KOVÁCS BÉLA,
MATEmATIkA I.
17
XVII. A HATÁROZATLAN 1. PRImITÍV
INTEGRÁL
FÜGGVÉNY, ALApINTEGRÁLOk
A (nagy) F függvényt a (kis) f függvény primitív függvényének nevezzük valamely nyílt intervallumon, ha itt . Egy függvénynek végtelen sok primitív függvénye van, és ezek összességét f határozatlan integráljának nevezzük. Jelölése:
(olv. "integrál ef iksz dé iksz"), ahol C tetszőleges állandó (integrációs állandó).
Alapintegrálok ,
;
;
;
,
,
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
2. INTEGRÁLÁSI SZAbÁLYOk
, k állandó;
;
(1)
;
(2)
;
(3)
,
állandó.
Parciális integrálás Parciális integrálás:
.
Gyakoriak az
alakú integrálok, ahol P(x) polinom.
Ha Q(x) exponenciális, trigonometrikus vagy hiperbolikus függvény, akkor P(x) -et célszerű u-nak választani. Ha viszont Q(x) logaritmus, arkusz vagy area függvény, akkor Q(x)-et célszerű u-nak választani.
Integrálás helyettesítéssel Integrálás helyettesítéssel:
.
Ha jól választjuk meg a j függvényt, akkor a jobb oldali új integrál egyszerűbb lesz, mint az eredeti.
3. MINTApÉLDÁk
Megoldások: 1. Számítsuk ki az alábbi integrálokat: a)
;
b)
c)
;
,
láthatók
nem láthatók
d)
;
e)
;
f)
g)
;
;
h)
;
i)
j)
;
;
k)
l)
.
Megoldások. A fenti integrálok mindegyike visszavezethető alapintegrálokra. a)
;
b)
;
c)
;
d)
;
e)
C;
f)
; , vagy
g)
;
;
h)
;
i)
j)
;
k)
;
l)
.
2. Számítsuk ki az alábbi integrálokat:
a)
;
b)
;
;
c)
;
d)
e)
;
f)
.
Megoldások. Mindegyik integrál kiszámításánál felhasználjuk a (3) szabályt. a)
;
b)
;
c)
;
d)
;
;
e)
f)
.
3. Számítsuk ki az alábbi integrálokat:
;
a)
b)
;
c)
;
d)
;
e)
;
f)
.
Megoldások. A fenti integrálok kiszámításánál felhasználjuk a (2) szabályt. a) A számláló a nevező deriváltja, ezért ; A b) – f) integrálok kiszámításánál szükséges egy kis átalakítás ahhoz, hogy a számláló a nevező deriváltja legyen. b)
c)
d)
;
;
;
e)
;
.
f)
4. Számítsuk ki az alábbi integrálokat: ;
a)
b)
;
c)
;
;
d)
e)
;
.
f)
Megoldások. Alkalmazzuk az (1) szabályt. a)
;
;
b)
c)
;
d)
;
e)
;
f)
.
5. Számítsuk ki az alábbi integrálokat, majd deriválással győződjünk meg az integrálás helyességéről: ;
a)
;
b)
c)
;
d)
;
e)
;
.
f)
Megoldások. Alkalmazzuk a parciális integrálás módszerét. a)
. Ellenőrzés:
.
Megkaptuk az integranduszt
-et), tehát az integrálás eredménye helyes.
b)
Ellenőrzés:
;
c)
. Ellenőrzés: ;
d)
.
Ellenőrzés:
;
e)
;
. Ellenőrzés:
;
f)
.
Ellenőrzés:
.
6. Számítsuk ki az alábbi integrálokat: a)
;
;
b)
c)
;
d)
;
e)
;
f)
;
g)
;
h)
.
Megoldások. Alkalmazzuk a helyettesítéssel való integrálás módszerét.
a)
;
b)
; c)
;
d)
;
e)
a ch t dt =
;
f)
;
g)
;
h)
.
Egy lehetséges másik helyettesítés:
,
.
7. Számítsuk ki az alábbi integrálokat: a)
;
;
b)
c)
;
d)
.
Megoldások a)
b)
;
;
c)
;
dt.
d)
(l. a 6/f példát).
8. Számítsuk ki az alábbi integrálokat: ;
a)
b)
;
c)
;
d)
;
;
e)
f)
;
g)
;
h)
.
