1 Indexy a časové řady 1.1 Srovnávání ukazatelů, indexy Pojem statistický ukazatel se používá zejména v ekonomické statistice jako synonymum pro statistický znak. Tento pojem je používán jak pro statistické znaky sledované u domácností či podniků (vstupní ukazatele), tak i pro agregované údaje (výstupní ukazatele). Konkrétní hodnotu ukazatele pak nazýváme údaj. Pracujeme-li s ukazateli a jejich hodnotami, je nutné si uvědomit jejich charakter. Pro potřeby ekonomické statistiky dělíme ukazatele na: • •
extenzitní (ukazatele množství); intenzitní (ukazatele úrovně).
Extenzitní ukazatele vyjadřují množství, a to jak vyjádřené objemově (například v kusech, hodinách, litrech, kilogramech), tak cenově (v korunách, dolarech, euro). Extenzitní ukazatele zpravidla označujeme symbolem q. Pokud jsou stejnorodé (například vykazují množství jednoho druhu zboží), lze je sčítat. Sečteme-li například prodané množství jednoho druhu zboží v kusech za jednotlivé měsíce roku, dostaneme úhrnný roční objem prodeje. Prodané množství (objem prodeje) je typický extenzitní ukazatel. Intenzitní ukazatele vyjadřují úroveň neboli intenzitu daného jevu – typickým intenzitním ukazatelem je jednotková cena (dalšími příklady jsou produktivita práce, efektivita výroby apod.) Intenzitní ukazatele nelze sčítat. Pokud však jde o veličinu stejnorodou (například ceny výrobku v různých prodejnách), lze ji průměrovat. K tomu se používá vážený aritmetický průměr: n
pj qj p
j 1 n
qj j 1
kde:
pj … hodnoty intenzitní veličiny (jednotkové ceny) qj … hodnoty extenzitní veličiny (prodané množství)
Jak je vidět z předchozího vzorce, intenzitní a extenzitní veličiny se často vyskytují ve dvojici, kde určují intenzitu a kvantitu daného jevu (např. cenu a prodané množství, produktivitu práce a odpracovaný počet hodin apod.). Odpovídající hodnotu veličiny 2
intenzitní p a extenzitní q lze násobit, přičemž vznikne nová souhrnná extenzitní veličina, kterou obvykle označujeme Q:
Q
p q
Tuto veličinu Q lze opět sčítat, a to i v případě nestejnorodých veličin q. Pokud například extenzitní veličina q vyjadřuje objem prodeje jednoho druhu zboží v kusech a intenzitní veličina p jeho jednotkovou cenu, bude souhrnná extenzitní veličina Q p q vyjadřovat celkovou tržby za tento druh zboží. Všimněte si, že tuto veličinu lze skutečně sčítat i v případě nesourodých vstupů (např. sečtením tržeb za jednotlivé výrobky dostaneme celkovou tržbu prodejny). V praxi často potřebujeme zjistit, zda se dané sledované ukazatele (objem prodeje, jednotková cena, tržba) změnily. Tato informace je mnohdy důležitější nežli vlastní absolutní hodnota dané veličiny. Při zkoumání rozdílnosti daného ukazatele tedy porovnáváme jeho hodnotu ve dvou různých situacích. Existují tři základní druhy srovnání: • • •
časové – srovnáváme daný ukazatel ve dvou různých časech (např. zisk podniku v roce 2010 a 2011); prostorové – srovnáváme daný ukazatel na dvou různých místech (např. zisk dvou různých podniků); druhové – srovnáváme daný ukazatel u dvou různých druhů (např. zisk podniku dosažený při výrobě dvou různých výrobků).
