--
Kőszegi Irén
MATEMATIKA 9. évfolyam
(𝒂 − 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 − 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐
2015 1
2
Tartalom 1.
HALMAZOK ............................................................................................................................................. 5
2.
SZÁMHALMAZOK .................................................................................................................................... 8
3.
HATVÁNYOK .......................................................................................................................................... 12
4.
OSZTHATÓSÁG ...................................................................................................................................... 14
5.
ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK.......................................................................................................................... 17
6.
FÜGGVÉNYEK ........................................................................................................................................ 24
7.
GEOMETRIA .......................................................................................................................................... 37
8.
EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK ...................................................................................................... 55
9.
ARANY DÁNIEL MATEMATIKAI TANULÓVERSENY ................................................................................ 60
3
4
1. HALMAZOK Halmaz – alapfogalom, nem definiáljuk, úgy adjuk meg, hogy minden dologról, tárgyról egyértelműen el tudjuk dönteni, hogy egy adott halmazhoz tartozik vagy sem. A dolgok, tárgyak a halmaz elemei. Jelölések: a halmazokat nagy betűkkel: A, B, H az elemeket kis betűkkel, számokkal:a, b, c…,1, 2,.. a eleme az A halmaznak: 𝑎 ∈ 𝐴 b nem eleme az A halmaznak: 𝑏 ∉ 𝐴 Halmazok megadása: 1. az elemek felsorolásával: Pl.:𝐴 = {1,2,3,4} 2. az elemeket egyértelműen meghatározó utasítással, tulajdonsággal: 𝐴 = {𝑎𝑧 𝑒𝑔𝑦𝑗𝑒𝑔𝑦ű 𝑝𝑟í𝑚 𝑠𝑧á𝑚𝑜𝑘} Halmazok egyenlősége: Két halmaz egyenlő, ha elemeik azonosak. {𝑎𝑧 𝑒𝑔𝑦𝑗𝑒𝑔𝑦ű 𝑝𝑟í𝑚 𝑠𝑧á𝑚𝑜𝑘} = {2,3,5,7} Üres halmaz- nincs eleme. Jele: ∅ Részhalmaz: Az A halmaz részhalmaza a B halmaznak, ha A minden eleme a B halmaznak is eleme. Jele:𝐴 ⊆ 𝐵. Valódi részhalmaz: Az A halmaz valódi részhalmaza a B halmaznak, ha A részhalmaza a Bnek és nem egyenlő vele. Jele: 𝐴 ⊂ 𝐵. Megjegyzés: 𝐴 ⊆ 𝐴; ∅ ⊆ 𝐴 Példa: Add meg az 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} halmaz összes részhalmazát! Megoldás: ∅; {𝑎}; {𝑏}; {𝑐}; {𝑎, 𝑏}; {𝑎, 𝑐}; {𝑏, 𝑐}; {𝑎, 𝑏, 𝑐}
Feladatok: 1. Melyik halmaz? a. A 20 pozitív osztói. b. A szép lepkék. c. Osztályunk kitűnő tanulói. d. Magyarország nagy városai. 2. Az alábbi halmazok közül add meg azokat, amelyek közül az egyik halmaz a másik halmaz részhalmaza! 𝐴 = {1; 2; 3; 4} 𝐵 = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7,8} 𝐶 = {ℎá𝑟𝑜𝑚𝑠𝑧ö𝑔𝑒𝑘 ℎ𝑎𝑙𝑚𝑎𝑧𝑎} {𝑠𝑧𝑎𝑏á𝑙𝑦𝑜𝑠 𝐷= ℎá𝑟𝑜𝑚𝑠𝑧ö𝑔𝑒𝑘 ℎ𝑎𝑙𝑚𝑎𝑧𝑎} 𝐸 = {𝑡𝑟𝑎𝑝é𝑧𝑜𝑘 ℎ𝑎𝑙𝑚𝑎𝑧𝑎} 𝐹 = {𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑚á𝑘 ℎ𝑎𝑙𝑚𝑎𝑧𝑎} 5
3. Sorold fel az A={1,2,3,4,5} halmaz összes olyan részhalmazát, amelynek csak prímszámok az elemei! Hány részhalmaza van az A halmaznak? 4. Töltsd ki a következő táblázatot: Halmaz Összes részhalmaz Részhalmazok száma ∅ {𝑎} {𝑎, 𝑏} {𝑎, 𝑏, 𝑐} {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}
Milyen összefüggést találsz a halmaz elemeinek a száma között és az összes részhalmazok száma között? 1
3
5. Adott a 𝐻 = {−3; − 2 ; 0; 1; 2 ; 2; 3; 4} halmaz. Írjuk fel H halmaz következő részhalmazait: 𝐴 = {2 − 𝑛é𝑙 𝑘𝑖𝑠𝑒𝑏𝑏 𝑠𝑧á𝑚𝑜𝑘} = 𝐵 = {0 − 𝑛á𝑙 𝑛𝑒𝑚 𝑛𝑎𝑔𝑦𝑜𝑏𝑏 𝑠𝑧á𝑚𝑜𝑘} = 𝐶 = {1 − 𝑛é𝑙 𝑛𝑒𝑚 𝑘𝑖𝑠𝑒𝑏𝑏 𝑠𝑧á𝑚𝑜𝑘} =
Műveletek halmazokkal Unió: Két halmaz uniója alatt értjük azoknak az elemeknek a halmazát, amelyek legalább az egyik halmaznak elemei.
6
𝐴∪𝐵
B
Metszet: Két halmaz metszete alatt értjük a közös elemek A halmazát.
Különbség: Az A és B halmazok különbsége az A olyan elemeinek a halmaza, amelyek nincsenek a B halmazban.
B
A
𝐴∩𝐵
A 𝐴∖𝐵
B
Kiegészítő halmaz: Egy A halmaz kiegészítő halmaza az alaphalmaz azon elemeinek a halmaza, amelyek az A halmaznak nem elemei.
𝐴
A
Halmazok elemszáma Az A halmaz elemeink a számát jelöljük a következő képen: |𝐴|. Például: A={egyjegyű prímszámok},|𝐴| = 4.
Feladatok: 1. Satírozd be a Venn-diagramon az alatta megadott halmazokat: A
A
B
A∩𝐵
B
A⧵ 𝐵
2. Add meg a Venn-diagramon besatírozott részt halmazművelettel: A
B
A
B
3. Legyen 𝐴 = {2,4,5,7,8}, 𝐵 = {1,2,3,6,7,9} é𝑠 𝐶 = ∅. Határozd meg a következő halmazokat: 𝐴 ∪ 𝐵; 𝐴 ∩ 𝐵; 𝐴 ∖ 𝐵; 𝐴 ∪ 𝐶; 𝐴 ∖ 𝐶. 4. Legyenek az A halmaz elemei 16 pozitív osztói, a B halmaz elemei 24 pozitív osztói, a C halmaz elemei 18 pozitív osztói! Határozd meg a következő halmazokat: 𝐴 ∪ 𝐵; 𝐴 ∩ 𝐶; 𝐵 ∖ 𝐶; 𝐴 ∩ (𝐵 ∖ 𝐶); 𝐴 ∖ 𝐶. 5. Ha 𝐴 ∪ 𝐵 = {1,2,3,4,5,6}, 𝐴 ∖ 𝐵 = {2,4,6}, 𝐴 ∩ 𝐵 = {1,3} , add meg az A és B halmazokat. 6. Legyen az alaphalmaz 𝐸 = {6,7,10,13,14,16,25,26,40,50,75} é𝑠 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝐸|𝑥 𝑜𝑠𝑧𝑡ℎ𝑎𝑡ó 2 − 𝑣𝑒𝑙}, 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝐸|𝑥 𝑜𝑠𝑧𝑡ℎ𝑎𝑡ó 4 − 𝑔𝑦𝑒𝑙}, 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝐸|𝑥 𝑜𝑠𝑧𝑡ℎ𝑎𝑡ó 5 − 𝑡𝑒𝑙}. Ábrázold Venn-diagrammal a halmazokat! 7. Adj meg két olyan halmazt, amelyek a. metszete b. különbsége az alábbi halmaz: {−1,0,1}
7
8. Add meg és ábrázold Venn-diagrammal az alábbi halmazokat: 𝐴 = {20 − 𝑛á𝑙 𝑘𝑖𝑠𝑒𝑏𝑏 , 6 − 𝑡𝑎𝑙 𝑜𝑠𝑧𝑡ℎ𝑎𝑡ó 𝑝𝑜𝑧𝑖𝑡í𝑣 𝑒𝑔é𝑠𝑧 𝑠𝑧á𝑚𝑜𝑘}, 𝐵 = {15 − 𝑛é𝑙 𝑘𝑖𝑠𝑒𝑏𝑏, 3 − 𝑚𝑎𝑙 𝑜𝑠𝑧𝑡ℎ𝑎𝑡ó 𝑝𝑜𝑧𝑖𝑡í𝑣 𝑒𝑔é𝑠𝑧 𝑠𝑧á𝑚𝑜𝑘} 𝐶 = {3𝑛|𝑛 = 1,2,3} a. Melyik igaz a következő állítások közül? 𝐴 ⊂ 𝐵, 𝐶 ⊂ 𝐵. b. Határozd meg: 𝐴 ⧵ 𝐵, 𝐵 ⧵ 𝐶, 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶, 𝐶 ∩ 𝐴. 9. Legyen A={1,2,3,6,7}, B={2,5,7,9,10}, U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. Ábrázold Venndiagramon az A, B, U halmazokat. Határozd meg az alábbi halmazokat! 𝐴 ∖ 𝐵,
𝐴 ∪ 𝐵,
𝐴 ∩ 𝐵,
̅ 𝐴,
̅̅̅̅̅̅̅ 𝐵∖𝐴
10. Határozd meg az A és B halmazokat, ha tudjuk, hogy 𝐴 ∪ 𝐵 = {2,3,4,5,6,7,10} 𝐴 ∖ 𝐵 = {2,3} 𝐴 ∩ 𝐵 = {4,10}. 11. Az A halmaznak 7 eleme van, a B halmaznak pedig 9. Legfeljebb hány eleme lehet az 𝐴 ∪ 𝐵, 𝐴 ∩ 𝐵 é𝑠 𝐴 ∖ 𝐵 halmazoknak? 12. Az osztály fele egy kiránduláson evett fagylaltot. 9-en vaníliásat, 11-en csokist, 8an citromost rendeltek. Vaníliást és csokist 5-en, vaníliást és citromost 3-an, csokist és citromost 4-en kértek. Mindháromból 2-en kértek. Hány fős az osztály?
2. SZÁMHALMAZOK Természetes számok halmaza:ℕ={0,1,2,3,4,5…} Műveletek: összeadás, szorzás. Bármely két természetes szám összege, szorzata természetes szám.
Két természetes szám különbsége és hányadosa nem mindig természetes szám. Adj példát! Egész számok halmaza:ℤ={…-3,-2,-1,0,1,2,3…} Műveletek: összeadás, szorzás, kivonás. Bármely két egész szám összege, szorzata, különbsége egész szám.
Két egész szám hányadosa nem mindig egész szám. Adj példát! Racionális számoknak nevezzük azokat a számokat, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként. 𝑝
Racionális számok halmaza:ℚ={𝑞 |𝑝, 𝑞 ∈ ℤ, 𝑞 ≠ 0} Műveletek: összeadás, szorzás, kivonás, osztás. Bármely két racionális szám összege, szorzata, különbsége, hányadosa racionális szám. 8
Ábrázold Venn-diagramm segítségével a számhalmazok közötti kapcsolatot! Tizedes tört:
tiszta 0,3333.... szakaszos (racionális számok) Végtelen tizedes törtek
vegyes nem szakaszos
0,4535353...
0,1001000100001..... (irracionális számok)
Valós számoknak nevezzük a racionális és az irracionális számokat, tehát a végtelen tizedes törteket. A valós számok halmaza: ℝ = ℚ ∪ {𝑖𝑟𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛á𝑙𝑖𝑠 𝑠𝑧á𝑚𝑜𝑘} A valós számokat a számegyenesen ábrázoljuk. A számegyenes minden pontja egy-egy valós számnak felel meg, és fordítva.
Intervallum: két adott valós szám közé eső összes szám halmaza. [𝑎, 𝑏] = {𝑥 ∈ ℝ|𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏} [𝑎, 𝑏[ = {𝑥 ∈ ℝ|𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏} ]𝑎, 𝑏] = {𝑥 ∈ ℝ│𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏} ]𝑎, 𝑏[ = {𝑥 ∈ ℝ│𝑎 < 𝑥 < 𝑏}
Feladatok: 1. a. b. c. d. e.
Melyik igaz a következő állítások közül? Válaszodat indokold! Minden természetes szám egész szám. Minden egész szám természetes szám. Minden egész szám racionális szám. Van olyan racionális szám, amelyik nem egész szám. Minden valós szám racionális szám. 9
2. Ábrázold számegyenesen a következő intervallumokat! [−1; 2]; ]1; 4]; [−2; 5[; ]1; ∞[; ]−∞; 3] 3. Milyen értéket adj x-nek, hogy a. b. c. d. 4. a. b. c. 5. a. b. c. d. e. f.
𝑥−2 3
kifejezés
természetes szám, egész szám, negatív szám, 0 legyen? Melyik intervallum a következő halmazok közül? 𝐴 = {𝑥 ∈ ℕ|−2 < 𝑥 < 4} 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≤ 2} 𝐶 = {𝑥 ∈ ℚ|0 ≤ 𝑥 < 4} Melyik igaz a következő állítások közül? Válaszodat indokold! 3∈ [0; 3] −2 ∈ ]−2; 0[ −7 ∉ ]−∞; 0] −3 ∉ ℕ 1,3 ∈ ℤ 2 ∈ℚ 5
6. Töltsd ki a táblázatot! Halmaz jelölés {𝑥 ∈ ℝ|−2 < 𝑥 ≤ 3}
Intervallum
Ábrázold számegyenesen!
