Gazdasági matematika I

´ matematika I. Gazdasagi ´ o, ´ Pap Gyula Losonczi Laszl Debreceni Egyetem, Informatikai Kar

´ ev ´ I. fel

˝ o: ´ Hajdu Lajos Eload

´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl

´ matematika I. Gazdasagi

´ ev ´ I. fel

1 / 124

´ evk ´ ozi ¨ kotelez ¨ ´ feladatok beadasi ´ hatarideje: ´ Fel o˝ hazi ´ feladatot a szakhet ´ elotti ˝ heten ´ Az 1. hazi a gyakorlaton kell ˝ beadni a gyakorlatvezetonek. ´ feladatot a szorgalmi idoszak ˝ ˝ heten ´ kell A 2. hazi utolso´ elotti ˝ beadni a gyakorlatvezetonek. ´ ´ as ´ (legfeljebb 3 hianyz ´ ´ Ezek teljes´ıtese, valamint a gyakorlatra jar as) ´ ´ ırashoz! ´ szuks a gyakorlati ala´ ¨ eges

˝ Vizsgaidopontok: ´ Neptun. Lasd



´ ev ´ I. fel

2 / 124

¨ Kotelezo irodalom:

´ ´ L OSONCZI L ASZL O ˝ ask ´ ovet ¨ o˝ anyagok es ´ feladatok Eload http://www.math.klte.hu/˜losi/huindex.htm H AJDU L AJOS ˝ ask ´ ovet ¨ o˝ anyagok es ´ feladatok Eload http://www.math.klte.hu/˜hajdul



´ ev ´ I. fel

3 / 124

´ Ajanlott irodalom: ´ P ETER H AMMOND K NUT S YDSÆTER es ¨ ´ Matematika kozgazd aszoknak Aula, 1998. ´ ´ H ATVANI L ASZL O ¨ ´ Kalkulus kozgazd aszoknak Polygon, Szeged, 2007. ´ ´ KOZMA L ASZL O Matematikai alapok ´ 1999. Studium Kiado, ´ , G YURK O´ L AJOS D ENKINGER G EZA Anal´ızis gyakorlatok ¨ ´ 1999. Nemzeti Tankonyvkiad o,



´ ev ´ I. fel

4 / 124

´ 1. A HALMAZELMELET ALAPJAI 1.1 Halmazok

´ jelol ¨ ese ´ Tartalmazas a∈B b∈ /A

(a eleme a B halmaznak) (b nem eleme az A halmaznak)

´ modjai ´ Halmazok megadasi ´ felsorolas;

´ aul ´ A = {2, 3, 5, 7, 11} peld

´ u´ elemeinek megadasa; ´ ismert halmaz adott tulajdonsag ´ aul ´ A = {n ∈ N : n paros}, ´ peld ´ ´ ahol N := {1, 2, . . . } a termeszetes szamok halmaza



´ ev ´ I. fel

5 / 124


´ Defin´ıciok ¨ ¨ ese: ´ Ures halmaz: melynek egyetlen eleme sincs; jelol ∅ ´ B halmazok egyenloek, ˝ Az A es ha elemei ugyanazok; ¨ ese: ´ ´ jelol A = B; tagadasa: A 6= B ´ Az A halmaz reszhalmaza a B halmaznak, ha A minden ¨ ese: ´ eleme benne van a B halmazban; jelol A ⊂ B, illetve B ⊃ A, amit ugy ´ olvasunk, hogy B tartalmazza az A halmazt ´ reszhalmaza ´ Az A halmaz valodi a B halmaznak, ha A ⊂ B ´ A= es 6 B



´ ev ´ I. fel

6 / 124


Logikai alapfogalmak ´ ıtas: ´ melyrol ˝ egyertelm ´ ¨ ˝ hogy ´ olyan kijelentes, All´ uen eldonthet o, ˝ igaz vagy hamis. Logikai muveletek: ˝ ´ ¬P (nem P, azaz P tagadasa) pontosan akkor igaz, ha P hamis ´ Q) pontosan akkor igaz, ha P es ´ Q is igaz P ∧ Q (P es ´ Q legalabb ´ P ∨ Q (P vagy Q) pontosan akkor igaz ha, P es egyike igaz ˝ kovetkezik ¨ P =⇒ Q (P-bol Q) pontosan akkor igaz, ha P hamis vagy ha Q igaz ´ Q P ⇐⇒ Q (P ekvivalens Q-val) pontosan akkor igaz, ha P es vagy mindketten igazak vagy mindketten hamisak



´ ev ´ I. fel

7 / 124

´ 1. A HALMAZELMELET ALAPJAI 1.1 Halmazok ´ azt mondjuk, hogy P elegendo˝ Q teljesul ´ ehez, ´ P =⇒ Q eseten ¨ es ´ eppen ´ ´ ehez ´ ´ mask Q szuks ¨ eges P teljesul ¨ es ´ azt mondjuk, hogy P szuks ´ ´ elegendo˝ Q P ⇐⇒ Q eseten ¨ eges es ´ ´ teljesul ¨ esehez ´ Q =⇒ P is igaz, P ⇐⇒ Q pontosan akkor igaz, ha P =⇒ Q es azaz (P ⇐⇒ Q) ⇐⇒ (P =⇒ Q) ∧ (Q =⇒ P) ˝ ´ Q all´ ´ ıtasokra ´ tetszoleges P es igaz ´ alapja: Az indirekt bizony´ıtas (P =⇒ Q)

⇐⇒

(¬Q =⇒ ¬P)

˝ ´ Q all´ ´ ıtasokra ´ tetszoleges P es igaz ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ ev ´ I. fel

8 / 124


Logikai kvantorok ´ univerzalis kvantor: ∀x = minden x-re ´ egzisztencialis kvantor: ∃x = van olyan x melyre ´ ak: ´ Peld A⊂B

⇐⇒

(∀x) (x ∈ A =⇒ x ∈ B)

´ es A=B

⇐⇒

(∀x) (x ∈ A =⇒ x ∈ B) ∧ (x ∈ B =⇒ x ∈ A)

˝ ´ B halmazokra igazak tetszoleges A es



´ ev ´ I. fel

9 / 124


´ Muveletek egy X halmaz reszhalmazaival ˝ ´ B egyes´ıtese ´ ´ A es = unioja: A ∪ B := {x ∈ X : x ∈ A vagy x ∈ B} ´ B metszete = koz ¨ os ¨ resze: ´ A es ´ x ∈ B} A ∩ B := {x ∈ X : x ∈ A es ´ B kul ¨ ´ A es ¨ onbs ege: ´ x∈ A \ B := {x ∈ X : x ∈ A es / B} ´ A komplementere (X -re nezve): A := X \ A



´ ev ´ I. fel

10 / 124


´ Halmazmuveletek tulajdonsagai ˝ ´ kommutativitas:

A ∪ B = B ∪ A,

A∩B =B∩A

´ asszociativitas: A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C,

A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

´ disztributivitas: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), idempotencia:

A ∪ A = A,

´ de Morgan azonossagok:


A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

A∩A=A A ∪ B = A ∩ B,


A∩B =A∪B

´ ev ´ I. fel

11 / 124


Halmazrendszer Olyan (nemures) halmaz, melynek elemei halmazok ¨ ´ minden i ∈ I elemhez meg van Ha I egy (nemures) halmaz es ¨ ¨ halmaz, akkor az A = {Ai : i ∈ I} adva egy Ai -vel jelolt halmazrendszert I-vel indexelt halmazrendszernek nevezzuk, ¨ I neve indexhalmaz ´ es ´ metszete: Egy R halmazrendszer unioja [ \ R := x : (∃A ∈ R) x ∈ A , R := x : (∀A ∈ R) x ∈ A Ha A = {Ai : i ∈ I} egy I-vel indexelt halmazrendszer, akkor [ [ \ \ Ai := A, Ai := A i∈I


i∈I


´ ev ´ I. fel

12 / 124

´ 1. A HALMAZELMELET ALAPJAI ´ ok ´ 1.2 Relaci

´ halmaz Descartes szorzata Ket ´ B halmazok Descartes szorzata (vagy direkt szorzata) e Az A es ˝ kepezett ´ ¨ ´ halmazok elemeibol osszes (a, b) rendezett parok halmaza, ¨ ese: ´ ahol a ∈ A, b ∈ B. Jelol A × B := {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}. ´ ¨ es: ´ Tovabbi jelol A2 := A × A.

´ ˝ ege ´ Rendezett parok egyenlos (a, b) = (c, d)

´ csakis akkor ha a = c, b = d. akkor es

´ halmaz koz ¨ otti ¨ relaci ´ o´ Ket ´ B halmazok Descartes szorzatanak ´ Az A es egy R ⊂ A × B ´ ´ az A es ´ B koz ¨ otti ¨ relaci ´ onak ´ reszhalmaz at nevezzuk. ¨ ´ oban ´ Ha (a, b) ∈ R, akkor azt mondjuk, hogy az a elem R relaci ¨ ese: ´ ´ B koz ¨ otti ¨ van b-vel. Jelol a R b. Ha A = B, akkor az A es ´ ot ´ A-n ertelmezett ´ ´ onak ´ relaci relaci mondjuk. ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ ev ´ I. fel

13 / 124


´ o´ Ekvivalencia relaci ´ ´ o´ ekvivalencia relaci ´ o, ´ ha Az A halmazon ertelmezett R ⊂ A×A relaci reflex´ıv, azaz (∀a ∈ A) a R a szimmetrikus, azaz (∀a, b ∈ A) a R b =⇒ b R a tranzit´ıv, azaz (∀a, b, c ∈ A) (a R b ∧ b R c) =⇒ a R c.



´ ev ´ I. fel

14 / 124


´ ´ = diszjunkt halmazokra bontas ´ = particional ´ as ´ Osztalyoz as ´ at ´ paronk ´ ´ diszjunkt halmazok unioj ´ ara ´ a Egy halmaz felbontas ent ´ ´ anak ´ halmaz osztalyoz as nevezzuk. ¨

´ o´ osztalyoz ´ ´ hajt vegre ´ Ekvivalencia relaci ast ´ o´ az A halmazon, akkor az Ha R egy ekvivalencia relaci ´ ´ oban ´ ´ o´ elemeket egy-egy osztalyba ´ egymassal relaci all sorolva az ´ ´ at ´ kapjuk. A egy osztalyoz as ´ ´ akkor az egymassal ´ Ha egy A halmazon adott egy osztalyoz as, ´ ´ oban ´ ´ oknak ´ egy osztalyba sorolt elemeket relaci all tekintve egy ´ ot ´ kapunk az A halmazon, melynek osztalyai ´ ekvivalencia relaci éppen a kiindulask ´ ent ´ vett osztalyok. ´ ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ ev ´ I. fel

15 / 124


´ ´ rendezes ´ Feligrendez es, ´ ´ o´ feligrendez ´ ´ ha Az A halmazon ertelmezett R ⊂ A × A relaci es, reflex´ıv, azaz (∀a ∈ A) a R a antiszimmetrikus, azaz (∀a, b ∈ A) (a R b ∧ b R a) =⇒ (a = b). tranzit´ıv, azaz (∀a, b, c ∈ A) (a R b ∧ b R c) =⇒ a R c. ´ ´ o´ rendezes, ´ ha Az A halmazon ertelmezett R ⊂ A × A relaci ´ ´ es ´ ha (∀a, b ∈ A) (a R b ∨ b R a). feligrendez es, ´ ak: ´ Peld ¨ ´ ´ a ⊂ tartalmazasi ´ relaci ´ o´ Egy X halmaz osszes reszhalmaz an ´ ´ feligrendez es. ´ szamok ´ ´ a ≤ relaci ´ o´ rendezes. ´ A valos R halmazan ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ ev ´ I. fel

16 / 124


´ szamhalmazok ´ ´ ´ Valos korlatoss aga ˝ korlatos, ´ A ⊂ R felulr ¨ ol ha (∃k ∈ R) (∀a ∈ A) a ≤ k . Ekkor a ´ ´ anak ´ k szamot A egy felso˝ korlatj nevezzuk. ¨ ´ korlatos, ´ A ⊂ R alulrol ha (∃k 0 ∈ R) (∀a ∈ A) a ≥ k 0 . Ekkor a ´ ´ anak ´ k 0 szamot A egy also´ korlatj nevezzuk. ¨ ´ es ´ felulr ˝ is korlatos. ´ ´ A ⊂ R korlatos, ha alulrol ¨ ol ´ ´ s ∈ R az A ⊂ R pontos felso˝ korlatja = szupremuma, ha ´ s az A felso˝ korlatja; ´ ´ ara ´ A barmely s0 felso˝ korlatj s ≤ s0 .

¨ es: ´ Jelol s = sup A. ´ i ∈ R az A ⊂ R pontos also´ korlatja = infimuma, ha ´ i az A also´ korlatja; ´ ´ ara ´ A barmely i 0 also´ korlatj i ≥ i 0.

¨ es: ´ Jelol i = inf A. ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ ev ´ I. fel

17 / 124


´ Fuggv eny ¨ ´ B halmazok koz ¨ ott ¨ ertelmezett ´ ´ o´ Az A es F ⊂ A × B relaci ´ fuggv ¨ eny, ha minden a ∈ A elemhez pontosan egy olyan b ∈ B ´ ¨ est ´ elem letezik, melyre a F b teljesul. ¨ Ilyenkor a b = F (a) jelol ´ ´ jelol ¨ ese ´ pedig F : A → B. hasznaljuk, a fuggv eny ¨ ´ ertelmez ´ ´ tartomanya. ´ DF := A az F fuggv eny esi ¨ ´ ert ´ ekk ´ eszlete. ´ RF := {F (a) : a ∈ A} az F fuggv eny ¨ ´ injekt´ıv, ha Az F : A → B fuggv eny ¨ (∀a, b ∈ A)

a 6= b =⇒ F (a) 6= F (b)

´ szurjekt´ Az F : A → B fuggv eny ¨ ıv, ha RF = B. ¨ ´ bijekt´ıv, ha injekt´ıv es ´ szurjekt´ Az F : A → B fuggv eny ıv. ¨ ¨ Ha F : A → B injekt´ıv, akkor az F −1 : RF → A inverz ´ ´ ´ fuggv ¨ eny ertelmez ese: F −1 (b) = a ha b = F (a). ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ ev ´ I. fel

18 / 124

´ SZAMOK ´ 2. A VALOS ´ szamok ´ ´ 2.1 A valos axiomarendszere ´ szamok ´ ¨ ´ A valos R halmaza teljes´ıti a kovetkez o˝ 3 axiomacsoportot:

´ ak ´ Testaxiom ´ muvelet ´ R-ben ket van ertelmezve: ˝ R × R 3 (x, y) 7→ x + y R × R 3 (x, y) 7→ x · y

¨ ´ osszead as, ´ szorzas.

