KOVÁCS BÉLA,
MATEmATIkA I.
9
IX. MÁTRIxOk
1. MÁTRIx FOGALmA,
TULAJDONSÁGAI
A mátrix egy téglalap alakú táblázat, melyben az adatok, a mátrix elemei, sorokban és oszlopokban vannak elhelyezve. Az
(1)
mátrixnak m sora és n oszlopa van. Ezért szokás azt
tipusú mátrixnak mondani. Az i -edik sor k -adik eleme
.
Az n sorból és az n oszlopból álló mátrix neve n-edrendű négyzetes (vagy kvadratikus) mátrix. elemei alkotják a mátrix főátlóját.
A kvadratikus mátrix
Ha a mátrix sorait felcseréljük az oszlopaival, a mátrix transzponáltját kapjuk. Jelölése A* vagy Az A kvadratikus mátrix szimmetrikus, ha
, azaz ha
.
; ferdén szimmetrikus, ha
, azaz ha
.
Ha a D kvadratikus mátrix főátlóján kívüli valamennyi eleme nulla, akkor D átlós (diagonális) mátrix. Ha egy diagonális mátrix főátlójában álló valamennyi elem 1, akkor annak neve egységmátrix. Jele E.
A csupa nulla elemből álló mátrixot zérusmátrixnak (nullamátrixnak) nevezzük.
Az egyetlen oszlopból, ill. egyetlen sorból álló mátrix neve oszlopmátrix (vagy oszlopvektor), ill. sormátrix, (vagy sorvektor). Ezeket általában kisbetűvel (pl. a, b) jelöljük. Két mátrix egyenlő, ha mindkettő ugyanolyan tipusú, és a megfelelő helyeken álló elemeik egyenlők, azaz
, ha
.
2. Műveletek
mÁTRIxOkkAL
Az A és B mátrixok összege Az A mátrix és a
, ha
szám szorzata
, ha
Minden négyzetes A mátrix előállítható ,
. . alakban, ahol S szimmetrikus, F pedig ferdén szimmetrikus mátrix, és
.
Minden mátrix valójában egymás alá (fölé) írt sorvektorokból és egymás mellé írt oszlopvektorokból áll. Legyen az A mátrix i edik sora, ill. a B mátrix k -adik oszlopa
, ill.
.
Ekkor az A és B mátrix szorzata
, ha
.
(2)
Innen látható, hogy az AB mátrixszorzat csak akkor értelmezhető, ha a bal oldali A mátrixnak ugyanannyi oszlopa van, mint ahány sora van a jobb oldali B mátrixnak. Tehát az eredménymátrix
tipusú lesz. Az is látható, hogy
és
mátrixok AB szorzata értelmezhető. Az
. Az eredménymátrix
eleme pedig nem más, mint az
A mátrix i -edik sorának és a B mátrix k -adik oszlopának skaláris szorzata. Ha A négyzetes mátrix és E, ill. 0 vele azonos rendű egységmátrix, ill. zérusmátrix, akkor
, ill.
(3)
.
3. MÁTRIxOk INVERZE ÉS RANGJA Mátrix inverze Az A négyzetes mátrix inverzén olyan,
-gyel jelölt mátrixot értünk, amelyre
,
(4)
ahol E az A -val megegyező rendű egységmátrix. Az inverzmátrix csak akkor létezik, ha
. Ekkor az A mátrix reguláris. Ellenkező esetben szinguláris.
Igazolható, hogy
(5)
,
ahol
, az A mátrix
eleméhez tartozó előjeles aldetermináns.
Megjegyezzük, hogy az inverzmátrix más módon is előállítható (például bázistranszformációval, l. a 8. mintapéldát
).
Mátrix rangja Mátrix rangja egyenlő a mátrix lineárisan független sorvektorainak vagy oszlopvektorainak számával. Egy másik értelmezés: Mátrix rangján a mátrixból kiválasztható, nem zérus értékű determinánsok rendszámának maximumát
értjük. Egy mátrixnak annyi lineárisan független oszlopvektora (vagy sorvektora) van, ahány közülük a bázistranszformáció során bevihető a bázisba. Ez lehetőséget ad a rang meghatározására. Ha valamely
számra és s vektorra
sajátvektora. A
, akkor
az A mátrix sajátértéke, s pedig a
sajátérték meghatározása a
(6)
karakterisztikus egyenlet megoldásaként kapható.
4. MINTAPÉLDÁk
Megoldások:
,
1. Legyen
láthatók
,
nem láthatók
.
A és B másodrendű kvadratikus (négyzetes) mátrixok. ;
.
A és C nem adható össze, mert különböző méretűek. 5C
.
2. Írjuk fel az A mátrixot egy szimmetrikus és egy ferdén szimmetrikus mátrix összegként, ha
.
A
Megoldás. Alkalmazzuk az
felbontást. Mivel
,
ezért
,
Ezeket felhasználva:
.
sajátértékhez tartozó
.
3. Egy harmadrendű átlós mátrix, a harmadrendű egységmátrix és a harmadrendű nullamátrix:
,
,
.
HIÁNYOS FELADAT 4. HIÁNYOS FELADAT
Megoldás Az alábbi szorzás elvégezhető, mert az A mátrix tipusú (méretű), a B pedig tipusú (méretű) lesz. méret (4) megegyezik), az eredmény pedig
.
