• Krystalová mříž, krystalové roviny, Millerovy indexy. • Krystalografické soustavy. • Bodová symetrie.
Title page
• Bodové grupy - krystalografická oddělení. • Translační symetrie, Bravaisovy mřížky. • Prostorové grupy.
1
Krystalová mříž, struktura
Symetrie krystalů
Mřížový bod: má stejné a stejně orientované okolí Mříž: množina mřížových bodů Mřížové body nemusí být totožné s polohou atomu. Struktura krystalu: prostorové uspořádání atomů, molekul Mříž vystihuje translační periodicitu tohoto uspořádání. mříž + základní motiv (báze) = struktura
2
Primitivní a centrované buňky
Symetrie krystalů
Obsahuje-li rovnob žnost n vymezený základními translacemi pouze jediný m ížový bod, je tento rovnob žnost n nazýván primitivní bu ka. Obsahuje-li rovnob žnost n vymezený základními translacemi více m ížových bod , je tento rovnob žnost n nazýván centrovaná bu ka. Všechny primitivní bu ky mají stejný objem a tento objem je minimální, jaký m že bu ka m íže mít. Centrované bu ky mají objem rovný celistvému násobku objemu primitivní bu ky (podle po tu m ížových bod p ipadajících na centrovanou bu ku). Zavedení centrovaných bun k je dáno požadavkem, aby symetrie základní bu ky byla stejná jako symetrie celé m íže. Výb 1. 2. 3.
r bu ky: Maximální symetrie – symetrie m ížky. Minimální objem – jeden m ížový bod v p ípad primitivní bu ky. Úhly mezi stranami blízké 90°
3
Krystalové směry a roviny
Symetrie krystalů
mřížový vektor : t = ua + vb + wc
u,v,w = celá čísla
polohový vektor : r = xa + yb + zc
x,y,z = frakční souřadnice
[uvw] : krystalografický směr (hkl) = množina rovnoběžných ekvidistantních rovin; h,k,l = nesoudělná celá čísla
(12) -(12)
[21]
b a
-a -b
b
(12)-a (12)
r a -b
4
Ortogonální a hexagonální mřížka
Symetrie krystalů
[uvw] : krystalografický směr
: soubor ekvivalentních krystalografických směrů (hkl) : množina rovnoběžných ekvidistantních rovin {hkl} : soubor symetricky ekvivalentních rovin např. pro tetragonální mříž: {100}=(100)(010)(-100)(0-10) Speciálně pro hexagonální soustavu: (hkil) kde i=-(h+k) {11-20}=(11-20)(1-210)(-2110) (-1-120)(-12-10)(2-1-10) cyklická záměna hki
d(hkl)=d(-h-k-l)
{110}=(110)(1-20)(-210)(-1-10)(-120)(2-10)
a2 (b)
a2 (b)
a1+a2
a1+a2
-a1
a1(a)
a1(a) a1-a2
2a1+a2
a3
-a2
a1-a2
5
Mřížkové parametry, mezirovinná vzdálenost d(hkl) mřížkové vektory : a, b, c mřížkové parametry : a, b, c (Å), α, β, γ (°) objem buňky : V = a . [b × c]
Symetrie krystalů
1 r r r V = a ⋅ b × c = abc cos γ cos β
[
]
cos γ 1 cos α
cos β cos α 1
1/ 2
V = abc (1+2 cosα cosβ cosγ - cos2α - cos2β - cos2γ)1/2
a d(100)
a* γ b*
b
