FUNGSI Pada bagian sebelumnya telah dibahas tentang relasi yaitu aturan yang menghubungkan elemen dua himpunan. Pada bagian ini akan dibahas satu jenis relasi yang lebih khusus yang dinamakan fungsi Suatu fungsi (function) atau pemetaan atau mapping dari himpunan A ke himpunan B didefinisikan sebagai aturan yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B. Dalam hal ini, A disebut daerah asal atau domain sedangkan B disebut daerah kawan atau kodomain. Himpunan elemen-elemen B yang mempunyai kawan (pasangan) di A disebut daerah nilai atau daerah hasil atau range atau image, dinotasikan Rf atau Im(f) atau f(A). Jelas bahwa f(A) ⊆ B. Fungsi f dari himpunan A ke himpunan B dinotasikan dengan f : A → B. Jika B = A maka fungsi f : A → A dikatakan sebagai fungsi pada A. Hubungan daerah asal, daerah kawan, dan daerah hasil secara umum dapat dinyatakan dalam bentuk berikut. A
f
B
range
Domain
Kodomain
Contoh : 1. Diberikan himpunan A = { 1, 2, 3, 4, 5 } dan B = { 1, 2, 3, …, 9, 10 } a. Relasi f dengan aturan f(x) = 2x − 1 merupakan fungsi karena untuk setiap x yang memenuhi 1 ≤ x ≤ 5 maka 2 ≤ 2x ≤ 10 sehingga 1 ≤ 2x − 1 ≤ 9. Dalam hal ini range dari f adalah {1, 3, 5, 7, 9}. b. Relasi g dengan aturan g(x) = 2x + 1 bukan merupakan fungsi karena untuk setiap x = 5, g(5) = 11 ∉ B, artinya 5 ∈ A tidak mempunyai kawan di B.
Dasar Dasar Matematika I
1
2. Misalkan A himpunan orang di dunia dan B himpunan wanita yang mempunyai anak. a. Relasi ”anak kandung dari” dari himpunan A ke himpunan B merupakan fungsi karena setiap orang pasti mempunyai satu ibu kandung b. Relasi ” 3. Misalkan R menyatakan himpunan bilangan real. Beberapa aturan berikut merupakan fungsi : a. f(x) = 2x – 1 b. g(x) = x 2 – 1 c. h(x) = x 3 d. p(x) = 2 log |x +1|
FUNGSI SAMA Misalkan f dan g aaadalah fungsi yang didefinisikan pada domain yang sama yaitu D. Jika f(a) = g(a) untuk setiap a ∈ D maka dikatakan fungsi f sama (equal) dengan fungsi g, ditulis f = g. Contoh : 1. Misalkan f : {1, 2} → {1, 2, 3, 4, 5} dengan f(1) = 2 dan f(2) = 5. Misalkan g fungsi yang memenuhi aturan g(x) = 3x – 1 dengan domain {1, 2}. Fungsi f sama dengan fungsi g. 2. Fungsi g(x) = x
2
dengan x bilangan real sedangkan fungsi h(x) = x
2
dengan x
bilangan kompleks. Fungsi f tidak sama dengan fungsi g. 3. Fungsi f : R → R dengan aturan f(x) = x 2. Fungsi g : R → R dengan g(y) = y 2. Maka f = g.
JENIS FUNGSI Fungsi f : A → B disebut fungsi injektif / satu-satu / into (one-one function) jika dua elemen berbeda di A mempunyai kawan dua elemen berbeda di B. Lebih jelasnya f : A → B merupakan fungsi injektif jika hanya jika a ≠ b mengakibatkan f(a) ≠ f(b). Dengan kata lain jika f(a) = f(b) mengakibatkan a = b. Contoh :
Dasar Dasar Matematika I
2
1. Fungsi f : R → R dengan aturan f(x) = x 2 bukan merupakan fungsi satu-satu sebab ada dua elemen berbeda mempunyai kawan sama, f (2) = 4 = f (−2). 2. Fungsi g : R → R dengan aturan g(x) = x
3
merupakan fungsi satu-satu sebab dua
bilangan real berbeda apabila dipangkatkan tiga hasilnya juga berbeda. 3. Misalkan A himpunan RT dalam satu kelurahan dan B himpunan warga kelurahan. Fungsi f dari A ke B dengan aturan ”mempunyai ketua RT” merupakan fungsi satusatu sebab ketua RT pastilah warga RT yang bersangkutan sehingga untuk RT yang berbeda pasti ketua RTnya juga berbeda. 4. Misalkan A himpunan mahasiswa universitas tertentu dan B himpunan bilangan yang menyatakan ukuran sepatu. Fungsi g dari A ke B dengan aturan ”mempunyai ukuran sepatu”
bukan merupakan fungsi injektif sebab beberapa mahasiswa
mempunyai ukuran sepatu yang sama. Fungsi f : A → B disebut fungsi surjektif / pada / onto (onto function) jika ssetiap elemen B mempunyai kawan di A. Lebih jelasnya f : A → B merupakan fungsi surjektif jika hanya jika untuk setiap b ∈ B, terdapat a ∈ A sehingga f(a) = b. Oleh karena untuk sebarang fungsi f : A → B berlaku f(A) ⊆ B maka definisi fungsi surjektif di atas menyebabkan bahwa fungsi f : A → B merupakan fungsi surjektif jika f(A) = B. Contoh : 1. kl 2. jk 3. jk 4. kl Fungsi f : A → B yang bersifat surjektif sekaligus injektif disebut fungsi bijektif (bijection function) Contoh :
FUNGSI IDENTITAS
Dasar Dasar Matematika I
3
Misalkan A suatu himpunan, fungsi f pada A yang memenuhi f(x) = x disebut fungsi identitas (identity function) pada A dinotasikan 1A atau IA.
