Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya. Penyelesaian Persamaan Ruang Keadaan

Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya

Penyelesaian Persamaan Ruang Keadaan

Pengantar Materi Contoh Soal Ringkasan Latihan Asesmen

Pengantar

Teorema Cayley-Hamilton

Materi

Penyelesaian Umum Persamaan Keadaan Homogen

Contoh Soal

Penyelesaian Umum Persamaan Keadaan Homogen Dengan Tranformasi Laplace

Ringkasan Latihan Asesmen

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Pengantar

 Pada sub-bab ini akan dibahas teorema CayleyHamilton untuk menyelesaikan masalah-masalah yang melibatkan persamaan matrik transisi keadaan, persamaan homogen, dan pendekatan laplace pada persamaan keadaan homogen.  Matrik transisi keadaan, merupakan matriks yang mencirikan suatu transisi dari variable-variabel state pada saat ti untuk beralih ke tj, dimana tj>ti

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Materi Teorema Cayley-Hamilton Teorema ini digunakan untuk pembuktian yang melibatkan persamaan matrik atau menyelesaikan masalah yang melibatkan persamaan matrik. Matrik Anxn, dengan persamaan karakteristik

I  A    a1 n

n 1

 ...  an1  an  0 (Pers.1)

teorema Cayley-Hamilton: matrik A yang sesuai dengan persamaan karakteristiknya dinyatakan dengan bentuk persamaan sebagai berikut,

A n  a1 A n1  ...  an1 A  an I  0

(Pers.2)

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Materi

Fungsi eat at at det de de d (at )  et ;   e at a  ae at dt dt d (at ) dt 

k ( at ) e  1  at  21! (at )   k1! (at )     k! k 0 k! k  (k  1)   2 1 at

2

k

de at d (1  at  12 (at ) 2   k1! (at ) k  )  dt dt 0  a  22 (at )a   kk! (at ) k 1 a  )   ae at dt

(Pers.3)

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Materi Penyelesaian Umum Persamaan Keadaan Homogen Persamaan diferensial Skalar Persamaan diferensial skalar dinyatakan dengan bentuk sebagai berikut:

x  ax

(Pers.4)

dan penyelesaiannya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut x(t )  b0  b1t  b2 t 2  ....  bk t k  ....

(Pers.5)

Dari kedua persamaan diatas dilakukan substitusi sehingga dapat dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut

b1  2b2 t  3b3t 3  ....  kbk t k 1  ....  a(b0  b1t  b2 t 2  ....  bk t k  ....) (Pers.6)

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Materi Penyelesaian Umum Persamaan Keadaan Homogen Selanjutnya dengan menyamakan koefisien-koefisien dari suku-suku dengan pangkat t yang sama diperoleh:

b1  ab0 1 b2  ab1  2 1 b3  ab2  3 ................... 1 bk  a k b0 k!

1 2 a b0 2 1 3 a b0 3x 2

(Pers.7)

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Materi Penyelesaian Umum Persamaan Keadaan Homogen dengan mensubtitusikan t=0 kedalam persamaan

b,1  2b2 t  3b3t 3  ....  kbk t k 1  ....  a(b0  b1t  b2 t 2  ....  bk t k  ....) (Pers.8) maka diperoleh x(0)=b0, jadi jawab x(t) dapat dituliskan sebagai berikut : x(t )  (1  at 

1 2 2 1 a t  ....  a k t k  ....) x(0)  e at x(0) 2! k!

(Pers.9)

Persamaan diatas merupakan penyelesaian umum persamaan diferensial skalar dan mengandung suku eksponensial skalar.

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Materi

Exponensial Matriks: eAt 

k k A t At 2 2 k k 1 1 e  I  At  2! A t   k! A t     k  0 k! k! k  (k  1)   2 1

de at de at d (at )   ae at dt d (at ) dt de At de At d ( At )   Ae At  e At A dt d ( At ) dt

(Pers.9)

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Materi Bentuk deret dari eAt

d At d e  ( I  At  21! A 2 t 2   k1! A k t k  ) dt dt  0  A  12 2tA2    k1! kt k 1 A k    A  A 2t   

1 ( k 1)!

A k t k 1  

 A(I  At   (k1-1)! A k 1t k 1  ) 

 A k 0

Ak t k  Ae At k!

 (I  At   (k1-1)! A k 1t k 1  ) A 

 ( k 0

Ak t k ) A  e At A k!