¨ ´ axiom ´ ai: ´ Az osszead as (∀x, y ∈ R)

x + y = y + x,

(∀x, y , z ∈ R)

x + (y + z) = (x + y ) + z,

(∃0 ∈ R)

(∀x ∈ R)

x + 0 = x,

(∀x ∈ R)

(∃ − x ∈ R)

x + (−x) = 0.



´ ev ´ I. fel

19 / 124

´ SZAMOK ´ 2. A VALOS ´ szamok ´ ´ 2.1 A valos axiomarendszere

´ ak ´ Testaxiom ´ axiom ´ ai: ´ A szorzas (∀x, y ∈ R)

x · y = y · x,

(∀x, y, z ∈ R)

x · (y · z) = (x · y) · z,

(∃1 ∈ R, 1 6= 0)

(∀x ∈ R)

(∀x ∈ R, x 6= 0)

−1

(∃x

∈ R)

x · 1 = x, x · x −1 = 1.

´ a´ Tovabb (∀x, y , z ∈ R)


x · (y + z) = x · y + x · z.


´ ev ´ I. fel

20 / 124

´ SZAMOK ´ 2. A VALOS ´ szamok ´ ´ 2.1 A valos axiomarendszere

´ axiom ´ ak ´ Rendezesi ´ ´ relaci ´ o, ´ melyre R-en ertelmezve van egy ≤ rendezesi (∀x, y , z ∈ R) x ≤ y =⇒ x + z ≤ y + z, (∀x, y ∈ R)

(0 ≤ x) ∧ (0 ≤ y) =⇒ 0 ≤ x · y.

´ axioma ´ Teljessegi ´ ´ ´ ˝ R a rendezesre nezve teljes, azaz R barmely nemures felulr ¨ ¨ ol ´ ´ ´ ´ ´ korlatos reszhalmaz anak letezik pontos felso˝ korlatja.

´ ese ´ R letez ´ ´ ´ ez Letezik olyan R halmaz, mely teljes´ıti ezt a 3 axiomacsoportot (es ´ ´ a halmaz bizonyos ertelemben egyertelm u). ˝ ´ szamokat ´ ´ A valos a szamegyenesen modellezhetjuk. ¨ ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ ev ´ I. fel

21 / 124

´ SZAMOK ´ 2. A VALOS ´ ´ ek, ´ tavols ´ ´ 2.2 R nevezetes reszhalmazai, abszolut ag ´ ert

´ R nevezetes reszhalmazai ´ ´ Termeszetes szamok halmaza: N := {1, 2, 3, 4, . . . } ´ szamok ´ Egesz halmaza: Z := {0, ±1, ±2, ±3, . . . } ´ ´ Racionalis szamok halmaza: Q := qp : p, q, ∈ Z, q 6= 0 ´ N az R-nek az a legszukebb reszhalmaza, melyre teljesul ˝ ¨ az, hogy 1 ∈ N, ha n ∈ N, akkor n + 1 ∈ N.

Teljes indukcio´ ´ Ha egy M ⊂ N reszhalmazra teljesul ¨ az, hogy 1 ∈ M, ha n ∈ M, akkor n + 1 ∈ M, akkor M = N. ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ ev ´ I. fel

22 / 124


R intervallumai ´ a, b ∈ R, a < b eseten ny´ılt:

]a, b[ :={x ∈ R : a < x < b},

´ zart:

[a, b] :={x ∈ R : a ≤ x ≤ b},

´ ny´ılt, jobbrol ´ zart: ´ balrol

]a, b] :={x ∈ R : a < x ≤ b},

´ zart, ´ jobbrol ´ ny´ılt: balrol

[a, b[ :={x ∈ R : a ≤ x < b},

elfajult: ´ vegtelen:

[a, a] :={x ∈ R : a ≤ x ≤ a} = {a},

]a, ∞[ := {x ∈ R : a < x},

] − ∞, b[ := {x ∈ R : x < b},

[a, ∞[ := {x ∈ R : a ≤ x},

] − ∞, b] := {x ∈ R : x ≤ b},

] − ∞, ∞[ := R.



´ ev ´ I. fel

23 / 124


´ szam ´ abszolut ´ eke ´ Valos ´ ert ( x ´ abszolut ´ eke: ´ Az x ∈ R szam ´ ert |x| := −x

ha x ≥ 0, ha x < 0.

´ ek ´ tulajdonsagai ´ Az abszolut ´ ert ´ ´ Barmely x, y ∈ R eseten ´ |x| = 0 ⇐⇒ x = 0, |x| ≥ 0, es |xy| = |x| |y |, |x + y| ≤ |x| + |y|, |x| − |y| ≤ |x − y|, |x| ≤ a ⇐⇒ −a ≤ x ≤ a, |x| < a ⇐⇒ −a < x < a. ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ ev ´ I. fel

24 / 124


´ ´ R pontjainak tavols aga ´ y ∈ R pontok tavols ´ ´ Az x ∈ R es aga: d(x, y ) := |x − y |

´ ´ tulajdonsagai ´ A tavols ag ´ ´ Barmely x, y, z ∈ R eseten ´ d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y , d(x, y) ≥ 0, es d(x, y) = d(y, x), d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).



´ ev ´ I. fel

25 / 124

´ SZAMOK ´ 2. A VALOS ´ axioma ´ ´ any ´ kovetkezm ¨ ´ 2.3 A teljessegi neh enye ´ ´ korlatos ´ ´ ´ Az R barmely nemures alulrol reszhalmaz anak van pontos ¨ ´ also´ korlatja. ´ ´ ˝ nem korlatos. ´ A termeszetes szamok halmaza felulr ¨ ol

´ szamok ´ ´ A valos Archimedesi tulajdonsaga ´ ´ y ∈ R szamokhoz ´ Barmely x > 0 es van olyan n ∈ N, hogy y < nx.

´ Cantor metszettetele ´ intervallumok egymasba ´ ´ ´ Zart skatulyazott sorozatanak metszete ´ egymasba ´ ´ nemures, azaz ha [an , bn ] (n ∈ N) zart skatulyazott ¨ intervallumok sorozata, azaz [a1 , b1 ] ⊃ [a2 , b2 ] ⊃ [a3 , b3 ] ⊃ . . . , ∞ akkor \ [an , bn ] 6= ∅. n=1 ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ ev ´ I. fel

26 / 124

´ SZAMOK ´ 2. A VALOS ´ axioma ´ ´ any ´ kovetkezm ¨ ´ 2.3 A teljessegi neh enye

´ szamok ´ ´ kitevos ˝ hatvanyoz ´ ´ Valos egesz asa ´ egesz ´ kitevos ˝ hatvanyai: ´ Az x ∈ R szam x 1 := x,

x n+1 := x n x (n ∈ N),

x 0 := 1,

x −n :=

1 (x 6= 0, n ∈ N) xn

´ szam ´ ¨ enek ´ ´ ese ´ Nemnegat´ıv valos n-edik gyok letez ´ ´ szamhoz ´ ´ n ∈ N termeszetes ´ Barmely x ≥ 0 nemnegat´ıv valos es ´ ´ szam ´ letezik, ´ szamhoz pontosan egy olyan y ≥ 0 nemnegat´ıv valos melyre y n = x. ¨ es: ´ Jelol y=

√ n

1

´ ´ ¨ x = x n . Elnevezes: y az x szam n-edik gyoke.

´ szam ´ racionalis ´ ˝ hatvanya: ´ Pozit´ıv x > 0 valos r ∈ Q kitevos x r :=

√ q


x p,

ahol r =

p , q


p ∈ Z,

q ∈ N. ´ ev ´ I. fel

27 / 124

´ SZAMOK ´ 2. A VALOS ´ ´ 2.4 Topologiai fogalmak, Bolzano-Weierstrass tetel ¨ Az a ∈ R pont ε > 0 sugaru´ (ny´ılt) kornyezete: K (a, ε) := {x ∈ R : d(x, a) < ε} = ]a − ε, a + ε[ Az a ∈ R pont az A ⊂ R halmaz belso˝ pontja, ha a-nak van ¨ olyan kornyezete, mely teljesen benne van A-ban, azaz ha (∃ε > 0) (K (a, ε) ⊂ A). ´ ´ pontja, ha a ∈ A, es Az a ∈ R pont az A ⊂ R halmaz izolalt ¨ a-nak van olyan kornyezete, melyben a-n k´ıvul ¨ nincs A-beli pont: (a ∈ A) ∧ (∃ε > 0) (K (a, ε) \ {a}) ∩ A = ∅ . ´ asi ´ pontja, ha a Az a ∈ R pont az A ⊂ R halmaz torlod ´ ¨ ´ ˝ kul ¨ oz ¨ o˝ A-beli pont, azaz ha barmely kornyezet eben van tole ¨ onb (∀ε > 0) (K (a, ε) \ {a}) ∩ A 6= ∅ . ´ ´ Az a ∈ R pont az A ⊂ R halmaz hatarpontja, ha a barmely ¨ ´ ´ nem A-beli pont is, azaz ha kornyezet eben van A-beli es (∀ε > 0) K (a, ε) ∩ A 6= ∅ ∧ K (a, ε) ∩ A 6= ∅ . ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ ev ´ I. fel

28 / 124

´ SZAMOK ´ 2. A VALOS ´ ´ 2.4 Topologiai fogalmak, Bolzano-Weierstrass tetel ¨ ´ A belsejenek ´ A ⊂ R osszes belso˝ pontjainak halmazat ◦ ´ A -rel jelolj ¨ uk. nevezzuk ¨ es ¨ ¨ ´ ´ A hatar ´ anak ´ A ⊂ R osszes hatarpontjainak halmazat nevezzuk ¨ ´ ∂A-val jelolj ¨ uk. es ¨ Az A ⊂ R halmazt ny´ıltnak nevezzuk, ¨ ha minden pontja belso˝ pontja A-nak. ´ Az A ⊂ R halmazt zartnak nevezzuk, ¨ ha komplementere ny´ılt. ´ csakis akkor zart, ´ ha tartalmazza osszes ¨ Egy A ⊂ R halmaz akkor es ´ asi ´ pontjat. ´ torlod

´ Bolzano-Weierstrass tetel ´ ´ ´ ´ ´ asi ´ pontja. Barmely korlatos vegtelen szamhalmaznak van torlod ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ ev ´ I. fel

29 / 124

3. SOROZATOK ´ ´ ´ ´ 3.1 Sorozatok korlatoss aga, monotonitasa, konvergenciaja

´ szamsorozat ´ Valos ´ ´ szamsorozatnak ´ Egy a : N → R fuggv enyt valos nevezunk. ¨ ¨ ¨ es: ´ Jelol (an ) = (an )n∈N , ahol an := a(n) ha n ∈ N.

´ Sorozat megadasa ´ ´ aul ´ an = n1 ha n ∈ N. keplettel; peld √ ´ ´ aul ´ a1 = 1, es ´ an+1 = 2 + an ha n ∈ N. rekurz´ıv modon; peld ´ ´ aul ´ an := az n-edik pr´ımszam. ´ szaballyal; peld

´ ´ Sorozat korlatoss aga ˝ korlatos, ´ (an )n∈N felulr ¨ ol ha (∃k ∈ R) (∀n ∈ N) an ≤ k . ´ ´ anak ´ Az ilyen k szamot a sorozat felso˝ korlatj nevezzuk. ¨ ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ ev ´ I. fel

30 / 124


´ ´ Sorozat korlatoss aga ´ korlatos, ´ (an )n∈N alulrol ha (∃k 0 ∈ R) (∀n ∈ N) an ≥ k 0 . 0 ´ ´ anak ´ Az ilyen k szamot a sorozat also´ korlatj nevezzuk. ¨

´ ´ Sorozat korlatoss aga ´ csakis akkor korlatos, ´ Az (an )n∈N sorozat akkor es ha (∃K ∈ R) (∀n ∈ N) |an | ≤ K .

´ Sorozat monotonitasa ¨ ˝ ha (∀n ∈ N) an+1 ≥ an . (an )n∈N monoton novekv o, ¨ ˝ ha (∀n ∈ N) an+1 ≤ an . (an )n∈N monoton csokken o, ¨ ˝ ha (∀n ∈ N) an+1 > an . (an )n∈N szigoruan ´ monoton novekv o, ¨ ˝ ha (∀n ∈ N) an+1 < an . (an )n∈N szigoruan ´ monoton csokken o, ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ ev ´ I. fel

31 / 124


´ szamsorozat ´ Konvergens valos Az (an )n∈N sorozatot konvergensnek nevezzuk, ¨ ha van olyan a ∈ R, ´ ´ ´ hogy barmely ε > 0-hoz letezik olyan N(ε) ∈ R szam, hogy |an − a| < ε amennyiben n > N(ε). ´ ´ ´ ert ´ ek ´ enek ´ Az a szamot a sorozat hatar (limeszenek) nevezzuk. ¨ ¨ es: ´ Jelol a → a (n → ∞), vagy lim a = a. n

n→∞

n

Az (an )n∈N sorozatot divergensnek nevezunk, ha nem konvergens. ¨

¨ ´ ´ A konvergencia kornyezetes atfogalmaz asa ´ hatar ´ ert ´ eke ´ ´ csakis Az (an )n∈N sorozat konvergens es a ∈ R akkor es ´ ¨ ´ k´ıvul akkor, ha az a pont barmely kornyezet en ¨ a sorozatnak csak ´ veges sok eleme van. ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ ev ´ I. fel

32 / 124

3. SOROZATOK ´ ´ ´ ´ 3.1 Sorozatok korlatoss aga, monotonitasa, konvergenciaja Ha egy sorozatban ´ ˝ ´ veges sok elemet teszolegesen megvaltoztatunk, ´ veges ´ vagy a sorozatbol sok elemet elhagyunk, ´ ´ vagy a sorozathoz veges sok elemet hozzavesz unk, ¨ ´ vagy divergenciaja ´ nem valtozik, ´ akkor a sorozat konvergenciaja ´ konvergencia eseten ´ a hatar ´ ert ´ eke ´ sem valtozik. ´ es

´ ert ´ ek ´ egyertelm ´ ´ A hatar us ˝ ege ´ ert ´ eke ´ van. Konvergens sorozatnak pontosan egy hatar

´ a korlatoss ´ ´ kapcsolata A konvergencia es ag ´ Konvergens sorozat korlatos. ´ Van olyan korlatos sorozat, mely divergens (nem konvergens). ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ ev ´ I. fel

33 / 124


˝ all ´ o´ halmaz {an : n ∈ N} a sorozat elemeibol ´ ert ´ ekk ´ eszlete) ´ (azaz a sorozat mint fuggv eny ¨

´ a monotonitas ´ kapcsolata A konvergencia es ¨ ´ felulr ˝ korlatos, ´ Ha az (an )n∈N sorozat monoton novekv o˝ es ¨ ol ´ akkor konvergens es lim an = sup{an : n ∈ N}. n→∞

¨ ´ alulrol ´ korlatos, ´ Ha az (an )n∈N sorozat monoton csokken o˝ es ´ akkor konvergens es lim an = inf{an : n ∈ N}. n→∞



´ ev ´ I. fel

34 / 124

3. SOROZATOK ´ es ´ konvergencia kapcsolata 3.2 Muveletek, rendezes ˝

´ a muveletek A konvergencia es kapcsolata ˝ Ha an → a, bn → b (n → ∞), akkor an + bn → a + b an bn → ab a an → bn b can → ca |an | → |a|


(n → ∞), (n → ∞), (n → ∞),

ha

bn , b 6= 0,

(n → ∞), (n → ∞).


