Gimnázium-szakközépiskola Matematika. 9. évfolyam

Gimnázium-szakközépiskola

9-12.

Matematika

9. évfolyam Ez a matematika kerettanterv mindazon tanulóknak szól, akik a 9. osztályban még nem választottak matematikából emelt szintű képzést. Azoknak is, akik majd később, fakultáción akarnak felkészülni matematikaigényes pályákra, és természetesen azoknak is, akiknek a középiskola után nem lesz rendszeres kapcsolatuk a matematikával, de egész életükben hatni fog, hogy itt milyen készségeik alakultak ki a problémamegoldásban, a rendszerező, elemző gondolkodásban. Ezeket a tanulókat ebben az időszakban lehet megnyerni a gazdasági fejlődés szempontjából meghatározó fontosságú természettudományos, műszaki, informatikai pályáknak. A megismerés módszerei között továbbra is fontos a gyakorlati tapasztalatszerzés, de az ismertszerzés fő módszere a tapasztalatokból szerzett információk rendszerezése, igazolása, ellenőrzése, és az ezek alapján elsajátított ismeretanyag alkalmazása. A középiskola első két évfolyamán sok, korábban már szereplő ismeret, összefüggés, fogalom újra előkerül, úgy, hogy a fogalmak definiálásán, az összefüggések igazolásán, az ismeretek rendszerezésén, kapcsolataik feltárásán és az alkalmazási lehetőségeik megismerésén van a hangsúly. Ezért a tanulóknak meg kell ismerkedniük a tudományos feldolgozás alapvető módszereivel. (Mindenki által elfogadott alapelvek/axiómák, már bizonyított állítások, új sejtések, állítások megfogalmazása és azok igazolása, a fentiek összegzése, a nyitva maradt kérdések felsorolása, a következmények elemzése.) A felsorolt célok az általános iskolai matematikatanítás céljaihoz képest jelentős többletet jelentenek, ezért is fontos, hogy változatos módszertani megoldásokkal tegyük könynyebbé az átmenetet. A problémamegoldás megszerettetésének igen fontos eszközei lehetnek a matematikai alapú játékok. A gyerekek szívesen játszanak maradékos osztáson, oszthatósági szabályokon alapuló számjátékokat, és szimmetriákon alapuló geometriai, rajzos játékokat. Nyerni akarnak, ezért természetes módon elemezni kezdik a szabályokat, lehetőségeket. Olyan következtetésekre jutnak, olyan elemzéseket végeznek, amilyeneket hagyományos feladatokkal nem tudnánk elérni. A matematikatanításnak ebben a szakaszában sok érdekes matematikatörténeti vonatkozással lehet közelebb hozni a tanulókhoz a tantárgyat. A témakör egyes elemeihez kapcsolódva mutassuk be néhány matematikus életútját. A geometria egyes területeinek (szimmetriák, aranymetszés) a művészetekben való alkalmazásait megjelenítve világossá tehetjük a tanulók előtt, hogy a matematika a kultúra elválaszthatatlan része. Az ezekre a témákra fordított idő bőven megtérül az ennek következtében növekvő érdeklődés, javuló motiváció miatt. (A tantervben dőlt betűkkel szerepelnek ezek a részek.) Változatos példákkal, feladatokkal mutathatunk rá arra, hogy milyen előnyöket jelenthet a mindennapi életben, ha valaki jól tud problémákat megoldani. Gazdasági, sport témájú feladatokkal, számos geometriai és algebrai szélsőérték-feladattal lehet gyakorlati kérdésekre optimális megoldásokat keresni. Ez az életkor már alkalmassá teszi a tanulókat az önálló ismeretszerzésre. Legyen követelmény, hogy egyes adatoknak, fogalmaknak, ismereteknek könyvtárban, interneten nézzenek utána. Ez a kutatómunka hozzájárulhat a tanulók digitális kompetenciájának növeléséhez, ugyanúgy, mint a geometriai és egyéb matematikai programok használata is. A tanulók későbbi, matematika szempontjából nagyon különböző céljai, a fogalmi gondolkodásban megnyilvánuló különbségek igen fontossá teszik ebben a szakaszban a differenciálást. Az évfolyamok összetételének a bevezetőben vázolt sokszínűsége miatt nagyon indokolt csoportbontásban tanítani a matematikát. Az egyes tematikus egységekre javasolt óraszámokat évfolyamonként a táblázatok tartalmazzák. Az adott évfolyamosan rendszerezésre 5 órát a számonkérésre 5 órát szántunk, amik a szabad órakeretben jelennek meg.

1 / 36

Matematika

9-12.

Gimnázium-szakközépiskola 108 óra

Tematikai egység/ Fejlesztési cél

Órakeret

Kötelező

Szabad

Összesen

1.

Gondolkodási és megismerési módszerek

8

2

10

2.

Számtan, algebra

33

7

40

3.

Összefüggések, függvények, sorozatok

11

5

16

4.

Geometria

30

6

36

5.

Valószínűség, statisztika

5

1

6


10 óra 1. Gondolkodási és megismerési módszerek

Órakeret

Előzetes tu- Példák halmazokra, geometriai alapfogalmak, alapszerkesztések. Halmazba rendezés több szempont alapján. Gyakorlat szövegek értelmezésében. A matematidás kai szakkifejezések adott szinthez illeszkedő ismerete. A tematikai egység nevelésifejlesztési céljai

A valós számok halmazának ismerete. Kommunikáció, együttműködés. A matematika épülése elveinek bemutatása. Igaz és hamis állítások megkülönböztetése. Halmazok eszközjellegű használata. Gondolkodás; ismeretek rendszerezési képességének fejlesztése. Önfejlesztés, önellenőrzés segítése, absztrakciós képesség, kombinációs készség fejlesztése.

Ismeretek Véges és végtelen halmazok. Végtelen számosság szemléletes fogalma. Matematikatörténet: Cantor. Részhalmaz. Halmazműveletek: unió, metszet, különbség. Halmazok közötti viszonyok megjelenítése.

Alaphalmaz és komplementer halmaz.

A megismert számhalmazok: természetes számok, egész számok, racionális számok. A számírás története.

Valós számok halmaza. Az intervallum fogalma, fajtái. Irracionális szám létezése Távolsággal megadott ponthalmazok, adott tulajdonságú ponthalmazok (kör, gömb, felező merőleges, szögfelező, középpárhuzamos).

2 / 36

Fejlesztési követelmények Annak megértése, hogy csak a véges halmazok elemszáma adható meg természetes számmal. Megosztott figyelem; két, illetve több szempont egyidejű követése. Szöveges megfogalmazások matematikai modellre fordítása. Elnevezések megtanulása, definíciókra való emlékezés. Annak tudatosítása, hogy alaphalmaz nélkül nincs komplementer halmaz. Halmaz közös elem nélküli halmazokra bontása jelentőségének belátása. A megismert számhalmazok áttekintése. Természetes számok, egész számok, racionális számok elhelyezése halmazábrában, számegyenesen. Annak tudatosítása, hogy az intervallum végtelen halmaz Ponthalmazok megadása ábrával. Megosztott figyelem; két, illetve több szempont egyidejű követése (például két feltétellel megadott ponthalmaz).

Kapcsolódási pontok

Magyar nyelv és irodalom: mondatok, szavak, hangok rendszerezése. Biológia-egészségtan: halmazműveletek alkalmazása a rendszertanban. Kémia: anyagok csoportosítása. Biológia és egészségtan: élőlények osztályozása, besorolása, besorolás közös rész nélküli halmazok.

Informatika: számábrázolás (problémamegoldás táblázatkezelővel).

Vizuális kultúra: a tér ábrázolása. Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata

Kötelező

Szabad

8 óra

2 óra


9-12.

Matematikai és más jellegű érvelésekben a logikai műveletek felfedezése, megértése, önálló alkalmazása. A köznyelvi kötőszavak és a matematikai logikában használt kifejezések jelentéstartalmának összevetése A hétköznapi, nem tudományos szövegekben található matematikai információk felfedezése, rendezése a megadott célnak megfelelően. Matematikai tartalmú (nem tudományos jellegű) szöveg értelmezése. Szöveges feladatok. Szöveges feladatok értelme(Folyamatos feladat a 9–12. évfo- zése, megoldási terv készítélyamon: a szöveg alapján a meg- se, a feladat megoldása és felelő matematikai modell megal- szöveg alapján történő ellenkotása.) őrzése. Modellek alkotása a matematikán belül; matematikán kívüli problémák modellezése. Gondolatmenet lejegyzése Megosztott figyelem; két, illetve több szempont egyidejű követése (a szövegben előforduló információk). Figyelem összpontosítása. Problémamegoldó gondolkodás és szövegfeldolgozás: az indukció és dedukció, a rendszerezés, a következtetés A „minden” és a „van olyan” he- A „minden” és a „van olyan” lyes használata. helyes használata. Nyitott mondatok igazsághalma- Halmazok eszközjellegű za, szemléltetés módjai. használata. A matematikai bizonyítás. Kísér- Kísérletezés, módszeres próletezés, módszeres próbálkozás, bálkozás, sejtés, cáfolás megsejtés, cáfolás (folyamatos feladat különböztetése. Érvelés, vita. a 9–12. évfolyamokon). Érvek, ellenérvek. Ellenpélda Matematikatörténet: Euklidesz szerepe. Mások gondolataival szerepe a tudományosság kialakí- való vitába szállás és a kultutásában. Nevezetes sejtések (pl. rált vitatkozás. Megosztott fiikerprím sejtés); hosszan „élt”, de gyelem; két, ill. több szemmegoldott sejtések (pl. pont egyidejű követése. Fermat-sejtés, négyszínsejtés Állítás és megfordítása. Az „akkor és csak akkor” „Akkor és csak akkor” típusú állí- használata. Feltétel és követtások. kezmény felismerése a „Ha …, akkor …” típusú állítások esetében. Korábbi, illetve újabb (saját) állítások, tételek jelentésének elemzése. Bizonyítás. Gondolatmenet tagolása. Rendszerezés (érvek logikus sorrendje). Következtetés megítélése helyessége szerint. A bizonyítás gondolatmenetére, bizonyítási módszerekre való emlékezés.

Matematika

Logikai műveletek: „nem”, „és”, „vagy”, „ha…, akkor”. (Folyamatosan a 9–12. évfolyamon.)

Magyar nyelv és irodalom: szövegértés; információk azonosítása és összekapcsolása, a szöveg egységei közötti tartalmi megfelelés felismerése; a szöveg tartalmi elemei közötti kijelentés-érv, ok-okozati viszony felismerése és magyarázata. Technika, életvitel és gyakorlat: egészséges életmódra és a családi életre nevelés.

Magyar nyelv és irodalom: mások érvelésének összefoglalása és figyelembevétele

Etika: a következtetés, érvelés, bizonyítás és cáfolat szabályainak alkalmazása.

3 / 36

Matematika

9-12.


Kidolgozott bizonyítás gondolatmenetének követése, megértése. Példák a hétköznapokból helyes és helytelenül megfogalmazott következtetésekre. Unió, metszet, különbség, komplementer halmaz.. Logikai művelet (NEM, Kulcsfogalmak/ ÉS, VAGY. „Ha …., akkor …”). Feltétel és következmény. Sejtés, bizonyífogalmak tás, megcáfolás. Ellentmondás. 40 óra


2. Számtan, algebra

Órakeret

Számolás racionális számkörben. Prímszám, összetett szám, oszthatósági szabáElőzetes tu- lyok. Hatványjelölés. Egyszerű algebrai kifejezések ismerete, zárójel használata. dás Egyenlet, egyenlet megoldása. Egyenlőtlenség. Egyszerű szöveg alapján elsőfokú egyismeretlenes egyenlet felírása (modell alkotása), megoldása, ellenőrzése. Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban, tapasztalatszerzés. Problémakezelés és –megoldás. Algebrai kifejezések biztonságos ismerete, kezelése. Szabályok betartása, tanultak alkalmazása. Elsőfokú egyenletek, egyenletrendszerek A tematikai megoldási módszerei, a megoldási módszer önálló kiválasztási képességének kiegység neve- alakítása. lésiGyakorlati problémák matematikai modelljének felállítása, a modell hatókörének fejlesztési vizsgálata, a kapott eredmény összevetése a valósággal; ellenőrzés fontossága. A céljai problémához illő számítási mód kiválasztása, eredmény kerekítése a tartalomnak megfelelően. Alkotás öntevékenyen, saját tervek szerint; alkotás adott feltételeknek megfelelően; átstrukturálás. Számológép használata.

Ismeretek Számelmélet elemei. A tanult oszthatósági szabályok. Prímtényezős felbontás, legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös. Relatív prímek. Matematikatörténeti és számelméleti érdekességek:(pl. végtelen sok prímszám létezik, tökéletes számok, barátságos számok, Eukleidész. Mersenne, Euler, Fermat)

Hatványozás 0 és negatív egész kitevőre. Permanencia-elv.

Fejlesztési követelmények A tanult oszthatósági szabályok rendszerezése. Prímtényezős felbontás, legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös meghatározása a felbontás segítségével. Egyszerű oszthatósági feladatok, szöveges feladatok megoldása. Gondolatmenet követése, egyszerű gondolatmenet megfordítása. Érvelés. Fogalmi általánosítás: a korábbi definíció kiterjesztése


A hatványozás azonosságai

Korábbi ismeretekre való emlékezés.

