Bab 3 Pemodelan Matematika dan Kontrol 3.1
Identifikasi Sistem Metode untuk memodelkan sistem masukan-keluaran bervariasi dan disesuai-
kan dengan informasi yang dimiliki. Informasi yang diperlukan untuk membangun sistem masukan-keluaran pada tugas akhir ini adalah selisih suku bunga deposito dalam US Dollar dan Rupiah serta kurs US Dollar terhadap Rupiah. Informasiinformasi tersebut berupa data deret waktu (time-series) dan selalu berubah-ubah. Oleh karena itu pemodelan dibangun berdasarkan data periode tertentu dan hasilnya hanya berlaku pada periode tersebut. Sebagai ilustrasi dalam membangun model, identifikasi sistem dilakukan berdasarkan data nilai tukar Rupiah terhadap US Dollar dan selisih bunga deposito dalam US Dollar dan dalam Rupiah selama periode Januari 2006-Januari 2007. Selisih bunga deposito dianggap sebagai masukan karena asumsi bahwa bunga deposito Rupiah dapat dikontrol. Sedangkan nilai tukar Rupiah terhadap US Dollar dianggap sebagai keluaran sistem karena diharapkan dengan mengontrol masukan, keluaran sistem dapat dikontrol. Data yang digunakan sebagai masukan dalam membangun sistem adalah data selisih suku bunga deposito dan keluarannya data kurs tengah US Dollar terhadap Rupiah.
24
BAB 3. PEMODELAN MATEMATIKA DAN KONTROL Bulan
25
Suku Bunga
Suku Bunga
Selisih Suku
Deposito Rupiah
Deposito USD
Bunga Deposito
Januari 2006
11, 18
3, 65
7.53
Februari 2006
11, 7
3, 71
7, 99
Maret 2006
12, 1
3, 75
8, 35
April 2006
12, 2
3, 77
8, 43
Mei 2006
12, 2
3, 82
8, 38
Juni 2006
12, 09
3, 91
8, 18
Juli 2006
11, 97
3, 92
8, 05
Agustus 2006
11, 79
3, 98
7, 81
September 2006
11, 52
4, 07
7, 45
Oktober 2006
11, 26
3, 68
7, 58
November 2006
10, 98
3, 73
7, 25
Desember 2006
10, 7
4, 22
6, 48
Januari 2007
10, 27
4, 15
6, 12
Tabel 3.1: Data Masukan
BAB 3. PEMODELAN MATEMATIKA DAN KONTROL Bulan
26
Kurs Tengah Rupiah Kurs Tengah US Dollar terhadap US Dollar
terhadap Rupiah
Januari 2006
9395
0, 00010644
Februari 2006
9230
0, 000108342
Maret 2006
9075
0, 000110193
April 2006
8775
0, 00011396
Mei 2006
9220
0, 00010846
Juni 2006
9300
0, 000107527
Juli 2006
9070
0, 000110254
Agustus 2006
9100
0, 00010989
September 2006
9235
0, 000108284
Oktober 2006
9110
0, 000109769
November 2006
9165
0, 00010911
Desember 2006
9020
0, 000110865
Januari 2007
9090
0, 000110865
Tabel 3.2: Data Keluaran
Berdasarkan data masukan dan keluaran di atas, dengan menggunakan System Identification Toolbox pada MatLab 7.0 dibangun suatu sistem masukankeluaran musiman. Beberapa model masukan-keluaran yang diperoleh adalah:
1. Model ARX A(q)y(t) = B(q)u(t) + e(t)
(3.1)
dengan A(q) = 1 − 0.3409q −1 + 0.02047q −2 − 0.4723q −3 − 0.2405q −4 B(q) = −2.331 · 10−6 q −1 + 4.527 · 10−6 q −2 − 5.855 · 10−6 q −3 + 3.139 · 10−6 q −4 Model tersebut memiliki tingkat perbandingan antara keluaran yang terukur dengan keluaran hasil simulasi dari model sebesar 90.14 %.