´ ev ´ I. fel

35 / 124

3. SOROZATOK ´ es ´ konvergencia kapcsolata 3.2 Muveletek, rendezes ˝

˝ ´ Elojel=signum fuggv eny ¨   1 sign(x) := 0   −1

ha x > 0, ha x = 0, ha x < 0.

´ a rendezes ´ kapcsolata A konvergencia es ´ azaz ha an → a 6= 0 (n → ∞), Konvergens sorozat jeltarto, akkor van olyan n0 ∈ R, hogy sign(an ) = sign(a) ha n > n0 . ˝ ´ A konvergencia megorzi a monotonitast, azaz ha an ≤ bn ´ (n ∈ N) es an → a, bn → b (n → ∞), akkor a ≤ b. ´ enyes ´ ´ ˝ etel, ´ Erv a rendort azaz ha an → a, bn → a (n → ∞) es ´ xn → a an ≤ xn ≤ bn (n ∈ N), akkor (xn )n∈N is konvergens es (n → ∞). ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ ev ´ I. fel

36 / 124

3. SOROZATOK ˝ ıtett valos ´ szamok, ´ ´ 3.3 Bov´ vegtelenhez tarto´ sorozatok

˝ ıtett valos ´ szamok ´ Bov´ halmaza Rb := R ∪ {+∞} ∪ {−∞}

¨ es: ´ Jelol ∞ := +∞

Muveletek Rb -ben ˝ ´ ´ Barmely x ∈ R eseten x + (±∞) := (±∞) + x = ±∞, (+∞) + (+∞) := +∞,

(−∞) + (−∞) := −∞,

x · (±∞) := (±∞) · x = ±∞ ha x > 0, x · (±∞) := (±∞) · x = ∓∞ ha x < 0, (+∞) · (±∞) := ±∞, (−∞) · (±∞) := ∓∞, x := 0. ±∞

´ Rb -ben Rendezes ´ ´ −∞ < x < +∞. Barmely x ∈ R eseten ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ ev ´ I. fel

37 / 124


´ ´ NINCSENEK ERTELMEZVE AZ ALABBIAK: (+∞) + (−∞), +∞ , +∞

+∞ , −∞


(−∞) + (+∞),

0 · (±∞),

−∞ , +∞

x 0

−∞ , −∞


(±∞) · 0,

ha x ∈ Rb .

´ ev ´ I. fel

38 / 124


´ ert ´ ek ´ fogalmanak ´ ´ A hatar kiterjesztese ´ ´ ert ´ eke ´ Azt mondjuk, hogy az (an )n∈N sorozat hatar +∞, ha barmely ´ K ∈ R szamhoz van olyan N(K ) ∈ R, hogy an > K

ha n > N(K ).

¨ es: ´ Jelol an → +∞ (n → ∞) vagy lim an = +∞. n→∞

´ ´ ert ´ eke ´ Azt mondjuk, hogy az (an )n∈N sorozat hatar −∞, ha barmely ´ K ∈ R szamhoz van olyan N(K ) ∈ R, hogy an < K

ha n > N(K ).

¨ es: ´ Jelol an → −∞ (n → ∞) vagy lim an = −∞. n→∞

Ha an → +∞ vagy an → −∞, akkor a sorozat divergens, de van ´ ert ´ eke! ´ hatar ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ ev ´ I. fel

39 / 124


¨ Kornyezetek Rb -ben ¨ +∞ kornyezetei a ]K , +∞[ (K ∈ R) intervallumok, ¨ −∞ kornyezetei a ] − ∞, K [ (K ∈ R) intervallumok

´ ert ´ ek ´ kornyezetes ¨ ´ ´ A hatar atfogalmaz asa Rb -ben ´ ert ´ eke ´ ´ csakis akkor, ha Egy sorozat hatar +∞ (illetve −∞) akkor es ´ ¨ ´ k´ıvul ´ +∞ (illetve −∞) barmely kornyezet en ¨ a sorozatnak csak veges sok eleme van.

´ Rb -ben Pontos felso˝ korlat ˝ nem korlatos, ´ Ha A ⊂ R felulr akkor sup A := +∞. ¨ ol ´ nem korlatos, ´ Ha A ⊂ R alulol akkor inf A := −∞. ´ ´ infimuma Rb -ben. Minden A ⊂ R halmaznak van szupremuma es ´ ert ´ eke ´ Minden monoton sorozatnak van hatar Rb -ben. ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ ev ´ I. fel

40 / 124


´ ert ´ ek ´ es ´ muveletek A hatar kapcsolata Rb -ben ˝ ´ c ∈ R, akkor Ha an → a, bn → b (n → ∞), ahol most a, b ∈ Rb , es an + bn → a + b

(n → ∞),

an · bn → a · b (n → ∞), an a → (n → ∞), bn b

´ ha a + b ertelmezve van, ´ ha a · b ertelmezve van, ha bn 6= 0 (n ∈ N), a ´ ertelmezve van, b ´ ha c · a ertelmezve van, ´ es

c · an → c · a

(n → ∞),

´ a´ ha |an | → ∞ (n → ∞), akkor tovabb


1 → 0 (n → ∞). an


´ ev ´ I. fel

41 / 124

3. SOROZATOK ´ ert ´ ekek ´ 3.4 Nevezetes hatar   +∞ a n → 1   0

ha a > 0, ha a = 0, ha a < 0.

  0 ha |a| < 1,    1 ha a = 1, an →  +∞ ha a > 1,    divergens ha a ≤ −1.

√ Ha a > 0, akkor n a → 1 (n → ∞). ´ k ∈ R, akkor nk an → 0 (n → ∞). Ha |a| < 1 es √ n n → 1 (n → ∞). an Ha a ∈ R, akkor → 0 (n → ∞). n! 1 n ¨ (n ∈ N) sorozat szigoruan monoton novekv o˝ Az an = 1 + ´ n ´ felulr ˝ korlatos, ´ ´ ert ´ eke ´ es an < 3 (n ∈ N), ´ıgy konvergens. Hatar ¨ ol ´ amit e-vel jelol ¨ unk, ¨ ´ eke ´ egy nevezetes szam, kozelit o˝ ert e ≈ 2, 72. ¨ ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ ev ´ I. fel

42 / 124

4. SOROK ´ konvergencia, divergencia, osszeg ¨ 4.1 Defin´ıcio,

´ Szamsor ´ szamsorozat ´ ¨ ´ jelevel ´ Egy (an )n∈N valos elemeit az osszead as ¨ osszekapcsolva kapott ∞ X X ¨ a1 + a2 + · · · vagy an roviden an n=1

¨ ´ osszeget szamsornak (vagy numerikus sornak) nevezzuk. ¨ P ´ ¨ A an sort konvergensnek nevezzuk, osszegeinek ¨ ha reszlet n X sn := a1 + a2 + · · · + an = ak (n ∈ N) k=1

´ ekkor a sor osszege ´ azt ¨ sorozata konvergens, es s := lim sn , es ∞ ´ırjuk, hogy X

an = s,

n=1

A

P

azaz

∞ X

an = lim

n=1

n→∞

n→∞ n X

ak .

k=1

an sort divergensnek nevezzuk, ¨ ha nem konvergens.



´ ev ´ I. fel

43 / 124


A

∞ P

aq n−1 = a + aq + aq 2 + · · · , (a, q ∈ R, a 6= 0) geometriai

n=1

´ csakis akkor konvergens, ha |q| < 1, es ´ akkor sor akkor es ∞ X n=1

A

aq n−1 =

a elso˝ tag = . ´ 1−q 1 − kvociens

∞ 1 P ´ harmonikus sor divergens. n=1 n

´ anak ´ ´ ´ Sor konvergenciaj szuks feltetele ¨ eges Ha a

∞ P

an sor konvergens, akkor lim an = 0.

n=1 ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl

n→∞


´ ev ´ I. fel

44 / 124


´ Leibniz tetele ´ alternal ´ o´ sorok konvergenciaj ´ ara) ´ (elegendo˝ feltetel A

∞ P

´ o´ sor konvergens, ha (−1)n+1 an (an ≥ 0, n ∈ N) alternal

n=1 (an )n∈N

¨ ˝ tart nullahoz, ´ ´ ekkor a sor s monoton csokken oen es ¨ ´ ´ reszlet ´ ¨ ´ teljesul osszeg ere, es osszegeinek (sn )n∈N sorozatara ¨ |s − sn | ≤ an+1 ∞ P

(n ∈ N).

1 1 1 1 1 ´ o´ sor = − + − + · · · alternal n 1 2 3 4 n=1 ´ osszege ¨ konvergens (es ln 2). ´ aul ´ a Peld

(−1)n+1



´ ev ´ I. fel

45 / 124

4. SOROK 4.2 Pozit´ıv tagu´ sorok

A

P

an sort akkor nevezzuk ha an > 0 (n ∈ N). ¨ pozit´ıv tagunak, ´

´ csakis akkor konvergens, ha a Pozit´ıv tagu´ sor akkor es ´ ¨ ˝ all ´ o´ sorozat felulr ˝ korlatos. ´ reszlet osszegeib ol ¨ ol

´ ´ teszt Majorans/minor ans Legyenek 0 < an ≤ bn (n ∈ N). P P Ha a bn sor konvergens, akkor a an sor is konvergens. P P Ha a an sor divergens, akkor a bn sor is divergens.



´ ev ´ I. fel

46 / 124


´ Hanyados/D’Alambert teszt Legyen

P

an pozit´ıv tagu´ sor. P an+1 ≤ q, akkor a an sor konvergens. Ha (∃ q < 1) (∀n ∈ N) an P an+1 Ha (∀n ∈ N) ≥ 1, akkor a an sor divergens. an

´ Hanyados/D’Alambert teszt limeszes alakja P

´ tegyuk an pozit´ıv tagu´ sor, es ¨ fel, hogy an+1 ∃ lim = L ∈ Rb . n→∞ an P Ha L < 1, akkor a an sor konvergens. P Ha L > 1, akkor a an sor divergens. P ´ lehet Ha L = 1, akkor a an sor lehet konvergens, es divergens is.

Legyen



´ ev ´ I. fel

47 / 124


¨ Gyok/Cauchy teszt Legyenek an ≥ 0 (n ∈ N).

P √ Ha (∃ q < 1) (∀n ∈ N) n an ≤ q, akkor a an sor konvergens. P √ n Ha (∀n ∈ N) an ≥ 1, akkor a an sor divergens.

¨ Gyok/Cauchy teszt limeszes alakja ´ tegyuk Legyenek an ≥ 0 (n ∈ N), es ¨ fel, hogy √ ∃ lim n an = L ∈ Rb . n→∞ P Ha L < 1, akkor a an sor konvergens. P Ha L > 1, akkor a an sor divergens. P ´ lehet Ha L = 1, akkor a an sor lehet konvergens, es divergens is. ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ ev ´ I. fel

48 / 124

4. SOROK 4.3 Abszolut sorokkal ´ konvergencia, muveletek ˝ P P A an sort abszolut ´ konvergensnek nevezzuk, |an | ¨ ha a sor konvergens. P ´ A an sort feltetelesen konvergensnek nevezzuk, ¨ ha a sor konvergens, de nem abszolut ´ konvergens. Abszolut ´ konvergens sor konvergens, de konvergens sor lehet nem abszolut ´ konvergens.

´ ´ Sor atrendez ese Ha ϕ : N → N bijekt´ıv, akkor a ´ ´ enek ´ atrendez es nevezzuk. ¨

P

aϕ(n) sort a

P

an sor

´ ´ ´ is konvergens, es ´ Abszolut atrendez ese ´ konvergens sor barmely ´ ¨ ¨ ´ az atrendezett sor osszege megegyezik az eredeti sor osszeg evel. ´ ´ ´ Feltetelesen konvergens sornak van olyan atrendez ese, mely ¨ ˝ ˝ ırt szam. ´ divergens, vagy melynek osszege egy tetszolegesen elo´ ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ ev ´ I. fel

49 / 124

4. SOROK 4.3 Abszolut sorokkal ´ konvergencia, muveletek ˝ ˝ ´ ojelezhet ´ ˝ es ´ a zar ´ ojelezett ´ Konvergens sor tetszolegesen zar o, sor ¨ ¨ ´ osszege megegyezik az eredeti sor osszeg evel. P P P ´ ´ c ∈ R, akkor Ha P an es bn konvergensek es (an + bn ) ´ ´ es (c · an ) is konvergensek, es ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ X X X X X (an + bn ) = an + bn , (c · an ) = c · an . n=1

A

∞ P n=0

n=1

´ an es

∞ P

n=1

n=1

n=1

´ szorzatsora bn sorok Cauchy-fele

n=0

∞ P

cn , ahol

n=0

cn := a0 bn + a1 bn−1 + · · · + an b0 =

n X

ak bn−k .

k=0

´ szorzatsora is abszolut Abszolut ´ konvergens sorok Cauchy-fele ´ ´ osszege ¨ ´ ˝ ¨ ´ konvergens, es a tenyez osorok osszeg enek szorzata. ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ ev ´ I. fel

50 / 124

4. SOROK ´ 4.4 Hatvanysorok ´ ´ a ∈ R eseten ´ a Egy (an )n∈N szamsorozat es

∞ P

an (x − a)n

n=0

¨ ´ ´ osszeget hatvanysornak nevezzuk, ¨ melynek konvergenciahalmazat ´ melyekre a sor konvergens. azon x ∈ R pontok alkotjak, ´ A konvergenciahalmaz pontjaiban ertelmezhet o˝ a sor ´ ¨ ´ ert ´ eke). ´ ¨ ´ osszegf uggv ¨ enye (mint a reszlet osszegek hatar Tegyuk ¨ fel, hogy a

∞ P

´ ´ ∃ lim an (x − a)n hatvanysor eseten

n→∞

n=0

Az r :=

p n |an | ∈ Rb .

