Matematika Terapan dan Pemodelan (RK 1441): Konsep Dasar Pemodelan

Matematika Terapan dan Pemodelan (RK 1441): Konsep Dasar Pemodelan

Dr. Heru Setyawan Jurusan Teknik Kimia FTI‐ITS http://www.its.ac.id/personal/material.php?id=heru‐che

Materi Pokok Formulasi matematika persoalan‐persoalan

Teknik Kimia Penyelesaian PD biasa dengan deret Fungsi‐fungsi khusus Penyelesaian analitik PD parsial

Dr. Heru Setyawan, Jurusan Teknik Kimia FTI-ITS

Daftar Pustaka Rice, R.G. and Duong, D.Do., Applied

Mathematics and Modeling for Chemical Engineers, John Willey, New York, 1995. Mickley, H.S., Sherwood, T.S. and Reed, C.E., Applied mathematics in Chemical Engineering, Mc.Graw Hill, New York, 1984. Jenson, V.G. and Jeffrey, G.V., Mathematical Methods in Chemical Engineering, Academic Press, London, 1977.


Penilaian Kehadiran

10% Tugas 30% Quiz I & II 30% UAS 30% 100%


Produksi Toluene dari n-heptane • • • • •

Berapa suhu reaktor? Bagaimana menentukan ukuran reaktor? Bagaimana mengetahui kebutuhan panas/energi? Bagaimana memisahkan produk? Dan lain lain

PLANT

Reaksi dehidrogenasi pada katalis Cr2O3: CH3CH2CH2CH2CH2CH2CH3 → C6H5CH3 + 4H2


Proses Problem-Solving Rekayasa Mendefinisikan masalah

TEORI

Model matematika Alat problem-solving: Komputer, statistika, metoda numerik, grafik, dll.

DATA

Interface masyarakat: penjadwalan, optimisasi, komunikasi, interaksi publik, dll.

Implementasi

Hasil angka atau grafik


Model Matematika Sederhana Model matematika: didefinisikan secara luas sebagai rumus atau persamaan yang menyatakan ciri pokok sistem fisik atau proses dalam bahasa matematika. Model dapat diwakili sebagai hubungan fungsional berbentuk:

Variabel = f ⎛ variabel , parameter, fungsi ⎞ ⎜ bebas ⎟ tak bebas penggerak ⎝ ⎠ • Variabel tak bebas: karakteristik yang biasanya mencerminkan perilaku atau keadaan sistem • Variabel bebas: biasanya dimensi, seperti waktu dan ruang, sepanjang mana perilaku sistem ditentukan • Parameter: merupakan cerminan sifat-sifat atau komposisi sistem • Fungsi penggerak: pengaruh luar yang bekerja pada sistem. Dr. Heru Setyawan, Jurusan Teknik Kimia FTI-ITS

Model Matematika Sederhana Hukum Newton II (tentang gerak): laju perubahan momentum sebuah benda sama dengan gaya resultante yang bekerja padanya.

F = ma dalam format persamaan diatas:

F a= m • a = variabel tak bebas yang mencerminkan perilaku sistem • F = fungsi penggerak • m = parameter yang mewakili sifat sistem Untuk kasus sederhana seperti ini tidak ada variabel bebas karena kita tidak memprediksi bagaimana percepatan berubah dalam waktu atau ruang.


Karakteristik Tipikal Model Matematika Fisik

Model matematika menggambarkan proses alam atau sistem dalam bahasa matematika. Model matematika mewakili idealisasi dan simplifikasi realitas. Yakni, model tersebut mengabaikan detail dari proses alam dan menfokuskan pada manifestasi intinya. Jadi, hukum Newton II tidak memasukkan pengaruh relativitas yang pengaruhnya kecil ketika dikenakan pada benda dan gaya yang berinteraksi pada atau disekitar permukaan bumi pada kecepatan dan pada skala yang tampak mata manusia. Model matematika menghasilkan hasil yang dapat diulangi, dan sebagai akibatnya, dapat digunakan untuk tujuan prediksi. Sebagai contoh, jika gaya pada benda dan massanya diketahui, persamaan diatas dapat digunakan untuk menghitung percepatan. Dr. Heru Setyawan, Jurusan Teknik Kimia FTI-ITS

Model Yang Lebih Kompleks Berapa kecepatan akhir batu jatuh bebas? Dalam hukum Newton II:

FA

Laju perubahan percepatan, dv/dt

Percepatan, a

m

F = FB + FA

FB Gaya-gaya yang bekerja pada benda jatuh

FA = −CDv

FB = mg

m

dv = mg − CDv dt

[

gm v(t ) = 1 − e − (C D CD

dibagi m

dv C =g− Dv dt m

v = 0 pada t = 0 • t = variabel bebas • CD, m = parameter • g = fungsi penggerak

dv =F dt

m )t

]


Tipe-Tipe Model Model Fisik

Realisasi fisik seperti apa adanya. Biasanya berukuran lebih kecil dan konstruksinya lebih sederhana dibandingkan dengan prototipe yang dimodelkan dan diwakili. Contoh:

Berukuran lebih kecil: Model skala pesawat terbang, kapal, saluran air Berukuran sama tetapi konstruksinya sederhana: Perancangan atau desain mobil Peralatan proses ukuran laboratorium atau pilot plant

Model Konseptual

realisasi fisik seperti apa adanya, tetapi merupakan saran atau usulan pernyataan realisasi fisik. Realisasi fisik dari saran adalah sebuah kalimat yang dinyatakan dalam bahasa yang sesuai. Jika menggunakan bahasa matematika, kalimat tersebut disebut persamaan. Dr. Heru Setyawan, Jurusan Teknik Kimia FTI-ITS

Model Proses Konseptual Model Variabel output

Variabel input

Variabel internal

Pernyataan Parameter proses Parameter non‐proses

• Dalam model proses konseptual terdapat pernyataan yang mengandung parameter-parameter; • Setiap pernyataan: • merupakan model dari sebuah sub-fenomena. • menyatakan hubungan antara input dan output sub-fenomena yang menjadi pertanyaan. Dr. Heru Setyawan, Jurusan Teknik Kimia FTI-ITS

Hubungan Proses dan Model Proses

Ruang model

Ruang fisik

Besaran dan pernyataan

Fenomena proses

Model proses Parameter proses

Peralatan proses

Parameter non‐proses

Sifat fisika

Besaran lain

Proses


Manfaat Model Matematika Riset dan pengembangan: menentukan mekanisme

kinetika kimia dan parameter‐parameter dari data reaksi laboratorium atau pilot plant; mengeksplorasi pengaruh kondisi operasi yang berbeda untuk optimisasi dan studi pengendalian; membantu dalam perhitungan scale‐up. Desain: Mengeksplorasi ukuran dan susunan peralatan proses untuk unjuk kerja dinamis; mempelajari interaksi bermacam‐macam bagian proses, khususnya ketika digunakan recycle bahan atau integrasi panas; mengevaluasi proses alternatif dan struktur pengendali dan strategi; mensimulasikan start‐up, shutdown, dan situasi dan prosedur darurat. Operasi pabrik: troubleshooting masalah pengendali dan proses; membantu dalam start‐up dan training operator; mempelajari pengaruh dari dan kebutuhan untuk proyek ekspansi (menghilangkan bottleneck); mengoptimalkan operasi pabrik. Dr. Heru Setyawan, Jurusan Teknik Kimia FTI-ITS

Klasifikasi Model matematika ¾ Model teoritis: dikembangkan menggunakan prinsip kimia dan fisika. ¾ Model empiris: diperoleh dari analisa matematika (statistika) data operasi proses. ¾ Model semiempiris: mongkompromikan antara (a) dan (b), dengan satu atau lebih parameter dievaluasi dari data eksperimen atau plant.

Pembedaan model teoritis-empiris didasarkan pada tujuan penggambaran pernyataan dan bukan pada kedalaman pengetahuan.


Perbandingan Model Teoritis dan Empiris Teoritis

Empiris

mencoba menggambarkan

tidak mencoba menggambarkan

meknisme dari sebuah fenomena (menggambarkan hubungan sebab‐ akibat dari suatu mekanisme). Karena keterbatasan pengetahuan tentang fisika ruang‐waktu, gambaran hubungan sebab‐akibat ini dibatasi pada tingkat penggambaran yang sangat kasar. Contoh: dalam rekayasa proses digunakan aksioma kontinum dan bukan teori kuantum. membutuhkan pemahaman tentang mekanisme sehingga membutuhkan sangat banyak pengetahuan (pemahaman) dan sangat banyak kerja untuk mengembangkan. dapat digunakan untuk mengekstrapolasi dengan resiko yang lebih kecil dibandingkan dengan pernyataan empiris.

mekanisme. tidak didasarkan pada teori yang menyatakan mekanisme tersebut. didasarkan pada data yang diperoleh melalui pengalaman (percobaan dan pengamatan) tanpa interpretasi eksplisit tentang data melalui sebuah teori. mengkorelasikan data empiris menggunakan metoda statistika. lebih mudah untuk mengembangkan daripada pernyataan teoritis. hanya dapat digunakan untuk ekstrapolasi dengan resiko yang sangat besar karena model empiris tidak memberikan implikasi apapun tentang keabsahannya diluar kisaran data dimana data tersebut didasarkan. Dr. Heru Setyawan, Jurusan Teknik Kimia FTI-ITS

Ilustrasi Model Teoritis dan Empiris Penentuan faktor friksi f untuk aliran fluida incompressible dalam pipa. Aliran laminar: Dari persamaan konservasi memontum dan persamaan fluida Newtonian: 16 f= Re < 2100 Re

f = 0,079 Re −0,25

Aliran turbulent:

3000 < Re < 3 × 105

Faktor friksi, f

0.1

0.01

0.001 2 10

3

10

4

10

5

10

6

10

Bilangan Reynolds, Re Dr. Heru Setyawan, Jurusan Teknik Kimia FTI-ITS

Rangkuman Model yang sering digunakan dalam teknik kimia: Model fisik: realisasi fisik seperti apa adanya tetapi berukuran lebih kecil dan konstruksinya lebih sederhana dibandingkan dengan prototipe yang dimodelkan dan yang diwakili. Model konseptual: saran atau usulan pernyataan realisasi fisik yang dinyatakan dalam bahasa yang sesuai dimana dalam teknik bahasa yang paling sering digunakan adalah bahasa matematika yang umumnya disebut persamaan atau model matematika. Model matematika hanyalah merupakan suatu

pendekatan dari suatu proses nyata yang tidak dapat menggambarkan secara rinci fenomena fisika, baik makroskopis maupun mikroskopis, yang menyertai proses tersebut. Uji plant tetap dibutuhkan untuk mengkonfirmasi validitas model dan membuktikan ide dan rekomendasi penting yang timbul dari studi model.


Soal 1. Jawab benar atau salah dan diskusikan jawaban anda: a. Saat ini perhatian dapat lebih diberikan kepada masalah formulasi matematika proses teknik kimia dan interpretasinya karena komputer dan metoda numerik menfasilitasi penyelesaian problema teknik kimia. b. Hukum kedua Newton merupakan contoh yang bagus dari fakta bahwa sebagian besar hukum‐hukum fisika didasarkan pada laju perubahan besaran daripada pada besarnya besaran. c. Model matematika seharusnya tidak pernah digunakan untuk tujuan prediksi. 2. Dean (Ph.D. Thesis, University of London, 1974) mengukur variasi kecepatan garis pusat uc dalam daerah masuk aliran udara diantara dua pelat sejajar yang skemanya ditunjukkan pada gambar dibawah. u0

y

uc

2L

x Daerah masuk

Daerah terkembang penuh


Soal Hasil pengukuran, yang dinyatakan sebagai jarak tak berdimensi x/L dan kecepatan pusat tak berdimensi uc/u0, ditunjukkan pada tabel dibawah. x/L

18

29

40

55

65

78

90

100

115

150

uc/u0 1,062 1,082 1,11 1,125 1,15 1,16 1,165 1,138 1,13 1,12

Buat grafik x/L lawan uc/u0 berdasarkan data yang disajikan pada tabel diatas. b. Cari persamaan yang pas yang menghubungkan uc/u0 sebagai fungsi x/L untuk data tersebut. Dapatkah data tersebut diwakili oleh satu persamaan? Jika tidak, berikan saran agar semua data terwakili! c. Termasuk klasifikasi yang manakah persamaan yang diperoleh pada (b) diatas? a.


Soal 3. Data berikut dilaporkan untuk kesetimbangan uap‐cair untuk campuran biner benzene dan toluene: x

0,167

0,333

0,500

0,667

0,833

y

0,320

0,550

0,710

0,830

0,930

dimana x dan y berturut‐turut mewakili fraksi mol benzene dalam cairan dan uap. a. Tunjukkan bagaimana data ini dapat diplotkan untuk menghasilkan garis lurus jika volalitas relatif adalah konstan. Jika benzene dan toluene dianggap mengikuti hukum Raoult, volatilitas relatif α dapat dianggap konstan dan hubungan antara x dan y bisa dinyatakan sebagai: αx y= 1 + (α − 1)x b. Paskan garis lurus terbaik dengan titik‐titk pada suatu grafik dengan (i) pengamatan visual garis lurus melalui titik‐titik dan (ii) metoda rata‐rata. c. Tentukan volatilitas relatif rata‐rata campuran dengan menggunakan garis lurus yang diperoleh. d. Termasuk tipe persamaan yang manakah persamaan diatas? Diskusikan! Dr. Heru Setyawan, Jurusan Teknik Kimia FTI-ITS

Matematika Terapan dan Pemodelan (RK 1441): Konsep Dasar Pemodelan

Recommend Documents