reciproká mříž : d(100) = V / b × c (průmět a do směru kolmého na rovinu bc) a* = 1/d(100), b* = 1/d(010), c* = 1/d(001), a* = b × c / V (průmět 1/a do směru kolmého na rovinu bc) 1/d(hkl) = ha*+kb*+lc* a* = bc sinα / V ; cosα* = (cosβ cosγ - cosα) / (sinβ sinγ) a*.a=1, a*.b=0, a*.c=0
6
d(hkl), Q(hkl)
Symetrie krystalů
a d(100)
a* γ b*
1 r r r V = a ⋅ b × c = abc cos γ cos β
[
]
cos γ 1 cos α
cos β cos α 1
b
Q(hkl)=1/d2(hkl) = (ha*+kb*+lc*)2 = (ha*)2+(kb*)2+(lc*)2+2klb*c*+2hla*c*+2hka*b* = = Ah2 + Bk2 + Cl2 + Dkl + Ehl + Fhk A=(a*)2, B =(b*)2, C =(c*)2 , D=2b*c*cosα*, E=2c*a*cosβ* , F=2a*b*cosγ* pro monoklinní soustavu (α=β=90°) : V = abc sinγ A = 1/(a2sin2γ), B = 1/(b2sin2γ), C = 1/c2 , D = E = 0, F = -2cosγ/(ab sinγ)
7
1/ 2
Mezirovinná vzdálenost d(hkl)
d ( hkl ) =
=
(ha
1 ∗
∗
+ kb + lc
)
∗ 2
Symetrie krystalů
=
1 cos γ cos β cos γ 1 cosα cos β cosα 1 h / a cos β h / a cos γ cos β 1 1 h k l k /b 1 cosα + cos γ k / b cos α + cos γ b c a l / c cosα 1 cos β l / c 1 cos β
cos γ 1 cos α
h/a k /b l /c
8
Krystalografické soustavy
Symetrie krystalů
monoklinická
ortorombická
a≠b≠c
a≠b≠c
a≠b≠c
α ≠ β ≠ γ ≠ 90°
α = β = 90° ≠ γ ≠ 90°
α = β = γ = 90°
triklinická
9
Krystalografické soustavy
tetragonální a=b≠c
α = β = γ = 90°
Symetrie krystalů
kubická
hexagonální + trigonální
a=b=c
a=b≠c
α = β = γ = 90°
α = β = 90° ≠ γ = 120°
10
Krystalografické soustavy
Symetrie krystalů
hexagonální
trigonální (romboedrická) a=b=c
α = β = γ ≠ 90°
ah = a r − b r
bh = br − c r
ah = 2ar sin (α / 2 )
c h = ar + br + c r
ch = ar 9 − 12 sin 2 (α / 211 )
Mřížkové parametry a mezirovinná vzdálenost d(hkl)
Symetrie krystalů
Q(hkl)=1/d2(hkl) = Ah2 + Bk2 + Cl2 + Dkl + Ehl + Fhk A
B
C
D
E
F
h2
k2
l2
kl
hl
hk
(a*)2
(b*)2
(c*)2
2cosα* b*c*
2cosβ* c*a*
2cosγ* a*b*
b 2 c 2 sin 2 α V2
a 2 c 2 sin 2 β V2
a 2b 2 sin 2 γ V2
cubic
1/a2
A
A
0
0
0
a3
tetragonal
1/a2
A
1/c2
0
0
0
a2c
orthorhombic
1/a2
1/b2
1/c2
0
0
0
abc
hexagonal
4/3a2
A
1/c2
0
0
A
a2c √(3/4)
monoclinic
1/a2sin2γ
1/b2sin2γ
1/c2
0
0
-2cosγ/ab.sin2γ
abc sinγ
triclinic
V
2a 2bc(cos β cos γ − cosα ) 2ab 2 c(cosα cos γ − cos β ) 2abc 2 (cosα cos β − cos γ ) V2 V2 V2
V = abc (1+2 cosα cosβ cosγ - cos2α - cos2β - cos2γ)1/2 triklinická monoklinická ortorombická tetragonální kubická hexagonální
a ≠ b ≠ c, α ≠ β ≠ γ ≠ 90° a ≠ b ≠ c, α = β = 90°, γ ≠ 90° a ≠ b ≠ c, α = β = γ = 90° a = b ≠ c, α = β = γ = 90° a = b = c, α = β = γ = 90° a = b ≠ c, α = β = 90°, γ = 120°
A≠B≠C≠D≠E≠F A ≠ B ≠ C ≠ F, D = E = 0 A ≠ B ≠ C, D=E=F=0 A = B ≠ C, D=E=F=0 A = B = C, D=E=F=0 A = B = F ≠ C, D = E = 0
12
Bodová symetrie
Symetrie krystalů
operace
prvek
IS
Schönfließ
rotace
osa
1,2,3,4,6
C1,C2,C3,C4,C6
inverze
st ed
1
i
zrcadlení
rovina
m (2)
s
rota ní inverze
osa
3,4,6
S3,S4,S6
Základní operace: E(1), 2, 3, 4, 6, i( 1 ), m(2 ), 4
