Střední absolutní odchylka jako míra rizika

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikáln´ı fakulta

´ RSK ˇ ´ PRACE ´ BAKALA A

Petra Janouchová Stˇ redn´ı absolutn´ı odchylka jako m´ıra rizika Katedra pravdˇepodobnosti a matematické statistiky

Vedouc´ı bakaláˇrské práce: Studijn´ı program: Studijn´ı obor:

Mgr. Václav Kozm´ık Matematika Finanˇcn´ı matematika

Praha 2013

Chtˇela bych na tomto m´ıstˇe podˇekovat pˇredevˇs´ım vedouc´ımu bakaláˇrské práce Mgr. Václavu Kozm´ıkovi za cenné rady, trpˇelivost a vstˇr´ıcn´ y pˇr´ıstup pˇri veden´ı mé práce. Dále bych ráda podˇekovala Prof. RNDr. Jitce Dupaˇcové, DrSc., konzultantce této bakaláˇrské práce, za vˇecné pˇripom´ınky a odborné rady.

Prohlaˇsuji, ˇze jsem tuto bakaláˇrskou práci vypracovala samostatnˇe a v´ yhradnˇe s pouˇzit´ım citovan´ ych pramen˚ u, literatury a dalˇs´ıch odborn´ ych zdroj˚ u. Beru na vˇedom´ı, ˇze se na moji práci vztahuj´ı práva a povinnosti vypl´ yvaj´ıc´ı ze zákona ˇc. 121/2000 Sb., autorského zákona v platném znˇen´ı, zejména skuteˇcnost, ˇze Univerzita Karlova v Praze má právo na uzavˇren´ı licenˇcn´ı smlouvy o uˇzit´ı této práce jako ˇskoln´ıho d´ıla podle §60 odst. 1 autorského zákona.

V ...................... dne ................

Podpis autora

Název práce: Stˇredn´ı absolutn´ı odchylka jako m´ıra rizika Autor: Petra Janouchová Katedra: Katedra pravdˇepodobnosti a matematické statistiky Vedouc´ı bakaláˇrské práce: Mgr. Václav Kozm´ık Abstrakt: Bakaláˇrská práce se vˇenuje stˇredn´ı absolutn´ı odchylce jako m´ıˇre rizika. Zkoumá jej´ı vlastnosti a také pouˇzit´ı pˇri problému optimáln´ı volby portfolia. V práci je popsán Markowitz˚ uv model a je ukázán jeho vztah k lineárn´ımu modelu pro optimáln´ı volbu portfolia se stˇredn´ı absolutn´ı odchylkou jako minimalizovanou m´ırou rizika. Pro tento model je provedena studie citlivosti v´ ysledk˚ u na vstupn´ı data. Jako vstupn´ı scénáˇre jsou pouˇzity historické relativn´ı v´ ynosnosti akci´ı z praˇzské burzy. V závˇeru práce je hodnocena stabilita modelu, která je testována na vybran´ ych podmnoˇzinách vstupn´ıch scénáˇr˚ u. Kl´ıˇcová slova: stˇredn´ı absolutn´ı odchylka, scénáˇre, optimáln´ı volba portfolia, Markowitz˚ uv model

Title: Mean absolute deviation risk measure Author: Petra Janouchová Department: Department of Probability and Mathematical Statistics Supervisor: Mgr. Václav Kozm´ık Abstract: This bachelor thesis considers the mean absolute deviation as a risk measure. It deals with its properties and its application in the case of the asset allocation problem. The Markowitz model is described and we demonstrated the relation between our model with mean absolute deviation and the Markowitz model. We study the influence of changes in the input data for the linear model with mean absolute deviation. The primary data used in this thesis are historical relative rates of profit of shares in the Prague Stock Exchange. The testing is done on the selected subsets of scenarios from primary data and the stability is discussed in conclusion. Keywords: mean absolute deviation, scenarios, portfolio selection, Markowitz model

Obsah ´ Uvod

2

1 Vlastnosti m´ıry rizika

3

2 Markowitz˚ uv model 2.1 Znaˇcen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Vlastn´ı model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Scénáˇre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 5 6 7

3 Line´ arn´ı model 3.1 Linearizace modelu . . . . . . . . . . 3.2 Vlastn´ı model . . . . . . . . . . . . . 3.3 Scénáˇre . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Linearizace absolutn´ı hodnoty

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

4 Testov´ an´ı citlivosti modelu na vstupn´ı data 4.1 Reálná Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 V´ ysledky s reáln´ ymi daty . . . . . . 4.2 V´ ybˇer scénáˇr˚ u . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Obdob´ı s vyˇsˇs´ı celkovou v´ ynosnost´ı . 4.2.2 Obdob´ı s niˇzˇs´ı celkovou v´ ynosnost´ı . 4.2.3 Obdob´ı s menˇs´ı celkovou odchylkou . 4.2.4 Obdob´ı s vˇetˇs´ı celkovou odchylkou . 4.3 Souhrn v´ ysledk˚ u . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . .

. . . .

9 9 10 11 11

. . . . . . . .

13 13 14 14 15 15 17 18 19

Z´ avˇ er

22

A Procentu´ aln´ı rozloˇ zen´ı portfoli´ı

23

B Anal´ yza dat

26

C K´ od modelu v programu GAMS

29

Seznam pouˇ zit´ e literatury

31

Seznam tabulek

32

1

´ Uvod Na akciovém trhu se obchoduje za u ´ˇcelem zisku. K realizaci zisku je vˇsak tˇreba pˇrijmout také riziko ztráty. Zisk a riziko jsou korelované a plat´ı, ˇze ˇc´ım vyˇsˇs´ı je moˇzn´ y zisk, t´ım se zároveˇ n zvyˇsuje riziko, ˇze investice bude ztrátová. Investor˚ uv zájem je sestavit své portfolio akci´ı tak, aby pˇrináˇselo co nejvyˇsˇs´ı zisk a souˇcasnˇe bylo minimalizováno riziko jeho ztráty. Základn´ım principem sn´ıˇzen´ı rizika celého portfolia je jeho diverzifikace. Na principu diverzifikace je zaloˇzeno v´ıce model˚ u, jedn´ım z nich je Markowitz˚ uv model. Prvn´ı kapitola se zab´ yvá stˇredn´ı absolutn´ı odchylkou jako m´ırou rizika. Popisuje nˇekteré jej´ı vlastnosti a zjiˇst’uje, zda je stˇredn´ı absolutn´ı odchylka koherentn´ı m´ırou rizika. V druhé kapitole je popsán Markowitz˚ uv model pro optimáln´ı volbu portfolia. Model hledá takové portfolio, které mimimalizuje riziko za urˇcit´ ych poˇzadavk˚ u na jednotlivé parametry a v´ ynos. Markowitz˚ uv model pouˇz´ıvá smˇerodatnou odchylku jako m´ıru rizika. Ve tˇret´ı kapitole je ukázán vztah stˇredn´ı absolutn´ı odchylky k Markowitzovˇe modelu a popsán lineárn´ı model s pouˇzit´ım stˇredn´ı absolutn´ı odchylky jako m´ıry rizika. Za pˇredpokladu normáln´ıho rozdˇelen´ı je zde dokázáno, ˇze lineárn´ı model odvozen´ y z Markowitzova modelu ˇreˇs´ı ekvivalentn´ı u ´lohu minimalizace rizika. Dále uvád´ı optimalizaˇcn´ı problém volby portfolia s diskrétn´ımi daty. ˇ Ctvrt´ a kapitola se zab´ yvá lineárn´ım modelem se stˇredn´ı absolutn´ı odchylkou jako m´ırou rizika a testován´ım jeho citlivosti na vstupn´ı data. Základem pro testován´ı jsou reálná data z praˇzské burzy. Simuluje se zde r˚ uzn´ y pr˚ ubˇeh zmˇen v´ ynosnost´ı jednotliv´ ych aktiv. Vlastn´ı testován´ı probˇehlo v optimalizaˇcn´ım programu GAMS. K ostatn´ım v´ ypoˇct˚ um a generován´ı dat byl pouˇzit software Wolfram Mathematica. V závˇeru jsou jsou shrnuty v´ ysledky a hodnot´ı se stabilita modelu.

