Matematika I pracovní listy

Matematika I — pracovnı´ listy Dagmar Dlouha´, Radka Hamrˇ´ıkova´, Zuzana Mora´vkova´, Michaela Tuzˇilova´ Katedra matematiky a deskriptivnı´ geometrie VSˇB - Technicka´ univerzita Ostrava

´ vod U Pracovnı´ listy jsou urcˇeny pro prˇedmeˇt Matematika I vyucˇovany´ Katedrou matematiky a deskriptivnı´ geometrie, VSˇB-TU Ostrava. Slouzˇ´ı k praći na cvicˇenıćh, prˇ´ıpadneˇ k domaćı´mu procvicˇovańı´.

Peˇkne´ pocˇ´ıtańı´ prˇeje kolektiv autorek.

V Ostraveˇ dne 8. rˇ´ıjna 2012.

Obsah Opakovańı´ Rovnice a nerovnice . Rovnice a nerovnice . Rovnice a nerovnice . Rovnice a nerovnice . Rovnice a nerovnice . Rovnice a nerovnice .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

Funkce jedne´ promeˇnne´ Definicˇnı´ obory . . . . . . . . . . . . . . . . Definicˇnı´ obory . . . . . . . . . . . . . . . . Definicˇnı´ obory . . . . . . . . . . . . . . . . Funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Graf linea´rnı´ funkce - doplnit . . . . . . . . . Graf kvadraticke´ funkce - doplnit . . . . . . . Graf linea´rnı´ lomene´ funkce - doplnit . . . . . Graf exponencia´lnı´ funkce - doplnit . . . . . Graf logaritmicke´ funkce - doplnit . . . . . . Graf goniometricke´ funkce -sinus - doplnit . . Graf goniometricke´ funkce -kosinus - doplnit Graf goniometricke´ funkce - tangens a kotangens - doplnit . . . . . . . . . . . . . . Inverznı´ funkce . . . . . . . . . . . . . . . . Inverznı´ funkce . . . . . . . . . . . . . . . . Inverznı´ funkce . . . . . . . . . . . . . . . .

1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Limity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Limity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Limity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Druha´ derivace . . . . . . . . . . . . . . . Derivace - logaritmicke´ derivovańı´ . . . . . Derivace implicitneˇ zadane´ funkce . . . . . Druha´ derivace implicitneˇ zadane´ funkce . . Derivace parametricky zadane´ funkce . . . Druha´ derivace parametricky zadane´ funkce Derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Druha´ derivace . . . . . . . . . . . . . . . Trˇetı´ derivace . . . . . . . . . . . . . . . . Tecˇna ke grafu funkce . . . . . . . . . . . . Tecˇna ke grafu funkce . . . . . . . . . . . . Tecˇna ke grafu funkce . . . . . . . . . . . . Tecˇna ke grafu funkce . . . . . . . . . . . . Tecˇna ke grafu parametricky zadane´ funkce l’Hospitalovo pravidlo . . . . . . . . . . . l’Hospitalovo pravidlo . . . . . . . . . . . Tayloru˚v polynom . . . . . . . . . . . . . . Maclaurinu˚v polynom . . . . . . . . . . . . Monotonnost a loka´lnı´ extre´my funkce . . . Monotonnost a loka´lnı´ extre´my funkce . . . Monotonnost a loka´lnı´ extre´my funkce . . . Loka´lnı´ extre´my . . . . . . . . . . . . . . . Konvexnost, konka´vnost, inflexnı´ body . . Inflexnı´ body . . . . . . . . . . . . . . . . Asymptoty . . . . . . . . . . . . . . . . . . Asymptoty . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Diferencia´lnı´ pocˇet Limity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Linea´rnı´ algebra

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65

Determinanty . . . . . . . . . . . . . . Determinanty . . . . . . . . . . . . . . Determinanty . . . . . . . . . . . . . . Determinanty . . . . . . . . . . . . . . Determinanty . . . . . . . . . . . . . . Determinanty . . . . . . . . . . . . . . Determinanty . . . . . . . . . . . . . . Matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soustavy linea´rnıćh rovnic . . . . . . . Soustavy linea´rnıćh rovnic . . . . . . . Soustavy linea´rnıćh rovnic . . . . . . . Soustavy linea´rnıćh rovnic . . . . . . . Soustavy linea´rnıćh rovnic . . . . . . . Soustavy linea´rnıćh rovnic . . . . . . . Soustavy homogennıćh linea´rnıćh rovnic Soustavy homogennıćh linea´rnıćh rovnic

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Analyticka´ geometrie Skala´rnı´ soucˇin vektoru˚ . . . . . . . . . . . . 101

Aplikace skala´rnı´ho soucˇinu . Vektorovy´ soucˇin . . . . . . . Aplikace vektorove´ho soucˇinu Smı´sˇeny´ soucˇin . . . . . . . . Aplikace smı´sˇene´ho soucˇinu . Rovnice roviny . . . . . . . . Rovnice roviny . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

102 103 104 105 106 107 108

Rovnice prˇ´ımky . . . . . . . . Rovnice prˇ´ımky . . . . . . . . Vzda´lenost u´tvaru˚ v E3 . . . . Vzda´lenost u´tvaru˚ v E3 . . . . Odchylky u´tvaru˚ v E3 . . . . . Vza´jemna´ poloha u´tvaru˚ v E3 Vza´jemna´ poloha u´tvaru˚ v E3

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

109 Vza´jemna´ poloha u´tvaru˚ v E3 110 111 Dodatky 112 Vlastnosti funkce: suda´ a licha´ 113 Vlastnosti funkce: suda´ a licha´ 114 Slozˇena´ funkce . . . . . . . . 115 Pru˚beˇh funkce . . . . . . . . .