Számok abszolút értéke.

Egyenértékű definíció (távol- Fizika: hőmérséklet, elektsággal adott definícióval). romos töltés, áram, feszültség előjeles értelmezése. A különböző számrendszerek Informatika: kommunikáció egyenértékűségének belátása ember és gép között, adattárolás egységei.

Különböző számrendszerek. A helyiértékes írásmód lényege. Kettes számrendszer. Matematikatörténet: Neumann János.

4 / 36

Kötelező

Szabad

33 óra

7 óra

Gimnázium-szakközépiskola Számok normálalakja.

9-12.

Az egyes fogalmak (távolság, idő, terület, tömeg, népesség, pénz, adat stb.) mennyiségi jellemzőinek kifejezése számokkal, mennyiségi következtetések. Számolás normálalakkal írásban és számológép segítségével. A természettudományokban és a társadalomban előforduló nagy és kis mennyiségekkel történő számolás Nevezetes azonosságok: kommu- Régebbi ismeretek mozgósítativitás, asszociativitás, disztribu- tása, összeillesztése, felhasztivitás. nálása Számolási szabályok, zárójelek használata (a ± b)2, (a ± b)3 polinom alakja, Ismeretek tudatos memorizászorzat alakja. Azonosság fogallása (azonosságok). ma Geometria és algebra összekapcsolása az azonosságok igazolásánál. Egyszerű feladatok polinomok, Ismeretek felidézése, mozgóilletve algebrai törtek közötti mű- sítása (pl. szorzattá alakítás, veletekre. Tanult azonosságok al- tört egyszerűsítése, bővítése, kalmazása. Algebrai tört értelme- műveletek törtekkel). zési tartománya. Algebrai kifejezések egyszerűbb alakra hozása Elsőfokú egyenletek és egyenlőt- Régebbi ismeretek mozgósílenségek megoldása különböző tása, összeillesztése, felhaszmódszerekkel (lebontogatás, mér- nálása, kiegészítése. Módszelegelv, szorzattá alakítás, értelme- rek tudatos kiválasztása és alzési tartomány és értékkészlet kalmazása vizsgálata, grafikus módszer). Egyszerű egyenletek paraméterrel Elsőfokú kétismeretlenes egyen- Megosztott figyelem; két, illetrendszer megoldása letve több szempont egyidejű követése. Különböző módszerek alkalmazása ugyanarra a problémára (behelyettesítő módszer, egyenlő illetve ellentett együtthatók módszere, grafikus módszer). Elsőfokú egyenletre, egyenletSzöveges számítási feladatok rendszerre vezető szöveges számí- megoldása a természettudotási feladatok a természettudományokból, a mindennapokmányokból a mindennapokból. ból (pl. százalékszámítás: megtakarítás, kölcsön, áremelés, árleszállítás, bruttó ár és nettó ár, ÁFA, jövedelemadó, járulékok, élelmiszerek százalékos összetétele).

Matematika Fizika; kémia; biológiaegészségtan: tér, idő, nagyságrendek – méretek és nagyságrendek becslése és számítása az atomok méreteitől az ismert világ méretéig; szennyezés, környezetvédelem.

Fizika: számítási feladatok megoldása (pl. munkatétel

Fizika; kémia; biológiaegészségtan: számítási feladatok.

Fizika: kinematika, dinamika.

Fizika; kémia; biológiaegészségtan: számítási feladatok. Informatika: problémamegoldás táblázatkezelővel. Földrajz: a pénzvilág működése.

Technika, életvitel és gyakorlat: tudatos élelmiszerA növekedés és csökkenés ki- választás, becslések, méréfejezése százalékkal („mihez sek, számítások. viszonyítunk?”). GondolatTársadalmi, állampolgári és menet lejegyzése (megoldási gazdasági ismeretek: a csaterv). lád pénzügyei és gazdálkodása, vállalkozások.

5 / 36

Matematika

9-12. Számológép használata. Az értelmes kerekítés megtalálása. A mindennapokhoz kapcsolódó problémák matematikai modelljének elkészítése (egyenlet, illetve egyenletrendszer felírása); a megoldás ellenőrzése, a gyakorlati feladat megoldásának összevetése a valósággal (lehetségese?).

Egyes változók kifejezése fizikai, kémiai képletekből

A képlet értelmének, jelentőségének belátása. Helyettesítési érték kiszámítása képlet alapján. Definíciókra való emlékezés

Gimnázium-szakközépiskola Fizika: kinematika, dinamika. Kémia: százalékos keverési feladatok

Fizika; kémia: képletek értelmezése..

Egy abszolútértéket tartalmazó egyenletek. |x+c|=ax+b. Hatvány. Normálalak. Egyenlet. Alaphalmaz, értelmezési tartomány. AzoKulcsfogalmak/ nosság. Ekvivalens egyenlet. Elsőfokú egyenlet. Elsőfokú egyenletrendszer. fogalmak Egyenlőtlenség. Tematikai egység/ Fejlesztési cél

16 óra 3. Összefüggések, függvények, sorozatok

Órakeret

Előzetes tu- Halmazok. Hozzárendelés fogalma. Grafikonok készítése, olvasása. Pontok ábdás rázolása koordináta-rendszerben. A tematikai Összefüggések, folyamatok megjelenítése matematikai formában (függvényegység nevemodell), vizsgálat a grafikon alapján. A vizsgálat szempontjainak kialakítása. lésiFüggvénytranszformációk algebrai és geometriai megjelenítése. fejlesztési céljai Ismeretek A függvény megadása, elemi tulajdonságai.

A lineáris függvény, lineáris kapcsolatok. A lineáris függvények tulajdonságai. Az egyenes arányosságot leíró függvény. A lineáris függvény grafikonjának meredeksége, ennek jelentése lineáris kapcsolatokban.

6 / 36

Fejlesztési követelmények . Ismeretek tudatos memorizálása (függvénytani alapfogalmak). Alapfogalmak megértése, konkrét függvények elemzése a grafikonjuk alapján. Időben lejátszódó valós folyamatok elemzése grafikon alapján. Számítógép használata a függvények vizsgálatára. Táblázatok készítése adott szabálynak, összefüggésnek megfelelően. Időben lejátszódó történések megfigyelése, a változás megfogalmazása. Modellek alkotása: lineáris kapcsolatok felfedezése a hétköznapokban (pl. egységár, a változás sebessége). Lineáris függvény ábrázolása paraméterei alap-

Kapcsolódási pontok Fizika; kémia; biológiaegészségtan: időben lejátszódó folyamatok leírása, elemzése. Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata, adatkezelés táblázatkezelővel.

Fizika: időben lineáris folyamatok vizsgálata, a változás sebessége. Kémia: egyenes arányosság. Informatika: táblázatkezelés.

Kötelező

Szabad

11 óra

5 óra


Az abszolútérték-függvény. Az x a ax + b függvény grafikonja, tulajdonságai (a≠0). A négyzetgyökfüggvény. Az

9-12.

Matematika

ján. Számítógép használata a lineáris folyamat megjelenítésében Ismeretek felidézése (függvénytulajdonságok Ismeretek felidézése (függvénytulajdonságok).

x a x ( x ≥ 0 ) függvény grafikonja, tulajdonságai. A fordított arányosság függvénye. Ismeretek felidézése (függvénytulajdonságok). a x a ( ax ≠ 0 ) grafikonja, tulajx donságai.

Függvények alkalmazása.

Fizika: matematikai inga lengésideje. Fizika: ideális gáz, izoterma. Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata. Fizika: kinematika.

Valós folyamatok függvénymodelljének megalkotása. A folyamat elemzése a függInformatika: tantárgyi szivény vizsgálatával, az eredmulációs programok haszmény összevetése a valóság- nálata. gal. A modell érvényességének vizsgálata. Számítógép alkalmazása (pl. függvényrajzoló program). Megosztott figyelem; két, illetve több szempont egyidejű követése Egyenlet, egyenletrendszer grafi- Egy adott probléma megoldá- Fizika; kémia; biológiakus megoldása. sa két különböző módszerrel. egészségtan; földrajz: száAz algebrai és a grafikus mítási feladatok. módszer összevetése. Megosztott figyelem; két, illetve több szempont egyidejű követése. Számítógépes program használata 2 Ismeretek felidézése (algebrai Fizika: egyenletesen gyorAz x a ax + bx + c (a ≠ 0) máismeretek és függvénytulajsuló mozgás kinematikája. sodfokú függvény ábrázolása és donságok ismerete). tulajdonságai. Informatika: tantárgyi sziFüggvénytranszformációk áttekin- Számítógép használata. mulációs programok hasz2 tése az x a a ( x − u ) + v alak nálata. segítségével. Függvény. Valós függvény. Értelmezési tartomány, értékkészlet, zérushely, Kulcsfogalmak/ növekedés, fogyás, szélsőértékhely, szélsőérték. Alapfüggvény. Függvénytranszformáció. Lineáris kapcsolat. Meredekség. Grafikus megolfogalmak dás.


4. Geometria

Órakeret

36 óra KöteleSzabad ző 30 óra

6 óra

Térelemek, illeszkedés. Sokszögek, háromszögek alaptulajdonságai, négyszögek csoportosítása; speciális háromszögek és négyszögek elnevezése, felismerése, Előzetes tu- alaptulajdonságaik. Alapszerkesztések, háromszög szerkesztése alapadatokból. dás Háromszög köré írt kör és beírt kör szerkesztése. Háromszögek egybevágósága. Kör és gömb, hasábok, hengerek és gúlák felismerése, alaptulajdonságaik. A Pitagorasz-tétel ismerete.

7 / 36

Matematika

9-12.


Tájékozódás a térben. Számítások síkban és térben. Az egybevágósági transzformációk alkalmazása problémamegoldásban. A szimmetria szerepének felismerése A tematikai a matematikában, a valóságban. A szükséges és az elégséges feltétel felismerése. egység neve- Tájékozódás valóságos viszonyokról térkép és egyéb vázlatok alapján. Összetett lésiszámítási probléma lebontása, számítási terv készítése (megfelelő részlet kiválaszfejlesztési tása, a részletszámítások logikus sorrendbe illesztése). Valós probléma geometriai céljai modelljének megalkotása, számítások a modell alapján, az eredmények összevetése a valósággal. Korábbi ismeretek mozgósítása. Számológép, számítógép használata.

Ismeretek Geometriai alapfogalmak. Térelemek, távolságok és szögek értelmezése. (Folyamatosan a 9 10. évfolyamon.) A háromszög nevezetes vonalai, körei. Oldalfelező merőlegesek, belső szögfelezők, magasságvonalak, súlyvonalak, középvonalak tulajdonságai. Körülírt kör, beírt kör. Matematikatörténet: Euleregyenes, Feuerbach-kör bemutatása (interaktív szerkesztőprogrammal, bizonyítás nélkül). Konvex sokszögek általános tulajdonságai. Átlók száma, belső szögek összege. Szabályos sokszög belső szöge. Kör és részei, kör és egyenes. Ív, húr, körcikk, körszelet. Szelő, érintő.

Fejlesztési követelmények Idealizáló absztrakció: pont, egyenes, sík, síkidomok, testek. Vázlat készítése.

A definíciók és tételek pontos Informatika: tantárgyi sziismerete, alkalmazása. mulációs programok használata (geometriai szerkesztőprogram).

Fogalmak alkotása specializálással: konvex sokszög, szabályos sokszög. Fogalmak pontos ismerete.

A körív hossza. Egyenes arányos- Együttváltozó mennyiségek ság a középponti szög és a hozzá összetartozó adatpárjainak tartozó körív hossza között (szem- vizsgálata. lélet alapján). A körcikk területe. Egyenes arányosság a középponti szög és a hozzá tartozó körcikk területe között (szemlélet alapján). A szög mérése. A szög ívmértéke.


Fizika: körmozgás, a körpályán mozgó test sebessége. Vizuális kultúra: építészeti stílusok. Fizika: körmozgás sebessége, szögsebessége. Földrajz: távolság a Föld két pontja között.

Együttváltozó mennyiségek összetartozó adatpárjainak vizsgálata. Mérés, mérési elvek megismerése. Mértékegységválasztás, mérőszám.

Fizika: szögsebesség, körmozgás, rezgőmozgás. Földrajz: tájékozódás a földgömbön; hosszúsági és szélességi körök, helymeghatározás.

Thalész tétele, és alkalmazásai. A matematika mint kulturális örökség.

Ismeretek tudatos memorizálása. Állítás és megfordításának gyakorlása.

Pitagorasz-tétel alkalmazásai. Ismeretek mozgósítása, rend(Koordináta-geometria előkészíté- szerezése problémamegoldás se.) érdekében. Állítás és megfordításának gyakorlása. A tengelyes és a középpontos tük- A megmaradó és a változó turözés, az eltolás, a pont körüli el- lajdonságok tudatosítása. forgatás. A transzformációk tulajdonságai.

8 / 36

Fizika: vektor felbontása merőleges összetevőkre.

Fizika: elmozdulásvektor, forgások. Földrajz: bolygók tengely


9-12.

A geometriai vektorfogalom. Egybevágóság, szimmetria.

Matematika körüli forgása, keringés a Nap körül

Szimmetria felismerése a matematikában, a művészetekben, a környezetünkben található tárgyakban, részvétel szimmetrián alapuló játékokban.

Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata. Vizuális kultúra: kifejezés, képzőművészet; művészettörténeti stíluskorszakok.

Biológia-egészségtan: az emberi test síkjai, szimmetriája. Szimmetrikus négyszögek. Négy- Fogalmak alkotása specializá- Vizuális kultúra: kifejezés, szögek csoportosítása szimmetriá- lással. képzőművészet; művészetik szerint. történeti stíluskorszakok. Szabályos sokszögek. Informatika: tantárgyi sziEgyszerű szerkesztési feladatok. Szerkesztési eljárások gyakorlása. Szerkesztési terv ké- mulációs programok hasznászítése, ellenőrzés. Megoszlata (geometriai szerkesztőtott figyelem; két, illetve több program). szempont egyidejű követése. Pontos, esztétikus munkára nevelés. Vektorok összege, két vektor kü- Műveleti analógiák (összeFizika: erők összege, két erő lönbsége. adás, kivonás). különbsége, vektormennyiség változása (pl. sebességváltozás). Vektor szorzása valós számmal. Új műveletfogalom kialakítá- Fizika: Newton II. törvénye. sa és gykorlása. Tér, sík, egyenes, pont. Sokszög. Háromszög, négyszög, speciális háromszög, Kulcsfogalmak/ speciális négyszög. Belső szög, külső szög, átló. Kerület, terület. Egybevágó. fogalmak Szimmetria. Vektor, vektorművelet.

9 / 36

Matematika Tematikai egység/ Fejlesztési cél

9-12.


5. Valószínűség, statisztika

Órakeret

Kötelező

Szabad

5 óra

1 óra

Előzetes tu- Valószínűségi kísérletek elvégzése, elemzése. Táblázatok, diagramok olvasása. dás Százalékszámítás A tematikai Diagram, vonaldiagram, oszlopdiagram, kördiagram készítése, olvasása. Tábláegység nevezat értelmezése, készítése. Számítógép használata az adatok rendezésében, értélésikelésében, ábrázolásában. fejlesztési céljai Ismeretek Statisztikai adatok és ábrázolásuk (gyakoriság, relatív gyakoriság, eloszlás, kördiagram, oszlopdiagram, vonaldiagram).

Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok Adatok jegyzése, rendezése, Informatika: adatkezelés, adatfeldolgozás, informáábrázolása. Együttváltozó ciómegjelenítés. mennyiségek összetartozó adatpárjainak jegyzése. Diagramok, táblázatok olva- Történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: törsása, készítése. Grafikai szervezők összeveté- ténelmi, társadalmi témák se más formátumú dokumen- vizuális ábrázolása (táblázat, diagram). tumokkal, következtetések levonása írott, ábrázolt és számszerű információ össze- Földrajz: időjárási, éghajlati kapcsolásával. és gazdasági statisztikák. Számítógép használata. Adatsokaságok jellemzői: átlag, A statisztikai mutatók nyújInformatika: statisztikai medián, módusz, terjedelem. totta információk helyes éradatelemzés. telmezése. Nagy adathalmaz vizsgálata kevés statisztikai jellemzővel: előnyök és hátrányok. Kulcsfogalmak/ Adat. Diagram, táblázat. Módusz, medián, átlag., terjedelem, szórás. Gyakoriság, relatív gyakoriság. fogalmak Gondolkodási és megismerési módszerek – Halmazokkal kapcsolatos alapfogalmak ismerete, halmazok szemléltetése, halmazműveletek ismerete; számhalmazok ismerete. – Értsék és jól használják a matematika logikában megtanult szakkifejezéseket a hétköznapi életben. – Definíció, tétel felismerése, az állítás és a megfordításának felismerése; bizonyítás gondolatmenetének követése. – Egyszerű leszámlálási feladatok megoldása, a megoldás gondolatmenetének rögzítése szóban, írásban.

A fejlesztés várt eredményei a 9. évfolyam végén

Számtan, algebra – Egyszerű algebrai kifejezések használata, műveletek algebrai kifejezésekkel; a tanultak alkalmazása a matematikai problémák megoldásában (pl. modellalkotás szöveg alapján, egyenletek megoldása, képletek értelmezése); egész kitevőjű hatványok, azonosságok. – Elsőfokú egyismeretlenes egyenlet megoldása; ilyen egyenletre vezető szöveges és gyakorlati feladatokhoz egyenletek felírása és azok megoldása, a megoldás önálló ellenőrzése. – Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszer megoldása; ilyen egyenletrendszerre vezető szöveges és gyakorlati feladatokhoz az egyenletrendszer megadása, megoldása, a megoldás önálló ellenőrzése. – A tanulók képesek a matematikai szöveg értő olvasására, tankönyvek, keresőprogramok célirányos használatára, szövegekből a lényeg kiemelésére. Összefüggések, függvények, sorozatok

10 / 36


9-12.

Matematika

– A függvény megadása, a szereplő halmazok ismerete (értelmezési tartomány, értékkészlet); valós függvény alaptulajdonságainak ismerete. – A tanult alapfüggvények ismerete (tulajdonságok, grafikon). – Egyszerű függvénytranszformációk végrehajtása. – Valós folyamatok elemzése a folyamathoz tartozó függvény grafikonja alapján. – Függvénymodell készítése lineáris kapcsolatokhoz; a meredekség. – A tanulók tudják az elemi függvényeket ábrázolni koordináta- rendszerben, és a legfontosabb függvénytulajdonságokat meghatározni, nemcsak a matematika, hanem a természettudományos tárgyak megértése miatt, és különböző gyakorlati helyzetek leírásának érdekében is. Geometria – Térelemek ismerete; távolság és szög fogalma, mérése. – Nevezetes ponthalmazok ismerete, szerkesztésük. – A tanult egybevágósági transzformációk és ezek tulajdonságainak ismerete. – Egybevágó alakzatok; két egybevágó alakzat több szempont szerinti összehasonlítása (pl. távolságok, szögek, kerület, terület). – Szimmetria ismerete, használata. – Háromszögek tulajdonságainak ismerete (alaptulajdonságok, nevezetes vonalak, pontok, körök). – Derékszögű háromszögre visszavezethető (gyakorlati) számítások elvégzése Pitagorasz-tétellel. – Szimmetrikus négyszögek tulajdonságainak ismerete. – Vektor fogalmának ismerete; három új művelet ismerete: vektorok összeadása, kivonása, vektor szorzása valós számmal. – Kerület, terület, felszín és térfogat szemléletes fogalmának kialakulása, a jellemzők kiszámítása (képlet alapján); mértékegységek ismerete; valós síkbeli, illetve térbeli probléma geometriai modelljének megalkotása. – A geometriai ismeretek bővülésével, a megismert geometriai transzformációk rendszerezettebb tárgyalása után fejlődik a tanulók dinamikus geometriai szemlélete, diszkussziós képessége. – A háromszögekről tanult ismeretek bővülésével a tanulók képesek számítási feladatokat elvégezni, és ezeket gyakorlati problémák megoldásánál alkalmazni. – A szerkesztési feladatok során törekednek az igényes, pontos munkavégzésre. Valószínűség, statisztika – Adathalmaz rendezése megadott szempontok szerint, adat gyakoriságának és relatív gyakoriságának kiszámítása. – Táblázat olvasása és készítése; diagramok olvasása és készítése. – Adathalmaz móduszának, mediánjának, átlagának értelmezése, meghatározása. – A statisztikai feladatok megoldása során a diákok rendszerező képessége fejlődik. A tanulók képesek adatsokaságot jellemezni, ábrákról adatsokaság jellemzőit leolvasni.

Továbbhaladás feltételei: TUDJA • értelmezni alapszinten a kördiagram, oszlopdiagram adatait • megoldani nagy biztonsággal egyszerű törtes egyenleteket, kétismeretlenes elsőfokú egyenletrendszereket. • a számokat prímtényezőkre bontani • ábrázolni a képlettel megadott függvényt • összehasonlítani a számokat, alapműveleteket elvégezni a racionális számkörben • kiszámolni számsokaság számtani közepét ISMERJE • a részhalmaz, unió, metszet, két halmaz különbsége fogalmakat. • és alkalmazza a hatványozás azonosságait. • a számok és kifejezések abszolút értékének fogalmát, • az oszthatósági szabályokat. • a speciális háromszögek, négyszögek és szabályos sokszögek tulajdonságait.

11 / 36

Matematika • • • •

9-12.


a háromszög nevezetes vonalainak, a háromszög beírt és körülírt körének fogalmát és tulajdonságait. a körrel kapcsolatos fogalmakat és az érintő tulajdonságait. a módusz és a medián fogalmát. az alapfüggvények (lineáris, másodfokú, abszolút érték, ) tulajdonságait

ALKALMAZZA • a számok normál alakját • biztonsággal a másodfokú azonosságokat. • biztonsággal a négy alapműveletet egyszerű algebrai kifejezésekkel. • a százalékszámítást gyakorlati feladatokban is.

12 / 36


9-12.

Matematika

10. évfolyam Ez a matematika kerettanterv mindazon tanulóknak szól, akik a10.. osztályban még nem választottak matematikából emelt szintű képzést. Atematikaigényes pályákra, és természetesen azoknak is, akiknek a középiskola után nem lesz rendszeres kapcsolatuk a matematikával, de egész életükben hatni fog, hogy itt milyen készségeik alakultak ki a problémamegoldásban, a rendszerező, elemző gondolkodásban. Ezeket a tanulókat ebben az időszakban lehet megnyerni a gazdasági fejlődés szempontjából meghatározó fontosságú természettudományos, műszaki, informatikai pályáknak. A megismerés módszerei között továbbra is fontos a gyakorlati tapasztalatszerzés, de az ismertszerzés fő módszere a tapasztalatokból szerzett információk rendszerezése, igazolása, ellenőrzése, és az ezek alapján elsajátított ismeretanyag alkalmazása. A középiskola első két évfolyamán sok, korábban már szereplő ismeret, összefüggés, fogalom újra előkerül, úgy, hogy a fogalmak definiálásán, az összefüggések igazolásán, az ismeretek rendszerezésén, kapcsolataik feltárásán és az alkalmazási lehetőségeik megismerésén van a hangsúly. Ezért a tanulóknak meg kell ismerkedniük a tudományos feldolgozás alapvető módszereivel. (Mindenki által elfogadott alapelvek/axiómák, már bizonyított állítások, új sejtések, állítások megfogalmazása és azok igazolása, a fentiek összegzése, a nyitva maradt kérdések felsorolása, a következmények elemzése.) A felsorolt célok az általános iskolai matematikatanítás céljaihoz képest jelentős többletet jelentenek, ezért is fontos, hogy változatos módszertani megoldásokkal tegyük könynyebbé az átmenetet. A problémamegoldás megszerettetésének igen fontos eszközei lehetnek a matematikai alapú játékok. A gyerekek szívesen játszanak maradékos osztáson, oszthatósági szabályokon alapuló számjátékokat, és szimmetriákon alapuló geometriai, rajzos játékokat. Nyerni akarnak, ezért természetes módon elemezni kezdik a szabályokat, lehetőségeket. Olyan következtetésekre jutnak, olyan elemzéseket végeznek, amilyeneket hagyományos feladatokkal nem tudnánk elérni. A matematikatanításnak ebben a szakaszában sok érdekes matematikatörténeti vonatkozással lehet közelebb hozni a tanulókhoz a tantárgyat. A témakör egyes elemeihez kapcsolódva mutassuk be néhány matematikus életútját. A geometria egyes területeinek (szimmetriák, aranymetszés) a művészetekben való alkalmazásait megjelenítve világossá tehetjük a tanulók előtt, hogy a matematika a kultúra elválaszthatatlan része. Az ezekre a témákra fordított idő bőven megtérül az ennek következtében növekvő érdeklődés, javuló motiváció miatt. (A tantervben dőlt betűkkel szerepelnek ezek a részek.) Változatos példákkal, feladatokkal mutathatunk rá arra, hogy milyen előnyöket jelenthet a mindennapi életben, ha valaki jól tud problémákat megoldani. Gazdasági, sport témájú feladatokkal, számos geometriai és algebrai szélsőérték-feladattal lehet gyakorlati kérdésekre optimális megoldásokat keresni. Ez az életkor már alkalmassá teszi a tanulókat az önálló ismeretszerzésre. Legyen követelmény, hogy egyes adatoknak, fogalmaknak, ismereteknek könyvtárban, interneten nézzenek utána. Ez a kutatómunka hozzájárulhat a tanulók digitális kompetenciájának növeléséhez, ugyanúgy, mint a geometriai és egyéb matematikai programok használata is. A tanulók későbbi, matematika szempontjából nagyon különböző céljai, a fogalmi gondolkodásban megnyilvánuló különbségek igen fontossá teszik ebben a szakaszban a differenciálást. Az évfolyamok összetételének a bevezetőben vázolt sokszínűsége miatt nagyon indokolt csoportbontásban tanítani a matematikát. Az egyes tematikus egységekre javasolt óraszámokat évfolyamonként a táblázatok tartalmazzák. Az adott évfolyamosan rendszerezésre 5 órát a számonkérésre 5 órát szántunk, amik a szabad órakeretben jelennek meg.

13 / 36

Matematika

9-12.



Órakeret

Kötelező

Szabad

Összesen

1.


