MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. május 9. KÖZÉPSZINT I. 1) Egy háromszög belső szögeinek aránya 2:5:11. Hány fokos a legkisebb szög? (2 pont) Megoldás: A legkisebb szög 20o .
Összesen: 2 pont
2) Egy számtani sorozat első eleme 8, differenciája negyedik eleme?
2 . Mekkora a sorozat 3 (2 pont)
Megoldás: A sorozat negyedik eleme 6 .
Összesen: 2 pont
3) A pozitív egészeket növekvő sorrendbe állítjuk. Melyik szám nagyobb: a hetedik 13-mal osztható pozitív egész, vagy a tizenharmadik 7-tel osztható pozitív egész? (2 pont) Megoldás: A két szám egyenlő. 7 1 91
Összesen: 2 pont
4) Az alábbi adatok március első hetében maximumok (az adatokat °C-ban mérték): hétfő 5,2
kedd 1,6
szerda 3,1
csütörtök –0,6
mért
péntek –1,1
napi
hőmérsékleti
szombat 1,6
vasárnap 0
Mennyi volt ezen a héten a hőmérsékleti maximumok átlaga? (2 pont) Megoldás: 9,8 1, 4 7
5) Az a és b valós számokról tudjuk, hogy értéke?
Összesen: 2 pont a2 b2 20 . Mekkora a b a b (2 pont)
Megoldás: 20
Összesen: 2 pont
6) Egy téglatest alakú akvárium belső méretei (egy csúcsból kiinduló éleinek hossza): 42 cm, 25 cm és 3 dm. Megtelik-e az akvárium, ha beletöltünk 20 liter vizet? Válaszát indokolja! (3 pont) Megoldás:
V 42 25 30 31500 cm3 31,5 dm3 31,5 liter Az akvárium nem telik meg.
(2 pont) (1 pont) Összesen: 3 pont
7) Válassza ki azokat az egyenlőségeket, amelyek nem igazak minden valós számra: (2 pont) a)
x 24
b)
x 2 2 x 2
c)
x 2 2
x 2
2
2x
Megoldás: b), c)
(1+1 pont) Összesen: 2 pont
8) Péter lekötött egy bankban 150 000 forintot egy évre, évi 4%-os kamatra. Mennyi pénzt vehet fel egy év elteltével, ha év közben nem változtatott a lekötésen? (2 pont) Megoldás: 156000 Ft-ot vehet fel Péter egy év elteltével.
Összesen: 2 pont
9) Egy négytagú társaság e-mail kapcsolatban van egymással. Bármelyikük egy-egy társának legfeljebb egy levelet ír hetente. Válassza ki a felsorolt lehetőségek közül, hogy maximum hány levelet írhatott összesen egymásnak a társaság 4 tagja 1 hét alatt? Válaszát indokolja! a) b) c)
4 4 16 4 3 12 43 6 2
(3 pont)
Megoldás: Mind a négy ember maximum három levelet írhatott egy héten: 12 vagy b)
4 3 .
(2 pont) (1 pont) Összesen: 3 pont
10) Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy a PO 3; 5 ponton és párhuzamos a 4x 5y 0 egyenletű egyenessel! (3 pont) Megoldás: 4x 5y 13
Összesen: 3 pont
11) Egy 10 tagú csoportban mindenki beszéli az angol és a német nyelv valamelyikét. Hatan beszélnek közülük németül, nyolcan angolul. Hányan beszélik mindkét nyelvet? Válaszát indokolja számítással, vagy szemléltesse Venn-diagrammal! (3 pont) Megoldás:
6 8 10 4
(2 pont)
Mindkét nyelvet 4 fő beszéli.
(1 pont) Összesen: 3 pont
12) Az f függvényt a 2; 6 intervallumon a grafikonjával értelmeztük. Mekkora f legkisebb, illetve legnagyobb értéke? Milyen x értékekhez tartoznak ezek a szélsőértékek? (4 pont) Megoldás: f legkisebb értéke 3 .
(1 pont)
Ez az x 2 értékhez tartozik. (1 pont) f legnagyobb értéke 7 .
(1 pont)
Ez az x 6 értékhez tartozik.
