární závislosti 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑎=

𝑛

𝑥𝑖 𝑦𝑖 − 𝑥𝑖 2 𝑛 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖

𝑦𝑖 2

𝑥𝑖2

, 𝑏=

takové hodnoty 𝑎 a 𝑏 minimalizují součet čtverců 𝑆 =

𝑦𝑖 − 𝑛 𝑥𝑖2 −

𝑥𝑖 𝑥𝑖

𝑥𝑖 𝑦𝑖 2

𝑦 − (𝑎𝑥 + 𝑏) 2 .

V maticovém vyjádření 𝒀 = 𝑿𝜷 + 𝜺 má odhad parametrů 𝜷 metodou OLS 𝒃 = 𝑿´𝑿

−1

𝑿𝒀

a reziduální součet čtverců je 𝑆𝑒 = 𝒀 − 𝑿𝒃 𝒀 − 𝑿𝒃 = 𝒀´𝒀 − 𝒃´𝑿´𝒀

Metoda váţených nejmenších čtverců - WLS (Weighted Least Square) Většinou poskytuje lepší výsledky neţ OLS a je také náročnější na kalkulaci. Jednotlivým pozorováním přisuzuje váhu 𝑤𝑖𝑖 = 𝑆=

1 , 𝜎𝑖2

a tak uvaţuje důleţitost jednotlivých pozorování.

𝑤𝑖𝑖 𝑟𝑖2 , 𝑿´𝑾𝑿 𝒃 = 𝑿´𝑾𝒚

Metoda všeobecných nejmenších čtverců – GLS (Generalised Least Square) Pouţívá se v případě heteroskedasticity, nebo v případě určité korelace mezi pozorováními; v takových případech můţe být OLS statisticky nevýznamné. GLS je ekvivalentní aplikaci OLS na lineárně transformovaná data. Nechť 𝛀 = 𝑩𝑩´ , pak pokud vynásobíme obě strany rovníce 𝒀 = 𝑿𝒃 + 𝜺

maticí 𝑩−𝟏 obdrţíme ekvivalentní lineární model

𝒀∗ = 𝑿∗ 𝒃 + 𝜺∗ ,

kde 𝒀∗ = 𝑩−𝟏 𝒀, 𝑿∗ = 𝑩−𝟏 𝑿. Nyní aplikujeme OLS na lineárně transformovaná data. 𝒀∗ − 𝑿𝒃∗ ´ 𝒀∗ − 𝑿𝒃∗ = 𝒀 − 𝑿𝒃 ´𝛀−𝟏 𝒀 − 𝑿𝒃 𝒃 = 𝑿´𝛀−𝟏 𝐗

55

−𝟏

𝑿´𝛀−𝟏 𝐘

Příloha č. 2: Postup vyhodnocení výsledků Rotterdamského modelu Rotterdamský model je dán vztahem: 𝑤𝑖𝑡 𝐷𝑞𝑖𝑡 = 𝜃𝑖 𝐷𝑄𝑡 +

𝑛 𝑗 =1 𝑠𝑖𝑗 𝐷𝑝𝑗𝑡 .

Tento tvar

si můţeme rozepsat následujícím způsobem: 1 𝑝𝑖,𝑡 𝑞𝑖,𝑡 𝑝𝑖,𝑡−1 𝑞𝑖,𝑡−1 + 2 𝑀𝑡 𝑀𝑡−1 =𝜃𝑖

𝑛 1 𝑝 𝑖,𝑡 𝑞 𝑖,𝑡 𝑖=1 2 𝑀𝑡

+

log 𝑞𝑖𝑡 − log 𝑞𝑖,𝑡−1 =

𝑝 𝑖,𝑡−1 𝑞 𝑖,𝑡−1

(log 𝑞𝑖𝑡 − log 𝑞𝑖,𝑡−1 ) +

𝑀𝑡−1

𝑛 𝑗 =1 𝑠𝑖𝑗 (log 𝑝𝑗𝑡

− log 𝑝𝑗 ,𝑡−1 ).

