KOVÁCS BÉLA,
MATEmATIkA I.
16
XVI. A DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS ALkALmAZÁSAI
1. Érintő ÉS NORmÁLIS EGYENES, L‘HOSPITAL - SZAbÁLY Az
abszcisszájú pontjához tartozó érintőjének egyenlete
görbe
,
(1)
normálisának egyenlete pedig
(2)
.
L‘Hospital-szabály A L'Hospital-szabály [1 ]: Ha f és g az
hely környezetében differenciálható, és
, akkor
(3)
.
Ez a
Ekkor
tipusú határérték. A (3) tétel akkor is érvényes, ha
tipusú határértékről beszélünk.
A L'Hospital-szabállyal (esetleg) kiszámíthatók 0. sikerül
.
vagy
,
-
,
és
tipusú határértékek is, ha azokat előzetesen
tipusúra visszavezetni.
Görbék érintkezése Ha az
és
görbék esetén
, , , , de , akkor azt mondjuk, hogy az Azt a kört, amely az
és görbét az
görbék az
helyen n-edrendben érintik egymást.
helyen legalább másodrendben érinti, a görbe
pontbeli simulókörének
nevezzük. Középpontjának koordinátái
(4)
,
,
sugara pedig
(5)
.
A simulókört görbületi körnek is nevezik, az
mennyiséget pedig görbületnek (vagy a görbület abszolútértékének).
Taylor-polinom Legyen f az
helyen legalább n -szer differenciálható függvény. Ekkor a
(6)
helyhez tartozó Taylor-polinomjának [2 ] nevezzük.
polinomot az f függvény Ha
, akkor a Taylor-polinomot Maclaurin-polinomnak [3 ] mondjuk. Ennek alakja
(7)
.
A Taylor-polinom az
hely kis környezetében jól közelíti
-et. Az
(8)
különbség neve maradéktag.
2. FÜGGVÉNY VIZSGÁLATA Függvény vizsgálata növekedésre, csökkenésre Ha
, akkor f az
Ha az I intervallumon
helyen növekedő. Ha
, akkor f az
helyen helyen csökkenő.
, akkor f ezen az intervallumon szigorúan növekedő. Ha
, akkor f ezen az
intervallumon szigorúan csökkenő. Az intervallumon növekedő, vagy csökkenő függvényt szokás monoton növekedőnek, vagy monoton csökkenőnek is mondani.
Függvény vizsgálata szélsőértékre Csak elég sokszor differenciálható függvények szélsőértékével foglalkozunk. Az f függvénynek szélsőértéke ott lehet, ahol
. Az
nevezzük. Szélsőérték tehát stacionárius helyen lehet. f
egyenlet gyökeit stacionárius helyeknek
Ha
és
helyen előjelet vált, akkor az
az
függvénynek az
helyen szélsőértéke van. Ha
előtt
pozitív, utána negatív, akkor maximum van. Fordított esetben minimum (szükséges és elegendő feltétel). Egy egyszerűbben használható elegendő feltétel: Ha
és
. akkor az f függvénynek az
helyen
esetben minimuma.
maximuma van, míg
, akkor a magasabbrendű deriváltak előjelét is vizsgálni kell. Igazolható, hogy ha
Ha ,
,
, de
,
helyen szélsőértéke van, mégpedig
és n páros szám, akkor a fügvénynek az
esetben minimuma. Ha n páratlan, akkor az
esetben maximuma,
helyen inflexió van.
A szélsőértékvizsgálat lépései tehát a következők: 1. az
egyenletet;
2. stacionárius helyen megvizsgáljuk, hogy
előjelet vált-e, és ebből következtetünk a szélsőérték létezésére és
milyenségére. Az előjelváltás helyett vizsgálható a második (esetleg magasabbrendű) derivált előjele. 3. Kiszámítjuk a szélsőértékeket.
Vizsgálat inflexióra, konvexitásra, konkávitásra Az
görbének inflexiós pontja ott lehet, ahol
intervallumon
. Ha itt
, akkor itt a görbe (alulról) konvex, ha
, akkor (alulról) konkáv.
Az inflexiós pont a konvex és a konkáv íveket elválasztja egymástól.
3. MINTAPÉLDÁk
Megoldások:
láthatók
nem láthatók
Írjuk fel az alábbi görbék adott helyhez tartozó érintőjének (é) és normálisának (n) egyenletét: 1.
,
.
Megoldás. Használjuk az (1) és (2) formulákat. ,
,
,
.
; Az érintő egyenlete: ; A normális egyenlete:
, akkor itt van inflexió. Ha az I
3.6. ábra.
2.
,
.
Megoldás. ,
,
,
.
é:
; .
3.
,
.
Megoldás. Az
függvénynek az
helyen maximuma van, melynek értéke 1. Itt az
görbe érintője párhuzamos az x tengellyel, normálisa pedig párhuzamos az y tengellyel (3.7. ábra). Így é:
.
3.7. ábra
4.
,
.
