TIM MATEMATIKA DASAR I

MATEMATIKA DASAR I

DIKTAT KULIAH

DISUSUN OLEH TIM MATEMATIKA DASAR I

FAKULTAS SAIN DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS JAMBI 2013

KATA PENGANTAR Mata kuliah Matematika Dasar merupakan mata kuliah dasar yang diwajibkan bagi mahasiswa tahun pertama di perguruan tinggi khususnya di Fakultas Sain dan Teknologi Universitas Jambi. Mata kuliah Matematika Dasar ini pada dasarnya sama dengan mata kuliah Kalkulus yang biasanya dipakai pada umumnya. Matakuliah Matematika Dasar ini terdiri dari Matematika Dasar I, Matematika Dasar II, dan Matematika Dasar Lanjut. Matematika Dasar I umumnya mempelajari tentang turunan suatu fungsi yang akan menjadi dasar ataupun pengantar bagi perkuliahan matematika dasar II dan Matematika Dasar Lanjut. Diktat ini dibuat untuk digunakan dalam perkuliahan Matematika Dasar I. Dari segi konsep isi perkuliahan Matematika Dasar I sudah baku, tidak begitu banyak mengalami perubahan. Hanya saja perbaikan dan revisi dalam penyajian yang mungkin harus terus dipertimbangkan demi baiknya pembelajaran mata kulian ini. Salah satu yang menjadi tujuan dalam penyusunan diktat ini adalah untuk membantu mengefektifkan pembelajaran dan menambah referensi mahasiswa. Di samping dengan pertimbangan penyeragaman pengajaran di Fakultas Sain dan teknologi, maka kami berupaya menyusun suatu bahan ajar atau diktat yang berjudul “Matematika Dasar I” sebagai acuan di lingkungan Fakultas Sain dan Teknologi dengan harapan eksistensi mutu dan hasil belajar dapat dicapai secara optimal. Penulis mengharapkan saran dan kritik guna penyempurnaan baik dari segi isi maupun bahasa dalam bahan ajar ini. Besar harapan penulis bahwa bahan ajar ini bisa bermanfaat.

Jambi, September 2013

Tim Matematika Dasar I FST Universitas Jambi

i

DAFTAR ISI KATA PENGANTAR ________________________________________________________________________________ I DAFTAR ISI ________________________________________________________________________________________ II BAB 1 _______________________________________________________________________________________________ 1 PENDAHULUAN ___________________________________________________________________________________ 1 1.1 SISTEM BILANGAN REAL ______________________________________________________________ 1 1.2 PERTAKSAMAAN ______________________________________________________________________ 2 1.3 NILAI MUTLAK _______________________________________________________________________ 4 1.4 AKAR KUADRAT ______________________________________________________________________ 5 1.5 SISTEM KOORDINAT DAN GARIS LURUS ________________________________________________ 5 1.5.1 Sistem Koordinat _____________________________________________________________ 5 1.5.2 Persamaan Garis Lurus ______________________________________________________ 7 1.6 TEKNIK MENGGAMBAR GRAFIK SUATU PERSAMAAN GARIS _____________________________ 9 1.7 LATIHAN SOAL _____________________________________________________________________ 10 BAB 2 _____________________________________________________________________________________________ 13 FUNGSI DAN LIMIT _____________________________________________________________________________ 13 2.1 FUNGSI DAN GRAFIKNYA ____________________________________________________________ 13 2.1.1 Definisi Fungsi dan Grafiknya _____________________________________________ 13 2.1.2 Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil ___________________________________________ 15 2.1.3 Fungsi Nilai Mutlak dan Fungsi Bilangan Bulat Terbesar _______________ 16 2.1.4 Beberapa Jenis Fungsi Lainnya di dalam Kalkulus ______________________ 17 2.2 OPERASI FUNGSI ____________________________________________________________________ 18 2.2.1 Operasi Jumlah, Selisih, Hasil Kali, Hasil Bagi, Pangkat _________________ 18 2.2.2 Komposisi Fungsi __________________________________________________________ 19 2.2.3 Invers Fungsi _______________________________________________________________ 20 2.2.4 Translasi Fungsi ____________________________________________________________ 20 2.3 FUNGSI TRIGONOMETRI _____________________________________________________________ 21 2.3.1 Definisi Fungsi Trigonometri _____________________________________________ 21 2.3.2 Empat Fungsi Trigonometri Lainnya _____________________________________ 22 2.3.3 Kesamaan Trigonometri ___________________________________________________ 22 2.4 KONSEP LIMIT ______________________________________________________________________ 23 2.5 PENGKAJIAN MENDALAM TENTANG LIMIT ___________________________________________ 25 2.5.1 Definisi Limit _______________________________________________________________ 25

ii

2.5.2 Definisi Limit Limit Sepihak _______________________________________________ 25 2.6 TEOREMA LIMIT ____________________________________________________________________ 26 2.6.1 Teorema Limit Utama _____________________________________________________ 26 2.6.2 Teorema Penggantian _____________________________________________________ 27 2.6.3 Teorema Apit _______________________________________________________________ 27 2.6.4 Limit Trigonometri ________________________________________________________ 27 2.7 KEKONTINUAN FUNGSI ______________________________________________________________ 27 2.7.1 Kekontinuan di Satu Titik _________________________________________________ 27 2.7.2 Kekontinuan Sepihak ______________________________________________________ 28 2.7.3 Kekontinuan pada Interval ________________________________________________ 28 2.8 TEOREMA KEKONTINUAN FUNGSI ___________________________________________________ 29 2.8.1 Teorema A (Kekontinuan pada fungsi polynomial dan fungsi rasional)29 2.8.2 Teorema B (Kekontinuan pada fungsi nilai mutlak dan fungsi akar ke‐n)

29 2.8.3 Teorema C (Kekontinuan pada operasi fungsi) __________________________ 29 2.8.4 Teorema D (Kekontinuan pada limit komposisi) ________________________ 29 2.8.5 Teorema E ( Teorema Nilai Antara) ______________________________________ 29 2.9 LATIHAN SOAL _____________________________________________________________________ 30

BAB 3 _____________________________________________________________________________________________ 33 TURUNAN ________________________________________________________________________________________ 33 3.1 KONSEP DASAR TURUNAN __________________________________________________________ 33 3.1.1 Permasalahan Garis Singgung ____________________________________________ 33 3.1.2 Permasalahan Kecepatan Sesaat __________________________________________ 34 3.2 TURUNAN __________________________________________________________________________ 35 3.2.1 Definisi Turunan ___________________________________________________________ 35 3.2.2 Beberapa Bentuk Setara Turunan ________________________________________ 36 3.2.3 Keterdiferensialan dan Kekontinuan Fungsi ____________________________ 36 3.3 ATURAN TURUNAN _________________________________________________________________ 37 3.4 ATURAN TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI _________________________________________ 38 3.5 ATURAN RANTAI ___________________________________________________________________ 38 3.6 PENULISAN LEIBNIZ ________________________________________________________________ 39 3.7 TURUNAN TINGKAT TINGGI _________________________________________________________ 40 3.8 PENDIFERENSIALAN IMPLISIT _______________________________________________________ 41 3.9 LAJU YANG BERKAITAN _____________________________________________________________ 41 3.10 DIFERENSIAL DAN HAMPIRAN ____________________________________________________ 43 3.10.1 Turunan dan Diferensial __________________________________________________ 43

iii

3.10.2 Hampiran ___________________________________________________________________ 44 3.10.3 Penaksiran Galat (Error) __________________________________________________ 45 3.11 SOAL LATIHAN ___________________________________________________________________ 45 BAB 4 _____________________________________________________________________________________________ 48 APLIKASI TURUNAN ___________________________________________________________________________ 48 4.1 MAKSIMUM DAN MINIMUM _________________________________________________________ 48 4.2 KEMONOTONAN FUNGSI DAN TITIK EKSTRIM ________________________________________ 50 4.2.1 Kemonotonan Fungsi ______________________________________________________ 50 4.2.2 Titik Ekstrim _______________________________________________________________ 51 4.2.3 Uji Turunan untuk Kemonotonan dan Titik Ekstrim ____________________ 52 4.3 KECEKUNGAN FUNGSI DAN TITIK BELOK _____________________________________________ 54 4.3.1 Kecekungan Fungsi ________________________________________________________ 54 4.3.2 Titik Belok __________________________________________________________________ 54 4.3.3 Uji Turunan untuk Kecekungan dan Titik Belok _________________________ 54 4.4 BEBERAPA MASALAH MAKSIMUM DAN MINIMUM ____________________________________ 55 4.5 LIMIT DI TAK HINGGA DAN LIMIT TAK HINGGA ______________________________________ 56 4.5.1 Limit Tak Hingga ___________________________________________________________ 56 4.5.2 Limit di Tak Hingga ________________________________________________________ 57 4.5.3 Limit Tak Hingga di Tak Hingga __________________________________________ 57 4.6 MENGGAMBAR GRAFIK CANGGIH ____________________________________________________ 58 4.6.1 Asimtot ______________________________________________________________________ 58 4.7 TEOREMA NILAI RATA‐RATA _______________________________________________________ 61 4.8 LATIHAN SOAL _____________________________________________________________________ 62 DAFTAR PUSTAKA _____________________________________________________________________________ 65

iv

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1

Sistem Bilangan Real Kalkulus sangat bergantung pada sistem bilangan real dan sifat‐sifat yang

terkandung di dalamnya. Untuk memahami sistem bilangan real, kita akan memulai dengan beberapa sistem bilangan yang sederhana. Himpunan bilangan asli,

1,2,3,4,5, . . . . Di dalam himpunan bilangan asli

terdapat himpunan bilangan genap 2 |

dan himpunan bilangan ganjil 2

1|

. Selain itu terdapat pula himpunan bilangan prima dan komposit. Gabungan antara himpunan bilangan asli, nol, dan himpunan negatif bilangan asli disebut sebagai himpunan bilangan bulat, dengan

. . . , 3, 2, 1,0,1,2,3, . . . . Himpunan bilangan rasional didefinisikan

| ,

,

0 . Karena 1

bisa dituliskan dalam bentuk dengan ,

0

, maka ,

. Bilangan yang tidak

dikategorikan dalam himpunan bilangan

irasional. Gabungan himpunan bilangan rasional dan bilangan irasional disebut sebagai himpunan bilangan real, . Contoh 1.1: 1.

, √2, dan π adalah bilangan irasional, sedangkan , √2, π

.

2. Buktikan bahwa jika k genap, maka k genap. Bukti: Kontraposisi dari pernyataan tersebut adalah jika bukan merupakan bilangan bukan bilangan genap. Hal ini sama artinya dengan mengatakan

genap, maka

bahwa jika ganjil, maka Misalkan

2

ganjil. Kita akan membuktikan kontraposisinya.

