Daftar Isi 8. KEKONTINUAN PADA INTERVAL
DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA (Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Hendra Gunawan∗ ∗ Dosen FMIPA - ITB E-mail:
[email protected].
November 19, 2007
Hendra Gunawan
DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
Daftar Isi 8. KEKONTINUAN PADA INTERVAL
8.1 Kekontinuan pada Interval 8.2 Sifat-sifat Fungsi Kontinu pada Interval 8.3 Lebih jauh tentang Fungsi Kontinu pada Interval
Hendra Gunawan
DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
Daftar Isi 8. KEKONTINUAN PADA INTERVAL
8.1 Kekontinuan pada Interval 8.2 Sifat-sifat Fungsi Kontinu pada Interval 8.3 Lebih jauh tentang Fungsi Kontinu pada Interval
Secara geometris, f kontinu di suatu titik berarti bahwa grafiknya tidak terputus di titik tersebut. Serupa dengan itu, f kontinu pada suatu interval apabila grafiknya tidak terputus pada interval tersebut. Dalam perkataan lain, f kontinu pada suatu interval apabila kita dapat menggambar grafik fungsi f pada interval tersebut tanpa harus mengangkat pena dari kertas.
Hendra Gunawan
DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
Daftar Isi 8. KEKONTINUAN PADA INTERVAL
8.1 Kekontinuan pada Interval 8.2 Sifat-sifat Fungsi Kontinu pada Interval 8.3 Lebih jauh tentang Fungsi Kontinu pada Interval
Definisi formal Kekontinuan pada Interval
Fungsi f dikatakan kontinu pada interval buka I jika dan hanya jika f kontinu di setiap titik pada I . Fungsi f dikatakan kontinu pada interval tutup I = [a, b] jika dan hanya jika f kontinu di setiap titik c ∈ (a, b), kontinu kanan di a, dan kontinu kiri di b.
Hendra Gunawan
DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
Daftar Isi 8. KEKONTINUAN PADA INTERVAL
8.1 Kekontinuan pada Interval 8.2 Sifat-sifat Fungsi Kontinu pada Interval 8.3 Lebih jauh tentang Fungsi Kontinu pada Interval
Gambar 8.1 Grafik fungsi kontinu pada interval buka Hendra Gunawan
DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
Daftar Isi 8. KEKONTINUAN PADA INTERVAL
8.1 Kekontinuan pada Interval 8.2 Sifat-sifat Fungsi Kontinu pada Interval 8.3 Lebih jauh tentang Fungsi Kontinu pada Interval
Gambar 8.2 Grafik fungsi kontinu pada interval tutup Hendra Gunawan
DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
Daftar Isi 8. KEKONTINUAN PADA INTERVAL
8.1 Kekontinuan pada Interval 8.2 Sifat-sifat Fungsi Kontinu pada Interval 8.3 Lebih jauh tentang Fungsi Kontinu pada Interval
Contoh 1
Misalkan f : R → R didefinisikan sebagai x, x ≤ 1; f (x) = 3 2, x > 1 Perhatikan bahwa f kontinu di setiap titik kecuali di c = 1. Namun f kontinu kiri di c = 1, dan karenanya f kontinu pada interval [0, 1]. Karena f tidak kontinu kanan di c = 1, maka f tidak kontinu pada interval [1, 2].
Hendra Gunawan
DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
Daftar Isi 8. KEKONTINUAN PADA INTERVAL
8.1 Kekontinuan pada Interval 8.2 Sifat-sifat Fungsi Kontinu pada Interval 8.3 Lebih jauh tentang Fungsi Kontinu pada Interval
Proposisi 2
Misalkan f terdefinisi pada suatu interval I . Maka, f kontinu pada I jika dan hanya jika, untuk setiap x ∈ I dan setiap > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga |f (x) − f (y )| < untuk y ∈ I dengan |x − y | < δ.
Hendra Gunawan
DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
Daftar Isi 8. KEKONTINUAN PADA INTERVAL
8.1 Kekontinuan pada Interval 8.2 Sifat-sifat Fungsi Kontinu pada Interval 8.3 Lebih jauh tentang Fungsi Kontinu pada Interval
Contoh 3
(i) Fungsi f (x) = px + q kontinu pada sebarang interval I . (ii) Fungsi g (x) = |x| kontinu pada sebarang interval I . √ (iii) Fungsi h(x) = x kontinu pada sebarang interval I ⊆ [0, ∞).