Srovnání hodnot ukazatele může být absolutní a relativní. Při absolutním srovnávání nás zajímá, o kolik se daná veličina změnila, při relativním kolikrát (nebo o kolik procent). K absolutnímu porovnání dvou hodnot téhož ukazatele používáme jejich rozdíl – tzv. diferenci: q
kde:
q1 q0
Δq … diference q0 … hodnota veličiny v základním období 0 q1 … hodnota veličiny v běžném období 1
(analogicky pro srovnávání prostorové nebo druhové) Diference jako absolutní ukazatel vychází ve stejných hodnotách jako původní veličina – pokud tedy srovnáváme například výrobu v kusech, bude diference opět v kusech. Vzorec pro diferenci byl uveden pro příklad extenzitní veličiny q. Stejným způsobem však lze absolutně srovnávat i intenzitní veličiny p nebo souhrnné extenzitní veličiny Q. 3
Základním ukazatelem relativního porovnání dvou hodnot stejné veličiny je jejich podíl – tzv. index: Iq
q1 q0
Index je bezrozměrná veličina, nemá tedy žádnou jednotku. Obvykle však bývá uváděn v procentech (%), pokud hodnotu z výše uvedeného vzorce vynásobíme 100. Jinými slovy: index 1,1 je totéž jako 110 %. Jiným často používaným ukazatelem relativního porovnání je relativní přírůstek dané veličiny – tzv. míra změny: q
q1 q0 q0
Iq 1
I tento ukazatel lze uvádět buď v bezrozměrném tvaru, nebo v procentech. Index 1,1, resp. 110%, představuje relativní přírůstek +10 %. Nejpoužívanějšími z uvedených typů ukazatelů jsou časové indexy. Proto bude zbytek této kapitoly věnován právě jim.
1.2 Individuální a souhrnné indexy Následující část kapitoly vás seznámí s individuálními indexy. Individuální indexy vznikají porovnáváním stejnorodých veličin (například ceny a prodeje jednoho typu výrobku). Tyto indexy mohou být buď jednoduché, pokud se zabývají vývojem ukazatelů z jednoho zdroje (například v jedné prodejně), nebo složené, pokud sumarizují nebo průměrují hodnoty z více zdrojů (z více prodejen). Individuální indexy jednoduché vznikají porovnáním stejnorodých ukazatelů získaných z jednoho zdroje (prodej, ceny a tržby v rámci jedné prodejny), a to jak ukazatelů extenzitních q, intenzitních p, tak souhrnného ukazatele extenzitního Q. Představte si, že sledujeme vývoj prodeje, cen a tržeb u konkrétního jednoho výrobku v jedné prodejně. Pak se můžeme ptát: • • •
jak se změnil objem prodeje sledovaného výrobku – Iq; jak se změnila cena sledovaného výrobku – Ip; jak se změnila tržba za sledovaný výrobek – IQ.
Mezi individuálními indexy Ip, Iq a IQ platí podobný vztah jako mezi odpovídajícími veličinami p, q a Q:
IQ
Ip Iq 4
Vzroste-li tedy jednotková cena výrobku o 10% a prodané množství rovněž o 10%, tržba nevzroste o 20%, ale o 21%, jak se lze přesvědčit jednoduchým výpočtem: IQ = 1,1 . 1,1 = 1,21 Individuální indexy složené porovnávají stejnorodé ukazatele získaných z více zdrojů – například prodej daného výrobku ve více prodejnách. Extenzitní veličiny lze sčítat, takže porovnáváme jejich úhrny, intenzitní veličinu (cenu) musíme průměrovat. Představte si, že sledujeme vývoj prodeje, cen a tržeb u konkrétního jednoho výrobku ve třech prodejnách. Pak se můžeme ptát: • • •
jak se změnil celkový objem prodeje sledovaného výrobku – IΣq; jak se změnila průměrná cena sledovaného výrobku - Ip ; jak se změnila celková tržba za sledovaný výrobek - IΣQ.
Pro pořádek si nyní uvedeme vzorce pro všechny tři typy složených individuálních indexů: a) složený index pro extenzitní veličinu q: q1 q0
I q
b) složený index pro intenzitní veličinu p:
Ip
p1q1 q1 p0 q0 q0
p1 p0
c) složený index pro extenzitní veličinu Q: I Q
Q1 Q0
p1q1 p0 q0
Jak lze ověřit, i mezi složenými individuálními indexy platí obdobný vztah jako mezi individuálními indexy:
I Q
Ip I q
Vývoj tržby vyjádřený indexem IΣQ může být tedy vysvětlen současnou změnou dvou faktorů: •
změnou průměrné ceny p – pomocí složeného indexu Ip ;
•
změnou objemu prodeje Σq – pomocí složeného indexu IΣq.