1, maka 2

1

4

4

1

Terlihat bahwa jika bilangan ganjil, maka demikian terbukti bahwa jika

2 2

2

1.

adalah bilangan ganjil. Dengan

genap, maka genap.

Matematika Dasar I/FST/UNJA/2013

Contoh 1.2: Sistem bilangan real bisa diperluas menjadi sistem bilangan kompleks, yaitu bilangan yang berbentuk a

1.2

bi, dengan a, b

, dan i

√ 1.

Pertaksamaan Menyelesaikan suatu persamaan seperti 2

7

15 atau 2

3

5

0 adalah

suatu hal yang mudah. Namun, dalam kalkulus kita akan lebih sering menemui permasalah menyelesaikan suatu pertaksamaan. Berikut ini akan dibahas mengenai beberapa hal yang terkait dengan penyelesaian suatu pertaksamaan. Perhatikan suatu pertaksamaan menjadi dua, yaitu

dan

. Pertaksamaan tersebut dapat dibagi

yang keduanya menyatakan suatu selang buka yang

memuat semua bilangan antara dan namun tidak memuat dan . Dalam hal ini, selang buka

dinotasikan sebagai

,

. Berbeda dengan

,

pertaksamaan ini menyatakan suatu selang tutup yang memuat semua bilangan dari dan . Pertaksamaan ini dinotasikan dengan ,

dan

. Terdapat pula selang setengah buka

yang masing‐masing dinotasikan oleh ,

dan

,

. Notasi

selang lainnya dapat dilihat pada Tabel 1. Tabel 1. Notasi selang

Bab 1 Pendahuluan | 2


Menyelesaikan suatu Pertaksamaan Sebagaimana menyelesaikan masalah persamaan, prosedur penyelesaian suatu pertidaksamaan juga memuat suatu transformasi sehingga diperoleh suatu himpunan penyelesaian. Kita bisa mengenakan suatu operasi yang tidak mempengaruhi solusinya, antara lain: 1. Menambahkan suatu bilangan yang sama pada kedua sisi pertaksamaan. 2. Mengalikan kedua sisi pertaksamaan dengan bilangan positif yang sama. 3. Mengalikan kedua sisi pertaksamaan dengan bilangan negatif yang sama, tetapi kita harus membalik arahnya. Contoh 1.3: 1. Selesaikan pertaksamaan 5

2

6

8 dan tunjukkan grafik himpunan

penyelesaiannya. Solusi 5

2

5

6

6

8 10 (menambahkan 2)

10 (menambahkan ‐6x) 10 (mengalikan ‐1)

Himpunan penyelesaian,

∞, 10 dengan grafik yang ditunjukkan pada Gambar

1.1 a. 2. Selesaikan pertaksamaan 2

6

8

1 dan tunjukkan grafik himpunan

penyelesaiannya. Solusi 2 10

6 6

8

1 7 (menambahkan ‐8) (mengalikan ) H

Himpunan penyelesaian,

,

dengan grafik yang ditunjukkan pada Gambar

1.1b.

Gambar 1.1 Notasi selang sebagai himpunan penyelesaian



1.3

Nilai Mutlak Konsep nilai mutlak sangatlah berguna dalam kalkulus. Nilai mutlak dari suatu

bilangan , dinotasikan dengan | |, dan didefinisikan sebagai berikut

| |

0; 0.

Berikut adalah sifatsifat nilai mutlak: 1. |

|

| || |

2. | |

| || |

3. |

|

| |

| | Ketaksamaan segitiga

4. |

|

|| |

| ||

5. | | dan | | √ 6. | || | 7. | |

|

|

| |

Sifatsifat pertaksamaan yang memuat nilai mutlak: 1. | |

2. | |

atau

Sifat‐sifat ini berlaku juga untuk tanda pertaksamaan lebih kecil dari atau sama dengan ( ) dan lebih besar dari atau sama dengan ( ). Contoh 1.4: 1. Tentukan himpunan penyelesaian dari |3

7|

8

Solusi |3

7|

8

8

1

3

15

1 3

5

3

Himpunan penyelesaian

7

8

, 5 .

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari |8x|

5

2.

Solusi 8

5

2 Bab 1 Pendahuluan | 4


8

5

2

13

2

2 13

atau 8

5

3

2

2

2 3 Himpunan penyelesaian:

1.4

∞,

,∞

Akar Kuadrat Solusi dari persamaan kuadrat

0 diberikan oleh: √ 2

dengan

4

4

disebut sebagai diskriminan dari persamaan kuadrat. Suatu 0 memiliki dua solusi real jika

persamaan

dan tidak memiliki solusi real jika

0, satu solusi real jika

0,

0. Dengan formula kuadrat itu, kita bisa

menentukan solusi persamaan kuadrat dengan mudah tanpa harus memfaktorkan atau melengkapkan kuadrat sempurna. Contoh 1.5: 5

Dua buah solusi dari 5

√25 2

16

5

√41 2

5

√25 2

16

5

√41 2

4

0 adalah

dan

1.5

Sistem Koordinat dan Garis Lurus

1.5.1 Sistem Koordinat Pada suatu bidang datar, kita bisa membuat dua buah garis, yaitu garis horizontal dan garis vertikal yang berpotongan saling tegak lurus. Titik potong dari kedua garis tersebut dinamakan titik asal dan diberi label . Garis horizontal disebut sumbu‐ ,



sedangkan garis vertikal disebut sumbu‐ . Bagian positif dari sumbu‐ berada di sebelah kanan titik asal, sedangkan bagian positif dari sumbu‐ berada di sebelah atas titik asal. Sumbu koordinat tersebut membagi bidang datar menjadi empat daerah yang disebut kuadran, yaitu kuadaran , ,

, dan

. Lihat Gambar 1.2.

Gambar 1.2 Koordinat kartesius

Rumus Jarak Pada koordinat kartesius, misalkan titik

,

dan adalah jarak dari titik asal

ke titik . Panjang adalah atau . Persamaan di atas sering kita sebut sebagai rumus Phytagoras. Misalkan pada suatu bidang koordinat terdapat dua titik,

,

dan

,

.

Jarak antara titik dan adalah ,

Persamaan di atas disebut rumus jarak antara dua titik.



Lingkaran adalah himpunan titik yang berada pada suatu jarak yang tetap terhadap suatu titik pusat. Jarak tetap tersebut dinamakan jari‐jari(radius). Suatu lingkaran dengan jari‐jari dan titik pusat ,

dapat dituliskan dalam sebuah persamaan lingkaran

Contoh 1.6: Tunjukkan bahwa

2

6

6 merupakan suatu lingkaran. Tentukan

pula titik pusat dan jari‐jarinya. Solusi Dengan melengkapkan kuadrat sempurna, kita peroleh 2

Dengan demikian, lingkaran

6

3

1

4.

6 berpusat di titik 1, 3

dengan radius 2.

Rumus Titik Tengah Titik tengah dari suatu garis yang menghubungkan ,

2

,

dan

,

adalah

2

1.5.2 Persamaan Garis Lurus Perhatikan Gambar 1.3. Dari titik (perubahan arah vertikal) sebesar . Kita katakan garis

,

ke titik

,

, terdapat rise

dan run (perubahan arah horizontal) sebesar

memiliki kemiringan sebesar

dengan syarat

.

Kemiringan ini disebut gradien dan dinotasikan dengan yaitu Lebih jauh, persamaan garis antara dua titik

,

dan

,

adalah



Gambar 1.3 Kemiringan garis Apabila kita telah memperoleh titik potong suatu garis terhadap sumbu‐ pada titik 0,

, persamaan garis dapat pula dituliskan sebagai 0 atau

Misalkan adalah suatu konstanta. Persamaan garis yang sejajar dengan sumbu‐ dan memotong titik di sumbu‐y adalah

dan memiliki kemiringan

.

Persamaan garis yang sejajar dengan sumbu‐ dan memotong titik di sumbu‐ adalah dengan kemiringan yang tak terdefinisi. Persamaan garis dapat pula berbentuk

0 dengan dan keduanya

tidak bernilai 0. Misalkan dan adalah dua buah garis dengan kemiringan masing‐ masing

dan

. Apabila dan sejajar, maka keduanya memiliki kemiringan yang . Apabila tegak lurus terhadap , maka berlaku

sama, yaitu

·

.

Contoh 1.7: Dapatkan persamaan garis yang melalui titik potong dari dua buah garis 3

4

8 dan 6

10

7 yang tegak lurus terhadap garis 6

10

7.

Solusi Dengan menggunakan teknik eliminasi dan substitusi, titik potong dari 3 dan 6

10

7 adalah 2,

. Kemiringan garis 6

10

Karena persamaan garis yang kita cari tegak lurus terhadap 6 kemiringannya adalah

7 adalah 10

4

8 .

7, maka

.



Dengan demikian, persamaan garis tersebut memenuhi:

1 2

5 3

6

2 23 6

10

10

1.6

5 3

6

23 23

0

Teknik Menggambar Grafik suatu Persamaan Garis Untuk menggambar suatu persamaan garis dengan menggunakan tangan, ikuti

langkah‐langkah berikut: 1.

Dapatkan koordinat dari beberapa titik yang memenuhi persamaan garis yang diberikan;

2.

Plot titik‐titik tersebut dalam suatu bidang;

3.

Hubungkan titik‐titik tersebut dengan kurva yang halus.

Contoh 1.8: Gambarkan kurva dari

3.

Solusi Ketiga langkah di atas ditunjukkan pada Gambar 1.4.

Gambar 1.4. Plot Grafik



Sifat Simetri pada Suatu Grafik Perhatikan sebarang grafik dengan ,

adalah koordinat yang terdapat pada

grafik tersebut. 1.

Suatu grafik simetri terhadap sumbu‐ jika disubstitusikan oleh akan diperoleh persamaan garis yang sama. Contoh,

2. 3.

.

Suatu grafik simetri terhadap sumbu‐ jika disubstitusikan oleh akan diperoleh persamaan garis yang sama. Contoh,

, maka

.

Suatu grafik simetri terhadap titik asal jika disubstitusikan oleh disubstitusikan oleh

, maka

dan

, maka akan diperoleh persamaan garis yang sama.

.

Contoh, Contoh 1.9: Periksa, apakah

3

7 simetri terhadap titik asal, sumbu‐ , atau sumbu‐ .

Solusi Dengan mensubstitusikan peroleh bahwa

3

ke dan

ke pada persamaan

3

7, kita

7 tidak simetri terhadap titik asal, sumbu‐ , maupun

sumbu‐ .

