MASARYKOVA UNIVERZITA Ekonomicko-správní fakulta

MASARYKOVA UNIVERZITA Ekonomicko-správní fakulta Obor: Matematické a statistické metody v ekonomii

DIPLOMOVÁ PRÁCE

Bayesovský přístup k analýze a predikci časových řad Time Series Analysis and Prediction: A Bayesian Approach

Vedoucí práce: Ing. Daniel Němec, Ph.D.

Autor práce: Bc. Tomáš Vaněk

Brno, 2014

MASARYKOVA UNIVERZITA Ekonomicko-správní fakulta

ZADÁNÍ DIPLOMOVÉ PRÁCE Akademický rok: 2013/2014 Student:

Bc. Tomáš Vaněk

Obor:

Matematické a statistické metody v ekonomii

Téma práce:

Bayesovský přístup k analýze a predikci časových řad

Téma práce anglicky:

Time Series Analysis and Prediction: A Bayesian Approach

Cíl práce, postup a použité metody:

Náplní práce je aplikovat techniky bayesovské ekonometrie na analýzu a predikci ekonomických časových řad. Hlavním nástrojem analýzy budou bayesovské vektorové autoregresní modely (BVAR) modely. Cílem páce bude ověřit predikční schopnosti BVAR modelů při predikci makroekonomických časových řad, a to pro ekonomiky zemí V4. Diplomant ve své práci rozebere výsledky s použitím různě nastavených apriorních hustot, stabilitu predikční výkonnosti BVAR modelů (s využitím rekurzivních predikcí), možnosti využití bayesovského průměrování modelů a doplňkově pak porovná výsledky s přístupem využívajícím BVECM modely a klasické VAR a VECM modely. Postup práce: 1. Rešerše literatury pojednávající o BVAR modelech a obecněji o bayesovském přístupu k analýze (predikci) časových řad včetně pohledu na jejich aktuální využitelnost při makroekonomických predikcích. 2. Představení BVAR modelů a problémů spojených s jejich využitím pro účely modelování ekonomických časových řad a jejich predikcí. 3. Představení použitých makroekonomických dat, jejich případné transformace a metodologie konstrukce modelů a hodnocení predikčních schopností. 4. Odhad a predikce zvolených modelů, porovnání alternativních technik, ověření robustnosti odhadů a možností zlepšení predikčních schopností s využitím bayesiánského průměrování modelů. Vyhodnocení praktických problémů spojených s aplikací bayesovského přístupu k analýze a predikci časových řad v kontextu zvolených modelových aplikací. 5. Zpracování výsledků do podoby diplomové práce.

Rozsah graﬁckých prací:

Podle pokynů vedoucího práce

Rozsah práce bez příloh:

60 – 70 stran

Literatura:

WEST, Mike a Jeff HARRISON. Bayesian forecasting and dynamic models. New York: Springer-Verlag, 1989. 704 s. ISBN 0-387-97025-8. BAUWENS, Luc, Michel LUBRANO a Jean-François RICHARD. Bayesian inference in dynamic econometric models. Oxford: Oxford University Press, 1999. ISBN 0-19-877313-7. Bayesian econometrics. Edited by Gary Koop. Chichester: Wiley, 2003. xi, 359 s. ISBN 9780470845677. Strana 1 z 2

CANOVA, Fabio. Methods for applied macroeconomic research. Princeton: Princeton University Press, 2007. xiv, 492 s. ISBN 978-0-691-11504-7. POLE, Andy, Mike WEST a Jeff HARRISON. Applied Bayesian forecasting and time series analysis. Boca Raton: Chapman & Hall/CRC, 1994. xviii, 409. ISBN 0412-04401-3. Bayesian methods in ﬁnance. Edited by S. T. Rachev. Hoboken, N.J.: Wiley, 2008. xviii, 329. ISBN 9780471920830. Vedoucí práce:

Ing. Daniel Němec, Ph.D.

Pracoviště vedoucího práce:

Katedra ekonomie

Datum zadání práce: 4. 12. 2012 Termín odevzdání diplomové práce a vložení do IS je uveden v platném harmonogramu akademického roku.

.................................. Ing. Zdeněk Tomeš, Ph.D. vedoucí katedry

.................................. prof. Ing. Antonín Slaný, CSc. děkan

V Brně dne: 18. 4. 2014

Strana 2 z 2

Jméno a příjmení autora:

Bc. Tomáš Vaněk

Název diplomové práce:

Bayesovský přístup k analýze a predikci časových řad

Název práce v angličtině:

Time Series Analysis and Prediction: A Bayesian Approach

Katedra:

ekonomie

Vedoucí diplomové práce: Ing. Daniel Němec, Ph.D. Rok obhajoby:

2014

Anotace Tato diplomová práce se zabývá predikcí vybraných makroekonomických veličin zemí Visegrádské čtyřky. Rekurzivní predikce je provedena pomocí klasických a bayesiánských vektorových autoregresních modelů s různými apriorními hustotami. V první řadě je modelová predikce srovnána s naivní predikcí a dále je zkoumáno, zda je predikce pomocí bayesovských modelů přesnější než ta pomocí klasického modelu. V této souvislosti jsou zkoumány i další aspekty predikce, včetně vlivu různých kombinací predikcí více modelů na jejich přesnost.

Annotation This diploma thesis deals with a prediction of selected macroeconomic variables of Visegrad group countries. The recursive prediction is carried out by means of classical and bayesian vector autoregressive models with different priors. In the first place, the model prediction is compared to the naive prediction. Furthemore, it is examined whether the prediction of bayesian models is more accurate than the one of the classical model. Another aspects of the prediction are investigated in this context, including the impact of various prediction combinations on its accuracy.

Klíčová slova predikce, vektorový autoregresní model, bayesovský přístup, kombinace predikcí

Keywords prediction, vector autoregressive model, bayesian approach, prediction combination

Prohlášení Prohlašuji, že jsem diplomovou práci Bayesovský přístup k analýze a predikci časových řad vypracoval samostatně pod vedením Ing. Daniela Němce, Ph.D., a uvedl v ní všechny použité literární a jiné odborné zdroje v souladu s právními předpisy, vnitřními předpisy Masarykovy univerzity a vnitřními akty řízení Masarykovy univerzity a Ekonomicko-správní fakulty MU.

V Brně dne vlastnoruční podpis autora

Poděkování Na tomto místě bych chtěl poděkovat vedoucímu mojí diplomové práce Ing. Danielu Němcovi, Ph.D., za cenné rady, ochotu, trpělivost a vstřícnost. Chtěl bych také poděkovat své rodině za podporu během celého dosavadního studia.

Obsah Úvod a cíl práce

15

1 Bayesiánský přístup a vektorové autoregresní modely 1.1 Bayesiánský přístup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 VAR a BVAR model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Apriorní hustoty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Neinformativní apriorní hustota . . . . . . . . . . 1.3.2 Littermanova apriorní hustota (Minnesota prior) 1.3.3 Přirozeně konjugovaná apriorní hustota . . . . . . 1.3.4 Nezávislá normální-Wishartova apriorní hustota . 1.3.5 Stochastic Search Variable Selection . . . . . . . . 1.4 Gibbsův vzorkovač . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

17 17 18 21 21 21 24 25 27 29

2 Metodologie, data a modely 2.1 Predikce pomocí bayesovských modelů . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Studie zabývající se predikcí pomocí (B)VAR modelů 2.2 Bayesovské průměrování modelů a kombinace predikcí . . . . 2.3 Data a modely . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

31 31 32 34 36

3 Výsledky 3.1 Česká republika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Index průmyslové produkce / hrubý domácí produkt 3.1.2 Nezaměstnanost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Harmonizovaný index spotřebitelských cen . . . . . . 3.1.4 Úroková míra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Slovensko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Index průmyslové produkce / hrubý domácí produkt 3.2.2 Nezaměstnanost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Harmonizovaný index spotřebitelských cen . . . . . . 3.2.4 Úroková míra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Maďarsko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Index průmyslové produkce / hrubý domácí produkt 3.3.2 Nezaměstnanost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3 Harmonizovaný index spotřebitelských cen . . . . . . 3.3.4 Úroková míra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Polsko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

39 39 39 41 43 45 47 47 49 51 53 55 55 57 59 60 62

11

. . . . . . . . .

12

Obsah

3.5

3.4.1 Index průmyslové produkce / hrubý domácí produkt 3.4.2 Nezaměstnanost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.3 Harmonizovaný index spotřebitelských cen . . . . . . 3.4.4 Úroková míra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kombinace predikcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Česká republika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2 Slovensko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.3 Maďarsko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.4 Polsko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

62 64 66 68 70 70 73 75 77

4 Shrnutí hlavních výsledků a diskuze 81 4.1 Shrnutí hlavních výsledků . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.2 Diskuze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Závěr

87

Reference

89

Appendix

95

Seznam obrázků 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

Panel grafů RMSFE CZ IPI (měsíční data) . . . . . . . . . . . Panel grafů RMSFE CZ HDP (čtvrtletní data) . . . . . . . . . Panel grafů RMSFE CZ UNE (měsíční data) . . . . . . . . . . Panel grafů RMSFE CZ UNE (čtvrtletní data) . . . . . . . . . Panel grafů RMSFE CZ HICP (měsíční data) . . . . . . . . . . Panel grafů RMSFE CZ HICP (čtvrtletní data) . . . . . . . . . Panel grafů RMSFE CZ IR (měsíční data) . . . . . . . . . . . . Panel grafů RMSFE CZ IR (čtvrtletní data) . . . . . . . . . . . Panel grafů RMSFE SK IPI (měsíční data) . . . . . . . . . . . Panel grafů RMSFE SK HDP (čtvrtletní data) . . . . . . . . . Panel grafů RMSFE SK UNE (měsíční data) . . . . . . . . . . Panel grafů RMSFE SK UNE (čtvrtletní data) . . . . . . . . . Panel grafů RMSFE SK HICP (měsíční data) . . . . . . . . . . Panel grafů RMSFE SK HICP (čtvrtletní data) . . . . . . . . . Panel grafů RMSFE SK IR (měsíční data) . . . . . . . . . . . . Panel grafů RMSFE SK IR (čtvrtletní data) . . . . . . . . . . . Panel grafů RMSFE HU IPI (měsíční data) . . . . . . . . . . . Panel grafů RMSFE HU HDP (čtvrtletní data) . . . . . . . . . Panel grafů RMSFE HU UNE (měsíční data) . . . . . . . . . . Panel grafů RMSFE HU UNE (čtvrtletní data) . . . . . . . . . Panel grafů RMSFE HU HICP (měsíční data) . . . . . . . . . . Panel grafů RMSFE HU HICP (čtvrtletní data) . . . . . . . . . Panel grafů RMSFE HU IR (měsíční data) . . . . . . . . . . . Panel grafů RMSFE HU IR (čtvrtletní data) . . . . . . . . . . Panel grafů RMSFE PL IPI (měsíční data) . . . . . . . . . . . Panel grafů RMSFE PL HDP (čtvrtletní data) . . . . . . . . . Panel grafů RMSFE PL UNE (měsíční data) . . . . . . . . . . Panel grafů RMSFE PL UNE (čtvrtletní data) . . . . . . . . . Panel grafů RMSFE PL HICP (měsíční data) . . . . . . . . . . Panel grafů RMSFE PL HICP (čtvrtletní data) . . . . . . . . . Panel grafů RMSFE PL IR (měsíční data) . . . . . . . . . . . . Panel grafů RMSFE PL IR (čtvrtletní data) . . . . . . . . . . . RMSFE kombinací predikcí CZ HDP v jednotlivých horizontech RMSFE kombinací predikcí CZ UNE v jednotlivých horizontech RMSFE kombinací predikcí CZ HICP v jednotlivých horizontech

13

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40 41 42 43 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 64 65 66 67 68 69 71 71 71

14

Seznam obrázků 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52

RMSFE kombinací predikcí CZ IR v jednotlivých horizontech . . Panel grafů RMSFE kombinací predikcí – celkové srovnání (CZ) RMSFE kombinací predikcí SK HDP v jednotlivých horizontech RMSFE kombinací predikcí SK UNE v jednotlivých horizontech RMSFE kombinací predikcí SK HICP v jednotlivých horizontech RMSFE kombinací predikcí SK IR v jednotlivých horizontech . . Panel grafů RMSFE kombinací predikcí – celkové srovnání (SK) RMSFE kombinací predikcí HU HDP v jednotlivých horizontech RMSFE kombinací predikcí HU UNE v jednotlivých horizontech RMSFE kombinací predikcí HU HICP v jednotlivých horizontech RMSFE kombinací predikcí HU IR v jednotlivých horizontech . . Panel grafů RMSFE kombinací predikcí – celkové srovnání (HU) RMSFE kombinací predikcí PL HDP v jednotlivých horizontech RMSFE kombinací predikcí PL UNE v jednotlivých horizontech RMSFE kombinací predikcí PL HICP v jednotlivých horizontech RMSFE kombinací predikcí PL IR v jednotlivých horizontech . . Panel grafů RMSFE kombinací predikcí – celkové srovnání (PL)

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

72 72 73 73 74 74 74 75 75 76 76 77 77 78 78 78 79

A1 A2

Panel grafů vybraných makroekonomických veličin států V4 . . . . . . . . 95 Porovnání vývoje IPI a HDP států V4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

Úvod a cíl práce Vektorové autoregresní (VAR) modely jsou zobecněním jednorovnicových autoregresních (AR) modelů. Jsou to tedy vícerozměrné modely časových řad, které na počátku 80. let 20. století zpopularizoval Sims (1980). K modelování makroekonomických vztahů je zpravidla zapotřebí použít více vysvětlujících proměnných a delší časové zpoždění. VAR model tedy může obsahovat desítky nebo i stovky parametrů, které bývají často odhadovány metodou nejmenších čtverců nebo metodou maximální věrohodnosti. Nejen s touto skutečností souvisí několik problémů v případě „klasického“ přístupu1 k VAR modelům. Mezi nejvýznamnější z nich patří nepřesné odhady parametrů VAR modelu a vysoké standardní chyby předpovědí vlivem omezeného počtu stupňů volnosti. V některých situacích je při konstrukci modelu vhodné vycházet z apriorních informací ekonomické či statistické povahy. Neomezený VAR model však využívá tyto apriorní informace relativně zřídka – ve výběru proměnných, zvolení maximální délky zpoždění a zavedení identifikačních omezení (Canova, 2007; Koop, Korobilis, 2010). Některé výše zmíněné problémy se dají řešit Bayesiánským přístupem, který v obecné rovině i v kontextu VAR modelů stručně představí první kapitola. VAR modely jsou však často využívány i pro predikci zkoumaných ekonomických veličin. Například výše zmíněné nepřesné odhady parametrů v důsledku relativně nízkého počtu stupňů volnosti mohou tuto nepřesnost přenášet i do predikce. Bayesiánské VAR (BVAR) modely byly původně navrženy právě ke zlepšení predikce. V současné době je však rozsah jejich využití výrazně širší (Canova, 2007). Právě predikci pomocí těchto modelů se bude primárně věnovat tato diplomová práce – konkrétně predikci vybraných „hlavních“ makroekonomických veličin zemí Visegrádské čtyřky, tedy České republiky, Slovenska, Maďarska a Polska. Tyto čtyři státy byly vybrány za účelem posouzení robustnosti získaných výsledků a možnosti jejich (alespoň částečného) zobecnění. Výsledky této práce se budou snažit vyvrátit slova E. Solomona (1984):2 „The only function of economic forecasting is to make astrology look respectable.“ V tomto kontextu budou výsledky uvažovaných modelů porovnány s často používaným benchmarkem – s výsledky naivní predikce. Dále budou dosažené výsledky konfrontovány s tvrzením C. W. J. Grangera (1986): „...in terms of forecasting ability, ... a good Bayesian will beat a non-Bayesian, who will do better than a bad Bayesian,“ přičemž budou porovnány predikční schopnosti 1

V anglickém jazyce se často používá výraz frequentist approach. Toto tvrzení je někdy spojováno s J. K. Galbraithem (1988); podle některých zdrojů (např. Brandreth (2013)) však chybně. 2

15

16

Úvod a cíl práce

„klasického“ VAR modelu s uvažovanými BVAR modely a také jednotlivé BVAR modely navzájem. Stručně napsáno – cílem této diplomové práce bude ověřit, že modelová predikce je přesnější než naivní predikce (a má tedy vůbec význam) a prozkoumat, zda je predikce pomocí bayesovských VAR modelů přesnější než ta s využitím „klasického“ VAR modelu. V této souvislosti budou zkoumány další aspekty predikce, jako je například vliv periodicity časových řad, přidání dodatečných proměnných, zvýšení řádu zpoždění či kombinace výsledků více modelů na přesnost predikce. Jak již bylo uvedeno výše, první kapitola této práce představí koncept bayesiánské analýzy a vektorové autoregresní modely. Ve druhé kapitole bude popsána metodologie práce, data a modely. Třetí kapitola se bude věnovat samotným predikcím, jejich kombinacím a analýze získaných výsledků. V navazující čtvrté kapitole budou shrnuty hlavní dosažené poznatky a diskutovány některé aspekty provedené analýzy. Poznámka: V případě zájmu jsou pro čtenáře v jednotlivých (pod)kapitolách uváděny odkazy na práce, které se danou problematikou zabývají podrobněji, případně na práce, které se věnují problematikám souvisejícím.

Kapitola 1 Bayesiánský přístup a vektorové autoregresní modely 1.1

Bayesiánský přístup

Bayesiánský přístup vychází z několika základních pravidel pravděpodobnosti, což je jedna z jeho hlavních výhod. Ze základních pravidel pravděpodobnosti se vychází jak při odhadování parametrů modelu, tak při predikci, tak i při dalších charakteristikách, což činí Bayesiánský přístup velmi univerzálním. Stavebním kamenem Bayesiánského přístupu je Bayesův teorém.1 Pokud označíme vektor nebo matici dat jako y a vektor nebo matici parametrů modelu jako θ, Bayesův teorém můžeme zapsat následovně: p(θ|y) =

p(y|θ)p(θ) . p(y)

(1.1)

Nejvíce nás zajímá podmíněná hustota pravděpodobnosti p(θ|y), která odpovídá na otázku „Co můžeme říci o parametrech θ vhledem k našim datům?“. Z výše uvedeného tedy vyplývá, že při Bayesiánském přístupu jsou parametry θ chápány jako náhodné veličiny, čímž se odlišuje od „klasického“ přístupu. Vzhledem k tomu, že nás budou zajímat pouze parametry θ, můžeme z Bayesova teorému vynechat člen p(y), který θ nezahrnuje, a můžeme jej chápat pouze jako normalizační konstantu (Koop, 2003; Lancaster, 2004). Vztah (2.1) tedy můžeme přepsat na: p(θ|y) ∝ p(y|θ)p(θ) ,

(1.2)

kde p(θ|y) je posteriorní hustota, p(y|θ) je věrohodnostní funkce a p(θ) je apriorní hustota.2 Věrohodnostní funkce p(y|θ) je podmíněná hustota pravděpodobnosti dat a dá se chápat jako proces, kterým jsou data generována. Apriorní hustota p(θ) reprezentuje informaci o parametrech θ, která je nezávislá na datech.3 Právě apriorní 1

Thomas Bayes (1702–1761) byl anglický matematik a presbyteriánský ministr. Jeho teorém byl publikován až po jeho smrti v roce 1764 (Kruschke, 2010). 2 Vztah (1.2) se obvykle čte tak, že posteriorní hustota je proporcionální součinu věrohodnostní funkce a apriorní hustoty. 3 Existují však i bayesiánské empirické metody, které pro určování apriorní hustoty využívají informaci obsaženou v datech.

17

18

Kapitola 1. Bayesiánský přístup a vektorové autoregresní modely

hustota je další odlišností Bayesiánského přístupu od „klasického“ a bude jí věnován prostor v souvislosti s BVAR modely v dalším textu. Bodový odhad parametrů θ se zpravidla odvozuje z posteriorní hustoty jako posteriorní střední hodnota. Pokud tedy budeme chápat θ jako nějaký k-prvkový vektor θ = (θ1 , . . . , θk ), posteriorní střední hodnota je definována následovně: ˆ E(θi |y) = θi p(θ|y)dθ . (1.3) Posteriorní střední odchylka, jakožto ukazatel stupně neurčitosti spojeného s bodovým odhadem, se vypočítá jako odmocnina z posteriorního rozptylu, který má tvar var(θi |y) = E(θi2 |y) − [E(θi |y)]2 . (1.4) Pro tento výpočet je zapotřebí vyhodnotit integrál ze vzorce (1.3) tímto způsobem: ˆ 2 E(θi |y) = θi2 p(θ|y)dθ . Obecně lze posteriorní výpočty zapsat vztahem ˆ E(g(θ)|y) = g(θ)p(θ|y)dθ ,

(1.5)

přičemž g(θ) je funkce, která nás zajímá. Ve většině případů však nemá výraz (1.5) analytické řešení. Je tedy zapotřebí nějaká posteriorní simulace (Koop, 2003; Lancaster, 2004). Posteriorní simulace jsou založeny na zákonu velkých čísel a centrální limitní větě a bude jim věnován prostor v následujícím textu. Velkým zastáncem Bayesiánského přístupu je i držitel Nobelovy ceny za ekonomii z roku 2011 Christopher A. Sims, podle kterého by měla být ekonometrie doslova vždy a všude bayesiánská (Sims, 2007). Pro názorné příklady viz např. Eddy (2004) nebo Greenberg (2008). Pro podrobnější výklad bayesiánské ekonometrie a statistiky viz (kromě výše uvedených odkazů) např. Geweke (2005), Bolstad (2004) nebo Zellner (1996). Pro přehled bayesiánských metod využívaných v oblasti financí viz např. Rachev, Hsu, Bagasheva, Fabozzi (2008).

1.2

VAR a BVAR model

Jak již bylo částečně uvedeno v úvodu práce, vektorové autoregresní (VAR) modely jsou zobecněním jednorovnicových autoregresních (AR) modelů a v ekonometrii je na počátku 80. let 20. století zpopularizoval Sims (1980). Sims obhajoval použití VAR modelů místo strukturálních modelů simultánních rovnic, protože rozlišení mezi endogenními a exogenními proměnnými nemusí být provedeno apriori a nejsou vyžadovány restrikce k zajištění identifikovanosti. Ve VAR modelu je každá proměnná lineárně závislá na svých vlastních zpožděních i na zpožděních ostatních proměnných (např. Verbeek (2004)).

