Doc.RNDr.Ing.Josef Nedoma, CSc
MATEMATIKA I Shrnut´ı a pˇ rehled
Text je pˇrehledem a shrnut´ım l´ atky pˇredn´aˇsen´e v pˇredmˇetu Matematika I posluchaˇc˚ um 1. semestru fakulty strojn´ıho inˇzen´ yrstv´ı Vysok´eho uˇcen´ı technick´eho v Brnˇe. Vych´ az´ı z autorov´ ych skript MATEMATIKA I vydan´ ych nakladatelstv´ım CERM,s.r.o. Brno, 2001, kter´ a vznikla souhrnn´ ym pˇrepracov´ an´ım tˇr´ı text˚ u: ˇ J.Nedoma: Matematika I, C´ast prvn´ı, Algebra a geometrie. [PC-DIR, Nakladatelstv´ı Brno, 1998] ˇ ast druh´ J.Nedoma: Matematika I, C´ a, Diferenci´ aln´ı poˇcet funkc´ı jedn´e promˇenn´e. [PC-DIR Real, s.r.o., Brno, 1999] ˇ ast tˇret´ı, Integr´ J.Nedoma: Matematika I, C´ aln´ı poˇcet funkc´ı jedn´e promˇenn´e. [PC-DIR Real, s.r.o., Brno, 2000] Za cenn´e pˇripom´ınky dˇekuji zejm´ena Doc.RNDr.M.Doupovcovi,CSc. Tento text je urˇcen jako uˇcebn´ı pom˚ ucka pˇredevˇs´ım pro konsultanty a posluchaˇce kombinovan´eho studia FSI-VUT Brno. Brno, z´ aˇr´ı 2002.
autor
´ ´ A. ZAKLADN I POJMY. ˇ l. MNOZINY . Z´ akladn´ı pojmy teorie mnoˇ zin. Mnoˇzinou rozum´ıme soubor (mnoˇzstv´ı, souhrn) urˇcit´ ych objekt˚ u, kter´e se daj´ı navz´ a jem rozliˇsit. Mnoˇzina je d´ ana, dovedeme-li o kaˇzd´em objektu rozhodnout, jestli do n´ı patˇr´ı nebo ne. Z´apis a ∈ M znamen´a a patˇr´ı do mnoˇziny M nebo tak´e a je prvkem mnoˇziny M. Z´ apis a ∈ / M naopak znamen´a, ˇze a nepatˇr´ı do mnoˇziny M nebo tak´e a nen´ı prvkem mnoˇziny M. Mnoˇzinu, kter´ a neobsahuje ˇz´adn´ y prvek, naz´ yv´ ame pr´ azdnou mnoˇzinou a znaˇc´ıme ji ∅. Mnoˇzina, kter´ a obsahuje alespoˇ n jeden prvek se naz´ yv´ a nepr´ azdn´ a. Mnoˇzina, kter´ a obsahuje pouze koneˇcn´ y poˇcet prvk˚ u se naz´ yv´ a koneˇcn´ a. Koneˇcnou naz´ yv´ ame i pr´ azdnou mnoˇzinu. Mnoˇzina, kter´ a nen´ı koneˇcn´a se naz´ yv´ a nekoneˇcn´ a. ˇ Necht jsou d´ any dvˇe mnoˇziny A, B. Jestliˇze kaˇzd´ y prvek mnoˇziny A je souˇcasnˇe prvkem mnoˇziny B, potom ˇr´ık´ ame, ˇze mnoˇzina A je ˇc´ ast´ı mnoˇziny B nebo tak´e, ˇze A je podmoˇzinou mnoˇziny B nebo tak´e, ˇze B je nadmnoˇzinou mnoˇziny A a p´ıˇseme A ⊂ B, eventu´ alnˇe B ⊃ A. A ⊂ B ovˇsem tak´e znamen´a: Kaˇzd´ y prvek nepatˇr´ıc´ı do B nepatˇr´ı ani do A. 1
Jestliˇze souˇcasnˇe A ⊂ B a B ⊂ A , potom ˇr´ık´ ame, ˇze mnoˇzinyA, B jsou sobˇe rovny a p´ıˇseme A = B. Operace s mnoˇ zinami. Mnoˇzinu tvoˇrenou vˇsemi prvky mnoˇziny A a vˇsemi prvky mnoˇziny B naz´ yv´ ame sjednocen´ım mnoˇzin A a B a oznaˇcujeme ji A ∪ B, eventu´ alnˇe B ∪ A. Mnoˇzinu tvoˇrenou vˇsemi prvky patˇr´ıc´ımi souˇcasnˇe do mnoˇziny A i do mnoˇziny B naz´ yv´ ame pr˚ unikem mnoˇzin A, B a oznaˇcujeme ji A∩B , eventu´ alnˇe B∩A. Jestliˇze A ∩ B = ∅ (pr´ azdn´ a mnoˇzina), potom ˇr´ık´ ame, ˇze mnoˇziny A, B jsou disjunktn´ı . Mnoˇzinu vˇsech prvk˚ u patˇr´ıc´ıch do mnoˇziny A a souˇcasnˇe nepatˇr´ıc´ıch do mnoˇziny B naz´ yv´ ame rozd´ılem mnoˇziny A a mnoˇziny B nebo tak´e doplˇ nkem mnoˇziny B do mnoˇziny A a oznaˇcujeme ji A − B. Mnoˇzinu tvoˇrenou vˇsemi uspoˇra´dan´ ymi dvojicemi (a, b) takov´ ymi, ˇze a ∈ A , b ∈ B naz´ yv´ ame kart´ezsk´ ym souˇcinem mnoˇzin A , B a oznaˇcujeme ji A × B. Slova uspoˇra´dan´ a dvojice (a, b) znamenaj´ı, ˇze ve dvojici z´aleˇz´ı na poˇrad´ı, t.j. dvojice (a, b), (b, a) jsou r˚ uzn´e. Re´ aln´ e mnoˇ ziny, supremum a infimum. Mnoˇziny, jej´ımiˇz prvky jsou pouze re´aln´ a ˇc´ısla, naz´ yv´ ame re´ aln´ ymi mnoˇzinami. Tyto mnoˇziny mohou m´ıt r˚ uzn´e struktury. Pro n´ as zvl´ aˇstˇe d˚ uleˇzit´ ymi jsou otevˇren´e, uzavˇren´e a polouzavˇren´e intervaly. O re´ aln´e mnoˇzinˇe M ˇrekneme, ˇze je shora ohraniˇcen´ a, jestliˇze existuje re´aln´e ˇc´ıslo ˇ h takov´e, ˇze pro kaˇzd´e ˇc´ıslo x ∈ M plat´ı x ≤ h. C´ıslo h se pak naz´ yv´ a horn´ı z´ avora mnoˇziny M. Nejmenˇs´ı horn´ı z´avora se naz´ yv´ a supremum mnoˇziny M a oznaˇcuje se sup M. Jestliˇze sup M ∈ M, potom toto supremum naz´ yv´ ame maximem mnoˇziny M a oznaˇcujeme max M. Analogicky definujeme ohraniˇcenost re´aln´e mnoˇziny zdola, doln´ı z´ avoru a nejvˇetˇs´ı doln´ı z´avoru, kter´ a se naz´ yv´ a infimum mnoˇziny M a oznaˇcuje se inf M. Jestliˇze nav´ıc inf M ∈ M, potom je infimum nejmenˇs´ım ˇc´ıslem v mnoˇzinˇe M a oznaˇcuje se min M (ˇcti minimum mnoˇziny M). Pˇr´ıklad:Pro M = 0, 1) plat´ı sup M = 1 , max M neexistuje, inf M = min M = 0. ´ LOGIKA. 2. MATEMATICKA V´ yrok a v´ yrokov´ a funkce.V´ yrokem rozum´ıme gramaticky spr´ avnˇe vytvoˇrenou vˇetu o kter´e lze rozhodnout, zda je pravdiv´ a nebo nepravdiv´ a.V´ yrokovou funkc´ı pak rozum´ıme vˇetu, kter´a sice nen´ı v´ yrokem, obsahuje vˇsak symbol x pˇripouˇstˇej´ıc´ı dosazen´ı konkretn´ı hodnoty a kter´ a po dosazen´ı se stane v´ yrokem. Tak napˇr´ıklad ˇ vˇeta: ”C´ıslo x je sud´e” je v´ yrokovou funkc´ı. Dosad´ıme-li za symbol x ˇc´ıslo 5 dostaneme nepravdiv´ y v´ yrok ”ˇc´ıslo 5 je sud´e”. V´ yrokov´e funkce budeme oznaˇcovat p(x), q(x), . . . zat´ımco v´ yroky pouh´ ymi p´ısmeny p, q, . . . . V matematice se ˇcasto m´ısto vˇety ”v´ yrok p je pravdiv´ y” ˇr´ık´ a ”v´ yrok p m´ a logickou hodnotu true (pravda)” anebo kr´ atce ”plat´ı p”. M´ısto vˇety ”v´ yrok p je nepravdiv´ y” se ˇcasto ˇr´ık´ a ”v´ yrok p m´ a logickou hodnotu false (nepravda)” anebo kr´ atce ”neplat´ı p”. ˇ ık´ Naˇse definice v´ yroku pˇripouˇst´ı pouze dvˇe logick´e hodnoty. R´ ame proto, ˇze pracujeme ve dvojhodnotov´e logice. 2
Negace v´ yroku a logick´ e kvantifik´ atory. Negac´ı v´ yroku p rozum´ıme v´ yrok q, kter´ y m´a tuto vlastnost: kdyˇz je v´ yrok p pravdiv´ y, je v´ yrok q nepravdiv´ ya naopak, kdyˇz v´ yrok p je nepravdiv´ y, je v´ yrok q pravdiv´ y. Negaci q v´ yroku p ˇcasto oznaˇcujeme ¬p anebo p (ˇcti non p). Nechˇt A je nˇejak´ a mnoˇzina a nechˇt p(x) je nˇejak´ a v´ yrokov´ a funkce. V´ yrok Pro kaˇzd´ y prvek x ∈ A je pravdiv´ y v´ yrok p(x) se v matematice ˇcasto zapisuje takto p(x)
∀
x ∈ A nebo
∀
x ∈ A : p(x)
a ˇcte se: p(x) plat´ı pro kaˇzd´e x z mnoˇziny A. Je zˇrejm´e, ˇze opaˇcn´ ym v´ yrokem k tomuto v´ yroku je v´ yrok V mnoˇzinˇe A existuje (aspoˇ n jeden) prvek a takov´ y, ˇze v´ yrok p(a) je nepravdiv´ y. Tento v´ yrok se v matematice ˇcasto zapisuje takto: ∃
a∈A:
p(a)
a ˇcte se: v mnoˇzinˇe A existuje prvek a takov´ y, ˇze neplat´ı p(a). Z uveden´eho pˇr´ıkladu ˇ ık´ je v´ yznam symbol˚ u ∀, ∃ zˇrejm´ y. R´ a se jim logick´e kvantifik´ atory. Disjunkce a konjunkce v´ yrok˚ u. V matematice se ˇcasto ze dvou v´ yrok˚ u vytv´ aˇr´ı jeden sloˇzen´ y v´ yrok. Slouˇz´ı k tomu r˚ uzn´ a spojen´ı nebo spojky. Jestliˇze jsou d´ any dva v´ yroky p, q, potom nov´ y (sloˇzen´ y) v´ yrok tvaru ”p nebo q” naz´ yv´ ame disjunkc´ı v´ yrok˚ u p, q a oznaˇcujeme jej p ∨ q (ˇcti p or q). Disjunkce m´a n´ asleduj´ıc´ı vlastnost: je pravdiv´ a, kdy alespoˇ n jeden z v´ yrok˚ u p, q je pravdiv´ y a nepravdiv´ a v pˇr´ıpadˇe, kdy oba v´ yroky p, q jsou nepravdiv´e. Spojka ”nebo (or)” nen´ı tedy v logice vyluˇcovac´ı, neznamen´a ”budˇ - anebo”. Jestliˇze jsou d´ any dva v´ yroky p, q, potom nov´ y (sloˇzen´ y) v´ yrok tvaru ”p a q” naz´ yv´ ame konjunkc´ı v´ yrok˚ u p, q a oznaˇcujeme jej p ∧ q (ˇcti p et q). Konjunkce m´ a n´ asleduj´ıc´ı vlastnost: je pravdiv´ a pouze v pˇr´ıpadˇe, kdy oba v´ yroky p, q jsou pravdiv´e a nepravdiv´ a ve vˇsech ostatn´ıch pˇr´ıpadech. Implikace a ekvivalence v´ yrok˚ u. Jestliˇze jsou d´ any dva v´ yroky p, q, potom nov´ y (sloˇzen´ y) v´ yrok tvaru ”jestliˇze plat´ı p, potom plat´ı q” naz´ yv´ ame implikac´ı v´ yrok˚ u p, q a oznaˇcujeme p ⇒ q (ˇcti p implikuje q). Implikace m´ a n´ asleduj´ıc´ı vlastnost: je nepravdiv´ a pouze v pˇr´ıpadˇe, kdy v´ yrok p je pravdiv´ y a souˇcasnˇe v´ yrok q je nepravdiv´ y. V matematice daleko nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ım sloˇzen´ ym v´ yrokem je pr´ avˇe implikace. V souvislosti s n´ı je pouˇz´ıv´ ana speci´aln´ı terminologie. M´ısto v´ yroku Jestliˇze plat´ı p, potom plat´ı q se pouˇz´ıv´ a nˇekter´a z n´ asleduj´ıc´ıch konstrukc´ı: ˇ Necht plat´ı p. Potom plat´ı q, Z p plyne q. p je postaˇcuj´ıc´ı podm´ınkou pro q. q je nutnou podm´ınkou pro p. q plat´ı tehdy, kdyˇz plat´ı p. p plat´ı jen tehdy, kdyˇz plat´ı q. Podotknˇeme tak´e, ˇze m´ısto v´ yroku ”jestliˇze x ∈ M, potom plat´ı p(x)” se pouˇz´ıv´ a v´ yrok ”pro kaˇzd´e x ∈ M plat´ı p(x)”. 3
V matematice se ˇcasto setk´av´ ame s v´ yroky, kdy kromˇe implikace p ⇒ q je pravdiv´ a i implikace opaˇcn´a, tj. s v´ yroky tvaru (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) Tento sloˇzen´ y v´ yrok kr´ atce zapisujeme p ⇔ q nebo tak´e p ≡ q (ˇcti p je ekvivalentn´ı s q) a v´ yroky p, q naz´ yv´ ame ekvivalentn´ı. Shodnˇe se speci´aln´ı matematickou terminologi´ı, lze ekvivalenci tedy formulovat n´ asledovnˇe p je nutnou a postaˇcuj´ıc´ı podm´ınkou pro q, nebo tak´e p plat´ı tehdy a jen tehdy, kdyˇz plat´ı q, pˇriˇcemˇz v obou formulac´ıch lze mezi sebou vymˇenit p´ısmena p a q. Teor´ emy a jejich d˚ ukazy. Pravdiv´e v´ yroky matematick´eho charakteru naz´ yv´ ame matematick´ ymi vˇetami anebo teor´emy.Vˇetˇsina teor´em˚ u m´ a tvar implikace p ⇒ q. Platnost (pravdivost) kaˇzd´eho teor´emu je tˇreba vˇzdy dok´ azat. V´ yj´ımku tvoˇr´ı tak zvan´e axiomy (postul´ aty), coˇz jsou v´ yroky, kter´e v dan´e teorii pˇrijmeme (bez d˚ ukazu) pˇredem (a-priory) za pravdiv´e. D˚ ukazy vˇet vˇetˇsinou dˇel´ıme na pˇr´ım´e a nepˇr´ım´e. Podstatou obou typ˚ u d˚ ukaz˚ u je opˇet implikace. Nechˇt je d´ an nˇejak´ y v´ yrok v jehoˇz platnost m´ ame dok´ azat. Podstata pˇr´ım´eho d˚ ukazu spoˇc´ıv´ a v n´ asleduj´ıc´ım postupu: Hled´ a se pravdiv´ y v´ yrok p (jehoˇz platnost byla jiˇz dˇr´ıve ovˇeˇrena, m˚ uˇze to b´ yt napˇr. axiom) takov´ y, aby platila implikace p ⇒ v. Platnost v´ yroku v je t´ım dok´ az´ana, neboˇt v pravdiv´e implikaci z pravdiv´eho v´ yroku m˚ uˇze plynout pouze pravdiv´ y v´ yrok. Podstata nepˇr´ım´eho d˚ ukazu spoˇc´ıv´ a v n´ asleduj´ıc´ım postupu: Hled´ a se nepravdiv´ y v´ yrok n (jehoˇz neplatnost byla jiˇz dˇr´ıve ovˇeˇrena) takov´ y, aby platila implikace ˇ v ⇒ n. Platnost v´ yroku v je t´ım dok´ az´ana, nebot v pravdiv´e implikaci nem˚ uˇze z pravdiv´eho v´ yroku plynout nepravdiv´ y v´ yrok. To vˇsak znamen´a, ˇze v´ yrok v je nepravdiv´ y a tedy v´ yrok v je pravdiv´ y (pokud ovˇsem pracujeme ve dvojhodnotov´e logice). V pˇr´ıpadˇe nepˇr´ım´eho d˚ ukazu mus´ıme mimo jin´e dok´ azat platnost implikace v ⇒ n, tj. dok´ azat: ”jestliˇze plat´ı v, potom plat´ı n”. Abychom dok´ azali platnost v´ yroku v pˇredpokl´ ad´ ame tedy jeho neplatnost. V tom je ovˇsem rozpor. Nepˇr´ım´ y d˚ ukaz se proto ˇcasto naz´ yv´ a d˚ ukaz sporem. Na z´avˇer podotknˇeme,ˇze z´apisem x ∈ A; w(x) rozum´ıme v matematice mnoˇzinu vˇsech prvk˚ u x z mnoˇziny A takov´ ych, ˇze pro nˇe plat´ı v´ yrok w(x). ´ ´ A KOMPLEXN´ ˇ´ 3. REALN A IC ISLA. Cel´ a tato kapitola je vˇenov´ ana opakov´ an´ı l´ atky ze stˇredoˇskolsk´e matematiky. Re´ aln´ aˇ c´ısla. Re´aln´ a ˇc´ısla dˇel´ıme na racion´ aln´ı a iracion´ aln´ı. Racion´ aln´ı jsou ta ˇc´ısla, kter´ a se daj´ı vyj´ adˇrit ve tvaru zlomku p/q, kde p je ˇc´ıslo cel´e a q je ˇc´ıslo pˇrirozen´e. Pˇrirozen´ a ˇc´ısla jsou: 1, 2, 3, 4, . . . , cel´a ˇc´ısla jsou: 4
0, 1, -1, 2, -2, . . . . Mnoˇzinu vˇsech pˇrirozen´ ych ˇc´ısel budeme oznaˇcovat p´ısmenem N , mnoˇzinu vˇsech cel´ ych ˇc´ısel p´ısmenem Z a mnoˇzinu vˇsech racion´aln´ıch ˇc´ısel p´ısmenem W. Kaˇzd´e pˇrirozen´e ˇc´ıslo je cel´ ym ˇc´ıslem a kaˇzd´e cel´e ˇc´ıslo je racion´ aln´ım ˇc´ıslem. S racion´ aln´ımi ˇc´ısly v matematice nevystaˇc´ıme. Vˇsechna√re´aln´ a ˇc´ısla, kter´ a nejsou racion´ aln´ı, naz´ yv´ ame iracion´ aln´ımi ˇc´ısly. Tak napˇr. Π , 2 atd. Pˇresnou definici iracion´ aln´ıch ˇc´ısel zde nepod´ av´ ame. Pˇripomeˇ nme poze, ˇze kaˇzd´e iracion´ aln´ı ˇc´ıslo lze vyj´ adˇrit ve tvaru nekoneˇcn´eho neperiodick´eho desetinn´eho ˇc´ısla a kaˇzd´e racion´ aln´ı ˇc´ıslo lze vyj´adˇrit ve tvaru nekoneˇcn´eho periodick´eho desetinn´eho ˇc´ısla. Ze stˇredn´ı ˇskoly je tak´e dobˇre zn´ am pojem ˇc´ıseln´ a osa. Na pˇr´ımce je zvolen bod, kter´ y je oznaˇcen ˇc´ıslem 0 (tak zvan´ y poˇc´ateˇcn´ı bod), vpravo od nˇej se zobrazuj´ı ˇc´ısla vˇetˇs´ı neˇz nula, vlevo ˇc´ısla menˇs´ı neˇz nula a to podle velikosti (menˇs´ı ˇc´ıslo leˇz´ı vˇzdy nalevo od vˇetˇs´ıho). Operace s re´ aln´ ymi ˇ c´ısly. S re´ aln´ ymi ˇc´ısly a, b mohou b´ yt provedeny ˇctyˇri z´akladn´ı aritmetick´e operace: seˇc´ıt´ an´ı a + b, odeˇc´ıt´ an´ı a − b, n´ asoben´ı a · b, dˇelen´ı a : b s v´ yj´ımkou dˇelen´ı, kdy b = 0. V´ ysledkem kaˇzd´e z tˇechto operac´ı je opˇet re´aln´e ˇc´ıslo. Oper´ator n´ asoben´ı · se ˇcasto vynech´av´ a, m´ısto a·b se tedy p´ıˇse ab. M´ısto (−1)·b = −b se ˇcasto p´ıˇse −b. M´ısto oper´ atoru / se ˇcasto pouˇz´ıv´ a zlomkov´ a ˇc´ara nebo : , tedy 1 1/a = = 1 : a. a Re´aln´ a ˇc´ısla lze uspoˇra´dat podle velikosti, tj. kaˇzd´a dvˇe ˇc´ısla a, b lze spojit jedn´ım ze tˇr´ı symbol˚ u: < (menˇs´ı), = (rovn´ a se), > (vˇetˇs´ı). Toto uspoˇra´d´ an´ı m´a n´ asleduj´ıc´ı vlastnosti (a, b, c, d znaˇc´ı libovoln´ a re´aln´ a ˇc´ısla): 1. Pro kaˇzd´ a dvˇe re´ aln´ a ˇc´ısla a, b nastane pr´ avˇe jedna z moˇznost´ı a < b, a = b, a > b 2. (a < b) ∧ (b < c) ⇒ a < c (tranzitivn´ı z´ akon). Zde podotknˇeme, ˇze z´ apis (a < b) ∧ (b < c) se ˇcasto zkracuje takto: a < b < c. 3. (a < b) ∧ (c ≤ d) ⇒ a + c < b + d, kde z´ apis c ≤ d je zkr´ acen´ y z´ apis v´ yroku (c < d) ∨ (c = d). 4. (a < b) ∧ (c > 0) ⇒ ac < bc 5. (a < b) ∧ (c < 0) ⇒ ac > bc. 6. Z posledn´ıch dvou vlastnost´ı plyne d˚ uleˇzit´ a vlastnost: a·b > 0 ⇔ ((a > 0)∧(b > 0)) ∨ ((a < 0) ∧ (b < 0)). 1 1 7. 0 < a < b ⇒ 0 < < b a 1 1 8. a < b < 0 ⇒ < < 0. b a Pˇripomeˇ nme, ˇze sˇc´ıt´ an´ı, odeˇc´ıt´ an´ı, n´ asoben´ı a dˇelen´ı zlomk˚ u prov´ ad´ıme podle tˇechto pravidel (a, b, c, d jsou libovoln´ a re´aln´ a ˇc´ısla): a c ad + cb 1. + = b d bd ad − cb a c 2. − = b d bd a c ac 3. · = b d bd a c a d ad a/b = : = · = 4. c/d b d b c bc 5
Z tˇechto pravidel plynou ihned n´ asleduj´ıc´ı vzorce, kter´e se ˇcasto pouˇz´ıvaj´ı, a to oboustrannˇe: ac a = , kde c je libovoln´e re´ aln´e ˇc´ıslo (= 0) b bc a+c a c + = b b b Absolutn´ı hodnota a okol´ı re´ aln´ eho ˇ c´ısla. Absolutn´ı hodnotou | a | ˇc´ısla a rozum´ıme vzd´alenost bodu reprezentuj´ıc´ıho ˇc´ıslo a na ˇc´ıseln´e ose od poˇc´atku. Plat´ı tedy a pro a ≥ 0, | a |= −a pro a < 0 Pro absolutn´ı hodnoty plat´ı pravidla (a, b jsou libovoln´ a re´aln´ a ˇc´ısla): | a |> 0√ pro a = 0, | 0 |= 0, | a |= a2 , | a + b |≤| a | + | b | tzv. (troj´ uheln´ıkov´ a nerovnost), || a | − | b ||≤| a + b |, | a· b |=| a | · | b |, a | a | = pro b = 0. b |b| Nechˇt a je libovoln´e re´ aln´e ˇc´ıslo a je libovoln´e kladn´e re´ aln´e ˇc´ıslo. Potom zˇrejmˇe plat´ı (a − , a + ) = {x ∈ R; | x − a |< }. Tento otevˇren´ y interval naz´ yv´ ame - okol´ım ˇc´ısla (bodu) a nebo tak´e okol´ım ˇc´ısla a o polomˇeru . Mocniny a odmocniny z re´ aln´ ych ˇ c´ısel. Pro pˇrirozen´e ˇc´ıslo n = 1, 2, 3, . . . a pro libovoln´e re´aln´e ˇc´ıslo α definujeme αn = α.α.α. . . . .α n kr´ at
Pro cel´a ˇc´ısla m = −1, −2; −3, . . . a pro libovoln´e re´aln´e ˇc´ıslo β = 0 definujeme βm =
1 β −m
D´ ale definujeme β0 = 1
pro β = 0
. V´ıme, ˇze pro libovoln´e re´aln´e ˇc´ıslo γ > 0 a pro libovoln´e pˇrirozen´e ˇc´ıslo n existuje yv´ a n- t´ a pr´ avˇe jedno kladn´e re´aln´e ˇc´ıslo x takov´e, ˇze xn = γ. Toto ˇc´ılo x se naz´ √ √ √ n 2 ale odmocnina z ˇc´ısla x a oznaˇcuje se γ. M´ısto γ se ˇcasto p´ıˇse pouze γ. D´ √ n definujeme 0 = 0. Pro z´ aporn´ a re´aln´ a ˇc√ ´ısla δ definujeme n- t´e odmocniny pouze √ √ √ pro lich´a pˇrirozen´ a ˇc´ısla n a to vztahem n δ = − n −δ. Tak napˇr. 3 −8 = 2 , 4 −8 neexistuje 6
Nechˇt γ je libovoln´e kladn´e re´aln´e ˇc´ıslo a r = p/q je libovoln´e racion´ aln´ı ˇc´ıslo. √ √ Potom definujeme γ r = q γ p . Pro pˇrirozen´e ˇc´ıslo n tedy plat´ı γ 1/n = n γ. Nechˇt koneˇcnˇe γ je libovoln´e kladn´e re´aln´e ˇc´ıslo a s je libovoln´e iracion´ aln´ı ˇc´ıslo. s ym zp˚ usobem (viz literatura). Potom mocninu γ definujeme dosti komplikovan´ Pro mocniny plat´ı n´ asleduj´ıc´ı pravidla (u, v jsou libovoln´ a kladn´ a re´aln´ a ˇc´ısla, a, b jsou libovoln´ a re´aln´ a ˇc´ısla): a a a a a u u · v = (u · v) , v = (u/v)a , ua ub = ua−b , u−a = 1 ua , ua · ub = ua+b , (ua )b = ua·b , u0 = 1, ua > 0, (u < v) ∧ (a > 0) ⇒ ua < v a , (u < v) ∧ (a < 0) ⇒ ua > v a , (u > 1) ∧ (a < b) ⇒ ua < ub , (u < 1) ∧ (a < b) ⇒ ua > ub . Komplexn´ı ˇ c´ısla. Komplexn´ı ˇc´ısla jsou ˇc´ısla tvaru a + bi, kde a, b jsou re´ aln´ a 2 ˇ ˇc´ısla a i je tak zvan´ a imagin´ arn´ı jednotka pro kterou plat´ı i = i.i = −1. C´ıslo a se naz´ yv´ a re´ aln´ a ˇc´ ast komplexn´ıho ˇc´ısla z = a + bi a oznaˇcuje se Re z, ˇc´ıslo b se naz´ yv´ a imagin´ arn´ı ˇc´ ast komplexn´ıho ˇc´ısla z a oznaˇcuje se Im z. Komplexn´ı ˇc´ıslo z se naz´ yv´ a ryze imagin´ arn´ı je-li Re z = 0 a Im z = 0. Operace s komplexn´ımi ˇ c´ısly. Rovnost dvou komplexn´ıch ˇc´ısel ana takto: z1 = a1 + b1 i, z2 = a2 + b2 i je definov´ z1 = z2 ⇔ (a1 = a2 ) ∧ (b1 = b2 ). Souˇcet a souˇcin dvou komplexn´ıch ˇc´ısel z1 , z2 je definov´ an takto: z1 + z2 = (a1 + a2 ) + (b1 + b2 )i z1 · z2 = (a1 a2 − b1 b2 ) + (a1 b2 + a2 b1 )i Pro sˇc´ıt´ an´ı a n´ asoben´ı komplexn´ıch ˇc´ısel plat´ı tat´ aˇz pravidla jako pro re´ aln´ a ˇc´ısla. Nechˇt z = a + bi = 0 + 0i je libovoln´e komplexn´ı ˇc´ıslo. Potom komplexn´ı ˇc´ıslo y takov´e, ˇze z · y = 1 oznaˇcujeme 1/z nebo tak´e z −1 . Snadno se pˇresvˇedˇc´ıme, ˇze plat´ı 1/z =
a2
a b − 2 i 2 +b a + b2
M´ısto oper´ atoru / se ˇcasto, stejnˇe jako u re´ aln´ ych ˇc´ısel, pouˇz´ıv´ a zlomkov´ a ˇc´ara nebo 1 dvojteˇcka, tedy 1/z = = 1 : z. Dˇelen´ı dvou komplexn´ıch ˇc´ısel z1 , z2 v pˇr´ıpadˇe, ˇze z z2 = 0 pak definujeme vztahem z1 /z2 = z1 : z2 =
z1 1 = z1 · z2 z2
Komplexn´ı ˇc´ısla nelze uspoˇra´dat tak, aby platila pravidla platn´ a pro re´ aln´ a ˇc´ısla. Nechˇt z = a + bi je libovoln´e komplexn´ı ˇc´ıslo. Potom ˇc´ıslo a − bi se naz´ yv´ a azat, ˇze pro komplexnˇe sdruˇzen´e ˇc´ıslo k ˇc´ıslu z a oznaˇcuje se z. Snadno lze dok´ komplexnˇe sdruˇzen´a ˇc´ısla plat´ı pravidla z1 + z2 = z1 + z2 7
z1 · z2 = z1 · z2 z1 z2 = z1 z2 pro z2 = 0 (z) = z z = z ⇔ z je re´aln´e ˇc´ıslo Binomick´ a vˇ eta. Ze stˇredn´ı ˇskoly pˇripomeˇ nme, ˇze a) kaˇzd´a uspoˇra´dan´ a n tice utvoˇren´a z dan´ ych n r˚ uzn´ ych prvk˚ u se naz´ yv´ a permutace tˇechto prvk˚ u. Snadno se uk´ aˇze, ˇze poˇcet vˇsech r˚ uzn´ ych permutac´ı je 1.2.3. . . . .(n − 1).n = n ! ˇ ık´ a permutace ˇc´ısel 1, 2, . . . , n. R´ ame, ˇze ˇc´ısla pi , pj , kde Nechˇt (p1 , p2 , . . . pn ) je nˇejak´ i < j, tvoˇr´ı v t´eto permutaci inverzi, je-li pi > pj . M´ a-li permutace p1 , p2 , . . . , pn lich´ y poˇcet inverz´ı, potom o n´ı ˇr´ık´ ame, ˇze je lich´ a, v opaˇcn´em pˇr´ıpadˇe o n´ı ˇr´ık´ ame, ˇze je sud´ a. b) Kombinacemi k-t´e tˇr´ıdy z n r˚ uzn´ ych prvk˚ u naz´ yv´ ame skupiny po k prvc´ıch z dan´ ych n prvk˚ u bez zˇretele k uspoˇra´d´ an´ı ve skupinˇe. Snadno se uk´ aˇze, ˇze poˇcet tˇechto kombinac´ı je n! n n(n − 1)(n − 2) . . . (n − k + 1) = = 1.2.3 . . . k k !(n − k) ! k Pro k = 0 se definuje
n =1 0
D´ ale pˇripomeˇ nme binomickou vˇetu: Nechˇt n je pˇrirozen´e ˇc´ıslo a nechˇt a, b jsou re´ aln´ a, eventu´ alnˇe komplexn´ı ˇc´ısla. Potom plat´ı Newton˚ uv vzorec (a + b)
n
=
n
n r=0
r
an−r br
Speci´ alnˇe (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ,
(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
D´ ale pˇripomeˇ nme, ˇze plat´ı an − bn = (a − b)(an−1 + an−2 b + an−3 b2 + · · · + bn−1 ) Speci´ alnˇe a2 − b2 = (a − b)(a + b),
a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 )
. 8
D˚ uleˇ zit´ a nerovnost. Snadno se dok´ aˇze, ˇze pro nez´aporn´ a re´aln´ a ˇc´ısla a1 , a2 , . . . , an plat´ı √ a + a + · · · + a a21 + a22 + · · · + a2n 1 2 n n ≤ a1 a2 . . . an ≤ n n ˇ ıslo vlevo se naz´ C´ yv´ a geometrick´ y stˇred (pr˚ umˇer), ˇc´ıslo uprostˇred aritmetick´ y stˇred (pr˚ umˇer) a ˇc´ıslo vpravo kvadratick´ y stˇred (pr˚ umˇer) ˇc´ısel a1 , a2 , . . . , an . ˇ sen´ı kvadratick´ ˇ sit kvadReˇ ych rovnic a nerovnost´ı v re´ aln´ em oboru. Reˇ ratickou rovnici nebo nerovnost v re´ aln´em oboru znamen´ a nal´ezt vˇsechna re´aln´ a ˇc´ısla x takov´ a, aby platilo x2 + px + q = 0 v pˇr´ıpadˇe rovnice, x2 + px + q ≥ 0 nebo x2 + px + q ≤ 0 v pˇr´ıpadˇe nerovnic, p, q jsou zadan´ a re´aln´ a ˇc´ısla. Rovnici je uvedena v tak zvan´em normovan´em tvaru, tj. koeficient u x2 je roven 1. y Obecnou rovnici ax2 + bx + c = 0, stejnˇe jako i nerovnici, lze snadno na normovan´ tvar pˇrev´est. Kvadratickou rovnici, stejnˇe jako nerovnici, ˇreˇs´ıme n´ asleduj´ıc´ım zp˚ usobem: oznaˇc2 me d = p − 4q. Trojˇclen pˇrevedeme na tvar p 2 d p 2 p2 +q = x+ − − . x2 + px + q = x + 2 4 2 4 Rozliˇsujeme nyn´ı dva pˇr´ıpady: a) d ≥ 0. V tomto pˇr´ıpadˇe dost´av´ ame √ √
2 d p p d d p x2 + px + q = x + x+ + = (x − x1 )(x − x2 ), − = x+ − 2 4 2 2 2 2 √
√
ˇ sen´ı nerovnic pak kde x1 = −p+2 d , x2 = −p−2 d a x1 , x2 jsou ˇreˇsen´ımi rovnice. Reˇ snadno dost´ av´ ame z u ´vahy o znam´enku souˇcinu dvou ˇcinitel˚ u. b) d < 0. V tomto pˇr´ıpadˇe dost´av´ ame p 2 d − > 0 pro ∀ x ∈ R x2 + px + q = x + 2 4 Odtud plyne, ˇze rovnice nem´a ˇz´adn´ a re´aln´ a ˇreˇsen´ı, stejnˇe jako nerovnice 2 x + px + q < 0, zat´ımco ˇreˇsen´ım nerovnice x2 + px + q ≥ 0 je kaˇzd´e re´aln´e ˇc´ıslo x.