1.7

Latihan Soal

A. Sistem Bilangan Real 1. Tuliskan dalam bentuk yang paling sederhana: a

32

4 7

12 ;

b c

2

;

d

√5

√3 √5

e

√5

√3 ;

f

2x

4 x

g

3t

h i j

;

t

√3 ;

1 ; 1 ;

; ; Bab 1 Pendahuluan | 10


2. Periksa apakah pernyataan berikut ini benar. "Untuk setiap x, x

x

1."

3. Buktikan pernyataan berikut: Jika n ganjil, maka n ganjil. (Buktikan dengan kontraposisi)

B. Pertaksamaan dan Nilai Mutlak 1. Dapatkan solusi dari pertaksamaan berikut dalam notasi selang. a) 7x b)

2

3

9x

4x

3;

9

11;

0;

c) d) 2x

3 x

1

x

3

0

2. Manakah pernyataan berikut yang benar jika a a

ab;

a

a b;

b a c

b.

a

3

b

d –a

3;

b

3. Selesaikan pertaksamaan berikut a

|x

1|

b |2x c

2|

3|;

1|\geq |x

2|2x

3|

d |3x

1|;

|

1|

10|;

2|

6|

4. Gunakan sifat‐sifat nilai mutlak untuk menunjukkan bahwa setiap pernyataan berikut ini benar. |a

b|

|a|

|b|;

b) |a

b|

|a|

|b|;

c) |a

b

c|

a

|a|

|b|

|c|

5. Tunjukkan bahwa |x|

2

2x

x x

7 1

C. Akar Kuadrat dan Sistem Koordinat 1. Hitunglah jarak dari a

3,1 , 1,1 ;

b

4,5 , 5, 8 ;

c

3,5 , 2, 2 ;

d

1,5 , 6,3



2. Hitunglah jarak antara

2,3 dengan titik tengah suatu garis yang menghubungkan

2, 2 dan 4,3 . 3. Dapatkan titik pusat dari jari‐jari lingkaran dari: a

x

2x

10

16x

b 4x

15

y

6y 4y

10

0;

6y

0

4. Tuliskan persamaan garis yang melalui 3, 3 yang a

3x

6;

b tegak lurus terhadap garis 4y

2x

c

sejajar terhadap garis y

tegak lurus terhadap garis yang menghubungkan

d sejajar terhadap garis x e

1,2 dan 3,‐1 ;

8;

tegak lurus terhadap garis x

5. Dapatkan nilai c pada garis 3x a

5;

8 cy

5 yang

melalui titik 3,1 ;

b sejajar terhadap sumbu‐y; c

sejajar terhadap garis 2x

y

1;

d memiliki titik potong yang sama pada sumbu‐x dan sumbu‐y; e

tegak lurus terhadap garis y

2

3 x

6. Dapatkan nilai k sedemikian sehingga kx a

sejajar terhadap garis y

b tegak lurus terhadap y

2x 2x

3 3y

10

4; 4

D. Menggambar Grafik 1. Plot grafik dari setiap persamaan berikut. Mulailah dengan memeriksa sifat‐sifat simetrinya a

y

b y c

x

d x e

2x

x

1 2x

x y

4

9 y 4x

2

36

3y

12y

2


BAB 2 FUNGSI DAN LIMIT

2.1

Fungsi dan Grafiknya Subbab 2.1 menjelaskan beberapa hal berkenaan dengan fungsi, antara lain: definisi

fungsi dan grafiknya, serta beberapa jenis fungsi yang umum digunakan dalam kalkulus.

2.1.1 Definisi Fungsi dan Grafiknya Sebuah fungsi f didefinisikan sebagai suatu aturan padanan yang menghubungkan tiap obyek x dalam suatu himpunan, yang disebut daerah asal, dengan sebuah nilai unik f(x) dari himpunan kedua yang disebut daerah nilai. Contoh 2.1:

‐2

Tabel 2.1 Nilai Fungsi

‐1

0

0

1

1

2

x

2

‐2

4

‐1

1

0

0

1

1

2

4

Gambar 2.1 Deskripsi Fungsi Dari gambar 2.1 dan tabel 2.1 dapat dilihat bahwa fungsi

memadankan

setiap elemen x di A dengan suatu elemen y di B. Sebagai contoh, fungsi

memadankan elemen x = ‐2 di A dengan elemen y = 4 di B; elemen x = ‐1 di A dengan elemen y = 1 di B; dst.


Daerah Asal (Daerah Definisi/ Wilayah/ Domain) Daerah asal adalah himpunan semua bilangan Riil yang menyebabkan aturan fungsi berlaku/ terdefinisi. Pada contoh 2.1, daerah asal dari f(x), yang dinotasikan dengan

adalah himpunan bilangan {‐2,‐1,0,1,2}. Jika himpunan daerah asal tidak dirinci, maka kita akan selalu menganggap bahwa himpunan daerah asalnya adalah himpunan semua bilangan Riil sedemikian sehingga aturan fungsi memberikan makna/ terdefinisi. Ini disebut daerah asal alamiah. Pada contoh 2.1, daerah asal alamiahnya adalah {R}.

Daerah Hasil (Daerah Nilai/ Jelajah/ Range) Daerah hasil adalah himpunan nilai‐nilai yang diperoleh yang merupakan padanan semua elemen dari daerah asal. Pada contoh 2.1 untuk daerah asal {‐2,‐1,0,1,2}, maka daerah nilai (

) adalah himpunan bilangan {0,1,4}.

Contoh 2.2: Tentukan daerah asal alamiah, daerah hasil dan gambarkan grafik dari fungsi a

√9

b Solusi a) Fungsi

√9

tercapai bila | |

akan terdefinisi bila nilai 9

0 . Hal ini akan

3, sehingga daerah asal alamiahnya adalah [‐3,3]. Grafik

fungsi ditunjukkan oleh gambar berikut. Dari grafik dapat diketahui bahwa daerah nilai adalah pada selang [0,3].

Bab 2 Fungsi dan Limit| 14


akan terdefinisi bila nilai

b) Fungsi

1

0, artinya

demikian daerah asal alamiahnya adalah (‐∞,1)

1. Dengan

(1,∞). Grafik fungsi

ditunjukkan oleh gambar berikut. Dari grafik dapat diketahui bahwa daerah nilai adalah pada selang

∞, ∞ .

2.1.2 Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil Fungsi genap dan fungsi ganjil didefinisikan sebagai berikut: 1. Fungsi f dikatakan fungsi genap bila memenuhi f ‐a f a . Grafik fungsi genap simetri terhadap sumbu y. 2. Fungsi f dikatakan fungsi ganjil bila memenuhi f ‐a ‐f a . Grafik fungsi ganjil simetri terhadap titik asal koordinat.

y = f(x) f(‐a) ‐a

f(a) a

(a)Fungsi Genap

y = f(x)

f(a) a

‐a f(‐a)

(b)Fungsi Ganjil

Gambar 2.2 Grafik fungsi genap dan fungsi ganjil



Contoh 2.3: Tentukan apakah fungsi berikut termasuk fungsi genap, ganjil atau bukan keduanya: a

2;

b

;

c

2

1 !

Solusi 2 (fungsi genap)

a) Bukti:

2 2 (fungsi ganjil)

b) Bukti:

2 x 2

x x

2

c)

1 (bukan keduanya)

Bukti: 2 2x

x

1

1

2.1.3 Fungsi Nilai Mutlak dan Fungsi Bilangan Bulat Terbesar Fungsi Nilai Mutlak dan Fungsi Bilangan Bulat Terbesar didefinisikan sebagai berikut: 1. Fungsi Nilai Mutlak didefinisikan sebagai: | |

0 0 Bab 2 Fungsi dan Limit| 16


2. Fungsi Bilangan Bulat Terbesar

adalah bilangan bulat terbesar yang lebih

kecil atau sama dengan x. Contoh 2.4: Fungsi nilai mutlak dan fungsi bilangan bulat terbesar, termasuk ke dalam fungsi genap, ganjil, atau bukan keduanya? Gambarkan grafiknya! Solusi •

Fungsi nilai mutlak adalah fungsi genap

•

Fungsi bilangan bulat terbesar adalah bukan merupakan fungsi genap atau ganjil

2.1.4 Beberapa Jenis Fungsi Lainnya di dalam Kalkulus Beberapa jenis fungsi lainnya yang dikenal di dalam kalkulus antara lain: 1. Fungsi Konstanta 2. Fungsi Identitas 3. Fungsi Polinom 4. Fungsi Linear (fungsi derajat satu)



5. Fungsi Kuadat (fungsi derajat dua) 6. Fungsi Rasional 7. Fungsi Aljabar Eksplisit 8. Fungsi Trigonometri 9. Fungsi Balikan Trigonometri 10. Fungsi Eksponen 11. Fungsi Logaritma

2.2

Operasi Fungsi Beberapa operasi fungsi yang dibahas pada subbab ini antara lain: operasi

aritmatika fungsi (Jumlah, Selisih, Hasil Kali, Hasil Bagi, Pangkat), komposisi fungsi, invers fungsi, dan translasi fungsi.

2.2.1 Operasi Jumlah, Selisih, Hasil Kali, Hasil Bagi, Pangkat Misalkan f(x) dan g(x) adalah fungsi‐fungsi real dengan daerah asal Df dan Dg , maka berlaku aturan operasi fungsi seperti pada Tabel 2.2 Tabel 2.2 Operasi aritmatika fungsi Rumus Operasi Fungsi

.

.

Daerah Asal

|

0

Contoh 2.5: Andaikan

√

1 dan √9

, dengan daerah asal alamiah Df

‐1,∞ dan

Dg ‐3,3 . Cari rumus f g, f‐g, f.g, f/g, f5, dan tentukan daerah asal almiahnya!



Solusi

2.2.2 Komposisi Fungsi Andaikan

dan

√3 , maka dapat dibentuk suatu fungsi baru dari

kedua fungsi tersebut yang dinamakan fungsi komposisi, yaitu: 2√3 3

3 6

3

9

6 9

Perhatikan kedua fungsi komposis di atas. Terlihat bahwa susunan komposisi fungsi tidak komutatif karena

.

Contoh 2.6: Tentukan daerah asal untuk kedua fungsi komposisi di atas! Solusi √

a)

akan terdefinisi jika

3

daerah asal alamiahnya adalah 0:

0 dan √3 :

0. Dengan demikian

3

:

0 , yaitu

3 . Dalam bentuk selang, daerah asal alamiah adalah [0,3) (3,∞).

b)

3 9

1) atau 2)

akan terdefinisi jika:

0 Æ daerah asal alamiah = ∞, 3

3,3

3

3, ∞

0

o Pada selang

∞, 3 ,

nilai negatif, sehingga

:| |

0 karena

menghasilkan

tidak terdefinisi pada selang

∞, 3



o Selang

3,3 dipecah menjadi

Pada selang

0,3 .

