Indexy a diference
Téma 6: Indexy a diference Přednáška 19 – Individuální indexy a diference Základní pojmy Vedle elementárního statistického zpracování dat se hromadné jevy analyzují tzv. srovnáváním různých ukazatelů. Statistický ukazatel - proměnná veličina (znak), která kvantitativně popisuje hromadný jev. Z věcného hlediska se ukazatele se dělí na:
extenzitní ukazatele - objem množství, velikost, hodnota, … , ozn. q resp. Q
intenzitní ukazatele - poměr 2 extenzitních ukazatelů = úroveň, … , ozn. p p=
Q q
např.: prům. náklady = celkové náklady / objem produkce produktivita = hodnota produkce / počet pracovníků tržba = cena x velikost produkce Pro srovnávání hodnot ukazatelů je důležitá jejich stejnorodost z hlediska jejich věcného obsahu -
extenzitní ukazatel je stejnorodý, pokud jeho hodnoty lze sčítat (např. denní produkce podniku ; hodnota vkladů na určitý typ účtů, …)
-
intenzitní ukazatel je stejnorodý, pokud je podílem 2 extenzitních stejnorodých veličin (např. hektarový výnos cukrovky ; produktivita práce v podniku, …)
Jako prostředky ke srovnávání hodnot ukazatelů slouží indexy a diference.
absolutní srovnání (pomocí rozdílů) → diference ∆u = u1 – u2,
relativní srovnání (pomocí podílů) → indexy
u iu = u1 , 0
kde u1 a u0 jsou hodnoty 1 ukazatele ve vztahu k času, prostoru nebo druhu (při srovnávání v čase používáme označení: 0 … základní období; 1 … běžné období)
- 81 -
Indexy a diference Podle vymezení veličin rozdělujeme indexy a diference na:
časové → srovnání 2 hodnot 1 ukazatele ve 2 časových bodech resp. intervalech, vymezení prostorové a věcné je shodné (např.: hodnota vývozu v r. 98 a 99 v ČR ; počet nových bytů v ČR v r. 96 a 98),
prostorové
→ srovnání 2 hodnot 1 ukazatele ve 2 místech resp. oblastech , vymezení
časové a věcné je shodné (např.: cena benzinu v 11/99 v Brně a Ostravě ; počet bytů na 10 tis. obyv. v r. 98 v Praze a v Brně),
věcné → srovnání 2 hodnot 2 ukazatelů, vymezení časové a prostorové je shodné (např.: prodej mobil. telefonů Pegas a Eurotel v r. 99 v ČR ; prodej tuzemských a zahraničních aut v r. 98 v ČR).
Podle věcného obsahu ukazatelů dělíme indexy a diference na:
objemové → srovnávají 2 hodnoty extenzitního ukazatele,
úrovňové → srovnávají 2 hodnoty intenzitního ukazatele.
Klasifikace indexů a diferencí individuální (jednoduché a složené) … pro stejnorodé ukazatele souhrnné (jednoduché a složené)
…
pro různorodé ukazatele
Individuální jednoduché indexy a diference → popis veličiny, která je dále nedělitelná (ozn. i). Individuální složené a souhrnné indexy a diference → popis veličiny, jejíž hodnoty jsme před srovnáváním shrnuli (ozn. I).
výběrové → získané z výběrových šetření, slouží ke konstrukci odhadů
popisné → srovnávací, slouží ke srovnání hodnot jen ve srovnávané situaci
Vlastnosti indexů Kvalita použitých indexů se posuzuje pomocí 5 tzv. Fisherových testů (axiomů)
test záměny času … I1/0 ⋅ I0/1 = 1
test okružnosti (řetězení) … I1/0 ⋅ I2/1 ⋅ I3/2 ⋅ … ⋅ I0/n = 1
test interkalace … Im/k ⋅ Ik/j = Ik/j ⋅ Im/k = Im/j
test identity
test souměřitelnosti
- 82 -
Indexy a diference Individuální jednoduché indexy a diference
srovnávají 2 hodnoty 1 stejnorodého ukazatele ve 2 situacích → hodnoty jsou dále nedělitelné a) objemové
iq =
q1 q0
resp.