(1 pont) Összesen: 4 pont
II/A. 13) Oldja meg a következő egyenleteket: a)
9x 2 3x 3 0
(6 pont)
b)
sin2 x 2 sin x 3
(6 pont)
Megoldás: a)
Legyen 3x a Az a 2 2a 3 0 másodfokú egyenletet kell megoldani. Ennek az egyenletnek a gyökei: a1 3 és a2 1
(1 pont) (1 pont)
a 3x 3 esetén x 1 a 3x 1 egyenlet nem ad megoldást, mert 3 minden valós kitevőjű hatványa pozitív szám. Az x 1 kielégíti az eredeti egyenletet.
(1 (1 (1 (1
pont) pont) pont) pont)
(1 (1 (1 (1
pont) pont) pont) pont)
b) Legyen sin x a Az a 2 2a 3 0 másodfokú egyenletet kell megoldani. Ennek az egyenletnek a gyökei: a1 3 és a2 1 . a sin x 3 nem ad megoldást, mert sin x 1 a sin x 1 3 A sin x 1 egyenlet gyökei: x 2k , 2 ahol k tetszőleges egész szám. Ezek az x értékek kielégítik az egyenletet.
(1 pont) (1 pont) Összesen: 12 pont
14) Egy szabályos háromszög alapú egyenes hasáb alapéle 8 cm hosszú, palástjának területe (az oldallapok területösszege) hatszorosa az egyik alaplap területének. Mekkora a hasáb felszíne és térfogata? (12 pont) Megoldás: Az a oldalú szabályos háromszög magassága: a2 3 16 3 cm2 4 A palást területe: 3amt 24mt
Az alaplap területe:
a 3 4 3. 2
(1 pont) (2 pont) (2 pont)
24mt 6 16 3 mt 4 3
Vhasáb Ta mt 16 3 4 3 192 cm3 Ahasáb 2Ta 3a mt
(2 pont)
(2 pont)
Ahasáb 2 16 3 24 4 3 128 3 221, 7 cm3
(1 pont) (2 pont) Összesen: 12 pont
15) A 12. évfolyam tanulói magyarból próbaérettségit írtak. Minden tanuló egy kódszámot kapott, amely az 1, 2, 3, 4 és 5 számjegyekből mindegyiket pontosan egyszer tartalmazta valamilyen sorrendben. a) Hány tanuló írta meg a dolgozatot, ha az összes képezhető kódszámot mind kiosztották? (3 pont) b) Az alábbi kördiagram a dolgozatok eredményét szemlélteti: Adja meg, hogy hány tanuló érte el a szereplő érdemjegyeket! Válaszát foglalja táblázatba, majd a táblázat adatait szemléltesse oszlopdiagramon is! (6 pont) c) Az összes megírt dolgozatból véletlenszerűen kiválasztunk egyet. Mennyi a valószínűsége annak, hogy jeles vagy jó dolgozatot veszünk a kezünkbe?
(3 pont)
Megoldás: a)
Az összes képezhető kódok száma 5!. 120 tanuló írt dolgozatot.
(2 pont) (1 pont)
b) jegyek fok fő
2 45° 15
3 105° 35
4 150° 50
5 60° 20 (4 pont)
(2 pont) c)
A 4-es és az 5-ös dolgozatok száma összesen: 70. 70 7 A keresett valószínűség: 120 12 0, 583
(1 pont) (2 pont) Összesen: 12 pont
II/B. 16) Adott a következő egyenletrendszer: (1) 2 lg y 1 lg x 11 (2) y 2x a) Ábrázolja derékszögű koordináta-rendszerben pontokat, amelyeknek koordinátái kielégítik
azokat a P (x; y ) a (2) egyenletet! (2 pont) b) Milyen x, illetve y valós számokra értelmezhető mindkét egyenlet? (2 pont) c) Oldja meg az egyenletrendszert a valós számpárok halmazán! (11 pont) d) Jelölje meg az egyenletrendszer megoldáshalmazát az a) kérdéshez használt derékszögű koordináta-rendszerben! (2 pont)
Megoldás: a)
b) Az (1) egyenlet miatt y 1 és x 11 c)
(2 pont) (1 pont) (1 pont)
lg y 1 lg x 11
(1 pont)
lg 2x 1 lg x 11
(1 pont)
A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt
(1 pont)
2x 1
x 11
(1 pont)
4x 2 3x 10 0 5 és x2 2 x1 4 5 és y2 4 y1 2
(2 pont)
2
2
2
(1 pont) (1 pont)