2

Kapitola 1 Vlastnosti m´ıry rizika K mˇeˇren´ı rizika se pouˇz´ıvaj´ı r˚ uzné m´ıry. Kaˇzdá m´ıra má své pˇrednosti a nedostatky a poskytuje r˚ uznou informaci o trhu a informaci o rizikovosti investice. Artzner a kol. (1999) se ve svém ˇclánku zab´ yvá vlastnostmi, které by mˇela vhodná m´ıra rizika splˇ novat. V této kapitole, stejnˇe jako v celé této práci, budou náhodné veliˇciny vyjadˇrovat zisk a nikoli ztrátu. Definice 1.1. Necht’ Ω je prostor vˇsech elementárn´ıch jev˚ u, na kterém je dána σ-algebra A jej´ıch podmnoˇzin. Necht’ (Ω, A, P) je pravdˇepodobnostn´ı prostor a X a Y jsou náhodné veliˇciny na tomto pravdˇepodobnostn´ım prostoru. Necht’ w : (Ω, A) → (R, B) je m´ıra rizika. M´ıra rizika w se naz´ yvá koherentn´ı, má-li následuj´ıc´ı ˇctyˇri vlastnosti: (Translaˇcn´ı invariance) Pro kaˇzdou náhodnou veliˇcinu X a α ∈ R plat´ı: w(X + α) = w(X) − α (1.1) (Subadditivita) Pro kaˇzdé dvˇe náhodné veliˇciny X a Y plat´ı: w(X + Y ) ≤ w(X) + w(Y ) (1.2) (Pozitivn´ı homogenita) Pro kaˇzdé λ ≥ 0 a náhodnou veliˇcinu X plat´ı: w(λX) = λw(X)

(1.3)

(Monotonie) Pro kaˇzdé dvˇe náhodné veliˇciny X a Y, X ≤ Y plat´ı: w(X) ≥ w(Y )

(1.4)

Necht’ m´ırou rizika w je stˇredn´ı absolutn´ı odchylka, tedy w(X) = E|X − EX| pro náhodnou veliˇcinu X. Pod´ıvejme se na nˇekteré jej´ı vlastnosti. Necht’ α 6= 0. Podobnˇe jako rozptyl, stˇredn´ı absolutn´ı odchylka nesplˇ nuje podm´ınku translaˇcn´ı invariance. w(X + α) = E|(X + α) − E[X + α]| = E|X − EX + α − Eα| = E|X − EX| = w(X) 6= w(X) − α 3

Vlastnost subadditivity lze jednoduˇse ukázat pomoc´ı troj´ uheln´ıkové nerovnosti: w(X + Y ) = E|X + Y − E[X + Y ]| = E|(X − EX) + (Y − EY )| ≤ ≤ E|X − EX| + E|Y − EY | = w(X) + w(Y )

Stˇredn´ı absolutn´ı odchylka je pozitivnˇe homogenn´ı. Pro λ ≥ 0 plat´ı: w(λX) = E|λX − EλX| = E|λ(X − EX)| = λE|X − EX| = λw(X)

Necht’ X je náhodná veliˇcina nab´ yvaj´ıc´ı hodnot X ∈ {0, 1}, pro kterou plat´ı: 1 1 P (X = 0) = 2 a P (X = 1) = 2 . Y je náhodná veliˇcina s hodnotami Y ∈ {2, 4}, pro kterou plat´ı: P (Y = 2) = 12 a P (Y = 4) = 12 . Vid´ıme tedy, ˇze pro vˇsechny hodnoty X a Y plat´ı, ˇze X ≤ Y . Spoˇcteme si stˇredn´ı absolutn´ı odchylky obou veliˇcin. Stˇredn´ı hodnoty jsou EX = 12 (0 + 1) = 12 a EY = 12 (2 + 4) = 3 1 1 1 1 E|X − EX| = (|0 − | + |1 − |) = 2 2 2 2 1 E|Y − EY | = (|2 − 3| + |4 − 3|) = 1 2 Plat´ı, ˇze w(X) ≤ w(Y ), a zároveˇ n X ≤ Y . Stˇredn´ı absolutn´ı odchylka tedy nesplˇ nuje podm´ınku monotonie (1.4). M´ıra rizika konstruovaná jako stˇredn´ı absolutn´ı odchylka splˇ nuje pouze dvˇe z v´ yˇse uveden´ ych vlastnost´ı, subadditivitu a pozitivn´ı homogenitu. Podle definice (1.1) nen´ı koherentn´ı. Dnes se vyuˇz´ıvaj´ı k mˇeˇren´ı rizika pˇreváˇznˇe koherentn´ı m´ıry, jednou z nich je napˇr´ıklad CVaR (Conditional Value-at-Risk) viz Rockafellar a Uryasev (2000).

4

Kapitola 2 Markowitz˚ uv model Základn´ım modelem, ze kterého vycház´ı tato práce je Markowitz˚ uv model. Markowitz˚ uv model je urˇcen k optimáln´ı volbˇe portfolia akci´ı pˇri obchodován´ı. Principem je diverzifikace portfolia. Harry M. Markowitz zavedl tento model poprvé v ˇclánku Markowitz (1952) a Markowitz (1959). Model je povaˇzován za základn´ı kámen modern´ı teorie portfolia. Je na nˇem zaloˇzen napˇr´ıklad pouˇz´ıvan´ y model CAPM (Capital asset pricing model), v nˇemˇz se uvaˇzuje kromˇe akc´ı´ı nav´ıc jedno aktivum, které je bezrizikové, ale s kladn´ ym v´ ynosem. Oˇcekává se, ˇze investor chce vytvoˇrit portfolio akci´ı s c´ılem dosáhnout co nejvˇetˇs´ıho v´ ynosu a co nejmenˇs´ıho rizika ztráty. Jako ukazatel v´ ynosnosti je v modelu pouˇzita oˇcekávaná hodnota v´ ynosnosti a jako m´ıra rizika smˇerodatná odchylka v´ ynosnosti. Model je platn´ y za nˇekolika pˇredpoklad˚ u, které vˇsak v reálné situaci neb´ yvaj´ı splnˇeny. Investoˇri se chovaj´ı racionálnˇe, tzn., preferuj´ı portfolio s vyˇsˇs´ım ziskem pˇri stejném riziku a preferuj´ı portfolio s menˇs´ım rizikem pˇri stejném v´ ynosu. Plat´ı dokonalá informovanost, investoˇri maj´ı homogenn´ı oˇcekáván´ı. Vˇsechny akcie jsou obchodovatelné a nekoneˇcnˇe dˇelitelné. Neexistuj´ı ˇza´dné transakˇcn´ı náklady a danˇe. Investice jsou v jednom ˇcasovém obdob´ı, vˇsichni investoˇri nakoup´ı akcie ˇ adn´ v jednom okamˇziku na stejnˇe dlouhou dobu. Z´ y investor nem˚ uˇze zásadn´ım zp˚ usobem ovlivnit v´ ynos aktiv.

2.1

Znaˇ cen´ı

Znaˇcen´ı modelu pˇrevezmeme z ˇclánku Konno a Yamazaki (1991). Oznaˇc´ıme si náhodnou veliˇcinu Rj jako v´ ynos aktiva j = 1, . . . , n a vektor R = (R1 , . . . , Rn ) jako vektor v´ ynosnost´ı. Hledáme vektor vah x = (x1 , ..., xn ), kter´ y vyjadˇruje, kolik se má investovat do aktiv j = 1, . . . , n. Pˇredpokládáme, ˇze xj ≥ 0, j = 1, . . . , n. Tedy nen´ı povolen tzv. krátk´ y prodej (short sales), kdy investor m˚ uˇze prodat akcie, které sám nevlastn´ı. V pˇr´ıpadˇe, ˇze by váhy xj mohly b´ yt záporné, lze portfolio zajistit proti riziku poklesu cen aktiv. Nev´ yhodou vˇsak potom je, ˇze portfolio m˚ uˇze b´ yt neomezenˇe ztrátové. Pokud by investor prodal mnoˇzstv´ı m akci´ı v hodnotˇe 1 urˇcitého aktiva a hodnota tohoto aktiva v daném obdob´ı k-krát vzroste, mus´ı akcie zpˇet odkoupit za ˇca´stku knásobek ˇcástky m. Pˇritom r˚ ust hodnoty aktiva nen´ı omezen, tedy i ztráta m˚ uˇze b´ yt nekoneˇcná. Investované ˇca´stky xj jsou omezené shora parametrem mj , jenˇz pˇredstavuje maximáln´ı moˇznou ˇca´stku, kterou lze do daného aktiva investovat. M0 znaˇc´ı 5

ˇca´stku, kterou investor disponuje, resp. kterou hodlá investovat. Plat´ı, ˇze n X

xj = M0 .

(2.1)

j=1

Je moˇzné uvaˇzovat i situaci, kdy investor P nemus´ı investovat celou svou disponovanou ˇcástku. Tedy situaci, kdy plat´ı: nj=1 xj ≤ M0 . Pro náˇs zjednoduˇsen´ y model vˇsak budeme uvaˇzovat pouze rovnost. V´ ynosem portfolia je oˇcekáváná hodnota souˇctu náhodn´ ych veliˇcin v´ ynosu aktiv vynásoben´ ych ˇca´stkou, která do jednotliv´ ych aktiv byla investována. " n # n X X r(x) = E Rj xj = E[Rj ]xj (2.2) j=1

j=1

Na portfolio je kladen poˇzadavek minimáln´ıho pˇrijatelného v´ ynosu. Parametr ρ nám udává, jakou návratnost celkové investice poˇzadujeme. Pokud rj = E[Rj ] je oˇcekáván´ y v´ ynos j-tého aktiva, v modelu se tato podm´ınka vyjádˇr´ı: n X

rj xj ≥ ρM0

(2.3)

j=1

Je zˇrejmé, ˇze parametr ρ by mˇel b´ yt volen tak, aby platilo, ρ ≥ 0. V opaˇcném pˇr´ıpadˇe by portfolio nalezené Markowitzov´ ym modelem mohlo b´ yt prodˇeleˇcné. Zároveˇ n je pˇri volbˇe ρ tˇreba obezˇretnosti, aby podm´ınka (2.3) byla splnitelná a mnoˇzina pˇr´ıpustn´ ych portfoli´ı nebyla prázdná. Investor má zájem minimalizovat riziko ztráty. V Markowitzovˇe modelu pouˇzijeme jako m´ıru rizika, kterou minimalizujeme, smˇerodatnou odchylku. v  u ( n " n #)2  u X X u  Rj xj − E Rj xj (2.4) σ(x) = tE  j=1

j=1

Pro samotn´ y model je tˇreba znát i varianˇcn´ı matici v´ ynosnost´ı Σ = (σij ) ∈ R , kde σij = E[(Ri − ri )(Rj − rj )], i, j ∈ {1, . . . , n} znaˇc´ı kovarianci mezi v´ ynosnostmi Ri a Rj . n×n