2
m
3 =3×1
3 4 6
1
4 6 =3×2 13
Osové kombinace
Symetrie krystalů
Osové kombinace jsou vždy složeny ze tří protínajících se os, neboť třetí osa vzniká automaticky při kombinaci dvou os. Eulerova konstrukce: cos( A, B ) =
cos(γ / 2) + cos(α / 2) cos( β / 2) sin(α / 2) sin( β / 2)
A=2 α=180° úhel(B,C)~(3,4)=54.74° B=3 β=120° úhel(A,C)~(2,4)=45° C=4 γ=90°
úhel(A,B)~(2,3)=35.26°
14
Reprezentační matice bodové operace symetrie
u1′ a11 u ′ = a 2 21 u3′ a 31
transformace:
Symetrie krystalů
a13 u1 a 23 u2 a 33 u3
a12 a 22 a32
musí být : lineární, izometrická 3
podmínka izometričnosti: aij musí být ortogonální
⇒
[Det(a )] =1 2
ij
Det(aij ) = 1 Det(aij ) = −1
(a )
−1
ij
∑a k =1
ik
akj = δ ij
= (aij )
T
rotace inverze, reflexe nebo součin inverze a rotace 15
Reprezentační matice bodové operace symetrie
1 0 0 identita C1 = 0 1 0 0 0 1
Symetrie krystalů
inverze
− 1 0 0 Ci = 0 − 1 0 0 0 − 1
reflexe
− 1 0 0 P(100 ) = 0 1 0 0 0 1
1 0 0 P(010 ) = 0 − 1 0 0 0 1
1 0 0 P(001) = 0 1 0 0 0 − 1
16
Reprezentační matice bodové operace symetrie
cosϕ Cϕ = sin ϕ 0
rotace
− 1 0 0 C2 = 0 − 1 0 0 0 1
− 1 2 C3 = 3 2 0
− 3
2
−1 2 0
− sin ϕ cosϕ 0
Symetrie krystalů
0 0 1
1 2 C6 = 3 2 0
0 − 1 0 C4 = 1 0 0 0 0 1
0 0 1
−1 2 C32 = − 3 2 0
3
2 −1 2 0
0 0 1
− 3
2
1
2 0
0 0 1
1 0 0 C33 = C1 = 0 1 0 0 0 1 17
Určení typu matice bodové operace symetrie
0 1 0 A = 0 0 1 1 0 0
1. Det(A) = 1 , tj. rotační osa
Symetrie krystalů
(-1 : inverzní osa)
2. Četnost osy: Stopa matice χ = a11 + a22 + a33 = 1 + 2cosϕ χ(A) = 0 , cosϕ = -1/2, ϕ = 120° , tj. trojčetná rotační osa 3 Det
χ
1 -1
-3 1
-2 6
-1 2 4
0 3 3
1 4 m
2 6 -
3. Směr osy: (je-li det(A)=-1, tak matici M počítat z –A) v1 a11 a12 a13 v1 a12 a13 a11 − 1 v = a a a23 • v2 M = a21 a22 − 1 a23 ; Det ( M ) = 0 2 21 22 v3 a31 a32 a32 v3 a31 a32 a32 − 1 pro k=1,2,3
ci = (-1)i+k Mik
c1 : c2 : c3 = M 31 : M 32 : M 33 =
Mik = minor matice M
3 1 0 − 1 1 M ( A) = 0 − 1 1 1 0 − 1
(determinant matice M(A) bez i.řádku a k.sloupce)
1 0 0 −1 −1 1 : : = 1:1:1 −1 1 1 0 0 −1
tj. směr podél úhlopříčky 111 (příklad výpočtu pro i=3)
18
Zařazení krystalů do soustav
Symetrie krystalů
Krystalografické soustavy - Syngonie elementární buňka – maximum symetrie = holoedrie x meroedrie
Soustava
Minimum vnější souměrnosti
Triklinická
1 nebo 1
Monoklinická
2 nebo 2
Ortorombická
2 ⊥ 2 nebo 2 ⊥ 2
Trigonální
3 nebo 3
Tetragonální
4 nebo 4
Hexagonální
6 nebo 6
Kubická
3 (4x) (podél tělesových úhlopříček) 19
Definice grupy mm2: mx × my = 2z
Symetrie krystalů
− 1 0 0 1 0 0 − 1 0 0 0 1 0 × 0 − 1 0 = 0 − 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1
Množina prvků a,b,c,..., mezi nimiž je definována operace násobení (×), a pro které platí 1. 2. 3.
