Indexy (motto: „It is commonly believed that anyone who tabulates numbers is a statistician. This is like believing that anyone who owns a scalpel is a surgeon.“ Hooke R.) Jednoduché indexy srovnávají bezprostředně dvě hodnoty téhož ukazatele. Srovnává se cena p (tzv. intenzitní ukazatel), množství q a tržby Q (Q = pq) Složené individuální indexy jsou indexy stejnorodého ukazatele (p, q nebo Q), kdy hodnoty ukazatele jsou členěny na dílčí a v rámci výpočtu indexu musíme shrnout tyto dílčí ukazatele. Používá se pro stejné sledované veličiny (stejné zboží) Souhrnné indexy se používají, jestliže není možné shrnovat dílčí ukazatele, což nejčastěji bývá z důvodu odlišnosti sledované veličiny.(různé produkované zboží). Průměrují se změny dílčích hodnot podle určitých vah. Ze souhrnných indexů používáme indexy úrovně (ceny, obecně intenzitního ukazatele) a indexy množství, které sledují objem (nejčastěji produkce). Laspeyresův index používá při průměrování jako váhu hodnoty základního období, Paascheho index používá jako váhy hodnoty běžného období. Základní období je obdobím 0, tedy jakýmsi prvotním rokem. Běžné období je období 1, obecně aktuálním obdobím, které srovnáváme se základním.
1. Příklad V tabulce v příkladu 1 je uvedena časová řada hodnoty ukazatele v letech 1991 až 1998. Charakterizujte vývoj hodnoty ukazatele pomocí řetězových a bazických indexů (1995 = 100). t 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997
Yt 282 996 345 008 398 505 365 265 368 624 387 374 397 845
It/95 76,77 93,59 108,11 99,09 100,00 105,09 107,93
It/t-1 121,91 115,51 91,66 100,92 105,09 102,70
Bazické indexy jsou od slova „báze“ – základ. Značí se obecně It/b, kde b je bazický rok, ke kterému se hodnoty vztahují. Bazický rok je zřejmý ze zadání (zde 1995 = 100 označuje bazický rok 1995). Počítá se jako hodnota časové řady v roce, ve kterém chceme vypočítat
index, dělená hodnotou časové řady v bazickém roce. Pro t = 1991 tedy
=
0,7677. Je zvykem indexy uvádět v procentech, tedy vynásobit ještě stem (=76,77). Řetězové indexy se počítají stejně jako koeficienty růstu, tedy pro rok 1992: . Řetězový index můžeme získat též jako podíl bazických indexů v daném a předchozím roce, tedy
.
Z tohoto vztahu též můžeme vypočítat bazický index v určitém roce jako násobek bazického indexu v předchozím roce a řetězového indexu v daném roce. . Pro korektní hodnotu musíme zde vydělit stem (=93,59). Pokud jsou indexy uváděny jako normální čísla a ne v procentech, tak nevznikají problémy při jejich násobení či dělení.
2. Příklad V tabulce jsou bazické indexy počtu dokončených bytů v ČR v letech 1997 - 2000 se základem v roce 1997, a dále bazické indexy počtu dokončených bytů v letech 2000 až 2003 se základem v roce 2000. Dopočítejte chybějící bazické indexy v obou řadách. Rok I(i/97) I(i/00) 1997 100,0 1998 132,4 1999 141,6 2000 150,4 100,0 2001
98,2
2002
108,3
2003
107,6
Dva bazické indexy sledující stejnou časovou řadu mají vždy stejný poměr. I(i/97)/I(00/97) = I(i/00)/I(00/00) (Platí ale pro libovolnou dvojici bazických indexů) I(i/00) = I(i/97)/I(00/97)*I(00/00)
Pro bazický index 1999 se základem 2000 – 141,6/150,4*100 = 94,15 Pro bazický index 1998 se základem 2000 – 132,4/150,4*100 = 88,03 Pro bazický index 1997 se základem 2000 – 100/150,4*100 = 66,49 Obdobně pak: I(i/97) = I(i/00)/I(00/00)*I(00/97) Pro bazický index 2001 se základem 1997 – 98,2/100*150,4 = 147,69 Pro bazický index 2002 se základem 1997 – 108,3/100*150,4 = 162,88 Pro bazický index 2003 se základem 1997 – 107,6/100*150,4 = 161,83
3. Příklad Pan Bakala objevil na zahrádce uhlí a rozhodl se ho prodávat. V prvním roce prodal 200 tun uhlí za cenu 2000,- Kč/t. Ve druhém roce se rozhodl zvýšit cenu na 2200,-Kč/t a prodal takto 180 tun. Porovnejte změnu cen, prodaného množství a tržeb ve druhém roce oproti prvnímu. Jelikož se jedná o jednu veličinu a jedno pozorování (uhlí a jedno prodejní místo), použijí se jednoduché indexy. Ip = 2200/2000 = 1,1 (cena vzrostla o 10%) Δp = 2200 – 2000 = 200 (cena vzrostla o 200 Kč/t) Iq = 180/200 = 0,9 (objem klesl o 10%) Δq = 180 – 200 = -20 (objem klesl o 20 tun) IQ = (2200*180)/(200*2000) = 396 000/400 000 = 0,99 (tržby klesly o cca. 1%) ΔQ = 2200*180 - (2000*200) = 396 000 – 400 000 = - 4000 (tržby klesly o 4000,- Kč)
4. Příklad Panu Bakalovi však uhlí z jeho zahrádky nestačilo a tak začal těžit a prodávat i na druhé pobočce, řekněme OKD. Na základě údajů v tabulce posuďte, jak se meziročně změnily tržby, prodané množství a průměrná cena uhlí v celé jeho firmě: 1. Rok
2. Rok
Cena Prodané množství Cena Prodané množství Zahrádka
2200
210
1800
260
OKD
1800
1000
1900
1200
Jelikož se jedná o jeden druh sledované veličiny a různá pozorování (uhlí a dvě prodejní místa), použijí se složené individuální indexy.