Hendra Gunawan
DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
Daftar Isi 8. KEKONTINUAN PADA INTERVAL
8.1 Kekontinuan pada Interval 8.2 Sifat-sifat Fungsi Kontinu pada Interval 8.3 Lebih jauh tentang Fungsi Kontinu pada Interval
Soal Latihan 1
2
3
Misalkan f : [0, 5] → R didefinisikan sebagai 2x, 0 ≤ x < 1; f (x) = 1, 1 ≤ x ≤ 5. Selidiki apakah f kontinu di setiap titik pada interval [0, 5]. Selidiki kekontinuan f pada interval [0, 1] dan pada interval [1, 5]. Sketsalah grafiknya. Buktikan bahwa fungsi f pada Soal 1 terbatas. Tentukan apakah ia mempunyai nilai maksimum dan nilai minimum. Misalkan I adalah suatu interval tertutup dan 0 < C < 1. Misalkan f : I → I adalah suatu fungsi yang memenuhi |f (x) − f (y )| < C |x − y | untuk tiap x, y ∈ I ; yakni f kontraktif pada I . Buktikan bahwa f kontinu pada I . Hendra Gunawan
DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
Daftar Isi 8. KEKONTINUAN PADA INTERVAL
8.1 Kekontinuan pada Interval 8.2 Sifat-sifat Fungsi Kontinu pada Interval 8.3 Lebih jauh tentang Fungsi Kontinu pada Interval
Proposisi 4
Misalkan f dan g kontinu pada suatu interval I dan λ, µ ∈ R. Maka λf + µg dan fg kontinu pada I . Juga, jika g (x) 6= 0 untuk tiap x ∈ I , maka gf kontinu pada I .
Hendra Gunawan
DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
Daftar Isi 8. KEKONTINUAN PADA INTERVAL
8.1 Kekontinuan pada Interval 8.2 Sifat-sifat Fungsi Kontinu pada Interval 8.3 Lebih jauh tentang Fungsi Kontinu pada Interval
Contoh 5
(i) Setiap fungsi polinom kontinu pada sebarang interval. (ii) Setiap fungsi rasional kontinu pada sebarang interval dalam daerah asalnya. Sebagai contoh, f (x) = x1 kontinu pada (0, ∞). √ (iii) Fungsi f (x) = x + x kontinu pada sebarang interval √ I ⊆ [0, ∞), karena f1 (x) = x dan f2 (x) = x kontinu pada sebarang interval I ⊆ [0, ∞).
Hendra Gunawan
DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
Daftar Isi 8. KEKONTINUAN PADA INTERVAL
8.1 Kekontinuan pada Interval 8.2 Sifat-sifat Fungsi Kontinu pada Interval 8.3 Lebih jauh tentang Fungsi Kontinu pada Interval
Proposisi 6 Misalkan g : I → J kontinu pada interval I dan f : J → R kontinu pada interval J. Maka f ◦ g kontinu pada I . Bukti. Ambil x ∈ I dan > 0 sebarang. Karena f kontinu di u = g (x), maka terdapat δ > 0 sedemikian sehingga |f (u) − f (v )| < untuk v ∈ J dengan |u − v | < δ. Selanjutnya, karena g kontinu di x, kita dapat memilih γ > 0 sedemikian sehingga |g (x) − g (y )| < δ untuk y ∈ I dengan |x − y | < γ. Akibatnya, kita peroleh |f (g (x)) − f (g (y ))| < untuk y ∈ I dengan |x − y | < γ. Ini berarti bahwa f ◦ g kontinu di sebarang x ∈ I . Hendra Gunawan
DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
Daftar Isi 8. KEKONTINUAN PADA INTERVAL
8.1 Kekontinuan pada Interval 8.2 Sifat-sifat Fungsi Kontinu pada Interval 8.3 Lebih jauh tentang Fungsi Kontinu pada Interval
Contoh 7
(i) Fungsi h(x) = |1 + x| kontinu pada sebarang interval, karena f (x) = |x| dan g (x) = 1 + x kontinu pada sebarang interval. (ii) Fungsi h(x) =
√ 1−√x 1+ x
kontinu pada sebarang interval I ⊆ [0, ∞).
