Úvod do předmětu Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D.
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie
Bakalářská matematika I
Úvod
Podrobnosti
Podmínky absolvování předmětu
Zápočet 1
účast na přednáškách alespoň v minimálním rozsahu, tj. v 8 z celkového rozsahu 18 výukových hodin; výjímečně lze chybějící účast po domluvě nahradit vypracováním programů v předepsané úpravě,
Za splnění podmínky získá student 5 bodů. Za účast v každé další hodině nad stanovený minimální rozsah získá student 1.5 bodu, maximálně tedy 15 bodů.
Celkem 5–20 bodů. Zkouška 1 2
zisk aspoň 25 bodů z 60 možných za písemnou část, zisk aspoň 5 bodů z 20 možných za ústní část,
Celkem 30–80 bodů. Součet bodů za zápočet a zkoušku musí být aspoň 51 bodů ze 100 možných. Známka: Body:
nevyhověl
dobře
velmi dobře
výborně
0 - 50
51 - 65
66 - 85
86 - 100
Úvod
Podrobnosti
Literatura
Prezentace z přednášek dostupné na http://mdg.vsb.cz/wiki/index.php/Uživatel:Dro03 Dlouhá, D., Hamříková, R., Morávková, Z., Tužilová, M.: Matematika I: Pracovní listy Matematika pro inženýry 21. století mi21.vsb.cz Burda, P., Havelek, R., Hradecká, R., Kreml, P.: Matematika I http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/MatematikaI/MI.html Škrášek, J.: Základy aplikované matematiky I SNTL, Praha 1989. Burda, P., Kreml, P.: Diferenciální počet funkcí jedné proměnné. Skripta VŠB-TUO, Ostrava 2004. Burda, P., Havelek, R., Hradecká, R.: Algebra a analytická geometrie Skripta VŠB-TUO, Ostrava 2005.
Úvod
Podrobnosti
Předpokládané znalosti
1
Mnohočleny. Úpravy zlomků. Výrazy s mocninami a odmocninami. Výrazy s absolutními hodnotami.
2
Lineární rovnice a nerovnice. Rovnice a nerovnice s absolutními hodnotami. Soustavy lineárních rovnic a nerovnic. Kvadratické rovnice a nerovnice.
3
Rovnice a nerovnice s odmocninami. Exponenciální rovnice. Logaritmické rovnice. Goniometické rovnice.
4
Výrok a hypotéza. Logické spojky. Složené výroky. Výrokové formy. Kvantifikátory.
5
Prvek a množina. Množinové operace. Intervaly. číselné obory.
Úvod
Podrobnosti
Používaná symbolika – matematická logika
Základní složené výroky negace
¬p
p, q . . . výroky „ neplatí p “
konjunkce
p∧q
„paq“
disjunkce
p∨q
„ p nebo q “
implikace
p⇒q
„ jestliže p, potom q “ („ z p plyne q “)
ekvivalence
p⇔q
„ p právě tehdy, když q “ („ p je ekvivalentní s q “)
Kvantifikátory existenční
obecný
∃
„ existuje “
∃!
„ existuje právě jeden “
∀
„ pro všechna “ („ každý “)
Úvod
Podrobnosti
Používaná symbolika – množiny
Vztah prvku a množiny
a . . . prvek, A, B . . . množiny
a∈A
„ a je prvkem A “
a 6∈ A
„ a není prvkem A “
∅
prázdná množina
Vztahy mezi množinami rovnost
A=B
„ A rovná se B “
inkluze
A⊂B
„ A je podmnožinou B “
Množinové operace sjednocení
A∪B
„ A sjednoceno s B “
průnik
A∩B
„ A průnik B “
rozdíl
A\B
„ A mínus B “
doplněk
A
c
„ A komplement “
Úvod
Podrobnosti
Používaná symbolika – množiny
Množinové zápisy {1, 2, a, b}
výčtem
{5, 6, 7, . . . }
„ množina o prvcích 5, 6, 7 atd. “
{a ∈ A : a 6∈ B}
„ množina všech prvků a ∈ A takových, že a 6∈ B “
{2k + 1 : k je liché}
„ množina všech prvků ve tvaru 2k + 1, kde k je liché číslo “
neúplným výčtem vlastností
h2, 5)
intervalem graficky
„ množina o prvcích 1, 2, a, b “
0
s
2
„ čísla mezi 2 (včetně) a 5 “
c
5
„ čísla mezi 2 (včetně) a 5 “
Úvod
Podrobnosti
Používaná symbolika – číselné obory
Číselné obory
N ⊂ N0 ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C N
{1, 2, 3, . . . }
N0
{0, 1, 2, 3, . . . }
celá
Z
{. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . }
racionální
Q
reálná
R
{. . . , − 13 , 0, 25 , 11 , 2, . . . } 12 √ √ −1 {. . . , − 2, −1 2 , 0, 32 , π, . . . } √ {. . . , − 2, π, . . . }
přirozená nezáporná celá
iracionální
R\Q
komplexní
C
√
{. . . , −1, i, −1 + 2i, 0,
2 , πi, . . . } 3
Úvod
Podrobnosti
Používaná symbolika – intervaly
podrobnosti
Otevřené
a, b ∈ R, a < b
Zleva uzavřené
(a, b)
{x ∈ R : a < x < b}
ha, b)
{x ∈ R : a ≤ x < b}
(a, ∞)
{x ∈ R : a < x}
ha, ∞)
{x ∈ R : a ≤ x}
(−∞, b)
{x ∈ R : x < b}
(−∞, ∞)
R
Uzavřené ha, bi
{x ∈ R : a ≤ x ≤ b}
ha, ai
{a}
Zprava uzavřené (a, bi
{x ∈ R : a < x ≤ b}
(−∞, bi
{x ∈ R : x ≤ b}
Úvod
Podrobnosti
Intervaly
zpět
Definice 0.1 Neprázdná množina I ⊂ R se nazývá interval, jestliže ∀x, y, z ∈ R :
(x, y ∈ I
∧
x < z < y)
=⇒
z ∈ I.
Dolní mez intervalu I je největší číslo a ∈ R ∪ {−∞}, pro které platí x ∈ I ⇒ a ≤ x, tj. číslo max{a ∈ R ∪ {−∞} : x ∈ I ⇒ a ≤ x}. Horní mez intervalu I je nejmenší číslo b ∈ R ∪ {∞}, pro které platí x ∈ I ⇒ x ≤ b, tj. číslo min{b ∈ R ∪ {∞} : x ∈ I ⇒ x ≤ b}.
Úvod
Podrobnosti
Intervaly
zpět
Definice 0.2 Nechť a je dolní a b je horní mez intervalu I. Potom interval I je otevřený, jestliže
a 6∈ I
∧
b 6∈ I.
uzavřený, jestliže
a∈I
∧
b ∈ I.
zleva uzavřený (a zprava otevřený), jestliže
a∈I
∧
b 6∈ I.
zprava uzavřený (a zleva otevřený), jestliže
a 6∈ I
∧
b ∈ I.
degenerovaný, jestliže
a = b.
Definice 0.3 Interval I se nazývá komponenta množiny M ⊂ R , jestliže pro každý interval I ∗ ⊂ M platí I ⊂ I ∗ =⇒ I = I ∗ . Věta 0.1 Každá podmnožina množiny R je sjednocením svých komponent.
Konec (Úvod do předmětu)