BAB 3. PEMODELAN MATEMATIKA DAN KONTROL
27
2. Model ARMAX A(q)y(t) = B(q)u(t) + C(q)e(t) dengan
A(q) = 1 + 0.4305q −1 − 1.649q −2 B(q) = 4.828 · 10−6 q −1 − 7.72 · 10−6 q −2 C(q) = 1 − 40.2459q −1 − 0.7706q −2 Model tersebut memiliki tingkat perbandingan antara keluaran yang terukur dengan keluaran hasil simulasi dari model sebesar 21.81 %. 3. Model Output-Error B(q) u(t) + e(t) y(t) = F (q)
dengan B(q) = 1.082 · 10−6 q −1 − 1.276 · 10−6 q −2 F (q) = 1 − 0.4133q −1 − 6026q −2
Model tersebut memiliki tingkat perbandingan antara keluaran yang terukur dengan keluaran hasil simulasi dari model sebesar 12.16 %. 4. Model Box-Jenkins C(q) B(q) u(t) + e(t) y(t) = F (q) D(q)
dengan B(q) = −1.071 · 10−6 q −1 + 2.875 · 10−6 q −2 C(q) = 1 − 0.602q −1 − 0.4121q −2 D(q) = 1 − 1.267q −1 + 0.2724q −2 F (q) = 1 − 0.4257q −1 − 0.05051q −2
BAB 3. PEMODELAN MATEMATIKA DAN KONTROL
28
Model tersebut memiliki tingkat perbandingan antara keluaran yang terukur dengan keluaran hasil simulasi dari model sebesar 22.27 %. 5. Model State-Space x(t + T s) = Ax(t) + Bu(t) + Ke(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) + e(t)
dengan A = B =
h
C =
h
D = 0 K =
1.2247
0.43957
0.0078958
1.49
−0.36505 −0.20438 −5
1.1718 · 10
5
3.552 · 10
5
4.054 · 10 9.8189 X(0) = 1.7113
i −6
−5.0384 · 10
i
Model tersebut memiliki tingkat perbandingan antara keluaran yang terukur dengan keluaran hasil simulasi dari model sebesar 16.15 %. Berdasarkan tingkat perbandingan antara keluaran yang terukur dengan keluaran hasil simulasi dari model, model yang sesuai untuk model masukan-keluaran selama periode Januari 2006-Januari 2007 adalah model ARX. Di luar periode tersebut, model 3.1 tidak berlaku dan harus dibangun model yang berbeda. Tanpa mengurangi keumuman, variabel e(t) akan dihilangkan karena galat tidak bisa dimodelkan. Sehingga model ARX pada persamaan 3.1 dapat dituliskan sebagai persamaan beda linear:
BAB 3. PEMODELAN MATEMATIKA DAN KONTROL
29
yt − 0.3409yt−1 + 0.02047yt−2 − 0.4723yt−3 − 0.2405yt−4 = −2.331 · 10−6 ut−1 + 4.527 · 10−6 ut−2 − 5.855 · 10−6 ut−3 + 3.139 · 10−6 ut−4 Persamaan di atas memiliki bentuk yang sesuai dengan persamaan 2.12 pada bab 2.2
y(k)+a1 y(k −1)+a2 y(k −2)+· · ·+an y(k −n) = b0 u(k)+b1 u(k −1)+· · ·+bn u(k −n) dengan a1 =
−0.3409
a2 =
0.02047
a3 =
−0.4723
a4 =
−0.2405
b0 =
0
b1 =
2.331 · 10−6
b2 = 4.527 · 10−6
b3 = −5.855 · 10−6
b4 = 3.139 · 10−6 Sehingga dapat diubah ke bentuk kanonik keterkontrolan :
x (k + 1) 1 x2 (k + 1) x3 (k + 1) x4 (k + 1)
0
0
0
x (k) 0 1 x2 (k) 0 0 0 1 0 + 0 0 0 1 x (k) 0 3 0.2405 0.4723 −0.02047 0.3409 x4 (k) 1 x (k) 1 h i x2 (k) −6 −6 −6 −6 y(k) = 3.139 · 10 −5.855 · 10 4.527 · 10 2.331 · 10 x3 (k) x4 (k) =
1
u(k) (3.2)
Persamaan 3.2 merupakan model masukan-keluaran yang akan digunakan untuk perhitungan selanjutnya.