2.2

Vlastn´ı model

Markowitz˚ uv model m˚ uˇzeme chápat jako u ´lohu hledán´ı optimáln´ıho portfolia

minimalizovat

v uX n u n X t σij xi xj i=1 j=1

za podm´ınek

n X j=1 n X

rj xj ≥ ρM0

(2.5)

xj = M0

j=1

0 ≤ xj ≤ m j , 6

j = 1...n

Tento problém je u ´lohou nelineárn´ıho programován´ı. Varianˇcn´ı matice Σ je pozitivnˇe semidefinitn´ı, viz Andˇel (2011), kapitola 2. A tedy plat´ı, ˇze n X n X

σij xi xj = xT Σ x ≥ 0.

i=1 j=1

Odmocnina na definiˇcn´ım oboru u ´ˇcelové funkce je funkce prostá a ryze monotónn´ı, a tud´ıˇz problém minimalizace u ´ˇcelové funkce bez odmocniny je ekvivalentn´ı problému minimalizace u ´ˇcelové funkce s odmocninou. V obou pˇr´ıpadech z´ıskáme stejné optimáln´ı ˇreˇsen´ı a model (2.6) lze uˇz ˇreˇsit jako u ´loha kvadratického programován´ı.

minimalizovat za podm´ınek

n X n X

σij xi xj

i=1 j=1 n X

rj xj ≥ ρM0

j=1 n X

(2.6)

xj = M0

j=1

0 ≤ xj ≤ mj ,

2.3

j = 1...n

Sc´ en´ aˇ re

Scénáˇre m˚ uˇzeme chápat jako realizace z nˇejakého pravdˇepodobnostn´ıho rozdˇelen´ı nebo diskrétn´ı data, které nˇejaké pravdˇepodobnostn´ı rozdˇelen´ı aproximuj´ı. V´ıce lze naj´ıt v knize Dupaˇcová a kol. (2002). V naˇsem pˇr´ıpadˇe se jedná o historické u ´daje o v´ ynosech aktiv, ze kter´ ych m˚ uˇzeme numericky odhadnout oˇcekávávan´ y v´ ynos akci´ı a varianˇcn´ı matici v´ ynosnost´ı. Oˇcekáván´ y v´ ynos urˇcitého aktiva se zpravidla z´ıská jako aritmetick´ y pr˚ umˇer dat. S varianˇcn´ı matic´ı uˇz je to obt´ıˇznˇejˇs´ı. Ze symetrie variaˇcn´ı matice je vidˇet, ˇze je tˇreba naj´ıt n(n + 1)/2 koeficient˚ u σij . K odhad˚ um rozptyl˚ u a kovarianc´ı se pouˇz´ıvaj´ı napˇr´ıklad faktorové modely. Algoritmus z´ıskán´ı varianˇcn´ı matice vˇcetnˇe zahrnut´ı transakˇcn´ıch náklad˚ u uvedl Perold (1984). Faktorov´ y model je také objasnˇen v Dupaˇcová (1996). Faktor se tu chápe jako rozd´ıl v´ ynosnosti trˇzn´ıho portfolia ρM (portfolio sloˇzené ze vˇsech aktiv na trhu, vˇsechny aktiva maj´ı stejné váhy) a v´ ynosnosti bezrizikového aktiva r0 . Tedy F = ρM − r0 . Pro jednotlivé v´ ynosnosti aktiv pak plat´ı: ρj = αj + βj F + j Koeficienty αj a βj se odhaduj´ı z dat, pˇriˇcemˇz βj =

cov(ρj , ρM ) , 2 σM 7

2 kde ρj je v´ ynosnost aktiva j a σM je rozptyl trˇzn´ıho portfolia. Koeficient αj se oznaˇcuje jako m´ıra nerovnováˇznosti. Pokud je trh rovnováˇzn´ y, budou αj = 0.

Nˇekdy je v´ yhodnˇejˇs´ı uvaˇzovat jinou formulaci modelu pro nalezen´ı optimáln´ıho portfolia, a sice maximalizovat zisk a zároveˇ n minimalizovat riziko. maximalizovat

λ

n X

rj xj −

j=1

za podm´ınek

n X

n X n X

σij xi xj

i=1 j=1

(2.7)

xj = M0

j=1

0 ≤ xj ≤ m j ,

j = 1...n

ˇ ım vˇetˇs´ı je λ, t´ım Parametr λ ≥ 0 vyjadˇruje m´ıru averze investora k riziku. C´ v´ıce je investor ochoten riskovat. Oproti u ´loze (2.5) hledán´ı optimáln´ıho portfolia je podm´ınka (2.3) zakomponovaná do u ´ˇcelové funkce a rozˇsiˇruje se t´ım mnoˇzina pˇr´ıpustn´ ych ˇreˇsen´ı. V nˇekter´ ych situac´ıch, kdy tato podm´ınka nen´ı splnˇena, tedy pokud nelze se zadan´ ymi v´ ynosnostmi dosáhnout minimáln´ıho poˇzadovaného v´ ynosu, model (2.7) stále jeˇstˇe m˚ uˇze naj´ıt pˇr´ıpustné ˇreˇsen´ı. V reálné situaci je potˇreba zohlednit transakˇcn´ı náklady pˇri obchodován´ı akci´ı v modelu portfolia. Pokud jsou poplatky za nákup akci´ı urˇcité spoleˇcnosti fixn´ı, nehledˇe na mnoˇzstv´ı akci´ı konkrétn´ı spoleˇcnosti, nevyplat´ı se nakupovat tolik druh˚ u akci´ı. Portfolio je pak ménˇe diverzifikované a riziko za pˇredpokladu existence transakˇcn´ıch náklad˚ u b´ yvá vˇetˇs´ı neˇz bez tohoto pˇredpokladu. Jestliˇze jsou poplatky variabiln´ı, lze je zahrnout do modelu násobkem vah x1 , . . . , xn . V´ ynosnosti nemus´ı b´ yt normálnˇe ani symetricky rozdˇelené. Bylo by potˇreba v modelu zohlednit ne jen prvn´ı a druh´ y moment rozdˇelen´ı, ale ideálnˇe také ˇsikmost. Z tohoto d˚ uvodu a také proto, ˇze dalˇs´ı pˇredpoklady o trhu nejsou splnˇeny, je interpretace v´ ysledk˚ u Markowitzova modelu sloˇzitá.

8

Kapitola 3 Line´ arn´ı model V ˇclánku Konno a Yamazaki (1991) je ukázáno, ˇze nelineárn´ı resp. kvadratick´ y problém hledán´ı optimáln´ıho portfolia (2.5) lze pˇrevést na podobn´ y model, kter´ y je u ´lohou lineárn´ıho programován´ı. Opˇet minimalizuje riziko za nejmenˇs´ıho pˇrijatelného v´ ynosu daného investorem. M´ısto smˇerodatné odchylky jako m´ıry rizika se pouˇzije stˇredn´ı absolutn´ı odchylka, oznaˇcme ji jako w(x). " n " n ## X  X   w(x) = E  Rj xj − E (3.1) Rj xj    j=1

3.1

j=1

Linearizace modelu

Vˇ eta 3.1. Necht’ náhodný vektor R = (R1 , . . . , Rn ) je n-rozmˇernˇe normálnˇe rozdˇelený, R ∼ N(µ, Σ), kde µ = (µ1 , . . . , µn ) je vektor stˇredn´ıch hodnot a Σ = (σij ) ∈ Rn×n je varianˇcn´ı matice. A necht’ pro vektor x = (x1 , . . . , xn ) je w(x) smˇerodatná odchylka definovaná viz. (2.4) a σ(x) stˇredn´ı absolutn´ı odchylka definovaná viz (3.1). Potom plat´ı, ˇze √ w(x) = 2πσ(x).