. . . . . . . . 116

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

117 118 119 120

Matematika I - pracovnı´ listy

Zuzana Mora´vkova´, [email protected], Katedra matematiky a deskriptivnı´ geometrie, VSˇB - Technicka´ univerzita Ostrava

1 - Rovnice a nerovnice

Taha´k

Zadańı´ Vyrˇesˇte: 2

a) x − x − 2 = 0

2

b) x − x − 2 < 0

2

c) 2x + 9x − 5 ≥ 0

2

d) −x + 3x > 0

Korˇeny kvadraticke´ rovnice

ˇ esˇenı´ R x1,2 =

−b ±

√

b2 − 4ac 2a



2 - Rovnice a nerovnice Zadańı´ Vyrˇesˇte: a) x2 = 3 ˇ esˇenı´ R

b) x2 > 3

c) x(x − 2) > 0

d) (x + 1)(x − 2) ≤ 0

e) x(3 − x) ≥ 5

f) x2 ≤ −4(x + 1)



3 - Rovnice a nerovnice Zadańı´ Vyrˇesˇte: a)

x+1 <0 3−x

ˇ esˇenı´ R

b)

2x − 1 >1 x+3

c)

1 >0 x−4

d)

x+1 <0 −3

e)

−2 − x ≤0 1 +x 2

f)

2 3

·

x−1 ≥0 x+7



4 - Rovnice a nerovnice Zadańı´ Vyrˇesˇte: a)

5x − 8 < −2 5−x

ˇ esˇenı´ R

b)

(x + 1)(5 − x) >0 x

c)

x+1 3−x < 2x + 3 2x + 3

d)

3−x −1 < x+2 x+1



5 - Rovnice a nerovnice Zadańı´ Vyrˇesˇte: a) |x| = 5 ˇ esˇenı´ R

b) |x| + 2 = 0

c) |x| − 3 < 0

d) |2x| > 3

e) 3 − |x| = 7

f) 3 − |x| < 7



6 - Rovnice a nerovnice Zadańı´ Vyrˇesˇte: a) |x − 1| = 5 ˇ esˇenı´ R

b) |x − 1| > 5

c) |4 − 2x| = 6

d) |4 − 2x| < 6


Radka Hamrˇ´ıkova´, [email protected], Katedra matematiky a deskriptivnı´ geometrie, VSˇB - Technicka´ univerzita Ostrava

7 - Definicˇnı´ obory

Taha´k

Zadańı´ Urcˇete podmıńky a najdeˇte definicˇnı´ obor funkce. a) y = ln

b) y =

2+x √ + 4 − 3x − x2 x

p ln x(1 − 2x)

2x + 6 c) y = ln 2 + 3−x d) y =

1 (4 − x) ln (x − 2)

Zlomek jmenovatel je ru˚zny´ od nuly

Suda´ odmocnina vy´raz pod odmocninou je neza´porny´

ˇ esˇenı´ R Logaritmus argument je kladny´

Tangens argument je ru˚zny´ od π2 +k ·π Kotangens argument je ru˚zny´ od k · π

Arkussinus, arkuskosinus argument je z intervalu h−1, 1i



8 - Definicˇnı´ obory

Taha´k

Zadańı´ Urcˇete podmıńky a najdeˇte definicˇnı´ obor funkce. a) y = tan 4x − π3


b) y =

x sin 2x

c) y = cot d) y =

2x + π 5

1 1 − cos 2x







9 - Definicˇnı´ obory Zadańı´ Urcˇete podmıńky a najdeˇte definicˇnı´ obor funkce. 2x + 6 a) y = arcsin 3 x b) y = arcsin 2 − 2x + 3

Taha´k

2x − 1 3x 1 d) y = arccos 1 − x


c) y = arccos







10 - Funkce Zadańı´ Prˇirˇad’te k obra´zku spra´vny´ prˇedpis. a) y = 2

b) y = 2x + 3

c) y = 2x − 3

d) y = 21 x + 1

e) y = − 21 x + 1

f) x = 2.5

Doplnˇte definicˇnı´ obor a obor hodnot, zjisteˇte, zda je funkce suda´ nebo licha´, najdeˇte intervaly, kde je funkce rostoucı´ a kde klesa´, je omezena´, jake´ ma´ extre´my. ˇ esˇenı´ R

