Himpunan (Set)
Dasar Logika Matematika Objective • Mahasiswa dapat menjelaskan himpunan (set)
Pertemuan 4:
• Mahasiswa dapat memodelkan himpunan dengan menggunakan diagram venn
Himpunan (Set) |
Definisi Himpunan • Apa itu himpunan?
Penyajian Himpunan 1. Setiap anggota himpunan harus dituliskan secara rinci
• Himpunan (set) adalah kumpulan objek yang memiliki anggota yang berbeda satu dengan lainnya.
Contoh.
• Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
• C = {TIF, KOM, PSI, DKV, MGT}
• B = {2, 4, 6, 8, 10}. • {2, 4, 6, 8, 10} dan {TIF, KOM, PSI, DKV, MGT} merupakan anggota dari himpunan B dan C.
Contoh. HIMA adalah contoh sebuah himpunan, di dalamnya berisi anggota berupa mahasiswa. Tiap mahasiswa berbeda satu sama lain.
2
Georg Cantor (1845-1918)
Himpunan (Set) |
• Keanggotaan sebuah himpunan dapat disimbolkan dengan (elemen) dan (bukan elemen). 3
Himpunan (Set) |
4
Penyajian Himpunan 2. Himpunan dapat juga dituliskan menggunakan simbol-simbol baku, sebagai berikut. • • • • • • •
Penyajian Himpunan 3. Penyajian himpunan dapat juga direpresentasikan dalam bentuk notasi pembentukan himpunan. Format { x syarat yang harus dipenuhi oleh x}.
P = himpunan bilangan bulat positif = { 1, 2, 3, ... } N = himpunan bilangan asli atau alami (natural) = { 1, 2, ... } Z = himpunan bilangan bulat integer= { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... } Q = himpunan bilangan rasional R = himpunan bilangan riil C = himpunan bilangan kompleks U = semesta (universal)
Contoh. A adalah himpunan bilangan bulat positif kecil dari 5 Jawab : A = { 1, 2, 3, 4}, jika dituliskan dengan notasi himpunan, maka penulisannya sebagai berikut, A = { x | x bilangan bulat positif lebih kecil dari 5} atau A = { x | x P, x < 5 } Himpunan (Set) |
5
Himpunan (Set) |
Penyajian Himpunan
Relasi Himpunan (Set) Relasi Himpunan (Set)
4. Diagram Venn.
• Relasi himpunan dapat dinyatakan sebagai:
Diagram venn digunakan untuk menggambarkan relasi antar satu hmpunan dengan himpunan lainnya.
– Subset (himpunan bagian) – Disjoint (himpunan saling lepas)
Contoh. Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5}, dan B = {2, 5, 6, 8}.
6
– Overlapping (himpunan yang memiliki elemen yang sama)
John Venn (4 Ags 1834 - 4 Apr 1923) Himpunan (Set) |
7
Himpunan (Set) |
8
Relasi Himpunan (Set)
Relasi Himpunan (Set)
Subset
Disjoint
• Sebuah himpunan dikatakan subset dari himpunan lainnya jika dan hanya jika setiap elemen himpunan tersebut merupakan elemen dari himpunan lainnya ( ).
• 2 buah himpunan dikatakan disjoint apabila kedua himpunan tidak memiliki elemen yang sama.
Contoh.
Contoh. A = {1, 3, 5} dan B = {2, 4, 6, 8}, maka A disjoint B atau A // B.
A = {1, 3, 5} dan B = {1, 2, 3, 4, 5}, maka A dikatakan subset dari B atau A B. Sedangkan B merupakan superset dari A (B A). Himpunan (Set) |
9
Himpunan (Set) |
Relasi Himpunan (Set)
10
Relasi Himpunan (Set)
Overlapping
Latihan.
• Dua buah himpunan dikatakan overlapping jika keduanya memiliki elemen yang sama setidaknya satu elemen.
Jelaskan dan gambarkan relasi menggunakan diagram venn: 1. Menteri dan DPR 2. Pemenang Oscar dan pemenang Golden Globe 3. Atlet dan Mahasiswa.
Contoh. A = {2, 3, 5, 7, 9} dan B = {1, 2, 3, 4, 5}, maka {2, 3, 5} dapat dikatakan sebagai intersection/irisan A dan B atau dapat dinotasikan dengan A B = {x | x A dan x B} Himpunan (Set) |
11
Himpunan (Set) |
12
Kardinalitas
Himpunan Kosong (Null Set)
• Menunjukkan banyaknya elemen dalam sebuah himpunan.
• Himpunan yag memiliki nilai kardinalitas 0.
• Dinotasikan dengan n(simbol himpunan) atau | simbol himpunan |
• Dinotasikan dengan atau { }.
Contoh.
Contoh.
i. B = { x | x merupakan bilangan prima lebih kecil dari 20 }, atau B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} maka B = 8
i. E = {x | x < x}, maka n(E) = 0
ii. T = {kucing, a, Amir, 10, paku, pena}, maka T = 5
ii. P = {orang Indonesia yang pernah ke bulan}, maka n(P) = 0 iii. A = {x | x adalah bilangan prima < 2}, n(A) = 0 himpunan {{ }} dapat juga ditulis sebagai {}
Himpunan (Set) |
13
Himpunan (Set) |
Himpunan yang Sama
14
Himpunan yang Sama
• Dua buah himpunan dikatakan sama jika dan hanya jika setiap elemen yang satu merupakan elemen lainnya atau sebaliknya.