Pro náš konkrétní model spotřeby piva můţeme vyuţít zápisu: 1 𝑝𝑝𝑖𝑣𝑜 ,𝑡 𝑞𝑝𝑖𝑣𝑜 ,𝑡 𝑝𝑝𝑖𝑣𝑜 ,𝑡−1 𝑞𝑝𝑖𝑣𝑜 ,𝑡−1 + 2 𝑀𝑡 𝑀𝑡−1

log 𝑞𝑝𝑖𝑣𝑜 ,𝑡 − log 𝑞𝑝𝑖𝑣𝑜 ,𝑡−1 =

𝑝 𝑝𝑖𝑣𝑜 ,𝑡−1 𝑞 𝑝𝑖𝑣𝑜 ,𝑡−1 1 𝑝 𝑝𝑖𝑣𝑜 ,𝑡 𝑞 𝑝𝑖𝑣𝑜 ,𝑡 + log 𝑞𝑝𝑖𝑣𝑜 ,𝑡 − log 𝑞𝑝𝑖𝑣𝑜 ,𝑡−1 2 𝑀𝑡 𝑀𝑡−1 𝑝 𝑞 𝑣í𝑛 𝑜 ,𝑡−1 1 𝑝 ,𝑡 𝑞 𝑣í𝑛𝑜 ,𝑡 + 2 𝑣í𝑛𝑜 𝑀 + 𝑣í𝑛𝑜 ,𝑡−1 log 𝑞𝑣í𝑛𝑜 ,𝑡 − log 𝑞𝑣í𝑛𝑜 ,𝑡−1 𝑀 𝑡 𝑡−1 =𝜃𝑝𝑖𝑣𝑜 𝑝 𝑞 𝑑𝑒𝑠𝑡𝑖𝑙 á𝑡𝑦 ,𝑡−1 1 𝑝 ,𝑡 𝑞 𝑑𝑒𝑠𝑡𝑖𝑙 á𝑡𝑦 ,𝑡 + 2 𝑑𝑒𝑠𝑡𝑖𝑙 á𝑡𝑦 𝑀 + 𝑑𝑒𝑠𝑡𝑖𝑙 á𝑡𝑦 ,𝑡−1 log 𝑞𝑑𝑒𝑠𝑡𝑖𝑙 á𝑡𝑦 ,𝑡 − log 𝑞𝑑𝑒𝑠𝑡𝑖𝑙 á𝑡𝑦 ,𝑡−1 𝑀𝑡−1 𝑡 𝑞 𝑝 𝑞 𝑡𝑎𝑏 á𝑘,𝑡−1 1 𝑝 + 2 𝑡𝑎𝑏 á𝑘,𝑡𝑀 𝑡𝑎𝑏 á𝑘,𝑡 + 𝑡𝑎𝑏 á𝑘,𝑡−1 log 𝑞𝑡𝑎𝑏 á𝑘,𝑡 − log 𝑞𝑡𝑎𝑏 á𝑘,𝑡−1 𝑀 𝑡