1 1 1 p ˝ ıtett valos ´ ∈ Rb (ahol := +∞, := 0) bov´ n 0 +∞ lim |an |

n→∞

´ ´ ´ szamot a hatvanysor konvergenciasugaranak nevezzuk. ¨ ´ Ha |x − a| < r , akkor a hatvanysor abszolut ´ konvergens x-ben. ´ Ha |x − a| > r , akkor a hatvanysor divergens x-ben. ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ ev ´ I. fel

51 / 124

¨ ´ ´ ERT ´ EKE ´ ´ FOLYTONOSSAGA ´ 5. FUGGV ENYEK HATAR ES ´ hatar ´ ert ´ eke ´ 5.1 Fuggv eny ¨ ´ asi ´ pont fogalmat ´ mar ´ korabban ´ A torlod bevezettuk. ¨ Ezt most ´ asi ´ pont Rb -beli. Azt kiterjesztjuk ¨ arra az esetre amikor a torlod ´ asi ´ pontja a D halmaznak, ha D nem mondjuk, hogy +∞ (−∞) torlod ´ ´ Egy D ⊂ R halmaz Rb -beli torlod ´ asi ´ korlatos felulrol (alulrol). ¨ 0 ´ D -vel fogjuk jelolni. ¨ pontjainak halmazat

´ hatar ´ ert ´ eke ´ Fuggv eny ¨ ´ legyen x0 ∈ D 0 . Azt mondjuk, hogy f -nek Legyen f : D ⊂ R → R es ´ ´ ´ ert ´ eke ´ van (veges, vagy vegtelen) hatar az x0 pontban, ha van ´ szam, ´ ´ olyan a ∈ Rb bov´ıtett valos hogy barmely olyan D-beli (xn )n∈N ´ xn 6= x0 , teljesul sorozatra, melyre lim xn = x0 es ¨ a lim f (xn ) = a n→∞

n→∞

´ egyenloseg. ´ ´ ert ´ ek ´ enek ´ ´ a-t az f fuggv eny x0 pontbeli hatar nevezzuk, ¨ ¨ es ¨ uk. lim f (x) = a-val, vagy f (x) → a (x → x0 )-lal jelolj ¨

x→x0



´ ev ´ I. fel

52 / 124

¨ ´ ´ ERT ´ EKE ´ ´ FOLYTONOSSAGA ´ 5. FUGGV ENYEK HATAR ES ´ hatar ´ ert ´ eke ´ 5.1 Fuggv eny ¨

´ ´ Atfogalmaz as ´ eppen ´ ´ ertelmez ´ ´ Mask megfogalmazva: az f fuggv eny esi ¨ ´ anak ´ ´ asi ´ pontjaban ´ ´ csakis akkor tartomany egy x0 ∈ Rb torlod akkor es ´ ert ´ eke ´ az a ∈ Rb bov´ıtett valos ´ szam, ´ ´ ´ lesz f hatar ha az ertelmez esi ´ ´ barmely ´ ´ o´ (xn )n∈N sorozatot veve, ´ tartomanyb ol x0 -hoz konvergal ´ kul ¨ ozoek, ¨ ´ ert ´ ekek ´ melynek elemei x0 -tol a fuggv eny (f (xn ))n∈N ¨ onb ¨ sorozata a-hoz tart.

´ ert ´ ek ´ egyertelm ´ ´ Hatar us ˝ ege ´ hatar ´ ert ´ eke, ´ ´ ´ Fuggv eny ha letezik, akkor egyertelm u. ¨ ˝ ´ ert ´ ek ´ letezhet ´ ´ Hatar az x0 pontban akkor is, ha a fuggv ¨ eny nincs ´ asi ´ pontja annak (egy halmaz ´ ertelmezve a pontban, de torlod ´ asi ´ pontja ugyanis nem feltetlen ´ torlod ul ¨ pontja a halmaznak). ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ ev ´ I. fel

53 / 124

¨ ´ ´ ERT ´ EKE ´ ´ FOLYTONOSSAGA ´ 5. FUGGV ENYEK HATAR ES ´ hatar ´ ert ´ eke ´ 5.1 Fuggv eny ¨ ´ legyen E ⊂ D, akkor az f fuggv ´ Legyen f : D ⊂ R → R es ¨ eny E-re ¨ uk. ´ csak az E halmazon ´ et ´ f -vel jelolj valo´ leszuk´ıtes eny ¨ Ez a fuggv ¨ E ´ ´ ott megegyezik f -fel. van definialva es

´ baloldali hatar ´ ert ´ ek ´ x0 ∈ Rb -ben Jobb- es ´ legyen x0 ∈ Rb a Dx+0 := D ∩ [x0 , +∞[ Legyen f : D ⊂ R → R es − ´ asi ´ pontja. Akkor mondjuk, hogy az (Dx0 := D∩] − ∞, x0 ]) halmaz torlod ´ ´ szam ´ jobboldali f : D ⊂ R → R fuggv enynek az a ∈ Rb bov´ıtett valos ¨ ´ ert ´ eke ´ (baloldali) hatar az x0 pontban, ha a ∈ Rb az x0 pontbeli ´ ert ´ eke ´ az f + (f − ) leszuk´ıtett fuggv ´ hatar enynek. ¨ Dx0

Dx0

´ ert ´ ek ´ jelol ¨ ese: ´ Jobboldali (baloldali) hatar

lim f (x) = a

x→x0 +0

( lim f (x) = a) x→x0 −0

´ Vilagos, hogy +∞-ben csak baloldali, −∞-ben csak jobboldali ´ ert ´ ek ´ definialhat ´ ´ hatar o. ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ ev ´ I. fel

54 / 124


´ hatar ´ ert ´ ek ´ ere ´ a fentivel ekvivalens defin´ıcio´ adhato, ´ de Fuggv eny ¨ ´ ´ vegtelenben ´ ´ ´ vegtelen ´ ´ ert ´ ekek ´ ekkor a veges es vett veges es hatar ´ kisse´ eltero. ´ defin´ıcioja

´ veges ´ ´ ert ´ eke ´ veges ´ Fuggv eny hatar pontban, ε, δ-s defin´ıcio´ ¨ ´ legyen x0 ∈ D 0 veges ´ ´ asi ´ pontja Legyen f : D ⊂ R → R es torlod ´ ´ ert ´ eke ´ D-nek. Azt mondjuk, hogy f -nek van (veges) hatar az x0 ´ pontban, ha van olyan a ∈ R szam, hogy minden ε > 0-hoz van olyan δ(ε) > 0, hogy |f (x) − a| < ε


ha

´ 0 < |x − x0 | < δ(ε) es x ∈ D.


´ ev ´ I. fel

55 / 124


´ ert ´ ek, ´ monotonitas ´ es ´ muveletek Hatar kapcsolata ˝ ´ tegyuk Legyenek f , g : D ⊂ R → R, x0 ∈ D 0 , es ¨ fel, hogy lim f (x) = a ∈ Rb ,

x→x0

lim g(x) = b ∈ Rb .

x→x0

´ Akkor barmely c ∈ R mellett lim (f (x) + g(x)) = a + b,

x→x0

´ ha a + b ertelmezve van,

lim c · f (x) = c · a,

´ ha c · a ertelmezve van,

lim f (x) · g(x) = a · b,

´ ha a · b ertelmezve van,

x→x0 x→x0

lim

x→x0

f (x) a = , g(x) b

ha

a ´ ertelmezve van. b

Ha f (x) ≤ g(x) (x ∈ D, x 6= x0 ), akkor a ≤ b. ´ a = b, akkor lim h(x) = a. Ha f (x) ≤ h(x) ≤ g(x) (x ∈ D, x 6= x0 ), es x→x0



´ ev ´ I. fel

56 / 124


¨ ´ Osszetett fuggv eny ¨ ´ A h(x) := g f (x) (x ∈ D) fuggv enyt, ahol f : D ⊂ R → R, ¨ ´ g fuggv ´ ˝ osszetett ¨ ´ g : f (D) → R, az f es ¨ enyekb ol fuggv ¨ enynek ˝ g a kuls ´ nevezzuk, ¨ f a belso, eny. (Itt f (D) := {f (x) : x ∈ D} ¨ o˝ fuggv ¨ ´ ert ´ ekk ´ eszlete.) ´ ´ jelol ¨ es: ´ az f fuggv eny Mas h = g ◦ f. ¨

¨ ´ hatar ´ ert ´ eke ´ Osszetett fuggv eny ¨ ´ h(x) := g f (x) (x ∈ D). Legyen f : D ⊂ R → R, g : f (D) → R, es Ha x0 ∈ D 0 , ´ lim f (x) = a, a∈ / f D \ {x0 } , es lim g(x) = b, x→x0

akkor

y→a

lim h(x) = b.

x→x0



´ ev ´ I. fel

57 / 124

¨ ´ ´ ERT ´ EKE ´ ´ FOLYTONOSSAGA ´ 5. FUGGV ENYEK HATAR ES ´ folytonossaga ´ 5.2 Fuggv eny ¨

´ folytonossaga ´ Fuggv eny ¨ ´ Az f : D ⊂ R → R fuggv enyt folytonosnak nevezzuk ¨ ¨ az x0 ∈ D ´ ´ o´ pontban, ha barmely D-beli x0 -hoz konvergal ´ a fuggv ´ ert ´ ekek ´ xn ∈ D (n ∈ N), xn → x0 (n → ∞) sorozat eseten eny ¨ ´ ´ ´ f (xn ) (n ∈ N) sorozata az x0 pontbeli fuggv enyertekhez tart ¨ lim f (xn ) = f (x0 ).

n→∞

¨ ´ x0 ∈ D pontbeli folytonossaga ´ Roviden: az f fuggv eny azt jelenti, hogy ¨ ha D 3 xn → x0 (n → ∞) akkor lim f (xn ) = f ( lim xn ) = f (x0 ). n→∞

n→∞

´ csakis akkor, Ha x0 ∈ D ∩ D 0 , akkor f folytonos x0 -ban akkor, es ha lim f (x) = f (x0 ). x→x0

´ ´ pontja, izolalt Ha x0 ∈ D, de x0 ∈ / D 0 , akkor x0 a D izolalt ´ mindig folytonos. pontokban f a defin´ıcio´ alapjan ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ ev ´ I. fel

58 / 124


´ baloldali folytonossag ´ Jobb- es ´ ´ (balrol) ´ folytonosnak nevezzuk Az f : D ⊂ R → R fuggv enyt jobbrol ¨ ¨ ´ folytonos az az x0 ∈ D pontban, ha az f + (f − ) leszuk´ıtett fuggv eny ¨ x0 ∈ D pontban.

Dx0

D x0

´ pontosan akkor Ez azt jelenti, hogy az f : D ⊂ R → R fuggv eny ¨ ´ (balrol) ´ folytonos az x0 ∈ D pontban, ha barmely ´ jobbrol D-beli ´ o´ xn ∈ D (n ∈ N), xn ≥ x0 (xn ≤ x0 ), xn → x0 (n → ∞) x0 -hoz konvergal ´ a fuggv ´ ert ´ ekek ´ sorozat eseten eny f (xn ) (n ∈ N) sorozata az x0 ¨ ´ ert ´ ekhez ´ pontbeli fuggv eny tart, lim f (xn ) = f (x0 ). ¨ n→∞



´ ev ´ I. fel

59 / 124


´ folytonossaga,ε, ´ Fuggv eny δ-s ekivivalens defin´ıcio´ ¨ ´ Az f : D ⊂ R → R fuggv enyt az x0 ∈ D pontban folytonosnak ¨ ´ nevezzuk, ha b armely ε > 0-hoz van olyan δ(ε) > 0, hogy ¨ ´ |f (x) − f (x0 )| < ε ha |x − x0 | < δ(ε) es x ∈ D.

´ folytonossaga ´ ´ a muveletek Fuggv eny es kapcsolata ¨ ˝ ´ c ∈ R, Ha f , g : D ⊂ R → R folytonosak az x0 ∈ D pontban es f akkor f + g, c · f , f · g, (ha g(x0 ) 6= 0) is folytonosak x0 -ban. g ¨ ´ folytonos x0 -ban A h(x) = g f (x) (x ∈ D) osszetett fuggv eny ¨ ´ (ahol f : D ⊂ R → R, g : f (D) → R), ha f folytonos x0 -ban es g folytonos az y0 := f (x0 ) pontban.



´ ev ´ I. fel

60 / 124

¨ ´ ´ ERT ´ EKE ´ ´ FOLYTONOSSAGA ´ 5. FUGGV ENYEK HATAR ES ´ ´ tulajdonsagai ´ 5.3 Folytonos fuggv enyek globalis ¨

´ a D halmazon Azt mondjuk, hogy az f : D ⊂ R → R fuggv eny ¨ ´ ekk ´ eszlete ´ ´ (felulr ˝ ´ (felulr ˝ korlatos, ´ alulrol ¨ ol) ha ert alulrol ¨ ol) ´ korlatos. ¨ ¨ ˝ ha monoton novekv o˝ (csokken o), ´ f (x1 ) ≤ f (x2 ) (f (x1 ) ≥ f (x2 )). ∀ x1 < x2 , x1 , x2 ∈ D eseten ¨ ¨ ˝ ha szigoruan ´ monoton novekv o˝ (csokken o), ´ f (x1 ) < f (x2 ) (f (x1 ) > f (x2 )). ∀ x1 < x2 , x1 , x2 ∈ D eseten



´ ev ´ I. fel

61 / 124

¨ ´ ´ ERT ´ EKE ´ ´ FOLYTONOSSAGA ´ 5. FUGGV ENYEK HATAR ES ´ ´ tulajdonsagai ´ 5.3 Folytonos fuggv enyek globalis ¨ ´ Azt mondjuk, hogy az f : D ⊂ R → R fuggv enynek az x0 ∈ D pontban ¨ ´ lokalis/helyi maximuma (minimuma) van, ha ∃ ε > 0, hogy f (x0 ) ≥ f (x)

´ (f (x0 ) ≤ f (x)) ∀ x ∈ K (x0 , ε) ∩ D eseten.

´ szigoru´ lokalis/helyi maximuma (minimuma) van, ha ∃ ε > 0, hogy f (x0 ) > f (x)

´ (f (x0 ) < f (x)) ∀ x ∈ K (x0 , ε) ∩ D, x 6= x0 eseten.

´ globalis/abszol ut ´ maximuma (minimuma) van, ha f (x0 ) ≥ f (x)

´ (f (x0 ) ≤ f (x)) ∀ x ∈ D eseten.

´ szigoru´ globalis/abszol ut ´ maximuma (minimuma) van, ha f (x0 ) > f (x) ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl

´ (f (x0 ) < f (x)) ∀ x ∈ D, x 6= x0 eseten. ´ matematika I. Gazdasagi

´ ev ´ I. fel

62 / 124

¨ ´ ´ ERT ´ EKE ´ ´ FOLYTONOSSAGA ´ 5. FUGGV ENYEK HATAR ES ´ ´ tulajdonsagai ´ 5.3 Folytonos fuggv enyek globalis ¨ ´ jeltarto, ´ azaz ha f : D ⊂ R → R folytonos az Folytonos fuggv eny ¨ ´ f (x0 ) 6= 0, akkor van olyan δ > 0, hogy x0 ∈ D pontban, es sign(f (x)) = sign(f (x0 ))

ha

x ∈ K (x0 , δ) ∩ D.