1.2. VAR a BVAR model

19

V rámci VAR modelů se často používají tyto dvě metody analýzy – analýza impulzních odezev a dekompozice rozptylu (varianční dekompozice), které umožňují získat lepší představu o dynamických vztazích mezi proměnnými v rámci zkoumaného modelu. Podstatou analýzy impulzních odezev je zachytit, jaká bude reakce proměnných na šok v chybovém členu určité proměnné. Často se také zjišťuje, zda je mezi proměnnými nejenom nějaká závislost, ale také kauzální vztah. Pro toto testování se používá koncept Grangerovy kauzality.4 Pro podrobnější popis viz např. Kirchgässner, Wolters (2007). Mezi výhody VAR modelů patří (Brooks, 2008): není potřeba specifikovat, které proměnné jsou endogenní a které exogenní (všechny jsou endogenní); oproti AR modelům mají bohatší strukturu a jsou schopny zachytit více vztahů ve zkoumaném systému a jejich vlastností; predikce VAR modelů jsou zpravidla přesnější než predikce „tradičních“ strukturálních modelů. Mezi problémy VAR modelů patří (Brooks, 2008; Gujarati, 2003): jsou „ateoretické“ (využívají málo teoretických informací o vztahu mezi proměnnými pro specifikaci modelu); v některých případech může být nejasná interpretace odhadnutých koeficientů (proto se často počítají funkce impulzních odezev zmíněné výše, které jsou zpravidla mnohem lépe interpretovatelné); může nastat problém s determinací vhodného řádu zpoždění; velký počet parametrů k odhadu (při m proměnných, resp. rovnicích a zpoždění p je celkový počet parametrů k odhadu m(1 + pm)). Ni a Sun (2005) a (2004) uvádějí i další problémy spojené s „klasickým“ přístupem k VAR modelům, jako například to, že pro některá rozdělení dat (například Studentovo t-rozdělení) odhady metodou maximální věrohodnosti nemají analytickou formu nebo vůbec neexistují. Zatímco pro popis vzájemných vztahů mezi ekonomickými veličinami ve zkoumaném modelu je obvykle vhodnější menší počet proměnných, pro predikci může (ale samozřejmě i nemusí) být vhodnější model s více proměnnými (Lütkepohl, Krätzig, 2004). Např. Giannone, Lenza, Primiceri (2012) ve své práci označují jako „malé“ modely s 3 proměnnými, „střední“ modely se 7 proměnnými a „velké“ modely s 22 proměnnými. V této diplomové práci budeme postupovat od „malého“ základního modelu se 4 proměnnými, přes „střední“ model s 8 proměnnými, až po „velké“ modely s 14 proměnnými, které budou podrobněji popsány v kapitole 2. Pro podrobný výklad VAR modelů a souvisejících problematik viz např. Lütkepohl (2005) nebo Enders (2004). Pro zajímavost zde ještě zmiňme problematiku grafických VAR modelů. Myšlenkou je zachytit kauzální strukturu, resp. soustavu Grangerových kauzalit pomocí grafů. Této problematice se věnuje např. Dahlhaus a Eichner (2003), bayesovsky potom Corander a Villani (2006). VAR(p) model o m proměnných a T pozorováních můžeme zapsat takto: yt = a +

p X i=1

4

Pro původní článek viz Granger (1969).

Ai yt−i + t ,

(1.6)

20


kde yt pro t ∈ h1; T i je m × 1 vektor pozorování m proměnných (se zpožděním p) v čase t, a je m × 1 vektor úrovňových konstant, Ai je m × m matice koeficientů a t je m × 1 vektor chybových členů. Předpokládáme, že t je i.i.d. a t ∼ N (0, Σ) (Koop, Korobilis, 2010). 0 0 Pokud zapíšeme xt = (1, yt−1 , . . . , yt−p ) a dále 



y1  .   Y=  ..  , yT







x1  .   X=   .. , xT

A=

    

a A1 .. .

   ,  

AT





1  .   =  ..  , T

rovnici (1.6) můžeme přepsat do následujících dvou tvarů:5 Y = XA + ,

(1.7)

y = (Im ⊗ X)α + ,

(1.8)

přičemž α = vec(A), což je vektor, který sdružuje všechny koeficienty (a úrovňové konstanty) VAR modelu do jednoho vektoru o velikosti km × 1, kde k = 1 + mp, a ∼ N (0, Σ ⊗ IT ) (Koop, Korobilis, 2010; O’Hara, 2012). Věrohodnostní funkci můžeme odvodit z podmíněné hustoty pravděpodobnosti p(y|α, Σ), kterou můžeme chápat jako funkci parametrů a rozdělit ji na dvě části (Koop, Korobilis, 2010): ˆ Σ ⊗ (X0 X)−1 ) , α|Σ, y ∼ N (α,

(1.9)

Σ−1 |y ∼ W (S−1 , T − k − m − 1) , (1.10) 0 −1 0 ˆ ˆ = (X X) X Y, což je odhad A metodou nejmenších ˆ = vec(A), přičemž A kde α 0 ˆ ˆ čtverců, a S = (Y − XA) (Y − XA). Věrohodnostní funkce je tedy proporcionální součinu podmíněného normálního rozdělení (pro α) a podmíněného inverzního Wishartova rozdělení6 (pro Σ) a můžeme ji zapsat následovně (Canova, 2007; Lütkepohl, 2005): L(α|Σ) ∝

1 2π

Tm 2

n

1

|Σ ⊗ IT |− 2 o

exp − 12 [y − (Im ⊗ X)α]0 (Σ−1 ⊗ IT ) [y − (Im ⊗ X)α] .

(1.11)

Jak bylo uvedeno výše, VAR modely mohou nabývat desítek nebo i stovek parametrů, s čímž jsou spojeny nepříjemnosti s přesností odhadovaných parametrů, predikcí nebo například funkcí odezev (vzhledem k malému počtu stupňů volnosti vykazují velké standardní chyby). Jedním z řešení tohoto přeparametrizování může být redukce parametrů,7 což umožňuje implementace různých apriorních hustot v rámci Bayesiánského přístupu, které se liší právě dosahováním této redukce parametrů. Apriorní hustoty se liší také tím, zda vedou k analytickému řešení posteriorní hustoty, nebo je třeba použít Markov Chain Monte Carlo metody (často například Gibbsův vzorkovač) (Koop, Korobilis, 2010). 5

Symbol ⊗ označuje Kroneckerův součin. Pro podrobnější informace nejenom k normálnímu a Wishartovu rozdělení (které budou v této práci využívány nejvíce) viz např. Timm (2002) nebo Forbes, Evans, Hastings, Peacock (2011). 7 V anglickém jazyce se tato redukce označuje shrinkage. 6

1.3. Apriorní hustoty

1.3

21

Apriorní hustoty

Tato kapitola se bude věnovat některým apriorním hustotám, které se ve spojitosti s BVAR modely využívají. Nejprve bude představena neinformativní, resp. difúzní apriorní hustota (kapitola 1.3.1), kterou můžeme chápat jako předěl mezi „klasickým“ a bayesiánským přístupem. Dále bude popsána Littermanova apriorní hustota (v anglicky psané literatuře často uváděná jako Minnesota prior) (kapitola 1.3.2). Poté bude pozornost věnována přirozeně konjugované apriorní hustotě (kapitola 1.3.3), nezávislé normální-Wishartově apriorní hustotě (1.3.4) a na závěr technice zvané Stochastic Search Variable Selection (1.3.5).

1.3.1

Neinformativní apriorní hustota

Běžně používanou neinformativní apriorní hustotou je Jeffreysova apriorní hustota,8 která je proporcionální odmocnině determinantu Fisherovy informační matice. Ta je však vhodnější spíše pro řešení jednoparametrických problémů. Mezi nejpopulárnější neinformativní apriorní hustoty v souvislosti s BVAR modely patří tzv. difúzní apriorní hustota, což je konstantní apriorní hustota pro α a Jeffreysova apriorní hustota pro Σ. Někteří autoři dělají mezi pojmy „neinformativní apriorní hustota“ a „difúzní apriorní hustota“ malý rozdíl, jejich obsahová náplň se ale z velké části kryje. Někteří autoři je proto používají jako synonyma (Ni, Sun, 2004; Hamada, Wilson, Reese, Martz, 2008). Vzhledem k tomu, že neinformativní apriorní hustota se dá nadefinovat i jiným způsobem, např. neinformativní verzí přirozeně konjugované apriorní hustoty nebo nezávislé normální-Wishartovy apriorní hustoty, jsou zde tato dvě označení takto oddělena. Difúzní apriorní hustota vypadá následovně (Koop, Korobilis, 2009):9 p(α, Σ) ∝ |Σ|−(m+1)/2 . (1.12) Pro posteriorní hustoty poté platí: −1

1.3.2

ˆ Σ ⊗ (X0 X) ) , α|Σ, y ∼ N (α,

(1.13)

Σ|y ∼ IW (S, T − k) .

(1.14)

Littermanova apriorní hustota (Minnesota prior)

Littermanovu apriorní hustotu poprvé použili v polovině 80. let výzkumníci z University of Minnesota a Federal Reserve Bank of Minneapolis, konkrétně Doan, Litterman a Sims.10 Tato apriorní hustota je založena na nahrazení kovarianční matice Σ ˆ Dále se předpokládá (v původní verzi), že Σ je diagonální matice. jejím odhadem Σ. 8

Pro původní práci viz Jeffreys (1961). Vzhledem k významu a vlivu Jeffreysovy práce na vývoj bayesiánské statistiky, resp. ekonometrie, je nutno zároveň zmínit první vydání jeho díla Theory of Probability z roku 1939 – viz Jeffreys (1939). V tomto kontextu zde ještě uveďme (již zmíněnou) významnou knihu A. Zellnera An Introduction to Bayesian Inference in Econometrics z roku 1971 v původním vydání. 9 Pro rozšíření viz např. Sevinç, Ergün (2009) nebo Ni, Sun (2004). 10 Pro původní články viz Doan, Litterman, Sims (1984) a Litterman (1986).

22


V tomto případě je každá rovnice VAR modelu odhadnuta samostatně a můžeme nastavit σii2 = s2i , přičemž s2i je odhad chybového rozptylu v i-té rovnici metodou ˆ Pokud není zaveden předpoklad, že Σ je nejmenších čtverců a σii2 je ii-tý prvek Σ. ˆ diagonální, může se použít odhad Σ = TS . Nevýhodou tohoto přístupu je to, že nahrazujeme neznámou matici parametrů odhadem, místo jejího odvození Bayesiánským způsobem. Na druhou stranu tato technika zjednoduší výpočet tak, že bude k dispozici analytické řešení posteriorní nebo prediktivní hustoty. Navíc zajišťuje vysokou flexibilitu při volbě apriorní hustoty (Koop, Korobilis, 2010; Lütkepohl, 2005). Pokud je tedy kovarianční matice Σ nahrazena jejím odhadem, můžeme se zaměřit na nastavení apriorní hustoty pro parametry α, přičemž Littermanova apriorní hustota předpokládá, že (1.15) α ∼ N (α, V) . Pro apriorní střední hodnotu α se nastavuje většina jejích prvků (nebo i všechny) rovny nule, což zajistí redukci koeficientů VAR modelu a sníží tak riziko přefitování. Pokud pracujeme se stacionárními časovými řadami (zpravidla růstové veličiny, např. růst HDP), je vhodné nastavit α = 0km . Pokud pracujeme s nestacionárními časovými řadami (zpravidla úrovňové veličiny, např. HDP), Littermanova apriorní hustota používá takovou apriorní střední hodnotu, podle které se jednotlivé proměnné chovají jako procesy náhodné procházky. Proto se apriorní střední hodnota nastavuje podobně jako v předchozím případě, kromě prvků, které odpovídají prvnímu zpoždění závislé proměnné v každé rovnici – ty jsou nastaveny na hodnotu jedna (Koop, Korobilis, 2010). Existují však různé variace – například podle Karlssona (2012) je možné v případě stacionárních časových řad, o kterých se předpokládá, že jsou relativně perzistentní,11 nastavit apriorní střední hodnoty u prvních zpoždění závislé proměnné v každé rovnici na hodnotu o něco nižší než 1 (např. 0,9). Littermanova apriorní hustota předpokládá, že apriorní kovarianční matice V je diagonální. Pokud Vi značí blok apriorní kovarianční matice V, který je spojen s k koeficienty v i-té rovnici, přičemž Vi,jj jsou jeho diagonální prvky, implementace vypadá následovně (Koop, Korobilis, 2010):

Vi,jj =

 a1     r2

2 a2 σii 2 r σjj    a σ 2 3 ii

pro koeficienty zpoždění r proměnné j = i pro r ∈ h1; pi, pro koeficienty zpoždění r proměnné j 6= i pro r ∈ h1; pi , (1.16) pro koeficienty exogenních proměnných.

Littermanova apriorní hustota zjednodušuje nastavení všech prvků apriorní kovarianční matice V na výběr tří skalárů a1 , a2 a a3 . Tento způsob zajišťuje to, že čím větší je zpoždění, tím více jsou příslušné koeficienty redukovány k nule, a také to, že nastavením a1 > a2 se zvyšuje váha zpoždění příslušné proměnné oproti zpoždění jiných proměnných. Zpravidla se nastavuje σii2 = s2i . Canova (2007) představuje o něco obecnější verzi předchozího nastavení, která 11

Perzistentní časová řada je taková časová řada, kdy realizace proměnné v současnosti dlouhodobě ovlivňuje hodnoty této proměnné v budoucnosti.


23

má tuto podobu:

Vi,jj =

 a 1     d(r)

pro koeficienty zpoždění r proměnné j = i pro r ∈ h1; pi,

 

pro koeficienty exogenních proměnných.

2 a1 a2 σjj 2 d(r)σ  ii 

a1 a3

pro koeficienty zpoždění r proměnné j 6= i pro r ∈ h1; pi ,

(1.17) V tomto případě je d(r) tzv. funkce rozkladu (decay function). V předchozím případě tedy platilo d(r) = r2 . Nastavit lze například (Canova, 2007; O’Hara, 2012):

d(r) =

 a4   r

a−r+1  4  

r

(přičemž a4 > 0) pro harmonickou funkci rozkladu, (přičemž a4 > 0) pro geometrickou funkci rozkladu, (tzn. a4 = 0) pro lineární funkci rozkladu.

Velkou výhodou Littermanovy apriorní hustoty je, že výpočet posteriorní hustoty zahrnuje pouze normální rozdělení. Platí tedy: α|y ∼ N (α, V) ,

(1.18)

přičemž α a V mají následující podobu: h

ˆ −1 ⊗ (X0 X) V = V−1 + Σ

i−1

,

(1.19)

ˆ −1 ⊗ X y . α = V V−1 α + Σ

(1.20)

0

Littermanova apriorní hustota může být specifikována i s pomocí umělých (dummy) pozorování.12 Mezi tato tzv. umělá pozorování můžeme zařadit skutečná pozorování z jiných států, pozorování vygenerovaná simulací odpovídajícího makroekonomického modelu nebo pozorování získaná na základě introspekce. Dále se jim ovšem v této práci věnovat nebudeme (Koop, Korobilis, 2010; Del Negro, Schorfheide, 2011). Modifikaci Littermanovy apriorní hustoty použili Banbura, Giannone, Reichlin (2010) i při práci s „velkými“ VAR modely, které obsahovaly přes 100 závislých proměnných, přičemž dosáhli ještě lepší predikční schopnosti než faktorové modely. Pro rozšíření Littermanovy apriorní hustoty na vektorové modely korekce chyb viz např. práce LeSageho (1990) a (1999) nebo Shoesmitha (1995a) a (1995b). Na závěr této kapitoly ještě uvedeme krátké srovnání s „klasickým“ přístupem. Při „klasickém“ přístupu jsou nevýznamná zpoždění z modelu odstraněna zpravidla pomocí t-testů nebo podobných technik, čímž se implementuje silná apriorní restrikce ve smyslu, které proměnné a která zpoždění v modelu mají být či nikoliv. Naproti tomu Littermanova apriorní hustota implementuje restrikce flexibilnějším způsobem – přiřazuje koeficientům VAR modelu pravděpodobnostní rozdělení a zároveň poskytuje výzkumníkovi bližší náhled na neurčitost, se kterou se při řešení daného problému setkává (Canova, 2007). 12

Přidání umělých pozorování lze interpretovat jako použití konjugované apriorní hustoty, protože má stejnou formu jako věrohodnostní funkce dodatečných umělých pozorování (viz např. Sims (2005)).

24

1.3.3


Přirozeně konjugovaná apriorní hustota

Přirozeně konjugovaná apriorní hustota má dvě žádoucí vlastnosti – lze snadno interpretovat a zjednodušuje výpočet. Konjugované apriorní rozdělení po kombinaci s věrohodnostní funkcí vede k posteriorní hustotě, která náleží do stejné třídy rozdělení. Přirozeně konjugované apriorní rozdělení má navíc vlastnost, že má stejnou funkční formu jako věrohodnostní funkce. Přirozeně konjugovanou apriorní hustotu lze tedy interpretovat tak, že pochází z fiktivního datového souboru, generovaného stejným procesem jako reálná data (Koop, 2003; Koop, Poirier, Tobias, 2007). Na základě rovnic (1.9) a (1.10) lze pro VAR modely zapsat přirozeně konjugovanou apriorní hustotu v následujícím tvaru: α|Σ ∼ N (α, Σ ⊗ V) ,

(1.21)

Σ−1 ∼ W (S−1 , ν) ,

(1.22)

kde α, V, ν a S jsou apriorní hyperparametry. Posteriorní hustota poté vypadá následovně: α|Σ, y ∼ N (α, Σ ⊗ V) , −1

Σ−1 |y ∼ W (S , ν) ,

(1.23) (1.24)

kde V = (V−1 + X0 X)−1 , α = vec(A) , ˆ 0 X0 XA ˆ + A0 V−1 A − A0 (V−1 + X0 X)A , S=S+S+A ν =T +ν . Matice A o velikosti k×m se získá zpětně z km×1 vektoru α. Pro výpočet posteriorních hustot koeficientů VAR modelu se využije vlastnosti, že marginální posteriorní hustota (po vyintegrování Σ) pro α má vícerozměrné t-rozdělení se střední hodnotou α, počtem stupňů volnosti ν a kovarianční maticí var(α|y) =

1 S⊗V . ν−m−1

Neinformativní verzi přirozeně konjugované apriorní hustoty lze získat nastavením, kde ν = 0 a S = V−1 = cI, přičemž c → 0. Výsledky při tomto nastavení budou založeny na výsledcích získaných metodou nejmenších čtverců. Nevýhodou neinformativní verze této apriorní hustoty je však to, že nezajišťuje redukci parametrů, o které bylo napsáno výše.


25

Co se týče predikce, predikční rozdělení yT +1 je vícerozměrné t-rozdělení s ν 1 stupni volnosti, predikční střední hodnotou (xT +1 A)0 a kovarianční maticí ν−2 (1 + 0 xT +1 VxT +1 )S. Pokud se však provádí predikce více než jedno období dopředu, analytické řešení neexistuje – v tomto případě je nutno použít buď metodu přímé predikce (přičemž můžeme psát yt+h = a + yt A1 + · · · + yt−p+1 Ap + t+h ) nebo simulaci. Z výše uvedeného plyne, že za použití přirozeně konjugované apriorní hustoty existuje pro posteriorní hustotu analytické řešení. Například Monte Carlo integraci je však nutné použít v případě výpočtu impulzních odezev – výběry Σ−1 lze získat z (1.24) a podmíněně na nich výběry α ze (1.23). Výběry impulzních odezev lze pak spočítat s využitím hodnot těchto výběrů. Přirozeně konjugovaná apriorní hustota však může mít za určitých okolností i některé nežádoucí vlastnosti. Zaprvé – podle formy vysvětlujících proměnných v rovnici (1.8), tzn. (Im ⊗ X), má každá rovnice stejnou sadu vysvětlujících proměnných. Pro neomezený model to problém není, avšak pro model s nějakými restrikcemi ano. Zadruhé – vzhledem k tomu, že apriorní kovarianční matice má tvar Σ ⊗ V (přičemž prvek Σ označíme σij ), apriorní kovariance koeficientů v i-té rovnici jsou rovny σii V. Z toho plyne, že apriorní kovariance koeficientů v nějakých dvou rovnicích musí být vzájemně proporcionální, což může být v určitých případech nežádoucí. Při srovnání kovarianční matice u přirozeně konjugované apriorní hustoty a Littermanovy apriorní hustoty lze říci, že „bloková“ struktura kovarianční matice Littermanovy apriorní hustoty (viz (1.16)) je v tomto ohledu flexibilnější – její bloky se mohou napříč rovnicemi lišit, což u kovarianční matice přirozeně konjugované apriorní hustoty není možné (Koop, Korobilis, 2010). Pro překonání výše zmíněných dvou problémů zobecnili Kadiyala a Karlsson tuto apriorní hustotu na tzv. rozšířenou přirozeně konjugovanou apriorní hustotu – pro podrobnosti viz Kadiyala, Karlsson (1997).

1.3.4

Nezávislá normální-Wishartova apriorní hustota

Přestože přirozeně konjugovaná apriorní hustota měla tu výhodu, že existovalo analytické řešení pro posteriorní a predikční hustotu, byly s ní spojeny i některé nevýhody, o kterých bylo zmíněno výše. Navíc platilo, že α|Σ ∼ N a Σ−1 ∼ W (viz rovnice (1.23) a (1.24)). To znamená, že α závisí na Σ, tudíž α a Σ nejsou vzájemně nezávislé. Obecnější apriorní hustotou, u které α a Σ nezávislé jsou, a se kterou nejsou spojeny nežádoucí vlastnosti jako v předchozím případě, je nezávislá normální-Wishartova apriorní hustota. Pro popis nezávislé normální-Wishartovy apriorní hustoty zavedeme značení, při kterém je každá rovnice VAR modelu zapsána takto: ynt = z0nt β n + εnt ,

(1.25)

kde t = 1, . . . , T pozorování pro n = 1, . . . , m proměnných, ynt je t-té pozorování n-té proměnné, znt je vektor zahrnující t-té pozorování vektoru vysvětlujících proměnných příslušných n-té proměnné a β n je vektor regresních koeficientů.13 Pokud zapíšeme všechny rovnice ve vektorech, resp. maticích, následovně 13

0 0 Pokud by platilo, že znt = (1, yt−1 , . . . , yt−p )0 pro n = 1, . . . , m, výsledkem by byl neomezený

26










Zt =



z01t

0

     

0 .. .

z02t .. .

0

···

··· ... ..

.

0





β1  .   β=  ..  , βm

ε1t  .   εt =   ..  , εmt

y1t  .   yt =   ..  , ymt



0 ..  .    

,

0  z0mt

kde β je k × 1 vektor, Zt je m × k matice, přičemž k = VAR model můžeme zapsat y t = Z t β + εt .

Pm

j=1

i.i.d.

kj , a εt ∼ N (0, Σ), (1.26)

Dále pokud zapíšeme 



y1  .   y=  ..  , yT





ε1  .   ε=  ..  , εT





Z1  .   Z=  ..  , ZT

tak (potenciálně) omezený VAR model lze zapsat jako normální lineární regresní model y = Zβ + ε , (1.27) přičemž ε ∼ N (0, I ⊗ Σ). Nezávislá normální-Wishartova apriorní hustota má pak tvar p(β, Σ−1 ) = p(β)p(Σ−1 ) , kde β ∼ N (β, V) ,

(1.28)

Σ−1 ∼ W (S−1 , ν) .

(1.29)

Oproti přirozeně konjugované apriorní hustotě tedy může být v tomto případě kovarianční matice V nastavena mnohem flexibilněji. Neinformativní verzi nezávislé normální-Wishartovy apriorní hustoty lze získat nastavením ν = 0 a S = V−1 = cI, přičemž c → 0. Podmíněné posteriorní rozdělení p(β|y, Σ−1 ) pak má následující tvar: β|y, Σ−1 ∼ N (β, V) ,

(1.30)

kde VAR model, jak byl používán v předchozích kapitolách. V této kapitole však chceme umožnit vektoru znt lišit se napříč rovnicemi, tzn., že výsledkem může být omezený VAR model.


27

V = (V−1 +

T X

Z0t Σ−1 Zt )−1 ,

(1.31)

t=1 −1

β = V(V β +

T X

Z0t Σ−1 yt ) .

