Pemodelan Matematika pada Penularan PENYAKIT TUBERCULOSIS

Buku Referensi

Pemodelan Matematika pada Penularan PENYAKIT TUBERCULOSIS

Syafruddin Side Wahidah Sanusi

Pemodelan Matematika pada Penularan Penyakit Tuberculosis Hak Cipta @ 2016 Oleh Syafruddin & Wahidah Hak Cipta dilindungi undang-undang Cetakan Pertama, 2016 Diterbitkan oleh Badan Penerbit Universitas Negeri Makassar, Hotel La Macca Lt 1 JI. A. P. Petta Rani Makassar 90222 Telepon/Fax. (0411) 855 199 Anggota IKAPI No. 011/SSL/2010 Anggota APPTI No. 093/KTA/APPTI/X/2015 Dilarang memperbanyak buku ini dalam bentuk apa pun tanpa izin tertulis dari penerbit

Pemodelan Matematika pada Penularan Penyakit Tuberculosis,– Oleh Syafruddin & Wahidah Cet. 1

Lay out /Format: Badan Penerbit UNM Makassar: Badan Penerbit Universitas Negeri Makassar Makassar, 2016 73 hlm, 21 cm Biblliografi: 71 hlm ISBN 978-602-9075-17-5

KATA PENGANTAR

Penulis mengucapkan puji Syukur kepada Allah Subhanahu Wata’Ala, karena atas limpahan rahmat hinayah dan hidayah-Nya, sehingga penulis dapat merampungkan penulisan Buku Referensi ini. Salam dan salawat juga selalu tercurah kepada Rasulullah Muhammad Sallallahu Alaihi Wasallam, yang telah menjadi teladan bagi seluruh ummat Islam di dunia. Buku Referensi ini menjelaskan tentang pemodelan matematika SIR dan SEIR pada penularan penyakit Tuberculosis (TB), serta analisis dan simulasi Model SIR dan SEIR pada penularan penyakit TB dengan studi kasus di provinsi Sulawesi Selatan. Buku referensi ini merupakan hasil penelitian fundamental di bidang matematika dan kesehatan. Pemodelan matematika adalah salah satu bagian Matematika yang merupakan pengembangan Aljabar, Analisis dan Persamaan Differensial, karena isi dari pemodelan matematika, sebagian besar merupakan penerapan atau aplikasi di bidang tersebut. Untuk mempermudah perhitungan, paket MAPLE digunakan. Pemodelan matematika SIR dan SEIR ini dapat dijadikan rujukan untuk penelitian di bidang terapan khususnya bidang kesehatan. Buku referensi ini juga dapat dijadikan rujukan untuk mata kuliah pemodelan matematika sehingga diharapkan dapat menjadi bahan bacaan bagi peneliti dan mahasiswa. Buku Referensi ini berisi tujuh bab, dimana antara bab yang satu dengan yang lain saling terkait dan menjadi syarat untuk bab berikutnya, sehingga pembaca harus memahami dengan teliti setiap babnya. Penulis menyadari bahwa Buku Referensi ini masih jauh dari kesempurnaan, karena itu kritik dan saran yang sifatnya membangun

i

sangat penulis harapkan. Akhirnya penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah memberikan masukan sampai selesainya Buku Referensi ini. Semoga Buku Referensi ini bermanfaat untuk kita semua. Amin Makassar,

Penulis

ii

2016

DAFTAR ISI Kata Pengantar Daftar Isi Daftar Tabel Daftar Gambar Senari Simbol

i iii v vi ix

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Model Matematika 1.2 Klasifikasi Model 1.3 Tahapan Pemodelan Matematika

1 1 2 3

BAB II DEMAM BERDARAH DI SULAWESI SELATAN 2.1 Penularan Tuberculosis 2.2 Kasus Tuberculosis 2.3 Kasus Tuberculosis Di Sulawesi Selatan

5 5 6 7

BAB III TINJAUAN PUSTAKA 3.1 Kajian Model Tuberculosis 3.2 Model SIR Pada Penularan Tuberculosis 3.3 Model SEIR Pada Penularan Tuberculosis 3.4 Fungsi Lyapunov

9 9 11 12 15

BAB IV MODEL SIR DAN SEIR 4.1 Pembentukan Model SIR Penularan TB 4.2 Pembentukan Model SEIR Penularan TB

17 17 20

BAB V ANALISIS DAN SOLUSI NUMERIK MODEL SIR DAN SEIR 5.1 Analisis Kestabilan Model SIR dan SEIR 5.2 Analisis Kestabilan Global 5.3 Kestabilan Global Keseimbangan Epidemik

25 25 26 30

iii

BAB VI SIMULASI MODEL SIR DAN SEIR PENULARAN TUBERCULOSIS DI SULAWESI SELATAN 6.1 Simulasi Model SIR Penularan TB di SulSel 6.2 Simulasi Model SEIR Penularan TB di SulSel 6.3 Kadar Pembiakan Semula Penularan TB di Sulawesi Selatan

35 35 49 60

BAB VII PENUTUP 7.1 Kesimpulan 7.2 Saran

63 63 64

Daftar Pustaka

65

iv

DAFTAR TABEL No. Tabel

Halaman

3.1

Kajian Matematika tentang Model SIR dan SEIR Penularan TB

9

6.1

Jumlah Kasus Tuberculosis di Propinsi Sulawesi Selatan

35

6.2

Jumlah Kasus Tuberculosis Terbesar di Kab/Kota Tahun 2010

36

6.3


36

6.4


36

6.5


37

6.6

Syarat Awal dan Nilai Paramter Model SIR Penularan TB

37

6.7

Tipe dan Kestabilan Berdasarkan Nilai Eigen

Kritis

39

6.8

Syarat awal dan Nilai Parameter Model SEIR Penularan TB

49

v

Titik

DAFTAR GAMBAR No. Gambar

Halaman

3.1

Diagram populasi manusia model SIR Penularan TB

11

3.2

Diagram populasi manusia model SEIR Penularan TB

13

4.1

Skema populasi manusia untuk penularan TB model SIR.

17

4.2

Skema populasi manusia untuk penularan TB model SEIR.

20

6.1

Jumlah kasus TB di Sulawesi Selatan Tahun 2010-2013.

41

6.2

Hasil Running Software MatLab Untuk Model SIR

41

6.3

Penularan TB dengan Propinsi Sulawesi Selatan

awal

42

6.4

Jumlah kasus TB di Sulawesi Selatan dan Kota Makassar Tahun 2010-2013

43

6.5

Penularan TB dengan syarat awal Kota Makassar

43

6.6

Jumlah kasus TB di Sulawesi Selatan dan Kab. Bone Tahun 2010-2013

44

6.7

Penularan TB dengan syarat awal Kab. Bone

44

6.8

Jumlah kasus TB di Sulawesi Selatan dan Kab. Gowa Tahun 2010-2013

45

6.9

Penularan TB dengan syarat awal Kab. Gowa

45

vi

syarat

6.10

Jumlah kasus TB di Sulawesi Selatan dan Kab. Takalar Tahun 2010-2013

46

6.11

Penularan TB dengan syarat awal Kab. Takalar

46

6.12

Jumlah kasus TB di Sulawesi Selatan dan Kab. Pinrang Tahun 2010-2013

47

6.13

Penularan TB dengan syarat awal Kab. Pinrang

47

6.14

Jumlah kasus TB di Sulawesi Selatan dan Kab. Wajo Tahun 2010-2013

48

6.15

Penularan TB dengan syarat awal Kab. Wajo

48

6.16

Hasil Running Software MatLab Untuk Model SIR

52

6.17

Penularan TB dengan Propinsi Sulawesi Selatan

awal

53

6.18

Jumlah kasus TB di Sulawesi Selatan dan Kota Makassar Tahun 2010-2013

54

6.19

Penularan TB dengan syarat awal Kota Makassar

54

6.20

Jumlah kasus TB di Sulawesi Selatan dan Kab. Bone Tahun 2010-2013

55

6.21

Penularan TB dengan syarat awal Kab. Bone

55

6.22

Jumlah kasus TB di Sulawesi Selatan dan Kab. Gowa Tahun 2010-2013

56

6.23

Penularan TB dengan syarat awal Kab. Gowa

56

6.24

Jumlah kasus TB di Sulawesi Selatan dan Kab. Takalar Tahun 2010-2013

57

6.25

Penularan TB dengan syarat awal Kab.

57

vii

syarat

Takalar 6.26

Jumlah kasus TB di Sulawesi Selatan dan Kab. Pinrang Tahun 2010-2013

58

6.27

Penularan TB dengan syarat awal Kab. Pinrang

58

6.28

Jumlah kasus TB di Sulawesi Selatan dan Kab. Wajo Tahun 2010-2013

59

6.29

Penularan TB dengan syarat awal Kab. Wajo

59

viii

SENARAI SIMBOL Nh

total populasi manusia

Sh

jumlah manusia berpotensi terinfeksi virus TB

Eh

jumlah manusia memperlihatkan gejala terinfeksi virus TB

Ih

jumlah manusia terinfeksi virus TB

Ii

jumlah manusia terinfeksi TB oleh manusia yang terinfeksi

Rh

jumlah manusia yang telah sembuh

µh

laju kelahiran/kematian dari populasi manusia

δh

laju populasi manusia terinfeksi karena virus menjadi sehat

ϕh βh

laju populasi manusia terinfeksi karena manusia yang terinfeksi menjadi sembuh laju populasi manusia suspek menjadi infeksi karena virus

σh

populasi manusia suspek menjadi eksposed

φh

laju populasi manusia eksposed menjadi terinfeksi virus

F1

titik keseimbangan pertama

F2

titik keseimbangan kedua

L

matriks Jakobi

L(t)

fungsi Lyapunov

W(t)

fungsi Lyapunov

L1(t)

fungsi untuk populasi manusia

t

waktu

ix

ruang riil positif berdimensi lima ruang riil positif berdimensi empat nilai eigen laju pembiakan semula D

daerah penyelesaian

x

BAB 1 PENDAHULUAN

B

ab ini akan menguraikan tentang pengertian model matematika, jenis-jenis model dan tahapan dalam pembentukan model matematika yang diambil dari Bab Pendahuluan pada buku terbitan sebelumnya yaitu Pemodelan Matematika dan Solusi Numerik untuk Penularan Demam Berdarah (Syafruddin Side dan Yulita Molliq, 2015) yang merupakan rangkuman dari buku dan paper yang ditulis oleh Bitman S dan Clara, 2011; Edward A, 2000; Frank R, 2003; V. A. Bokil, 2009, serta hasil pemikiran dari penulis pada. Bagian ini diharapkan dapat mengantar pembaca untuk memahami tentang pemodelan matematika sebelum lebih lanjut membaca bagian selanjutnya dari buku ini yang lebih spesifik menguraikan pemodelan matematika tentang penularan penyakit tuberculosis dengan studi kasus di provinsi Sulawesi Selatan yang merupakan hasil penelitian fundamental.

