5.2.7
Odchylka přímky a roviny
Předpoklady: 5202, 5206 Jak odchylka přímky a roviny? Co by měla definice splňovat: • podobně jako u ostatních věcí ji musíme převést na něco co už umíme (asi odchylku dvou přímek), • měla by být jednoznačná, • měla by dávat očekávané výsledku u „jasných“ případů (přímka rovnoběžná a kolmá k rovině). ⇒ K přímce přidáme její kolmý průmět do roviny a určíme odchylku těchto přímek. A p A’
Selže někdy tento postup? Když je přímka kolmá k rovině, jejím průmětem je pouze bod ⇒ nepůjde to spočítat přes odchylku přímek ⇒ odchylku musíme stanovit přímo. Není-li přímka kolmá k rovině, je odchylka přímky a roviny rovna odchylce přímky a jejího pravoúhlého průmětu do této roviny. Je-li přímka kolmá k rovině, je její odchylka 90° . Př. 1:
Je dána standardní krychle ABDCEFGH. Urči odchylku: a) přímky EG a roviny ABC, b) přímky FB a roviny ABC, c) přímky AF a roviny ABC.
a) Odchylka přímky EG a roviny ABC. H G
E
F
D
A
Přímka EG leží v rovině EFG, která je rovnoběžná s rovinou ABC ⇒ přímka EG je rovnoběžná s rovinou ABC ⇒ odchylka přímky EG od roviny ABC je 0° .
C
B
1
b) Odchylka přímky FB a roviny ABC. H G
E
F Přímka FB je kolmá k rovině ⇒ odchylka přímky FB od roviny ABC je 90° .
D
A
C
B
c) Odchylka přímky AF a roviny ABC. H G
E
F
D
A
Kolmým průmětem přímka AB do roviny ABC je přímka AB ⇒ odchylka přímek AF a AB je 45° ⇒ odchylka přímky AF od roviny ABC je 45° .
C
B
Pedagogická poznámka: Všechny body předchozího příkladu by studenti měli vyřešit zpaměti bez pomoci obrázků. Odchylka přímky od roviny (tedy odchylka přímky od jejího kolmého průmětu do této roviny) je rovna nejmenší odchylce přímky od libovolné přímky v rovině.
Pedagogická poznámka: Předchozí poznámku je dobré demonstrovat pomocí modelu v Carbi3D. Př. 2:
Je dána standardní krychle ABDCEFGH. Urči odchylku: a) přímky EC roviny ADE, b) přímky S AE S FG a roviny CDG, c) přímky S AC F a roviny ABE.
a) Odchylka přímky EC a roviny ADE.
2
H
G
E
F Kolmým průmětem přímky EC do roviny ADE je přímka ED ⇒ odchylku určíme pomocí obdélníku CDEF.
D
C
A E
F
B Velikost úhlu můžeme určit z pravoúhlého DC trojúhelníku EDC: tg ϕ = . DE
Velikost strany ED (úhlopříčka čtverce):
ED = a 2 + a 2 = 2a 2 = a 2 . tg ϕ =
DC DE
=
a a 2
=
1 ⇒ ϕ = 35°16′ 2
a C D Odchylka přímky EC a roviny ADE se rovná 35°16′ . b) Odchylka přímky S AE S FG a roviny CDG. H G
E
F
SDH
SFG Kolmým průmětem přímky S AE S FG do roviny CDG je přímka S DH G ⇒ odchylku určíme
SAE
A SDH a 2 S
SAE
D
pomocí obdélníku S AE FGS DH .