¬

®

¯

°

±



11 - Funkce Zadańı´ Prˇirˇad’te k obra´zku spra´vny´ funkcˇnı´ prˇedpis. a) y = x2 + 1

b) y = x2 − 1

c) y = 4 − x2

d) y = (x − 2)2

e) y = 21 (6 − x − x2 )

f) y = 6 − x − x2


¬

®

¯

°

±



12 - Funkce Zadańı´ Prˇirˇad’te k obra´zku spra´vny´ funkcˇnı´ prˇedpis. a) y =

1 x

b) y =

1 x+1

c) y =

2 x

3 d) y = − x−1

e) y =

2x+1 x

f) y =

1−2x x−2


¬

®

¯

°

±



13 - Funkce Zadańı´ Prˇirˇad’te k obra´zku spra´vny´ funkcˇnı´ prˇedpis. a) y = 2x

b) y = −2x

c) y = 2x + 1

d) y = 2(x+1)

e) y =

1 x 2

f) y = 2 +

1 (x−1) 2


¬

®

¯

°

±



14 - Funkce Zadańı´ Prˇirˇad’te k obra´zku spra´vny´ funkcˇnı´ prˇedpis. a) y = log3 x

b) y = log1/3 x

c) y = log3 (x − 2)

d) y = 2 · log1/3 x

e) y = 2 + log3 x

f) y = log3 (x + 2)


¬

®

¯

°

±



15 - Funkce Zadańı´ Prˇirˇad’te k obra´zku spra´vny´ funkcˇnı´ prˇedpis. a) y = sin x

b) y = sin 2x

c) y = sin x −

π 3

d) y = 2 · sin x

e) y = 2 + sin x

f) y = sin x +

π 4


¬

®

¯

°

±



16 - Funkce Zadańı´ Prˇirˇad’te k obra´zku spra´vny´ funkcˇnı´ prˇedpis. a) y = cos x

b) y = cos x3

c) y = 13 cos x

d) y = cos x −

π 4

e) y = cos x +

π 6

f) y = 1 − cos x


¬

®

¯

°

¬7



17 - Funkce Zadańı´ Prˇirˇad’te k obra´zku spra´vny´ funkcˇnı´ prˇedpis. a) y = tan x b) y = tan x + π6

c) y = − tan x

d) y = cot x

e) y = cot 2x

f) y = − cot x


¬

®

¯

°

±



18 - Graf linea´rnı´ funkce - doplnit Zadańı´ Do prˇipravenyćh obra´zku˚ nakreslete grafy zadanyćh funkcı´. a) y = 2x − 4

b) y = 4 − x

c) y = 31 x + 2

d) y =

x−1 2

e) y =

1 − 3x 2

f) y = 4




19 - Graf kvadraticke´ funkce - doplnit Zadańı´ Do prˇipravenyćh obra´zku˚ nakreslete grafy zadanyćh funkcı´. a) y = x2 + 2x

b) y = 2x − x2

c) y = x2 + 2x + 1

d) y = x2 − 2x + 2

e) y = 3 − 3x2

f) y = x2 − 4x + 3




20 - Graf linea´rnı´ lomene´ funkce - doplnit Zadańı´ Do prˇipravenyćh obra´zku˚ nakreslete grafy zadanyćh funkcı´. a) y = −

1 x

b) y =

2 x−1

c) y =

x x−1

d) y =

2x − 1 x

e) y = 1 −

1 x

f) y =

1−x 2−x




21 - Graf exponencia´lnı´ funkce - doplnit Zadańı´ Do prˇipravenyćh obra´zku˚ nakreslete grafy zadanyćh funkcı´. a) y = 3x

b) y = 1 + 3x

c) y = 3x+1

d) y = 1 − 3x

e) y = 3−x

f) y = 3 − 3−x




22 - Graf logaritmicke´ funkce - doplnit Zadańı´ Do prˇipravenyćh obra´zku˚ nakreslete grafy zadanyćh funkcı´. a) y = ln x

b) y = ln (2x)

c) y = ln (2 + x)

d) y = 2 + ln x

e) y = 2 · ln x

f) y = 2 − ln x




23 - Graf goniometricke´ funkce -sinus - doplnit Zadańı´ Do prˇipravenyćh obra´zku˚ nakreslete grafy zadanyćh funkcı´. a) y = sin x b) y = sin x − π4 c) y = sin (4x)

d) y = sin x + 4

e) y = sin

π 4

−x

f) y = 4 · sin x




24 - Graf goniometricke´ funkce -kosinus - doplnit Zadańı´ Do prˇipravenyćh obra´zku˚ nakreslete grafy zadanyćh funkcı´. x a) y = cos x c) y = 12 cos x b) y = cos 2

d) y = 2 − cos x

e) y = cos x −

π 3

f) y = cos x +

π 3




25 - Graf goniometricke´ funkce - tangens a kotangens - doplnit Zadańı´ Do prˇipravenyćh obra´zku˚ nakreslete grafy zadanyćh funkcı´. a) y = tan x

b) y = cot x

c) y = tan

x 2

d) y = cot

x 2

e) y = tan x +

π 4

f) y = cot x +

π 4




26 - Inverznı´ funkce

Taha´k

Zadańı´ Urcˇete inverznı´ funkci, jejı´ definicˇnı´ obor a obor hodnot. Zakreslete graf funkce a funkce inverznı´. √ a) f : y = 2 x + 1 b) f : y = 43 x − 2

Funkce inverznı´ existuje pro funkce proste´.