(1.32)

t=1

Podmíněné posteriorní rozdělení p(Σ−1 |y, β) má poté tvar −1

Σ−1 |y, β ∼ W (S , ν) ,

(1.33)

přičemž ν =T +ν ,

S=S+

T X

(yt − Zt β)(yt − Zt β)0 .

t=1

V souvislosti s nezávislou normální-Wishartovou apriorní hustotou je však oproti předchozím případům zapotřebí posteriorní simulace, jako je Gibbsův vzorkovač. Vzhledem k tom, že Zτ obsahuje zpožděné proměnné, obsahuje informaci v čase τ − 1 nebo dřívější. Podmíněná predikční hustota o jedno období dopředu (tzn. pro predikci v čase τ ), má následující podobu yτ |Zτ , β, Σ ∼ N (Zt β, Σ) . Při použití Gibbsova vzorkovače a výběrů β (s) , Σ(s) , kde s = 1, . . . , S, můžeme predikční střední hodnotu (tzn. bodovou predikci) získat jako14 PS

E(yτ |Zτ ) =

s=1

Zt β (r) . S

Pro predikci více období dopředu lze použít i metodu přímé predikce jako v případě předchozí apriorní hustoty (Koop, Korobilis, 2010). Nezávislá normální-Wishartova apriorní hustota může být použita například i pro detekci počtu strukturálních zlomů ve VAR modelu. Touto problematikou se zabývá např. Sugita (2008).

1.3.5

Stochastic Search Variable Selection

Stochastic Search Variable Selection (SSVS)15 je technika, při které apriorní hustota v určitém smyslu také zajišťuje redukci parametrů, přičemž je implementována automaticky a vyžaduje minimální intervenci výzkumníka. Základní myšlenka je ta, že místo běžného přiřazení apriorní hustoty koeficientům VAR modelu αj , SSVS specifikuje hierarchickou apriorní hustotu, což je apriorní hustota vyjádřená pomocí 14

Podrobněji je Gibbsův vzorkovač popsán v kapitole 1.4. V tomto textu je popsána podstata verze SSVS podle George, Sun, Ni (2008). Existují však i její modifikace (např. Korobilis (2013)). 15

28


parametrů, které mají svoji vlastní apriorní hustotu. Jedná se tedy o kombinaci dvou normálních rozdělení: αj |γj ∼ (1 − γj )N (0, κ20j ) + γj N (0, κ21j ) ,

(1.34)

kde γj je umělá proměnná. Pokud tedy γj = 1, αj je brána z druhého normálního rozdělení a pokud γj = 0, αj je brána z prvního normálního rozdělení. Apriorní hustota je hierarchická, protože γj je chápána jako neznámý parametr a je odhadována na základě dat. První apriorní rozptyl se volí κ20j → 0 (omezení příslušného koeficientu αj prakticky na nulu) a druhý κ21j → ∞ (zavedení relativně neinformativní apriorní hustoty pro příslušný koeficient αj ). Apriorní hustotu zapsanou vztahem (1.34) můžeme zapsat i následovně: α|γ ∼ N (0, DD) ,

(1.35)

kde D je diagonální matice, jejíž jj-té prvky jsou dány Djj , přičemž Djj = κ0j pokud γj = 0 a Djj = κ1j pokud γj = 1. Opět se tedy jedná o kombinaci dvou normálních rozdělení a tento zápis je ekvivalentní zápisu (1.34). George, Sun a Ni (2008) použili proqnastavování κ0j a κq1j tzv. defaultní poloautomatický přístup,16 přičemž κ0j = c0 vd ar(αj ) a κ1j = c1 vd ar(αj ), kde vd ar(αj ) je odhad rozptylu koeficientu v neomezeném VAR modelu (např. metodou nejmenších čtverců). U konstant c0 a c1 musí platit c0 c1 (např. 0,1 a 10). SSVS předpokládá, že každý prvek γj (j = 1, . . . , km) má Bernoulliho rozdělení: P(γj = 1) = q j a P(γj = 0) = 1 − q j , přičemž q j se zpravidla nastavuje neinformativně na hodnotu 0,5. Co se týče kovarianční matice Σ, přestože v původní práci používají George, Sun a Ni (2008) SSVS i v rámci Σ, v této práci použijeme Wishartovu apriorní hustotu pro Σ−1 podle Koopa a Korobilise (2010): Σ−1 ∼ W (S−1 , ν) ,

(1.36)

kde ν = m + 1 a S−1 = Im . Pro výpočet posteriorních středních hodnot můžeme v souvislosti s SSVS použít Gibbsův vzorkovač. Pro koeficienty VAR modelu poté platí: α|y, γ, Σ ∼ N (α, V) ,

(1.37)

V = [Σ−1 ⊗ (X0 X) + (DD)−1 ]−1 ,

(1.38)

ˆ , α = V[(ΨΨ0 ) ⊗ (X0 X)α]

(1.39)

kde

ˆ = (X0 X)−1 X0 y a α ˆ – tzn., že α ˆ = vec(A) ˆ je OLS odhad α. Dále platí, že přičemž A 0−1 −1 Σ = Ψ Ψ . Pokud je Ψ horní trojúhelníková matice („upper-triangular“), jedná se tedy o Choleskyho dekompozici kovarianční matice Σ. 16

V anglickém jazyce označován jako default semi-automatic approach.

1.4. Gibbsův vzorkovač

29

Co se týče posteriorní hustoty pro γ, γj má Bernoulliho rozdělení: P[γj = 1|y, α] = q j , P[γj = 0|y, α] = 1 − q j , kde qj =

1 κ1j 1 κ1j

exp

α2 − 2κj2 1j

exp

qj +

α2 − 2κj2 1j

qj

1 κ0j

exp

α2 − 2κj2 0j

. (1 − q j )

Pro kovarianční matici Σ bude tedy platit −1

Σ−1 ∼ W (S , ν) ,

(1.40)

ˆ 0 (Y − XA). ˆ Jak bylo uvedeno výše, s vyukde ν = T + ν a S = S−1 + (Y − XA) žitím těchto vztahů lze pro výpočet posteriorních středních hodnot použít Gibbsův vzorkovač (Koop a Korobilis, 2010; George, Sun, Ni, 2008). Pro podrobné informace o SSVS viz původní článek George, Sun, Ni (2008). Pro rozšíření SSVS na VEC modely viz Jochmann, Koop, León-Gonzales, Strachan (2013). Na závěr kapitoly o apriorních hustotách se pro zajímavost a rozšíření krátce zmiňme o problematice steady-stateových apriorních hustot pro VAR modely, které se věnuje Villani (2009). Jak bylo napsáno v úvodu této práce, apriorní informace je využitelná v rámci redukce parametrů v přeparametrizovaném VAR modelu. Apriorní informace v předchozím textu se týkala zpravidla koeficientů VAR modelu. V některých případech může mít výzkumník silné apriorní informace o nepodmíněné střední hodnotě (steady-stateu) proměnných zahrnutých v modelu. Myšlenka je pak taková, že tyto apriorní informace se mohou využít jako dodatečný zdroj redukce. Pro původní článek viz Villani (2009), kde zároveň ilustruje využitelnost tohoto typu apriorní hustoty při zpřesnění predikce.

1.4

Gibbsův vzorkovač

Gibbsův vzorkovač je Markov Chain Monte Carlo metoda, která se v souvislosti s BVAR modely používá asi nejčastěji.17 Je založen na sekvenčních výběrech z podmíněné posteriorní hustoty. Máme dán vektor parametrů θ – v našem případě tedy θ = (α, Σ)0 . Pro BVAR modely neprovádíme výběry přímo ze sdružené posteriorní hustoty vektoru parametrů θ, ale parametry rozdělujeme do B bloků, tzn. θ = (θ 0(1) , θ 0(2) , . . . , θ 0(B) ). Důvodem k použití této techniky je obecně řečeno to, že podmíněná posteriorní hustota každého bloku parametrů náleží do známého parametrického rozdělení. Dá se tedy napsat, že Gibbsův vzorkovač tvoří Markovský řetězec (O’Hara, 2012): oS θ (s) s=1

n

∼

(

p θ (b) |

o (s) b−1 θ (i)
n

,

o (s) B θ (i) i=b+1

n

B )S

,y

, b=1

(1.41)

s=1

kde dolní index označuje blok (b = 1, . . . , B) a horní index číslo vzorku (s = 1, . . . , S). Jeho realizace je ekvivalentem výběru z p(θ|y). Pro BVAR modely je ve 17

Podle některých autorů je Gibbsův vzorkovač pravděpodobně nejpopulárnější MCMC metoda vůbec (např. Tsay (2005)).

30


většině případů vhodné provádět výběry nejprve α a poté Σ. Problém se získáním počátečního výběru se řeší zpravidla tak, že se hodnota počátečního výběru zvolí a po proběhnutí S replikací Gibbsova vzorkovače se prvních S0 vzorků odstraní.18 Gibbsův vzorkovač bude totiž konvergovat k sekvenci výběrů z p(θ|y). Zbývajících S1 vzorků (S = S0 + S1 ) se použije k odhadu střední hodnoty funkce parametrů, která nás zajímá. Algoritmus Gibbsova vzorkovače se dá tedy zapsat do následujících kroků: • Krok 0: Volba počáteční hodnoty θ (0) . Pro s = 1, . . . , S: (s)

• Krok 1: Provedení náhodného výběru θ (1) z podmíněné posteriorní hustoty (s−1)

(s−1)

(s−1)

pravděpodobnosti p(θ (1) |y, θ (2) , θ (3) , . . . , θ (B) ). (s)

• Krok 2: Provedení náhodného výběru θ (2) z podmíněné posteriorní hustoty (s)

(s−1)

(s−1)

pravděpodobnosti p(θ (2) |y, θ (1) , θ (3) , . . . , θ (B) ). .. . (s)

• Krok B: Provedení náhodného výběru θ (B) z podmíněné posteriorní hustoty (s)

(s)

(s)

pravděpodobnosti p(θ (B) |y, θ (1) , θ (2) , . . . , θ (B−1) ). Pokud nás tedy zajímá funkce parametrů g(·), přičemž gˆS1 =

S 1 X g(θ (s) ) , S1 s=S0 +1

(1.42)

gˆS1 bude konvergovat ke střední hodnotě E [g(θ)|y] pro S1 → ∞. K ověření spolehlivosti získaných výsledků se často využívají některé konvergenční diagnostiky19 (Koop, 2003; O’Hara, 2012).

18 19

V anglickém jazyce se tyto odstraněné vzorky označují burn-in replications. Přehled konvergenčních diagnostik poskytují např. Cowless a Carlin (1996) nebo Burke (2011).

Kapitola 2 Metodologie, data a modely 2.1

Predikce pomocí bayesovských modelů

V této kapitole bude popsána predikce pomocí uvedených bayesovských modelů, její výhody a naopak problémy s ní spojené. V této práci bude provedena rekurzivní predikce – s využitím dat v rámci časového horizontu τ , přičemž τ = τ0 , . . . , T − h, se získá predikční hustota yτ +h . Asi nejčastější statistikou, která se používá pro hodnocení a porovnávání predikcí je Mean square forecast error (MSFE), která je definována následovně: PT −h h poz

M SF E =

τ =τ0

yi,τ +h − E(yi,τ +h |dataτ )

i2

,

T − h − τ0 + 1

(2.1)

poz kde yi,τ +h je náhodná veličina, kterou chceme predikovat, yi,τ +h je její pozorovaná hodnota a p(yi,τ +h |dataτ ) je predikční hustota s využitím informací dostupných v čase τ . Pro jednotlivá pozorování lze zapsat jednoduše poz real 2 M SF E = (yi,τ +h − yi,τ +h ) ,

(2.2)

real kde yi,τ +h je skutečná hodnota a τ + h je horizont predikce. Pro hodnocení predikce se často používá odmocnina z MSFE, tedy Root mean square forecast error

RM SF E =

√

M SF E .

(2.3)

(R)MSFE využívá pouze bodové predikce a nebere v potaz zbytek predikčního rozdělení. Preferovanější statistikou v rámci bayesovské predikce je proto někdy predikční věrohodnost (resp. suma jejích logaritmů), což je predikční hustota pro yi,τ +h vypoz hodnocena v yi,τ +h . Suma logaritmů predikčních věrohodností (Sum of log predictive likelihoods) se dá tedy vyjádřit jako SLP L =

TX −h

h

i

poz log p(yi,τ +h = yi,τ +h |dataτ ) .

(2.4)

τ =τ0

Uveďme ještě, že se někdy může stát, že MSFE a SLPL vedou k odlišným závěrům (Koop a Korobilis, 2010). To je také jeden z důvodů, proč hlavní metrikou pro 31

32

Kapitola 2. Metodologie, data a modely

vyhodnocení přesnosti predikce bude v této práci RMSFE a SLPL bude zmíněn spíše okrajově. V některých případech může počet koeficientů převyšovat počet pozorování. I v takovéto situaci lze využít bayesiánský přístup, který kombinuje věrohodnostní funkci a apriorní hustotu. I v případě, kdy některé parametry v rámci věrohodnostní funkce nejsou identifikovány, za platnosti tzv. slabých podmínek povede použití „pravé“ apriorní hustoty k platné posteriorní hustotě. Problémem při predikci pomocí BVAR modelů a bayesiánských modelů obecně (o kterém se zmiňuje většina autorů z podkapitoly 2.1.1) může být nastavení hyperparametrů v rámci apriorní hustoty. Pochopitelně neexistuje nějaké univerzální nastavení, při kterém je možno dosáhnout největší přesnosti predikcí, proto je vhodné vyzkoušet více verzí. Na to navazuje skutečnost, že „optimální“ specifikace apriorní hustoty pro datový soubor v rámci nějakého časového rozpětí nemusí být „optimální“ v rámci jiného časového rozpětí. Dále VAR modely obecně – ať už klasické nebo bayesovské – nemusí být vhodné při výskytu nějakých strukturálních změn v ekonomice a v rámci těchto modelů nejsou brány v potaz případně nelinearity v datech. Nejenom pro řešení těchto problémů byly vyvinuty dynamické stochastické modely všeobecné rovnováhy (DSGE modely1 ).2 Podle autorů Carriero, Clark a Marcellino (2011) je také dobré mít na paměti, že redukce parametrů, která je často s bayesiánskými technikami odhadu parametrů spojena, může způsobit vychýlení těchto parametrů, případně predikcí. Nicméně toto vychýlení by obecně nemělo mít zásadní charakter. Gupta (2006) nabízí zajímavé srovnání s Gupta a Sichei (2006), kde pro některé dílčí výsledky u BVAR modelů dosahují odlišných výsledků, přičemž používají stejné datové soubory (ze stejného zdroje), stejné časové rozpětí, stejný řád zpoždění, stejné apriorní hustoty i stejné metody odhadu. Tento rozdíl připisuje rozdílnosti algoritmů pro výpočet – zatímco u prvně jmenované práce je použit MATLAB (Ekonometrický toolbox), u druhé je použit RATS. Přestože takto způsobené rozdíly ve výsledcích nebývají většinou příliš významné, i vzhledem k výše uvedenému srovnání má tato problematika v této kapitole své místo.

2.1.1

Studie zabývající se predikcí pomocí (B)VAR modelů

V této kapitole budou uvedeny výsledky některých studií, které se zabývají predikcí pomocí (B)VAR a pro doplnění také (B)VEC modelů. 1

Pro bližší informace viz např. McCandless (2008) nebo Balke, Canova, Milani, Wynne (2012). Na tomto místě můžeme ještě krátce doplnit kapitolu 1.3 o apriorních hustotách. Existují také přístupy, ve kterých se pro BVAR modely využívají apriorní hustoty odvozené právě z DSGE modelů. Mezi prvními, kdo použili tento přístup, byli DeJong, Ingram a Whiteman (1993) a Ingram a Whiteman (1994). Např. Del Negro a Schorfheide (2004) dosáhli tímto (DSGE-VAR) přístupem srovnatelných – a v některých případech i lepších – predikčních výsledků než BVAR model s Littermanovou apriorní hustotou (přičemž jejich model zahrnoval růst reálného HDP, inflaci a úrokovou míru federálního fondu). Oproti BVAR modelu s Littermanovou apriorní hustotou může také lépe sloužit k analýze hospodářské (zejména monetární) politiky. 2

2.1. Predikce pomocí bayesovských modelů

33

Villani (2009) se zabývá predikcí hrubého domácího produktu, inflace a tříměsíční úrokové míry u ekonomiky Švédska. Přestože je tato práce zaměřena primárně na steady-stateové apriorní hustoty pro BVAR modely, v rámci srovnání zde uvádí i výsledky získané pomocí VAR a BVAR modelů, přičemž lepší predikční schopnosti vykazuje v tomto srovnání BVAR model. Na úvod této kapitoly ještě poznamenejme, že pokud nebude uvedeno jinak, autoři používají Littermanovu apriorní hustotu, resp. nějakou její modifikaci (různá definice, různé nastavení – jak bylo popsáno v kapitole 1.3.2). LeSage (1990) porovnává predikční schopnosti (B)VAR a (B)VEC modelů s využitím měsíčních časových řad zaměstnanosti, nominálních mezd (data 50 firem z Ohia) a indexu spotřebitelských cen. Pokud byly proměnné kointegrovány, výsledky s nejnižší predikční chybou podával VEC model. Pokud proměnné kointegrovány nebyly, pro kratší časový horizont vycházel nejlépe BVAR model, pro delší časový horizont potom BVEC model. V případech, kdy byla kointegrace nejistá (různé výsledky testů), nejlepší předpovědi vykazoval BVAR model. Z oblasti spíše marketingu můžeme zmínit práci Ramose (2003), který predikuje tržní podíl lídra na trhu automobilů Portugalska. I v tomto případě podával BVAR model přesnější predikce před VAR a ARIMA modely. Félix a Nunes (2002) a (2003) se zabývají predikcí některých makroekonomických veličin v rámci Eurozóny. Oproti (B)VAR modelům používají i (B)VEC modely. U inflace a nezaměstnanosti podával nejlepší výsledky BVAR model, u hrubého domácího produktu BVEC model (těsně před BVAR modelem). Bayesiánské modely obecně podávaly lepší výsledky než jejich „klasické“ protějšky. Amisano a Serati (1999) se zaměřují na predikci makroekonomických veličin ekonomiky Itálie, konkrétně hrubého domácího produktu, spotřeby a hrubých investic. Dalo by se říci, že BVAR model je přesnější oproti BVEC modelu s neinformativní apriorní hustotou při predikci kratších časových horizontů, při predikci delšího časového horizontu je přesnější zmíněný BVEC model. Úplně nejlepší výsledky však podává BVEC model s jejich specifikací informativní apriorní hustoty. Predikcí některých makroekonomických veličin v rámci ekonomiky Jihoafrické republiky (konkrétně spotřeby, inflace, hrubého domácího produktu, investic, 91denní sazby státních pokladničních poukázek a sazby vládních dluhopisů (se splatností 10 a více let)) se zabývá Gupta (2006). Pro pět z uvedených šesti proměnných získává nejlepší výsledky pomocí BVEC modelu, přičemž používá různá nastavení apriorní hustoty. Dochází ale k relativně neobvyklému výsledku pro BVAR model. Zatímco BVEC model podával lepší výsledky než „klasický“ VEC model, u srovnání BVAR a VAR modelu hovořily získané výsledky těsně ve prospěch VAR modelu (konkrétně u inflace, sazby státních dluhopisů a sazby státních pokladničních poukázek měl lepší výsledky VAR model, u spotřeby byly výsledky srovnatelné a u hrubého domácího produktu a investic vycházel lépe BVAR model). Co se týče nastavení apriorních hustot, dospěl k závěru, že přesnější předpovědi podávaly modely s „přísněji“ nastavenými (tight) apriorními hustotami – to je v souladu například s poznatky autorů Ni a Sun (2005), ale v rozporu s poznatky autorů Dua a Ray (1995), kteří získali přesnější predikce s použitím „volněji“ nastavených (loose) apriorních hustot. Zmínit můžeme ještě práci Gupta, Kabundi, Miller a Uwilingiye (2011), kteří

34


se zabývají predikcí zaměstnanosti v několika sektorech ekonomiky USA. Používají k tomu (B)VAR, (B)VEC modely a zejména jejich faktorové modifikace. Pokud srovnáme (B)VAR a (B)VEC modely, lepší výsledky podávaly bayesovské modely, přičemž pro kratší predikční horizont BVAR a pro delší potom BVEC modely. Zajímavou diskuzi o nastavování apriorních hyperparametrů a parametru zpoždění při využití BVAR modelu s normální-Wishartovou apriorní hustotou a jejich vlivu na přesnost predikce poskytují Carriero, Clark a Marcellino (2011). Uvažují 18 makroekonomických a finančních proměnných pro USA. Za zmínku stojí jejich poznatek, že s rostoucím zpožděním se predikční schopnost „klasického“ VAR modelu zhoršuje, zatímco BVAR model profituje z redukce parametrů a jeho predikční schopnost se spíše zlepšuje. Doplňme ještě úvahu o problému uvedeném v předchozí kapitole, spojeném s úpravou časových řad. Někteří autoři – např. již zmínění Banbura, Giannone a Reichlin (2010) nebo Giannone, Lenza a Primiceri (2012) – používají modely s proměnnými v úrovňovém tvaru (případně jejich logaritmy); naopak např. Clark a McCracken (2008) nebo Del Negro a Schorfheide (2004) používají diferencované proměnné nebo jejich míry růstu. Carriero, Clark a Marcellino (2011) provedli predikci pomocí modelů s oběma tvary proměnných, přičemž lepší výsledky vykazoval model s proměnnými ve tvaru měr růstu.

2.2

Bayesovské průměrování modelů a kombinace predikcí

Techniky bayesovského průměrování modelů lze těžko provádět nebayesiánským způsobem.3 Je to proto oblast, ve které je bayesiánská ekonometrie velmi užitečná. Pokud uvažujeme M modelů, můžeme je označit jako Mi pro i = 1, . . . , M . Pokud je označen vektor nebo matice parametrů i-tého modelu jako θ i , každý model je spjat s apriorní hustotou p(θ i |Mi ), věrohodnostní funkcí p(y|θ i , Mi ) a posteriorní hustotou p(θ i |y, Mi ). Posteriorní pravděpodobnost modelu je pak označena p(Mi |y) pro i = 1, . . . , M . Pokud označíme parametry, které mají stejnou interpretaci ve všech modelech jako Φ, na základě pravidel pravděpodobnosti můžeme pro jejich posteriorní hustotu psát p(Φ|y) =

M X

p(Φi |y, Mi )p(Mi |y) .

(2.5)

i=1

Obecněji lze tento vztah zapsat následovně: E[g(Φ)|y] =

M X

E[g(Φ)i |y, Mi ]p(Mi |y) ,

(2.6)

i=1

kde g(Φ) je funkce parametrů Φ. Jedná se tedy o průměr posteriorních rozdělení každého uvažovaného modelu, přičemž váhy jsou reprezentovány posteriorními prav3

Avšak i v „klasické“ ekonometrii existují některé ad hoc techniky průměrování modelů – viz např. Sala-i-Martin (1997).

2.2. Bayesovské průměrování modelů a kombinace predikcí

35

děpodobnostmi těchto modelů. Posteriorní pravděpodobnost, resp. váha pro model Mi se tedy vypočítá: p(y|Mi )p(Mi ) p(Mi |y) = PM , j=1 p(y|Mj )p(Mj )

(2.7)

přičemž p(y|Mi ) je marginální věrohodnost modelu i a platí pro ni ˆ p(y|Mi ) =

p(y|θ i , Mi )p(θ i |Mi )dθ i .

