BAHAN AJAR MATAKULIAH :
KONSEP DASAR MATEMATIKA Disusun Oleh: Astuti Mahardika, M.Pd
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN GURU SEKOLAH DASAR FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MAGELANG 2013
BAB I HIMPUNAN A. Pengertian Himpunan Himpunan merupakan kumpulan dari obyek-obyek tertentu yang merupakan satu kesatuan tertentu. Masingmasing obyek yang merupakan anggota himpunan disebut elemen. Beberapa hal yang seringkali diperlukan untuk menyatakan sebuah himpunan antara lain notasi himpunan, simbol, konsep himpunan semesta dan diagram Venn. Himpunan biasanya dinotasikan dengan huruf besar sedangkan elemen-elemen dari himpunan dinotasikan dengan huruf kecil. Berikut ini beberapa hal yang berkaitan dengan konsepkonsep dalam himpunan : 1. Suatu himpunan A yang terdiri atas elemen-elemen, dan a merupakan salah satu elemen dari A, maka dapat dinotasikan dengan a S 2. Himpunan yang tidak memiliki elemen disebut sebagai himpunan kosong yang disimbolkan dengan atau { } 3. Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan menyebutkan sifat-sifatnya ataupun dengan mendaftar anggotaanggotanya. Misal: a. Himpunan bilangan prima kurang dari atau sama dengan 7, dapat dinyatakan dengan {x | x bilangan prima 7 } atau {2,3,5} b. Himpunan bilangan lebih dari sama dengan 10 dan kurang dari sama dengan 15, dapat dinyatakan dengan {x | 10 x 15 } atau {10,11,12,13,14,15} 4. Suatu himpunan harus dapat dinyatakan secara definitif, yakni secara tegas dinyatakan apakah sebuah obyek merupakan elemen atau bukan elemen himpunan tersebut. Contohnya : Konsep Dasar Matematika
1
a. “A adalah himpunan beberapa bilangan positif ganjil” merupakan pernyataan yang salah, karena tidak dapat dinyatakan 1 A atau 1 A, 8 A atau 8 A, dan sebagainya. b. Berbeda bila dinyatakan “A adalah himpunan tiga bilangan positif ganjil yang pertama” maka merupakan pernyataan yang benar karena elemenelemen A dapat disebutkan secara definitif, yaitu 1,3, 5 dan dapat diketahui bahwa 1 A atau 8 A 5. Banyaknya elemen yang berbeda di dalam suatu himpunan berhingga A disebut ordo A atau bilangan kardinal dari A, dan dinotasikan dengan |A| atau n(A). Contoh : a. Bila A = himpunan bilangan prima kurang dari 10, maka n(A) = 4 b. Bila X = himpunan huruf hidup dari huruf latin, maka n(A) = 5 Himpunan biasanya dinotasikan menggunakan huruf besar/kapital sedangkan elemen-elemen dari himpunan dinotasikan dengan huruf kecil. Dalam menyatakan sebuah himpunan, perlu diperhatikan pada batas mana himpunan tersebut dibicarakan. Ruang lingkup pembicaraan ini ditentukan oleh sebuah himpunan semesta. Himpunan semesta adalah himpunan yang elemennya meliputi semua obyek yang sedang dibicarakan. Himpunan semesta biasanya dinotasikan dengan S. Jadi, dalam sebuah semesta pembicaraan, setiap himpunan merupakan himpunan bagian dari himpunan semesta. Untuk memperjelas kedudukan sebuah himpunan dalam himpunan semesta dapat digunakan diagram Venn. Berikut contoh diagram Venn kedudukan himpunan A (himpunan huruf hidup) dalam himpunan semesta S (himpunan huruf latin) 2
Konsep Dasar Matematika
S
l b x
y
g z q
c
d
A i
j w
f
r
n
p
o
t
h
a u v
k e
m s
Gambar 2.1. Diagram Venn kedudukan himpunan A terhadap himpunan semesta S Latihan 2.1 Buatlah sebuah pernyataan himpunan, tentukan elemen-elemennya, ordo, dan buatlah dalam diagram Venn!
B. Relasi Antar Himpunan Dua atau lebih himpunan dapat saling memiliki hubungan atau relasi. Bentuk-bentuk relasi antar himpunan diantaranya himpunan bagian, himpunan sama, himpunan berpotongan, himpunan lepas dan himpunan ekuivalen. 1. Himpunan bagian Dapat dikatakan bahwa B merupakan himpunan bagian dari A (dinotasikan B A) jika dan hanya jika setiap elemen B juga merupakan elemen A. Sedangkan jika terdapat satu atau lebih elemen dari B yang tidak termuat dalam A maka dapat dikatakan bahwa B bukan himpunan bagian dari A atau dinotasikan B A. Contoh: Diketahui A = {1,2,3,4,5,6}, B = {1,2,3,4}, dan C = {2,4,6} maka dapat disimpulkan bahwa B A, C A, dan C B.
Konsep Dasar Matematika
3
S A
B
Gambar 2.2. Diagram Venn himpunan B himpunan bagian dari himpunan A (B A)
Sedangkan himpunan kosong dapat dikatakan merupakan himpunan bagian dari himpunan lain. Hal ini disebabkan tidak memiliki elemen sehingga tidak ada elemen pada himpunan kosong yang tidak terdapat pada himpunan lain. Misalnya X = {1,2,3} maka bila dinyatakan X menjadi pernyataan yang salah karena tidak ada elemen yang tidak termasuk dalam X. Jadi konsekuensinya X. Menyatakan himpunan bagian dan elemen merupakan hal yang berbeda. Misalnya dapat disebutkan bahwa 3 {2,3,4} tetapi bukan 3 {2,3,4}. Berbeda halnya jika angka 3 merupakan satu-satunya anggota himpunan tertentu, maka dapat dituliskan {3} {2,3,4} bukan {3} {2,3,4}. Banyaknya himpunan bagian dari suatu himpunan dapat diformulasikan dalam 2n di mana n adalah jumlah elemen himpunan. Contohnya N = {a,b,c} maka N akan memiliki himpunan bagian berjumlah 23 atau 8, yaitu {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, dan {a,b,c}. Latihan 2.2 Buatlah sebuah himpunan kemudian tentukan banyaknya himpunan bagian dan tuliskan!
4
Konsep Dasar Matematika
2. Himpunan sama Himpunan A dan B dikatakan sama (dinotasikan A = B atau B = A) jika dan hanya jika A B dan B A. S B
A
Gambar 2.3. Diagram Venn himpunan A sama dengan himpunan B (A = B)
Contoh : P = {1,2,3,4} dan Q = {3,2,4,1} adalah himpunan yang sama (P = Q atau Q = P). 2 M = {x x - 8x + 12 = 0} dan N = {2,6} adalah himpunan yang sama (M = N atau N = M). 3. Himpunan berpotongan Himpunan A dan B dikatakan berpotongan (dinotasikan A B) jika dan hanya jika ada elemen A yang menjadi elemen B. S A
B
Gambar 2.4. Diagram Venn himpunan A berpotongan dengan himpunan B (A B)
Contoh : A = {1,2,3,4,5} dan B = {2,4,6,8} berpotongan 2 M = {x x - 8x + 12 = 0} dan N = {2,3} berpotongan Konsep Dasar Matematika
5
Latihan 2.3 Berdasarkan pendefinisian himpunan sama dan himpunan berpotongan, dapatkah kita menyatakan bahwa setiap himpunan yang sama pasti berpotongan? Mengapa?
4. Himpunan lepas Himpunan A dan B dikatakan saling lepas (dinotasikan A B) jika dan hanya jika kedua himpunan itu tak kosong dan tidak mempunyai elemen yang sama. Contoh : A = {1,2,3,4} dan B = {6,7,8,9} saling lepas 2 M = {x x - 8x + 12 = 0} dan N = {1,3} saling lepas S A
B
Gambar 2.5. Diagram Venn himpunan A saling lepas dengan himpunan B (A B)
5. Himpunan ekuivalen Dua himpunan berhingga A dan B dikatakan ekuivalen (dinotasikan A B) jika hanya jika banyaknya elemen kedua himpunan sama (n(A) = n(B) atau |A| = |B|). Contoh : Himpunan A = {1,2,3,4} dan B = {a,b,c,d} ekuivalen Himpunan P = {a,b,c} dan Q = {p,q,r,s} tidak ekuivalen 2 M = {x x - 8x + 12 = 0} dan N = {5,7} ekuivalen 6
Konsep Dasar Matematika
Latihan 2.4 Coba Anda anda analisis, manakah di antara pernyataan berikut yang benar? Jelaskan alasannya! (a) (A B) maka (A = B) (b) (A = B) maka (A B)
C. Operasi Himpunan Ada beberapa operasi himpunan yang akan dibahas yaitu gabungan, irisan, komplemen, dan selisih. 1. Gabungan Gabungan himpunan A dan B (dinotasikan A B) adalah himpunan semua elemen A atau semua elemen B atau elemen keduanya. Didefiniskan : A B = {x xA atau xB} Hasil gabungan dari himpunan A dan B yang saling berpotongan ditunjukkan pada daerah yang diarsir dalam diagram Venn berikut. Untuk relasi himpunan yang berbeda akan memiliki diagram Venn yang berbeda pula. S A
B
Gambar 2.6. Diagram Venn A B pada relasi A B Contoh: Jika A = {a,b,c} dan B = {1,2} maka A B = {a,b,c,1,2} Jika P = {a,b,c,d} dan Q = {c,d,e,f} maka P Q = {a,b,c,d,e,f}
Konsep Dasar Matematika
7
Jika E = {xx bilangan genap} dan F= {xx bilangan ganjil} maka E F = {x x bilangan asli} Latihan 2.5 Gambarkan diagram Venn untuk gabungan dua himpunan pada relasi : himpunan bagian, himpunan sama, dan himpunan saling lepas !
2. Irisan Irisan himpunan A dan B (dinotasikan A B) adalah himpunan semua elemen persekutuan dari himpunan A dan B. Didefiniskan : A B = {x xA dan xB} Hasil irisan himpunan A dan B yang saling berpotongan ditunjukkan pada daerah yang diarsir dalam diagram Venn berikut. Untuk relasi himpunan yang berbeda akan memiliki diagram Venn yang berbeda pula. S A
B
Gambar 2.7. Diagram Venn A B pada relasi A B
Contoh: Jika A = {a,b,c} dan B = {1,2} maka AB={}= Jika P = {a,b,c,d} dan Q = {c,d,e,f} maka P Q = {c,d} Latihan 2.6 Jika P = {xx bilangan genap} dan Q = {xx bilangan prima}, tentukan P Q ! 8
Konsep Dasar Matematika
3. Komplemen Komplemen suatu himpunan A (dinotasikan Ac atau A-1) adalah himpunan semua elemen dalam semesta pembicaraan tetapi bukan elemen A. Didefinisikan: Ac = {x xS dan xA} Komplemen dari A ditunjukkan oleh daerah yang diarsir dalam diagram Venn berikut. S A
c
Gambar 2.8. Diagram Venn A terhadap himpunan semesta S
Contoh: Jika P = {a,b,c} dan S = {a,b,c,d,e,f,g,h} maka Pc = {d,e,f,g,h} c c A A = S dan A A = c c (A ) = A c c S = dan = S 4. Selisih Selisih dari himpunan A dan B (dinotasikan A – B) adalah himpunan semua elemen A yang bukan elemen B. Didefinisikan: A - B = {x xA dan xB} Hasil operasi A – B dari himpunan A dan B yang saling berpotongan ditunjukkan pada daerah yang diarsir dalam diagram Venn berikut.
Konsep Dasar Matematika
9
S A
B
Gambar 2.9. Diagram Venn A – B pada relasi A B
Contoh: Jika P = {a,b,c} dan Q = {1,2} maka P – Q = P Jika A = {a,b,c,d} dan B = {c,d,e,f} maka A – B = {a,b} Latihan 2.7 a. Tunjukkan daerah yang harus diarsir dalam gambar di atas apabila operasinya adalah B – A! b. Buatkanlah pula gambar diagram Venn untuk A – B pada relasi A B, relasi B A dan relasi A B !
D. Aplikasi Himpunan Perhatikan contoh permasalahan berikut! Di suatu sekolah dasar ada 120 siswa kelas 6 yang memesan buku pelajaran Matematika atau Sains melalui koperasi sekolah. Untuk buku pelajaran Matematika ada 85 pesanan, sedangkan untuk buku pelajaran Sains ada 67 pesanan. Setelah melakukan pembelian buku-buku tersebut, petugas koperasi harus menyiapkan paket-paket buku untuk didistribusikan kepada para siswa. Untuk memudahkan pendistribusian ini maka ia harus mengetahui: Berapa siswa yang memesan buku Matematika dan buku Sains? Berapa murid yang memesan buku Matematika saja? Berapa murid yang memesan buku Sains saja?
10
Konsep Dasar Matematika
Penyelesaian: Jika A = himpunan siswa yang memesan buku Matematika dan B = himpunan siswa yang memesan buku Sains, maka berdasarkan tinjauan terhadap persoalan di atas, himpunan A dan B merupakan himpunan yang berpotongan, sebagaimana ditunjukkan dalam diagram Venn berikut. S A
B
Karena kedua himpunan berpotongan, berarti terdapat siswa yang memesan kedua buku yang digambarkan pada irisan himpunan, banyak siswa tersebut dapat dihitung dari: n(AB) = n(A) + n(B) – n(AB) = 85 + 67 – 120 = 32 Jadi siswa yang memesan buku Matematika dan buku Sains sebanyak 32 orang. n(A – B) = n(A) – n(AB) = 85 – 32 = 53 Jadi siswa yang memesan buku Matematika saja sebanyak 53 orang. n(B – A) = n(B) – n(AB) = 67 – 32 = 35 Jadi siswa yang memesan buku Sains saja sebanyak 35 orang.
Konsep Dasar Matematika
11
Rangkuman 1. Himpunan merupakan kumpulan dari obyek-obyek tertentu yang merupakan satu kesatuan tertentu. Masingmasing obyek yang merupakan anggota himpunan disebut elemen dinyatakan dengan simbol sedangkan jika bukan elemen dinyatakan . 2. Himpunan yang tidak memiliki elemen disebut sebagai himpunan kosong yang disimbolkan dengan atau { }. 3. Banyaknya elemen yang berbeda di dalam suatu himpunan berhingga A disebut ordo A atau bilangan kardinal dari A, dan dinotasikan dengan |A| atau n(A). 4. Suatu himpunan B merupakan himpunan bagian dari A (dinotasikan B A) jika dan hanya jika setiap elemen B juga merupakan elemen A. Bila B bukan himpunan bagian dari A maka dapat dinotasikan B A. 5. Himpunan A dan B dikatakan himpunan sama (dinotasikan A = B atau B = A) jika dan hanya jika A B dan B A. 6. Himpunan A dan B dikatakan himpunan berpotongan (dinotasikan A B) jika dan hanya jika ada elemen A yang menjadi elemen B. 7. Himpunan A dan B dikatakan himpunan saling lepas (dinotasikan A B) jika dan hanya jika kedua himpunan itu tak kosong dan tidak mempunyai elemen yang sama. 8. Dua himpunan berhingga A dan B dikatakan himpunan ekuivalen (dinotasikan A B) jika hanya jika banyaknya elemen kedua himpunan sama (n(A) = n(B) atau |A| = |B|). 9. Gabungan himpunan A dan B (dinotasikan A B) adalah himpunan semua elemen A atau semua elemen B atau elemen keduanya. 10. Irisan himpunan A dan B (dinotasikan A B) adalah himpunan semua elemen persekutuan himpunan A dan B.
12
Konsep Dasar Matematika
11. Komplemen suatu himpunan A (dinotasikan Ac atau A-1) adalah himpunan semua elemen dalam semesta pembicaraan tetapi bukan elemen A. 12. Selisih dari himpunan A dan B (dinotasikan A – B) adalah himpunan semua elemen A yang bukan elemen B. Soal Untuk meningkatkan pemahaman anda pada bab ini, coba Anda kerjakan soal-soal berikut ini. 1. Tentukan apakah yang berikut ini dapat dibentuk suatu himpunan atau tidak! Mengapa? a. Kumpulan buku-buku besar b. Kumpulan guru-guru SD c. Benda-benda ringan d. Bilangan asli kurang dari 10 e. Gambar-gambar indah 2. Tulislah himpunan berikut dengan cara mendaftar anggotaanggotanya atau dengan notasi pembentuk himpunan. a. Himpunan huruf dalam kata “matematika” b. Himpunan bilangan asli lebih dari 20 3. Diketahui P = {1, 2, 3}, Q = {0, 1, 2}, R = {2, 3, 1}, dan S = {p, q, r}. Tentukan pasangan himpunan: a. sama c. berpotongan b. saling lepas d. ekuivalen 4. Tentukan banyaknya himpunan bagian dari himpunan berikut dan tuliskan masing-masing himpunan bagian tersebut! a. A = {a,b,c} b. Q = {5,6,7,8} 5. Diketahui beberapa himpunan berikut : S = {e, q, u, a, l, i, t, y} A = {l, i, t, e} B = {t, i, e} C = {q, u, e} Konsep Dasar Matematika
13
Tentukan : a. Ac b. A B c. A B
14
d. A – B e. (A B) C f. A (B C)
Konsep Dasar Matematika
