Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás  Valós számsorozat konvergenciája  +-hez ill. --hez divergáló sorozatok  A határérték és a műveletek kapcsolata  Valós számsorozatok monotonitása, korlátossága  Komplex számsorozatok konvergenciája  Konvergencia az n dimenziós Euklideszi térben

Valós és komplex számsorozatok

2

NEM NYOMTATÁSRA!

Definíció: sorozat

Legyen A. Az f:NA függvényeket az A halmaz elemeiből képzett sorozatoknak nevezzük. (N szokás szerint a természetes számok halmazát jelöli.)

1f(1) 2f(2) : nf(n) :

1  f1 2  f2 : n  fn :

Jelölések

fn = f(n) : az f sorozat n-edik eleme (fn) : az f:NA sorozat rövid jelölése A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszaki Kar) engedélyével használhatók fel!


3

NEM NYOMTATÁSRA!

Definíció: valós számsorozat

Az (an):NR sorozatokat valós számsorozatoknak nevezzük. Példa

Az an = n2 + 2n sorozat első 5 eleme: a1 = 3 , a2 = 8 , a3 = 15 , a4 = 24 , a5 = 35

A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszaki Kar) engedélyével használhatók fel!


4

NEM NYOMTATÁSRA!

Számsorozatok ábrázolása Függvényszerűen:

Számegyenesen:



5

NEM NYOMTATÁSRA!

Valós számsorozatok határértéke konvergens sorozatok (a határérték egy valós szám) számsorozatok +-hez divergáló sorozatok (a határérték + ) divergens sorozatok

--hez divergáló sorozatok (a határérték - ) egyéb divergens sorozatok (nincs határérték)



6

NEM NYOMTATÁSRA!

Definíció: konvergens sorozat

Az (an) sorozat konvergens, ha van olyan A valós szám, hogy bármely pozitív  esetén az A szám ] A -  , A +  [ környezetén kívül a sorozatnak legfeljebb csak véges sok eleme van.

Az A valós számot a sorozat határértékének nevezzük.

Jelölések

lim a n  A

n 

lim an = A

an  A


Valós és komplex számsorozatok Tétel

7

NEM NYOMTATÁSRA!

Ha egy sorozat konvergens, akkor a határértéke egyértelmű. (Azaz: nem lehet több különböző határérték.)

Tétel: a konvergencia egy ekvivalens megfogalmazása

Az (an) sorozat konvergens, ha van olyan A valós szám, melyre igaz a következő állítás: az A bármely U=]A-,A+[ környezetéhez van olyan noN szám (küszöbszám), hogy az no-adik elemtől kezdődően (azaz ha nno) a sorozat minden eleme U-ban van.



8

NEM NYOMTATÁSRA!

Tétel: a konvergencia egy ekvivalens megfogalmazása

Az (an) sorozat konvergens, ha van olyan A valós szám, melyre igaz a következő állítás: bármely  > 0 számhoz létezik olyan noN, hogy

ha n  no , akkor | an – A | < .



9

NEM NYOMTATÁSRA!

Megjegyzés

A konvergencia fenti megfogalmazásainak ekvivalenciája könnyen belátható, ha észrevesszük, hogy az alábbi három feltétel ugyanazt jelenti:

an  ] A- , A+ [

A- < an < A+

| an – A | < 



10

NEM NYOMTATÁSRA!

Példa

Igazoljuk, hogy lim

1 0 n

A konvergencia harmadik ekvivalens megfogalmazása szerint ehhez azt kell kimutatni, hogy ha n „elég” nagy, akkor az | an – 0 | eltérés bármilyen kicsi pozitív  számnál is kisebb lesz. Ez igaz, hiszen | an – 0 | <   | 1/n – 0 | <   1/n <   n > 1/

Például:  = 0,002 esetén no = 501 megfelel küszöbszámnak



11

NEM NYOMTATÁSRA!

Definíció: +-hez divergáló sorozatok

Az (an) sorozat +-hez divergál, ha bármely KR szám esetén a sorozatnak legfeljebb csak véges sok, K-nál kisebb eleme van.

Jelölések

lim a n   lim a n   an  + n 



12

NEM NYOMTATÁSRA!

