Mgr. Marcela Sandnerová
Základní kombinatorická pravidla Kombinatorické pravidlo součinu Kombinatorické pravidlo součtu
Kombinatorické pravidlo součinu Příklad 1 Kolika způsoby si může Pavel připravit snídani jestliže si vybírá z následujících možností: nápoj: čaj, káva, mléko, kakao, džus; pečivo: chléb, rohlík, celozrnná bageta; tuk: máslo, Rama, bez tuku; obloha: tavený sýr, šunka, salám, plátkovaný sýr, marmeláda, med, vejce. Např. káva, chléb s máslem a medem.
Kombinatorické pravidlo součinu Řešení příkladu 1 Snídaně - počet možností – p nápoj: čaj, káva, mléko, kakao, džus 5 = n1 pečivo: chléb, rohlík, celozrnná bageta 3 = n2 tuk: máslo, Rama, bez tuku 3 = n3 obloha: tavený sýr, šunka, salám, plátkovaný sýr, marmeláda, med, vejce 7 = n4 p = n1 ∙ n2 ∙ n3 ∙ n4 = 5∙3∙3∙7 = 315 Pavel si může připravit snídani 315 způsoby.
Kombinatorické pravidlo součinu Počet všech uspořádaných dvojic, jejichž první člen lze vybrat n1 způsoby a druhý člen po výběru prvního n2 způsoby, je roven: p = n1 ∙ n2
Zformulujte kombinatorické pravidlo součinu pro uspořádanou trojici, čtveřici, k-tici.
Kombinatorické pravidlo součinu Počet uspořádaných trojic, jejichž první člen lze vybrat právě n1 způsoby, druhý člen po výběru prvního členu právě n2 způsoby a třetí člen po výběru druhého právě n3 způsoby, je roven: p = n1 ∙ n2 ∙ n3
Kombinatorické pravidlo součinu Příklad 2 Kolik čtyřciferných přirozených čísel menších než 7 000 lze sestavit z číslic 0 až 9, jestliže se číslice v zápisu čísla neopakují?
Kombinatorické pravidlo součinu Řešení příkladu 2 Kolik čtyřciferných přirozených čísel menších než 7 000 lze sestavit z číslic 0 až 9, jestliže se číslice v zápisu čísla neopakují? řád tisíců n1 = 6 možnosti:1, 2, 3, 4, 5, 6 řád stovek n2 = 9 (o jednu číslici méně) řád desítek n3 = 8 (o jednu číslici méně) řád jednotek n4 = 7 (o jednu číslici méně) p = n1 ∙ n2 ∙ n3 ∙ n4 = 6∙9∙8∙7 = 3 024 Lze sestavit 3 024 čtyřciferných přirozených čísel menších než 7 000.
Kombinatorická pravidla součtu a součinu Příklad 3 Novákovi zvažují, zda pojedou v létě na dovolenou k moři, kde by jim termínem vyhovovaly čtyři pobyty s možností výběru plné penze, nebo polopenze. Druhou variantou je pět zahraničních poznávacích pobytů, u kterých je nabídka plné penze, polopenze, nebo vlastního stravování.
Kombinatorická pravidla součtu a součinu Řešení příkladu 3 Dovolená - počet možností p = p1 + p2 Dovolená u moře p1 = n1 ∙ n2 - možnosti pobytu: 4 = n1 - možnosti stravování: 2 = n2 Poznávací pobyt p2 = n3 ∙ n4 - možnosti pobytu: 5 = n3 - možnosti stravování: 3 = n4 p = p1 + p2 = n1 ∙ n2 + n3 ∙ n4 = 4∙2 + 5∙3 = 23 Novákovi vybírají dovolenou z 23 možností.
Kombinatorické pravidlo součtu Jsou-li A1 a A2 konečné množiny, pro které platí: - mají po řadě p1 a p2 prvků, - jsou disjunktní, pak počet prvků množiny A1 ∪ A2 je roven: p = p1 + p2 Zformulujte kombinatorické pravidlo součtu pro uspořádanou k-tici.
Kombinatorické pravidlo součtu Jsou-li A1, A2, …, Ak konečné množiny, pro které platí: - mají po řadě p1, p2, …, pk prvků, - každé dvě jsou disjunktní, pak počet prvků množiny A1 ∪ A2 ∪ … ∪ Ak je roven: p = p1 + p2 + … + pk
Kombinatorická pravidla součtu a součinu Příklad 4 Kolik přirozených čísel menších než 370 lze sestavit z číslic 0 až 9, jestliže se číslice v zápisu čísla neopakují?
Kombinatorická pravidla součtu a součinu Řešení příkladu 4 – 1. část Přirozená čísla menší než 300, číslice 0 až 9, neopakují se počet možností p = p1 + p2 + p3 - jednociferná přirozená čísla p1= n1= 9 řád jednotek n1= 9 (možnosti:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) - dvojciferná přirozená čísla p2 = n1 ∙ n2 = 9∙9 = 81 řád desítek n1= 9 (nelze použít 0) řád jednotek n2= 9 (o jednu číslici méně, ale přidána 0) - trojciferná přirozená čísla p3
Kombinatorická pravidla součtu a součinu Řešení příkladu 4 – 1. část Přirozená čísla menší než 300, číslice 0 až 9, neopakují se počet možností p = p1 + p2 + p3 - jednociferná přirozená čísla p1= n1= 9 (možnosti:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) - dvojciferná přirozená čísla p2 = n1 ∙ n2 = 9∙9 = 81 řád desítek n1= 9 (nelze použít 0) řád jednotek n2= 9 (o jednu číslici méně, ale přidána 0) - trojciferná přirozená čísla p3
Kombinatorická pravidla součtu a součinu Řešení příkladu 4 – 2. část - jednociferná přirozená čísla p1= n1= 9 - dvojciferná přirozená čísla p2 = n1 ∙ n2 = 9∙9 = 81 - trojciferná přirozená čísla p3 = n1 ∙ n2 ∙ n3 = 2∙9∙8 = 144 řád stovek n1= 2 (možnosti: 1, 2) řád desítek n2= 9 (o jednu číslici méně) řád jednotek n3= 8 (o jednu číslici méně) p = p1 + p2 + p3 = 9 + 81 + 144 = 234 Lze sestavit 234 přirozených čísel menších než 300.
Kombinatorická pravidla součtu a součinu Řešení příkladu 4 – 2. část - jednociferná přirozená čísla p1= n1= 9 - dvojciferná přirozená čísla p2 = n1 ∙ n2 = 9∙9 = 81 - trojciferná přirozená čísla p3 = n1 ∙ n2 ∙ n3 = 2∙9∙8 = 144 řád stovek n1= 2 (možnosti: 1, 2) řád desítek n2= 9 (o jednu číslici méně) řád jednotek n3= 8 (o jednu číslici méně) p = p1 + p2 + p3 = 9 + 81 + 144 = 234 Lze sestavit 234 přirozených čísel menších než 300.
Zdroje: Pokud není uvedeno jinak, použitý materiál je z vlastních zdrojů autorky.