ˇ esˇenı´ R

Pro definicˇnı´ obor a obor hodnot platı´: Df −1 = Hf Hf −1 = Df Da´le platı´: f f −1 (x) = x f −1 (f (x)) = x




Taha´k

Zadańı´ Urcˇete inverznı´ funkci, jejı´ definicˇnı´ obor a obor hodnot. Zakreslete graf funkce a funkce inverznı´. x a) f : y = 4 + ln 2 ˇ esˇenı´ R

b) f : y = arctan(x − 2)

Funkce inverznı´ existuje pro funkce proste´. Pro definicˇnı´ obor a obor hodnot platı´: Df −1 = Hf Hf −1 = Df Da´le platı´: f f −1 (x) = x f −1 (f (x)) = x




Taha´k

Zadańı´ Urcˇete inverznı´ funkci, jejı´ definicˇnı´ obor a obor hodnot. Zakreslete graf funkce a funkce inverznı´.

a) f : y = 12 sin x − π3 x ∈ − 16 π, 65 π b) f : y = 23x+1

Funkce inverznı´ existuje pro funkce proste´.

ˇ esˇenı´ R

Pro definicˇnı´ obor a obor hodnot platı´: Df −1 = Hf Hf −1 = Df Da´le platı´: f f −1 (x) = x f −1 (f (x)) = x



29 - Limity Zadańı´ Vypocˇ´ıtejte limitu x2 + x − 6 a) lim 2 x→2 x − x − 2 ˇ esˇenı´ R

x2 − 9 b) lim 2 x→−3 x + 5x + 6

√

x+4−3 c) lim 2 x→5 x − 3x − 10

√ x+3−2 √ d) lim √ x→1 x+1− 2

Taha´k Nejdrˇ´ıve dosad’te hodnotu x do funkcˇnı´ho prˇedpisu. O jaky´ typ limity se jedna´? Typ – „ 00 “ Kvadraticky´ trojcˇlen rozlozˇte mocı´ korˇenu˚ kvadraticke´ rovnice.

po-

Zlomek s odmocnou rozsˇirˇte pomocı´ vzorce (a − b) (a + b).



30 - Limity

Taha´k Nejdrˇ´ıve dosad’te hodnotu x do funkcˇnı´ho prˇedpisu.

Zadańı´ Vypocˇ´ıtejte limitu x x→2 x − 2

a) lim ˇ esˇenı´ R

x2 − 9 b) lim x→0 x

x+1 x→5 x2 − 25

c) lim

x+1 x→−5 x2 − 25

d) lim

O jaky´ typ limity se jedna´? Typ – „ k0 “ Vyrˇesˇte jednostrannou limitu.



31 - Limity


Zadańı´ Vypocˇ´ıtejte limitu sin 3x x→0 x


tan 2x − sin 4x x→0 3x

b) lim

sin2 x5 c) lim x→0 x2

sin x − tan 3x x→0 sin 4x + tan 5x

d) lim

O jaky´ typ limity se jedna´? Typ – „ 00 “ Pouzˇijeme vzorec sin x =1 x→0 x lim

nebo

tan x = 1. x→0 x lim

Jestlizˇe va´m cˇa´st vzorce v zadańı´ chybı´, rozsˇ´ırˇte zlomek vy´razem xx .



32 - Limity


Zadańı´ Vypocˇ´ıtejte limitu 4x3 + 2x2 − x + 1 a) lim x→∞ 5x3 − 6x2 + 3x + 8 ˇ esˇenı´ R

2x4 − 10x2 + 7 b) lim x→∞ 3x3 − 2x + 5

c) lim

x→∞

2x + 3 2x

x+1

d) lim

x→∞

2+x 4+x

2x O jaky´ typ limity se jedna´? Typ – „ ∞ ” ∞ Typ – „ 1∞ ” V prvnı´m prˇ´ıpadeˇ vytkneme z cˇitatele i ze jmenovatele x v nejvysˇsˇ´ı k jdou k nule. mocnineˇ, zlomky ∞ V druhe´m pr ˇ´ıpadeˇ upravte zlomek k na tvar 1 + x a pouzˇijte vzorec x 1 lim 1 + = e. x→∞ x


Dagmar Dlouha´, [email protected], Katedra matematiky a deskriptivnı´ geometrie, VSˇB - Technicka´ univerzita Ostrava

33 - Derivace

Taha´k

Zadańı´ Vypocˇ´ıtejte prvnı´ derivaci explicitnı´ funkce a vy´sledek upravte: x3 a) y = 2x − +x−2 3 5

b) y = ˇ esˇenı´ R

1 − x2 √ + x6 ln 2 + 3 · ln x x

√ 3 √ √ 1 x · x 2 √ c) y = x5 − √ + x · x − 4 3 x x

[xn ]0 = n · xn−1 [c]0 = 0 xm · xn = xm+n (xm )n = xm·n xm = xm−n xn 1 = x−n n x √ m n xm = x n



34 - Derivace

Taha´k

Zadańı´ Vypocˇ´ıtejte prvnı´ derivaci explicitnı´ funkce a vy´sledek upravte: a) y = (x5 − 2x3 ) · (x2 − 1) b) y = x · sin x + cos x ˇ esˇenı´ R

x 1 + x2 c) y = − + · arctan x 2 2

[f (x) · g (x)]0 = f 0 (x) · g (x) + f (x) · g 0 (x) [xn ]0 = n · xn−1 [c]0 = 0 [sin x]0 = cos x [cos x]0 = − sin x 1 [arctan x]0 = 1 + x2