Például
az A mátrix második sorának és a B mátrix első oszlopának a skaláris
szorzata, azaz . Hasonlóan például .
5. Számítsuk ki az Ab,
,
,
Ab és
,
szorzatokat, ha
,
.
Megoldás
;
.
Itt
a c oszlopvektor transzponáltja, ezért az sorvektor. Az eredmény egy szám.
tipusú (a két belső
.
Az eredmény itt is szám.
.
Az
-gal való szorzás tehát összegzi a b vektor koordinátáit.
6. Az egységmátrix inverze önmaga, azaz
.
Ugyanis a (3) és (4) szerint .
7. Állítsuk elő az
mátrix inverzét, majd győződjünk meg az előállítás helyességéről.
Megoldás. Az (5) formulát használjuk. Előbb számítsuk ki az A mátrix determinánsát.
.
Mivel a determináns értéke nem nulla, ezért létezik inverz (a mátrix reguláris). elemekhez tartozó előjeles aldeterminánsok:
Az adjungált mátrix elemei, vagyis az
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Tehát az inverzmátrix:
.
Most győződjünk meg a megoldás helyességéről, vagyis arról, hogy teljesül-e az egyenlőség. Csak az
egyenlőséget igazoljuk:
.
8. Állítsuk elő az
mátrix inverzét bázistranszformációval.
Megoldás. Igazolható, hogy az E egységmátrix oszlopvektorainak az A reguláris mátrix oszlopvektoraira mint bázisra vonatkozó koordinátáiból alkotott mátrix az A mátrix inverze.
(1 ) 1 2 1 2 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1
Ez azt jelenti, hogy kiindulva a fenti táblából, a bázistranszformációt elvégezve, az inverzmátrix oszlopai lesznek. Először cseréljük ki az
vektort az
,
,
vektorral, majd az
oszlopai az A vektort az
vektorral:
1 1 2 0 (1) 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1
Végül az
és
1
1 0 30 1 2 0 0 0 (2) 1 0 1 1
cseréjekor az alábbi táblát kapjuk.
1 0 0 0 1 0 0 1/2 1/2 -3/2 -1/2 1/2 0 1 1/2 1/2 -1/2 1/2
Az
inverzmátrix a tábla jobb oldali részében jelent meg. Elemei az
koordinátái. Tehát
,
,
egységvektorok új
.
9. Állapítsuk meg az A mátrix rangját, ha
.
Megoldás. Azt kell megállapítani, hogy az A mátrixnak hány lineárisan független oszlopvektora van. Annyi, ahány közülük a bázistranszformáció során kicserélhető (bevihető a bázisba). Végezzük el a bázistranszformációt.
(1) 1 2 1 0 1 0 2 0 3 1 2
1 1 2 1 0 ( 1 0 0 0 1
)
1 0 3 1 0 1 0 0 0 ( ) 0 0
1 0 0 0 1 0 10 0 1 10 0 0 0
Látható, hogy az
vektor már nem vihető be a bázisba. Tehát 3 vektor vihető be a bázisba, így a mátrix
rangja: r(A) = 3.
10. Állapítsuk meg az A és B mátrix rangját, ha
B
A
.
Megoldás. Most a mátrixból kiválasztható, nem zérus értékű determinánsok rendszámát vizsgáljuk. Először a lehető legnagyobb rendszámú determinánst vizsgáljuk.
detA
.
Ez a legmagasabbrendű, nem zérus értékű determináns harmadrendű, ezért r(A) = 3.
detB
.
Itt az első és második sor összegét hozzáadtuk a harmadik sorhoz. Ez a harmadrendű determináns zérus értékű, ezért B rangja kisebb mint 3. Nézzük meg, hogy van-e a mátrixban másodrendű, nem zérus értékű determináns. A bal felső sarokdetermináns . Ez másodrendű, tehát r(B) = 2.
11. Határozzuk meg az A mátrix sajátértékeit, ha
A
.
Megoldás. A (6) karakterisztikus egyenlet: , azaz
. ,
Ennek gyökei a sajátértékek:
.
5. FELADATOk 1. Számítsa ki a C = 3A – 5B mátrixot, ha
A
,B
.
2. Számítsa ki az AB szorzatot, ha
a) A
,B
b) A
c) A
d) A
,B
;
;
, B
;
,B
.
3. Bontsa fel az A
mátrixot egy szimmetrikus és egy ferdén szimmetrikus mátrix összegére.
.
4. Számítsa ki az AA* szorzatot, ha A
,
5. Számítsa ki az
A
és
mátrixot, ha
;B
;
.
6. Számítsa ki az A, B és C mátrix inverzét, ha
;B
A
;
.
7. Határozza meg az A mátrixot, ha inverze:
.
A
8. Állapítsa meg az A, B és C mátrix rangját, ha
;B
A
;C
.
Hány lineárisan független sora (sorvektora), ill. szlopa (oszlopvektopra) van az A, B és C mátrixnak? 9. Határozza meg az A és B mátrix sajátértékeit és sajátvektorait, ha
A
;B
.
10. Számítsa ki az a b , a b és Ax szorzatokat, ha
a
, b
, A
, x
.
11. Oldja meg az AX = B egyenletet, ha X négyzetes mátrix, és
a)
,
;
b)
,
.
Digitális Egyetem, Copyright © Kovács Béla, 2011