1.1

Model Matematika

Kata model dalam kehidupan sehari-hari, sering digunakan, dan mengandung arti. Sebagai contoh, kata bangunan, gambar dan penyakit merupakan representasi dari suatu masalah. Misalnya: model bangunan, model rumah, dan model penyakit. Secara umum istilah di atas menggambarkan adanya hubungan antara unsur-unsur dari bangunan atau rumah dengan modelnya. Contoh dalam bidang matematika, perbandingan antara panjang dan lebar persegipanjang dengan modelnya. Dalam model rumah juga mesti diketahui panjang lebarnya, tetapi tidaklah berarti bahwa model rumah dan rumah itu sendiri sama ukuranya dalam setiap hal. Secara singkat dapat dijelaskan bahwa jika ada suatu benda A (dapat berupa masalah, fenomena) dan modelnya B, maka akan terdapat sekumpulan unsurPendaduluan

1

unsur dan B yang mempunyai padanan dengan A. Demikian pula terdapat suatu hubungan yang berlaku antara unsur-unsur di B yang sesuai dengan unsur-unsur sebagai padanannya di A. Hubungan antara komponen-komponen dalam suatu masalah yang dirumuskan dalam suatu persamaan matematik yang memuat komponen-komponen itu sebagai variabelnya, dinamakan model matematika. Proses untuk memperoleh model dari suatu masalah disebut pemodelan matematika. Kegunaan yang dapat diperoleh dari model matematika ini antara lain: 1) Menambah kecepatan, kejelasan, dan kekuatan gagasan dalam jangka waktu yang relatif singkat; 2) Deskripsi masalah menjadi pusat perhatian; 3) Mendapatkan pengertian atau kejelasan mekanisme dalam masalah; 4) Dapat digunakan untuk memprediksi kejadian yang akan muncul dari suatu fenomena; 5) Sebagai dasar perencanaan dan kontrol dalam pembuatan kebijakan, dan lain-lain. 1.2

Klasifikasi Model

Klasifikasi pembentukan model suatu model seringkali dikelompokkan berdasarkan upaya memperolehnya, keterkaitan waktu atau, sifat keluarannya. Model yang disamarkan atas upaya memperolehnya misalnya adalah model teoritik, mekanistik, dan empiris. Model teoritik digunakan bagi model yang diperoleh dari teori-teori yang berlaku. Model mekanistik digunakan bila model tersebut diperoleh berdasarkan maknisme pembangkit fenomena. Model empirik digunakan bagi model yang diperoleh hanya dari pengamatan tanpa didasarkan pada teori atau pengetahuan yang membangkitkan fenomena tersebut. Model mekanistik dapat digunakan untuk lebih mengerti tentang proses pembangkit fenomena, biasanya lebih sedikit parameternya, serta luas kawasan berlakunya. Bila mekanisme fenomena tersebut sukar dipahami, maka model empirik akan sangat berguna. Model yang terkait pada waktu disebut model dinamik, sedangkan model yang tidak terkait dengan waktu disebut model statik. Jika perubahan model dinamik terjadi secara kontinu dalam waktu, maka model ini disebut model diskrit. Jika output suatu model dapat ditentukan secara pasti dan berpadanan dengan hasil dari fenomenanya, maka model disebut model

2

Pemodelan Matematika pada penularan Penyakit Tuberculosis

deterministik. Jika tidak, berarti ada kepastian dari keluarannya (variabel acak). Model seperti ini disebut model stokastik. Jadi pada model stokastik outputnya tidak sepenuhnya dapat dispesifikasikan oleh bentuk model dan parameternya, tetapi mengandung variabel lain yang dapat ditentukan secara pasti. Umumnya tidak ada kepastian kesesuaian output suatu model, tetapi jika ketidakpastian itu dapat diabaikan, maka model deterministik cukup ampuh digunakan. Pada bagian buku ini diuraikan model deterministik pada penularan penyakit demam berdarah yang merupakan hasil penelitian dari penulis. 1.3

Tahapan Pemodelan Matematika

Model matematika yang biasa ditemukan dalam buku referensi merupakan model akhir yang kelihatan rapi dan teratur. Apakah model itu menyatakan peramalan sesuatu yang akan terjadi atas dasar apa yang dimiliki, atau apakah model itu merupakan hubungan–hubungan kenormalan sekelompok data. Dalam kenyataan banyak upaya atau tahapan yang harus dilalui sebelum sampai pada hasil akhir tersebut. Tiap tahap memerlukan pengertian yang mendalam, utuh tentang konsep, teknik, intuisi, pemikiran kritis, kreatifitas, serta pembuatan keputusan. Bahkan faktor keberuntunganpun dapat saja terjadi. Berikut ini diberikan suatu metodologi dasar dalam proses penentuan model matematika atau sering disebut pemodelan matematika. Tahapan tersebut adalah: 1) Masalah. Adanya masalah nyata yang ingin dicari solusinya merupakan awal kegiatan penyelidikan. Masalah tersebut harus diidentifikasi secara jelas, diperiksa dengan teliti menurut kepentingannya. Bila masalahnya bersifat umum, maka diupayakan menjadi masalah khusus atau operasional; 2) Identifikasi masalah. Masalah yang diteliti perlu diidentifikasi, yaitu pengertian yang mendasar tentang masalah yang dihadapi, asumsi-asumsi yang jelas dan sesuai termasuk pemilihan variabel yang relevan dalam pembuatan model serta keterkaitanya; 3) Membangun Model. Membangun atau membentuk model merupakan penterjemahan dari masalah ke dalam persamaan matematika yang menghasilkan model matematik. Ini biasanya merupakan tahap yang paling penting dan Pendaduluan

3

sulit. Semakin memahami masalah yang dihadapi dan semakin kuat penguasaan matematik seseorang, maka akan sangat membantu memudahkan dalam mencari modelnya. Dalam pemodelan selalu diusahakan untuk mencari model yang sesuai tetapi sederhana. Makin sederhana model yang diperoleh untuk tujuan yang ingin dicapai makin dianggap baik model itu. Dalam hal ini model yang digunakan ada-kalanya lebih dari satu persamaan, bahkan merupakan suatu sistem, atau suatu fungsi dengan variabel-variabel dalam bentuk persamaan parameter. Hal ini tergantung anggapan yang digunakan. Tidak tertutup kemungkinan pada tahap ini juga dilakukan "uji coba" , karena model matematik ini bukanlah merupakan hasil dari proses sekali jadi. Deduksi sifat-sifat yang diperoleh dari model yang digunakan; 5) Analisis Model. Pada tahap ini model yang umumnya merupakan abstraksi masalah yang sudah disederhanakan, sehingga hasilnya mungkin berbeda dengan kenyataan yang diperoleh. Untuk itu model yang diperoleh ini perlu dianalisis, sejauh mana model itu dapat dianggap memadai dalam merepresentasikan masalah yang dihadapi. Analisis yang digunakan terdiri dari berbagai metode tergantung model yang diiperoleh. Dalam model matematika, analisis yang sering digunakan adalah pelinearan, fungsi Lyapunov, dan fungsi Green; 6) Uji Model. Model yang sudah dianalisis kemudian diuji dengan bantuan software matematika sepaerti MatLab, Maple, Matematica, dan lain-lain. Apabila model yang dibuat dianggap tidak memadai, maka terdapat kemungkinan bahwa perumusan model yang digunakan atau karakterisasi masalah masih banyak belum sesuai, sehingga perlu diadakan perubahan pada model.

4


BAB II

TUBER CULOSI S DI SULAWESI SELATAN

B

ab ini menjelaskan tentang penyakit Tuberculosis (TBC) yaitu bagaimana cara penularan penyakit, virus pembawa penyakit dan cara penanggulangan TBC yang dilakukan selama ini. Bagian ini juga menjelaskan keadaan penyakit TBC di Indonesia secara umum dan di Sulawesi Selatan secara khusus.

2.1. Penularan Tuberkulosis Tuberkulosis (TBC) merupakan penyakit menular langsung yang disebabkan oleh kuman mycobacterium tuberculosis. Sebagian besar kuman menyerang paru-paru melalui saluran pernafasan, tetapi juga dapat mengenai organ tubuh lainya (KKRI, 2007). Sumber penularan penyakit TBC adalah ketika seorang penderita TBC batuk, bersin, atau berbicara, maka secara tak sengaja keluarlah droplet nuklei dan jatuh ke tanah, lantai, atau tempat lainya. Jika droplet terkena sinar matahari atau suhu udara yang panas, droplet nuklei tadi akan menguap. Menguapnya droplet bakteri ke udara dibantu dengan pergerakan angin akan membuat bakteri tuberkulosis yang terkandung dalam droplet nuklei terbang ke udara. Jika bakteri ini terhirup oleh orang sehat maka orang itu berpotensi terkena infeksi bakteri tuberkulosis (Arfandi, 2012). Infeksi TBC dibedakan menjadi dua macam yaitu, terinfeksi secara latent dan terinfeksi secara aktif. Terinfeksi secara latent adalah kondisi dimana didalam tubuh penderita terdapat bakteri TBC yang bersifat dormant (tidur), tidak menimbulkan penyakit TBC dalam tubuh penderita, namun dalam kurun waktu tertentu bakteri yang bersifat dormant tadi dapat bangun dan menjadi aktif. Orang yang Tuberculosis di Sulawesi Selatan

5

terinfeksi secara latent disebut penderita latent TBC. Penderita latent TBC tidak menularkan bakteri TBC kepada orang yang rentan terhadap penyakit TBC. Terinfeksi secara aktif adalah kondisi dimana tubuh penderita bakteri TBC bersifat aktif berkembangbiak dan menimbulkan gejala penyakit TBC. Orang yang terinfeksi secara aktif disebut penderita aktif TBC. Penderita aktif TBC dapat menularkan penyakit TBC kepada orang yang rentan terhadap penyakit TBC (Lisa, 2009). Penderita latent TBC dan penderita aktif TBC dapat sembuh, namun mereka tidak bersifat imun atau kebal. Dalam jangka waktu tertentu penderita TBC yang sudah sembuh dapat terinfeksi kembali dan menjadi penderita TBC. Dari rangkaian kejadian terinfeksinya orang oleh bakteri TBC dapat digambarkan bahwa dalam suatu populasi terbagi-bagi menjadi suatu sub-sub populasi. Yaitu sub populasi susceptible adalah sub populasi yang rentan terhadap penyakit TBC, sub populasi latent infectious adalah sub populasi penderita latent TBC, sub populasi active infectious adalah sub populasi penderita penyakit TBC dan recovered adalah sub populasi sembuh dari latent TBC dan aktif TBC (Lisa, 2009). 2.2. Kasus Tuberkulosis Organisasi Kesehatan Sedunia (WHO) (2009) menyatakan bahawa sepertiga penduduk dunia telah terinfeksi, 9 juta pasien TBC baru dan 3 juta kematian akibat TBC di seluruh dunia, 95% kasus TB dan 98% kematian akibat TBC di dunia terjadi pada negara-negara berkembang (Arfandi, 2012). Tanpa penanganan dan pengendalian dalam jangka waktu 20 tahun TBC akan membunuh 35 juta orang (Lisa, 2009). Melihat kondisi tersebut, Badan Kesehatan Dunia (WHO) menyatakan bahwa TBC sebagai kedaruratan global sejak tahun 1993. Indonesia merupakan salah satu negara berkembang yang menjadi epidemik TBC, jumlah pasien TBC di Indonesia merupakan ke-3 terbanyak di dunia setelah India dan Cina dengan jumlah pasien sekitar 10% dari total jumlah pasien di dunia (KKRI, 2008). Tahun 2010 Indonesia turun ke peringkat ke-5 dan masuk dalam milestone atau pencapaian kinerja 1 tahun Kementerian Kesehatan. Pada Global Report WHO 2010, didapat data TBC Indonesia, Total seluruh kasus

6


TB tahun 2009 sebanyak 294731 kasus, dimana 169213 adalah kasus TB baru BTA positif, 108616 adalah kasus TB BTA negatif, 11215 adalah kasus TB Extra Paru, 3709 adalah kasus TB Kambuh, dan 1978 adalah kasus pengobatan ulang diluar kasus kambuh. Penderita TBC di Indonesia pada tahun 2009 sebanyak 231.370 orang. Provinsi dengan peringkat 5 tertinggi penderita TBC adalah Jawa Barat, Jawa Timur, Jawa Tengah, Sumatera Utara, dan Sulawesi Selatan. Perkiraan kasus TB paru BTA positif di Jawa Barat sebanyak 44.407, Jawa Timur sebanyak 39.896, Jawa Tengah sebanyak 35.165, Sumatera Utara sebanyak 21.197, dan Sulawesi Selatan sebanyak 16.608 (Profil Kesehatan Indonesia, 2009). 2.3. Kasus Tuberculosis di Sulawesi Selatan Jumlah Penderita TBC di ibukota Sulsel ini mengalami peningkatan dalam empat tahun terakhir, karena pada tahun 2003 baru tercatat 809 orang dengan angka kesembuhan 96 persen, 2004 naik menjadi sebanyak 1.304 penderita dengan kesembuhan 97 persen dan 2005 naik lagi menjadi 1.655 penderita dengan cure rate 122 persen. "Untuk menekan jumlah kasus TBC, sejak 2003 lalu penderita TBC diberi pelayanan kesehatan gratis di seluruh Puskesmas dan rumah sakit yang ada di Makassar," kata dr Syerly Natar, Wakil Supervisor TBC Paru Diskes Makassar. Sementara penderita TBC yang sudah diobati di Sulsel pada periode 2006 tercatat sebanyak 10.226 orang sedang kasus baru yang ditemukan pada tahun yang sama mencapai 8.463 orang. Dari keseluruhan kasus tersebut, sekitar 58 persen penderitanya adalah laki-laki dan 22 persen yang berumur 22 tahun ke atas yang merupakan usia produktif. (Kompas, 2008). Jumlah penderita penyakit tuberculosis (TBC) di Sulawesi Selatan masih tinggi. Berdasarkan data Dinas Kesehatan (Dinkes) Provinsi, pada 2011, penderita penyakit menular ini mencapai 8.939 kasus. Angka ini meningkat signifikan dibanding tahun sebelumnya yang hanya 7.783 kasus. Kabupaten Takalar menduduki peringkat pertama dalam jumlah kasus dengan pertumbuhan penderita TBC di atas 109 %, menyusul kota Pare-Pare 79%, Pinrang 75 %, disusul Makassar 70% dan terendah Kabupaten Luwu 33 % serta Jeneponto 36 Tuberculosis di Sulawesi Selatan