35 - Derivace

Taha´k

Zadańı´ Vypocˇ´ıtejte prvnı´ derivaci explicitnı´ funkce a vy´sledek upravte: a) y =

x+3 x2 + 1

b) y =

x2 2x

ˇ esˇenı´ R

c) y =

x · ln x 1 + ln x

0

f 0 (x) · g (x) − f (x) · g 0 (x) (g (x))2 [f (x) · g (x)]0 = f 0 (x) · g (x) + f (x) · g 0 (x)

fx gx

=

[xn ]0 = n · xn−1 [c]0 = 0 [ax ]0 = ax · ln a 1 [ln x]0 = x



36 - Derivace

Taha´k

Zadańı´ Vypocˇ´ıtejte prvnı´ derivaci explicitnı´ funkce a vy´sledek upravte: a) y = arctan

ˇ esˇenı´ R

x 2

b) y = 2 cos4 (4x) √ c) y = ln x2 + 1

[f (g(x))]0 = f 0 (g(x)) · g 0 (x) 1 [ln (g(x))]0 = · g 0 (x) g(x) 0 [(g(x))n ] = n · (g(x))n−1 · g 0 (x) [cos (g(x))]0 = − sin (g(x)) · g 0 (x) 1 0 [arctan (g(x))]0 = 2 · g (x) 1 + (g(x)) 0 [c] = 0



37 - Derivace

Taha´k

Zadańı´ Vypocˇ´ıtejte prvnı´ derivaci explicitnı´ funkce a vy´sledek upravte: a) y =

ˇ esˇenı´ R

√ 2 (x − 6) 3 + x 3

b) y = sin4 x + sin x4 √ 5 c) y = tan x5 + 1

[f (g(x))]0 = f 0 (g(x)) · g 0 (x) [f (x) · g (x)]0 = f 0 (x) · g (x) + f (x) · g 0 (x) 0

[(g(x))n ] = n · (g(x))n−1 · g 0 (x) [sin (g(x))]0 = cos (g(x)) · g 0 (x) 1 [tan (g(x))]0 = · g 0 (x) 2 sin g (x) [c]0 = 0



38 - Derivace Zadańı´ Vypocˇ´ıtejte prvnı´ derivaci explicitnı´ funkce a vy´sledek upravte: √ 1 a) y = x · arcsin x + 1 − x2 c) y = 2 cos x b) y = e2x+3 ˇ esˇenı´ R

Taha´k [f (g(x))]0 = f 0 (g(x)) · g 0 (x) [f (x) · g (x)]0 = f 0 (x) · g (x) + f (x) · g 0 (x) 1 [arcsin x]0 = √ 1 − x2 0 [(g(x))n ] = n · (g(x))n−1 · g 0 (x) g(x) 0 e = eg(x) · g 0 (x) g(x) 0 a = ag(x) · ln a · g 0 (x) [cos x]0 = − sin x [c]0 = 0



39 - Derivace

Taha´k

Zadańı´ Vypocˇ´ıtejte prvnı´ derivaci explicitnı´ funkce a vy´sledek upravte: a) y = ln

1 − ln x 1 + ln x

b) y = arccos

[f (g(x))]0 = f 0 (g(x)) · g 0 (x) 2x 1 + x2

c) y = x4 · log x2 ˇ esˇenı´ R

[f (x) · g (x)]0 = f 0 (x) · g (x) + f (x) · g 0 (x) 0 fx f 0 (x) · g (x) − f (x) · g 0 (x) = gx (g (x))2 1 [ln (g(x))]0 = · g 0 (x) g(x) 1 · g 0 (x) [log (g(x))]0 = g(x) · ln 10 [xn ]0 = n · xn−1 1 [arccos (g (x))]0 = − q · g 0 (x) 1 − (g (x))2 [c]0 = 0



40 - Druha´ derivace

Taha´k

Zadańı´ Vypocˇ´ıtejte druhou derivaci explicitnı´ funkce a vy´sledek upravte:

y 00 = [y 0 ]

a) y =

1+x 1−x

b) y = x sin (ln x) + cos (ln x) sin x

c) y = e ˇ esˇenı´ R

0

[f (g(x))]0 = f 0 (g(x)) · g 0 (x) [f (x) · g (x)]0 = f 0 (x) · g (x) + f (x) · g 0 (x) 0 f 0 (x) · g (x) − f (x) · g 0 (x) fx = gx (g (x))2 [xn ]0 = n · xn−1 [c]0 = 0 [sin (g(x))]0 = cos (g(x)) · g 0 (x) [cos (g(x))]0 = − sin (g(x)) · g 0 (x) 1 [ln x]0 = x g(x) 0 e = eg(x) · g 0 (x)



41 - Derivace - logaritmicke´ derivovańı´

Taha´k

Zadańı´ Logaritmicky´m derivovańı´m vypocˇ´ıtejte derivaci funkce:

Logaritmicke´ derivovańı´

a) y = x

1 x

b) y = xln x ˇ esˇenı´ R

c) y = xcos x

y = f (x)g(x) ln y = ln f (x)g(x) ln y = g (x) · ln f (x) 1 0 1 · y = g 0 (x) · ln f (x) + g (x) · · f 0 (x) y f (x) 1 0 0 0 y = y · g (x) · ln f (x) + g (x) · · f (x) f (x) 1 g(x) 0 0 0 y = f (x) · g (x) · ln f (x) + g (x) · · f (x) f (x) [f (g(x))]0 = f 0 (g(x)) · g 0 (x) [f (x) · g (x)]0 = f 0 (x) · g (x) + f (x) · g 0 (x) [xn ]0 = n · xn−1 1 [ln x]0 = x 0 [cos x] = − sin x