]2,5] {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≥ 2} ]−∞, 1[ 7. Adottak az 𝐴 = [−6, −1], 𝐵 = ]−3,4[ intervallumok. Határozd meg az alábbi halmazokat: 𝐴 ∪ 𝐵,
𝐴 ∩ 𝐵,
𝐴 ∖ 𝐵,
𝐵∖𝐴
8. Legyen 𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≥ 2}; 𝐵 = ]−∞, 3]. Ábrázold számegyenesen és add meg a következő halmazokat: 𝐴 ∪ 𝐵,
𝐴 ∩ 𝐵,
𝐴 ∖ 𝐵,
𝐵∖𝐴
9. Adott 𝐴 = {𝑥𝜖ℤ|−2 ≤ 𝑥 < 5}, 𝐵 = [−3,2], 𝐶 = ]1,6], 𝐷 = ]−∞, −1[, 𝐸 = {𝑥𝜖ℝ|𝑥 ≥ −2} . a. Ábrázold számegyenesen. Használj színes ceruzát! b. Add meg a következő halmazokat: 𝐴 ⧵ 𝐵, 𝐵 ⧵ 𝐶, 𝐶 ⧵ 𝐷, 𝐷 ⧵ 𝐸, 𝐸 ⧵ 𝐷, 𝐴 ∩ 𝐵, 𝐴 ∩ 𝐷, 𝐵 ∩ 𝐶 ∩ 𝐷, 𝐷 ∩ 𝐸, 𝐵 ∪ 𝐶. 10. Legyen 𝐴 = {𝑥𝜖ℝ|2𝑥 − 3 ≥ 5}, 𝐵 = {𝑥𝜖ℝ|4 − 𝑥 ≤ 9}, 𝐶 = {𝑥𝜖ℝ|6𝑥 + 4 > 2𝑥 − 8} Ábrázold a halmazokat a számegyenesen. Add meg az alábbi halmazokat: 𝐴 ∩ 𝐵; 𝐴 ∪ 𝐶; 𝐵\𝐴; 𝐶\𝐵 10
11. Végezd el a következő műveleteket: a. −44: 11 + (−100 − 80): 9 − 5 ∙ 8 b. 4 − [3 − (5 − 2)] (−56 + 11) ∶ 5 − 3 ∙ (−4) c. d. {25 + [−35 + 10 − (−15 + 20) + 100] − 90} ∙ (6 − 3) 1 4 e. 7: 3 − (−9) ∙ f. g. h. i. j.
k.
5
2
3
1 21
4
3
− − ∙
2
5
7
n.
+
15 5
:
16 8
1
− 6 + 12 + 24 − 2 1 2 + −3 3 7 2 4 20 12 20 16 : 7 15 3 49 7 9 1 2 + 3 5 4 −1 3 2 1 + 3 4 1 6
4
m.
5
3
3
(1 −
l.
o.
2
8 9
−
18
3
3 2
1 1 + 2 6
16 4
+
) ∙ (1 − 5
80 3
−
4
∙
1 6
1 1 − 2 6
6
:
1
6
40 20 40 9
− 36 + 16 : 32 − 2 1
)
1
1
1
1
1
(1 − 4) (1 − 9) (1 − 16) (1 − 25) (1 − 36) (1 − 49) (1 − 64) ∙ 1 1 ∙ (1 − ) (1 − ) 81 100 2
6
3
5
12. Mennyi 1 é𝑠 reciprokának szorzata? 7
2
3
3
5
5
13. Melyik az a szám, amely é𝑠 összegénél − 𝑑𝑒𝑙 nagyobb? 3
14. Ha 4 kg körte ára 600 Ft, akkor mennyibe kerül 4 kg körte? 3
15. Egy üzem 87 gőzmozdonyt készített. Ez a megrendelés 4 része volt. Hány mozdonyt rendeltek az üzemtől? 2
16. Mennyi a 14 5 − 𝑛𝑒𝑘 𝑎
4 9
− 𝑒𝑑 része? 5
15
17. Melyik az a szám, amelyiknek 7-e 14?
11
18.Melyik nagyobb? 1 1 1 1 𝐴 = (1 + 6 ) ∙ (1 − 6 ) 𝑣𝑎𝑔𝑦 𝐵 = (1 + 2 ) ∙ (1 − 2 ) 1 1 1 1 1 1 1 1 − + − + 2 6 2 6 2 6 2 6
3. HATVÁNYOK Pozitív egész kitevőjű hatvány: 𝑎𝑛
= ⏟ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙∙∙ 𝑎 ,
𝑛𝜖ℕ, 𝑛 ≠ 0, 𝑎 ∈ ℝ
𝑛 𝑑𝑎𝑟𝑎𝑏 𝑡é𝑛𝑦𝑒𝑧ő
0 kitevőjű hatvány: 𝑎0
= 1, 𝑎 ∈ ℝ, 𝑎 ≠ 0
Megjegyzés: 00 𝑛𝑒𝑚 é𝑟𝑡𝑒𝑙𝑚𝑒𝑧𝑒𝑡𝑡 Negatív egész kitevőjű hatvány:
𝑎−𝑛 =
1
, 𝑛 ∈ ℕ, n≠ 0, 𝑎 ∈ ℝ ∖ {0}
𝑎𝑛
hatvány alapja
𝑎𝑛 ℎ𝑎𝑡𝑣á𝑛𝑦
Azonosságok: Legyen 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ ∖ {0}, 𝑚, 𝑛 ∈ ℤ Azonos alapú hatványok szorzata:
𝑎𝑛 ∙ 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚 𝑎𝑛
= 𝑎𝑛−𝑚
Azonos alapú hatványok hányadosa:
𝑎𝑚
Hatványnak hatványa:
(𝑎𝑛 )𝑚 = 𝑎𝑛∙𝑚
Azonos kitevőjű hatványok szorzata:
𝑎𝑛 ∙ 𝑏 𝑛 = (𝑎 ∙ 𝑏)𝑛
Azonos kitevőjű hatványok hányadosa:
𝑎𝑛 𝑏𝑛
𝑎 𝑛
=( ) 𝑏
Feladatok: 1. Számítsd ki a következő hatványok értékét: 34 ; 23 ; −42 ; (−5)3 ; 3−2 ; 5−1 ; 1000 ; 10−3 ; 6−2 ; (−2)−4 2. Negatív hatványkitevő alkalmazásával írd fel a következő számokat: 1 1 1 1 1 1 1 ; ; ; ; ; ; 2 9 32 64 25 10 100 12
kitevő
3. Végezd el a kijelölt műveleteket: 23 ∙ 24 ; 32 ∙ 35 ; 42 ∙ 4−6 ; 56 ∙ 5−4 4. Add meg a következő műveletek végeredményét:
a. b. c. d.
30 + (−3)0 1 + (−2)0 − 3−1 + (−3)−2 4−2 + 2−3 2343 ∙ 234−3
e.
(2) + (3)
f.
(3)
g. h.
1 2
1 2
2 −1
2−3 +2−4 +2−5
2−4 +5∙2−5 −13 4 −4−12 +3∙4−11 4 −9 +4 −8 −2∙4 −10 2 −2 −1
i.
4
j.
6−6 −
k.
12 2
+( ) 8
+( ) 3 8
3∙67 2∙5−3 +5−2 2 3 − 52 53
5. Végezd el a következő műveleteket: a. 24 ∙ 23 ; 35 ∙ 3−4 ; 5 ∙ 53 ; 𝑎8 ∙ 𝑎 −6
b. c. d. e.
f. g.
26 104
; 4
4 −3
; 5
; −6
𝑥5
10 4 𝑥 −6 −4 2 3 −4 (5 ) (2 ) 2
;
∙ (2−1 )−5 ; (6−3 )2 ∙ (64 )3
1 2
9 3
8 3
152 ∙ ( ) ; (− ) ∙ ( ) 25 4 3 (𝑥 ∙ 𝑦 3 )2 ; (𝑎−2 ∙ 𝑏 3 )4 24 ∙6−3 4 7 ∙35 (3−4 )2 ∙272 ∙124 6−7 ∙82
6. Melyik szám nagyobb? a. 1020 𝑣𝑎𝑔𝑦 2010 , b. 269 𝑣𝑎𝑔𝑦 346 . 7. Melyik halmaznak van több eleme? 𝐴 = {𝑥 ∈ ℕ|22014 ≤ 𝑥 ≤ 22015 } 𝑣𝑎𝑔𝑦 𝐵 = {𝑦 ∈ ℕ|𝑦 ≤ 22014 }. 8. Melyik szám nagyobb? a. 𝑎 = 104 + 3 ∙ 102 + 2 ∙ 101 + 5𝑣𝑎𝑔𝑦 𝑏 = 104 + 4 ∙ 103 + 6 ∙ 102 + 1 b. 𝑎 = 10−1 + 3 ∙ 10−3 + 4 ∙ 10−5 𝑣𝑎𝑔𝑦 𝑏 = 10−2 + 2 ∙ 10−4 + 5 ∙ 10−5
13
Számok normál alakja Pozitív szám normál alakja az a két tényezős szorzat, amelynek egyik tényezője 1 és 10 közé eső szám, másik tényezője pedig 10 egy egész kitevőjű hatványa. 𝑥 = 𝑎 ∙ 10𝑘 , 1 ≤ 𝑎 < 10, 𝑘 ∈ ℤ 1. Írd fel a következő számokat normál alakban:145; 6 000 000; 0,12345; 0,0023; 15,2 2. Írd át helyiértékes alakba: 4,35 ∙ 103 ; 5,1 ∙ 106 ; 1,23 ∙ 10−3 3. Számológép használata nélkül végezd el a kijelölt műveleteket és add meg az eredményt normál alakban! a. 5 ∙ 104 + 3 ∙ 105 b. 7 ∙ 10−3 ∙ 6 ∙ 104
c. d. 4. 5.
2,1∙10−4 +4∙10−3 0,002
5∙105 −4∙107 3∙106
A fény terjedési sebessége 300 000 km/s. Mennyi idő alatt teszi meg a fény a Nap és a Föld közötti távolságot, ha távolságuk 149,6 millió km? Mekkora a fényévtávolság? (Mekkora utat tesz meg a fény 1 év alatt?)
4. OSZTHATÓSÁG Legyenek a és b természetes számok. Az a szám osztója a b számnak, ha van olyan c természetes szám, melyre b=ac. Azt mondjuk, hogy b többszöröse a-nak. Jelölés: 𝑎 ∣ 𝑏 (a osztja b-t); 𝑎 ∤ 𝑏 ( a nem osztja b-t) Maradékos osztás tétele: Legyenek a és b természetes számok, a≠0, akkor van olyan p és q természetes szám, amelyekre: 𝑏 = 𝑎 ∙ 𝑞 + 𝑟, 𝑎ℎ𝑜𝑙 0 ≤ 𝑟 < 𝑎.
Pl: 35 = 8 ∙ 4 + 3, tehát a 35-ben a 8 megvan 4-szer, a maradék pedig 3. 6 ∣ 18, 𝑚𝑒𝑟𝑡 18 = 6 ∙ 3
Megjegyzés: Minden szám osztható 1-gyel és önmagával. Ezeket a szám nem valódi osztóinak nevezzük. A többi osztó, ha van, a szám valódi osztói.
14
Oszthatósági szabályok:Rendszerezzünk aszerint, hogy mit kell nézzünk, mikor keressük egy szám osztóit: az utolsó számjegy
utolsó két számjegy
oszthatóság 2-vel, 5-tel, 10-zel
oszthatóság 4-gyel, 25-tel,50-nel, 100-zal
utolsó három számjegy oszthatóság 8-cal, 1000-rel
számjegyek összege oszthatóság 3-mal, 9-cel
Pl: Vizsgáljuk meg az alábbi számokat a fenti szempontok szerint: 3642: Mivel az utolsó számjegy páros, ezért a szám osztható 2-vel. A számjegyek összege 15, ezért a szám osztható 3-mal is. Kérdés: Milyen számmal osztható még 3642? 2025: Utolsó számjegy 5, ezért a szám osztható 5-tel. Utolsó két számjegyből álló szám 25, ezért a szám osztható 25-tel. A számok összege 9, tehát a szám osztható még 9-cel is.
A természetes számokat osztályozhatjuk osztóik száma szerint:
1
Természetes számok
Prím számok-két osztójuk van, 1 és önmaguk
Összetett számok-kettőnél több osztójuk van A számelmélet alaptétele: Bármely összetett szám egyértelműen felbontható prímszámok szorzatára. Pl: Bontsd fel prímszámok szorzatára: 234 = 2 ∙ 32 ∙ 13 234 2 117 3 39 3 13 13 1 Tétel: Egész szám pozitív osztóinak száma: Ha x egész szám prímfelbontása: 𝑥 = 𝑝1 𝑎1 ∙ 𝑝2 𝑎2 ∙ 𝑝3 𝑎3 ∙ … ∙ 𝑝𝑘 𝑎𝑘 , akkor az x pozitív osztóinak száma (𝑎1 + 1)(𝑎2 + 1)(𝑎3 + 1) … (𝑎𝑘 + 1) 15
Legnagyobb közös osztó: Két pozitív egész szám legnagyobb közös osztója a közös osztók közül a legnagyobb. Jelölés: (𝑎, 𝑏) Megkapjuk, ha a számokat prímtényezőkre bontjuk és a közös prímtényezőket az előforduló legkisebb hatványkitevővel összeszorozzuk. Legkisebb közös többszörös: Két pozitív egész szám legkisebb közös többszöröse a közös többszörösük közül a legkisebb. Jelölés: [𝑎, 𝑏] Megkapjuk, ha a számokat prímtényezőkre bontjuk és a közös és nem közös prímtényezőket az előforduló legnagyobb hatványkitevővel összeszorozzuk. Relatív prímszámoknak nevezzük azokat a pozitív egész számokat, amelyeknek legnagyobb közös osztójuk 1.
Feladatok: 1.
2. 3. 4. 5. 6. 7.