(2.8)

Tento vztah však zpravidla nelze vyhodnotit analyticky (Koop, 2003; Hoeting, Madigan, Raftery, Volinsky, 1999). Pro výpočet marginální věrohodnosti se často používá například metoda Gelfanda a Deye (1994) nebo Chibova (1995) metoda.4 V kontextu této diplomové práce však bude oproti výše představenému „tradičnímu“ přístupu k bayesovskému průměrování modelů provedena modifikace. Vzhledem k tomu, že se primárně zaměřujeme na predikci a bude nás zajímat, zda určitá kombinace predikcí5 povede ke zlepšení výsledků v porovnání s jednotlivými modely, ve vzorci pro výpočet vah (2.7) nahradíme marginální věrohodnost věrohodností predikční, která je těsněji spjata s predikční výkonností modelu. S tímto přístupem při použití jednorovnicových modelů dosahují relativně lepších výsledků Eklund a Karlsson (2005) a na vektorové autoregresní modely jej rozšiřují Andersson a Karlsson (2007). Tito autoři zároveň upozorňují na některé problémy spojené použitím marginální věrohodnosti při kombinaci predikcí. Jedná se zejména o to, že například při přidání dodatečné proměnné do VAR modelu se může změnit marginální věrohodnost, ale predikce může zůstat neovlivněna. I to je jeden z důvodů, proč při výpočtu vah pro kombinaci predikcí používat predikční věrohodnost. Dále uvádějí koncept tzv. marginalizace predikční věrohodnosti. Tuto techniku je vhodné použít v případě, kdy máme například VAR model o více proměnných, ale zajímá nás predikce pouze jedné. Můžeme tak získat metriku, která je vztažena právě k té proměnné, která nás zajímá. Touto problematikou se více zabývají např. Ding a Karlsson (2012) nebo Warne, Coenen, Christoffel (2013), kteří mimo jiné podrobněji popisují vztah mezi marginální a predikční věrohodností. Pro doplnění ještě dodejme, že pro stanovování vah při kombinaci predikcí existují i „nebayesiánské“ přístupy, založené například na využití různých informačních kritérií – viz např. Kapetanios, Labhard a Price (2008) nebo Clark a McCracken (2010). Kombinace predikcí uvedeným způsobem bude také porovnána s kombinací dosaženou jednoduchým průměrem predikcí uvažovaných modelů. Pomocí druhé uvedené metody – i přes její jednoduchost – dosahovali relativně velmi dobrých výsledků právě jmenovaní Clark a McCracken (2010). 4

Diskuzi k různým výpočtům marginální věrohodnosti včetně jejich přesnosti poskytuje např. Bos (2002). 5 S kombinováním predikcí jako takovým už začali Bates a Granger (1969).

36


2.3

Data a modely

V empirické části této diplomové práce bude provedena rekurzivní predikce pro hrubý domácí produkt (případně index průmyslové produkce), nezaměstnanost, harmonizovaný index spotřebitelských cen a úrokovou míru komerčních bank států Visegrádské čtyřky (V4), tzn. Českou republiku, Slovensko, Maďarsko a Polsko. Jak již bylo uvedeno v úvodu této práce, tyto čtyři státy byly vybrány za účelem posouzení robustnosti získaných výsledků a možnosti jejich (alespoň částečného) zobecnění. Mimo jiné budeme rovněž zkoumat, jaký vliv na přesnost predikce námi uvažovaných modelů má periodicita časových řad (měsíční vs. čtvrtletní), řád zpoždění, přidání dodatečných proměnných a kombinace predikcí více modelů. Celkově tedy budou uvažovány následující ekonomické veličiny: • hrubý domácí produkt (HDP) (v případě čtvrtletních dat) / index průmyslové produkce (IPI) (v případě měsíčních dat),6 • nezaměstnanost (UNE), • harmonizovaný index spotřebitelských cen (HICP), • úroková míra (tříměsíční) komerčních bank (IR), • úroková míra (repo sazba) centrální banky (CBIR), • nominální efektivní směnný kurz (NEER), • monetární agregát M1 (M1), • cena ropy (OIL). Všechny proměnné kromě úrokové míry centrální banky jsou jak pro státy V4, tak pro Evropskou unii, resp. Eurozónu (u značení s dodatkem „E“). Data pokrývají období od roku 1998 do roku 2013, přičemž byla snaha o dosažení kompromisu mezi dostatečnou délkou časové řady (zejména v kontextu čtvrtletních časových řad) a vyloučením, resp. nezohledněním, relativně extrémních hodnot z devadesátých let v důsledku politického, ekonomického a sociálního vývoje ve státech V4. Pro co největší konzistenci dat byla jako primární zdroj použita databáze Eurostatu7 . Sekundární zdroj tvořila databáze OECD8 a data o vývoji ceny ropy byly získány z databáze Evropské centrální banky9 .10 Pro odstranění „děr“ v případě některých časových řad (například u úrokové míry komerčních bank v případě Maďarska) byla 6

V případě měsíčních dat byl hrubý domácí produkt aproximován indexem průmyslové produkce. Při pohledu na dynamiku vývoje obou časových řad (viz obrázek A2 v appendixu) se zdá být tato aproximace opodstatněná. 7 http://epp.eurostat.ec.europa.eu/portal/page/portal/eurostat/home/ 8 http://stats.oecd.org/ 9 http://sdw.ecb.europa.eu/browse.do?node=2120782 10 Vzhledem k nedostupnosti dat o monetárním agregátu M1 pro Slovensko byl využit monetární agregát „M“ z databáze Bloomberg. Hodnoty by z hlediska absolutní výše nebyly srovnatelné, po převedení na tempa růstu by však dynamika této časové řady měla být do určité míry zachována.

2.3. Data a modely

37

provedena interpolace v rámci výpočetního systému MATLAB. Většina časových řad byla získána již sezónně očištěna. Zvlášť bylo třeba provést sezónní očištění u časových řad harmonizovaného indexu spotřebitelských cen, při kterém byl použit balíček X-12-ARIMA v rámci softwaru Gretl. Celkově je tedy pro každý stát k dispozici 14 proměnných (HDP/IPI, HDP_E/ IPI_E, UNE, UNE_E, HICP, HICP_E, IR, IR_E, CBIR, NEER, NEER_E, M1, M1_E, OIL), a to jak v měsíční, tak ve čtvrtletní podobě. Kromě vlivu periodicity na přesnost predikce bude také zkoumán vliv velikosti modelu (z hlediska počtu proměnných). Konkrétně budou uvažovány 3 velikosti modelů (jak již bylo naznačeno v kapitole 1.2): • malý model (základní) se 4 proměnnými: HDP/IPI, UNE, HICP, IR; • střední model s 8 proměnnými: malý model + CBIR, HDP_E/IPI_E, HICP_E a IR_E; • velký model se 14 proměnnými: střední model + UNE_E, NEER, NEER_E, M1, M1_E, OIL. Proměnné do modelů byly vybrány částečně podle použitých proměnných ve studiích uvedených v kapitole 2.1.1, částečně podle ekonomické teorie a částečně podle uvážení autora. Pro úplnost dodejme, že při výběru řádu zpoždění byly zohledněny informační kritéria (Akaikovo, Schwarzovo a Hannan-Quinnovo). U modelů čtvrtletních dat byl spor mezi řádem 1 a 4 – modely tedy budou použity s oběma řády zpoždění a budou pozorovány vzájemné rozdíly (s případným následným porovnáním poznatků z výše uvedené studie (Carriero, Clark a Marcellino, 2011)). U měsíčních dat hovořila informační kritéria pro řád zpoždění 1.11 Jak je zřejmé z úvodních částí práce, budou použity následující modely: • „klasický“ VAR model (VAR); • BVAR model s difúzní apriorní hustotou (BVAR_diff); • BVAR model s Littermanovou apriorní hustotou – 3 typy podle nastavení apriorních hyperparametrů: „loose“ (BVAR_Litt_l), „normální“ (BVAR_Litt_n), „tight“ (BVAR_litt_t);12 • BVAR model s přirozeně konjugovanou apriorní hustotou (BVAR_nc); • BVAR model s nezávislou normální-Wishartovou apriorní hustotou (BVAR_nw); • BVAR model s použitím techniky SSVS (BVAR_ssvs); Celkem se tedy bude pro každý stát a obě periodicity časových řad jednat o 8 druhů modelů, z nichž každý bude – jak je uvedeno výše – ve třech velikostech: 4, 8 a 14 proměnných (resp. měsíční modely budou ve třech velikostech a čtvrtletní pouze 11 12

Byly však vyzkoušeny i řády vyšší, jak bude uvedeno v diskuzi v kapitole 4.2. Platí, že čím „přísnější“, resp. „těsnější“ („tight“) nastavení, tím nižší jsou hodnoty a1 a a2 .

38


ve dvou z důvodu relativně malého počtu pozorování pro odhad velkého modelu). Volba právě tohoto počtu proměnných byla částečně inspirována prací Giannone, Lenza, Primiceri (2012), kteří – jak již bylo uvedeno v kapitole 1.2 – ve své práci označují jako „malé“ modely s 3 proměnnými, „střední“ modely se 7 proměnnými a „velké“ modely s 22 proměnnými. U měsíčních dat je k dispozici celkem 186 pozrování (1998:M1–2013:M6) a u čtvrtletních dat 61 pozorování (1998:Q1–2013:Q1). Po úpravě dat, tzn. po převedení časových řad na diference (u nezaměstnanosti, úrokové míry komerčních bank a úrokové míry centrální banky), resp. tempa růstu (u ostatních) tedy k dispozici zůstává 185 pozorování v případě měsíčních dat a 60 pozorování v případě čtvrtletních dat. Rekurzivní predikce začíná v případě čtvrtletních dat od roku 2007 – tzn., že bude k dispozici 25 jednokrokových predikcí, 24 dvoukrokových, · · · až 18 osmikrokových. V případě měsíčních dat začíná rekurzivní predikce od roku 2011 – tzn., že bude k dispozici 30 jednokrokových predikcí, 29 dvoukrokových, · · · až 19 dvanáctikrokových. Maximální horizont predikce je tedy nastaven na 8 období u čtvrtletních dat a 12 období u měsíčních dat.

Kapitola 3 Výsledky V této kapitole již bude provedena samotná predikce s využitím výše popsaných modelů. V první části budou uvedeny výsledky postupně pro jednotlivé státy Visegrádské čtyřky a jednotlivé proměnné. Druhá část se bude věnovat kombinaci predikcí více modelů. Následující kapitola 4 shrne hlavní dosažené výsledky a diskutuje některé aspekty v této kapitole provedené analýzy.

3.1 3.1.1

Česká republika Index průmyslové produkce / hrubý domácí produkt

Měsíční modely Index průmyslové produkce v případě České republiky a měsíčních dat predikovaly nejlépe BVAR model s použitím techniky SSVS a BVAR model s nezávislou normální-Wishartovou apriorní hustotou. Ostatní modely podávaly výsledky velmi podobné a obecně mezi všemi modely – jak bude patrno i z většiny dalších výsledků – nepozorujeme nijak dramatické rozdíly (s výjimkou naivní predikce, jejíž výsledky jsou relativně velmi slabé). Podobnost výsledků je zapříčiněna zejména řádem zpoždění 1, který navrhovala výše zmíněná informační kritéria jako nejvhodnější. Poznamenejme, že v první části celé této kapitoly jsou pro vyniknutí z praktického hlediska „významnějších“ rozdílů výsledky zaokrouhleny na dvě desetinná místa. Ačkoliv to na přehlednosti grafů zejména u modelů s měsíčními daty nepřidává, nutno uvést, že – jak bylo právě zmíněno – vzhledem k velmi nízkému řádu zpoždění jsou si výsledky některých modelů často natolik podobné, že by zvýšení počtu desetinných míst k nijak výraznému zpřehlednění grafů nevedlo. Všechny relevantní skutečnosti jsou však uvedeny v komentářích, které grafy doprovázejí. Problematika zpoždění je (mimo jiné) diskutována v kapitole k tomu určené (viz 4.2). Následující panel grafů znázorňuje RMSFE všech uvažovaných modelů v jednotlivých horizontech a jejich vzájemné srovnání vzhledem k velikosti modelu. Z posledního grafu tohoto panelu je zřejmé, že zvětšení modelu ve smyslu přidání dodatečných proměnných nevedlo u žádného modelu ke zlepšení predikce – v jednom případě vedlo dokonce ke zhoršení. 39

40

Kapitola 3. Výsledky Obrázek 1: Panel grafů RMSFE CZ IPI (měsíční data) CZ IPI, malý model, měsíční data VAR BVAR diff BVAR litt l BVAR litt n BVAR litt t BVAR nc BVAR nw BVAR ssvs naive

1.15

RMSFE

1.1 1.05 1 0.95 0.9 1

2

3

4

5

6 7 horizont predikce

8

9

10

11

12

10

11

12

10

11

12

CZ IPI, střední model, měsíční data VAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR naive

1.15

RMSFE

1.1 1.05 1

diff litt l litt n litt t nc nw ssvs

0.95 0.9 1

2

3

4

5


8

9

CZ IPI, velký model, měsíční data VAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR naive

1.15

RMSFE

1.1 1.05 1


0.95 0.9 1

2

3

4

5


8

9

Porovnání RMSFE CZ IPI podle velikosti modelu, měsíční data 1.05

RMSFE průměr

malý model střední model velký model

1

0.95

VAR

BVAR diff

BVAR litt l

BVAR litt n BVAR litt t

BVAR nc

BVAR nw BVAR ssvs

naive

Čtvrtletní modely U „středních“ modelů s použitím čtvrtletních dat z důvodu relativně malého počtu pozorování „klasický“ VAR model s řádem zpoždění 4 „zkolaboval“ (ve smyslu relativně obrovských RMSFE oproti řádu zpoždění 1) a pomocí BVAR modelů s výjimkou BVAR modelu s Littermanovou apriorní hustotou nebyl výpočet predikce pro řád zpoždění 4 technicky možný. V grafu je vždy uveden nejlepší výsledek modelu – pokud je v legendě uvedena poznámka „(p4)“, jedná se o řád zpoždění 4, pokud u modelu žádná poznámka není, jedná se o řád zpoždění 1. I přes relativně malý počet pozorování vzhledem k odhadovaným parametrům a z ní vyplývající možné

3.1. Česká republika

41

nepřesnosti, jsou výsledky prezentovány. Při jejich posuzování je však dobré mít uvedenou skutečnost na paměti a brát je s odpovídajícím „odstupem“. V rámci čtvrtletních dat predikovaly nejléle hrubý domácí produkt BVAR model s nezávislou normální-Wishartovou apriorní hustotou, „klasický“ VAR model a BVAR model s použitím techniky SSVS. Všechny modely překonaly výsledky naivní predikce. Po přidání dodatečných proměnných došlo k relativně výraznému zhoršení predikčních schopností u všech modelů, jak plyne z porovnání ve třetím grafu níže uvedeného panelu. Obrázek 2: Panel grafů RMSFE CZ HDP (čtvrtletní data) CZ HDP, malý model, čtvrtletní data 1.6 VAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR naive

1.5 1.4

RMSFE

1.3 1.2 1.1 1


0.9 0.8 0.7 1

2

3


6

7

8

6

7

8

CZ HDP, střední model, čtvrtletní data 2.5 VAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR naive

RMSFE

2

1.5

diff litt l litt n (p4) litt t (p4) nc nw ssvs

1

0.5 1

2

3


Porovnání RMSFE CZ HDP podle velikosti modelu, čtvrtletní data malý model střední model

RMSFE průměr

1.3 1.2 1.1 1 0.9 0.8

3.1.2

VAR

BVAR diff

BVAR litt l

BVAR litt n

BVAR litt t

BVAR nc

BVAR nw

BVAR ssvs

naive

Nezaměstnanost

Měsíční modely Co se týče měsíční nezaměstnanosti, výsledky modelů jsou vesměs téměř totožné. Opět však všechny znatelně predikují lépe než naivní predikce. Tyto výsledky zachycuje následující panel grafů i se srovnáním výsledků vzhledem k velikosti modelu, které dokládá, že přidání dodatečných proměnných ke zpřesnění predikce opět nevedlo.

42

Kapitola 3. Výsledky Obrázek 3: Panel grafů RMSFE CZ UNE (měsíční data) CZ UNE, malý model, měsíční data 0.12 VAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR naive

0.11

RMSFE

0.1 0.09


0.08 0.07 0.06 1

2

3

4

5


8

9

10

11

12

9

10

11

12

11

12

CZ UNE, střední model, měsíční data 0.12 VAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR naive

0.11

RMSFE

0.1 0.09


0.08 0.07 0.06 1

2

3

4

5


8

CZ UNE, velký model, měsíční data 0.12 VAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR naive

0.11

RMSFE

0.1 0.09


0.08 0.07 0.06 1

2

3

4

5


8

9

10

Porovnání RMSFE CZ UNE podle velikosti modelu, měsíční data 0.12 malý model střední model velký model

RMSFE průměr

0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0

VAR

BVAR diff

BVAR litt l

BVAR litt n

BVAR litt t

BVAR nc

BVAR nw BVAR ssvs

naive

Čtvrtletní modely U čtvrtletní nezaměstnanosti můžeme vyzdvihnout BVAR model s nezávislou normálníWishartovou apriorní hustotou, BVAR model s použitím techniky SSVS a také „klasický“ VAR model a BVAR model s Littermanovou apriorní hustotou s „tigth“ nastavením. Všechny modely podávaly přesnější výsledky než naivní predikce. Přidání dodatečných proměnných přesnosti predikce nepomohlo, spíše naopak. Uvedené skutečnosti dokumentuje níže uvedený panel grafů.


43

Obrázek 4: Panel grafů RMSFE CZ UNE (čtvrtletní data) CZ UNE, malý model, čtvrtletní data 0.65 VAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR naive

0.6 0.55

RMSFE

0.5 0.45 0.4


0.35 0.3 0.25 0.2 1

2

3


6

7

8

6

7

8

CZ UNE, střední model, čtvrtletní data 1 VAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR naive

0.9 0.8

RMSFE

0.7 0.6 0.5

diff litt l litt n (p4) litt t (p4) nc nw ssvs

0.4 0.3 0.2 1

2

3


Porovnání RMSFE CZ UNE podle velikosti modelu, čtvrtletní data 0.5 malý model střední model

RMSFE průměr

0.4

0.3

0.2

0.1

0

3.1.3

VAR

BVAR diff

BVAR litt l

BVAR litt n

BVAR litt t

BVAR nc

BVAR nw

BVAR ssvs

naive

Harmonizovaný index spotřebitelských cen

Měsíční modely Výsledky u harmonizovaného indexu spotřebitelských cen v měsíční frekvenci jsou opět velmi podobné a opět všechny modely relativně výrazně překonávají naivní predikci. Jak je patrno i z níže uvedeného panelu grafů, zvětšení modelu ke zpřesnění predikce nevedlo. Obrázek 5: Panel grafů RMSFE CZ HICP (měsíční data) CZ HICP, malý model, měsíční data 0.26 VAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR naive

RMSFE

0.24

0.22

0.2


0.18

0.16 1

2

3

4

5


8

9

10

11

12

44

Kapitola 3. Výsledky CZ HICP, střední model, měsíční data 0.26 VAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR naive

RMSFE

0.24

0.22

0.2


0.18

0.16 1

2

3

4

5


8

9

10

11

12

9

10

11

12

CZ HICP, velký model, měsíční data 0.26 VAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR naive

RMSFE

0.24

0.22

0.2


0.18

0.16 1

2

3

4

5


8

Porovnání RMSFE CZ HICP podle velikosti modelu, měsíční data 0.35 malý model střední model velký model

0.3

RMSFE průměr

0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0

VAR

BVAR diff

BVAR litt l


BVAR nc

BVAR nw BVAR ssvs

naive

Čtvrtletní modely Při predikci čtvrtletního harmonizovaného indexu spotřebitelských cen podávaly nejlepší výsledky BVAR model s nezávislou normální-Wishartovou apriorní hustotou, „klasický“ VAR model a BVAR model s použitím techniky SSVS, u kterého (jako jediného ze všech modelů) došlo po přidání dodatečných proměnných k mírnému zlepšení výsledků. U ostatních modelů došlo po přidání proměnných ke zhoršení. Všechny modely opět relativně výrazně překonaly naivní predikci. Popsané výsledky ilustruje následující panel grafů. Obrázek 6: Panel grafů RMSFE CZ HICP (čtvrtletní data) CZ HICP, malý model, čtvrtletní data 0.9

VAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR naive

0.8

RMSFE

0.7 0.6


0.5 0.4 0.3 1

2

3


6

7

8


45 CZ HICP, střední model, čtvrtletní data

0.9


RMSFE

0.8

0.7

0.6

diff litt l litt n litt t (p4) nc nw ssvs

0.5

0.4 1

2

3


6

7

8

Porovnání RMSFE CZ HICP podle velikosti modelu, čtvrtletní data 0.8 malý model střední model

0.7

RMSFE průměr

0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

3.1.4

VAR

BVAR diff

BVAR litt l

BVAR litt n

BVAR litt t

BVAR nc

BVAR nw

BVAR ssvs

naive

Úroková míra

Měsíční modely V případě měsíčních dat úrokové míry vyniká BVAR model s použitím techniky SSVS, který u středního a velkého modelu podával nejlepší výsledky. Přidání proměnných tedy v případě tohoto modelu vedlo ke zpřesnění predikce, přičemž překonal i naivní predikci, která úrokovou míru predikovala relativně dobře. To je zapříčiněno zřejmě tím, že značnou část predikovaného období v případě měsíčních dat (tzn. od roku 2011) úroková míra nezaznamenala výraznější výkyvy a její hodnota byla relativně stabilní. Obrázek 7: Panel grafů RMSFE CZ IR (měsíční data) CZ IR, malý model, měsíční data 0.1 0.09 0.08 VAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR naive

RMSFE

0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 1

2

3

4

5


8


9

10

11

12

9

10

11

12

CZ IR, střední model, měsíční data 0.1 VAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR naive

0.09 0.08

RMSFE

0.07 0.06 0.05


0.04 0.03 0.02 1

2

3

4

5


8

46

Kapitola 3. Výsledky CZ IR, velký model, měsíční data 0.1 VAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR naive

0.09 0.08

RMSFE

0.07 0.06 0.05


0.04 0.03 0.02 1

2

3

4

5


8

9

10

11

12

Porovnání RMSFE CZ IR podle velikosti modelu, měsíční data 0.08 malý model střední model velký model

RMSFE průměr

0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02

VAR

BVAR diff

BVAR litt l

BVAR litt n

BVAR litt t

BVAR nc

BVAR nw

BVAR ssvs

naive

Čtvrtletní modely Čtvrtletní úrokovou míru predikovaly nejlépe BVAR model s využitím techniky SSVS, BVAR model s nezávislou normální-Wishartovou apriorní hustotou a BVAR model s Littermanovou apriorní hustotou s „tight“ nastavením. Celkově se dá shrnout, že v rámci BVAR modelů s Littermanovou apriorní hustotou zvládají ty s „tight“ nastavením zpravidla lépe vyšší horizonty. Stejně jako v případě čtvrtletního harmonizovaného indexu spotřebitelských cen, i v případě úrokové míry došlo u BVAR modelu s využitím techniky SSVS po přidání dodatečných proměnných k mírnému zlepšení výsledků. U ostatních modelů došlo ke zhoršení.

