Pertemuan 3 METODE PEMBUKTIAN

Pertemuan 3

METODE PEMBUKTIAN

Metode Pembuktian Petunjuk umum dalam pembuktian Langkah-langkah untuk melakukan pembuktian adalah sebagai berikut: 1. Tulislah teorema yang akan dibuktikan 2. Tandailah permulaan pembuktian dengan kata-kata “BUKTI” 3. Buktikanlah secara lengkap dan menyeluruh Beberapa keterangan pelengkap antara lain: a. Tulislah variabel (dan tipenya) yang akan digunakan b. Apabila di tengah-tengah pembuktian ada sifat suatu variabel yang akan digunakan, tuliskanlah sifat tersebut dengan lengkap dan jelas c. Apabila menggunakan sifat-sifat tertentu seperti distributif, komutatif, dan sebagainya dalam suatu persamaan, tuliskanlah di sebelah kanannya d. Misalkan di tengah-tengah pembuktian dijumpai suatu ekspresi yang panjang untuk menyingkatnya boleh menggunakan variabel lain dengan member keterangan 4. Tandailah akhir pembuktian

Metode Pembuktian Langsung Contoh (Metode Pengecekan Satu per Satu): Buktikan bahwa untuk semua bilangan genap n besar sama 4 dan kecil sama 30, n dapat dinyatakan sebagai jumlahan 2 bilangan prima. Penyelesaian: Dengan pengecekan satu per satu, maka: 4=2+2 6=3+3 8=3+5 14=11+3 16=5+11 18=7+11 24=5+19 26=7+19 28=11+17

10=5+5 20=7+13 30=11+19

12=5+7 22=5+17

Terlihat bahwa semua bilangan genap 4 ≤ 𝑛 ≤ 30 dapat dinyatakan sebagai jumlahan 2 bilangan prima

Contoh (Jika jumlahnya tak hingga): Buktikan bahwa jumlah 2 bilangan genap adalah genap Penyelesaian: Ambil sembarang 2 bilangan genap, misal m dan n. Akan dibuktikan bahwa (m+n) juga bilangan genap. Oleh karena m dan n adalah bilangan-bilangan genap, maka m=2r dan n=2s untuk bilangan-bilangan bulat r dan s sehingga m+n = 2r + 2s = 2 (r+s) (sifat distributif) Misal k = r+s Oleh karena r dan s adalah bilangan-bilangan bulat, amak k adalah bilangan bulat juga sehingga m+n = 2k untuk suatu bilangan bulat k. Menurut definisi bilangan genap, (m+n) adalah bilangan genap karena merupakan hasil kali 2 bilangan bulat.

Contoh (Pembuktian berdasarkan kasus-kasus): Untuk sembarang bilangan riil x, buktikan bahwa jika |x|>4, maka x2 > 16. Bukti: Misal x adalah bilangan riil yang memenuhi |x| > 4. Akan dibuktikan bahwa x2 > 16 |x| > 4 berarti bahwa x > 4 atau x < -4. Jika x > 4, maka x2 > 42 = 16 Jika x < -4 berarti -x > 4, sehingga (-x)2 > 42 atau x2 > 16. Jadi, baik x > 4 maupun x < -4, x2 > 16. Terbukti bahwa jika |x| > 4, maka x2 > 16.

Metode Pembuktian Tak Langsung 1. Pembuktian dengan kontradiksi Langkah-langkah yang dilakukan dalam pembuktian dengan kontradiksi adalah sebagai berikut: a. Misalkan negasi dari pernyataan yang akan dibuktikan benar b. Dengan langkah-langkah yang benar, tunjukkanlah bahwa pada akhirnya pemisalan tersebut akan sampai pada suatu kontradiksi c. Simpulkan bahwa pernyataan yang akan dibuktikan benar Contoh: Buktikan bahwa tidak ada bilangan bulat yang terbesar Bukti: Misalkan negasi dari pernyataan tersebut benar. Jadi, diandaikan ada bilangan bulat yang terbesar (sebutlah N). Oleh karena N terbesar, maka 𝑁 ≥ 𝑛 untuk semua bilangan bulat n. Ambillah M = N + 1. Oleh karena N adalah bilangan bulat, maka M juga bilangan bulat. Disamping itu, jelaslah bahwa N < M (karena M = N+1). Didapatkan: 𝑁 ≥ 𝑛 untuk semua bilangan bulat n (pengandaian) 𝑁 < 𝑀 untuk bilangan bulat M (karena M = N+1) Keduanya kontradiksi. Berarti penandaian salah sehingga pernyataan mula-mula yang benar. Terbukti bahwa tidak ada bilangan bulat yang terbesar.

2. Pembuktian dengan kontraposisi Contoh: Buktikan bahwa untuk bilangan-bilangan bulat m dan n: Jika 𝑚 + 𝑛 ≥ 73, maka 𝑚 ≥ 37 atau 𝑛 ≥ 37 Bukti: Jika

p adalah pernyataan 𝑚 + 𝑛 ≥ 73 q adalah pernyataan 𝑚 ≥ 37 r adalah pernyataan 𝑛 ≥ 37 maka dalam symbol, kalimat di atas dapat dinyatakan sebagai 𝑝 → 𝑞 ∨𝑟 kontraposisinya adalah ∼ 𝑞 ∨ 𝑟 →∼ 𝑝 atau ∼ 𝑞 ∧∼ 𝑟 →∼ 𝑝 dengan demikian, untuk membuktikan pernyataan mula-mula, cukup dibuktikan kebenaran pernyataan jika m < 37 dan n < 37, maka m+n<73. Ambil 2 bilangan bulat m dan n dengan sifat m < 37 dan n <37 m < 37 berarti 𝑚 ≤ 36 dan n < 37 berarti 𝑛 ≤ 36 sehingga 𝑚 + 𝑛 ≤ 36 + 36 𝑚 + 𝑛 ≤ 72 𝑚 + 𝑛 < 73 Terbukti bahwa jika m < 37 dan n < 37, maka (m+n) <73 Dengan terbuktinya kontraposisi, maka terbukti pulalah kebenaran pernyataan mula-mula, yaitu: Jika 𝑚 + 𝑛 ≥ 73, maka 𝑚 ≥ 37 atau 𝑛 ≥ 37