Ha a és b természetes számok, akkor melyik igaz a következő állítások közül? Válaszodat indokold! a. Ha a+b páros szám, akkor a és b páros. b. Ha a+b páros, akkor a vagy b páros. c. Ha a·b páros, akkor a és b páros. d. Ha a·b páros, akkor a vagy b páros. e. Ha egy szám osztható 3-mal, akkor osztható 9-cel is. f. Ha egy szám osztható 9-cel, akkor osztható 3-mal is. g. Bármely két prímszám különbsége páratlan szám. h. Bármely, 2-nél nagyobb prímszám összege prímszám. Fogalmazz meg szabályt 12-vel; 15-tel; 18-cal; 36-tal való oszthatóságra! Osztható-e 9-cel a 102014 + 8 szám? Lehet-e 2-nél nagyobb két prímszám összege prímszám? ̅̅̅̅̅̅̅ alakú számok oszthatók 11-gyel. Igazold, hogy az 𝑎𝑏𝑏𝑎 Igazold, hogy 7 ∣ 2𝑛+2 + 2𝑛+1 + 2𝑛 , 𝑎ℎ𝑜𝑙 𝑛 ∈ ℕ. Milyen számjegyet írjunk az ismeretlen számjegy helyére, ha: ̅̅̅̅̅̅̅ a. 3 ∣ 23𝑥6 ̅̅̅̅̅̅̅ b. 4 ∣ 23𝑥8 ̅̅̅̅̅̅̅ c. 5 ∣ 261𝑥 ̅̅̅̅̅̅̅ d. 6 ∣ 357𝑥
8.
Milyen számjegyek írhatók x és y helyére, ha: 12 ∣ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 112𝑦5𝑥 ̅̅̅̅̅̅̅̅ 15 ∣ 24𝑦7𝑥 18 ∣ ̅̅̅̅̅̅̅̅ 67𝑦8𝑥
9.
16
Bontsd fel prímtényezők szorzatára a következő számokat: 630; 2520; 501; 568.
10.
Határozd meg a következő számok legnagyobb közös osztóját és legkisebb közös többszörösét! a. 31500; 1650; b. 396; 168; c. 𝑎4 ∙ 𝑏 2 ∙ 𝑐 5 ∙ 𝑑; 𝑎3 ∙ 𝑐 3 ∙ 𝑑 2 ∙ 𝑒 2 . 11. Mennyi (36,96) ∙ [36,96] 3780
;
7875
;
364
12.
Egyszerűsítsd a következő törteket:
13.
̅̅̅̅̅̅̅ | 15 ∣ 7𝑎8𝑏 ̅̅̅̅̅̅̅}; 𝐵 = {7𝑥8𝑦 ̅̅̅̅̅̅̅| 40 ∣ ̅̅̅̅̅̅̅ Legyen 𝐴 = {7𝑎8𝑏 7𝑥8𝑦 }.
198
2450
.
338
Add meg 𝐴 ∪ 𝐵; 𝐴 ∩ 𝐵, 𝐴 ∖ 𝐵 halmazokat! 14. a. b.
Add meg azokat az x egész számokat, amelyekre 6 𝑥
∈ℤ 5
𝑥−3
∈ℤ
15. Egy számlán 72 kg alma ára ₪47₪ Ft. Sajnos az első és az utolsó számjegy olvashatatlan. Mennyibe került egy kg alma? 16. A Naprendszer három, a Naphoz legközelebbi bolygóinak Napkörüli forgásideje megközelítőleg 88, 225, illetve 365 földi nap. Ha egy bizonyos napon a Nap és a három bolygó egy egyenesen helyezkednének el, hány év múlva fordulna elő újra a jelenség?
5. ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK Add meg a mellékelt ábrákon világosabb színnel jelölt síkidomok területét!
Algebrai kifejezést kapunk, ha betűket, számokat kötünk össze a négy alapművelettel. A betűket ismeretlennek vagy változónak nevezzük. 17
Alaphalmaz az a halmaz, amelynek elemeit betűkkel helyettesítettük. Értelmezési tartomány az a legbővebb részhalmaza az alaphalmaznak, amelyen a kijelölt műveletek elvégezhetők. Osztályozzuk:
egyváltozós kifejezés Pl:3a, 4x2 kétváltozós kifejezés
a bennük szereplő betük száma szerint
Pl:2a-3b; x+5y több változos kifejezés Pl:xyz; 2x+4y-4z+t
algebrai egész típúsú kifejezésnincs benne olyan tört melynek nevezője ismeretlent tartalmaz szerepel a kifejezésben tört, vagy sem
Pl:4x+4y-1
algebrai tört kifejezés-van a nevezőben ismeretlen Pl:
𝑥−5
𝑥+2
Egytagú kifejezés: Pl. 3𝑥 2 𝑦 Két egytagú kifejezést egyneműnek nevezünk, ha csak együtthatójukban különböznek. Polinom (többtagú egész kifejezés) Pl. 2𝑥 2 + 3𝑥 − 1 A polinom fokszáma a legmagasabb fokú tagjának a fokszáma. Helyettesítési érték az az érték, amelyet úgy kapunk, hogy a változók helyére konkrét számokat helyettesítünk és elvégezzük a kijelölt műveleteket. Műveletek: összeadás, szorzás
18
Feladatok: 1. Végezd el a következő műveleteket: a. 4a+3a; 5x-4x; 7xy+11xy-4xy; b. 15𝑥 + 4 − [5 − (6𝑥 + 4) − (𝑥 + 6)]
c.
1 2
2
1
3
3
4
5
𝑎3 − 𝑎3 + 𝑎3 ;
2𝑥 2 + 4𝑥 2 − 5𝑥 2 . 5
𝑥 2 − 𝑥 2. 3
g.
(𝑥 + 𝑦 − 𝑧) − (𝑥 − 𝑦 + 𝑧) − (−𝑥 + 𝑦 + 𝑧). 6 − {𝑥 − [2𝑥 − (𝑥 + 7)]}; 2 2 6𝑥 + 4𝑥 − 3 + 5𝑥 − 2𝑥 + 4; 8𝑥 2 − 4𝑥 + 9 − (7𝑥 2 − 2𝑥 + 6). 5𝑎𝑏 + 2𝑎2 𝑏 − 3𝑎𝑏 − 4𝑎2 𝑏; 7𝑎2 𝑏 − 3𝑎𝑏 + 5𝑎𝑏 2 − (2𝑎2 𝑏 − 3𝑎𝑏 + 6𝑎𝑏 2 ). 10𝑎𝑏 2 𝑐 − 4𝑎𝑏𝑐 2 + 3𝑎2 𝑏𝑐 + (5𝑎𝑏 2 𝑐 + 6𝑎𝑏𝑐 2 − 7𝑎2 𝑏𝑐)
h.
2 2 𝑥 2 + 1 3 𝑥 − 5 − (3 𝑥 2 − 5𝑥 − 2)
d. e. f.
3
5
4
3
i. 3(𝑥 + 4) − 2(𝑥 − 3); j. 4𝑥 2 𝑦 + 5𝑥𝑦 2 − 2(𝑥 2 𝑦 − 5𝑥𝑦 2 ); 2. Végezd el az alábbi szorzásokat: a.
2𝑎2 𝑏 3 ∙ 5𝑎3 𝑏 4 ; 3 2
(−7𝑦 5 );
4(𝑥 2 − 𝑥 + 2) − 5(𝑥 2 + 4𝑥 − 3). 6(𝑎 + 𝑏 − 𝑐) − 2(𝑎 − 𝑏 + 𝑐). 4
6𝑎2 𝑏 3 𝑐 2 ∙ (−9𝑎4 𝑏 5 𝑐 3 ); 5
2 5
𝑎 𝑏 ∙
16
7
4 3
9
𝑥 2𝑦4 ∙ 𝑥 3𝑦5.
3 3 5 4
8
𝑎 𝑏 ; − 𝑥 𝑦 𝑧 ∙ (−
24
𝑥 2 𝑦 4 𝑧 2 ).
b.
−4𝑥 𝑦 ∙
c.
𝑎(𝑎 − 𝑏);
d.
4𝑥(𝑥 3 − 2𝑥 2 + 𝑥 − 4);
e. f. g. h. i. j.
(𝑎 − 2𝑏) ∙ (2𝑎 + 𝑏); (2𝑎 − 3𝑏) ∙ (3𝑎 + 2𝑏); (5𝑥𝑦 2 − 1) ∙ (𝑥 + 𝑦). (5𝑎 − 4𝑏) ∙ (2𝑎 + 5𝑏); (3𝑥 2 − 𝑥 + 1) ∙ (2𝑥 2 + 𝑥 − 5). (6𝑥 − 𝑦 2 ) ∙ (4𝑥 2 + 𝑦). 3𝑥 2 (𝑥 + 2) − (𝑥 2 + 2) ∙ (𝑥 + 1) − (𝑥 2 + 1) ∙ (𝑥 + 2) + 3(𝑥 + 4) ∙ (𝑥 − 2) 2(𝑥 − 2) ∙ (𝑥 + 1) − 3(𝑥 + 3) ∙ (𝑥 − 4); 3(𝑥 2 − 2) ∙ (𝑥 + 3) − 4(𝑥 2 − 3) ∙ (𝑥 + 2).
36
2𝑎(3𝑎 + 2𝑏); 1
75
8
5𝑥 2 (𝑥 − 4); 4
6
𝑥 2 ( 𝑥 − ); 2 3 5
21
2𝑥(𝑥 2 − 4𝑥 + 3). 3𝑎𝑏 2 (𝑎 − 𝑏).
Nevezetes szorzatok Két tag összegének és különbségének szorzata: (𝒂 + 𝒃) ∙ (𝒂 − 𝒃) = 𝒂𝟐 − 𝒃𝟐 http://tube.geogebra.org/material/show/id/22224 Tanuld meg: Két tag összegének és különbségének szorzata egyenlő a két tag négyzetének különbségével.
Feladatok: 3. a. b. c.
Végezd el a kijelölt műveleteket: (𝑥 + 1) ∙ (𝑥 − 1), (𝑥 + 2) ∙ (𝑥 − 2); (𝑥 + 3) ∙ (𝑥 − 3); (2𝑥 − 1) ∙ (2𝑥 + 1); (3𝑥 + 2) ∙ (3𝑥 − 2); (4𝑥 + 3) ∙ (4𝑥 − 3). (2𝑥 − 𝑦) ∙ (2𝑥 + 𝑦); (2𝑥 + 3𝑦) ∙ (2𝑥 − 3𝑦); (3𝑥 + 4𝑦) ∙ (3𝑥 − 4𝑦). 19
d.
(5𝑎 − 4𝑏) ∙ (5𝑎 + 4𝑏);
e.
(2 + 𝑥) ∙ (2 − 𝑥);
1
1
(6𝑎 + 4𝑏) ∙ (6𝑎 − 4𝑏);
(7𝑎 + 8𝑏) ∙ (7𝑎 − 8𝑏).
2
3
2
(2𝑥 − 3 𝑦) ∙ (2𝑥 + 3 𝑦);
2
2
3
(5 𝑥 + 7 𝑦) ∙ (5 𝑥 − 7 𝑦).
f. (𝑥 2 − 2) ∙ (𝑥 2 + 2); (2𝑥 2 − 3𝑦 3 ) ∙ (2𝑥 2 + 3𝑦 3 ); (2𝑥 2 𝑦 − 3𝑥 4 ) ∙ (2𝑥 2 𝑦 + 3𝑥 4 ) 4. Írd fel két tényezős szorzat alakban: a.
𝑥 2 − 1;
𝑥 2 − 4;
𝑥 2 − 9;
𝑥 2 − 16;
b.
4𝑎2 − 9;
𝑎2 − 16𝑏 2 ;
36𝑎2 − 81𝑏 2 ;
4 9
𝑥 2 − 25; 25
1
𝑥 2 − 4.
𝑎2 − 49 𝑏 2 .
Két tag összegének négyzete: (𝒂 + 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐
http://tube.geogebra.org/material/show/id/18833
Tanuld meg: Két tag összegének négyzete egy háromtagú összeg, amelynek tagjai: az első tag négyzete a két tag szorzatának kétszerese a második tag négyzete. Két tag különbségének négyzete: (𝒂 − 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 − 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐
Feladatok: 5. Végezd el a kijelölt műveleteket: (𝑥 + 1)2 ; (𝑥 + 2)2 ; (𝑥 − 3)2 ; (𝑥 − 4)2 ; (𝑥 − 𝑦)2. a. b. (2𝑥 + 6)2 ; (3𝑥 − 2𝑦)2 ; (4𝑎 + 3𝑏)2 ; (5𝑥 − 4𝑦)2 . c.
2
1
4
2
3
2
3
2
5
3
(5 𝑥 + 2 𝑦) ; (7 𝑥 − 4 𝑦) ; (2 𝑥 − 4 𝑦) .2
(2 𝑥 + 2) ;
d.
(𝑥 2 + 2)2 ;
e.
(3 𝑥 − 2 𝑦 2 ) ;
6. a. b. c.
Melyik kéttagú kifejezés négyzete? 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 ; 𝑥 2 − 2𝑥 + 1; 𝑥 2 − 10𝑥 + 25, 𝑥 2 − 8𝑥𝑦 + 16𝑦 2 ; 36𝑚4 + 12𝑚2 𝑛 + 𝑛2 .
7. a. b. c.
Egészítsd ki a hiányzó részeket: 𝑥 2 + ____ + 4 = ( )2; 𝑥 2 + _______ + 9𝑦 2 = ( )2. 𝑎2 + ______ + 9 = ( )2 ; 9𝑎2 − _______ + 16 = ( )2. 4𝑥 2 + _______ + 16𝑦 2 = ( )2
20
1
5
(𝑥 2 − 𝑦 3 )2 ; 2
9
(2𝑥 2 + 3𝑦 2 )2 ; 2
(4𝑥𝑦 3 − 3𝑥 2 𝑦 5 )2 .
2
(4 𝑥 3 𝑦 4 + 3 𝑥 2 𝑦 3 ) .