D˚ ukaz. Vektor R je n-rozmˇernˇe náhodnˇe rozdˇelen´ y, jestliˇze pro libovoln´ y vekT tor c ∈ Rn plat´ı, ˇze cT R ∼ N(cT µ, c Σc), viz kapitola 4, Andˇ e l (2011). Dle Pn T pˇredpoklad˚ u vˇety plat´ı, ˇze x R = j=1 Rj xj má normáln´ı rozdˇelen´ı se stˇredn´ı Pn Pn Pn 2 hodnotou µ(x) = eroj=1 µj xj a rozptylem σ (x) = i=1 j=1 σij xi xj . Smˇ datná odchylka tedy vypadá takto: " n " n ## X  X   w(x) = E  Rj xj − E Rj xj    j=1

j=1

P Oznaˇcme Y = Y (x) := nj=1 Rj xj . Potom Y má rozdˇelen´ı N (µ(x), σ 2 (x)) a vektor Z = Y − EY má rozdˇelen´ı N(0, σ 2 (x)). w(x) = E|Y − EY | = E|Z| 9

Z∞ = −∞

1 z2 |z| √ }dz exp {− 2 2σ (x) 2πσ(x) Z∞

1 1 = 2√ 2π σ(x)

z exp {−

z2 }dz 2σ 2 (x)

0

Pˇri pouˇzit´ı substituce t = w(x) =

q

2 1 σ 2 (x) π σ(x)

R∞

z2 2σ 2 (x)

e−t dt =

se z´ıská q

0

∞ 2 σ(x)[−e−t ]0 π

=

q

2 σ(x) π

k

Vˇeta ukazuje, ˇze problém minimalizace smˇerodatné odchylky je ekvivalentn´ı problému minimalizace stˇredn´ı absolutn´ı odchylky, má-li vektor R = (R1 , . . . , Rn ) n-rozmˇerné normáln´ı rozdˇelen´ı. V obouqpˇr´ıpadech hodnot´ıme riziko. Naˇse m´ıry

rizika se liˇs´ı jen o násobek konstantou π2 . Tedy, na základˇe této vˇety, m˚ uˇzeme u ´lohu (2.5) za pˇredpokladu normáln´ıho rozdˇelen´ı zapsat t´ımto zp˚ usobem : r minimalizovat za podm´ınek

2 w(x) π n X rj xj ≥ ρM0 (3.2)

j=1 n X

xj = M0

j=1

0 ≤ xj ≤ m j ,

3.2

j = 1...n

Vlastn´ı model

V´ yˇse uveden´ ym postupem z´ıskáme postupnˇe u ´lohu lineárn´ıho programován´ı. Lineárn´ı model se stˇredn´ı absolutn´ı odchylkou jako m´ırou rizika lze vyjádˇrit takto:

minimalizovat

" n " n ## X  X   E  Rj xj − E Rj xj    j=1

za podm´ınek

n X j=1 n X

j=1

rj xj ≥ ρM0

(3.3)

xj = M0

j=1

0 ≤ xj ≤ mj ,

10

j = 1...n

3.3

Sc´ en´ aˇ re

Model (3.3) pˇredpokládá normálnˇe rozdˇelené v´ ynosnosti. Pokud vˇsak máme data, která nejsou normálnˇe rozdˇelená, je vhodné pˇrevést model do podoby, ve které se jiˇz pracuje s konkrétn´ımi scénáˇri. Pˇredpokládejme, ˇze máme k dispozici historická data o v´ ynosech akci´ı j = 1, . . . , n z obdob´ı t = 1, . . . , T . Oznaˇcme rjt v´ ynos akcie j za obdob´ı t. Oˇcekávanou v´ ynosnost akcie j spoˇc´ıtáme jako aritmetick´ y pr˚ umˇer dat. rj = E[Rj ] =

T 1X rjt T j=1

Stˇredn´ı absolutn´ı odchylku lze potom vyjádˇrit takto: " n " n ## X  X   w(x) = E  Rj xj − E Rj xj    j=1 j=1 # # " n " n n n  X X  X X     Rj xj − rj xj  Rj xj − E[Rj ]xj  = E  =E      j=1 j=1 j=1 j=1     T n n T X n   X X X 1 X 1     = rjt xj − rj xj  =   (rjt − rj )xj     T  T t=1

3.3.1

j=1

t=1

j=1

j=1

Linearizace absolutn´ı hodnoty

Model chceme dále zjednoduˇsit. Oznaˇcme si ajt = rjt − rj , j = 1, . . . , n, t = 1, . . . , T . Vycház´ıme z modelu s absolutn´ı hodnotou:


 n  T  1 X X  ajt xj    T t=1  j=1 n X j=1 n X

rj xj ≥ ρM0

(3.4)

xj = M0

j=1

0 ≤ xj ≤ m j ,

j = 1...n

Pro snadnˇejˇs´ı numerické ˇreˇsen´ı je lepˇs´ı pracovat s lineárn´ımmodelem, kter´  y Pn  z´ıskáme linearizac´ı absolutn´ı hodnoty. Problém minimalizace  j=1 ajt xj  je P ekvivalentn´ı problému minimalizace yt za podm´ınky, ˇze −yt ≤ nj=1 ajt xj ≤ yt . Model (3.4) m˚ uˇzeme tedy pˇrevést na následuj´ıc´ı optimalizaˇcn´ı problém, kter´ y uˇz je u ´lohou lineárn´ıho programován´ı.

11


n 1X yt T t=1

yt +

n X

ajt xj ≥ 0

t = 1, . . . , T

ajt xj ≥ 0

t = 1, . . . , T

j=1

yt −

n X

(3.5)

j=1 n X j=1 n X

rj xj ≥ ρM0 xj = M0

j=1

0 ≤ xj ≤ mj ,

12

j = 1...n

Kapitola 4 Testov´ an´ı citlivosti modelu na vstupn´ı data V této ˇca´sti zkoumáme citlivost modelu na vstupn´ı data. Pro testován´ı jsme pouˇzili GAMS (The General Algebraic Modeling System), program pro matematické modelován´ı a optimalizaci. V tomto programu se konkrétn´ı problém zapisuje prostˇrednictv´ım syntaxe, která je velmi bl´ızká matematickému vyjadˇrován´ı.

4.1

Re´ aln´ a Data

Reálná data pouˇzitá v lineárn´ım modelu (3.5) se stˇredn´ı absolutn´ı odchylkou jako m´ırou rizika pro optimáln´ı volbu portfolia jsou t´ ydenn´ı data z praˇzské akciové burzy s rozpoˇcten´ım dividend do v´ ynos˚ u z obdob´ı 9.11.2007 aˇz 30.3.2012. Uvedené hodnoty v souboru data.xls jsou relativn´ı v´ ynosnosti akci´ı za 229 obdob´ı celkem deseti spoleˇcnost´ı: AAA Auto Group N.V., Central European Media ˇ Enterprises LTD., CEZ a.s., Erste Group Bank AG, Komerˇcn´ı Banka a.s., Orco ˇ a.s., Telefónica Property Group S.A., Pegas Nonwovens SA, Philip Morris CR Czech Republic a.s. a Unipetrol a.s.. V tabulce 4.1 jsou uvedeny stˇredn´ı hodnoty, rozptyl a koeficienty ˇsikmosti a ˇspiˇcatosti pro vˇsechny aktiva z dat. Kaˇzdˇe symetrické rozdˇelen´ı má nulovou ˇsikmost, kaˇzdé normáln´ı rozdˇelen´ı má ˇspiˇcatost rovnu 3. V naˇsich reáln´ ych v´ ynosAkcie Stˇredn´ı hodnota AAA -0.203995 CETV -0.706612 CEZ -0.0634878 ERSTE -0.167039 KOMB 0.179753 ORCO -1.00643 PEGAS -0.0450222 PHILL 0.349712 TELE 0.0434868 UNI -0.142925

ˇ ˇ catost Rozptyl Sikmost Spiˇ 51.2859 3.63266 35.7467 99.0426 -0.0384643 6.96746 16.4648 -0.243513 11.9865 63.2405 -0.0308554 6.32168 29.4463 -0.20654 6.07573 88.0708 -0.126529 7.33935 15.8157 -1.67282 18.078 13.5167 0.110646 4.62975 7.08022 -0.894286 13.2887 25.6231 -0.225243 9.17743

Tabulka 4.1: Momenty v´ ynosnost´ı reáln´ ych dat 13

ρ 0.0 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30

Portfolio CEZ 1.000 CEZ 0.850 CEZ 0.701 CEZ 0.551 CEZ 0.402 CEZ 0.252 CEZ 0.103

KOMB KOMB KOMB KOMB KOMB KOMB

0.013 0.027 0.040 0.054 0.067 0.081

PHILL PHILL PHILL PHILL PHILL PHILL

0.136 0.272 0.408 0.544 0.680 0.816

Tabulka 4.2: V´ ysledky modelu s reáln´ ymi vstupn´ımi daty ˇ ım vˇetˇs´ı je ˇspiˇcatost, nostech pˇresahuje ˇspiˇcatost u vˇsech aktiv tuto hodnotu. C´ t´ım v´ıce namˇeˇren´ ych hodnot je bl´ızko stˇredn´ı hodnoty. Z uveden´ ych moment˚ u m˚ uˇzeme usoudit, ˇze data nejsou symetricky rozdˇelena ani normálnˇe rozdˇelena. Nejv´ıce se normáln´ımu rozdˇelen´ı bl´ıˇz´ı v´ ynosnosti akci´ı spoleˇcnosti Philip Morris. Tyto vlastnosti lze vyˇc´ıst i z histogram˚ u uveden´ ych v pˇr´ıloze B. Pˇri pohledu na stˇredn´ı hodnoty namˇeˇren´ ych dat, je zˇrejmé, ˇze v optimáln´ım portfoliu bude m´ıt pod´ıl nˇekterá ze spoleˇcnost´ı: Komerˇcn´ı Banka, Philipp Morris a Telefónica, jejichˇz stˇredn´ı hodnoty v´ ynosnost´ı jsou kladné. Pro v´ ypoˇcet modelu (3.5) v GAMS pˇredpokládáme ˇze investor má k dispozici ˇca´stku 1. Vol´ıme tedy M0 = 1. Dále vynecháváme omezen´ı vah xj shora, vol´ıme m = ∞. Z podm´ınky (2.1) a nezápornosti vah xj je dáno, ˇze xj ≤ 1. Znamená to, ˇze xj ukazuje procentuáln´ı pomˇer vˇsech akci´ı j-té spoleˇcnosti v portfoliu. Protoˇze hodnota rj ukazuje relativn´ı pokles ˇci zv´ yˇsen´ı ceny akcie, staˇc´ı uvaˇzovat ρ ≥ 0. Kód modelu v programu GAMS je k nalezen´ı v pˇr´ıloze C.