Tétel: egy ekvivalens megfogalmazás

Az (an) sorozat +-hez divergál, ha bármely KR számhoz van olyan noN szám (küszöbszám), hogy az no-adik elemtől kezdődően (azaz ha nno) a sorozat minden eleme K-nál nagyobb vagy egyenlő.



13

NEM NYOMTATÁSRA!

Példa

lim 2n = +

Indoklás:

an = 2n > K, ha n > log2K

Például: K=1000 esetén no=10 megfelel küszöbszámnak



14

NEM NYOMTATÁSRA!

Definíció: --hez divergáló sorozatok

Az (an) sorozat --hez divergál, ha bármely KR szám esetén a sorozatnak legfeljebb csak véges sok, K-nál nagyobb eleme van.

lim a n   lim a n  

Jelölések

n 

Példa

an  –

lim (-2n) = -

Megjegyzés

Vigyázat: lim (-2n) és lim (-2)n nem ugyanazt jelenti! A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszaki Kar) engedélyével használhatók fel!


15

NEM NYOMTATÁSRA!

Megjegyzés

A határérték a sorozat „végének” jellemzője: ha az (an) sorozatnak van határértéke, akkor az (an) véges sok elemének megváltoztatásával keletkező sorozatnak is ugyanannyi a határértéke.



Néhány nevezetes konvergens sorozat

 0 , ha  1  q  1  1 , ha q 1  n lim q   q 1   , ha   , ha q  1

16

1 qn    2

n

 1 qn     2

n

NEM NYOMTATÁSRA!

qn = (1)n qn = (-1)n

qn = (-2)n A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszaki Kar) engedélyével használhatók fel!


17

NEM NYOMTATÁSRA!

lim n c  1 ( c  0)

lim n n  1 n

 1 lim 1    e  2,718  n e: az Euler szám, értéke közelítőleg 2,718 A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszaki Kar) engedélyével használhatók fel!


18

NEM NYOMTATÁSRA!

Tétel: a határérték és a műveletek kapcsolata

Ha az (an) és a (bn) sorozatok konvergensek, továbbá lim an = A , lim bn = B (A,BR) és cR, akkor az (an+bn), az (anbn) és a (can) sorozatok is konvergensek, és

lim ( an + bn ) = A + B

lim ( an  bn ) = A  B

lim ( c  an ) = c  A Továbbá ha bn0 (n N), és B 0, akkor az (an/bn) sorozat is konvergens és

lim ( an / bn ) = A / B A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszaki Kar) engedélyével használhatók fel!


19

NEM NYOMTATÁSRA!

Megjegyzés

Ha két (véges, vagy végtelen) határértékkel rendelkező sorozat között műveletet végzünk, de nem teljesülnek az előző tétel feltételei, például azért, mert legalább az egyik sorozat határértéke végtelen, vagy két 0 határértékű sorozatot osztottunk el, akkor előfordulhat az is, hogy pusztán a határértékek alapján meg lehet állapítani az új sorozat határértékét, de az is, hogy ez nem lehetséges (ha van egyáltalán határérték). Az utóbbi eseteket szokás határozatlan alakú határérték-feladatnak nevezni. A következő táblázatban ? jelöli a határozatlan eseteket. A ! jel arra utal, hogy előjelvizsgálattal a határérték megállapítható. A többi esetben a határérték szerepel.



lim an

lim bn

A>0 A<0 A>0 A<0 0 0 + + -

+ + - - + - + - -

20

NEM NYOMTATÁSRA!

lim lim lim lim lim lim an+bn an- bn bn-an an bn an /bn bn/an

+ + - - + - + ? -

- - + + - + ? + ?

+ + - - + - ? - ?

+ - - + ? ? + - +

0 0 0 0 0 0 ? ? ?

+ - - + ! ! ? ? ?



21

NEM NYOMTATÁSRA!

A következő tételben szereplő állításokat gyakran kell alkalmazni a számolásokban.

Tétel

Ha an0 és an>0, nN, akkor

1   an

Ha an0 és an<0, nN, akkor

1   an

Ha an+ vagy an-, akkor

1 0 an



22

NEM NYOMTATÁSRA!

További, gyakran előforduló „határozatlan formák”

an A lim bn A

határérték-feladat határozatlan, ha an0 és bn0.

lim (a n ) bn

határérték-feladat határozatlan az alábbi esetekben:

• an0 és bn 0 • an1 és bn + • an + és bn 0



23

NEM NYOMTATÁSRA!

Példa: egy határozatlan feladat megoldása

5n 2  3n  12 A lim határérték-feladat +/+ típusú, így határozatlan. 2 3n  7n A feladat megoldható az alábbi technikával, melynek lényege, hogy a a tört számlálóját és nevezőjét elosztjuk az n-nek a nevezőben szereplő legnagyobb hatványával (itt n2-tel):

3 12 5  2 2 5n  3n  12 500 5 n n lim  lim   2 7 3 0 3 3n  7n 3 n



24

NEM NYOMTATÁSRA!

A határérték és a rendezés kapcsolata Tétel

Ha anA, bnB és anbn, nN  A  B

Tétel: „rendőr elv”

Ha anA, bnA és an  cn  bn, nN  cnA

Példa

sin n lim ? n

-1 sin n  1

1 sin n 1     n n n

0

sin n 0  lim n

0



25

NEM NYOMTATÁSRA!

A határérték és a rendezés kapcsolata Tétel

Ha an  + és an  bn, nN  bn  + Tétel

Ha bn  - és an  bn, nN  an  -



26

NEM NYOMTATÁSRA!

Definíció: monotonitás

Az (an) sorozat

monoton növekvő szigorúan monoton növekvő monoton csökkenő szigorúan monoton csökkenő

ha n < m  an

 < a m  >



27

NEM NYOMTATÁSRA!

Példa

an= n sorozat szigorúan monoton növekvő

an=1/n sorozat szigorúan monoton csökkenő



28

NEM NYOMTATÁSRA!

Definíció: korlátosság

Az (an):NR sorozat

alulról korlátos felülről korlátos korlátos

ha az értékkészlete

ugyanolyan értelemben korlátos.

Definíció

Az értékkészlet felső, alsó, pontos felső, pontos alsó korlátja a sorozatnak ugyanolyan korlátja.



29

NEM NYOMTATÁSRA!

Példa

an= n sorozat pontos alsó korlátja: 1 felülről nem korlátos

an=1/n sorozat pontos alsó korlátja: 0 pontos felső korlátja: 1



30

NEM NYOMTATÁSRA!

Tétel: összefüggések a tulajdonságok között

1. Monoton növekvő sorozat első eleme egyben a sorozat pontos alsó korlátja. 2. Monoton növekvő konvergens sorozat határértéke egyben a sorozat pontos felső korlátja.

3. Monoton csökkenő sorozat első eleme egyben a sorozat pontos felső korlátja. 4. Monoton csökkenő konvergens sorozat határértéke egyben a sorozat pontos alsó korlátja.



31

NEM NYOMTATÁSRA!

Tétel: összefüggések a tulajdonságok között

1. Konvergens sorozat korlátos. 2. Monoton növekvő, felülről korlátos sorozat konvergens. 3. Monoton csökkenő, alulról korlátos sorozat konvergens.



32

NEM NYOMTATÁSRA!

Definíció: torlódási pont

Az AR szám egy sorozat torlódási pontja, ha az A bármely környezete a sorozat végtelen sok elemét tartalmazza. (Itt az elemek értéke nem feltétlenül különböző, így a sorozat torlódási pontja nem feltétlenül torlódási pontja az értékkészletnek, mint halmaznak!) Megjegyzés

Konvergens sorozatnak pontosan egy torlódási pontja van: a határértéke.



33

NEM NYOMTATÁSRA!

Példa

Az an = (-1)n  ( 2 + 1/n ) sorozatnak két torlódási pontja van: -2 és 2

Példa

Az an= sin(n/2) + (1/n) sorozatnak három torlódási pontja van: -1, 0 és 1



34

NEM NYOMTATÁSRA!