𝑥 2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 ; 4𝑥 2 + 4𝑥 + 1;
𝑝2 − 6𝑝 + 9.
d. 𝑎2 − 4𝑎𝑏 + ______ = ( )2 8. Végezd el a kijelölt műveleteket: a. (𝑥 + 7)2 − (2𝑥 − 3)2 + (3𝑥 + 2) ∙ (3𝑥 − 2) b. (3𝑥 − 2𝑦)2 + (2𝑥 + 3𝑦)2 − (4𝑥 − 𝑦) ∙ (4𝑥 + 𝑦) (6𝑎 − 5)2 − (3𝑎 − 2) ∙ (3𝑎 + 5) c. d. (2𝑥 + 4)2 + (5𝑥 − 3)2 − (7𝑥 + 2) ∙ (7𝑥 − 2). 9. Számold ki ügyesen (számológép használata nélkül)! 19 ∙ 21; 98 ∙ 102; 47 ∙ 53; 95 ∙ 105. 10. Melyik szám nagyobb: 2357 ∙ 2363 𝑣𝑎𝑔𝑦 23602 ? 11. Az ábrán látható telek területe 33 cm2. Mekkora a kerülete?
Két szám összegének (különbségének) a köbe:
(𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏 2 + 𝑏 3 http://tube.geogebra.org/material/show/id/134173
(𝑎 − 𝑏)3 = 𝑎3 − 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏 2 − 𝑏 3 Feladatok: 1. Egy kocka alakú edénybe 64 cm3 víz fér. Mennyi az edény oldala? Mennyivel több víz fér az edénybe, ha az edény minden oldalát x cm-rel megnöveljük?(A különbséget add meg polinom formájában.) 2. Két szám összege 10, szorzatuk 24. Mennyi a két szám köbének az összege?
Polinomok szorzattá alakítása Szorzattá alakítás kiemeléssel: akkor alkalmazzuk, ha a tagokban van közös tényező.
3𝑥𝑦 + 4𝑥 = 𝑥(3𝑦 + 4) 20𝑥 2 + 14𝑥𝑦 = 2𝑥 ∙ 10𝑥 + 2𝑥 ∙ 7𝑦 = 2𝑥(10𝑥 + 7𝑦) Szorzattá alakítás a tagok csoportosításával és kiemeléssel:
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑎𝑦 + 𝑏𝑥 = 𝑎(𝑥 + 𝑦) + 𝑏(𝑥 + 𝑦) = (𝑥 + 𝑦)(𝑎 + 𝑏) 21
Szorzattá alakítás a nevezetes szorzatok alkalmazásával: két tag összegének négyzete
9𝑥 2 + 6𝑥 + 1 − 4𝑦 2 = (9𝑥 2 + 6𝑥 + 1) − 4𝑦 2 = (3𝑥 + 1)2 − 4𝑦 2 = (3𝑥 + 1 − 2𝑦)(3𝑥 + 1 + 2𝑦) két négyzet különbsége Alakítsuk teljes négyzetté: 𝑥 2 + 6𝑥 + 8 = (𝑥 2 + 2 ∙3∙ 𝑥 + 32 ) − 32 + 8 = (𝑥 + 3)2 − 9 + 8 = (𝑥 + 3)2 − 1
Algebrai tört. Értelmezési tartomány. Műveletek. Algebrai törtnek nevezzük két polinom hányadosát. Algebrai tört értelmezési tartománya az a legbővebb részhalmaza a valós számok halmazának, amelyen a kijelölt műveletek elvégezhetők. Mivel 0-val nem lehet osztani, ezért kikötést teszünk a nevező miatt: nevező nem lehet 0. 12. Hol vannak értelmezve a következő kifejezések? 𝑥−3 2
;
𝑥−3
2𝑥+3
5𝑥−5
𝑥+2
3𝑥−4
4𝑥+2
;
;
;
𝑦+6 𝑦
;
3
.
𝑥 2 +1
Egyszerűsítés: csak tényezőket szabad egyszerűsíteni, ezért először tényezőre bontjuk a számlálót és a nevezőt is a törtkifejezés értelmezési tartománya egyszerűsítés után sem változik 13. Egyszerűsítsd a következő törteket:
a. b. c. d.
120 360 𝑥4
33
;
121 𝑥6
;
𝑥3 𝑥4 2 𝑥 +3𝑥 𝑥 𝑥 2 −4 𝑥+2
;
;
;
;
154
720
;
132 15𝑥 7
;
.
1440 −10𝑥 8 𝑦 3
.
5𝑥 3 5𝑥 4 𝑦 2 4 3 5𝑥 −6𝑥 8𝑥 7 𝑦 8 −5𝑥 5 𝑦 9 𝑥2 2 𝑥 −9 𝑥+3
;
;
𝑥5𝑦6 𝑥+5 𝑥 2 −25
;
. 𝑥−7 𝑥 2 −49
;
2𝑥+6
.
4𝑥 2 −36
Szorzás: törtet törttel úgy szorzunk, hogy a számlálót szorozzuk a számlálóval, nevezőt a nevezővel ha lehet, akkor egyszerűsítsünk
22
Példa: 𝑥+3 3 3𝑥 + 9 ∙ = 2 𝑥−2 𝑥+2 𝑥 −4
Osztás: törtet törttel úgy osztunk, hogy az osztandót szorozzuk az osztó reciprokával ha lehet, akkor egyszerűsítsünk Példa:
3𝑥 + 3𝑦 (𝑥 + 𝑦)2 3(𝑥 + 𝑦) (𝑥 − 𝑦)(𝑥 + 𝑦) 3 : = ∙ = (𝑥 + 𝑦)2 2𝑥 − 2𝑦 𝑥 2 − 𝑦 2 2(𝑥 − 𝑦) 2 Összeadás, kivonás: Algebrai törtek összevonásánál ugyan úgy járunk el, mint a racionális törtek összevonásánál. ha a nevezők megegyeznek, akkor összeadjuk a számlálókat. ha a nevezők különböznek, akkor szorzattá alakítjuk a nevezőket megkeressük a közös nevezőt (a nevezők legkisebb közös többszöröse) bővítjük a törteket és elvégezzük az összevonásokat ha lehet, egyszerűsítsünk 1 𝑥−1 𝑥 2(𝑥 − 1) + (𝑥 + 1)(𝑥 − 1)2 − 2𝑥(𝑥 + 1) + − = =⋯ 𝑥+1 2 𝑥−1 2(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)
23
6. FÜGGVÉNYEK Derékszögű koordináta-rendszer: -két egymásra merőleges számegyenes segítségével meghatározzuk bármely pont helyzetét a síkon.
Jelölés: P(x;y) Az (x;y) rendezett számpárt a pont koordinátáinak nevezzük.
Feladatok: 1. Ábrázold a koordináta-rendszerben a következő pontokat: A(1;-4), B(-3,-4), C(2;5), D(0;4), E(3;0). 2. Add meg az ábrán lévő pontok koordinátáit! 3. Add meg az összes olyan pontot a koordináta-rendszerben, amelyeknek: a. első koordinátája 0; b. második koordinátája 0; c. első koordinátája 4; d. második koordinátája 0. e. a második koordináta 2-vel kisebb, mint az első. f. az első koordináta fele a második koordinátának. 4. Rajzold meg a koordináta-rendszerben azoknak a pontoknak a halmazát, amelyekre: a. 1<x<2 b. -2
Függvény fogalma, megadása, grafikon Def: Legyen A és B két nem üres halmaz. Függvénynek nevezünk egy megfeleltetést, amely az A halmaz minden eleméhez egyértelműen hozzárendeli a B halmaz egy elemét.
24
Jelölés: 𝑓: 𝐴 → 𝐵, 𝑥 ↦ 𝑓(𝑥). A a függvény értelmezési tartománya, jelöljük még: 𝐷𝑓 B a függvény képhalmaza. A függvényképek halmaza a képhalmaz részhalmaza, és értékkészletnek nevezzük, jele: 𝑅𝑓 x a változó, f(x) = y a függvény képe x-ben, vagy a függvény értéke x-ben. Függvény megadása: diagrammal; értéktáblázattal; szabállyal, képlettel. Függvény grafikonja alatt értjük az (x;f(x)) rendezett elempárok halmazát, ahol 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 . Ha 𝐷𝑓 é𝑠 𝑅𝑓 részhalmazai a valós számok halmazának, akkor a függvény grafikonja ábrázolható a koordináta rendszerben, az így kapott ponthalmaz a függvény képe (grafikonja).
Feladatok: 5. Melyik függvény a következő hozzárendelések közül? A függvények esetén add meg az értelmezési tartományt és az értékkészletet! Melyik függvény kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés? a. Az iskola minden osztályához hozzárendeljük az osztályfőnököt. b. Az iskola tanáraihoz hozzárendeljük azokat az osztályokat, amelyekben tanítanak. c. Osztályod minden tanulójához hozzárendeljük a szeme színét. d. Minden magyar állampolgárhoz hozzárendeljük a személyigazolványuk számát. e. Minden könyvhöz hozzárendeljük a szerzőjüket. f. Minden egész számhoz hozzárendeljük a szám négyzetét. g. Minden természetes számhoz hozzárendeljük az osztóit. h. Minden egész számhoz hozzárendeljük az egész osztóinak számát. i. A számegyenes minden pontjához hozzárendeljük a pont koordinátáját. 6. Egy héten keresztül minden reggel 7 órakor megmértük a teraszon a hőmérsékletet. Az eredményeket az alábbi táblázatba írtuk. hétfő 19°
kedd 20°
szerda 21°
csütörtök 20°
péntek 17°
szombat 16°
vasárnap 18°
Függvényt határoz meg? Ha igen, akkor ábrázold a függvényt!
25
7. Az alábbi ábrák közül melyik függvény? Válaszodat indokold!
1. ÁBRA 3. ÁBRA
2. ÁBRA
8. Felhasználva a függvényhez rendelt diagramokat, határozzuk meg az összes olyan függvényt, amelynek értelmezési tartománya A={1;2} halmaz, értékkészlete pedig B={0;4}. 9. Adott 𝑓: ℕ → ℕ, 𝑓(𝑛) 𝑙𝑒𝑔𝑦𝑒𝑛 3𝑛 szám utolsó számjegye. a. Számítsd ki 𝑓(0); 𝑓(1); … ; 𝑓(7) értékeket. b. Igazold, hogy 𝑓(𝑛 + 4) = 𝑓(𝑛), 𝑏á𝑟𝑚𝑒𝑙𝑦 𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑚é𝑠𝑧𝑒𝑡𝑒𝑠 𝑠𝑧á𝑚 𝑒𝑠𝑡é𝑛. c. Ábrázold grafikusan a függvényt!
Lineáris függvény, meredekség, zérushely Legyen 𝑓: ℝ → ℝ , 𝑓(𝑥) = 𝑎, 𝑎ℎ𝑜𝑙 𝑎 𝑒𝑔𝑦 á𝑙𝑙𝑎𝑛𝑑ó 𝑣𝑎𝑙ó𝑠 𝑠𝑧á𝑚. Az f függvényt állandó függvénynek nevezzük. Példa: 𝑓(𝑥) = 2, 𝑥 ∈ ℝ . A függvény grafikonja az x tengellyel párhuzamos egyenes.
Az 𝑓: ℝ → ℝ, 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, 𝑎 ≠ 0, 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ függvényt elsőfokú függvénynek nevezzük. Példa: 𝑓(𝑥) = 2𝑥, 𝑥 ∈ ℝ. Ábrázoljuk a fűggvényt! Készítsünk értéktáblázatot: x f(x)
26
-1 -2
0 0
1 2
2 4
3 6
4 8
,
A táblázatba csak néhány értéket tüntettünk fel. Az 1. ábrán a számítógép segítségével „sűrítettük” a pontokat. Arra következtettünk, hogy a függvény grafikonja egy egyenes. Megjegyzés: Mivel az elsőfokú függvények grafikonja egyenes, és az egyenest egyértelműen 2. ÁBRA 1. ÁBRA meghatározza két különböző pontja, ezért elegendő az ilyen függvények ábrázolásánál két pontot felvenni a táblázatban. Legyen 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, 𝑎 ≠ 0 függvény. Meredekség: Az a számot a függvény meredekségének nevezzük, azt mutatja meg, hogy ha x-et 1-gyel növeljük, akkor a függvény érték változása a. Jelölik még m-mel (3. ábra). A b az egyenes és az y tengely metszéspontjának második koordinátája. Vagyis 𝑓(0) = 𝑏 (4. ábra). Tengelymetszeteknek nevezzük a függvény grafikonjának a tengelyekkel való metszéspontjait.
3. ÁBRA
Az x tengelyen lévő metszéspontot zérushelynek nevezzük, mert azt az x értéket jelenti, ahol a függvény értéke 0. Tehát, zérushelynek nevezzük az értelmezési tartomány azon értékeit, ahol a függvényérték 0. Meghatározása: megoldjuk az 𝑓(𝑥) = 0 egyenletet.
Lineáris függvényeknek nevezzük azokat, amelyeknek grafikonja egyenes, tehát az állandó és az elsőfokú függvényeket.
4. ÁBRA
27
Feladatok: 10. Ábrázold a következő függvényeket: a. 𝑓1 : {0,1,2,3} → {−3, −2, −1,0}, 𝑓1 (𝑥) = −𝑥, b. 𝑓2 : ]−∞; 0] → [0; ∞[, 𝑓2 (𝑥) = −𝑥, c. 𝑓3 : ℝ → ℝ, 𝑓3 (𝑥) = −𝑥, d. 𝑓4 : [0; 5] → [−5; 0], 𝑓4 (𝑥) = −𝑥, e. 𝑓5 : [0; 3] → {5}, 𝑓5 (𝑥) = 5. 1
11. Adott 𝑓(𝑥) = − 2 𝑥 + 7 . a. b. c. d.
Mennyi a függvény értéke -4-ben?(Mit rendel a függvény -4-hez?) Hol veszi fel a függvény a 14 értéket? (Mihez rendeli a függvény a 14-et?) Illeszkedik-e a függvény képére az A(2;6) pont? Add meg a következő pontok hiányzó koordinátáit, ha tudjuk, hogy a pontok illeszkednek a függvény, grafikonjára! B(___;5), C(-1;____), D(0;___), E(___,0). 12. Ábrázold a következő függvényeket: a. 𝑓1 (𝑥) = 3𝑥 − 4, 𝑥 ∈ ℝ; e. 𝑓5 (𝑥) = 𝑥 + 3, 𝑥 ∈ ℕ, 3 f. 𝑓6 (𝑥) = −3𝑥 + 2, 𝑥 ∈ ℤ, b. 𝑓2 (𝑥) = 𝑥 + 1, 𝑥 ∈ ℝ, 4
c.