42 - Derivace implicitneˇ zadane´ funkce

Taha´k 0

Zadańı´ Vypocˇ´ıtejte prvnı´ derivaci implicitnı´ funkce: a) F : 5x2 + 3xy − 2y 2 + 2 = 0 b) F : ey sin x − e−x cos y = 0 ˇ esˇenı´ R

F (x, y) y = − x0 Fy (x, y) 0

c) F : arcsin

x − ln x = 0 y



43 - Druha´ derivace implicitneˇ zadane´ funkce

0

Zadańı´ Vypocˇ´ıtejte druhou derivaci implicitnı´ funkce: a) F : x3 + y 3 − 3xy = 0

Taha´k F (x, y) y = − x0 Fy (x, y) 0

b) F : sin x + sin y + sin (x + y) = 0

0

ˇ esˇenı´ R

0

0

Fx (x, y) + Fy (x, y) · y = 0 0 2 00 0 0 00 00 00 + Fy · y = 0 Fxx + 2Fxy · y + Fyy · y



44 - Derivace parametricky zadane´ funkce

Taha´k

Zadańı´ Vypocˇ´ıtejte prvnı´ derivaci parametricky zadane´ funkce: a) x = tan t, ˇ esˇenı´ R

y=

sin 2t 2

b) x = a (t − cos t) ,

y = a (1 + sin t)

x = f (t) y = g (t) dx = f 0 (t) dt dy = g 0 (t) dt y0 =

g 0 (x) dy = 0 , dx f (x)

f 0 (x) 6= 0



45 - Druha´ derivace parametricky zadane´ funkce

Taha´k

Zadańı´ Vypocˇ´ıtejte druhou derivaci parametricky zadane´ funkce: a) x = ˇ esˇenı´ R

1−t , 1+t

y=

2t 1+t

b) x = a cos t,

y = b sin t

x = f (t) y = g (t) dx = f 0 (t) dt dy = g 0 (t) dt y0 =

g 0 (x) dy = 0 , dx f (x)

f 0 (x) 6= 0

0 g 0 (t) dt y = 0 = · f (t) dx g 00 (t) · f 0 (t) − g 0 (t) · f 00 (t) = [f 0 (t)]3 00



46 - Derivace

Taha´k

Zadańı´ Vypocˇ´ıtejte prvnı´ derivaci funkce a vy´sledek upravte: tan2 x a) y = + ln (cos x) 2 r x √ − 2x − x2 b) y = 2 arcsin 2 ˇ esˇenı´ R

c) y =

1 1−x

x



47 - Druha´ derivace

Taha´k

Zadańı´ Vypocˇ´ıtejte druhou derivaci funkce a vy´sledek upravte: a) y = sin2 x √ b) y = 1 + x2 ˇ esˇenı´ R

c) y = ln (1 + cos x)



48 - Trˇetı´ derivace

Taha´k

Zadańı´ Vypocˇ´ıtejte trˇetı´ derivaci funkce a vy´sledek upravte: cos2 x a) y = 4

ˇ esˇenı´ R

b) y = x ln x c) y = xe2x



49 - Tecˇna ke grafu funkce

Taha´k

Zadańı´ Urcˇete obecnou rovnici tecˇny t a norma´ly n v dotykove´m bodeˇ T ke grafu funkce f dane´ prˇedpisem: a) y = ˇ esˇenı´ R

8 , 4 + x2

T = [2; ?]

b) y = ln x,

T = [e; ?]

smeˇrnicovy´ tvar rovnice tecˇny t : y − y0 = kt (x − x0 ) bod dotyku T = [x0 ; y0 ] smeˇrnice tecˇny kt = f 0 (x0 ) smeˇrnicovy´ tvar rovnice norma´ly t : y − y0 = kn (x − x0 ) bod dotyku T = [x0 ; y0 ] smeˇrnice norma´ly 1 kn = − f 0 (x 0) obecna´ rovnice prˇ´ımky ax + by + c = 0




Taha´k

Zadańı´ Urcˇete rovnice tecˇen ke grafu funkce f , ktere´ jsou rovnobeˇzˇne´ s prˇ´ımkou p: a) y = x3 − 12x, ˇ esˇenı´ R

p :y=2

b) y = x2 + 4x − 5,

p : x + 4y = 0

smeˇrnicovy´ tvar rovnice tecˇny t : y − y0 = kt (x − x0 ) bod dotyku T = [x0 ; y0 ] smeˇrnice tecˇny kt = f 0 (x0 )




Taha´k

Zadańı´ Urcˇete rovnice tecˇen ke grafu funkce f , ktere´ jsou rovnobeˇzˇne´ s osou x: a) y = x3 − 12x ˇ esˇenı´ R

b) y = x2 + 4x − 5





Taha´k

Zadańı´ Urcˇete rovnice tecˇen ke grafu funkce f , ktere´ jsou kolme´ k prˇ´ımce p: 3

a) y = ˇ esˇenı´ R

x + 2, 6

p : x + 2y + 3 = 0

b) y = x2 + 4x − 5,

p : x + 4y = 0




53 - Tecˇna ke grafu parametricky zadane´ funkce Zadańı´ Urcˇete rovnici tecˇny t a norma´ly n cykloidy v dotykove´m bodeˇ T , v neˇmzˇ t = π2 , jsou-li jejı´ parametricke´ rovnice: x = a (t − sin t) y = a (1 − cos t) ;

a > 0, t ∈ h0, 2πi

Taha´k smeˇrnicovy´ tvar rovnice tecˇny t : y − y0 = kt (x − x0 ) bod dotyku T = [x0 ; y0 ] smeˇrnice tecˇny kt = f 0 (x0 )