0 karena

3,0 ,

positif, sehingga

3,0

menghasilkan nilai

terdefinisi pada selang

Pada selang 0,3 , negatif, sehingga

0 karena

,

.

menghasilkan nilai

tidak terdefinisi pada selang 0,3

o Pada selang 3, ∞ , positif, sehingga

0 karena

menghasilkan nilai

terdefinisi pada selang 3, ∞ , .

Dengan demikian selang

,

mempunyai daerah asal alamiah pada

, ∞ , atau

0

3

2.2.3 Invers Fungsi Jika f(x) adalah sebuah fungsi, maka f‐1(x) adalah fungsi invers dari f(x) yang .

memenuhi: Contoh 2.7: Jika

, buktikan bahwa

!

Solusi

(subsitusikan x =

pada

)

(kurangkan ruas kanan dan ruas kiri dengan b)

2.2.4 Translasi Fungsi Misalkan sebuah fungsi awal f(x) ditranslasi menjadi f(x+h). Jika h>0, maka grafik fungsi akan bergeser ke kiri sebesar h satuan. Sebaliknya jika h<0, maka grafik fungsi akan bergeser ke kanan sebesar h satuan. Misalkan sebuah fungsi awal f(x) ditranslasi menjadi f(x)+k. Jika k>0, maka grafik fungsi akan bergeser ke atas sebesar h satuan.Sebaliknya jika k<0, maka grafik fungsi akan bergeser ke bawah sebesar k satuan.



Contoh 2.8: Jika f x |x|, sketsa grafik f x 3 , f x‐3 ,f x

2,f x ‐2, dan f x‐3

2 !

Solusi

2.3

Fungsi Trigonometri Subbab 2.3 membahas tentang fungsi trigonometri dan beberapa kesamaan fungsi

trigonometri.

2.3.1 Definisi Fungsi Trigonometri Andaikan lingkaran C pada gambar 2.3 adalah lingkaran satuan, yaitu lingkaran dengan jari‐jari, r = 1 dan berpusat di titik asal. t‐positif adalah sudut yang dihitung berdasarkan arah yang berlawanan dengan jarum jam dengan satuan radian (2π rad = 360° . Andaikan posisi titik P memiliki sudut t, maka: sin

cos



P(x,y) r = 1

y

t A(1,0)

x

Gambar 2.3 Ilustrasi fungsi trigonometri (Ingat kembali nilai‐nilai sudut istimewa pada fungsi trigonometri !)

2.3.2 Empat Fungsi Trigonometri Lainnya tan

sin cot cos

cos sin

sec

1 csc cos

1 sin

2.3.3 Kesamaan Trigonometri Kesamaan ganjil‐genap

Kesamaan fungsi ko

sin

sin

cos

cos

sin

tan

cot

1

cos

sin cos

tan

tan

Kesamaan Pythagoras sin

cos

1 1

cot

csc

tan

sec

Kesamaan Penambahan sin x

y

sin x cos y

cos x sin y

cos x

y

cos x cos y

sin x sin y

tan x

y



Kesamaan Sudut Ganda sin 2x

2 sin x cos x

cos 2x

cos x

sin x

2 cos x

1

1

2 sin x

Kesamaan Jumlah

sin x

sin x

sin y

2 sin

cos

cos x

cos y

2 cos

cos

Kesamaan Setengah Sudut cos x

Kesamaan Hasil Kali sin x sin y cos x cos y sin x cos y

2.4

1 cos x 2 1 cos x y 2 1 sin x y 2

y

cos x cos x sin x

y y y

Konsep Limit Misalkan I = (a,b) adalah suatu interval terbuka di R dan c R sehingga limit fungsi

f di titik c mempunyai arti bahwa fungsi f(x) terdefinisi di semua titik pada I/{c} dan di c boleh terdefinisi dan boleh juga tidak. Konsep limit digunakan untuk menentukan nilai f(x) pada x mendekati c, tetapi bukan di c. Jika dikatakan

, berarti bahwa bila x mendekati c tetapi bukan

di c, maka f(x) dekat ke L.

Limit Kanan lim

berarti bahwa bila x dekat tetapi pada sebelah kanan c, maka f(x)

adalah dekat ke L.

Limit Kiri lim

berarti bahwa bila x dekat tetapi pada sebelah kiri c, maka f(x)

adalah dekat ke L.



Teorema Limit fungsi mendekati suatu titik dikatakan ada jika nilai limit kiri sama dengan nilai limit kanan, yaitu: jika lim

lim

dan lim

Contoh 2.9: Pada keempat grafik berikut, andaikan f x terdefinisi di semua titik pada interval I, kecuali mungkin di c. Tentukan apakah f x terdefinisi pada x c? Tentukan pula limit f x bila x mendekati c! (a)

(b) f(x)

f(x)

L

L

a

c

a

b

(c)

c

b

(d) f(x)

f(x)

L M

L M

a

c

b

a

c

b

Solusi a) f(c) = L, limit x mendekati c = L b) f(c) = tidak terdefinisi, limit x mendekati c = L c) f(c) = L, limit kiri x mendekati c = M, limit kanan x mendekati c=L d) f(c) = M, limit kiri x mendekati c = M, limit kanan x mendekati c=L



2.5

Pengkajian Mendalam tentang Limit

2.5.1 Definisi Limit berarti bahwa untuk tiap

lim kecilnya), terdapat bahwa 0

|

0 yang diberikan (betapapun |

0 yang berpadanan sedemikian sehingga |

|

asalkan

; yakni: |

0

|

|

|

Contoh 2.10:

4

5

Andaikan untuk sembarang bil positif kecil , | 4

5

Dengan menggunakan definisi limit, buktikan bahwa lim

7!

Solusi

|

3|

bila

.

Padahal | 4

5

7|

Karena diketahui | memilih

7|

3| , dan diinginkan | 4

4|

3|

, maka | 4

5

7|

5

7|

.

4 , sehingga kita dapat

Bukti Diberikan sembarang

| 4 Karena | 4

5

. Sehingga bila |

0, pilih

7|

5

bila |

7|

4|

3|

3|

3|

4

, maka

, jadi terbukti:

lim 4

5

7

2.5.2 Definisi Limit Limit Sepihak lim

berarti bahwa untuk tiap

0, terdapat

0 yang berpadanan

sedemikian sehingga: 0 lim

|

berarti bahwa untuk tiap

|

0, terdapat

0 yang berpadanan

sedemikian sehingga: 0

|

|



2.6

Teorema Limit

2.6.1 Teorema Limit Utama Andaikan n bilangan bulat positif, k konstanta, dan f dan g adalah fungsi‐fungsi yang mempunyai limit di c. Maka: 1. lim

2. lim

3. lim

lim

4. lim

lim

lim

5. lim

lim

lim

.

6. lim

lim lim

7. lim

,

lim

8. lim

. lim

lim

lim

9. lim

lim

0

lim

0

Contoh 2.11: 3

Dengan menggunakan teorema limit utama , tentukan lim

2 !

Solusi



2.6.2 Teorema Penggantian Jika f suatu fungsi polinom atau fungsi rasional, maka:

lim

asalkan dalam kasus rasional nilai penyebutnya tidak nol di c.

2.6.3 Teorema Apit Andaikan f, g, dan h adalah fungsi‐fungsi yang memenuhi semua x dekat c, kecuali mungkin di c. Jika lim

untuk lim

maka

L.

lim

2.6.4 Limit Trigonometri 1. lim sin

2. lim

3. lim

sin

sin

tan

lim cos x

1

lim

1

lim

sin

2.7

1

1

tan 0

Catatan:Bila lim

cos

lim

1

Kekontinuan Fungsi

2.7.1 Kekontinuan di Satu Titik Misalkan f(x) terdefinisi pada interval terbuka I dan . Fungsi f disebut kontinu di titik c bila: lim

lim

lim

Ini berarti bahwa f kontinu di c bila memenuhi 3 syarat, yaitu: 1) f(c) ada atau terdefinisi 2) lim

ada

3) f c

lim



Contoh 2.12: Perhatikan keempat grafik pada contoh 2.9. Pada grafik yang manakah kurva f x kontinu di c? berikan alasan! Solusi •

Grafik a kontinu

•

Grafik b diskontinu karena f(c) tidak terdefinisi,

•

Grafik c tidak kotinu karena lim

tidak ada (limit kiri≠limit kanan)

•

Grafik d tidak kotinu karena lim

tidak ada (limit kiri≠limit kanan)

2.7.2 Kekontinuan Sepihak Fungsi f disebut kontinu kiri di x=c bila

lim

Fungsi f disebut kontinu kanan di x=c bila

lim

Contoh 2.12: Pada keempat grafik contoh 2.9, kurva manakah yang menunjukkan fungsi f kontinu sepihak? Solusi Grafik c dan d kontinu sepihak Grafik c kontinu kanan di x=c karena Grafik d kontinu kiri di x=c karena

lim lim

2.7.3 Kekontinuan pada Interval 1. Fungsi f disebut kontinu pada interval terbuka (a,b) bila f kontinu di setiap titik pada (a,b). 2. Fungsi f disebut kontinu pada interval tetutup [a,b] bila f kontinu di setiap titik pada (a,b) dan kontinu kanan di a dan kontinu kiri di b.



2.8

Teorema Kekontinuan Fungsi

2.8.1 Teorema A (Kekontinuan pada fungsi polynomial dan fungsi rasional) 1. Suatu polinom P(c) kontinu pada setiap bilangan riil c. ,

2. Suatu fungsi rasional

kontinu pada setiap

bilangan riil c dalam daerah asalnya, kecuali pada bilangan riil c dimana penyebutnya (polinom Q(c)) menjadi 0.

2.8.2 Teorema B (Kekontinuan pada fungsi nilai mutlak dan fungsi akar ken) 1. Fungsi nilai mutlak f(c)=|c| kontinu pada setiap bilangan riil c. 2. Jika n bilangan ganjil, fungsi akar ke n, f(c)= √ , kontinu di setiap bilangan riil c. 3. Jika n bilangan ganjil, fungsi akar ke n, f(c)= √ , kontinu di setiap bilangan riil c positif.

2.8.3 Teorema C (Kekontinuan pada operasi fungsi) Jika f dan g kontinu di c, dan k R, maka: ;

;

; . ;

;

;

0

adalah kontinu di c.

2.8.4 Teorema D (Kekontinuan pada limit komposisi) Jika lim

dan jika f kontinu di L, maka : lim

lim

Dengan kata lain, jika g kontinu pada c dan f kontinu pada g(c), maka

kontinu pada c.

2.8.5 Teorema E ( Teorema Nilai Antara) Jika f kontinu pada [a,b] dan jikanW sebuah bilangan antara f(a) dan f(b), maka terdapat paling tidak sebuah bilangan c di antara a dan b sedemikian sehingga f(c) = W.



