Seri Mata Kuliah : PEMODELAN dan MATEMATIKA TERAPAN
PRINSIP DASAR PEMODELAN
1
dan MODEL MATEMATIS
1.1. Prinsip Dasar Pemodelan Secara fundamental, pemodelan di dalam kajian-kajian proses teknik kimia dan proses adalah : • Penggambaran kinerja suatu aktivitas, sistem atau proses • Membangun persamaan matematis yang dapat menggambarkan kinerja suatu proses (secara fisik)
1.2. Persamaan Matematis Didalam aktivitas pemodelan di dalam permasalahan teknik kimia dan proses, umumnya dihasilkan suatu bentuk atau sistem persamaan matematis. Secara garis besar, bentuk-bentuk persamaan yang mungkin terbentuk adalah : 1. Persamaan Aljabar : manakala proses berlangsung secara tunak atau penggambaran kinerja proses statik. – Hubungan antar variabel : linier atau non-linier (PAL atau PANL) – Jumlah persamaan (variabel anu) : tunggal atau jamak/serempak (PA atau SPA) – Pengungkapan : eksplisit atau implisit. 2. Persamaan Diferensial : bila proses yang digambar-kan berlangsung secara dinamis (unsteady state process, time dependent proses) : – Hubungan antar variabel : linier atau non-linier – Jumlah persamaan (jumlah variabel terikat yang dideferensialkan) : tunggal Property of Setijo Bismo
Halaman (1)
Seri Mata Kuliah : PEMODELAN dan MATEMATIKA TERAPAN
atau jamak – Dimensi perubahan (dinamisasi variabel) : biasa (PDB) atau parsial (PDP) – Pengungkapan : eksplisit atau implisit.
Persamaan Aljabar • K =y x
• q =m& c p ∆T +m& λ y1 = x1 +2 x 2 2 y 2 = x1 ⋅x 2 −x 2
•
Persamaan Diferensial • d x A dt = k ⋅ C A ,0 ⋅ ( 1 − x A ) d (N X C )= F R X CR + R −V Y C dt dy 1 d θ = k1 y1 ⋅ y 2 −k 2 y 22 • 2 dy 2 d θ = k 3 y1
•
1.3. Strategi Pemahaman Suatu Model Matematis Secara konseptual, diperlukan pemahaman yang mendasar tentang persamaan-persamaan model yang terbentuk, sebagai berikut : A. Tidak mungkin semua variabel tidak diketahui (harganya) dan tidak mungkin semua variabel/ besaran diketahui (dull equation). B. Persamaan Tunggal : hanya satu variabel yang harus dihitung, simbol atau besaran lainnya disebut konstanta atau paramater (yang diketahui harganya). C. Persamaan Jamak (n buah) : hanya n buah variabel yang harus dihitung, teliti dan pelajari parameter/ besaran lain yang berperan sebagai konstanta. Penyelesaian model ini umumnya memerlukan harga awal atau tebakan, dilakukan secara iteratif dan serempak. D. Jika pembentukan model telah sesuai dengan kaidah dan sistematika yang benar : solusi dapat terarah (konvergen).
Property of Setijo Bismo
Halaman (2)
Seri Mata Kuliah : PEMODELAN dan MATEMATIKA TERAPAN
1.4. Penalaran atau Aliran Logika Pemodelan Model matematis yang terbentuk disyaratkan harus memenuhi aliran logika, baik yang bersifat fisika maupun matematis. Pada dasarnya, model matematis tersebut harus mampu menggambarkan diagram aliran informasi dasar dari permasalahan yang dimaksudkan. Di bawah ini, secara sederhana diberikan suatu bentuk persamaan atau model matematis sebagai berikut :
d {N X C } = F R X CR + R − V Y C dt Sebagai Persamaan Diferensial Biasa Eksplisit, persamaan di atas memiliki 2 kelompok posisi variabel/parameter/ konstanta, yaitu satu fihak di RUAS KIRI (N dan XC) dan di fihak lain berada pada RUAS KANAN (FR, XCR, R, V dan YC). Bila diinginkan mencari atau menyelesaikan persamaan di atas, maka perlu difahami diagram aliran logika berikut : R FR, XCR V, YC
d {N X C } = FR X CR + R − V YC dt
XC
N
Property of Setijo Bismo
Halaman (3)
Seri Mata Kuliah : PEMODELAN dan MATEMATIKA TERAPAN
BEBERAPA CONTOH MODEL Kasus #1 :
F1 ZZ0
Z F2
Mempunyai DIAGRAM ALIR INFORMASI DASAR sbb : Masukan
Persamaan-persamaan Sistem
F1, F2
dZ A = F1 − F2 dt
A
Keluaran
dZ dt
Z =
dZ dt dt
∫
Z
Blok Diagram Informasi Dasar
Secara lebih ringkas, diagram alir kerja MODEL dari Kasus #1 ini adalah sbb : Masukan
Persamaan Sistem
F1, F2 A
A
dZ = F1 − F2 dt
Keluaran
Z
Model Kasus #1
Property of Setijo Bismo
Halaman (4)
Seri Mata Kuliah : PEMODELAN dan MATEMATIKA TERAPAN
Kasus # 2 : k
k
1 2 A → B → C
RA = k1 C A ,
RB = k1 C A − k 2 C B
Secara sistematik, diagram kerja MODEL dari Kasus #2 ini adalah sbb :
Masukan CA,0, CB,0 k 1, k 2
Persamaan Sistem dC A = k1 C A dt
Keluaran
CA, CB
dC B = k1 C A − k 2 C B dt
Model Kasus #2 Dalam mencari solusi (jawab) dari Kasus #2 ini sebagai fungsi dari waktu, baik secara analitis maupun numeris diperlukan sejumlah HARGA AWAL (initial values), sbb : 1. CA,0 2. CB,0 dan sejumlah TETAPAN (laju reaksi), sbb : 1. k1 2. k2
SOLUSI “PDB” dengan “HARGA AWAL” Property of Setijo Bismo
Halaman (5)