5
Individuální indexy slouží k porovnávání stejnorodých veličin (například ceny a prodeje jednoho typu výrobku). Co však v případě, kdy potřebujeme jediným ukazatelem vyjádřit vývoj skupiny různorodých veličin (například nákupního koše nebo výroby ve firmě, která nabízí několik produktů)? Pro tento účel byly vyvinuty indexy souhrnné. Souhrnné indexy se používají v případě, že chceme vyjádřit vývoj různorodých veličin (například cenu týdenního nákupu v samoobsluze). V takovém případě nelze sčítat jednotlivé extenzitní veličiny q (množství jednotlivých nakoupených druhů zboží), neboť jednotlivé hodnoty mají obecně různé jednotky. Naši předkové už dávno věděli, že nelze sčítat hrušky a jablka. Toto úsloví zcela vystihuje situaci, kdy nastupují souhrnné indexy. Řešením je spočítat pro jednotlivé složky souhrnnou extenzitní veličinu Q, kterou již lze sčítat (představuje cenu nákupu), a tuto hodnotu poté porovnávat. Souhrn nestejnorodých výrobků, produktů apod., které zkoumáme společně, nazýváme v ekonomii často koš – například mluvíme o spotřebním koši, výrobním koši, koši akcií atd. Budeme proto tento termín používat i v této kapitole. Hodnotu koše vyjadřuje souhrnná extenzitní veličina ΣQ. Je to vlastně hodnota všech výrobků (produktů, akcií, atd.), které tento koš tvoří. Index vyjadřující vývoj této veličiny se proto nazývá (souhrnný) hodnotový index: IH
Q1 Q0
p1q1 p0 q0
Tento index je analogií složeného indexu pro extenzitní veličinu Q u individuálních indexů. Neboť nelze sčítat jednotlivé extenzitní veličiny q, tedy nelze určit hodnotu Σq, nelze ani najít analogie pro složené indexy IΣq a Ip . Přesto může být vývoj hodnoty koše podobně jako v případě individuálních složených indexů způsoben změnou dvou faktorů: • •
změnou jednotkových cen jednotlivých složek koše p; změnou objemu (množství) jednotlivých složek koše q.
Hodnotový index proto rozložíme na index cenový Ip a objemový Iq, které nám již umožní analyzovat vliv obou veličin (ceny p a množství q) samostatně.
1.3 Postupný rozklad indexů Pro rozklad hodnotového indexu IH na index cenový Ip a objemový Iq můžeme použít metodu postupného rozkladu, kdy budeme postupně měnit nejprve jednu a pak druhou veličinu (tj. cenu a objem). Dostaneme tak dva možné rozklady. 6
Jeden z nich je: IH
Q1 Q0
p1q1 p0 q0
p1q0 p0 q0
p1q1 p1q0
Ip ( L ) Iq ( P )
V tomto případě jsme nejprve změnili jednotkové ceny, poté teprve strukturu spotřebního koše. V ekonomické teorii tomuto postupu odpovídá zpoždění poptávky za nabídkou. V rozkladu se objeví fiktivní hodnota Σp1q0, která by představovala cenu koše v případě, že by došlo ke změně jednotkových cen složek koše, ale skladba koše by se zatím nezměnila. Index Ip ( L )
p1q0 se nazývá Laspeyresův cenový index. Vyjadřuje vliv změny cen na vývoj p0 q0
hodnoty koše v případě, že se skladba koše nezměnila a zůstala na úrovni q0. Druhý index, p1q1 , je takzvaný Paascheho objemový index. Ten vyjadřuje naopak vliv změny Iq ( P ) p1q0 složení na vývoj hodnoty koše, pokud ceny složek koše uvažujeme na současné hladině p1. Obdobně můžeme provést i druhý postupný rozklad hodnotového indexu, tentokrát pořadí změn zaměníme – nejprve změníme složení koše, poté teprve ceny: IH
Q1 Q0
p1q1 p0 q0
p1q1 p0 q1
p0 q1 p0 q0
Ip ( P ) Iq ( L )
V této verzi rozkladu se objeví fiktivní hodnota Σp0q1, která představuje cenu koše v případě, že došlo ke změně složení koše, ale cenová hladina se nezměnila. V ekonomické teorii tomuto postupu odpovídá zpoždění nabídky za poptávkou. Index Ip ( P )
p1q1 se nazývá Paascheho cenový index. Vyjadřuje vliv změny cen na vývoj p0 q1
hodnoty koše v případě, že skladba koše byla již od počátku na úrovni q1. Index Iq ( L )
p0 q1 p0 q0
je Laspeyresův objemový index a vyjadřuje vliv změny složení na vývoj hodnoty koše v případě, že se ceny složek koše nezmění a zůstanou na základní hodnotě p0. Oba rozklady můžeme zobrazit v podobě „magického“ kosočtverce. Vrcholy kosočtverce představují obě reálné a fiktivní tržby, strany kosočtverce vyjadřují obě možné varianty cenového a objemového indexu, které dostaneme, když vydělíme tržby na opačných vrcholech těchto stran.