𝑓3 (𝑥) = −5𝑥 + 2, 𝑥 ∈ ℝ,
g.
d.
𝑓4 (𝑥) = − 3 𝑥 + 1, 𝑥 ∈ ℝ,
h.
2
1
𝑓7 (𝑥) = 3 𝑥 − 2, 𝑥 ∈ [−3; 3], 𝑓8 (𝑥) = 2𝑥 + 3, 𝑥 ∈ [−4; 1].
13. Ábrázold a következő függvényeket. Minden esetben add meg a függvény értékkészletét, zérushelyét (számolással), metszetét az y tengellyel. 3 a. 𝑓1 (𝑥) = 2𝑥 − 4, 𝑥 ∈ ℤ, c. 𝑓3 (𝑥) = 𝑥 − 3, 𝑥 ∈ [−5,10[, 5
1
b.
𝑓2 (𝑥) = −𝑥 + 2 , 𝑥 ∈ [−2; 3],
a.
𝑓(𝑥) = 2 𝑥,
𝑔(𝑥) = 2 𝑥 + 1,
ℎ(𝑥) = 2 𝑥 − 2.
b.
𝑓(𝑥) = 𝑥,
𝑔(𝑥) = 3𝑥,
c.
𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2,
𝑔(𝑥) = −𝑥 − 2,
ℎ(𝑥) = 2 𝑥,
d. 𝑓4 (𝑥) = −2𝑥 + 4, 𝑥 ∈ [−2; 1]. 14. Ábrázold ugyanabban a koordináta rendszerben a következő függvényeket. Milyen kapcsolatot találsz a függvények grafikonjai között?
28
1
1
1 1
ℎ(𝑥) = 2(𝑥 + 2).
Abszolútérték-függvény. Szélsőérték. Egy szám abszolút értéke egyenlő a szám nullától való távolságával. Vagyis, egy pozitív szám abszolút értéke önmaga, a 0 abszolút értéke önnmaga, egy negatív szám abszolút értéke pedig a szám ellentetjével egyenlő. Ezt a következőképpen fogalmazhatjuk meg: 𝑥, ℎ𝑎 𝑥 ≥ 0 |𝑥| = { −𝑥, ℎ𝑎 𝑥 < 0
Abszolútérték-függvény: 𝑥, ℎ𝑎 𝑥 ≥ 0 𝑓: ℝ → ℝ, 𝑓(𝑥) = { . −𝑥, ℎ𝑎 𝑥 < 0
A függvény legkisebb értékét a függvény minimumának nevezzük. Az értelmezési tartomány azon elemét, amelyben a függvény felveszi a minimumát, minimumhelynek nevezzük. A függvény legnagyobb értékét a függvény maximumának nevezzük. Az értelmezési tartomány azon elemét, amelyben a függvény felveszi a maximumát, maximumhelynek nevezzük.
Feladatok: 15. Jelöld meg a számegyenesen azokat a számokat, amelyeknek abszolút értéke a. 2, b. kisebb 2-nél; c. nem nagyobb 2-nél; d. nagyobb 1-nél; e. 1 és 3 között van. 16. Ábrázold közös koordináta rendszerben, a valós számok halmazán értelmezett függvényeket! Milyen kapcsolat van a függvények grafikonjai között?(Hasonlítsd össze mindegyiket az f1 grafikonjával!) 𝑓1 (𝑥) = |𝑥|, 𝑓4 (𝑥) = |𝑥| + 2, 𝑓2 (𝑥) = |𝑥 − 2|, 𝑓5 (𝑥) = 2|𝑥|, 𝑓3 (𝑥) = |𝑥 + 3|, 𝑓6 (𝑥) = −|𝑥|. 17. Ábrázold a következő függvényeket. Add meg a függvények értékkészletét! 1
𝑓(𝑥) = 2 |𝑥 + 2| − 4, 𝑥 ∈ [−4; 3],
𝑔(𝑥) = −|𝑥 − 4| + 3, 𝑥 ∈ [−2; 8], 29
ℎ(𝑥) = ||𝑥 + 2| − 3|,
𝑖(𝑥) = |||𝑥 − 1| − 1| − 1|.
Megjegyzés: Függvény transzformáció: az az eljárás, amely során egy függvény grafikonját egy másik függvény grafikonjából rajzolunk meg, geometriai transzformációk segítségével (eltolás, nyújtás, összenyomás, tükrözés). 1. Eltolás az y tengely mentén: g( x ) = f( x ) + c
A g függvény grafikonját megkapjuk, ha az f függvény grafikonját az y tengely mentén önmagával párhuzamosan eltoljuk c egységgel, ha c > 0 akkor pozitív irányba, ha pedig c < 0, akkor negatív irányba. Az értelmezési tartomány nem változik. A mellékelt ábrán c = 2.
2. Eltolás az x tengely mentén: g( x ) = f( x - a ) A g függvény képét úgy kapjuk meg, hogy f grafikonját az x tengely mentén a-val eltoljuk, ha a>0, akkor pozitív irányba, ha pedig a < 0, akkor negatív irányba. Az eltolás után az értékkészlet változatlan marad, de az értelmezési tartomány megváltozhat. A mellékelt ábrán a= 2.
3. Tükrözés az x tengelyre: g( x ) = - f( x ) A g függvény grafikonját úgy kapjuk, hogy tükrözzük az f képét az x tengelyre. Az értelmezési tartomány és a zérushelyek nem változnak.
30
4. Tükrözés az y tengelyre: g( x ) = f( - x ) A g függvény grafikonját úgy kapjuk, hogy tükrözzük az f képét az y tengelyre. A tükrözés az értelmezési tartományt megváltoztathatja, de az értékkészletet nem.
5. Nyújtás (zsugorítás) az y tengellyel párhuzamosan: g( x ) = c f( x ) A g függvény képét megkapjuk, ha az f grafikonját y tengely irányában c- szeresére megnyújtjuk, ha c>1, illetve összenyomjuk, ha 0 < c < 1. A transzformáció az értelmezési tartományt nem változtatja meg, de a függvényértékek cszeresére változnak. A zérushelyeket nem változtatja meg. A mellékelt ábrán c=1/2.
6. Nyújtás (zsugorítás) az x tengellyel párhuzamosan: g( x ) = f( ax ) A g(x) = f(ax) függvény grafikonját az f függvény grafikonjából úgy kapjuk, hogy az f képét az x tengely irányában 1/a- szeresére megnyújtjuk, ha 0 < a < 1, illetve összenyomjuk, ha a > 1. A transzformáció az értékkészletet nem változtatja meg. Az eredeti görbe és az y tengely metszéspontja helyben marad. A mellékelt ábrán a = 2.
7.
A g függvény grafikonja az f grafikonjából úgy állítható elő, hogy ott ahol az f értéke pozitív, azt a görbe darabot változatlanul hagyjuk, azt a részt pedig ahol az f értéke negatív, azt tükrözzük az x tengelyre.
31
8.
f grafikonjából g úgy állítható elő, hogy az x ≥ 0 értékekhez tartozó részt tükrözzük az y tengelyre, az x<0 értékekhez tartozó görberészt elhagyjuk.
Feladatok: 18. Ábrázold és jellemezd a következő, a valós számok halmazán értelmezett függvényeket! 𝑓(𝑥) = |𝑥 + 1| − 2, 𝑖(𝑥) = −|𝑥 + 3| + 5, 𝑔(𝑥) = 3|𝑥 − 2| + 1, 𝑗(𝑥) = −3|𝑥 − 2| + 1. ℎ(𝑥) = −|𝑥| + 4,
19. Melyik függvény grafikonját látod az alábbi ábrákon?
1. ÁBRA 2. ÁBRA
4. ÁBRA 3. ÁBRA
32
5. ÁBRA
6. ÁBRA
Másodfokú függvény. 𝑓: ℝ → ℝ, 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 . A függvény parabola
grafikonja:
Függvények monotonitása: Def: Egy függvényt szigorúan monoton növekvőnek nevezünk egy halmazon, ha a változók növekedéséből következik a függvényértékek növekedése. Egy függvényt szigorúan monoton csökkenőnek nevezünk egy halmazon, ha a változók növekedéséből következik a függvényértékek csökkenése.
1. SZIGORÚAN MONOTON NÖVEKVŐ 2. SZIGORÚAN MONOTON CSÖKKENŐ 33
Feladatok: 20. Add meg: 𝐷𝑓 , 𝑅𝑓 , 𝑠𝑧é𝑙𝑠őé𝑟𝑡é𝑘𝑒𝑘, 𝑚𝑒𝑛𝑒𝑡𝑒, zérushelyek.
21. Adott az 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)2 − 2 függvény. a. Hol veszi fel a függvény a 2 értéket? b. Mennyi a függvény értéke 3-ban? 22. Ábrázold és jellemezd a következő, a valós számok halmazán értelmezett függvényeket! Zérushelyeknek csak a száma érdekel, vagyis mennyi van! a. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 1, 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 − 2, ℎ(𝑥) = 2𝑥 2 . b. 𝑓(𝑥) = −𝑥 2 , 𝑔(𝑥) = −𝑥 2 + 1, ℎ(𝑥) = −3𝑥 2 . c. 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 2)2 , 𝑔(𝑥) = (𝑥 − 1)2 , ℎ(𝑥) = 2(𝑥 + 3)2 . d. 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 2)2 − 1, 𝑔(𝑥) = (𝑥 − 3)2 + 1, ℎ(𝑥) = 3(𝑥 − 1)2 − 4. e.
1
𝑓(𝑥) = − 2 (𝑥 + 5)2 +4,
𝑔(𝑥) = −2(𝑥 + 3)2 + 1.
23. Ábrázold és jellemezd (értékkészlet, szélsőérték, menete szempontjából) a következő függvényeket: a. 𝑓(𝑥) = 2(𝑥 − 4)2 − 3, 𝑥 ∈ [2; 5], b. 𝑔(𝑥) = −(𝑥 + 2)2 + 3, 𝑥 ∈ [−3; 0], c.
1
ℎ(𝑥) = |2 (𝑥 + 1)2 − 2| , 𝑥 ∈ [−5; 3],
d. 𝑖(𝑥) = |𝑥 2 − 2|, 𝑥 ∈ ℝ. 24. Melyik függvény grafikonját látod az alábbi ábrákon?
1. ÁBRA
34
2. ÁBRA 3. ÁBRA
Tört függvény 𝑓: ℝ ∖ {0} → ℝ,
𝑓(𝑥) =
1 𝑥
A függvény grafikonja a hiperbola.
Feladat: Jellemezd a tanult szempontok szerint a függvényt!Milyen más tulajdonság fedezhető fel a grafikon alapján? (Hasonlítsd össze az abszolútérték függvény grafikonjával és ellemezd szimmetria szempontjából.) Def. Egy halmazt szimmetrikusnak nevezünk, ha elemei szimmetrikusak az origora nézve. Def.: Egy függvényt páros függvénynek nevezünk, ha: a. b.
a Df értelmezési tartomány szimmetrikus halmaz f(-x)=f(x), minden x∈ Df esetén
Def.: Egy függvényt páratlan függvénynek nevezünk, ha: a. b.
a Df értelmezési tartomány szimmetrikus halmaz f(-x)= -f(x), minden x∈ Df esetén
Megjegyzés: A páros függvények grafikonja szimmetrikus az y tengelyre nézve, a páratlan függvények grafikonja pedig szimmetrikus az origora nézve. Feladat: Adj pédát páros és páratlan függvényekre!
Egyenes és fordított arányosság Feladat: Egy kg alma ára 145Ft. Töltsd ki az alábbi táblázat üres mezőit! Memnnyiség (kg) 1 1,5 2 3 5 Ár Ha x-szel jelőljük az alma mennyiségét, akkor az f(x)=145x függvény fejezi ki az x kg alma árát. A függvény értéke és x hányadosa állandó. Az ilyen mennyiségeket egyenesen arányos mennyiségeknek nevezzük (ha az egyik mennyiség nő, akkor a másik ugyanannyiszeresére nő). 35
Feladat: Próbáld megfogalmazni az egyenesen arányos mennyiségek fogalmát! Melyik függvény fejezi ki az egyenesen arányos mennyiségeket? Adj példát egyenesen arányos mennyiségekre!
Feladat: 2000 Ft-ból süteményt vásárolunk. Az epreskocka darabja 100 Ft, a krémes darabja 250 Ft, a kakaós csiga ára 50 Ft. Ha csak egyfajta süteményt veszünk, akkor mennyit vehetünk minden fajtából? Milyen összefüggés van az egységár és a darab szám között? Töltsd ki a táblázatot! Egységár=x Darab szám=2000/x
250 Ft
100 Ft
50 Ft
Feladat: Próbáld megfogalmazni a fordítottan arányos mennyiségek fogalmát! Melyik függvény fejezi ki a fordítottan arányos mennyiségeket? Adj példát fordítottan arányos mennyiségekre! Gyakorlatok: 1. Rövidtávon a gepárd sebessége 120 km/h, a tigrisé 56 km/h az oroszláné pedig 48 km/h. a. Mennyi utat tesz meg egy gepárd 1 perc alatt? b. Mennyivel tesz meg több utat 5 perc alatt a tigris, mint az oroszlán 2. Ha a benzin ára 380 Ft literenként a Mol kutaknál, akkor a. mennyit fizetünk 56,4 l benzinért? b. mennyi benzint kapunk 20 000 Ft-ért, 15 000 Ft-ért? c. a Shell kutaknál a benzin literenkénti ára 386 Ft. Mennyi benzint veszünk 20 000 Ftért? 3. Aprajafalva farmján 20 kis kéktehénnek 28 napra elegendő takarmánya van. Hány napig elegendő ez a takarmány, ha 15 tehenet tartanak a farmon? 13
4. Példa: Egy jármű 50 km/h egyenletes sebességgel halad. Mennyi utat tesz meg , , 2, 24
4 óra alatt? Ábrázoljuk a koordináta rendszerben az idő és az út között fennálló függvénykapcsolatot!
