MATEMATIKA DASAR (Validitas Pembuktian)

MATEMATIKA DASAR (Validitas Pembuktian) Antonius Cahya Prihandoko Universitas Jember Indonesia Jember, 2015

Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ)

MDAS - Validitas Pembuktian

Jember, 2015

1 / 22

Outline 1

Premis dan Argumen

2

Modus Ponen

3

Modus Tolens

4

Silogisma

5

Silogisma Disjungtif

6

Dilema Konstruktif

7

Dilema Destruktif

8

Pembuktian Tak Langsung



Jember, 2015

2 / 22

Outline 1

Premis dan Argumen

2

Modus Ponen

3

Modus Tolens

4

Silogisma

5


6

Dilema Konstruktif

7

Dilema Destruktif

8




Jember, 2015

2 / 22

Outline 1

Premis dan Argumen

2

Modus Ponen

3

Modus Tolens

4

Silogisma

5


6

Dilema Konstruktif

7

Dilema Destruktif

8




Jember, 2015

2 / 22

Outline 1

Premis dan Argumen

2

Modus Ponen

3

Modus Tolens

4

Silogisma

5


6

Dilema Konstruktif

7

Dilema Destruktif

8




Jember, 2015

2 / 22

Outline 1

Premis dan Argumen

2

Modus Ponen

3

Modus Tolens

4

Silogisma

5


6

Dilema Konstruktif

7

Dilema Destruktif

8




Jember, 2015

2 / 22

Outline 1

Premis dan Argumen

2

Modus Ponen

3

Modus Tolens

4

Silogisma

5


6

Dilema Konstruktif

7

Dilema Destruktif

8




Jember, 2015

2 / 22

Outline 1

Premis dan Argumen

2

Modus Ponen

3

Modus Tolens

4

Silogisma

5


6

Dilema Konstruktif

7

Dilema Destruktif

8




Jember, 2015

2 / 22

Outline 1

Premis dan Argumen

2

Modus Ponen

3

Modus Tolens

4

Silogisma

5


6

Dilema Konstruktif

7

Dilema Destruktif

8




Jember, 2015

2 / 22

Premis dan Argumen



Jember, 2015

3 / 22

Premis dan Argumen

Logika berkenaan dengan penalaran yang dinyatakan dengan pernyataan verbal. Suatu diskusi atau pembuktian terdiri atas pernyataan-pernyataan yang saling berelasi. Bermula dengan pernyataan-pernyataan tertentu yang diterima kebenarannya dan kemudian berargumentasi untuk sampai pada konklusi (kesimpulan) yang akan dibuktikan.

Premis Pernyataan-pernyataan yang digunakan untuk menarik kesimpulan disebut premis. Suatu premis dapat berupa aksioma, hipotesa, definisi atau pernyataan yang sudah dibuktikan sebelumnya.



Jember, 2015

4 / 22

Premis dan Argumen

Logika berkenaan dengan penalaran yang dinyatakan dengan pernyataan verbal. Suatu diskusi atau pembuktian terdiri atas pernyataan-pernyataan yang saling berelasi. Bermula dengan pernyataan-pernyataan tertentu yang diterima kebenarannya dan kemudian berargumentasi untuk sampai pada konklusi (kesimpulan) yang akan dibuktikan.

Premis Pernyataan-pernyataan yang digunakan untuk menarik kesimpulan disebut premis. Suatu premis dapat berupa aksioma, hipotesa, definisi atau pernyataan yang sudah dibuktikan sebelumnya.



Jember, 2015

4 / 22

Premis dan Argumen

Argumen Argumen adalah suatu himpunan proposisi (yang disebut premis) yang menghasilkan proposisi lain (yang disebut konklusi).

Validitas Suatu argumen dikatakan valid jika kebenaran konjungsi proposisi-proposisi pada premis mengakibatkan secara logik kebenaran konklusi. Tetapi bila kebenaran proposisi-proposisi pada premis tidak menghasilkan secara logik kebenaran konklusi, maka argumen tersebut tidak valid, dan argumen yang demikian disebut sesat pikir.



Jember, 2015

5 / 22

Premis dan Argumen

Argumen Argumen adalah suatu himpunan proposisi (yang disebut premis) yang menghasilkan proposisi lain (yang disebut konklusi).

Validitas Suatu argumen dikatakan valid jika kebenaran konjungsi proposisi-proposisi pada premis mengakibatkan secara logik kebenaran konklusi. Tetapi bila kebenaran proposisi-proposisi pada premis tidak menghasilkan secara logik kebenaran konklusi, maka argumen tersebut tidak valid, dan argumen yang demikian disebut sesat pikir.