7

%. Kepala Dinas Kesehatan Rachmat Latief mengatakan, tingginya jumlah penderita disebabkan beragam faktor seperti lingkungan tempat tinggal yang berpotensi menyebabkan penularan TBC. Selain itu, minimnya pencahayaan di dalam rumah membuat penyakit itu mudah menyebar. Menurutnya, satu penderita TB mampu menular ke 10 orang. Faktor lain kata dia adalah faktor perilaku. Penderita HIV/AIDS sangat berisiko mengidap Tuberculosis. Kontribusi dari perilaku tidak sehat mencapai 5-10% setiap tahun serta terjadinya mal nutrisi (Herni amir, 2012). Model matematika merupakan salah satu alat yang dapat digunakan memprediksi jumlah penderita TBC. Beberapa peneliti telah membuat model tentang penularan penyakit demam berdarah (Van D D, 2007; Tracy A, 2008; Ashley T, 2010; I.K Dontwi; Idianto, 2013 dan K Queena, 2012) tetapi model-model tersebut belum menghasilkan prediksi yang paling sesuai, oleh karena itu penelitian ini akan membuat model SIR dan SEIR pada penularan penyakit TBC dengan data Riil jumlah kasus TBC di Sulawesi Selatan.

8


BAB III TINJAUAN PUSTAKA

B

ab ini menguraikan model-model SIR atau SEIR untuk penularan penyakit Tuberculosis (TBC) yang telah dilakukan oleh peneliti-peneliti sebelumnya. Kajian-kajian tersebut disajikan dalam tabel sehingga memudahkan pembaca dalam mengetahui kajian-kajian pendukung penelitian ini. Bagian ini juga menjelaskan gambaran umum pembentukan model SIR dan SEIR menggunakan gambar, sehingga mudah dipahami sebelum ke pemodelan matematika sebenarnya.

3.1. Kajian Model Tuberculosis Kajian-kajian sebelumnya tentang model matematika untuk demam berdarah dari berbagai negara dapat dilihat dalam Tabel 3.1. Tabel 3.1 Kajian Matematika Tentang TBC, Model SIR dan l SEIR Penulis Pertama, Populasi Thn Carlos C; 2003 Tidak ada

P.Van Den D; 2007

Tidak ada

Tracy A; 2008

Tidak ada

Model Model Persamaan Differensial Biasa Model deterministik

Kesimpulan Model dengan dinamik

penyakit Control

Model penyakit dengan memperhatikan laten dan kambuh. Model Model penyebaran deterministik dinamik TBC SIR dengan SIMULINK

Tinjauan Pustaka

9

Juan P. A; 2009

Tidak ada

Model Stokastik

Ashley T; 2010

Tidak ada

Model Deterministik SIR

K. Queena F; 2012

Tidak ada

Model Deterministik SIR

Idianto; 2013

Tidak ada

Model Deterministik SEI

I.K. Dontwi; 2014

Ghana

Model deterministik SEIR

Syafruddin S; 2010

Malaysia

Model SEIR deterministik

Syafruddin S; 2011

Malaysia

Model SEIR deterministik

Model menggunakan data demografi dan epidemiologi lological dan pola yang dihasilkan model dibandingkan dan digunakan untuk menilai kemungkinan penyebab penurunan historis tuberkulosis. Model Penyebaran TBC dengan Populasi tertutup untuk kasus multi-drug-resistent TBC Model Penyebaran TBC menggunakan metode Range Kutta orde 4 Analisis kestabilan lokal Model dinamik penularan TBC satu dengan Terapi Model yang disajikan berfungsi untuk memprediksi penularan TBC Prediksi jumlah kasus demam berdarah di Selangor dengan model SEIR Simulasi kasus demam berdarah

10 Pemodelan Matematika pada penularan Penyakit Tuberculosis

Syafruddin S; 2013

Tidak ada

Syafruddin S; 2013

Indonesia

Model deterministik SIR dan SEIR Model SIR deterministik

dengan model SEIR Analisis kestabilan model SIR dan SEIR menggunakan Fungsi Lyapunov Prediksi jumlah kasus demam berdarah di Sulawesi Selatan dengan model SIR

3.2 Model SIR Pada Penularan Tuberculosis Pembentukan Model SIR penularan TBC dibentuk dengan membagi populasi manusia menjadi tiga sub-populasi yaitu Suspected, Infected, dan Recovered (SIR) atau rentan, terinfeksi dan sehat kembali. Perubahan yang terjadi pada populasi manusia dapat didefinisikan dalam bentuk diagram seperti Gambar 2.1.

µh N h

Infected 2

Suspected

µh

γβ h I h

βh

µh

µh

Infected 1 ϕh

Recovered

δh

µh

Gambar 3.1 Diagram populasi manusia model SIR.

Tinjauan Pustaka

11

Untuk membuat pemodelan penularan TBC didasarkan pada asumsi bahwa faktor yang mempengaruhi laju perubahan jumlah manusia yang mudah ditulari terhadap waktu adalah jumlah kelahiran populasi manusia yaitu µ h N h , jumlah manusia yang telah terinfeksi yaitu γβ h I h S h dengan γβ h I h adalah laju hubungan manusia yang terinfeksi karena virus yang berasal dari manusia yang terinfeksi virus TBC I h . Juga kematian dari populasi manusia yang bisa terinfeksi yaitu µ h S h pada waktu yang sama. Laju perubahan jumlah manusia terinfeksi terhadap waktu bergantung kepada jumlah populasi manusia yang telah terinfeksi, jumlah kematian populasi manusia yang terinfeksi µ h I h dan jumlah populasi manusia yang sembuh dari infeksi yaitu δ h I h dalam waktu yang sama. Laju perubahan jumlah manusia terinfeksi karena virus dari manusia terinfeksi terhadap waktu bergantung kepada laju perubahan jumlah populasi manusia yang telah terinfeksi akibat virus yang ditularkan manusia terinfeksi , jumlah kematian populasi manusia yang terinfeksi µ h I h dan jumlah populasi manusia yang sembuh dari infeksi yaitu ϕ h I h dalam waktu yang sama. Jumlah populasi manusia yang pulih (Recovered), Rh akan mengalami perubahan sesuai perubahan waktu. Laju perubahan jumlah populasi manusia yang pulih terhadap waktu adalah selisih dari jumlah manusia yang telah sembuh dari jangkitan ϕ h I i dan jumlah populasi manusia yang sembuh dari infeksi yaitu δ h I h dengan jumlah kematian pada manusia yang sehat kembali, µ h Rh pada waktu yang sama.

Gambar 2.1 akan menjadi

acuan dalam membuat model SIR. 3.3. Model SEIR Pada Penularan Tuberculosis Polusi semakin meningkat dan berkelanjutan pada saat ini sehingga menjadi peringatan untuk semua negara di belahan dunia, hal ini menyebabkan terjadinya pemanasan global hingga terjadi perubahan iklim. Negara-negara di Asia Tenggara, khususnya Indonesia juga 12 Pemodelan Matematika pada penularan Penyakit Tuberculosis

merasakan dampak dari pemanasan global. Musim penghujan hampir terjadi sepanjang tahun, akibatnya penyakit yang biasanya muncul setelah musim hujan tidak lagi dapat diprediksi seperti penyakit TBC. Penyakit TBC di propinsi Sulawesi Selatan menjadi ancaman serius bagi lebih dari delapan juta penduduk tahun 2014 , ditambah lagi kurangnya kesadaran masyarakat tentang pentingnya kesehatan, sehingga perlu mendapat perhatian pihak pemerintah, khususnya kementerian kesehatan. (Fajar, Maret 2014). Oleh karena itu, model penularan TBC memerlukan satu tambahan variabel untuk melengkapi model SIR yaitu variabel populasi manusia yang memperlihatkan gejala terinfeksi. Perubahan yang berlaku pada setiap populasi manusia dapat didefinisikan dalam Gambar 2.2.

µh N h

µh

Suspected

βh

σh

µh

Exposed

φh

γφ h I h

µh

Infected 2

ϕh

Recovered

Infected 1

µh

δh

µh

Gambar 3.2 Diagram populasi manusia model SEIR.

Tinjauan Pustaka

13

Sama halnya dengan model SIR, model ini juga mempunyai faktor utama penyebab manusia terinfeksi TBC, yang berbeda dengan model SIR adalah model SEIR membagi populasi manusia N h kepada empat sub-populasi yaitu manusia berpotensi terinfeksi virus TBC,

S h , manusia yang memperlihatkan gejala ditulari virus TBC, Eh , manusia yang telah terinfeksi virus TBC, I h , dan manusia yang telah sembuh, Rh . Kajian ini mengasumsikan bahwa terdapat manusia dalam populasi ini yang telah ditulari virus tetapi belum dapat menularkan ke manusia lain, tetapi mampu menyebabkan penularan virus. Setiap manusia dikategorikan dalam satu bagian saja dalam satu waktu. Setiap manusia dalam grup S h mempunyai kemungkian untuk memperlihatkan gejala terinfeksi virus TBC pada kadar σ h S h , langsung terinfeksi β h I h dan meninggal µ h S h . Sedangkan laju manusia yang terinfeksi oleh penularan virus demam berdarah φ h E h , manusia yang terinfeksi disebabkan oleh manusia yang telah terinfeksi γφ h I h E h . Selanjutnya, jika manusia telah ditulari oleh virus TBC, mereka akan diberikan rawatan. Penelitian ini mengandaikan bahwa setiap manusia yang dirawat akan menjadi kebal sepanjang hidupnya sehingga tidak lagi tertular penyakit TBC. Ini disebabkan karena belum ada vaksin spesifik yang mampu melawan virus TBC. Kadar manusia yang sembuh dari penularan virus disebabkan rawatan atau jangka waktu jangkitan dalam tubuh individu adalah δ h I h dan kadar manusia yang sembuh dari penularan virus dari manusia yang terinfeksi dalam tubuh individu adalah ϕ h I i . Gambar 2.2 akan menjadi acuan dalam membuat model SEIR.


3.4 Fungsi Lyapunov Memperoleh penyelesaian dari model SIR dan SEIR bagi epidemik penyakit TBC tersebut wajib dilakukan. Tetapi model SIR dan SEIR yang merupakan bentuk sistem persamaan diferensial tidaklah mudah diperoleh menggunakan metode analisis, khususnya sistem persamaan tak linier. Metode pelinearan sangat sulit menganalisis model dengan sistem yang berdimensi empat dan berdimensi lima sehingga parameter yang digunakan cukup banyak. Metode yang paling sesuai untuk persamaan non-linear multidimensi adalah metode fungsi Lyapunov (A. Korobeinikov, 2004). Metode ini menganalisis titik-titik kesetimbangan model yaitu penyelesaian positif, kestabilan global bebas penyakit dan kestabilan global epidemik dari kedua model. Metode fungsi Lypunov ini menghasilkan teorema mengenai analisis tersebut.