a×b je rovněž prvkem grupy (mx × my = 2z) existuje jednotkový prvek e, pro který platí a×e = e×a = a (mx × 1 = mx) ke každému prvku a existuje inverzní a-1, pro který platí a×a-1 = e
4.
(mx × mx = 1) Platí asociativní zákon a×(b×c) = (a×b)×c
řád grupy = počet prvků podgrupa; index podgrupy = řád grupy / řád podgrupy Prvky krystalografických grup jsou operace symetrie, jejich násobení znamená postupné provedení operací symetrie. 20
Bodové grupy symetrie
Symetrie krystalů
Mezinárodní Hermann-Mauguinův symbol prvky souměrnosti ve význačných směrech Soustava význačné směry
Schöfliesův symbol
Triklinická
Mezinárodní symbol úplný zkrácený
C1
1
1
Ci
1
1
Monoklinická
C2
2
2
b
Cs
m
m
C2h
2/m
2/m
Ortorombická
D2
222
222
abc
C2v
mm2
mm2
D2h
2/m 2/m 2/m
mmm 21
Bodové grupy symetrie
Soustava význačné směry
Symetrie krystalů
Schöfliesův symbol
Mezinárodní symbol úplný zkrácený
Tetragonální
C4
4
4
c a a-b
S4
4
4
C4h
4/m
4/m
D4
422
422
C4v
4mm
4mm
D2d
42m
42m
D4h
4/m 2/m 2/m
4/mmm
22
Bodové grupy symetrie
Soustava význačné směry
Symetrie krystalů
Schöfliesův symbol
Mezinárodní symbol úplný zkrácený
Trigonální
C3
3
3
ca
C3i
3
3
D3
32
32
C3v
3m
3m
D3d
3 2/m
3m
Kubická
T
23
23
c a+b+c a+b
Th
2/m 3
m3
O
432
432
Td
43m
43m
Oh
4/m 3 2/m
m3m 23
Bodové grupy symetrie
Soustava význačné směry
Symetrie krystalů
Schöfliesův symbol
Mezinárodní symbol úplný zkrácený
Hexagonální
C6
6
6
c a a-b
C3h
6
6
C6h
6/m
6/m
D6
622
622
C6v
6mm
6mm
D3h
62m
62m
D6h
6/m 2/m 2/m
6/mmm
celkem 32 bodových grup (krystalografických oddělení) 24
Bodové grupy symetrie
Symetrie krystalů
25
Speciální bodové grupy
Symetrie krystalů
Centrické grupy (11) – -1, 2/m, mmm, 4/m, 4/mmm, -3, -3m, 6/m, 6/mmm, m-3, m-3m - obsahují střed symetrie Laueho grupy (grupy difrakční symetrie) - liší se pouze přítomností středu symetrie 2/m 2, m, 2/m mmm 222, mm2, mmm m3m -432, 43m, m-3m Enanciomorfní grupy (11) – 1, 2, 3, 4, 6, 222, 32, 422, 622, 23, 432 - nemají střed symetrie ani roviny reflexe Holoedrické grupy (7) – 1, 2/m, mmm, 4/mmm, -3m, (Bravaisovy mřížky) 6/mmm, m-3m 26
Morfologie krystalů
Symetrie krystalů