´ folytonossaga ´ Fuggv eny halmazon ¨ ´ folytonos az A ⊂ D Azt mondjuk, hogy az f : D ⊂ R → R fuggv eny ¨ ´ halmazon, ha f az A halmaz minden pontjaban folytonos.

´ korlatoss ´ ´ Folytonos fuggv eny aga ¨ ´ ´ intervallumon folytonos fuggv ´ korlatos. ´ Korlatos zart eny ¨

´ ese ´ Maximum, minimum letez ´ ´ intervallumon folytonos fuggv ´ felveszi a Korlatos zart eny ¨ ´ ert ´ ekek ´ ´ ´ es ´ infimumat ´ fuggv ´ ert ´ ekk ´ ent. ´ fuggv eny szupremum at eny ¨ ¨ ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ ev ´ I. fel

63 / 124


´ egyenletes folytonossaga ´ Fuggv eny halmazon ¨ ´ egyenletesen Azt mondjuk, hogy az f : D ⊂ R → R fuggv eny ¨ ´ folytonos a D1 ⊂ D halmazon, ha barmely ε > 0-hoz van olyan ´ fugg ˝ δ(ε) > 0, amelyre (csak ε-tol ¨ o) |f (x) − f (y)| < ε

´ ha |x − y| < δ(ε) es x, y ∈ D1 .

´ folytonos D1 -en, akkor barmely ´ ´ barmely ´ Ha f csupan ε > 0-hoz es ´ is fugg ˝ δ(ε, y) > 0, amelyre y ∈ D1 -hez van olyan (y-tol ¨ o) |f (x) − f (y)| < ε

´ ha |x − y| < δ(ε, y ) es x ∈ D1 .

´ Cantor tetele ´ ´ intervallumon folytonos fuggv ´ ott egyenletesen Korlatos zart eny ¨ folytonos. ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ ev ´ I. fel

64 / 124


¨ ´ ekek ´ ´ Kozbens o˝ ert tetele ´ felvesz barmely ´ ´ Egy intervallumon folytonos fuggv eny ket ¨ ´ ´ ´ ¨ ¨ ´ ´ ´ ´ ´ ´ fuggv eny ert ek k oz otti ert eket is f uggv eny ert ekk ent. ¨ ¨ ´ ert ´ ekk ´ eszlete ´ Azaz egy intervallumon folytonos fuggv eny is egy ¨ intervallum.

´ folytonossaga ´ Inverz fuggv eny ¨ ´ injekt´ıv, es ´ Egy intervallumon folytonos, szigoruan monoton fuggv eny ´ ¨ ´ szigoruan ´ inverze is folytonos, es monoton (ugyanolyan ertelemben ´ ´ mint az eredeti fuggv eny). ¨

´ folytonossaga ´ Inverz fuggv eny ¨ ´ injekt´ıv fuggv ´ inverze is folytonos. Egy intervallumon folytonos es eny ¨ ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ ev ´ I. fel

65 / 124

¨ ´ ´ ERT ´ EKE ´ ´ FOLYTONOSSAGA ´ 5. FUGGV ENYEK HATAR ES ´ ´ 5.4 Az elemi fuggv enyek folytonossaga ¨

´ inverze, ln : ]0, ∞[ → R, x 7→ ln x := az x 7→ ex fuggv eny ¨ ax := ex ln a (x ∈ R), ahol a > 0, ´ inverze, ahol 0 < a 6= 1, x 7→ loga x := az x 7→ ax fuggv eny ¨ loga : ]0, ∞[ → R, ´ inverze, eny arcsin : [−1, 1] → − π2 , π2 := a sin π π fuggv ¨ −2,2 ´ inverze, arccos : [−1, 1] → [0, π] := a cos fuggv eny ¨ [0,π] ´ inverze, arctg : R → − π2 , π2 := a tg π π fuggv eny ¨ −2,2 ´ inverze. fuggv eny arcctg : R →]0, π[ := a ctg ¨ ]0,π[



´ ev ´ I. fel

66 / 124


´ Elemi fuggv enyek ¨ Az

˝ f (x) = c (x ∈ R) (ahol c ∈ R tetszoleges konstans), f (x) = x (x ∈ R), f (x) = ex (x ∈ R), f (x) = ln x (x > 0), f (x) = sin x (x ∈ R), f (x) = arcsin x (x ∈ [−1, 1]) ´ ´ ezekbol ˝ a fuggv enyeket, es ¨

¨ ´ kivonas, ´ szorzas, ´ osztas), ´ 4 alapmuvelet (osszead as, ˝ ¨ ´ kepz ´ ese, ´ osszetett fuggv eny ¨ ´ egy intervallumra leszuk´ ˝ ıtes ´ ok ´ veges ´ ´ aval ´ ´ operaci sokszori alkalmazas keletkezo˝ fuggv enyeket ¨ ´ elemi fuggv ¨ enyeknek nevezzuk. ¨ ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ ev ´ I. fel

67 / 124


´ Elemi fuggv enyek ¨ Az ´ anos ´ ´ uggv ´ hatvanyf eny, f (x) = x α := eα ln x (x > 0), altal ¨ ´ ´ inverzeik, a trigonometrikus fuggv enyek es ¨ a polinomok, ´ tortf ¨ uggv ´ ´ racionalis enyek (azaz polinomok hanyadosai) ¨

´ elemi fuggv enyek. ¨ ´ Az elemi fuggv enyek folytonosak. ¨



´ ev ´ I. fel

68 / 124

¨ ´ ´ ERT ´ EKE ´ ´ FOLYTONOSSAGA ´ 5. FUGGV ENYEK HATAR ES ´ ´ ert ´ ekek ´ 5.5 Nevezetes fuggv enyhat ar ¨

´ ´ ert ´ ekek ´ Nevezetes fuggv enyhat ar ¨ 1

lim (1 + x) x = e,

x→0

ex − 1 = 1, x→0 x sin x = 1. lim x→0 x lim



´ ev ´ I. fel

69 / 124

´ ´ ÍTAS ´ 6. DIFFERENCIALSZ AM ´ ´ ag, ´ differencial ´ asi ´ szabalyok ´ 6.1 Differencialhat os

´ ´ ag, ´ differencialh ´ anyados/deriv ´ ´ Differencialhat os alt ´ Az f : I → R (I ⊂ R egy nem elfajult intervallum) fuggv enyt ¨ ´ ´ ´ differencialhat onak nevezzuk a ¨ az x0 ∈ I pontban, ha letezik lim

x→x0

f (x) − f (x0 ) ∈ R. x − x0

´ ert ´ eket ´ ´ ´ anyados ´ ´ E hatar az f fuggv eny x0 pontbeli differencialh anak ¨ ´ anak ´ vagy derivaltj nevezzuk. ¨ df ¨ es: ´ Jelol f 0 (x0 ) vagy (x0 ). dx ´ ´ ertelmezhetj ´ Minden olyan x ∈ I pontban, ahol f differencialhat o, uk ¨ ´ fuggv ´ az x 7→ f 0 (x) derivalt ¨ enyt.



´ ev ´ I. fel

70 / 124

´ ´ ÍTAS ´ 6. DIFFERENCIALSZ AM ´ ´ ag, ´ differencial ´ asi ´ szabalyok ´ 6.1 Differencialhat os ´ jelentese: ´ A derivalt f (x) − f (x0 ) ´ az [x0 , x] intervallumon vett differenciahanyados, x − x0 ´ valtoz ´ ´ anak ´ ´ ´ ami a fuggv eny as atlagsebess ege; ¨ 0 ´ ´ hatar ´ ert ´ eke, ´ f (x0 ) az atlagsebess eg amikor az [x0 , x] ¨ ´ ´ intervallum osszeh uz az x0 pontra, azaz f 0 (x0 ) a fuggv eny ´ odik ¨ ´ ´ anak ´ ´ valtoz as x0 pontbeli pillanatnyi sebessege. ´ geometriai jelentese: ´ A derivalt f (x) − f (x0 ) ´ gorb ¨ ej ´ enek ´ ´ (x, f (x)) az f fuggv eny (x0 , f (x0 )) es ¨ x − x0 ¨ ¨ o˝ szeloj ˝ enek ´ ´ pontjait osszek ot iranytangense; 0 ´ ¨ ´ ´ f (x0 ) az f fuggv eny gorbejehez az (x0 , f (x0 )) pontban huzott ¨ ´ ´ ´ erint o˝ iranytangense. ´ Ha f differencialhat o´ egy pontban, akkor ott folytonos is. ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ ev ´ I. fel

71 / 124


´ as ´ es ´ a muveletek Differencial kapcsolata ˝ ´ ´ az x0 ∈ I pontban, akkor Ha f , g : I → R differencialhat ok ´ ´ f + g is differencialhat o´ x0 -ban, es (f + g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) + g 0 (x0 ), ˝ ´ c · f is differencialhat ´ ´ tetszoleges c ∈ R eseten o´ x0 -ban, es (c · f )0 (x0 ) = c · f 0 (x0 ), ´ ´ f · g is differencialhat o´ x0 -ban, es (f · g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) · g(x0 ) + f (x0 ) · g 0 (x0 ), f ´ ´ ha g(x0 ) 6= 0, akkor is differencialhat o´ x0 -ban, es g 0 f f 0 (x0 ) · g(x0 ) − f (x0 ) · g 0 (x0 ) (x0 ) = . g g(x0 )2 ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ ev ´ I. fel

72 / 124


´ ´ ag ´ es ´ linearis ´ approximalhat ´ ´ ag ´ kapcsolata Differencialhat os os ´ akkor es ´ csakis akkor differencialhat ´ Az f : I → R fuggv eny o´ az ¨ x0 ∈ I pontban, ha van olyan A ∈ R konstans, hogy f (x) − f (x0 ) − A(x − x0 ) = 0. lim x→x0 x − x0 Ha ez teljesul, ¨ akkor A = f 0 (x0 ). ´ akkor es ´ csakis akkor differencialhat ´ Az f : I → R fuggv eny o´ az ¨ ´ ε:I→R x0 ∈ I pontban, ha van olyan A ∈ R konstans es ´ fuggv eny, hogy ¨ f (x) − f (x0 ) = A(x − x0 ) + ε(x − x0 )

´ es

lim ε(x) = 0.

x→x0

´ Ekkor f (x) ≈ f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ), azaz, az x 7→ f (x) fuggv ¨ eny az ´ ´ ´ x 7→ f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) linearis fuggv ¨ ennyel approximalhat o´ ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ ev ´ I. fel

73 / 124


¨ ´ differencialhat ´ ´ aga ´ Osszetett fuggv eny os ¨ ´ ekk ´ eszlete, ´ Legyen f : I → R, J := f (I) az f ert g : J → R. ´ ´ g differencialhat ´ Ha f differencialhat o´ az x0 ∈ I pontban es o´ az ¨ ´ y0 := f (x0 ) ∈ J pontban, akkor a h := g ◦ f osszetett fuggv eny ¨ ´ ´ differencialhat o´ az x0 pontban, es h0 (x0 ) = g 0 (f (x0 )) · f 0 (x0 ).

´ differencialhat ´ ´ aga ´ Inverz fuggv eny os ¨ ´ ´ folytonos I-n, differencialhat ´ Tegyuk o, o´ ¨ fel, hogy f : I → R invertalhat 0 −1 ´ f (x0 ) 6= 0. Akkor az f : f (I) → I inverz az x0 ∈ I pontban, es ´ differencialhat ´ ´ fuggv eny o´ az y0 := f (x0 ) pontban, es ¨ 0 1 f −1 (y0 ) = 0 −1 . f (f (y0 )) ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ ev ´ I. fel

74 / 124

´ ´ ÍTAS ´ 6. DIFFERENCIALSZ AM ´ ´ 6.2 Az elemi fuggv enyek derivaltjai ¨ (c)0 = 0 (x α )0 = αx α−1

˝ (x ∈ R, c ∈ R tetszoleges konstans), (x > 0, ha α ∈ R; x ∈ R, ha α ∈ N),

(sin x)0 = cos x

(x ∈ R),

(cos x)0 = − sin x

(x ∈ R),

1 cos2 x 1 (ctg x)0 = − 2 sin x (tg x)0 =

(x ∈ R, x 6=

π + kπ, k ∈ Z), 2

(x ∈ R, x 6= kπ, k ∈ Z),

(ex )0 = ex

(x ∈ R),

(ax )0 = ax ln a

(x ∈ R, 0 < a 6= 1),



´ ev ´ I. fel

75 / 124

´ ´ ÍTAS ´ 6. DIFFERENCIALSZ AM ´ ´ 6.2 Az elemi fuggv enyek derivaltjai ¨ (ln x)0 =

(arccos x)0 (arctg x)0 (arcctg x)0

(x > 0),

1 x ln a 1 =√ 1 − x2 1 = −√ 1 − x2 1 = 1 + x2 1 =− 1 + x2

(loga x)0 = (arcsin x)0

1 x

(x > 0, 0 < a 6= 1), (|x| < 1), (|x| < 1), (x ∈ R), (x ∈ R).

´ ´ ´ tartomanyuk ´ Az elemi fuggv enyek ertelmez esi belso˝ pontjaiban ¨ ´ ´ differencialhat ok. ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ ev ´ I. fel

76 / 124

´ ´ ÍTAS ´ 6. DIFFERENCIALSZ AM ¨ ep ´ ert ´ ekt ´ etelek ´ ´ alkalmazasaik ´ 6.3 Koz es

´ szels ´ o˝ ert ´ ek ´ szuks ´ ´ Lokalis feltetele ¨ eges ´ ¨ az I Ha f : I → R differencialhat o´ az x0 ∈ I ◦ belso˝ pontban (I ◦ jeloli ´ vagyis belsejet), ´ es ´ f -nek intervallum belso˝ pontjainak halmazat, ´ szels ´ o˝ ert ´ eke ´ van, akkor x0 -ban lokalis f 0 (x0 ) = 0.