12

2

14

2.

Számtan, algebra

33

10

43

3.


5

0

5

4.

Geometria

30

7

37

5.


5

4

9



Órakeret

Előzetes tu- Gyakorlat szövegek értelmezésében. A matematikai szakkifejezések adott szintdás hez illeszkedő ismerete. A tematikai egység nevelésifejlesztési céljai

Kommunikáció, együttműködés. A matematika épülése elveinek bemutatása. A matematikai tételek, állítások szerkezete. Igaz és hamis állítások megkülönböztetése. Gondolkodás; ismeretek rendszerezési képességének fejlesztése. Önfejlesztés, önellenőrzés segítése, absztrakciós képesség, kombinációs készség fejlesztése.

Ismeretek A matematikai bizonyítás. Kísérletezés, módszeres próbálkozás, sejtés, cáfolás (folyamatos feladat a 9–12. évfolyamokon). Matematikatörténet: Euklidesz szerepe a tudományosság kialakításában. Nevezetes sejtések (pl. ikerprím sejtés); hosszan „élt”, de megoldott sejtések (pl. Fermat-sejtés, négyszínsejtés).

Fejlesztési követelmények Kísérletezés, módszeres próbálkozás, sejtés, cáfolás megkülönböztetése. Érvelés, vita. Érvek és ellenérvek. Ellenpélda szerepe. Mások gondolataival való vitába szállás és a kulturált vitatkozás. Megosztott figyelem; két, illetve több szempont (pl. a saját és a vitapartner szempontjának) egyidejű követése. Állítás, tétel és megfordítása. Az „akkor és csak akkor” Szükséges feltétel, elegendő felté- használata. Feltétel és követtel. „Akkor és csak akkor” típusú kezmény felismerése a állítások. „Ha …, akkor …” típusú állítások esetében. Korábbi, illetve újabb (saját) állítások, tételek jelentésének elemzése. Bizonyítás. Bizonyítási módszeGondolatmenet tagolása. rek, jellegzetes gondolatmenetek Rendszerezés (érvek logikus (skatulya-elv) konkrét példákon sorrendje). keresztül. Következtetés megítélése helyessége szerint. A bizonyítás gondolatmenetére, bizonyítási módszerekre való emlékezés. Kidolgozott bizonyítás gondolatmenetének követése, megértése. Példák a hétköznapokból helyes és helytelenül megfogalmazott következtetésekre.

14 / 36

Kapcsolódási pontok Magyar nyelv és irodalom: mások érvelésének összefoglalása és figyelembevétele

Etika: a következtetés, érvelés, bizonyítás és cáfolat szabályainak alkalmazása.

Kötelező

Szabad

12 óra

2 óra


9-12.

Matematikai és más jellegű érvelésekben a logikai műveletek felfedezése, megértése, önálló alkalmazása. A köznyelvi kötőszavak és a matematikai logikában használt kifejezések jelentéstartalmának összevetése. A hétköznapi, nem tudományos szövegekben található matematikai információk felfedezése, rendezése a megadott célnak megfelelően. Matematikai tartalmú (nem tudományos jellegű) szöveg értelmezése. Szöveges feladatok értelmeSzöveges feladatok. (Folyamatos feladat a 9–12. évfo- zése, megoldási terv készítélyamon: a szöveg alapján a meg- se, a feladat megoldása és felelő matematikai modell megal- szöveg alapján történő ellenkotása.) őrzése. Modellek alkotása a matematikán belül; matematikán kívüli problémák modellezése. Gondolatmenet lejegyzése (megoldási terv). Megosztott figyelem; két, illetve több szempont egyidejű követése (a szövegben előforduló információk). Figyelem összpontosítása. Problémamegoldó gondolkodás és szövegfeldolgozás: az indukció és dedukció, a rendszerezés, a következtetés. Egyszerű kombinatorikai felada- Rendszerezés: az esetek ösztok: leszámlálás, sorbarendezés, szeszámlálásánál minden esegyakorlati problémák. tet meg kell találni, de minKombinatorika a mindennapokden esetet csak egyszer lehet ban. számításba venni. Megosztott figyelem; két, illetve több szempont egyidejű követése. Esetfelsorolások, diszkusszió (pl. van-e ismétlődés). Sikertelen megoldási kísérlet után újjal való próbálkozás; a sikertelenség okának feltárása (pl. minden feltételre figyelte). A gráffal kapcsolatos alapfogalGráfok alkalmazása problémak (csúcs, él, fokszám). mamegoldásban. Egyszerű hálózat szemléltetése. Számítógépek egy munkahelyen, elektromos hálózat a lakásban, település úthálózata stb. szemléltetése gráffal. Gondolatmenet megjelenítése gráffal.

Matematika

Logikai műveletek: „nem”, „és”, „vagy”, „ha…, akkor”. (Folyamatosan a 9–12. évfolyamon.)

Magyar nyelv és irodalom: szövegértés; információk azonosítása és összekapcsolása, a szöveg egységei közötti tartalmi megfelelés felismerése; a szöveg tartalmi elemei közötti kijelentés-érv, ok-okozati viszony felismerése és magyarázata. Technika, életvitel és gyakorlat: egészséges életmódra és a családi életre nevelés.

Informatika: problémamegoldás táblázatkezelővel. Technika, életvitel és gyakorlat: hétköznapi problémák megoldása a kombinatorika eszközeivel. Magyar nyelv és irodalom: periodicitás, ismétlődés és kombinatorika mint szervezőelv poetizált szövegekben. Kémia: molekulák térszerkezete. Informatika: problémamegoldás informatikai eszközökkel és módszerekkel, hálózatok. Történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: pl. családfa.

15 / 36

Matematika

9-12.


Gráf csúcsa, éle, csúcs fokszáma. Feltétel és következmény. Szükséges feltéKulcsfogalmak/ tel, elegendő feltétel. Sejtés, bizonyítás, megcáfolás. Ellentmondás. Faktoriáfogalmak lis.

43 óra


2. Számtan, algebra

Órakeret

Előzetes tu- Egész kitevőjű hatványozás. Számolás algebrai kifejezésekkel. Egyenlet, egyenlet megoldása. Egyenlőtlenség. Egyszerű szöveg alapján egyenlet felírása (modás dell alkotása), megoldása, ellenőrzése. Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban, tapasztalatszerzés. Problémakezelés és –megoldás. Algebrai kifejezések biztonságos ismerete, kezelése. Szabályok betartása, tanultak alkalmazása. Másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek megoldási módszerei, a megoldási módszer önálló kiválasztási képességének kiA tematikai alakítása. egység neveGyakorlati problémák matematikai modelljének felállítása, a modell hatókörének lésifejlesztési vizsgálata, a kapott eredmény összevetése a valósággal; ellenőrzés fontossága. A problémához illő számítási mód kiválasztása, eredmény kerekítése a tartalomnak céljai megfelelően. Alkotás öntevékenyen, saját tervek szerint; alkotás adott feltételeknek megfelelően; átstrukturálás. Számológép használata.

Ismeretek A négyzetgyök definíciója. A négyzetgyök azonosságai.

Gyöktényezős alak. Másodfokú polinom szorzattá alakítása.

Fejlesztési követelmények A négyzetgyök azonosságainak használata konkrét esetekben. Gyökjel alól kihozatal, nevező gyöktelenítése. Számológép használata. Különböző algebrai módszerek alkalmazása ugyanarra a problémára (szorzattá alakítás, teljes négyzetté kiegészítés). Ismeretek tudatos memorizálása (rendezett másodfokú egyenlet és megoldóképlet összekapcsolódása). A megoldóképlet biztos használata. Matematikai modell (másodfokú egyenlet) megalkotása a szöveg alapján. A megoldás ellenőrzése, gyakorlati feladat megoldásának összevetése a valósággal (lehetséges-e?). Algebrai ismeretek alkalmazása

Gyökök és együtthatók összefüggései.

Önellenőrzés: egyenlet megoldásának ellenőrzése

Néhány egyszerű magasabb fokú egyenlet megoldása. Matematikatörténet: részletek a harmad- és ötödfokú egyenlet megoldásának történetéből. Egyszerű négyzetgyökös egyenle-

Annak belátása, hogy vannak a matematikában megoldhatatlan problémák.

A másodfokú egyenlet megoldása, a megoldóképlet.

Másodfokú egyenletre vezető gyakorlati problémák, szöveges feladatok.

16 / 36

Megoldások ellenőrzése.

Kapcsolódási pontok Fizika: fonálinga lengésideje, rezgésidő számítása.

Fizika: egyenletesen gyorsuló mozgás kinematikája.

Fizika; kémia: számítási feladatok.

Fizika: például egyenletesen gyorsuló mozgással

Kötelező

Szabad

33 óra

10 óra

Gimnázium-szakközépiskola tek.

9-12.

ax + b = cx + d .

Matematika kapcsolatos kinematikai feladat.

Másodfokú egyenletrendszer. A behelyettesítő módszer.

Egyszerű másodfokú egyenletrendszer megoldása. A behelyettesítő módszerrel is megoldható feladatok. Megosztott figyelem; két, illetve több szempont egyidejű követése. Egyszerű másodfokú egyenlőtlen- Egyszerű másodfokú egyen- Informatika: tantárgyi szi2 ségek. ax + bx + c ≥ 0 (vagy > lőtlenség megoldása. Másod- mulációs programok haszfokú függvény eszközjellegű nálata. 0) alakra visszavezethető egyenhasználata. lőtlenségek ( a ≠ 0 ). Példák adott alaphalmazon ekvi- Megosztott figyelem; két, ilvalens és nem ekvivalens egyen- letve több szempont egyidejű letekre, átalakításokra. Alaphalkövetése. maz, értelmezési tartomány, meg- Halmazok eszközjellegű oldáshalmaz. Hamis gyök, gyök- használata. vesztés. Egyszerű paraméteres másodfokú egyenletek Összefüggés két pozitív szám Geometria és algebra összeFizika: minimum- és maszámtani és mértani közepe kökapcsolása az azonosság iga- ximumproblémák. zött. Gyakorlati példa minimum zolásánál. és maximum probléma megoldá- Gondolatmenet megfordítása. sára. Kulcsfogalmak/ Másodfokú egyenlet, diszkrimináns. Gyöktényezős alak. Egyenletrendszer. Egyenlőtlenség. Számtani közép, mértani közép. Szélsőérték. fogalmak



Órakeret

Kötelező 5 óra

Szabad 0 óra

Előzetes tu- Halmazok. Hozzárendelés fogalma. Grafikonok készítése, olvasása. Pontok ábrádás zolása koordináta-rendszerben. A tematikai Összefüggések, folyamatok megjelenítése matematikai formában (függvényegység ne- modell), vizsgálat a grafikon alapján. A vizsgálat szempontjainak kialakítása. Függvénytranszformációk algebrai és geometriai megjelenítése. velésifejlesztési céljai Fejlesztési követelmények Ismeretek Függvények alkalmazása másod- Függvénytulajdonságok tudatos fokú és gyökös egyenletek, alkalmazása egyenlőtlenségek megoldására; másodfokú függvényre vezető szélsőérték-feladatok


Kulcsfogal- Grafikus megoldás mak/ fogalmak

Tematikai egység/ Fej-

38 óra 4. Geometria

Órakeret

Kötelező

Szabad

17 / 36

Matematika

9-12.


lesztési cél

30 óra

Térelemek, illeszkedés. Sokszögek, háromszögek alaptulajdonságai, négyszögek csoportosítása; speciális háromszögek és négyszögek elnevezése, felismerése, Előzetes tu- alaptulajdonságaik. Alapszerkesztések, háromszög szerkesztése alapadatokból. dás Háromszög köré írt kör és beírt kör szerkesztése. Háromszögek egybevágósága. Kör és gömb, hasábok, hengerek és gúlák felismerése, alaptulajdonságaik. A Pitagorasz-tétel ismerete. Tájékozódás a térben. Számítások síkban és térben. A geometriai transzformációk alkalmazása problémamegoldásban. A szükséges és az elégséges feltétel felA tematikai ismerése. Tájékozódás valóságos viszonyokról térkép és egyéb vázlatok alapján. egység neve- Összetett számítási probléma lebontása, számítási terv készítése (megfelelő részlésilet kiválasztása, a részletszámítások logikus sorrendbe illesztése). Valós probléfejlesztési ma geometriai modelljének megalkotása, számítások a modell alapján, az eredcéljai mények összevetése a valósággal. A valóságos tárgyak formájának és a tanult formáknak az összevetése, gyakorlati számítások (henger, hasáb, kúp, gúla, gömb). Korábbi ismeretek mozgósítása. Számológép, számítógép használata.

Ismeretek A körrel kapcsolatos ismeretek bővítése: kerületi és középponti szög fogalma, kerületi szögek tétele; Középpontos hasonlóság, hasonlóság. Arányos osztás. A hasonlósági transzformáció. Hasonló alakzatok.

Fejlesztési követelmények Korábbi ismeretek felelevenítése, új ismeretek beillesztése a korábbi ismeretek rendszerébe. A megmaradó és a változó tulajdonságok tudatosítása.

Kapcsolódási pontok Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata (geometriai szerkesztőprogram). Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata (geometriai szerkesztőprogram).