Tvar krystalu odpovídá jeho krystalografické bodové grupě. Každá vnější plocha krystalu je rovnoběžná s osnovou mřížových rovin. V isotropním prostředí : forma = soubor ekvivalentních rovin {hkl} • obecná forma : vychází z obecné polohy • speciální forma : vychází ze speciální polohy Vnější tvar krystalu je zpravidla průnikem několika forem. krystalová t ída m-3
speciální formy krystalové t ídy m-3
obecná forma krystalové t ídy m-3
27
Translační symetrie
Symetrie krystalů
Operace
prvek
symbol
translace
translace
přímka
kluzný pohyb
kluzná rovina
a,b,c, n d
½a, ½b, ½c, ½(a+b), ¼(a±b) (pouze I a F grupy)
šroubový pohyb
šroubová osa
21, 31,32 41,42,43 61,62,63,64,65
1/2 t, 1/3 t 1/4 t 1/6 t
ua+vb+wc
a,b 21
41
61
31
42
62
32
43
63
c n d 28
Šroubové osy
Symetrie krystalů
2/3 120°
1/3
120°
1/3 (2x2/3)
–120° (2x120°)
Provedení 2 operací symetrie šroubové osy 32 odpovídá posunu o 4/3 (p i emž z transla ní symetrie plyne, že posun o 4/3=1/3.) a oto ení o 240° (= –120°). Šroubovou osu 32 lze proto považovat za levoto ivou ve srovnání s pravoto ivou osou 31. pravotočivé osy: 31, 41, 61, 62 levotočivé osy: 32, 43, 65, 64
29
Bravaisovy mřížky
Symetrie krystalů
triklinická
a≠b≠c
α ≠ β ≠ γ ≠ 90°
monoklinická
a≠b≠c
α = β = 90°, γ ≠ 90°
ortorombická
a≠b≠c
α = β = γ = 90°
tetragonální
a=b≠c
α = β = γ = 90°
kubická
a = b = c α = β = γ = 90°
hexagonální
a=b≠c
α = β = 90°, γ = 120°
hexagonální R – romboedrická
a = b = c α = β = γ ≠ 90°
30
Bravaisovy mřížky
Symetrie krystalů
triklinická - P
P romboedrická – R (P)
C monoklinická 31
Bravaisovy mřížky
Symetrie krystalů
P
I
hexagonální - P tetragonální
32
Bravaisovy mřížky
P
Symetrie krystalů
I
C
F
ortorombická
33
Bravaisovy mřížky
P
Symetrie krystalů
I
F
kubická
34
Prostorové grupy symetrie
Symetrie krystalů
Množiny všech operací symetrie krystalové soustavy - bodové prvky symetrie + translace (Bravaisovy mříže) + (šroubové osy + kluzné roviny) každá bodová grupa → několik prostorových grup (izogonálních) Př. Bodová Schöfliesův Mezinárodní symbol grupa symbol úplný zkrácený C2 , 2
C21
P 121
P2
C22 C23
P 1211 C 121
P 21 C2
celkem 230 prostorových grup
http://www.cryst.ehu.es http://cci.lbl.gov/sginfo 35
Prostorové grupy – symboly
Symetrie krystalů