36
7. GEOMETRIA
Alapfogalmak:
Jelölés:
pont egyenes sík illeszkedés
A, B, C,… d, a, e,… S, S1,… 𝐴 ∈ 𝑑, 𝐵 ∉ 𝑑
AB=d
Tapasztalat alapján igaznak fogadjuk el a következő állításokat (axiómák): Az egyenes pontok halmaza. Két különböző pontra egyetlen egyenes illeszkedik. Egy egyenesre és egy rá nem illeszkedő pontra egyetlen sík fektethető. Két metsző egyenesre egyetlen sík fektethető.
Mesélő ábrák
AB félegyenes
Egy adott pontra egyetlen egyenes illeszkedik, amelyik párhuzamos az adott egyenessel.
SZÖGEK
37
Csúcsszögek:nagyságuk egyenlő
Párhuzamos szárú szögek: száraik párhuzamosak
38
Tétel: A párhuzamos szárú szögek nagysága egyenlő, ha mindkettő hegyes vagy tompaszög, és kiegészítőszögek, ha az egyik hegyesszög a másik pedig tompaszög.
Merőleges szárú szögek: száraik páronként merőlegesek.
Tétel: A merőleges szárú szögek nagysága egyenlő, ha mindkettő hegyes vagy tompaszög, és kiegészítő szögek, ha egyik tompaszög, a másik pedig hegyesszög.
Feladatok: 1. Egy egyenes 5 különböző pontja hány részre osztja az egyenest? Hány szakaszt határoznak meg? 2. A 42 cm hosszú AB szakaszt a C pont A-tól kezdve 2:5 arányban, a D pont pedig 3:4 arányban osztja. Számítsd ki a C és D pont távolságát. 3. Az AB szakasz 30 cm hosszú, a BC szakasz hossza 2 dm. Mekkora az AB és az AC szakaszok felezőpontjainak távolsága? Gondold át, hogy hány eset lehetséges! Készíts ábrát! 4. Micimackó, Vuk és Csibész otthona egy egyenes út mentén található. Micimackó 1,4 km-re lakik Vuktól, Csibész és Vuk 600 m-re lakik egymástól. Milyen távolságra lehet Csibész és Micimackó? 5. Az AB és BC szakaszok közös része a CB szakasz. Mekkora az AD szakasz, ha AB = 10 cm, CD = 12 cm és CB = 4 cm? 6. Adott 4 kollineáris pont A,B,C,D. Add meg a 4 pont sorrendjét, ha AB=3, AD=4, AC=5 és BD=CD=1! 7. Egy egyenesen adott egy O pont és 4 szakasz, úgy hogy OA = OB = 5 cm, AD=BC=3 cm. Add meg a CD szakasz hosszát! 8. Az ábrán az 𝛼 = 32°15′ . Mekkora a többi jelölt szög? Indokold meg minden esetben állításodat! Van-e az ábrán az adott szögekkel egyenlő szög? Ha igen, melyik és miért? 9. Az 𝛼 = 23° 14′ . Mekkora a szög potszöge? 10. Az 𝛼 é𝑠 𝛽 szögek mellékszögek. Mekkorák a szögek, ha 𝛼 szög 24° -kal nagyobb, mint 𝛽? 11. Egy szög háromszor akkora, mint a mellékszöge. Mekkora a szög? 12. Mekkora szöget zár be az óra két mutatója a. 3 órakor; b. 7 órakor; c. fél nyolckor. 39
13. Négy szög együtt egyenesszöget alkot, továbbá mindegyik szög az előzőnél 10°-kal nagyobb. Számítsd ki a szögek nagyságát. 14. Rajzolj két merőleges szárú szöget, úgy hogy mindkettő legyen tompaszögű! Mit tudsz mondani a két szög nagyságáról? 15. Két merőleges szárú szög közül az egyik 45°-os , a másik tompaszög. Mekkora a tompaszög? Készíts ábrát! 16. Öt szög együtt teljesszöget alkot (360°-os szög). Mindegyik szög az előzőnél 15°-kal nagyobb. Számítsuk ki a legkisebb szög nagyságát!
PONTHALMAZOK
SZÖGFELEZŐ SZAKASZ FELEZŐ MERŐLEGESE
Tétel: A szakasz felező merőlegesének minden pontja egyenlő távolságra van a szakasz két végpontjától, és fordítva, ha egy pont egyenlő távolságra van egy szakasz két végpontjától, akkor rajta van a szakasz felező merőlegesén.
Tétel: Egy szög szögfelezőjének pontjai egyenlő távolságra vannak a szög száraitól, és fordítva, ha egy pont egyenlő távolságra van a szög száraitól, akkor rajta van a szögfelezőn.
FELADATOK 1. Add meg egy d egyenestől 2 cm távolságra lévő pontok halmazát. 2. Add meg egy d egyenestől legfeljebb 2 cm távolságra lévő pontok halmazát. 3. Add meg egy d egyenestől legalább 2 cm távolságra lévő pontok halmazát. 40
4. Adott három pont a síkon. Add meg a három ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmazát. Van-e olyan eset, amikor üres halmazt kapsz? 5. Adott két egyenes, a és b. Add meg a két egyenestől 2 cm távolságra lévő pontok halmazát. 6. Adott két egymásra merőleges egyenes. Add meg a két egyenestől legfeljebb 2 cm távolságra lévő pontok halmazát. 7. Adott két metsző egyenes. Add meg a két egyenestől egyenlő távolságra lévő pontok halmazát. 8. Add meg egy háromszög minden oldalegyenesétől egyenlő távolságra levő pontok halmazát.
HÁROMSZÖGEK Három nem egy egyenesre illeszkedő pont háromszöget határoz meg. Osztályozás: oldalak szerint
1. •ÁLTALÁNOS HÁROMSZÖG : AZ OLDALAK NEM EGYENLŐK
2. •EGYENLŐ SZÁRÚ HÁROMSZÖG : VAN KÉT EGYENLŐ OLDALUK
3. •SZABÁLYOS VAGY EGYENLŐ OLDALÚ
HÁROMSZÖG : MINDEN OLDAL EGYENLŐ
szögek szerint
2. DERÉKSZÖGŰ
3. TOMPASZÖGŰ HÁROMSZÖG :
1. HEGYESSZÖGŰ HÁROMSZÖG :
HÁROMSZÖG : VAN
VAN TOMPASZÖGE
MINDEN SZÖG HEGYESSZÖG
DERÉKSZÖGE
Tétel: A háromszög belső szögeinek összege 180°.
41
A háromszög külső szögeinek nevezzük a belső szögek mellékszögeit. Tétel: A külső szög egyenlő a nem mellette levő két belső szög összegével.
Tétel: A háromszögben egyenlő oldalakkal szemben egyenlő szögek vannak. Következmény: Az egyenlő szárú háromszög alapon fekvő szögei egyenlők. Következmény: A szabályos háromszög minden belső szöge 60°. Tétel megfordítása: Egy háromszögben egyenlő szögekkel szemben egyenlő oldalak vannak. Tétel: Bármely háromszögben a hosszabb oldallal szemben nagyobb szög fekszik, és fordítva. Tétel: Háromszög egyenlőtlenség: A háromszög bármely két oldal hosszának összege nagyobb a harmadik oldalnál. Következmény: A háromszög bármely oldala nagyobb a másik két oldal különbségének abszolút értékénél. Háromszögek szerkeszthetősége: Ha a,b,c pozitív számokra teljesülnek az alábbi egyenlőtlenségek 𝑎 + 𝑏 > 𝑐, 𝑏 + 𝑐 > 𝑎, 𝑎 + 𝑐 > 𝑏, akkor az a,b,c hosszúságú szakaszokkal háromszög szerkeszthető.
A HÁROMSZÖG NEVEZETES VONALAI
42
Tétel: A háromszög magasságvonalai egy pontban metszik egymást, ezt a pontot a háromszög magasságpontjának nevezzük.
Tétel: A háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást. Ez a pont a háromszög súlypontja. A súlypont mindegyik súlyvonalat 1:2 arányban oszt két részre, a hosszabbik rész másik végpontja a háromszög csúcsa.
Tétel: A háromszög oldalfelező merőlegesei egy pontban metszik egymást. Ez a pont a háromszög köré írt kör középpontja.
Tétel: A háromszög szögfelezői egy pontban metszik egymást. Ez a pont a háromszögbe írt kör középpontja.
TERÜLET, KERÜLET A háromszög területe egyenlő az oldal és a hozzá tartozó magasság szorzatának felével. A háromszög kerülete a három oldal hosszának összege. A háromszög területét még kiszámíthatjuk, ha adott mind a három oldal hossza, a Héron képlettel:
𝑇 = √𝑠(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐) , ahol 𝑠 =
𝑎+𝑏+𝑐 2
. 43
Feladatok: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.
13. 14. a. b. 15. a. b. c. d. e. 16. 17.
18.
44
Adott egy olyan egyenlőszárú háromszög, amelynek két 62°-os szöge van. A szára vagy az alapja a hosszabb? Mekkorák a derékszögű háromszög szögei, ha egyik külső szöge 120°? Egy háromszögben két szög aránya 2:5. Ha a harmadik szög 80°, mekkorák a háromszög szögei? Mekkora a háromszög külső szögeinek összege? Állításodat indokold! Egy egyenlő szárú háromszög egyik belső szöge a külső szögek összegének tizedrésze. Mekkorák a háromszög szögei? Egy háromszög szögeinek aránya 1:2:6. Mekkorák a háromszög szögei? Egy háromszög oldalainak aránya 2:3:5. Mekkorák az oldalak hossza, ha a kerülete 46 cm? 3 Egy háromszög egyik szöge fele a másiknak, és ennek 4 része a harmadik szög. Mekkorák a háromszög szögei? Az alábbi ábrán vannak-e egyenlő szögek? Ha igen, miért? Van-e olyan háromszög, amelyben a magasságpont a háromszög egyik csúcsa? Válaszodat indokold! Rajzolj egy olyan háromszöget, amelynek a magasságpontja a háromszögen kívül van! Egyenlő szárú háromszög egyik csúcsához tartozó magassága a másik szárral 12°-kal kisebb szöget alkot, mint az alapon levő szög. Mekkorák a háromszög szögei? Egy háromszög oldalaira teljesül, hogy a
19. 20. 21.
22.
Egy háromszög két oldala 6 cm és 9 cm. Mekkora a 6 cm-es oldalhoz tartozó magasság, ha 9 cm-eshez 4 cm- es magasság tartozik? Igazold, hogy a háromszög súlyvonala a háromszöget két olyan háromszögre bontja, amelyeknek területe egyenlő! Mekkora az ABC háromszög területe, ha F és D felezési pontok, G és E negyedelő pontok? Az AGE háromszög területe 3 cm2.
Egy háromszög oldalai 4 cm, 7 cm és 9 cm hosszúak. Mekkora a területe? Ki tudod számítani a beírható kör sugarát? (kösd össze a beírható kör középpontját a csúcsokkal, így a háromszöget felbontottad 3 kisebb háromszögre.) Fogalmazd meg általánosan az eredményt!
PITAGORASZ TÉTELE ÉS MEGFORDÍTÁSA http://tube.geogebra.org/material/show/id/948509
Pitagorasz tételének megfordítása: Ha egy háromszögben két oldal négyzetösszege egyenlő a harmadik oldal négyzetével, akkor a háromszög derékszögű. Feladatok: Matematika Gyakorló és érettségire felkészítő feladatgyűjtemény III.: 1330, 1331, 1333, 1334, 1335, 1339,1338, 1353, 1355, 1364….
NÉGYSZÖGEK
45
Trapéz: olyan négyszög, amelynek van párhuzamos oldalpárja. Tulajdonság: A trapéz ugyanazon a száron fekvő szögei kiegészítő szögek. Húrtrapéz: van szimmetria tengelye (az alapokra merőleges egyenes). A húrtrapéz szárai egyenlők. A húrtrapéz alapon fekvő szögei egyenlők. Sajátos trapézok
Paralelogramma: olyan trapéz, amelyben a szemközti oldalak párhuzamosak. Tétel:Paralelogramma tulajdonságai: szemközti oldalai egyenlők; szemközti szögei egyenlők; egymás melletti szögek kiegészítő szögek; átlók felezik egymást. Fordított tétel: Ha egy négyszögben valamelyik az alábbi tulajdonságokból teljesül, a szemközti oldalak párhúzamosak; a szemközti szögek egyenlők; egymás melletti szögek kiegészítő szögek; szemközti oldalak egyenlők, két szemközti oldal egyenlő és párhúzamos; átlók felezik egymást akkor a négyszög paralelogramma.
46
Téglalap: Olyan paralelogramma, amelynek van egy derékszöge. Tehát a téglalap rendelkezik a paralelogramma minden tulajdonságával. Sorold fel őket! Plusz tulajdonság: A téglalap átlói egyenlők.
Rombusz: A rombusz olyan paralelogramma, amelynek két szomszédos oldala egyenlő. A rombusz rendelkezik a paralelogramma minden tulajdonságával. Sorold fel őket! Plusz tulajdonság: A rombusz átlói merőlegesek egymásra és felezik a szögeket .
Négyzet: − olyan téglalap,amelynek szomszédos oldalai egyenlők. − olyan rombusz amelynek van egy derékszöge.
A négyzet rendelkezik a téglalap és a rombusz tulajdonságaival. Sorold fel őket!
Deltoid A deltoid olyan négyszög, amelynek két-két szomszédos oldala egyenlő.
