DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA

Daftar Isi 7. LIMIT DAN KEKONTINUAN

DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA (Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Hendra Gunawan∗ ∗ Dosen FMIPA - ITB E-mail: [email protected].

December 1, 2007

Hendra Gunawan

DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA


7.1 Limit Fungsi di Suatu Titik 7.2 Kekontinuan di Suatu Titik 7.3 Sifat-sifat Limit dan Kekontinuan

Hendra Gunawan




Diberikan sebuah fungsi yang terdefinisi pada interval (a, b) kecuali mungkin di sebuah titik c ∈ (a, b), kita tertarik untuk mengamati nilai f (x) untuk x di sekitar c. Khususnya, kita bertanya: apakah f (x) menuju suatu bilangan tertentu bila x menuju c?

Hendra Gunawan




Limit Kiri Misalkan f terdefinisi pada interval (a, c) dan L ∈ R. Kita katakan bahwa f menuju L bila x menuju c dari kiri, dan kita tulis f (x) → L bila x → c − atau lim f (x) = L,

x→c −

apabila untuk setiap > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga jika c − δ < x < c, maka |f (x) − L| < .

Hendra Gunawan




Gambar 7.1 Limit Kiri f di c Hendra Gunawan




Limit Kanan Misalkan f terdefinisi pada interval (c, b) dan M ∈ R. Kita katakan bahwa f menuju M bila x menuju c dari kanan, dan kita tulis f (x) → M bila x → c + atau lim f (x) = M,

x→c +

apabila untuk setiap > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga jika c < x < c + δ, maka |f (x) − M| < .

Hendra Gunawan




Bilangan L dan M disebut sebagai limit kiri dan limit kanan dari f di c. Nilai |f (x) − L| (atau |f (x) − M|) menyatakan jarak antara f (x) dan L (atau jarak antara f (x) dan M), yang dapat kita interpretasikan sebagai kesalahan dalam menghampiri nilai L atau M dengan f (x) (atau sebaliknya menghampiri nilai f (x) dengan L atau M). Kesalahan ini dapat dibuat sekecil yang kita kehendaki dengan cara mengambil x sedekat-dekatnya ke c dari kiri atau kanan.

Hendra Gunawan




Contoh 1

Misalkan f : R → R adalah fungsi yang didefinisikan sebagai 1 − x, x ≤ 1; f (x) = 2x, x > 1. Maka, lim f (x) = 0 dan lim+ f (x) = 2.

x→1−

x→1

Perhatikan bahwa nilai f (1) terdefinisi, yakni f (1) = 0.

Hendra Gunawan




Limit Misalkan f terdefinisi pada interval (a, b) kecuali mungkin di titik c ∈ (a, b), dan L ∈ R. Kita katakan bahwa f menuju ke L bila x menuju c, dan kita tuliskan f (x) → L bila x → c atau lim f (x) = L,

x→c

apabila untuk setiap > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga jika 0 < |x − c| < δ, maka |f (x) − L| < . Dalam hal ini, L disebut sebagai limit f di c, dan f dikatakan mempunyai limit L di c. Hendra Gunawan




Gambar 7.2 Limit f di c Hendra Gunawan




Perhatikan bahwa kondisi 0 < |x − c| < δ setara dengan −δ < x − c < δ, x 6= c. Jadi, 0 < |x − c| < δ jika dan hanya jika x memenuhi salah satu dari dua pertaksamaan berikut: c − δ < x < c atau c < x < c + δ. Sehubungan dengan itu, kita mempunyai proposisi berikut.

Hendra Gunawan




Proposisi 2

lim f (x) = L jika dan hanya jika lim f (x) = L dan

x→c

x→c −

lim+ f (x) = L.

x→c

Menurut Proposisi 2, fungsi pada Contoh 1 tidak mempunyai limit di 1 karena limit kiri dan limit kanannya tidak sama.

Hendra Gunawan




Contoh 3 2

−1 Misalkan f (x) = xx−1 . Fungsi ini terdefinisi pada (−∞, 1) dan juga pada (1, ∞). Bila kita tinjau nilai f (x) untuk x < 1, maka kita dapatkan bahwa

f (x) → 2 bila x → 1− . Bila kita amati nilai f (x) untuk x > 1, maka kita dapatkan bahwa f (x) → 2 bila x → 1+ . Jadi, limit kiri dari f di c sama dengan limit kanannya, yaitu 2. Karena itu lim f (x) = 2. x→c

Perhatikan bahwa pada contoh ini, f tidak terdefinisi di 1. Hendra Gunawan




Proposisi 4

(i) lim k = k x→c

(ii) lim x = c. x→c

Bukti. (i) Diberikan > 0, pilih δ > 0 sembarang. Jika 0 < |x − c| < δ, maka |k − k| = 0 < . Ini membuktikan bahwa lim k = k. x→c

(ii) Diberikan > 0, pilih δ = . Jika 0 < |x − c| < δ, maka |x − c| < δ = . Ini membuktikan bahwa lim x = c. x→c

Hendra Gunawan




Soal Latihan 1

Misalkan n ∈ N. Buktikan, dengan menggunakan definisi, bahwa lim+ x 1/n = 0.

2

Misalkan f : R → R adalah fungsi yang didefinisikan sebagai  2x, x < 1;  1, x = 1 f (x) =  3 − x, x > 1.

x→0

Buktikan, dengan menggunakan definisi, bahwa lim f (x) = 2 x→1−

dan lim+ f (x) = 2. Simpulkan bahwa lim f (x) = 2. x→1

x→1

3

Buktikan, dengan menggunakan definisi, bahwa lim px + q = pc + q. x→c

4

Buktikan jika lim f (x) = L > 0, maka terdapat δ > 0 x→c

sehingga f (x) > 0 untuk c − δ < x < c + δ, x 6= c. Hendra Gunawan




Dalam definisi lim f (x), nilai f di c sama sekali tidak diperhatikan. x→c

Kita hanya tertarik dengan nilai f (x) untuk x menuju c, bukan dengan nilai f di c. Jadi mungkin saja f mempunyai limit L di c sekalipun f tidak terdefinisi di titik c. Dalam hal f terdefinisi di c, dapat terjadi f (c) 6= L.

Hendra Gunawan




Misalkan f terdefinisi pada (a, b) dan c ∈ (a, b). Kita katakan bahwa f kontinu di titik c jika dan hanya jika lim f (x) = f (c).

x→c

Secara intuitif, f kontinu di c berarti grafik fungsi f tidak ‘terputus’ di c.

Hendra Gunawan




Gambar 7.3 Fungsi Kontinu di Suatu Titik Hendra Gunawan




Kekontinuan Kiri dan Kekontinuan Kanan

Jika f terdefinisi pada (a, c] dan lim = f (c), maka kita katakan x→c −

bahwa f kontinu kiri di c. Jika f terdefinisi pada [c, b) dan lim+ f (x) = f (c), maka kita katakan bahwa f kontinu kanan di c.

x→c

Hendra Gunawan




Contoh 5

(1) Untuk setiap n ∈ N, fungsi f (x) = x 1/n kontinu kanan di 0. (2) Fungsi f (x) = px + q kontinu di setiap titik.

Hendra Gunawan




Teorema 6 Misalkan f terdefinisi pada (a, b) kecuali mungkin di c ∈ (a, b). Maka, lim f (x) = L jika dan hanya jika, untuk setiap barisan hxn i x→c

di (a, b) dengan xn 6= c (n ∈ N) dan lim xn = c, berlaku n→∞

lim f (xn ) = L.

n→∞

Catatan. Hasil serupa berlaku untuk limit kiri dan limit kanan. Sebagai akibat dari Teorema 6, f kontinu di c jika dan hanya jika, untuk setiap barisan hxn i yang konvergen ke c berlaku lim f (xn ) = f (c). Hasil serupa berlaku untuk kekontinuan kiri n→∞ dan kekontinuan kanan.

Hendra Gunawan




Contoh 7

Kekontinuan f (x) = px + q di sebarang titik c ∈ R dapat dibuktikan sebagai berikut. Misalkan hxn i adalah sebarang barisan yang konvergen ke c. Maka, menurut Proposisi 5 pada Bab 3, f (xn ) = pxn + q → pc + q = f (c),

untuk n → ∞.

Menurut akibat dari Teorema 6, f kontinu di c.

Hendra Gunawan




Soal Latihan

√

1

Buktikan bahwa f (x) =

x kontinu di setiap c > 0.

2

Buktikan bahwa f (x) = |x| kontinu di setiap titik.

3

Misalkan f terdefinisi pada (a, b) dan kontinu di suatu titik c ∈ (a, b). Buktikan jika f (c) > 0, maka terdapat suatu δ > 0 sehingga f (x) > 0 untuk x ∈ (c − δ, c + δ).

Hendra Gunawan




Proposisi 8

Misalkan f dan g terdefinisi pada interval (a, b) kecuali mungkin di c ∈ (a, b). Misalkan lim f (x) = L dan lim g (x) = M, dan x→c x→c λ, µ ∈ R. Maka (i) lim [λf (x) + µg (x)] = λL + µM; x→c

(ii) lim f (x)g (x) = LM; x→c

f (x) x→c g (x)

(iii) lim

=

L M,

asalkan M 6= 0.

Hendra Gunawan




Akibat

Sebagai akibat dari Proposisi 8 kita peroleh: Jika f dan g kontinu di c, maka λf + µg , fg , dan

f g

kontinu di c.

Yang terakhir tentunya menuntut g (c) 6= 0.

Hendra Gunawan




Teorema 9 Fungsi polinom kontinu di setiap titik. Fungsi rasional kontinu di setiap titik dalam daerah asalnya.

Bukti. Menurut Proposisi 4, f (x) = k dan g (x) = x kontinu di sebarang titik c ∈ R. Menurut Proposisi 8(ii), h(x) = x i kontinu di sebarang titik c ∈ R, untuk tiap i ∈ N. Akibatnya, menurut Proposisi 8(i), fungsi polinom p(x) = an x n + an−1 x n−1 + · · · + a1 x + a0 kontinu di setiap titik c ∈ R. Untuk membuktikan kekontinuan fungsi rasional di setiap titik dalam daerah asalnya, kita perlu menggunakan Proposisi 8(iii). Hendra Gunawan




Soal Latihan 1

Buktikan Proposisi 8.

2

Berikan contoh fungsi f dan g sedemikian sehingga lim f (x) x→0

tidak ada, lim g (x) ada, dan lim f (x)g (x) ada. Apakah ini x→0

x→0

bertentangan dengan Proposisi 8(ii) atau 8(iii)? 3

Benar atau salah: Jika lim f (y ) = M dan lim g (x) = L, x→c

y →L

maka lim f (g (x)) = M? x→c

4

Kita katakan bahwa lim+ f (x) = +∞ apabila, untuk setiap x→c

M > 0 terdapat δ > 0 sehingga f (x) > M untuk c < x < c + δ. Buktikan bahwa lim+ √1x = +∞. x→0

Hendra Gunawan


DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA

Recommend Documents