∆q = q1 – q0
b) úrovňové
ip =
p1 p0
iQ =
Q1 Q0
resp. ∆Q = Q1 – Q1
resp.
∆p = p1 – p0
V delším časovém období můžeme charakterizovat vývoj sledovaného ukazatele časovou řadou individuálních jednoduchých indexů. Podle toho, jaké období považujeme za základní, rozlišujeme bázické indexy - indexy se stálým základem u u i1/ 0 = u1 ; i2 / 0 = u 2 ; … 0 0
u ; in / 0 = u n 0
řetězové indexy - indexy s pohyblivým základem u u u u i1/ 0 = u1 ; i2 / 1 = u2 ; i3 / 2 = u 3 ; … ; in / n−1 = u n n −1 1 2 0 Vztah mezi bazickými a řetězovými indexy:
bazické získáme z řetězových součinem → mějme řetězové indexy i1/0 ; i2/1 ; i3/2 ; … ; in/n-1, potom i1/0 = i1/0 ; i2/0 = i2/1 ⋅ i1/0 ; i3/0 = i3/2 ⋅ i2/1 ⋅ i1/0 ; … ; in/0 = in/n-1 ⋅ … ⋅ i2/1 ⋅ i1/0
řetězové získáme z bazických podílem → mějme bazické indexy i1/0 ; i2/0 ; i3/0 ; … ; in/0, potom i1/0 = i1/0 ; i2 / 1 =
i i2 / 0 i ; i3 / 2 = 3 / 0 ; … ; in / n−1 = n / 0 i1/ 0 i2 / 0 in−1 / 0
Individuální složené indexy a diference Předpokládají stejnorodost ukazatelů (extenzitních i intenzitních) a existenci dílčího členění hodnot ukazatelů (hodnotu sledovaného ukazatele dostaneme jako úhrn hodnot dílčích ukazatelů za části sledovaného celku). Individuální složené indexy a diference se tvoří odlišně pro - 83 -
Indexy a diference a) extenzitní ukazatele - objemové indexy a diference jsou I (Σq ) =
Σq1 Σq0
I ( ΣQ ) =
resp.
∆ (Σq ) = Σq1 − Σq0
ΣQ1 ΣQ0
∆ (ΣQ ) = ΣQ1 − ΣQ0 .
resp.
b) intenzitní ukazatele Souhrny hodnot dílčích ukazatelů intenzitního typu nelze získat sčítáním, ale pomocí průměrných hodnot těchto ukazatelů, tj. p = úrovňové indexy a diference jsou I ( p ) =
ΣQ Q , kde q = pq resp. q = . Potom p Σq
p1 p0
resp.
∆( p ) = p1 − p0 .
Všechny 3 indexy, tj. I (Σq ) , I (ΣQ ) a I(p) , lze uvádět též v průměrových tvarech pomocí aritmetického resp. harmonického průměru:
jsou-li k dispozici údaje jen pro základní období a individuální jednoduché indexy iq resp. iQ , potom vyjádříme indexy I (Σq ) a I (ΣQ ) ve tvaru aritmetického průměru I (Σq ) =
Σ iq ⋅ q 0 Σq 0
resp.
I ( ΣQ ) =
Σ iQ ⋅ Q0 ; ΣQ0
jsou-li k dispozici údaje jen pro běžné období a individuální jednoduché indexy iq resp. iQ, potom vyjádříme indexy I (Σq ) a I (ΣQ ) ve tvaru harmonického průměru I ( Σq ) =
Σq1 q Σ 1 iq
resp.
I ( ΣQ ) =
ΣQ1 ; Q1 Σ iQ
index proměnlivého složení lze vyjádřit ve tvaru I ( p) =
Σp1q1 Σp0 q0 : Σq1 Σq0
resp.