Tinjauan Pustaka

15


BAB IV MODEL SIR DAN SEIR PADA PENULARAN TUBERCULOSIS

B

ab ini menguraikan penurunan model matematika SIR dan SEIR pada penularan Tuberculosis (TBC) yang merupakan sistem persamaan diferensial biasa berdimensi empat dan berdimensi lima. Kedua model kemudian disederhanakan berdasarkan asumsi sehingga membentuk sistem persamaan diferensial biasa berdimensi tiga dan berdimensi empat. Bagian selanjutnya akan menguraikan langkah-langkah solusi dalam menyelesaikan model matematika SIR dan SEIR.

4.1

Pembentukan Model SIR Penularan TB

Perubahan yang terjadi pada setiap populasi manusia pada penularan penyakit TB untuk model SIR dapat ditafsirkan dalam bentuk gambar skema 4.1

µh N h

µh

Sh

γβ h I h

βh

µh

Ih Ii

ϕh

δh Rh

µh

µh

Gambar 4.1 Skema populasi manusia untuk penularan TB model SIR.

Laju perubahan jumlah manusia yang mudah ditulari terhadap waktu  dS h  dipengaruhi oleh jumlah kelahiran populasi manusia iaitu  dt 

Model SIR dan SEIR pada Penularan Tuberculosis

17

µ h N h dikurangi jumlah manusia terinfeksi oleh virus langsung dan jumlah manusia terinfeksi karena virus dari manusia terinfeksi yaitu

γβ h I h S h dan β h S h juga jumlah manusia sehat µ h S h yang meninggal dapat ditafsirkan sebagai berikut:

dS h = µ h N h − β h S h − γβ h I h S h − µ h S h dt

(1)

Laju perubahan jumlah manusia terinfeksi terhadap waktu

 dI h   dipengaruhi oleh jumlah populasi manusia yang telah   dt  terinfeksi karena virus langsung dikurangi jumlah kematian populasi manusia yang terinfeksi µ h I h dan jumlah populasi manusia yang sembuh dari jangkitan yaitu

δ h I h dapat ditafsirkan sebagai berikut:

dI h = β h S h − (µ h + δ h )I h dt

(2)

 dI i    dt 

Laju perubahan jumlah manusia terinfeksi terhadap waktu 

dipengaruhi oleh jumlah populasi manusia yang telah terinfeksi karena karena virus manusia terinfeksi dikurangi jumlah kematian populasi manusia yang terinfeksi µ h I i dan jumlah populasi manusia yang sembuh dari jangkitan yaitu

ϕ h I h dapat ditafsirkan sebagai berikut:

dI i = γβ h I h S h − (µ h + ϕ h )I i dt

(3)

Laju perubahan jumlah populasi manusia yang pulih terhadap waktu  dRh  adalah selisih daripada jumlah manusia yang telah sembuh dari    dt 


infeksi

δ h I h dan µ h I i dengan jumlah kematian manusia pulih

µh Rh dapat ditafsirkan sebagai berikut:

dRh = δ h I h + ϕ h I i − µ h Rh dt

(4)

Gambar 5.1 juga dapat ditafsirkan dalam bentuk model matematika yaitu model persamaan differensial tidak linear sebagai berikut : dS h = µ h N h − β h S h − γβ h I h S h − µ h S h dt dI h = β h S h − (µ h + δ h )I h dt


(5)

dRh = δ h I h + ϕ h I i − µ h Rh dt Dengan N h (t ) = S h (t ) + I h (t ) + I i (t ) + Rh (t ) atau

Rh (t ) = N h (t ) − ( S h (t ) + I h (t ) + I i (t )) Sistem persamaan (5) adalah persamaan differensial tidak linear untuk model SIR dari penyakit TB. Model yang dihasilkan dapat disederhanakan dengan mengandaikan pecahan-pecahan berikut: I S I x(t ) = h , y (t ) = h and z (t ) = i Nh Nh Nh Sehingga model populasi manusia untuk penularan penyakit TB dapat disederhankan seperti pada persamaan (6) berikut: dx = µ h − β h x − γβ h xy − µ h x dt dy = β h x − αy dt dz = γβ h xy − ηz dt (6) Dengan α = µ h + δ h dan η = µ h + ϕ h .

Model SIR dan SEIR pada Penularan Tuberculosis

19

4.2

Pembentukan Model SEIR Penularan TB

Perubahan yang terjadi pada setiap populasi manusia pada penularan penyakit TB untuk model SIR dapat ditafsirkan dalam bentuk gambar skema 5.1.

µh N h

µh

Sh

σh

βh

µh

Eh

γφh I h µh ϕh

φh Ii

δh Rh

Ih

µh

µh

Gambar 4.2 Skema populasi penularan TB model SEIR. Laju perubahan jumlah manusia yang mudah ditulari terhadap dS waktu  h  dipengaruhi oleh jumlah kelahiran populasi manusia  dt  yaitu µ h N h dikurangi jumlah manusia terinfeksi oleh virus langsung

β h S h , jumlah manusia memperlihatkan gejala terinfeksi σ h S h dan jumlah manusia sehat yang meninggal µ h S h dapat ditafsirkan sebagai berikut:

dS h = µ h N h − (σ h + β h + µ h )S h dt

(7)

Laju perubahan jumlah manusia yang memperlihatkan gejala terinfeksi terhadap waktu  dE h  dipengaruhi oleh jumlah manusia  dt 

memperlihatkan gejala terinfeksi σ h S h dikurangi jumlah populasi manusia yang telah terinfeksi karena virus langsung φ h E h , jumlah 20 Pemodelan Matematika pada penularan Penyakit Tuberculosis

populasi manusia yang telah terinfeksi karena virus dari manusia terinfeksi

γφh I h Eh dan jumlah kematian populasi manusia

µ h Eh dapat ditafsirkan sebagai berikut: dE h = σ h S h − γφ h I h E h − φ h E h − µ h E h dt

(8)

Laju perubahan jumlah manusia terinfeksi langsung oleh virus terhadap waktu  dI h  dipengaruhi oleh jumlah populasi manusia  dt 

yang telah terinfeksi karena virus langsung β h S h dan jumlah manusia memperlihatkan gejala terinfeksi (Exposed) φ h E h dikurangi jumlah kematian populasi manusia yang terinfeksi µ h I h dan jumlah populasi manusia yang sembuh dari jangkitan yaitu

δ h I h dapat ditafsirkan

sebagai berikut:

dI h = β h S h + φ h E h − (µ h + δ h )I h dt

(9)

Laju perubahan jumlah manusia terinfeksi karena virus dari manusia terinfeksi terhadap waktu  dI i  dipengaruhi oleh jumlah  dt 

populasi manusia yang telah terinfeksi karena virus manusia terinfeksi dikurangi jumlah kematian populasi manusia yang terinfeksi µ h I i dan jumlah populasi manusia yang sembuh dari jangkitan yaitu

ϕ h I h dapat ditafsirkan sebagai berikut: dI i = γφ h I h E h − (µ h + ϕ h )I i dt

(10)

Laju perubahan jumlah populasi manusia yang pulih terhadap waktu  dRh  adalah selisih dari jumlah manusia yang telah sembuh dari    dt 

infeksi

δ h I h dan µ h I i dengan jumlah kematian manusia pulih

µh Rh dapat ditafsirkan sebagai berikut: Model SIR dan SEIR pada Penularan Tuberculosis

21

dRh (11) = δ h I h + µ h I i − µ h Rh dt Gambar 5.2 juga dapat ditafsirkan dalam bentuk model matematika yaitu model persamaan differensial tidak linear sebagai berikut : dS h = µ h N h − (σ h + β h + µ h )S h dt dE h = σ h S h − γφ h I h E h − φ h E h − µ h E h dt

dI h = β h S h + φ h E h − (µ h + δ h )I h dt dI i = γφ h I h E h − (µ h + ϕ h )I i dt

dRh = δ h I h + µ h I i − µ h Rh dt Dengan

(12)

N h (t ) = S h (t ) + E h (t ) + I h (t ) + I i (t ) + Rh (t ) atau

Rh (t ) = N h (t ) − ( S h (t ) + E h (t ) + I h (t ) + I i (t )) Sistem persamaan (12) adalah persamaan differensial tidak linear untuk model SIR dari penyakit TB. Model yang dihasilkan dapat disederhanakan dengan mengandaikan pecahan-pecahan berikut:

Eh I Sh I , y (t ) = h , z (t ) = i , dan u (t ) = Nh Nh Nh Nh Sehingga model populasi manusia untuk penularan penyakit TB dapat disederhankan seperti pada persamaan (12) berikut: dx = µh − βh x − σ h x − µh x dt du = σ h x − γφ h yu − φ h u − µ h u dt x(t ) =

dy = β h x + φ h u − αy dt

(13)

dz = γφ h yu − ηz dt

dengan α

= µ h + δ h dan η = µ h + ϕ h .


BAB V ANALISIS MODEL SIR DAN SEIR PADA PENULARAN TUBERCULOSIS

B

ab ini menjelaskan analisis model matematika SIR dan SEIR yang telah dibahas pada Bab IV. Analisis yang digunakan adalah metode fungsi Lyapunov yang menguraikan eksistensi penyalit Tuberculosis (TBC) di suatu kawasan, kemudian mengidentifikasi status suatu kawasan, apakah merupakan kawasan dengan status epidemik atau Kejadian Luar Biasa (KLB) atau status yang tidak mengkhawatirkan. Pada bab berikutnya kedua model akan digunakan untuk kasus TBC di Sulawesi Selatan.

5.1. Analisis Kestabilan Model SIR dan Model SEIR 5.1.1 Eksistensi model SIR Perubahan yang terjadi dalam setiap populasi manusia dapat ditafsirkan sebagai model matematika yaitu persamaan differensial tidak linear sebagai berikut: dS h = µ h N h − β h S h − γβ h I h S h − µ h S h dt dI h = β h S h − (µ h + δ h )I h dt


(14)

dRh = δ h I h + ϕ h I i − µ h Rh dt Dengan N h (t ) = S h (t ) + I h (t ) + I i (t ) + Rh (t ) atau

Rh (t ) = N h (t ) − ( S h (t ) + I h (t ) + I i (t ))

Analisis Mosel SIR dan SEIR padan Penularan Tuberculosis

23

Semua variabel dan parameter model adalah non-negatif dan dapat dilihat dengan mudah bahwa dibawah aliran yang diterangkan oleh (14), octant non-negatif R+4 adalah positif invarian. Berkaitan dengan sistem (14) diperoleh hasil seperti teorema berikut. Teorema 1. Misal (S h (t ) > 0, I h (t ) > 0, I i (t ) > 0, Rh (t ) > 0)

merupakan

penyelesaian sistem (14) dengan keadaan awal (S 0 h , I 0 h , I 0i R0 h ) dan set padat

{(

D = S h (t ), I h (t ), I i (t ), Rh (t ) ∈ R+4 , L ≤ N h

)}

(15)

Untuk model sistem (14), D adalah satu set positif invarian yang mencover semua penyelesaiandalam R+4 . Bukti. Pertimbangkan calon Lyapunov fungsi berikut: Turunan fungsi terhadap waktu memenuhi

(16) Tidak sulit untuk membuktikan bahwa (17) Kemudian, dari persamaan diatas, diketahui bahwa

yang

berarti bahwa D adalah satu set yang positif invarian. Sebaliknya, dengan menyelesaikan sistem (16) diperoleh bahwa , dimana adalah keadaan awal . dan ini Oleh karena itu, jika menyimpulkan bahwa D adalah satu set yang positif invarian dan mengkover semua penyelesaian dalam . Ini membuktikan teorema. Teorema ini menjamin adanya penyakit TB di suatu kawasan yang mulanya tidak ditemukan bakteri pembawa virus TB kemudian berubah setelah ditemukannya populasi suspect tetapi belum terinfeksi, , terinfeksi TB, , teinfeksi TB karena manusia yang 24 Pemodelan Matematika pada penularan Penyakit Tuberculosis

telah positif TB, dan populasi manusia yang sehat kembali, dari bakteri TB. Teorema ini juga memberi kesimpulan supaya diselidiki lebih lanjut tahapan dari kasus TB ini sehingga kita dapat mengidentifikasi tahap penyebaran wabah TB hingga ke tahapan endemik menggunakan model SIR. 5.1.2