BAB 3. PEMODELAN MATEMATIKA DAN KONTROL
3.2
30
Keterkontrolan dan Keterobservasian Sistem Untuk memeriksa keterkontrolan sistem 3.2, cukup ditunjukkan bahwa rank
matriks keterkontrolannya sebesar 4. Berdasarkan persamaan 2.18 pada bagian 2.3: h i rank H GH G2 H G3 H = 4 dengan G=
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0.2405 0.4723 −0.02047 0.3409
dan
0
0 H= 0 1 Diperoleh matriks keterkontrolan:
0 0 0 1 0 0 1 −03409 0 1 −0.3409 0.0957 1 −0.3409 0.0957 0.4466 yang memiliki rank = 4 sehingga dapat disimpulkan bahwa sistem 3.2 terkontrol. Untuk memeriksa keterobservasian sistem 3.2, cukup ditunjukkan bahwa matriks keterobservasian sistem 3.2 mempunyai rank 4 berdasarkan persamaan 2.23, yaitu:
C CG =4 rank 2 CG 3 CG
BAB 3. PEMODELAN MATEMATIKA DAN KONTROL
31
dengan
0
G=
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0.2405 0.4723 −0.02047 0.3409
dan
C=
h
−6
3.139 · 10
−6
−5.855 · 10
−6
4.527 · 10
−6
2.331 · 10
i
Diperoleh matriks keterobservasian:
0.3139
−0.5855
0.4527
−0.2331
−0.0561 0.2038 −0.5807 0.5322 −5 10 · 0.1280 0.1953 0.1929 −0.7621 −0.1833 −0.2320 02109 0.4527 yang memiliki rank = 4 sehingga dapat disimpulkan sistem 3.2 terobservasi. Karena sistem 3.2 terkontrol dan terobservasi, secara teoritis pengendalian kurs US Dollar dapat dilakukan.
3.3
Penempatan Kutub Penempatan kutub pada sistem 3.2 diperlukan agar sistem mempunyai kon-
trol yang lebih baik. Dengan kutub, pengontrol dapat memperbaiki kontrol dengan melihat keluaran pada periode sebelumnya. Sedangkan tanpa kutub, sistem langsung menerima pengontrol namun tidak melihat perilaku sistem yang ditambahkan kutub. Misalkan pada sistem 3.2 dipilih sinyal kontrol u(k) = −Kx(k) dengan K state feedback gain matrix berukuran 1 × 4. Untuk sistem diskret, K dapat dipilih sebarang, real maupun imajiner, namun harus termuat dalam jari-jari
BAB 3. PEMODELAN MATEMATIKA DAN KONTROL
32
lingkaran satuan.Apabila diinginkan sinyal kontrol di atas memiliki closed-loop poles pada p =
h
−0.05 −0.02 0.03 −0.01
i
matriks K dicari berdasarkan informasi closed-loop poles yang diinginkan. Dengan komputasi, diperoleh state feedback gain matrix K=
h
0.2405 0.4723 −0.0212 −0.2909
i
(3.3)
Matriks K digunakan dalam analisa kestabilan sistem dengan metode Lyapunov.