𝑡−1

+𝑠𝑝𝑖𝑣𝑜 ,𝑝𝑖𝑣𝑜 log 𝑝𝑝𝑖𝑣𝑜 ,𝑡 − log 𝑝𝑝𝑖𝑣𝑜 ,𝑡−1 + +𝑠𝑝𝑖𝑣𝑜 ,𝑣í𝑛𝑜 log 𝑝𝑣í𝑛𝑜 ,𝑡 − log 𝑝𝑣í𝑛𝑜 ,𝑡−1 + +𝑠𝑝𝑖𝑣𝑜 ,𝑑𝑒𝑠𝑡𝑖𝑙 á𝑡𝑦 log 𝑝𝑑𝑒𝑠𝑡𝑖𝑙 á𝑡𝑦 ,𝑡 − log 𝑝𝑑𝑒𝑠𝑡𝑖𝑙 á𝑡𝑦 ,𝑡−1 + +𝑠𝑝𝑖𝑣𝑜 ,𝑡𝑎𝑏 á𝑘 (log 𝑝𝑡𝑎𝑏 á𝑘,𝑡 − log 𝑝𝑡𝑎𝑏 á𝑘,𝑡−1 ). Změnu ceny piva uvaţujeme ceteris paribus, tedy: 𝑀𝑡 = 𝑀𝑡−1 , 𝑞𝑣í𝑛𝑜 ,𝑡 = 𝑞𝑣í𝑛𝑜 ,𝑡−1 , 𝑝𝑣í𝑛𝑜 ,𝑡 = 𝑝𝑣í𝑛𝑜 ,𝑡−1 , 𝑞𝑑𝑒𝑠𝑡𝑖𝑙 á𝑡𝑦 ,𝑡 = 𝑞𝑑𝑒𝑠𝑡𝑖𝑙 á𝑡𝑦 ,𝑡−1 , 𝑝𝑑𝑒𝑠𝑡𝑖𝑙 á𝑡𝑦 ,𝑡 = 𝑝𝑑𝑒𝑠𝑡𝑖𝑙 á𝑡𝑦 ,𝑡−1 , 𝑞𝑡𝑎𝑏 á𝑘,𝑡 = 𝑞𝑡𝑎𝑏 á𝑘,𝑡−1 , 𝑝𝑡𝑎𝑏 á𝑘,𝑡 = 𝑝𝑡𝑎𝑏 á𝑘,𝑡−1 . Abychom zjistili vliv růstu ceny piva na jeho spotřebovávané mnoţství, bude nám postačovat tento podsystém: 1 𝑝 𝑝𝑖𝑣𝑜 ,𝑡 𝑞 𝑝𝑖𝑣𝑜 ,𝑡 2 𝑀𝑡

=𝜃𝑝𝑖𝑣𝑜

+

𝑝 𝑝𝑖𝑣𝑜 ,𝑡−1 𝑞 𝑝𝑖𝑣𝑜 ,𝑡−1

1 𝑝 𝑝𝑖𝑣𝑜 ,𝑡 𝑞 𝑝𝑖𝑣𝑜 ,𝑡 2 𝑀𝑡

𝑀𝑡

+

log 𝑞𝑝𝑖𝑣𝑜 ,𝑡 − log 𝑞𝑝𝑖𝑣𝑜 ,𝑡−1 =

𝑝 𝑝𝑖𝑣𝑜 ,𝑡−1 𝑞 𝑝𝑖𝑣𝑜 ,𝑡−1 𝑀𝑡

log 𝑞𝑝𝑖𝑣𝑜 ,𝑡 − log 𝑞𝑝𝑖𝑣𝑜 ,𝑡−1

+𝑠𝑝𝑖𝑣𝑜 ,𝑝𝑖𝑣𝑜 log 𝑝𝑝𝑖𝑣𝑜 ,𝑡 − log 𝑝𝑝𝑖𝑣𝑜 ,𝑡−1 . Cena piva meziročně vzroste o 10%: 𝑝𝑝𝑖𝑣𝑜 ,𝑡 = 1,1 ∙ 𝑝𝑝𝑖𝑣𝑜 ,𝑡−1

56

Meziroční změna poptávaného mnoţství piva je 𝑥 ∶ 𝑞𝑝𝑖𝑣𝑜 ,𝑡 = 𝑥 ∙ 𝑞𝑝𝑖𝑣𝑜 ,𝑡−1 . Oba tyto vztahy dosadíme do předchozí rovnice. 1 1,1𝑝𝑝𝑖𝑣𝑜 ,𝑡−1 𝑥𝑞𝑝𝑖𝑣𝑜 ,𝑡−1 + 𝑝𝑝𝑖𝑣𝑜 ,𝑡−1 𝑞𝑝𝑖𝑣𝑜 ,𝑡−1 2 𝑀𝑡 =𝜃𝑝𝑖𝑣𝑜