Penyelesaian Positif Model SEIR

Perubahan yang terjadi dalam setiap populasi manusia dapat ditafsirkan sebagai model matematika SEIR yaitu persamaan differensial tidak linear sebagai berikut:

dS h = µ h N h − (σ h + β h + µ h )S h dt dE h = σ h S h − γφ h I h E h − φ h E h − µ h E h dt

dI h = β h S h + φ h E h − (µ h + δ h )I h dt dI i = γφh I h Eh − (µ h + ϕ h )I i dt

(18)

dRh = δ h I h + µ h I i − µ h Rh dt Dengan N h (t ) = S h (t ) + E h (t ) + I h (t ) + I i (t ) + Rh (t ) atau

Rh (t ) = N h (t ) − ( S h (t ) + E h (t ) + I h (t ) + I i (t )) Semua variabel dan parameter model adalah non-negatif dan dapat dilihat dengan mudah bahwa dibawah aliran yang diterangkan oleh (18), octant non-negatif R+5 adalah positif invarian. Berkaitan dengan sistem (18) diperoleh hasil seperti teorema berikut. Teorema 2. Misal merupakan

(S 0 h , E 0 h

{(

(S h (t ) > 0, E h (t ) > 0, I h (t ) > 0,

penyelesaian sistem (18) I 0 h , I 0i R0 h ) dan set padat

I i (t ) > 0, Rh (t ) > 0 )

dengan

keadaan

D = S h (t ), E h (t ), I h (t ), I i (t ), Rh (t ) ∈ R+5 , L ≤ N h

)}

awal (19)


25

Untuk model sistem (18), D adalah satu set positif invarian yang mencover semua penyelesaian dalam R+5 . Bukti. Pertimbangkan calon fungsi Lyapunov berikut: Turunan fungsi terhadap waktu memenuhi

(20) Tidak sulit untuk membuktikan bahwa (21) Kemudian, dari persamaan diatas, diketahui bahwa

yang

berarti bahwa D adalah satu set yang positif invarian. Sebaliknya, dengan menyelesaikan sistem (20) diperoleh bahwa , dimana adalah keadaan awal . dan ini Oleh karena itu, jika menyimpulkan bahwa D adalah satu set yang positif invarian dan mengkover semua penyelesaian dalam . Ini membuktikan teorema. Teorema ini menjamin adanya penyakit TB di suatu kawasan yang mulanya tidak ditemukan bakteri pembawa virus TB kemudian berubah setelah ditemukannya populasi suspect tetapi belum terinfeksi, , eksposed TB terinfeksi TB, , teinfeksi dan populasi TB karena manusia yang telah positif TB, manusia yang sehat kembali, dari bakteri TB. Teorema ini juga memberi kesimpulan supaya diselidiki lebih lanjut tahapan dari kasus TB ini sehingga kita dapat mengidentifikasi tahap penyebaran wabah TB hingga ke tahapan endemik menggunakan model SEIR. 5.2

Analisis Kestabilan Global

Sistem (14) untuk model SIR mempunyai keseimbangan penyakit TB dengan titik keseimbangan Untuk mencari


nilai eigen λ , sederhanakan sistem (14) menjadi sistem persamaan (6) dan selesaikan persamaan A − λI = 0 yaitu

Sehingga diperoleh persamaan nilai eigen sebagai berikut: , dan . Dari persamaan nilai eigen diatas, kadar pembiakan semula sistem (14) untuk model SIR dapat ditentukan dengan menggunakan kaedah Diekhmann dan Heesterbeek (1990;2000), yaitu : (22) Sistem (18) untuk model SEIR mempunyai keseimbangan penyakit Untuk mencari nilai eigen λ , dengan titik keseimbangan sederhanakan sistem (18) seperti pada sistem (13) dan selesaikan Dengan

persamaan A − λI = 0 yaitu: −µ -λ 0 0 0 h −ξ − λ 0 0 0 −α − λ 0 0 ϕ h −η − λ 0 0 γv

=0

Sehingga diperoleh persamaan nilai eigen sebagai berikut: atau

Dengan σ h = β h = 0 ,

, dan

Dari persamaan nilai eigen ini, kadar pembiakan semula untuk sistem (18) model SEIR dapat ditentukan dengan menggunakan kaedah Diekhmann dan Heesterbeek (1990;2000), yaitu : (23) Analisis Mosel SIR dan SEIR padan Penularan Tuberculosis

27

dengan 5.2.1

, dan Kestabilan global keseimbangan bebas penyakit model SIR

Sistem (14) senantiasa mempunyai keseimbangan disease-free yang bemaksud penyakit akan hilang. Bagian ini akan mengkaji tingkah laku global keseimbangan disease-free untuk sistem (14). Teorema 3. Jika , maka keseimbangan bebas penyakit P* model SIR adalah ditahap global yang berasimptot stabil pada D. Bukti. Misalkan calon fungsi Lyapunov adalah: (24) Dengan menurunkan persamaan beikut:

fungsi

terhadap

waktu

diperoleh

(25) Menggunakan syarat-syarat dapat ditulis kembali sebagai

dan

, Persamaan

(25)

(26) dan dengan menggunakan lanjutan Oleh karena itu, LaSalle pada kaedah Lyapunov, set terbatas yang ditetapkan setiap penyelesaian adalah yang terkandung dalam set invarian terbesar 28 Pemodelan Matematika pada penularan Penyakit Tuberculosis

dengan adalah singleton {P*}. Ini berarti bahwa keseimbangan disease-free P* adalah ditahap global yang berasimptot stabil pada D. Ini menyimpulkan bukti. Teorema kestabilan global untuk model SIR ini menjelaskan tentang satu tahapan daripada keberadaan kasus TB seperti yang diuraikan pada teorema 1. Tahapan ini menjelaskan bahwa jika seorang individu terinfeksi TB, tetapi bemakna tidak akan menyebabkan individu yang lain teinfeksi. Ini berarti bahwa di kawasan ini penyakit TB masih dapat dikontrol dan berada pada tahap yang tidak mengkhawatirkan. 5.2.2 Kestabilan global keseimbangan bebas penyakit untuk model SEIR Sistem (18) senantiasa mempunyai suatu keseimbangan diseasefree yang bermaksud penyakit akan hilang dengan sendirinya. Selanjutnya, akan dikaji tingkah laku global keseimbangan disease-free untuk sistem (18). Teorema 4. Jika , maka keseimbangan bebas penyakit P* model SEIR adalah ditahap global yang berasimptot stabil pada D. Bukti. Misalkan calon fungsi Lyapunov adalah: (27) Dengan menurunkan fungsi terhadap waktu diperoleh persamaan berikut:

*

S * W (t ) = µ h N h − (σ h + β h + µ h )S h + µ h N h h − (σ h + β h + µ h )S h + σ h S h − (γφ h I h + φ h + µ h )E h Sh

(28)

− β h S h + φ h E h − (δ h + µ h )I h + γφ h I h E h − (ϕ h + µ h )I i + δ h I h + µ h I i − µ h Rh

Menggunakan syarat-syarat dan , Persamaan (28) dapat ditulis kembali sebagai persamaan (29) berikut:


29

(29) dan dengan menggunakan lanjutan Oleh karena itu, LaSalle pada kaedah Lyapunov, set terbatas yang ditetapkan setiap penyelesaian adalah yang terkandung dalam set invarian terbesar dengan adalah singleton {P*}. Ini berarti bahwa keseimbangan disease-free P* adalah ditahap global yang berasimptot stabil pada D. Ini menyimpulkan bukti. Teorema kestabilan global untuk model SEIR ini menjelaskan tentang satu tahapan dari keberadaan kasus TB seperti yang diuraikan pada teorema 2. Tahapan ini menjelaskan bahwa jika seorang individu terinfeksi TB, tetapi berarti tidak akan menyebabkan individu yang lain teinfeksi. Ini berarti bahwa di kawasan ini, penyakit TB masih dapat dikontrol dan berada pada tahap yang tidak mengkhawatirkan. 5.3

Kestabilan Global Kesimbangan Epidemik

5.3.1 Kestabilan global keseimbangan epidemik model SIR Sederhanakan model SIR pada sistem persamaan (14) sehingga diperoleh persamaan beikut: dS h = µ h N h − β h S h − γβ h I h S h − µ h S h dt dI h = β h S h − (µ h + δ h )I h dt

(30)

dI i = γβ h I h S h − (µ h + ϕ h )I i dt Sistem (30) mempunyai titik keseimbangan yang disebut sebagai keseimbangan endemik dan memenuhi dengan ,


dan .

Teorema

berikut memberikan penjelasan tentang global keseimbangan endemik sistem (30). Teorema 5 Jika , maka keadaan keseimbangan positif endemik sistem (30) ada dan ditahap global yang berasimptot stabil pada D, dengan andaian bahwa (31) adalah kadar untuk setiap populasi yang berkurang Dengan ( disebabkan kematian secara alami, dan ) adalah rata-rata gigitan nyamuk yang berpotensi dijangkiti dengan r adalah kadar hubungan yang mencukupi dari manusia kepada vektor. Bukti. Misalkan calon fungsi Lyapunov adalah: (32) Turunkan persamaan (32) sehingga diperoleh persamaan (33) berikut:

(33) Subtitusi andaian pada persamaan (31) ke persamaan

(33)


31

diperoleh:

(34) untuk semua Persamaan (34) memastikan bahwa , dan dipenuhi jika dan hanya jika dan . Kemudian keseimbangan hanya set positif invarian dari sistem persamaan (30) yang terkandung sepenuhnya dalam dan selanjutnya oleh teorema kestabilan asimptot (LaSalle, 1976), keseimbangan positif endemik adalah ditahap global yang berasimptot stabil pada D. Ini membuktikan teorema. Teorema kestabilan global model SIR menjelaskan bahwa jika seorang individu terinfeksi penyakit TB, maka individu tersebut akan menularkan kepada individu yang lain. Ini berarti bahwa penyakit TB pada tahapan ini adalah endemik karena tidak dapat lagi dikontrol dan berada pada tahap yang mengkhawatirkan, sehingga menjadi ancaman untuk populasi manusia di suatu kawasan. 5.3.2 Kestabilan global keseimbangan epidemik model SEIR Sederhanakan model SEIR pada sistem persamaan (18) sehingga diperoleh persamaan beikut: dS h = µ h N h − (σ h + β h + µ h )S h dt dE h = σ h S h − γφ h I h E h − φ h E h − µ h E h dt

dI h = β h S h + φ h E h − (µ h + δ h )I h dt

(35)

dI i = γφh I h Eh − (µ h + ϕ h )I i dt

Sistem

(35)

endemik dan memenuhi

mempunyai yang disebut

titik sebagai

keseimbangan keseimbangan dengan


dan . Teorema berikut ini akan memberikan penjelasan tentang global keseimbangan endemik sistem (35). Teorema 6 Jika , maka keadaan keseimbangan positif endemik sistem (35) ada dan ditahap global yang berasimptot stabil pada D, dengan andaian bahwa

(36)

adalah kadar manusia yang terinfeksi 1 Dengan ( untuk pulih dan kadar kelahiran / kematian populasi manusia secara alami, dan ) adalah kadar manusia yang terinfeksi 2 untuk pulih dan kadar kelahiran / kematian populasi manusia. Bukti. Misalkan calon fungsi Lyapunov adalah: (37) Turunkan persamaan (37) sehingga diperoleh persamaan (38) berikut:


33

(38) Subtitusi andaian pada persamaan (36) ke persamaan (38) diperoleh:

(39) Persamaan (39) memastikan bahwa untuk semua , dan dipenuhi jika dan dan . Kemudian hanya jika keseimbangan hanya set positif invarian dari sistem persamaan (35) yang termuat sepenuhnya dalam dan selanjutnya oleh teorema kestabilan asimptot (LaSalle, 1976), keseimbangan positif endemik adalah ditahap global yang berasimptot stabil pada D. Ini membuktikan teorema. Teorema kestabilan global untuk model SEIR pada tahapan ini menjelaskan bahwa jika seorang individu terinfeksi penyakit TB, maka individu tersebut akan menularkan kepada individu yang lain. Ini berarti bahwa penyakit TB pada tahapan ini adalah endemik sebab tidak lagi dapat dikontrol dan berada pada tahap yang mengkhawatirkan, sehingga menjadi ancaman untuk populasi manusia di suatu kawasan.