Contoh 2.13: Tentukan kekontinuan fungsi berikut: a)

pada x=2;

b)

12

2

2

pada t=2;

Solusi a) g(x) tidak kontinu karena g(2) tidak terdefinisi. b) h(2) = 12 lim

lim h(2) = lim

2.9

lim

lim

2

4 = 12

= 12 Æ h(x) kontinu di x=2

Latihan Soal

A. Fungsi dan Grafik 1. Mana dari yang berikut menentukan suatu fungsi f dengan rumus y f x ? a

4

b

3

c

3

4 1

d 3

2. Cari daerah asal alamiah untuk masing‐masing fungsi berikut: a

√2

3

b

c

4

3. Nyatakan apakah fungsi berikut merupakan fungsi genap, ganjil, atau bukan keduanya! a

4

b

3

c

2

1



B. Operasi fungsi 2 dan

1. Jika

2/

1 , cari rumus untuk masing‐masing berikut

dan nyatakan daerah asalnya! a b)

/

c)

d)

2. Setelah berkecimpung dalam bisnis selama x tahun, seorang pengusaha traktor membuat 100

2x buah tiap tahun. Harga penjualan dalam ribuan rupiah

x

tiap buahnya telah meningkat sesuai dengan rumus P

500

6x. Tuliskan rumus

untuk pendapatan tahunan pengusaha tersebut R x setelah x tahun.

C. Fungsi Trigonometri 1. Hitung tanpa memakai kalkulator: a

tan

b sec

2. Periksa kebenaran kesamaan berikut: a

1

b

sec

c

sec

sin

1

sin

1 sec

1

sin tan

tan

cos

D. Kajian Mendalam tentang Limit 1. Berikan suatu bukti ε , δ dari tiap fakta limit berikut: a

lim

2

b lim

4

8

E. Teorema Limit 1. Dengan menggunakan teorema limit, tentukan: a

lim

b lim

4

3 7

2



F. Kekontinuan Fungsi 1. Tentukan kekontinuan fungsi berikut:

a

3, 1,

b

2 2

2. Fungsi berikut tidak terdefinisi di suatu titik tertentu. Bagaimana seharusnya mendefinisikannya agar kontinu pada titik itu? a b

√


BAB 3 TURUNAN

3.1

Konsep Dasar Turunan Dalam sejarah kalkulus, terdapat dua permasalahan terapan kalkulus yang sulit

untuk didefinisikan secara jelas, yaitu permasalahan garis singgung (bidang geometri) dan permasalahan kecepatan sesaat (bidang mekanik). Hal ini mengimplikasikan lahirnya konsep dasar turunan (yang berasal dari konsep limit) yang berhasil memberikan uraian matematis terbaik untuk kedua permasalahan tersebut.

3.1.1 Permasalahan Garis Singgung Perhatikan gambar 3.1. Andaikan P adalah suatu titik tetap pada kurva dengan koordinat (c,f(c)). Garis m1 merupakan tali busur yang menghubungkan titik P dan Q1. Bila titik Q1 kita geser mendekati titik P, maka ketika mencapai posisi Q2 garis singgungnya menjadi m2. Bila titik Q terus kita geser hingga ‘berimpit’ dengan titik P, maka garis talibusur PQ akan berubah menjadi garis singgung m.

Gambar 3.1 Garis Singgung


Secara matematis kemiringan garis singgung yang melalui PQ (perhatikan garis singgung m2) adalah:

Jika titik Q bergeser dekat ke P, maka h 0, sehingga garis singgung m pada titik P(c,(f(c)) akan memiliki kemiringan:

lim

lim

3.1.2 Permasalahan Kecepatan Sesaat Untuk menguraikan masalah kecepatan sesaat, kita ambil sebuah contoh percobaan benda jatuh bebas di ruang hampa udara. Percobaan menyimpulkan bahwa bila benda bergerak dari posisi diam, maka posisi benda pada t detik adalah S(t) = 16t2. Dengan demikian posisi benda pada detik ke t dapat digambarkan sebagai berikut:

(Gambar 3.2: Ilustrasi Jarak Tempuh) Kecepatan rata‐rata benda dapat dihitung dengan membagi jarak tempuh dengan selang waktu. Hal ini diilustrasikan dalam tabel 3.1: Tabel 3.1 Kecepatan rata‐rata

t1

t2

s(t1)

s(t2)

0 1 2

1 2 3

0 16 64

16 64 144

Vrata-rata = s(t2)-s(t1)/(t2-t1) 16 48 80 Bab 3 Turunan| 34


Tabel 3.1 telah menunjukkan kecepatan rata‐rata benda jatuh pada selang waktu antara t1 dan t2 atau t1+∆t. Tetapi kita tidak dapat mengetahui kecepatan sesaat benda, misalnya pada t=2. Untuk memperkirakan nilai kecepatan sesaat pada saat t=2, dapat dilakukan dengan menghitung kecepatan rata‐rata antara pada selang waktu yang sempit di dekat t=2. Hal ini diilustrasikan dalam tabel 3.2. Tabel 3.2 Kecepatan Rata‐rata t

2

Vrata-rata = s(t2)-s(t1)/(t2-t1) 1.999 2.000 63.936 64.000 63.984 2.000 2.001 64.000 64.064 64.016 t1

t2

s(t1)

s(t2)

Dari tabel 3.2 dapat dilihat bahwa kecepatan sesaat pada t 2 berada di antara 63,984 dan 64,016. Untuk mendapat nilai yang persis untuk kecepatan sesaat pada t=2, selang waktu perhitungan harus dipersempit hingga ∆t 0. Dengan menggunakan konsep limit, nilai keepatan sesaat dapat dihitung sebagai berikut:

∆

∆

∆ ∆

(Dengan menggunakan konsep limit coba hitung kecepatan sesaat pada t=2) Kesimpulan: Dapat dilihat bahwa permasalahan garis singgung dan kecepatan sesaat memiliki konsep penyelesaian yang sama (Konsep Limit).

3.2

Turunan Pada subbab sebelumnya telah diberikan pemahaman tentang konsep limit untuk

turunan. Pada subbab berikutnya akan diberikan pemahaman tentang turunan.

3.2.1 Definisi Turunan Jika f adalah sebuah fungsi real dengan c є Df, dapat dikatakan bahwa turunan fungsi f adalah fungsi lain f’ (dibaca “f aksen”) yang nilainya pada sebarang bilangan c adalah: lim

, asalkan nilai limit ini ada.

(Ingat kembali kapan nilai limit dikatakan ada?)

Bab 3 Turunan| 35


3.2.2 Beberapa Bentuk Setara Turunan Beberapa bentuk setara turunan diantaranya adalah: lim

1 Berdasarkan gambar 3.3,

tidak ada keharusan

menggunakan huruf h dalam mendefinisikan f’ c , sehingga f’ c dapat juga dituliskan sebagai: a

lim

atau

b

lim

2 Berdasarkan gambar 3.4,

lim

(Sekali lagi tidak ada

keharusan menggunakan huruf tertentu).

(c+h,f(c+h))

(x,f(x)) f(c+h)‐f(c)

f(x)‐f(c)

(c,f(c))

(c,f(c))

h c

x‐c c+h

x

c

x

x

(Gambar 3.3) (Gambar 3.4)

3.2.3 Keterdiferensialan dan Kekontinuan Fungsi Teorema keterdiferensialan dan kekontinuan fungsi adalah:

“Jika f’(c) ada (fungsi terdiferensialkan), maka f kontinu di c”. Teorema ini menyiratkan 2 hal: •

Bila fungsi f terdiferesialkan di titik c, maka fungsi f kontinu di c.

•

Bila fungsi f kontinu di titik c, belum tentu fungsi f terdiferensialkan di c.

Contoh 3.1 1 Apakah fungsi mutlak f x |x| kontinu dan terdiferensialkan di x 0? Beri alasan! Solusi Kontinu di x=0, tetapi tidak terdiferensialkan karena pada limit diferensial, limit kiri tidak sama limit kanan.

Bab 3 Turunan| 36


2 Kurva berikut menunjukkan beberapa kemungkinan kekontinuan dan keterdiferensialan fungsi. Apaka kurva kontinu dan terdiferensialkan di titik a,b,c, dan d?

a

b

c

d

Solusi a

Titik a tidak kontinu , oleh karena itu tidak terdiferensialkan.

b Titik b kontinu tapi tidak terdiferensialkan karena pada sudut lancip, limit kiri limit untuk pembagian delta y/delta x, sesuai definisi turunan tidak sama limit kanan. c

Titik c kontinu tapi tidak terdiferensialkan karena garis singgung tegak lurus menyebabkan nilai pembilang menurut definisi diferensial mendekati tak hingga.

d Titik d kontinu dan terdiferensialkan.

3.3

Aturan Turunan Menghitung turunan suatu fungsi menurut definisi turunan (seperti yang dijelaskan

pada subbab 3.1.3 poin A ) akan memakan waktu dan membosankan. Dengan adanya teorema aturan turunan, kita dapat menentukan turunan suatu fungsi dengan lebih cepat dan mudah. Berikut adalah aturan‐aturan turunan yang dituliskan dalam bentuk penulisan operator D. 1. Aturan Fungsi Konstanta , 0 ; dimana k adalah suatu konstanta 2. Aturan Fungsi Identitas 1 , 3. Aturan Pangkat ,

,

4. D sebagai sebuah operator linear

Bab 3 Turunan| 37


5. Aturan Penjumlahan dan Pengurangan

6. Aturan Perkalian

7. Aturan Pembagian

3.4

Aturan Turunan Fungsi Trigonometri Berikut ini beberapa aturan penting berkaitan dengan turunan fungsi trigonometri.

1. D sin x

cos x

2. D cos x

sin x

3. D tan x

sec x

4. D csc x

3.5

csc x cot x

5. D sec x

sec x tan x

6. D cot x

csc x

Aturan Rantai Andaikan

dan

menentukan fungsi komposit

, jika g terdiferensialkan di x dan f terdiferensialkan di u = g(x), maka fog

terdiferensialkan di x dan

Dalam aturan rantai dapat dituliskan D y

D y . D u

Aturan rantai berguna untuk mencari turunan fungsi komposisi. Agar lebih mudah memahami aturan rantai, perhatikan contoh berikut: Contoh 3.2 Jika

2

4

1

, tentukan

!

Bab 3 Turunan| 38


Solusi Andaikan y adalah sebuah fungsi komposisi dimana y=f(u) = u60, dan 2

4

1.

.

Jadi,

.

2

4

60

60 2

4

1

4

4

4

4

1

Aturan Rantai Bersusun Andaikan y=f(u) dan u=g(v) dan v=h(x), maka

.

.