Megoldás. A 2.26. ábrán látható, hogy az normálisa az y tengely. Így é:
5.
helyhez tartozó érintője az x tengely,
görbe
;
.
.
Megoldás.
Ha
,
akkor
egyenletből
a
, az érintő iránytangense
,
. Így
, így annak egyenlete:
, azaz
, azaz
A normális egyenlete:
.
. (3.8. ábra).
3.8. ábra
6.
.
Megoldás. ,
,
Az érintő egyenlete:
A normális egyenlete:
Számítsuk ki az alábbi határértékeket:
,
,
,
.
;
.
7.
.
8.
.
.
9.
10.
.
11.
.
12.
.
.
13.
14.
.
Megoldások. Alkalmazzuk a L'Hospital szabályt: 7.
.
8.
.
9.
.
10.
11.
.
.
12.
.
13.
. Képezzük mindkét oldal logaritmusát:
, tehát
.
14.
=
.
15. Hányadrendben érintkezik egymással az
helyen az
és
görbe?
Megoldás. Legyen
,
. Ekkor
,
, ,
,
, ,
, ,
,
,
,
,
.
,
,
.
Tehát a két görbe negyedrendben érinti egymást.
Írjuk fel az alábbi görbék megadott helyhez tartozó simulókörének egyenletét: 16.
,
.
Megoldás. Használjuk a (4) és (5) képleteket: 16.
,
,
,
,
,
. A középpont koordinátái: ,
A kör sugara:
. A simulókör egyenlete:
.
(3.9. ábra).
3.9. ábra
17.
,
.
Megoldás.
,
,
,
,
,
.
A kör középpontjának koordinátái és sugara: ,
,
.
(3.10. ábra).
A kör egyenlete:
3.10. ábra
Írjuk fel az alábbi függvények 18.
,
helyhez tartozó n -edfokú Taylor-polinomját: ,
;
;
.
Megoldás. Használjuk a (6) és a (7) formulákat. ,
,
,
,
,
,
,
.
A Taylor-polinomok: ;
;
.
Könnyű meggyőződni arról, hogy a
elsőfokú Taylor-polinom grafikonja nem más, mint az
helyhez tartozó érintője, melynek egyenlete
görbe
19.
,
,
.
.
Megoldás. ,
,
,
,
,
,
,
,
. A Taylor-polinom:
.
20.
,
,
.
Megoldás. ,
, ,
, ,
,
,
,
,
,
.
.
.
Megoldás. ,
,
,
A Maclaurin-polinom:
21.
,
,
,
,
,
,
,
.
A Maclaurin-polinom: .
függvény szigorúan növekvő, görbéje pedig (alulról) konkáv.
22. Igazoljuk, hogy az
Megoldás. A függvény
esetén van értelmezve,
,
. Mivel
, tehát a függvény növekvő, sőt szigorúan növekvő;
, ezért
, így az
görbe (alulról) konkáv.
függvényt (szélsőérték, monotonitás, konvexitás, konkávitás, inflexió,
23. Vizsgáljuk meg az ábra).
Megoldás. Képezzük a függvény első, második és harmadik deriváltját: ,
,
Szélsőérték ott lehet, ahol
.
, azaz
. Ezen a két helyen lehet szélsőérték. Hogy van-e, az
,
egyenletnek a gyökei:
. Ennek a másodfokú
kétféleképpen is eldönthető. ezeken a helyeken előjelet vált-e. Mivel 1 és
Először vizsgáljuk meg azt, hogy
mindkét helyen előjelet vált, tehát mindkét helyen van
függvénynek egyszeres zérushelyei, ezért szélsőérték: az
előtt
hely előtt
az
negatív, utána pozitív, ezért az
helyen minimum van. Az
pozitív, utána negatív, ezért ezen a helyen maximum van. A 3. 11. ábrán görbét, ahol az előjelváltás könnyen megállapítható.
pontozott vonallal ábrázoltuk az
A szélsőérték létezésének eldöntéséhez most használjuk a második deriváltat (általában ez az egyszerűbb , ezért az helyen minimum van; módszer!): , ezért az
helyen maximum van. ;
A minimum és a maximum: . Inflexió ott lehet, ahol is, mert
, azaz
. Innen
. Az inflexiós pont ordinátája:
. Ezen a helyen lehet inflexió. De van .
A szélsőértékvizsgálat "melléktermékeként" dönthetünk a monotonitásról is. Ugyanis a maximumhely előtt a (folytonos) függvény növekvő, utána csökkenő; a minimumhely előtt csökkenő, utána növekvő. Jelen esetben a függvény növekszik a és intervallumon, csökken a intervallumon (3. 11. ábra).
3.11. ábra
előtt
Az inflexiós hely
negatív, utána pozitív. Ezért a függvény görbéje
esetén
esetén konvex.
konkáv,
24. Vizsgáljuk meg szélsőértékre az
függvényt.
Megoldás.
.