BAB VI SIMULASI MODEL SIR DAN SEIR PENULARAN TUBERCULOSIS DI SULAWESI SELATAN

B

ab ini menjelaskan simulasi untuk model SIR dan model SEIR menggunakan data riil yang diperoleh dari Kementerian Kesehatan Republik Indonesia tahun 2014-2015 di ProVinsi Sulawesi Selatan. Hasil yang diperoleh menggunakan analisis fungsi Lyapunov menunjukkan bahwa Sulawesi Selatan, khususnya beberapa kabupaten telah menjadi daerah epidemik atau Kejadian Luar Biasa (KLB) kasus TBC, baik menggunakan model SIR maupun menggunakan model SEIR. 6.1

Simulasi Model SIR Penularan TB di Sulawesi Selatan

Berdasarkan data dari Kementerian Kesehatan Propinsi Sulawesi Selatan, diperoleh data jumlah kasus Tuberculosis di Propinsi Sulawesi Selatan (Tabel 6.1) dan didapati Kota/Kabupaten dengan jumlah kasus Tuberculosis terbesar (Tabel 6.2 – Tabel 6.5). Tabel 6.1. Jumlah Kasus Tuberculosis di Propinsi Sulawesi Selatan No

Tahun

1 2 3 4

2010 2011 2012 2013

Jumlah Penduduk 8.034.776 8.607.135 8.190.222 8.342.000

Jumlah Suspect 16620 16922 63958

Jumlah Kasus 7087 9180 9712 12176

Jumlah Kematian 139 322 212 276

Simulasi Model SIR dan SEIR Penularan…….

35

Tabel 6.2. Jumlah Kasus Tuberculosis Terbesar di Kab/Kota Tahun 2010 No 1 2 3 4 5 6 7

Kab/Kota Makassar Takalar Bantaeng Gowa Wajo Sidrap Pangkep

Jumlah Penduduk

Jumlah Kasus

Jumlah Kematian

1.338.663 269.603 176.699 652.941 385.109 271.911 305.737

1608 514 485 473 454 368 335

62 6 5 20 14 -


Kab/Kota Makassar Bone Gowa Takalar Pinrang Wajo Sidrap

Jumlah Penduduk

Jumlah Kasus

Jumlah Kematian

1.516.068 796.542 638.929 296.388 348.660 399.122 291.623

1829 849 730 597 555 547 354

71 23 20 10 21 27 20

Tabel 6.4. Jumlah Kasus Tuberculosis Terbesar di Kab/Kota Tahun 2012 No

Kab/Kota

Jumlah Penduduk

Jumlah Kasus

Jumlah Kematian

1.369.606

2078

10

1

Makassar

2

Gowa

670.465

846

20

3

Bone

728.737

742

40

4

Wajo

389.552

588

14

5

Takalar

275.034

573

6

6

Pinrang

357.095

569

-

7

Bulukumba

400.990

397

7

36



Kab/Kota

Jumlah Penduduk

Jumlah Kasus

Jumlah Kematian

Makassar Gowa Wajo Bone Pinrang Takalar Bulukumba

1.408.100 696.100 385.109 734.100 361.300 280.600 404.900

3346 826 454 756 627 579 541

-

Berdasarkan nilai parameter dan data yang ada, simulasi model dilakukan menggunakan software MATLAB. Syarat awal yang akan digunakan dalam simulasi model ini adalah berdasarkan pada jumlah kasus TB yang dilaporkan oleh pihak Kementerian Kesehatan Republik Indonesia 2015. Syarat awal yang akan digunakan dalam model berdasarkan data sekunder yang diperolh dari Kementerian Kesehatan Republik Indonesia Propinsi Sulawesi Selatan adalah; Nilai S h (0 ) , I h (0 ) dan

I i (0 ) , serta nilai parameter yang digunakan pada model SIR disajikan

dalam Tabel 6.6 berikut: Tabel 6.6 Syarat awal dan Parameter Model SIR Penularan TB Variabel/Parameter

Nilai

x(0)

8180510 8190222

y (0)

9391 8190222

z (0)

321 8190222

µh

0.000035 Simulasi Model SIR dan SEIR Penularan…….

37

βh γ

0.123111

δh

0.041230

ϕh

0.038655

0.326655

Kemudian, model diselesaikan menggunakan sistem ODESOLVE. 6.1.1

melalui

MATLAB

Titik Keseimbangan Model SIR Penularan TB

Titik keseimbangan model SIR penting kerana titik-titik keseimbangan ini yang menjadi dasar nilai-nilai eigen untuk menentukan jenis kestabilan dari pada model SIR. Model SIR untuk Sulawesi Selatan menggunakan persamaan (6). Titik keseimbangan ditentukan menggunakan himpunan model SIR dengan parameter yang telah ditetapkan. Kemudian untuk menentukan titik kritis, persamaan (6) disamakan dengan nol sebagai berikut ini, 0 = 0.000035 − (0.326690 + 0.040215 y )x (40) 0 = 0.326655 x − 0.0403 y (41)

0 = 0.040215 xy − 0.03869 z (42) Dari persamaan (40)-(42) diperoleh nilai-nilai x yaitu x1 = -1,00233 dan x2 = 0,000107. Sehingga diperoleh titik-titik keseimbangan model yaitu: dan (S h , I h , I i ) = (- 1.00233,-8.12445,8.464346) ;

(S h , I h , I i ) = (0,000107,0.000868,0.00000001)

Titik

keseimbangan

(S h , I h , I i ) = (- 1.00233,-8.12445,8.464346)

merupakan titik keseimbangan yang tidak logik karena nilai-nilai jumlah populasi suspek dan yang terinfeksi adalah negatif. Ini merupakan hal yang tidak mungkin. Sedangkan titik keseimbangan (S h , I h , I i ) = (0,000107,0.000868,0.00000001) menjelaskan bahawa jumlah populasi manusia yang berpotensi terjangkiti adalah satu dari

38


sepuluhribu jumlah populasi penduduk di propinsi Sulawesi Selatan, jumlah populasi manusia yang terjangkiti karena virus adalah delapan dari sepuluhribu jumlah populasi penduduk di propinsi Sulawesi Selatan dan jumlah populasi manusia yang terjangkiti karena penularan dari manusianya adalah satu dari seratusjuta jumlah populasi penduduk di propinsi Sulawesi Selatan. 6.1.2 Kestabilan Model SIR Penularan TB Kestabilan model terhadap titik-titik keseimbangan yang diperoleh, ditentukan oleh nilai-nilai eigen λ seperti dalam tabel 6.7 (Syafruddin, 2013). Tabel 6.7. Tipe dan Kestabilan Titik Kritis Berdasar Nilai Eigen Nilai Eigen

Tipe Titik Kritis

Kestabilan

λ1 > λ2

>0

Improper Node

Tidak Stabil

λ1

<

λ2

<0

Improper Node

Stabil Asimptotik

λ1

<0<

λ2

Saddle Point

Tidak Stabil

λ1

=

λ2

>0

Proper atau Improper Node

Tidak Stabil

λ1

=

λ2

<0

Proper atau Improper Node

Stabil Asimptotik

λ1 , λ2 ± iµ

λ1 =

>0

λ

<0

iµ

Spiral Point Tidak Stabil

λ

=

=

i µ , λ2

Center

Stabil


39

Dari persamaan (6) dan nilai-nilai parameter yang ditentukan, model SIR diubah kepada bentuk matriks Jacobian untuk mencari nilai eigen, λ . Andaikan

dx = 0.000035 − (0.326690 + 0.040215 y )x = X ( x, y, z ) dt dy = 0.326655 x − 0.0403 y = Y ( x, y, z ) dt dz = 0.040215 xy − 0.03869 z = Z ( x, y, z ) dt Untuk mencari nilai eigen λ , selesaikan persamaan A − λI = 0 sebagai berikut, − 0.326690 − 0.040215 y − λ 0.326655 0.040215 y

− 0.040215 x 0 − 0.0403 − λ 0. =0 0.040215 x − 0.03869 − λ

Pada titik keseimbangan (0,000107,0.000868,0.00000001) matriks Jacobian adalah sebagai berikut. − 0.326725 − λ − 0.000004 0.326655 − 0.0403 − λ 0.000035

0.000004

(− 0.03869 − λ )

0 0 =0 − 0.03869 − λ

− 0.326725 − λ 0.326655

− 0.000004 =0 − 0.0403 − λ

(− 0.03869 − λ )[(− 0.326725 − λ )(−0.0403 − λ ) + 0.0000001] = 0 ⇒

λ = −0.03869 , λ = −0.0403 dan λ = −0.32672

λ yang diperoleh pada titik keseimbangan (0,000107,0.000868,0.00000001) adalah nyata dan bertanda Nilai-nilai

negatif, merujuk pada Tabel 6.7 maka jenis kestabilan pada titik keseimbangan ini adalah titik stabil yang asimptotik.

40


6.1.3 Hasil Simulasi Model SIR Penularan TB di Sulawesi Selatan Data Riil jumlah kasus TB di Sulawesi Selatan disajikan dalam gambar 6.1 dengan nilai sumbu-x adalah waktu (Tahun) dan nilai sumbu-y adalah pecahan variabel yang digunakan.

Gambar 6.1 Jumlah kasus TB di Sulawesi Selatan 2010-2013 Simulasi model dijalankan menggunakan sistem ODESOLVE, MATLAB. dan hasil dari MATLAB disajikan pada Gambar 6.2 dan diuraikan pada Gambar 6.3 dengan nilai sumbu-x adalah waktu (tahun) dan nilai sumbu-y adalah pecahan variabel yang digunakan.

Gambar 6.2. Hasil Running Software MatLab untuk Model SIR


41

6

5 x y z

x, y, and z

4

3

2

1

0 0

5

10

15

20

25

30

35

t

Gambar 6.3. Penularan TB dengan syarat awal S h (0 ) =

I h (0) =

9391 , 8190222 µ h = 0.000035 ,

dan

I i (0 ) =

8180510 , 8190222

321 dengan parameter 8190222 β h = 0.326655 , γ = 0.123111 ,

α = 0.0403 dan η = 0.03869 Gambar yang dihasilkan dari MATLAB untuk model SIR dibandingkan dengan hasil data riil dari Kementerian Kesehatan Republik Indonesia (KKRI) dapat diuraikan sebagai berikut: Mengacu kepada data Riil di Sulawesi Selatan (Gambar 6.1), jumlah kasus TB (manusia yang dijangkiti virus) di Sulawesi Selatan akan terus mengalami peningkatan setiap tahunnya sejak tahun 2010. Sedangkan Gambar 6.3 hasil model SIR menunjukkan bahwa jumlah kasus TB disebabkan Virus akan terus bertambah secara cepat, sedangkan jumlah kasus TB disebabkan oleh manusia yang terinfeksi tidak terlalu berpengaruh dan hampir konstan dan akan menurun menghampiri nilai nol pada beberapa tahun kedepan. Hasil ini menunjukkan bahwa model SIR untuk penyebaran Tuberculosis di propinsi Sulawesi Selatan pada khususnya hampir sesuai dengan data Riil dari KKRI. Hasil simulasi model matematika SIR untuk Kabupaten/Kotamadya dengan jumlah kasus TB paling banyak di Sulawesi Selatan

42


menggunakan MATLAB ODESOLVE disajikan dalam Gambar 6.4 sampai dengan Gambar 6.15. berikut: 1. Kota Makassar

Gambar 6.4. Jumlah kasus TB di Sulawesi Selatan dan Kota Makassar Tahun 2010-2013 7 6

x, y, and z

5 x y z

4 3 2 1 0 0

5

20 t

15

10

25

30

35

40

Gambar 6.5. Penularan TB dengan syarat awal S h (0 ) = 1367528 , 1369606

I h (0 ) =

823 , 1369606

dan

I i (0 ) =

127 1369606

dengan

parameter

β h = 0.326655 , γ = 0.123111 ,

µ h = 0.000035 , α = 0.0403 dan η = 0.03869


43

2. Kabupaten Bone

Gambar 6.6. Jumlah kasus TB di Sulawesi Selatan dan Kabupaten Bone Tahun 2010-2013