´ ´ ´ B. UVOD DO ELEMENTARN I ALGEBRY. ´ VEKTORY. 4. MATICE A ALGEBRAICKE Algebraick´ e vektory. Nechˇt n je nˇejak´e pˇrirozen´e ˇc´ıslo. Algebraick´ ym re´ aln´ ym vektorem a dimense n rozum´ıme uspoˇra´danou n–tici re´ aln´ ych ˇc´ısel [a1 , a2 , a3 , . . . , an ]. ˇ ıslo ai , i = 1, 2, 3, . . . , n se naz´ C´ yv´ a i-t´ a sloˇzka vektoru a. O dvou vektorech a,b ˇr´ık´ ame, ˇze se rovnaj´ı, a p´ıˇseme a = b, pr´ avˇe tehdy, kdyˇz jsou stejn´e dimense a kdyˇz jejich odpov´ıdaj´ıc´ı si sloˇzky ai , bi jsou sobˇe rovny, tj. ai = bi ∀ i. Souˇctem a 9
+ b dvou algebraick´ ych vektor˚ u stejn´e dimense n o sloˇzk´ach ai , bi naz´ yv´ ame vekych, ˇze ci = ai + bi ∀ i. Souˇcinem αa re´ aln´eho ˇc´ısla α tor c o sloˇzk´ach ci takov´ yv´ ame vektor d o sloˇzk´ach s algebraick´ ym vektorem a dimense n o sloˇzk´ach ai naz´ ych, ˇze di = αai , i = 1, 2, . . . , n. Mnoˇzinu vˇsech algebraick´ ych re´ aln´ ych di takov´ vektor˚ u (tj. mnoˇzinu vˇsech uspoˇra´dan´ ych n-tic re´ aln´ ych ˇc´ısel v n´ıˇz je definov´ ano v´ yˇse uveden´e sˇc´ıt´ an´ı a n´ asoben´ı ˇc´ıslem) naz´ yv´ ame n-rozmˇern´ ym vektorov´ ym proaln´ ych ˇc´ısel. Vektor, jehoˇz vˇsechny sloˇzky jsou rovny nule, storem Vn nad oborem re´ naz´ yv´ ame nulov´ ym vektorem a oznaˇcujeme o. Zcela analogicky definujeme algebraick´ y komplexn´ı vektor dimense n (je to uspoˇra´dan´ a n–tice komplexn´ıch ˇc´ısel) a n-rozmˇern´ y vektorov´ y prostor Vn nad oborem komplexn´ıch ˇc´ısel. M´ısto (-1)a se p´ıˇse -a; tedy sloˇzky vektoru -a jsou sloˇzkami vektoru a s opaˇcn´ ymi znam´enky. Vˇsechny pojmy a vˇety vysloven´e v t´eto kapitole plat´ı pro algebraick´e komplexn´ı vektory i pro algebraick´e re´aln´e vektory. Budeme v nich proto kr´ atce pouˇz´ıvat pouze term´ın algebraick´ y vektor. Velmi ˇcasto budeme vynech´ avat i pˇr´ıvlastek algebraick´ y. Skal´ arn´ı souˇ cin dvou algebraick´ ych vektor˚ u. Skal´ arn´ım souˇcinem a·b dvou yv´ ame ˇc´ıslo definovan´e vektor˚ u stejn´e dimense n o sloˇzk´ach ai , bi , i = 1, 2, . . . , n naz´ vztahem a·b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 + · · · + an bn Tak napˇr. pro a=[3,5,2], b=[6,4,-2] je a· b=34. Line´ arn´ı z´ avislost vektor˚ u. ˇ R´ık´ ame, ˇze vektor a ∈ Vn je line´ arn´ı kombinac´ı vektor˚ u a1 , a2 , . . . , ak z Vn , existuj´ıli takov´ a ˇc´ısla α1 , α2 , . . . , αk (komplexn´ı v pˇr´ıpadˇe, kdy prostor Vn je nad oborem ych ˇc´ısel), komplexn´ıch ˇc´ısel, re´aln´ a v pˇr´ıpadˇe, kdy prostor Vn je nad oborem re´aln´ ˇze plat´ı a = α1 a1 + α2 a2 + · · · + αk ak Tak napˇr. vektor c=[20,6,28] je line´arn´ı kombinac´ı vektor˚ u a=[4,6,5] a b=[2,-1,3], ˇ nebot c=2a+6b. ame,ˇze jsou line´ arnˇe z´ avisl´e, jestliˇze aspoˇ n O vektorech a1 , a2 , . . . , ak z Vn ˇr´ık´ jeden z nich je line´ arn´ı kombinac´ı ostatn´ıch. Tak napˇr. vektory a, b,c y pˇredch´azej´ıc´ıho pˇr´ıkladu jsou line´ arnˇe z´avisl´e. arnˇe z´avisl´e, potom ˇr´ık´ ame, ˇze jsou liNejsou-li vektory a1 , a2 , . . . , ak z Vn line´ ne´ arnˇe nez´ avisl´e. Tak napˇr. vektory [1,0,0], [0,1,0], [0,0,1] jsou line´ arnˇe nez´avisl´e (proˇc?). Pˇr´ımo z definice plyne, ˇze nulov´ y vektor je line´ arn´ı kombinac´ı jak´ ychkoliv vektor˚ u a tedy, jestliˇze v nˇejak´e skupinˇe vektor˚ u se vyskytuje nulov´ y vektor, potom tato skupina tvoˇr´ı line´ arnˇe z´avisl´e vektory. Plat´ı vˇeta arnˇe z´ avisl´e tehdy a jen tehdy, kdyˇz existuj´ı Vektory a1 , a2 , . . . , ak z Vn jsou line´ a, ˇze aspoˇ n jedno z nich je r˚ uzn´e od nuly a plat´ı β1 a1 + ˇc´ısla β1 , β2 , . . . , βk takov´ β2 a2 + · · · + βk ak = o. Souˇ radnice vektoru. Libovolnou mnoˇzinu {a1 , a2 , . . . , an } tvoˇrenou n line´ arnˇe yv´ ame b´ az´ı vektorov´eho prostoru Vn . Tak napˇr. mnoˇzina nez´avisl´ ymi vektory z Vn naz´ vektor˚ u {a,b,c}, kde a=[1,0,0], b=[0,1,0], c=[0,0,1] je b´ az´ı vektorov´eho prostoru V3 . 10
Plat´ı vˇeta Nechˇt {a1 , a2 , . . . , an } je libovoln´ a b´ aze vektorov´eho prostoru Vn . Potom kaˇzd´ y arn´ı kombinac´ı vektor˚ u z t´eto b´ aze, tj. existuj´ı ˇc´ısla vektor a z prostoru Vn je line´ a, ˇze a = α1 a1 + α2 a2 + · · · + αn an . α1 , α2 , . . . , αn takov´ ˇ a v pˇredch´azej´ıc´ı vˇetˇe se naz´ yvaj´ı souˇradnice vektoru C´ısla α1 , α2 , . . . , αn uveden´ a vzhledem k b´ azi {a1 , a2 , . . . , an }. Hodnost soustavy vektor˚ u. Nechˇt je d´ ana soustava {a1 , a2 , . . . , ak } libovolarnˇe nez´avisl´ ych vektor˚ u a ne n´ ych vektor˚ u z Vn . Jestliˇze v soustavˇe existuje h line´ v´ıce, potom ˇc´ıslo h naz´ yv´ ame hodnost soustavy. Tak napˇr. hodnost soustavy {a,b,c }, kde a=[1,0,0], b=[0,1,0], c=[0,0,1] je rovna 3, zat´ımco hodnost soustavy {d,e,f}, kde d= [1,0,0], e=[1,1,1], f=[0,1,1] je rovna 2 (neboˇt e=d+f a vektory d,f jsou line´ arnˇe nez´avisl´e). Zˇrejmˇe plat´ı: Nechˇt je d´ ana soustava k libovoln´ ych vektor˚ u z Vn . Potom pro jej´ı hodnost h plat´ı h ≤ min(k, n) Snadno se dok´ aˇze platnost n´ asleduj´ıc´ı d˚ uleˇzit´e vˇety uˇziteˇcn´e k urˇcen´ı hodnosti dan´e soustavy vektor˚ u u z Vn se nezmˇen´ı Hodnost libovoln´e soustavy {a1 , a2 , . . . , ak } vektor˚ 1. zamˇen´ıme-li poˇrad´ı vektor˚ u v soustavˇe, 2. vymˇen´ıme-li v kaˇzd´em vektoru soustavy mezi sebou i-tou a j-tou sloˇzku, 3. vyn´ asob´ıme-li jeden vektor soustavy ˇc´ıslem r˚ uzn´ ym od nuly, 4. pˇriˇcteme-li k jednomu vektoru soustavy line´ arn´ı kombinaci ostatn´ıch vektor˚ u soustavy, 5. vynech´ ame-li v soustavˇe vektor, kter´ y je line´ arn´ı kombinac´ı ostatn´ıch vektor˚ u soustavy (takov´ ym je napˇr. nulov´ y vektor a vektor rovn´ y jin´emu vektoru). Matice. Mnoˇzinu m·n ˇc´ısel (re´aln´ ych nebo ˇra´dk˚ u a n–sloupc˚ u, tj. uspoˇra´danou do tvaru a11 a12 . . . a1j a21 a22 . . . a2j .. .. .. .. . . . . ai1 ai2 . . . aij . .. .. .. .. . . . am1 am2 . . . amj
komplexn´ıch) uspoˇra´danou do m– ... ... .. .
a1n a2n .. .
. . . ain .. .. . . . . . amn
ˇ ısla aij se naz´ yvaj´ı prvky matice. Prvn´ı index i naz´ yv´ ame matic´ı typu (m, n). C´ oznaˇcuje ˇra´dek, druh´ y index j sloupec ve kter´em prvek leˇz´ı. Matice oznaˇcujeme n velk´ ymi tuˇcn´ ymi tiskac´ımi p´ısmeny, nebo tak´e symbolicky (aij )m . Jestliˇze vˇsechny prvky matice typu (m, n) jsou rovny nule, potom matici naz´ yn v´ ame nulovou matic´ı typu (m, n) a oznaˇcujeme Om . n n ame, ˇze se sobˇe rovnaj´ı, a p´ıˇseme O dvou matic´ıch A = (aij )m , B = (bij )m ˇr´ık´ A = B, jestliˇze jsou t´ehoˇz typu a odpov´ıdaj´ıc´ı si prvky jsou sobˇe rovny, tj. aij = bij
pro
i = 1, 2, . . . , m, 11
j = 1, 2, . . . , n
n
n
Souˇctem dvou matic A = (aij )m , B = (bij )m jednoho a t´ehoˇz typu (m, n) n rozum´ıme matici C = (cij )m typu (m, n) takovou, ˇze cij = aij + bij . Oznaˇcujeme ji C = A + B. Souˇcet matic r˚ uzn´eho typu se nedefinuje. n n Souˇcinem ˇc´ısla α s matic´ı A = (aij )m typu (m, n) rozum´ıme matici C = (cij )m typu (m, n) takovou, ˇze cij = αaij . Oznaˇcujeme ji C = αA. M´ısto (−1)A ˇcasto p´ıˇseme −A. M´ısto A + (−1)B p´ıˇseme A − B a matici naz´ yv´ ame rozd´ılem matic A, B. Pro sˇc´ıt´ an´ı matic a pro n´ asoben´ı matice ˇc´ıslem plat´ı Jestliˇze matice jsou stejn´eho typu, potom 1. A + B = B + A 2. (A + B) + C = A + (B + C) 3. A + O = A 4. K matic´ım A, B existuje pr´ avˇe jedna matice X takov´ a, ˇze A + X = B. Plat´ı X = B + (−1)A = B − A 5. α(A + B) = αA + αB, (α + β)A = αA + βB n Gaussovsk´ a matice. Nechˇt je d´ ana matice A = (aij )m typu (m, n). Potom o ame, ˇze tvoˇr´ı hlavn´ı diagon´ alu. prvc´ıch a11 , a22 , a33 , . . . , akk , kde k = min(m, n), ˇr´ık´ Jestliˇze m ≤ n (matice A m´a nanejv´ yˇs tolik ˇra´dk˚ u kolik sloupc˚ u), vˇsechny prvky na hlavn´ı diagon´ ale matice A jsou r˚ uzn´e od nuly a vˇsechny jej´ı prvky pod hlavn´ı diagon´ alou jsou nulov´e, potom o matici A ˇr´ık´ ame, ˇze je gaussovsk´ a. Tak napˇr. nechˇt
4 0 A= 0 0
2 3 0 0
0 6 5 0
3 0 8 1
7 5 , 0 4
4 3 B= 0 0
2 0 0 0
0 6 5 0
3 0 8 1
7 5 , 0 4
potom matice A je gaussovsk´a, zat´ımco matice B nen´ı gaussovsk´a. n
Transponovan´ a matice. Jestliˇze z matice A = (aij )m typu (m, n) vytvoˇr´ıme m novou matici B = (bij )n typu (n, m) tak, ˇze za r-t´ y sloupec matice B dosad´ıme r-t´ y ˇra´dek matice A, tj. bij = aji
pro
i = 1, 2, . . . , n,
j = 1, 2, . . . , m ,
potom tuto matici B nazveme matic´ ı transponovanou k matici A a oznaˇ cujemeji 3 6 1 3 4 6 T A . Tak napˇr. matice 4 2 0 je transponovanou matic´ı k matici 6 2 3 . 6 3 4 1 0 4 Kaˇzd´ y algebraick´ y vektor x dimense n lze zˇrejmˇe povaˇzovat za jednoˇra´dkovou matici typu (1, n) nebo za jednosloupcovou matici typu (n, 1). Nen´ı-li v´ yslovnˇe uvedeno jinak, budeme symbolem x oznaˇcovat vektor zapsan´ y jako jednoˇra´dkov´ a matice. Vektor zapsan´ y jako jednosloupcov´ a matice budeme oznaˇcovat symbolem xT . N´ asoben´ı matice matic´ı. Tato operace se definuje pouze v pˇr´ıpadˇe, kdy matice p A m´a tent´ yˇz poˇcet sloupc˚ u jako matice B ˇra´dk˚ u. Souˇcinem AB matice A = (aij )m n n typu (m, p) s matic´ı B = (bij )p typu (p, n) naz´ yv´ ame matici C = (cij )m typu (m, n) 12
takovou, ˇze ˇra´dky a sloupce matic povaˇzujeme za vektory a prvek cij je skal´ arn´ım souˇcinem i-t´eho ˇra´dku matice A a j-t´eho sloupce matice B. Tak napˇr pro matice 3 4 2 1 −1 2 A = −1 2 3 B = 2 1 −2 2 1 4 3 2 1
dost´ av´ ame
17 AB = 12 16
5 0 9 −3 7 6
8 BA = 1 9
4 7 8 −1 17 16
Pro n´ asoben´ı matic A, B, C plat´ı pravidla 1. A(BC) = (AB)C 2. (A + B)C = AC + BC , C(A + B) = CA + CB 3. OA = O, AO = O 4. (AB)T = BT AT 5. α(AB) = (αA)B = A(αB) pokud ovˇsem jsou v tˇechto rovnostech definov´ any souˇcty a souˇciny pˇr´ısluˇsn´ ych matic (tj. maj´ı-li matice A, B, C pˇredepsan´ y typ). Komutativn´ı z´akon obecnˇe neplat´ı, nemus´ı tedy platit rovnost AB = BA. Vid2li jsme to ve v´ yˇse uveden´em pˇr´ıkladu. V pˇr´ıpadˇe, ˇze rovnost AB = BA plat´ı, potom ˇr´ık´ ame, ˇze matice A, B komutuj´ı. Nen´ı tak´e obecnˇe pravda, ˇze jestliˇze souˇcin dvou matic je nulov´ y, potom alespoˇ n jedna z nich je nulov´ a. ˇ Necht je d´ ana libovoln´ a soustava m line´ arn´ıch rovnic o n nezn´am´ ych: a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + . . . + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + . . . + a2n xn = b2 ................................................... am1 x1 + am2 x2 + am3 x3 + . . . + amn xn = bm Zavedeme-li oznaˇcen´ı a11 a12 a21 a22 A= .. ... .
a13 a23 .. .
... ... .. .
am2
am3
. . . amn
am1
a1n a2n , .. .
x1 x2 xT = ... , xn
b1 b2 bT = ... , bm
potom soustavu lze zˇrejmˇe ps´at obzvl´ aˇstˇe jednoduˇse a pˇrehlednˇe ve tvaru AxT = bT Podotknˇeme, ˇze v posledn´ım vzorci matice A se naz´ yv´ a matice soustavy, vektor x se naz´ yv´ a vektor nezn´ am´ ych a vektor b vektor prav´ ych stran. n ˇ Ctvercov´ e matice. Jestliˇze v matici A = (aij )m typu (m, n) je m = n, potom ˇ ji naz´ yv´ ame ˇctvercovou matic´ı ˇra ´du n. Ctvercovou matici jej´ıˇz vˇsechny prvky neyv´ ame diagon´ aln´ı leˇz´ıc´ı na hlavn´ı diagon´ ale jsou nulov´e (tj. aij = 0 pro i = j) naz´ matic´ı. Jestliˇze v diagon´aln´ı matici vˇsechny prvky na hlavn´ı diagon´ ale jsou rovny
13
jedn´e, potom ji naz´ yv´ ame jednotkovou matic´ı ˇra ´du n a znaˇcujeme En , kr´ atce E. V jednotkov´e matici tedy plat´ı aij = 0 pro i = j, aij = 1 pro i = j. Jestliˇze ve ˇctvercov´e matici vˇsechny prvky pod hlavn´ı diagon´ alou jsou rovny nule, potom ji naz´ yv´ ame horn´ı troj´ uheln´ıkovou matic´ı. V horn´ı troj´ uheln´ıkov´e matici tedy uheln´ıkovou matici. plat´ı aij = 0 pro j < i. Podobnˇe definujeme doln´ı troj´ n Jestliˇze ve ˇctvercov´e matici A = (aij )n pro vˇsechny jej´ı prvky plat´ı aij = aji , potom ji naz´ yv´ ame symetrickou matic´ı. Pro symetrickou matici A tedy plat´ı AT = yv´ ame antisymetrickou matic´ı. A. Jestliˇze vˇsak plat´ı AT = −A, potom A naz´ n ˇ Necht A = (aij )n je ˇctvercov´a matice ˇra´du n. Potom souˇcet vˇsech jej´ıch prvk˚ u yv´ ame stopou matice. leˇz´ıc´ıch na hlavn´ı diagon´ ale, tj. ˇc´ıslo a11 + a22 + · · · + ann , naz´ Nechˇt A je libovoln´ a matice typu (m, n) a nechˇt Em , En jsou jednotkov´e matice ˇra´du m a n. Potom zˇrejmˇe plat´ı AEn = A , Em A = A. Nechˇt A je libovoln´ a ˇctvercov´a matice ˇra´du n a α0 , α1 , . . . , αk , αk = 0, jsou libovoln´ a ˇc´ısla. Potom m´ısto AA ˇcasto p´ıˇseme A2 , m´ısto AAA p´ıˇseme A3 atd. yv´ ame V´ yraz p(A) = αk Ak + αk−1 Ak−1 + · · · + α2 A2 + α1 A + α0 En pak naz´ polynomem k-t´eho stupnˇe v matici A. Inverzn´ı matice. Nechˇt A je ˇctvercov´a matice ˇra´du n. Jestliˇze existuje ˇctvercov´a a matice ˇra´du n, matice B t´ehoˇz ˇra´du n takov´ a, ˇze AB = En , kde En je jednotkov´ potom tuto matici naz´ yv´ ame inverzn´ı matic´ı k matici A a oznaˇcujeme ji Ainv nebo En ). Lze dok´ azat, ˇze jestliˇze AB = En , potom i BA = En . A−1 (nˇekdy tak´e A Ne ke kaˇzd´e matici A existuje inverzn´ı matice, tj. ne kaˇzd´a matice A je invertovateln´ a. Pro invertovateln´e matice plat´ı a) ke kaˇzd´e matici A existuje nanejv´ yˇs jedna inverzn´ı matice, −1 −1 −1 b) (AB) = B A (tento vztah je podobn´y jako pro transposici souˇcinu). Ortogon´ aln´ı matice. O ˇctvercov´e matici A ˇra´du n ˇr´ık´ ame, ˇze je ortogon´ aln´ı, −1 T jestliˇze je invertovateln´ a a plat´ı A = A Ortogonalitu matice A snadno urˇc´ıme podle n´ asleduj´ıc´ı vˇety: n aln´ı matice ˇra ´du n. Potom skal´ arn´ı souˇcin jej´ıho Nechˇt A = (aij )n je ortogon´ libovoln´eho ˇra ´dku se sebou sam´ ym je roven jedn´e a s jak´ ymkoliv jin´ ym ˇra ´dkem je roven nule. Obdobn´e tvrzen´ı plat´ı o sloupc´ıch ortogon´ aln´ı matice A. Naopak, n yˇse uveden´e vztahy, potom matice A je jestliˇze pro prvky matice A = (aij )n plat´ı v´ ortogon´ aln´ı. Hodnost matice. Hodnost´ı matice A typu (m, n) naz´ yv´ ame hodnost soustavy vektor˚ u vytvoˇren´ ych ˇra´dky t´eto matice. Oznaˇcujeme ji h(A). Matice A m´a tedy hodnost h(A), jestliˇze v n´ı existuje h(A) line´ arnˇe nez´avisl´ ych ˇra´dk˚ u a ne v´ıce. Plat´ı vˇeta: Hodnost libovoln´e matice A typu (m, n) se nezmˇen´ı a) zamˇen´ıme-li poˇrad´ı ˇra ´dk˚ u v matici, b) zamˇen´ıme-li poˇrad´ı sloupc˚ u v matici, c) vyn´ asob´ıme-li kter´ ykoliv ˇra ´dek nenulov´ ym ˇc´ıslem, d) pˇripoˇcteme-li k jednomu ˇra ´dku matice line´ arn´ı kombinaci ostatn´ıch ˇra ´dk˚ u matice 14
e) vynech´ ame-li v matici ˇra ´dek, kter´ y je line´ arn´ı kombinac´ı ostatn´ıch ˇra ´dk˚ u (takov´ ym je napˇr´ıklad nulov´ y ˇra ´dek a ˇra ´dek rovn´ y jin´emu ˇra ´dku). D´ ale se velmi snadno pˇresvˇedˇc´ıme, ˇze plat´ı vˇeta: Hodnost kaˇzd´e gaussovsk´e matice A typu (m, n), kde m ≤ n, je rovna ˇc´ıslu m. Obˇe pˇredch´azej´ıc´ı vˇety n´ am umoˇzn ˇuj´ı snadno spoˇc´ıtat hodnost libovoln´e matice A (a libovoln´e soustavy vektor˚ u z prostoru Vn ). Staˇc´ı totiˇz upravit matici A na gaussovsk´ y tvar. Povolen´e u ´pravy jsou v´ yˇse uvedeny. Vol´ıme je zcela analogicky jako v pˇr´ıpadˇe Gaussovy eliminaˇcn´ı metody pro soustavu rovnic. Vlastn´ı ˇ c´ısla a vlastn´ı vektory matice. Nechˇt je d´ ana ˇctvercov´a matice A (obecnˇe komplexn´ı) n-t´eho ˇra´du. Jestliˇze existuje komplexn´ı ˇc´ıslo λ a nenulov´ y T T vektor x takov´ y, ˇze Ax = λx , potom ˇrekneme, ˇze λ je vlastn´ım ˇc´ıslem matice A a x jej´ım vlastn´ım vektorem pˇr´ısluˇsn´ ym tomuto vlastn´ımu ˇc´ıslu. Mnoˇzinu vˇsech vlastn´ıch ˇc´ısel matice A naz´ yv´ ame jej´ım spektrem. 5. DETERMINANTY Definice determinantu. Nechˇt je d´ ana ˇctvercov´a matice A n - t´eho ˇra´du, tj.
a1n a2n .. .
a11 a21 A= ...
a12 a22 .. .
... ... .. .
an1
an2
. . . ann
a permutace ˇc´ısel 1, 2, . . . , (permutac´ı je n !). UtvoˇrNechˇt p1 , p2 , . . . , pn je libovoln´ asobme jej ˇc´ıslem (-1) v pˇr´ıpadˇe, ˇze perme souˇcin a1p1 · a2p2 · a3p3 · · · anpn a vyn´ mutace je lich´ a. Jinak ponechejme souˇcin beze zmˇeny. Provedeme-li to pro vˇsechny permutace, dostneme n ! souˇcin˚ u. Jejich souˇcet se pak naz´ yv´ a determinant n - t´eho ˇra ´du matice A a oznaˇcuje se det A nebo tak´e a11 a21 . . . an1
a12 a22 .. . an2
a1n a2n .. . . . . ann ... ... .. .
Plat´ı tedy det A =
nebo
a1n a2n .. .
a11 a21 det ...
a12 a22 .. .
... ... .. .
an1
an2
. . . ann
(−1)r(p1 ,p2 ,...,pn ) a1p1 a2p2 · · · anpn ,
p1 ,p2 ,...,pn
kde souˇcet se bere pˇres vˇsechny permutace p1 , p2 , . . . , pn ˇc´ısel 1, 2, . . . , n a r(p1 , . . . pn ) je poˇcet inverz´ı v dan´e permutaci (je-li permutace lich´a, pak tento poˇcet je lich´e ˇc´ıslo a plat´ı (−1)r(p1 ,p2 ,...,pn ) = −1, jinak plat´ı (−1)r(p1 ,p2 ,...,pn ) = 1). ˇ Kˇ r´ıˇ zov´ e a Sarrusovo pravidlo. Odvodme vzorec pro v´ ypoˇcet determinant˚ u druh´eho ˇra´du. Permutace ˇc´ısel 1,2 jsou: 1,2 (sud´ a) a 2,1 (lich´ a). V´ ypoˇcet tedy prob´ıh´ a podle vzorce a11 a12 a21 a22 = a11 a22 − a12 a21 15
Vzorec se dobˇre pamatuje podle vyznaˇcen´ı uveden´eho v determinantu a naz´ yvan´eho kˇr´ıˇzov´ ym pravidlem. Pln´e ˇc´arce odpov´ıd´ a znam´enko plus, pˇreruˇsovan´e ˇc´arce znam´enko m´ınus. ˇ Odvodme vzorec pro v´ ypoˇcet determinantu tˇret´ıho ˇra´du. Vˇsechny moˇzn´e permutace ˇc´ısel 1,2,3 jsou: 1,2,3(sud´a), 1,3,2(lich´ a), 2,1,3(lich´ a),2,3,1(sud´ a), 3,1,2(sud´ a), 3,2,1(lich´ a). Tedy a11 a21 a31
a13 a11 a23 a21 a33 a31
a12 a22 a32
a12 a22 a32
= a11 a22 a33 − a11 a23 a32 − a12 a21 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a13 a22 a31 = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a13 a22 a31 − a11 a23 a32 − a12 a21 a33 Vzorec se dobˇre pamatuje podle vyznaˇcen´ı uveden´eho v determinantu a naz´ yvan´eho Sarrusov´ ym pravidlem. Zde opˇet pln´ ym ˇc´ark´ am odpov´ıd´ a znam´enko plus a pˇreruˇsovan´ ym ˇc´ark´ am znam´enko m´ınus. n
Subdeterminant a algebraick´ y doplnˇ ek. Jestliˇze v matici A = (aij )m typu (m, n) vynech´ ame r-t´ y ˇra´dek a s-t´ y sloupec, pak dostaneme novou matici typu (m − 1, n − 1), kterou naz´ yv´ ame submatic´ı matice A pˇr´ısluˇsnou k r-t´emu ˇra ´dku a s-t´emu sloupci nebo kr´ atce, pˇr´ısluˇsnou k prvku ars a oznaˇcujeme ji Ars . Jestliˇze yv´ ame subdeterminantem determimatice A je ˇctvercov´a ˇra´du n, potom det Ars naz´ ˇ ıslo (−1)r+s ·det Ars naz´ yv´ ame algebraicnantu matice A pˇr´ısluˇsn´ ym k prvku ars . C´ k´ ym doplˇ nkem pˇr´ısluˇsn´ ym k prvku ars a oznaˇcujeme jej Ars . Tak napˇr. pro matici 3 6 5 3 3 6 5 2 −1 3 0 A= m´ame det A34 = 2 −1 3 a A34 = (−1)3+4 detA34 = 2 1 0 −1 4 3 2 4 3 2 5 − det A34 . ˇ Cramerovo pravidlo a v´ ypoˇ cet inverzn´ı matice. Ctvercovou matici A jej´ıˇz determinant je r˚ uzn´ y od nuly naz´ yv´ ame regul´ arn´ı matic´ı. Jestliˇze det A = 0, potom o matici A ˇr´ık´ ame, ˇze je singul´ arn´ı. Zaveden´ı pojmu determinant bylo v minulosti pˇrev´ aˇznˇe motivov´ ano snahou odvodit vzorce pro ˇreˇsen´ı soustav n rovnic o n nezn´am´ ych a pro v´ ypoˇcet inverzn´ıch matic. Byla dok´az´ana pravidla: arn´ı matic´ı α)Jestliˇze je d´ ana soustava n rovnic o n nezn´ am´ ych AxT = bT s regul´ A, potom x1 =
det A1 det A
,
x2 =
det A2 det A
,
...
,
xn =
det An , det A
kde Ak , k=1,2, . . . ,n, je matice vytvoˇren´ a z matice A t´ım, ˇze jej´ı k-t´ y sloupec je yv´ a Cramerovo pravidlo. nahrazen sloupcem bT . Vzorec se naz´ n n β) Inverzn´ı matici A−1 = a∗ij n k matici A = (aij )n , pokud matice A je regul´ arn´ı, lze spoˇc´ıtat podle vzorc˚ u a∗ij =
Aji det A
,
i, j = 1, 2, . . . , n 16
Obˇe tato pravidla maj´ı znaˇcn´ y teoretick´ y v´ yznam. Pro praktick´e pouˇzit´ı se vˇsak v˚ ubec nehod´ı. Z´ akladn´ı vlastnosti determinant˚ u.Jsou uvedeny v n´ asleduj´ıc´ı vˇetˇe n Nechˇt A = (aij )n je ˇctvercov´ a matice n-t´eho ˇra ´du. Potom plat´ı a) Jestliˇze B je matice, kter´ a vznikne z matice A t´ım, ˇze v n´ı vymˇen´ıme mezi sebou dva ˇra ´dky, eventu´ alnˇe dva sloupce, potom plat´ı det B = − det A. b) Jestliˇze C je matice, kter´ a vznikne z matice A t´ım, ˇze v n´ı vyn´ asob´ıme nˇekter´ y ˇra ´dek, eventu´ alnˇe nˇekter´ y sloupec, ˇc´ıslem λ, potom plat´ı det C = λ det A. c) Jestliˇze matice A m´ a dva stejn´e ˇra ´dky, eventu´ alnˇe dva stejn´e sloupce, potom jej´ı determinant je roven nule. d) Jestliˇze matice A obsahuje nulov´ y ˇra ´dek, eventu´ alnˇe nulov´ y sloupec, potom jej´ı determinant je roven nule. Rozvoj determinantu podle ˇ r´ adku a podle sloupce. Plat´ı vˇeta n a matice n-t´eho ˇra ´du a nechˇt r je libovoln´e ˇc´ıslo Nechˇt A = (aij )n je ˇctvercov´ z mnoˇziny {1, 2, 3, . . . , n}. Potom plat´ı vztahy det A = ar1Ar1 + ar2Ar2 + · · · + arnArn , det A = a1rA1r + a2rA2r + · · · + arnAnr , y doplnˇek pˇr´ısluˇsn´ y k prvku aij v determinantu matice A. kde Aij je algebraick´ Vztahy se naz´ yvaj´ı rozvoj determinantu podle r-t´eho ˇra ´dku a rozvoj determinantu podle r-t´eho sloupce. u V´ıme, ˇze Aij = (−1)i+j det Aij . Ve vztaz´ıch se proto znam´enka subdeterminant˚ det Aij stˇr´ıdaj´ı. Dalˇ s´ı vlastnosti detertminant˚ u jsou uvedeny v n´ asleduj´ıc´ı vˇetˇe a) Pro libovoln´e ˇc´ıslo r ∈ {1, 2, . . . , n} plat´ı
a11 a21 . . . an1
a11 a21 . . . an1
a12 a22 .. .
... ... .. .
a1,r−1 a2,r−1 .. .
a1r + b1r a2r + b2r .. .
a1,r+1 a2,r+2 .. .
... ... .. .
an2
...
an,r−1
anr + bnr
an,r+1
...
a1n a2n .. . ann
a12 a22 .. .
... ... .. .
a1r a2r .. .
... ... .. .
a12 a22 .. .
... ... .. .
b1r b2r .. .
... ... .. .
an2
...
anr
...
an2
...
bnr
...
a1n a2n .. . ann
+
a11 a21 . . . an1
n
=
a1n a2n .. . ann
y jej´ı ˇra ´dek b) Jestliˇze matice B vznikne z matice A = (aij )n t´ım, ˇze nˇekter´ vyn´ asob´ıme ˇc´ıslem ω a pˇripoˇcteme k jin´emu ˇra ´dku, potom det B = det A. Tot´eˇz plat´ı o sloupc´ıch. c) Determinant horn´ı, eventu´ alnˇe doln´ı troj´ uheln´ıkov´e matice je roven souˇcinu prvk˚ u leˇz´ıc´ıch na jej´ı hlavn´ı diagon´ ale. d) Determinant jednotkov´e matice je roven jedn´e. 17
Vlastnosti determinant˚ u uveden´e v pˇredchj´ azej´ıc´ıch odstavc´ıch a Gaussova eliminaˇcn´ı metoda n´ am d´ avaj´ı n´ avod, jak poˇc´ıtat determinanty. Nutn´ a podm´ınka invertovatelnosti matic. Pro determinanty plat´ı vˇeta ˇ Necht A, B jsou ˇctvercov´e matice n-t´eho ˇra ´du. Potom plat´ı T a) det A = det A b) det(AB) = det A det B Jestliˇze A je ˇctvercov´a matice n-t´eho ˇra´du a jestliˇze k n´ı existuje inverzn´ı matice A (tj. matice A je invertovateln´ a), potom, jak v´ıme, AAinv = En . Odtud a ze skuteˇcnosti, ˇze determinant jenotkov´e matice je roven jedn´e, ihned plyne det A · 1 . Dost´av´ ame tak vˇetu det Ainv = 1, tj. det A = 0 a souˇcasnˇe det Ainv = det A Nutnou podm´ınkou invertovatelnosti ˇctvercov´e matice A je jej´ı regul´ arnost. D´ ale uvid´ıme, ˇze regul´arnost matice A je i postaˇcuj´ıc´ı podm´ınkou jej´ı invertovatelnosti. inv
´ ´ 6. SOUSTAVY LINEARN ICH ROVNIC. Matice a rozˇ s´ıˇ ren´ a matice soustavy. Soustavu m line´ arn´ıch rovnic o n nezn´am´ ych a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2 ................................... am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm lze ps´at ve tvaru AxT = bT kde jsme zavedli oznaˇcen´ı a11 a12 a21 a22 A= .. ... . am1
am2
... ... .. .
a1n a2n , .. .