Jember, 2015

5 / 22

Modus Ponen



Jember, 2015

6 / 22

Modus Ponen

Bentuk argumen Premis 1: Premis 2: Konklusi :

p⇒q p q

Contoh Premis 1: Premis 2: Konklusi :

Jika saya belajar, maka saya lulus ujian (B) Saya belajar (B) Saya lulus ujian (B)



Jember, 2015

7 / 22

Modus Ponen


p⇒q p q


Jika saya belajar, maka saya lulus ujian (B) Saya belajar (B) Saya lulus ujian (B)



Jember, 2015

7 / 22

Modus Tolens



Jember, 2015

8 / 22

Modus Tolens


p⇒q −q −p



Jika hari hujan, maka tanah basah (B) Tanah tidak basah (B) Hari tidak hujan (B)


Jember, 2015

9 / 22

Modus Tolens


p⇒q −q −p



Jika hari hujan, maka tanah basah (B) Tanah tidak basah (B) Hari tidak hujan (B)


Jember, 2015

9 / 22

Silogisma



Jember, 2015

10 / 22

Silogisma


p⇒q q⇒r p⇒r


Jika kamu benar maka saya yang bersalah (B) Jika saya bersalah maka saya minta maaf (B) Jika kamu benar maka saya minta maaf (B)



Jember, 2015

11 / 22

Silogisma


p⇒q q⇒r p⇒r


Jika kamu benar maka saya yang bersalah (B) Jika saya bersalah maka saya minta maaf (B) Jika kamu benar maka saya minta maaf (B)



Jember, 2015

11 / 22




Jember, 2015

12 / 22


Bentuk argumen valid Premis 1: Premis 2: Konklusi :

p∨q −q p

Premis 1: Premis 2: Konklusi :

p∨q −p q

Bentuk argumen valid



Jember, 2015

13 / 22


Bentuk argumen valid Premis 1: Premis 2: Konklusi :

p∨q −q p


p∨q −p q

Bentuk argumen valid



Jember, 2015

13 / 22

Silogisma Disjungtif Bagaimana dengan argumen berikut? Premis 1: Premis 2: Konklusi :

p∨q q −p


p∨q p −q

atau argumen berikut?

Untuk disjungsi inklusif, kedua argumen tersebut invalid Untuk disjungsi eksklusif, kedua argumen tersebut valid.



Jember, 2015

14 / 22


p∨q q −p


p∨q p −q





Jember, 2015

14 / 22


p∨q q −p


p∨q p −q





Jember, 2015

14 / 22


p∨q q −p


p∨q p −q





Jember, 2015

14 / 22


p∨q q −p


p∨q p −q





Jember, 2015

14 / 22

Dilema Konstruktif



Jember, 2015

15 / 22

Dilema Konstruktif merupakan kombinasi dua argumen modus ponen


(p ⇒ q) ∧ (r ⇒ s) p∨r q∨s


Jika hari hujan, aku tinggal di rumah; tetapi jika stok makanan habis, aku pergi belanja Hari ini hujan, atau stok makanan habis Aku tinggal di rumah atau pergi belanja



Jember, 2015

16 / 22

Dilema Konstruktif merupakan kombinasi dua argumen modus ponen


(p ⇒ q) ∧ (r ⇒ s) p∨r q∨s


Jika hari hujan, aku tinggal di rumah; tetapi jika stok makanan habis, aku pergi belanja Hari ini hujan, atau stok makanan habis Aku tinggal di rumah atau pergi belanja



Jember, 2015

16 / 22

Dilema Destruktif



Jember, 2015

17 / 22

Dilema Destruktif merupakan kombinasi dua argumen modus tolens


(p ⇒ q) ∧ (r ⇒ s) −q ∨ −s −p ∨ −r


Jika cuaca cerah, aku pergi bersepeda tetapi jika sepeda rusak, aku pergi ke bengkel Aku tidak bersepeda, atau tidak ke bengkel Cuaca tidak cerah, atau sepeda tidak rusak



Jember, 2015

18 / 22

Dilema Destruktif merupakan kombinasi dua argumen modus tolens


(p ⇒ q) ∧ (r ⇒ s) −q ∨ −s −p ∨ −r


Jika cuaca cerah, aku pergi bersepeda tetapi jika sepeda rusak, aku pergi ke bengkel Aku tidak bersepeda, atau tidak ke bengkel Cuaca tidak cerah, atau sepeda tidak rusak



Jember, 2015

18 / 22




Jember, 2015

19 / 22


Pembuktian-pembuktian yang telah dibahas sebelumnya merupakan pembuktian langsung. Suatu argumen bernilai valid jika premis-premisnya bernilai benar dan konklusinya juga bernilai benar. Jika premis-premis dalam suatu argumen valid membawa ke konklusi yang bernilai salah, maka paling tidak ada satu premis yang salah. Ini merupakan dasar dari pembuktian tak langsung, atau pembuktian dengan kontradiksi (reductio ad absurdum)



Jember, 2015

20 / 22





Jember, 2015

20 / 22





Jember, 2015

20 / 22

Pembuktian Tak Langsung Buktikan bahwa 0 merupakan satu-satunya elemen identitas jumlahan dalam himpunan bilangan bulat

Bukti Andai 0 bukan satu-satunya identitas jumlahan ⇒ ada a 6= 0 yang juga elemen identitas ⇒ ∀x ∈ Z, (x + 0 = x) ∧ (x + a = x) ⇒x +0=x +a ⇒a=0 ⇒ Terjadi kontradiksi (a 6= 0) ∧ (a = 0) ⇒ Pengandaian salah, sehingga 0 adalah satu-satunya elemen identitas jumlahan. Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ)


Jember, 2015

21 / 22




Jember, 2015

21 / 22




Jember, 2015

21 / 22




Jember, 2015

21 / 22




Jember, 2015

21 / 22




Jember, 2015

21 / 22




Jember, 2015

21 / 22




Jember, 2015

21 / 22




Jember, 2015

21 / 22

TERIMA KASIH

Selamat belajar dan sukses



Jember, 2015

22 / 22

MATEMATIKA DASAR (Validitas Pembuktian)

Recommend Documents