7
Obr. 6.1 Magický kosočtverec pro rozklad hodnotového indexu Hlavní (vodorovnou) úhlopříčku magického kosočtverce představují reálné tržby, vedlejší (svislou) tržby fiktivní. Hodnotový index IH získáme jako podíl protilehlých tržeb na hlavní úhlopříčce. Oba uvedené rozklady hodnotového indexu jsou rovnocenné. V reálné situaci se ceny p i prodané množství q mění spojitě, nikoliv postupně. Pokud oba rozklady vedou ke stejným nebo obdobným výsledkům, lze je zevšeobecnit. V tom případě můžeme spočítat tzv. Fisherovy indexy jako geometrické průměry indexů Laspeyresova a Paascheho. Fisherův cenový index se spočítá jako: Ip ( F )
Ip ( L ) Ip ( P )
Obdobně Fisherův objemový index se spočítá jako: Iq ( F )
Iq ( L ) Iq ( P )
Pokud si však závěry obou rozkladů odporují, je jejich interpretace složitější, pokud má vůbec smysl. Obdobně jako hodnotový index v případě koše různorodých veličin můžeme rozložit také složený index průměrné ceny Ip v případě stejnorodých veličin. Změna tohoto indexu může být způsobena ze dvou příčin: • •
změnily se jednotlivé hodnoty úrovně intenzitního ukazatele p při stálém složení; změnila se struktura, tj. jednotlivé hodnoty množství extenzitního ukazatele q.
Konkrétně to například znamená, že vývoj průměrné ceny prodávaného produktu může být ovlivněn jak změnou jednotkových cen v jednotlivých prodejnách, tak změnou struktury prodeje, tj. počtem prodaných výrobků v jednotlivých prodejnách. Proto index Ip nazýváme rovněž index proměnlivého složení (IPS). 8
Abychom postihli vliv obou vstupních ukazatelů (p a q) na index proměnlivého složení, rozložíme ho na dva samostatné indexy tak, aby se v každém z nich měnila hodnota pouze jedné veličiny. Jeden z možných rozkladů je:
Ip
p1 p0
p1q1 q1 p0 q0 q0
p1q0 q0 p0 q0 q0
p1q1 q1 p1q0 q0
p1q0 p0 q0
p1q1 q1 p1q0 q0
(0) (1) I SS I STR
p1q0 se nazývá index stálého složení. Představuje vliv vývoje jednotlivých p0 q0
(0) Výraz I SS
jednotkových cen na výslednou průměrnou cenu předpokladu, že by složení prodeje (prodané množství q) zůstalo na základní hodnotě. p1q1 p1q0 se nazývá index struktury. Představuje vliv vývoje struktury : q1 q0
(1) Výraz I STR
prodeje na výslednou jednotkovou cenu za předpokladu, že by ceny prodeje p byly hned od počátku na současné, tj. běžné hladině. Zcela analogicky lze vytvořit i druhý postupný rozklad:
Ip
p1 p0
p1q1 q1 p0 q0 q0
p1q1 q1 p0 q1 q1
(1) Vzniklý index stálého složení I SS
p0 q1 q1 p0 q0 q0
p1q1 p0 q1
p0 q1 q1 p0 q0 q0
(1) (0) I SS I STR
p1q1 opět předpokládá, že se mění pouze jednotkové p0 q1
ceny, ale struktura prodeje je hned od počátku na současných hodnotách (q1). (0) Obdobně index struktury I STR
p0 q1 p0 q0 uvažuje fiktivní situaci, kdy by se měnila : q1 q0
pouze struktura prodeje, ale ceny by zůstaly stejné, na základní úrovni (p0). Existují tedy opět dva rovnocenné rozklady, které rozkládají index proměnlivého složení na index stálého složení a index struktury. Tyto rozklady můžeme stejně jako v případě hodnotového indexu znázornit pomocí „magického“ kosočtverce.