Prostorové grupy v krystalografických třídách, Hermannovy – Mauguinovy symboly: Soustava Kryst.sm ry Bodové grupy Centrace buňky • triklinická P [-]1 1, -1 X=P • monoklinická X b (=X1b1) 2, m, 2/m X = P,C,[A,B,I] [X c (=X11c), X a (=Xa11)] • ortorombická X a b c 222, mm2, mmm X = P,C,I,F,[A,B] • tetragonální X c a a-b [=a+b] 4, -4, 4/m, 422, 4mm, -42m, 4/mmm X = P,I • kubická X a a+b+c a+b 23, m-3, 432, -43m, m-3m X = P,I,F X=P • hexagonální P c a a-b [=2a+b] 6, -6, 6/m, 622, 6mm, -62m, 6/mmm • trigonální Pca 3, -3, 32, 3m, -3m X=P RcaH 3, -3, 32, 3m, -3m X=R R a+b+c a-b R 3, -3, 32, 3m, -3m X=R m=m,a,b,c,n,d; 2=2,21; 3=3,31,32; 4=4,41,42,43; 6=6,61,62,63,64,65
a2 (b)
a1+a2
-a1
-(a1+a2)
2a1+a2
a1(a)
-a2
a1-a2
a2 (b)
buňka triklinická monoklinická ortorombická tetragonální kubická hexagonální hexagonální hexagonální romboedrická
a1+a2
a1(a) a1-a2
36
Hexagonální a trigonální soustava
Symetrie krystalů
trigonální
hexagonální
a2 (b)
a2 (b)
a1(a)
a1(a)
a3
a3 1/3, 2/3, 2/3
soustava, centrace
Prost. grupa
buňka
hexagonální P
P6 . .
hexagonální P
trigonální P
P3 .
hexagonální P
trigonální R
R3 .
hexagonální R
2/3, 1/3, 1/3
1/3, 2/3, 2/3 2/3, 1/3, 1/3
romboedrická P 37
Seitzovy matice
Symetrie krystalů
Maticová reprezentace operací symetrie obsahujících translaci:
r r x′ = Mx + t x1′ m11 x ′ = m 2 21 x3′ m31
m12 m22 m32
m13 m23 m33
x1 t1 x + t 2 2 x3 t3
Seitzova matice:
M S= 0
m11 m12 r t m21 m22 = m m32 1 31 0 0
m13 t1 m23 t2 m33 t3 0 1
M = matice rotace (inverze, zrcadla) t = vektor translace
x1′ m11 m12 m13 t1 x1 x ′ m m22 m23 t 2 x 2 2 21 = • x3′ m31 m32 m33 t 3 x3 1 0 0 0 1 1 x1′ = m11 x1 + m12 x2 + m13 x3 + t1
38
Hallovy symboly prostorových grup
Symetrie krystalů
S.R. Hall: Space-Group Notation with an Explicit Origin ; Acta Cryst. A37, 517-525 (1981). Hallovy symboly jsou založeny na minimálním počtu operací symetrie (generátorů) ve formě Seitzových matic. Obsahují explicitní určení počátku. Jsou výhodné pro automatické generování operací symetrie prostorových grup. Srovnání Hermannových–Mauguinových a Hallových symbolů:
Číslo
H.-M.
Hall
.
225
F m -3 m
-F 4 2 3
četnost grupy:
četnosti generátorů
četnosti generátorů
192
4×2×6×2 = 96 !
2×4×4×2×3 = 192
(z H.-M. symbolu nevyplývají všechny potřebné generátory)
19
P 21 21 21
P 2ac 2ab
(Z H.-M. symbolu nevyplyne, že je počátek posunut do bodu ¼,¼,¼.
(Znaménko mínus na začátku Hallova symbolu znamená přítomnost středu inverze)
V Hallově symbolu je posun počátku explicitně uveden).