Hendra Gunawan
DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
Daftar Isi 8. KEKONTINUAN PADA INTERVAL
8.1 Kekontinuan pada Interval 8.2 Sifat-sifat Fungsi Kontinu pada Interval 8.3 Lebih jauh tentang Fungsi Kontinu pada Interval
Proposisi 8
Misalkan f kontinu pada suatu interval I . Jika c ∈ I dan hxn i suatu barisan di I dengan lim xn = c, maka lim f (xn ) = f (c). n→∞
n→∞
Catatan. Perhatikan bahwa kesimpulan pada Proposisi 8 menyatakan bahwa lim f (xn ) = f lim xn . n→∞
n→∞
Dalam perkataan lain, operasi limit dan f dapat bertukar urutan.
Hendra Gunawan
DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
Daftar Isi 8. KEKONTINUAN PADA INTERVAL
8.1 Kekontinuan pada Interval 8.2 Sifat-sifat Fungsi Kontinu pada Interval 8.3 Lebih jauh tentang Fungsi Kontinu pada Interval
Soal Latihan 1
Jelaskan mengapa fungsi berikut kontinu pada sebarang interval. 1 1+|x| . √ g (x) = 1 + x 2 .
f (x) =
2
Misalkan f kontinu pada suatu interval I dan untuk setiap bilangan rasional r ∈ I berlaku f (r ) = r 2 . Buktikan bahwa f (x) = x 2 untuk setiap x ∈ I .
3
Misalkan f : [0, 1] → [0, 1] adalah fungsi kontraktif. Konstruksi barisan hxn i dengan x1 ∈ I dan xn+1 = f (xn ), n ∈ N. Buktikan bahwa hxn i konvergen ke suatu L ∈ [0, 1], dan L = f (L).
Hendra Gunawan
DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
Daftar Isi 8. KEKONTINUAN PADA INTERVAL
8.1 Kekontinuan pada Interval 8.2 Sifat-sifat Fungsi Kontinu pada Interval 8.3 Lebih jauh tentang Fungsi Kontinu pada Interval
Sebagaimana telah disinggung dalam Bab 2, interval [a, b] yang tertutup dan terbatas merupakan himpunan kompak di R. Sekarang kita akan mempelajari keistimewaan yang dimiliki oleh fungsi kontinu pada interval kompak [a, b].
Hendra Gunawan
DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
Daftar Isi 8. KEKONTINUAN PADA INTERVAL
8.1 Kekontinuan pada Interval 8.2 Sifat-sifat Fungsi Kontinu pada Interval 8.3 Lebih jauh tentang Fungsi Kontinu pada Interval
Teorema 9
Misalkan f kontinu pada interval [a, b]. Maka f ([a, b]) juga merupakan suatu interval kompak. Teorema ini merupakan konsekuensi dari beberapa teorema berikut.
Hendra Gunawan
DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
Daftar Isi 8. KEKONTINUAN PADA INTERVAL
8.1 Kekontinuan pada Interval 8.2 Sifat-sifat Fungsi Kontinu pada Interval 8.3 Lebih jauh tentang Fungsi Kontinu pada Interval
Teorema 10
Misalkan f kontinu pada suatu interval I . Maka daerah nilainya, yaitu f (I ), juga merupakan suatu interval.
Hendra Gunawan
DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
Daftar Isi 8. KEKONTINUAN PADA INTERVAL
8.1 Kekontinuan pada Interval 8.2 Sifat-sifat Fungsi Kontinu pada Interval 8.3 Lebih jauh tentang Fungsi Kontinu pada Interval
Teorema 11 (Teorema Nilai Antara) Misalkan f kontinu pada suatu interval I yang memuat a dan b. Jika u terletak di antara f (a) dan f (b), maka terdapat c di antara a dan b sedemikian sehingga f (c) = u. Catatan. Teorema 11 setara dengan Teorema 10. ‘Bukti’. Tanpa mengurangi keumuman, asumsikan a < b dan f (a) < u < f (b). Tinjau himpunan H := {x ∈ [a, b] : f (x) < u}. Jelas bahwa H 6= ∅ karena a ∈ H. Karena H juga terbatas, maka H mempunyai supremum, sebutlah c = sup H. Selanjutnya tinggal membuktikan bahwa f (c) = u, dengan menunjukkan bahwa tidak mungkin f (c) < u ataupun f (c) > u.
Hendra Gunawan
DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
Daftar Isi 8. KEKONTINUAN PADA INTERVAL
8.1 Kekontinuan pada Interval 8.2 Sifat-sifat Fungsi Kontinu pada Interval 8.3 Lebih jauh tentang Fungsi Kontinu pada Interval
Teorema 12 Misalkan f kontinu pada interval [a, b]. Maka f terbatas pada [a, b]. Bukti. Misalkan f tak terbatas pada [a, b]. Maka terdapat suatu barisan hxn i di [a, b] sedemikian sehingga |f (xn )| → +∞ untuk n → ∞.