FUNGSI KONSTAN Fungsi f dari A ke B yang mengawankan setiap elemen A ke satu elemen yang sama b ∈ B disebut fungsi konstan (constant function). Dengan kata lain fungsi f merupakan fungsi konstan jika Im(f) hanya memuat satu elemen. Contoh : 1. Fungsi f : {1,2,3,4,5} → {1, 3} dengan aturan f(x) = 1, untuk setiap x ∈ {1,2,3,4,5} merupakan fungsi konstan 2. Fungsi g : {1,2,3, … 100} → {1, 2} dengan aturan
⎧ 1, jika x gasal g ( x) = ⎨ ⎩2, jika x genap bukan merupakan fungsi konstan
KOMPOSISI FUNGSI Misalkan f : A → B
dan
g : B → C
masing-masing merupakan fungsi.
Komposisi fungsi f dan g, ditulis g o f, adalah fungsi adari A ke C dengan (g o f)(a) = g(f(a)), untuk setiap a ∈ A. Contoh : Sifat : Jika f : A → B, g : B → C, dan h : C → D masing-masing merupakan fungsi, maka ( h og ) of = h o( g of ) Bukti :
INVERS FUNGSI Misalkan f : A → B dan b ∈ B. Invers dari b, ditulis f
−1
(b), adalah himpunan
elemen-elemen A yang dipertakan ke B. Jadi, f
−1
(b) = { a ∈ A ; f (a) = b }
Dasar Dasar Matematika I
4
Misalkan f : A → B, K ⊆ A dan H ⊆ B. Peta dari K oleh fungsi f, ditulis f(K), adalah himpunan kawan dari semua elemen K. Jadi f(K) = { f(x) ; x ∈ K } Prapeta atau invers dari H oleh fungsi f, ditulis f
−1
(H), adalah himpunan elemen A
yang dikawankan ke elemen H. Jadi f
−1
(H) = { x ∈ A ; f(x) ∈ H }
Contoh :
FUNGSI INVERS Misalkan
f : A → B fungsi yang bersifat satu-satu dan onto, maka setiap b ∈ B
mempunyai invers f
−1
(b) yang tunggal di A sehingga dapat diberntuk fungsi f
−1
:B→
A yang disebut fungsi invers dari f. Contoh :
Sifat : Jika fungsi f : A → B mempunyai invers f −1
of
2. f o f
−1
1.
f
−1
: B → A maka berlaku :
= IA. = IB
PEMBATASAN DAN PERLUASAN FUNGSI Jika f : A → B dan A1 ⊆ A, maka fungsi f1 : A1 → B yang didefinisikan sebagai f1(x) = f(x) untuk setiap x ∈ A1 disebut pembatasan / restriksi fungsi f pada A1, dinotasikan f | A1. Jika f : A → B dan A2 ⊇ A, maka fungsi f2 : A2 → B yang didefinisikan sebagai f2(x) = f(x) untuk setiap x ∈ A disebut perluasan / ekstensi fungsi f pada A2.
PROYEKSI
FUNGSI BERNILAI REAL Fungsi f : A → R yang mengawankan setiap a ∈ A ke suatu bilangan real f(a) disebut fungsi bernilai real (real valued function).
Dasar Dasar Matematika I
5
FUNGSI KARAKTERISTIK Diketahui S ⊆ A. Fungsi χ S : A → {0, 1} dengan aturan
⎧1, jika t ∈ S ⎩0, jika t ∉ S
χ S (t ) = ⎨
disebut fungsi karakteristik dari S dalam A.
Dasar Dasar Matematika I
6