Obrázek 8: Panel grafů RMSFE CZ IR (čtvrtletní data) CZ IR, malý model, čtvrtletní data 0.65 0.6 0.55

RMSFE

0.5 0.45 0.4

VAR (p4) BVAR diff (p4) BVAR litt l (p4) BVAR litt n (p4) BVAR litt t (p4) BVAR nc (p4) BVAR nw (p4) BVAR ssvs (p4) naive

0.35 0.3 0.25 0.2 1

2

3


6

7

8

6

7

8

CZ IR, střední model, čtvrtletní data 1.5

RMSFE

1


diff litt l (p4) litt n (p4) litt t (p4) nc nw ssvs

0.5

0 1

2

3


3.2. Slovensko

47

Porovnání RMSFE CZ IR podle velikosti modelu, čtvrtletní data 0.7 0.6

malý model střední model

RMSFE průměr

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

VAR

BVAR diff

BVAR litt l

BVAR litt n

BVAR litt t

BVAR nc

BVAR nw

BVAR ssvs

naive

V kontextu ostatních modelů podávala relativně uspokojivé (zdaleka ne však nejlepší) výsledky i naivní predikce. Dodejme ještě, že v případě úrokové míry (jakožto jediné veličiny) predikovaly lépe modely s řádem zpoždění 4 (a nikoliv 1, jak tomu bylo v drtivé většině u předchozích predikovaných proměnných). Na závěr prezentace výsledků pro Českou republiku krátce shrňme dosažené výsledky ve dvou rovinách, jak bylo popsáno v úvodu práce. S výjimkou predikce úrokové míry podávaly všechny uvažované modely mnohem lepší výsledky než naivní predikce. „Klasický“ VAR model si mezi svými bayesovskými „soupeři“ vedl relativně průměrně až dobře, s výjimkou predikce úrokové míry, kterou zvládl relativně špatně.

3.2

Slovensko

3.2.1

Index průmyslové produkce / hrubý domácí produkt

Měsíční modely Index průmyslové produkce s měsíční frekvencí v případě Slovenska predikovaly nejlépe s malým rozdílem BVAR model s nezávislou normální-Wishartovou apriorní hustotou a BVAR model s použitím techniky SSVS. Přidání proměnných zlepšení predikce nepřineslo a všechny modely podávaly výrazně lepší výsledky než naivní predikce. Uvedené skutečnosti dokládá následující panel grafů.

Obrázek 9: Panel grafů RMSFE SK IPI (měsíční data) SK IPI, malý model, měsíční data 1.1


RMSFE

1.05

1

0.95


0.9

0.85 1

2

3

4

5


8

9

10

11

12

48

Kapitola 3. Výsledky SK IPI, střední model, měsíční data 1.1

RMSFE

1.05

1

10

VAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR naive 11

10

VAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR naive 11

0.95

0.9

0.85 1

2

3

4

5


8

9

diff litt l litt n litt t nc nw ssvs 12

SK IPI, velký model, měsíční data 1.1

RMSFE

1.05

1

0.95

0.9

0.85 1

2

3

4

5


8

9


Porovnání RMSFE SK IPI podle velikosti modelu, měsíční data

1.3


RMSFE průměr

1.2 1.1 1 0.9 0.8 0.7 0.6

VAR

BVAR diff

BVAR litt l

BVAR litt n

BVAR litt t

BVAR nc

BVAR nw

BVAR ssvs

naive

Čtvrtletní modely V případě čtvrtletního hrubého domácího produktu vykazovaly nejlepší výsledky opět BVAR modely jmenované výše u indexu průmyslové produkce. Za nimi můžeme uvést BVAR modely s Littermanovou apriorní hustotou (zejména ten s „tight“ nastavením apriorních hyperparametrů, který mezi ostatními modely těsně vynikal). Po přidání proměnných došlo k relativně výraznému zhoršení výsledků. Co se však týče modelů s „malým“ počtem proměnných, všechny opět podávaly výsledky relativně výrazně lepší než naivní predikce. Obrázek 10: Panel grafů RMSFE SK HDP (čtvrtletní data) SK HDP, malý model, čtvrtletní data 1.8 VAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR naive

1.6

RMSFE

1.4 1.2


1 0.8 1

2

3


6

7

8

3.2. Slovensko

49 SK HDP, střední model, čtvrtletní data

4 VAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR naive

3.5

RMSFE

3 2.5 2


1.5 1 1

2

3


6

7

8

Porovnání RMSFE SK HDP podle velikosti modelu, čtvrtletní data 1.5

RMSFE průměr


1

0.5

3.2.2

VAR

BVAR diff

BVAR litt l

BVAR litt n

BVAR litt t

BVAR nc

BVAR nw

BVAR ssvs

naive

Nezaměstnanost

Měsíční modely Výsledky u predikce měsíční nezaměstnanosti jsou u všech modelů téměř totožné. Faktem však zůstává, že přidání proměnných ke zpřesnění predikce nevedlo, a že výsledky všech modelů jsou oproti naivní predikci znatelně přesnější, jak mimo jiné dokládá níže uvedený panel grafů.

Obrázek 11: Panel grafů RMSFE SK UNE (měsíční data) SK UNE, malý model, měsíční data 0.12 0.115 0.11


RMSFE

0.105 0.1 0.095 0.09 0.085 0.08


0.075 1

2

3

4

5


8

9

10

11

12

SK UNE, střední model, měsíční data 0.12


0.115 0.11

RMSFE

0.105 0.1 0.095 0.09


0.085 0.08 0.075 1

2

3

4

5


8

9

10

11

12

50

Kapitola 3. Výsledky SK UNE, velký model, měsíční data 0.12


0.115 0.11

RMSFE

0.105 0.1 0.095 0.09


0.085 0.08 0.075 1

2

3

4

5


8

9

10

11

12

Porovnání RMSFE SK UNE podle velikosti modelu, měsíční data 0.14 0.13 malý model střední model velký model

RMSFE průměr

0.12 0.11 0.1 0.09 0.08 0.07 0.06

VAR

BVAR diff

BVAR litt l

BVAR litt n

BVAR litt t

BVAR nc

BVAR nw BVAR ssvs

naive

Čtvrtletní modely Co se týče čtvrtletní nezaměstnanosti, nejpřesnější predikce poskytovaly BVAR model s použitím techniky SSVS a BVAR model s nezávislou normální-Wishartovou apriorní hustotou. Za nimi můžeme ještě uvést „klasický“ VAR model, i když rozdíly mezi ostatními modely jsou velmi malé. Po přidání dodatečných proměnných se predikční schopnost prvních dvou jmenovaných modelů téměř nezměnila, u ostatních modelů došlo ke zhoršení.

Obrázek 12: Panel grafů RMSFE SK UNE (čtvrtletní data) SK UNE, malý model, čtvrtletní data 0.8 0.75 0.7

RMSFE

0.65 0.6 0.55



0.5 0.45 0.4 1

2

3


6

7

8

7

8

SK UNE, střední model, čtvrtletní data 1.4

RMSFE

1.2

1

0.8



0.6

0.4 1

2

3


6

3.2. Slovensko

51 Porovnání RMSFE SK UNE podle velikosti modelu, čtvrtletní data

0.9 0.8 malý model střední model

RMSFE průměr

0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

VAR

BVAR diff

BVAR litt l

BVAR litt n

BVAR litt t

BVAR nc

BVAR nw

BVAR ssvs

naive

Tuto „odolnost“ přesnosti predikce vůči přidání dodatečných proměnných, přesněji řečeno vůči relativně malému počtu pozorování vzhledem k počtu odhadovaných parametrů, jsme mohli u jmenovaných dvou BVAR modelů spatřit i v některých předchozích případech a bude patrná i z některých případů následujících. Všechny modely opět překonaly naivní predikci.

3.2.3


Měsíční modely Harmonizovaný index spotřebitelských cen v měsíční frekvenci predikovaly všechny uvažované modely včetně naivní predikce velmi podobně. Po přidání dodatečných proměnných (až na „velký“ model z hlediska počtu proměnných) došlo k mírnému zlepšení predikční schopnosti u většiny modelů a naivní predikci těsně překonaly (zejména v nižších horizontech).

Obrázek 13: Panel grafů RMSFE SK HICP (měsíční data) SK HICP, malý model, měsíční data 0.26 0.25 0.24

RMSFE

0.23 0.22 0.21



0.2 0.19 0.18 1

2

3

4

5


8

9

10

11

12

9

10

11

12

SK HICP, střední model, měsíční data 0.26 0.25 0.24

RMSFE

0.23 0.22 0.21



0.2 0.19 0.18 1

2

3

4

5


8

52

Kapitola 3. Výsledky SK HICP, velký model, měsíční data 0.26 0.25 0.24

RMSFE

0.23 0.22 0.21



0.2 0.19 0.18 1

2

3

4

5


8

9

10

11

12

Porovnání RMSFE SK HICP podle velikosti modelu, měsíční data 0.24 malý model střední model velký model

RMSFE průměr

0.23 0.22 0.21 0.2 0.19 0.18

VAR

BVAR diff

BVAR litt l

BVAR litt n

BVAR litt t

BVAR nc

BVAR nw BVAR ssvs

naive

Čtvrtletní modely Čtvrtletní harmonizovaný index spotřebitelských cen predikoval jednoznačně nejlépe BVAR model s nezávislou normální-Wishartovou apriorní hustotou. Na pomyslné druhé místo můžeme zařadit naivní predikci, která oproti jmenovanému BVAR modelu ztrácela zejména ve vyšších predikčních horizontech. Naivní predikce však v tomto případě překonala ostatní modely, jejichž výsledky vykazovaly relativně malé rozdíly. Po přidání proměnných došlo (narozdíl od měsíčních modelů) ve všech případech ke zhoršení výsledků. Obrázek 14: Panel grafů RMSFE SK HICP (čtvrtletní data) SK HICP, malý model, čtvrtletní data 1 0.9

RMSFE

0.8


0.7 0.6 0.5 0.4 1

2

3


6


7

8

SK HICP, střední model, čtvrtletní data 1.4

RMSFE

1.2 VAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR naive

1

0.8

0.6

0.4 1

2

3


6

7


8

3.2. Slovensko

53 Porovnání RMSFE SK HICP podle velikosti modelu, čtvrtletní data

1.4 1.2


RMSFE průměr

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

3.2.4

VAR

BVAR diff

BVAR litt l

BVAR litt n

BVAR litt t

BVAR nc

BVAR nw

BVAR ssvs

naive

Úroková míra

Měsíční modely Měsíční úrokovou míru v nízkých horizontech predikovala relativně velmi dobře naivní predikce. Ve vyšších horizontech to však bylo podstatně slabší. Nejlepší výsledky podával BVAR model s použitím techniky SSVS. U BVAR modelů s Littermanovou a nezávislou normální-Wishartovou apriorní hustotou došlo po přidání dodatečných proměnných k mírnému zlepšení výsledků. Obrázek 15: Panel grafů RMSFE SK IR (měsíční data) SK IR, malý model, měsíční data 0.16 VAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR naive

0.14

RMSFE

0.12 0.1 0.08


0.06 0.04 1

2

3

4

5


8

9

10

11

12

10

11

12

10

11

12

SK IR, střední model, měsíční data 0.16 VAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR naive

0.14

RMSFE

0.12 0.1 0.08


0.06 0.04 1

2

3

4

5


8

9

SK IR, velký model, měsíční data 0.16 VAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR naive

0.14

RMSFE

0.12 0.1 0.08


0.06 0.04 1

2

3

4

5


8

9

54

Kapitola 3. Výsledky Porovnání RMSFE SK IR podle velikosti modelu, měsíční data 0.12 malý model střední model velký model

0.11

RMSFE průměr

0.1 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04

VAR

BVAR diff

BVAR litt l

BVAR litt n

BVAR litt t

BVAR nc

BVAR nw BVAR ssvs

naive

Čtvrtletní modely U úrokové míry se čtvrtletní frekvencí platí částečně to, co bylo napsáno v předchozím případě. V nízkých horizontech podávala relativně dobré výsledky naivní predikce, s rostoucím horizontem se však její RMSFE zvyšovala a celkově (resp. v průměru) ji překonaly zejména často jmenované BVAR modely s použitím techniky SSVS a s nezávislou normální-Wishartovou apriorní hustotou. Po přidání proměnných ke zlepšení predikce nedošlo. Můžeme ještě dodat poznámku ke „klasickému“ VAR modelu, který relativně dobře zvládal vyšší horizonty, u nízkých však podával výsledky relativně špatné. Obrázek 16: Panel grafů RMSFE SK IR (čtvrtletní data) SK IR, malý model, čtvrtletní data 0.65 0.6 0.55 VAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR naive

RMSFE

0.5 0.45 0.4 0.35 0.3


0.25 0.2 1

2

3


6

7

8

6

7

8

SK IR, střední model, čtvrtletní data 0.7


RMSFE

0.6

0.5

0.4


0.3

0.2 1

2

3


Porovnání RMSFE SK IR podle velikosti modelu, čtvrtletní data 0.7 0.6


RMSFE průměr

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

VAR

BVAR diff

BVAR litt l

BVAR litt n

BVAR litt t

BVAR nc

BVAR nw

BVAR ssvs

naive

3.3. Maďarsko

55

Na závěr prezentace výsledků pro Slovensko opět krátce shrňme dosažené výsledky. V případě indexu průmyslové produkce, resp. hrubého domácího produktu, a nezaměstnanosti podávaly všechny uvažované modely výrazně lepší výsledky než naivní predikce. U harmonizovaného indexu spotřebitelských cen byla situace mnohem vyrovnanější a v případě úrokové míry v úvodních predikčních horizontech naivní predikce ostatní modely dokonce překonala. Tento případ je však spíše výjimečný a při celkovém pohledu hovoří výsledky jasně pro VAR a BVAR modely. Co se týče srovnání „klasického“ VAR modelu s BVAR modely, v kontextu výsledků pro Slovensko si s výjimkou čtvrtletní nezaměstnanosti vedl průměrně až podprůměrně.

3.3

Maďarsko

3.3.1

Index průmyslové produkce / hrubý domácí produkt

Měsíční modely Měsíční index průmyslové produkce v případě Maďarska predikovaly nejlépe BVAR model s nezávislou normální-Wishartovou apriorní hustotou a BVAR model s využitím techniky SSVS. Rozdíly mezi těmito a ostatními modely však byly z praktického hlediska zanedbatelné. Naivní predikce zcela selhala a grafické vyobrazení jejích výsledků je vysoko nad ostatními modely, proto není v níže uvedených grafech vidět (stejně jako v případě Slovenska). Po zvětšení modelu došlo ve všech případech k mírnému zhoršení výsledků.

Obrázek 17: Panel grafů RMSFE HU IPI (měsíční data) HU IPI, malý model, měsíční data 1.6 VAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR naive

1.55

RMSFE

1.5 1.45 1.4 1.35


1.3 1.25 1

2

3

4

5


8

9

10

11

12

9

10

11

12

HU IPI, střední model, měsíční data 1.65 VAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR naive

1.6 1.55

RMSFE

1.5 1.45 1.4


1.35 1.3 1.25 1

2

3

4

5


8

56

Kapitola 3. Výsledky HU IPI, velký model, měsíční data 1.7 1.65


1.6

RMSFE

1.55 1.5 1.45 1.4


1.35 1.3 1.25 1

2

3

4

5


8

9

10

11

12

Porovnání RMSFE HU IPI podle velikosti modelu, měsíční data 1.5 malý model střední model velký model

RMSFE průměr

1.45

1.4

1.35

1.3

1.25

VAR

BVAR diff

BVAR litt l


BVAR nc

BVAR nw BVAR ssvs

naive

Čtvrtletní modely V případě čtvrtletního hrubého domácího produktu došlo po přidání dodatečných proměnných ke zlepšení výsledků u většiny uvažovaných modelů, jak je patrné z následujícího panelu grafů. Relativně nejpřesnější predikce poskytovaly BVAR modely s Littermanovou apriorní hustotou, zejména ten s „tight“ nastavením apriorních hyperparametrů a řádem zpoždění 4, který zvládal zdaleka nejlépe predikci vyšších horizontů (v rámci středních modelů). Dále můžeme uvést „malý“ BVAR model s nezávislou normální-Wishartovou apriorní hustotou. Všechny modely (zejména v rámci „střední“ velikosti) opět podávaly lepší výsledky než naivní predikce. Obrázek 18: Panel grafů RMSFE HU HDP (čtvrtletní data) HU HDP, malý model, čtvrtletní data 2 1.8

RMSFE

1.6 1.4 1.2



1 0.8

1

2

3


6

7

8

6

7

8

HU HDP, střední model, čtvrtletní data 1.6 1.5 1.4

RMSFE

1.3 1.2 1.1 1


diff litt l litt n litt t (p4) nc nw ssvs

0.9 0.8 0.7 1

2

3


3.3. Maďarsko

57 Porovnání RMSFE HU HDP podle velikosti modelu, čtvrtletní data

1.3


RMSFE průměr

1.2 1.1 1 0.9 0.8 0.7 0.6

3.3.2

VAR

BVAR diff

BVAR litt l

BVAR litt n

BVAR litt t

BVAR nc

BVAR nw

BVAR ssvs

naive

Nezaměstnanost

Měsíční modely Co se týče měsíční nezaměstnanosti, výsledky všech modelů jsou si velmi blízké. Za pomyslného vítěze bychom mohli označit BVAR model s použitím techniky SSVS, rozdíly mezi modely jsou však z praktického hlediska zanedbatelné. Po přidání proměnných došlo u všech modelů s výjimkou právě jmenovaného k mírnému zhoršení výsledků. Faktem však zůstává, že všechny modely výrazně překonaly naivní predikci. Obrázek 19: Panel grafů RMSFE HU UNE (měsíční data) HU UNE, malý model, měsíční data 0.13 VAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR naive

0.125 0.12

RMSFE

0.115 0.11 0.105


0.1 0.095 0.09 1

2

3

4

5


8

9

10

11

12

9

10

11

12

9

10

11

12

HU UNE, střední model, měsíční data 0.13 VAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR naive

0.125 0.12

RMSFE

0.115 0.11 0.105


0.1 0.095 0.09 1

2

3

4

5


8

HU UNE, velký model, měsíční data 0.13 VAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR naive

0.125 0.12

RMSFE

0.115 0.11 0.105


0.1 0.095 0.09 1

2

3

4

5


8

58

Kapitola 3. Výsledky Porovnání RMSFE HU UNE podle velikosti modelu, měsíční data 0.12 malý model střední model velký model

0.115

RMSFE průměr

0.11 0.105 0.1 0.095 0.09 0.085 0.08

VAR

BVAR diff

BVAR litt l BVAR litt n BVAR litt t

BVAR nc

BVAR nw BVAR ssvs

naive

Čtvrtletní modely Čtvrtletní nezaměstnanost predikovaly nejpřesněji BVAR model s využitím techniky SSVS, BVAR model s nezávislou normální-Wishartovou aprioní hustotou a BVAR model s Littermanovou apriorní hustotou (zejména s „tight“ nastavením). Co se týče BVAR modelů s Littermanovou apriorní hustotou, lepší výsledky podávaly modely s řádem zpoždění 4 a u modelů s „normal“ a „tight“ nastavením došlo jako u jediných z uvažovaných modelů po přidání dodatečných proměnných k mírnému zlepšení výsledků. Většina modelů rovněž překonala naivní predikci.

Obrázek 20: Panel grafů RMSFE HU UNE (čtvrtletní data) HU UNE, malý model, čtvrtletní data 0.55 0.5

RMSFE

0.45 0.4 0.35



0.3 0.25 0.2 1

2

3


6

7

8

HU UNE, střední model, čtvrtletní data 0.65 0.6 0.55

RMSFE

0.5 0.45 0.4 0.35



0.3 0.25 0.2 1

2

3


6

7

8

Porovnání RMSFE UNE HICP podle velikosti modelu, čtvrtletní data 0.45


RMSFE průměr

0.4

0.35

0.3

0.25

VAR

BVAR diff

BVAR litt l


BVAR nc

BVAR nw BVAR ssvs

naive

3.3. Maďarsko

3.3.3

59


Měsíční modely Harmonizovaný index spotřebitelských cen v měsíční frekvenci predikují modely téměř totožně. Bez vlivu na celkový průměř RMSFE jej predikuje relativně nejpřesněji BVAR model s nezávislou normální-Wishartovou apriorní hustotou. Zvětšení modelu ke zpřesnění predikce nevedlo a všechny modely velmi výrazně překonaly naivní predikci.

Obrázek 21: Panel grafů RMSFE HU HICP (měsíční data) HU HICP, malý model, měsíční data 0.38 0.37 0.36

RMSFE

0.35 0.34 0.33



0.32 0.31 0.3 1

2

3

4

5


8

9

10

11

12

9

10

11

12

9

10

11

12

HU HICP, střední model, měsíční data 0.38 0.37 0.36

RMSFE

0.35 0.34 0.33



0.32 0.31 0.3 1

2

3

4

5


8

HU HICP, velký model, měsíční data 0.38 0.37 0.36

RMSFE

0.35 0.34 0.33



0.32 0.31 0.3 1

2

3

4

5


8

Porovnání RMSFE HU HICP podle velikosti modelu, měsíční data 0.36 malý model střední model velký model

RMSFE průměr

0.35 0.34 0.33 0.32 0.31 0.3

VAR

BVAR diff

BVAR litt l

BVAR litt n

BVAR litt t

BVAR nc

BVAR nw BVAR ssvs

naive

60

Kapitola 3. Výsledky

Čtvrtletní modely U čtvrtletního harmonizovaného indexu spotřebitelských cen podávaly nejlepší výsledky BVAR model s nezávislou normální-Wishartovou apriorní hustotou, BVAR model s použitím techniky SSVS a BVAR model s Littermanovou apriorní hustotou (zejména ten s „tight“ nastavením a řádem zpožděním 4). Po přidání dodatečných proměnných došlo u všech modelů ke zhoršení predikce. V tomto případě si relativně vůbec špatně nevedla ani naivní predikce, jejíž výsledky lze v kontextu ostatních („malých“) modelů označit (oproti většině předchozích případů) za průměrné. Obrázek 22: Panel grafů RMSFE HU HICP (čtvrtletní data) HU HICP, malý model, čtvrtletní data 1.2 VAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR naive

1.1

RMSFE

1 0.9 0.8


0.7 0.6 0.5 1

2

3


6

7

8

6

7

8

HU HICP, střední model, čtvrtletní data 2


1.8 1.6

RMSFE

1.4 1.2 1


0.8 0.6 0.4 1

2

3


Porovnání RMSFE HU HICP podle velikosti modelu, čtvrtletní data

1.1 malý model střední model

RMSFE průměr

1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4

3.3.4

VAR

BVAR diff

BVAR litt l

BVAR litt n

BVAR litt t

BVAR nc

BVAR nw

BVAR ssvs

naive

Úroková míra

Měsíční modely Měsíční úrokovou míru predikovaly modely téměř totožně. Za zmínku stojí fakt, že BVAR model s použitím techniky SSVS si vedl oproti ostatním modelům relativně hůře, což u předchozích výsledků nebývalo zvykem. Rozdíly jsou však z praktického hlediska mizivé. V tomto případě došlo po přidání proměnných u všech modelů kromě výše jmenovaného k velmi mírnému zpřesnění predikce. Všechny modely také výrazně překonaly naivní predikci.

3.3. Maďarsko

61

Obrázek 23: Panel grafů RMSFE HU IR (měsíční data) HU IR, malý model, měsíční data 0.55


RMSFE

0.5

0.45


0.4

0.35 1

2

3

4

5


8

9

10

11

12

HU IR, střední model, měsíční data 0.55


RMSFE

0.5

0.45


0.4

0.35 1

2

3

4

5


8

9

10

11

12

HU IR, velký model, měsíční data 0.55


RMSFE

0.5

0.45


0.4

0.35 1

2

3

4

5


8

9

10

11

12

Porovnání RMSFE HU IR podle velikosti modelu, měsíční data 0.5

RMSFE průměr

malý model střední model velký model 0.45

0.4

0.35

VAR

BVAR diff

BVAR litt l

BVAR litt n

BVAR litt t

BVAR nc

BVAR nw

BVAR ssvs

naive

Čtvrtletní modely Úrokovou míru se čtvrtletní frekvencí predikovaly nejlépe BVAR model s použitím techniky SSVS, BVAR model s nezávislou normální-Wishartovou apriorní hustotou a také „klasický“ VAR model a BVAR model s Littermanovou apriorní hustotou s „tight“ nastavením. Rozdíly mezi modely však byly relativně malé. U žádného modelu nedošlo po přidání dodatečných proměnných ke zpřesnění predikce, spíše naopak. Všechny modely opět podávaly výrazně lepší výsledky než naivní predikce.