,
x1 x2 xT = ... ,
. . . amn
xn
b1 b2 bT = ...
bm
Matici A naz´ yv´ ame matic´ı soustavy, vektor x vektorem nezn´ am´ ych a vektor b vektorem prav´ ych stran. Pˇrid´ame-li k matici A vektor prav´ ych stran, dostaneme matici a11 a12 . . . a1n b1 a21 a22 . . . a2n b2 , A|bT = .. .. .. .. ... . . . . am1 am2 . . . amn bm kterou naz´ yv´ ame rozˇs´ıˇrenou matic´ı soustavy. ˇ sitelnost soustavy. Frobeniova vˇ Reˇ eta. Plat´ı tzv. Frobeniova vˇeta: T T 1. Soustava Ax = b m´ a ˇreˇsen´ı tehdy a jen tehdy, kdyˇz h(A) = h(A|bT ), tj., kdyˇz hodnosti matice soustavy a rozˇs´ıˇren´e matice soustavy se sobˇe rovnaj´ı. 18
2. Jestliˇze h(A) = h(A|bT ) = k, potom v pˇr´ıpadˇe k < n m´ a soustava nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı, kter´ a mohou b´ yt zaps´ ana pomoc´ı n − k parametr˚ u a v pˇr´ıpadˇe k = n m´ a soustava pr´ avˇe jedno ˇreˇsen´ı. V pˇr´ıpadˇe, kdy m = n (tj. poˇcet rovnic je roven poˇctu nezn´ am´ ych), ˇr´ık´ ame, ˇze soustava je ˇctvercov´ a. V tomto pˇr´ıpadˇe mohou zˇrejmˇe nastat dvˇe moˇznosti: h(A) = n a h(A) < n. V prvn´ım pˇr´ıpadˇe je automaticky splnˇen vztah h(A) = avˇe jedno ˇreˇsen´ı. V tomto h(A|bT ) a shodnˇe s Frobeniovou vˇetou m´a tato soustava pr´ pˇr´ıpadˇe je det A = 0, tj. matice A je regul´arn´ı. Ve druh´em pˇr´ıpadˇe je det A = 0, tj. ˇ nem´a ˇz´adn´e matice A je singul´ arn´ı a shodnˇe s Frobeniovou vˇetou soustava budto ˇreˇsen´ı nebo m´ a nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı. Homogenn´ı soustavy. Jestliˇze vektor b prav´ ych stran v soustavˇe je nulov´ y, tj. ame, ˇze je homogenn´ı. V tomto pˇr´ıpadˇe soustava m´ a tvar AxT = o, potom o n´ı ˇr´ık´ je automaticky splnˇena podm´ınka h(A) = h(A|bT ) = k a soustava m´a, shodnˇe ˇ jedno ˇreˇsen´ı (v pˇr´ıpadˇe k = n) anebo nekoneˇcnˇe mnoho s Frobeniovou vˇetou, budto ˇreˇsen´ı (v pˇr´ıpadˇe k < n). V prvn´ım pˇr´ıpadˇe je to pochopitelnˇe pouze nulov´e ˇreˇsen´ı. Ve druh´em pˇr´ıpadˇe pak m´a kromˇe nulov´eho i nenulov´e ˇreˇsen´ı. Lze uk´ azat, ˇze mezi vˇsemi ˇreˇsen´ımi homogenn´ı soustavy existuje n − k line´ arnˇe nez´avisl´ ych ˇreˇsen´ı a ne v´ıce. ˇ sen´ı soustav. Cramerovo pravidlo pro ˇreˇsen´ı soustav n rovnic o n nezn´aReˇ m´ ych pomoc´ı determinant˚ u se uˇz´ıv´ a jen zcela v´ yj´ımeˇcnˇe. Vˇetˇsinou se pouˇz´ıv´ a zn´ am´a Gaussova eliminaˇcn´ı metoda. Tato metoda spoˇc´ıv´ a v tom, ˇze postupn´ ymi u ´pravaustala v 1. rovnici a byla vyeliminov´ ana ze mi dos´ahneme toho, aby nezn´ am´a x1 z˚ ustala ve 2. rovnici (eventu´ alnˇe i v prvn´ı) a byla 2. aˇz m. rovnice, nezn´ am´a x2 z˚ ustala ve 3. rovnici (eventu´ alnˇe vyeliminov´ ana ze 3. aˇz m. rovnice, nezn´ am´a x3 z˚ i v prvn´ı a ve druh´e) a byla vyeliminov´ ana ze 4. aˇz m. rovnice atd. Dostaneme tak z p˚ uvodn´ı soustavy rovnic soustavu ve tvaru (nazveme ji soustavou v Gaussovˇe tvaru), kdy je jiˇz snadno ˇreˇsiteln´ a od zadu (tzv zpˇetn´ y chod). Zm´ınˇen´e postupn´e u ´pravy nemohou b´ yt libovoln´e. Mus´ı m´ıt pochopitelnˇe tu vlastnost, ˇze soustava po u ´pravˇe je ekvivalentn´ı se soustavou pˇred u ´pravou, tj., ˇze kaˇzd´e ˇreˇsen´ı soustavy pˇred u ´pravou je ˇreˇsen´ım soustavy po u ´pravˇe a naopak. Takov´ ymi povolen´ ymi u ´pravami zˇrejmˇe jsou: G1) z´ amˇena poˇrad´ı rovnic v soustavˇe, G2) z´ amˇena poˇrad´ı ˇclen˚ u s nezn´am´ ymi v rovnic´ıch, G3) vyn´ asoben´ı kter´ekoliv rovnice libovoln´ ym nenulov´ ym ˇc´ıslem, G4) pˇripoˇcten´ı ke kter´ekoliv rovnici libovoln´e n´asobky jin´ ych rovnic, G5) vynech´ an´ı rovnice, kter´ a je souˇctem libovoln´ ych n´ asobk˚ u jin´ ych rovnic (odame j´ı nulov´ a tud plyne, ˇze lze vynechat rovnici tvaru 0.x1 +0.x2 +· · ·+0.xn = 0, ˇr´ık´ rovnice, a tak´e ze vˇsech stejn´ ych rovnic ponechat jen jednu). Uveden´e u ´pravy naz´ yv´ ame Gaussov´ ymi element´ arn´ımi u ´pravami soustavy rovnic. Proti metodˇe pouˇz´ıv´ an´ı determinant˚ u m´ a Gaussova eliminaˇcn´ı metoda jeˇstˇe i dalˇs´ı velkou v´ yhodu, poˇcet rovnic nemus´ı b´ yt shodn´ y s poˇctem nezn´am´ ych. n V´ ypoˇ cet inverzn´ı matice. V´ıme, ˇze nal´ezt inverzn´ı matici Ainv = a∗ij n ke n ˇctvercov´e matici A = (aij )n n-t´eho ˇra´du. znamen´a ˇreˇsit maticovou rovnici AAinv = a mativce n-t´eho ˇra´du. To ovˇsem znamen´a ˇreˇsit n soustav En , kde En je jednotkov´ ASTr = ITr
,
r = 1, 2, . . . , n , 19
kde v prvn´ı soustavˇe je vektorem nezn´am´ ych prvn´ı sloupec inverzn´ı matice a vektorem prav´ ych stran prvn´ı sloupec jednotkov´e matice, ve druh´e soustavˇe je vektorem nezn´am´ ych druh´ y sloupec inverzn´ı matice a vektorem prav´ ych stran druh´ y sloupec ˇ sen´ı prov´ jednotkov´e matice atd. Reˇ ad´ıme Gaussovou eliminaˇcn´ı metodou. Vyuˇzijeme pˇritom skuteˇcnost, ˇze vˇsechny soustavy maj´ı tut´eˇz matici soustavy A, mˇen´ı se pouze jejich vektory prav´ ych stran. Charakteristick´ a rovnice matice. V´ıme, ˇze vlastn´ı ˇc´ısla ˇctvercov´e matice A nt´eho ˇra´du jsou takov´ a ˇc´ısla λ, pro kter´ a m´a homogenn´ı soustava rovnic (A − λEn ) xT = oT nenulov´e ˇreˇsen´ı x. To je vˇsak moˇzn´e pouze v pˇr´ıpadˇe, kdy determinant soustavy n je roven nule. Dosp´ıv´ ame tak k definici: Nechˇt A = (aij )n je matice n-t´eho ˇra´du. Potom rovnice det (A − λEn ) = 0, tj. rovnice
a12 a11 − λ a22 − λ a21 . .. .. . an2 an1
... ... .. .
a1n a2n .. .
. . . ann − λ
=
0
se naz´ yv´ a charakteristick´ a rovnice matice A. Z definice determinantu ihned plyne, ˇze charakteristick´a rovnice m´ a tvar αn λn + αn−1 λn−1 + · · · + α2 λ2 + α1 λ + α0 = 0, kde λ je nezn´am´e ˇc´ıslo a αn , αn−1 , . . . , α1 , α0 jsou ˇc´ısla z´avisej´ıc´ı na prvc´ıch matice. 7. POLYNOMY A JEJICH POD´ ILY. a Polynom a jeho koˇ reny. Ze stˇredn´ı ˇskoly v´ıme: Nechˇt α0 , α1 , . . . , αn jsou dan´ yraz), kter´e kaˇzd´emu re´aln´ a, pˇr´ıpadnˇe komplexn´ı ˇc´ısla, pˇriˇcemˇz αn = 0. Pravidlo (v´ komplexn´ımu ˇc´ıslu x pˇriˇrazuje ˇc´ıslo p(x), kde p(x) = α0 + α1 x + α2 x2 + · · · + αn xn , naz´ yv´ ame polynomem (mnohoˇclenem) stupnˇe n v promˇenn´e x s koeficienty αi . Tak napˇr. polynom q(x) = 3 + 2x je polynomem prvn´ıho stupnˇe (zvan´ ym line´ arn´ım), 2 ym kvadratick´ ym), polynom r(x) = −2+x+3x je polynomem druh´eho stupnˇe (zvan´ 4 2 3 4 s(x) = x − 1(= −1 + 0 · x + 0 · x + 0 · x + 1 · x ) je polynomem ˇctvt´eho stupnˇe. aln´ a ˇc´ısla, potom polynom Jestliˇze vˇsechny koeficienty αi , i = 0, 1, . . . , n jsou re´ naz´ yv´ ame re´ aln´ ym polynomem. Kaˇzd´e komplexn´ı ˇc´ıslo ξ takov´e, ˇze p(ξ) = 0, tj. α0 + α1 ξ + α2 ξ 2 + · · · + αn ξ n = 0
,
se naz´ yv´ a koˇren polynomu p(x). Kaˇzd´ y koˇren je tedy ˇreˇsen´ım rovnice α 0 + α 1 x + α 2 x2 + · · · + α n xn = 0 Tato rovnice se naz´ yv´ a algebraickou rovnic´ı n-t´eho stupnˇe. 20
.
Napˇr.polynom s(x) m´a ˇctyˇri koˇreny ξ1 = 1, ξ2 = −1, ξ3 = i, ξ4 = −i, tj. rovnice x4 − 1 = 0 m´a ˇctyˇri ˇreˇsen´ı 1, −1, i, −i. B´ ezoutova vˇ eta. Francouzsk´ y matematik E.B´ezout odvodil n´ asleduj´ıc´ı velmi d˚ uleˇzitou vˇetu Nechˇt n je libovoln´e pˇrirozen´e ˇc´ıslo a nechˇt p(x) = α0 + α1 x + α2 x2 + · · · + αn xn je libovoln´ y polynom n-t´eho stupnˇe. Potom ˇc´ıslo ξ je ˇreˇsen´ım algebraick´e rovnice p(x) = 0 tehdy a jen tehdy, kdyˇz pro kaˇzd´e komplexn´ı ˇc´ıslo x plat´ı p(x) = (x − ξ)q(x), kde q(x) = β0 + β1 x + β2 x2 + · · · + βn−1 xn−1 je polynom n − 1-n´ıho stupnˇe takov´ y, ˇze βn−1 = αn Znamen´a to tedy: Je–li ξ koˇrenem polynomu p(x), potom p(x) lze dˇelit beze zbytku polynomem (x − ξ). Z´ akladn´ı vˇ eta algebry. Pˇredn´ı m´ısto v algebˇre zauj´ım´ a tzv. z´akladn´ı vˇeta algebry, kterou v r. 1799 dok´ azal Gauss: Kaˇzd´ a algebraick´ a rovnice p(x) = 0 n-t´eho stupnˇe, kde n je libovoln´e pˇrirozen´e ˇc´ıslo (tj. n ≥ 1), m´ a v oboru komplexn´ıch ˇc´ısel alespoˇ n jedno ˇreˇsen´ı. D’Alembertova vˇ eta. Ze z´akladn´ı vˇety algebry a z B´ezoutovy vˇety ihned plyne n´ asleduj´ıc´ı D’Alembertova vˇeta: Pro kaˇzd´ y polynom p(x) = α0 + α1 x + α2 x2 + · · · + αn xn n-t´eho stupnˇe, kde yt vˇsechna navz´ an ≥ 1, existuje pr´ avˇe n komplexn´ıch ˇc´ısel ξ1 , ξ2 , . . . , ξn (nemus´ı b´ jem r˚ uzn´ a) takov´ ych, ˇze pro kaˇzd´e komplexn´ı ˇc´ıslo x plat´ı p(x) = αn (x − ξ1 ) (x − ξ2 ) . . . (x − ξn )
(7.1)
Rozklad polynomu v komplexn´ım oboru. V´ yrazy (x − ξk ) v (7.1) naz´ yv´ ame line´ arn´ımi koˇrenov´ ymi ˇciniteli polynomu p(x). N´ azev je odvozen ze skuteˇcnosti, ˇze p (ξk ) = 0, k = 1, 2, . . . , n, tj., ˇze vˇsechna ˇc´ısla ξk jsou ˇreˇsen´ımi (koˇreny) algebraick´e rovnice p(x) = 0. Nˇekteˇr´ı ˇcinitel´e v (7.1) se mohou opakovat. Jestliˇze nˇejak´ y avˇe tr kr´ at (tj. tr kr´ at a ne v´ıcekr´ at), potom ˇcinitel (x − ξr ) vystupuje v (7.1) pr´ asobn´ ym koˇrenem polynomu p(x). Vzorec (7.1) lze tedy ˇr´ık´ ame, ˇze ˇc´ıslo ξr je tr -n´ ps´at ve tvaru t t t (7.2) p(x) = αn (x − ξ1 ) 1 (x − ξ2 ) 2 · · · (x − ξs ) s , kde t1 + t2 + · · · + ts = n a vˇsechny koˇreny ξ1 , ξ2 , . . . , ξs jsou navz´ a jem r˚ uzn´e. Vzorci (7.2) ˇr´ık´ ame rozklad polynomu v komplexn´ım oboru. Tak napˇr. x4 − 1 = (x + 1)(x − 1)(x + i)(x − i), x3 − x2 = x2 (x − 1). Vˇsimnˇeme si, ˇze poˇc´ıt´ ame-li kaˇzd´ y k-n´ asobn´ y koˇren za k koˇren˚ u, m´ a algebraick´ a rovnice p(x) = 0 stupnˇe n ≥ 1 pr´ avˇe n ˇreˇsen´ı. Odtud ihned plyne, ˇze m´ a-li rovnice α0 + α1 x + α2 x2 + · · · + αn xn = 0 v´ıce neˇz n ˇreˇsen´ı, pak nutnˇe α0 = α1 = α2 = · · · = αn = 0, tj. p(x) = 0 pro kaˇzd´e ˇc´ıslo x. Takov´ y polynom pak naz´ yv´ ame nulov´ ym polynomem (nem´a ˇz´adn´ y stupeˇ n). Vˇ eta o imagin´ arn´ıch koˇ renech re´ aln´ ych polynom˚ u. Re´aln´e polynomy maj´ı speci´aln´ı vlastnost, kterou nyn´ı uvedeme ve tvaru tzv.vˇety o imagin´ arn´ıch koˇrenech: 21
Nechˇt p(x) je re´ aln´ y polynom. M´ a-li tento polynom koˇren ξ = u + iv, potom i komplexnˇe sdruˇzen´e ˇc´ıslo ξ¯ = u − iv je koˇrenem tohoto polynomu. Je-li koˇren ξ = u + iv k-n´ asobn´ y, je i koˇren ξ¯ = u − iv k-n´ asobn´ y. ¯ = (x − u − iv)(x − u + iv) = (x − u)2 + v 2 a to je Podotknˇeme, ˇze (x − ξ)(x − ξ) re´aln´ y kvadratick´ y polynom. Rozklad re´ aln´ eho polynomu v re´ aln´ em oboru. Shodnˇe s pˇredch´azej´ıc´ı vˇetou plyne z D’Alembertovy vˇety ihned z´ avˇer: aln´ y polynom stupnˇe n ≥ 1. Nechˇt p(x) = α0 + α1 x + α2 x2 + · · · + αn xn je re´ ˇ aln´e koˇreny, kaˇzd´ y s n´ asobnost´ı tr a Necht ξr , r = 1, 2, . . . , j jsou vˇsechny jeho re´ arn´ı koˇreny, kaˇzd´ y nechˇt ξs = us + ivs , s = 1, 2, . . . , k jsou vˇsechny jeho imagin´ s n´ asobnost´ı qs . Potom plat´ı p(x) =αn (x − ξn )t1 · (x− ξ2)t2 · · · (x − ξj )tj · q1
2
· (x − u1 ) + v12
2
· (x − u2 ) + v22
q2
qk 2 · · · (x − uk ) + vk2 ,
(7.3)
pˇriˇcemˇz t1 + t2 + · · · + tj + 2 (q1 + q2 + · · · + qk ) = n.
2
yv´ ame kvadratick´ ymi koˇrenov´ ymi ˇciniteli a V´ yrazy (x − us ) + vs2 v (7.3) naz´ samotn´ y vzorec (7.3) naz´ yv´ ame rozkladem re´ aln´eho polynomu v re´ aln´em oboru. Re´ aln´ y racion´ aln´ı v´ yraz. Pod´ıl dvou re´ aln´ ych polynom˚ u naz´ yv´ ame re´ aln´ ym p(x) n polynoracion´ aln´ım v´ yrazem. Jestliˇze v re´aln´em racion´aln´ım v´ yrazu q(x) je stupeˇ mu p(x) menˇs´ı neˇz stupeˇ n polynomu q(x), potom re´ aln´ y racion´ aln´ı v´ yraz se naz´ yv´ a re´ aln´ y ryz´ı racion´ aln´ı v´ yraz. Plat´ı vˇeta, ˇze kaˇzd´ y re´ aln´ y racion´ aln´ı v´ yraz lze vyj´ adˇrit jako souˇcet re´ aln´eho polynomu a re´ aln´eho ryz´ıho racion´ aln´ıho v´ yrazu. Rozklad re´ aln´ eho ryz´ıho racion´ aln´ıho v´ yrazu na parci´ aln´ı zlomky. V dalˇs´ı ˇc´asti, zejm´ena v kapitole o integrov´ an´ı, hraje d˚ uleˇzitou roli n´ asleduj´ıc´ı vˇeta: p(x) je re´ aln´ y ryz´ı racion´ aln´ı v´ yraz a nechˇt polynom q(x) stupnˇe n m´ a Nechˇt q(x) v re´ aln´em oboru rozklad q(x)
=
t
t
t
αn (x − ξ1 ) 1 (x − ξ2 ) 2 · · · (x − ξj ) j · q1 q2 q (x − u2 )2 + v22 · · · (x − uk )2 + vk2 k , · (x − u1 )2 + v12
pˇriˇcemˇz t1 + t2 + · · · + 2(q1 + q2 + · · · + qk ) = n. 22
Potom existuj´ı re´ aln´ a ˇc´ısla Ars , Mrs , Nrs , v celkov´em poˇctu n, takov´ a, ˇze plat´ı r(x)
=
A11 x−ξ1
+
A12 (x−ξ1 )2
+···+
A1t1 (x−ξ1 )t1
+. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A
j1 + x−ξ + j
Aj2 (x−ξj )2
M11 x+N11 + (x−u 2 + 2 1 ) +v 1
+···+
Ajtj
(x−ξj )tj
M12 x+N12 [(x−u1 )2 +v12 ]2
+···+
M1q1 x+N1q1 [(x−u1 )2 +v12 ]q1
+. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mk1 x+Nk1 + (x−u 2 + 2 k ) +v 1
Mk2 x+Nk2
2
[(x−uk )2 +vk2 ]
+···+
Mkqk x+Nkqk
[(x−uk )2 +vk2 ]
qk
V´ yrazy A (x − ξ)r
Mx + N s [(x − u)2 + v 2 ]
,
se naz´ yvaj´ı parci´ aln´ı zlomky a samotn´ y vzorec pak rozklad na parci´ aln´ı zlomky.
´ ´ GEOMETRIE. C. UVOD DO ANALYTICKE ´ VEKTORY. 8. GEOMETRICKE Kart´ ezsk´ a soustava souˇ radnic. Zvolme v prostoru tˇri navz´a jem kolm´e pˇr´ımky ym bodem O a povaˇzujme je za ˇc´ıseln´e osy s jednou Ox , Oy , Oz proch´azej´ıc´ı spoleˇcn´ ˇ ˇ a touˇze jednotkou. C´ıseln´e osy orientujme (tj. uvedme, kter´e poloosy jsou kladn´e a kter´e z´aporn´e) takto: osy Ox , Oy libovolnˇe, osu Oz tak, ˇze pozorujeme-li osy Ox , Oy z nˇekter´eho bodu kladn´e ˇc´asti osy Oz , musela by kladn´ a ˇc´ast osy Ox opsat kladnˇe orientovan´ y (tj. proti smˇeru ot´ aˇcen´ı hodinov´ ych ruˇciˇcek) u ´hel π/2, aby poprv´e ˇ splynula s kladnou ˇc´ast´ı osy Oy . R´ık´ ame pak, ˇze jsme vytvoˇrili pravo´ uhlou pravotoˇcivou soustavu souˇradnic. Podobnˇe bychom mohli definovat levotoˇcivou soustavu. Budeme pracovat pouze v pravo´ uhl´e pravotoˇciv´e soustavˇe, kterou kr´ atce naz´ yv´ ayme kart´ezskou soustavou souˇradnic. Pˇr´ımky Ox , Oy , Oz pak nazveme souˇradnicov´ mi osami a roviny urˇcen´e dvojicemi souˇradnicov´ ych os (Ox , Oy ), (Oy , Oz ), (Ox , Oz ) nazveme souˇradnicov´ ymi rovinami (p˚ udorysnou, n´ arysnou a bokorysnou). Jestliˇze z bodu A v prostoru spust´ıme kolmice na ˇc´ıseln´e osy Ox , Oy , Oz , potom jejich a naz´ yv´ ame prvn´ı (x-ovou), druhou paty P, Q, R odpov´ıdaj´ı ˇc´ısl˚ um a1 , a2 , a3 , kter´ (y-ovou) a tˇret´ı (z-ovou) souˇradnic´ı bodu A a oznaˇcujeme A = (a1 , a2 , a3 ). Pro kaˇzd´e dva r˚ uzn´e body v prostoru dostaneme dvˇe r˚ uzn´e (uspoˇra´dan´e) trojice ˇc´ısel (souˇradnic) a opaˇcnˇe, dvˇema r˚ uzn´ ym trojic´ım odpov´ıdaj´ı dva r˚ uzn´e body. Prostor, ve kter´em jsme zavedli kart´ezskou soustavu souˇradnic, kr´ atce kart´ezsk´ y prostor, lze ych ˇc´ısel tedy povaˇzovat za trojrozmˇern´ y vektorov´ y prostor V3 nad oborem re´aln´ a jeho body za algebraick´e vektory dimense 3, pokud ovˇsem definujeme rovnost dvou vektor˚ u, jejich souˇcet a souˇcin re´ aln´eho ˇc´ısla s vektorem tak, jak je uvedeatce naz´ yv´ ame kart´ezskou no ve ˇctvrt´e kapitole. Souˇradnicovou rovinu (Ox , Oy ) kr´ rovinou. Opˇet bychom se snadno pˇresvˇedˇcili, ˇze ji lze povaˇzovat za dvojrozmˇern´ y udorysny vˇsak m˚ uˇzeme pochopitelnˇe intervektorov´ y prostor V2 . Vˇsechny body p˚ pretovat tak´e jako body kart´ezsk´eho prostoru, jejichˇz tˇret´ı souˇradnice je nulov´ a. A 23
tuto interpretaci budeme vˇetˇsinou pouˇz´ıvat. Podobnˇe, vˇsechny body osy Ox m˚ uˇzeme interpretovat jako body kart´ezsk´eho prostoru, jejichˇz druh´ a a tˇret´ı souˇradnice jsou nulov´e. Euklidovsk´ y prostor. Jestliˇze v kart´ezsk´em prostoru, shodnˇe s Pythagorovou vˇetou, zavedeme vzd´alenost dvou bod˚ u A = (a1 , a2 , a3 ), B = (b1 , b2 , b3 ) vztahem 2 2 2 d(A, B) = (b1 − a1 ) + (b2 − a2 ) + (b3 − a3 ) , potom ˇr´ık´ ame, ˇze jsme kart´ezsk´ y prostor metrizovali euklidovskou vzd´ alenost´ı a nazveme jej euklidovsk´ ym prostorem R3 . Poznamenejme, ˇze euklidovskou vzd´ alenost lze form´alnˇe zav´est v kaˇzd´em nych ˇc´ısel vztahem rozmˇern´em vektorov´em prostoru Vn nad oborem re´aln´ 2 2 2 d(a, b) = (b1 − a1 ) + (b2 − a2 ) + · · · + (bn − an ) , kde a = [a1 , a2 , · · · , an ],
b = [b1 , b2 , · · · , bn ].
Vektory ve fyzice. Ve fyzice a v technick´ ych vˇed´ach se vyskytuj´ı veliˇciny r˚ uzn´eho charakteru. Ty, kter´e jsou charakterizov´ any pouze velikost´ı (a samozˇrejmˇe rozmˇerem a fyzik´aln´ım v´ yznamem) naz´ yv´ ame skal´ arn´ımi veliˇcinami. Jsou to napˇr´ıklad ˇcas, teplota atd. Pro jejich popis se uˇz´ıvaj´ı ˇc´ısla. Ty veliˇciny, kter´e jsou kromˇe velikosti, rozmˇeru a fyzik´aln´ıho v´ yznamu charakterizov´any nav´ıc smˇerem a orientac´ı naz´ yv´ ame vektorov´ ymi veliˇcinami. Jsou to napˇr´ıklad s´ıla, okamˇzit´ a rychlost atd. Pro jejich popis se pouˇz´ıvaj´ı tak zvan´e voln´e (geometrick´e) vektory, v´ azan´e vektory a klouzav´e vektory. Tyto pojmy si v dalˇs´ıch ˇc´astech vysvˇetl´ıme. −→ 8.6. Orientovan´ au ´ seˇ cka. Orientovanou u ´seˇckou AB v euklidovsk´em prostoru u A = (a1 , a2 , a3 ), B = R3 rozum´ıme nejkratˇs´ı spojnici uspoˇra´dan´e dvojice (A, B) bod˚ yv´ ame poˇc´ ateˇcn´ım, bod B koncov´ ym bodem (b1 , b2 , b3 ) tohoto prostoru. Bod A naz´ −→ −→ ˇ u ´seˇcky. O u ´seˇcce BA pak ˇr´ık´ ame, ˇze je orientov´ ana opaˇcnˇe neˇz u ´seˇcka AB. C´ısla yv´ ame prvn´ı, druhou a tˇret´ı souˇradnic´ı orientovan´e u ´seˇcky b1 −a1 , b2 −a2 , b3 −a3 naz´ −→ −→ y bod B u ´seˇcky AB a p´ıˇseme AB = (b1 − a1 , b2 − a2 , b3 − a3 ). V pˇr´ıpadˇe, kdy koncov´ −→ spl´ yv´ a s jej´ım poˇc´ateˇcn´ım bodem A, tj. B = A, potom orientovan´ au ´seˇcka AB se ˇ ıslo redukujedo jednoho bodu a m´ a zˇrejmˇe vˇsechny tˇri souˇradnice nulov´e. C´ −→ 2 2 2 |AB| = (b1 − a1 ) + (b2 − a2 ) + (b3 − a3 ) −→ naz´ yv´ ame velikost´ı (d´elkou) u ´seˇcky AB , kde pro pˇrehlednost jsme pouˇzili pouze kart´ezskou rovinu). −→ Vˇsimnˇeme si, ˇze kaˇzd´a orientovan´ au ´seˇcka CD, kde C = (c1 , c2 , c3 ), −→ a vznikne rovnobˇeˇzn´ ym posunut´ım u ´seˇcky AB m´a stejn´e souD = (d1 , d2 , d3 ), kter´ ˇradnice, tj. d1 − c1 = b1 − a1 , d2 − c2 = b2 − a2 , d3 − c3 = b3 − a3 . Mezi tyto −→ u ´seˇcky patˇr´ı i orientovan´ a u ´seˇcka OU , kde O = (0, 0, 0)), U = (u1 , u2 , u3 ), tedy −→ −→ ´seˇcky DC a U O maj´ı nau1 = b1 − a1 , u2 = b2 − a2 , u3 = b3 − a3 . Orientovan´e u opak souˇradnice opaˇcn´e. Vˇsimnˇeme si d´ale, ˇze vˇsechny tyto u ´seˇcky jsou navz´ a jem 24
rovnobˇeˇzn´e, stejnˇe dlouh´e (maj´ı tut´eˇz velikost rovnou ˇc´ıslu u21 + u22 + u23 ) a vyznaˇcuj´ı tent´ yˇz smˇer. Naopak, orientovan´ au ´seˇcka, kter´ a mezi nˇe nepatˇr´ı, m´ a nutnˇe jin´e souˇradnice v1 , v2 , v3 , tj. (v1 , v2 , v3 ) = (u1 , u2 , u3 ). Geometrick´ y vektor. Mnoˇzinu vˇsech orientovan´ ych u ´seˇcek v euklidovsk´em prostoru R3 , kter´e maj´ı jedny a tyt´eˇz souˇradnice v1 , v2 , v3 (v uveden´em poˇrad´ı) → v anebo tak´e (v1 , v2 , v3 ). naz´ yv´ ame geometrick´ ym vektorem v R3 a oznaˇcujeme − −→ − → → Kaˇzdou orientovanou u ´seˇcku AB ∈ v budeme naz´ yvat reprezentantem vektoru − v → s poˇca ´tkem A, nebo tak´e vektorem − v s poˇc´ ateˇcn´ım bodem A a naopak, o vektoru −→ − → v budeme ˇr´ıkat, ˇze je indukov´ an orientovanou u ´seˇckou AB. Reprezentanta vektoru − → → v s poˇc´atkem O = (0, 0, 0) budeme naz´ yvat polohov´ ym reprezentantem vektoru − v (ve fyzice se ˇcasto naz´ yv´ a polohov´ ym vektorem). Shodnˇe s definic´ı rovnosti dvou → → v = (v1 , v2 , v3 ), mnoˇzin ˇr´ık´ ame o dvou geometrick´ ych vektorech − u = (u1 , u2 , u3 ), − − → − → ˇze se sobˇe rovnaj´ı a p´ıˇseme u = v , jestliˇze u1 = v1 , u2 = v2 , u3 = v3 . Souˇctem → → dvou geometrick´ ych vektor˚ u− u = (u1 , u2 , u3 ), − v = (v1 , v2 , v3 ) naz´ yv´ ame geomet− → − → → → rick´ y vektor, kter´ y oznaˇcujeme u + v a kter´ y definujeme vztahem − u +− v = (u1 + v1 , u2 + v2 , u3 + v3 ). Souˇcinem re´ aln´eho ˇc´ısla α a geometrick´eho vektoru − → → u = (u1 , u2 , u3 ) naz´ yv´ ame geometrick´ y vektor, kter´ y oznaˇcujeme α− u a kter´ y − → definujeme vztahem α u = (αu1 , αu2 , αu3 ). Rozd´ılem dvou geometrick´ ych vektor˚ u − → − → u = (u1 , u2 , u3 ), v = (v1 , v2 , v3 ) naz´ yv´ ame geometrick´ y vektor, kter´ y oznaˇcujeme − → − → − → − → − → − → u − v a kter´ y definujeme vztahem u − v = u + (−1) v . Vztah mezi geometrick´ ym a algebraick´ ym vektorem. Geometrick´ y vektor s uvedenou definic´ı sˇc´ıt´ an´ı a n´ asoben´ı re´ aln´ ym ˇc´ıslem lze povaˇzovat za speci´aln´ı pˇr´ıpad trojrozmˇern´eho algebraick´eho re´ aln´eho vektoru, pˇresnˇeji ˇreˇceno, za jeho ymi vektory plat´ı geometrickou interpretaci v R3 . Proto pro operace s geometrick´ − → − → − → − vˇsechna pravidla pro algebraick´e vektory (napˇr. u + v = v + → u atd.). − → − → − → − → Nechˇt i , j , k jsou geometrick´e vektory v R3 dan´e vztahy i = (1, 0, 0), − → − → → y geometrick´ y vekj = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1) a nechˇt − v = (v1 , v2 , v3 ) je libovoln´ tor. Potom z definice souˇctu vektor˚ u a souˇcinu re´aln´eho ˇc´ısla s vektorem ihned − → − → − → → − → v je line´ arn´ı kombinac´ı b´ azov´ ych plyne v = v1 i + v2 j + v3 k , tj. vektor − − → − → − → − → vektor˚ u i , j , k a ˇc´ısla v1 , v2 , v3 jsou souˇradnicemi vektoru v vzhledem k b´ azi → − → − → − { i , j , k }. Skal´ arn´ı souˇ cin geometrick´ ych vektor˚ u. Geometrick´ y vektor je speci´ aln´ım − → pˇr´ıpadem algebraick´eho vektoru. Proto i pro geometrick´e vektory u = (u1 , u2 , u3 ), − → → → → → v = (v1 , v2 , v3 ) definujeme jejich skal´ arn´ı souˇcin − u ·− v vztahem − u ·− v = u1 v1 + azat: u2 v2 + u3 v3 . Snadno lze dok´ → → → v = (v , v , v ), − w = (w , w , w ) jsou libovoln´e geoJestliˇze − u = (u , u , u ), − 1
2
3
1
2
3
1
2
metrick´e vektory a α je libovoln´e re´ aln´e ˇc´ıslo, potom plat´ı − → − → − → − → a) u · v = v · u → → → → b) (α− u)·− v = α(− u ·− v) − → − → − → − → → → → c) ( u + v ) · w = u · − w +− v ·− w 25
3
→ − → → → u ·− u , kde − u je velikost vektoru − u= − u , tj., shodnˇe s definic´ı veli→ → u = u21 + u22 + u23 . kosti u ´seˇcky, − d)
Odchylka dvou geometrick´ ych vektor˚ u. Dvˇe polopˇr´ımky p, q se spoleˇcn´ ym ´ poˇc´atkem sv´ıraj´ı dva u ´hly jejichˇz souˇcet je 2π. Uhlem polopˇr´ımek p, q naz´ yv´ ame vˇzdy ten u ´hel ω pro kter´ y plat´ı 0 ≤ ω ≤ π. → → Odchylkou dvou nenulov´ ych geometrick´ych vektor˚ u − u ,− v naz´ yv´ ame u ´hel ω ∈ −→ −→ → → 0, π polopˇr´ımek OU, OV , kde OU , OV jsou polohov´ı reprezentanti vektor˚ u− u ,− v . − → − → Jestliˇze ω = π/2, potom o vektorech u , v ˇr´ık´ ame, ˇze jsou orthogon´ aln´ı (kolm´e). Vztah mezi odchylkou a skal´ arn´ım souˇ cinem vektor˚ u. V aplikac´ıch je velmi d˚ uleˇzit´a formule: → → v = (v1 , v2 , v3 ) jsou libovoln´e nenulov´e vektory a ω je Jestliˇze − u = (u1 , u2 , u3 ), − jejich odchylka, potom plat´ı − → → → → u ·− v = |− u ||− v | cos ω Poznamenejme, ˇze odtud ihned plyne: Skal´ arn´ı souˇcin dvou nenulov´ ych geometrick´ych vektor˚ u je roven nule tehdy a jen tehdy, kdyˇz vektory jsou orthogon´ aln´ı. → − → − → − Smˇ erov´ e kosiny vektoru. Snadnmo se pˇresvˇedˇc´ıme, ˇze orty i , j , k jsou → navz´ a jem orthogon´ aln´ı a jednotkov´e (tj., jejich velikost je rovna jedn´e). Nechˇt − v = (v1 , v2 , v3 ) je libovoln´ y nenulov´ y geometrick´ y vektor. Kosiny odchylek, kter´e sv´ır´ a − → − → vektor v s jednotliv´ ymi ortami se naz´ yvaj´ı smˇerov´ ymi kosiny vektoru v a oznaˇcuj´ı se cos α, cos β, cos γ. V aplikac´ıch se ˇcasto pouˇz´ıv´ a vzorec − → v = → |− v|
v1 v2 v3 , →, − → |− v | |− v | |→ v|
= (cos α, cos β, cos γ)
Vektorov´ y souˇ cin vektor˚ u. Moment s´ıly a ˇrada dalˇs´ıch pojm˚ u v aplikac´ıch − → − → n´ as vedou k n´ asleduj´ıc´ı definici: Nechˇt u = (u1 , u2 , u3 ), v = (v1 , v2 , v3 ) jsou nenulov´e geometrick´e vektory a ω jejich odchylka. Vektorov´ ym souˇcinem vektor˚ u − → − → − → u , v (v tomto poˇrad´ı) rozum´ıme geometrick´ y vektor w takov´ y, ˇze − → − → a) je kolm´ y na oba vektory u , v , → → → → b) jeho velikost |− w | je d´ ana vztahem |− w | = |− u ||− v | sin ω, → → → c) uspoˇra´dan´ a trojice polohov´ ych reprezentant˚ u vektor˚ u− u ,− v ,− w tvoˇr´ı pravotoˇciv´ y syst´em, kter´ y je definov´ an obdobnˇe jako pravotoˇciv´ a soustava souˇradnic s t´ım rozd´ılem, ˇze ω ∈ 0, π. → → → Vektor − w se ˇcasto oznaˇcuje − u ×− v (v tomto poˇrad´ı). → → Vektorov´ y souˇcin definujeme i v pˇr´ıpadˇe, kdy nˇekter´ y z vektor˚ u − u ,− v je nulov´ y. → → V tomto pˇr´ıpadˇe pˇr´ımo z definice poloˇz´ıme − u ×− v = (0, 0, 0). Z vlastnosti b) ihned plyne, ˇze 26
→ → vektorov´ y souˇcin dvou nenulov´ ych vektor˚ u − u ,− v je nulov´ ym vektorem tehdy a → → jen tehdy, kdyˇz jejich odchylka je rovna nule, tj., kdyˇz − v = α− u , kde α je re´ aln´e − → − → ˇc´ıslo.V tomto pˇr´ıpadˇe ˇr´ık´ ame, ˇze vektory u , v jsou koline´ arn´ı. Z vlastnosti b) d´ ale ihned plyne geometrick´ a interpretace velikosti vektorov´eho souˇcinu: → → velikost vektorov´eho souˇcinu − u ×− v je ˇc´ıselnˇe rovna obsahu rovnobˇeˇzn´ıku vy−→ − −→ → u , AC ∈ − v. tvoˇren´eho u ´seˇckami AB, AC, kde AB ∈ → Vlastnosti vektorov´ eho souˇ cinu. Snadno lze dok´ azat vˇetu: − → − → − → Jestliˇze u = (u1 , u2 , u3 ), v = (v1 , v2 , v3 ), w = (w1 , w2 , w3 ) jsou libovoln´e geometrick´e vektory a α, β jsou libovoln´ a re´ aln´ a ˇc´ısla, potom plat´ı − → − → − → − → a) u × v = −( v × u ), tzv. antikomutativn´ı z´ akon, − → − → − → − → b) α u × β v = αβ( u × v ), → → → → → → → c) (− u +− v )×− w =− u ×− w +− v ×− w , tzv. prvn´ı distributivn´ı z´ akon, − → − → − → − → − → − → − → d) u × ( v + w ) = u × v + u × w , tzv. druh´ y distributivn´ı z´ akon. V´ ypoˇ cet souˇ radnic vektorov´ eho souˇ cinu. Plat´ı vˇeta: → → v = (v1 , v2 , v3 ) geometrick´e vektory, potom pro jejich Jsou–li − u = (u1 , u2 , u3 ), − − → − → vektorov´ y souˇcin u × v plat´ı − → → u ×− v = (u2 v3 − u3 v2 , u3 v1 − u1 v3 , u1 v2 − u2 v1 ) Tento vzorec lze tak´e zapsat ve tvaru − → − → − → i j k − → → u ×− v = u1 u2 u3 v v2 v3 1 Objem rovnobˇ eˇ znostˇ enu a ˇ ctyˇ rstˇ enu. Objemy vr rovnobˇeˇznostˇenu a objem ych u ´seˇckami AB, AC, AD jsou d´ any vztahy vc ˇctyˇrstˇenu zadan´ → → → vr = |− u · (− v ×− w )|,
vc =
1 − → → u · (− v ×− w ) → 6
→ → → v = (v1 , v2 , v3 ), − w = Sm´ıˇ sen´ y souˇ cin vektor˚ u. Nechˇt − u = (u1 , u2 , u3 ), − − → → → (w1 , w2 , w3 ) jsou libovoln´e geometrick´e vektory. Sm´ıˇsen´ ym souˇcinem vektor˚ u u ,− v ,− w − → − → − → (v tomto poˇrad´ı) rozum´ıme ˇc´ıslo, kter´e znaˇc´ıme [ u v w ] a kter´e definujeme vztahem − → → → → → → u − v − w = − u · (− v ×− w) V´ ypoˇ cet sm´ıˇ sen´ eho souˇ cinu. Sm´ıˇsen´ y souˇcin poˇc´ıt´ ame ze vzorce u 1 u2 u3 → → → [− u − v − w ] = v1 v2 v3 w1 w2 w3 27
Vlastnosti sm´ıˇ sen´ eho souˇ cinu. Snadno lze dok´ azat: − → − → − → → Jestliˇze u = (u1 , u2 , u3 ), v = (v1 , v2 , v3 ), w = (w1 , w2 , w3 ), − z = (z1 , z2 , z3 ) jsou libovoln´e geometrick´e vektory a α je libovoln´e re´ aln´e ˇc´ıslo, potom plat´ı → → → → → → → → → a) [− u − v − w ] = [− v − w− u ] = [− w− u − v] − → − → − → − → − → − → − → − → → → b) [ u + v w z ] = [ u w z ] + [ v − w− z ] (distributivn´ı z´ akon) − → − → − → − → − → − → c) [α u v w ] = α[ u v , w ] d) Jsou-li alespoˇ n dva vektory sobˇe rovny, potom sm´ıˇsen´ y souˇcin je roven nule, − → − → − → napˇr. [ u u v ] = 0. ´ GEOMETRIE V PROSTORU. 9. ANALYTICKA Parametrick´ e rovnice pˇ r´ımky. O pˇr´ımce v prostoru ˇrekneme, ˇze m´ a smˇer −→ − → nenulov´eho vektoru s = (s1 , s2 , s3 ), jestliˇze obsahuje orientovanou u ´seˇcku CD −→ → takovou, ˇze CD ∈ − s . Plat´ı vˇeta: any bod A = (a1 , a2 , a3 ) a nenulov´ y Nechˇt v euklidovsk´em prostoru R3 jsou zad´ − → geometrick´ y vektor s = (s1 , s2 , s3 ). Potom pro kaˇzd´ y bod P = (p1 , p2 , p3 ) leˇz´ıc´ı na → pˇr´ımce q proch´ azej´ıc´ı bodem A a maj´ıc´ı smˇer vektoru − s existuje pr´ avˇe jedno re´ aln´e ˇc´ıslo t takov´e, ˇze plat´ı − → → → p = − a + t− s, (9.1) → → a = (a1 , a2 , a3 ) jsou geometrick´e vektory indukovan´e orienkde − p = (p1 , p2 , p3 ) a − −→ −→ tovan´ ymi u ´seˇckami OP a OA a naopak, pro kaˇzd´e re´ aln´e ˇc´ıslo t bod P dan´ y vztahem (1) leˇz´ı na pˇr´ımce q. Jestliˇze bod P neleˇz´ı na pˇr´ımce q, potom ˇza ´dn´e takov´e ˇc´ıslo t neexistuje. ˇ ıslo Rovnici (1) naz´ yv´ ame parametrickou rovnic´ı pˇr´ımky q ve vektorov´em tvaru. C´ t se naz´ yv´ a parametr. Porovn´ ame-li v rovnici (1) jednotliv´e sloˇzky vektor˚ u a oznaˇc´ıme-li x, y, z m´ısto p1 , p2 , p3 dostaneme rovnice x = a1 + ts1 ,
y = a2 + ts2 ,
z = a3 + ts3 ,
(9.2)
kter´e se naz´ yvaj´ı parametrick´e rovnice pˇr´ımky. Kanonick´ e rovnice pˇ r´ımky. Za pˇredpokladu si = 0, i = 1, 2, 3 vyeliminov´ an´ım parametru t z parametrick´ ych rovnic (2) dost´ av´ ame tzv. kanonick´e rovnice pˇr´ımky q: y − a2 z − a3 x − a1 = = s1 s2 s3 Vektorov´ a rovnice roviny urˇ cen´ e norm´ alov´ ym smˇ erem. V´ıme, ˇze libovoln´ a pˇr´ımka q je kolm´ a na rovinu ρ tehdy a jen tehdy, kdyˇz je kolm´a na kaˇzdou pˇr´ımku leˇz´ıc´ı v rovinˇe. Odtud ihned plyne vˇeta: any bod A = (a1 , a2 , a3 ) a nenulov´ y Nechˇt v euklidovsk´em prostoru R3 jsou zad´ − → geometrick´ y vektor n = (n1 , n2 , n3 ). Potom pro kaˇzd´ y bod P = (p1 , p2 , p3 ) leˇz´ıc´ı − → v rovinˇe ρ proch´ azej´ıc´ı bodem A a kolm´e na vektor n plat´ı → → → (− p −− a )·− n = 0 28
,
(9.3)
→ → kde − p = (p1 , p2 , p3 ) a − a = (a1 , a2 , a3 ) jsou geometrick´e vektory indukovan´e orien−→ −→ tovan´ ymi u ´seˇckami OP a OA. Jestliˇze bod P neleˇz´ı v rovinˇe ρ, potom pro nˇej vztah (3) neplat´ı. Rovnici (3) naz´ yv´ ame vektorovou rovnic´ı roviny urˇcen´e kolm´ ym (norm´ alov´ ym) smˇerem. Obecn´ a rovnice roviny. Rozep´ıˇseme–li skal´ arn´ı souˇcin (3) ve sloˇzk´ach a p´ıˇseme– li x, y, z m´ısto p1 , p2 , p3 , dostaneme n1 x + n2 y + n3 z + d = 0 kde
,
→ → n ·− a d = −(n1 a1 + n2 a2 + n3 a3 ) = −−
(9.4)
(9.5)
Rovnice (4) se naz´ yv´ a obecn´ a, nebo tak´e norm´ alov´ a rovnice roviny. Podotknˇeme, ˇze z rovnice (4) roviny ρ ihned plyne: Jestliˇze poˇc´ atek O = (0, 0, 0) leˇz´ı v rovinˇe ρ, potom d = 0 a naopak, jestliˇze d = 0, potom rovina ρ proch´ az´ı poˇc´ atkem. Obecn´ a rovnice roviny v u ´ sekov´ em tvaru. Pˇredpokl´ adejme, ˇze ˇc´ıslo d v obecn´e rovnici roviny (4) je r˚ uzn´e od nuly. Po vydˇelen´ı rovnice ˇc´ıslem −d a po zaveden´ı oznaˇcen´ı (pˇredpokl´ adejme, ˇze ni = 0, i = 1, 2, 3) p = − nd1 , q = − nd2 , r = − nd3 , rovnice (4) nabude tak zvan´ yu ´sekov´ y tvar x y z + + = 1. p q r ´ ´ Uhel dvou pˇ r´ımek v prostoru. Uhel ϕ ∈ 0, π2 , kter´ y sv´ıraj´ı pˇr´ımky p, q dan´e − → − → smˇerov´ ymi vektory s , r je definov´ an vztahem → → |− s ·− r| cos ϕ = − → |→ s | · |− r| ´ ´ Uhel pˇ r´ımky a roviny. Uhlem pˇr´ımky q a roviny ρ naz´ yv´ ame u ´hel, kter´ y sv´ır´ a dan´ a pˇr´ımka q se sv´ ym pravo´ uhl´ ym pr˚ umˇetem q do roviny ρ. Snadno se pˇresvˇedˇc´ıme, ˇze plat´ı vˇeta: → ´ Uhel ϕ ∈ 0, π2 , kter´ y sv´ır´ a pˇr´ımka q maj´ıc´ı smˇer vektoru − s s rovinou ρ maj´ıc´ı − → norm´ alov´ y vektor n , je d´ an vztahem → → |− n ·− s| sin ϕ = − → |→ n | · |− s|
.