A megmaradó és a változó tulajdonságok tudatosítása: a megfelelő szakaszok hosszának aránya állandó, a megfelelő szögek egyenlők, a kerület, a terület, a felszín és a térfogat változik. A háromszögek hasonlóságának Szükséges és elégséges feltéalapesetei. tel megkülönböztetése. Ismeretek tudatos memorizálása. A hasonlóság alkalmazásai. Új ismeretek matematikai al- Fizika: súlypont, tömegköHáromszög súlyvonalai, súlypont- kalmazása. zéppont. ja, hasonló síkidomok kerületének, területének aránya. Vizuális kultúra: összetett arányviszonyok érzékeltetése, formarend, az aranymetszés megjelenése a természetben, Magasságtétel, befogótétel a deIsmeretek tudatos memorizárékszögű háromszögben. Két po- lása, alkalmazása szakaszok zitív szám mértani közepe. hosszának számolásánál, szakaszok szerkesztésénél. A hasonlóság gyakorlati alkalma- Modellek alkotása a matema- Földrajz: térképkészítés, zásai. Távolság, szög, terület a tikán belül; matematikán kí- térképolvasás. tervrajzon, térképen. vüli problémák modellezése: geometriai modell Hasonló testek felszínének, térfo- Annak tudatosítása, hogy Biológia-egészségtan: pélgatának aránya. nem egyformán változik egy dák arra, amikor adott tértest felszíne és térfogata, ha fogathoz nagy felület (pl. kicsinyítjük vagy nagyítjuk. fák levelei) tartozik. Vektorok felbontása összetevőkre. Ismeretek mozgósítása új Fizika: eredő erő, eredő helyzetben. Emlékezés koösszetevőkre bontása. rábbi információkra.

18 / 36

8 óra


9-12.

Matematika

Vektorok a koordinátaElnevezések, jelek és egyéb rendszerben. Bázisvektorok, vek- megállapodások megjegyzétorkoordináták. se. Emlékezés definíciókra. Hegyesszög szinusza, koszinusza, tangense és kotangense.

Fizika: helymeghatározás, erővektor felbontása összetevőkre. Fizika: erővektor felbontása derékszögű összetevőkre.

A Pitagorasz-tétel és a hegyesszög szögfüggvényeinek alkalmazása a derékszögű háromszög hiányzó adatainak kiszámítására. Távolságok és szögek számítása gyakorlati feladatokban, síkban és térben. A kiterjesztett szögfüggvényfogalom egyszerű alkalmazásai.

Fizika: erővektor felbontása derékszögű összetevőkre.

A valós problémák matematikai (geometriai) modelljének megalkotása, a problémák önálló megoldása.

Kulcsfogalmak/ Kerületi szög, középponti szög.. Hasonló. Arány. Vektor, vektorművelet, vektorkoordináták. Szinusz, koszinusz, tangens, kotangens. fogalmak


10 óra 5. Valószínűség, statisztika

Órakeret

Kötelező

Szabad

5 óra

4 óra

Előzetes tu- Valószínűségi kísérletek elvégzése, elemzése. Táblázatok, diagramok olvasása. dás Összeszámlálási alapfeladatok. Százalékszámítás. A tematikai A valószínűség fogalmának mélyítése: ismeretek rendszerezése, tapasztalatszeregység nevezés újabb kísérletekkel, a kísérletek kiértékelése (relatív gyakoriság, eloszlás), lésikövetkeztetések. Táblázat értelmezése, készítése. Számítógép használata az adafejlesztési tok rendezésében, értékelésében, ábrázolásában. céljai Ismeretek Véletlen esemény és bekövetkezésének esélye, valószínűsége.

A valószínűség matematikai definíciójának bemutatása példákon keresztül.

Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok . A véletlen esemény szimmet- Biológia-egészségtan: ria alapján, logikai úton vagy öröklés, mutáció. kísérleti úton megadható, megbecsülhető esélye, valószínűsége. Kísérletek, játékok csoportban. A véletlen kísérletekből számított relatív gyakoriság és a valószínűség kapcsolata.

Véletlen (valószínűségi) kísérlet. Véletlen esemény, elemi esemény, biztos Kulcsfogalmak/ esemény, lehetetlen esemény, komplementer esemény. Gyakoriság, relatív fogalmak gyakoriság, esély, valószínűség.

Gondolkodási és megismerési módszerek – Értsék, és jól használják a matematika logikában megtanult szakkifejezéseket a hétA fejlesztés várt köznapi életben. eredményei a – Definíció, tétel felismerése, az állítás és a megfordításának felismerése; bizonyítás gondolatmenetének követése. 10. évfolyam végén – Egyszerű összeszámlálási feladatok megoldása, a megoldás gondolatmenetének rögzítése szóban, írásban.

19 / 36

Matematika

9-12.


– Gráffal kapcsolatos alapfogalmak ismerete. Alkalmazzák a gráfokról tanult ismereteiket gondolatmenet szemléltetésére, probléma megoldására. Számtan, algebra – Másodfokú egyismeretlenes egyenlet megoldása; ilyen egyenletre vezető szöveges és gyakorlati feladatokhoz egyenletek felírása és azok megoldása, a megoldás önálló ellenőrzése. – Másodfokú (egyszerű) kétismeretlenes egyenletrendszer megoldása; ilyen egyenletrendszerre vezető szöveges és gyakorlati feladatokhoz az egyenletrendszer megadása, megoldása, a megoldás önálló ellenőrzése. – Egyismeretlenes egyszerű másodfokú egyenlőtlenség megoldása. – Az időszak végére elvárható a valós számkör biztos ismerete, e számkörben megismert műveletek gyakorlati és elvontabb feladatokban való alkalmazása. – A tanulók képesek a matematikai szöveg értő olvasására, tankönyvek, keresőprogramok célirányos használatára, szövegekből a lényeg kiemelésére. Összefüggések, függvények, sorozatok – A tanult alapfüggvények ismerete (tulajdonságok, grafikon). – Egyszerű függvénytranszformációk végrehajtása – Valós folyamatok elemzése a folyamathoz tartozó függvény grafikonja alapján. Geometria – A körrel kapcsolatos ismeretek bővülésének hatása elméleti és gyakorlati számításokban. – A hasonlósági transzformáció és tulajdonságainak ismerete. – Hasonló alakzatok; két hasonló alakzat több szempont szerinti összehasonlítása (pl. távolságok, szögek, kerület, terület, térfogat). – Derékszögű háromszögre visszavezethető (gyakorlati) számítások elvégzése Pitagorasz-tétellel és a hegyesszögek szögfüggvényeivel; magasságtétel és befogótétel ismerete. – Vektor felbontása, vektorkoordináták meghatározása adott bázisrendszerben. – A geometriai ismeretek bővülésével, a megismert geometriai transzformációk rendszerezettebb tárgyalása után fejlődik a tanulók dinamikus geometriai szemlélete, diszkussziós képessége. – A háromszögekről tanult ismeretek bővülésével a tanulók képesek számítási feladatokat elvégezni, és ezeket gyakorlati problémák megoldásánál alkalmazni. – A szerkesztési feladatok során törekednek az igényes, pontos munkavégzésre. Valószínűség, statisztika – Adathalmaz rendezése megadott szempontok szerint, adat gyakoriságának és relatív gyakoriságának kiszámítása. – Táblázat olvasása és készítése; diagramok olvasása és készítése. – Véletlen esemény, elemi esemény, biztos esemény, lehetetlen esemény, véletlen kísérlet, esély/valószínűség fogalmak ismerete, használata. – Nagyszámú véletlen kísérlet kiértékelése, az előzetesen „jósolt” esélyek és a relatív gyakoriságok összevetése. – A valószínűségszámítási, statisztikai feladatok megoldása során a diákok rendszerező képessége fejlődik. A tanulók képesek adatsokaságot jellemezni, ábrákról adatsokaság jellemzőit leolvasni. Szisztematikus esetszámlálással meg tudják határozni egy adott esemény bekövetkezésének esélyét a klasszikus modell alapján.

Továbbhaladás feltételei:

ÉRTSE • a különbséget a kimondott és bebizonyított összefüggések között. • a hasonlóság szemléletes tartalmát. TUDJA • megoldani az egyszerű sorbarendezési és kiválasztási feladatokat konkrét elemszám esetén. • alkalmazni a négy alapműveletet a valós számok halmazán, • megoldani másodfokú egyenletre vezető egyszerű szöveges feladatokat

20 / 36


9-12.

Matematika

• megoldani és ellenőrizni az egyszerű négyzetgyökös egyenleteket. • pontosan a szögfüggvények definícióját. • kiszámolni hasonló síkidomok területének, hasonló testek térfogatának arányát. ISMERJE • két pozitív szám számtani és mértani közepének fogalmát. • a háromszög hasonlósági alapeseteit. • a háromszög súlyvonalának és súlypontjának fogalmát. ALKALMAZZA • biztonsággal a másodfokú egyenlet megoldóképletét. • a hasonlóság lehetőségét egyszerű gyakorlati feladatokban. • a háromszög hasonlósági alapeseteit egyszerű esetekben. • a gyakoriság, relatív gyakoriság, esély, valószínűség fogalmát feladatokban.

11. évfolyam Ez a szakasz az érettségire felkészítés időszaka is, ezért a fejlesztésnek kiemelten fontos tényezője az elemző- és összegzőképesség alakítása. Ezen az évfolyamon több témakörben is lehetőség van olyan feladatok, problémák megoldására, amelyekhez kell az előző évek alapozása, amelyek kissé összetettebb problémák megoldását is lehetővé teszik. A koordináta-geometria elemeinek tanításával a matematika különböző területeinek összefüggéseit s így a matematika komplexitását mutatjuk meg. Minden témában nagy hangsúllyal ki kell térnünk a gyakorlati alkalmazásokra, az ismeretek más tantárgyakban való felhasználhatóságára. Az exponenciális és logaritmus témakör feladati fizikai és kémiai képletek alkalmazását, értelmezését segítik. Alkalmazhatjuk a digitális technikát az adatok, problémák gyűjtéséhez, a véletlen jelenségek vizsgálatához. Az anyanyelvi kommunikáció fejlesztését is segíti, ha önálló kiselőadások, prezentációk elkészítését, megtartását várjuk el a diákoktól. A matematikatörténet feldolgozása például alkalmas erre. Ez sokat segíthet abban, hogy a matematikát kevésbé szerető tanulók se tekintsék gondolkodásmódjuktól távol álló területnek a matematikát. A számonkérésre 6, ismétlésre rendszerezésre 7 órát terveztünk, ezeket a szabad órakeretben tüntettük fel.

108 óra Tematikai egység/Fejlesztési cél

Órakeret

Kötelező

Szabad

Összesen

1.


10

2

12

2.

Számtan, algebra

23

9

32

3.


14

1

15

4.

Geometria

22

13

35

5.


12

2

14

Tematikai egység/ Fejlesztési cél Előzetes tudás


Órakeret

Kötelező

Szabad

10 óra

2 óra

Sorbarendezési, leszámlálási problémák megoldása. Gráffal kapcsolatos alapfogalmak.

21 / 36

Matematika A tematikai egység nevelésifejlesztési céljai

9-12.


Ismeretek rendszerezése, alkalmazása. Mintavétel céljának, értelmének megértése. Gráfokkal kapcsolatos ismeretek alkalmazása, bővítése, konkrét példák alapján gráfokkal kapcsolatos állítások megfogalmazása. A modellhasználati, modellalkotási képesség fejlesztése.

Ismeretek Vegyes kombinatorikai feladatok, kiválasztási feladatok. A kombinatorika alkalmazása egyszerű geometriai feladatokban. Mintavétel visszatevés nélkül és visszatevéssel. Matematikatörténet: Erdős Pál. Binomiális együtthatók

Fejlesztési követelmények Modell alkotása valós problémához: kombinatorikai modell. Megosztott figyelem; két, illetve több szempont egyidejű követése.

Kapcsolódási pontok Földrajz: előrejelzések, tendenciák megfogalmazása Biológia-egészségtan: genetika

Jelek szerepe, alkotása, használata: célszerű jelölés megválasztásának jelentősége a matematikában. Modell alkotása valós problémához: gráfmodell. Megfelelő, a problémát jól tükröző ábra készítése.

Gráfelméleti alapfogalmak, alkalmazásuk. Fokszám összeg és az élek száma közötti összefüggés. Matematikatörténet: Euler. Kulcsfogalm Mintavétel visszatevéssel, visszatevés nélkül. ak/ fogalmak

32 óra


2. Számtan,algebra

Órakeret

Előzetes tudás

Hatvány fogalma egész kitevőre, hatványozás azonosságai. Négyzetgyök fogalma, azonosságai. Egyenlet, egyenlőtlenség megoldása. Ekvivalens egyenlet fogalma.

A tematikai egység nevelésifejlesztési céljai

Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban: valós problémák megoldása megfelelő modell választásával. A matematika alkalmazása más tudományokban. Ismeretek rendszerezése, alkalmazása. A matematika épülésének elvei: létező fogalom újraértelmezése, kiterjesztése. A fogalmak kiterjesztése követelményeinek megértése. Függvénytulajdonság alkalmazása egyenlet megoldásánál (pl. szigorú monotonitás).

Ismeretek n-edik gyök fogalma, azonosságai. A négyzetgyök fogalmának általánosítása. Hatványozás pozitív alap és racionális kitevő esetén.

Fejlesztési követelmények A matematika belső fejlődésének felismerése, új fogalmak alkotása. Fogalmak módosítása újabb tapasztalatok, ismeretek alapján. A hatványfogalom célszerű kiterjesztése, permanenciaelv alkalmazása. Ismeretek tudatos memorizálása. Ismeretek mozgósítása.

Hatványozás azonosságainak alkalmazása. Példák az azonosságok érvényben maradására. A definíciók és a hatványozás azo- Modellek alkotása (algebrai nosságainak közvetlen alkalmazá- modell): exponenciális

22 / 36


Fizika; kémia: radioaktivitás.

Kötelező

Szabad

23 óra

9 óra


9-12.

Matematika

sával megoldható exponenciális egyenletek.

egyenletre vezető valós probFöldrajz; biológialémák (például: befektetés, hitel, értékcsökkenés, népes- egészségtan: globális problémák – demográfiai mutaség alakulása, radioaktivitás). tók, a Föld eltartó képessége és az élelmezési válság, betegségek, világjárványok, túltermelés és túlfogyasztás. A logaritmus értelmezése. Korábbi ismeretek felidézése Technika, életvitel és gyakorlat: zajszennyezés. Matematikatörténet: (hatvány fogalma). A logaritmussal való számolás sze- Ismeretek tudatos memorizáKémia: pH-számítás. repe a Kepler-törvények felfedezé- lása. sében. Fizika: Kepler-törvények. Fizika; kémia: számítási Zsebszámológép használata, táblá- Annak felismerése, hogy a zat használata. technika fejlődésének alapja a feladatok. matematikai tudás. A logaritmus azonosságai. A hatványozás és a logaritmus kapcsolatának felismerése. Életvitel és gyakorlat: zajA definíciók és a logaritmus azoModellek alkotása (algebrai nosságainak közvetlen alkalmazá- modell): logaritmus alkalma- szennyezés. sával megoldható logaritmusos zásával megoldható egyszerű Kémia: pH-számítás. exponenciális egyenletek; egyenletek. ilyen egyenletre vezető valós Biológia-egészségtan: érzéproblémák (például: befekte- kelés, az inger és az érzet. tés, hitel, értékcsökkenés, népesség alakulása, radioaktivitás). Kulcsfogalmak/ n-edik gyök. Racionális kitevőjű hatvány. Exponenciális növekedés, csökkenés. Logaritmus. fogalmak


15 óra 3.Összefüggések, függvények, sorozat

Órakeret

Kötelező

Szabad

14 óra

1 óra

Előzetes tu- Függvénytani alapfogalmak. Hatványozás azonosságai. Négyzetgyök. Függvény dás megadása, tulajdonságai. Hegyesszög szögfüggvényeinek értelmezése. A tematikai A folyamatok elemzése a függvényelemzés módszerével. Tájékozódás az időegység neveben: lineáris folyamat, exponenciális folyamat. A matematika és a valóság: malésitematikai modellek készítése, vizsgálata. Alkotás öntevékenyen, saját tervek szefejlesztési rint; alkotások adott feltételeknek megfelelően. Ismerethordozók használata. céljai Ismeretek Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok Szögfüggvények kiterjesztése, tri- A kiterjesztés szükségességé- Fizika: periodikus mozgás, gonometrikus alapfüggvények nek, alapgondolatának meg- hullámmozgás, váltakozó (sin, cos, tg). értése. Időtől függő periodifeszültség és áram. kus jelenségek kezelése. Földrajz: térábrázolás és térmegismerés eszközei, GPS. A trigonometrikus függvények Tudatos megfigyelés a válto- Informatika: tantárgyi szitranszformációi: f(x)+c; zó szempontok és feltételek mulációs programok haszf(x+c);cf(x); f(cx) . szerint. nálata. Az exponenciális függvények. Permanenciaelv alkalmazása.

23 / 36

Matematika Exponenciális folyamatok a természetben és a társadalomban.

9-12. Modellek alkotása (függvény modell): a lineáris és az exponenciális növekedés/csökkenés matematikai modelljének összevetése konkrét, valós problémákban (például: népesség, energiafelhasználás, járványok stb.).

Gimnázium-szakközépiskola Fizika; kémia: radioaktivitás. Földrajz: a társadalmigazdasági tér szerveződése és folyamatai. Történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek; földrajz: globális kérdések: erőforrások kimerülése, fenntarthatóság, demográfiai robbanás a harmadik világban, népességcsökkenés az öregedő Európában.

A logaritmusfüggvények vizsgálata. Logaritmus alapfüggvények grafikonja, jellemzésük. A logaritmusfüggvény mint az Fizika; kémia: radioaktiviexponenciális függvény inverze. tás. Függvénynek és inverzének a grafikonja a koordináta-rendszerben. Kulcsfogalmak/ Szinuszfüggvény, koszinuszfüggvény, tangensfüggvény. Exponenciális függvény, logaritmusfüggvény. Exponenciális folyamat. fogalmak



Órakeret

Sokszögekkel, körrel kapcsolatos ismeretek. Ponthalmazok, nevezetes ponthalmazok ismerete. Háromszög nevezetes vonalai, pontjai, körei. Háromszögekre, Előzetes tu- speciális háromszögekre vonatkozó tételek. Egybevágóság, hasonlóság, szimmetria. Hegyesszögek szögfüggvényei. Ekvivalens egyenlet. Elsőfokú és másoddás fokú egyenlet, kétismeretlenes egyenletrendszer algebrai megoldása. Alapszerkesztések, egyszerű szerkesztési feladatok körrel, háromszöggel kapcsolatosan. Vektorok, vektorműveletek. Számológép (számítógép) használata. A tematikai Tájékozódás a térben. Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban: távolságok, egység neveszögek kiszámítása a szögfüggvények segítségével. A matematika két területélésinek (geometria és algebra) összekapcsolása: koordináta-geometria. Emlékezés, fejlesztési korábbi ismeretek rendszerezése, alkalmazása. céljai

Ismeretek Szinusztétel, koszinusztétel.

Fejlesztési követelmények Általános eset, különleges eset viszonya (a derékszögű háromszög és a két tétel).

Kapcsolódási pontok Fizika: vektor felbontása adott állású összetevőkre. Földrajz: térábrázolás és térmegismerés eszközei, GPS.

Pitagoraszi összefüggés egy szög szinusza és koszinusza között. Összefüggés a szög és a mellékszöge szinusza, illetve koszinusza között. A tangens kifejezése a szinusz és a koszinusz hányadosaként. Egyszerű trigonometrikus egyenletek. Trigonometrikus egyenletre vezető, háromszöggel kapcsolatos

24 / 36

A trigonometrikus azonosságok megértése, használata. Függvénytáblázat alkalmazása feladatok megoldásában.

A problémához hasonló egyszerű probléma keresése.

Fizika: rezgőmozgás, adott kitéréshez, sebességhez, gyorsuláshoz tartozó időpil-

Kötelező

Szabad

22 óra

13 óra

Gimnázium-szakközépiskola valós problémák. Azonosság alkalmazását igénylő egyszerű trigonometrikus egyenlet. Két vektor skaláris szorzata. A skaláris szorzat tulajdonságai. Két vektor merőlegességének szükséges és elégséges feltétele. Helyvektor. Műveletek koordinátáikkal adott vektorokkal. Vektorok és rendezett számpárok közötti megfeleltetés. A helyvektor koordinátái. Szakasz felezőpontjának, harmadoló pontjának, a háromszög súlypontjának koordinátái. Két pont távolsága, a szakasz hossza.

9-12.

Matematika lanatok meghatározása.

A művelet újszerűségének felfedezése. A szükséges és az elégséges feltétel felismerése, megkülönböztetése. Emlékezés: jelek, jelölések, megállapodások. A vektor fogalmának bővítése (algebrai vektorfogalom). Sík és tér: a dimenzió szemléletes fogalmának fejlesztése. Képletek értelmezése, alkalmazása.

Fizika: mechanikai munka, mágneses fluxus.

Fizika: vonatkoztatási rendszer, hely megadása. Fizika: erők összeadása komponensek segítségével, háromdimenziós képalkotás (hologram). Fizika: hely megadása.

Képletek értelmezése, alkalmazása.

A kör egyenlete.

Geometria és algebra összekapcsolása.

Az egyenes különböző megadási módjai. Az irányvektor, a normálvektor, az iránytangens.

Megosztott figyelem; két, illetve több szempont egyidejű követése.

Iránytangens és az egyenes meredeksége. Geometriai ismeretek felelevenítése, megfogalmazása algebrai alakban. Az egyenest jellemző adatok, Az egyenes egyenlete. Két egyenes párhuzamosságának, a közöttük felfedezhető öszszefüggések értése, használamerőlegességének feltétele. ta. Geometriai probléma megolKét egyenes metszéspontja. dása algebrai eszközökkel. Kör és egyenes kölcsönös Ismeretek mozgósítása, alhelyzete. kalmazása (elsőfokú, illetve másodfokú kétismeretlenes egyenletrendszer megoldása). A kör adott pontjában húzott érin- A geometriai fogalmak megtője. jelenítése algebrai formában. Geometriai ismeretek mozgósítása. A koordinátageometriai ismeretek Geometriai problémák megalkalmazása egyszerű síkgeomet- oldása algebrai eszközökkel. riai feladatok megoldásában. Geometriai problémák számítógépes megjelenítése.

Informatika: ponthalmaz megjelenítése képernyőn (geometriai szerkesztőprogram). Informatika: ponthalmaz megjelenítése képernyőn (geometriai szerkesztőprogram). Fizika: út-idő grafikon és a sebesség kapcsolata.

A merőlegesség megfogalmazása skaláris szorzattal.

Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata (geometriai szerkesztőprogram). Informatika: ponthalmaz megjelenítése képernyőn (geometriai szerkesztőprogram).

Informatika: ponthalmaz megjelenítése képernyőn (geometriai szerkesztőprogram). Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata (geometriai szerkesztőprogram használata).

Fizika: égitestek pályája. Valós szám szinusza, koszinusza, tangense. Bázisrendszer, helyvektor. SkaláKulcsfogalmak/ ris szorzat. Ponthalmaz egyenlete; kétismeretlenes egyenletnek megfelelő fogalmak ponthalmaz.

Tematikai


Órakeret

14 óra

25 / 36

Matematika

9-12.


egység/ Fejlesztési cél

Kötelező

Szabad

12 óra

2 óra

A statisztika alapfogalmai. Adathalmaz statisztikai jellemzői, adathalmaz ábrázoElőzetes tu- lása. Táblázatok kezelése. A véletlen esemény fogalma, a véletlen kísérlet fogalma. Elemi esemény, biztos esemény, lehetetlen esemény, komplementer esedás mény. Gyakoriság, relatív gyakoriság. Esély és valószínűség hétköznapi fogalma. Kombinatorikai ismeretek. A tematikai Ismeretek rendszerezése, alkalmazása, bővítése. Műveletek az események között. egység neveMatematikai elvonatkoztatás: a valószínűség matematikai fogalmának fejlesztélésise. Véletlen mintavétel módszerei jelentőségének megértése. fejlesztési céljai

Ismeretek Eseményekkel végzett műveletek; példák események összegére, szorzatára, komplementer eseményre, egymást kizáró eseményekre; elemi események. Események előállítása elemi események öszszegeként. Példák független és nem független eseményekre. A valószínűség klasszikus modellje. Matematikatörténet: Rényi: Levelek a valószínűségről. Egyszerű valószínűség-számítási problémák.

Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok A matematika különböző te- Informatika: folyamatok, rületei közötti kapcsolatok kapcsolatok leírása logikai tudatosítása. Halmazművele- áramkörökkel. tek és események közötti műveletek összekapcsolása.

A modell és a valóság kapcsolata.

Ismeretek mozgósítása, tanult kombinatorikai módszerek alkalmazása. Modell alkotása (valószínűségi modell): a mintavételi eljárás lényege.

Fizika: az űrkutatás hatása mindennapjainkra, a találkozás valószínűsége. Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata (binomiális eloszlás).

Statisztikai mintavétel. Valószínűségek visszatevéses mintavétel esetén, a binomiális eloszlás. Visszatevés nélküli mintavétel. Kulcsfogalmak/ Valószínűség matematikai fogalma. Klasszikus valószínűség számítási modell. fogalmak

A fejlesztés várt eredményei a 11. évfolyam végén

Gondolkodási és megismerési módszerek – A kombinatorikai problémához illő módszer önálló megválasztása. – A gráfok eszközjellegű használata problémamegoldásában. – Bizonyított és nem bizonyított állítás közötti különbség megértése. – Feltétel és következmény biztos felismerése a következtetésben. – A szövegben található információk önálló kiválasztása, értékelése, rendezése problémamegoldás céljából. – A szöveghez illő matematikai modell elkészítése. – A tanulók a rendszerezett összeszámlálás, a tanult ismeretek segítségével tudjanak kombinatorikai problémákat jól megoldani,. – A gráfok ne csak matematikai fogalomként szerepeljenek tudásukban, alkalmazzák ismereteiket a feladatmegoldásban is. Számtan, algebra – A kiterjesztett gyök- és hatványfogalom ismerete. – A logaritmus fogalmának ismerete. – A gyök, a hatvány és a logaritmus azonosságainak alkalmazása konkrét esetekben probléma megoldása céljából.

26 / 36


9-12.