4.1.1

V´ ysledky s re´ aln´ ymi daty

V tabulce 4.2 jsou nalezená optimáln´ı portfolia pro minimáln´ı, investorem poˇzadovanou, v´ ynosnost celého portfolia ρ = 0, . . . , 0.30. Pro ρ ≥ 0.35 uˇz neexistuje ˇreˇsen´ı splˇ nuj´ıc´ı vˇsechny podm´ınky. Jak je vidˇet na obrázku 4.1, procentuáln´ı závislost rozloˇzen´ı portfolia pro minimáln´ı pˇrijatelnou hodnotu v´ ynosu ˇ portfolia ρ = 0.05, . . . , 0.30 je lineárn´ı. Portfolio je rozloˇzeno mezi akcie CEZ, Komerˇcn´ı Banka a Philip Morris. Zde se potvrdilo, ˇze v optimáln´ım portfoliu jsou akcie spoleˇcnost´ı Philip Morris a Komerˇcn´ı Banka, u nichˇz byla stˇredn´ı hodnota nezáporná. Telefónika, u n´ıˇz byla stˇredn´ı hodnota v´ ynosnost´ı také nezáporná, ˇ vˇsak v nalezeném optimáln´ım portfoliu nen´ı, m´ısto n´ı se tu objevil CEZ, kter´ y má zápornou stˇredn´ı hodnotu a zároveˇ n i vˇetˇs´ı rozptyl. Portfolio tedy neovlivˇ nuj´ı pouze prvn´ı dva momenty, ale domn´ıváme se, ˇze také vzájemné kovariance mezi jednotliv´ ymi aktivy.

4.2

V´ ybˇ er sc´ en´ aˇ r˚ u

V této podkapitole budeme nˇekolika zp˚ usoby vyb´ırat scénáˇre z p˚ uvodn´ıch dat. Budeme t´ım simulovat jin´ y pr˚ ubˇeh zmˇen v´ ynosnost´ı a sledovat, jak se t´ım mˇen´ı 14

100

80

60

CEZ KOMB PHIL

40

20

0.0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.30

Obrázek 4.1: Závislost procentuáln´ıho rozloˇzen´ı portfolia na ρ v´ ysledné portfolio.

4.2.1

Obdob´ı s vyˇ sˇ s´ı celkovou v´ ynosnost´ı

Necht’ rjt jsou relativn´ı v´ ynosnosti aktiva j za obdob´ı t = 1, . . . , 229. Seˇcteme v´ ynosnosti vˇsech deseti aktiv pro kaˇzdé obdob´ı. vt =

10 X

rjt , t = 1, . . . , 229

j=1

Scénáˇre seˇrad´ıme podle parametru vt , pojmenujme jej jako celková v´ ynosnost za dané obdob´ı. Odebereme 50 scénáˇr˚ u s nejmenˇs´ı celkovou v´ ynosnost´ı. Na tˇechto nov´ ych datech budeme zkoumat v´ ysledky lineárn´ıho modelu hledán´ı optimáln´ıho portfolia. V tabulce 4.3 nalezneme momenty naˇsich novˇe upraven´ ych dat (179 scénáˇr˚ us vyˇsˇs´ı celkovou v´ ynosnost´ı). Pozorujeme, ˇze stˇredn´ı hodnoty v´ ynosnost´ı kromˇe v´ ynosnost´ı akci´ı spoleˇcnosti AAA se zv´ yˇsily v porovnán´ı s reáln´ ymi scénáˇri. Tento fakt bychom oˇcekávali jako d˚ usledek zp˚ usobu v´ ybˇeru dat. Rozptyly vˇsech spoleˇcnost´ı se zv´ yˇsily. U koeficient˚ u ˇsikmosti a ˇspiˇcatosti nen´ı takto jednoznaˇcn´ y posun. Tabulky rozd´ıl˚ u moment˚ u jsou pro názornˇejˇs´ı pˇrehled k nalezen´ı v pˇr´ıloze B. Pˇredpokládáme, ˇze model by mˇel naj´ıt pˇr´ıpustné portfolio i pro ρ ≥ 0.30. Tabulka 4.4 ukazuje v´ ysledná portfolia pro minimáln´ı poˇzadovanou v´ ynosnost ρ. Vid´ıme, ˇze model nalezne ˇreˇsen´ı i pro vˇetˇs´ı poˇzadované v´ ynosy aˇz do ˇ ρ = 0.45. Do portfolia znovu zasáhnou pouze akcie spoleˇcnost´ı CEZ, Komerˇcn´ı Banky a Philipp Morris. Opˇet je zde lineárn´ı závislost procentuáln´ıho rozloˇzen´ı na ρ, pokud ρ = 0.05, . . . , 0.45.

4.2.2

Obdob´ı s niˇ zˇ s´ı celkovou v´ ynosnost´ı

Analogicky seˇrad´ıme scénáˇre a tentokrát odebereme 50 scénáˇr˚ u s nejvˇetˇs´ımi hodnotami vt . Simulujeme t´ım horˇs´ı pr˚ ubˇeh zmˇen v´ ynosnost´ı.

15

Akcie Stˇredn´ı hodnota AAA -0.310776 CETV -0.301203 CEZ -0.0248616 ERSTE 0.140892 KOMB 0.314974 ORCO -0.84642 PEGAS -0.0362388 PHILL 0.493683 TELE 0.070345 UNI 0.108135

ˇ ˇ catost Rozptyl Sikmost Spiˇ 57.6476 3.89842 36.0029 109.312 -0.0241127 6.91238 19.3121 -0.226381 10.9858 67.1739 0.052559 6.26591 30.4965 -0.107393 6.30469 93.6566 -0.208161 7.40792 18.0626 -1.80517 17.5386 14.5447 0.216788 4.29755 7.70032 -1.05179 13.904 28.964 -0.212061 8.87518

Tabulka 4.3: Momenty vypoˇctené z dat se scénáˇri s vyˇsˇs´ı celkovou v´ ynosnost´ı

ρ 0.0 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45

Portfolio CEZ 1.000 CEZ 0.894 CEZ 0.789 CEZ 0.683 CEZ 0.577 CEZ 0.472 CEZ 0.366 CEZ 0.261 CEZ 0.155 CEZ 0.049

KOMB KOMB KOMB KOMB KOMB KOMB KOMB KOMB KOMB

0.012 0.024 0.036 0.048 0.060 0.072 0.084 0.096 0.108

PHILL PHILL PHILL PHILL PHILL PHILL PHILL PHILL PHILL

0.094 0.187 0.281 0.374 0.468 0.562 0.655 0.749 0.842

Tabulka 4.4: V´ ysledky modelu se scénáˇri s vyˇsˇs´ı celkovou v´ ynosnost´ı

16

Akcie Stˇredn´ı hodnota AAA -0.396327 CETV -1.01908 CEZ -0.0956344 ERSTE -0.55971 KOMB 0.313673 ORCO -1.19127 PEGAS -0.243694 PHILL 0.0582649 TELE 0.0470209 UNI -0.223382

Rozptyl 61.2096 110.157 19.0541 63.6779 32.3215 91.7418 17.967 12.8523 7.92577 27.9584

ˇ ˇ catost Sikmost Spiˇ 3.60703 32.3905 -0.0162164 6.92086 -0.249968 11.27 -0.232675 6.51347 -0.264525 5.95137 -0.203988 7.76113 -1.76482 17.3447 -0.18199 4.77788 -0.952008 13.3303 -0.339093 9.23907

Tabulka 4.5: Momenty vypoˇctené z dat se scénáˇri s niˇzˇs´ı celkovou v´ ynosnost´ı ρ Portfolio 0.0 CEZ 1.000 0.05 CEZ 0.827 0.10 CEZ 0.654 0.15 CEZ 0.481 0.20 CEZ 0.308 0.25 CEZ 0.135 0.30 KOMB 0.946

KOMB 0.156 KOMB 0.313 KOMB 0.469 KOMB 0.625 KOMB 0.781 PHILL 0.054

PHILL0.017 PHILL 0.034 PHILL 0.050 PHILL 0.067 PHILL 0.084

Tabulka 4.6: V´ ysledky modelu se scénáˇri s niˇzˇs´ı celkovou v´ ynosnost´ı Stˇredn´ı hodnoty v´ ynosnost´ı novˇe vybran´ ych dat kromˇe akci´ı spoleˇcnost´ı Komerˇcn´ı Banky a Telefóniky klesly, viz tabulka 4.5. Hodnoty rozptyl˚ u u vˇsech spoleˇcnost´ı se zv´ yˇsily s v´ yjimkou Philip Morris. U ˇsikmosti jsme zaznamenali ˇ catost se v´ pˇreváˇznˇe m´ırn´ y pokles. Spiˇ yraznˇe zmˇenila jen u spoleˇcnosti AAA. ˇ Ve v´ ysledném portfoliu se opˇet objevuj´ı akcie spoleˇcnost´ı CEZ, Komerˇcn´ı Banka a Philip Morris viz tabulka 4.6. Oproti v´ ybˇeru scénáˇr˚ u s vyˇsˇs´ı celkovou v´ ynosnost´ı maj´ı v portfoliu vˇetˇs´ı pod´ıl akcie Komerˇcn´ı banky ˇca´steˇcnˇe na u ´kor ˇ akci´ı spoleˇcnosti Philip Morris a ˇcásteˇcnˇe na u ´kor akci´ı spoleˇcnosti CEZ. Lineárn´ı model naˇsel v tomto v´ ybˇeru scénáˇr˚ u ˇreˇsen´ı aˇz do ρ = 0.30, tedy stejnˇe jako v pˇr´ıpadˇe, pokud pouˇzijeme na vstupu reálné scénáˇre. Zde m˚ uˇzeme pozorovat lineárn´ı závislost procentuáln´ıho rozloˇzen´ı portfolia pro ρ = 0.05, . . . , 0.25. Pro poˇzadovanou v´ ynosnost ρ = 0.30 jiˇz do portfolia nezasáhnou akcie spoleˇcnosti ˇ CEZ, jejichˇz stˇredn´ı hodnota je záporná.