´ ´ Uhel dvou rovin. Uhlem dvou rovin ρ a τ naz´ yv´ ame u ´hel, kter´ y sv´ıraj´ı norm´ aly dan´ ych rovin. Zˇrejmˇe plat´ı: 29
→ → Jestliˇze − m a− n jsou norm´ alov´e smˇery rovin ρ a τ , potom u ´hel ϕ, kter´ y sv´ıraj´ı roviny ρ a τ je d´ an vztahem → → |− n ·− m| cos ϕ = − → → | n | · |− m|
.
Vzd´ alenost bodu od roviny. Vzd´ alenost´ı bodu Q = (q1 , q2 , q3 ) od roviny ρ rozum´ıme d´elku v u ´seˇcky QR, kde R je kolm´ y pr˚ umˇet bodu Q do roviny ρ. Plat´ı vˇeta: Nechˇt v prostoru R3 jsou d´ any rovina ρ obecnou rovnic´ı n1 x + n2 y + n3 z + d = 0 alenost v bodu Q od roviny ρ je d´ ana vztahem a bod Q = (q1 , q2 , q3 ). Potom vzd´ v=
|n1 q1 + n2 q2 + n3 q3 + d| n21 + n22 + n23
.
Vzd´ alenost bodu od pˇ r´ımky. Vzd´ alenost´ı v bodu Q = (q1 , q2 , q3 ) od pˇr´ımky r v prostoru R3 rozum´ıme d´elku u ´seˇcky QP , kde P je kolm´ y pr˚ umˇet bodu Q na pˇr´ımku r. Plat´ı vˇeta: Nechˇt v prostoru R3 jsou d´ any bod Q = (q1 , q2 , q3 ) a pˇr´ımka r proch´ azej´ıc´ı bodem − → A = (a , a , a ) a maj´ıc´ı smˇer vektoru s . Potom vzd´ alenost v bodu Q od pˇr´ımky r 1
2
3
je d´ ana vztahem
→ |(q1 − a1 , q2 − a2 , q3 − a3 ) × − s| v= − → |s|
.
V´ alcov´ e plochy. Nechˇt jsou d´ any kˇrivka k leˇz´ıc´ı v rovinˇe ρ a pˇr´ımka q, kter´ a nen´ı rovnobˇeˇzn´a s touto rovinou. Potom vˇsechny pˇr´ımky rovnobˇeˇzn´e s pˇr´ımkou q a proch´ azej´ıc´ı body kˇrivky k vytvoˇr´ı plochu, kterou naz´ yv´ ame v´ alcovou plochou. V pˇr´ıpadˇe, kdy kˇrivka k leˇz´ı v nˇekter´e ze souˇradnicov´ ych rovin a pˇr´ımka q je na tuto rovinu kolm´ a, v´ alcovou plochu naz´ yv´ ame kolmou v´ alcovou plochou. Z kolm´ ych v´ alcov´ ych ploch jsou pak nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı ty, kdy kˇrivkou k je kuˇzeloseˇcka (kruˇznice, elipsa, hyperbola, parabola). Potom hovoˇr´ıme o kruhov´e, eliptick´e, hyperbolick´e a parabolick´e v´alcov´e ploˇse. Kuˇ zelov´ e a rotaˇ cn´ı plochy. Nechˇt jsou d´ any kˇrivka k leˇz´ıc´ı v rovinˇe ρ a bod V , kter´ y v t´eto rovinˇe neleˇz´ı. Potom vˇsechny spojnice bodu V s body kˇrivky k vytvoˇr´ı plochu, kterou naz´ yv´ yme kuˇzelovou plochou. Nechˇt jsou d´ any kˇrivka k leˇz´ıc´ı v rovinˇe ρ a pˇr´ımka q, kter´ a rovnˇeˇz leˇz´ı v t´eto rovinˇe. Jestliˇze rovina ρ rotuje kolem pˇr´ımky q, potom kˇrivka k vytv´ aˇr´ı plochu, kterou naz´ yv´ ame rotaˇcn´ı plochou s osou rotace q. Kvadriky. Vˇetˇsina ploch nejˇcastˇeji uvaˇzovan´ ych v technick´e praxi m´ a rovnici tvaru A1 x2 + A2 y 2 + A3 z 2 + B1 xy + B2 xz + B3 yz + ax + by + cz + d = 0, 30
kde A1 , A2 , A3 , B1 , B2 , B3 , a, b, c, d jsou zadan´ a re´aln´ a ˇc´ısla. Jestliˇze alespoˇ n jedno uzn´e od nuly, potom plocha se naz´ yv´ a kvadratick´ a plocha nebo z ˇc´ısel Ai , Bi je r˚ kr´ atce kvadrika.
´ ´ ˇ D. DIFERENCIALN I POCET FUNKC´ I ´ ˇ ´ JEDNE PROMENNE. ´ PROMENN ˇ ´ 10. FUNKCE JEDNE E Obecn´ y pojem zobrazen´ı. Mˇejme dvˇe nepr´ azdn´e mnoˇziny A, B. Zobrazen´ım mnoˇziny A do mnoˇziny B rozum´ıme pˇredpis (pravidlo), kter´ y kaˇzd´emu prvku a mnoˇziny A pˇriˇrad´ı nˇejak´ y jedin´ y prvek b z mnoˇziny B. Pojem pˇredpis mus´ıme upˇresnit. Definujeme pˇresnˇe: Zobrazen´ım f mnoˇziny A do mnoˇziny B rozum´ıme mnoˇzinu C vˇsech uspoˇra´dan´ ych dvojic (a, b) takov´ ych, ˇze a ∈ A, b ∈ B a pˇritom je splnˇena podm´ınka: kaˇzd´ y prvek mnoˇziny A se vyskytuje pouze v jedn´e dvojici patˇr´ıc´ı do C. Skuteˇcnost, ˇze f je zobrazen´ım mnoˇziny A do mnoˇziny B se ˇcasto zapisuje takto: f : a ∈ A −→ b ∈ B anebo kr´ atce f : A −→ B,, eventu´ alnˇe f : a −→ b.. Ve dvojici (a, b) prvn´ı prvek a se naz´ yv´ a vzorem prvku b, druh´ y prvek b obrazem prvku a, nebo tak´e hodnotou zobrazen´ı f v bodˇe a a oznaˇcuje se f (a). M´ısto z´apisu (a, b) se pak pouˇz´ıv´ a z´apis (a, f (a)) nebo tak´e b = f (a). Vˇsechny prvky z mnoˇziny B, kter´e se vyskytuj´ı alespoˇ n v jedn´e dvojici (a, b) tvoˇr´ı podmnoˇzinu mnoˇziny B. Tato podmnoˇzina se naz´ yv´ a obor hodnot zobrazen´ı f a ˇcasto se oznaˇcuje H(f ), nebo tak´e f (A). Plat´ı tedy Prvek b ∈ H(f ) tehdy a jen tehdy, kdyˇz existuje (aspoˇ n jeden) prvek a ∈ A takov´ y, ˇze b = f (a). Mnoˇzina A se naz´ yv´ a definiˇcn´ı obor zobrazen´ı f a ˇcasto se oznaˇcuje D(f ). Re´ aln´ e a vektorov´ e funkce. Charakter mnoˇzin A, B m˚ uˇze b´ yt r˚ uznorod´ y. Budou n´ as zaj´ımat pouze pˇr´ıpady, kdy jejich prvky jsou a) re´ aln´ a ˇc´ısla, b) algebraick´e re´aln´e vektory dimense vˇetˇs´ı neˇz jedna. Jestliˇze B = R (tj. vˇsechny prvky mnoˇziny B jsou re´ aln´ a ˇc´ısla), potom zobrazen´ı f : A −→ B naz´ yv´ ame re´ alnou funkc´ı. Jestliˇze B = Rm (tj. vˇsechny prvky mnoˇziny B jsou uspoˇra´dan´e m-tice re´aln´ ych ˇc´ısel) a pˇritom m ≥ 2, potom zobrazen´ı naz´ yv´ ame re´ alnou vektorovou funkc´ı. Jestliˇze zobrazen´ı je re´ alnou nebo re´ alnou vektorovou funkc´ı a souˇcasnˇe A ⊂ R, eventu´ alnˇe A ⊂ Rn , potom hovoˇr´ıme o re´aln´e nebo o re´aln´e vektorov´e funkci jedn´e, eventu´ alnˇe n re´ aln´ ych promˇenn´ ych. Zad´ av´ an´ı funkc´ı. Re´aln´e funkce jedn´e re´aln´e promˇenn´e, a pouze takov´ ymi se budeme v dalˇs´ım textu zab´ yvat, mohou b´ yt zad´ any r˚ uzn´ ymi zp˚ usoby: a) pomoc´ı urˇcit´eho slovn´ıho popisu - vˇetˇsinou to nen´ı matematick´e, b) pomoc´ı tabulek, tj. uveden´ım vˇsech dvojic (a, f (a)) tvoˇr´ıc´ıch funkci, napˇr´ıklad logaritmick´ ymi tabulkami, tarifn´ımi tabulkami atd., c) pomoc´ı jednoho nebo v´ıce matematick´ ych vzorc˚ u ud´ avaj´ıc´ıch, jak poˇc´ıtat hodnoty funkc´ı v jejich libovoln´em vzoru, napˇr´ıklad f (α) =
α2 − 1 α−1 31
,
α = 0.
P´ısmeno α v tomto vzorci naz´ yv´ ame nez´ avisle promˇennou. Budeme se vˇetˇsinou zab´ yvat funkcemi zadan´ ymi t´ımto zp˚ usobem. V takov´em pˇr´ıpadˇe vˇsak mus´ıme jeˇstˇe specifikovat jejich definiˇcn´ı obor. Dˇel´ame to tak, jak vid´ıme v´ yˇse, ˇze jej pˇr´ımo uvedeme. V matematice, zejm´ena v klasick´e, je pˇrijata u ´mluva, ˇze nen´ı–li definiˇcn´ı obor uveden, pak se j´ım rozum´ı tzv. pˇrirozen´ y definiˇcn´ı obor, kter´ ym je mnoˇzina vˇsech re´aln´ ych ˇc´ısel pro nˇeˇz m´a vzorec smysl. d) pomoc´ı rovnic ud´ avaj´ıc´ıch vztah mezi vzorem a obrazem. Tyto rovnice jsou tvaru F (a, b) = 0, kde F je re´aln´ a funkce dvou promˇenn´ ych zadan´ a matematick´ ymi vzorci ud´ avaj´ıc´ımi, jak poˇc´ıtat jej´ı hodnoty. O re´ aln´e funkci definovan´e pr´ avˇe popsan´ ym zp˚ usobem rovnic´ı ˇr´ık´ ame, ˇze je zad´ ana implicitnˇe, nebo kr´ atce, ˇze to je implicitn´ı funkce. O funkc´ıch, kter´e jsou zad´ any zp˚ usobem uveden´ ym v bodu c) zase ˇr´ık´ ame, ˇze jsou zad´ any explicitnˇe, nebo kr´ atce, ˇze to jsou explicitn´ı funkce. V naˇsem uˇcebn´ım textu se budeme zab´ yvat pouze funkcemi zadan´ ymi explicitnˇe a implicitnˇe. Slovo explicitn´ı budeme ˇcasto vynech´avat. Pouˇzijeme-li pouze slovo funkce, potom j´ım rozum´ıme explicitnˇe zadanou re´ alnou funkci jedn´e promˇenn´e. Kart´ ezsk´ e a pol´ arn´ı souˇ radnice v rovinˇ e. V´ıme, ˇze kaˇzd´ y bod P v rovinˇe lze povaˇzovat za uspoˇra´danou dvojici re´ aln´ ych ˇc´ısel (a, b) zvan´ ych jeho kart´ezsk´ ymi souˇradnicemi. Prvn´ı sloˇzku ve dvojici naz´ yv´ ame x-ovou souˇradnic´ı, druhou sloˇzku y-ovou souˇradnic´ı bodu P . x-ov´ a souˇradnice je rovna orientovan´e vzd´alenosti bodu a souˇradnice pak orientovan´e vzd´alenosti bodu P od osy Ox . P od osy Oy , y-ov´ Orientovanou vzd´ alenost´ı pˇritom rozum´ıme vzd´alenost se znam´enkem + nebo – podle toho, zda pata kolmice spuˇstˇen´e na pˇr´ısluˇsnou ˇc´ıselnou osu leˇz´ı na kladn´e nebo z´ aporn´e poloose. ˇ V technick´e praxi ani zdaleka nevystaˇc´ıme s kart´ezsk´ ymi souˇradnicemi. Casto jsme nuceni pouˇz´ıvat tzv. pol´ arn´ı souˇradnice. V kart´ezsk´e rovinˇe kladnou poloosu arn´ı osou a oznaˇcme ji p´ısmenem p. Bod Ox s poˇc´ateˇcn´ım bodem O nazveme pol´ O nazveme p´ olem. Kaˇzd´e uspoˇra´dan´e dvojici re´ aln´ ych ˇc´ısel (θ, r), kde r ≥ 0 ˇ pˇriˇradme v rovinˇe bod P takto: Sestrojme polopˇr´ımku q s poˇc´atkem v p´ olu O a sv´ıraj´ıc´ı s pol´ arn´ı osou p orientovan´ yu ´hel (mˇeˇren´ y v radianech) rovnaj´ıc´ı se ˇc´ıslu θ. Polopˇr´ımku p povaˇzujeme pˇritom za poˇc´ateˇcn´ı. Jako bod P zvolme bod leˇz´ıc´ı na polopˇr´ımce q ve vzd´ alenosti r od p´ olu. Uspoˇra´danou dvojici (θ, r) naz´ yv´ ame pol´ arn´ımi souˇradnicemi bodu P , jej´ı prvn´ı sloˇzku θ pak pol´ arn´ım u ´hlem a druhou sloˇzku r orientovanou vzd´ alenost´ı od p´ olu. Je zˇrejm´e, ˇze kaˇzd´e dvojici (θ, r) re´aln´ ych ˇc´ısel odpov´ıd´ a pr´ avˇe jeden bod P v rovinˇe. Vztah mezi kart´ezsk´ ymi a pol´ arn´ımi souˇradnicemi je jednoduch´ y: x = r cos θ
,
y = r sin θ
Obecn´ yu ´ hel a jeho velikost. Nechˇt v rovinˇe jsou d´ any bod O, kruˇznice k o polomˇeru r = 1 se stˇredem v bodˇe O a dvˇe polopˇr´ımky p, q s poˇc´atkem v O. Tyto dvˇe polopˇr´ımky urˇc´ı dva u ´hly α, β (menˇs´ı z nich naz´ yv´ ame odchylkou polopˇr´ımek). Jejich velikost se mˇeˇr´ı ve stupˇ nov´e nebo v obloukov´e m´ıˇre. Jednotkou stupˇ nov´e m´ıry je stupeˇ n, kter´ ym rozum´ıme jednu stoosmdes´atinu u ´hlu vytvoˇren´eho opaˇcn´ ymi polopˇr´ımkami p, p . Ve vyˇsˇs´ı matematice, ve fyzice i v technick´ ych vˇed´ach se velikost u ´hlu uv´ ad´ı t´emˇeˇr v´ yhradnˇe v obloukov´e m´ıˇre. I v naˇsem textu tomu tak bude. Jednotkou obloukov´e 32
m´ıry je radian, kter´ ym rozum´ıme u ´hel vytvoˇren´ y polopˇr´ımkami p, q takov´ ymi, ˇze d´elka oblouˇcku P Q na jednotkov´e kruˇznici k je rovna jedn´e. Ponˇevadˇz cel´a d´elka oblouku jednotkov´e kruˇznice je 2π, odpov´ıd´ a 2π radian˚ u 360-ti stupˇ n˚ um a tedy 1 radian
=
360 stupˇ n˚ u ≈ 57 stupˇ n˚ u 17 minut 45 vteˇrin 2π
a opaˇcnˇe 1 stupeˇ n =
π radian˚ u 180
Funkce sinus a kosinus. Ze stˇredn´ı ˇskoly je dobˇre zn´ am pojem sinus, eventu´ alnˇe kosinus u ´hlu pro obecn´ yu ´hel ϕ zaveden´ y v minul´em odstavci (mˇeˇren´ y v radianech a definovan´ y pro vˇsechna re´aln´ a ˇc´ısla). ˇ Graf funkce. Nechˇt je d´ ana re´ aln´ a funkce f jedn´e re´aln´e promˇenn´e. Casto je velmi d˚ uleˇzit´e graficky zn´ azornit funkci f , abychom mohli posoudit jej´ı vlastnosti. Grafick´e zn´azorˇ nov´ an´ı prov´ ad´eme pomoc´ı graf˚ u v kart´ezsk´ ych nebo v pol´ arn´ıch souˇradnic´ıch. Grafem re´ aln´e funkce jedn´e promˇenn´e v kart´ezsk´ ych souˇradnic´ıch rou A v rovinˇe R2 takov´ ych, ˇze pro jejich kart´ezsk´e zum´ıme mnoˇzinu Kf vˇsech bod˚ souˇradnice (x, y) plat´ı y = f (x), tj. druh´ a souˇradnice bodu A ∈ Kf je ˇc´ıselnˇe rovna hodnotˇe funkce f v jeho prvn´ı souˇradnici. Rovnici y = f (x), x ∈ A pak naz´ yv´ ame rovnic´ı grafu funkce f v kart´ezsk´ ych souˇradnic´ıch (x, y), nebo kr´ atce, rovnic´ı kart´ezsk´eho grafu funkce f . Analogicky, grafem funkce v pol´arn´ıch souˇradnic´ıch (kr´ atce u P v rovinˇe R2 takov´ ych, ˇze pol´ arn´ım grafem) rozum´ıme mnoˇzinu Gf vˇsech bod˚ pro jejich pol´ arn´ı souˇradnice (θ, r) plat´ı r = f (θ). Rovnici r = f (θ) , θ ∈ A, pak naz´ yv´ ame rovnic´ı grafu funkce f v pol´ arn´ıch souˇradnic´ıch (θ, r), nebo kr´ atce, rovnic´ı pol´ arn´ıho grafu funkce f . V´ıme, ˇze re´aln´ a funkce f jedn´e promˇenn´e m˚ uˇze b´ yt zad´ ana i implicitnˇe, tj. pomoc´ı rovnice ud´ avaj´ıc´ı vztah mezi vzorem a obrazem. Tato rovnice je tvaru F (a, b) = 0, kde F je re´aln´ a funkce dvou promˇenn´ ych. Pro kaˇzd´e ˇc´ıslo a ∈ D(f ) pˇritom plat´ı F (a, f (a)) = 0. Odtud ihned plyne, ˇze mnoˇzina vˇsech bod˚ u A s kart´ezsk´ ymi souˇradnicemi (x, y), {resp. s pol´ arn´ımi souˇradnicemi (θ, r)} takov´ ymi, ˇze F (x, y) = 0 {resp. F (θ, r) = 0}, je nadmnoˇzinou grafu funkce f . Tato nadmnoˇzina se ˇcasto naz´ yv´ a kart´ezsk´ y {resp.pol´ arn´ı}implicitn´ı graf funkce f . Rovnost dvou funkc´ı, rozˇ s´ıˇ ren´ı a z´ uˇ zen´ı. Nechˇt jsou d´ any dvˇe re´aln´e funkce f, g jedn´e re´aln´e promˇenn´e Jestliˇze D(f ) ⊂ D(g) a f (x) = g(x) ∀ x ∈ D(f ), potom ˇr´ık´ ame, ˇze funkce f je z´ uˇzen´ım (restrikc´ı) funkce g z definiˇcn´ıho oboru D(g) na obor D(f ), anebo tak´e, ˇze funkce g je rozˇs´ıˇren´ım funkce f z D(f ) na D(g). Jestliˇze D(f ) = D(g) a f (x) = g(x) ∀ x ∈ D(f ), potom ˇr´ık´ ame, ˇze funkce f, g se sobˇe rovnaj´ı a p´ıˇseme f = g. Nulov´ y bod funkce. Nulov´ ym bodem (ˇc´ıslem) funkce f naz´ yv´ ame kaˇzd´ y prvek α ∈ A takov´ y, ˇze f (α) = 0. Posloupnosti. Re´alnou funkci f jedn´e re´aln´e promˇenn´e jej´ımˇz definiˇcn´ım oborem je mnoˇzina vˇsech pˇrirozen´ ych ˇc´ısel N naz´ yv´ ame posloupnost´ı re´aln´ ych ˇc´ısel. Posloupnost je tedy funkce, kter´ a kaˇzd´emu pˇrirozen´emu ˇc´ıslu n pˇriˇrazuje nˇejak´e aln´e re´aln´e ˇc´ıslo. M´ısto f (n) (hodnota funkce f v bodˇe n) ˇcasto p´ıˇseme fn . Toto re´ ˇc´ıslo pak naz´ yv´ ame n-t´ ym ˇclenem posloupnosti. 33
Operace s funkcemi.Souˇctem dvou re´ aln´ ych funkc´ı jedn´e promˇenn´e f, g naz´ yv´ ame re´alnou funkci v jedn´e promˇenn´e takovou, ˇze v:
x ∈ D(f ) ∩ D(g) −→ f (x) + g(x) ∈ R.
Podobnˇe definujeme rozd´ıl a souˇcin dvou funkc´ı f, g. Pod´ıl f /g dvou funkc´ı f, g definujeme tak´e obdobnˇe aˇz na to, ˇze definiˇcn´ım oborem je mnoˇzina D(f ) ∩ D(g) z n´ıˇz jsou vyjmuty nulov´e body funkce g. D´ ale definujeme absolutn´ı hodnotu |f | re´aln´e funkce f jedn´e promˇenn´e jako funkci |f | : x ∈ D(f ) −→ |f (x)|. Sloˇ zen´ a funkce. Nechˇt g, f jsou dvˇe re´aln´e funkce jedn´e promˇenn´e. Nechˇt P je mnoˇzina vˇsech re´aln´ ych ˇc´ısel x patˇr´ıc´ıch do D(g) takov´ ych, ˇze g(x) ∈ D(f ). Potom re´aln´ a funkce h jedn´e promˇenn´e definovan´ a vztahem h(x) = f (g(x)) ∀ x ∈ P
(10.1)
se naz´ yv´ a funkce sloˇzen´ a z funkc´ı g, f a oznaˇcuje se f •g. Funkce g se naz´ yv´ a vnitˇrn´ı, zat´ımco f vnˇejˇs´ı sloˇzka sloˇzen´e funkce f • g. Vztah (1) je pro praktick´e pouˇzit´ı dost sloˇzit´ y. Zaˇc´ateˇcn´ık˚ um dˇel´a pot´ıˇze sestavit podle nˇej sloˇzenou funkci, zvl´ aˇstˇe v pˇr´ıpadˇe, kdy obˇe funkce g, f jsou zad´ any matematick´ ymi vzorci. Sestaven´ı vzorce pro v´ ypoˇcet hodnot sloˇzen´e funkce f • g n´ am m˚ uˇze podstatnˇeji usnadnit n´ asleduj´ıc´ı formulace vztahu (1): (f • g)(x) = f (g(x)) = f (u) , kde u = g(x) ∀ x ∈ P ,
(10.1’)
kter´ a je samozˇrejmˇe stejn´a jako (1). Inverzn´ı zobrazen´ı. Zobrazen´ı f : A −→ B naz´ yv´ ame prost´ ym, jestliˇze pro jak´ekoliv dva r˚ uzn´e prvky α1 , α2 z definiˇcn´ıho oboru A jsou i jejich obrazy f (α1 ), f (α2 ) r˚ uzn´e. To ovˇsem znamen´a, ˇze kaˇzd´ y prvek z oboru hodnot zobrazen´ı H(f ) m´a pr´ avˇe jeden vzor v A. M˚ uˇzeme tedy definovat nov´e zobrazen´ı, oznaˇcme je invf , kter´e m´a definiˇcn´ı obor H(f ) a kter´e kaˇzd´emu prvku z H(f ) pˇriˇrazuje pr´avˇe tento jeden vzor v A, tj. plat´ı invf :
β ∈ H(f ) −→ α ∈ D(f ) ∧ f (α) = β .
