MATEMATIKA DASAR (Kardinalitas)

MATEMATIKA DASAR (Kardinalitas) Antonius Cahya Prihandoko Universitas Jember Indonesia Jember, 2015

Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ)

MDAS - Kardinalitas

Jember, 2015

1 / 19

Outline

1

Kardinalitas

2

Produk Kartesius

3

Representasi Komputer untuk Himpunan


MDAS - Kardinalitas

Jember, 2015

2 / 19

Outline

1

Kardinalitas

2

Produk Kartesius

3



MDAS - Kardinalitas

Jember, 2015

2 / 19

Outline

1

Kardinalitas

2

Produk Kartesius

3



MDAS - Kardinalitas

Jember, 2015

2 / 19

Kardinalitas


MDAS - Kardinalitas

Jember, 2015

3 / 19

Kardinalitas

Definisi Kardinalitas (atau bilangan kardinal) dari sebuah himpunan adalah banyaknya elemen dalam himpunan tersebut. Kardinalitas himpunan A dinotasikan |A|

Contoh Jika A = {e, f , g, h} maka |A| = 4 Jika N = {x|x 2 − 8x + 12 = 0} maka |N| = 2


MDAS - Kardinalitas

Jember, 2015

4 / 19

Kardinalitas




MDAS - Kardinalitas

Jember, 2015

4 / 19

Kardinalitas




MDAS - Kardinalitas

Jember, 2015

4 / 19

Kardinalitas




MDAS - Kardinalitas

Jember, 2015

4 / 19

Kardinalitas

Power Set Misalkan A adalah sebuah himpunan. Power set (himpunan kuasa) dari himpunan A adalah himpunan semua subset dari A, dan dinotasikan P(A)

Contoh Misalkan S = {a, b, c}, maka P(A) = { φ, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} }.


MDAS - Kardinalitas

Jember, 2015

5 / 19

Kardinalitas

Power Set Misalkan A adalah sebuah himpunan. Power set (himpunan kuasa) dari himpunan A adalah himpunan semua subset dari A, dan dinotasikan P(A)

Contoh Misalkan S = {a, b, c}, maka P(A) = { φ, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} }.


MDAS - Kardinalitas

Jember, 2015

5 / 19

Kardinalitas Teorema Misalkan A adalah sebuah himpunan dengan n elemen. Maka A memiliki 2n subset.

Bukti Misalkan A = {x1 , x2 , ..., xn }. Untuk menyusun sebuah subset B pada A kita dapat melaksanakan dengan melihat setiap elemen dari A secara berurutan dan memutuskan apakah element tersebut merupakan anggota atau bukan anggota dari B. Ada 2 kemungkinan untuk suatu elemen xi , apakah xi ∈ B ataukah xi 6∈ B. Indeks i bergerak dari 1 hingga n, sehingga total subset yang terbentuk adalah 2 × 2 × 2 × ... × 2 = 2n


MDAS - Kardinalitas

Jember, 2015

6 / 19

Kardinalitas Teorema Misalkan A adalah sebuah himpunan dengan n elemen. Maka A memiliki 2n subset.

Bukti Misalkan A = {x1 , x2 , ..., xn }. Untuk menyusun sebuah subset B pada A kita dapat melaksanakan dengan melihat setiap elemen dari A secara berurutan dan memutuskan apakah element tersebut merupakan anggota atau bukan anggota dari B. Ada 2 kemungkinan untuk suatu elemen xi , apakah xi ∈ B ataukah xi 6∈ B. Indeks i bergerak dari 1 hingga n, sehingga total subset yang terbentuk adalah 2 × 2 × 2 × ... × 2 = 2n


MDAS - Kardinalitas

Jember, 2015

6 / 19

Produk Kartesius


MDAS - Kardinalitas

Jember, 2015

7 / 19

Produk Kartesius

Definisi Produk Kartesius dari dua himpunan A dan B didefinisikan sebagai A × B = {(x, y)|x ∈ A, y ∈ B}

More generally Produk Kartesius dari n himpunan A1 , A2 , ..., An didefinisikan sebagai A1 × A2 × ... × An = {(x1 , x2 , ..., xn )|∀i ∈ {1, 2, ..., n}, xi ∈ Ai }


MDAS - Kardinalitas

Jember, 2015

8 / 19

Produk Kartesius

Definisi Produk Kartesius dari dua himpunan A dan B didefinisikan sebagai A × B = {(x, y)|x ∈ A, y ∈ B}