- 84 -
I ( p) =
ΣQ1 ΣQ0 : . Q1 Q0 Σp Σp 1 0
Indexy a diference Přednáška 20 - Souhrnné indexy a diference
Dělí se na jednoduché a složené, my se budeme zabývat pouze jednoduchými, pomocí nichž srovnáváme souhrnně hodnoty nestejnorodých (extenzitních i intenzitních) veličin na určitém celku, který není dále tříděn na dílčí části. Je možné je rozdělit na: 1. cenové
(intenzitní ukazatele, úrovňové indexy a diference)
2. objemové (extenzitní ukazatele, objemové indexy a diference) Souhrnné cenové indexy a diference Historickému vývoji odpovídají 3 generace indexů:
1. generace : vycházejí z prostých tvarů charakteristik úrovně, tj. z prostého aritmetického, geometrického, harmonického průměru, mediánu a modu → např. cenový index ve tvaru aritmetického průměru
n p I (pa ) = 1n ∑ p1 = 1 ∑ i p , n 0 i =1
geometrického průměru
I (pg ) =
n
n
p1
∏p i =1
0
=
n
∏i
p
, kde n je počet položek.
V současné době se příliš nepoužívají, protože -
neuvažují vývoj extenzitní veličiny q (objem výroby)
-
index ve tvaru aritm. průměru nesplňuje test záměny času (index ve tvaru geom. průměru ano !)
2. generace : vycházejí z vážených tvarů charakteristik úrovně, tj. z váženého aritmetického, geometrického, harmonického průměru, mediánu a modu Laspeyresův index a diference → objem výroby q se uvažuje ze základního období Laspeyresův index
I (pL ) =
∑pq ∑p q
1 0 0
-
0
srovnává hodnotu produkce (Q = p.q) základního období oceněnou cenami běžného období s hodnotou téže produkce vyjádřenou v cenách základního období, tj. ukazuje změnu hodnoty produkce v důsledku změny cen za předpokladu, že objem výroby zůstane na úrovni základního období (určuje relativní změnu ceny při stálém objemu výroby ze základního období) - 85 -
Indexy a diference -
nesplňuje test záměny času ; vzhledem ke konstrukci nadhodnocuje skutečnost ∆( Lp ) = ∑ p1q0 − ∑ p0 q0
Laspeyeresova diference -
udává absolutní změnu hodnoty produkce základního období vyjádřené v cenách běžného období proti skutečnosti v základním období
Paascheho index a diference → objem výroby q se uvažuje z běžného období Paascheho index
I (pP ) =
∑pq ∑p q
1 1 0 1
-
srovnává hodnotu produkce (Q = p.q) běžného období s hodnotou téže produkce vyjádřenou v cenách základního období, tj. ukazuje změnu hodnoty produkce v důsledku změny cen za předpokladu, že objem výroby zvolíme na úrovni běžného období (určuje relativní změnu ceny při stálém objemu výroby z běžného období)
-
také nesplňuje test záměny času ; vzhledem ke konstrukci podhodnocuje skutečnost
Paascheho diference -
∆( Pp ) = ∑ p1q1 − ∑ p0 q1
udává absolutní změnu hodnoty produkce v běžném období proti hodnotě téže produkce běžného období vyjádřené v cenách základního období
Laspeyresovy a Paascheho cenové indexy jsou závislé na volbě vah, kterými jsou hodnoty produkce v základním (p0q0) resp. běžném (p0q1) období. Z čistě praktických důvodů se často dává přednost Laspeyresovu indexu v případě, že ceny srovnáváme v posloupnosti více let (Laspeyresův index používá totiž stále stejnou váhu p0q0, kdežto Paascheho index používá váhu p0q1, která se každý rok mění - statistická ročenka ČR používá Laspeyresovy indexy, váhy se mění cca za 5 let). Pro indexy obecně platí I ( P ) ≤ I ( L ) . Oba indexy nesplňují kromě jiného i test záměny času. Indexy tohoto typu nelze mezi sebou násobit a vytvářet z nich řady bázických a řetězových indexů. Tento problém řeší indexy 3. generace.