´ koz ¨ ep ´ ert ´ ekt ´ etel ´ Cauchy-fele ´ ´ Legyenek f , g : [a, b] → R folytonosak [a, b]-n, differencialhat ok ]a, b[ -n, akkor van olyan ξ ∈ ]a, b[ , melyre f (b) − f (a) g 0 (ξ) = g(b) − g(a) f 0 (ξ), vagy, ha g 0 (x) 6= 0 (x ∈]a, b[ ), akkor f 0 (ξ) f (b) − f (a) = . 0 g (ξ) g(b) − g(a) ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ ev ´ I. fel

77 / 124


´ koz ¨ ep ´ ert ´ ekt ´ etel ´ Lagrange-fele ´ Legyen f : [a, b] → R folytonos [a, b]-n, differencialhat o´ ]a, b[ -n, akkor van olyan ξ ∈]a, b[ , melyre f 0 (ξ) =

f (b) − f (a) . b−a

´ koz ¨ ep ´ ert ´ ekt ´ etel ´ Rolle-fele ´ Legyen f : [a, b] → R folytonos [a, b]-n, differencialhat o´ ]a, b[ -n, f (a) = f (b), akkor van olyan ξ ∈]a, b[ , melyre f 0 (ξ) =


f (b) − f (a) = 0. b−a


´ ev ´ I. fel

78 / 124


´ es ´ derivaltak ´ Monotonitas kapcsolata ´ Legyen f : I → R differencialhat o´ I-n. ¨ ´ csak akkor, ha f 0 (x) ≥ 0 (x ∈ I). f monoton novekv o˝ I-n akkor es ¨ ´ csak akkor, ha f 0 (x) ≤ 0 (x ∈ I). f monoton csokken o˝ I-n akkor es ´ csak akkor, ha f 0 (x) = 0 (x ∈ I). f konstans I-n akkor es ¨ f szigoruan monoton novekv o˝ I-n ha f 0 (x) > 0 (x ∈ I). ´ ¨ f szigoruan monoton csokken o˝ I-n ha f 0 (x) < 0 (x ∈ I). ´



´ ev ´ I. fel

79 / 124


´ L’Hospital szabaly ´ ´ ]a, b[ -n (ahol most Legyenek f , g : ]a, b[ → R differencialhat ok ´ g 0 (x) 6= 0 (x ∈ ]a, b[ ). Ha a, b ∈ Rb ), es ∃

f 0 (x) = A ∈ Rb x→a+0 g 0 (x) lim

´ es lim f (x) = lim g(x) = 0

x→a+0

x→a+0

vagy

lim g(x) = +∞(−∞),

x→a+0

akkor

f (x) = A. x→a+0 g(x) ´ akkor is erv ´ enyes, ´ ´ mindenutt A tetel ha x → a + 0 helyere ¨ x → b − 0, illetve x → c kerul, ¨ ahol c az ]a, b[ egy belso˝ pontja. lim



´ ev ´ I. fel

80 / 124

´ ´ ÍTAS ´ 6. DIFFERENCIALSZ AM ´ ´ konkavit ´ as ´ 6.4 Magasabbrendu˝ derivaltak, konvexitas,

´ Magasabbrendu˝ derivaltak ´ elso˝ derivaltja ´ ´ Tegyuk eny letezik az ¨ fel, hogy az f : I → R fuggv ¨ ´ egyoldali) kornyezet ¨ ´ x0 ∈ I pontnak egy (legalabb eben, akkor f ´ ´ masodik derivaltja f 00 (x0 ) := (f 0 )0 (x0 ) = lim

x→x0

f 0 (x) − f 0 (x0 ) . x − x0

´ ´ ´ Hasonloan, az f fuggv eny (n + 1)-edik derivaltja ¨ 0 f (n+1) (x0 ) := f (n) (x0 ).



´ ev ´ I. fel

81 / 124


´ konkavit ´ as ´ Konvexitas, ´ Az f : I → R fuggv enyt konvexnek nevezzuk ¨ ¨ az I intervallumon, ha f (λx1 + (1 − λ)x2 ) ≤ λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 )

(x1 , x2 ∈ I, λ ∈ [0, 1]).

´ ´ Az f : I → R fuggv enyt konkavnak nevezzuk ¨ ¨ I-n, ha −f konvex I-n. ´ a λx1 + (1 − λ)x2 ´ geometriai jelentese: ´ Konvexitas x1 < x2 eseten ´ ´ pont az [x1 , x2 ] intervallumot 1 − λ : λ aranyban osztja kette. ´ (x2 , f (x2 )) pontokon atmen ´ ˝ Az (x1 , f (x1 )) es o˝ egyenes (szelo) egyenlete: f (x2 ) − f (x1 ) y = f (x1 ) + (x − x1 ). x2 − x1 ´ eke ´ a λx1 + (1 − λ)x2 pontban eppen ´ Ennek ert λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ). Így az f fuggv ´ akkor es ´ csakis akkor konvex az I intervallumon, eny ¨ ´ gorb ¨ ej ´ enek ´ ´ ˝ a metszesi ´ pontok koz ¨ otti ¨ ha a fuggv eny barmely szeloje ¨ ´ gorbe ¨ szakaszon a fuggv eny felett van. ¨ ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ ev ´ I. fel

82 / 124


˝ ´ Jensen egyenlotlens eg ´ akkor es ´ csakis akkor konvex az I Az f : I → R fuggv eny ¨ ˝ ´ intervallumon, ha teljesul eg: ¨ a Jensen egyenlotlens f (λ1 x1 + λ2 x2 + · · · + λn xn ) ≤ λ1 f (x1 ) + λ2 f (x2 ) + · · · + λn f (xn ), ahol x1 , . . . , xn ∈ I, λ1 , . . . , λn ≥ 0,

n P

λk = 1.

k=1

´ konkav ´ akkor es ´ csakis akkor, ha az elobbi ˝ Az f : I → R fuggv eny ¨ ˝ ´ megford´ıtasa ´ teljesul. egyenlotlens eg ¨



´ ev ´ I. fel

83 / 124


´ konkav ´ fuggv ´ ´ Konvex es enyek jellemzese ¨ 1

´ Ha f : I → R differencialhat o´ I-n, akkor ´ csakis akkor, ha f 0 monoton novekv ¨ f konvex I-n akkor es o˝ I-n; ´ I-n akkor es ´ csakis akkor, ha f 0 monoton csokken ¨ f konkav o˝ I-n.

2

´ ´ Ha f : I → R ketszer differencialhat o´ I-n, akkor ´ csakis akkor, ha f 00 (x) ≥ 0 (x ∈ I); f konvex I-n akkor es ´ I-n akkor es ´ csakis akkor, ha f 00 (x) ≤ 0 (x ∈ I). f konkav



´ ev ´ I. fel

84 / 124


´ hely, inflexios ´ pont Inflexios ´ x0 ∈ I ◦ belso˝ pontja I-nek. Az x0 pontot az f Legyen f : I → R es ´ inflexios ´ helyenek, ´ ´ fuggv eny az (x0 , f (x0 )) pontot inflexios ¨ ´ konkav ´ ´ pontjanak nevezzuk, ¨ ha x0 az I intervallum konvex es ´ szakaszait valasztja el, azaz, ha van olyan δ > 0, hogy ´ az ]x0 , x0 + δ[ intervallumon, f konvex az ]x0 − δ, x0 [ , konkav vagy ´ az ]x0 − δ, x0 [ , konvex az ]x0 , x0 + δ[ intervallumon. f konkav

´ pontok megkeresese ´ Inflexios ´ ´ Legyen f : I → R ketszer differencialhat o´ I-n. ◦ ´ helye f -nek, akkor f 00 (x0 ) = 0. Ha az x0 ∈ I pont inflexios ´ f 00 elojelet ˝ ´ x0 -ban, akkor x0 inflexios ´ Ha f 00 (x0 ) = 0 es valt helye f -nek. ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ ev ´ I. fel

85 / 124

´ ´ ÍTAS ´ 6. DIFFERENCIALSZ AM ´ 6.5 Taylor tetele

´ Taylor tetele ´ tegyuk Legyen f : [a, b] → R, es ¨ fel, hogy ∃ n ∈ N ∪ {0}, hogy ´ ´ az f fuggv eny (n + 1)-szer differencialhat o´ ]a, b[ -n, ¨ f (n) folytonos [a, b]-n. ´ ´ x0 koz ¨ ott ¨ Akkor barmely x, x0 ∈ [a, b]-hoz van olyan ξ az x es ¨ ott ¨ uk, (szigoruan koz ´ ¨ ha x 6= x0 ), hogy f 00 (x0 ) f 0 (x0 ) (x − x0 ) + (x − x0 )2 + . . . f (x) = f (x0 ) + 1! 2! f (n) (x0 ) f (n+1) (ξ) n + ··· + (x − x0 ) + (x − x0 )n+1 , n! (n + 1)! ahol f (0) := f . ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ ev ´ I. fel

86 / 124

´ ´ ÍTAS ´ 6. DIFFERENCIALSZ AM ´ 6.5 Taylor tetele

Tn (x) := f (x0 ) +

f 00 (x0 ) f (n) (x0 ) f 0 (x0 ) (x − x0 ) + (x − x0 )2 + · · · + (x − x0 )n 1! 2! n!

´ ¨ uli az f fuggv eny x0 pont kor ¨ ¨ n-edfoku´ Taylor polinomja ´ Mc Laurin polinomja), (x0 = 0 eseten Rn (x) :=

f (n+1) (ξ) (x − x0 )n+1 (n + 1)!

´ alakban. ´ a Taylor formula n-edik maradektagja Lagrange-fele ´ Az Rn (x) maradektag azt mutatja meg, hogy f (x)-et a Tn (x) Taylor ´ ¨ ıti. polinom milyen hibaval kozel´



´ ev ´ I. fel

87 / 124

´ ´ ÍTAS ´ 6. DIFFERENCIALSZ AM ´ 6.5 Taylor tetele ´ ak ´ Taylor polinomra: Peld 1 f (x) = ex , x0 = 0 mellett ex = 1 + x +

xn x2 + ··· + + Rn (x), 2! n!

ahol Rn (x) :=

eξ x n+1 , (n + 1)!

´ ξ az x es ´ x0 = 0 koz ¨ ott ¨ van. Ebbol ˝ azt kapjuk, hogy es X ∞ x2 xn xn x e = lim 1 + x + + ··· + = . n→∞ 2! n! n! n=0

´ ´ ´ Ezt a sort az exponencialis fuggv ¨ eny Mc Laurin soranak, vagy ¨ uli ´ x0 = 0 kor ¨ Taylor soranak nevezzuk. ¨ ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ ev ´ I. fel

88 / 124

´ ´ ÍTAS ´ 6. DIFFERENCIALSZ AM ´ 6.5 Taylor tetele 2

´ f (x) = sin x, x0 = 0 eseten sin x = x − ahol

x3 x5 x 2n+1 + − · · · + (−1)n + R2n+1 (x) 3! 5! (2n + 1)!

(x ∈ R),

sin ξ + (2n + 2) π2 2n+2 R2n+1 (x) := x , (2n + 2)!

´ ξ az x es ´ x0 = 0 koz ¨ ott ¨ van. Ebbol ˝ azt kapjuk, hogy es X ∞ 2n+1 x3 x5 x 2n+1 n x sin x = lim x− + −· · ·+(−1) = . (−1)n n→∞ 3! 5! (2n + 1)! (2n + 1)! n=0

´ ´ Ezt a sort a sin fuggv ¨ eny Mc Laurin soranak, vagy x0 = 0 ¨ uli ´ kor ¨ Taylor soranak nevezuk. ¨ ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ ev ´ I. fel

89 / 124

´ ´ ÍTAS ´ 6. DIFFERENCIALSZ AM ´ o˝ ert ´ eksz ´ ´ ıtas ´ 6.6 Szels am´

´ szels ´ o˝ ert ´ ek ´ szuks ´ ´ Lokalis feltetele ¨ eges ´ ´ ott lokalis ´ Ha f : I → R differencialhat o´ az x0 ∈ I ◦ belso˝ pontban, es 0 ´ o˝ ert ´ eke ´ van, akkor f (x0 ) = 0. szels

´ Stacionarius pont ´ Azokat az x0 pontokat, amelyekre f 0 (x0 ) = 0 teljesul, eny ¨ az f fuggv ¨ ´ stacionarius pontjainak nevezzuk. ¨ ´ ´ ´ ´ ott Stacionarius pontban az erint o˝ parhuzamos az x tengellyel, es ´ ´ o˝ ert ´ ek, ´ de nem biztos, hogy van! lehet lokalis szels ´ ´ Milyen x0 ∈ I pontokban lehet egy f : I → R fuggv enynek lokalis ¨ ´ o˝ ert ´ eke? ´ szels x0 ∈ I ◦ belso˝ pont, ahol f 0 (x0 ) = 0, ´ x0 az I intervallum valamely vegpontja (ha az I-hez tartozik), ´ ´ x0 az I-nek olyan pontja, ahol f nem differencialhat o. ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ ev ´ I. fel

90 / 124


˝ ´ lokalis ´ szels ´ o˝ ert ´ ekre ´ Elsorend u˝ elegendo˝ feltetel ´ Tegyuk o´ az x0 ∈ I ◦ belso˝ pont egy ¨ fel, hogy f : I → R differencialhat ¨ ´ ´ x0 stacionarius ´ kornyezet eben, es pontja f -nek (azaz f 0 (x0 ) = 0). ´ Ha van olyan r > 0, hogy f 0 (x) ≥ 0 ha x ∈ ]x0 − r , x0 [ ∩I, es ´ maximuma f 0 (x) ≤ 0 ha x ∈ ]x0 , x0 + r [ ∩I, akkor f -nek lokalis van x0 -ban. ´ Ha van olyan r > 0, hogy f 0 (x) ≤ 0, ha x ∈ ]x0 − r , x0 [ ∩I, es ´ minimuma f 0 (x) ≥ 0 ha x ∈ ]x0 , x0 + r [ ∩I, akkor f -nek lokalis van x0 -ban. Ha van olyan r > 0, hogy f 0 (x) > 0 ha x ∈ ]x0 − r , x0 + r [ ∩I, x 6= x0 , vagy f 0 (x) < 0 ha x ∈ ]x0 − r , x0 + r [ ∩I, x 6= x0 , akkor ´ szels ´ o˝ ert ´ eke ´ ´ helye f -nek nincs lokalis x0 -ban, x0 inflexios f -nek. ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ ev ´ I. fel

91 / 124


´ lokalis ´ szels ´ o˝ ert ´ ekre ´ n-edrendu˝ elegendo˝ feltetel ´ Tegyuk o´ az ¨ fel, hogy f : I → R n-szer folytonosan differencialhat ¨ ´ x0 ∈ I ◦ belso˝ pont egy kornyezet eben (azaz f (n) folytonos e ¨ ´ kornyezetben), es f 0 (x0 ) = f 00 (x0 ) = · · · = f (n−1) (x0 ) = 0,

de

f (n) (x0 ) 6= 0.

´ ´ szels ´ o˝ ert ´ eke ´ van Ha n paros, akkor f -nek szigoru´ lokalis x0 -ban, maximum, ha f (n) (x0 ) < 0, minimum, ha f (n) (x0 ) > 0. ´ ´ o˝ ert ´ eke ´ Ha n paratlan, akkor f -nek nincs szels x0 -ban.