More generally Produk Kartesius dari n himpunan A1 , A2 , ..., An didefinisikan sebagai A1 × A2 × ... × An = {(x1 , x2 , ..., xn )|∀i ∈ {1, 2, ..., n}, xi ∈ Ai }


MDAS - Kardinalitas

Jember, 2015

8 / 19

Produk Kartesius

Produk Kartesius dan Komputasi Produk Kartesius muncul dalam komputasi saat kita berurusan dengan strings dari karakter-karakter yang didefinisikan berdasarkan aturan tertentu

Misalnya Pada beberapa komputer, kode pengguna yang mengidentifikasi seorang pengguna yang terdaftar harus berisikan 3 huruf, diikuti 3 digit angka, dan diakhiri dengan sebuah huruf. Misalnya XYZ 123A.


MDAS - Kardinalitas

Jember, 2015

9 / 19

Produk Kartesius

Produk Kartesius dan Komputasi Produk Kartesius muncul dalam komputasi saat kita berurusan dengan strings dari karakter-karakter yang didefinisikan berdasarkan aturan tertentu

Misalnya Pada beberapa komputer, kode pengguna yang mengidentifikasi seorang pengguna yang terdaftar harus berisikan 3 huruf, diikuti 3 digit angka, dan diakhiri dengan sebuah huruf. Misalnya XYZ 123A.


MDAS - Kardinalitas

Jember, 2015

9 / 19

Produk Kartesius Jika L adalah himpunan semua huruf dan D adalah himpunan semua digit angka, maka himpunan semua kode pengguna yang valid adalah L×L×L×D×D×D×L

Kode pengguna XYZ 123A berkorespondensi dengan elemen (X , Y , Z , 1, 2, 3, A) dalam himpunan L × L × L × D × D × D × L.

Catatan Perbedaan penulisan XYZ 123A dengan (X , Y , Z , 1, 2, 3, A) hanya pada notasi saja dan bukan secara prinsip.


MDAS - Kardinalitas

Jember, 2015

10 / 19





MDAS - Kardinalitas

Jember, 2015

10 / 19





MDAS - Kardinalitas

Jember, 2015

10 / 19

Produk Kartesius Kadang kita perlu membentuk produk Kartesius dari sebuah himpunan dengan dirinya sendiri. Jika A sebuah himpunan, maka produk Kartesius A × A × ... × A (sebanyak n kali) dinotasikan An An = {(x1 , x2 , ..., xn )|∀i ∈ {1, 2, ..., n}(xi ∈ A)}

Contoh 1: R 2 = {(x, y)|x, y ∈ R}

Contoh 2 Terkait dengan produk Kartesius {0, 1}n . Elemen (1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1) ∈ {0, 1}8 . Kita dapat memandang {0, 1}n sebagai himpunan semua string n bits.


MDAS - Kardinalitas

Jember, 2015

11 / 19


Contoh 1: R 2 = {(x, y)|x, y ∈ R}



MDAS - Kardinalitas

Jember, 2015

11 / 19


Contoh 1: R 2 = {(x, y)|x, y ∈ R}



MDAS - Kardinalitas

Jember, 2015

11 / 19



MDAS - Kardinalitas

Jember, 2015

12 / 19


Pengantar Beberapa bahasa pemrograman, seperti Pascal, memungkinkan himpunan-himpunan direkam dalam lingkungan tipe data tertentu, dimana elemen-elemen dari himpunan tersebut masuk dalam salah satu tipe data yang disediakan dalam bahasa tersebut, seperti integers atau characters.

Pertanyaannya: Bagaimana himpunan-himpunan disimpan dan dimanipulasi dalam sebuah komputer?


MDAS - Kardinalitas

Jember, 2015

13 / 19


Pengantar Beberapa bahasa pemrograman, seperti Pascal, memungkinkan himpunan-himpunan direkam dalam lingkungan tipe data tertentu, dimana elemen-elemen dari himpunan tersebut masuk dalam salah satu tipe data yang disediakan dalam bahasa tersebut, seperti integers atau characters.

Pertanyaannya: Bagaimana himpunan-himpunan disimpan dan dimanipulasi dalam sebuah komputer?


MDAS - Kardinalitas

Jember, 2015

13 / 19

Representasi Komputer untuk Himpunan Sebuah himpunan selalu didefinisikan dalam sebuah program dengan mengacu pada sebuah himpunan semesta S. Dalam konteks ini ada suatu perkecualian terhadap aturan yang secara umum menyebutkan bahwa urutan elemen suatu himpunan tidak relevan, karena perlu diasumsikan bahwa elemen-elemen dari himpunan semesta didaftar menurut urutan tertentu.