Definíció: felső határérték (limesz szuperior)

Az (an) sorozat felső határértéke (limesz szuperiorja): az (an) torlódási pontjai halmazának szuprémuma. Speciálisan: ha van a torlódási pontok között legnagyobb, akkor ez egyenlő a limesz szuperiorral. Jelölések

lim a n

limsup an

Definíció: alsó határérték (limesz inferior)

Az (an) sorozat alsó határértéke (limesz inferiorja): az (an) torlódási pontjai halmazának infinuma. Speciálisan: ha van a torlódási pontok között legkisebb, akkor ez egyenlő a limesz inferiorral. Jelölések

lim a n liminf an



35

NEM NYOMTATÁSRA!

Tétel

Ha az (an) sorozat konvergens, akkor

lim a n  lim a n  lim a n Indoklás: Ha az (an) sorozat konvergens, akkor pontosan egy torlódási pontja van: a határértéke, ami egyben a legnagyobb és a legkisebb torlódási pont is.



36

NEM NYOMTATÁSRA!

Komplex számsorozatok Definíció: komplex számsorozat

Az (zn):NC sorozatokat komplex számsorozatoknak nevezzük.



37

NEM NYOMTATÁSRA!

Megjegyzés

Egy (zn):NC komplex számsorozat azonosítható két valós számsorozattal: a valós részek (an):NR és a képzetes részek (bn):NR sorozatával. Példa

A zn= an + bni = n2 + 2ni sorozat első 4 eleme:

z1= 1 + 2i,

z2= 4 + 4i,

z3= 9 + 6i,

z4= 16 + 8i



38

NEM NYOMTATÁSRA!

Definíció: konvergens komplex számsorozatok

A (zn) komplex számsorozat konvergens, ha van olyan z komplex szám, melynek bármely G(z,r) környezetén kívül a sorozatnak legfeljebb csak véges sok eleme van. A z komplex számot határértékének nevezzük.

Jelölések

a

sorozat

lim z n  Z lim zn = Z

n 

zn  Z



NEM NYOMTATÁSRA!

39

Tétel

Egy komplex számsorozat pontosan akkor konvergens, ha a valós és a képzetes részekből álló sorozatok konvergensek:

A zn= an + bni jelölés mellett: zn  Z = A+B i  an  A  bn  B

Példa

 6n  3 lim  3  2n  1 

 6n  3 1   lim 3    8  i   lim 2n  1  3  n

n

1    8  i  3  2i  3



40

NEM NYOMTATÁSRA!

Pontsorozatok (vektorsorozatok) határértéke Definíció

Az (xk):NRn alakú függvényeket szám n-esek sorozatának, vektorsorozatnak, vagy pontsorozatnak nevezzük.

Példa: R2-beli sorozat

xk = ( 3k - 4 , k2 - k ), k=1,2,… x1 = ( -1 , 0 ) x2 = ( 2 , 2 ) x3 = ( 5 , 6 ) A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszaki Kar) engedélyével használhatók fel!


41

NEM NYOMTATÁSRA!

Definíció: pontsorozat konvergenciája

Egy (Pk):NRn sorozat konvergens, ha van olyan ARn elem melynek bármelyik G(A,r) környezetén kívül a sorozatnak legfeljebb csak véges sok eleme van. Az A elemet a sorozat határértékének nevezzük.

Jelölések

lim Pk  A lim Pk = A

k 

Pk  A



42

NEM NYOMTATÁSRA!

Tétel

Egy (Pk):NRn sorozat pontosan akkor konvergens, ha a koordináta-sorozatai konvergensek.

Továbbá, ha Pk konvergens, akkor a határértékének koordinátái egyenlők a koordinátasorozatok határértékeivel:

Pk =  A =

( xk(1) , xk(2) , … , xk(n) ) 





( A1 , A2 , … , An )


Valós és komplex számsorozatok Példa

43

NEM NYOMTATÁSRA!

k 1   1  3 k  5 1 2 k  1 x k   5  , 2 , , k  k 7k  2 4  

 5

 1

  3  7

0

k 1   1  3 k  5 1 3 2   k  1   lim  5  , 2 , , k    5,1, ,0  k  k 7k  2 4   7  


Matematika I. 9. előadás

Recommend Documents