62

Kapitola 3. Výsledky Obrázek 24: Panel grafů RMSFE HU IR (čtvrtletní data) HU IR, malý model, čtvrtletní data 1.1 VAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR naive

1

RMSFE

0.9 0.8 0.7


0.6 0.5 1

2

3


6

7

8

6

7

8

HU IR, střední model, čtvrtletní data 1.2 VAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR naive

1.1

RMSFE

1 0.9 0.8 0.7


0.6 0.5 1

2

3


Porovnání RMSFE HU IR podle velikosti modelu, čtvrtletní data 0.8


RMSFE průměr

0.75 0.7 0.65 0.6 0.55 0.5 0.45 0.4

VAR

BVAR diff

BVAR litt l


BVAR nc

BVAR nw BVAR ssvs

naive

Na závěr prezentace výsledků pro Maďarsko můžeme dosažené výsledky shrnout tak, že s výjimkou predikce čtvrtletního harmonizovaného indexu spotřebitelských cen a čtvrtletní nezaměstnanosti podávaly uvažované modely (zpravidla výrazně) lepší výsledky než naivní predikce. Výsledky „klasického“ VAR modelu byly v porovnání s BVAR modely celkově průměrné až mírně podprůměrné.

3.4 3.4.1

Polsko Index průmyslové produkce / hrubý domácí produkt

Měsíční modely U predikce měsíčního indexu průmyslové produkce v případě Polska vykazoval relativně nejlepší výsledky BVAR model s nezávislou normální-Wishartovou apriorní hustotou. Rozdíl mezi tímto a ostatními modely je však velmi malý. Zvětšení modelu z „malého“ na „střední“ vedlo k mírnému zpřesnění predikcí, ze „středního“ na „velký“ však naopak k mírnému zhoršení. Všechny uvažované modely výrazně překonaly výsledky naivní predikce.

3.4. Polsko

63

Obrázek 25: Panel grafů RMSFE PL IPI (měsíční data) PL IPI, malý model, měsíční data 1.8 1.75

RMSFE


1.65 1.6 1.55 1.5 1

2

3

4

5


8


9

10

11

12

10

11

12

10

11

12

PL IPI, střední model, měsíční data

1.75

RMSFE


1.65 1.6 1.55 1.5 1.45 1

2

3

4

5


8


9

PL IPI, velký model, měsíční data 1.8 1.75

RMSFE


1.65 1.6 1.55 1.5 1

2

3

4

5


8

9


Porovnání RMSFE PL IPI podle velikosti modelu, měsíční data 2 malý model střední model velký model

RMSFE průměr

1.9 1.8 1.7 1.6 1.5 1.4

VAR

BVAR diff

BVAR litt l

BVAR litt n

BVAR litt t

BVAR nc

BVAR nw

BVAR ssvs

naive

Čtvrtletní modely Čtvrtletní hrubý domácí produkt predikovaly nejlépe BVAR model s nezávislou normální-Wishartovou apriorní hustotou a BVAR model s použitím techniky SSVS. Přidání dodatečných proměnných vedlo u všech modelů ke zhoršení predikce. Všechny modely rovněž (zejména u vyšších horizontů) výrazně překonaly naivní predikci.

64

Kapitola 3. Výsledky Obrázek 26: Panel grafů RMSFE PL HDP (čtvrtletní data) PL HDP, malý model, čtvrtletní data 0.9 VAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR naive

RMSFE

0.8

0.7

0.6


0.5

0.4 1

2

3


6

7

8

6

7

8

PL HDP, střední model, čtvrtletní data 0.9 VAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR naive

RMSFE

0.8

0.7

0.6


0.5

0.4 1

2

3


Porovnání RMSFE PL HDP podle velikosti modelu, čtvrtletní data

RMSFE průměr

0.65 malý model střední model

0.6 0.55 0.5 0.45 0.4

3.4.2

VAR

BVAR diff

BVAR litt l

BVAR litt n

BVAR litt t

BVAR nc

BVAR nw

BVAR ssvs

naive

Nezaměstnanost

Měsíční modely V případě měsíční nezaměstnanosti si byly výsledky všech modelů velmi podobné, přičemž relativně nejlepší z nich vykazovaly BVAR model s nezávislou normálníWishartovou apriorní hustotou a BVAR model s využitím techniky SSVS. Přidání dodatečných proměnných vedlo spíše k mírnému zhoršení výsledků. Všechny modely opět překonaly naivní predikci. Obrázek 27: Panel grafů RMSFE PL UNE (měsíční data) PL UNE, malý model, měsíční data 0.07 0.065

RMSFE


0.055 0.05 0.045 0.04 1

2


4

5


8

9

10

11

12

3.4. Polsko

65 PL UNE, střední model, měsíční data


0.075

RMSFE

0.07 0.065 0.06


0.055 0.05 0.045 1

2

3

4

5


8

9

10

11

12

PL UNE, velký model, měsíční data 0.08 VAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR naive

0.075

RMSFE

0.07 0.065 0.06


0.055 0.05 0.045 1

2

3

4

5


8

9

10

11

12

Porovnání RMSFE PL UNE podle velikosti modelu, měsíční data 0.07 malý model střední model velký model

RMSFE průměr

0.065 0.06 0.055 0.05 0.045 0.04

VAR

BVAR diff

BVAR litt l BVAR litt n BVAR litt t

BVAR nc

BVAR nw BVAR ssvs

naive

Čtvrtletní modely U čtvrtletní nezaměstnanosti jsou výsledky obdobné jako v případě měsíčních dat. Nejpřesnější predikce podával BVAR model s nezávislou normální-Wishartovou apriorní hustotou, BVAR model s použitím techniky SSVS a za nimi také „klasický“ VAR model. Po rozšíření modelu o další proměnné došlo k relativně výraznému zhoršení výsledků. Všechny („malé“) modely také překonaly naivní predikci. Obrázek 28: Panel grafů RMSFE PL UNE (čtvrtletní data) PL UNE, malý model, čtvrtletní data 0.9 0.8

RMSFE

0.7 0.6 0.5 0.4



0.3 0.2 1

2

3


6

7

8

66

Kapitola 3. Výsledky PL UNE, střední model, čtvrtletní data 1.6 VAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR BVAR naive

1.4

RMSFE

1.2 1 0.8 0.6


0.4 0.2 1

2

3


6

7

8

Porovnání RMSFE PL UNE podle velikosti modelu, čtvrtletní data 0.8 0.7


RMSFE průměr

0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

3.4.3

VAR

BVAR diff

BVAR litt l

BVAR litt n

BVAR litt t

BVAR nc

BVAR nw

BVAR ssvs

naive


Měsíční modely Harmonizovaný index spotřebitelských cen v měsíční frekvenci predikovaly všechny uvažované modely téměř totožně. Po přidání dodatečných proměnných se jejich predikční schopnost výrazněji nezměnila a všechny vykazovaly lepší výsledky než naivní predikce. Obrázek 29: Panel grafů RMSFE PL HICP (měsíční data) PL HICP, malý model, měsíční data 0.24 0.23

RMSFE


0.21 0.2 0.19 0.18 1

2

3

4

5


8

9


11

12

11

12

PL HICP, střední model, měsíční data 0.24 0.23

RMSFE


0.21 0.2 0.19 0.18 1

2

3

4

5


8

9

10


3.4. Polsko

67 PL HICP, velký model, měsíční data

0.24 0.23

RMSFE


0.21 0.2 0.19 0.18 1

2

3

4

5


8


9

10

11

12

Porovnání RMSFE PL HICP podle velikosti modelu, měsíční data 0.25

RMSFE průměr


0.2

0.15

VAR

BVAR diff

BVAR litt l

BVAR litt n

BVAR litt t

BVAR nc

BVAR nw BVAR ssvs

naive

Čtvrtletní modely U čtvrtletního harmonizovaného indexu spotřebitelských cen jsou výsledky různorodější. Nejpřesněji ho zvládají predikovat BVAR model s nezávislou normálníWishartovou apriorní hustotou, BVAR model s použitím techniky SSVS a BVAR modely s Littermanovou apriorní hustotou. S přidáním dalších proměnných do modelů se přesnost jejich predikce snížila. Výsledky naivní predikce v tomto případě za výsledky ostatních modelů tolik nezaostávaly. Dodejme ještě poznámku, že modely s řádem zpoždění 4 byly přesnější než ty s řádem zpoždění 1. Obrázek 30: Panel grafů RMSFE PL HICP (čtvrtletní data) PL HICP, malý model, čtvrtletní data 0.55

RMSFE

0.5

0.45

0.4

0.35

1

2

VAR (p4) BVAR diff (p4) BVAR litt l (p4) BVAR litt n (p4) BVAR litt t (p4) BVAR nc (p4) BVAR nw (p4) BVAR ssvs (p4) naive 3


6

7

8

PL HICP, střední model, čtvrtletní data 1.1 1 0.9

RMSFE

0.8 0.7 0.6



0.5 0.4 1

2

3


6

7

8

68


Porovnání RMSFE PL HICP podle velikosti modelu, čtvrtletní data 0.7 malý model střední model

0.6

RMSFE průměr

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

3.4.4

VAR

BVAR diff

BVAR litt l

BVAR litt n

BVAR litt t

BVAR nc

BVAR nw

BVAR ssvs

naive

Úroková míra

Měsíční modely Nejlepších výsledků u predicke úrokové míry s měsíční frekvencí dosáhla (z hlediska průměrného RMSFE) naivní predikce a BVAR model s použitím techniky SSVS po přidání dodatečných proměnných. Zatímco RMSFE je u BVAR modelu s SSVS (i ostatních modelů) víceméně konstantní, u naivní predikce je u nižších horizontů menší a u vyšších naopak větší. Při predikci nižších horizontů úrokové míry v případě Polska je tedy vhodnější naivní predikce, při predikci vyšších horizontů výše jmenovaný BVAR model. Důvody pro relativně dobré výsledky naivní predikce jsou v podstatě stejné jako v případě České republiky – tzn., že vývoj polské úrokové míry v predikčním intervalu (od roku 2011) nevykazoval výraznější výkyvy, proto je naivní predikce zejména u nižších horizontů relativně přesná.

Obrázek 31: Panel grafů RMSFE PL IR (měsíční data) PL IR, malý model, měsíční data 0.18

RMSFE

0.16

0.14


0.12

0.1

0.08 1

2

3

4

5


8


9

10

11

12

9

10

11

12

PL IR, střední model, měsíční data 0.18

RMSFE

0.16


0.14

0.12

0.1

0.08 1

2

3

4


5


8

3.4. Polsko

69 PL IR, velký model, měsíční data

0.18

RMSFE

0.16

0.14

0.12



0.1

0.08 1

2

3

4

5


8

9

10

11

12

Porovnání RMSFE PL IR podle velikosti modelu, měsíční data


RMSFE průměr

0.14

0.13

0.12

0.11

0.1

VAR

BVAR diff

BVAR litt l

BVAR litt n

BVAR litt t

BVAR nc

BVAR nw

BVAR ssvs

naive

Čtvrtletní modely Čtvrtletní úrokovou míru zvládaly nejlépe predikovat již mnohokrát zmiňované BVAR modely s nezávislou normální-Wishartovou apriorní hustotou a s použitím techniky SSVS. Po přidání proměnných došlo k mírnému zlepšení výsledků pouze u druhého jmenovaného modelu. Všechny modely rovněž překonaly (zejména ve vyšších horizontech) naivní predikci.

Obrázek 32: Panel grafů RMSFE PL IR (čtvrtletní data) PL IR, malý model, čtvrtletní data 0.65 0.6 0.55

RMSFE

0.5 0.45 0.4



0.35 0.3 0.25 1

2

3


6

7

8

PL IR, střední model, čtvrtletní data 0.9 0.8

RMSFE

0.7 0.6 0.5



0.4 0.3 0.2 1

2

3


6

7

8

70

Kapitola 3. Výsledky Porovnání RMSFE PL IR podle velikosti modelu, čtvrtletní data 0.7 0.6


RMSFE průměr

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

VAR

BVAR diff

BVAR litt l

BVAR litt n

BVAR litt t

BVAR nc

BVAR nw

BVAR ssvs

naive

Na závěr prezentace výsledků pro Polsko krátce shrňme, že s výjimkou predikce nižších horizontů u měsíční úrokové míry dosahovaly všechny modely zpravidla lepších výsledků než naivní predikce. „Klasický“ VAR model si v porovnání s BVAR modely vedl dá se říci průměrně, kdy v některých případech vykazoval výsledky relativně dobré, v některých případech však naopak mírně zaostával.

3.5

Kombinace predikcí

Tato podkapitola se bude zabývat kombinacemi predikcí čtyř uvažovaných veličin u sledovaných států. Na základě výsledků z předchozí podkapitoly budeme dále pracovat se třemi „malými“ čtvrtletními modely, konkrétně BVAR modely s Littermanovou apriorní hustotou, nezávislou normální-Wishartovou apriorní hustotou a s použitím techniky SSVS. Jak již bylo naznačeno v podkapitole 2.2, kombinace predikcí budou provedeny jednak na základě vah vypočítaných s využitím predikční věrohodnosti (dále jen „PL váhy“), a následně také jednoduchým průměrem predikcí, přičemž budou tyto dvě metody vzájemně porovnány a zejména bude sledováno, zda některá kombinace predikcí povede k lepším výsledkům než jednotlivé modely samotné. U každého státu jsou uvedeny grafy jednotlivých predikovaných veličin se statistikou RMSFE v jednotlivých horizontech. Pro větší přehlednost jsou RMSFE kombinací predikcí s využitím vah z predikční věrohodnosti a jednoduchým průměrem znázorněny odděleně. Celkové srovnání těchto dvou technik kombinace predikcí je poté ilustrováno panelem grafů na závěr.

3.5.1

Česká republika

V případě hrubého domácího produktu České republiky došlo k mírnému zpřesnění predikcí v nízkých horizontech (konkrétně 2 a 3) při kombinaci predikcí BVAR modelu s Littermanovou apriorní hustotou a BVAR modelu s nezávislou normálníWishartovou apriorní hustotou (s PL váhami) – viz obrázek 33. U nezaměstnanosti došlo dokonce k mírnému celkovému (průměrnému) zlepšení predikce oproti BVAR modelu s nezávislou normální-Wishartovou apriorní hustotou, a to v horizontech 1, 2, 3 a 5, při kombinaci predikcí právě jmenovaného modelu s predikcemi BVAR modelu s použitím techniky SSVS – opět na základě PL vah. U kombinace jednoduchým průměrem – stejně jako v předchozím případě – byly výsledky horší (viz obrázky 34 a 37).

3.5. Kombinace predikcí

71

Obrázek 33: RMSFE kombinací predikcí CZ HDP v jednotlivých horizontech Kombinace predikcí CZ HDP, jednoduchý průměr 1.4

1.3

1.3

1.2

1.2 RMSFE

RMSFE

Kombinace predikcí CZ HDP, PL váhy 1.4

1.1 littt nw ssvs l+n+s l+n l+s n+s

1 0.9 0.8 0.7 1

2

3


6

7


1 0.9 0.8 0.7 1

8

2

3


6

7

8

Obrázek 34: RMSFE kombinací predikcí CZ UNE v jednotlivých horizontech Kombinace predikcí CZ UNE, jednoduchý průměr 0.5

0.45

0.45

0.4

0.4

0.35

littt nw ssvs l+n+s l+n l+s n+s

0.3 0.25 0.2 1

RMSFE

RMSFE

Kombinace predikcí CZ UNE, PL váhy 0.5

2

3


6

7

0.35


0.3 0.25 0.2 1

8

2

3


6

7

8

Co se týče harmonizovaného indexu spotřebitelských cen a úrokové míry, u těchto veličin ke zpřesnění predikce po kombinacích nedošlo – viz obrázky 35 a 36 (s výjimkou z praktického hlediska zanedbatelného zlepšení v prvním horizontu po kombinaci predikcí BVAR modelu s nezávislou normální-Wishartovou apriorní hustotou a s použitím techniky SSVS u HICP a druhém horizontu u IR po kombinaci predikcí posledně jmenovaného modelu s BVAR modelem s Littermanovou apriorní hustotou – oba případy PL váhy). Obrázek 35: RMSFE kombinací predikcí CZ HICP v jednotlivých horizontech Kombinace predikcí CZ HICP, PL váhy

Kombinace predikcí CZ HICP, jednoduchý průměr

0.7


0.6

RMSFE

0.55 0.5

0.6 0.55 0.5

0.45

0.45

0.4

0.4

0.35

0.35

1

2

3


6

7


0.65

RMSFE

0.65

8

1

2

3


6

7

8

72

Kapitola 3. Výsledky Obrázek 36: RMSFE kombinací predikcí CZ IR v jednotlivých horizontech Kombinace predikcí CZ IR, PL váhy

Kombinace predikcí CZ IR, jednoduchý průměr

0.65


0.55

RMSFE

0.5 0.45

0.6 0.55 0.5 RMSFE

0.6

0.4 0.35

0.45


0.4 0.35

0.3

0.3

0.25

0.25

0.2 1

2

3


6

7

0.2 1

8

2

3


6

7

8

Ač se to nemusí zdát z následujícího panelu grafů (viz obrázek 37) na první pohled patrné, z předchozích komentářů vyznívá, že kombinace predikcí na základě PL vah jsou přínosnější než ty získané jednoduchým průměrem. K obrázku 37 a dalším panelům grafů reprezentujících celkové srovnání kombinací predikcí dodejme, že čárkovaně jsou znázorněny celkové průměrné RMSFE predikcí jednotlivých modelů samotných, přičemž barvy jsou konzistentní s ohledem na celou předchozí analýzu – tzn. červená pro BVAR model s Littermanovou apriorní hustotou, černá pro BVAR model s použitím techniky SSVS a fialová pro BVAR model s nezávislou normálníWishartovou apriorní hustotou.

Obrázek 37: Panel grafů RMSFE kombinací predikcí – celkové srovnání (CZ) Porovnání RMSFE kombinací predikcí CZ HDP

Porovnání RMSFE kombinací predikcí CZ UNE

1.4

0.4

PL váhy jednoduchý průměr

1.2

0.35 0.3 RMSFE průměr

1 0.8 0.6 0.4

0.2 PL váhy jednoduchý průměr

0.15 0.1

0.2 0

0.25

0.05

l+n+s

l+n

l+s

n+s

0

Porovnání RMSFE kombinací predikcí CZ HICP 0.7

l+n+s

l+n

l+s

n+s

Porovnání RMSFE kombinací predikcí CZ IR 0.5


0.6

PL váhy jednoduchý průměr 0.4

0.5 0.3

0.4 0.3

0.2

0.2 0.1 0.1 0

l+n+s

l+n

l+s

n+s

0

l+n+s

l+n

l+s

n+s


3.5.2

73

Slovensko

U slovenského hrubého domácího produktu došlo k relativně výraznějšímu zlepšení výsledků u všech horizontů po kombinaci predikcí BVAR modelu s nezávislou normální-Wishartovou apriorní hustotou jak s BVAR modelem s Littermanovou apriorní hustotou, tak s BVAR modelem s použitím techniky SSVS, tak i všech tří jmenovaných modelů dohromady, a to při obou způsobech kombinace.

Obrázek 38: RMSFE kombinací predikcí SK HDP v jednotlivých horizontech Kombinace predikcí SK HDP, PL váhy

Kombinace predikcí SK HDP, jednoduchý průměr

1.5


1.3

RMSFE

1.2 1.1

1.3 1.2 1.1

1

1

0.9

0.9

0.8

0.8

0.7 1

2

3


6

7


1.4

RMSFE

1.4

0.7 1

8

2

3


6

7

8

Co se týče nezaměstnanosti, u té došlo oproti předchozímu případu „pouze“ ke zlepšení predikce v prvním horizontu, a to zejména po kombinaci predikcí BVAR modelu s Littermanovou apriorní hustotou a BVAR modelu s použitím techniky SSVS za použití PL vah.

Obrázek 39: RMSFE kombinací predikcí SK UNE v jednotlivých horizontech Kombinace predikcí SK UNE, PL váhy

Kombinace predikcí SK UNE, jednoduchý průměr

0.75

RMSFE

0.65 0.6


0.7 0.65 RMSFE

0.7

0.75

0.55

0.6 0.55

0.5

0.5

0.45

0.45

0.4 1

2

3


6

7

8


0.4 1

2

3


6

7

8

U zbývajících dvou veličin, tedy harmonizovaného indexu spotřebitelských cen a úrokové míry, po kombinaci predikcí k žádnému systematickému zlepšení výsledků nedocházelo. To je způsobeno zřejmě relativně velkou dominancí BVAR modelu s nezávislou normální-Wishartovou apriorní hustotou v případě HICP a BVAR modelu s použitím techniky SSVS v případě IR (viz obrázky 40 a 41 níže).