C
B G
a SFG
Velikost strany S DH G ze čtverce CDG:
F
3
Velikost úhlu můžeme určit z pravoúhlého SS DH trojúhelníku SS DH G : tg ϕ = . S DH G
H a 2 SDH
D
a
G
x
C 2
2 2 a S DH H + HG = + a 2 2 . 5 a 2 + 4a 2 = =a 4 2
S DH G =
a 1 ⇒ ϕ = 24°6′ tg ϕ = 2 = 5 5 a 2 Odchylka přímky S AE S FG a roviny CDG se rovná 24°6′ . c) Odchylka přímky S AC F a roviny ABE. H G
E
F Kolmým průmětem přímky S AC F do roviny
ABE je přímka S AB F ⇒ odchylku určíme
D
pomocí obdélníku S AB FGSCD .
C SAC
A
SAB SCD
SAC
B G Velikost úhlu můžeme určit z pravoúhlého SS DH trojúhelníku SS DH G : tg ϕ = . S DH G Stejná situace jako v předchozím bodě ⇒ ϕ = 24°6′ .
a
a 2 SAB
F
Odchylka přímky S AC F a roviny ABE se rovná 24°6′ .
4
Př. 3:
Je dán pravidelný šestiboký jehlan ABCDEFV, se středem podstavy S. Platí: AB = a = 3cm , SV = v = 5cm . Urči odchylku přímky CS DV a roviny ABC.
V
Kolmým průmětem přímky S DV C do roviny
SDV
F
ABC je přímka CS DS (S je střed šestiúhelníku ABCDEF, kolmým průmětem úsečky DV je úsečka ) ⇒ odchylku určíme pomocí pravoúhlého trojúhelníku CS DS S DV .
E S
A
SDS
D
C
B V
E
F
SDV
S
v
x
a
B C Vzdálenost CS DS je také výškou v rovnostranném trojúhelníku se stranou a.
S SDS Z podobnosti trojúhelníků DSV a DS DS S DV v je vidět, že platí: S DV S DS = . 2 SDV
C
x
D
a D
v 2
a
a v 2
A
a SDS
A
4a 2 − a 2 3a 2 a 3 a x = a − = = = . 4 4 2 2 2
2
v S DV S DS v 5 tg ϕ = = 2 = = ⇒ ϕ = 43°54′ S DS C a 3 a 3 3 3 2
SDS
Odchylka CS DV a roviny ABC se rovná 43°54′ .
5
Př. 4:
Je dána standardní krychle ABDCEFGH. Urči odchylku přímky BH a roviny ACH.
H
G
E
F Kolmým průmětem přímky BH do roviny ACH je přímka S AC H ⇒ odchylku určíme pomocí obdélníku BFHD.
D
C SAC
A B Velikost úhlu ϕ můžeme spočítat pomocí kosinové věty z trojúhelníku S AC BH (trojúhelník nemá viditelné speciální vlastnosti ⇒ musíme určit délky všech tří stran). a 2 H F S B = a 2 (polovina úhlopříčky podstavy) AC 2 S AC H : přepona v pravoúhlém trojúhelníku S AC DH 2
a
S AC H = DS AC 2
2
a 2 2a 2 2 + DH = + a = + a2 2 4 2
3a 2 3 =a 2 2 BH : přepona v pravoúhlém trojúhelníku BFH
S AC H =
D
a 2 2
SAC
B
(
BH = BF + FH = a 2 + a 2 2
2
2
)
2
= a 2 + 2a 2
BH = 3a 2 = a 3 Kosinová věta: c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ ⇒ cos γ = 2
a2 + b2 − c 2 2ab 2
2 3 2 1 3 a + a 3 −a a2 + 3 − 2 2 2 2 S AC H + BH − S AC B 2 2 4 2 = 2 cos ϕ = = = 2 S AC H BH 6 2 3 3 2a 2 a ⋅ a 3 2 2 2 2 ⇒ ϕ = 19°28′ cos ϕ = 3 Odchylka přímky BH a roviny ACH se rovná 19°28′ .
(
)
(
6
)
Př. 5:
Petáková: strana 94/cvičení 33 a) c) d) h) strana 94/cvičení 34 b) d)
Shrnutí: Odchylku přímku a roviny určujeme jako odchylku přímky a jejího kolmého průmětu do roviny.
7