I(Σq) = Σq1/Σq0 = 1460/1210 = 1,207 (objem vzrostl o 20,7%); Δq = Σq1 – Σq0 = 1460 – 1210 = 250 (objem vzrostl o 250 tun) I(ΣQ) = ΣQ1/ΣQ0 = (260*1800+1200*1900)/ (210*2200+1000*1800)
= 2 748 000/2
262 000 = 1,215 (tržby vzrostly o 21,5%) ΣQ1 – ΣQ0 = (260*1800+1200*1900) - (210*2200+1000*1800) = 2 748 000 - 2 262 000 = 486 000,- Kč (tržby vzrostly o 486 000,- Kč) Ip = p1/p0 = (260*1800+1200*1900)/(260+1200) / ((210*2200+1000*1800)/(210+1000) = 2 748 000/1460 / 2 262 000/1210 = 1882/1869 = 1,00696 (průměrná cena vzrostla o 0,696%) p1 – p0 = 1882 – 1869 = 13,-Kč (průměrná cena vzrostla o 13,-Kč)
5. Příklad Pan Bakala se jako správný magnát rozhodl diverzifikovat své portfolio a kromě prodeje uhlí začal prodávat ruskou ropu. Pomocí všech možných indexů posuďte na základě údajů z tabulky, jak se změnily ceny a jak se změnil objem prodaného množství celé firmy ve druhém roce oproti prvnímu. 1. Rok
2. Rok
Cena Prodané množství Cena Prodané množství Uhlí
1900
1600
2000
1800
Ropa
1000
300
2000
1000
Jelikož se jedná o dva různé druhy sledované veličiny (uhlí a ropa), použijí se souhrnné indexy. Ip(l) = Σp1q0/ Σp0q0 = (2000*1600+2000*300)/(1900*1600+1000*300) = 3 800 000/3 340 000 = 1,138 (cena měřená Laspeyersovým indexem vzrostla o 13,8%) Ip(p) = Σp1q1/ Σp0q1 = (2000*1800+2000*1000)/(1900*1800+1000*1000) = 5 600 000/4 420 000 = 1,267 (cena měřená Pascheho indexem vzrostla o 26,7%) Ip(f) = √ Ip(p) *Ip(l) = 1,201 (cena měřená Fischerovým indexem vzrostla o 20,1%) Iq(l) = Σp0q1/ Σp0q0 = (1900*1800+1000*1000)/(1900*1600+1000*300) = 4 420 000/3 340 000 = 1,323 (objem prodaného množství měřený Laspeyersovým indexem vzrostl o 32,3%) Iq(p) = Σp1q1/ Σp1q0 = (2000*1800+2000*1000)/(2000*1600+2000*300) = 5 600 000/3 800 000) = 1,474 (objem prodaného množství měřený Laspeyersovým indexem vzrostl o 47,4%)
Iq(f) = √ Iq(p) *Iq(l) = 1,396 (objem prodaného množství měřený Fischerovým indexem vzrostl o 39,6%)
6. Příklad Porovnejte cenu za kilogram prášku na praní značky Azurit a Obyčejný Prací Prášek, jestliže prášku Azurit se prodalo o 2% méně než OPP a tržba z prodeje prážku Azurit byla o 10% vyšší než tržba z prodeje prášku OPP. p Alfa Beta p = Q/q Alfa = 1,122 Beta = 1
q 0,98 1
Q 1,1 1