47
A négyszögek osztályozása:
TERÜLETEK
Feladatok: 1. Melyik állítás igaz és miért? a. Minden paralelogramma trapéz. b. Van olyan trapéz, ami deltoid. c. Minden deltoid paralelogramma. d. Ha egy négyszög szemközti szögei egyenlők, akkor a négyszög paralelogramma. e. Van olyan rombusz, amelynek egyik átlója egyenlő az oldal hosszával. 48
2. Egy trapéz szemközti szögei 68°és 105°. Mekkora a másik két szög? 3. Egy trapéz két szöge 72°és 118°. Mekkora a másik két szög? 4. Egy derékszögű trapéz derékszögű szára 8 cm. Ha egyik alapja 18 cm és egyik szöge 45°, mekkora a trapéz másik két oldala? 5. Egy paralelogramma egyik szöge a mellette lévő szög háromötöde. Mekkorák a paralelogramma szögei? 6. Egy rombusz egyik átlója az oldallal 24°-os szöget zár be. Mekkorák a rombusz szögei? 7. Hány fokosak a paralelogramma belső szögei, ha egyik belső szöge egyenlő egy másik belső szög kétharmadával? 8. Mekkora egy négyzet oldala, ha területe egyenlő a 16 cm és 9 cm oldalú téglalap területével? 9. Egy téglalap alakú kert kerülete 50 m. oldalainak aránya 2:3. Mekkora a kert területe? 10. Egy paralelogramma két oldala 5 cm és 8 cm, a rövidebb oldalhoz tartozó magassága 6 cm. Mekkora a másik magasság? 11. A mellékelt ábrán egy vasúti töltés keresztmetszete látható. Mekkora a területe, ha az adatok méterben adottak? 12. Egy 60 cm és egy 80 cm hosszú pálcika segítségével (átlók) deltoid alakú sárkányt készítünk. Mekkora lesz a sárkány területe? 13. Egy négyzet oldalát 5 cm–el megnöveljük, így területe 625 cm2. Mekkora volt az eredeti négyzet oldala? 14. Egy trapéz magassága 5,4 cm, alapjainak arány 3:5. Mekkorák az alapok, ha a területe 81 cm2?
SOKSZÖGEK. SZABÁLYOS SOKSZÖGEK
49
Az n-oldalú konvex sokszög átlóinak száma:
𝑛(𝑛−3) 2
.
Az n-oldalú konvex sokszög belső szögeinek összege:(𝑛 − 2)180°. Szabályos sokszögek azok, amelyeknek oldalai és szögei egyenlők.
Feladatok: 1. Hány átló húzható egy konvex sokszög egy csúcsából? Igazold az átlók számára vonatkozó képletet! 2. Igazold a konvex sokszög belső szögeinek összegére vonatkozó képletet! 3. Hány átlója van egy konvex hatszögnek, nyolcszögnek, tizenkétszögnek? Mennyi ezeknek a sokszögeknek a belső szögeinek összege? 4. Hány átlója van annak a konvex sokszögnek, melynek belső szögeink összege 1440°? 5. Mekkorák a konvex hatszög szögei, ha azok úgy aránylanak egymáshoz, mint 1:2:3:5:6:7? 6. Mekkora a szabályos ötszög, hatszög, nyolcszög, tízszög belső szöge? 7. Egy szabályos sokszög egyik szöge 160°.Hány oldalú a sokszög?
GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK Geometriai transzformációk azok a függvények, amelyeknek értelmezési tartományuk és értékkészletük ponthalmaz. Minden geometriai transzformáció esetén a következő tulajdonságokat nézzük: fixpont létezése (olyan pont, amelynek képe önmaga) invariáns alakzatok (olyan alakzatok, amelyeknek pontjai nem fix pontok, de az alakzat képe önmaga) egyenestartó (egyenes képe egyenes) távolságtartó (szakasz és képének hossza megegyezik) szögtartó (szög és képének nagysága ugyanaz) Def: Egy alakzatot szimmetrikusnak nevezünk, ha van olyan geometriai transzformáció, amelynél az alakzat képe önmaga. Def: A távolságtartó transzformációkat egybevágósági transzformációknak nevezzük. Def: Két alakzatot egybevágónk nevezünk, ha van olyan egybevágósági transzformáció, amelyik az egyiket a másikba viszi. Tengelyes tükrözés: az a geometriai transzformáció, amely a sík egy t egyenesének minden pontjához önmagát rendeli, hozzárendeli a P’ pontot, úgy hogy a PP’ szakaszt a t egyenes merőlegesen felezze.
50
Középpontos tükrözés: (a fenti definíció mintájával és a mellékelt ábra alapján próbáld meg te megfogalmazni, hogy mit nevezünk középpontos tükrözésnek).
Thalész tétel Thalész tétel: Ha egy kör átmérőjének végpontjait összekötjük a kör kerületének bármely más pontjával, akkor a keletkezett háromszög derékszögű. http://tube.geogebra.org/material/show/id/1451099
Thalész tételének megfordítása: Derékszögű háromszög körülírt körének középpontja az átfogó felezőpontja. http://tube.geogebra.org/material/show/id/1451107 Feladatok: 1. Mekkora a mellékelt ábrákon látható négyszögek területe és kerülete?
2. Szerkessz egy adott körhöz egy külső pontból érintőket! A külső pont és az érintési pontok által meghatározott szakaszokat érintőszakaszoknak nevezzük. Mit tudsz mondani ezek hosszáról? Állításodat indokold! A szerkesztést végezd a GeoGebra programmal! Matematika Gyakorló és érettségire felkészítő feladatgyűjtemény III.: 531, 532, 536, 541,
Paralelogramma, háromszög és trapéz középvonala Def: A paralelogramma két szemközti oldalának felezőpontját összekötő szakaszt a paralelogramma középvonalának nevezzük.
Tétel: A paralelogramma középvonala párhuzamos és egyenlő a két nem felezett oldallal.
51
Def: A háromszög bármely két oldalának felezőpontját összekötő szakaszt a háromszög középvonalának nevezzük. (Három van.) Tétel: A háromszög középvonala párhuzamos a nem felezett oldallal és fele olyan hosszú.
Def: A trapéznak két középvonala van, ezek a szemközti oldalak felező pontjait összekötő szakaszok. Ha nem mondjuk meg melyikről van szó, akkor a nem párhuzamos oldalak középpontjait összekötő szakaszról beszélünk.
Tétel: A trapéz középvonala párhuzamos a trapéz alapjaival, és hossza az alapok összegének a felével egyenlő. Feladatok: Matematika Gyakorló és érettségire felkészítő feladatgyűjtemény III.: 510, 511, 512,513, 718, 719, 722, 739, 740, 742, 1. A háromszög középvonalai a háromszöget négy kisebb háromszögre bontják. Mekkora ezeknek a háromszögeknek a területe? 2. Az alábbi ábrán egy derékszögű háromszögben összekötöttük a derékszög csúcsát az átfogó felezőpontjával, valamint a két befogó felezőpontját. a. Mekkora a két szakasz hossza? b. Mekkora a színezet háromszög területe, és a két négyszög területe?
Pont körüli forgatás: Adott a sík egy O pontja és nagyságával és irányával egy ∝ szög. Pont körüli forgatásnak nevezzük azt a geometriai transzformációt, amely az O ponthoz önmagát rendeli a sík minden más A pontjához hozzárendeli azt az A’ pontot, amelyre OA=OA’ és AOA’∢ nagysága és iránya az elforgatás szögével (𝛼) egyezik meg.
Feladat: Milyen tulajdonsággal rendelkeznek a fenti transzformációk? Miért nevezzük őket egybevágósági transzformációknak?
52
Feladatok: 1. Tükrözz egy háromszöget egyik oldalegyenesére, egyik csúcsára! 2. Tükrözz egy háromszöget egyik oldalának felezőpontjára. A két háromszög együtt milyen síkidomot határoz meg? Válaszodat indokold! 3. Szerkessz egyenlőszárú háromszöget, ha adott a szimmetria tengelye és azon levő csúcsa, és a másik két csúcson áthaladó egy-egy egyenes! 4. Adott egy konvex szög és szárai között egy pont. Szerkessz olyan egyenest, amely átmegy a ponton úgy, hogy a pont a szög szárai közötti szakaszt felezi. 5. A derékszögű koordinátarendszerben egy paralelogramma két szomszédos csúcsa A(-2,5), B(-4, -2). Határozd meg a másik két csúcs koordinátáit, ha tudjuk, hogy a paralelogramma átlói az origóban metszik egymást. 6. A derékszögű koordináta rendszerben egy háromszög csúcsai A(-1, 1), B(4,3), C( -3, 5). Forgasd el a háromszöget az origó körül – 90°-kal. Add meg a képháromszög csúcsainak koordinátáit. 7. Két vagy több geometriai transzformáció egymás utáni elvégzését a transzformációk szorzatának nevezzük. Legyen a koordináta síkon az f transzformáció az y tengelyre való tükrözés, a g transzformáció pedig a K(2;1) pontra tükrözés. Adottak az A(2,4), B (- 1;2) pontok. Adjuk meg a pontok képét a következő transzformációk után: a. f b. g c. fg d. gf Mit tapasztaltál az utolsó két transzformáció esetén? 8. Nevezz meg egy olyan síkbéli alakzatot, amelynek végtelen sok szimmetria tengelye van. 9. Milyen szimmetriákkal rendelkezik egy szabályos sokszög? Vegyél először egy szabályos 5 szöget, majd egy szabályos 6 szöget. Tudnál általánosítani? 10. Melyek a tengelyesen szimmetrikus négyszögek? 11. Egy háromszög oldalainak a hossza 16 cm, 16 cm, 24 cm. Tükrözzük a háromszöget I. mind a három oldalára II. mind a három oldalfelező pontjára. A háromszög és a három tükörképe együtt egy sokszöget alkot. a. Hány oldalú a sokszög? b. Hány szimmetria tengelye van? c. Mekkora a területe? 12. Van középpontosan szimmetrikus háromszög? 13. Melyek a középpontosan szimmetrikus négyszögek? 14. Milyen szimmetriákkal rendelkezik a mellékelt ábra? 15. Ketten felváltva tesznek egy téglalap alakú asztalra egy-egy tíz forintost mindaddig, amíg már nem fér rá több. Az érmék legfeljebb csak érintkeznek, nem fedik egymást. Az nyer, aki az utolsó forintost teszi az asztalra. Igaz-e, hogy mindig a kezdő játékos nyer, ha okosan játszik? 53
16. A mellékelt ábrán egy biliárdasztal látható. Milyen irányban kell ellökni az E golyót, hogy a BC oldalról visszapattanva (más oldalt nem érintve) eltalálja az F golyót? Adj szerkesztési eljárást!
Eltolás
Irányított szakasz: Ha egy szakasz esetén megkülönböztetjük a kezdő és a végpontot, akkor irányított szakaszról beszélünk. Jelölés: ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 Vektornak nevezzük az azonos irányú és nagyságú irányított szakaszok halmazát. Egy irányított szakasz egyértelműen meghatároz egy vektort. Egy vektort képviselhet a halmaz bármelyik irányított szakasza. Jelölés: 𝑣, ⃗⃗⃗ 𝐯, 𝑣, 𝑣 A vektort meghatároza az: állása- milyen egyenesekkel párhuzamos iránya- a tartóegyeneseken két irány lehetséges, nyíllal jelöljük hossza-jele |𝑣| Két vektor egyenlő, ha állásuk, irányuk, hosszúk megegyezik. Def: Adott egy 𝑣 vektor. Azt a geometriai transzformációt, amelyik a P ponthoz hozzárendeli a P’ pontot úgy, hogy a ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑃′ = 𝑣 , eltolásnak nevezzük. Tulajdonságok: ha az eltolás vektora nem a null vektor, akkor nincs fix pont egyenes tartó, távolságtartó, szögtartó-tehát egybevágósági transzformáció az eltolás vektorával párhuzamos egyenes invariáns egyenes Feladatok: Matematika Gyakorló és érettségire felkészítő feladatgyűjtemény III.:447, 448, 449,
54
8. EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK Értelmezhetjük az egyenleteket úgy, hogy az egyenlőség két oldalán egy-egy függvény áll. Az egyenlet értelmezési tartománya vagy alaphalmaza a két függvény értelmezési tartományának közös része (metszete). Az egyenlet megoldásának vagy gyökének nevezzük az alaphalmaz azon elemeit, amelyeknél a két függvény azonos értékeket vesz fel. Azt szoktuk mondani, hogy az egyenlet gyöke az az eleme az alaphalmaznak, amely kielégíti az egyenletet. Ha az egyenletet az alaphalmaz minden eleme kielégít, akkor az egyenletet azonosságnak nevezzük.
I.
MEGOLDÁSI MÓDSZEREK Grafikus megoldási módszer
Az egyenlet értelmezéséből adódik ez a módszer. Ábrázoljuk közös koordináta rendszerben az egyenlet két oldalán álló függvényt és keressük az alaphalmaz azon elemeit, amelyek a két függvény metszéspontjainak első koordinátái. Előnye a módszernek, hogy akkor is alkalmazhatjuk, ha algebrai módszerekkel nem tudjuk megoldani az egyenletet. Hátránya a módszernek, hogy a pontatlan ábrázolás miatt nem lehetünk biztosak a gyökök pontos leolvasásában. A leolvasott eredményeket mindig ellenőrizni kell. Általában arra használjuk a módszert, hogy megmondjuk a gyökök számát, esetleg megadunk intervallumot, amelyben vannak. Példa: Oldjuk meg grafikusan: |𝑥 − 2| = 4𝑥 − 11
II.
A mérlegelv
Néha hasznos, ha a megoldás előtt az egyenleteket rendezzük. A rendezésnél figyelnünk kell, arra, hogy az átalakított egyenletnek pontosan azok a gyökei legyenek, mint az eredeti egyenletnek. Ezeket az átalakításokat ekvivalens átalakításoknak, az egyenleteket pedig ekvivalens egyenleteknek nevezzük. A mérleg elvet használjuk az egyenletek rendezésénél. Ez azt jelenti, hogy az egyenlet gyökei nem változnak, ha: az egyenlet mindkét oldalához hozzáadjuk, vagy kivonjuk ugyanazt a számot 55
az egyenlet mindkét oldalát szorozzuk, vagy osztjuk ugyanazzal a 0-tól különböző számmal Figyelem: Ne szorozzuk, osszuk az egyenletet ismeretlennel. Szorzás esetén hamis gyököt kaphatunk, osztás esetén gyököt veszíthetünk. Megjegyzés: Egyenlőtlenség esetén hasonlóan járunk el azzal a különbséggel, hogy ha negatív számmal szorzunk egy egyenlőtlenséget, akkor az egyenlőtlenség iránya megváltozik.