ˇ esˇenı´ R smeˇrnicovy´ tvar rovnice norma´ly t : y − y0 = kn (x − x0 ) bod dotyku T = [x0 ; y0 ] smeˇrnice norma´ly 1 kn = − f 0 (x 0)



54 - l’Hospitalovo pravidlo

Taha´k

Zadańı´ Spocˇ´ıtejte limity l’Hospitalovy´m pravidlem: sin x x→0 x


1 − cos x x→0 x2

b) lim

ln x x→∞ x

c) lim

ex − 1 x→0 x

d) lim



55 - l’Hospitalovo pravidlo Zadańı´ Spocˇ´ıtejte limity l’Hospitalovy´m pravidlem: √ x3 − 2x − 4 b) lim x ln x a) lim 2 x→0+ x→2 x − x − 2 ˇ esˇenı´ R

Taha´k

c) lim+ x→1

1 1 − x − 1 ln x

e2x d) lim 3 x→∞ x



56 - Tayloru˚v polynom

Taha´k

Zadańı´ Napisˇte Tayloru˚v polynom n-te´ho stupneˇ Tn (x) v okolı´ bodu x0 pro funkci: a) f : y = ln x, x0 = 1, n = 3 ˇ esˇenı´ R

x π b) f : y = cos , x0 = , n = 3 2 2



57 - Maclaurinu˚v polynom

Taha´k

Zadańı´ Napisˇte Maclaurinu˚v polynom n-te´ho stupneˇ (n ∈ N ) funkce: a) f : y = ex ˇ esˇenı´ R

b) f : y = sin x



58 - Monotonnost a loka´lnı´ extre´my funkce Zadańı´ Najdeˇte intervaly monotonnosti (kde funkce roste a kde klesa´) a loka´lnı´ extre´my (loka´lnı´ maximum a minimum). a) f (x) = x3 + 3x2 ˇ esˇenı´ R

b) f (x) = x3 + x2 − x + 1

Taha´k

1. Definicˇnı´ obor. 2. Prvnı´ derivace. 3. Znameńko prvnı´ derivace. Funkce roste f 0 (x) > 0 a funkce klesa´ f 0 (x) < 0. 4. Loka´lnı´ extre´my. 5. Pozor na definicˇnı´ obor. V bodech nespojitosti samozrˇejmeˇ nejsou zˇa´dne´ extre´my!



59 - Monotonnost a loka´lnı´ extre´my funkce

Taha´k

Zadańı´ Najdeˇte intervaly monotonnosti (kde funkce roste a kde klesa´) a loka´lnı´ extre´my (loka´lnı´ maximum a minimum). a) f (x) = x − 2 ln (x + 1) ˇ esˇenı´ R

b) f (x) =

1. Definicˇnı´ obor. x2 + 2x + ln x 2

2. Prvnı´ derivace. 3. Znameńko prvnı´ derivace. Funkce roste f 0 (x) > 0 a funkce klesa´ f 0 (x) < 0. 4. Loka´lnı´ extre´my. 5. Pozor na definicˇnı´ obor. V bodech nespojitosti samozrˇejmeˇ nejsou zˇa´dne´ extre´my!



60 - Monotonnost a loka´lnı´ extre´my funkce Zadańı´ Najdeˇte intervaly monotonnosti (kde funkce roste a kde klesa´) a loka´lnı´ extre´my (loka´lnı´ maximum a minimum). a) f (x) = x − 5 arctan x ˇ esˇenı´ R

b) f (x) = x − 2 sin x

Taha´k

1. Definicˇnı´ obor. 2. Prvnı´ derivace. 3. Znameńko prvnı´ derivace. Funkce roste f 0 (x) > 0 a funkce klesa´ f 0 (x) < 0. 4. Loka´lnı´ extre´my. 5. Pozor na definicˇnı´ obor. V bodech nespojitosti samozrˇejmeˇ nejsou zˇa´dne´ extre´my!



61 - Loka´lnı´ extre´my

Taha´k

Zadańı´ Najdeˇte loka´lnı´ extre´my (loka´lnı´ maximum a minimum) funkce. a) f (x) = 3x4 + 16x3 + 18x2 + 12 ˇ esˇenı´ R

2x − 1 b) f (x) = x2

1. Definicˇnı´ obor. 2. Prvnı´ derivace. 3. Staciona´rnı´ body f 0 (x) = 0. 4. Druha´ derivace. 5. Loka´lnı´ minimum f 00 (x0 ) > 0. Loka´lnı´ maximum f 00 (x0 ) < 0.