(Pers.10)

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Materi PenyelesaianUmum UmumPersamaan PersamaanKeadaan KeadaanHomogen Homogen Penyelesaian Persamaan diferensial Matrik Vektor Persamaan diferensial matrik-vector:

x  Ax

(Pers.11)

dimana : x = vektor n dimensi. A= matriks konstannxn Analogi dengan kasus skalar, berbentuk deret pangkat vektor dalam t, atau

x(t )  b 0  b1t  b 2 t 2  ....  b k t k  ....

(Pers.12)

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Materi Penyelesaian Umum Persamaan Keadaan Homogen Substitusi pada pers (

b1  2b 2 t  3b 3t 3  ....  kb k t k 1  ....  A(b 0  b1t  b 2 t 2  ....  b k t k  ....) (Pers.13) Selanjutnya dengan menyamakan koefisien-koefisien dari suku-suku dengan pangkat t yang sama diperoleh: b  Ab 1 0 1 1 b  Ab  A 2b 2 1 0 2 2 1 1 b  Ab  A3b 3 2 0 3 3x 2 ................... 1 b  Ak b k 0 k!

(Pers.14)

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Materi Penyelesaian Umum Persamaan Keadaan Homogen dengan mensubtitusikan t=0 kedalam persamaan x(t )  b 0  b1t  b 2 t 2  ....  b k t k  .... , maka diperoleh x(0)=b0, jadi jawab x(t) dapat dituliskan sebagai berikut :

x(t )  (I  At 

1 22 1 A t  ....  A k t k  ....)x(0)  e At x(0) 2! k!

(Pers.15)

Karena eksponensial matrik eAt dalam analisis ruang keadaan sistem linier, maka berikut adalah beberapa sifat eksponensial matrik,

e ( AB)t  e At e Bt

jika AB  BA

e ( AB)t  e At e Bt

jika AB  BA

(Pers.16)

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Materi Penyelesaian Umum Persamaan Keadaan Homogen Dengan Tranformasi Laplace

Pendekatan penyelesaian untuk persamaan diferensial skalar homogen dapat diperluas dengan persamaan keadaan homogen:

x  Ax(t )

(Pers.17)

dengan transformasi laplace sebagai berikut :

sX(s)-x(0) = AX(s)

(Pers.18)

dimanaX(s) = ℒ[x]. Selanjutnya (sI-A)X(s) = x(0)

(Pers.19)

kedua persamaan (a) dan (b) dikalikan dengan (sI-A)-1, maka diperoleh X(s) = (sI-A)-1 x(0)

(Pers.20)

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Contoh Soal

Persamaan keadaan sistem linier time invariant yang dinyatakan dalam bentuk berikut : 1 0   x1  1  x1   0  x    0   x   1 r (t ) 0 1 2     2     x 3   6  11  6  x3  1 y  1 1 0x

Bila diberikan kondisi awal dari variabel keadaan adalah :  x1   1   x    0,5   2    x3   0,5

Tentukan x(t) dan y(t) jika r(t) adalah fungsi step.

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Contoh Soal Penyelesaian

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Contoh Soal Penyelesaian

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Contoh Soal Penyelesaian

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Contoh Soal Penyelesaian

Program Matlab pada contoh soal tersebut, A=[0 1 0; 0 0 1; -6 -11 -6]; B=[1;1;1]; C=[1 1 0]; D=0; x0=[1 .5 -0.5]; t=0:0.05:4; U=ones(1, length(t)); % menghasilkan vektor baris u(t) [y,x]=lsim(A,B,C,D,U,t,x0); plot(t,x,t,y); title('Penyelesaian numerik pada persamaan state'), xlabel('Waktu - detik')

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Contoh Soal Penyelesaian Keluaran dari program Matlab seperti terlihat pada gambar di bawah :

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Ringkasan

1. Untuk menyelesaikan persamaan keadaan homogen dapat diselesaikan dengan teorema: Teorema Cayley-Hamilton 2. Penyelesaian persamaan keadaan sistem, dapat dilakukan dengan menggunakan function [y,x] = impulse(A,B,C,iu,t) dan [y,x] = step(A,B,C,D,iu,t) dimana kedua fungsi tersebut akan menghasilkan respon impulse dan respon step

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Latihan

Persamaan keadaan sistem linier time invariant yang dinyatakan dalam bentuk berikut : 1 0   x1  1  x1   0  x    0   x   1 r (t ) 0 2 2     2     x3   6  6  6  x3  1 y  1 2 0x

Bila diberikan kondisi awal dari variabel keadaan adalah :  x1   1  x    1   2    x3   0,5

Tentukan x(t) dan y(t) jika r(t) adalah fungsi step.

SEKIAN & TERIMAKASIH