5 5 A másodfokú egyenletrendszer megoldásai: ; illetve 2; 4 (1 pont) 4 2 amiből a második számpár nem tartozik az eredeti egyenlet értelmezési tartományába, (1 pont) az első számpár kielégíti az eredeti egyenletrendszert. (1 pont) 5 5 d) A ; pont bejelölése. (2 pont) 4 2 Összesen: 17 pont
17) Egy televíziós játékban 5 kérdést tehet fel a játékvezető. A játék során a versenyző, ha az első kérdésre jól válaszol, 40 000 forintot nyer. Minden további kérdés esetén döntenie kell, hogy a játékban addig megszerzett pénzének 50, 75 vagy 100 százalékát teszi-e fel. Ha jól válaszol, feltett pénzének kétszeresét kapja vissza, ha hibázik, abba kell hagynia a játékot, és a fel nem tett pénzét viheti haza. a) Mennyi pénzt visz haza az a játékos, aki mind az öt feltett kérdésre jól válaszol, s bátran kockáztatva mindig a legnagyobb tétet teszi meg? (4 pont) b) Az a játékos, aki mindig helyesen válaszol, de óvatos, és a négy utolsó fordulóban pénzének csak 50%-át teszi fel, hány forintot visz haza? (4 pont) c) A vetélkedő során az egyik versenyző az első négy kérdésre jól válaszolt. A második kérdésnél a pénzének 100%-át, a 3., 4. és 5. kérdés esetén pénzének 75%-át tette fel. Az 5. kérdésre sajnos rosszul válaszolt. Hány forintot vihetett haza ez a játékos? (5 pont) d) Egy versenyző mind az 5 fordulóban jól válaszol, és közben minden fordulóban azonos eséllyel teszi meg a játékban megengedett lehetőségek valamelyikét. Mennyi annak a valószínűsége, hogy az elnyerhető maximális pénzt viheti haza? (4 pont) Megoldás: a)
Az első nyereménye 40 000 forint, a további négy fordulóban a pénze mindig megduplázódik, így a végén 40000 24 640000 forint a nyeremény. (4 pont) b) Az első nyereménye 40 000 forint, a további négy fordulóban a pénze mindig másfélszereződik, így a végén 40000 1,54 202500 forint a nyeremény. (4 pont) c) Az első nyereménye 40 000 forint, a további négy forduló végére (5 pont) 40000 21 1,752 0,25 61250 forint a nyeremény. d) Az összes esetek száma a 4 utolsó fordulóban 34 81 . A kedvező esetek száma 1. A
keresett
valószínűség
(a
klasszikus
modell
(2 pont) (1 pont)
1 0, 012 81 (1 pont) Összesen: 17 pont
szerint):
18) Egy függőleges tartórúdra a talajtól 4 m magasan mozgásérzékelőt szereltek, a hozzákapcsolt lámpa 140º-os nyílásszögű forgáskúpban világít függőlegesen lefelé. a) Készítsen vázlatrajzot az adatok feltüntetésével! (2 pont) b) Milyen messze van a lámpától a legtávolabbi megvilágított pont? (4 pont) c) Megvilágítja-e az érzékelő lámpája azt a tárgyat, amelyik a talajon a tartórúd aljától 15 m távolságra van? (4 pont) d) A tartórúdon méterenként kampókat helyeztünk el, amelyekre fel tudjuk akasztani a mozgásérzékelő lámpáját. Alulról számítva hányadik kampót használjuk, ha azt akarjuk, hogy a vízszintes talajon ne világítson meg a lámpa 100 m2-nél nagyobb területet? (7 pont) Megoldás: a) 140° y 4m x b)
c)
4 cos 70 11, 7 m
y
x
(2 pont) (3 pont) (1 pont)
A legtávolabbi megvilágított pont a talajon a rúd aljától x 4 tg70 távolságra van, (2 pont) (1 pont) x 11 m
így a 15 méterre levő pont már nincs megvilágítva. (1 pont) 2 d) r 100 (1 pont) 100 (2 pont) r 5,64 m 5,65 (2 pont) h 2,05 m tg70 tehát az első vagy a második kampóra kell akasztani az érzékelőt. (2 pont) Összesen: 17 pont