Contoh 3.3 !

4 , tentukan

jika Solusi Andaikan

; .

3.6

.

4 , sehingga

. 3

sin ; dan

sin

– cos

.

4

4

12

12

cos

12

4

cos cos 4

Penulisan Leibniz Penulisan Leibniz menggunakan notasi dy/dx untuk menyatakan turunan. Leibniz

menyebut dy/dx sebagai suatu hasil bagi dari dua bilangan yang sangat kecil, yakni: lim

∆

∆ ∆

lim

∆

∆ ∆

Penulisan Leibniz juga berlaku pada aturan rantai. Sebagai contoh, andaikan y = f(u) dan u = g(x), maka:

Bab 3 Turunan| 39


Contoh 3.4 3

1 Tentukan dy/dx jika

7 !

Solusi 3

7

3

7 7 1

3

3 2

3

6

7

2 Tentukan dy/dx jika

x

2x

!

Solusi Misalkan u .

3.7

x

2x , maka y

2

. 12 12

u dan

3

2

2

3

2

Turunan Tingkat Tinggi Turunan sebuah fungsi dapat dituliskan dalam beberapa bentuk seperti yang

dicontohkan pada Tabel 3.3. Misalkan sebuah fungsi y=f(x), maka turunan pertamanya adalah maka

akan

menghasilkan

. Jika turunan pertama ini diturunkan lagi, turunan

kedua,

yaitu

. Notasi yang sama diberikan untuk turunan ketiga, keempat, dst. Tabel 3.3 Bentuk Penulisan Turunan

Derivatif

Penulisan f'

Penulisan y'

Penulisan Operator D

Penulisan Leibniz

Pertama

f'(x)

y'

Kedua

f''(x)

y''

Kedua

f'’'(x)

y''’

Bab 3 Turunan| 40


Salah satu penggunaan turunan tingkat tinggi adalah pada masalah gerak partikel. Bila S(t) merupakan posis sebuah partikel, maka kecepatan partikel adalah v(t) = S’(t). Sedangkan percepatan gerak partikel adalah a(t) = v’(t) = S”(t).

3.8

Pendiferensialan Implisit Sebuah fungsi dikatakan berbentuk implisit bila berbentuk F(x,y) = 0. Pada bentuk

ini, variabel x dan y tercampur dalam suatu ekspresi. Pendiferensialan implisit adalah mencari dy/dx tanpa terlebih dahulu mengubah bentuk persamaan menjadi y = f(x). Prinsip pendiferensialan implisit adalah sebagai berikut: untuk suatu bentuk fungsi implisit F(x,y) = 0. Untuk mencari dy/dx, kumpulkan semua variable y di ruas sebelah kiri dan variabel x di ruas sebelah kanan. Kemudian turunkan kedua ruas terhadap x dengan mengingat variabel y di sebelah kiri merupakan fungsi dari x. Contoh 3.5 Jika y3 7y‐x3 0, tentukan garis singgung di titik 2,1 ! Solusi 7

3

7

3

7

3

3

3 7

3 3 2 3 1 12 10 3.9

7

6 5

Laju yang Berkaitan Berikut ini adalah prosedur sistematis untuk menyelesaikan permasalahan laju‐laju

yang berkaitan: 1. Andaikan t menyatakan waktu. Gambarlah diagram yang berlaku untuk semua t>0. Identifikasi besaran‐besaran yang nilainya tidak berubah (konstanta) bila t bertambah. Berikan nama huruf untuk peubah‐peubah (besaran‐besaran yang

Bab 3 Turunan| 41


berubah terhadap waktu), dan tandai garis‐garis pada gambar dengan peubah yang sesuai. 2. Nyatakan apa yang diketahui dan informasi yang diinginkan tentang peubah‐ peubah. Informasi ini akan berbentuk turunan‐turunan terhadap t. 3. Tulislah sebuah persamaan yang menghubungkan peubah‐peubah yang sahih untuk semua t>0, bukan hanya pada beberapa saat tertentu. 4. Diferensialkan persamaan yang ditemukan dalam langkah 3 secara implisit terhadap t. Persamaan yang dihasilkan memuat turunan‐turunan terhadap t dan sahih untuk semua t>0. 5. Gantikan persamaan yang ditemukan dalam langkah 4 untuk semua data yang sahih pada saat tertentu untuk mana jawaban atas masalah yang diisyaratkan. Selesaikan turunan yang diinginkan. Contoh 3.6 Sebuah balon dilepas pada jarak 150 kaki dari seorang pengamat yang berdiri di tanah. Jika balom maik secara lurus ke atas dengan laju 8 kaki/detik, seberapa cepat jarak antara pengamat dan balon bertambah pada waktu balon pada ketinggian 50 kaki? Solusi Penyelesaian masalah menurut prosedur sistematis: 1.

s

h

150 Andaikan t menyatakan detik setelah balon dilepas, h menyatakan ketinggian balon, dan s jarak balon dari pengamat. Peubah h dan s keduanya bergantung pada t. tetapi jarak antara pengamat dan titik pelepasan konstan dan tidak berubah dengan bertambahnya t. kita tekankan bahwa gambar ini sahih untuk semua t 0.

2.

Diketahui laju balon naik ke atas dh/dt 8 kaki/detik.

Ditanya laju perubahan jarak antara pengamat dan balon ds/dt pada saat h 50 kaki.

3.

Peubah s dan h berubah tehadap waktu mereka adalah fungsi implisit dari t , tetapi selalu dihubungkan dengan persamaan Pythagoras:

Bab 3 Turunan| 42


h

s 4.

150

Jika persamaan Pythagoras di atas kita diferensialkan secara implisit terhadap t dan memakai aturan rantai, maka akan diperoleh: 2

2

0

5.

Bila h 50 kaki, maka berdasarkan persamaan Pythagoras pada poin 3, s adalah 50

150

50√10 Dengan mengguanakn persamaan turunan pada poin 4, maka diperoleh: 50 8

50√10 400

8

50√10

√10

2,53

/

.

3.10 Diferensial dan Hampiran

3.10.1 Turunan dan Diferensial Turunan adalah hasil bagi dua diferensial, biasa dilambangkan dengan f’(x) atau dy/dx. Andaikan y=f(x), maka turunan f yaitu: ∆ ∆

lim

∆

lim

∆

∆ ∆

Andaikan bahwa dx adalah diferensial dari peubah bebas x yang menyatakan pertambahan sebarang dari x. Maka diferensial yang bersesuaian dengan dy dari peubah tak bebas y didefinisikan oleh: Dari definisi di atas dapat diartikan bahwa diferensial dari peubah tak bebas adalah hasil kali turunan dengan diferensial peubah bebas. Diferensial biasa dilambangkan dengan dy. Tabel 3.4 berikut menunjukkan perbandingan beberapa aturan turunan dan diferensial. Ingat kembali bahwa diferensial diperoleh dengan mengalikan f’(x) dengan dx.

Bab 3 Turunan| 43


Tabel 3.4 Perbandingan aturan turunan dan aturan diferensial Aturan Diferensial

Aturan Turunan 1.

0

1.

2.

2.

3.

3.

0

4.

4.

3.10.2 Hampiran Andaikan y=f(x) seperti gambar 3.5. Jika x diberi tambahan ∆x, maka y menerima tambahan yang berpadanan ∆y yang dapat dihampiri oleh dy. y

y=f(x) f(x+∆x) ∆y f(x)

dy

x

Gambar 3.5 Ilustrasi hampiran Dengan demikian f(x+∆x) dapat dihampiri oleh: ∆

∆

Contoh 3.7: Dengan menggunakan metode hampiran, hitung √4,6 ! Solusi Andaikan fungsi akar adalah

√ , maka

√

.

Kita mengetahui bahwa nilai √4,6 berada di antara √4 dan √9. Jika kita ambil nilai x=4 dan ∆x=0,6; Menurut rumus hampiran: 4,6

4

0,6

4

√4

2

Untuk menghitung dy, ∆

Bab 3 Turunan| 44


1 2√ 1 2√4

∆ 0,6

0.15 ∆

1 2√

∆

1 2√4

0,6

0.15

Sehingga 4,6

2

2

0,15

2,15

3.10.3 Penaksiran Galat (Error) Penaksiran galat merupakan masalah yang khas dalam sains. Prosedur baku untuk menaksir galat adalah dengan memakai sarana diferensial. Untuk memahami cara penaksiran galat, perhatikan contoh berikut. Contoh 3.8 Rusuk kubus memiliki panjang 11,4 cm dengan kemungkinan galat panjang rusuk 0,05 cm. HIiung volume kubus dan berikan suatu taksiran galat untuk nilai volume tersebut! Solusi Volume kubus V yang panjang rusuknya x adalah

. Jadi

Jika x = 11,4 cm dan dx = 0,015 cm, maka

1482

dan

3 11,4

0,015

.

19

Dengan demikian volume kubus adalah volume adalah 19

11,4

3

1482

19

dengan taksiran galat

.

3.11 Soal Latihan

A. Konsep Dasar Turunan 1. Tentukan kemiringan garis singgung kurva y = 2 / (x‐2) pada titik (0,‐1). Tuliskan juga persamaan garis singgungnya! 2. Sebuah benda menjelajahi garis sehingga posisi s nya adalah

2

2 meter

setelah t detik. Tentukan: a) Kecepatan rata‐rata selang 2 ≤ t ≤ 3? b) Kecepatan sesaat pada t=2 detik?

Bab 3 Turunan| 45


B. Turunan 1. Dengan menggunakan konsep limit, tentukan turunan dari:

a)

b)

√

4

C. Aturan Turunan dan Turunan fungsi Trigonometri 1. Tentukan turunan dari: a)

b)

2. Tunjukkan kurva y

√2 sin x dan y

√2 cos x berpotongan tegak lurus pada 0≤x

≤π/2!(dua kurva berpotongan tegak lurus bila m1/m2 = ‐1) 3. Pada saat t detik, pusat sebuah pelampung gabus berada sejauh 2 sin t sentimeter di atas (atau di bawah) permukaan air. Berapa kecepatan pelampung pada saat t = 0, π/2, dan π?

D. Aturan Rantai 1. Tentukan Dxy bila: a) b)

3

5

11

2. Hitung Dt sin t · tan t

1

E. Turunan Tingkat Tinggi 1. Sebuah pelek berpusat di titik asal dan berjari‐jari 10 sentimeter berputar berlawanan arah perputaran jarum jam pada laju 4 putaran/detik. Sebuah titik P pada pelek berada di 10,0 pada t=0. a) Berapa koordinat P pada saat t detik? b) Pada laju berapa P naik (atau turun) pada saat t=1? 2. Sebuah benda dilempar langsung ke atas pada ketinggian s=‐16t2 + 48t + 256 kaki setelah t detik. a) Berapa kecepatan awalnya? b) Kapan ia mencapai ketinggian maksimum? c) Berapa ketinggian maksimumnya? d) Kapan ia membentur tanah?