4.2.3

Obdob´ı s menˇ s´ı celkovou odchylkou

V této podkapitole se budeme zab´ yvat dalˇs´ım zp˚ usobem v´ ybˇeru dat, tentokrát vˇsak v závislosti na odchylce v´ ynosnost´ı od stˇredn´ı hodnoty. Necht’ rj je aritmetick´ y pr˚ umˇer v´ ynosnost´ı spoleˇcnosti j. Souˇcet odchylek pro vˇsechna aktiva za dané obdob´ı t oznaˇcme jako qt . Pojmenujme jej jako celková odchylka. qjt = |rj − rjt |, j = 1, . . . , 10, t = 1, . . . , 229

17

Akcie Stˇredn´ı hodnota AAA -0.40059 CETV -0.920875 CEZ -0.286639 ERSTE -0.124633 KOMB -0.0728637 ORCO -1.02005 PEGAS -0.176269 PHILL 0.185664 TELE -0.0465853 UNI -0.452232

ˇ ˇ catost Rozptyl Sikmost Spiˇ 60.2633 3.65536 33.3658 104.069 -0.00752593 7.45643 15.1888 -1.01157 11.7316 67.4688 -0.00985682 6.56458 30.5315 -0.326471 5.90845 98.1096 -0.249883 7.10782 18.5521 -1.62806 16.5323 15.0666 0.0269916 4.1618 7.84335 -1.1234 12.7935 27.339 -0.557501 8.08553

Tabulka 4.7: Momenty vypoˇctené z dat se scénáˇri s menˇs´ı celkovou odchylkou ρ Portfolio 0.00 CEZ 0.053 0.05 PHILL 0.476 0.10 PHILL 0.751

KOMB 0.002 TELE 0.524 TELE 0.249

PEGAS 0.032

PHILL 0.273

TELE 0.640

Tabulka 4.8: V´ ysledky modelu se scénáˇri s menˇs´ı celkovou odchylkou

qt =

10 X

qjt , t = 1, . . . , 10

j=1

Seˇrad´ıme scénáˇre podle qt . Odebereme 50 scénáˇr˚ u s nejvˇetˇs´ı hodnotou qt . Pod´ıváme se, jak vypadaj´ı tato nová data. Aniˇz bychom zp˚ usobem v´ ybˇeru dat zámˇernˇe ovlivˇ novali stˇredn´ı hodnotu, pozorujeme jej´ı sn´ıˇzen´ı s v´ yjimkou Erste Group Bank (viz Tabulka 4.7). U rozptylu jsme oˇcekávali urˇcité sn´ıˇzen´ı v souvislosti s v´ ybˇerem scénáˇr˚ u s menˇs´ı celkovou odˇ chylkou. Kromˇe spoleˇcnosti CEZ se vˇsak rozptyl zv´ yˇsil. U ˇsikmosti nebyl ˇza´dn´ y ˇ jednoznaˇcn´ y posun zaznamenán. Spiˇcatost sp´ıˇse vzrostla. Vid´ıme, ˇze u v´ ybˇeru dat s menˇs´ı celkovou odchylkou se v porovnán´ı s p˚ uvodn´ımi daty v´ yraznˇe zmˇenilo sloˇzen´ı v´ ysledného portfolia, viz tabulka 4.8. Pro ρ = 0 je portfolio rozdˇelené mezi akcie pˇeti spoleˇcnost´ı. Pro ρ = 0.05 a ρ = 0.10 je sloˇzeno pouze s akci´ı spoleˇcnosti Philip Morris a Telefónica. V tomto pˇr´ıpadˇe je zˇrejmé, proˇc tomu tak je. V´ ynosnosti obou spoleˇcnost´ı maj´ı oproti ostatn´ım nejvˇetˇs´ı stˇredn´ı hodnotu a zároveˇ n nejmenˇs´ı rozptyl. Protoˇze se sn´ıˇzila stˇredn´ı hodnota v´ ynosnost´ı témˇeˇr u vˇsech spoleˇcnost´ı, model jiˇz nenalezne pˇr´ıpustné portfolio splˇ nuj´ıc´ı podm´ınku minimáln´ı poˇzadované v´ ynosnosi pro ρ ≥ 0.15.

4.2.4

Obdob´ı s vˇ etˇ s´ı celkovou odchylkou

Analogicky seˇrad´ıme scénáˇre podle parametru qt . V tomto pˇr´ıpadˇe odebereme 50 scénáˇr˚ u s nejmenˇs´ı celkovou odchylkou. Stejnˇe jako u obdob´ı s menˇs´ı celkovou odchylkou se stˇredn´ı hodnota pˇreváˇznˇe sn´ıˇzila. Pˇredpokládali bychom, ˇze u rozptylu zaznamenáme zv´ yˇsen´ı. To se u 18

Akcie Stˇredn´ı hodnota AAA -0.200267 CETV -0.67594 CEZ -0.201804 ERSTE -0.316956 KOMB 0.118019 ORCO -1.34645 PEGAS -0.0940533 PHILL 0.301873 TELE -0.0187969 UNI -0.219857

Rozptyl 55.982 109.715 18.9997 68.8845 32.075 80.4313 14.8698 13.2346 7.72087 24.8097

ˇ ˇ catost Sikmost Spiˇ 3.94835 37.7004 -0.0393288 6.99373 -0.220888 11.3488 -0.237252 5.90688 -0.295119 6.05587 -0.620217 8.31594 -2.46189 24.4252 0.12972 4.9767 -1.03373 13.8632 -0.741579 10.1491

Tabulka 4.9: Momenty vypoˇctené z dat se scénáˇri s vˇetˇs´ı celkovou odchylkou ρ 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20

Portfolio CEZ 0.082 PEGAS 0.099 PHILL 0.146 TELE 0.645 UNI 0.028 KOMB 0.037 PEGAS 0.072 PHILL 0.265 TELE 0.616 UNI 0.010 KOMB 0.039 PHILL 0.441 TELE 0.520 KOMB 0.080 PHILL 0.623 TELE 0.297 KOMB 0.102 PHILL 0.813 TELE 0.085 Tabulka 4.10: V´ ysledky modelu se scénáˇri s vˇetˇs´ı celkovou odchylkou

vˇetˇsiny spoleˇcnost´ı potvrdilo. Koeficienty ˇsikmosti a ˇspiˇcatosti z˚ ustaly na podobn´ ych hodnotách. Vypoˇctené hodnoty moment˚ u a koeficient˚ u jsou v tabulce 4.9. V pˇr´ıpadˇe v´ ybˇeru dat s vˇetˇs´ı celkovou odchylkou nastává podobná situace jako u menˇs´ı celkové odchylky. Pro malé ρ se portfolio rozloˇz´ı mezi akcie pˇeti spoleˇcnost´ı. M´ısto spoleˇcnosti Pegas Nonwovens se v portfoliu vyskytuje Unipetrol. Pro ρ = 0.10, . . . , 0.20 je podle modelu optimáln´ı investovat do akci´ı Komerˇcn´ı Banky, Philip Morris nebo Telefónica (viz tabulka 4.10).