Matematika

– Egyszerű exponenciális és logaritmusos egyenletek felírása szöveg alapján, az egyenletek megoldása, önálló ellenőrzése. – A mindennapok gyakorlatában szereplő feladatok megoldása a valós számkörben tanult új műveletek felhasználásával. – Számológép értelmes használata a feladatmegoldásokban. Összefüggések, függvények, sorozatok – Trigonometrikus függvények értelmezése, alkalmazása. – Függvénytranszformációk végrehajtása. – Exponenciális függvény és logaritmusfüggvény ismerete. – Exponenciális folyamatok matematikai modelljének megértése. – Az új függvények ismerete és jellemzése kapcsán a tanulóknak legyen átfogó képük a függvénytulajdonságokról, azok felhasználhatóságáról. Geometria – Jártasság a háromszögek segítségével megoldható problémák önálló kezelésében. – A tanult tételek pontos ismerete, alkalmazásuk feladatmegoldásokban. – A valós problémákhoz geometriai modell alkotása. – Hosszúság és szög kiszámítása. – Két vektor skaláris szorzatának ismerete, alkalmazása. – Vektorok a koordináta-rendszerben, helyvektor, vektorkoordináták ismerete, alkalmazása. – A geometriai és algebrai ismeretek közötti összekapcsolódás elemeinek ismerete: távolság, szög számítása a koordináta-rendszerben, kör és egyenes egyenlete, geometriai feladatok algebrai megoldása.

Valószínűség, statisztika – A valószínűség matematikai fogalma. – A valószínűség klasszikus kiszámítási módja. – Mintavétel és valószínűség. – A mindennapok gyakorlatában előforduló valószínűségi problémákat tudják értelmezni, kezelni. Továbbhaladás feltételei: ISMERJE • a gráf szemléletes fogalmát, és legyen képes egyszerű alkalmazásokra. • a logaritmus fogalmát, jól alkalmazza az azonosságokat egyszerűbb esetekben. • az alapfüggvények grafikonjait és legfontosabb tulajdonságait (értelmezési-tartomány, értékkészlet, zérushely, szélsőérték) TUDJA • megoldani az egyszerű kombinatorikai feladatokat • megoldani egyszerű exponenciális, logaritmusos és trigonometrikus egyenleteket. • a számításokat elvégezni koordinátáikkal adott vektorokkal • kiszámolni szakasz felezőpontjának koordinátáit. • felírni a kör középponti egyenletét. • meghatározni két egyenes metszéspontjának koordinátáit. • vizsgálni kör és egyenes kölcsönös helyzetét. • megoldani a valószínűségi feladatokat ALKALMAZZA • biztonsággal a hatványozás azonosságait racionális kitevő esetén. • a logaritmikus azonosságokat egyszerűbb esetekben. • a vektorműveleteket (összeadás, kivonás, skalárral való szorzás). • a szinusztételt és a koszinusztételt a háromszög hiányzó adatainak meghatározására. • az egyenes (egy szabadon választott) egyenletét.

27 / 36

Matematika

9-12.


12. évfolyam Ez a szakasz az érettségire felkészítés befejező időszaka , ezért a fejlesztésnek kiemelten fontos tényezője az elemző- és összegzőképesség alakítása. Ezen az évfolyamon áttekintését adjuk a korábbi évek ismereteinek, eljárásainak, problémamegoldó módszereinek, emellett sok, gyakorlati területen széles körben használható tudást is közvetítünk. Olyanokat, amelyekhez kell az előző évek alapozása, amelyek kissé összetettebb problémák megoldását is lehetővé teszik. Az érettségi előtt már elvárható többféle ismeret együttes alkalmazása. A sík- és térgeometriai fogalmak és tételek mind a térszemlélet, mind az analógiás gondolkodás fejlesztése szempontjából lényegesek. A rendszerező összefoglalásban a matematika különböző területeinek összefüggéseit s így a matematika komplexitását mutatjuk meg. Minden témában nagy hangsúllyal ki kell térnünk a gyakorlati alkalmazásokra, az ismeretek más tantárgyakban való felhasználhatóságára. A statisztikai kimutatások és az információk kritikus értelmezése, az esetleges manipulációs szándék felfedeztetése hozzájárul a vállalkozói kompetencia fejlesztéséhez, a helyes döntések meghozatalához. Gyakran alkalmazhatjuk a digitális technikát az adatok, problémák gyűjtéséhez, a véletlen jelenségek vizsgálatához. A terület-, felszín-, térfogatszámítás más tantárgyakban és mindennapjaink gyakorlatában is elengedhetetlen. A sorozatok, kamatos kamat témakör kiválóan alkalmas a pénzügyi, gazdasági problémákban való jártasság kialakításra. Az anyanyelvi kommunikáció fejlesztését is segíti, ha önálló kiselőadások, prezentációk elkészítését, megtartását várjuk el a diákoktól. A matematikatörténet feldolgozása például alkalmas erre. Ez sokat segíthet abban, hogy a matematikát kevésbé szerető tanulók se tekintsék gondolkodásmódjuktól távol álló területnek a matematikát. A számonkérésre 12, ismétlésre rendszerezésre 3 órát terveztünk, ezeket a szabad órakeretben tüntettük fel.

128 óra Tematikai egység/Fejlesztési cél

Órakeret

Kötelező

Szabad

Összesen

1.


1

5

6

2.

Számtan, algebra

-

-

-

3.


14

2

16

4.

Geometria

20

8

28

5.


8

2

10

6.

Rendszerező összefoglalás

40

28

68



Órakeret

Előzetes tu- Az „és”, „vagy”, „nem”, „ha ..., akkor”, „akkor és csak akkor” szemléletes jelendás tése. A tematikai A logikai műveletek megfelelő használata a hétköznapi életben és a matematikáegység neveban. lésifejlesztési céljai

28 / 36

Kötelező

Szabad

1 óra

5 óra


9-12.

Matematika

Ismeretek Logikai műveletek: „nem”, „és”, „vagy”, „ha…, akkor”, „akkor és csak akkor” .

Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok Matematikai és más jellegű érvelésekben a logikai műveletek felfedezése, megértése, önálló alkalmazása. A köznyelvi kötőszavak és a matematikai logikában használt kifejezések jelentéstartalmának összevetése. A hétköznapi, nem tudományos szövegekben található matematikai információk felfedezése, rendezése a megadott célnak megfelelően. Matematikai tartalmú (nem tudományos jellegű) szöveg értelmezése. Kijelentés fogalma, műveletek ki- Az ismeretek rendszerezése: Fizika: logikai áramkörök, jelentésekkel: konjunkció, a matematika különböző terü- kapcsolási rajzok diszjunkció, negáció, implikáció, letei közötti kapcsolatok tuekvivalencia. Logikai műveletek datosítása (halmazokigazságtáblázatai, egyszerű azokijelentések-események) nosságok. A logikai műveletek változatos alkalmazásai feladatokban. Kulcsfogalmak/ Logikai művelet. Igazságtáblázat. fogalmak


0 óra 2.

Számtan, algebra

Órakeret

Kötelező

Szabad

0 óra

0 óra

Előzetes tudás A tematikai egység nevelésifejlesztési céljai Ismeretek ld. Rendszerező összefoglalás

Fejlesztési követelmények


Kulcsfogalmak/ fogalmak



Órakeret

Kötelező

Szabad

14 óra

2óra

Előzetes tuFüggvénytani alapfogalmak. dás A tematikai Sorozat vizsgálata; rekurzió, képletek értelmezése. A matematika és a valóság: egység nevematematikai modellek készítése, vizsgálata. Ismerethordozók használata. Alkotás

29 / 36

Matematika lésifejlesztési céljai

9-12.


öntevékenyen, saját tervek szerint; alkotások adott feltételeknek megfelelően.

Ismeretek A számsorozat fogalma. A függvény értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza. Matematikatörténet: Fibonacci.

Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok Sorozat megadása rekurzióval Informatika: problémamegés képlettel. oldás informatikai eszközökkel és módszerekkel: algoritmusok megfogalmazása, tervezése. Számtani sorozat, az n. tag, az el- A sorozat felismerése, a megső n tag összege. felelő képletek használata Matematikatörténet: Gauss. problémamegoldás során. Mértani sorozat, az n. tag, az első A sorozat felismerése, a meg- Fizika; kémia, biológian tag összege. felelő képletek használata egészségtan; földrajz; törtéproblémamegoldás során. nelem, társadalmi és államA számtani sorozat mint line- polgári ismeretek: exponenáris függvény és a mértani so- ciális folyamatok vizsgálarozat mint exponenciális ta. függvény összehasonlítása. Kamatoskamat-számítás. Modellek alkotása: befektetés Földrajz: a világgazdaság szerveződése és működése, és hitel; különböző feltételekkel meghirdetett befekteté- a pénztőke működése, a sek és hitelek vizsgálata; a hi- monetáris világ jellemző folyamatai, hitelezés, adóstel költségei, a törlesztés ság, eladósodás. módjai. Az egyéni döntés felelőssége: Történelem, társadalmi és az eladósodás veszélye. Korábbi ismeretek mozgósí- állampolgári ismeretek: a család pénzügyei és gazdáltása (pl. százalékszámítás). A szövegbe többszörösen mé- kodása, vállalkozások. lyen beágyazott, közvetett Magyar nyelv és irodalom: módon megfogalmazott információk és kategóriák azo- szövegértés. nosítása. Számsorozat. Rekurzió. Számtani sorozat, mértani sorozat. Kulcsfogalmak/ fogalmak



Órakeret

Sokszögekkel, körrel kapcsolatos ismeretek. Ponthalmazok, nevezetes ponthalElőzetes tu- mazok ismerete. Háromszög nevezetes vonalai, pontjai, körei. Háromszögekre, speciális háromszögekre vonatkozó tételek. Egybevágóság, hasonlóság, szimdás metria. Hasáb, henger, gúla, kúp, gömb felismerése. Felszín, térfogat szemléletes fogalma. Poliéder felszíne. Számológép (számítógép) használata. A tematikai Terület, kerület, felszín és térfogat kiszámítása. egység nevelésifejlesztési céljai

Ismeretek Síkidomok kerületének és területének számítása.

Fejlesztési követelmények Ismeretek alkalmazása.

Kapcsolódási pontok Földrajz: felszínszámítás.

Mértani testek csoportosítása. Hengerszerű testek (hasábok és hengerek), kúpszerű testek (gúlák

A problémához illeszkedő vázlatos ábra alkotása; síkmetszet elképzelése, ábrázo-

Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata (térgeometriai szimu-

30 / 36

Kötelező

Szabad

20 óra

8óra


9-12.

és kúpok), csonka testek (csonka gúla, csonka kúp). Gömb.

lása. Fogalomalkotás közös tulajdonság szerint (hengerszerű, kúpszerű testek, poliéderek). A tanult testek felszínének, térfo- A valós problémákhoz mogatának kiszámítása. Gyakorlati dell alkotása: geometriai mofeladatok. dell. Ismeretek megfelelő csoportosítása. Terület, felszín, térfogat. Kulcsfogalmak/ fogalmak

Matematika lációs program). Kémia: kristályok. Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata (térgeometriai szimulációs program).

10 óra



Órakeret

Kötelező

Szabad

8 óra

2 óra

Előzetes tu- A statisztika alapfogalmai. Adathalmaz statisztikai jellemzői, adathalmaz ábrázodás lása. Táblázatok kezelése. A valószínűség klasszikus modellje. A tematikai Ismeretek rendszerezése, alkalmazása, bővítése. Statisztikai mérőszámok. Köegység nevevetkeztetések a statisztikai mutatók alapján. A valószínűség geometriai modellje. lésifejlesztési céljai Ismeretek Egyszerű példák a valószínűség kiszámításának geometriai modelljére. Adathalmazok jellemzői: átlag, medián, módusz, terjedelem, szórás. Nagy adathalmazok jellemzése statisztikai mutatókkal.

Fejlesztési követelmények Modellalkotás; megfelelő valószínűségi modell hétköznapi problémákra, jelenségekre. A statisztikai kimutatások és a valóság: az információk kritikus értelmezése, az esetleges manipulációs szándék felfedeztetése. Közvélemény-kutatás, minőség-ellenőrzés, egyéb gyakorlati alkalmazások elemzése. Számológép/számítógép használata statisztikai mutatók kiszámítására.


Kulcsfogalmak/ Szórás fogalmak

68 óra


6. Rendszerező összefoglalás

Órakeret

Kötelező

Szabad

40 óra

28 óra

Előzetes tuA középiskolai matematika anyaga. dás A tematikai egység nevelésifejlesztési céljai

A matematika épülésének elvei: ismeretek rendszerezése, alkalmazása. Motiválás. Emlékezés. Önismeret, önértékelés, reflektálás, önszabályozás. Alkotás és kreativitás: alkotás öntevékenyen, saját tervek szerint; alkotások adott feltételeknek megfelelően; átstrukturálás. Hatékony, önálló tanulás kompetenciájának fejlesztése.

Ismeretek

Fejlesztési követelmények



31 / 36

Matematika Halmazok. Ponthalmazok és számhalmazok. Valós számok halmaza és részhalmazai. Állítások logikai értéke. Logikai műveletek.

9-12.