Contoh.
• Atau Dua buah himpunan dikatakan sama jika himpunan satu merupakan bagian dari himpunan lainnya dan sebaliknya.
• Jika A = { 3, 5, 8} dan B = {3, 8}, maka A B
• Jika A = { 3, 5, 8 } dan B = {5, 3, 8 }, maka A = B
• Notasi:
Untuk tiga buah himpunan, A, B, dan C berlaku aksioma berikut:
A = B A B dan B A.
– A = A, B = B, dan C = C
Himpunan (Set) |
15
–
jika A = B, maka B = A
–
jika A = B dan B = C, maka A = C Himpunan (Set) |
16
Himpunan yang Ekivalen • Dua buah himpunan dikatakan ekivalen jika dan hanya jika nilai kardinalitas elemen yang satu sama dengan nilai kardinalitasb himpunan lainnya.
Operasi Himpunan 1. Intersection (Irisan). Notasi: A B = {x | x A dan x B}
• Notasi: A ~ B |A| = |B|. Contoh.
Contoh. • Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18}, maka A B = {4, 10}
Misalkan A = {1, 3, 5, 7} dan B = {a, b, c, d}, maka A ~ B sebab A = B = 4
Himpunan (Set) |
• Jika A = { 3, 5, 9 } dan B = { -2, 6 }, maka A B = . Artinya: A // B • A = {amir, budi, ani} dan B={budi, ali, toni} maka A B = {budi} 17
Himpunan (Set) |
Operasi Himpunan 2. Union (Gabungan).
18
Operasi Himpunan 3. Complement (Komplemen).
Notasi: A B = {x | x A atau x B}
Notasi: Ā = {x | x U, x A}
Contoh. Contoh.
Misalkan U = {1, 2, 3, ..., 9}
• Jika A = {2, 5, 8} dan B = {7, 5, 22}, maka A B = {2, 5, 7, 8, 22}
• Jika A = {1, 3, 7, 9}, maka Ā = {2, 4, 6, 8}
• A=A
• Jika A = {x | x/2 P, x < 9}, maka Ā = {1, 3, 5, 7, 9} Himpunan (Set) |
19
Himpunan (Set) |
20
Operasi Himpunan
Dasar Logika Matematika Contoh. Misalkan:
Pertemuan 4:
A = Himpunan semua mobil buatan dalam negeri B = Himpunan semua mobil impor C = Himpunan semua mobil yang dibuat sebelum tahun 1990 D = Himpunan semua mobil yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta E = Himpunan semua mobil milik mahasiswa universitas tertentu
Himpunan (Set) |
Operasi Himpunan
Latihan 1. Sebuah kelas terdiri 40 siswa ,diantaranya 18 siswa suka IPA, 23 suka IPS, 8 siswa suka keduanya dan sejumlah siswa tidak suka keduanya, tentukan: a. Jumlah siswa yang tidak suka keduanya b. Gambarkan diagram venn
Tentukan operasi terhadap himpunan jika memiliki kondisi berikut: 1. Mobil mahasiswa di universitas ini produksi dalam negeri atau diimpor dari luar negeri. E A E B atau E (A B) 2. Semua mobil produksi dalam negeri yang dibuat sebelum tahun 1990 yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta. A C D 3. Semua mobil impor buatan setelah tahun 1990 mempunyai nilai jual lebih dari Rp 100 juta.
Himpunan (Set) |
22
2. Suatu kelompok belajar berjumlah 21 siswa, diantaranya 10 siswa belajar bahasa inggris, dan 15 siswa belajar matematika. Tentukan: a. Jumlah siswa yang belajar keduanya, b. Gambarkan diagram venn 23
Himpunan (Set) |
24
Latihan 3. Perhatikan diagram Venn di samping ini kemudian tentukan anggota himpunan A, B, M, dan N berikut notasi yang memenuhi diagram Venn tersebut jika U adalah bilangan asli!
Latihan 4. Jika diketahui A adalah himpunan siswa yang aktif pada OSIS, B adalah himpunan siswa yang aktif pada Fotographi, C adalah himpunan siswa yang aktif pada Sains, D adalah himpunan siswa yang aktif pada Modern Dance sedangkan U adalah himpunan Semesta dan anggota-anggotanya adalah sebagai berikut: A = {Agus, Rina, Riska, Bonny, David, Abraham, Fely, Vita, Fania} B = {Lucky, Fathur, Vita, Fanny, Budi, Firman, David} C = {Aldo, Adnan, Benny, Monik, Fawazz, Thomas, David, Vita} D = {Natasha, Firda, Denny, Febri, Yanuar}
Himpunan (Set) |
25
Latihan • Gambarlah sebuah diagram Venn yang merepresentasikan situasi tersebut! • Beberapa voucher gratis masuk sebuah Taman Rekreasi akan diberikan kepada beberapa siswa dengan ketentuan seleksi adalah V = (A B C) D. Tentukanlah, siapakah siswa-siswa yang memperoleh voucher?
Himpunan (Set) |
27
Himpunan (Set) |
Dasar Logika Matematika Pertemuan 4:
26