4.3

Souhrn v´ ysledk˚ u

V´ ysledky lineárn´ıho modelu (3.5) pˇri vstupu reáln´ ych dat z praˇzské burzy ukazuj´ı, ˇze rozloˇzen´ı portfolia je závislé na minimáln´ım, investorem poˇzadovaném, v´ ynosu ρ. Portfolio je rozloˇzeno mezi akcie tˇr´ı spoleˇcnost´ı. Stˇredn´ı hodnota v´ ynosnost´ı urˇcitého aktiva má v´ yraznou roli v tom, jestli se aktivum v optimáln´ım portfoliu objev´ı. Souˇcasnˇe jsme mohli vypozorovat, ˇze vyb´ırat akcie do portfolia pouze podle stˇredn´ıch hodnot nemus´ı b´ yt z hlediska rizika vˇzdy v´ yhodné. V´ ybˇer optimáln´ıho portfolia nezávis´ı pouze na momentech jednotliv´ ych aktiv, ale zˇrejmˇe i na vzájemn´ ych vztaz´ıch mezi nimi, na kovarianc´ıch. ´ Upravou reáln´ ych dat jsme simulovali jin´ y pr˚ ubˇeh zmˇen v´ ynosnost´ı. Data jsme upravovali odebrán´ım necel´ ych 22% scénáˇr˚ u, celkem 50 z 229. Vstupn´ı scénáˇre, na kter´ ych jsme hledali v´ ysledné portfolia, byly vybrány dvˇema základn´ımi zp˚ usoby. Nejprve jsme vyb´ırali data v závislosti na stˇredn´ı hodnotˇe v´ ynosnost´ı za obdob´ı t = 1, . . . , 229. Scénáˇre s niˇzˇs´ı stˇredn´ı hodnotou byly vynechány a z´ıskali 19

Obrázek 4.2: Procentuáln´ı rozloˇzen´ı portfoli´ı v závislosti na ρ: a) Reálná data, b) Data s vyˇsˇs´ı celkovou v´ ynosnost´ı, c) Data s niˇzˇs´ı celkovou v´ ynosnost´ı jsme tak data s vyˇsˇs´ı celkovou v´ ynosnosti. Analogicky jsme si pˇripravili data s niˇzˇs´ı celkovou v´ ynosnost´ı. V´ ybˇer scénáˇr˚ u se projevil zmˇenou stˇredn´ıch hodnot, jak bychom mohli podle zp˚ usobu v´ ybˇeru dat oˇcekávat. Stˇredn´ı hodnota se zv´ yˇsila pro data s niˇzˇs´ı celkovou v´ ynosnost´ı a zv´ yˇsila pro data s vyˇsˇs´ı celkovou v´ ynosnost´ı. Zaj´ımavé je, ˇze v obou pˇr´ıpadech se zv´ yˇsil rozptyl. Na pˇrehledu graf˚ u Obrázek 4.2 m˚ uˇzeme pozorovat procentuáln´ı rozloˇzen´ı portfolia v závislosti na parametru ρ. Pro vˇsechna troje vstupn´ı data (reálná, vyˇsˇs´ı celková v´ ynosnost, niˇzˇs´ı celková v´ ynosnost) je portfolio sloˇzeno pouze z akci´ı ˇ spoleˇcnost´ı CEZ, Komerˇcn´ı Banka a Philip Morris se dvˇema v´ yjimkami. Za prvé pro ρ = 0, které znamená, ˇze na portfolio je kladen pouze poˇzadavek, aby nebylo ztrátové. V takovém pˇr´ıpadˇe v´ ysledné portfolio obsahuje jen akcie spoleˇcnosti ˇ CEZ. Zadruhé pro ρ = 0.30, kde v pˇr´ıpadˇe v´ ybˇeru dat s niˇzˇs´ı celkovou v´ ynosnost´ı je portfolio sloˇzeno pouze z akci´ı Philip Morris a Komerˇcn´ı Banky. Vid´ıme, ˇze rozloˇzen´ı portfolia je opˇet závislé na minimáln´ı poˇzadované v´ ynosnosti. Pozorujeme, ˇze závislost procentuáln´ıho rozloˇzen´ı v´ ysledného portfolia na ρ je lineárn´ı, ale jen pro taková ρ, kde je portfolio sloˇzeno ze stejn´ ych aktiv. Pokud pro zvyˇsuj´ıc´ı se ρ klesá pomˇer akci´ı urˇcité spoleˇcnosti v portfoliu a pro urˇcité ρ spoleˇcnost z portfolia vymiz´ı, nem˚ uˇzeme jiˇz závislost povaˇzovat za lineárn´ı. V´ ysledky modelu se pro data s vyˇsˇs´ı i niˇzˇs´ı celkovou v´ ynosnost´ı od v´ ysledk˚ u s reáln´ ymi vstupn´ımi daty pˇr´ıliˇs neliˇs´ı. Rozd´ıly jsou pouze v procentech, kolik se má do pˇr´ısluˇsn´ ych aktiv investovat. Pod´ıvejme se nyn´ı na data vybraná druh´ ym zp˚ usobem, v závislosti na odchylce od stˇredn´ı hodnoty. Zde se rozptyl pˇreváˇznˇe sn´ıˇzil. Model naˇsel pˇr´ıpustná portfolia nejv´ yˇse pro ρ = 0.1 v pˇr´ıpadˇe dat s menˇs´ı celkovou odchylkou a pro ρ = 0.15 v pˇr´ıpadˇe vˇetˇs´ı celkové odchylky. V pˇrehledu graf˚ u Obrázek 4.3 nalezneme procentuáln´ı rozloˇzen´ı portfolia. Vid´ıme, ˇze nalezená portfolia pˇri vstupn´ıch datech s vˇetˇs´ı a menˇs´ı celkovou odchylkou se podstatnˇe liˇs´ı od v´ ysledk˚ u s daty reáln´ ymi. V d˚ usledku vzájemného pˇribl´ıˇzen´ı se stˇredn´ıch hodnot v´ ybˇerem nov´ ych vstupn´ıch dat, se optimáln´ı portfolia dˇel´ı aˇz mezi 5 aktiv. V´ ysledná portfolia jsou pro názorn´ y pˇrehled graficky shrnuta v pˇr´ıloze A. Pouze s pouˇzit´ım historick´ ych dat nelze vˇzdy odhadnout jejich budouc´ı v´ yvoj. Konkrétnˇe v´ ynosnosti aktiv ovlivˇ nuje mnoho faktor˚ u (ekonomické, politické,...). Jejich zmˇeny a velikost tˇechto zmˇen mohou b´ yt na základˇe dostupn´ ych historick´ ych dat nepˇredpovˇeditelné. Správné odhadnut´ı 80% budouc´ıho v´ yvoje v´ ynos20

Obrázek 4.3: Procentuáln´ı rozloˇzen´ı portfoli´ı v závislosti na ρ: a) Reálná data, b) Data s menˇs´ı celkovou odchylkou, c) Data s vˇetˇs´ı celkovou odchylkou nost´ı jiˇz lze povaˇzovat za u ´spˇeˇsné. Lineárn´ı model se stˇredn´ı absolutn´ı odchylkou pˇri odstranˇen´ı 22% scénáˇr˚ u nedává stabiln´ı v´ ysledky. Optimáln´ı portfolia nalezená t´ımto modelem pro r˚ uzné v´ ybˇery se podstatnˇe liˇs´ı. Pro nˇekteré v´ ybˇery lze nalézt portfolia jen s n´ızk´ ym poˇzadovan´ ym v´ ynosem. Povaˇzujeme tedy lineárn´ı model se stˇredn´ı absolutn´ı odchylkou jako m´ırou rizika za nestabiln´ı.

21

Z´ avˇ er V této práci jsme se zab´ yvali problémem minimalizace rizika portfolia za podm´ınky minimáln´ı poˇzadované v´ ynosnosti. Je zde ukázáno, ˇze tento problém s pouˇzit´ım stˇredn´ı absolutn´ı odchylky jako m´ıry rizika je u ´lohou lineárn´ıho programován´ı. Pro normálnˇe rozdˇelené v´ ynosnosti jsme dokázali, ˇze Markowitz˚ uv model a náˇs odvozen´ y lineárn´ı model se stˇredn´ı absolutn´ı odchylkou ˇreˇs´ı ekvivalentn´ı optimalizaˇcn´ı u ´lohu. Skuteˇcné v´ ynosnosti aktiv ve vˇetˇsinˇe pˇr´ıpad˚ u nejsou normálnˇe rozdˇeleny. Za u ´ˇcelem studie citlivosti modelu v diskrétn´ım pˇr´ıpadˇe jsme nˇekolika zp˚ usoby upravovali data z praˇzské burzy. Pˇri testován´ı citlivosti lineárn´ıho modelu optimáln´ı volby porfolia se stˇredn´ı absolutn´ı odchylkou jako m´ırou rizika jsme zjistili, ˇze pˇri zmˇenách vstupn´ıch dat v záv´ıslosti na odchylce od stˇredn´ı hodnoty se portfolia velmi liˇsila od portfoli´ı nalezen´ ych modelem s p˚ uvodn´ımi scénáˇri. Studie ukázala, ˇze model jiˇz pˇri odstranˇen´ı necel´ ych 22% scénáˇr˚ u nedává stabiln´ı v´ ysledky. Studie citlivosti modelu na vstupn´ı data by se dala rozˇs´ıˇrit napˇr´ıklad porovnán´ım v´ ysledk˚ u modelu na generovan´ ych vstupn´ıch datech s normáln´ım rozdˇelen´ım. Do budoucna by bylo zaj´ımavé posoudit stabilitu modelu pro nalezen´ı optimáln´ıch portfoli´ı také pro jiné m´ıry rizika neˇz je stˇredn´ı absolutn´ı odchylka.