9
Obr. 6.2 Magický kosočtverec pro rozklad indexu proměnlivého složení
1.4 Časové řady indexů Časové řady jsou jedním ze základních nástrojů ekonomické statistiky. Slouží k vyjádření časového vývoje, tedy dynamiky zkoumaných ukazatelů, například ceny, životní úrovně, nezaměstnanosti apod. Lze bez nadsázky říci, že s časovými řadami se budete ve své praxi setkávat často, ať již bude zaměření Vaší profese jakékoliv. Časové řady vytvářejí spojení mezi stejnorodými údaji získanými v různých dobách, které umožňují sledovat vývoj daného ukazatele, případně prognózovat chování tohoto ukazatele do budoucna. Na časovou řadu daného sledovaného ukazatele můžeme hledět jako na dvourozměrný statistický soubor, kde jedním sledovaným znakem je čas, druhým daný ukazatel. Jako každý statistický soubor můžeme časovou řadu vyjádřit pomocí tabulky nebo grafu. ROK 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 HDP
2577 2815 2984 3222 3536 3689 3628 3668 3807 3844
Obr. 6.3 Tabulka a graf časové řady ročních HDP České republiky (v mld. Kč brutto) 10
V úvodní části této kapitoly jsme se seznámili s indexy. Indexy obvykle vyjadřují srovnání určité veličiny v čase, a proto mohou být řazeny do časových řad. Existují přitom dva způsoby, jak řadu indexů spočítat: • •
jako řadu indexů bazických – bazické indexy v celé řadě jsou vztažené ke stejnému základnímu období; jako řadu indexů řetězových – řetězový index je vztažen vždy k předchozí hodnotě řady.
Pokud tedy všechny hodnoty ukazatele dělíme hodnotou tzv. základního období 0 (obvykle to bývá první hodnota řady, ale nemusí být pravidlem), získáme řadu bazických indexů: q q1 q2 q3 , , , ... , n q0 q0 q0 q0
Bazické indexy tvoří řadu, jejíž průběh je shodný s průběhem řady původních ukazatelů, liší se pouze měřítko hodnot. Pokud každou hodnotu ukazatele v řadě dělíme hodnotou předchozí, získáme řadu řetězových indexů: q q1 q2 q3 , , , ... , n q0 q1 q2 qn 1
Řetězové indexy mají charakter koeficientů růstu – představují vývoj změn daného ukazatele: • • •
I > 1 … ukazatel roste; I < 1 … ukazatel klesá; I = 1 … ukazatel stagnuje.
V praxi často řady bazických indexů převádíme na řetězové nebo obráceně, případně u řady bazických indexů měníme základní období. K tomu lze využít následující vztahy mezi indexy: qk q0
q q1 q2 q3 ... k q0 q1 q2 qk 1
případně obráceně:
qk qk 1
qk q0 qk 1 q0
11
Paascheho a Laspeyresovy indexy (cenové a objemové), které jsme si uvedli v této kapitole, nemají charakter řetězových indexů, nelze je tedy jednoduše zřetězit. Naopak hodnotový index zřetězit lze.
12
Vyzkoušejte si sami 1. V lednu 2011 stála kniha 850 Kč. V tomto měsíci se jí prodalo 40 ks. V měsíci dubnu 2011 došlo ke snížení ceny na 600 Kč. V témže měsíci se prodalo 55 ks této knihy. Porovnejte vývoj prodeje knihy mezi oběma měsíci pomocí extenzitních, intenzitních a souhrnných extenzitních ukazatelů. 2. Tabulka uvádí vývoj ceny a prodaného množství mléka (jednotka = 1 litr) ve třech prodejnách A, B a C za dva měsíce – březen a duben 2012. MÍSTO CENA PRODANÉ MNOŽSTVÍ PRODEJE březen 12 duben 12 březen 12 duben 12 p0 p1 q0 q1 A 10 12 100 80 B 15 15 100 120 C 13 15 120 100 a) Určete pomocí indexů vývoj celkového prodaného množství, vývoj průměrné ceny a vývoj celkové tržby. b) Zjistěte, jaký vliv měl na změnu průměrné ceny mléka vývoj jednotkových cen a jaký změna struktury prodeje. c) Zjistěte, jaký vliv měl na změnu celkové tržby za prodej mléka vývoj jednotkových cen a jaký změna objemu prodeje. 3. Tabulka 5.3 ukazuje stav korunových vkladů domácností v České republice v mld. Kč. rok
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
index
184,0
220,7
260,2
316,1
376,2
454,7
527,3
Převeďte hodnoty v této tabulce na indexy: a) bazické se základním rokem 1990; b) bazické se základním rokem 1995; c) řetězové.
13
14