3.4
Analisa Kestabilan Lyapunov Sistem yang telah ditambahkan kutub memiliki perilaku yang berbeda. Ana-
lisis kestabilan Lyapunov metode kedua diterapkan pada sistem untuk melihat kestabilan sistem dengan kutub. Sehingga diperoleh gambaran yang lebih jelas tentang sistemnya. Pada penurunan syarat kestabilan Lyapunov (bagian 2.6), sistem 2.27 tidak mengandung vektor masukan u(k). Akibatnya syarat kestabilan untuk sistem 3.2 berbeda dengan sistem 2.27. Berikut adalah penurunan syarat kestabilan Lyapunov untuk sistem dengan vektor masukan berupa sinyal kontrol u(k) = −Kx(k) Misalkan suatu sistem diskret didefinisikan sebagai berikut:
x(k + 1) = Gx(k) + Hu(k)
(3.4)
dengan u(k) = −Kx(k) x adalah vektor keadaan berukuran n dan G adalah n × n matriks konstan dan nonsingular.H(k) matriks masukan yang berukuran n × r. K state feedback gain
BAB 3. PEMODELAN MATEMATIKA DAN KONTROL
33
matrix berukuran 1 × n. Sistem 3.4 dapat diubah menjadi: x(k + 1) = (G-HK)x(k)
(3.5)
Kestabilan dari sistem di atas akan diselidiki dengan metode Lyapunov yang kedua. Matriks K dipilih sedemikian hingga nilai eigen G-HK adalah closed-loop poles yang diinginkan µ1 , µ2 , . . . , µn Pilih suatu fungsi Lyapunov yaitu
V (x(k)) = x ∗ (k)Px(k)
P adalah matriks Hermitian definit positif atau matriks definit positif yang real dan simetris. Kemudian:
∆V (x(k)) = V (x(k + 1)T ) − V x(kT ) = x*(k + 1)Px(k + 1) − x*(k)Px(k) = [(G-HK)x(k)]∗ P [(G-HK)x(k)] − x*(k)Px(k) = x*(k)(G-HK)*P(G-HK)x(k) − x*(k)Px(k) = x*(k)(G-HK)*P(G-HK)-Px(k) V (x(k)) harus definit positif karena V (x(k)) mengambil ide dari fungsi energi, sedangkan fungsi energi tanpa gaya dari luar bernilai positif. Karena V (x(k)) positif agar V (x(k)) fungsi yang monoton turun ∆V (x(k)) harus negatif. Sehingga
∆V (x(k)) = x*(k)Qx(k)
dengan Q = −(G-HK)*P(G-HK)-P
(3.6)
definit positif. Sehingga untuk syarat kestabilan sistem 3.5 cukup dengan memenuhi Q definit positif. Q dipilih berupa matriks identitas berukuran 4 × 4
BAB 3. PEMODELAN MATEMATIKA DAN KONTROL
34
Dengan mensubstitusi nilai G,H pada persamaan 3.2 dan matriks K dari persamaan 3.3, akan dicari matriks Lyapunov P yang memenuhi 3.6. Diperoleh matriks Lyapunov:
4.0025
−0.0502
0.0039
−0.0001
−0.0502 3.0025 −0.0502 0.0039 0.0039 −0.0502 2.0025 −0.0502 −0.0001 0.0039 −0.0502 1.0025 yang memenuhi syarat 3.6. Dengan dipenuhinya syarat kestabilan Lyapunov, berarti state feedback gain matrix K pada persamaan 3.3 dapat membuat sistem stabil. Sehingga sistem masukan-keluaran musiman yang akan digunakan selanjutnya adalah: x1 (k) 0 1 0 0 x1 (k + 1) x2 (k + 1) 0 0 1 0 x2 (k) = x3 (k + 1) 0 0 0 1 x3 (k) x4 (k) 0 0 0.0007 −0.05 x4 (k + 1)
y(k) =
h
3.139 · 10−6 −5.855 · 10−6 4.527 · 10−6 2.331 · 10−6
x1 (k)
i x2 (k) (3.7) x3 (k) x4 (k)