Feladatok: 1. Oldd meg grafikusan a következő egyenleteket: a. 𝑥2 − 3 = 𝑥 − 1 b. 𝑥 2 − 1 = |𝑥 + 1| c. 𝑥 2 − 1 = −|𝑥 − 2| + 1 (𝑥 + 3)2 = 𝑥 + 5 d. (𝑥 − 3)2 + 1 = −|𝑥 − 1| + 1 e. 2. Állítsd párba azokat, amelyek ugyanazt jelentik! |𝑥| ≤ 7 a. −3 ≤ 𝑥 ≤ 11 1. |𝑥 − 4| ≤ 7 b. −8 < 𝑥 < 6 2. |𝑥 + 1| < 7 c. −7 ≤ 𝑥 ≤ 7 3. |𝑥 + 3| ≥ 2 d. 0 ≤ 𝑥 ≤ 7 4. f. ]−∞, 1] ∪ [5, ∞[ 3. Oldd meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán: a. 5(𝑥 + 19 − 7 = 3(𝑥 − 2) − 4, b. 3(𝑥 − 4) − 2(𝑥 + 2) = 4, c. 4(x+5)-(3x-6)=3x+2, d. e. f. g. h. i. j. k.
𝑥−1
−
2 2𝑥−1 3 𝑥+4 4 7−𝑥
5 𝑥+1
+
12 13+𝑥
1
= 6,
3 5−2𝑥
2 2𝑥−1
3 5𝑥−4
3 𝑥+3
− +
𝑥
+ 4 = 13 − 6𝑥, 𝑥+12
=
6 2𝑥−14
+
+
2 3𝑦+1
7
−
−
11 2𝑥+3
𝑥−2
=
8 3+𝑥 10
− 5 + 𝑥, 𝑥−6
−
2
𝑥
− 14,
− 2 = 0, 1
= ,
9 6 5𝑦−1 𝑦+5
=
6 3𝑥−16 3
4
− 2,
=𝑥+
10 3
,
(𝑥 + 1)(𝑥 + 3) = (𝑥 − 1)(𝑥 + 2) + 11, l. (𝑥 + 2)(2𝑥 − 1) − 13 = (2𝑥 + 1)(𝑥 − 3), m. (𝑥 + 1)2 + (𝑥 − 3)2 = (𝑥 − 1)2 + (𝑥 + 3)2 , n. (3𝑥 + 2)2 + (4𝑥 − 1)2 = (5𝑥 + 7)2 , o. (2𝑥 − 3)(2𝑥 + 3) − (2𝑥 − 5)2 = 𝑥 + 3. p. ̅̅̅̅̅ + ̅̅̅̅̅ 4. Oldd meg az egyenletet:12𝑥 1𝑥2 + ̅̅̅̅̅ 𝑥12 = 1011. 5. Oldd meg az egyenleteket: a.
𝑥−1
+ 1000
𝑥−2 999
+⋯+
𝑥−1000 1
= 1000,
Segítség: Írd az egyenletet a következőképpen: 56
𝑥−1 𝑥−2 𝑥 − 1000 ( − 1) + ( − 1) + ⋯ + ( − 1) = 0 1000 999 1 𝑥−1 𝑥−2 𝑥−2014 + 3 + ⋯ + 2015 + 2014 = 0. 2
b.
6. Oldd meg az egyenlőtlenségeket. A megoldásokat intervallum formában add meg. a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. l. m. n. o.
1
1
𝑥
1
1
𝑥 − 3 𝑥 < 4 𝑥 − 6,
2 𝑥+1 3
1
𝑥
− 2 ≥ 6, 𝑥
𝑥
1
− 3 + 2 ≤ 6 + 5, 2
𝑥−2 5 2𝑥 3
−
−
𝑥+3
4 3𝑥+2 4
2
<
𝑥−1 2
−
+𝑥 >−
𝑥+2
,
6 𝑥−1 2
+ 2
4𝑥 3
,
(𝑥 − 1) + 7 ≥ (𝑥 + 4) , (𝑥 − 2)2 + 2𝑥 + 1 ≥ (𝑥 + 2)2 + 10, 2(𝑥 − 1)2 − 7 ≥ (𝑥 − 2)2 + (𝑥 + 3)2 , 2 𝑥+3 3
< 0,
2𝑥−5 −4 5−3𝑥 𝑥−2 𝑥+3 𝑥+5
> 0,
≥ 0,
3−2𝑥 𝑥−6 7−2𝑥 𝑥−5 𝑥+2
≤ 0,
< 0, ≥ 0,
≤ 0,
57
SZÖVEGES FELADATOK A szöveges feladatok megoldásánál a következőkre figyelj: értelmezd a szöveget, válaszd meg az ismeretlent, vagy ismeretleneket, szöveg alapján írj fel egyenletet, oldd meg az egyenletet, ellenőrizd a kapott eredményt a szöveg alapján, adj szöveges választ.
Feladatok: 4
1. Osszuk 84-et két részre, úgy, hogy arányuk 3 legyen. 2. Daninak nyulai és galambjai vannak az udvaron. Kati megkérdezte, hogy hány nyula és hány galambja van. Dani azt mondta, hogy állatainak 15 fejük és 34 lábuk van. Meg tudja –e ebből Kati az állatok számát? 3. Sárkány országban 2 és 3 fejű, 2 lábú sárkányok élnek. A farsangi bálon a ceremónia mester, aki szerette a matematikát, összesen 81 fejet és 66 lábat számolt össze. Megkérte a gazdáját, hogy számítsa ki, hogy hány kétfejű és hány háromfejű sárkány volt a bálon. Vajon hogy oldotta meg a feladatot? 4. Egy tanyán háromféle állatot tartanak - nyulat, kecskét és libát. A kecskék száma feleannyi, mint a nyulaké, akik viszont 15-tel kevesebben vannak, mint a libák. a. Hány állat van a tanyán, ha 18 nyúl van? b. Hány nyúl van, ha a tanyán lévő állatoknak összesen 190 lábuk van? 5. Anna és Bea pénzének aránya 3:5. Ha Bea ad Annának 500 Ft-ot, akkor az arány2:3 lesz. Mennyi pénzük volt eredetileg? 6. Dani 3 nap alatt elolvasott 331 lapot egy könyvből. A második nap 10%-kal többet olvasott, mint az első nap, a harmadik nap pedig 10%-kal többet, mint a második nap. Hány oldalt olvasott a harmadik nap? 7. Három ládába összesen 460 alma van. Az első ládában lévő almák száma a második 3
1
ládában levő almák 4-e. A harmadik ládában 1 2-szer több alma van, mint az elsőben. Hány alma van mindegyik ládában? 2
8. Dani elköltötte zsebpénzének 7 − 𝑡 füzetekre, 320 Ft-ért vett egy golyóstollat. Mennyi pénze volt, ha vásárlás után még a pénze egyharmada volt meg? 3
3
9. Dani elköltötte pénzének 5-ét, majd a maradék 4-ét és még 340 Ft-ot. Mennyi pénze volt, ha 140 Ft-ja maradt? 5
10. Hány óra van, ha a mai napból az eltelt idő 3-a maradt még nap végéig? 11. Egy anyuka és két gyermeke életkorainak összege 60 év. Hány évesek, ha Dani háromszor olyan idős, mint Gabi, az anyuka pedig kétszer annyi, mint gyerekei együtt? 12. Dani most 4 éves, apja 28. Hány év múlva lesz az apa életkora kétszerese a Dani életkorának? 13. Egy matek versenyen 10 feladatot kellet megoldani. Minden jól megoldott feladatért 5 pont járt, és minden nem megoldott feladatért levontak 3 pontot. Dani hány feladatot oldott meg jól, ha 34 pontja volt? 58
14. Egy iskola sport csarnokában, ha minden padban 5-en ülnének, akkor még kéne 8 pad, ha pedig minden padban 6-an ülnének, akkor 2 pad üresen marad. Hány pad volt a teremben és hány tanulója volt az iskolának? 3
15. Év elején egy osztály 7-e lány volt. Évközben jött még 4 lány, ekkor az osztály fele volt lány. Hányan voltak az osztályban az év elején? 1
16. Egy kertet 4 nap alatt kerítettek be. Az első nap elhasználták a drót 3-t és még 90 m-t. 1
1
Második nap a maradék 3 -t és még 60 m-t. A harmadik nap a maradék 3 -t és még 20 m- t. A negyedik napra 40 m maradt. Hány méter drótot használtak? 17. Egy kamionba 330 db fenyő és tölgydeszkát raktak fel. A tölgydeszkák súlya 220 kg-mal kevesebb, mint a fenyődeszkák súlya. Tudva azt, hogy egy fenyődeszka súlya 5,6 kg a tölgydeszka súlya 9,2 kg, hány darab fenyődeszkát raktak a kamionba? 18. Egy kétjegyű számban a tízes helyiértéken álló szám négyszer nagyobb, mint az egyesek száma. Ha a számból kivonunk 54-et, akkor a számjegyek felcserélődnek. Melyik ez a szám? 19. Egy szállodában 88 darab két és háromágyas szoba van. Hány két és háromágyas szoba van a szállodában, ha összesen 198 férőhely van? 20. Két autó egy időben és helyről indul ellentétes irányba. 4 óra múlva 580 km-re lesznek egymástól. Mekkora a sebessége a két autónak, ha egyik sebessége 13 km/h-val nagyobb? 21. Egy munkát egy asztalos 30 óra alatt fejez be. A munka hányad részét végzi el 1 óra alatt? 22. Egy munkát egy munkás 4 óra alatt végez el, egy másik pedig 6 óra alatt. Hány óra alatt végzik el együtt a munkát? 23. Dani egy munkát 8 óra alatt, Gabi pedig 12 óra alatt végezné el egyedül. a. Ha reggel 9 órakor együtt kezdik a munkát, akkor, mikor fejezik be? b. Mikor lesz készen Gabi a munkával, ha 9 órakor együtt kezdenek, de Dani csak 4 órát dolgozik?
59
9. ARANY DÁNIEL MATEMATIKAI TANULÓVERSENY 1.
𝑎
Az a, b pozitív valós számokra az 𝑎 + 𝑏, 𝑎 − 𝑏, 𝑎𝑏, é𝑠 kifejezések értéke növekvő 1 3 4
7
4 4 3
4
sorrendben , , , é𝑠 .. Melyik ez a két szám?
𝑏
2013/2014
2. Az ABC háromszögben a B csúcsnál lévő szög 60°-os. Az A csúcshoz tartozó belső szögfelezőt a C csúcshoz tartozó belső, illetve külső szögfelező rendre az E, illetve F pontban metszi. Mekkora az EC és az FE szakaszok hosszának aránya? 2013/2014 3. Az a és b nullától különböző valós számokra teljesül az alábbi összefüggés: 𝑎3 + (3𝑎2 + 1)𝑏 + (3𝑏 2 + 1)𝑎 + 𝑏 3 = 0 𝑎
Mennyi lehet az hányados értéke? 𝑏
2012/2013
4. A 2011, 2012, 2013,2014 számok közül melyek írhatók fel kettő vagy több egymást követő pozitív páratlan szám összegeként? 2012/2013 5. Hány olyan különböző (egymással nem egybevágó) háromszög van, amelynek két oldala 2 cm és 7 cm hosszúságú, és a harmadik oldalhoz tartozó súlyvonal cm-ben vett mérőszáma is egész szám? 2012/2013 6. Egy esküvői vacsorán egy hat fős asztaltársaság tagjai közül néhányan ismerik egymást. A násznagy megkérdezi az asztaltársaság tagjait, hogy hány személyt ismernek az asztalnál ülők közül. Az első öt válaszadó által kimondott öt szám mindegyike különbözik egymástól. Hány embert ismerhet a hatodik személy az asztalnál ülők közül? (Az ismeretségeket kölcsönösnek tételezzük fel.) 2012/2013 7. Milyen arányban osztják az ABCDEF szabályos hatszög AC és BF átlói egymást? 2011/2012 595 8. Az N pozitív egész szám pozitív osztóinak a szorzata 3 . Határozzuk meg az N szám utolsó számjegyét! 2011/2012 9. .Mely x és y pozitív egész számokra igaz az alábbi egyenlőség? 2 2 𝑥 − 𝑦 + 2𝑥 − 6𝑦 − 25 = 0 2011/2012 10. Hány olyan hatjegyű természetes szám van, amelynek 2011-gyel való osztási maradéka 2010? 2010/2011 11. Az ABCDEF hatszögre igaz, hogy minden szöge 120°-os, AB oldala 2 cm, BC oldala 7 cm, CD oldala 3 cm és DE oldala 4 cm hosszú. Milyen hosszúak az EF, illetve FA oldalak? 2010/2011 12. Hány pozitív osztója van a 0 (−1) ∙ 1 + (−1)1 ∙ 2 + (−1)2 ∙ 3 + (−1)3 ∙ 4 + ⋯ + (−1)2007 ∙ 2008 + (−1)2008 ∙ 2009 összegnek? 2009/20010 2010 13. Igaz-e, hogy 2009 + 2 prímszám? 2009/2010
60
IRODALOMJEGYZÉK Fuksz Éva-Riener Ferenc: Érettségi feladatgyűjtemény matematikából 9-10. évfolyam Maxim Kiadó 2009
Juhász István, Orosz Gyula, Paróczay József, Szászné-dr. Simon Judit:Matematika 9. Az érthető matematika Nemzeti Tankönyvkiadó 2009 Czapáry Endre, Czapáry Endréné, Csete Lajos, Hegyi Györgyné, Iványiné Harró Ágota, Morvai Éva, Reiman István: Geometriai feladatok gyűjteménye Nemzeti Tankönyvkiadó 2006
Árki Tamás, Konfárné Nagy Klára, Kovács István, Trembeczki Csaba, Urbán János: Sokszínű matematika, Feladatgyűjtemény Mozaik Kiadó 2009
61