(10.2)
Zobrazen´ı invf se naz´ yv´ a inverzn´ı zobrazen´ı k f . Ze vztah˚ u invf (β) = α ∧ f (α) = β ihned dost´ av´ ame invf (f (α)) = α ∀ α ∈ D(f ) a tak´e f (invf (β)) = β ∀ β ∈ H(f )
(10.3)
ˇovat M´ısto oznaˇcen´ı invf se v literatuˇre ˇcasto pouˇz´ıv´ a oznaˇcen´ı f −1 (nezamˇen 1 s f ). V´ ypoˇ cet inverzn´ı funkce. Jestliˇze f je prost´a re´aln´ a funkce jedn´e promˇenn´e, potom shodnˇe s (3) plat´ı f (invf (x)) = x, ∀ x ∈ H(f ), coˇz m˚ uˇzeme samozˇrejmˇe formulovat takto f (u) = x ∀ x ∈ H(f ), kde u = invf (x) . 34
Jestliˇze funkce f je d´ ana explicitnˇe, potom f (u) = x pˇredstavuje rovnici. Pokud se n´am podaˇr´ı ji vyˇreˇsit vzhledem k nezn´ am´e u, dostaneme hledanou funkci invf . Nezapom´ınejme ovˇsem, ˇze ˇreˇsen´ı u mus´ı patˇrit do D(f ). Graf inverzn´ı funkce. Nechˇt A = (a, b) je libovoln´ y bod grafu funkce f , tj. a ∈ D(f ) ∧ b = f (a). Z definice inverzn´ı funkce pak plyne, ˇze bod A = (b, a) je bodem grafu funkce invf , neboˇt b ∈ H(f ) = D(invf ) ∧ a = invf (b). Bod A je vˇsak symetrick´ y k bodu A podle pˇr´ımky y = x. Dosp´ıv´ ame tak k z´ avˇeru grafy funkc´ı f a invf jsou symetrick´e podle pˇr´ımky y = x. V´ yznaˇ cn´ e typy funkc´ı. Nechˇt f je libovoln´ a re´aln´ a funkce jedn´e promˇenn´e. 1. Jestliˇze pro kaˇzd´e dva prvky α, β z A ⊂ D(f ) takov´e, ˇze α < β plat´ı a) f (α) ≤ f (β), potom o funkci f ˇr´ık´ ame, ˇze je neklesaj´ıc´ı v A, b) f (α) ≥ f (β), potom o funkci f ˇr´ık´ ame, ˇze je nerostouc´ı v A, c) f (α) < f (β), potom o funkci f ˇr´ık´ ame, ˇze je rostouc´ı v A, d) f (α) > f (β), potom o funkci f ˇr´ık´ ame, ˇze je klesaj´ıc´ı v A. Jestliˇze funkce je neklesaj´ıc´ı nebo nerostouc´ı, potom o n´ı ˇr´ık´ ame, ˇze je monotonn´ı v A, jestliˇze je rostouc´ı nebo klesaj´ıc´ı, potom o n´ı ˇr´ık´ ame,ˇze je ryze monotonn´ı v A. Samozˇrejmˇe kaˇzd´a ryze monotonn´ı funkce je i monotonn´ı. Opak neplat´ı. Z definice ihned plyne, ˇze kaˇzd´ a ryze monotonn´ı funkce v A je prost´ a v A (a tud´ıˇz k n´ı existuje inverzn´ı funkce). 2. Nechˇt definiˇcn´ı obor D(f ) funkce f m´a vlastnost: Jestliˇze ˇc´ıslo a patˇr´ı do D(f ), potom i ˇc´ıslo −a patˇr´ı do D(f ). V pˇr´ıpadˇe, ˇze pro kaˇzd´e ˇc´ıslo x ∈ D(f ) plat´ı a) f (−x) = f (x), potom o funkci f ˇr´ık´ ame, ˇze je sud´ a, b) f (−x) = −f (x), potom o funkci f ˇr´ık´ ame, ˇze je lich´ a. Graf sud´e funkce je zˇrejmˇe symetrick´ y podle osy Oy , graf lich´e funkce je symetrick´ y podle poˇc´atku O. 3. Nechˇt existuje kladn´e ˇc´ıslo p takov´e, ˇze plat´ı a) jestliˇze x ∈ D(f ), potom i x + p ∈ D(f ), b) f (x + p) = f (x) ∀ x ∈ D(f ) , c) ˇc´ıslo p > 0 je nejmenˇs´ı ze vˇsech kladn´ ych ˇc´ısel pro kter´ a plat´ı souˇcasnˇe podm´ınky a), b), tj. existuje aspoˇ n jedno kladn´e ˇc´ıslo menˇs´ı neˇz p pro nˇeˇz alespoˇ n jedna z podm´ınek a), b) neplat´ı. Potom o funkci f ˇr´ık´ ame, ˇze je periodick´ a s periodou p. Jestliˇze ˇz´adn´e takov´e ˇc´ıslo p neexistuje, potom o funkci f ˇr´ık´ ame, ˇze je neperiodick´ a. 4. Jestliˇze obor hodnot H(f ) funkce f je ohraniˇcen´a mnoˇzina, potom i o samotn´e funkci f ˇr´ık´ ame, ˇze je ohraniˇcen´ a nebo tak´e omezen´ a. Z´ akladn´ı element´ arn´ı funkce. V matematick´ ych popisech (modelech) fysik´ aln´ıch a inˇzen´ yrsk´ ych probl´em˚ u se ˇcasto vyskytuj´ı tzv. element´ arn´ı funkce. Rozum´ıme jimi kaˇzdou funkci, kter´ a vznikne jako v´ ysledek koneˇcn´eho poˇctu operac´ı sˇc´ıt´ an´ı, odeˇc´ıt´ an´ı, n´ asoben´ı, dˇelen´ı a tvoˇren´ı sloˇzen´ ych funkc´ı z tzv. z´ akladn´ıch element´ arn´ıch funkc´ı. Tˇemi jsou konstantn´ı, mocninn´e, exponenci´ aln´ı, logaritmick´e, goniometrick´e a cyklometrick´e funkce. ana Konstantn´ı a mocninn´ e funkce. Konstantn´ı funkce consta je definov´ explicitnˇe vztahem consta (x) = a, kde a je pevnˇe zvolen´e re´aln´e ˇc´ıslo. Jej´ım definiˇcn´ım oborem je mnoˇzina vˇsech re´aln´ ych ˇc´ısel R. Funkce je monotonn´ı (neklesaj´ıc´ı 35
i nerostouc´ı), nen´ı prost´ a. Je sud´ a. Nen´ı periodick´ a. Je omezen´ a, jej´ı obor hodnot je tvoˇren jedin´ ym prvkem, ˇc´ıslem a. ana explicitnˇe vztahem powa (x) = xa , kde a Mocninn´ a funkce powa je definov´ je zadan´e re´aln´e ˇc´ıslo. Jej´ı definiˇcn´ı obor z´ avis´ı na typu ˇc´ısla a a je urˇcen definic´ı mocniny. ana explicitnˇe Exponenci´ aln´ı funkce. Exponenci´ aln´ı funkce expa je definov´ x vztahem expa (x) = a , kde a > 0 je zadan´e kladn´e re´aln´e ˇc´ıslo. Jej´ı definiˇcn´ı obor je R. Pˇri a = 1 je exponenci´ aln´ı funkce konstantn´ı, pˇri 0 < a < 1 je klesaj´ıc´ı, pˇri a > 1 je rostouc´ı. V posledn´ıch dvou pˇr´ıpadech je tedy prost´a a m´a obor hodnot (0, ∞). V teorii i v aplikac´ıch je zdaleka nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı pˇr´ıpad, kdy a = e, kde e = 2, 718 281 828 459 . . . je tzv. Eulerovo ˇc´ıslo. V tomto pˇr´ıpadˇe se exponenci´aln´ı funkce naz´ yv´ a pˇrirozen´ a a m´ısto expe se kr´atce oznaˇcuje exp. Funkce exp je tedy definov´ ana explicitnˇe vztahem exp(x) = ex . a. ExistuLogaritmick´ e funkce. Exponenci´ aln´ı funkce expa je pˇri a = 1 prost´ a pro vˇsechna kladn´ a ˇc´ısla, neboˇt je proto k n´ı inverzn´ı funkce invexpa definovan´ yvaj´ıc´ı jako hodnoty vˇsechna re´aln´ a ˇc´ısla (i D(invexpa ) = H(expa ) = (0, ∞) a nab´ ˇ yz´aporn´ a), nebot H(invexpa ) = D(expa ) = R. Tuto inverzn´ı funkci invexpa naz´ v´ ame logaritmickou funkc´ı nebo kr´ atce logaritmem pˇri z´ akladu a a oznaˇcujeme loga . V pˇr´ıpadˇe a = 10 logaritmick´ a funkce se naz´ yv´ a dekadick´ a a m´ısto log10 se kr´atce oznaˇcuje log. Daleko nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı je pˇr´ıpad, kdy a = e. Logaritmick´ a funkce loge se pak naz´ yv´ a pˇrirozen´ a a m´ısto loge se kr´atce p´ıˇse ln nebo lg. Tedy ln = invexp. Zˇrejmˇe plat´ı loga ax = x ∀ x ∈ R ,
aloga x = x ∀ x ∈ (0, ∞) .
Z posledn´ıho vztahu ihned plyne,ˇze kaˇzd´e kladn´e ˇc´ıslo α lze vyj´ adˇrit ve tvaru α = elnα . ˇ Na z´avˇer uvedme nˇekolik z´akladn´ıch vlastnost´ı logaritmick´ ych funkc´ı, kter´e ˇcin´ı tyto funkce nepostradateln´ ymi v teorii i v aplikac´ıch: ˇ Necht a, b, α, β jsou libovoln´ a kladn´ a re´ aln´ a ˇc´ısla, pˇriˇcemˇz a = 1, b = 1. Potom plat´ı loga (αβ) = loga α + loga β , loga (α/β) = loga α − loga β , loga (αγ ) = γlogaα ∀ γ ∈ R logb α lnα , loga α = , aα = eαlna loga α = logb a lna Goniometrick´ e funkce. Z´akladn´ımi goniometrick´ ymi funkcemi jsou funkce sinus a kosinus. Tyto funkce nejsou monotonn´ı. Funkce sin je lich´ a, funkce cos sud´ a. Obˇe funkce jsou periodick´e s periodou 2π. Obˇe jsou tak´e ohraniˇcen´e, jejich oborem hodnot je interval −1, 1. ˇ jen horn´ı znam´enka, nebo Plat´ı pro nˇe n´ asleduj´ıc´ı d˚ uleˇzit´e vzorce (plat´ı vˇzdy bud jen doln´ı znam´enka): cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β 36
Dalˇs´ımi goniometrick´ ymi funkcemi jsou tangens, kotangens (funkcemi sekans a kosekans se zab´ yvat nebudeme). Jsou definov´ any vztahy sin x cos x cos x cot(x) = sin x
tan(x) =
Plat´ı pro nˇe vztah: tan(α ± β) =
∀ x ∈ R ∧ cos x = 0 ∀ x ∈ R ∧ sin x = 0 tan α ± tan β 1 ∓ tan α tan β
Cyklometrick´ e funkce. Funkce sinus a tangens nejsou prost´e. Proto k nim neexistuj´ı funkce inverzn´ı. Z´ uˇzen´ım tˇechto funkc´ı na menˇs´ı definiˇcn´ı obory lze dos´ahnout toho, aby byly prost´e. Definujme tedy nov´e funkce Sinus a Tangens (z metodick´ ych d˚ uvod˚ u jsme pouˇzili stejn´e n´azvy, rozliˇsili jsme je pouze velk´ ymi poˇc´ateˇcn´ımi p´ısmeny) vztahy π π π π , T an(x) = tan x , x ∈ (− , ) Sin(x) = sin x , x ∈ − , 2 2 2 2 Tyto funkce jsou jiˇz ryze monotonn´ı a tud´ıˇz prost´e. Existuj´ı k nim proto funkce inverzn´ı. Naz´ yv´ ame je cyklometrick´ ymi funkcemi arkussinus a arkustangens a oznaˇcujeme arcsin, arctan. Zˇrejmˇe plat´ı π π D(arcsin) = −1, 1 , H(arcsin) = − , , 2 2 π π D(arctan) = (−∞, ∞) , H(arctan) = (− , ). 2 2 Dalˇs´ımi cyklometrick´ ymi funkcemi jsou arkuskosinus a arkuskotangens (cyklometrick´ ymi funkcemi arkussekans a arkuskosekans se zab´ yvat nebudeme). Jsou to inverzn´ı funkce k funkc´ım Kosinus a Kotangens definovan´ ym n´ asledovnˇe: Cos(x) = cos x , x ∈ 0, π
,
Cot(x) = cot x , x ∈ (0, π
Plat´ı tedy D(arccos) = −1, 1 , H(arccos) = 0, π D(arccot) = (−∞, ∞) , H(arccot) = (0, π) Pro cyklometrick´e funkce plat´ı vztahy arcsin x + arccos x = π/2 , arccos x + arccos(−x) = π , π arctan x + arccot x = ∀ x ∈ (−∞, ∞) 2 Vektorov´ e funkce. Zobrazen´ı f : A −→ B naz´ yv´ ame re´ alnou vektorovou funkc´ı jedn´e re´ aln´e promˇenn´e, jestliˇze A je mnoˇzina re´aln´ ych ˇc´ısel a B je mnoˇzina uspoych re´ aln´ ych alˇra´dan´ ych m-tic re´aln´ ych ˇc´ısel ai , i = 1, 2, . . . , m, tj. m-rozmˇern´ atce naz´ yvat mgebraick´ ych vektor˚ u a = [a1 , a2 , . . . , am ]. Tuto funkci budeme kr´ rozmˇernou vektorovou funkc´ı a oznaˇcovat f . Budeme vˇzdy automaticky pˇredpokl´ adat, ˇze m ≥ 2. m-rozmˇern´a vektorov´ a funkce f je tedy pravidlo, kter´e kaˇzd´emu 37
re´aln´emu ˇc´ıslu x ∈ A pˇriˇrazuje nˇejak´ y vektor a = [a1 , a2 , . . . , am ]. Vˇsechny sloˇzky uˇzeme je proto povaˇzovat za hodnoty ai vektoru a samozˇrejmˇe z´avis´ı na vzoru x. M˚ re´aln´ ych funkc´ı fi promˇenn´e x a m-rozmˇernou vektorovou funkci f definovanou v A pak za uspoˇra´danou m-tici re´aln´ ych funkc´ı fi , i = 1, 2, . . . , m, tj. f = [f1 , f2 , . . . , fm ] definovan´ ych v jedn´e a t´eˇze mnoˇzinˇe re´aln´ ych ˇc´ısel A. Hodnotou f (x) m-rozmˇern´e vektorov´e funkce f je potom vektor f (x) = [f1 (x), f2 (x), . . . , fm (x)] . Operace s vektorov´ ymi funkcemi. Nechˇt f = [f1 , f2 , . . . , fm ], g = [g1 , g2 , . . . , gm ] jsou dvˇe m-rozmˇern´e vektorov´e funkce definovan´e v A ⊂ R a nechˇt α je re´aln´ a funkce, rovnˇeˇz definovan´ a v A. ˇ ık´ a) R´ ame, ˇze vektorov´e funkce f , g jsou sobˇe rovny a p´ıˇseme f = g, jestliˇze fi = gi pro i = 1, 2, . . . , m. b) Souˇctem vektorov´ ych funkc´ı f , g naz´ yv´ ame vektorovou funkci f +g definovanou vztahem f + g = [f1 + g1 , f2 + g2 , . . . , fm + gm ] . Podobnˇe definujeme rozd´ıl f − g. c) Souˇcinem re´ aln´e funkce α a re´ aln´e vektorov´e funkce f naz´ yv´ ame vektorovou funkci αf definovanou vztahem αf = [αf1 , αf2 , . . . , αfm ] . d) Skal´ arn´ım souˇcinem vektorov´ ych funkc´ı f , g naz´ yv´ ame re´alnou funkci f · g definovanou vztahem f · g = f1 g 1 + f2 g 2 + · · · + fm g m . M´ısto f · g ˇcasto pouˇz´ıv´ ame oznaˇcen´ı (f , g). e) Velikost´ı vektorov´e funkce f naz´ yv´ ame re´alnou funkci |f | definovanou vztahem 2 . |f | = f12 + f22 + · · · + fm Zˇrejmˇe plat´ı |f |2 = f · f = (f , f ) . f) V pˇr´ıpadˇe , ˇze vektorov´e funkce f , g jsou trojrozmˇern´e, tj. f = [f1 , f2 , f3 ], y souˇcin f × g a to vztahem g = [g1 , g2 , g3 ], definujeme i jejich vektorov´ f × g = [f2 g3 − f3 g2 , f3 g1 − f1 g3 , f1 g2 − f2 g1 ] . Oznaˇc´ıme-li i, j, k konstantn´ı vektorov´e funkce i = [1, 0, 0] , j = [0, 1, 0] , k = [0, 0, 1] , potom trojrozmˇern´e vektorov´e funkce f = [f1 , f2 , f3 ], g = [g1 , g2 , g3 ] m˚ uˇzeme zˇrejmˇe, shodnˇe s v´ yˇse uveden´ ymi definicemi souˇcinu re´aln´e a vektorov´e funkce a souˇctu dvou vektorov´ ych funkc´ı, ps´ at ve tvaru f = f1 i + f2 j + f3 k , g = g 1 i + g 2 j + g 3 k a vektorov´ y souˇcin f × g vyj´ adˇrit pomoc´ı determinantu i j k f × g = f1 f2 f3 . g1 g2 g3 38
11. LIMITA A SPOJITOST. ˇ ık´ Definice limity posloupnosti. R´ ame, ˇze ˇc´ıslo g je limitou dan´e posloupnosti ˇc´ısel a1 , a2 , a3 , . . . (nebo tak´e, ˇze posloupnost {an } konverguje k ˇc´ıslu g), jestliˇze ke kaˇzd´emu kladn´emu ˇc´ıslu existuje pˇrirozen´e ˇc´ıslo n∗ takov´e, ˇze poˇc´ınaje indexem n∗ vˇsechna ˇc´ısla an se liˇs´ı od g m´enˇe neˇz o , tj. |an − g| < ∀ n ≥ n∗ anebo, coˇz je tot´eˇz, an ∈ (g − , g + ) ∀ n ≥ n∗ . Skuteˇcnost, ˇze posloupnost {an } m´a limitu g zapisujeme takto: lim an = g nebo tak´e an → g. Podotknˇeme, ˇze pˇrirozen´e ˇc´ıslo n∗ obecnˇe z´avis´ı na ˇc´ıslu . Jednoznaˇ cnost limity posloupnosti. Plat´ı vˇeta: Kaˇzd´ a posloupnost m˚ uˇze m´ıt nanejv´ yˇs jednu limitu. Kriteria konvergence posloupnosti. Je d˚ uleˇzit´e zab´ yvat se ot´azkou, za jak´ ych podm´ınek je dan´ a posloupnost konvergentn´ı a kdy konvergentn´ı nen´ı. Tˇemto podm´ınk´ am se ˇr´ık´ a kriteria konvergence. Plat´ı vˇeta: 1. Neohraniˇcen´ a posloupnost nen´ı konvergentn´ı, tj. nutnou podm´ınkou konvergence posloupnosti je jej´ı ohraniˇcenost. 2. Kaˇzd´ a monotonn´ı ohraniˇcen´ a posloupnost je konvergentn´ı. nuj´ı nerovnosti 3. Jestliˇze tˇri posloupnosti {an }, {bn }, {cn } splˇ an ≤ bn ≤ cn
,
n = 1, 2, 3, . . .
a krajn´ı posloupnosti {an }, {cn } konverguj´ı k jednomu a t´emuˇz ˇc´ıslu g, potom i yv´ a vˇetou o posloupnost {bn } konverguje a to k t´emuˇz ˇc´ıslu g. Toto tvrzen´ı se naz´ tˇrech posloupnostech. Algebra limit posloupnost´ı. Jestliˇze jsou d´ any dvˇe posloupnosti {an }, {bn }, potom z nich m˚ uˇzeme vytvoˇrit ˇctyˇri nov´e posloupnosti {an + bn } , {an − bn } , {an · bn } ,
an bn
(11.1)
naz´ yvan´e souˇctem, rozd´ılem, souˇcinem a pod´ılem dan´ ych posloupnost´ı. Pod´ıl m´ a zˇrejmˇe smysl pouze tehdy, kdyˇz vˇsechna ˇc´ısla bn jsou r˚ uzn´ a od nuly. Plat´ı vˇeta, kter´ a je jednou z nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ıch vˇet v diferenci´ aln´ım poˇctu: Jestliˇze an → a a bn → b, potom vˇsechny prvn´ı tˇri posloupnosti v (1) jsou tak´e konvergentn´ı a plat´ı an + bn → a + b
,
an − bn → a − b
,
an · bn → a · b .
Jestliˇze nav´ıc b = 0, potom tak´e posledn´ı posloupnost v (1) je konvergentn´ı a plat´ı a an → . bn b a posloupnost a nechˇt n1 , n2 , n3 , . . . Podposloupnost. Nechˇt {an } je libovoln´ je libovoln´ a rostouc´ı posloupnost pˇrirozen´ ych ˇc´ısel. Potom posloupnost an1 , an2 , an3 , . . . 39
naz´ yv´ ame podposloupnost´ı posloupnosti {an } (nebo tak´e vybranou posloupnost´ı z posloupnosti {an }). Plat´ı vˇeta Kaˇzd´ a podposloupnost posloupnosti {an } konverguj´ıc´ı k ˇc´ıslu g rovnˇeˇz konverguje k ˇc´ıslu g. Hromadn´ y bod mnoˇ ziny. Nechˇt A je libovoln´ a mnoˇzina re´aln´ ych ˇc´ısel a nechˇt α je libovoln´e re´aln´e ˇc´ıslo (patˇr´ıc´ı do A nebo nikoliv). Jestliˇze v kaˇzd´em -okol´ı (α − , α + ) ˇc´ısla α leˇz´ı alespoˇ n jedno ˇc´ıslo z mnoˇziny A r˚ uzn´e od α, potom ˇc´ıslo α naz´ yv´ ame hromadn´ ym bodem mnoˇziny A. Plat´ı vˇeta: ˇ ıslo α je hromadn´ C´ ym bodem re´ aln´e mnoˇziny A tehdy a jen tehdy, kdyˇz v mnoˇzinˇe u r˚ uzn´ ych od α takov´ a, ˇze xn → α. A existuje posloupnost {xn } bod˚ ˇ ık´ Nevlastn´ı limity posloupnosti. R´ ame, ˇze posloupnost {an } m´a nevlastn´ı limitu plus nekoneˇcno, jestliˇze ke kaˇzd´emu (libovolnˇe velk´emu) ˇc´ıslu M existuje pˇrirozen´e ˇc´ıslo n∗ (z´avisej´ıc´ı na M ) takov´e, ˇze poˇc´ınaje indexem n∗ vˇsechna ˇc´ısla an jsou vˇetˇs´ı neˇz M .Skuteˇcnost, ˇze posloupnost {an } m´a nevlastn´ı limitu plus nebo tak´e an → ∞ . nekoneˇcno, zapisujeme takto: lim an = ∞ Analogicky definujeme nevlastn´ı limitu m´ınus nekoneˇcno. Posloupnosti maj´ıc´ı nevlastn´ı limitu plus nekoneˇcno nebo m´ınus nekoneˇcno naz´ yv´ ame divergentn´ımi a z´apisy an → ∞, an → −∞ ˇcteme: an diverguje k plus nekoneˇcnu, an diverguje k m´ınus nekoneˇcnu. Nekonvergentn´ı posloupnosti, kter´e nediverguj´ı naz´ yv´ ame osciluj´ıc´ımi. Plat´ı a a posloupnost {bn } diverguje k plus 1. Jestliˇze posloupnost {an } je ohraniˇcen´ nekoneˇcnu, potom an + bn → ∞
an − bn → −∞
,
an →0. bn
,
2. Jestliˇze posloupnost {a!n } diverguje (k plus nekoneˇcnu anebo k m´ınus neko" 1 neˇcnu), potom posloupnost an konverguje k nule. Opaˇcnˇe, jestliˇze an → 0 a souˇcasnˇe an > 0 ∀ n, potom a1n → ∞. 3. Jestliˇze posloupnost {an } konverguje ke kladn´emu ˇc´ıslu a posloupnost {bn } diverguje k plus nekoneˇcnu, potom posloupnost {an bn } diverguje k plus nekoneˇcnu. Heine’ho definice limity funkce. Nechˇt f je re´aln´ a funkce jedn´e re´aln´e proˇ mˇenn´e a necht α je hromadn´ y bod jej´ıho definiˇcn´ıho oboru D(f ) (α m˚ uˇze, ale tak´e nemus´ı, patˇrit do D(f ), tj. funkce f m˚ uˇze, ale tak´e nemus´ı, b´ yt definov´ ana v α ). ˇ R´ık´ ame, ˇze ˇc´ıslo g je limitou funkce f v bodˇe α (nebo tak´e, ˇze f konverguje k ˇc´ıslu u xn z D(f ) r˚ uzn´ ych od α g v bodˇe α), jestliˇze pro kaˇzdou posloupnost {xn } bod˚ konverguj´ıc´ı k ˇc´ıslu α, tj. pro kaˇzdou posloupnost x1 , x2 , x3 , . . .
,
xn = α ,
xn → α
,
xn ∈ D(f )
(11.2)
j´ı odpov´ıdaj´ıc´ı posloupnost hodnot f (x1 ), f (x2 ), f (x3 ), . . . 40
(11.3)
konverguje k ˇc´ıslu g. Skuteˇcnost, ˇze funkce f m´a v bodˇe α limitu g zapisujeme takto: lim f (x) = g , nebo tak´e f (x) → g
x→α
kdyˇz x → α
Jednostrann´ e limity funkce. Nechˇt f je re´aln´ a funkce jedn´e promˇenn´e a nechˇt α je hromadn´ y bod jej´ıho definiˇcn´ıho oboru D(f ) takov´ ym, ˇze v D(f ) existuje ˇ ık´ alespoˇ n jedna posloupnost {xn } bod˚ u xn > α ∀ n konverguj´ıc´ı k α. R´ ame, ˇze funkce f m´a v bodˇe α limitu zprava rovnaj´ıc´ı se ˇc´ıslu g, a p´ıˇseme lim f (x) = g, x→α+
jestliˇze pro kaˇzdou posloupnost (2) takovou, ˇze xn > α, n = 1, 2, . . . , posloupnost 3 konverguje k ˇc´ıslu g. Analogicky definujeme limitu zleva lim f (x). Limita zprava x→α−
i limita zleva se souhrnnˇe naz´ yvaj´ı jednostrann´e limity. Algebra limit funkc´ı. V´ıme, ˇze ze dvou dan´ ych funkc´ı f, g m˚ uˇzeme vytvoˇrit jejich souˇcet, rozd´ıl, souˇcin a pod´ıl. Plat´ı d˚ uleˇzit´a vˇeta Jestliˇze funkce f a g, definovan´e na jedn´e a t´eˇze mnoˇzinˇe A, maj´ı v hromadn´em bodˇe α mnoˇziny A limity lim f (x) = a
x→α
,
lim g(x) = b ,
x→α
potom jejich souˇcet, rozd´ıl a souˇcin maj´ı rovnˇeˇz limitu v α a plat´ı lim [f (x) + g(x)] = a + b
x→α
,
lim [f (x) − g(x)] = a − b ,
x→α
lim [f (x)g(x)] = a · b
x→α
Pod´ıl, za pˇredpokladu, ˇze g(x) = 0 ∧ b = 0, m´ a tak´e limitu a plat´ı a f (x) = . x→α g(x) b lim
Tato vˇeta plat´ı i pro jednostrann´e limity. Vˇ eta o tˇ rech funkc´ıch. D˚ uleˇzit´a v aplikac´ıch je tzv. vˇeta o tˇrech funkc´ıch (ˇcasto se tak´e naz´ yv´ a vˇeta o sevˇren´ı): Nechˇt tˇri funkce u, v, w jsou definov´ any na spoleˇcn´e mnoˇzinˇe A a nechˇt α je hromadn´ y bod t´eto mnoˇziny. Jestliˇze pro vˇsechna ˇc´ısla x z mnoˇziny A plat´ı u(x) ≤ w(x) ≤ v(x) a krajn´ı funkce u, v konverguj´ı v α k jedn´e a t´eˇze limitˇe g, potom i prostˇredn´ı funkce w konverguje v α k limitˇe g. Vˇeta plat´ı i pro jednostrann´e limity. Nevlastn´ı limity funkce. Definujme: Nechˇt f je re´aln´ a funkce jedn´e re´aln´e ˇ promˇenn´e definovan´ a na mnoˇzinˇe D(f ) a necht α je hromadn´ y bod t´eto mnoˇziny ˇ ık´ (α m˚ uˇze, ale tak´e nemus´ı patˇrit do mnoˇziny D(f )). R´ ame, ˇze funkce f m´a v bodˇe α nevlastn´ı limitu plus nekoneˇcno (nebo tak´e, ˇze f diverguje k plus nekoneˇcnu 41
v bodˇe α ), jestliˇze pro kaˇzdou posloupnost (2) j´ı odpov´ıdaj´ıc´ı posloupnost hodnot 3 diverguje k plus nekoneˇcnu. Skuteˇcnost, ˇze funkce f m´a v bodˇe α nevlastn´ı limitu plus nekoneˇcno zapisujeme takto lim f (x) = ∞
nebo tak´e f (x) → ∞
x→α
x→α.
kdyˇz
Analogicky definujeme nevlastn´ı limitu m´ınus nekoneˇcno funkce f a jednostrann´e ˇ sami). nevlastn´ı limity funkce (provedte Limita funkce v nekoneˇ cnu. Definujeme: Jestliˇze A je mnoˇzina re´aln´ ych ˇc´ısel a, ˇze xn → ∞, evenv n´ıˇz existuje alespoˇ n jedna posloupnost prvk˚ u {xn } takov´ ame, ˇze mnoˇzina A m´a nevlastn´ı hromadn´ y bod plus tu´ alnˇe xn → −∞, potom ˇr´ık´ ˇ nekoneˇcno, eventu´ alnˇe m´ınus nekoneˇcno. Necht f je re´aln´ a funkce jedn´e promˇenn´e definovan´ a na mnoˇzinˇe D(f ) maj´ıc´ı nevlastn´ı hromadn´ y bod plus nekoneˇcno. ˇ R´ık´ ame, ˇze ˇc´ıslo g je limitou funkce f v plus nekoneˇcnu (nebo tak´e, ˇze f konverguje k ˇc´ıslu g v plus nekoneˇcnu), jestliˇze pro kaˇzdou posloupnost x1 , x2 , x3 , . . .
,
xn → ∞
,
xn ∈ D(f ) ,
(11.4)
j´ı odpov´ıdaj´ıc´ı posloupnost 3 hodnot funkce konverguje k ˇc´ıslu g. Skuteˇcnost, ˇze funkce f m´a v plus nekoneˇcnu limitu g zapisujeme takto: nebo tak´e f (x) → g
lim f (x) = g,
x→∞
kdyˇz x → ∞ .
Jestliˇze ve (4) podm´ınku xn → ∞ nahrad´ıme podm´ınkou xn → −∞, potom ˇc´ıslo g naz´ yv´ ame limitou funkce f v m´ınus nekoneˇcnu a p´ıˇseme lim f (x) = g. x→−∞
Analogicky definujeme nevlastn´ı limity plus a m´ınus nekoneˇcno v plus a v m´ınus nekoneˇcnu. Algebra nevlastn´ıch limit a limit v nekoneˇ cnu. Pˇri v´ ypoˇctu nevlastn´ıch limit a jednostrann´ ych nevlastn´ıch limit funkc´ı a limit funkc´ı v nekoneˇcnu se ˇcasto vyuˇz´ıvaj´ı n´ asleduj´ıc´ı pravidla: 1. Jestliˇze funkce f je ohraniˇcen´ a a funkce g m´ a v α nevlastn´ı limitu ∞ {resp. −∞}, potom plat´ı lim [f (x) + g(x)] = ∞
{resp. lim [f (x) + g(x)] = −∞} ,
x→α
x→α
lim [f (x) − g(x)] = −∞
x→α
{resp. lim [f (x) − g(x)] = ∞} x→α
f (x) =0 x→α g(x) lim
2. Jestliˇze lim f (x) = 0 a souˇcasnˇe f (x) > 0 {resp. f (x) < 0}, potom lim ∞ {resp.
x→α 1 lim f (x) x→α
1 x→α f (x)
= −∞} ,
=
3. Jestliˇze lim f (x) = a > 0 {resp. a < 0} a souˇcasnˇe lim g(x) = ∞, potom x→α
x→α
lim [f (x)g(x)] = ∞ {resp. lim [f (x)g(x)] = −∞}. Samozˇrejmˇe plat´ı f (x)g(x) =
x→α
x→α
42
g(x)f (x) a tedy symbolicky takto
lim [f (x)g(x)] = lim [g(x)f (x)]. Toto pravidlo zap´ıˇseme kr´ atce
x→α
x→α
a·∞ = ∞·a =
∞ −∞
pro pro
a>0 a<0
4. Jestliˇze lim f (x) = a a souˇcasnˇe lim g(x) = ∞ {resp. lim g(x) = −∞}, x→α
x→α
x→α
atce potom lim [f (x) + g(x)] = ∞ {resp. −∞}. Toto pravidlo zap´ıˇseme kr´ x→α
a+∞ =∞ {resp. a + (−∞) = −∞}. 5. ∞ + ∞ = ∞ , −∞ + (−∞) = −∞ . Prvn´ı ˇc´ ast z´ apisu znamen´ a: Jestliˇze funkce f, g maj´ı v bodˇe α nevlastn´ı limitu plus nekoneˇcno, potom i jejich souˇcet f +g m´ a v bodˇe α nevlastn´ı limitu plus nekoneˇcno. Analogick´ y v´ yznam m´ a druh´ a ˇc´ ast z´ apisu. 6. 7.
∞ − (−∞) = ∞ − ∞ − ∞ = a − ∞ = −∞ − a = −∞
8.
∞−a= ∞
9.
a − (−∞) = ∞
10.
∞ · ∞ = (−∞) · (−∞) = ∞
11.
∞ · (−∞) = (−∞) · ∞ = −∞ −∞ a · (−∞) = −(∞) · a = ∞ a a = =0 ∞ −∞ ∞ pro a > 0 ∞ = a −∞ pro a < 0 −∞ pro a > 0 −∞ = a ∞ pro a < 0
12. 13. 14. 15.
pro pro
a>0 a<0
. Vˇsechna v´ yˇse uveden´ a pravidla plat´ı i pro jednostrann´e limity a limity funkc´ı v nekoneˇcnu, tj. ve vˇsech formul´ıch symbol x → α m˚ uˇzeme nahradit libovoln´ ym ze symbol˚ u x → α−, x → α+, x → ∞, x → −∞. Existuj´ı kombinace, kter´e se v pravidlech nevyskytuj´ı, napˇr. ∞−∞, 0·∞, 00 , ∞ ∞, ∞ 0 0 yv´ ame je neurˇcit´ ymi v´ yrazy. V praktick´ ych probl´emech se vyskytuj´ı 1 , 0 , ∞ . Naz´ velmi ˇcasto a o v´ ypoˇctu jejich limit bude pojedn´ ano pozdˇeji. Asymptoty. O funkci f ˇr´ık´ ame, ˇze je definov´ ana v okol´ı plus nekoneˇcna {resp. m´ınus nekoneˇcna}, jestliˇze existuje neohraniˇcen´ y interval J = (a, ∞) {resp. J = (−∞, b)} takov´ y, ˇze J ⊂ D(f ). V tomto pˇr´ıpadˇe m´a definiˇcn´ı obor D(f ) nevlastn´ı hromadn´ y bod plus nekoneˇcno {resp. m´ınus nekoneˇcno}. Definujeme: Nechˇt f je funkce definovan´ a v okol´ı plus nekoneˇcna {resp. m´ınus nekoneˇcna}. Jestliˇze existuj´ı re´ aln´e konstanty a, b takov´e, ˇze lim [f (x) − (ax + b)] = 0 {resp. lim [f (x) − (ax + b)] = 0} , potom pˇr´ımku o
x→∞
x→−∞
43
rovnici y = ax + b naz´ yv´ ame asymptotou grafu y = f (x) funkce f v plus nekoneˇcnu {resp.v m´ınus nekoneˇcnu} (nebo tak´e kr´ atce asymptotou se smˇernic´ı. Snadno se pˇresvˇedˇc´ıme, ˇze plat´ı vˇeta: Graf y = f (x) funkce f definovan´e v okol´ı plus nekoneˇcna m´ a asymptotu v plus f (x) lim [f (x) − nekoneˇcnu tehdy a jen tehdy, kdyˇz existuj´ı limity lim x = a a x→∞
x→∞
ax] = b. Kdyˇz tyto limity existuj´ı, potom asymptotou je pˇr´ımka y = ax + b. Zcela analogick´ a vˇeta plat´ı pro asymptotu v m´ınus nekoneˇcnu, symbol x → ∞ se zamˇen´ı pouze symbolem x → −∞. D´ ale definujeme: Jestliˇze funkce f je takov´ a, ˇze v jej´ım definiˇcn´ım oboru D(f ) leˇz´ı alespoˇ n jeden z interval˚ u (η, α), (α, ), kde η, jsou dan´ a kladn´ a re´aln´ a ˇc´ısla a α je dan´e libovoln´e re´aln´e ˇc´ıslo, a jestliˇze existuje alespoˇ n jedna z limit lim f (x), x→α+
ame, ˇze pˇr´ımka x = α je svislou asymptotou lim f (x) a je nevlastn´ı, potom ˇr´ık´
x→α−
grafu y = f (x) funkce f . Spojitost funkce. Pojem spojitosti funkce patˇr´ı mezi nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı pojmy diferenci´aln´ıho a integr´ aln´ıho poˇctu. Intervalem I zde a v dalˇs´ıch odstavc´ıch budeme rozumˇet jak´ ykoliv interval (otevˇren´ y, uzavˇren´ y, polouzavˇren´ y, ohraniˇcen´ y, neohraniˇcen´ y atd.). Stanovme n´ asleduj´ıc´ı terminologii: Slovy, ˇze nˇejak´ a funkce f je definov´ ana v okol´ı bodu α rozum´ıme, ˇze existuje otevˇren´ y interval (α−η, α+η), kter´ y cel´ y leˇz´ı v definiˇcn´ım oboru funkce f . Slovy, ˇze nˇejak´ a funkce# f je definov´ ana zprava od bodu α rozum´ıme, ˇze existuje polootevˇren´ y interval I = α, η) takov´ y, ˇze I ⊂ D(f ). Analogick´ y v´ yznam maj´ı slova, ˇze funkce f je definov´ ana zleva od bodu α. ˇ Definujeme: Necht f je re´aln´ a funkce jedn´e re´aln´e promˇenn´e definovan´ a v okol´ı ˇ ık´ bodu α. R´ ame, ˇze funkce f je v bodˇe α spojit´ a, jestliˇze existuje limita funkce f uˇzeme podm´ınku v bodˇe α a plat´ı lim f (x) = f (α). Jestliˇze oznaˇc´ıme x−α = h, m˚ x→α
zˇrejmˇe zapsat ve tvaru lim f (α + h) = f (α). h→0
Jestliˇze funkce f je spojit´ a v kaˇzd´em bodˇe nˇejak´e podmnoˇziny A jej´ıho definiˇcn´ıho oboru D(f ), potom o n´ı ˇr´ık´ ame, ˇze je spojit´ a v A. Jestliˇze funkce f je spojit´ a v D(f ), potom o n´ı kr´ atce ˇr´ık´ ame, ˇze je spojit´ a, nebo tak´e, ˇze je tˇr´ıdy C nula a p´ıˇseme f ∈ C 0 . Bod β ∈ D(f ), ve kter´em funkce f nen´ı spojit´ a, naz´ yv´ ame bodem nespojitosti funkce f . Snadno vid´ıme, ˇze nespojitost v bodˇe β m˚ uˇze b´ yt ”zp˚ usobena” tˇremi d˚ uvody: a) funkce nen´ı definov´ ana v ˇz´adn´em okol´ı bodu β , b) limita funkce f v bodˇe β sice existuje, nen´ı vˇsak rovna hodnotˇe funkce f v bodˇe β, c) limita funkce f v bodˇe β neexistuje. Jestliˇze v definici spojitosti funkce limitu nahrad´ıme levostrannou nebo pravostrannou limitou, potom hovoˇr´ıme o spojitosti zleva nebo o spojitosti zprava. V tomto pˇr´ıpadˇe staˇc´ı pˇredpokl´ adat, ˇze funkce f je definov´ ana pouze zleva nebo zprava od bodu α. Je ihned zˇrejm´e, ˇze plat´ı vˇeta: Funkce f je spojit´ a ve vniˇrn´ım bodˇe intervalu tehdy a jen tehdy, kdyˇz je v nˇem spojit´ a zleva i zprava. 44
# $ O funkci f ˇr´ık´ ame, ˇze je spojit´ a v uzavˇren´em intervalu a, b , jestliˇze je spojit´ a v kaˇzd´em bodˇe otevˇren´eho intervalu (a, b), spojit´ a zprava v bodˇ e a a spojit´ a zleva # $ v bodˇe b. Obdobnˇe definujeme spojitost v intervalech a, b), (a, b . Algebra spojit´ ych funkc´ı. Zˇrejmˇe plat´ı vˇeta: Jestliˇze funkce f, g definovan´e v jednom a t´emˇze intervalu I jsou v nˇejak´em bodˇe α ∈ I spojit´e, potom je v tomto bodˇe spojit´ y i jejich souˇcet, rozd´ıl a souˇcin. Za a funkce v α. pˇredpokladu, ˇze g(x) = 0 pro ∀ x ∈ I, potom i jejich pod´ıl fg je spojit´ Obdobn´ a vˇeta plat´ı i pro spojitost zleva nebo zprava. Z´ akladn´ı vlastnosti spojit´ ych funkc´ı. Spojit´e funkce maj´ı nˇekolik ”velmi uˇziteˇcn´ ych” vlastnost´ı, kter´e nyn´ı souhrnnˇe uvedeme: 1. Funkce f spojit´ a a kladn´ a {resp. z´ aporn´ a} v bodˇe α, je kladn´ a {resp. z´ aporn´ a} i v nˇejak´em okol´ı bodu α. 2. Nechˇt funkce f je spojit´ a v intervalu I a nechˇt α, β ∈ I jsou takov´ a ˇc´ısla, ˇze f (α)f (β) < 0 (tj. hodnoty f (α), f (β) maj´ı opaˇcn´ a znam´enka). Potom mezi ˇc´ısly α, β leˇz´ı alespoˇ n jeden nulov´ y bod c funkce f , tj. takov´e ˇc´ıslo c, ˇze f (c) = 0. Jin´ ymi slovy, potom rovnice f (x) = 0 m´ a v intervalu (α, β) alespoˇ n jedno ˇreˇsen´ı. 3. Nechˇt funkce f je spojit´ a v uzavˇren´em intervalu α, β. Potom funkce f nab´ yv´ a v intervalu α, β kaˇzdou hodnotu leˇz´ıc´ı mezi ˇc´ısly f (α) a f (β). T´eto vlastnosti se ˇr´ık´ a vlastnost Darboux, nebo tak´e Bolzanova mezihodnotov´ a vˇeta. 4. Nechˇt funkce f je spojit´ a v uzavˇren´em intervalu α, β. Potom funkce f je v intervalu α, β ohraniˇcen´ a. 5. Nechˇt funkce f je spojit´ a v uzavˇren´em intervalu α, β. Potom funkce f nab´ yv´ a alespoˇ n v jednom bodˇe i ∈ α, β svou nejmenˇs´ı hodnotu a alespoˇ n v jednom bodˇe s ∈ α, β svou nejvˇetˇs´ı hodnotu, tj. pro vˇsechna ˇc´ısla x ∈ α, β plat´ı f (i) ≤ f (x) ≤ f (s) . 6. Nechˇt f je funkce definovan´ a a spojit´ a v uzavˇren´em intervalu α, β. Potom jej´ım oborem hodnot H(f ) je opˇet uzavˇren´ y interval. 7. Nechˇt f je funkce definovan´ a, spojit´ a a ryze monotonn´ı v intervalu I (interval I nemus´ı b´ yt uzavˇren´ y). Potom jej´ım oborem hodnot H(f ) je opˇet interval (nemus´ı b´ yt uzavˇren´ y a ani ohraniˇcen´ y). Spojitost inverzn´ı funkce. Pro spojitost inverzn´ı funkce plat´ı n´ asleduj´ıc´ı vˇeta Nechˇt f je spojit´ a a ryze monotonn´ı funkce v intervalu I. Potom inverzn´ı funkce invf je rovnˇeˇz ryze monotonn´ı (rostouc´ı kdyˇz f je rostouc´ı, klesaj´ıc´ı kdyˇz f je klesaj´ıc´ı) a spojit´ a v H(f ). Limita a spojitost sloˇ zen´ e funkce. Pro limitu a spojitost sloˇzen´e funkce plat´ı n´ asleduj´ıc´ı vˇeta: Nechˇt f je funkce definovan´ a a spojit´ a v intervalu I a nechˇt g je funkce definovan´ a na mnoˇzinˇe A pˇriˇcemˇz obor hodnot funkce g patˇr´ı do I. Nechˇt h = f • g je sloˇzen´ a funkce definovan´ a v A vztahem h(x) = f (g(x)). 45
a) Jestliˇze vnitˇrn´ı sloˇzka g m´ a v bodˇe α limitu t patˇr´ıc´ı do I, potom i sloˇzen´ a funkce h m´ a v bodˇe α limitu a plat´ı
lim f (g(x)) = f lim g(x) . x→α
v A.
x→α
b) Jestliˇze vnitˇrn´ı funkce g je spojit´ a v A, potom i sloˇzen´ a funkce h je spojit´ a
a funkce defiLimita vektorov´ e funkce. Nechˇt f = [f1 , f2 , . . . , fm ] je vektorov´ novan´ a na mnoˇzinˇe re´aln´ ych ˇc´ısel A. Potom definujeme lim f (x) = lim f1 (x), lim f2 (x), . . . , lim fm (x) , x→α
x→α
x→α
x→α
ovˇsem za pˇredpokladu, ˇze vˇsechny limity na prav´e stranˇe existuj´ı. Pˇr´ımo z definice lze snadno dok´ azat n´ asleduj´ıc´ı vˇetu: Nechˇt f = [f1 , f2 , . . . , fm ], g = [g1 , g2 , . . . , gm ] jsou dvˇe m-rozmˇern´e re´ aln´e vekˇ torov´e funkce definovan´e v A ⊂ R a necht h je re´ aln´ a funkce, rovnˇeˇz definovan´ a v A. Nechˇt v hromadn´em bodˇe α mnoˇziny A existuj´ı limity lim f (x), lim g(x), x→α
x→α
lim h(x). Potom
x→α
a) existuje limita souˇctu a rozd´ılu funkc´ı f , g a plat´ı lim (f (x) ± g(x)) = lim f (x) ± lim g(x) ,
x→α
x→α
x→α
b) existuje limita souˇcinu re´ aln´e funkce h a vektorov´e funkce f a plat´ı lim (h(x)f (x)) = lim h(x) · lim f (x) ,
x→α
x→α
x→α
c) existuje limita skal´ arn´ıho souˇcinu vektorov´ych funkc´ı f , g a plat´ı lim (f (x) · g(x)) = lim f (x) · lim g(x) ,
x→α
x→α
x→α
d) existuje limita velikosti |f | vektorov´e funkce f a plat´ı lim |f (x)| = lim f (x) , x→α
x→α
e) v pˇr´ıpadˇe, ˇze vektorov´e funkce f , g jsou trojrozmˇern´e, existuje limita jejich vektorov´eho souˇcinu a plat´ı lim (f (x) × g(x)) = lim f (x) × lim g(x) .
x→α
x→α
x→α
Analogicky definujeme jednostrann´e limity vektorov´e funkce. V´ yˇse uveden´a vˇeta plat´ı i pro nˇe. 11.26. Spojitost vektorov´ e funkce. Nechˇt m-rozmˇern´a vektorov´ a funkce f = ˇ ana v okol´ı bodu α. R´ık´ ame, ˇze je spojit´ a v bodˇe α, jestliˇze [f1 , f2 , . . . , fm ] je definov´ v bodˇe α jsou spojit´e vˇsechny jej´ı sloˇzky fi , tj. jestliˇze plat´ı lim f (x) = f (α). x→α
46
Plat´ı vˇeta: Jestliˇze vektorov´e funkce f , g a re´ aln´ a funkce h jsou spojit´e v bodˇe α, potom jsou spojit´e v bodˇe α i funkce f ± g, hf , f · g, |f |, f × g. 12. DERIVACE FUNKCE. Definice derivace. Nechˇt re´ aln´ a funkce f jedn´e re´aln´e promˇenn´e x je definov´ ana v okol´ı bodu α. Jestliˇze existuje limita f (α + h) − f (α) , h→0 h lim
potom ˇr´ık´ ame, ˇze funkce f je derivovateln´ a v bodˇe α a limitu naz´ yv´ ame derivac´ı funkce f v bodˇe α. Oznaˇcujeme ji f (α), nebo tak´e Df (α). Jestliˇze oznaˇc´ıme α+h = x, potom zˇrejmˇe h → 0 tehdy a jen tehdy, kdyˇz x → α. Plat´ı tedy f (α + h) − f (α) f (x) − f (α) = lim f (α) = lim x→α h→0 h x−α Jestliˇze funkce f je derivovateln´ a v kaˇzd´em bodˇe x sv´eho definiˇcn´ıho oboru D(f ), potom m˚ uˇzeme definovat na D(f ) novou funkci g vztahem g(x) = f (x). Tuto novou alnˇe funkci g naz´ yv´ ame derivac´ı funkce f a znaˇc´ıme f , nebo tak´e (f (x)) , eventu´ ∂ ∂x (f (x)). Nutn´ a podm´ınka derivovatelnosti. Plat´ı vˇeta Jestliˇze funkce f je derivovateln´ a v bodˇe α, potom je v tomto bodˇe spojit´ a. Spojitost je tedy nutnou podm´ınkou derivovatelnosti. Nen´ı vˇsak postaˇcuj´ıc´ı. Geometrick´ a a fyzik´ aln´ı interpretace derivace. Definujeme: Nechˇt y = f (x) je rovnice kart´ezsk´eho grafu funkce f definovan´e a spojit´e v intervalu I. Nechˇt funkce f je derivovateln´ a v bodˇe α. Potom pˇr´ımku danou rovnic´ı y − f (α) = f (α)(x − α) naz´ yv´ ame teˇcnou kart´ezsk´eho grafu funkce f v bodˇe A = (α, f (α)) (kr´atce v α) a pˇr´ımku danou rovnic´ı y − f (α) =
1 f (α)
(x − α) v pˇr´ıpadˇe f (α) = 0 ,
nebo rovnic´ı x = α v pˇr´ıpadˇe f (α) = 0 pak norm´ alou v bodˇe A = (α, f (α)) (kr´atce v α). Podobnˇe, jak n´ as derivace pˇrivedla ke geometrick´e interpretaci smˇernice teˇcny, vede n´ as k n´ asleduj´ıc´ı fyzik´ aln´ı interpretaci: a) Jestliˇze se tˇeleso pohybuje pˇr´ımoˇcaˇre a jeho dr´ aha s je funkc´ı ˇcasu t, potom jeho okamˇzit´a rychlost v v ˇcase t je d´ ana vztahem v(t) = s (t) a okamˇzit´e zrychlen´ı a v ˇcase t je d´ ano vztahem a(t) = v (t). b) Jestliˇze pr˚ ubˇeh m fyzik´ aln´ı veliˇciny je funkc´ı ˇcasu t, potom okamˇzit´a zmˇena v t´eto veliˇciny v ˇcase t je d´ ana vztahem v(t) = m (t). Jako pˇr´ıklady lze zde uv´est intenzitu elektrick´eho proudu, rychlost rozpadu mnoˇzstv´ı radioaktivn´ı l´ atky, rychlost chemick´e reakce atd. 47
Jednostrann´ e derivace. Jestliˇze v definici derivace limitu nahrad´ıme jednostrannou limitou zleva nebo zprava, potom hovoˇr´ıme o derivaci zleva nebo o derivaci zprava v bodˇe α a oznaˇcujeme je f (α−) a f (α+). Plat´ı tedy f (α + h) − f (α) f (x) − f (α) = lim x→α− h→0− h x−α f (α + h) − f (α) f (x) − f (α) = lim f (α+) = lim x→α+ h→0+ h x−α f (α−) = lim
V pˇr´ıpadˇe tˇechto derivac´ı staˇc´ı pˇredpokl´ adat, ˇze funkce f je definov´ ana pouze zleva, eventu´ alnˇe zprava od bodu α. O funkci f ˇr´ık´ ame, ˇze je derivovateln´ a v uzavˇren´em intervalu a, b, jestliˇze je derivovateln´ a v kaˇzd´em bodˇe intervalu (a, b) a na konc´ıch existuj´ı jednostrann´e derivace f (a+), f (b−). Obdobnˇe definujeme derivovatelnost v intervalech a, b) , (a, b. Nevlastn´ı derivace. Jestliˇze v definici derivace limitu nahrad´ıme nevlastn´ı limitou plus nekoneˇcno nebo nevlastn´ı limitou m´ınus nekoneˇcno, potom m´ısto o derivaci hovoˇr´ıme o nevlastn´ı derivaci (plus nebo m´ınus nekoneˇcno). Algebra derivac´ı funkc´ı. V´ıme, ˇze limita souˇctu, rozd´ılu, souˇcinu a pod´ılu dvou funkc´ı se rovn´ a souˇctu. rozd´ılu, souˇcinu a pod´ılu jejich limit. V pˇr´ıpadˇe derivac´ı je vˇsak situace sloˇzitˇejˇs´ı. Zde plat´ı vˇeta: Jestliˇze funkce f a g jsou v nˇejak´em bodˇe α derivovateln´e, potom i jejich souˇcet (f + g), rozd´ıl (f − g) a souˇcin (f g) jsou funkce derivovateln´e v α a plat´ı (f + g) (α) = f (α) + g (α) (f − g) (α) = f (α) − g (α) (f g) (α) = f (α)g(α) + f (α)g (α) Pod´ıl
f g
, za pˇredpokladu, ˇze g(α) = 0, je tak´e v α derivovateln´ y a plat´ı f f (α)g(α) − f (α)g (α) (α) = g g 2 (α)
Derivace sloˇ zen´ e funkce. Pro derivaci sloˇzen´e funkce plat´ı n´ asleduj´ıc´ı vˇeta: Nechˇt s = f • g je sloˇzen´ a funkce definovan´ a vztahem s(x) = f (g(x)) (jinak zaps´ ano, s(x) = f (u), kde u = g(x)). Jestliˇze vnitˇrn´ı sloˇzka g je derivovateln´ a v bodˇe α a vnˇejˇs´ı sloˇzka f je derivovateln´ a v bodˇe g(α), potom i sloˇzen´ a funkce s je derivovateln´ a v bodˇe α a plat´ı s (α) = f (g(α)) · g (α) (tj.
s (α) = f (β) · g (α),
kde
β = g(α) )
Derivace inverzn´ı funkce. Pro derivov´ an´ı inverzn´ıch funkc´ı plat´ı n´ asleduj´ıc´ı d˚ uleˇzit´a vˇeta: 48
Nechˇt f je ryze monotonn´ı a spojit´ a funkce definovan´ a na intervalu J. Nechˇt invf je inverzn´ı funkce k funkci f a nechˇt α je vnitˇrn´ım bodem jej´ıho definiˇcn´ıho oboru (pˇripom´ın´ am, ˇze D(invf ) = H(f )). Jestliˇze funkce f m´ a nenulovou derivaci v bodˇe β = invf (α), potom funkce invf je derivovateln´ a v bodˇe α a plat´ı invf (α) =
1 , f (β)
kde
β = invf (α) .
Logaritmick´ a derivace. Nechˇt funkce f je derivovateln´ a a r˚ uzn´ a od nuly v mnoˇzinˇe A. Ze vzorce pro derivov´ an´ı sloˇzen´e funkce plyne d˚ uleˇzit´ y vzorec (ln |f (x)|) = f (x) yraz na jeho lev´e stranˇe naz´ yv´ ame logaritmickou derivac´ı funkce f . f (x) . V´ Ze vzorce ihned plyne tzv. vzorec pro logaritmick´e derivov´ an´ı y n´ am ˇcasto zjednoduˇs´ı v´ ypoˇcet derivace. f (x) = f (x) · (ln |f (x)|) , x = 0, kter´ V´ ypoˇcet logaritmick´e derivace funkce b´ yv´ a totiˇz v mnoh´ ych pˇr´ıpadech jednoduˇsˇs´ı neˇz v´ ypoˇcet samotn´e derivace funkce. V nˇekter´ ych pˇr´ıpadech se dokonce bez vzorce pro logaritmick´e derivov´ an´ı ani neobejdeme. Derivace element´ arn´ıch funkc´ı. V bodech x, kter´e splˇ nuj´ı uveden´e podm´ınky, plat´ı n´ asleduj´ıc´ı vzorce pro derivov´ an´ı: a re´aln´ a konstanta. (c) = 0, kde c je libovoln´ a a−1 (x ) = ax pro ∀ x > 0, kde a je libovoln´e re´aln´e ˇc´ıslo. Tento vzorec ana. z˚ ust´av´ a v platnosti i pro x < 0, pokud ovˇsem je mocnina xa definov´ x x x ∈ (−∞, ∞), kde a je libovoln´e kladn´e re´aln´e ˇc´ıslo. (a ) = a ln a x x (e ) = e , x ∈ (−∞, ∞) 1 x ∈ (−∞, 0) ∪ (0, ∞), kde a je libovoln´e kladn´e re´aln´e ˇc´ıslo (loga |x|) = x ln a r˚ uzn´e od jedn´e. (ln |x|) = x1 , (sin x) = cos x , (cos x) = − sin x, 1 (arcsin x) = √1−x , (tan x) = cos12 x , (cot x) = − sin12 x 2 1 1 1 , (arctan x) = 1+x , (arccot x) = − 1+x (arccos x) = − √1−x 2 2. 2 Z´ akladn´ı vlastnosti derivovateln´ ych funkc´ı. Derivovateln´e funkce maj´ı nˇekolik velmi ”uˇziteˇcn´ ych” vlastnost´ı, kter´e jsou v aplikac´ıch ˇcasto vyuˇz´ıv´ any: 1. Jestliˇze funkce f je spojit´ a v uzavˇren´em intervalu a, b, derivovateln´ a ve vˇsech vnitˇrn´ıch bodech tohoto intervalu a plat´ı f (a) = f (b), potom v intervalu (a, b) existuje aspoˇ n jedno ˇc´ıslo ξ takov´e, ˇze f (ξ) = 0. Tomuto tvrzen´ı se ˇr´ık´ a Rolle’ova vˇeta. 2. Jestliˇze funkce f, g jsou spojit´e v uzavˇren´em intervalu a, b a derivovateln´e v intervalu (a, b), potom v intervalu (a, b) existuje aspoˇ n jedno ˇc´ıslo ξ takov´e, ˇze [f (b) − f (a)]g (ξ) = [g(b) − g(a)]f (ξ) . Tomuto tvrzen´ı se ˇr´ık´ a Cauchy‘ova vˇeta o stˇredn´ı hodnotˇe. 3. Jestliˇze funkce f je spojit´ a v uzavˇren´em intervalu a, b a derivovateln´ a v intervalu (a, b), potom v intervalu (a, b) existuje aspoˇ n jedno ˇc´ıslo ξ takov´e, ˇze f (b) − f (a) = f (ξ) b−a 49
Tomuto tvrzen´ı, kter´e je jedn´ım z nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ıch v diferenci´ aln´ım poˇctu, se ˇr´ık´ a Lagrange‘ova vˇeta o stˇredn´ı hodnotˇe. 4. Jestliˇze funkce f je derivovateln´ a v uzavˇren´em intervalu a, b a jej´ı derivace a (tj. f (a+) = f (b−) = 0 a f (x) = 0 ∀ x ∈ (a, b)), potom f je v a, b nulov´ funkce f je v intervalu a, b konstantn´ı.
5. Jestliˇze funkce f je derivovateln´ a v intervalu (a, b) a ve vˇsech bodech x tohoto intervalu plat´ı f (x) > 0 {resp. f (x) < 0, resp. f (x) ≥ 0, resp. f (x) ≤ 0}, potom je funkce f na tomto intervalu rostouc´ı {resp. klesaj´ıc´ı, resp. neklesaj´ıc´ı, resp. nerostouc´ı}. Tomuto tvrzen´ı se ˇr´ık´ a vˇeta o monotonnii funkce na intervalu. 6. Nechˇt f je funkce spojit´ a v uzavˇren´em intervalu a, b. Jestliˇze v kaˇzd´em bodˇe uzn´ a od nuly, potom intervalu (a, b) je funkce f derivovateln´ a a jej´ı derivace f je r˚ funkce f je ryze monotonn´ı v a, b. Tomuto tvrzen´ı budeme ˇr´ıkat zobecnˇen´ a vˇeta o monotonnii na uzavˇren´em intervalu. Vyˇ sˇ s´ı derivace. Nechˇt je d´ ana nˇejak´ a funkce f s definiˇcn´ım oborem D(f ) a (1) ˇ u, ve kter´ ych je funkce f derivovateln´ a. necht D (f ) ⊂ D(f ) je mnoˇzina vˇsech bod˚ M˚ uˇzeme tedy na mnoˇzinˇe D (1) (f ) definovat novou funkci f (1) vztahem f (1) (x) = f (x). Podobnˇe, nechˇt D (2) (f ) ⊂ D (1) (f ) je mnoˇzina vˇsech tˇech bod˚ u x, (1) (2) ve kter´ ych je funkce f derivovateln´ a. M˚ uˇzeme tedy na mnoˇzinˇe D (f ) definovat (1) (2) (2) vztahem f (x) = f (x) = [f (x)] . Tuto funkci naz´ yv´ ame novou funkci f druhou derivac´ı funkce f nebo tak´e derivac´ı druh´eho ˇra ´du funkce f a znaˇc´ıme f . ame derivaci n-t´eho Obecnˇe definujeme n-tou derivaci f (n) funkce f (nebo tak´e ˇr´ık´ ˇra ´du funkce f ) vztahem (n) (n−1) (x) . f (x) = f u, ve kter´ ych je derivovateln´ a Jej´ım definiˇcn´ım oborem D (n) (f ) je mnoˇzina vˇsech bod˚ (n−1) (n) (n) (0) funkce f . M´ısto f (x) ˇcasto p´ıˇseme [f (x)] a m´ısto f , event. f p´ıˇseme f , event. f (1) . V´ ypoˇ cet limit pomoc´ı derivac´ı. Je ponˇekud paradoxn´ı, ˇze derivace, kter´ a je sama definov´ ana jako limita, je velmi siln´ ym prostˇredkem pro v´ ypoˇcet limit. Jedn´ a 0 ∞ ∞ 0 0 se o limity tzv. neurˇcit´ ych v´ yraz˚ u , , 0 · ∞, ∞ − ∞, 1 , 0 , ∞ . 0 ∞ Neurˇ cit´ e v´ yrazy typu pravidlo:
0 ∞ 0, ∞.
Vyjdeme z d˚ uleˇzit´e vˇety, zvan´e l‘Hospitalovo
Nechˇt f a g jsou funkce derivovateln´e v nˇejak´em okol´ı U = (α − η, α + η) bodu α uzn´ a od nuly v kaˇzd´em s vyj´ımkou nanejv´ yˇs samotn´eho bodu α a nechˇt derivace g je r˚ f (x) (m˚ uˇze b´ yt i nevlastn´ı) a nechˇt bodˇe tohoto okol´ı. D´ ale nechˇt existuje limita lim x→α g (x) a) lim f (x) = lim g(x) = 0 , x→α x→α nebo b) lim f (x) = ±∞ a tak´e lim g(x) = ±∞. x→α
x→α
50
f (x) a plat´ı x→α g(x)
Potom existuje i limita lim
f (x) f (x) = lim . x→α g(x) x→α g (x) lim
Vˇeta z˚ ust´ av´ a v platnosti i tehdy, kdy v n´ı vˇsude zamˇen´ıme symbol x → α kter´ ymkoliv ze symbol˚ u x → α+, x → α−, x → ∞, x → −∞ a pˇredpoklad o derivovatelnosti v okol´ı U nahrad´ıme pˇredpokladem o derivovatelnosti v okol´ı zprava, v okol´ı zleva, v okol´ı plus nekoneˇcna (podot´ yk´ ame, ˇze okol´ım nekoneˇcna naz´ yv´ yme kaˇzd´ y interval (a, ∞), kde a je libovoln´e re´ aln´e ˇc´ıslo) nebo v okol´ı m´ınus nekoneˇcna. Neurˇ cit´ e v´ yrazy typu 0 · ∞ a ∞ − ∞. Jde o v´ ypoˇcet limit a) b)
lim [u(x)v(x)], pˇriˇcemˇz lim u(x) = 0 a lim v(x) = ∞ nebo lim v(x) = −∞,
x→α
x→α
x→α
x→α
lim [u(x) − v(x)], pˇriˇcemˇz lim u(x) = lim v(x) = ∞ nebo lim u(x) =
x→α
x→α
x→α
x→α
lim v(x) = −∞. x→α V obou pˇr´ıpadech, abychom mohli pouˇz´ıt l‘Hospitalovo pravidlo, pˇrev´ ad´ıme tyto 0 ∞ ame k tomu v´ yrazy na neurˇcit´e v´ yrazy typu 0 , popˇr. typu ∞ . To vˇzdycky jde. Pouˇz´ıv´ napˇr. v u v pˇr´ıpadˇe a) identitu u · v = 1 nebo identitu u · v = 1 , a dostaneme tak typ 00
g=
1 v
∞ ∞
v
u
pro f = v a g = u1 , 1 −1 v pˇr´ıpadˇe b) identitu u − v = v 1 u a dostaneme tak typ
pro f = u a g =
nebo typ
0 0
pro f =
1 v
−
1 u
a
uv
1 uv .
ypoˇcet limity l = lim u(x)v(x) Neurˇ cit´ e v´ yrazy typu 00 , 1∞ , ∞0 . Jde o v´ x→α v pˇr´ıpadech, kdy a) lim u(x) = lim v(x) = 0 , x→α
b) c)
x→α
lim u(x) = 1 a lim v(x) = ∞ ,
x→α
x→α
lim u(x) = ∞ a lim v(x) = 0 .
x→α
x→α
Ve vˇsech tˇrech pˇr´ıpadech vyuˇzijeme identitu u(x)v(x) = ev(x)·ln u(x) a pouˇzijeme vztah pro v´ ypoˇcet limity sloˇzen´e funkce. Dost´av´ ame lim [v(x) ln u(x)] v(x) = ex→α , tj. l = lim u(x) x→α
l = ek , kde k = lim [v(x) ln u(x)]. x→α Pˇri v´ ypoˇctu limity k se pak ve vˇsech tˇrech pˇr´ıpadech jedn´ a o neurˇcit´ y v´ yraz typu 0 · ∞. Kˇ rivost kart´ ezsk´ eho grafu funkce. Nechˇt je d´ ana funkce f derivovateln´ a ˇ ˇ v intervalu (a, b) , necht α je libovoln´e ˇc´ıslo z (a, b) a necht nα je norm´ala ke grafu y = f (x) v bodˇe Aα = (α, f (α)). Nechˇt h je libovoln´e ˇc´ıslo (kladn´e nebo z´aporn´e) takov´e, ˇze α + h ∈ (a, b) a nechˇt nα+h je norm´ala ke grafu y = f (x) v bodˇe useˇc´ık norm´ al nα , nα+h . Aα+h = (α + h, f (α + h)). Nechˇt M = (m1 , m2 ) je pr˚ Jestliˇze bod Aα+h se bl´ıˇz´ı k bodu Aα po grafu y = f (x), potom bod M = (m1 , m2 ) 51
se bl´ıˇz´ı (za pˇredpokladu, ˇze f (α) = 0) po norm´ ale nα k bodu Sα = (ξα , ηα ), jehoˇz any vztahy souˇradnice ξα , ηα jsou d´ 1 + [f (α)] 1 + [f (α)] (α) , η = f (α) + ξα = α − f . α f (α) f (α) 2
2
yv´ ame stˇredem kˇrivosti grafu y = f (x) v bodˇe Aα = (α, f (α)), nebo Bod Sα naz´ kr´ atce, v bodˇe α. 3 2 1+[f (α)] 2 u Aα a Sα , tj. ˇc´ıslo ρα = |Aα Sα | = naz´ yv´ ame Vzd´alenost ρα bod˚ |f (α)| 1 |f (α)| , tj. ˇc´ıslo ρ1α = yv´ ame polomˇerem kˇrivosti a jej´ı opaˇcnou hodnotu 3 naz´ ρα [1+[f (α)]2 ] 2 kˇrivost´ı grafu y = f (x) v bodˇe Aα = (α, f (α)) (kr´atce, v α). yv´ ame oscilaˇcn´ı kruˇznic´ı Kruˇznici se stˇredem Sα = (ξα , ηα ) a s polomˇerem ρα naz´ grafu y = f (x) v bodˇe Aα . yv´ a poKdyˇz bod Aα = (α, f (α)) ”se pohybuje” po grafu y = f (x), tj. α nab´ aˇr´ı v kart´ezsk´e rovinˇe stupnˇe vˇsechny hodnoty z intervalu (a, b), potom bod Sα vytv´ mnoˇzinu bod˚ u E = ((x, y) ∈ R2 : x = ϕ(α), y = ψ(α), α ∈ (a, b)) , kde 1 + [f (α)] f (α) , ϕ(α) = α − f (α) 2
1 + [f (α)] . ψ(α) = f (α) + f (α) 2
Mnoˇzina E se naz´ yv´ a evoluta grafu y = f (x) a rovnice x = ϕ(α), y = ψ(α) parametrick´e rovnice evoluty. Parametrick´ e rovnice kˇ rivky v rovinˇ e. Mnoˇzinu bod˚ u, jejichˇz kart´ezsk´e souˇradnice x, y jsou funkce dan´e vztahy x = ϕ(t) , y = ψ(t) , t ∈ I naz´ yv´ ame kˇrivkou v kart´ezsk´e rovinˇe definovanou parametricky v intervalu I (nejˇcastˇeji I = a, b nebo I = (−∞, ∞)). Pˇritom pˇredpokl´ ad´ ame, ˇze funkce ϕ(t), ψ(t) argumentu t maj´ı tyto vlastnosti: 1. Jsou v intervalu I spojit´e. ˙ 2. Maj´ı spojit´e derivace ϕ(t), ˙ ψ(t) vzhledem k promˇenn´e t v cel´em intervalu I s v´ yj´ımkou nanejv´ yˇs koneˇcn´eho poˇctu bod˚ u, pˇriˇcemˇz nanejv´ yˇs s v´ yj´ımkou koneˇc2 2 ˙ n jedna z derivac´ı ϕ, ˙ ψ˙ je r˚ uzn´ a od n´eho poˇctu bod˚ u plat´ı ϕ˙ + ψ > 0 (tj. alespoˇ nuly). Argument t naz´ yv´ ame parametrem kˇrivky a samotn´ ym rovnic´ım ˇr´ık´ ame parametrick´e rovnice kˇrivky (v kart´ezsk´e rovinˇe). Podobnˇe definujeme parametrick´ ymi rovnicemi i kˇrivku v pol´ arn´ıch souˇradnic´ıch. Teˇ cna a norm´ ala k rovinn´ e kˇ rivce dan´ e parametricky. Teˇcna a norm´ ala v bodˇe A = (ϕ (tA ) , ψ (tA )) jsou d´ any rovnicemi teˇcna : norm´ ala :
ψ˙ (tA ) (x − ϕ (tA )) − ϕ˙ (tA ) (y − ψ (tA )) = 0 ϕ˙ (tA ) (x − ϕ (tA )) + ψ˙ (tA ) (y − ψ (tA )) = 0 52
Pˇ r´ıklady technick´ ych kˇ rivek. 1. Cykloida. Je to trajektorie bodu P maj´ıc´ıho fixovanou polohu vzhledem ke kruˇznici ot´ aˇcej´ıc´ı se po pevn´e (nepohybuj´ıc´ı se) pˇr´ımce. Jej´ı parametrick´e rovnice v pˇr´ıpadˇe, kdy kruˇznice se stˇredem S a s polomˇerem r se ot´aˇc´ı po ose Ox a bod P leˇz´ı na polopˇr´ımce SA, kde A je pevn´ y bod na obvodu kruˇznice jsou (vzd´alenost bod˚ u S a P oznaˇcme c) x = rt − c sin t ,
y = r − c cos t .
Odtud, pro tzv. obyˇcejnou cykloidu (c = r), plat´ı x = r(t − sin t)
,
y = r(1 − cos t) .
2. Evolventa kruˇznice. Je to trajektorie bodu P fixovan´eho na pˇr´ımce p ot´ aˇcej´ıc´ı se po obvodu pevn´e (nepohybuj´ıc´ı se) kruˇcnice k o polomˇeru r. Jej´ı parametrick´e rovnice v pˇr´ıpadˇe, kdy stˇred kruˇznice k spl´ yv´ a s poˇc´atkem kart´ezsk´e soustavy souˇradnic a kdy pˇr´ımka p se dot´ yk´ a v urˇcit´em ˇcase obvodu kruˇznice v bodˇe M jsou x = r(cos t + t sin t) ,
y = r(sin t − t cos t) .
3. Spir´ aly. V technick´ ych probl´emech se vyskytuj´ı tˇri kˇrivky dan´e n´asleduj´ıc´ımi pol´ arn´ımi grafy ( c a λ jsou kladn´e konstanty) r = cθ c r= θ r = ceλθ
Archimedova spir´ ala hyperbolick´ a spir´ ala logaritmick´ a spir´ ala
Derivace vektorov´ e funkce. Nechˇt v okol´ı bodu α je definov´ ana m-rozmˇern´a vektorov´ a funkce f = [f1 , f2 , . . . , fm ]. Jestliˇze vˇsechny funkce fi jsou derivovateln´e v bodˇe α, potom o vektorov´e funkci f ˇr´ık´ ame, ˇze je derivovateln´ a v bodˇe α a vektor (α)] naz´ yv´ ame jej´ı derivac´ı v α. f (α) = [f1 (α), f2 (α), · · · , fm Pˇr´ımo z definice lze snadno dok´ azat n´ asleduj´ıc´ı vˇetu Nechˇt f = [f1 , f2 , . . . , fm ], g = [g1 , g2 , . . . , gm ] jsou dvˇe m-rozmˇern´e vektorov´e aln´ a funkce jedn´e re´ aln´e promˇenn´e definovan´e v okol´ı Uα bodu α a nechˇt q je re´ ˇ funkce jedn´e re´ aln´e promˇenn´e, rovnˇeˇz definovan´ a v okol´ı Uα . Necht funkce f , g, q jsou derivovateln´e v bodˇe α. Potom a) souˇcet a rozd´ıl funkc´ı f , g je derivovateln´ y v α a plat´ı (f ± g) (α) = f (α) ± g (α) , b) souˇcin re´ aln´e funkce q a vektorov´e funkce f je derivovateln´ y v α a plat´ı (qf ) (α) = q (α)f (α) + q(α)f (α) , c) skal´ arn´ı souˇcin vektorov´ ych funkc´ı f , g je derivovateln´ y v α a plat´ı (f · g) (α) = f (α) · g(α) + f (α) · g (α) , 53
d) jestliˇze nav´ıc f (α) = o, potom i velikost |f | vektorov´e funkce f je derivovateln´ a v α a plat´ı f (α) · f (α) |f | (α) = , |f (α)| e) v pˇr´ıpadˇe, ˇze vektorov´e funkce f , g jsou trojrozmˇern´e, je i jejich vektorov´ y souˇcin derivovateln´ y v α a plat´ı (f × g) (α) = f (α) × g(α) + f (α) × g (α) . ˇ 13. TAYLOROVA VETA A APLIKACE. Taylorova vˇ eta s Lagrange’ov´ ym zbytkem. Plat´ı vˇeta: Nechˇt funkce f m´ a v uzavˇren´em intervalu a, b derivace aˇz do n-t´eho ˇra ´du vˇcetnˇe (n je pevnˇe zvolen´e cel´e nez´ aporn´e ˇc´ıslo) a vˇsechny tyto derivace jsou v a, b spojit´e. ˇ Necht vˇsude uvnitˇr tohoto intervalu existuje n+1-n´ı derivace f (n+1) funkce f . Nechˇt body α, α + h (h = 0, ˇc´ıslo h m˚ uˇze b´ yt i z´ aporn´e) patˇr´ı do a, b. Potom existuje kladn´e ˇc´ıslo θ menˇs´ı neˇz jedna (0 < θ < 1) takov´e, ˇze plat´ı f (α + h) = Tn,α (h) + en (h) ,
(13.1)
kde Tn,α (h) je polynom n-t´eho stupnˇe v promˇenn´e h (tzv.Taylor˚ uv polynom) definovan´ y vztahem Tn,α (h) = f (α) +
f (α) 2 f (α) f (n) (α) n h+ h +···+ h 1! 2! n!
(13.2)
uv zbytek) je d´ an vztahem a v´ yraz en (h) (tzv.Lagrange‘˚ en (h) =
hn+1 (n+1) f (α + θh) . (n + 1) !
(13.3)
Podotknˇeme, ˇze pro chybu en (h) byly odvozeny i jin´e vztahy (napˇr. Pe´ an˚ uv zbytek, Cauchy˚ uv zbytek). Vzorec (1) se naz´ yv´ a Taylorov´ ym rozvojem n–t´eho stupnˇe v bodˇe α. Maclaurin˚ uv rozvoj. Oznaˇc´ıme-li ve vzorc´ıch (1) –(3) α + h = x, tj. h = x − α, potom dostaneme ˇcasto pouˇz´ıvan´ y tvar Taylorova rozvoje f (α) f (α) (x − α) + (x − α)2 + · · · 1! 2! (n) (n+1) (α + θ(x − α)) f f (α) (x − α)n + (x − α)n+1 + n! (n + 1) !
f (x) = f (α) +
V pˇr´ıpadˇe α = 0 odtud dost´ av´ ame f (0) 2 f (n) (0) n f (n+1) (θx) n+1 f (0) x + x x + x +···+ . f (x) = f (0) + 1! 2! n! (n + 1) ! 54
a to je tzv. Maclaurin‘˚ uv rozvoj n-t´eho stupnˇe funkce f s Lagrange‘ov´ ym zbytkem. Diferenci´ aly funkce. V´ yrazy f (α) · h, f (α) · h2 , . . . f (n) (α) · hn v Taylorovˇe polynomu (2) se naz´ yvaj´ı prvn´ım, druh´ ym, . . . , n-t´ ym diferenci´ alem funkce f v bodˇe 1 2 n α a oznaˇcuj´ı se d f (α), d f (α), . . . d f (α). Plat´ı tedy d1 f (α) = f (α) · h , d2 f (α) = f (α) · h2 a obecnˇe dn f (α) = f (n) (α) · hn . Prvn´ı diferenci´ al vˇetˇsinou oznaˇcujeme df (α) m´ısto d1 f (α) a naz´ yv´ ame jej diferenci´ alem (bez pˇr´ıvlastku prvn´ı). Zd˚ uraznˇeme, ˇze diferenci´aly v bodˇe α jsou funkcemi nov´e promˇenn´e h. Samozˇrejmˇe z´avis´ı i na bodu α. Obecnˇe tedy plat´ı df (x) = f (x)·h, coˇz se ˇcasto kr´atce zapisuje df = f (x)·h . Pro funkci f (x) = x tedy dost´ av´ ame df = dx = h. Zde je d˚ uvod, proˇc m´ısto p´ısmene h se velmi ˇcasto pouˇz´ıv´ a dvojp´ısmeno dx, tj. proˇc vzorec df = f (x) · h se p´ıˇse ve tvaru df = f (x) · dx
nebo tak´e f (x) =
df dx
a proˇc se v technick´ ych oborech derivace ˇcasto zapisuje jako pod´ıl diferenci´ al˚ u a m´ısto derivovatelnosti se hovoˇr´ı o diferencovatelnosti. Pˇri pr´ aci s diferenci´ aly je tedy tˇreba rozliˇsovat, zda promˇenn´ a x je nebo nen´ı z´avisl´ a na jin´e promˇenn´e, napˇr. t. V prvn´ım pˇr´ıpadˇe symbol dx pˇredstavuje diferenci´al avisle promˇennou. funkce, tj. dx = x (t)dt. Ve druh´em pˇr´ıpadˇe pak je novou nez´ Algebra diferenci´ al˚ u funkc´ı. Ze vzorc˚ u ud´ avaj´ıc´ıch vztah pro derivov´ an´ı souˇctu, rozd´ılu, souˇcinu a pod´ılu dvou funkc´ı ihned plyne vˇeta Jestliˇze funkce f a g jsou diferencovateln´e (tj. derivovateln´e) v intervalu I, potom i jejich souˇcet (f + g), rozd´ıl (f − g) a souˇcin (f g) jsou funkce diferencovateln´e v I a plat´ı d(f + g) = df + dg , d(f − g) = df − dg , d(f · g) = g · df + f · dg . y vˇsude tam, kde g(x) = 0 a plat´ı Pod´ıl fg je tak´e diferencovateln´ f g · df − f · dg d = . g g2 Vzorce plat´ı i pro diferenci´ aly v jednotliv´ ych bodech. ˇ ık´ Lok´ aln´ı extr´ emy funkc´ı. R´ ame, ˇze funkce f definovan´ a v okol´ı Uα bodu α m´a v bodˇe α lok´ aln´ı maximum {resp.lok´ aln´ı minimum}, jestliˇze existuje takov´e okol´ı (α − δ, α + δ) ⊂ Uα bodu α, ˇze plat´ı {resp.
f (α) ≥ f (x) pro
|x − α| < δ
f (α) ≤ f (x) pro
|x − α| < δ} .
Jestliˇze v nerovnostech znam´enko rovnosti plat´ı pouze pro x = α, potom ˇr´ık´ ame, ˇze lok´aln´ı maximum {resp. lok´ aln´ı minimum} je ostr´e. 55
Jestliˇze funkce f nab´ yv´ a v bodˇe α lok´ aln´ı maximum nebo lok´ aln´ı minimum, potom ˇr´ık´ ame kr´atce, ˇze v nˇem nab´ yv´ a lok´ aln´ı extr´em. O samotn´em bodu α pak ˇr´ık´ ame, ˇze je bodem lok´ aln´ıho extr´emu (lok´ aln´ıho maxima nebo lok´ aln´ıho minima) funkce f . Plat´ı d˚ uleˇzit´a vˇeta. Jestliˇze funkce f je v bodˇe α derivovateln´ a a nab´ yv´ a v nˇem lok´ aln´ı extr´em, potom nutnˇe f (α) = 0 . Body α ve kter´ ych je funkce f derivovateln´ a a jej´ı derivace je nulov´ a naz´ yv´ ame stacion´ arn´ımi body funkce. Z v´ yˇse uveden´e vˇety tedy plyne z´ avˇer Funkce f definovan´ a v intervalu I m˚ uˇze nab´ yvat lok´ aln´ı extr´em pouze v tˇech ˇ stacion´ vnitˇrn´ıch bodech intervalu I, kter´e jsou budto arn´ı anebo funkce f v nich nen´ı derivovateln´ a. Postaˇ cuj´ıc´ı podm´ınka pro existenci lok´ aln´ıho extr´ emu. V pˇr´ıpadˇe, ˇze funkce f je derivovateln´ a v bodˇe α podm´ınka stacion´ arnosti je podm´ınkou nutnou pro existenci lok´ aln´ıho extr´emu. Nen´ı vˇsak podm´ınkou postaˇcuj´ıc´ı. Plat´ı vˇsak vˇeta Podm´ınka stacion´ arnosti se stane i postaˇcuj´ıc´ı podm´ınkou pro existenci lok´ aln´ıho extr´emu v bodˇe α, jestliˇze funkce f je derivovateln´ a v nˇejak´em okol´ı (α − δ, α + δ) a z jedn´e a z´ aporn´ a ze druh´e strany bodu bodu α a derivace f je v tomto okol´ı kladn´ α (ˇr´ık´ ame, ˇze derivace mˇen´ı v bodˇe α znam´ anko). Test s druhou derivac´ı. V´ıme, ˇze podm´ınka stacion´ arnosti je pouze podm´ınkou nutnou pro existenci lok´ aln´ıho extr´emu v bodˇe α, nikoli postaˇcuj´ıc´ı. Postaˇcuj´ıc´ı se stane, kdyˇz derivace f mˇen´ı v bodˇe α znam´enko. Ovˇeˇren´ı t´eto skuteˇcnosti vˇsak nen´ı v nˇekter´ ych pˇr´ıpadech snadn´e. Proto se nˇekdy pouˇz´ıv´ a jin´ a postaˇcuj´ıc´ı podm´ınka, naz´ yvan´ a test s druhou derivac´ı: Jestliˇze funkce f m´ a spojitou derivaci f v nˇejak´em okol´ı bodu α a v samotn´em bodˇe α existuje i druh´ a derivace f (α) pˇriˇcemˇz plat´ı f (α) = 0 a f (α) = 0, potom funkce f nab´ yv´ a v bodˇe α ostr´y lok´ aln´ı extr´em a to maximum v pˇr´ıpadˇe f (α) < 0 a minimum v pˇr´ıpadˇe f (α) > 0. ˇ ık´ Glob´ aln´ı extr´ emy. Nechˇt funkce f je definov´ ana v intervalu I. R´ ame, ˇze funkce f nab´ yv´ a v bodˇe α ∈ I glob´ aln´ı maximum {resp. glob´ aln´ı minimum}, jestliˇze plat´ı f (α) ≥ f (x) {resp. f (α) ≤ f (x)} pro ∀ x ∈ I . Jestliˇze funkce f nab´ yv´ a v bodˇe α glob´ aln´ı maximum nebo glob´ aln´ı minimum, potom ˇr´ık´ ame, ˇze v nˇem nab´ yv´ a glob´ aln´ı extr´em. O samotn´em bodu α pak ˇr´ık´ ame, ˇze je bodem glob´ aln´ıho extr´emu (glob´ aln´ıho maxima nebo glob´ aln´ıho minima) funkce f . Z definice je zˇrejm´e, ˇze leˇz´ı-li bod glob´ aln´ıho extr´emu uvnitˇr intervalu I, potom je i bodem lok´ aln´ıho extr´emu. Odtud plyne z´ avˇer: Funkce f definovan´ a v intervalu I m˚ uˇze nab´ yt svou maxim´ aln´ı i minim´ aln´ı hodnotu pouze v n´ asleduj´ıc´ıch bodech: a) v krajn´ıch bodech intervalu I a to pouze v tˇech, ve kter´ ych je definov´ ana, b) ve vnitˇrn´ıch bodech intervalu I v nichˇz nen´ı funkce derivovateln´ a, c) ve stacion´ arn´ıch bodech. 56
Vˇsechny v´ yˇse uveden´e body nazveme testovac´ımi body. Vˇetˇsinou jich neb´ yv´ a mnoho. ˇ ık´ Konk´ avnost a konvexnost. Inflexn´ı bod. R´ ame, ˇze funkce f definovan´ a v okol´ı Uα bodu α je v bodˇe α konvexn´ı {resp. konk´ avn´ı}, jestliˇze existuje takov´e um x okol´ı (α − δ, α + δ) ⊂ Uα bodu α, ˇze ˇc´ast grafu funkce f odpov´ıdaj´ıc´ı bod˚ z tohoto okol´ı leˇz´ı nad {resp. pod} teˇcnou v bodˇe α. Pˇrech´az´ı-li graf v bodˇe α z jedn´e strany teˇcny na druhou, potom ˇr´ık´ ame, ˇze funkce f m´ a v bodˇe α inflexn´ı bod. Z rovnice teˇcny v bodˇe α ihned dost´ av´ ame Funkce f je v bodˇe α konvexn´ı {resp. konk´ avn´ı} jestliˇze plat´ı f (x) ≥ f (α) + f (α)(x − α)
{resp. f (x) ≤ f (α) + f (α)(x − α)
pro |x − α| < δ pro |x − α| < δ}
Jestliˇze v nerovnostech znam´enko rovnosti plat´ı pouze pro x = α, potom ˇr´ık´ ame, ˇze funkce f je v bodˇe α ryze konvexn´ı {resp. ryze konk´ avn´ı }. Je-li funkce f konvexn´ı v kaˇzd´em bodˇe intervalu I, potom ˇr´ık´ ame, ˇze je konvexn´ı v intervalu I. Obdobnˇe definujeme ryze konvexn´ı, konk´ avn´ı a ryze konk´ avn´ı funkci v intervalu I. Z Taylorovy vˇety (viz (1)) ihned dost´ av´ ame n´asleduj´ıc´ı postaˇcuj´ıc´ı podm´ınku pro konvexnost a konk´ avnost: Jestliˇze funkce f m´ a spojitou derivaci f v nˇejak´em okol´ı bodu α a v samotn´em bodˇe α existuje i druh´ a derivace f (α), pˇriˇcemˇz f (α) = 0, potom funkce f je avn´ı (v pˇr´ıpadˇe, v bodˇe α ryze konvexn´ı (v pˇr´ıpadˇe, kdy f (α) > 0) nebo ryze konk´ kdy f (α) < 0). Z vˇety ihned plynou dva d˚ usledky: 1. Jestliˇze f (α) = 0, potom funkce f nem˚ uˇze m´ıt v α inflexn´ı bod. Existuje-li a v bodˇe α inflexn´ı bod, potom plat´ı tedy druh´ a derivace f (α) a funkce f m´ f (α) = 0 .
(13.4)
2. Je-li f (x) > 0 {resp. f (x) < 0} vˇsude v intervalu I, potom je funkce f v intervalu I ryze konvexn´ı {resp. ryze konk´ avn´ı}. Postaˇ cuj´ıc´ı podm´ınka pro existenci inflexn´ıho bodu. Podm´ınka (4) je podm´ınkou nutnou k tomu, aby funkce f mˇela v bodˇe α inflexn´ı bod. Nen´ı podm´ınkou postaˇcuj´ıc´ı. Plat´ı vˇsak vˇeta. Podm´ınka (4) se stane i postaˇcuj´ıc´ı podm´ınkou k tomu, aby funkce f mˇela v bodˇe a v nˇejak´em okol´ı (α − δ, α + δ) bodu α inflexn´ı bod, jestliˇze funkce f je derivovateln´ a z jedn´e a z´ aporn´ a ze druh´e strany bodu α α a derivace f je v tomto okol´ı kladn´ ( ˇr´ık´ ame, ˇze druh´ a derivace funkce f mˇen´ı v bodˇe α znam´enko). Pr˚ ubˇ eh funkce. Vˇety o derivov´ an´ı a vˇety t´eto kapitoly n´ am umoˇzn ˇuj´ı urˇcovat charakteristick´e vlastnosti (ˇr´ık´ ame tak´e pr˚ ubˇeh) funkce. Shrˇ nme, co zjiˇsˇtujeme pˇri urˇcov´an´ı pr˚ ubˇehu dan´e funkce. 1. Pˇrirozen´ y obor definice funkce. 57
2. Zda funkce je sud´ a, lich´ a nebo periodick´ a. Sudost nebo lichost n´ am umoˇzn ˇuje omezit se na studium vlastnost´ı funkce pouze pro kladn´e hodnoty nez´ avisle promˇenn´e, periodicita pak dokonce pro hodnoty nez´ avisle promˇenn´e tvoˇr´ıc´ı pouze libovoln´ y interval jehoˇz d´elka se rovn´ a periodˇe. 3. Vˇsechny body nespojitosti funkce, limity a jednostrann´e limity v tˇechto bodech a intervaly v nichˇz je funkce spojit´ a. 4. Vˇsechny intervaly v nichˇz je funkce kladn´ a nebo z´ aporn´ a a vˇsechny nulov´e body funkce. Nulov´e body se n´ am podaˇr´ı analyticky nal´ezt m´alokdy. Mus´ıme vˇetˇsinou pouˇz´ıt pˇribliˇzn´e (numerick´e) metody. Zm´ın´ıme se o nich v n´asleduj´ıc´ım odstavci. 5. Vˇsechny intervaly, kde je funkce rostouc´ı, klesaj´ıc´ı, nerostouc´ı anebo neklesaj´ıc´ı. 6. Vˇsechny lok´ aln´ı i glob´ aln´ı extr´emy funkce. 7. Vˇsechny intervaly, kde je funkce konvexn´ı nebo konk´ avn´ı. 8. Vˇsechny inflexn´ı body funkce. 9. Vˇsechny asymptoty grafu funkce. 10. Dalˇs´ı vlastnosti, jako napˇr. body ve kter´ ych funkce nen´ı derivovateln´ a a jednostrann´e derivace v tˇechto bodech, body nespojitosti derivace atd. Na z´akladˇe vˇsech tˇechto zjiˇstˇen´ı pak naˇcrtneme graf dan´e funkce.
´ ´ ˇ E. INTEGRALN I POCET FUNKC´ I ´ ˇ ´ JEDNE PROMENNE. 14. PRIMITIVN´ I FUNKCE. Definice primitivn´ı funkce. Nechˇt v intervalu I je definov´ ana funkce f . Kaˇzdou funkci g definovanou a derivovatelnou v t´emˇze intervalu I takovou, ˇze plat´ı g (x) = f (x) ∀ x ∈ I naz´ yv´ ame primitivn´ı funkc´ı k funkci f v intervalu I a oznaˇcujeme ji f ∗%nebo tak´e [f (x)]∗ . Leibniz zavedl pro oznaˇcen´ı primitivn´ı funkce k funkci f symbol f (x)dx a primitivn´ ı funkci nazval neurˇcit´ ym integr´ alem funkce f . Hled´ an´ı primitivn´ı funkce % f (x)dx k funkci f naz´ yv´ ame integrov´ an´ım funkce f a samotnou funkci f integrandem. V´ıme, ˇze nutnou podm´ınkou diferencovatelnosti funkce je jej´ı spojitost. Odtud ihned dosp´ıv´ ame k d˚ uleˇzit´emu z´avˇeru: Jestliˇze g je primitivn´ı funkce k funkci f v intervalu I, potom je spojit´ a v intervalu I (nez´ avisle na tom, zda je nebo nen´ı spojit´ a funkce f ). Existence primitivn´ı funkce. Funkce, ke kter´ ym existuj´ı primitivn´ı funkce, naz´ yv´ ame integrovateln´ ymi funkcemi. Ne kaˇzd´a funkce f je integrovateln´ a. Plat´ı vˇsak vˇeta: Kaˇzd´ a funkce f spojit´ a v intervalu I je v tomto intervalu integrovateln´ a. Mnohoznaˇ cnost primitivn´ı funkce. Plat´ı n´ asleduj´ıc´ı vˇeta a) Jestliˇze g je primitivn´ı funkce k funkci f v intervalu I, potom i kaˇzd´ a funkce h definovan´ a v intervalu I vztahem h(x) = g(x) + C ∀ x ∈ I, kde C je libovoln´e re´ aln´e ˇc´ıslo, je primitivn´ı funkce k funkci f . 58
b) Jestliˇze g, h jsou primitivn´ı funkce k jedn´e a t´eˇze funkci f v intervalu I, potom se v cel´em tomto intervalu liˇs´ı o konstantu. Vid´ıme, ˇze u ´loha “nal´ezt funkci g primitivn´ı k dan´e funkci f v intervalu I” nen´ı jednoznaˇcn´a. Zn´ ame-li vˇsak jednu konkretn´ı (partikul´ arn´ı) primitivn´ı funkci g, dostaneme vˇsechny ostatn´ı primitivn´ı funkce pˇripoˇcten´ım libovoln´e re´aln´e konstanty C (naz´ yv´ ame ji integraˇcn´ı konstantou). ˇ na ot´ Stanoven´ı integraˇ cn´ı konstanty. Odpovˇed azku, jak v konkretn´ı u ´loze vybrat z nekoneˇcnˇe mnoha primitivn´ıch funkc´ı tu jedinou, kter´ a ˇreˇs´ı danou u ´lohu, tj., jak stanovit hodnotu integraˇcn´ı konstanty, d´ av´ a n´ asleduj´ıc´ı vˇeta Nechˇt α, β jsou libovolnˇe zadan´ a re´ aln´ a ˇc´ısla, pˇriˇcemˇz α ∈ I. Potom ke kaˇzd´e funkci f integrovateln´e v intervalu I existuje pr´ avˇe jedna primitivn´ı funkce g takov´ a, ˇze g(α) = β. Tato funkce je definov´ ana vztahem g(x) = h(x) + β − h(α) , kde h(x) je libovolnˇe zvolen´ a partikul´ arn´ı primitivn´ı funkce k funkci f . Integrov´ an´ı souˇ ctu, rozd´ılu a souˇ cinu s konstantou. Pˇr´ımo z definice primitivn´ı funkce a ze vzorc˚ u pro derivov´ an´ı plyne n´ asleduj´ıc´ı vˇeta: Nechˇt f, g jsou integrovateln´e funkce v intervalu I a nechˇt k je libovoln´ a konstanta. Potom i funkce f + g, f − g, kf jsou integrovateln´e v I a plat´ı &
&
ad
[f (x) + g(x)] dx = &
& f (x) dx +
&
ad
g(x) dx &
[f (x) − g(x)] dx = f (x) dx − & & ad kf (x) dx = k f (x) dx
g(x) dx
Ve vzorc´ıch symbol ”ad” nad rovn´ıtkem znamen´a, ˇze lev´a a prav´ a strana se mohou liˇsit o konstantu. Z´ akladn´ı vzorce pro integrov´ an´ı. Pˇr´ımo z definice primitivn´ı funkce bezprostˇrednˇe plynou dva n´ asleduj´ıc´ı vzorce
& f (x) dx
& = f (x) ,
f (x) dx = f (x) + C
Ze vzorc˚ u pro derivov´ an´ı ihned dost´ av´ ame z´akladn´ı vzorce pro integrov´ an´ı (symbol ”ad” vynech´ av´ ame, integrov´ an´ı se vztahuje na ty intervaly, ve kter´ ych jsou definov´ any integrandy). & &
& 0 · dx = 0
xα−1 dx = xα
α &
ax a dx = ln a x
59
1 dx = ln |x| x
&
& cos x dx = sin x &
&
sin x dx = − cos x
1 dx = − cot x 2 sin x & 1 dx = arctan x 1 + x2
1 dx = tan x cos2 x & 1 √ dx = arcsin x 1 − x2 D´ ale se snadno pˇresvˇedˇc´ıme, ˇze plat´ı &
1 2 √ dx = ln x + x + 1 , −∞ < x < ∞ 1 + x2 &
1 2 √ dx = − ln x + x − 1 , x ≥ 1 x2 − 1
Substituˇ cn´ı metoda integrov´ an´ı. Nechˇt a) f je funkce definovan´ a a spojit´ a v intervalu L, b) ϕ je funkce definovan´ a v intervalu K a m´a v nˇem spojitou derivaci ϕ , c) plat´ı H(ϕ) = L. Substituˇcn´ı metoda integrov´ an´ı vych´ azej´ıc´ı ze zn´am´e vˇety o derivov´ an´ı sloˇzen´e funkce se op´ır´ a o n´ asleduj´ıc´ı vzorce &
ad
&
f (ϕ(x)) · ϕ (x) dx = u
&
f (u) du
du ad
f (x) dx =
&
, x∈K
u = ϕ(x)
f (ϕ(u)) · ϕ (u) du x
, x∈L
u = ϕ−1 (x)
dx
Metoda per partes. Pˇredpokl´ adejme, ˇze funkce f a g jsou definov´ any a spojit´e v intervalu I a ˇze funkce f m´a spojitou derivaci v tomto intervalu. Metoda per partes pro integrov´ an´ı vych´ azej´ıc´ı ze zn´am´e vˇety o derivov´ an´ı souˇcinu dvou funkc´ı se op´ır´ a o n´ asleduj´ıc´ı vzorec &
ad
∗
f (x)g(x) dx = f (x)g (x) −
&
f (x)g ∗ (x) dx .
Rekurentn´ı vzorce pro integrov´ an´ı. Snadno, s pouˇzit´ım metody per partes, lze odvodit, ˇze pro libovoln´ a re´aln´ a ˇc´ısla a = 0, c = 0, α = −1, β = 0 a pro libovoln´e pˇrirozen´e ˇc´ıslo n plat´ı &
α+1 & 2 α α+1 x ax2 + c 3 + 2α + ax + c dx ax + c dx = − 2c(α + 1) 2c(α + 1) & & β β−1 x cos x + (β − 1) sinβ−2 x dx β sin x dx = − sin 2
60
& β &
& β
cos x dx = cos
β−1
x sin x + (β − 1)
x 3 − 2n 1 dx = − + n n−1 2(1 − n) (1 + x2 ) 2(1 − n) (1 + x2 )
cosβ−2 x dx &
1 n−1
(1 + x2 )
dx , n ≥ 2
Integrov´ an´ı parci´ aln´ıch zlomk˚ u. V´ıme, ˇze parci´aln´ı zlomky jsou funkce tvaru αx+β nebo (x2 +px+q) e pˇrirozen´e ˇc´ıslo a α , β , a , p , q jsou n , kde n je libovoln´ p 2 libovoln´ a re´aln´ a ˇc´ısla, pˇriˇcemˇz ∆ = q − 2 > 0. Zlomky prvn´ıho tvaru integrujeme substituc´ı x − a = u. Dostaneme α (x−a)n
&
α dx = (x − a)n
α (x 1−n
− a)1−n
α ln |x − a|
pro
n = 1
pro
n=1
Integrov´ an´ı zlomk˚ u druh´eho druhu prov´ ad´ıme ve dvou kroc´ıch. 1. krok. . V´ yraz αx + β uprav´ıme do tvaru αx + β = b(2x + p) + c, kde b = α2 , c = β − αp 2 Dostaneme & & & α αp 2x + p dx αx + β n dx = n dx + β − n 2 2 2 2 2 (x + px + q) (x + px + q) (x + px + q) A(x)
A1 (x)
A2 (x)
V´ ypoˇcet primitivn´ı funkce A1 (x) provedeme substituc´ı x2 +px+q = u . Dostaneme & A1 (x) =
2x + p n dx = 2 (x + px + q)
'
2 1−n x + px + q ln x2 + px + q 1 1−n
pro
n = 1
pro
n=1
2. krok. √ Poˇc´ıt´ ame primitivn´ı funkci A2 (x) substituc´ı x = ∆u − p2 . Dostaneme tak √
∆ A2 (x) = ∆n Pro v´ ypoˇcet integr´alu &
%
1 (u2 +1)n
& (u2
1 n du + 1)
du pak pouˇzijeme zn´ am´ y rekurentn´ı vzorec
u 3 − 2n du + n = − n−1 2 2(1 − n) (u + 1) 2(1 − n) (u2 + 1)
&
du (u2 + 1)
n−1
, n≥2
Integrov´ an´ı racion´ aln´ıch funkc´ı. V´ıme, ˇze racion´aln´ı funkce R(x) je definov´ ana jako pod´ıl dvou re´ aln´ ych polynom˚ u P (x) , Q(x). Jestliˇze polynom ve jmenovateli Q(x) je vyˇsˇs´ıho stupnˇe neˇz polynom v ˇcitateli P (x), potom funkci R(x) naz´ yv´ ame ryze racion´aln´ı. V opaˇcn´em pˇr´ıpadˇe m˚ uˇzeme polynom P (x) dˇelit polynomem Q(x). Dostaneme tak polynom a zbytek, kter´ y je jiˇz ryze racion´aln´ı funkc´ı, tj. doZ(x) staneme R(x) = V (x) + Q(x) , kde obˇe funkce V (x) a Z(x) jsou polynomy a funkce 61
Z(x) Q(x)
je ryze racion´aln´ı. Rozloˇz´ıme-li tuto ryze racion´aln´ı funkci na parci´ aln´ı zlomky, dostaneme R(x) = V (x) + souˇcet parci´aln´ıch zlomk˚ u a jak polynom, tak i parci´ aln´ı zlomky jiˇz um´ıme integrovat. Pˇri integrov´ an´ı ˇrady r˚ uzn´ ych funkc´ı se pouˇz´ıvaj´ı substituce, kter´e vedou na integrov´ an´ı racion´ aln´ıch funkc´ı. Neelement´ arn´ı primitivn´ı funkce. V´ ypoˇcet primitivn´ıch funkc´ı nen´ı obecnˇe snadnou z´ aleˇzitost´ı. Opr´ avnˇenˇe tuˇs´ıme, ˇze existuj´ı jednoduch´e funkce, jejichˇz primitivn´ı funkce sice existuj´ı, nelze je vˇsak vyj´ adˇrit pomoc´ı n´ am zn´am´ ych element´arn´ıch funkc´ı. Mnoh´e z nich jsou vyj´ adˇreny pr´ a%vˇe ve tvaru primitivn´ıch funkc´ı. Jsou to napˇr´ıklad funkce: 2 a) Gaussova funkce e−x dx, % x b) integr´ aln´ı logaritmus lit = ex dx, % x c) integr´aln´ı sinus Six = sin %x cosdx, x d) integr´ aln´ı kosinus Cix = x% dx, % e) Fresnelovy funkce sin x2 dx , cos x2 dx. Mezi neelement´arn´ı funkce patˇr´ı tak´e velmi d˚ uleˇzit´e tzv. Legendre’ovy eliptick´e integr´ aly a hypereliptick´ y integr´ al. Jsou%definov´ any n´ asledovnˇe: dx √ , a) eliptick´ y integr´ al prvn´ıho druhu (1−x2 )(1−λ2 x2 ) % 1−λ2 x2 b) eliptick´ y integr´ al druh´eho druhu 1−x2 dx, % √ dx , c) eliptick´ y integr´ al tˇret´ıho druhu (x2 −µ) (1−x2 )(1−λ2 x2 ) % dx √ d) hypereliptick´ y integr´ al . 1+x5 Ve vˇsech tˇechto pˇr´ıpadech jsou λ , µ libovoln´ a re´aln´ a ˇc´ısla, pˇriˇcemˇz 0 < λ < 1. ˇ Rusk´ y matematik P.L. Cebyˇ s ev dok´ a zal, ˇ z e i tzv. binomick´e integr´ aly % m n p yj´ımkou nˇekolika pˇr´ıpad˚ u patˇr´ı mezi neelement´arn´ı funkce. x (a + bx ) dx s v´ ˚ INTEGRAL. ´ 15. RIEMANNUV Norm´ aln´ı posloupnost dˇ elen´ı intervalu. Nechˇt a, b je libovoln´ y uzavˇren´ y interval (a tedy ohraniˇcen´ y). Pro n = 1, 2, · · · rozdˇelme interval a, b na n ˇc´ast´ı ych, ˇze pomoc´ı dˇel´ıc´ıch bod˚ u xn0 , xn1 , xn2 , · · · , xnn−1 , xnn takov´ a = xn0 < xn1 < xn2 < · · · < xnn−1 < xnn = b Dostaneme tak posloupnost {∆n } dˇelen´ı intervalu a, b: ) ( ∆1 = x10 , x11 pˇriˇcemˇz a = x10 < x11 = b ) ( ∆2 = x20 , x21 , x22 pˇriˇcemˇz a = x20 < x21 < x22 = b ) ( ∆3 = x30 , x31 , x32 , x33 pˇriˇcemˇz a = x30 < x31 < x32 < x33 = b ................... $ # n n naz´ yv´ ame normou dˇelen´ı ∆n a oznaˇcujeme , x D´elku nejvˇetˇs´ıho z interval˚ u x i−1 i n xi − xni−1 . O posloupnosti {∆n } ˇr´ık´ max ame, ˇze je norm´ aln´ı δn , tj. δn = i = 1,2,··· ,n
posloupnost´ı dˇelen´ı intervalu, jestliˇze δn → 0 kdyˇz n → ∞. 62
Definice Riemannova integr´ alu. Nechˇt f je libovoln´ a funkce (nemus´ı b´ yt a nornez´aporn´ a) definovan´ a v uzavˇren´em intervalu a, b a nechˇt {∆n } je libovoln´ m´aln´ı posloupnost dˇelen´ı intervalu a, b. Pro kaˇzd´e dˇelen´ı ∆n vytvoˇrme souˇcet ρn =
n
f (ξkn ) xnk − xnk−1 ,
k=1
# $ kde ξkn je libovolnˇe vybran´ y bod v intervalu xnk−1 , xnk . Jestliˇze posloupnost ˇc´ısel {ρn } konverguje a to vˇzdy k jednomu a t´emuˇz ˇc´ıslu g , bez ohledu na konkr´etn´ı v´ ybˇer ybˇer norm´ aln´ı posloupnosti {∆n } dˇelen´ı intervalu a, b a bez ohledu na konkretn´ı v´ n yv´ ame Riemannov´ ym integr´ alem funkce f v intervalu bod˚ u ξk , potom toto ˇc´ıslo g naz´ %b yv´ ame integrandem, ˇc´ısla a, b a oznaˇcujeme je symbolem f (x) dx. Funkci f naz´ a
yv´ ame n-t´ ym Riemannov´ym souˇctem. Jestliˇze a, b doln´ı a horn´ı mez´ı. Souˇcet ρn naz´ Riemann˚ uv integr´ al funkce f v intervalu a, b existuje, potom o funkci f ˇr´ık´ ame, ˇze je v a, b integrovateln´ a ve smyslu Riemanna, nebo tak´e, ˇze je R-integrovateln´ a v a, b. V ˇcesk´e literatuˇre se nˇekdy m´ısto term´ınu Riemann˚ uv integr´ al pouˇz´ıv´ a term´ın urˇcit´ y integr´ al. Nutn´ a podm´ınka R-integrovatelnosti. Plat´ı vˇeta Jestliˇze funkce f je R-integrovateln´ a v intervalu a, b, potom je v tomto intervalu ohraniˇcen´ a. Vˇ ety o R-integrovatelnosti. Plat´ı vˇety: a) Jestliˇze funkce f je R-integrovateln´ a v uzavˇren´em intervalu a, b, potom je R-integrovateln´ a v kaˇzd´em jeho uzavˇren´em podintervalu α, β, kde a ≤ α < β ≤ b. b) Kaˇzd´ a monotonn´ı funkce v uzavˇren´em intervalu a, b je v nˇem R-integrovateln´ a. c) Jestliˇze funkce f a g splˇ nuj´ı v kaˇzd´ ych dvou bodech α, β uzavˇren´eho intervalu a, b nerovnost |f (α) − f (β)| ≤ |g(α) − g(β)| a funkce g je R-integrovateln´ a v a, b, potom je v a, b R-integrovateln´ a i funkce f . d) Jestliˇze funkce h je R-integrovateln´ a v uzavˇren´em intervalu a, b, potom i jej´ı absolutn´ı hodnota |h| je R-integrovateln´ a v a, b. R-integrovatelnost spojit´ e funkce. Lze snadno dok´ azat platnost n´asleduj´ıc´ı velmi d˚ uleˇzit´e vˇety Kaˇzd´ a funkce f spojit´ a v uzavˇren´em intervalu a, b je v tomto intervalu Rintegrovateln´ a. Poznamenejme, ˇze vˇetu lze zobecnit takto Ohraniˇcen´ a funkce v intervalu a, b, jej´ıˇz mnoˇzina bod˚ u nespojitosti je koneˇcn´ a (anebo nekoneˇcn´ a, avˇsak d´ a se pokr´ yt koneˇcn´ ym poˇctem interval˚ u o celkov´e libovolnˇe mal´e d´elce) je R-integrovateln´ a. Rieman˚ uv integr´ al ze souˇ ctu a souˇ cinu funkc´ı. Plat´ı vˇeta Jestliˇze funkce f a g jsou v intervalu a, b R-integrovateln´e a K je libovoln´ a re´ aln´ a konstanta, potom i funkce a) f + g , b) Kf , c) f g jsou v a, b R-integrovateln´e 63
a plat´ı &b
&b [f (x) + g(x)] dx =
a
&b f (x) dx +
a
&b
g(x) dx a
&b Kf (x) dx = K
a
f (x) dx a
Z vˇety plyne d˚ usledek Nechˇt funkce f (x) je R-integrovateln´ a v a, b a nechˇt funkce g(x) definovan´ a v a, b se liˇs´ı od funkce f (x) nanejv´ yˇs v koneˇcn´em poˇctu bod˚ u x1 , x2 , . . . , xk . Potom %b %b i funkce g(x) je R-integrovateln´ a v a, b a plat´ı g(x) dx = f (x) dx. a
a
Aditivnost a ohraniˇ cenost Riemannova integr´ alu. Snadno lze dok´ azat vˇetu, kter´ a je velmi d˚ uleˇzit´a, zejm´ena v aplikac´ıch: Nechˇt f je funkce R-integrovateln´ a v uzavˇren´em intervalu a, b a nechˇt c je libovoln´e ˇc´ıslo takov´e, ˇze a < c < b. Potom plat´ı &b
&c f (x) dx =
&b f (x) dx +
a
a
f (x) dx ,
(15.1)
c
&b (b − a) inf f (x) ≤
f (x) dx ≤ (b − a) sup f (x) .
x∈a,b
(15.2)
x∈a,b
a
Vlastnost (1) naz´ yv´ ame aditivnost´ı Riemannova integr´ alu, vlastnost (2) pak ohraniˇcenost´ı Riemannova integr´ alu. Z vˇety ihned plyne n´ asleduj´ıc´ı d˚ usledek: Jestliˇze funkce f je R-integrovateln´ a v a, b, potom plat´ı b & &b f (x) dx ≤ |f (x)| dx a
a
Stˇ redn´ı hodnota funkce. Nechˇt f je R-integrovateln´ a funkce v uzavˇren´em b % ˇ ıslo 1 f (x) dx naz´ yv´ ame stˇredn´ı hodnotou funkce f v intervalu intervalu a, b. C´ b−a a
a, b. Pro spojit´e funkce f plat´ı n´ asleduj´ıc´ı vˇeta: Jestliˇze f je spojit´ a funkce v uzavˇren´em intervalu a, b, potom v tomto intervalu existuje takov´ y bod ξ, ˇze stˇredn´ı hodnota funkce f v a, b je rovna hodnotˇe funkce f v bodˇe ξ, tj. &b 1 f (x) dx = f (ξ) . b−a a
64
Integraˇ cn´ı meze. V definici Riemannova integr´ alu
%b
f (x) dx jsme pˇredpokl´ a-
a
dali, ˇze a < b. Definici rozˇs´ıˇr´ıme i na pˇr´ıpady, kdy b < a nebo b = a a to tak, ˇze definujeme &b &a &a f (x) dx = − f (x) dx , f (x) dx = 0 . a
a
b
V Riemannovˇe integr´ alu
%b
f (x) dx ˇc´ıslo a naz´ yv´ ame doln´ı mez´ı, ˇc´ıslo b horn´ı mez´ı
a
a to nez´avisle na tom, zda a ≤ b nebo a > b. Snadno se m˚ uˇzeme pˇresvˇedˇcit, ˇze vzorec (1) (aditivnost) z˚ ust´av´ a v platnosti pˇri libovoln´e poloze ˇc´ısel a, b, c, pokud ovˇsem vˇsechna leˇz´ı v uzavˇren´em intervalu v nˇemˇz je funkce f R-integrovateln´ a. Vztah mezi Riemannov´ ym integr´ alem a derivac´ı funkce. Uvedeme nyn´ı jednu z nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ıch vˇet integr´aln´ıho poˇctu. Jej´ı d˚ uleˇzitost spoˇc´ıv´ a v tom, ˇze ukazuje na velmi u ´zkou souvislost mezi Riemannov´ ym integr´ alem a derivac´ı funkce: Nechˇt f je R-integrovateln´ a funkce v uzavˇren´em intervalu a, b. Potom funkce G definovan´ a vztahem &x f (t) dt
G(x) =
a ≤ x ≤ b
pro
a
a) je spojit´ a v a, b, b) je derivovateln´ a v kaˇzd´em bodˇe α ∈ a, b v nˇemˇz je spojit´ a funkce f a plat´ı G (α) = f (α). Z vˇety ihned plyne n´ asleduj´ıc´ı d˚ usledek Ke kaˇzd´e funkci f spojit´e v uzavˇren´em intervalu a, b existuje primitivn´ı funkce. Fundament´ aln´ı vˇ eta integr´ aln´ıho poˇ ctu. Z vˇety uveden´e v pˇredch´azej´ıc´ım odstavci plyne tzv. fundament´ aln´ı vˇeta integr´ aln´ıho poˇctu naz´ yvan´ a t´eˇz Newton Leibnizova vˇeta: Jestliˇze funkce f je spojit´ a v uzavˇren´em intervalu a, b, potom &b f (x) dx = Φ(b) − Φ(a) ,
(15.3)
a
kde Φ je libovoln´ a primitivn´ı funkce k funkci f . Vzorec (3) je jedn´ım z nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ıch vzorc˚ u integr´ aln´ıho poˇctu. Umoˇzn ˇuje n´ am vypoˇc´ıtat Riemann˚ uv integr´ al, kdyˇz zn´ame primitivn´ı funkci. V´ ypoˇ cet Riemannova integr´ alu metodou per partes. Z vˇety o integrov´an´ı souˇcinu dvou funkc´ı a z Newton - Leibnizovy vˇety dost´av´ ame vzorec pro v´ ypoˇcet Riemannova integr´ alu metodou per partes &b
∗
∗
&b
f (x)g(x) dx = f (b)g (b) − f (a)g (a) − a
a
65
f (x)g ∗ (x) dx .
Substituˇ cn´ı metoda v´ ypoˇ ctu Riemannova integr´ alu. Z vˇety o integrov´an´ı sloˇzen´e funkce plyne n´ asleduj´ıc´ı vˇeta Jestliˇze funkce f je spojit´ a v oboru hodnot H(ϕ) funkce ϕ spojit´e a maj´ıc´ı spojitou derivaci v intervalu α, β, potom plat´ı ϕ(β) &
&β
f (s) ds =
f (ϕ(t)) · ϕ (t) dt .
α
ϕ(α)
Vzorec naz´ yv´ ame vzorcem pro v´ ypoˇcet Riemannova integr´ alu substituˇcn´ı metodou. Lze jej samozˇrejmˇe pouˇz´ıt jak pro v´ ypoˇcet Riemannova integr´alu na lev´e stranˇe, tak i Riemannova integr´ alu na prav´e stranˇe. Singul´ arn´ı body funkce. V definici Riemannova integr´ alu funkce f je podstatn´e, ˇze interval a, b je uzavˇren´ y a tedy i omezen´ y. Z definice tak´e plyne, ˇze m´a - li b´ yt funkce f R-integrovateln´ a, mus´ı b´ yt nutnˇe ohraniˇcen´a. Ukazuje se, ˇze nˇekdy lze pojem Riemannova integr´ alu rozˇs´ıˇrit i na pˇr´ıpady, kdy jedna nebo obˇe podm´ınky nejsou splnˇeny. Za t´ım u ´ˇcelem definujeme: ˇ a) Necht s je vlastn´ım hromadn´ ym bodem definiˇcn´ıho oboru D(f ) funkce f . u xn ∈ D(f ) konverguj´ıc´ı k s takov´ a, ˇze Jestliˇze existuje posloupnost {xn } bod˚ posloupnost f (xn ) diverguje (k plus nebo k m´ınus nekoneˇcnu), potom o funkci f ˇr´ık´ ame, ˇze je neohraniˇcen´ a v bodˇe s. b) O funkci f (x) ˇr´ık´ ame, ˇze m´ a singularitu (je singul´ arn´ı) v bodˇe s, jestliˇze s je ˇ budto nevlastn´ım hromadn´ ym bodem (plus nebo m´ınus nekoneˇcno) jeho definiˇcn´ıho oboru D(f ) anebo funkce f je neohraniˇcen´a v bodˇe s. Rozˇs´ıˇren´ım pojmu Riemannova integr´ alu se zab´ yv´ ame v pˇr´ıpadech, kdy funkce f definovan´ a v intervalu I m´a na jednom nebo na obou konc´ıch intervalu singularitu. D´ ale se zab´ yv´ ame pˇr´ıpadem, kdy funkce f je definov´ ana v intervalu I nanejv´ yˇs s v´ yj´ımkou vnitˇrn´ıho bodu c ∈ I v nˇemˇz m´a singularitu. Ve vˇsech tˇechto pˇr´ıpadech n´ as snaha rozˇs´ıˇrit pojem Riemannova integr´alu vede k pojmu nevlastn´ı integr´ al. Definice nevlastn´ıho integr´ alu v intervalu s jedn´ım singul´ arn´ım bodem. Definujeme a) Nechˇt funkce f je definov´ ana v intervalu I = a, b) (b m˚ uˇze b´ yt i plus nekoneˇcno) z prav´e strany otevˇren´em a nechˇt je R-integrovateln´ a v kaˇzd´em uzavˇren´em intervalu a, x, kde x < b. Jestliˇze funkce f (x) je singul´ arn´ı v bodˇe b a jestliˇze existuje vlastn´ı (koneˇcn´a) limita &x f (t) dt ,
lim
x→b− a
potom tuto limitu naz´ yv´ ame nevlastn´ım integr´ alem v intervalu a, b) . O integr´ alu pak ˇr´ık´ ame, ˇze existuje anebo tak´e, ˇze konverguje. V opaˇcn´em pˇr´ıpadˇe ˇr´ık´ ame, ˇze neexistuje anebo tak´e, ˇze nekonverguje. b) Analogicky definujeme nevlastn´ı integr´ al v intervalu (a, b v pˇr´ıpadˇe, kdy %b funkce f (x) je singul´ arn´ı v bodˇe a. Je to tedy lim f (t) dt . x→a+ x
66
c) Nechˇt funkce f (x) je definov´ ana v uzavˇren´em intervalu a, b s v´ yj´ımkou bodu c ∈ (a, b), v nˇemˇz m˚ uˇze, ale tak´e nemus´ı b´ yt definov´ ana. Jestliˇze funkce f je singul´ arn´ı v bodˇe c a existuj´ı nevlastn´ı integr´ aly v intervalech a, c) , (c, b, potom jejich souˇcet naz´ yv´ ame nevlastn´ım integr´ alem v intervalu a, b se singularitou v c. Definice nevlastn´ıho integr´ alu v otevˇ ren´ em intervalu. Nechˇt funkce f (x) je definov´ ana v otevˇren´em intervalu I = (a, b) (a m˚ uˇze b´ yt m´ınus nekoneˇcno, b m˚ uˇze b´ yt plus nekoneˇcno). Jestliˇze funkce f (x) je singul´ arn´ı v bodech a i b a jestliˇze existuj´ı nevlastn´ı Riemannovy integr´ aly v intervalech (a, c) , (c, b) pro kaˇzd´e ˇc´ıslo c z intervalu (a, b), potom jejich souˇcet naz´ yv´ ame nevlastn´ım integr´ alem v otevˇren´em intervalu (a, b). Korektnost definice samozˇrejmˇe vyˇzaduje, aby souˇcet nez´avisel na v´ ybˇeru ˇc´ısla c. Ten vˇsak skuteˇcnˇe nez´avis´ı. V´ ypoˇ cet nevlastn´ıch integr´ al˚ u. Dovedeme-li nal´ezt k integrovan´e funkci primitivn´ı funkci, pak jiˇz zpravidla m˚ uˇzeme rozhodnout o konvergenci nevlastn´ıho integr´ alu a vypoˇc´ıtat jeho hodnotu. Urˇcen´ı primitivn´ı funkce vˇsak ˇcasto ˇcin´ı pot´ıˇze. Nevlastn´ı integr´ al se pak snaˇz´ıme vypoˇc´ıtat numericky (pˇribliˇznˇe). K tomu je vˇsak nutn´e pˇredem vˇedˇet, zda dan´ y integr´ al existuje nebo nikoliv. O tom m˚ uˇzeme rozhodnout na z´ akladˇe kriteri´ı, kter´ a d´ ale uvedeme. Uvedeme je pouze v pˇr´ıpadˇe, kdy funkce f je definov´ ana v intervalu a, b), je singul´ arn´ı v bodˇe b a je integrovateln´ a v kaˇzd´em intervalu a, x , a < x < b. Ostatn´ı pˇr´ıpady jsou zcela analogick´e. Abychom zd˚ uraznili, ˇze funkce f je singul´ arn´ı v bodˇe b, budeme ˇcasto m´ısto a, b) ps´at a, B). Absolutn´ı konvergence nevlastn´ıho integr´ alu. Plat´ı vˇeta: %B %B %B alu f (x) dx a) Je-li |f (x)| dx konvergentn´ı, je i f (x) dx konvergentn´ı. O integr´ a
a
a
v tomto pˇr´ıpadˇe ˇr´ık´ ame, ˇze je absolutnˇe konvergentn´ı. B % %B b) Jestliˇze f (x) dx nekonverguje, potom ani nekonverguje |f (x)| dx. a
a
Porovn´ avac´ı kriterium konvergence nevlastn´ıho integr´ alu. Plat´ı vˇeta %B Nechˇt 0 ≤ ϕ(x) ≤ ψ(x) pro ∀ x ∈ a, B). Konverguje-li integr´ al (n) ψ(t) dt, a
%B
potom tak´e konverguje integr´ al (n) ϕ(t) dt. a
Limitn´ı kriterium konvergence nevlastn´ıho integr´ alu v intervalu a, ∞).. Plat´ı vˇeta Nechˇt funkce f (x) je R-integrovateln´ a v kaˇzd´em intervalu a, c, kde c > a je libovoln´e re´ aln´e ˇc´ıslo. Potom %∞ f (t) dt konverguje, a to absolutnˇe, jestliˇze pro nˇejak´e ˇc´ıslo a) integr´ al K = a
p > 1 existuje (koneˇcn´ a) limita L = lim [xp f (x)] , x→∞
67
b) integr´ al K nekonverguje, jestliˇze pro nˇejak´e ˇc´ıslo p ≤ 1 plat´ı budˇ
lim [xp f (x)] = L = 0 , nebo
x→∞
L = ±∞ .
Limitn´ı kriterium konvergence nevlastn´ıho integr´ alu z neohraniˇ cen´ e funkce. Plat´ı vˇeta %b Nechˇt funkce f (x) je neohraniˇcen´ a v bodˇe b . Potom integr´ al (n) f (t) dt a
a) konverguje, a to absolutnˇe, jestliˇze pro nˇejak´e ˇc´ıslo p < 1 existuje koneˇcn´ a limita L = lim [(b − x)p f (x)] , x→b−
b) nekonverguje, jestliˇze pro nˇejak´e ˇc´ıslo p ≥ 1 budˇ
lim [(b − x)p f (x)] = L = 0 , nebo
x→b−
L = ±∞ .
´ 16. APLIKACE RIEMANNOVA INTEGRALU. %v Zobecnˇ en´ a ohraniˇ cenost. Riemann˚ uv integr´ al f (x) dx funkce f spojit´e v uzavˇreu
n´em intervalu a, b, kde a ≤ u ≤ v ≤ b, lze zˇrejmˇe povaˇzovat za veliˇcinu (funkci) V (u, v) z´avisej´ıc´ı na u, v (a samozˇrejmˇe tak´e na f ). V´ıme, ˇze veliˇcina V (u, v) m´a pro a ≤ u ≤ v ≤ b dvˇe n´ asleduj´ıc´ı vlastnosti V (a, u) + V (u, v) = V (a, v)
(16.1)
(v − u) min f (x) ≤ V (u, v) ≤ (v − u) max f (x) x∈u,v
x∈u,v
(16.2)
Vlastnost (1) naz´ yv´ ame aditivitou a vlastnost (2) ohraniˇcenost´ı vzhledem k f . Ve vztahu (2) jsme nahradili infimum minimem a supremum maximem, neboˇt funkce f je podle pˇredpokladu spojit´ a. Jestliˇze m´a tedy Riemann˚ uv integr´ al matematicky modelovat nˇejakou geometrickou nebo fysik´ aln´ı veliˇcinu (obsah, objem, pr´ aci, moment setrvaˇcnosti atd.), potom tato veliˇcina mus´ı m´ıt pochopitelnˇe zm´ınˇen´e vlastnosti (1) a (2). Vznik´ a pˇrirozenˇe ot´azka, zda plat´ı i opak, tj. zda kaˇzd´a geometrick´a nebo fysik´ aln´ı veliˇcina obdaˇren´a vlastnostmi (1), (2) mus´ı b´ yt jiˇz nutnˇe vyj´ adˇrena Riemannov´ ym ˇ je kladn´ integr´ alem. Jak uvid´ıme pozdˇeji, odpovˇed a. Ovˇeˇrov´ an´ı vlastnosti (2) b´ yv´ a nˇekdy komplikovan´e. Uvedeme zde jinou vlastnost, kter´ a se ovˇeˇruje vˇetˇsinou snadnˇeji a pˇritom staˇc´ı k tomu, aby veliˇcina V (u, v) musela b´ yt vyj´ adˇrena Riemannov´ ym integr´ alem. Definujeme: Nechˇt V (u, v) je veliˇcina (funkce) z´ avisej´ıc´ı na dvou promˇenn´ ych u, v takov´ ych, ˇze a ≤ u ≤ v ≤ b a nechˇt f je spojit´ a funkce v intervalu a, b. Jestliˇze existuj´ı funkce η(u, v) a ζ(u, v) , a ≤ u ≤ v ≤ b takov´e, ˇze lim η(u, v) = lim ζ(u, v) = f (u) v→u+ v→u+ (16.3) lim η(u, v) = lim ζ(u, v) = f (v) u→v−
u→v−
68
a jestliˇze (v − u)η(u, v) ≤ V (u, v) ≤ (v − u)ζ(u, v) ,
(16.4)
potom ˇr´ık´ ame, ˇze veliˇcina V (u, v) m´ a vlastnost zobecnˇen´e ohraniˇcenosti vzhledem k funkci f . Poloˇz´ıme-li η(u, v) = min f (x) a ζ(u, v) = max f (x), potom ze spojitosti x∈u,v
x∈u,v
funkce f zˇrejmˇe plyne (3). Odtud ihned dost´ av´ ame vˇetu: Jestliˇze veliˇcina V (u, v) m´ a vlastnost ohraniˇcenosti (2), potom m´ a i vlastnost zobecnˇen´e ohraniˇcenosti (4). Z´ akladn´ı vˇ eta o aplikaci Riemannova integr´ alu. Plat´ı n´ asleduj´ıc´ı d˚ uleˇzit´a vˇeta: Nechˇt f je spojit´ a funkce v uzavˇren´em intervalu a, b a nechˇt veliˇcina V (u, v) , a ≤ u ≤ v ≤ b m´ a vlastnosti aditivity (1) a zobecnˇen´e ohraniˇcenosti (4) vzhledem k funkci f . Potom &b f (x) dx . V (a, b) = a
D´ ale plat´ı vˇeta: Nechˇt f a g jsou spojit´e funkce v intervalu a, b takov´e, ˇze f (x) ≥ g(x), a ≤ x ≤ b. Nechˇt funkce V (u, v) , a ≤ u ≤ v ≤ b m´ a vlastnost aditivity (1) a nechˇt pro a ≤ u ≤ v ≤ b plat´ı (v−u) min f (x) − max g(x) ≤ V (u, v) ≤ (v−u) max f (x) − min g(x) . x∈u,v
x∈u,v
x∈u,v
Potom
x∈u,v
&b [f (x) − g(x)] dx .
V (a, b) = a
Ploˇ sn´ y obsah mnoˇ ziny mezi dvˇ ema kart´ ezsk´ ymi grafy. Nechˇt f a g jsou dvˇe funkce spojit´e v intervalu a, b takov´e, ˇze f (x) ≥ g(x) , a ≤ x ≤ b. Chceme definovat ploˇsn´ y obsah |A| mnoˇziny A mezi kart´ezsk´ ymi grafy funkc´ı f a g a mezi pˇr´ımkami x = a a x = ab , tj. mnoˇziny definovan´e vztahem A = {(x, y) ∈ R2 , a ≤ x ≤ b , g(x) ≤ y ≤ f (x)}
(16.5)
Plat´ı: Nechˇt f a g jsou spojit´e funkce v intervalu a, b takov´e, ˇze f (x) ≥ g(x) ∀ x ∈ a vztahem (5). Potom a, b. Nechˇt A je mnoˇzina bod˚ u (x, y) v rovinˇe R2 definovan´ obsahem mnoˇziny A naz´ yv´ ame ˇc´ıslo |A| definovan´e vztahem &b [f (x) − g(x)] dx .
|A| = a
69
Ploˇ sn´ y obsah v´ yseˇ ce pod pol´ arn´ım grafem. Nechˇt f je spojit´ a funkce v intervalu α, β. Chceme definovat a vypoˇc´ıtat ploˇsn´ y obsah mnoˇziny A vymezen´e pol´ arn´ım grafem r = f (θ) a polopˇr´ımkami θ = α a θ = β. Shodnˇe se z´akladn´ı vˇetou o aplikaci Riemannova integr´ alu definujeme Nechˇt f je spojit´ a funkce v uzavˇren´em intervalu α, β. Nechˇt A je mnoˇzina bod˚ u (r, θ) v pol´ arn´ı rovinˇe definovan´ a vztahem A = {α ≤ θ ≤ β , 0 ≤ r ≤ f (θ)} . Potom ploˇsn´ ym obsahem mnoˇziny A naz´ yv´ ame ˇc´ıslo |A| definovan´e vztahem 1 |A| = 2
&β f 2 (θ) dθ . α
Pr´ ace. Z´akladn´ı vˇeta o aplikaci Riemannova integr´ alu n´ as vede k n´ asleduj´ıc´ı definici: Pr´ ace W vykonan´ a spojitˇe se mˇen´ıc´ı silou f (x) v intervalu a, b je d´ ana vztahem &b f (x) dx .
W = a
D´ elka kart´ ezsk´ eho grafu funkce. Z´akladn´ı vˇeta o aplikaci Riemannova integr´ alu n´ as vede k n´ asleduj´ıc´ı definici: D´elkou l hladk´eho oblouku generovan´eho funkc´ı f v uzavˇren´em intervalu a, b naz´ yv´ ame ˇc´ıslo dan´e vztahem &b
2
1 + [f (x)] dx .
l = a
D´ elka kˇ rivky zadan´ e parametricky. Z´akladn´ı vˇeta o aplikaci Riemannova integr´ alu n´ as vede k n´ asleduj´ıc´ı definici: D´elka l hladk´eho oblouku zadan´eho parametrick´ ymi rovnicemi x = ϕ(t) , y = ψ(t) , z = χ(t) , α ≤ t ≤ β je d´ ana vztahem
&β ϕ˙ 2 (t) + ψ˙ 2 (t) + χ˙ 2 (t) dt . l = α
D´ elka rovinn´ eho oblouku zadan´ eho pol´ arnˇ e. Nechˇt f je spojit´ a funkce ypoˇcet d´elky z´aroveˇ n se svou prvn´ı derivac´ı f v intervalu α, β. Ve vzorci pro v´ kˇrivky zadan´e parametricky poloˇz´ıme 70
x = ϕ(t) = f (t) cos t , y = ψ(t) = f (t) sin t , α ≤ t ≤ β , coˇz je parametrick´e vyj´ adˇren´ı kˇrivky r = f (θ). Dostaneme &β l =
2
f 2 (θ) + [f (θ)] dθ .
α
Objem rotaˇ cn´ıho tˇ elesa. Z´akladn´ı vˇeta o aplikaci Riemannova integr´ alu n´ as vede k n´ asleduj´ıc´ım definic´ım: a) Nechˇt f je nez´ aporn´ a spojit´ a funkce v intervalu a, b. Objemem |V| tˇelesa V vznikl´eho rotac´ı rovinn´e oblasti A = {(x, y) ∈ R2 ; a ≤ x ≤ b , 0 ≤ y ≤ f (x)} yv´ ame ˇc´ıslo definovan´e vztahem kolem osy Ox naz´ &b |V| = π
f 2 (x) dx . a
b) Nechˇt g(y) , f (y) jsou spojit´e funkce definovan´e v intervalu α, β , α ≥ 0 takov´e, ˇze g(y) ≤ f (y) ∀ y ∈ α, β. Objemem |V| tˇelesa V vznikl´eho rotac´ı kolem yv´ ame osy Ox rovinn´e oblasti B = {(x, y) ∈ R2 , g(y) ≤ x ≤ f (y) , α ≤ y ≤ β} naz´ ˇc´ıslo definovan´e vztahem &β y[f (y) − g(y)] dy .
|V| = 2π α
Obsah rotaˇ cn´ı plochy. Z´akladn´ı vˇeta o aplikaci Riemannova integr´ alu n´ as vede k n´ asleduj´ıc´ım definic´ım: a) Nechˇt nez´ aporn´ a funkce f (x) je spojit´ a z´ aroveˇ n se svou derivac´ı f (x) v uzavˇren´em intervalu a, b. Obsah |S| plochy S vznikl´e rotac´ı kolem osy Ox grafu y = f (x) , a ≤ x ≤ b funkce f je definov´ an vztahem &b |S| = 2π
2 f (x) 1 + [f (x)] dx .
a
b Nechˇt funkce g(y) je spojit´ a z´ aroveˇ n se svou derivac´ı g (y) v uzavˇren´em intervalu α, β, kde α ≥ 0. Obsah |S| plochy S vznikl´e rotac´ı kolem osy Ox grafu x = g(y) , α ≤ y ≤ β je definov´ an vztahem &β 2 |S| = 2π y 1 + [g (y)] dy . α
71
OBSAH ´kladn´ı pojmy (1) a. za 1. Mnoˇ ziny (1). Z´akladn´ı pojmy teorie mnoˇzin (1). Operace s mnoˇzinami (2). Re´aln´e mnoˇziny, supremum a infimum (2). 2. Matematick´ a logika (2). V´ yrok a v´ yrokov´ a funkce (2). Negace v´ yroku a logick´e kvantifik´ atory (3). Disjunkce a konjunkce v´ yrok˚ u (3). Implikace a ekvivalence v´ yrok˚ u (3). Teor´emy a jejich d˚ ukazy (4). 3. Re´ aln´ a a komplexn´ı ˇ c´ısla (4). Re´aln´ a ˇc´ısla (4). Operace s re´aln´ ymi ˇc´ısly (5). Absolutn´ı hodnota a okol´ı re´ aln´eho ˇc´ısla (6). Mocniny a odmocniny z re´ aln´ ych ˇc´ısel (6). Komplexn´ı ˇc´ısla (7). Opeˇ sen´ı race s komplexn´ımi ˇc´ısly (7). Binomick´ a vˇeta (8). D˚ uleˇzit´a nerovnost (9). Reˇ kvadratick´ ych rovnic a nerovnost´ı v re´ aln´em oboru (9). ´vod do elementa ´rn´ı algebry (9). b. u 4. Matice a algebraick´ e vektory‘(9). Algebraick´e vektory (9). Skal´ arn´ı souˇcin dvou algebraick´ ych vektor˚ u (10). Line´arn´ı z´avislost vektor˚ u (10). Souˇradnice vektoru (10). Hodnost soustavy vektor˚ u (11). Matice (11). Gaussovsk´a matice (12). Transponovan´ a matice (12). N´asoben´ı matice ˇ matic´ı (12). Ctvercov´ e matice (13). Inverzn´ı matice (14). Ortogon´ aln´ı matice (14). Hodnost matice (14). Vlastn´ı ˇc´ısla a vlastn´ı vektory matice (15). 5. Determinanty (15). Definice determinantu (15). Kˇr´ıˇzov´e a Sarrusovo pravidlo (15). Subdeterminant a algebraick´ y doplnˇek (16). Cramerovo pravidlo a v´ ypoˇcet inverzn´ı matice (16). Z´akladn´ı vlastnosti determinant˚ u (17). Rozvoj determinantu podle ˇra´dku a podle sloupce (17). Dalˇs´ı vlastnosti determinant˚ u (17). Nutn´ a podm´ınka invertovatelnosti matic (18). 6. Soustavy line´ arn´ıch rovnic (18). ˇ sitelnost soustavy, Frobeniova vˇeta (18). Matice a rozˇs´ıˇren´a matice soustavy (18). Reˇ ˇ Homogenn´ı soustavy (19). Reˇsen´ı soustav (19). V´ ypoˇcet inverzn´ı matice (19). Charakteristick´ a rovnice matice (20). 7. Polynomy a jejich pod´ıly (20). Polynom a jeho koˇreny (20). B´ezoutova vˇeta (21). Z´akladn´ı vˇeta algebry (21). D‘Alembertova vˇeta (21). Rozklad polynomu v komplexn´ım oboru (21). Vˇeta o imagin´ arn´ıch koˇrenech re´aln´ ych polynom˚ u (22). Rozklad re´ aln´eho polynomu v re´ aln´em oboru (22). Re´aln´ y racion´ aln´ı v´ yraz (22). Rozklad re´ aln´eho ryz´ıho racion´ aln´ıho v´ yrazu na parci´ aln´ı zlomky (22). ´vod do analytick´ c. u e geometrie (23). 8. Geometrick´ e vektory (23). Kart´ezsk´a soustava souˇradnic (23). Euklidovsk´ y prostor (24). Vektory ve fyzice (24). Orientovan´ au ´seˇcka (24). Geometrick´ y vektor (24). Vztah mezi geometrick´ ym a algebraick´ ym vektorem (25). Skal´arn´ı souˇcin geometrick´ ych vektor˚ u (25). Odchylka 72
dvou geometrick´ ych vektor˚ u (25). Vztah mezi odchylkou a skal´arn´ım souˇcinem vektor˚ u (26). Smˇerov´e kosiny vektoru (26). Vektorov´ y souˇcin vektor˚ u (26). Vlastnosti vektorov´eho souˇcinu (26). V´ ypoˇcet souˇradnic vektorov´eho souˇcinu (27). Objem rovnobˇeˇznostˇenu a ˇctyˇrstˇenu (27). Sm´ıˇsen´ y souˇcin vektor˚ u (27). V´ ypoˇcet sm´ıˇsen´eho souˇcinu (27). Vlastnosti sm´ıˇsen´eho souˇcinu (27). 9. Analytick´ a geometrie v prostoru (27). Parametrick´e rovnice pˇr´ımky (27). Kanonick´e rovnice pˇr´ımky (28). Vektorov´ a rovnice roviny urˇcen´e norm´alov´ ym smˇerem (28). Obecn´ a rovnice roviny (28). Obecn´ a ´ ´ rovnice roviny v u ´sekov´em tvaru (29). Uhel dvou pˇr´ımek v prostoru (29). Uhel ´ pˇr´ımky a roviny (29). Uhel dvou rovin (29). Vzd´alenost bodu od roviny (29). Vzd´ alenost bodu od pˇr´ımky (30). V´ alcov´e plochy (30). Kuˇzelov´e a rotaˇcn´ı plochy (30). Kvadriky (30). ´ln´ı poc ˇet funkc´ı jedn´ ˇnn´ d. diferencia e prome e (30). 10. Funkce jedn´ e promˇ enn´ e (30). Obecn´ y pojem zobrazen´ı (30). Re´aln´e a vektorov´e funkce (31). Zad´av´ an´ı funkc´ı (31). Kart´ezsk´e a pol´ arn´ı souˇradnice v rovinˇe (32). Obecn´ y u ´hel a jeho velikost (32). Funkce sinus a kosinus (32). Graf funkce (32). Rovnost dvou funkc´ı, rozˇs´ıˇren´ı a z´ uˇzen´ı (33). Nulov´ y bod funkce (33). Posloupnosti (33). Operace s funkcemi (33). Sloˇzen´a funkce (33). Inverzn´ı zobrazen´ı (34). V´ ypoˇcet inverzn´ı funkce (34). Graf inverzn´ı funkce (34). V´ yznaˇcn´e typy funkc´ı (34). Z´ akladn´ı element´arn´ı funkce (35). Konstantn´ı a mocninn´e funkce (35). Exponenci´ aln´ı funkce (35). Logaritmick´e funkce (36). Goniometrick´e funkce (36). Cyklometrick´e funkce (37). Vektorov´e funkce (37). Operace s vektorov´ ymi funkcemi (38). 11. Limita a spojitost (39). Definice limity posloupnosti (39). Jednoznaˇcnost limity posloupnosti (39). Kriteria konvergence posloupnosti (39). Algebra limit posloupnost´ı (39). Podposloupnost (39). Hromadn´ y bod mnoˇziny (40). Nevlastn´ı limity posloupnosti (40). Heineho definice limity funkce (40). Jednostrann´e limity funkce (41). Algebra limit funkc´ı (41). Vˇeta o tˇrech funkc´ıch (41). Nevlastn´ı limity funkce (41). Limita funkce v nekoneˇcnu (42). Algebra nevlastn´ıch limit a limit v nekoneˇcnu (42). Asymptoty (43). Spojitost funkce (44). Algebra spojit´ ych funkc´ı (45). Z´ akladn´ı vlastnosti spojit´ ych funkc´ı (45). Spojitost inverzn´ı funkce (45). Limita a spojitost sloˇzen´e funkce (45). Limita vektorov´e funkce (46). Spojitost vektorov´e funkce (46). 12. Derivace (47). Definice derivace (47). Nutn´ a podm´ınka derivovatelnosti (47). Geometrick´ a a fyzik´ aln´ı interpretace derivace (47). Jednostrann´e derivace (48). Nevlastn´ı derivace (48). Algebra derivac´ı funkc´ı (48). Derivace sloˇzen´e funkce (48). Derivace inverzn´ı funkce (48). Logaritmick´a derivace (49). Derivace element´ arn´ıch funkc´ı (49). Z´ akladn´ı vlastnosti derivovateln´ ych funkc´ı (49). Vyˇsˇs´ı derivace (50). V´ ypoˇcet limit pomocit´e v´ yrazy typu 0 · ∞ , c´ı derivac´ı (50). Neurˇcit´e v´ yrazy typu 00 , ∞ ∞ (50). Neurˇ 0 ∞ 0 ∞ − ∞ (51). Neurˇcit´e v´ yrazy typu 0 , 1 , ∞ (51). Kˇrivost kart´ezsk´eho grafu funkce (51). Parametrick´e rovnice kˇrivky v rovinˇe (52). Teˇcna a norm´ ala k rovinn´e kˇrivce dan´e parametricky (52). Pˇr´ıklady technick´ ych kˇrivek (53). Derivace vektorov´e funkce (53). 73
13. Taylorova vˇ eta a aplikace (54). Taylorova vˇeta s Lagrange’ov´ ym zbytkem (54). Maclaurin˚ uv rozvoj (54). Diferenci´ aly funkce (55). Algebra diferenci´ al˚ u funkc´ı (55). Lok´ aln´ı extr´emy funkc´ı (55). Postaˇcuj´ıc´ı podm´ınka pro existenci lok´ aln´ıho extr´emu (56). Test s druhou derivac´ı (56). Glob´ aln´ı extr´emy (56). Konk´avnost a konvexnost, inflexn´ı bod (57). Postaˇcuj´ıc´ı podm´ınka pro existenci inflexn´ıho bodu (57). Pr˚ ubˇeh funkce (57). ´ln´ı poc ˇet funkc´ı jedn´ e. integra e promˇ enn´ e (58). 14. Primitivn´ı funkce (58). Definice primitivn´ı funkce (58). Existence primitivn´ı funkce (58). Mnohoznaˇcnost primitivn´ı funkce (58). Stanoven´ı integraˇcn´ı konstanty (59). Integrov´ an´ı souˇctu, rozd´ılu a souˇcinu s konstantou (59). Z´ akladn´ı vzorce pro integrov´ an´ı (59). Substituˇcn´ı metoda integrov´ an´ı (60). Metoda per partes (60). Rekurentn´ı vzorce pro integrov´ an´ı (60). Integrov´ an´ı parci´ aln´ıch zlomk˚ u (61). Integrov´ an´ı racion´ aln´ıch funkc´ı (61). Neelement´arn´ı primitivn´ı funkce (62). 15. Riemann˚ uv integr´ al (62). Norm´aln´ı posloupnost dˇelen´ı intervalu (62). Definice Riemannova integr´alu (63). Nutn´ a podm´ınka R-integrovatelnosti (63). Vˇety o R-integrovatelnosti (63). R-integrovatelnost spojit´e funkce (63). Riemann˚ uv integr´ al ze souˇctu a souˇcinu funkc´ı (63). Aditivnost a ohraniˇcenost Riemannova integr´ alu (64). Stˇredn´ı hodnota funkce (64). Integraˇcn´ı meze (65). Vztah mezi Riemannov´ ym integr´ alem a derivac´ı funkce (65). Fundament´ aln´ı vˇeta integr´aln´ıho poˇctu (65). V´ ypoˇcet Riemannova integr´ alu metodou per partes (65). Substituˇcn´ı metoda v´ ypoˇctu Riemannova integr´ alu (66). Singul´ arn´ı body funkce (66). Definice nevlastn´ıho Riemannova integr´ alu v intervalu s jedn´ım singul´ arn´ım bodem (66). Definice nevlastn´ıho Riemannova integr´ alu v otevˇren´em intervalu (67). V´ ypoˇcet nevlastn´ıch integr´ al˚ u (67). Absolutn´ı konvergence nevlastn´ıho integr´ alu (67). Porovn´ avac´ı kriterium konvergence nevlastn´ıho integr´ alu (67). Limitn´ı kriterium konvergence nevlastn´ıho integr´ alu v intervalu a, ∞) (67). Limitn´ı kriterium konvergence nevlastn´ıho integr´ alu z neohraniˇcen´e funkce (68). 16. Aplikace Riemannova integr´ alu (68). Zobecnˇen´a ohraniˇcenost (68). Z´akladn´ı vˇeta o aplikaci Riemannova integr´ alu (69). Ploˇsn´ y obsah mnoˇziny mezi dvˇema kart´ezsk´ ymi grafy (69). Ploˇsn´ y obsah v´ yseˇce pod pol´ arn´ım grafem (70). Pr´ace (70). D´elka kart´ezsk´eho grafu funkce (70). D´elka kˇrivky zadan´e parametricky (70). D´elka rovinn´eho oblouku zadan´eho pol´ arnˇe (70). Objem rotaˇcn´ıho tˇelesa (71). Obsah rotaˇcn´ı plochy (71).
74