MATEMATIKA I Marcela Rabasová
Obsah: 1. Úvod 1.1. Osnovy předmětu 1.2. Literatura 1.3. Podmínky absolvování předmětu 1.4. Použité označení a symbolika
2. Funkce jedné reálné proměnné 2.1. Definice 2.2. Vlastnosti funkce 2.3. Základní elementární funkce (ZEF) 2.4. Klasifikace elementárních funkcí 2.5. Limita a spojitost funkce 2.6. Derivace funkce 2.7. Průběh funkce
3. Lineární algebra 3.1. Aritmetické vektory 3.2. Matice 3.3. Soustavy lineárních rovnic
4. Analytická geometrie v prostoru 4.1. Geometrické vektory 4.2. Přímka v E3 4.3. Rovina v E3
1. Úvod 1.1. Osnovy předmětu Funkce jedné reálné proměnné - definiční obor, obor hodnot - funkce prostá, inverzní, ohraničená, sudá, lichá, periodická, monotónní - základní elementární funkce, jejich vlastnosti a grafy - klasifikace elementárních funkcí - limita a spojitost funkce - derivace funkce: definice, vzorce a pravidla pro derivování, derivace funkce dané parametricky, derivace vyšších řádů, geometrický a fyzikální význam derivace, L’Hospitalovo pravidlo - průběh funkce: definiční obor, sudost, lichost, periodičnost, intervaly spojitosti a body nespojitosti, průsečíky s osami, intervaly monotónnosti a extrémy funkce, konvexnost, konkávnost a inflexní body funkce, asymptoty Lineární algebra - aritmetické vektory: definice, operace s vektory, lineární závislost a nezávislost vektorů - matice: definice, operace s maticemi, hodnost matice, determinant matice, inverzní matice, maticové rovnice - soustavy lineárních rovnic: Cramerovo pravidlo, Gaussova eliminační metoda, Frobeniova věta Analytická geometrie v prostoru - geometrické vektory: definice, operace s vektory, skalární, vektorový a smíšený součin vektorů a jejich užití - přímka: rovnice přímky, metrické úlohy, vzájemná poloha dvou přímek - rovina: rovnice roviny, metrické úlohy, vzájemná poloha dvou rovin a roviny s přímkou
1.2. Literatura [1] Burda, P.-Kreml, P.: Diferenciální počet funkcí jedné proměnné. Skripta VŠB, Ostrava 2004. ISBN 80-248-0634-7 [2] Burda,P.: Algebra a analytická geometrie. Skripta VŠB-TU, Ostrava 1997, ISBN 807078-479-2 [3] Vrbenská, H., Němčíková, J.: Základy matematiky pro bakaláře I. Skripta VŠB-TUO, Ostrava 1999. ISBN 80-7078-351-6 [4] Vrbenská, H., Bělohlávková, J.: Základy matematiky pro bakaláře II. Skripta VŠB-TUO, Ostrava 1998. ISBN 80-7078-545-4 [5] www.studopory.vsb.cz
1.3. Podmínky absolvování předmětu Podmínky pro udělení zápočtu: - 80% účast ve cvičení (20 % neúčasti lze omluvit), - odevzdání programů zadaných vedoucím cvičení v předepsané úpravě a termínu,