74

Kapitola 3. Výsledky Obrázek 40: RMSFE kombinací predikcí SK HICP v jednotlivých horizontech Kombinace predikcí SK HICP, PL váhy

Kombinace predikcí SK HICP, jednoduchý průměr

0.95


0.85

RMSFE

0.8 0.75

0.85 0.8

0.7

0.75 0.7

0.65

0.65

0.6

0.6

0.55

0.55

0.5 1

2

3


6

7


0.9

RMSFE

0.9

0.5 1

8

2

3


6

7

8

Obrázek 41: RMSFE kombinací predikcí SK IR v jednotlivých horizontech Kombinace predikcí SK IR, PL váhy

Kombinace predikcí SK IR, jednoduchý průměr

0.48


0.44

RMSFE

0.42 0.4

0.44 0.42

0.38

0.4 0.38

0.36

0.36

0.34

0.34

0.32

0.32

0.3 1

2

3


6

7


0.46

RMSFE

0.46

0.3 1

8

2

3


6

7

8

Jak z předchozích komentářů, tak i z následujícího panelu grafů je patrné, že kombinace predikcí na základě PL vah podávaly mírně lepší výsledky než kombinace predikcí jednoduchým průměrem. Na závěr ještě zopakujme, že v případě slovenského hrubého domácího produktu jsme kombinací predikcí dosáhli poměrně znatelného zpřesnění predikcí oproti jednotlivým modelům samotným. Obrázek 42: Panel grafů RMSFE kombinací predikcí – celkové srovnání (SK) Porovnání RMSFE kombinací predikcí SK HDP 1.4

Porovnání RMSFE kombinací predikcí SK UNE 0.7


1.2

0.6

1

0.5

0.8

0.4

0.6

0.3

0.4

0.2

0.2

0.1

0

l+n+s

l+n

l+s

n+s

0


l+n+s

l+n

l+s

n+s


75

Porovnání RMSFE kombinací predikcí SK HICP 0.5

0.8

0.4

0.6


0.4

0.2


0.2

0.1

0

3.5.3

Porovnání RMSFE kombinací predikcí SK IR

1

l+n+s

l+n

l+s

0

n+s

l+n+s

l+n

l+s

n+s

Maďarsko

V případě hrubého domácího produktu Maďarska nebylo po kombinaci predikcí dosaženo nějakého systematického zlepšení výsledků, jak znázorňuje obrázek 43. Obrázek 43: RMSFE kombinací predikcí HU HDP v jednotlivých horizontech Kombinace predikcí HU HDP, PL váhy

Kombinace predikcí HU HDP, jednoduchý průměr

1.6

1.4

RMSFE

1.3 1.2


1.5 1.4 1.3 RMSFE

1.5

1.6

1.1

1.2 1.1

1

1

0.9

0.9

0.8

0.8

0.7 1

2

3


6

7

0.7 1

8


2

3


6

7

8

Obrázek 44: RMSFE kombinací predikcí HU UNE v jednotlivých horizontech Kombinace predikcí HU UNE, PL váhy

Kombinace predikcí HU UNE, jednoduchý průměr

0.5

RMSFE

0.4 0.35


0.45 0.4 RMSFE

0.45

0.5

0.35

0.3

0.3

0.25

0.25

0.2 1

2

3


6

7

8

0.2 1


2

3


6

7

8

Pokud porovnáme kombinace predikcí nezaměstnanosti s výsledky „celkově“ nejlepšího modelu, tzn. BVAR modelu s použitím techniky SSVS (viz obrázek 47), můžeme uvést, že po kombinaci predikcí uvedeného modelu s predikcemi jak BVAR

76


modelu s Littermanovou apriorní hustotou, tak BVAR modelu s nezávislou normálníWishartovou apriorní hustotou, došlo ke zlepšení výsledků v prvních dvou horizontech (za použití PL vah) – viz obrázek 44. Co se týče harmonizovaného indexu spotřebitelských cen, u něj jsme kombinacemi zpřesnění predikcí nedosáhli. Obrázek 45: RMSFE kombinací predikcí HU HICP v jednotlivých horizontech Kombinace predikcí HU HICP, PL váhy

Kombinace predikcí HU HICP, jednoduchý průměr

1.2


RMSFE

1 0.9

1

0.8

0.9 0.8

0.7

0.7

0.6

0.6

0.5 1

2

3



1.1

RMSFE

1.1

6

7

0.5 1

8

2

3


6

7

8

U úrokové míry je však situace odlišná. V tomto případě můžeme říci, že kombinací predikcí BVAR modelu s nezávislou normální-Wishartovou apriorní hustotou a BVAR modelu s použitím techniky SSVS (zejména za použití PL vah) jsme dosáhli mírně lepších a zároveň vyváženějších výsledků než poskytují oba jmenované modely samostatně. Obrázek 46: RMSFE kombinací predikcí HU IR v jednotlivých horizontech Kombinace predikcí HU IR, PL váhy

Kombinace predikcí HU IR, jednoduchý průměr

0.8

0.7


0.75

RMSFE

RMSFE

0.75

0.8

0.65

0.6

0.55 1

0.7


0.65

0.6

2

3


6

7

8

0.55 1

2

3


6

7

8

Následující panel grafů opět shrnuje a porovnává jednotlivé kombinace predikcí za použití různých vah s výsledky jednotlivých modelů. Ačkoliv u prvních tří uvedených kombinací můžeme vidět nižší hodnoty celkového průměrného RMSFE u kombinací jednoduchým průměrem, u kombinace, která nás v kontextu Maďarska zajímala nejvíce, tedy kombinace predikcí BVAR modelu s nezávislou normální-Wishartovou apriorní hustotou a BVAR modelu s použitím techniky SSVS, sledujeme naopak lepší výsledky za použití PL vah.


77

Obrázek 47: Panel grafů RMSFE kombinací predikcí – celkové srovnání (HU) Porovnání RMSFE kombinací predikcí HU HDP

Porovnání RMSFE kombinací predikcí HU UNE

1.4

0.4

1.2

0.35 0.3

0.8


0.6 0.4

RMSFE průměr

1


0.2 0.15 0.1

0.2

0.05

0

l+n+s

l+n

l+s

0

n+s

Porovnání RMSFE kombinací predikcí HU HICP 1

l+n+s

l+n

l+s

n+s

Porovnání RMSFE kombinací predikcí HU IR 0.8 0.7

0.8

0.6 0.5


0.4


0.4 0.3 0.2

0.2

0.1 0

3.5.4

l+n+s

l+n

l+s

0

n+s

l+n+s

l+n

l+s

n+s

Polsko

V případě polského hrubého domácího produktu lze zaznamenat zlepšení výsledků v prvních třech horizontech po kombinaci predikcí BVAR modelu s Littermanovou apriorní hustotou a BVAR modelu s nezávislou normální-Wishartovou apriorní hustotou, a to za použití PL vah. Obrázek 48: RMSFE kombinací predikcí PL HDP v jednotlivých horizontech Kombinace predikcí PL HDP, jednoduchý průměr 0.6

0.55

0.55

0.5

0.5

0.45


0.4 0.35

1

RMSFE

RMSFE

Kombinace predikcí PL HDP, PL váhy 0.6

2

3


6

7

0.45


0.4 0.35

8

1

2

3


6

7

8

U polské nezaměstnanosti nevedly kombinace predikcí k jejich zpřesnění v žádném horizontu.

78

Kapitola 3. Výsledky Obrázek 49: RMSFE kombinací predikcí PL UNE v jednotlivých horizontech Kombinace predikcí PL UNE, PL váhy

Kombinace predikcí PL UNE, jednoduchý průměr

0.65


RMSFE

0.5 0.45

0.5 0.45

0.4

0.4

0.35

0.35

0.3

0.3

0.25 1

2

3


0.6 0.55

RMSFE

0.6 0.55


6

7

0.25 1

8

2

3


6

7

8

V případě harmonizovaného indexu spotřebitelských cen jsme však kombinací predikcí BVAR modelu s nezávislou normální-Wishartovou apriorní hustotou a BVAR modelu s použitím techniky SSVS (zejména za použití PL vah) dosáhli lepších a vyváženějších výsledků, než které poskytovaly jednotlivé modely samotné (obr. 50). Co se týče úrokové míry, zde zřejmě v důsledku relativně velké dominance BVAR modelu s použitím techniky SSVS kombinace predikcí k jejich zpřesnění nevedly (obr. 51). Obrázek 50: RMSFE kombinací predikcí PL HICP v jednotlivých horizontech Kombinace predikcí PL HICP, jednoduchý průměr 0.55

0.5

0.5

0.45

0.45


0.4

0.35

1

RMSFE

RMSFE

Kombinace predikcí PL HICP, PL váhy 0.55

2

3



0.4

0.35

6

7

8

1

2

3


6

7

8

Obrázek 51: RMSFE kombinací predikcí PL IR v jednotlivých horizontech Kombinace predikcí PL IR, PL váhy

Kombinace predikcí PL IR, jednoduchý průměr

0.6

RMSFE

0.5 0.45

0.55 0.5 RMSFE

0.55


0.4

0.45 0.4

0.35

0.35

0.3

0.3

0.25 1

2

3


6

7

8


0.25 1

2

3


6

7

8


79

Jak také naznačuje následující panel grafů, v případě Polska téměř ve všech případech podávaly lepší výsledky kombinace založené na PL vahách, kdy – jak již bylo zmíněno výše – u harmonizovaného indexu spotřebitelských cen došlo ke zlepšení celkového průměru RMSFE oproti jednotlivým modelům (tedy nejenom u některých horizontů, jak jsme mohli zaznamenat ve většině ostatních případů uvedených výše). Obrázek 52: Panel grafů RMSFE kombinací predikcí – celkové srovnání (PL) Porovnání RMSFE kombinací predikcí PL HDP 0.7

Porovnání RMSFE kombinací predikcí PL UNE 0.5


0.6

0.4 0.5 0.3

0.4


0.3

0.2

0.2 0.1 0.1 0

l+n+s

l+n

l+s

n+s

0

Porovnání RMSFE kombinací predikcí PL HICP

l+n

0.5

0.4

0.4

n+s


PL váhy jednoduchý průměr 0.2

0.2

0.1

0.1

0

l+s

Porovnání RMSFE kombinací predikcí PL IR

0.5

0.3

l+n+s

l+n+s

l+n

l+s

n+s

0

l+n+s

l+n

l+s

n+s

80


Kapitola 4 Shrnutí hlavních výsledků a diskuze 4.1

Shrnutí hlavních výsledků

V této části shrneme výsledky komplexněji z hlediska pozorovaných makroekonomických veličin za účelem většího zobecnění minimálně v kontextu zkoumaných států Visegrádské čtyřky. Toto shrnutí bude provedeno zejména v následujících rovinách: ◦ které modely predikovaly danou veličinu nejlépe (s nejnižší RMSFE); ◦ jak si uvažované modely vedly v porovnání s naivní predikcí; ◦ zda vedlo přidání dodatečných proměnných / zvýšení řádu zpoždění ke zlepšení predikce; ◦ porovnání klasického VAR modelu s často používanými BVAR modely s Littermanovou apriorní hustotou a celkově i s ostatními BVAR modely; ◦ výsledky v rámci BVAR modelů s Littermanovou apriorní hustotou s různým nastavením apriorních hyperparametrů; ◦ zda vedly některé kombinace predikcí k systematickému zlepšení výsledků. Obecně lze uvést, že při použití časových řad s měsíční frekvencí byly rozdíly mezi modely při predikci vybraných makroekonomických veličin zemí Visegrádské čtyřky mnohem menší než při použití časových řad s frekvencí čtvrtletní. Můžeme však shrnout, že index průmyslové produkce (IPI), resp. hrubý domácí produkt (HDP) predikovaly zpravidla nejlépe BVAR modely s nezávislou normální-Wishartovou apriorní hustotou a BVAR modely s použitím techniky SSVS. Všechny modely podávaly zpravidla velmi výrazně lepší výsledky než naivní predikce. Přidání proměnných nevedlo ke zlepšení predikce (s výjimkou čtvrtletních dat u Maďarska a měsíčních dat u Polska, kde se však jednalo o zanedbatelné zlepšení o velikosti jedné setiny RMSFE). Co se týče porovnání často používaného BVAR modelu s Littermanovou apriorní hustotou a klasického VAR modelu, v některých případech byl přesnější první jmenovaný model, v některých případech naopak druhý jmenovaný. Jejich výsledky si však byly většinou blízké. Výsledky klasického VAR modelu se dají při srovnání s bayesovskými modely označit za průměrné (překonává zpravidla BVAR modely s difúzní a přirozeně konjugovanou apriorní hustotou, naopak nestačí na prvně dva jmenované BVAR modely v tomto odstavci). Při růz81

82

Kapitola 4. Shrnutí hlavních výsledků a diskuze

ném nastavení apriorních hyperparametrů v rámci modelů s Littermanovou apriorní hustotou na l („loose“), n („normal“) a t („tight“) podávaly prakticky ve všech případech přesnější výsledky modely s „tight“ nastavením. V otázce zpoždění hovoří výsledky ve většině případů pro řád zpoždění 1, s některými výjimkami v rámci BVAR modelů s Littermanovou apriorní hustotou s „tight“ nastavením u středního čtvrtletního modelu – v těchto případech (což platí i u některých dalších proměnných, jak bude uvedeno) profitovaly BVAR modely s Littermanovou apriorní hustotou (zejména ty s „tight“ nastavením) z redukce parametrů, která vedla ke zlepšení jejich predikční schopnosti. Nezaměstnanost (UNE) opět ve většině případů predikovaly nejpřesněji BVAR modely s nezávislou normální-Wishartovou apriorní hustotou a BVAR modely s použitím techniky SSVS. Všechny uvažované modely – stejně jako v předchozím případě – zpravidla výrazně překonávaly naivní predikci. Zvětšení modelu ve smyslu přidání dodatečných proměnných nevedlo s výjimkou čtvrtletních dat u Maďarska ke zlepšení predikce – vedlo naopak většinou ke zhoršení. Například v případě Polska přesto, že nedošlo ke zhoršení celkového průměru RMSFE, došlo k mírnému snížení konzistence přesnosti predikce – ve smyslu zvýšení rozdílů RMSFE v rámci jednotlivých predikovaných horizontů oproti malému modelu. Ve většině případů podávaly lepší výsledky modely s řádem zpoždění 1 (v určitých případech – zejména u některých středních modelů s čtvrtletními daty v rámci Littermanovy apriorní hustoty s „tight“ nastavením – však docházelo po zvýšení řádu zpoždění ke zlepšení). Kromě toho co se týče nastavení apriorních hyperparametrů v rámci Littermanovy hustoty, přesnější výsledky podávaly právě modely s „tight“ nastavením. Při porovnání těchto modelů s klasickým VAR modelem opět záleží na situaci. Stále však platí, že výsledky se zpravidla nijak dramaticky neliší. Pokud VAR model srovnáme obecněji s ostatními bayesovskými modely, dá se celkově napsat obdobný komentář jako v případě IPI, resp. HDP – tedy, že si vedl relativně průměrně. Při predikci harmonizovaného indexu spotřebitelských cen (HICP) podávaly nejpřesnější výsledky zpravidla opět BVAR modely s nezávislou normálníWishartovou apriorní hustotou a BVAR modely s použitím techniky SSVS. U modelů se čtvrtletními časovými řadami to byly také BVAR modely s Littermanovou apriorní hustotou s „tight“ nastavením. U BVAR modelů s Littermanovou apriorní hustotou podávaly nejlepší výsledky většinou modely s řádem zpoždění 4 (zejména ty s „tight“ nastavením apriorních hyperparametrů, jak bylo uvedeno výše), v ostatních případech byly přesnější zpravidla modely s řádem zpoždění 1 (s výjimkou Polska). Porovnání výsledků uvažovaných modelů s naivní predikcí není v tomto případě tak jednoznačné jako u předchozích dvou predikovaných veličin. V případě České republiky podávala naivní predikce výsledky relativně horší, u ostatních tří států však byly její výsledky relativně dobré, resp. porovnatelné s ostatními modely. Přidání proměnných do modelu vedlo oproti předchozím dvěma zkoumaným veličinám v některých případech – konkrétně v případě Slovenska a částečně také Polska – k mírnému zpřesnění predikce v případě použití měsíčních časových řad. Při použití čtvrtletních časových řad došlo ve všech případech ke zhoršení. Co se týče porovnání klasického VAR modelu s BVAR modely s Littermanovou apriorní hustotou, můžeme uvést, že dosažené výsledky hovořily (s výjimkou výsledků pro

4.1. Shrnutí hlavních výsledků

83

Českou republiku) mírně ve prospěch BVAR modelů s Littermanovou apriorní hustotou. Při celkovějším srovnání si klasický VAR model vedl v kontextu bayesovské konkurence spíše podprůměrně. Úrokovou míru komerčních bank (IR) predikovaly zpravidla nejlépe – podobně jako v případě předchozích veličin – BVAR modely s nezávislou normálníWishartovou apriorní hustotou a BVAR modely s použitím techniky SSVS. Co se týče srovnání výsledků uvažovaných modelů s naivní predikcí, v některých případech – např. v případě měsíčních dat u České republiky a Polska – podávala naivní predikce výsledky relativně velmi dobré (zejména v důsledku „poklidného“ vývoje úrokové míry v rámci predikovaného období, tzn. od roku 2011), na druhé straně v případě Maďarska byly její výsledky velmi slabé (u měsíčních i čtvrtletních dat). S výjimkou čtvrtletních dat v případě České republiky podávaly přesnější výsledky modely s řádem zpoždění 1. Po přidání proměnných došlo v rámci modelů s použitím měsíčních dat v případě Maďarska a Polska k mírnému zlepšení. V případě České republiky a Slovenska přidání proměnných ke zlepšení (ale ani zhoršení) nevedlo. Při použití časových řad se čtvrtletní frekvencí došlo po přidání proměnných zpravidla ke zhoršení, s výjimkou BVAR modelů s nezávislou normální-Wishartovou apriorní hustotou, jejichž predikční schopnost se nezměnila, a BVAR modelů s použitím techniky SSVS, jejichž predikční schopnost se oproti ostatním modelům po přidání proměnných naopak mírně zlepšila. BVAR modely s nezávislou normálníWishartovou apriorní hustotou a BVAR modely s použitím techniky SSVS se tedy minimálně v tomto kontextu zdají být „odolnější“ při větším počtu odhadovaných parametrů s relativně malým počtem pozorování než ostatní modely. Co se týče nastavení apriorních hyperparametrů v rámci Littermanovy apriorní hustoty, nejlépe opět vycházely modely s „tight“ nastavením. BVAR modely s Littermanovou apriorní hustotou také celkově podávaly o něco lepší výsledky než klasický VAR model, který v případě úrokové míry za většinou svých bayesovských kolegů spíše zaostával. Na tomto místě se ještě pokusme výstižněji shrnout výsledky získané kombinacemi predikcí. Na základě výsledků z kapitoly 3.5 můžeme uvést, že v kontextu států Visegrádské čtyřky podávala pro hrubý domácí produkt v nízkých horizontech (1–3) systematicky lepší výsledky kombinace predikcí BVAR modelu s Littermanovou apriorní hustotou a BVAR modelu s nezávislou normální-Wishartovou apriorní hustotou (v případě Maďarska byly výsledky téměř totožné se samotným BVAR modelem s nezávislou normální-Wishartovou apriorní hustotou, v případě Slovenska však došlo dokonce k celkovému (průměrnému) zlepšení přes všechny horizonty). Zmínit můžeme ještě kombinaci predikcí BVAR modelu s Littermanovou apriorní hustotou a BVAR modelu s použitím techniky SSVS v případě nezaměstnanosti, kde u dvou sledovaných států došlo ke zlepšení výsledků v počátečních horizontech (1, případně 2) a u jednoho zůstaly výsledky stejné jako v případě posledně jmenovaného modelu samotného. Dále přestože kombinace dvou modelů, jejichž výsledky vycházely v průběhu této práce zpravidla jako nejlepší, tzn. BVAR modelu s nezávislou normální-Wishartovou apriorní hustotou a BVAR modelu s použitím techniky SSVS, poskytovaly výsledky v několika případech celkově (průměrně) lepší než jednotlivé modely samotné (HDP Slovenska, nezaměstnanost České republiky, úroková míra Maďarska nebo HICP Polska), systematické zobecnitelné zlepšení již pozorovat

84


nelze. Dodejme ještě stručné srovnání kombinací získaných pomocí vah založených na predikční věrohodnosti a jednoduchým průměrem. Ačkoliv se při prvním pohledu na shrnující grafy celkového (průměrného) RMSFE kombinací u každého státu může zdát, že pro Českou republiku a Maďarsko byl vhodnější jednoduchý průměr a pro Slovensko a Polsko byly vhodnější PL váhy, není to tak úplně pravda. U závěrů, které byly učiněny v tomto odstavci i u kombinací, které pro nás z praktického hlediska měly nějaký význam (tzn. vedly oproti jednotlivým modelům samotným ke zpřesnění predikce), se ve většině případů více osvědčily spíše PL váhy, nežli jednoduchý průměr. Můžeme tedy (zjednodušeně) shrnout, že zatímco v případě modelů jako takových podávaly přesnější výsledky složitější a výpočetně nejnáročnější modely, v případě modelů z hlediska počtu proměnných se zdály být nejvhodnější „malé“ modely; a zatímco u měsíčních dat si byly výsledky po přidání dodatečných proměnných velmi podobné, u čtvrtletních dat docházelo zpravidla ke zhoršení predikce. Pokud pojem „velikost modelu“ budeme chápat šířeji a kromě počtu proměnných ve VAR modelu do něj zahrneme i počet parametrů, který velmi rychle narůstá se zvyšujícím se řádem zpoždění, můžeme dodat ještě následující zhodnocení. Jak již uváděli Box a Jenkins (1970)1 , při neadekvátním přeparametrizování modelů mohou chyby v rámci odhadu (statisticky nevýznamných) parametrů ovlivnit (v negativním slova smyslu) predikci. Z hlediska počtu parametrů by tedy úspornější modely měly mít relativně lepší predikční schopnosti, a to z důvodu omezení přenosu výše zmíněné chyby do predikce. Ačkoliv Box a Jenkins o této problematice psali zejména v souvislosti se svojí metodologií, tzn. jednorovnicovými modely, zdá se, že to u klasického VAR modelu (tzn. vícerovnicového modelu) platilo i v této práci. Jak se u prezentovaných výsledků v této práci, tak i u neprezentovaných výsledků dalo pozorovat, přidání dodatečných proměnných do modelu či zvýšení řádu zpoždění vedlo (v případě čtvrtletních dat) u klasického VAR modelu téměř ve všech případech ke zhoršení predikce. Zároveň je však nutno dodat, že u BVAR modelů bylo zřejmě v důsledku již několikrát zmiňované redukce parametrů toto zhoršení mírnější než u klasického VAR modelu, v některých případech došlo dokonce ke zlepšení predikce. Přinejmenším v kontextu této diplomové práce se dá poznamenat, že výše uvedené tvrzení Boxe a Jenkinse lze zobecnit v rámci klasických VAR modelů, nikoliv však zároveň i v rámci BVAR modelů. Pro korektnost je však vhodné znovu zdůraznit, že u „středních“ čtvrtletních modelů (z hlediska počtu proměnných) byly pro čtvrtý řád zpoždění uvažovány pouze BVAR modely s Littermanovou apriorní hustotou, a to i přes relativně nízký počet stupňů volnosti. Podobné záležitosti jsou již však předmětem diskuze, které se věnujeme v následující podkapitole.

4.2

Diskuze

Tato část práce bude krátce diskutovat některé aspekty spojené s výše provedenou analýzou, případně částečně doplní dosažené výsledky. 1

Pro v současné době nejnovější (čtvrté) vydání této knihy viz Box, Jenkins a Reinsel (2008).

4.2. Diskuze

85

Jak bylo poznamenáno v metodologii, okrajově bude kromě RMSFE zmíněna také SLPL (sum of log predictive likelihoods), která byla při výpočtech sledována. V tomto kontextu k žádným systematickým anomáliím nedocházelo a modely, které predikovaly s relativně nižšími RMSFE zpravidla zároveň vykazovaly vyšší hodnoty SLPL, a s modely, jejichž predikce byly z hlediska RMSFE obdobné, byla spojena obdobná hodnota SLPL. Co se týče zpřesnění predikce v důsledku profitování z redukce parametrů u BVAR modelů s Littermanovou apriorní hustotou a dalších BVAR modelů s vyšším řádem zpoždění, jak uvádějí Carriero, Clark a Marcellino (2011), ta se dala opravdu v některých případech zaznamenat. V tomto případě nejsou myšleny některé situace v rámci čtvrtletních modelů, protože pro „střední“ velikost byly predikce pro řád zpoždění 4 provedeny pouze pro BVAR modely s Littermanovou apriorní hustotou. Pokud bychom ale uvažovali například „malé“ čtvrtletní modely, výsledky klasického VAR modelu s řádem zpoždění 1 se často například od výsledků BVAR modelů s Littermanovou apriorní hustotou s řádem zpoždění 1 relativně příliš nelišily. Výsledky modelů s řádem zpoždění 4 se již však zpravidla lišily relativně mnohem výrazněji, a to právě ve prospěch BVAR modelů s Littermanovou apriorní hustotou. Přes výše sledovanou skutečnost je však nutné podotknout, že ve většině případů byly přesnější predikce modelů s řádem zpoždění 1. Tím se postupně dostáváme k další věci, kterou je porovnání přesnosti predikce v rámci BVAR modelů s Littermanovou apriorní hustotou s uvažovaným nastavením apriorních hyperparametrů. Jak bylo patrné z výše prezentovaných výsledků, v drtivé většině případů podávaly lepší výsledky modely s „tight“ nastavením, což je v souladu například s pracemi autorů Ni a Sun (2005) a Gupta (2006). Pokud se ještě vrátíme k řádu zpoždění a s ním souvisejícímu zlepšení predikce, poznamenejme, že byly provedeny také predikce některých modelů s řádem zpoždění 12 v případě měsíčních dat v případě České republiky. Co se týče klasického VAR modelu, u něj došlo ke zhoršení predikce prakticky u všech proměnných. Například v případě BVAR modelu s difúzní apriorní hustotou nebylo zhoršení natolik výrazné a došlo k němu „pouze“ u dvou ze čtyř predikovaných veličin. V návaznosti na krátkou diskuzi v předminulém odstavci můžeme ještě doplnit, že u BVAR modelu s Littermanovou apriorní hustotou s „tight“ nastavením apriorních hyperparametrů došlo u některých veličin k mírnému zlepšení predikce, konkrétně u indexu průmyslové produkce a zejména u úrokové míry, jejiž vývoj je však v kontextu sledovaného období poněkud specifický, jak bude také poznamenáno v následujícím odstavci. Nicméně například u nezaměstnanosti došlo naopak k mírnému zhoršení predikce. Právě uvedené skutečnosti tedy rozšiřují závěry z konce předchozí podkapitoly (i o případ měsíčních dat) – tedy, že trvzení Boxe a Jenkinse (1970) o tom, že modely s nižším počtem parametrů by měly mít lepší predikční schopnosti než modely s (neadekvátně) vyšším počtem parametrů,2 se dá zobecnit v kontextu klasických VAR modelů, nikoliv však zároveň i BVAR modelů. Vzhledem k výpočetní náročnosti výsledků zejména modelů, u kterých se používá Gibbsův vzorkovač, ne2

I když posuzování adekvátnosti a neadekvátnosti řádu zpoždění a s tím souvisejícím počtem parametrů může být u VAR modelů (zejména bayesovských) někdy problematické. Nicméně co se týče klasických VAR modelů, zdá se, že informační kritéria doporučovala řád zpoždění vhodně.