3. generace : závislost indexů na volbě vah je řešená buď zprůměrováním vah nebo zprůměrováním indexů Na zprůměrování vah je založen tzv. Edgeworthův index a diference I (pE ) =
∑ p (q ∑ p (q 1
0
+ q1 )
0
0
+ q1 )
- 86 -
,
Indexy a diference ∆( Ep ) = 1 [∑ p1 (q0 + q1 ) − ∑ p0 (q0 + q1 )] . 2 Na zprůměrování indexů je založen tzv. Fisherův index a diference I (pF ) =
p1q0 p1q1 , p0 q0 ⋅ p0 q1
I (pL ) ⋅ I (pP ) =
∆( Fp ) = 1 (∆( Lp ) + ∆( Pp ) ) . 2
Užití cenových indexů: a) ve sféře spotřebitelské – spotřebitelské ceny, životní náklady, … b) ve sféře výrobní – směnné relace, výrobní náklady, … c) ve sféře zahraničního obchodu – vývoz, dovoz d) ve sféře akcií – vývoj kurzů Souhrnné objemové indexy a diference V praxi nás vedle vývoje cen zajímá také vývoj vytvořené produkce (q). K tomu slouží objemové indexy a diference. Podstatou souhrnných objemových indexů a diferencí je převod nestejnorodé (nesčitatelné) veličiny q na veličinu stejnorodou (srovnatelnou), nejčastěji pomocí ceny. Laspeyresův index a diference → cena p se uvažuje ze základního období
∑q p ∑q p = ∑q p − ∑q I (qL ) =
∆(qL )
1
1
0
0
0
0
0
p0
Vyjadřují relativní (resp. absolutní) změnu objemu produkce (q) při cenové hladině základního období. Paascheho index a diference → cena p se uvažuje z běžného období
∑q p ∑q p = ∑q p − ∑q I (qP ) =
∆(qP )
1
1
1
1
0
1
0
p1
Vyjadřují relativní (resp. absolutní) změnu objemu produkce (q) při cenové hladině běžného období.
- 87 -
Indexy a diference Fisherův index a diference I (qF ) =
I (qL ) ⋅ I (qP ) =
∑q p ⋅ ∑q p ∑q p ∑q p 1
0
1
1
0
0
0
1
∆(qF ) = 1 (∆(qL ) + ∆(qP ) ) 2
Průměrové tvary indexů Pokud nejsou k dispozici všechny údaje o cenách a výrobě (p0, p1, q0, q1), ale jsou známé hodnoty produkce (Q0, Q1) a individuální indexy (ip, iq), potom lze ceny resp. objemy výroby dopočítat nebo využít přímo průměrové tvary indexů. Laspeyresovy indexy – známá hodnota produkce Q0 a individuální indexy ip resp. iq
I (pL ) =
I
( L) q
∑ p1q0
∑ p0 q0
∑q p = ∑q p
p1
∑p pq = ∑p q
0
0
0
=
0 0
∑
1
0 0
0
q1
∑i ⋅Q ∑Q p
0
0
q p q0 0 0 = = ∑ q0 p0
∑i ⋅Q ∑Q q
0
0
Paascheho indexy – známá hodnota produkce Q1 a individuální indexy ip resp. iq I (pP ) =
∑pq ∑p q
1 1
=
0 1
I q( P ) =
∑pq p ∑ p pq 1 1
0
1 1
1
∑q p ∑q p 1
1
0
1
=
∑pq pq ∑ p
= ... =
1 1 1 1 1
p0
∑Q Q ∑i
1 1
q
- 88 -
=
∑Q Q ∑i
1 1
p