7 6

x, y, and z

5 x y z

4 3 2 1 0 0

5

10

15

20 t

25

30

35

40


I h (0 ) =

722 , 728737

dan

I i (0 ) =

µ h = 0.000035 ,

20 728737

dengan

parameter

β h = 0.326655 , γ = 0.123111 ,

α = 0.0403 dan η = 0.03869

44


3. Kabupaten Gowa

Gambar 6.8. Jumlah kasus TB di Sulawesi Selatan dan Kab. Pangkep Tahun 2010-2013

7 6

x, y, and z

5 x y z

4 3 2 1 0 0

5

10

15

20 t

25

30

35

40


I h (0 ) =

790 , 670465

dan

56 I i (0 ) = 670465

dengan

parameter

β h = 0.326655 , γ = 0.123111 ,

µ h = 0.000035 , α = 0.0403 dan η = 0.03869


45

4. Kabupaten Takalar

Gambar 6.10. Jumlah kasus TB di Sul-Sel dan Kabupaten Takalar Tahun 2010-2013

7 6

x, y, and z

5 x y z

4 3 2 1 0 0

5

10

15

20 t

25

30

35

40


I h (0 ) =

568 , 275034

dan

I i (0 ) =

µ h = 0.000035 ,

5 275034

dengan

parameter

β h = 0.326655 , γ = 0.123111 ,

α = 0.0403 dan η = 0.03869

46


5. Kabupaten Pinrang

Gambar 6.12. Jumlah kasus TB di Sulawesi Selatan dan Kab. Pinrang Tahun 2010-2013

7 6

x, y, and z

5 x y z

4 3 2 1 0 0

5

10

15

20 t

25

30

35

40


I h (0 ) =

567 , 357095

dan

2 I i (0 ) = 357095

dengan

parameter

β h = 0.326655 , γ = 0.123111 ,

µ h = 0.000035 , α = 0.0403 dan η = 0.03869


47

6. Kabupaten Wajo

Gambar 6.14. Jumlah kasus TB di Sulawesi Selatan dan Kab. Wajo Tahun 2010-2013 7 6

x, y, and z

5 x y z

4 3 2 1 0 0

5

10

15

20 t

25

30

40

35


I h (0 ) =

576 , 389552

dan

I i (0 ) =

µ h = 0.000035 ,

12 389552

dengan

parameter

β h = 0.326655 , γ = 0.123111 ,

α = 0.0403 dan η = 0.03869 Simulasi menggunakan model SIR untuk kasus TB di Sulawesi Selatan memberikan hasil yang hampir sesuai. Tetapi, jika dilihat jumlah kasus yang dilaporkan sepanjang tahun 2010 hingga 2013, penyakit TB sudah sampai ke tahap yang amat serius, karena jumlah

48


kasus TB yang dilaporkan bertambah besar setiap tahunnya ini menjadi ancaman bagi 8,342,000 jumlah populasi penduduk di Sulawesi Selatan. 6.2 Simulasi Model Seir Selatan

Penularan Tuberculosis di Sulawesi

Berdasarkan nilai parameter dan data yang ada, simulasi model dilakukan menggunakan software MATLAB. Syarat awal yang akan digunakan dalam simulasi model ini adalah berdasarkan kepada jumlah kasus Tuberculosis yang telah dilaporkan oleh pihak Kementerian Kesehatan Republik Indonesia 2015. Syarat awal yang akan digunakan dalam model berdasarkan data sekunder yang diperoleh dari Kementerian Kesehatan Republik Indonesia Propinsi Sulawesi Selatan adalah; Nilai S h (0 ) , E h (0 ) I h (0 ) dan

I i (0 ) , serta nilai parameter yang digunakan pada model SEIR

disajikan dalam Tabel 6.8 berikut: Tabel 6.8 Syarat awal dan Parameter Model SEIR Penularan TB Variabel/Parameter

Nilai

x(0)

8180510 8190222 0.00925

u (0) y (0)

9391 8190222

z (0)

321 8190222

µh

0.000035

βh

0.326655

σh γ

δh

0.000310 0.123111 0.041230


49

ϕh

0.038655

φh

0.000880

Kemudian, model diselesaikan melalui MATLAB menggunakan sistem ODESOLVE. 6.2.1

Titik Keseimbangan Model SEIR di Sulawesi Selatan

Titik keseimbangan ditentukan menggunakan set model SEIR dengan parameter untuk propinsi Sulawesi Selatan yang telah ditetapkan. Kemudian untuk menentukan titik tetap, sistem persamaan (13) disamakan dengan nol seperti persamaan (43) – (46) berikut:

0.000035 − (0.326655 + 0.00031 + 0.000035) x = 0 (43)

(43)

(44)

(44)

0.00031x − (0.000108 y + 0.000915)u = 0

0.326655 x + 0.00088u − 0.0403 y = 0 (45)

(46)

0.000108 yu − 0.03869 z = 0 (46)

(47)

Sistem untuk model pada persamaan diatas diselesaikan menggunakan software MAPLE dan memberikan nilai titik-titik keseimbangan model adalah: (x,u,y,,z) = (Sh, Eh, Ih, Ii) = (1,0,0,0) dan (0.000107,387.949573,8.472223,9.174823). Titik-titik keseimbangan ini menjelaskan bahwa jumlah populasi manusia yang berpotensi dijangkiti adalah 0.000107, jumlah populasi manusia yang memperlihatkan gejala dijangkiti adalah 387.949573, jumlah populasi manusia yang dijangkiti karena virus adalah 8.472223 dari jumlah keseluruhan populasi manusia, dan jumlah populasi manusia yang dijangkiti karena virus adalah 9.174823 dari jumlah keseluruhan populasi manusia di propinsi Sulawesi Selatan.

50


6.2.2 Kestabilan Model SEIR di Sulawesi Selatan Dengan menggunakan persamaan (13) dan nilai-nilai parameter yang ditentukan, model SEIR diubah kedalam bentuk matriks Jacobian untuk mencari nilai eigen, λ .

dx = 0.000035 − (0.326655 + 0.00031 + 0.000035) x = X ( x, u , y, z ) dt du = 0.00031x − (0.000108 y + 0.000915)u = U ( x, u , y, z ) dt dy = 0.326655 x + 0.00088u − 0.0403 y = Y ( x, u, y, z ) dt dz = 0.000108 yu − 0.03869 z = Z ( x, u , y, z ) dt Untuk mencari nilai eigen λ , selesaikan persamaan A − λI = 0 sebagai berikut:

− 0.327 − λ 0 0 0 0.00031 − 0.000108 y − 0.000915 − λ − 0.000108u 0 =0 0.326655 0.00088 − 0.0403 − λ 0 0 0.000108 y 0.000108u − 0.03869 − λ Subtitusi titik (0.000107,387.949573,8.472223,9.174823) − 0.327 − λ 0 0 0.00031 − 0.00183 − λ − 0.041899 0.326655 0.00088 − 0.0403 − λ 0

0.000915

0.041899

keseimbangan sehingga diperoleh 0 0 0

=0

− 0.03869 − λ

Dengan menggunakan software MAPLE pada titik keseimbangan (0.000107,387.949573,8.472223,9.174823) diperoleh nilai-nilai eigen λ = -0.3869 , λ = −0.002814, λ = −0.039316 , dan λ = −0.327 . Nilai-nilai λ yang diperoleh pada titik keseimbangan (0.000107,387.949573,8.472223,9.174823) adalah nyata dan bertanda Simulasi Model SIR dan SEIR Penularan…….

51

negatif. Merujuk kepada Tabel 5.7, maka jenis kestabilan pada titik keseimbangan ini adalah stabil asimptotik. 6.2.3

Hasil Simulasi Model SEIR Penularan Tuberculosis di Sulawesi Selatan

Data Riil jumlah kasus TB di Sulawesi Selatan disajikan dalam Gambar 6.1 dengan nilai sumbu-x adalah waktu (Tahun) dan nilai sumbu-y adalah pecahan variabel yang digunakan. Simulasi model dijalankan menggunakan sistem ODESOLVE, MATLAB. dan hasil dari MATLAB disajikan pada Gambar 6.16 dan diuraikan pada Gambar 5.19 dengan nilai sumbu-x adalah waktu (tahun) dan nilai sumbu-y adalah pecahan variabel yang digunakan.

Gambar 6.16. Hasil Running Software MatLab untuk Model SEIR

52


1

x u y z

0.9 0.8

x, u, y, and z

0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0

Gambar

5

6.17.

10

15

Penularan

E h (0 ) = 0.00925 , S h (0) =

25

20 t

TB

8180510 8190222

35

30

dengan

I h (0) =

40

syarat

awal

9391 , 8190222

dan

I i (0 ) =

321 dengan parameter σ h = 0.00031 φ h = 0.00088 8190222 β h = 0.326655 , γ = 0.123111 , µ h = 0.000035 ,

α = 0.0403 dan η = 0.03869 Gambar yang dihasilkan dari MATLAB untuk model SEIR dibandingkan dengan hasil data riil dari Kementerian Kesehatan Republik Indonesia (KKRI) dapat diuraikan sebagai berikut: Mengacu kepada data Riil di Sulawesi Selatan (Gambar 6.1), jumlah kasus TB (manusia yang dijangkiti virus) di Sulawesi Selatan akan terus mengalami peningkatan setiap tahunnya sejak tahun 2010. Sedangkan Gambar 6.17 hasil model SEIR menunjukkan bahwa jumlah kasus TB disebabkan Virus akan terus bertambah secara cepat, sedangkan jumlah kasus TB disebabkan oleh manusia yang terinfeksi tidak terlalu berpengaruh dan hampir konstan dan akan menurun menghampiri nilai nol pada beberapa tahun kedepan. Hasil ini menunjukkan bahwa model SEIR untuk penyebaran Tuberculosis di propinsi Sulawesi Selatan pada khususnya sesuai dengan data Riil yang ada. Hasil simulasi model matematika SEIR untuk Kabupaten/Kotamadya dengan jumlah kasus TB paling banyak di Sulawesi Selatan menggunakan MATLAB ODESOLVE disajikan pada Gambar 6.18 sampai dengan Gambar 6.29 berikut: Simulasi Model SIR dan SEIR Penularan…….

53

1. Kota Makassar

Gambar 6.18. Jumlah kasus TB di SulSel dan Kota Makassar Tahun 2010-2013

1

x u y z

0.9 0.8

x, u, y, and z

0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0

5

10

Gambar

6.19.

