PEMBUKTIAN MATEMATIKA LOGIKA INFERENSIA
Altien Jonathan Rindengan, S.Si, M.Kom
Pendahuluan
Kata inferensia digunakan untuk menyatakan sekumpulan premis yang diikuti dengan kesimpulan. Infrensia yang sahih (benar) dan inferensia yang tidak sahih (salah). Inferensia dikenal juga dengan argumen. Untuk menganalisa benar tidaknya suatu kumpulan proposisi.
Pendahuluan ….
Suatu inferensia dapat ditulis sebagai berikut :
p1 p2 p3 pn k
p1 p2 p3 pn k
dimana p1, p2, …, pn adalah premis dan k adalah kesimpulan.
Pendahuluan ….
Untuk memeriksa kesahihan suatu inferensia, perhatikan definisi implikasi logik berikut :
Definisi 3.1 (Implikasi logik) Proposisi q dikatakan implikasi logik dari proposisi p jika dan hanya jika proposisi bersyarat p q merupakan suatu tautologi.
Pendahuluan ….
Inferensia dikatakan sahih jika implikasinya merupakan implikasi logik atau tautologi. Bila ternyata bahwa inferensianya bukan tautologi maka dikatakan tidak sahih. Pemeriksaan kesahihan suatu inferensia dapat menggunakan tabel kebenaran atau dalil kesetaraan.
Pendahuluan ….
Contoh 1 Periksalah kesahihan inferensia berikut. [ p ( p q)] q Jawab Untuk memeriksa kesahihan inferensia ini akan ditunjukkan apakah implikasinya tautologi atau tidak.
Pendahuluan ….
Dengan tabel kebenaran : p
q
pq
p ( p q)
[ p ( p q)] q
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
1
Pendahuluan ….
Dengan dalil kesetaraan : [ p ( p q)] q
= - [ p ( p q)] q = [- p - ( p q)] q = [- p - ( -p q)] q = [- p (p -q)] q = [(- p p) (- p -q)] q = [1 (- p -q)] q = (- p -q) q = - p (-q q) =-p1 =1
Pendahuluan ….
Untuk suatu inferensia dengan premis yang lebih kompleks, digunakan beberapa aturan yang menyederhanakan dalam pembuktiannya. Aturan-aturan itu adalah : Modus
Ponens Modus Tollens, Kaidah Silogisme Reductio ad absurdum.
Metode Inferensia
Aturan 1 (Modus Ponens) Jika proposisi p benar dan proposisi p q juga benar, maka proposisi q benar. Modus ponens dapat ditulis : p pq q
[ p ( p q)] q
Modus Ponens adalah suatu inferensia yang sahih (bukti pada contoh 1).
Metode Inferensia ….
Aturan 2 (Modus Tollens) Jika proposisi -q benar dan proposisi p q juga benar, maka proposisi -p benar. Modus ponens dapat ditulis : -q p q -p
Metode Inferensia ….
Bukti : [ -q ( p q)] -p
= - [-q ( p q)] -p = [ q - ( p q)] -p = [q - ( -p q)] -p = [q (p -q)] -p = [(q p) (q -q)] -p = [(q p) 1] -p = (q p) -p = q (-q -p) =q1 =1
Metode Inferensia ….
Jika p q diganti dengan kontrapositifnya -q -p maka diperoleh bentuk seperti modus ponens. -q -q -p -p
Modus ponens p p q q
Metode Inferensia ….
Aturan 3 (Kaidah Silogisme atau Aturan Transitif) Jika dua implikasi p q dan q r adalah benar, maka p r juga benar. Kaidah silogisme dapat ditulis : p q q r p r
Metode Inferensia ….
Untuk inferensia dengan premis lebih dari dua bentuk implikasi juga berlaku. a 1 a 2 a 2 a 3
an-1 an a 1 a n
Metode Inferensia ….
Aturan 4 (Reductio ad absurdum) p (q -q) -p Bukti : [p (q -q)] -p
= (p 0) -p = (-p 0) -p = -p -p = p -p =1
Metode Inferensia ….
Aturan ini adalah cara lain dari metode pembuktian tak langsung bagi suatu proposisi. Secara umum langkah-langkahnya : susun proposisi yang akan dibuktikan (-p) tentukan negasi proposisi tersebut (p) lakukan analisa terhadap proposisi negasi (p). Jika dihasilkan proposisi yang saling kontradiksi (q -q), maka terbuktilah kebenaran proposisi tersebut (-p).
Metode Inferensia ….
Selain 4 aturan tersebut, terdapat aturan lain yang diperoleh berdasarkan implikasi logis yang biasa digunakan : Adisi
p pq Simplifikasi pq p (Buktikan !!)
Metode Inferensia ….
Contoh 2 Periksa kesahihan inferensia berikut : [(-p q) (q r) ( p s) -r] s Jawab p1 : -p q p q p2 : q r p3 : p s -p s p4 : -r k :s
Metode Inferensia ….
p1
: p q
p2
: q r
k1
: p r
p4
: -r
k2
: -p
p3
:
k3
: s
(kaidah silogisme)
(modus tollens)
-p s (modus ponens)
Metode Inferensia ….
Latihan 1 Perhatikan argumen berikut : Jika bahan baku kedelai berasal dari Indonesia atau AS, maka tempe yang diproduksi pasti bermutu baik. Jika tempe yang diproduksi bermutu baik, maka tempe tersebut pasti laku dipasaran. Oleh karena itu, jika tempe yang diproduksi tidak laku, maka bahan baku kedelai yang digunakan bukan berasal dari AS. Benarkah kesimpulan (argumen) ini ?
Metode Inferensia ….
Jawaban (latihan 1) Proposisi pembentuk : p : bahan baku kedelai berasal dari Indonesia q : bahan baku kedelai berasal dari AS r : tempe yang diproduksi bermutu baik s : tempe laku dipasaran Argumennya : p1 : p q r p2 : r s k : -s -q
Metode Inferensia ….
Jawaban (latihan 1) Proposisi pembentuk : p : bahan baku kedelai berasal dari Indonesia q : bahan baku kedelai berasal dari AS r : tempe yang diproduksi bermutu baik s : tempe laku dipasaran Argumennya : p1 : p q r p2 : r s k : -s -q
Metode Inferensia ….
p1 : (p q) r q (q p) = q (p q) (adisi + komutatif) k1 : q r (silogisme) p2 : r s k2 : q s = -s -q (silogisme + kontrapositif) terbukti benar (sah)
Metode Inferensia ….
Latihan 2 Perhatikan argumen berikut : Jika saya belajar maka saya tidakakan gagal dalam ujian Logika Matematika. Jika saya tidak jalan-jalan ke Mall maka saya akan belajar. Ternyata saya gagal dalam ujian Logika Matematika. Oleh karena itu saya telah jalanjalan ke Mall. Benarkah kesimpulan (argumen) ini ?