A problémának megfelelő szemléltetés kiválasztása (Venn-diagram, számegyenes, koordináta-rendszer). Szövegértés. A szövegben ta- Filozófia: logika a következetes és rendezett gonlálható információk összedolkodás elmélete, a logika gyűjtése, rendszerezése. kapcsolódása a matematikához és a nyelvészethez. Informatika: Egy bizonyos, nemrég történt esemény információinak begyűjtése több párhuzamos forrásból, ezek összehasonlítása, elemzése, az igazságtartalom keresése, a manipulált információ felfedése. Navigációs eszközök használata: hierarchizált és legördülő menük használata.

A halmazelméleti és a logikai ismeretek kapcsolata.

Halmazok eszközjellegű használata.

Definíció és tétel. A tétel bizonyí- Emlékezés a tanult definícitása. A tétel megfordítása. ókra és tételekre, alkalmazásuk önálló problémamegoldás során. Bizonyítási módszerek. Direkt és indirekt bizonyítás Filozófia: szillogizmusok. közötti különbség megértése. Néhány tipikusan hibás következtetés bemutatása, elemzése. Kombinatorika: leszámlálási fel- Sorbarendezési és kiválasztáadatok. Egyszerű feladatok meg- si problémák felismerése. oldása gráfokkal. Gondolatmenet szemléltetése gráffal. Műveletek értelmezése és műve- Absztrakt fogalom és annak leti tulajdonságok. konkrét megjelenései: valós számok halmazán értelmezett műveletek, halmazműveletek, logikai műveletek, műveletek vektorokkal, műveletek vektorral és valós számmal, műveletek eseményekkel. Számtan, algebra Gyakorlati számítások.

Kerekítés, közelítő érték, becslés. Számológép használata, értelmes kerekítés.

Megoldások az alaphalmaz, értelmezési tartomány, megoldáshalmaz megfelelő kezelésével. Algebrai azonosságok, hatványo- Az azonosságok szerepének zás azonosságai, logaritmus azo- ismerete, használatuk. Matenosságai, trigonometrikus azonos- matikai fogalmak fejlődésének bemutatása pl. a hatvány, ságok.

Technika, életvitel és gyakorlat: alapvető adózási, biztosítási, egészség-, nyugdíj- és társadalombiztosítási, pénzügyi ismeretek.

Egyenletek és egyenlőtlenségek.

32 / 36

Fizika; kémia; biológiaegészségtan; földrajz; történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: képletek


9-12.

Matematika

illetve a szögfüggvények pél- használata dáján. Egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása. Algebrai megoldás, grafikus megoldás. Ekvivalens egyenletek, ekvivalens átalakítások. A megoldások ellenőrzése.

Első- és másodfokú egyenlet és egyenlőtlenség. Négyzetgyökös egyenletek. Abszolút értéket tartalmazó egyenletek. Egyszerű exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus egyenletek. Elsőfokú és egyszerű másodfokú kétismeretlenes egyenletrendszer megoldása. Egyenletekre, egyenlőtlenségekre vezető gyakorlati életből vett és szöveges feladatok.

Adott egyenlethez illő megoldási módszer önálló kiválasztása. Az önellenőrzésre való képesség. Önfegyelem fejlesztése: sikertelen megoldási kísérlet után újjal való próbálkozás. Tanult egyenlettípusok és egyenlőtlenségtípusok önálló megoldása.

A tanult megoldási módszerek biztos alkalmazása. Matematikai modell (egyenlet, egyenlőtlenség) megalkotása, vizsgálatok a modellben, ellenőrzés.

Fizika; kémia; biológiaegészségtan; földrajz; történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: matematikai modellek.

Összefüggések, függvények, sorozatok A függvény megadása. A függvé- Emlékezés: a fogalmak ponnyek tulajdonságai. tos felidézése, ismerete. Értelmezési tartomány, értékkészlet, zérushely, szélsőérték, monotonitás, periodicitás, paritás fogalmak alkalmazása konkrét feladatokban. Az alapfüggvények ábrázolása és tulajdonságai. A tanult alapfüggvények ismerete. Képi emlékezés statikus helyzetekben (grafikonok felidézése). Függvénytranszformációk: f(x)+c, Kapcsolat a matematika két f(x+c);cf(x); f(cx) . Eltolás, nyúj- területe között: tás és összenyomás a tengelyre függvénytranszformációk és merőlegesen. geometriai transzformációk. Függvényvizsgálat a tanult szem- Emlékezés, ismeretek mozpontok szerint. gósítása. Függvények használata valós folyamatok elemzésében. Függvény alkalmazása matematikai modell készítésében.

Fizika, kémia; biológiaegészségtan; földrajz; történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: matematikai modellek.

Geometria Geometriai alapfogalmak, ponthalmazok. Térelemek kölcsönös helyzete, távolsága, szöge. Távolságok és szögek kiszámítása.

Valós problémában a megfelelő geometriai fogalom felismerése, alkalmazása.

33 / 36

Matematika

9-12.


Geometriai transzformációk. Távolságok és szögek vizsgálata a transzformációknál. Egybevágóság, hasonlóság. Szimmetriák.

Szerepük felfedezése művészetekben, játékokban, gyakorlati jelenségekben. Háromszögekre vonatkozó tételek Állítások, tételek jelentésére és alkalmazásuk. való emlékezés. A háromszög nevezetes vonalai, A problémának megfelelő pontjai és körei. Összefüggések a összefüggések felismerése, háromszög oldalai, oldalai és szö- alkalmazása. gei között. A derékszögű háromszög oldalai, oldalai és szögei közötti összefüggések. Négyszögekre vonatkozó tételek Állítások, tételek jelentésére és alkalmazásuk. való emlékezés. Négyszögek csoportosítása különböző szempontok szerint. Szimmetrikus négyszögek tulajdonságai.Négyszögekre vonatkozó tételek és alkalmazásuk. Négyszögek csoportosítása különböző szempontok szerint. Szimmetrikus négyszögek tulajdonságai. Körre vonatkozó tételek és alkalmazásuk. Számítási feladatok.Körre vonatkozó tételek és alkalmazásuk. Számítási feladatok. Vektorok, vektorok koordinátái. Bázisrendszer. Matematikatörténet: a vektor fogalmának fejlődése a fizikai vektorfogalomtól a rendezett szám n-esig. Vektorok alkalmazásai. Egyenes egyenlete. Kör egyenlete. Két alakzat közös pontja. Matematikatörténet: nevezetes szerkeszthetőségi problémák.

Geometria és algebra összekapcsolása.

Valószínűség-számítás, statisztika Diagramok. Statisztikai mutatók: módusz, medián, átlag, szórás.

Adathalmazok jellemzése önállóan választott mutatók segítségével. A reprezentatív minta jelentőségének megértése.

Gyakoriság, relatív gyakoriság. Véletlen esemény valószínűsége.

A valószínűség és a statisztika törvényei érvényesülésé-

34 / 36

Magyar nyelv és irodalom: a tartalom értékelése hihetőség szempontjából; a szöveg hitelességével kapcsolatos tartalmi elemek magyarázata; a kétértelmű, többjelentésű tartalmi elemek feloldása; egy következtetés alapját jelentő tartalmi elem felismerése; az olvasó előismereteire alapozó figyelemfelhívó jellegű címadás felismerése. Technika, életvitel és gyakorlat; biológia-


9-12.

Matematika

A valószínűség kiszámítása a klasszikus modell alapján. A véletlen törvényszerűségei.

nek felfedezése a termelésegészségtan: szenvedélybeben, a pénzügyi folyamatok- tegségek és rizikófaktor. ban, a társadalmi folyamatokban. A szerencsejátékok igazságtalanságának és a játékszenvedély veszélyeinek felismerése. Következtetés. Definíció. Tétel. Bizonyítás. Halmaz, alaphalmaz, igazsághalmaz, megoldáshalmaz. Függvény/transzformáció. Értelmezési tartomány. Kulcsfogalmak/ Művelet, műveleti tulajdonság. Egyenlet, azonosság, egyenletrendszer, egyenlőtlenség. Ekvivalencia. Ellenőrzés. Véletlen, valószínűség. Adat, stafogalmak tisztikai mutató. Térelem, mennyiségi jellemző (távolság, szög, kerület, terület, felszín, térfogat). Matematikai modell.

Gondolkodási és megismerési módszerek – A logikai műveletek megfelelő alkalmazása a matematikában és a hétköznapi életben. – Bizonyított és nem bizonyított állítás közötti különbség megértése. – Feltétel és következmény biztos felismerése a következtetésben. – A szövegben található információk önálló kiválasztása, értékelése, rendezése problémamegoldás céljából. – A szöveghez illő matematikai modell elkészítése. Számtan, algebra Összefüggések, függvények, sorozatok – A számtani és a mértani sorozat összefüggéseinek ismerete, gyakorlati alkalmazások. Geometria – A tanult tételek pontos ismerete, alkalmazásuk feladatmegoldásokban. – A valós problémákhoz geometriai modell alkotása. – Kerület, terület, felszín és térfogat kiszámítása speciális síkidomok és testek esetében. Valószínűség, statisztika A fejlesztés várt – Statisztikai mutatók használata adathalmaz elemzésében. eredményei a 12. évfolyam végén – A mindennapok gyakorlatában előforduló valószínűségi problémákat tudják értel-

mezni, kezelni. – Megfelelő kritikával fogadják a statisztikai vizsgálatok eredményeit, lássák a vizsgálatok korlátait, érvényességi körét.

Összességében – A matematikai tanulmányok végére a matematikai tudás segítségével önállóan tudjanak megoldani matematikai problémákat. – Kombinatív gondolkodásuk fejlődésének eredményeként legyenek képesek többféle módon megoldani matematikai feladatokat. – Fejlődjön a bizonyítási, diszkussziós igényük olyan szintre, hogy az érettségi után a döntési helyzetekben tudjanak reálisan dönteni. – Feladatmegoldásokban rendszeresen használják a számológépet, elektronikus eszközöket. – Tudjanak a síkban, térben tájékozódni, az ilyen témájú feladatok megoldásához célszerű ábrákat készíteni. – A feladatmegoldások során helyesen használják a tanult matematikai szakkifejezéseket, jelöléseket. – A tanulók váljanak képessé a pontos, kitartó, fegyelmezett munkára, törekedjenek az önellenőrzésre, legyenek képesek várható eredmények becslésére. – A helyes érvelésre szoktatással fejlődjön a tanulók kommunikációs készsége. – A középfokú matematikatanulás lezárásakor rendelkezzenek a matematika alapvető

35 / 36

Matematika

9-12.


kultúrtörténeti ismereteivel, ismerjék a legnagyobb matematikusok felfedezéseit, legyen rálátásuk a magyar matematikusok eredményeire. Továbbhaladás feltételei: TUDJA • kiszámítani adott véges halmazok esetén a számosságokat. • értelmezni az egyszerű (matematikai) szövegeket. • megoldani az egyszerű kombinatorikai feladatokat. • szemléltetni gráfok segítségével konkrét szituációkat. • megoldani a prímtényezős felbontás és a tanult oszthatósági szabályok alkalmazásával egyszerű feladatokat. • műveleteket végezni algebrai kifejezésekkel. • algebrai és grafikus módon is megoldani az első- és másodfokú egyenleteket, egyenlőtlenségeket, valamint elsőfokú egyenletrendszere-ket. • megoldani az egyszerű abszolút értékes, exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus egyenleteket. • értéktáblázat és képlet alapján függvényt ábrázolni és adatokat leolvasni a grafikonról. • jellemezni grafikonnal megadott egyszerű függvényeket. • kiszámolni számtani, illetve mértani sorozat tagjait és részletösszegeit. • kiszámolni a háromszögek hiányzó adatait szögfüggvények, illetve szinusz- és koszinusztétel segítségével. • különböző adatokból az egyenes és a kör egyenletét felírni. • egyenesek metszéspontját kiszámolni. • statisztikai adatokat rendezni, grafikonon ábrázolni, adott diagramról információt kiolvasni. • határozni konkrét adatsokaság móduszát, mediánját, aritmetikai átlagát. • összehasonlítani statisztikai mutatók segítségével adott adathalmazokat.

ISMERJE • a különbséget definíció és tétel között. • a valós számkör felépítését. • és használja a hatványozás azonosságait. • és használja feladatok megoldásában a logaritmus fogalmát és azonosságait. • az egyenes és fordított arányosságot • fel és használja feladatokban a különböző alakzatok szimmetriáit. • a háromszög oldalai és szögei közötti összefüggéseit, a háromszög nevezetes vonalait és pontjait. • a négyszögek fajtáit és tulajdonságait.

ALKALMAZZA • a tanult halmazműveleteket. • megfelelően az ítélet fogalmát. • egyszerű feladatokban a negáció, konjunkció, diszjunkció műveletét, és ezt össze tudja kapcsolni a halmazműveletekkel. • feladatokban a szükséges, az elégséges és a szükséges és elégséges feltételt. • a százalékszámítást. • helyesen feladatokban a térelemek távolságára és szögére vonatkozó definíciókat. • a Thalész- és a Pitagorasz-tételt. • a tanult kerület-, terület-, felszín- és térfogat-számítási képleteket egyszerű feladatokban. • egyszerű feladatokban a klasszikus valószínűség-számítási és a geometriai modellt.

36 / 36

Gimnázium-szakközépiskola Matematika. 9. évfolyam

Recommend Documents