22

Pˇ r´ıloha A

100

80

60

CEZ KOMB PHIL

40

20

0.0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.30

Obrázek A.1: Procentuáln´ı závislost rozloˇzen´ı portfolia na ρ: Reálná data“ ”

23

100

80

60

CEZ KOMB PHIL

40

20

0.0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

Obrázek A.2: Procentuáln´ı závislost rozloˇzen´ı portfolia na ρ: Vyˇsˇs´ı celková ” v´ ynosnost“

100

80

60

CEZ KOMB PHIL

40

20

0.0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.30

Obrázek A.3: Procentuáln´ı závislost rozloˇzen´ı portfolia na ρ: Niˇzˇs´ı celková ” v´ ynosnost“

24

100

80

CEZ KOMB PEGAS PHIL TELE UNI

60

40

20

0.0

0.05

0.1

0.15

0.2

Obrázek A.4: Procentuáln´ı závislost rozloˇzen´ı portfolia na ρ: Vˇetˇs´ı celková od” chylka“

100

80

CEZ KOMB PEGAS PHIL TELE UNI

60

40

20

0.0

0.05

0.1

Obrázek A.5: Procentuáln´ı závislost rozloˇzen´ı portfolia na ρ: Menˇs´ı celková od” chylka“

25

Pˇ r´ıloha B

AAA CETV CEZ ERSTE KOMB ORCO PEGAS PHILL TELE UNI

Stredni hodnota - 0.106781 0.405409 0.0386262 0.307931 0.135221 0.160011 0.00878342 0.143971 0.0268583 0.25106

Rozptyl 6.3617 10.2692 2.84735 3.93338 1.05019 5.58578 2.24682 1.028 0.620101 3.34093

Sikmost 0.265758 0.0143516 0.0171318 0.0834144 0.0991467 - 0.0816322 - 0.132355 0.106142 - 0.157501 0.0131821

Spicatost 0.256231 - 0.0550844 - 1.0007 - 0.0557677 0.22896 0.0685775 - 0.539321 - 0.332201 0.615223 - 0.302252

Obrázek B.1: Tabulka rozd´ıl˚ u moment˚ u Vyˇsˇs´ı v´ ynosnost-Reálná data“ ”


Stredni hodnota - 0.192331 - 0.312465 - 0.0321466 - 0.392671 0.13392 - 0.18484 - 0.198671 - 0.291447 0.0035341 - 0.0804573

Rozptyl 9.92373 11.1143 2.58932 0.437416 2.87519 3.67093 2.1513 - 0.664374 0.845556 2.33528

Sikmost - 0.025637 0.0546806 - 0.00645505 - 0.201819 - 0.0579847 - 0.0774586 - 0.0920004 - 0.292636 - 0.0577227 - 0.11385

Spicatost - 3.35618 - 0.0466068 - 0.716499 0.191798 - 0.12436 0.421784 - 0.733284 0.148121 0.0415599 0.0616373

Obrázek B.2: Tabulka rozd´ıl˚ u moment˚ u Niˇzˇs´ı v´ ynosnost-Reálná data“ ” 26


Stredni hodnota - 0.196594 - 0.214263 - 0.223151 0.0424061 - 0.252617 - 0.0136196 - 0.131247 - 0.164048 - 0.090072 - 0.309307

Rozptyl 8.97742 5.02597 - 1.27599 4.22832 1.0852 10.0387 2.73633 1.54999 0.763133 1.71592

Sikmost 0.022701 0.0309383 - 0.768062 0.0209986 - 0.119931 - 0.123353 0.0447639 - 0.0836542 - 0.229119 - 0.332258

Spicatost - 2.38087 0.488963 - 0.254908 0.242902 - 0.167281 - 0.231528 - 1.5457 - 0.467951 - 0.49528 - 1.0919

Obrázek B.3: Tabulka rozd´ıl˚ u moment˚ u Menˇs´ı odchylka-Reálná data“ ”


Stredni hodnota 0.00372806 0.0306725 - 0.138316 - 0.149917 - 0.0617338 - 0.340018 - 0.0490311 - 0.0478389 - 0.0622836 - 0.0769322

Rozptyl 4.69617 10.6723 2.53489 5.64404 2.62875 - 7.63952 - 0.945984 - 0.282034 0.640656 - 0.813373

Sikmost 0.315686 - 0.000864574 0.0226245 - 0.206397 - 0.0885794 - 0.493688 - 0.789075 0.0190741 - 0.139442 - 0.516336

Spicatost 1.95376 0.0262633 - 0.637643 - 0.414795 - 0.019863 0.976595 6.34722 0.346948 0.574471 0.97167

Obrázek B.4: Tabulka rozd´ıl˚ u moment˚ u Vˇetˇs´ı odchylka-Reálná data“ ”

27

70

100

60 80

50

60

40

40

30 20

20

10 0

20

40

60

0

-20

AAA

20

40

CETV

70

80

60 60

50 40

40

30 20

20

10 -20

0

-10

10

20

-30

-20

0

-10

CEZ

10

20

30

ERSTE 80

60 50

60 40 30

40

20 20 10 0

-10

10

20

-40

0

-20

KOMB

20

ORCO

70 60

60

50 40

40

30 20

20

10 -20

0

-10

10

-10

PEGAS

0

-5

5

10

PHILL 70

80

60 50

60

40 40

30 20

20

10 -15

-10

-5

0

5

10

-20

TELE

-10

0

10

20

UNI

Obrázek B.5: Histogramy relativn´ıch v´ ynosnost´ı vybran´ ych spoleˇcnost´ı z praˇzské burzy 28

Pˇ r´ıloha C Kód modelu v programu GAMS: Sets t cas /1*49/ j akcie /AAA, CETV, CEZ, ERSTE, KOMB, ORCO, PEGAS, PHILL, TELE, UNI/; Parameter d(t,j); $call GDXXRW.EXE data1.xls par=d rng=D1:M50 $GDXIN data1.gdx $LOAD d $GDXIN Scalar L mnozstvi dat (cas t=1...T) /49/ rho pozadavek na vynosnost portfolia /0.05/; Variable m minimalizovana promenna y(t) yt; Positive Variable x(j) nakup akcie j; Parameter r(j) stredni hodnota akcie j; r(j) = sum(t,d(t,j))/L; Parameter a(j,t) vzdalenost dat od str. hodnoty (bez abs. hodnoty); a(j,t) = d(t,j) - r(j); Equations mad stredni absolutni odchylka - mean absolute deviation absn zaporna cast absolutni hodnoty absp kladna cast absolutni hodnoty equity soucet vah je roven 1 return pozadavek na vynosnost; mad .. m =e= sum(t,y(t))*1/L;

29

absn(t) .. y(t) + sum(j,a(j,t)*x(j)) =g= 0; absp(t) .. y(t) - sum(j,a(j,t)*x(j)) =g= 0; equity .. sum(j,x(j)) =e= 1; return .. sum(j,r(j)*x(j)) =g= rho; Model MADMarkowitz /all/; Solve MADMarkowitz minimazing m using lp; Display a, d, r, x.l, x.m ;

30

Seznam pouˇ zit´ e literatury ˇl, J. (2011). Základy matematické statistiky. Matfyzpress, Praha. ISBN Ande 978-80-7378-162-0. Artzner, P., Delbaen, F., Eber, J.-M., a Heath, D. (1999). Coherent measures of risk. Mathematical finance, 9(3), 203–228. ˇova ´ , J. (1996). Dupac Markowitz˚ uv model optimáln´ı volby portfolia: pˇredpoklady, data, alternativy. studijn´ı text, Matematicko-fyzikáln´ı fakulta Univerzity Karlovy v Praze. ˇ e ˇova ´ , J., Hurt, J., a St ˇpa ´ n, J. (2002). Stochastic modeling in econoDupac mics and finance. Springer. ISBN 1-4020-0840-6. Konno, H. a Yamazaki, H. (1991). Mean-absolute deviation portfolio optimization model and its applications to tokyo stock market. Management science, 37(5), 519–531. Markowitz, H. (1952). Portfolio selection. The journal of finance, 7(1), 77–91. Markowitz, H. (1959). Portfolio selection: efficient diversification of investments. New York: John Wiley & Sons, Inc. Perold, A. F. (1984). Large-scale portfolio optimization. Management Science, 30(10), 1143–1160. Rockafellar, R. T. a Uryasev, S. (2000). Optimization of conditional valueat-risk. Journal of risk, 2, 21–42.

31

Seznam tabulek 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10

Momenty v´ ynosnost´ı reáln´ ych dat . . . . . . . . . . . . . . . . . V´ ysledky modelu s reáln´ ymi vstupn´ımi daty . . . . . . . . . . . Momenty vypoˇctené z dat se scénáˇri s vyˇsˇs´ı celkovou v´ ynosnost´ı V´ ysledky modelu se scénáˇri s vyˇsˇs´ı celkovou v´ ynosnost´ı . . . . . Momenty vypoˇctené z dat se scénáˇri s niˇzˇs´ı celkovou v´ ynosnost´ı V´ ysledky modelu se scénáˇri s niˇzˇs´ı celkovou v´ ynosnost´ı . . . . . Momenty vypoˇctené z dat se scénáˇri s menˇs´ı celkovou odchylkou V´ ysledky modelu se scénáˇri s menˇs´ı celkovou odchylkou . . . . . Momenty vypoˇctené z dat se scénáˇri s vˇetˇs´ı celkovou odchylkou V´ ysledky modelu se scénáˇri s vˇetˇs´ı celkovou odchylkou . . . . .

32

. . . . . . . . . .

13 14 16 16 17 17 18 18 19 19

Střední absolutní odchylka jako míra rizika

Recommend Documents