, ,
Szélsőérték
ott
lehet,
ahol
. Ezeken a helyeken lehet
szélsőérték. Hogy van-e, most csak a második (esetleg magasabbrendű) derivált segítségével döntjük
,
el: ; ,
páratlan
, ezért az
tehát
az
minimum
van,
. Ez nem dönt, ezért a harmadik deriváltat kell kiszámítani: . Mivel ennek az első zérustól különböző deriváltnak a rendje helyen nincs szélsőérték (inflexió van) (3.12. ábra).
3.12. ábra
25. Igazoljuk, hogy az
helyen
egyenletnek egyetlen valós gyöke van.
Megoldás. Legyen intervallumban az
és
polinomnak van zérushelye, vagyis az
, ezért a egyenletnek gyöke. De
minden x esetén, ezért a függvény szigorúan növekvő. Ennek következtében
mivel az
. Mivel
görbe csak egyetlen helyen metszi az x tengelyt, tehát az
egyenletnek egyetlen
valós gyöke van.
26. Vizsgáljuk meg szélsőértékre és inflexióra az
függvényt és ábrázoljuk is azt.
Megoldás.
,
,
. Szélsőérték ott lehet, ahol
.
,
tehát
az
helyen
minimum
van,
és
helyen nincs szélsőérték, mert a függvény itt nincs
. Az értelmezve. Inflexió ott lehet, ahol
. Itt van is inflexió, mert
.
A függvény értelmezési tartománya a pozitív számok halmaza, értékkészlete a Zérushely:
intervallum.
.
.
Mindezek alapján a görbe ábrázolható (3.13. ábra).
3.13. ábra
4. FELADATOk helyhez tartozó érintőjének és normálisának egyenletét. Számítsa ki az érintőnek a x
Írja fel az alábbi görbék tengellyel közrezárt szögét:
1.
,
2.
,
3.
,
4.
;
;
;
,
;
5.
,
6.
,
;
;
7.
,
8.
,
9.
,
10.
,
;
;
,
;
,
11. Igazolja, hogy az
. hiperbolához húzott érintők a koordináta-tengelyekkel állandó területű háromszögeket
alkotnak. asztroida érintőinek a koordináta-tengelyek közötti szakaszai állandó
12. Igazolja, hogy az hosszúságúak. 13. Az
görbe érinti az
egyenest. Számítsa ki a értékét. görbe?
14. Milyen szögben metszi át az x tengelyt az y = sin x és az 15. Állapítsa meg, hogy milyen feltétel esetén érinti az x tengelyt az 16. Számítsa ki, hogy milyen szögben metszi egymást az 17. Igazolja, hogy az görbesereg minden görbéjét. Számítsa ki az alábbi határértékeket:
,
görbe. és
görbe.
görbesereg minden görbéje merőlegesen metszi az
,
18.
;
;
19.
20.
;
21.
;
;
22.
23.
;
24.
;
25.
;
26.
27.
;
;
;
28.
29.
.
Állapítsa meg, hogy az alábbi görbék az adott
30.
,
,
31.
32. 33.
;
,
,
,
, ,
,
Számítsa ki az alábbi görbék adott majd írja fel a simulókör egyenletét:
helyen hányadrendben érintik egymást:
;
; . helyhez tartozó simulókörének sugarát és középpontjának koordinátáit,
34.
,
;
35.
,
;
36.
),
37.
;
.
Írja fel az alább megadott függvények
38.
,
39.
,
,
41.
.
,
,
,
;
,
42. 43.
;
,
40.
;
,
,
,
helyhez tartozó n-edfokú Taylor-, ill. Maclaurin-polinomját:
;
,
.
Vizsgálja meg az alább megadott függvényeket szélsőértékre, inflexióra, monotonitásra, konvexitásra, konkávitásra:
44.
;
;
45.
46.
;
47.
;
;
48.
49.
;
50. 51. 52.
; ; ;
53. 54.
; ;
55.
.
Számítsa ki y legnagyobb értékét az alábbi görbék esetén:
56.
;
57.
;
58.
59.
60. Az
;
.
ellipszisbe írjon maximális területű, az ellipszis tengelyeivel párhuzamos oldalú téglalapot.
61. Egy R sugarú körkeresztmetszetű fatörzsből a alapú és b magasságú téglalap keresztmetszetű gerendát faragnak ki. Milyen a és b érték mellett lesz a gerenda teherbírása maximális, ha a teherbírás arányos
-tel.
62. Adott R sugarú gömbbe írjon maximális térfogatú hengert. 63. Tekintsünk egy R sugarú és egy r sugarú gömböt, amelyek nem metszik egymást. Helyezzünk el a középpontokat összekötő (l hosszúságú) szakaszon egy fényforrást (világító pontot), a gömbökön kívül. A fényforrást hol kell elhelyezni, hogy a megvilágított gömbfelületek felszínének összege maximális legyen.
[1] Ejtsd: [lopi’tal]. Guillaume de l‘Hôpital (1661–1704) francia matematikus nyomán.
[2] Brook Taylor (1685–1731) angol matematikus nyomán.
[3] Colin Maclaurin (1698–1746) skót matematikus nyomán.
Digitális Egyetem, Copyright © Kovács Béla, 2011