(1)
Karena hxn i terbatas, maka menurut Teorema Bolzano Weierstrass terdapat suatu sub-barisan hxnk i yang konvergen ke suatu titik c ∈ [a, b]. Tetapi f kontinu di c, sehingga f (xnk ) → f (c) untuk k → ∞. Ini bertentangan dengan (1). Jadi mestilah f terbatas pada [a, b]. Hendra Gunawan
DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
Daftar Isi 8. KEKONTINUAN PADA INTERVAL
8.1 Kekontinuan pada Interval 8.2 Sifat-sifat Fungsi Kontinu pada Interval 8.3 Lebih jauh tentang Fungsi Kontinu pada Interval
Teorema 13 Misalkan f kontinu pada interval [a, b]. Maka f mencapai nilai maksimum dan nilai minimum pada [a, b]. Bukti. Dari Teorema 12 kita tahu bahwa f terbatas pada [a, b]. Misalkan v := sup f ([a, b]). Konstruksi barisan hxn i di [a, b] dengan f (xn ) → v untuk n → ∞. Karena hxn i terbatas, terdapat sub-barisan hxnk i yang konvergen ke suatu titik c ∈ [a, b]. Namun kekontinuan di c mengakibatkan f (xnk ) → f (c) untuk k → ∞. Jadi mestilah v = f (c), dan ini berarti bahwa v merupakan nilai maksimum. Serupa dengan itu, f juga mencapai nilai minimumnya.
Hendra Gunawan
DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
Daftar Isi 8. KEKONTINUAN PADA INTERVAL
8.1 Kekontinuan pada Interval 8.2 Sifat-sifat Fungsi Kontinu pada Interval 8.3 Lebih jauh tentang Fungsi Kontinu pada Interval
Contoh 14
Persamaan 10x 7 − 13x 5 − 1 = 0 mempunyai sebuah akar c ∈ (−1, 0). Misalkan f (x) = 10x 7 − 13x 5 − 1. Maka, f (−1) = 2 dan f (0) = −1. Karena f kontinu pada [−1, 0] dan 0 terletak di antara f (−1) dan f (0), maka menurut Teorema Nilai Antara terdapat c ∈ (−1, 0) sedemikian sehingga f (c) = 0. Bilangan c dalam hal ini merupakan akar persamaan di atas.
Hendra Gunawan
DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
Daftar Isi 8. KEKONTINUAN PADA INTERVAL
8.1 Kekontinuan pada Interval 8.2 Sifat-sifat Fungsi Kontinu pada Interval 8.3 Lebih jauh tentang Fungsi Kontinu pada Interval
Contoh 15
Misalkan f : [a, b] → [a, b] kontinu pada [a, b]. Maka, terdapat c ∈ [a, b] sedemikian sehingga f (c) = c. [Bilangan c demikian disebut sebagai titik tetap f .] Peta dari [a, b] merupakan himpunan bagian dari [a, b], sehingga f (a) ≥ a dan f (b) ≤ b. Tinjau g (x) = f (x) − x, x ∈ [a, b]. Karena f kontinu pada [a, b], maka g juga kontinu pada [a, b]. Namun g (a) = f (a) − a ≥ 0 dan g (b) = f (b) − b ≤ 0. Menurut Teorema Nilai Antara, mestilah terdapat c ∈ [a, b] sedemikian sehingga g (c) = 0. Akibatnya f (c) = c.
Hendra Gunawan
DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
Daftar Isi 8. KEKONTINUAN PADA INTERVAL
8.1 Kekontinuan pada Interval 8.2 Sifat-sifat Fungsi Kontinu pada Interval 8.3 Lebih jauh tentang Fungsi Kontinu pada Interval
Soal Latihan
1
Lengkapi Bukti Teorema Nilai Antara.
2
Buktikan bahwa setiap polinom berderajat ganjil mempunyai sedikitnya satu akar real.
3
Misalkan f kontinu pada suatu interval kompak I . Misalkan untuk setiap x ∈ I terdapat y ∈ I sedemikian sehingga 1 |f (y )| ≤ |f (x)|. 2 Buktikan bahwa terdapat suatu c ∈ I sedemikian sehingga f (c) = 0.
Hendra Gunawan
DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA