Dasar Logika Matematika

Brainstorming

Dasar Logika Matematika

• Perhatikan kedudukan himpunan titik-titik yang berderet kemudian tentukan himpunan titik-titik berikutnya sesuai dengan pola.

Pertemuan 1:

? Pengantar Dasar Logika Matematika |

Brainstorming

2

Brainstorming • Perhatikan pernyataan-pernyataan berikut: – misalkan bilangan ganjil pertama adalah 2k+1 – misalkan bilangan ganjil kedua adalah 2h+1 – Maka jumlahnya: (2k+1)+(2h+1) = 2(h+k+1)

• Bagaimanakah cara untuk mendapatkan hasil penjumlahan kedua bilangan ganjil tersebut? • Apa kesimpulannya? Jumlah dua bilangan ganjil adalah bilangan genap Pengantar Dasar Logika Matematika |

3

Pengantar Dasar Logika Matematika |

4

Brainstorming • Perhatikan daftar perkalian:

Brainstorming • Perhatikan bilangan segitiga:

– 1𝐱9=9

?

– 2 𝐱 9 = 18 – 3 𝐱 9 = 27 – 4 𝐱 9 = 36 – …

1

• Bagaimana pola hasil kalinya? • Jumlah bilangan-bilangan pada hasil kalinya adalah sembilan Pengantar Dasar Logika Matematika |

3

6

10

...

• Bagaimana dengan dua bilangan sesudah 10? 5


Pengantar Dasar Logika Matematika Tujuan

6

Logika dan Pernyataan Pembahasan

• Menggunakan nilai kebenaran pernyataan majemuk dan implikasi dalam pemecahan masalah

• Definisi Logika • Pernyataan Majemuk

• Menggunakan sifat dan prinsip logika untuk penarikan kesimpulan dan pembuktian sifat matematika

− Kalimat Pernyataan Terbuka − Kalimat Pernyataan Tertutup

• Teori Korespondensi dan Koheresi


7


8

Definisi Logika • Logika adalah ilmu untuk berpikir dan menalar dengan benar.

Dalam mengambil kesimpulan, dibutuhkan suatu kalimat yang dapat dinyatakan nilainya yaitu dengan meliputi benar atau salah.

• Secara bahasa, logika berasal dari kata “logos” yang artinya kata, ucapan, pikiran secara utuh atau ilmu pengetahuan.

Contoh kalimat:

• Secara istilah, logika adalah cabang ilmu yang mempelajari penurunan-penurunan kesimpulan yang valid (benar) dan yang tidak valid (tidak benar)

1. “Tolong tutup pintunya!” Kalimat di atas tidak dapat dinyatakan nilainya apakah benar atau salah.

2. “Pulpen ini milik Adi” Kalimat di atas dapat dinyatakan kebenarannya.

Salah satu tokoh matematika dalam bidang logika matematika adalah Augustus De Morgan. Sumbangsih terbesarnya dalam logika matematika dikenal dengan Hukum De Morgan Pengantar Dasar Logika Matematika |

Pernyataan Majemuk

9


Kalimat Pernyataan 1. Kalimat pernyataan tertutup

10

Kalimat Pernyataan 2. Kalimat pernyataan terbuka

Merupakan kalimat yang memiliki nilai kebenaran yang sudah pasti, apakah nilainya benar saja atau salah saja dan tidak bisa diubah-ubah.

Merupakan kalimat yang belum pasti nilai kebenarannya (relative). Biasanya ada pada kalimat tanya dan kalimat perintah.

Contoh:

a. Mie ayam itu enak.

a. Semua orang akan mati

b. Wanita itu ramah dan santun.

Contoh:

b. Gula itu asin Pengantar Dasar Logika Matematika |

11


12

Teori Korespondensi dan Koheresi • Teori Korespondensi

Teori Korespondensi dan Koheresi • Teori Koherensi

Teori ini membahas tentang penarikan kesimpulan (benar/salah) berdasarkan kenyataan yang sebenarnya.

Teori ini membahas penilaian yang benar bila sesuai dengan kebenaran sebelumnya yang telah disepakati.

Contoh:

Contoh:

a. Saya memakai jilbab

Premis 1 : Semua makhluk hidup bernapas Premis 2 : Manusia adalah makhluk hidup Kesimpulan : Manusia bernapas

b. Jakarta merupakan ibu kota negara Indonesia


13

Latihan 1. Manakah diantara kalimat berikut yang merupakan pernyataan?


14

Latihan 2. Andi berbohong pada hari Senin, Selasa dan Rabu, sedangkan pada hari-hari yang lain ia berkata benar. Teman karibnya, si Badu berbohong pada hari Kamis, Jum’at dan Sabtu, sedangkan pada hari-hari yang lain berkata benar. Pada suatu hari, Andi berkata “kemarin adalah hari dimana saya berbohong.” Badu lalu menimpali “kemarin adalah hari dimana saya berbohong juga.”

a. X + 3 = 2 b. X + 3 = 2 adalah suatu pernyataan c. 111 adalah bilangan prima d. Tadi pagi Fahmi bertanya “pak guru kapan ulangan?”

a. Pada hari-hari apakah mereka berdua dapat menyatakan hal itu? b. Jika mereka berdua sama-sama menyatakan bahwa hari kemarin adalah hari dimana mereka berkata benar, pada hari-hari apakah mereka berdua dapat menyatakan hal itu?

e. 2n + 1 untuk n Ɛ A adalah bilangan ganjil


15


16

Latihan 3. Pada satu rumah makan, Andi seorang SOPIR sedang duduk mengelilingi meja berbentuk persegi dengan tiga orang temannya. Ketiga teman Andi tersebut bekerja sebagai KELASI, PILOT, dan MARKONIS. Tentukan pekerjaan Budi jika: – Andi duduk di sebelah kiri CHANDRA; – Budi duduk di sebelah kanan KELASI; dan – Dani yang duduk berhadapan dengan CHANDRA bukanlah seorang pilot.


17

Latihan 4. Ada tiga orang siswa yaitu TONI, DIDI dan LODY. Diketahui: a. TONI tidak pernah berbohong. DIDI kadang-kadang berbohong, sedangkan LODY selalu berbohong b. Mereka memakai kaos HIJAU, KUNING, MERAH c. Siswa yang memakai kaos KUNING, menyatakan bahwa siswa yang berkaos merah adalah LODY d. Siswa yang memakai kaos MERAH, menyatakan dirinya adalah DIDI e. Siswa terakhir yang memakai kaos HIJAU, menyatakan bahwa siswa yang berkaos merah adalah TONI

Berdasarkan keterangan di atas, tentukan warna kaos yang dipakai setiap siswa Pengantar Dasar Logika Matematika |

Operasi Logika

18

Negasi/Ingkaran Negasi merupakan kebalikan dari pernyataan sebenarnya. Ingkaran ditandai dengan “Tidak benar bahwa, bukan, tidak” dinotasikan dengan “ ¬ ”

Pembahasan • Negasi / Ingkaran • Konjungsi

Contoh:

• Disjungsi

Tentukan negasi dari: P = Andi berjalan menuju Barat ¬P : Tidak benar bahwa Andi berjalan menuju Barat ¬P : Andi bukan berjalan menuju Barat ¬P : Andi tidak berjalan menuju Barat

• Implikasi • Bi-implikasi


19


20

Konjungsi

Konjungsi

Merupakan suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dari dua pernyataan tunggal dengan operator logika “DAN / AND” yang dilambangkan dengan “  ”. Bentuk konjungsi p  q dapat juga dibaca sebagai:

Contoh: Ambilkan pisau dan garpu (ketika ingin makan steak) p = ambil pisau q = ambil garpu

a. p dan q

Didapat: Kemungkinan Kemungkinan Kemungkinan Kemungkinan

b. p tetapi q c. p meskipun q d. p walaupun q Pengantar Dasar Logika Matematika |

1 = ambil pisau + garpu 2 = ambil pisau 3 = ambil garpu 4 = tidak kedua-duanya

21


Konjungsi Jika kondisi konjungsi direpresentasikan dalam bentuk tabel kebenaran, maka tabel kebenaran akan disajikan sebagai berikut: p

q

22

Disjungsi Merupakan suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dari dua pernyataan tunggal dengan operator logika “ATAU / OR” yang dilambangkan dengan “  ”. Terdapat dua macam disjungsi yaitu disjungsi eksklusif dan disjungsi inklusif.

pq

Contoh : Ambilkan pisau atau garpu (ketika ingin makan steak) p = ambil pisau q = ambil garpu Pengantar Dasar Logika Matematika |

23


24

Disjungsi

Tabel kebenaran disjungsi inklusif direpresentasikan sebagai berikut:

Disjungsi inklusif Kemungkinan Kemungkinan Kemungkinan Kemungkinan

Disjungsi


p


q

pq

25


Disjungsi

Disjungsi Tabel kebenaran disjungsi eksklusif direpresentasikan sebagai berikut:

Disjungsi eksklusif Kemungkinan Kemungkinan Kemungkinan Kemungkinan

26


p


27

q

pq


28

Implikasi Merupakan suatu pernyataan majemuk yang ditandai dengan kata “jika…maka…”, “…hanya jika…”, dinotasikan dengan “  “ . Bentuk implikasi p  q dapat juga dibaca sebagai: a. b. c. d. e.

Implikasi Contoh: Jika hari tidak hujan maka abang akan datang p = hari tidak hujan q = abang akan datang

Jika p maka q p hanya jika q q jika p p syarat cukup bagi q q syarat cukup bagi p

Didapat: Kemungkinan 1 = tidak hujan + abang datang Kemungkinan 2 = tidak hujan + abang tidak datang Kemungkinan 3 = hujan + abang datang Kemungkinan 4 = hujan + abang tidak datang Pengantar Dasar Logika Matematika |

29


Bi-Implikasi Merupakan suatu pernyataan majemuk yang ditandai dengan “…jika dan hanya jika…”, dinotasikan dengan “  “ . Bi-implikasi bernilai benar jika pernyataan keduanya sama.

Bi-Implikasi

Contoh:

Contoh: Kambing hidup jika dan hanya jika bernapas p = kambing hidup q = kambing bernapas

Kambing hidup jika dan hanya jika bernapas

Didapat:

p = kambing hidup

Kemungkinan 1 = hidup + bernapas Kemungkinan 2 = hidup + tidak bernapas Kemungkinan 3 = tidak hidup + bernapas Kemungkinan 4 = tidak hidup + tidak bernapas

q = kambing bernapas Pengantar Dasar Logika Matematika |

31

30


32

Latihan 1. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut !

Latihan 2. p: 10 habis dibagi 5, q: 8 adalah bilangan prima

a. 3 + 2 = 6  4 + 2 = 5 c. 3 + 2 = 5 atau Jakarta ibu kota D.I.Aceh

Nyatakan dalam kalimat sehari-hari pernyataan-pernyataan berikut ini lalu tentukan nilai kebenarannya. a. ¬ p f. ¬ p  q

d. Jika x2 = 4 maka x = 2

b. ¬ q

g. p  ¬ q

c. p  q

h. p  q

d. p  q

i. p  q

e. ¬ p  ¬ q

j. (p  ¬ q)  (¬ p  q)

b. 3 + 2 = 5  4 + 2 = 5

e. Jika x = -2 maka

x2

=4

f. Jika 3x + 4 = 2 dan x Ɛ B, maka x = -1 Pengantar Dasar Logika Matematika |

33


Latihan 3. Jika a: Lisa gadis cantik dan b: Lisa gadis cerdas

Latihan 4. Buatlah tabel kebenaran dari pernyataan berikut ini :

Nyatakan pernyataan di bawah ini dengan menggunakan a, b dan simbol-simbol logika matematika

a. p  q  ¬ p  q

a. b. c. d. e. f. g.

c. ¬ [(¬ p  r)  (p  ¬ q)]  r

b. p  q  (q  ¬ q  r  q)

Lisa gadis yang cantik namun tidak cerdas Lisa gadis yang tidak cantik dan tidak cerdas Meskipun Lisa bukanlah gadis yang cantik namun ia gadis yang cerdas Lisa gadis yang cantik sekaligus juga gadis yang cerdas Tidak benar bahwa Lisa gadis yang cantik dan cerdas Jika Lisa gadis yang cantik maka ia tidak cerdas Jika Lisa gadis yang tidak cantik maka ia tidak cerdas Pengantar Dasar Logika Matematika |

34

35


36

Converse, Inverse, Contrapositive • Urutan/posisi pernyataan dalam suatu implikasi (jika...maka/ if…then) sangat berpengaruh.

• Inverse Suatu pernyataan implikasi/conditional dimana tiap pernyataan adalah negasi.

• Converse Suatu pernyataan implikasi/conditional dimana posisi tiap pernyataan saling ditukar. Contoh: Implikasi/Conditional Converse-nya

Contoh: Implikasi/Conditional Inverse-nya

: jika p maka q : jika  p maka  q

: jika p maka q : jika q maka p Pengantar Dasar Logika Matematika |

37

Converse, Inverse, Contrapositive • Contrapositive Suatu pernyataan implikasi/conditional dimana tiap pernyataan merupakan inverse dari converse. Contoh: Implikasi/Conditional Converse-nya Inverse-nya

Converse, Inverse, Contrapositive

Dasar Logika Matematika Pertemuan 1:

: jika p maka q : jika q maka p : jika  q maka  p



39

38

Dasar Logika Matematika

Recommend Documents