Generátory prostorové grupy:
Mřížková translace Centrace buňky (není-li P) Vybrané operace symetrie (v počtu 1-3) Inverze (pro centrosym. grupy) 39
Generátory prostorové grupy
Symetrie krystalů
Hermannův – Mauguinovův symbol: Hallův symbol: Obecná poloha:
xyz
x yz
yx z
4:
xyz
x yz
yx z
y xz
× mx :
x yz
xy z
yx z
yxz
× 2 : yxz yx z x yz xyz × 2 : yx z yxz x yz xyz shodné s již vytvořenými polohami Generátory prostorové grupy:
Mřížková translace Centrace buňky (není-li P) Vybrané operace symetrie (v počtu 1-3) Inverze (pro centrosym. grupy)
P 4m2 P−4−2
yxz x yz
~ 4 mx
xy z
yx z
0 1 0 4 = − 1 0 0 0 0 − 1
yxz − 1 0 0 m x = 0 1 0 0 0 1
y , x, z
x, y , z
x, y, z
y, x , z
x , y, z
x, y , z
0 1 0 2 xy = 1 0 0 0 0 − 1
40
Ekvivalentní polohy
Symetrie krystalů
P-4m2 četnost
Wyckoff
symetrie
souřadnice
8
l
1
4
k
m
1 1 1 1 x z , x z, xz , xz 2 2 2 2
4
j
m
x0 z , x 0 z , 0 xz , 0 x z
4
i
2
1 1 1 1 xx , x x , xx , x x 2 2 2 2
4
h
2
xx0 , x x 0, xx 0, x x0
2
g
2mm
2
f
2mm
2
e
2mm
00 z , 00 z
1
d
42m
00
1
c
42m
1
b
42m
1
a
42m
xyz , x yz, x yz, xyz,
y xz ,
yx z ,
yxz ,
yx z
1 1 0z 0 z, 2 2 11 11 z, z 22 22
1 2 111 222 11 0 22
j j a j j
000
41
Transformace mřížkových vektorů
Symetrie krystalů
Transformační matice M M : mřížkové parametry a, indexy hkl a’ = M a , a = M-1 a’ (MT)-1 : polohy atomů x, reciproké mřížkové parametry a*, směr v mřížce uvw x’ = (MT)-1 x , x = (MT) x’ MT : transponovaná M-1
M
Rho → Hex
Det = 3
: inverzní
M
P→ F
Det = 4
M
Det =1 / 4
1 − 1 1 = 1 −1 1 1 1 − 1
F →P
0 12 12 = 12 0 12 1 1 2 2 0
M
r a ′ r : b ′ = r c ′
P→ I
Det = 2
M
Det =1 / 2
I →P
r − 1 0 a r 1 − 1 • b v 1 1 c
1 0 1
0 1 1 = 1 0 1 1 1 0
− 12 = 12 12
1 2
− 12 1 2
1 2 − 12 1 2
42
Podgrupy
Symetrie krystalů
podmnožiny všech operací symetrie dané grupy, které samy splňují definici grupy I (t) - translationengleiche – zachovány pouze translace II (k) - klassengleiche – zůstává zachována bodová grupa, změna translační grupy I4/mcm (-I 4 2c) IIa – změna centrace, zachování parametrů P4/mcm P4/mcc IIb – znásobení elementární buňky P42/mcm atd ... IIc = i (izomorfní) jako IIb, stejný symbol C2/m k2 P2/m
t2
C2 i3 (b’=3b) C2/m
Index – inverzní hodnota podílu operací podgrupy ke všem operacím grupy je-li prvočíslo ⇒ maximální podgrupa 43
Podgrupy
Symetrie krystalů
„rodokmeny grup“ a1-a3 -a1+a2
Pm3m t4
α-Po
k2
2a1 2a2 2a3
a1+a2+a3
Pm3m t4
CaTiO3
½ (a2 + a3) ½ (a1 + a3) ½ (a1 + a2)
α-As
Fm3m
R3m GeTe
t2
t4
k2
NaCl
t4
R3m
t2
2a1 2a2 2a3
R3m Fm3m
R3m
k2
2c
t2
-¼ -¼ -¼
R3c
R3c LaAlO3, α-Al2O3 2a1+a2
t3
½ (a1-a3) ½ (-a1+a2) a1+a2+a3
t2
C2/c
R3
LiNbO3 44
Podgrupy
Symetrie krystalů
Fm3m (fcc=ccp)
Im3m (bcc) P63/mmc (hcp)
45
Podgrupy
Symetrie krystalů
46
