7.3.14
Odchylka přímek
Předpoklady: 7208, 7306 Př. 1:
Zopakuj a porovnej definici a možné hodnoty: a) planimetricky zavedené odchylky přímek b) úhlu vektorů zavedeného v analytické geometrii. Na základě porovnání navrhni postup pro výpočet odchylky přímek v analytické geometrii.
Planimetrická odchylka přímek Úhel vektorů Velikost konvexního úhlu UOV, který • v případě různoběžek velikost ostrého vznikne z umístění vektorů u a v do nebo pravého úhlu orientovaných úseček OU a OV. • v případě rovnoběžek nula p U u O
q
v V u⋅v cos ϕ = u v
ϕ ∈ 0;180
ϕ ∈ 0;90
• Skalární součin vektorů umožňuje snadno určit úhel, který vektory svírají. • Směr přímek je určen pomocí směrových vektorů. ⇒ Můžeme využít skalární součin směrových vektorů na výpočet odchylky přímek. Jak to dopadne? p p u u v v q q Odchylka přímek se rovná úhlu směrových Pro odchylku přímek platí: ϕ = 180° − α . vektorů. Možná řešení: • Když vyjde tupý úhel, obrátíme jeden z vektorů. • Když vyjde tupý úhel, dopočítáme odchylku do 180° . • Zamezíme hodnotám nad 90° . Pro tyto hodnoty platí cos ϕ < 0 . ⇒ Zabráníme tomu, aby byla hodnota zlomku záporná ⇒ čitatel zlomku dáme do absolutní hodnoty (tím zároveň zabráníme tomu, aby odchylka závisela na orientaci směrového vektoru). Odchylka přímek p, q se směrovými vektory u, v je číslo ϕ ∈ 0;
platí cos ϕ =
u⋅v u v
.
1
π 2
, pro které
Př. 2:
Urči odchylku přímek p, q: p:
x = 1 + 2t y = 3 − 3t , t ∈ R
, q = {[ 2 − t ;3 + t ] , t ∈ R} .
Potřebujeme směrové vektory: p: u = ( 2; −3) ⇒ u = 22 + ( −3) = 13
q: v = ( −1;1) ⇒ v =
2
( −1)
2
+ 12 = 2
u ⋅ v = ( 2; −3) ⋅ ( −1;1) = −2 − 3 = −5 u⋅v
−5
5 ⇒ ϕ = 11°19′ u v 13 2 13 2 Odchylka přímek p, q je ϕ = 11°19′ . cos ϕ =
Př. 3:
=
=
Urči odchylku přímek p : 2 x − y + 3 = 0 a q : 3 x + 2 y − 1 = 0 .
Obě přímky jsou zadány obecnou rovnicí ⇒ známe normálové vektory. Je to problém? p
nq
q
np
Nemusíme je převádět na směrové vektory, protože odchylka přímek p a q, je stejná jako odchylka přímek, které jsou na ně kolmé (a které mají za směrové vektory normálové vektory přímek p a q).
n p = ( 2; −1) ⇒ n p = 22 + ( −1) = 5
nq = ( 3; 2 ) ⇒ nq = 32 + 2 2 = 13
2
n p ⋅ nq = ( 2; −1) ⋅ ( 3; 2 ) = 6 − 2 = 4 cos ϕ =
n p ⋅ nq n p nq
=
4 5 13
=
4 5 13
⇒ ϕ = 60°15′
Odchylka přímek p, q je ϕ = 60°15′ .
Př. 4:
Urči odchylku přímek AB a p. A [ −3;1] , B [1; 2] , p : 2 x − y + 3 = 0 .
Pro určení odchylky přímek můžeme požít dvojici směrových nebo normálových vektorů ⇒ z normálového vektoru přímky p vypočteme její směrový vektor.
uAB = B − A = ( 4;1) ⇒ uAB = 42 + 12 = 17
n p = ( 2; −1) ⇒ u p = (1; 2 ) ⇒ u p = 12 + 2 2 = 5 uAB ⋅ u p = ( 4;1) ⋅ (1; 2 ) = 4 + 2 = 6
2
cos ϕ =
uAB ⋅ u p uAB u p
6
=
17 5
=
6 ⇒ ϕ = 49°24′ 17 5
Odchylka přímek AB a p je ϕ = 49°24′ .
Př. 5:
Je dána přímka p : x − 3 y − 2 = 0 . Najdi přímku q, která prochází bodem Q [1;1] , jejíž odchylka od přímky p je 45° .
Odchylku přímek určují směrové nebo normálové vektory.
n p = (1; −3) ⇒ n p = 12 + ( −3) = 10 2
Normálových vektorů přímky q je nekonečně mnoho: p
n n
n A
n n
⇒ musíme si vybrat, který z nich chceme spočítat, abychom získali jednoznačný výsledek. 1 Hledáme například takový, který má x-ovou souřadnici rovnou jedné (pokud nejsou normálové vektory svislé n = ( 0; k ) určitě je jeden z vektorů s x-ovou souřadnicí rovnou jedné normálovým vektorem přímky p). n
⇒ Volíme: nq = (1; y ) ⇒ nq = 12 + y 2 .
n p ⋅ nq = (1; −3) ⋅ (1; y ) = 1 − 3 y 1− 3y 2 n p ⋅ nq = = (Zde je dobře vidět, že kdybychom si nezvolili 2 n p nq 10 1 + y 2 hodnotu x-ové souřadnice, nemohli bychom příklad vyřešit, protože bychom měli pouze jedinou rovnici na určení dvou neznámých.) 1− 3y 2 = 2 10 1 + y 2 cos ϕ = cos 45° =
2 10 1 + y 2 = 2 1 − 3 y 2 5 1 + y2 = 2 1 − 3 y 5 (1 + y 2 ) = 1 − 3 y
5 (1 + y 2 ) = (1 − 3 y )
/2
(Umocněním se zbavíme odmocniny i absolutní hodnoty.)