Megoldások. Valamennyi integrandusz racionális tört. Résztörtekre bontjuk őket, majd utána integrálunk. Felhasználjuk a 7. példa eredményeit. a)
. Ha x = 2, akkor 9 = 7A Þ A =
ha
, akkor
,
. Tehát
;
b)
, tehát
;
c)
;
d)
;
Itt
kihasználtuk
azt,
hogy
azonosságból A = 1, B = 3,
a következik.
e)
.
;
f)
;
g)
;
h)
,
.
.
9. Számítsuk ki az alábbi integrálokat:
a)
;
b)
;
c)
.
Megoldások. Mindegyik integrandusz sin x-nek és cos x-nek racionális függvénye. Ekkor egy lehetséges megoldási mód a
helyettesítéssel való integrálás. Itt felhasználjuk azt, hogy
,
,
.
a)
;
b)
. Itt eljárhatunk a következőképpen is:
;
c)
.
10. Számítsuk ki az alábbi integrálokat:
a)
b)
;
;
c)
.
Megoldások. Mindegyik integrandusz az
-nek racionális függvénye. Ekkor egy lehetséges megoldási mód
helyettesítéssel való integrálás:
,
, azaz
a)
;
b)
.
Megjegyezzük, hogy a
tört számlálója a nevező deriváltja.
c)
.
11. Számítsuk ki az alábbi integrálokat: a)
;
b)
;
c)
;
d)
.
Megoldások
a)
.
;
b)
;
c)
;
d)
;
4. FELADATOk Számítsa ki a következő integrálokat, alapintegrálokra visszavezetve azokat: ;
1.
2.
3.
;
;
4.
;
5.
;
6.
;
;
7.
8.
;
9.
;
10.
.
Számítsa ki a következő integrálokat, a parciális integrálás módszerét alkalmazva: ;
11.
;
12.
13.
;
14.
;
15.
;
16.
;
17.
;
18.
.
Számítsa ki a következő integrálokat, a helyettesítés módszerét alkalmazva: 19.
;
20.
;
21.
;
22.
23.
;
;
24.
;
;
25.
26.
;
27.
;
28.
.
Számítsa ki a következő integrálokat, az (1), (2) és (3) integrálási szabályokat alkalmazva: ;
29.
30.
;
;
31.
32.
;
;
33.
34.
;
;
35.
36.
;
;
37.
38.
;
39.
;
40.
.
Számítsa ki a következő integrálokat az integrandusz résztörtekre bontásával: 41.
;
42.
;
;
43.
44.
45.
;
;
46.
;
47.
;
;
48.
A
helyettesítéssel számítsa ki a következő integrálokat:
49.
;
50.
Az
51.
52.
.
helyettesítéssel számítsa ki a következő integrálokat:
;
.
Számítsa ki a következő integrálokat:
53.
;
54.
55.
;
;
56.
57.
;
;
;
58.
;
59.
60.
;
61.
62.
;
.
Megoldások 1.
;
2.
;
3.
;
4.
;
;
5.
6.
;
7.
8.
9.
;
;
;
10.
.
11.
;
12.
;
13.
;
14.
;
15.
;
16.
;
17.
;
,
18.
.
Adjuk össze a két egyenlőséget, majd az összeget osszuk el 2 -vel. Ekkor a kívánt integrált kapjuk: .
Ha a két egyenlőséget kivonjuk egymásból, majd ismét osztunk 2 -vel, akkor egy újabb integrált kapunk. .
19.
;
20.
;
21.
;
22.
;
23.
;
24.
;
25.
;
26.
;
;
27.
28.
;
29.
30.
;
;
;
31.
32.
;
33.
;
34.
;
;
35.
36.
;
;
37.
38.
;
;
39.
40.
;
41.
; Itt észrevehető, hogy a számláló a nevező deriváltja, és így .
42.
;
43.
;
44.
;
45.
;
46.
;
47.
;
;
48.
49. A
helyettesítés elvégzése után
;
50.
51. Az
;
helyettesítés elvégzése után
;
52.
53.
;
;
54.
;
55.
;
56.
;
;
57.
58.
;
;
59.
;
60.
61. A 18. feladat megoldásához hasonló módon eljárva, ;
62.
.
Digitális Egyetem, Copyright © Kovács Béla, 2011