86


byly modely s řádem zpoždění 12 do analýzy zařazeny, a uvažovaly se „pouze“ modely s řádem zpoždění 1, jak napovídala informační kritéria. Na tomto místě uveďme ještě krátkou poznámku k délce časových řad. Jak bylo napsáno výše, byla snaha (zejména u čtvrtletních dat) udělat kompromis mezi délkou časových řad a vyhnutím se relativně extrémnějším hodnotám u některých proměnných v devadesátých letech. Je zřejmé, že například u úrokové míry data z konce devadesátých let nepovedou ke zpřesnění predikce kvůli relativně extrémnějšímu vývoji hodnot ve srovnání s vývojem v posledních letech. Zkrácení časových řad například o čtyři roky povede zpravidla ke zpřesnění predikce úrokové míry, na druhé straně však může dojít k relativnímu zhoršení predikce zejména indexu průmyslové produkce, resp. hrubého domácího produktu. Predikce nezaměstnanosti a harmonizovaného indexu spotřebitelských cen se zpravidla příliš nezmění.

Závěr Tato diplomová práce se zabývala predikcí vybraných makroekonomických veličin zemí Visegrádské čtyřky, tedy České republiky, Slovenska, Maďarska a Polska. Konkrétně se jednalo o hrubý domácí produkt (index průmyslové produkce v případě měsíčních dat), nezaměstnanost, harmonizovaný index spotřebitelských cen a úrokovou míru. Uvedené čtyři státy byly vybrány za účelem posouzení robustnosti získaných výsledků a možnosti jejich (alespoň částečného) zobecnění. Rekurzivní predikce byla provedena pomocí klasických a bayesiánských vektorových autoregresních modelů s různými apriorními hustotami. Cílem práce bylo v první řadě ověřit, zda je modelová predikce přesnější (ve smyslu nižší RMSFE statistiky) než benchmarková naivní predikce (a má tedy vůbec význam), a dále prozkoumat, zda je predikce pomocí bayesovských VAR modelů přesnější než ta s využitím klasického VAR modelu. V této souvislosti byly zkoumány další aspekty predikce, jako je například vliv periodicity časových řad, přidání dodatečných proměnných, zvýšení řádu zpoždění či kombinace výsledků více modelů na přesnost predikce. Nebudeme zde duplikovat relativně obsáhlejší závěry z konce předchozí kapitoly, na místě však bude jejich stručné shrnutí. V první řadě uveďme, že ve většině případů byla modelová predikce znatelně přesnější než naivní predikce (s určitými vyjímkami například u měsíční úrokové míry České republiky a Polska, a to zejména v důsledku jejího relaivně „poklidného“ vývoje v rámci predikovaného období). Na základě výsledků získaných v této práci můžeme za nejlépe predikující modely označit BVAR model s nezávislou normální-Wishartovou apriorní hustotou a BVAR model s využitím techniky SSVS. Za nimi můžeme uvést ještě BVAR model s Littermanovou apriorní hustotou (s „tight“, resp. „přísnějším“ nastavením apriorních hyperparametrů). Výsledky klasického VAR modelu můžeme v kontextu výsledků jeho bayesovských kolegů označit za průměrné až mírně podprůměrné. Co se týče srovnání klasického VAR modelu s často používaným posledně jmenovaným BVAR modelem, výsledky hovoří mírně ve prospěch BVAR modelu. Z praktického hlediska mezi nimi však nebyly nijak dramatické rozdíly. Ačkoliv přidání dodatečných proměnných do modelů vedlo v některých případech k mírnému zlepšení výsledků, toto zlepšení bylo zpravidla z praktického hlediska zanedbatelné, a naopak často docházelo spíše ke zhoršení – zejména u modelů s použitím čtvrtletních dat. U těchto modelů ještě uveďme, že výsledky hovořily zpravidla pro řád zpoždění 1 (snad s výjimkou úrokové míry České republiky). Zopakujme zde ještě poněkud zjednodušené shrnutí, že zatímco v případě modelů jako takových podávaly přesnější výsledky složitější a výpočetně nejnáročnější modely, v případě modelů z hlediska počtu proměnných se zdály být nejvhodnější 87

88

Závěr

„malé“ modely; a zatímco u měsíčních dat si byly výsledky po přidání dodatečných proměnných velmi podobné,3 u čtvrtletních dat docházelo zpravidla ke zhoršení predikce. Dále na tomto místě ještě stručně uveďme z praktického hlediska zajímavé výsledky kombinací predikcí. V tomto ohledu můžeme poznamenat, že v kontextu států Visegrádské čtyřky podávala pro hrubý domácí produkt v nízkých horizontech (1–3) systematicky lepší výsledky kombinace predikcí BVAR modelu s Littermanovou apriorní hustotou a BVAR modelu s nezávislou normální-Wishartovou apriorní hustotou. Zmínit můžeme ještě kombinaci predikcí BVAR modelu s Littermanovou apriorní hustotou a BVAR modelu s použitím techniky SSVS v případě nezaměstnanosti, přičemž zpravidla došlo ke zlepšení výsledků v počátečních horizontech (1, případně 2). V dílčích případech bylo dosaženo i celkového zlepšení z hlediska průměrné RMSFE přes všechny horizonty pomocí kombinace predikcí posledně jmenovaného modelu s BVAR modelem s nezávislou normální-Wishartovou apriorní hustotou. Ve většině z praktického hlediska relevantních případů se pro kombinaci predikcí osvědčily spíše váhy vypočítané na základě predikční věrohodnosti, nežli jednoduchý průměr. Na úplný závěr této diplomové práce můžeme dodat, že by bylo určitě zajímavé doplnit výše provedenou analýzu o měsíční modely vyššího řádu zpoždění, obohatit ji o VEC a BVEC modely (jako v pracech některých autorů uvedených v kapitole 2.1.1) a výsledky porovnat také s výsledky DSGE-VAR a DSGE modelů, případně různými kombinacemi výše uvedených modelů. Vše myšleno v kontextu zemí Visegrádské čtyřky.

3

Tato skutečnost byla způsobena zejména nízkým řádem zpoždění (1). Podrobněji viz diskuze v předchozí kapitole.

Reference ANDERSSON, Michael K.; KARLSSON, Sune. Bayesian Forecast Combination for VAR Models. Working paper 216, Sveriges Riksbank, 2007. AMISANO, Gianni; SERATI, Massimiliano. Forecasting Cointegrated Series with BVAR models. Journal of Forecasting, 1999, vol. 18. BALKE, Nathan; CANOVA, Fabio; MILANI, Fabio; WYNNE, Mark. DSGE Models in Macroeconomics: Estimation, Evaluation and New Developments. Bingley, UK: Emerald Group, 2012. ISBN 978-1-78190-305-6. BAŃBURA, Marta; GIANNONE, Domenico; REICHLIN, Lucrezia. Large Bayesian vector auto regressions. Journal of Applied Econometrics, 2010, vol. 25, no. 1. BATES, John; GRANGER, Clive W. J. The Combination of Forecasts. Operations Reasearch Quarterly, 1969, vol. 20, no. 4. BOLSTAD, William M. Introduction to Bayesian statistics. New Jersey: John Wiley & Sons, 2004. ISBN 978-0-471-27020-2. BOS, Charles S. A Comparison of Marginal Likelihood Computation Methods. Tinbergen Institute Discussion Paper, 2002. BOX, George E. P.; JENKINS, Gwilym. Time series analysis: Forecasting and control. San Francisco: Holden-Day, 1970. BOX, George E. P.; JENKINS, Gwilym; REINSEL, Gregory C. Time series analysis: Forecasting and control. New Jersey: John Wiley & Sons, 2008. ISBN 978-0-47027284-8. BRANDRETH, Gyles. Oxford Dictionary of Humorous Quotations. Oxford: Oxford University Press, 2014. ISBN 978-0-19-968136-5. BROOKS, Chris. Introductory Econometrics for Finance. New York: Cambridge University Press, 2008. ISBN 978-0-521-87306-2. BURKE, Matthew J. The Development of a Convergence Diagnostic for Markov Chain Monte Carlo Estimation. University of North Carolina at Greensboro, dizertační práce, 2011. CARRIERO, Andrea; CLARK, Todd E.; MARCELLINO, Massimiliano. Bayesian VARs: Specification Choices and Forecast Accuracy. Working paper 11-12, Federal 89

90

Reference

Reserve Bank of Cleveland, 2011. CANOVA, Fabio. Methods for Applied Macroeconomic Research. Princeton: Princeton University Press, 2007. ISBN 978-0-691-11504-7. CHIB, Siddhartha. Marginal Likelihood from the Gibbs Output. Journal of the American Statistical Association, 1995, vol. 90, no. 432. CLARK, Todd E.; McCRACKEN, Michael W. Forecasting with Small Macroeconomic VARs in the Presence of Instabilities. In: RAPACH, David E.; WOHAR, Mark E. Forecasting in the Presence of Structural Breaks and Model Uncertainty. Bingley, UK: Emerald Group, 2008. ISBN 978-0-444-52942-8. CLARK, Todd E.; McCracken, Michael W. Averaging Forecasts with VARs with Uncertain Instabilities. Journal of Applied Econometrics, 2010, vol. 25, no. 1. CORANDER, Jukka; VILLANI, Mattias. A Bayesian Approach to Modelling Graphical Vector Autoregressions. Journal of Time Series Analysis, 2006, vol. 27, no. 1. COWLESS, Mary K., CARLIN, Bradley P. Makrkov Chain Monte Carlo Convergence Diagnostics: A Comparative Review. Journal of the American Statistical Association, 1996, vol. 91, no. 434. DAHLHAUS, Rainer; EICHLER, Michael. Causality and graphical models in time series analysis. In: GREEN, Peter J.; HJORT, Nils J.; RICHARDSON, Sylvia. Highly Structured Stochastic Systems. Oxford: Oxford University Press, 2003. ISBN 978-0-19-851055-0. DeJONG, Dave N.; INGRAM, Beth F.; WHITEMAN, Charles H. Analyzing VARs with Monetary Business Cycle Model Priors. Proceedings of the American Statistical Association, Bayesian Statistics Section, 1993. DEL NEGRO, Marco; SCHORFHEIDE, Frank. Bayesian Macroeconometrics. In: GEWEKE, John; KOOP, Gary; VAN DIJK, Herman. The Oxford handbook of Bayesian Econometrics. Oxford: Oxford University Press, 2011. ISBN 978-0-19-9559084. DEL NEGRO, Marco; SCHORFHEIDE, Frank. Priors from General Equilibrium Models for VARs. International Economic Review, 2004, vol. 45, no. 2. DING, Shutong; KARLSSON, Sune. Model averaging and variable selection in VAR models. Örebro University, 2012. DOAN, Thomas; LITTERMAN, Robert B.; SIMS, Christopher A. Forecasting and Conditional Projection Using Realistic Prior Distributions. Econometric Reviews, 1984, vol. 3, no. 1. DUA, Pami; RAY, Subhash C. A BVAR Model for the Connecticut Economy. Journal of Forecasting, 1995, vol. 14, no. 3.

Reference

91

EDDY, Shawn R. What is Bayesian statistics?. Nature Biotechnology, 2004, vol. 22, no. 9. EKLUND, Jana; KARLSSON, Sune. Forecast Combination and Model Averaging Using Predictive Measures. Working paper 191, Sveriges Riksbank, 2005. ENDERS, Walter. Applied Time Series Analysis. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, 2004. ISBN 978-0-471-45173-8. FÉLIX, Ricardo M.; NUNES, Luís C. Bayesian Forecasting Models for the Euro Area. Economic Bulletin, Banco de Portugal, 2002. ISSN 2182-035X. FÉLIX, Ricardo M.; NUNES, Luís C. Forecasting Euro Area Aggregates with Bayesian VAR and VECM models. Working paper, Banco de Portugal, 2003. FORBES, Catherine; EVANS, Merran; HASTINGS, Nicholas; PEACOCK, Brian. Statistical Distributions. New Jersey: John Wiley & Sons, 2011. ISBN 978-0-47039063-4. GALBRAITH, John K. U.S. News & World Report, 7. březen 1988. GELFAND, Alan E.; DEY, Dipak K. Bayesian Model Choice: Asymptotics and Exact Calculations. Journal of the Royal Statistical Society B 56, 1994. GEORGE, Edward; SUN, Dongchu; NI, Shawn. Bayesian stochastic search for VAR model restrictions. Journal of Econometrics, 2008, vol. 142, no. 1. GEWEKE, John. Contemporary Bayesian Econometrics and Statistics. New Jersey: John Wiley & Sons, 2005. ISBN 978-0-471-67932-5. GIANNONE, Domenico; LENZA, Michele; PRIMICERI, Giorgio E. Prior selection for vector autoregressions. Working paper 1494, European Central Bank, 2012. GRANGER, Clive W. J. Forecasting Accuracy of Alternative Techniques: A Comparison of U.S. Macroeconomic Forecasts: Comment. Journal of Business & Economic Statistics, 1986, vol. 4, no. 1. GRANGER, Clive W. J. Investigating Casual Relations by Econometric Models and Cross-spectral Methods. Econometrica, 1969, vol. 37, no. 3. GREENBERG, Edward. Introduction to Bayesian econometrics. New York: Cambridge University Press, 2008. ISBN 978-0-521-85871-7. GUJARATI, Damodar N. Basic Econometrics. New York: McGraw-Hill, 2003. ISBN 978-0-07-233542-4. GUPTA, Rangan. Forecasting the South African Economy with VARs and VECMs. South African Journal of Economics, 2006, vol. 74, no. 4. GUPTA, Rangan; SICHEI, Moses M. A BVAR Model for the South African Economy. South African Journal of Economics, 2006, vol. 74, no. 3.

92

Reference

GUPTA, Rangan; KABUNDI, Alain; MILLER, Stephen M.; UWILINGIYE, Josine. Using Large Data Sets to Forecast Sectoral Employment. Working paper, 2011. HAMADA, Michael S.; WILSON, Alyson G.; REESE, Shane C.; MARTZ, Harry F. Bayesian Reliability. New York: Springer, 2008. ISBN 978-0-387-77948-5. HOETING, Jennifer A.; MADIGAN, David; RAFTERY, Adrian E.; VOLINSKY, Chris T. Bayesian Model Averaging: A Tutorial. Statistical Science, 1999, vol. 14, no. 4. INGRAM, Beth F.; WHITEMAN, Charles H. Supplanting the ’Minnesota prior’: Forecasting macroeconomic time series using real business cycle model priors. Journal of Monetary Economics, 1994, vol. 34, no. 3. JEFFREYS, Harold. Theory of Probability, 1st ed. Oxford: Oxford University Press, 1939. JEFFREYS, Harold. Theory of Probability, 3rd ed. Oxford: Clarendon Press, 1961. JOCHMANN, Markus; KOOP, Gary; LEÓN-GONZALEZ, Roberto; STRACHAN, Rodney W. Stochastic Search Variable Selection in Vector Error Correction Models with an Application to a Model of the UK Macroeconomy. Journal of Applied Econometrics, 2013, vol. 28, no. 1. KIRCHGÄSSNER, Gebhard; WOLTERS, Jürgen. Introduction to Modern Time Series Analysis. Berlin: Springer, 2007. ISBN 978-3-540-73290-7. KADIYALA, Rao K.; KARLSSON, Sune. Numerical Methods for Estimation and Inference in Bayesian VAR Models. Journal of Applied Econometrics, 1997, vol. 12, no. 2. KAPETANIOS, George; LABHARD, Vincent; PRICE, Simon. Forecasting Using Bayesian and Information-Theoretic Model Averaging: An Application to U.K. Inflation. Journal of Business & Economic Statistics, 2008, vol. 26, no. 1. KARLSSON, Sune. Forecasting with Bayesian Vector Autoregressions. Working paper, Örebro University, 2012. ISSN 1403-0586. KOOP, Gary. Bayesian Econometrics. West Sussex: John Wiley & Sons, 2003. ISBN 0-470-84567-8. KOOP, Gary; KOROBILIS, Dimitris. Bayesian Multivariate Time Series Methods for Empirical Macroeconomics. Foundations and Trends in Econometrics, 2010, vol. 3, no. 4. KOOP, Gary; KOROBILIS, Dimitris. Manual to accompany MATLAB package for Bayesian VAR models. Glasgow: University of Strathclyde, 2009. KOOP, Gary; POIRIER, Dale J.; TOBIAS, Justin L. Bayesian Econometric Methods. Cambridge: Cambridge University Press, 2007. ISBN 978-0-521-85571-6.

Reference

93

KOROBILIS, Dimitris. VAR Forecasting Using Bayesian Variable Selection. Journal of Applied Econometrics, 2013, vol. 28, no. 2. KRUSCHKE, John K. Doing Bayesian Data Analysis: A Tutorial with R and BUGS. Salt Lake City: Academic Press, 2010. ISBN 978-0-123-81485-2. LANCASTER, Tony. An introduction to modern Bayesian econometrics. Oxford: Blackwell Publishing, 2004. ISBN 978-1-4051-1720-3. LeSAGE, James P. A Comparison of the Forecasting Ability of ECM and VAR models. The Review of Economics and Statistics, 1990, vol. 72, no. 4. LeSAGE, James P. Applied Econometrics using MATLAB. University of Toledo, 1999. URL: http://www.spatial-econometrics.com. LITTERMAN, Robert B. Forecasting with Bayesian vector autoregressions - five years of experience. Journal of Business & Economic Statistics, 1986, vol. 4, no. 1. LÜTKEPOHL, Helmut. New Introduction to Multiple Time Series Analysis. Berlin: Springer, 2005. ISBN 978-3-540-40172-5. LÜTKEPOHL, Helmut; KRÄTZIG, Markus. Applied Time Series Econometrics. New York: Cambridge University Press, 2004. ISBN 978-0-521-83919-8. McCANDLESS, George. The ABCs of RBCs: An Introduction to Dynamic Macroeconomic Models. Cambridge: Harvard University Press, 2008. ISBN 978-0-67402814-2. NI, Shawn; SUN, Dongchu. Bayesian Estimates for Vector Autoregressive Models. Journal of Business & Economic Statistics, 2005, vol. 23, no. 1. NI, Shawn; SUN, Dongchu. Bayesian Analysis of Vector-Autoregressive Models with Noninformative Priors. Journal of Statistical Planning and Inference, 2004, vol. 121, no. 2. O’HARA, Keith. Bayesian Macroeconometrics in R. New York University, 2012. RACHEV, Svetlozar T.; HSU, John S.; BAGASHEVA, Biliana S.; FABOZZI, Frank J. Bayesian Methods in Finance. New Jersey: John Wiley & Sons, 2008. ISBN 9780-471-92083-0. RAMOS, Francisco F. R. Forecasts of market shares from VAR and BVAR models: a comparison of their accuracy. International Journal of Forecasting, 2003, vol. 19, no. 1. SALA-I-MARTIN, Xavier. I Just Ran Two Million Regressions. American Economic Review, 1997, vol. 87, no. 2. SEVINÇ, Volkan; ERGÜN, Gül. Usage of Different Prior Distributions in Bayesian Vector Autoregressive Models. Hacettepe Journal of Mathematics and Statistics, 2012, vol. 38.

94

Reference

SHOESMITH, Gary L. Long-term Forecasting of Non-Cointegrated and Cointegrated Regional and National Models. Journal of Regional Science, 1995, vol. 35, no. 1. SHOESMITH, Gary L. Multiple Cointegrating Vectors, Error Correction, and Forecasting with Litterman’s Model. International Journal of Forecasting, 1995, vol. 11, no. 4. SIMS, Christopher A. Bayesian Methods in Applied Econometrics, or, Why Econometrics Should Always and Everywhere Be Bayesian. Princeton University, 2007. SIMS, Christopher A. Dummy Observation Priors Revisited. Princeton University, 2005. SIMS, Christopher A. Macroeconomics and Reality. Econometrica, 1980, vol. 48, no. 1. SOLOMON, Ezra. Psychology Today, březen 1984. SUGITA, Katsuhiro. Bayesian analysis of a vector autoregressive model with multiple structural breaks. Economics Bulletin, 2008, vol. 3, no. 22. TIMM, Neil H. Applied Multivariate Analysis. New York: Springer, 2002. ISBN 9780-387-95347-7. TSAY, Ruey S. Analysis of Financial Time Series. New Jersey: John Wiley & Sons, 2005. ISBN 978-0-471-69074-0. VERBEEK, Marno. A Guide to Modern Econometrics. West Sussex: John Wiley & Sons, 2004. ISBN 978-0-470-85773-0. VILLANI, Mattias. Steady-state priors for vector autoregressions. Journal of Applied Econometrics, 2009, vol. 24, no. 4. WARNE, Anders; COENEN, Günter; CHRISTOFFEL, Kai. Marginalized Predictive Likelihood Comparisons with Applications to DSGE, DSGE-VAR, and VAR Models. European Central Bank, 2013. ZELLNER, Arnold. An Introduction to Bayesian Inference in Econometrics. New York: John Wiley & Sons, 1996. ISBN 978-0-471-16937-4.

Appendix

Obrázek A1: Panel grafů vybraných makroekonomických veličin států V4 IPI

UNE

120

25

110 20

100

15

80

%

index

90

10

70

CZ SK HU PL

60 50 40 1998

2000

2002

2004

2006

2008

2010

2012

5

0 1998

2014

2000

2002

2004

HICP

2006

2008

2010

2012

2014

2008

2010

2012

2014

IR

150

30 25

%

index

20 100

15 10 5

50 1998

2000

2002

2004

2006

2008

2010

2012

0 1998

2014

95

2000

2002

2004

2006

96

Appendix

Obrázek A2: Porovnání vývoje IPI a HDP států V4 4

IPI CZ 120

x 10

HDP CZ

4

100 2

80 60 2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012

0

2

150

100

2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012 4

IPI SK

x 10

HDP SK

1

50 2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012

0

150

2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012 4

IPI HU 4

x 10

HDP HU

3 100 2 50

2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012

1

2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012 4

IPI PL

x 10

150

HDP PL

10 100 5 50 2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012

0

2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012

MASARYKOVA UNIVERZITA Ekonomicko-správní fakulta

Recommend Documents