2
5 + 5 y2 = 1 − 6 y + 9 y2 3
4 y2 − 6 y − 4 = 0 2 y2 − 3y − 2 = 0 −b ± b 2 − 4ac − ( −3) ± ( −3) − 4 ⋅ 2 ⋅ ( −2 ) 3 ± 5 y1,2 = = = 2a 2⋅2 4 3+5 y1 = = 2 ⇒ nq1 = (1; 2 ) 4 3−5 1 y2 = = − ⇒ nq 2 = (1; −0,5) ⇒ nq 2 = ( 2; −1) 4 2 ⇒ Existují dvě přímky, které splňují zadání. q1 : q2 : 2
nq1 = (1; 2 ) ⇒ x + 2 y + c = 0
nq 2 = ( 2; −1) ⇒ 2 x − y + c = 0
Dosadíme Q [1;1] ⇒ 1 + 2 ⋅1 + c = 0 ⇒
Dosadíme Q [1;1] ⇒ 2 ⋅1 − 1 ⋅1 + c = 0 ⇒
c = −3 . q1 : x + 2 y − 3 = 0
c = −1 . q2 : 2 x − y − 1 = 0
Zadání příkladu splňují přímky q1 : x + 2 y − 3 = 0 a q2 : 2 x − y − 1 = 0 .
Pedagogická poznámka: Diskuse o zvolení jedné souřadnice normálového vektoru nq = (1; y ) je důležitá. Podobných případů, kdy musíme spočítat něco nejednoznačného (například směrové vektory) je mnoho a je dobré, když studenti chápou důvod, proč je nutné souřadnici zvolit. Dodatek: Můžeme si ukázat, jak by řešení příkladu probíhalo, kdybychom si vybrali jiný směrový vektor: Volíme: nq = ( 2; y ) ⇒ nq = 22 + y 2 , n p ⋅ nq = (1; −3) ⋅ ( 2; y ) = 2 − 3 y cos ϕ = cos 45° =
2 − 3y 2 n p ⋅ nq = = 2 n p nq 10 4 + y 2
2 10 4 + y 2 = 2 2 − 3 y 5 ( 4 + y 2 ) = ( 2 − 3 y ) ⇒ 20 + 5 y 2 = 4 − 12 y + 9 y 2 ⇒ 4 y 2 − 12 y − 16 = 0 2
y2 − 3y − 4 = 0 ⇒
( y − 4 )( y + 1) = 0
⇒
y1 = 4 , nq1 = (1; 2 ) nebo y2 = −1 , nq 2 = ( 2; −1) Můžeme také zvolit y-ovou souřadnici a dopočítat x-ovou:
nq = ( x;1) ⇒ nq = x 2 + 12 , n p ⋅ nq = (1; −3) ⋅ ( x;1) = x − 3 cos ϕ = cos 45° =
x −3 2 n p ⋅ nq = = 2 n p nq 10 x 2 + 12
2 10 x 2 + 12 = 2 x − 3 5 ( x 2 + 12 ) = ( x − 3) ⇒ 5 x 2 + 5 = x 2 − 6 x + 9 ⇒ 4 x 2 + 6 x − 4 = 0 2
2 −b ± b 2 − 4ac −3 ± 3 − 4 ⋅ 2 ⋅ ( −2 ) −3 ± 5 2 x + 3 x − 2 = 0 ⇒ x1,2 = = = ⇒ 2a 2⋅2 4 2
4
x1 = −2 , nq1 = ( −2;1) (stejný směr jako vektor nq 2 = ( 2; −1) ) 1 x2 = − , nq 2 = ( 0,5;1) ⇒ nq 2 = (1; 2 ) 2 Jsou dány body A [1;3] , B [ −4; −1] a V [ −3;1] . Najdi obecnou rovnici osy úhlu AVB.
Př. 6:
A
o
u
u+v
V v B Osa úhlu = „průměr směrů obou ramen“ ⇒ určíme vektory u a v tak, aby platilo: u = k ( A −V ) , k > 0 v = l ( B −V ) , l > 0 u=v. Vektor w = u + v pak bude mít směr osy úhlu AVB. •
A − V = ( 4; 2 ) , A − V = 42 + 22 = 2 5
•
B − V = ( −1; −2 ) , B − V =
( −1) + ( −2 ) 2
2
= 5
⇒ Vektor A − V je dvakrát větší ⇒ zmenšíme ho na polovinu. 1 1 u = ( A − V ) = ( 4; 2 ) = ( 2;1) 2 2 v = 1( B − V ) = ( −1; −2 )
w = u + v = ( 2;1) + ( −1; −2 ) = (1; −1) = uo
no = (1;1) ⇒ rovnice x + y + c = 0
Dosadíme bod V [ −3;1] : −3 + 1 + c = 0 ⇒ c = 2 . Osa úhlu AVB má obecnou rovnici: x + y + 2 = 0 .
Př. 7:
Petáková: strana 108/cvičení 47 e) g) strana 108/cvičení 48 a) b) strana 108/cvičení 50 strana 108/cvičení 52 strana 110/cvičení 77
Shrnutí: Výpočet odchylky přímek je založen na určení odchylky směrových vektorů. Hodnoty jsou menší než 90° .
5