Setiap himpunan A yang muncul dalam program dan didefinisikan dengan mengacu pada himpunan semesta S merupakan sub himpunan pada S. Lalu bagaimana komputer menyimpan A secara internal?


MDAS - Kardinalitas

Jember, 2015

14 / 19

Representasi Komputer untuk Himpunan Sebuah himpunan selalu didefinisikan dalam sebuah program dengan mengacu pada sebuah himpunan semesta S. Dalam konteks ini ada suatu perkecualian terhadap aturan yang secara umum menyebutkan bahwa urutan elemen suatu himpunan tidak relevan, karena perlu diasumsikan bahwa elemen-elemen dari himpunan semesta didaftar menurut urutan tertentu.

Setiap himpunan A yang muncul dalam program dan didefinisikan dengan mengacu pada himpunan semesta S merupakan sub himpunan pada S. Lalu bagaimana komputer menyimpan A secara internal?


MDAS - Kardinalitas

Jember, 2015

14 / 19


The answer: A direpresentasikan dengan sebuah string n bits, b1 b2 ...bn , dimana n adalah bilangan kardinal dari S. Bit string b1 b2 ...bn dapat dipandang sebagai elemen (b1 , b2 , ..., bn ) dalam {0, 1}n . Bit tersebut ditentukan berdasarkan aturan: bi = 1 jika elemen ke-i dari S berada dalam A bi = 0 jika elemen ke-i dari S tidak berada dalam A dengan i bergerak dalam {1, 2, ..., n}


MDAS - Kardinalitas

Jember, 2015

15 / 19


Contoh Misalkan S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} 1

Tentukan representasi dari {2, 3, 5, 7} sebagai sebuah bit string!

2

Carilah himpunan yang direpresentasikan oleh bit string 1001011011!

Jawab: 1

representasi bit string dari {2, 3, 5, 7} adalah 0110101000

2

himpunan yang direpresentasikan oleh 1001011011 adalah {1, 4, 6, 7, 9, 10}


MDAS - Kardinalitas

Jember, 2015

16 / 19




2


Jawab: 1


2



MDAS - Kardinalitas

Jember, 2015

16 / 19




2


Jawab: 1


2



MDAS - Kardinalitas

Jember, 2015

16 / 19




2


Jawab: 1


2



MDAS - Kardinalitas

Jember, 2015

16 / 19




2


Jawab: 1


2



MDAS - Kardinalitas

Jember, 2015

16 / 19




2


Jawab: 1


2



MDAS - Kardinalitas

Jember, 2015

16 / 19

Representasi Komputer untuk Himpunan Operasi irisan, gabungan dan komplemen juga dapat dinyatakan dalam bit string, dengan catatan bahwa himpunan-himpunan yang terlibat menggunakan referensi himpunan semesta yang sama

Proses kalkulasi untuk mendapatkan bit string dari A ∩ B disebut operasi bitwise and. untuk mendapatkan bit string dari A ∪ B disebut operasi bitwise or. untuk mendapatkan bit string dari A disebut operasi bitwise not.


MDAS - Kardinalitas

Jember, 2015

17 / 19




MDAS - Kardinalitas

Jember, 2015

17 / 19




MDAS - Kardinalitas

Jember, 2015

17 / 19




MDAS - Kardinalitas

Jember, 2015

17 / 19

Representasi Komputer untuk Himpunan Contoh Jika bit string untuk himpunan A adalah 00101110 dan bit string untuk himpunan B adalah 10100101. Maka tentukan bit string untuk: A ∩ B, A ∪ B, dan A

Jawab: 1

bit string untuk A ∩ B adalah 00100100

2

bit string untuk A ∪ B adalah 10101111

3

bit string untuk A adalah 11010001

Coba cek kebenaran bit string tersebut dengan menggunakan operasi himpunan biasa Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ)

MDAS - Kardinalitas

Jember, 2015

18 / 19


Jawab: 1


2


3



MDAS - Kardinalitas

Jember, 2015

18 / 19


Jawab: 1


2


3



MDAS - Kardinalitas

Jember, 2015

18 / 19


Jawab: 1


2


3



MDAS - Kardinalitas

Jember, 2015

18 / 19


Jawab: 1


2


3



MDAS - Kardinalitas

Jember, 2015

18 / 19


Jawab: 1


2


3



MDAS - Kardinalitas

Jember, 2015

18 / 19

TERIMA KASIH

Selamat belajar dan sukses


MDAS - Kardinalitas

Jember, 2015

19 / 19

MATEMATIKA DASAR (Kardinalitas)

Recommend Documents