Bab 3 Turunan| 46


e) Dengan laju berapa ia membentur tanah?

F. Pendiferensialan Implisit 1. Cari persamaan garis normal (garis tegak lurus terhadap garis singgung) pada kurva 8(x2+y2)2 = 100(x2‐y2) di 3,1 . (Gunakan metode pendiferensialan implisit).

G. Laju yang Berkaitan 1. Rusuk kubus yang berubah bertambah panjang dengan laju 3cm/detik. Berapa kecepatan pertambahan volume kubus pada saat panjang rusuk 10 cm? 2. Sebuah cakram baja memuai selama dipanaskan. Jika jari‐jarinya bertambah dengan laju 0,02 cm/detik, seberapa cepat luas salah satu mukanya bertambah pada saat jari‐jarinya adalah 8,1 cm?

H. Diferensial dan Hampiran 1. Hitung √402 dan √26,91 dengan metode hampiran! 2. Hampiri nilai volume material dalam tempurung bola yang jari‐jari dalamnya 5 cm dan jari‐jari luarnya 5,125cm. 3. Garis tengah sebuah bola diukur sebagai 20

0,1 cm. hitung volumenya dengan

suatu taksiran untuk galat.

Bab 3 Turunan| 47

BAB 4 APLIKASI TURUNAN Konsep turunan dapat digunakan sebagai alat bantu untuk menyelesaikan banyak masalah, seperti: menyelesaikan masalah maksimum dan minimum serta membuat grafik fungsi secara canggih. Untuk dapat membuat grafik suatu fungsi secara canggih, perlu ditentukan kemonotonan, kecekungan dan garis asimtotik fungsi tersebut. Kemonotonan suatu fungsi dapat ditentukan dari turunan pertama fungsi tersebut, sedangkan kecekungan dapat ditentukan dari turunan keduanya. Selanjutnya pada bab ini akan dibahas aplikasi yang dapat diterapkan menggunakan turunan.

4.1

Maksimum dan Minimum Misalkan diberikan suatu fungsi

pertanyaan apakah

dan daerah definisi . Maka akan timbul

memiliki nilai maksimum atau minimum pada ? Jika memiliki

nilai maksimum atau minimum, dimana terjadinya? Jika ada, berapa nilainya? Pertanyaan ini adalah tujuan utama dari sub bab ini. Perhatikan gambar 4.1 berikut. Apakah

maksimum? Apakah

minimum?

Gambar 4.1 Kurva maksimum minimum


Teorema 1 [Definisi]

Misalkan , daerah definisi dari fungsi , memuat . 1.

dikatakan mencapai maksimum di bila

.

disebut

nilai maksimum; 2.

dikatakan mencapai minimum di bila . disebut nilai minimum; 3. disebut nilai ekstrim dari pada jika merupakan nilai maksimum\minimum. Titik dimana mencapai maksimum\minimum disebut titik ekstrim; 4. fungsi yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan disebut fungsi objektif. Teorema 2 [Eksistensi MaksimumMinimum] Jika kontinu dan berupa interval tutup ,

, maka memiliki titik minimum

dan maksimum.

Teorema 3 [Titik Kritis] Misalkan terdefinisikan pada interval yang memuat titik . Jika

merupakan nilai ekstrim, maka merupakan titik kritis; yaitu, merupakan salah satu dari: 1. Titik stasioner (titik dengan sifat

0);

2. Titik ujung ; atau 3. Titik singular (titik di mana tidak mempunyai turunan). Contoh 4.1: Tentukan nilai maksmimum dan minimum dari

pada

2,2 .

Solusi Langkah 1 Tentukan titik kritis dari pada

2,2 .

1. Cek titik stasioner 3

, yang terdefinisikan pada

Jadi, titik stasionernya adalah

2,2 dan

0 hanya jika

0.

0; Bab 4 Aplikasi Turunan| 49


2. Cek titik ujung Titik ujung dari interval yang diberikan adalah

2 dan

2.

3. Cek titik singulir Karena memiliki turunan, maka titik singulir tidak ada. Jadi, titik kritis nya:

2,

0,

2.

Langkah 2 Evalusi tiap titik kritis 2

8,

0

0, dan

2,2 adalah 8 (dicapai saat (dicapai saat

4.2

2

8. Diperoleh nilai maksimum dari pada 2), sedangkan nilai minimumnya adalah 8

2).

Kemonotonan Fungsi dan Titik Ekstrim

4.2.1 Kemonotonan Fungsi

Misalkan terdefinisi pada interval (buka, tutup, atau lainnya). 1.

disebut monoton naik pada bila:

2.

disebut monoton turun pada bila:

3.

disebut monoton tak turun pada bila:

4. f disebut monoton tak naik pada I bila: x

x

f x

f x

Ilustrasi fungsi monoton dapat dilihat pada Gambar 4.2 berikut:

Gambar 4.2 Ilustrasi fungsi monoton

Bab 4 Aplikasi Turunan| 50


4.2.2 Titik Ekstrim

Ekstrim Lokal Fungsi

yang daerah asalnya mencapai

1. maksimum lokal di

jika terdapat interval buka yang memuat sehingga 2. minimum lokaldi

;

.

jika terdapat interval buka yang memuat sehingga Teorema Jika fungsi mencapai ekstrim lokal di dan

ada, maka

0.

Bukti Kasus maksimum lokal: (serupa kasus minimum lokal) Jika mencapai maksimum lokal di , maka

akibatnya,

di sekitar .

0

0

lim

0

0

0

lim

0

0.

Ekstrim Global Fungsi

yang daerah asalnya mencapai

1. maksimum global di c 2. minimum global di c

S jika f x Sjika f x

f c x f c x

S S.

Teorema Jika fungsi f kontinu pada a, b , maka f mencapai ekstrim global pada a, b .



Ilustrasi ekstrim lokal dan ekstrim global dapat dilihat pada Gambar 4.3 berikut:

Gambar 4.2 Ilustrasi ekstrim lokal dan ekstrim global

4.2.3 Uji Turunan untuk Kemonotonan dan Titik Ekstrim

Uji Turunan Pertama untuk Kemonotonan Untuk fungsi

yang kontinu pada interval terbuka ,

1. jika

0 pada , maka fungsi monoton naik pada ;

2. jika

0 pada , maka fungsi monoton naik pada .

Uji Turunan Pertama untuk Ekstrim Lokal Untuk fungsi f x yang kontinu pada interval terbuka I dan memuat titik kritis c, 1. jika f x

0 untuk x

dan f x

0 untuk x

, maka fungsi f mencapai

dan f x

0 untuk x

, maka fungsi fmencapai

dan f x

0 untuk x

, maka titik c, f c bukan

0 untuk x

, maka titik c, f c bukan

maksimum lokal di c; 2. jika f x

0 untuk x

minimum lokal di c; 3. jika f x

0 untuk x

ekstrim lokal; 4. jika f x

0 untuk x

dan f x

ekstrim lokal.



Uji Turunan Kedua untuk Ekstrim Lokal Untuk fungsi f x yang terdiferensialkan pada interval terbuka I dan memuat titik stasioner c, 1. jika f c c

2. jika f

0 maka fungsi mencapai maksimum lokal di c; 0, maka fungsi mencapai minimum lokal di c.

Contoh 4.2: 3 , tentukan:

Untuk fungsi

1. Semua titik stasionernya; 2. Selang kemonotonannya; 3. Semua titik ekstrim lokal dan jenisnya; Solusi 1. Turunan pertama dari fungsi adalah 3 Dari 1

3

3

1

0 diperoleh

1 1 dan

1 , dengan

2. Jadi titik stasioner dari fungsi adalah

1

2 dan

1,2 dan 1, 2 .

2. Selang kemonotonan fungsi f ditentukan dari tes tanda f x Dapat dilihat bahwa Fungsi f monoton naik pada selang 1, ∞ . Fungsi f monoton turun pada selang

∞, 1 dan selang

1,1 .

3. Fungsi f mencapai maksimum di 1 dan minimum di 1 , dengan titik maksimum

1,2 dan titik minimum 1, 2 .



4.3

Kecekungan Fungsi dan Titik Belok

4.3.1 Kecekungan Fungsi Untuk fungsi

yang terdiferensialkan pada selang terbuka ,

1.

cekung ke atas pada jika fungsi monoton naik pada ;

2.

cekung ke bawah pada jika fungsi monoton turun pada ;

4.3.2 Titik Belok Fungsi

mencapai titik belok di

(domain ) jika di sekitar terjadi

perubahan kecekungan dari . Titik beloknya adalah ,

. Kondisinya adalah fungsi

terdiferensialkan pada interval terbuka yang memuat , kecuali mungkin sendiri. (

∞ atau tak ada).

4.3.3 Uji Turunan untuk Kecekungan dan Titik Belok

Uji Turunan Kedua untuk Kecekungan Untuk fungsi

yang terdiferensialkan pada interval terbuka ,

1. jika f x

0 pada I, maka fungsi f cekung ke atas pada I;

2. jika f

0 pada I, maka fungsi f cekung ke bawah pada I.

x

Uji Turunan Kedua untuk Titik Belok Untuk fungsi

yang terdiferensialkan pada interval terbuka ,

1. jika fungsi f mencapai titik belok di c 2. jika f c

I dan f c ada, maka f c

0;

0 dan disekitar c terjadi perubahan kecekungan dari fungsi f, maka

fungsi f mencapai titik belok di c.



Uji Turunan Ketiga untuk Titik Belok Untuk fungsi memuat , jika

yang mempunyai turunan kedua pada selang terbuka yang 0, maka fungsi mencapai titik belok di .

0 dan

Contoh 4.3: mencapai titik belok di 0 karena cekung ke atas untuk

1. Fungsi

0 dan cekung ke bawah untuk

0.

2. Tentukan selang kecekungan dan titik belok dari fungsi 3

4

Solusi 2

2

2

3 2

Dengan menyelesaikan 2

1

3

1 1

0 dan 2

1

0 menunjukkan bahwa

cekung ke atas pada 1, ∞ dan cekung ke bawah pada

∞, 1 . Titik belok

nya adalah 1, .

4.4

Beberapa Masalah Maksimum dan Minimum Dalam pemecahan soal cerita yang terkait dengan menentukan maksimum atau

minimum, cobalah beberapa langkah berikut ini. 1. Gambarkan masalahnya beserta peubah untuk besaran yang terlibat; 2. Tuliskan fungsi yang akan dicari maksimum/minimum mutlaknya; 3. Gunakan kondisi yang diberikan agar menjadi fungsi satu peubah; 4. Tentukan titik kritis dari dan tentukan maksimum atau minimumnya; 5. Dalam kasus ekstrimnya tunggal, maka ekstrim ini akan menjadi maksimumatau minimum mutlak dari . Contoh4.4: Sebuah kebun berbentuk persegi panjangakan dipagari seperti pada gambar. Bagian pojokkebun berupa tembok siku‐siku sepanjang 20 meterdan 10 meter



tak perlu dipagari. Jika tersedia40 meter pagar, tentukan luas minimum dan maksimumkebun yang dapat dipagari! Solusi •

Jika ukuran kebun adalah

meter, maka

20

10

40

.

Akibatnya 2 •

Dari

•

2

70, sehingga

20 dan

35

35

35

Karena ’

35

35

.

10 diperoleh20 , 20

2

25. Luas kebun adalah

25.

0 untuk 20

25 , maka monoton turun

padaselang 20,25 , sehingga titik kritisnya adalah 300dan •

4.5

25 dengan

20 dengan

250. (Ekstrim global pada selang tutup)

Jadi luas minimum dan maksimum kebun adalah 250m2 dan 300m2.

Limit di Tak Hingga dan Limit Tak Hingga

4.5.1 Limit Tak Hingga Beberapa Teorema limit tak hingga di antaranya adalah: 1. lim

∞ jika dan hanya jika:

•

membesar tanpa batas bila mendekati ,

•

0

0

|

∞

0

0

0

lim

∞

0

0

0

∞ jika dan hanya jika:

•

|

lim

2. lim

0

;

mengecil tanpa batas bila mendekati ,

•

0

0

|

|

lim

∞

N

0

0

0

lim

∞

N

0

0

0

0

;



∞, n

3. Untuk lim •

lim

•

lim

, maka:

∞, n genap positif ∞ ∞

n genap positif n ganjil positif

4. Jika lim •

f x

L

0 dan lim

∞, dalam kasus

g x

0 dan

0, maka lim

0 dari atas (arah

•

∞, dalam kasus

0 dan

0 dari atas (arah

•

∞, dalam kasus

0 dan

0 dari bawah (arah

•

∞, dalam kasus

0 dan

positif) positif) negatif)

0 dari bawah (arah

negatif)

4.5.2 Limit di Tak Hingga Beberapa teorema limit di tak hingga di antaranya adalah: 1. lim

f x

• •

ℓ jika dan hanya jika:

mendekati ℓ bila membesar tanpa batas |

ℓ|

untuk sebarang

0 bila

untuk suatu

0

2. lim

ℓ jika dan hanya jika:

• •

mendekati ℓ bila mengecil tanpa batas |

3. lim

ℓ|

untuk sebarang

0, n

4. lim

0 bila

untuk suatu

0

0, n

4.5.3 Limit Tak Hingga di Tak Hingga Notasi lim

∞ digunakan untuk menunjukkan bahwa nilai

menjadi besar seraya menjadi besar. Pengertian serupa dikaitkan pada lambang‐ lambang berikut: lim

∞

lim

∞

lim

∞



Contoh 4.5: dan lim

Carilah lim

Solusi lim lim

4.6

∞ ∞

Menggambar Grafik Canggih Grafik fungsi kontinu dapat digambarkan secara canggih berdasarkan informasi

selang kemonotonan, semua titik ekstrim lokal beserta jenisnya, selang kecekungan, semua titik belok, semua asimtot, dan beberapa titik lain yang diperlukan.

4.6.1 Asimtot Asimtot grafik fungsi kontinu adalah garis lurus yang didekati oleh grafiknya tapi tanpa pernah saling berpotongan. Garis lurus ini dapat sejajar dengan sumbu koordinat (asimtot tegak atau mendatar), atau memotong sumbu koordinat di dua titik (asimtot miring). Beberapa asimtot di antaranya: 1. Asimptot Tegak Garis lim

disebut asimtot tegak, bila salah satu syarat berikut dipenuhi ∞

lim

∞

lim

∞

lim

∞

2. Asimtot Mendatar Garis

disebut asimtot mendatar, bila lim

3. Asimtot Miring Garis

disebut asimtot miring terhadap fungsi bila memenuhi salah

satu dari:



0;

a) lim

0;

b) lim

Menentukan asimtot miring: 1. Hitung lim

, bila hasilnya takhingga atau nol maka asimtot miring tidak ada,

bila berhingga dan tak nol maka hasilnya . 2. Hitung lim

, bila hasilnya nol maka asimtot miring tidak ada, bila

bukan nil, maka hasilnya adalah . 3. Lakukan kedua langkah di atas untuk

∞

Langkah-langkah menggambar grafik dari sebuah fungsi 1. Tentukan daerah definisinya; 2. Tentukan perpotongan

dengan sumbu‐sumbu koordinat (jika mudah).

Tentukan titik potong grafik dengan sumbu

0 dan sumbu

0 ;

3. Periksa kesimetrian grafik, apakah fungsi ganjil, genap, atau periodik; 4. Dengan uji turunan pertama, tentukan daerah kemonotonan dan titik‐titik ekstrim lokal dan global; 5. Dengan uji turunan kedua, tentukan daerah kecekungan dan titik beloknya; 6. Tentukan asimtot‐asimtot dari ; 7. Sketsakan grafik . Contoh 4.6:

Gambarkan grafik fungsi Solusi 1. Daerah definisinya adalah | 2. Titik potong sumbu

0

Titik potong sumbu

0

, 0

,0

.

0,0



3. Karena

, maka fungsi ganjil dan oleh karena itu grafik dari

fungsi simetris terhadap titik asal 4. Turunan pertama fungsi :

2 32

15

2

Titik kritis nya adalah: ‐2, 0, dan 2. diperoleh

0 pada

∞, 2 dan 2, ∞ , sedangkan

2,0 dan 0,2 . Sehingga monoton naik pada monoton turun pada

0 pada

∞, 2 dan 2, ∞ ;

2,0 dan 0,2 . Nilai maksimum lokal:

nilai minimum lokal: 2

2

2 dan

2.

5. Turunan kedua fungsi :

15

√2 8

√2

Fungsi √2 cekung ke atas pada

√2, 0 dan √2, ∞ . Cekung ke bawah pada

∞, √2 dan 0, √2 . Terdapat tiga titik belok: √2,

√

√2,

√

, 0,0 , dan



6. Sketsa grafik:

4.7

Teorema Nilai RataRata

Teorema Rolle Jika fungsi

kontinu pada

dan

, maka terdapat

,

, terdiferensialkan pada ,

sehingga

,

0.

Teorema Nilai RataRata Jika fungsi f kontinu pada a, b , terdiferensialkan pada a, b , maka terdapat c

a, b sehingga f c

f b b

f a a

Contoh 4.7: Tentukan bilangan yang memenuhi TNR terhadap:

2√ pada 1, 4 .

Solusi Diperoleh, sehingga,

, . Jadi,

0 dan



4.8

Latihan Soal

A. Maksimum Minimum 1. Tentukan nilai maksimum dan minimum dari

|

| pada interval

6

2. Identifikasi titik kritis dan tentukan titik ekstrim dari dan

,

sin pada

2

1,5

3. Tentukan nilai maksimum dan minimum dari

pada

1,3

4. Sebuah kotak persegipanjang dibuat dari selembar kertas dengan memotong sisi‐sisinya sepanjang

cm dan melipatnya. Tentukan

agar volumenya

maksimum.

B. Kemonotonan Fungsi dan Titik Ekstrim 1. Apakah fungsi 2. Jika turunan dari

|

2 | mempunyai lebih dari satu titik kritis? (B/S) adalah

1

2 , tentukan selang

kemonotonan dan titik ekstrim dari kurva beserta jenisnya; 3. Tentukan semua titik ekstrim dari kurva

,

C. Kecekungan Fungsi dan Titik Belok 1. Tentukan selang kecekungan dan semua titik belok dari fungsi 2. Jika turunan dari

adalah

1

.

2 , tentukan selang

kecekungan dan titik belok dari kurva .



D. Beberapa Masalah Maksimum dan Minimum 1. Tentukan jarak terdekat dari titik A 0,3 ke parabol P: x

y

2. Dari sehelai karton akan dibuat sebuah kotak tanpa tutup denganalas persegi. Jika luas permukaan kotak ditetapkan 432 cm2, tentukan ukuranyang mempunyai volume terbesar. 3. Seorang petani bermaksud memagari dua kandang siku empat berdampingan yang identik, masing‐masing seluas 900 kaki persegi. Berapa ukuran kandang tersebut agar kawat yang diperlukan sesedikit mungkin? 4. Sebuah bak air dengan alas berbentuk bujur sangkar harus dibangun untuk menampung air 12.000 kaki kubik. Jika logam untuk tutup atas memerlukan biaya dua kali biaya untuk sisi dan alas beton tiap kaki persegi, berapa ukuran bak yang paling hemat?

E. Limit di Tak Hingga dan Limit Tak Hingga 1. Jika f x

x

, hitunglah:

a) lim

b) lim

c) lim

, dan

d) lim

2. lim 3. lim

4. lim

5. Carilah lim x 6. Carilah lim

x

7. Sketsakan grafik y

x

2

x

1

dengan sumbu dan limitnya seraya x

x

1 dengan cara mencari perpotongan

∞ dan x

∞



F. Menggambar Grafik Canggih 1. Gambarkan grafik fungsi: a)

b)

3

c)

d)

| |

5

2. Gambarlah grafik dari fungsi yang memiliki beberapa sifat berikut: a) g mulus dimana‐mana; b) g(0)=0; c) g x d) g

0 untuk setiap x;

x

0 untuk x

0dan g

x

0 untuk x

0

G. Teorema Nilai RataRata √1

1. Jika

, tentukan nilai yang memenuhi TNR pada interval 0,1 ;

2. Tentukan apakah TNR berlaku untuk fungsi dan interval yang diberikan. Jika ya, temukan semua kemungkinan nilai , jika tidak, berikan alasan. Serta, buatlah grafik dari tiap fungsi pada interval yang diberikan: a) g x

|x|; 1,2

b) h x

; 0,2

c) T θ

tan θ ; 0, π

d) f x

x

|x|;

2,1

3. Gunakan TNR untuk membuktikan: lim √

2

4. Gunakan TNR untuk membuktikan: |sin

√

0 sin |

|

|


DAFTAR PUSTAKA Hutahean, E. 1994. Seri Matematika : Fungsi Rill. Bandung: ITB. Leithold, L. 1991. Kalkulus dan Ilmu Ukur Analitik. Jakarta: Erlangga. Purcell, E.J. et al. 1989. Kalkulus dan Geometri Analitik. Jakarta: Erlangga.

65

TIM MATEMATIKA DASAR I

Recommend Documents