1 1,1𝑝 𝑝𝑖𝑣𝑜 ,𝑡−1 𝑥𝑞 𝑝𝑖𝑣𝑜 ,𝑡−1 +𝑝 𝑝𝑖𝑣𝑜 ,𝑡−1 𝑞 𝑝𝑖𝑣𝑜 ,𝑡−1 2 𝑀𝑡

log 𝑥𝑞𝑝𝑖𝑣𝑜 ,𝑡−1 − log 𝑞𝑝𝑖𝑣𝑜 ,𝑡−1 = log 𝑥𝑞𝑝𝑖𝑣𝑜 ,𝑡−1 − log 𝑞𝑝𝑖𝑣𝑜 ,𝑡−1

+𝑠𝑝𝑖𝑣𝑜 ,𝑝𝑖𝑣𝑜 log 1,1𝑝𝑝𝑖𝑣𝑜 ,𝑡−1 − log 𝑝𝑝𝑖𝑣𝑜 ,𝑡−1 . Vyuţijeme vztahu: log 𝑥𝑞𝑝𝑖𝑣𝑜 ,𝑡−1 − log 𝑞𝑝𝑖𝑣𝑜 ,𝑡−1 = log

𝑥𝑞 𝑝𝑖𝑣𝑜 ,𝑡−1 𝑞 𝑝𝑖𝑣𝑜 ,𝑡−1

= log 𝑥 a vytkneme výraz

na levé straně rovnice: 1 1,1𝑝𝑝𝑖𝑣𝑜 ,𝑡−1 𝑥𝑞𝑝𝑖𝑣𝑜 ,𝑡−1 + 𝑝𝑝𝑖𝑣𝑜 ,𝑡−1 𝑞𝑝𝑖𝑣𝑜 ,𝑡−1 2 𝑀𝑡

log 𝑥 (1 − 𝜃𝑝𝑖𝑣𝑜 ) = 𝑠𝑝𝑖𝑣𝑜 ,𝑝𝑖𝑣𝑜 log 1,1

Za 𝑡 dosadíme 2009, 𝑡 − 1 je tedy 2008. V datech dohledáme konkrétní hodnoty: 𝑠𝑝𝑖𝑣𝑜 ,𝑝𝑖𝑣𝑜 = −0,0128, 𝜃𝑝𝑖𝑣𝑜 = 0,003, 𝑝𝑝𝑖𝑣𝑜 ,𝑡−1 = 9,13, 𝑞𝑝𝑖𝑣𝑜 ,𝑡−1 = 156,6, 𝑀𝑡=2008 = 3084. Po

dosazení

jednotlivých

hodnot

a

jednoduché

ţe 0,2549 ∙ 𝑥 ∙ log 𝑥 + 0,2318 ∙ log 𝑥 = −0,00122363

matematické →

úpravě

zjistíme,

𝑥 ≅ 0,9975 .

Výsledek

lze interpretovat slovy: v důsledku zdraţení piva o 10% v roce 2008 dojde k poklesu poptávky po pivu v roce 2009 o 0,25%. Byť parametr 𝑠𝑝𝑖𝑣𝑜 ,𝑝𝑖𝑣𝑜 není příliš statisticky významný, tak skutečnost, ţe zdraţení piva se téměř nepromítne do poptávaného mnoţství piva, aţ příliš reálně vystihuje českého spotřebitele.