S h (0 ) =

1367528 1369606

I h (0 ) =

823 , 1369606

σ h = 0.00031

15

Penularan

20 t

25

TB

30

dengan

35

40

syarat

awal

,

I i (0 ) =

127 E h (0) = 0.00925 dengan 1369606

φ h = 0.00088

parameter

µ h = 0.000035 ,

β h = 0.326655 , γ = 0.123111 , α = 0.0403 dan η = 0.03869

54


2. Kabupaten Bone

Gambar 6.20. Jumlah kasus TB di SulSel dan Kab. Bone Tahun 2010-2013

1

x u y z

0.9 0.8

x, u, y, and z

0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0

5

10

15

20 t

25

30

35

40


I h (0 ) =

722 , E h (0 ) = 0.00925, 728737

parameter

σ h = 0.00031

dan

20 I i (0 ) = 728737

φ h = 0.00088

dengan

µ h = 0.000035 ,

β h = 0.326655 , γ = 0.123111 , α = 0.0403 dan η = 0.03869


55

3. Kabupaten Gowa

Gambar 6.22. Jumlah kasus TB di SulSel dan Kab. Gowa Tahun 20102013

1

x u y z

0.9 0.8

x, u, y, and z

0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0

5

10

15

20 t

25

30

35

40


I h (0 ) =

790 , E h (0 ) = 0.00925, 670465

parameter

σ h = 0.00031

dan

I i (0 ) =

φ h = 0.00088

56 670465

µ h = 0.000035 ,

β h = 0.326655 , γ = 0.123111 , α = 0.0403 dan η = 0.03869

56

dengan


4. Kabupaten Takalar

Gambar 6.24. Jumlah kasus TB di SulSel dan Kab. Takalar Tahun 2010-2013

1

x u y z

0.9 0.8

x, u, y, and z

0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0

5

10

15

20 t

25

30

35

40


I h (0 ) =

568 , E h (0 ) = 0.00925, 275034

parameter

σ h = 0.00031

dan

I i (0 ) =

φ h = 0.00088

5 275034

dengan

µ h = 0.000035 ,

β h = 0.326655 , γ = 0.123111 , α = 0.0403 dan η = 0.03869


57

5. Kabupaten Pinrang

Gambar 6.26. Jumlah kasus TB di SulSel dan Kab. Pinrang Tahun 2010-2013

1

x u y z

0.9 0.8

x, u, y, and z

0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0

5

10

15

20 t

25

30

35

40


I h (0 ) =

567 , 357095

parameter

E h (0 ) = 0.00925, dan

σ h = 0.00031

2 I i (0 ) = 357095

φ h = 0.00088

dengan

µ h = 0.000035 ,

β h = 0.326655 , γ = 0.123111 , α = 0.0403 dan η = 0.03869

58


6. Kabupaten Wajo

Gambar 6.28. Jumlah kasus TB di SulSel dan Kab.Wajo Tahun 20102013

1

x u y z

0.9 0.8

x, u, y, and z

0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0

5

10

15

20 t

25

30

35

40


I h (0 ) =

576 , E h (0 ) = 0.00925, 389552

parameter

σ h = 0.00031

dan

12 I i (0 ) = 389552

φ h = 0.00088

dengan

µ h = 0.000035 ,

β h = 0.326655 , γ = 0.123111 , α = 0.0403 dan η = 0.03869 Simulasi menggunakan model SEIR untuk kasus TB di Sulawesi Selatan memberikan hasil yang paling sesuai. Hal ini dipengaruhi oleh variabel Exposed. Tetapi, jika dilihat jumlah kasus Simulasi Model SIR dan SEIR Penularan…….

59

yang dilaporkan sepanjang tahun 2010 hingga 2013, penyakit TB sudah sampai ke tahap yang serius, karena jumlah kasus TB yang dilaporkan telah terus mengalami peningkatan setiap tahunnya. Ini menjadi ancaman bagi 8,342,000 jumlah populasi penduduk di Sulawesi Selatan. 6.3

Kadar Pembiakan Semula Penularan Tb Selatan

di Sulawesi

Nilai untuk kadar pembiakan semula R0 sangat penting dalam pemodelan ini karena nilai tersebut akan menunjukkan berapa banyak kemungkinan penularan yang akan terjadi pada satu individu disebabkan satu jangkitan. Jika satu jangkitan menyebabkan jangkitan lain dan nilainya lebih dari satu, maka nilai R0 > 1 dan keadaan penyakit TB ini dapat dikatakan endemik. Penentuan kadar pembiakan semula ini telah diperkenalkan secara matematika oleh Waltman pada tahun 1974 (Murray 2001). Dasar untuk menentukan nilai R0 adalah dengan menggunakan kaedah Diekhmann dan Heesterbeek, nilai kadar pembiakan semula untuk model SIR adalah sebagai berikut: , dan R0 = µ hηα dengan Nilai kadar pembiakan semula untuk model SEIR adalah sebagai berikut: dengan , dan Nilai kadar pembiakan semula R0 diperoleh dengan menggunakan nilai awal dan nilai parameter di Sulawesi Selatan Indonesia dan diperoleh hasil sebagai berikut: R0 untuk Sulawesi Selatan dengan model SIR adalah: R0 = µ hηα = 0.000035(0.000035 + 0.038655)(0.000035 + 0.03995)

sehingga R0 = 0.000055

R0 untuk Sulawesi Selatan dengan model SEIR adalah: R0 = µ hηαξ

60


R0 = 0.000035(0.000035 + 0.038655)(0.000035 + 0.03995)(0.000915) Sehingga R0 = 4,99 * 10 −11 Karena nilai R0 < 1 untuk model SIR dan model SEIR, maka berdasarkan teorema 2 dan teorema 4 propinsi Sulawesi Selatan bukan merupakan daerah endemik dari kasus Tuberculosis. Tetapi dengan peningkatan jumlah kasus TB setiap tahun, penyakit TB ini harus menjadi perhatian pemerintah Sulawesi Selatan agar dapat dikontrol dan dicegah sedini mungkin penyebaran penyakit TB di propinsi Sulawesi Selatan.


61

62


BAB VII PENUTUP

7.1 Kesimpulan Penelitian yang telah dilakukan menghasilkan model penyebaran Tuberculosis (TB) yaitu model SIR dan SEIR yang sesuai untuk penularan penyakit TB di Propinsi Sulawesi Selatan. Penelitian ini juga telah menghasilkan teorema mengenai jaminan eksistensi populasi manusia yang Suspected, Infected dan Recovered dan Suspected, Exposed, Infected dan Recovered dari TB untuk model SIR dan SEIR (Teorema 1 dan Teorema 2), kemudian temuan teorema mengenai tahapan status yang menjelaskan bahwa jika seorang individu terinfeksi TB tidak akan menyebabkan individu yang lain terinfeksi (Teorema 3 dan Teorema 4) untuk model SIR dan SEIR. Hal ini berarti bahwa penyakit TB masih dapat dikontrol dan berada pada tahap yang tidak mengkhawatirkan. Selanjutnya teorema untuk model SIR dan model SEIR adalah teorema mengenai status endemik (Teorema 5 dan Teorema 6) yang berarti bahwa satu jangkitan TB kepada satu individu mengakibatkan jangkitan bagi individu yang lain atau penyakit TB pada tahapan ini tidak lagi dapat dikontrol dan berada pada status Kejadian Luar Biasa (KLB), sehingga menjadi ancaman bagi populasi manusia di Propinsi Sulawesi Selatan. Temuan teorema ini sangat membantu meningkatkan kemampuan dalam strategi kawalan penyakit TB untuk Pemerintah khususnya di Propinsi Sulawesi Selatan. Hasil simulasi untuk model SIR dan SEIR menggunakan data sekunder dari Kementerian Kesehatan Republik Indonesia memberikan prediksi bahwa jumlah kasus infeksi TB disebabkan virus akan terus mengalami peningkatan setiap tahunnya. Kadar pembiakan semula R0 menggunakan model SIR dan SEIR mendapati nilai R0 < 1, ini berarti bahwa status penyakit TB di Sulawesi Selatan berada pada tahap yang Penutup

63

tidak mengkhawatirkan, tetapi berdasarkan hasil simulasi, diprediksi jumlah kasus infeksi akan terus mengalami peningkatan sehingga pemerintah perlu mengambil langkah pencegahan sehingga dapat mengontrol dan mengurangi jumlah infeksi TB di Sulawesi Selatan.

7.2 Saran Setelah temuan penelitian ini, diharapkan adanya penelitian lanjutan yaitu: a) Penelitian mengenai penyebaran virus TB disebabkan manusia. b) penelitian selanjutnya juga dapat dilakukan dengan memperhatikan faktor-faktor lain yang dapat mempengaruhi penyebaran virus TB ini seperti keadaan musim hujan, suhu kota, migrasi penduduk dan faktor-faktor lain secara lebih mendalam dengan menambah atau mengkaji ulang penelitian model SIR dan SEIR.


DAFTAR PUSTAKA

Arfandi S. 2012. Kemitraan Sinergisitas dalam pengendalian Tuberculosis. http://repository.unhas.ac.id/handle/123456789/7805. [diakses 25 Maret 2014] Ashley T, Jacqueline S & John S. 2010. Modeling the spread of Tuberculosis in a Closed Population. http://educ.jmu.edu/~strawbem/math_201/final_repo_ rts/Scotti _Takahashi_Spreadbury_Final.pdf. [diakses, 20 April 2014]. Bisai W. 2000. Lipid lunch for persistent pathogen. Nature Vol 406(6797):683-5. Dontwi I. K, W. Obeng D, E.A Andam & L. Obiri A. 2014.. A mathematical model to predict the prevalence and transmission dynamics of tuberculosis in amansie west district, Ghana. British Journal of Mathematics & Computer Science. Vol 4(3): 402-4025. Fajar. 2014. Penyakit TBC di Sulawesi Selatan. Guihua L & Zhen J. 2009. Global stability of an SEI epidemic model. Chaos, Solitons & Fractals 2004;21:925–31. J.J. Tewa et al. / Chaos, Solitons and Fractals 39:936–941. Guihua L & Zhen J. 2005. Global stability of an SEIR epidemic model with infectious force in latent, infected and immune period. Chaos, Solitons & Fractals 25:1177–84. Hermi A. 2012. Angka kematian TBC di Sulsel tinggi. http://www.aisyiyahsulselpeduli.com/2012/12/angka-penderitatbc-di-sulsel-tinggi.html. [diakses 9 Maret 2014]. Idianto, Bayu & Nilamsari K. 2013. Analisis kestabilan local model dinamika penularan tuberculosis satu strain dengan terapi dan efektivitas Chemoprophylaxis. Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya. Vol 02. No. 3, hal 173-182.

Daftar Pustaka

65

Jean Jules Tewa, Jean Luc Dimi & Samuel Bowong. 2009. Lyapunov functions for a dengue disease transmission model. Chaos, Solitons and Fractals, 39: 936-941. KKRI. 2007, 2008. Fakta kesehatan dunia. K. Queena, Tjokorda B.O & I Made E.D. 2012. Model SIR untuk penyebaran penyakit Tuberkulosis. e-jurnal Matematika. Vol 1, No 1: 52-58. Korobeinikov A. 2004. Lyapunov functions and global properties for SEIR and SEIS epidemic models. Math Med Biol 21:75–83. Korobeinikov A & Maini PK. 2004. A Lyapunov function and global properties for SIR and SEIR epidemic models. Math Biosci Eng 1:57–60. LaSalle JP. 1976. The stability of dynamical systems. Philadelphia: SIAM. Lee, H. L. 1991. Analysis of limiting factors affecting breeding of Aedes vectors in urban towns of Peninsular Malaysia-nationwide resurvey. Trop. Biomed. 8:185-189 Li G & Wanf W. 2006. Global stability of an SEIR epidemic model. Chaos, Solitons & Fractals 30:1012–9. Lisa P. 2009. Analisis kestabilan model penyebaran penyakit tuberculosis. Skripsi Undip Semarang. http://eprints.undip.ac.id/5201/1/Lisa_P.pdf. [diakses 23 Maret 2014]. Murray J. D. 2001. Mathematical Biology. 1. An introduction. New York: Springer-Verlag Berlin Heideilberg. P. Van Den D, Lin W & Xingfu Z. 2007. Modeling disease with latency and relapse. Mathematical Biosciences and Engineering. Vol 4, No 2:205-219. Perko, Lawrence. 1998. Differential Equations and Dynamical System. Springer-Verlag, New York. Profil Kesehatan Indonesia. 2009. 66 Pemodelan Matematika pada penularan Penyakit Tuberculosis

Syafruddin, S. & M.S.M. Noorani. 2011. SEIR model for transmission of dengue fever. International Journal on Advanced Science Engineering Information Technology 2(1): 2088-5334. Syafruddin, S. & M.S.M. Noorani. 2010. SEIR model for transmission of dengue fever in Selangor Malaysia. International Journal of Modern Physics: World Scientific Publishing Company 1(1):1-5. Syafruddin S. & M.S.M Noorani. 2013. A SIR model for spread of dengue fever disease (simulation for South Sulawesi Indonesia and Selangor Malaysia); World Journal of Modeling and Simulation 9 (2):96-105. Syafruddin S. et. all. 2013. Lyapunov functions of SIR and SEIR model for transmission of dengue fever disease. International Journal Simulation and Process Modeling; Inderscience Publishers 8(2,3):177-184. Syafruddin S, 2013. Sistem Dinamik. Badan Penerbit UNM. Syafruddin S & Yulita M, 2015. Pemodelan Matematika dan Solusi Numerik untuk Penularan Deman Berdarah. Perdana Publishing. Medan. Tracy A. 2008. Modeling transmission dynamics of tuberculosis inclunding various latent periods. Spring Term.

Daftar Pustaka

67


Pemodelan Matematika pada Penularan PENYAKIT TUBERCULOSIS

Recommend Documents