´ ev ´ I. fel

92 / 124

´ ´ ÍTAS ´ 6. DIFFERENCIALSZ AM ´ o˝ ert ´ eksz ´ ´ ıtas ´ 6.6 Szels am´ ´ ´ o˝ ert ´ ek ´ megkeresese: ´ Globalis szels ´ ´ zart ´ intervallum, es ´ f : I → R folytonos, akkor Ha I korlatos es ´ maximuma es ´ minimuma I-n. f -nek van globalis ´ ´ ´ akkor elofordulhat, ˝ Ha I nem korlatos, vagy korlatos de nem zart, ´ o˝ ert ´ eke ´ hogy f -nek nincs szels I-n. ´ sokszor) differencialhat ´ ´ ´ zart ´ I Ha f : I → R (eleg o´ a korlatos es intervallumon, akkor ´ szels ´ o˝ ert ´ ekeit ´ megkeressuk I belso˝ pontjaiban; ¨ f lokalis ´ ıtjuk f ert ´ ek ´ et ´ I vegpontjaiban; ´ kiszam´ ´ szels ´ o˝ ert ´ ekek ´ ´ a vegpontokban ´ ´ ekek ´ ¨ ul a lokalis es felvett ert koz ¨ a ´ maximum ert ´ ek ´ et, ´ a legkisebb adja a legnagyobb adja a globalis ´ minimum ert ´ ek ´ et. ´ globalis



´ ev ´ I. fel

93 / 124

´ ´ 7. HATAROZATLAN INTEGRAL ´ alapintegralok ´ 7.1 Defin´ıcio´ es

´ Primit´ıv fuggv eny ¨ ´ (I ⊂ R egy intervallum). Legyen f : I → R adott fuggv eny ¨ ´ ´ primit´ıv fuggv ´ enek ´ A F : I → R fuggv enyt az f fuggv eny ¨ eny ¨ ¨ 0 ´ ´ F (x) = f (x) (x ∈ I). nevezzuk o´ I-n, es ¨ I-n, ha F differencialhat ´ primit´ıv fuggv ´ Ha F az f fuggv eny enye I-n, akkor ¨ ¨ ´ ´ G(x) = F (x) + c (x ∈ I) is primit´ıv barmely c ∈ R eseten ´ fuggv enye f -nek I-n; ¨ ´ I-n f minden primit´ıv fuggv enye F (x) + c alaku, ¨ ´ ahol c ∈ R.

´ ´ Hatarozatlan integral ´ osszes ¨ ´ ´ f Egy f fuggv eny primit´ıv fuggv enyeinek halmazat ¨ ¨ ¨ ´ ´ ´ ´ hat arozatlan integr alj anak nevezz uk, melynek jel ol ese: ¨ Z Z ´ f = f (x) dx = {F (x) + c : c ∈ R, F az f egy primit´ıv fuggv enye}, ¨ R f (x) dx = F (x) + c (c ∈ R). egyszerubben: ˝ ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ ev ´ I. fel

94 / 124


´ Alapintegralok Z

ex dx = ex + c

R-en

ax +c ln a Z x α+1 x α dx = +c α+1 Z 1 dx = ln |x| + c x Z x n+1 x n dx = +c n+1 Z

ax dx =


R-en, ahol 1 6= a > 0 (0, ∞)-en, ahol −1 6= α ∈ R ´ illetve (0, ∞)-en (−∞, 0)-an, R-en, ahol n = 0, 1, . . .


´ ev ´ I. fel

95 / 124


´ Alapintegralok Z sin x dx = − cos x + c

R-en

cos x dx = sin x + c

R-en i π πh kπ − , kπ + -n, k ∈ Z 2 2

Z Z

1 dx cos2 x Z 1 dx sin2 x Z 1 √ dx 2 Z 1−x 1 dx 1 + x2

= tg x + c = − ctg x + c

]kπ, (k + 1)π[ -n, k ∈ Z

= arcsin x + c

] − 1, 1[ -en

= arctg x + c

R-en



´ ev ´ I. fel

96 / 124

´ ´ 7. HATAROZATLAN INTEGRAL ´ asi ´ szabalyok ´ 7.2 Integral

´ g-nek van primit´ıv fuggv ´ ´ Ha f -nek es enye I-n, akkor f + g-nek es ¨ ´ ´ c · f -nek is van I-n, es ´ barmely c ∈ R eseten Z Z Z Z Z (f + g) = f + g, (cf ) = c f .

´ integral ´ as ´ Parcialis ´ g differencialhat ´ ´ es ´ fg 0 -nek van primit´ıv fuggv ´ Ha f es ok enye I-n, ¨ 0 ´ ´ akkor f g-nek is van primit´ıv fuggv enye I-n, es ¨ Z Z 0 f g = fg − fg 0 .



´ ev ´ I. fel

97 / 124


´ ´ as ´ Helyettes´ıteses integral ´ ´ Ha f -nek van primit´ıv fuggv enye I-n, g : J → I differencialhat o´ a J ¨ ´ ´ intervallumon, akkor (f ◦ g) · g 0 -nek isvan primit´ıv fuggv enye J-n, es ¨ Z Z f ◦ g, (f ◦ g) · g 0 = vagyis

Z

f (g(x)) g 0 (x) dx =

Z f (u) du|u=g(x) .

´ g : J → I differencialhat ´ ´ a J ´ eppen: ´ Mask ha f : I → R es ok 0 0 ´ (f ◦ g) · g -nek van primit´ıv intervallumon, g (x) 6= 0 (x ∈ J) es ´ ´ ´ fuggv enye, akkor f -nek is van primit´ ıv fuggv enye I-n, es ¨ ¨ Z Z vagyis

f = ((f ◦ g) · g 0 ) ◦ g −1 , Z Z f (x) dx = f (g(u)) g 0 (u) du u=g −1 (x) .



´ ev ´ I. fel

98 / 124

´ ´ 7. HATAROZATLAN INTEGRAL ´ asi ´ szabalyok ´ 7.2 Integral ´ aul: ´ Peld Z

gαg0 =

g α+1 +c α+1

˝ peld ´ aul ´ amibol Z

Z tg x dx = −

a

Z (α 6= −1),

g0 = ln |g| + c, g

(cos x)0 dx = − ln | cos x| + c cos x

i πh π (k ∈ Z) intervallumokon, kπ − , kπ + 2 2 Z Z (sin x)0 ctg x dx = − dx = − ln | sin x| + c sin x

a ]k π, (k + 1)π[ (k ∈ Z) intervallumokon. ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ ev ´ I. fel

99 / 124


´ helyettes´ıtes ´ Linearis ´ ´ a 6= 0, b ∈ R, akkor Ha f primit´ıv fuggv enye F , es ¨ Z Z 1 1 f (ax + b) dx = f (u) du|u=ax+b = F (ax + b) + c. a a



´ ev ´ I. fel

100 / 124


´ ´ Tovabbi alapintegralok (a > 0) Z

Z

Z

√

√

√

1 a2

1 x 2 + a2 1 x 2 − a2

Z x2 Z

−

x2

dx

= arcsin

x + c, a

(|x| < a),

dx

√ = ln x + x 2 + a2 + c,

(x ∈ R),

dx

√ = ln x + x 2 − a2 + c,

(|x| > a),

1 dx + a2

1 dx x 2 − a2

1 x arctg + c, a a x − a 1 + c, = ln 2a x + a =



(x ∈ R), (|x| > a, vagy |x| < a). ´ ev ´ I. fel

101 / 124

´ ´ 7. HATAROZATLAN INTEGRAL ´ ´ ´ 7.3 Elemien integralhat o´ fuggv enyek osztalyai ¨

´ ´ Elemien integralhat o´ fuggv eny ¨ ´ ´ ´ Egy fuggv enyt elemien integralhat onak nevezunk, ha primit´ıv ¨ ¨ ´ ´ fuggv enye elemi fuggv eny. ¨ ¨

´ ´ ´ Parcialisan integralhat o´ fuggv enyek ¨ Ha P(x) = an x n + an−1 x n−1 + · · · + a1 x + a0 (a0 , a1 , . . . , an ∈ R) ´ ´ polinom, akkor parcialisan integralhat o´ P(x)ex : P(x) sin x : P(x) cos x : P(x) ln x : P(x) arcsin x : P(x) arctg x : ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl

f 0 (x) = ex , 0

f (x) = sin x,

g(x) = P(x) g(x) = P(x)

0

f (x) = cos x, g(x) = P(x) 0

g(x) = ln x

0

g(x) = arcsin x

0

g(x) = arctg x

f (x) = P(x), f (x) = P(x), f (x) = P(x),


´ ´ valaszt assal, ´ ´ valaszt assal, ´ ´ valaszt assal, ´ ´ valaszt assal, ´ ´ valaszt assal, ´ ´ valaszt assal. ´ ev ´ I. fel

102 / 124

´ ´ 8. HATAROZOTT INTEGRAL ´ defin´ıcioja ´ es ´ alaptulajdonsagai ´ 8.1 Az integral

´ Intervallum felosztasa ´ intervallum. Legyen [a, b] ⊂ R egy zart A P = {xi : a = x0 < x1 < · · · < xn = b} (n ∈ N) ponthalmazt az ´ anak ´ [a, b] intervallum egy felosztas nevezzuk, ¨ ´ xi az i-edik osztopont, [xi−1 , xi ] az i-edik intervallum, xi − xi−1 az i-edik intervallum hossza, ´ a P felosztas ´ finomsaga. ´ a kPk := max (xi − xi−1 ) szam 1≤i≤n



´ ev ´ I. fel

103 / 124


´ ozel´ ¨ ıto˝ osszeg ¨ Integralk ´ ´ Legyen f : [a, b] → R egy korlatos fuggv eny, P az [a, b] egy ¨ ´ ¨ felosztasa, ti ∈ [xi−1 , xi ] (i = 1, . . . , n) kozbens o˝ pontok. Az n X s(f , P, t) := f (ti )(xi − xi−1 ) i=1

¨ ´ ´ ´ a t = (t1 , . . . , tn ) osszeget az f fuggv eny P felosztashoz es ¨ ¨ ´ ozel´ ¨ ıto˝ osszeg ¨ ´ kozbens o˝ pontrendszerhez tartozo´ integralk enek nevezzuk. ¨ ¨ ´ Az s(f , P, t) osszeg geometriai jelentese: ´ es ´ a kozbens ¨ ´ ´ ´ a felosztas o˝ pontok altal meghatarozott teglalapok ´ ˝ ¨ ´ jobban kozel´ ¨ ıti a gorbe ¨ terulet (elojeles) osszege, ami annal alatti ¨ enek ˝ ´ finomabb a felosztas. ´ (elojeles) teruletet, minel ¨ ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ ev ´ I. fel

104 / 124


´ ´ ag ´ es ´ Riemann integral ´ Riemann integralhat os ´ ´ ´ ´ Az f : [a, b] → R korlatos fuggv enyt Riemann integralhat onak ¨ ´ ´ nevezzuk hogy barmely ¨ [a, b]-n, ha van olyan I ∈ R szam, ´ ε > 0-hoz letezik olyan δ(ε), hogy |s(f , P, t) − I| < ε ´ t = (t1 , . . . , tn ) tetszoleges ˝ ¨ ha kPk < δ(ε) es kozbens o˝ pontrendszer. ´ ´ ´ anak ´ Az I szamot az f fuggv eny [a, b]-n vett Riemann integralj ¨ Rb Rb ¨ ese ´ nevezzuk, f (x) dx vagy f . ¨ melynek jelol a

Az

Rb

a

´ f (x) dx geometriai jelentese:

a

´ az y = f (x) fuggv ´ ¨ az x = a, x = b, y = 0 egyenesek es enyg orbe ¨ által meghatarozott ´ ˝ s´ıkidom elojeles terulete ¨ (az x tengely alatti ´ ´ negat´ıv elojellel ˝ ´ reszt az integral szamolja). ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ ev ´ I. fel

105 / 124

´ ´ 8. HATAROZOTT INTEGRAL ´ defin´ıcioja ´ es ´ alaptulajdonsagai ´ 8.1 Az integral ¨ ´ ´ ´ at ´ R[a, b] jeloli. Az [a, b]-n Riemann integralhat o´ fuggv ¨ enyek osztaly

´ alaptulajdonsagai ´ Az integral ´ ´ barmely ´ Ha f , g : [a, b] → R, f , g ∈ R[a, b], akkor barmely c ∈ R es a < d < b mellett Zb Zb Zb ´ (f + g) = f + g, f + g ∈ R[a, b], es a

c · f ∈ R[a, b],

Zb (c · f ) = c ·

´ es a

f ∈ R[d, b],

´ es


Zd f =

a


f, a

Zb f ∈ R[a, d],

a

a

Zb

Zb f+

a

f, d

´ ev ´ I. fel

106 / 124


´ es ´ a rendezes ´ kapcsolata Az integral ´ f (x) ≤ g(x) (x ∈ [a, b]), akkor Ha f , g : [a, b] → R, f , g ∈ R[a, b] es Zb Zb f ≤ g. a

a

´ am´ ´ ıtas ´ koz ¨ ep ´ ert ´ ekt ´ etele ´ Az integralsz Zb Ha f : [a, b] → R, f ∈ R[a, b], akkor m(b − a) ≤

f ≤ M(b − a), a

ahol

m := inf f (x), x∈[a,b]

M := sup f (x). x∈[a,b]

1 Ha f folytonos [a, b]-n, akkor ∃ ξ ∈ [a, b], melyre f (ξ) = b−a

Zb f. a



´ ev ´ I. fel

107 / 124


´ ´ ag ´ elegendo˝ feltetele ´ Az integralhat os ´ evel ´ ´ Riemann integralhat ´ ´ Egy pontsorozat kivetel folytonos fuggv eny o. ¨

´ es ´ az abszolut ´ ek ´ kapcsolata Az integral ´ ert ´ Ha f : [a, b] → R, f ∈ R[a, b], akkor |f | ∈ R[a, b], es Z Z b b f (x) dx ≤ |f (x)| dx. a a



´ ev ´ I. fel

108 / 124

´ ´ 8. HATAROZOTT INTEGRAL ´ kiszam´ ´ ıtasa, ´ 8.2 Az integral Newton-Leibniz formula

´ o˝ fuggv ´ Teruletm er eny ¨ ¨ Legyen f ∈ R[a, b], akkor a Z T (x) :=

x

f (t) dt

(x ∈ [a, b])

a

´ ´ o˝ fuggv ´ enek ´ fuggv enyt f teruletm ¨ er ¨ eny nevezzuk. ¨ ¨

´ o˝ fuggv ´ tulajdonsagai ´ A teruletm er eny ¨ ¨ ´ T az f teruletm ´ o˝ fuggv ´ Ha f ∈ R[a, b] es er enye, akkor ¨ ¨ 1

T folytonos [a, b]-n,

2

´ ha f folytonos x0 ∈ [a, b]-ben, akkor T differencialhat o´ x0 -ban, ´ T 0 (x0 ) = f (x0 ). es

´ primit´ıv fuggv ´ Folytonos fuggv eny enye ¨ ¨ ´ ´ ´ Minden folytonos fuggv enynek van primit´ıv fuggv enye, megpedig a ¨ ¨ ´ o˝ fuggv ´ teruletm er enye. ¨ ¨ ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ ev ´ I. fel

109 / 124


Newton-Leibniz formula ´ F : [a, b] → R az Tegyuk ¨ fel, hogy f : [a, b] → R folytonos [a, b]-n, es ´ f egy primit´ıv fuggv enye [a, b]-n, akkor ¨ Zb

f (x) dx = [F (x)]ba := F (b) − F (a).

a

´ enyes, ´ A Newton-Leibniz formula akkor is erv ha f ∈ R[a, b], ´ F 0 (x) = f (x) (x ∈]a, b[). F : [a, b] → R folytonos [a, b]-n, es



´ ev ´ I. fel

110 / 124


´ integral ´ as ´ hatarozott ´ ´ Parcialis integralra ´ ´ [a, b]-n, akkor Ha f , g : [a, b] → R folytonosan differencialhat ok Zb

0

f (x)g(x) dx =

[f (x)g(x)]ba

Zb −

a

ahol

[f (x)g(x)]ba

f (x)g 0 (x) dx,

a

:= f (b)g(b) − f (a)g(a).