57

Příloha č. 3: Jaký je český spotřebitel piva ve skutečnosti? Vztah české populace k alkoholu je víceméně vstřícný. Naprostá většina dospělých obyvatel povaţuje konzumaci alkoholu za součást společenského ţivota a proto se ho buď pravidelně, nebo příleţitostně ráda napije (82%). Abstinenti v roce 1999 zaujímají 7% spotřebitelů, z větší části ţeny. Dominantním produktem českého trhu s alkoholickými nápoji zůstává pivo. Pravidelní a příleţitostní konzumenti piva reprezentují zhruba 75% dospělé populace a v posledních letech se jejich podíl prakticky nemění. Dlouhodobě však spotřeba alkoholu v České republice roste! V roce 1989 vypil průměrný Čech (včetně nemluvňat) 151 litrů piva, v roce 2005 to jiţ bylo rekordních 163,5 litrů piva. V rámci Evropské Unie má v roce 2001 Česká republika neradostné prvenství ve spotřebě piva, určené v hodnotě čistého lihu na osobu; konkrétně 7,91 litrů; druhé místo obsadilo Irsko se 7,31 litry čistého lihu na osobu v podobě piva; následuje Německo a Rakousko. V Evropské unii se v celkové spotřebě alkoholu (opět uvedené v hodnotě čistého lihu na osobu) nejvíce prosazuje Lucembursko, druhé místo patří České republice. Kaţdý občan, včetně nemluvňat tak v roce 2008 vypil 156 litrů piva a k tomu 18,5 litrů vína a ještě 8,1 litrů lihovin (v přepočtu na 40% alkoholický obsah). Domácí spotřebitelé se v naprosté většině orientují na pivo českých značek, čímţ potvrzují pověst piva, jako našeho „národního nápoje“. Nákup zahraničních piv je v tomto srovnání zcela marginální, jeho konzumace je jakýmsi zpestřením, navíc spíše jednorázovým neţ opakovaným. Totéţ platí i o pivech vícestupňových (více neţ 12°), které nepředstavují tradiční sortiment českých pivovarů. Největší podíl na pravidelné konzumaci má desítka v lahvovém provedení, a to i přesto, ţe pravidelné posezení u piva v hospodě či v restauraci představuje pro mnohé české spotřebitele téměř rituál (takřka 20% obyvatel zajde do hospody alespoň 1x týdně). Lahvovou desítku pije alespoň jednou týdně více neţ třetina dospělých, denně jí konzumuje 11% spotřebitelů. Při srovnání frekvence nákupu a spotřeby lahvového piva se dostáváme k velmi podobným výsledkům. T toho lze usuzovat, ţe lahvové pivo patří k typicky rychlo-obrátkovým produktům, které se průběţně spotřebovávají i nakupují. Trh piva je trhem značkovým, na kterém se prosazuje větší počet pivovarů. Podle výsledků specializovaného šetření „Monitor trhu piva“, které průběţně realizuje společnost STEM/MARK, byl v roce 1999 nejčastěji konzumovanou značkou Gambrinus. Tuto značku pila téměř pětina spotřebitelů (měřeno spotřebou značky, kterou pil naposledy). Na druhém místě je značka Radegast, na třetím Pilsner Urquell. Dlouhodobě prudce roste spotřeba nealkoholických piv. 58

V roce 2010 negativně ovlivnilo poptávku po pivu zvýšení spotřební daně, konkrétně o 33 % v kombinaci s niţším disponibilním příjmem populace. Nicméně svou roli sehrála i niţší návštěvnost zahraničních turistů, jejichţ podíl na celkové konzumaci piva v Česku se odhaduje zhruba mezi 20-30%. Údaje o konzumaci alkoholických nápojů ukazují, ţe dospělá populace uplatňuje ve větší míře univerzální přístup k alkoholu, nikoliv selektivní. Jinými slovy, je jen malé procento lidí, kteří pijí například výlučně víno. Naopak, poměrně často se vyskytuje kombinace pravidelného pití piva a příleţitostné konzumace vína. Překvapivě se neprokázala uţší souvislost mezi kouřením a pitím alkoholických nápojů. Rozdíly v konzumaci jednotlivých druhů alkoholických nápojů jsou mezi kuřáky a nekuřáky většinou nevýznamné. [19]

59

60