- absolvování písemných testů (každý test je možno jednou opravit). Za splnění podmínek získá student 5 bodů. Za testy může získat student 0 - 15 bodů. Student, který získá zápočet, bude hodnocen 5 - 20 body. Požadavky ke zkoušce: Podmínkou pro účast na zkoušce je zapsaný zápočet z příslušného předmětu. Písemná část zkoušky bude hodnocena 0 - 60 body, za její úspěšné absolvování bude považován zisk 25 bodů. Ústní část zkoušky bude hodnocena 0 - 20 body, za její úspěšné absolvování bude považován zisk 5 bodů. Po sečtení bodů získaných za zápočet, písemnou a ústní část zkoušky bude student hodnocen slovy: výborně, velmi dobře, dobře a nevyhověl, podle tabulky studijního a zkušebního řádu VŠB – TUO, viz. níže. Pro zapsání zkoušky podle tabulky musí student úspěšně absolvovat obě části kombinované zkoušky a dosáhnout potřebného počtu bodů. Bodové hodnocení: 86 – 100 b. výborně 66 – 85 b. velmi dobře 51 – 65 b. dobře 0 – 50 b. nevyhověl
1.4. Použité označení a symbolika Matematická logika: p,q … výroky negace: p … není pravda, že p konjunkce: p ∧ q … p a zároveň q disjunkce: p ∨ q … p nebo q implikace: p ⇒ q … jestliže p, pak q ( z p vyplývá q) ekvivalence: p ⇔ q … p právě tehdy když q existenční kvantifikátor: ∃ … existuje obecný kvantifikátor: ∀ … pro všechna Množiny: býti prvkem množiny: nebýti prvkem množiny: rovnost množin: inkluze:
sjednocení: průnik:
a∈ A a∉ A A=B A⊆ B
… a je prvkem A … a není prvkem A … A rovná se B … A je podmnožinou B A ⊆ B ⇔ ∀x : ( x ∈ A ⇒ x ∈ B ) A ⊂ B … A je ( vlastní) podmnožinou B A ⊂ B ⇔ ( A ⊆ B ∧ A ≠ B) A ∪ B … A sjednoceno s B A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B} A ∩ B … průnik množin A a B A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}
rozdíl: prázdná množina:
A − B … rozdíl množin A a B A − B = {x : x ∈ A ∧ x ∉ B} Ø
Číselné množiny: množina všech přirozených čísel: množina všech celých čísel: množina všech racionálních čísel: množina všech reálných čísel: množina všech iracionálních čísel: množina všech komplexních čísel:
N = {1, 2, 3, ...} Z = { ..., - 2, - 1, 0, 1, 2, ...} Q = {p q : p ∈ Z ∧ q ∈ N} R = (− ∞,+∞ ) I=R-Q C = { [a, b] : a, b ∈ R}
rozšířená množina reálných čísel:
R ∗ = R ∪ {− ∞,+∞}
množina kladných reálných čísel: množina nezáporných reálných čísel:
R + = { x ∈ R : x > 0} R 0+ = { x ∈ R : x ≥ 0}
analogicky definujeme množiny: N 0 , R − , R 0− , Q + , Q 0+ , Q − , Q 0− , Z + , Z 0+ , Z − , Z 0− otevřený interval od a do b: uzavřený interval od a do b: polouzavřený interval od a do b:
δ -okolí bodu x0 ∈ R , δ >0: levé δ -okolí bodu x0 ∈ R , δ >0: pravé δ -okolí bodu x0 ∈ R , δ >0:
(a, b ) = { x ∈ R : a < x < b} a, b = { x ∈ R : a ≤ x ≤ b} a, b ) = { x ∈ R : a ≤ x < b} (a, b = { x ∈ R : a < x ≤ b} O ( x0 , δ ) = (x 0 − δ , x0 + δ )
O − ( x 0 , δ ) = (x 0 − δ , x 0
O + ( x0 , δ ) = x0 , x 0 + δ )
okolí ( resp. levé, pravé okolí) bodu x0 ∈ R je okolí, kde nezáleží na velikosti δ , ozn. O ( x0 ) ( resp. O − ( x0 ), O + ( x0 ) ) prstencové δ -okolí bodu x0 ∈ R , δ >0:
P( x0 , δ ) = (x0 − δ , x0 ) ∪ (x0 , x0 + δ )
levé prstencové δ -okolí bodu x0 ∈ R , δ >0: P − ( x0 , δ ) = ( x0 − δ , x0 )
pravé prstencové δ -okolí bodu x0 ∈ R , δ >0: P + ( x0 , δ ) = ( x0 , x0 + δ ) prstencové okolí ( resp. levé, pravé prstencové okolí) bodu x0 ∈ R je prstencové okolí, kde nezáleží na velikosti δ , ozn. P ( x0 ) ( resp. P − ( x0 ), P + ( x0 ) )