´ ´ as ´ hatarozott ´ ´ Helyettes´ıteses integral integralra ´ ´ Ha g : [a, b] → [c, d] folytonosan differencialhat o´ [a, b]-n es f : [c, d] → R folytonos [c, d]-n, akkor Zb a


f (g(x))g 0 (x) dx =

g(b) Z

f (u) du. g(a)


´ ev ´ I. fel

111 / 124

´ ´ 8. HATAROZOTT INTEGRAL ´ 8.3 Improprius integral

´ vegtelen ´ Integral intervallumokon ´ tegyuk Legyen f : ] − ∞, b] → R, b ∈ R, es ¨ fel, hogy minden t < b mellett f ∈ R[t, b], akkor Z

b

Z f (x) dx := lim

−∞

t→−∞ t

b

f (x) dx,

´ ´ ert ´ ek ´ veges. ´ felteve, hogy a jobboldali hatar Ekkor azt mondjuk, hogy Rb ´ konvergens, ellenkezo˝ esetben az −∞ f (x) dx improprius integral ´ ert ´ ek ´ nem letezik, ´ ´ ´ (amikor a jobboldali hatar vagy letezik de vegtelen) divergens.



´ ev ´ I. fel

112 / 124


´ vegtelen ´ Integral intervallumokon ´ tegyuk Legyen f : ]a, ∞[→ R, a ∈ R, es ¨ fel, hogy minden a < t mellett f ∈ R[a, t], akkor Z

∞

Z

t

f (x) dx := lim a

t→∞ a

f (x) dx,

´R hogy a jobboldali hatar ´ ert ´ ek ´ veges. ´ felteve, Ekkor azt mondjuk, hogy ∞ ´ konvergens, ellenkezo˝ esetben az a f (x) dx improprius integral ´ ert ´ ek ´ nem letezik, ´ ´ ´ (amikor a jobboldali hatar vagy letezik de vegtelen) divergens.



´ ev ´ I. fel

113 / 124


´ vegtelen ´ Integral intervallumokon ´ tegyuk Legyen f : ] − ∞, ∞[→ R, es ¨ fel, hogy minden s < t mellett ˝ ´ f ∈ R[s, t], akkor tetszoleges c ∈ R eseten Z ∞ Z c Z ∞ f (x) dx := f (x) dx + f (x) dx −∞

−∞

c

Z = lim

s→−∞ s

c

Z f (x) dx + lim

t→∞ c

t

f (x) dx,

´ ´ jobboldali hatar ´ ert ´ ek ´ veges. ´ felteve, hogy Ekkor azt mondjuk, R ∞ mindket ´ konvergens, ellenkezo˝ hogy az −∞ f (x) dx improprius integral ´ ert ´ ek ´ nem letezik, ´ esetben (amikor valamelyik jobboldali hatar vagy ´ ´ letezik de vegtelen) divergens.



´ ev ´ I. fel

114 / 124


´ ´ ´ asa ´ Nem korlatos fuggv enyek integral ¨ ´ tegyuk ´ Legyen f : [a, b] → R, a, b ∈ R, es ¨ fel, hogy f nem korlatos ´ [a, b]-n, de minden a < t < b mellett f ∈ R[t, b], (´ıgy f korlatos [t, b]-n!), akkor Z b Z b f (x) dx := lim f (x) dx, a

t→a+0 t

´ ´ ert ´ ek ´ veges. ´ felteve, hogy a jobboldali hatar Ekkor azt mondjuk, hogy Rb ´ konvergens, ellenkezo˝ esetben az a f (x) dx improprius integral ´ ert ´ ek ´ nem letezik, ´ ´ ´ (amikor a jobboldali hatar vagy letezik de vegtelen) divergens.



´ ev ´ I. fel

115 / 124


´ ´ ´ asa ´ Nem korlatos fuggv enyek integral ¨ ´ tegyuk ´ Legyen f : [a, b] → R, a, b ∈ R, es ¨ fel, hogy f nem korlatos ´ [a, b]-n, de minden a < t < b mellett f ∈ R[a, t], (´ıgy f korlatos [a, t]-n!), akkor Z b Z t f (x) dx := lim f (x) dx, a

t→b−0 a

´ ´ ert ´ ek ´ veges. ´ felteve, hogy a jobboldali hatar Ekkor azt mondjuk, hogy Rb ´ konvergens, ellenkezo˝ esetben az a f (x) dx improprius integral ´ ert ´ ek ´ nem letezik, ´ ´ ´ (amikor a jobboldali hatar vagy letezik de vegtelen) divergens.



´ ev ´ I. fel

116 / 124


´ ´ ´ asa ´ Nem korlatos fuggv enyek integral ¨ ´ tegyuk ´ Legyen f : [a, b] → R, a, b ∈ R, es ¨ fel, hogy f nem korlatos [a, b]-n, de van olyan c ∈ ]a, b[ , hogy minden a < s < c < t < b ´ f ∈ R[t, b], (´ıgy f korlatos ´ ´ mellett f ∈ R[a, s] es [a, s]-n es ´ ¨ ´ [t, b]-n, de nem korlatos a c pont egy kornyezet eben!), akkor Z b Z c Z b f (x) dx := f (x) dx + f (x) dx a

a

c

Z = lim

s→c−0 a

s

Z f (x) dx + lim

t→c+0 t

b

f (x) dx,

´ ´ jobboldali hatar ´ ert ´ ek ´ veges. ´ felteve, hogy mindket Ekkor azt mondjuk, Rb ´ konvergens, ellenkezo˝ esetben hogy az a f (x) dx improprius integral ´ ert ´ ek ´ nem letezik, ´ ´ (amikor valamelyik jobboldali hatar vagy letezik de ´ vegtelen) divergens. ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ ev ´ I. fel

117 / 124


´ (beleertve ´ ´ is) ert ´ eke ´ A Riemann integral az improprius integralt ´ ´ ´ ek ´ et ´ veges ´ nem valtozik, ha a fuggv ¨ eny ert sok pontban ´ megvaltoztatjuk. ´ a nem korlatos ´ ´ ´ anak ´ Ezert fuggv enyek (improprius) integralj pl. az elso˝ ¨ ´ aban ´ ´ ¨ ´ defin´ıcioj (amikor f az a vegpont egy kornyezet eben nem ´ ´ az a pontban korlatos) mindegy, hogy a kiindulo´ f fuggv eny ¨ ´ ´ ˝ definialva van vagy sem, mert utobbi esetben f (a)-t tetszolegesen ´ ´ nem valtozik. ´ ertelmezve az integral ´ ´ ´ ´ Mindharom defin´ıcio´ eseteben feltetelezt uk, van ¨ hogy f ertelmezve ¨ ´ ´ abban a pontban, melynek kornyezet eben f nem korlatos.



´ ev ´ I. fel

118 / 124

´ ´ 8. HATAROZOTT INTEGRAL ˝ integral ´ 8.4 Kettos

´ ´ Teglalap felosztasa ´ teglalap, ´ ´ Legyen D = [a, b] × [c, d] ⊂ R2 egy zart es Px = {xi : a = x0 < x1 < · · · < xm = b}, Py = {yj : c = y0 < y1 < · · · < yn = d} ´ [c, d] intervallumok felosztasai. ´ az [a, b] es A P := Px × Py = {(xi , yj ) : i = 0, 1, . . . , m; j = 0, 1, . . . , n} ´ ´ anak ´ (n ∈ N) ponthalmazt a D teglalap egy felosztas nevezzuk, ¨ Di,j := [xi−1 , xi ] × [yj−1 , yj ] (i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n) a ´ teglalapjai, ´ felosztas q ´ a P a kPk := max (xi − xi−1 )2 + (yj − yj−1 )2 szam 1≤i≤m,1≤j≤n

´ ´ oi ´ hosszanak ´ ´ finomsaga ´ felosztas (a Di,j teglalapok atl a maximuma). ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ ev ´ I. fel

119 / 124


´ ozel´ ¨ ıto˝ osszeg ¨ Integralk ´ ´ a D teglalapon, ´ Legyen f : D → R egy korlatos fuggv eny P a D ¨ ´ ¨ egy felosztasa, (si , tj ) ∈ Di,j (i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n) kozbens o˝ ¨ pontok, v = (s1 , t1 ), (s1 .t2 ), . . . , (sm , tn ) a kozbens o˝ pontok rendszere/vektora. Az m X n X s(f , P, v ) := f (si , tj , )m(Di,j ) i=1 j=1

¨ ´ osszeget, ahol m(Di,j ) := (xi − xi−1 )(yj − yj−1 ) a Di,j teglalap ´ eke), ´ ´ ´ ´ a v kozbens ¨ terulete (mert az f fuggv eny P felosztashoz es o˝ ¨ ¨ ´ ozel´ ¨ ıto˝ osszeg ¨ ´ pontrendszerhez tartozo´ integralk enek nevezzuk. ¨ ¨ ´ es ´ a ´ Az s(f , P, v ) osszeg geometriai jelentese: a felosztas ¨ ´ ekek ´ ´ ´ ´ ´ ´ ˝ kozbens o˝ ert altal meghatarozott hasabok terfogat anak (elojeles) ¨ ´ jobban kozel´ ¨ ıti az f altal ´ ´ osszege, ami annal meghatarozott felulet ¨ ˝ ´ ´ finomabb a felosztas. ´ alatti (elojeles) terfogatot, minel ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ ev ´ I. fel

120 / 124


˝ Riemann integral ´ teglalapon ´ Kettos ´ ´ ´ ´ Az f : D → R korlatos fuggv enyt Riemann integralhat onak nevezzuk ¨ ¨ ´ ´ ´ a D teglalapon, ha van olyan I ∈ R szam, hogy barmely ε > 0-hoz ´ letezik olyan δ(ε), hogy |s(f , P, v ) − I| < ε ´ v = (s1 , t1 ), (s1 .t2 ), . . . , (sm , tn ) tetszoleges ˝ ha kPk < δ(ε) es ¨ ´ ´ RRD-n vett kozbens o˝ pontrendszer. Az I szamot az f fuggv eny ¨ ¨ ese ´ ´ anak ´ Riemann integralj nevezzuk, f (x, y) dx dy. ¨ melynek jelol D

Az

RR

´ f (x, y ) dx dy geometriai jelentese: az x = a, x = b, y = c,

D

´ a z = f (x, y) felulet ´ ´ y = d, z = 0 s´ıkok es meghatarozott idom ¨ altal ˝ ´ ´ ´ negat´ıv elojeles terfogata (a z = 0 s´ık alatti reszt az integral ˝ ´ elojellel szamolja). ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ ev ´ I. fel

121 / 124

´ ´ 8. HATAROZOTT INTEGRAL ˝ integral ´ teglalapon ´ 8.4 Kettos

˝ integral ´ kiszam´ ´ ıtasa ´ Kettos ´ Legyen f : D → R folytonos a D = [a, b] × [c, d] teglalapon. Ekkor f ´ ´ integralhat o´ D-n, es ! ZZ Z b Z d f (x, y) dx dy = f (x, y) dy dx a

D

vagy

ZZ

Z

c d

Z

f (x, y) dx dy = D

!

b

f (x, y) dx c

dy

a

´ a kettos ˝ integral ´ kiszam´ ´ ıtasa ´ ismetelt ´ ´ szukcessz´ıv) Tehat (iteralt, ˝ or ¨ x szerint ´ assal ´ ¨ enik, ´ integral tort a sorrend (az hogy elosz ´ ´ ´ ıt. masodszor y szerint integralunk, vagy ford´ıtva) nem szam´ ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ ev ´ I. fel

122 / 124


˝ u´ normaltartom ´ ´ Elsofaj any ´ az y = ϕ1 (x), y = ϕ2 (x) (x ∈ [a, b]) Az x = a, x = b egyenesek es ¨ ek ´ altal ´ ´ gorb hatarolt D := {(x, y ) : a ≤ x ≤ b, ϕ1 (x) ≤ y ≤ ϕ2 (x)}, ´ ´ tartomany, ahol ϕ1 , ϕ2 : [a, b] → R adott folytonos fuggv enyek ugy, ¨ ´ hogy ϕ1 (x) ≤ ϕ2 (x) ha x ∈ [a, b]).

˝ Riemann integral ´ elsofaj ˝ u´ normaltartom ´ ´ Kettos anyon ˝ u´ normaltartom ´ ´ Ha f : D → R folytonos a D elsofaj anyon, akkor ! ZZ Z b Z ϕ2 (x) f (x, y ) dx dy := f (x, y) dy dx. D


a

ϕ1 (x)


´ ev ´ I. fel

123 / 124


´ ´ ´ Masodfaj u´ normaltartom any ´ az x = ψ1 (y), x = ψ2 (y) (y ∈ [c, d]) Az y = c, y = d egyenesek es ¨ ek ´ altal ´ ´ gorb hatarolt D := {(x, y) : c ≤ y ≤ d, ψ1 (y ) ≤ x ≤ ψ2 (y)}, ´ ´ tartomany, ahol ψ1 , ψ2 : [c, d] → R adott folytonos fuggv enyek ugy, ¨ ´ hogy ψ1 (y) ≤ ψ2 (y ) ha y ∈ [c, d]).

˝ Riemann integral ´ masodfaj ´ ´ ´ Kettos u´ normaltartom anyon ´ ´ ´ Ha f : D → R folytonos a D masodfaj u´ normaltartom anyon, akkor ! ZZ Z d Z ψ2 (y ) f (x, y ) dx dy := f (x, y) dx dy . D


c

ψ1 (y)


´ ev ´ I. fel

124 / 124

Gazdasági matematika I

Recommend Documents