62 - Konvexnost, konka´vnost, inflexnı´ body

Taha´k

Zadańı´ Najdeˇte intervaly, kde je funkce konvexnı´ a kde konka´vnı´, najdeˇte jejı´ inflexnı´ body. a) f (x) = x4 − 6x3 + 24x2 − 12 ˇ esˇenı´ R

x+1 b) f (x) = x−2

1. Definicˇnı´ obor. 2. Prvnı´ derivace. 3. Druha´ derivace. 4. Znameńko druhe´ derivace. Funkce konvexnı´ f 00 (x) > 0 a funkce konka´vnı´ f 00 (x) < 0. 5. Inflexnı´ body. 6. Pozor na definicˇnı´ obor. V bodech nespojitosti samozrˇejmeˇ nejsou zˇa´dne´ inflexnı´ body!



63 - Inflexnı´ body

Taha´k

Zadańı´ Ve ktere´m z uvedenyćh bodu˚ ma´ zadana´ funkce inflexnı´ bod? a) f (x) = x3 − 2x2 + 3x − 2 v bodeˇ x0 = 23 , x0 = 32 , x0 = − 23 , funkce nema´ inflexnı´ bod. x2 − 1 v bodeˇ x0 = 54 , x0 = −2, x0 = − 45 , funkce nema´ inflexnı´ bod. b) f (x) = x+2 ˇ esˇenı´ R

1. Definicˇnı´ obor. 2. Prvnı´ derivace. 3. Druha´ derivace. 4. Znameńko druhe´ derivace. Funkce konvexnı´ f 00 (x) > 0 a funkce konka´vnı´ f 00 (x) < 0. 5. Inflexnı´ body. 6. Pozor na definicˇnı´ obor. V bodech nespojitosti samozrˇejmeˇ nejsou zˇa´dne´ inflexnı´ body! 7. Porovnejte se vy´sledek se zadańı´m.



64 - Asymptoty

Taha´k

Zadańı´ Urcˇete vsˇechny asymptoty grafu funkce: 2x2 − 3x + 1 a) y = 3x + 3

2x − 1 b) y = x2

1. Definicˇnı´ obor. 2. Nasˇli jste body nespojitosti?

ˇ esˇenı´ R 3. Bude zde svisla´ asymptota? (Asymptota bez smeˇrnice, jen jedna?) 4. Zjisteˇte, zda existuje asymptota se smeˇrnicı´ y = kx + q f (x) k = lim x→±∞ x q = lim (f (x) − kx) x→±∞



65 - Asymptoty

Taha´k

Zadańı´ Urcˇete vsˇechny asymptoty grafu funkce: x2 − 2x + 1 a) y = 2x − 1

2x3 b) y = 2 x −1

1. Definicˇnı´ obor. 2. Nasˇli jste body nespojitosti?

ˇ esˇenı´ R 3. Bude zde svisla´ asymptota? (Asymptota bez smeˇrnice, jen jedna?) 4. Zjisteˇte, zda existuje asymptota se smeˇrnicı´ y = kx + q f (x) k = lim x→±∞ x q = lim (f (x) − kx) x→±∞


Michaela Tuzˇilova´, [email protected], Katedra matematiky a deskriptivnı´ geometrie, VSˇB - Technicka´ univerzita Ostrava

66 - Determinanty Zadańı´ Vypocˇteˇte na´sledujıćı´ determinanty 2. rˇa´du: 3 −1 sin(x) cos(x) a) b) 2 5 − cos(x) sin(x) ˇ esˇenı´ R

Taha´k Determinanty 2. rˇa´du - krˇ´ızˇove´ pravidlo: Soucˇin prvku˚ na hlavnı´ diagona´le mıńus soucˇin prvku˚ na vedlejsˇ´ı diagona´le.



67 - Determinanty Zadańı´ Vypocˇteˇte na´sledujıćı´ determinanty 3. rˇa´du: 3 −1 3 x 0 −x 1 2 5 0 a) 0 −1 4 b) 2 4 −3 c) 0 x 1 −2 1 1 x 1 5 2 1 ˇ esˇenı´ R

Taha´k Determinanty 3. rˇa´du - Sarrusovo pravidlo: Sepı´sˇeme prvnı´ 2 rˇa´dky. Prvky lezˇ´ıcı´ na u´hloprˇ´ıcˇkaćh vyna´sobı´me, prˇicˇemzˇ teˇm, ktere´ smeˇrˇujı´ zleva doprava (hlavnı´ diagona´la) prˇirˇadı´me znameńko + a teˇm, ktere´ smeˇrˇujı´ zprava doleva (vedlejsˇ´ı diagona´la) prˇirˇadı´me znameńko -.



68 - Determinanty Zadańı´

1 2 3 4 3 0 −1 3 Vypocˇteˇte determinant 1 0 2 −1 −4 0 3 −1 ˇ esˇenı´ R

Taha´k

a) rozvojem podle vhodne´ho rˇa´dku, b) rozvojem podle vhodne´ho sloupce.

Vhodny´ rˇa´dek (sloupec) je ten, ktery´ obsahuje co nejvıće nul. Laplaceu˚v rozvoj pro matici A rˇa´du n: a) rozvoj determinantu podle i-te´ho rˇa´dku det A =

n X

(−1)i+j · aij · det Aij ,

j=1

b) rozvoj determinantu podle j-te´ho sloupce det A =

n X

(−1)i+j · aij · det Aij ,

i=1

kde matice Aij vznikne z matice A vynechańı´m i-te´ho rˇa´dku a j-te´ho sloupce.




1 2 3 4 3 0 −1 3 Vypocˇteˇte determinant 1 0 2 −1 −4 0 3 −1 ˇ esˇenı´ R

Taha´k Vlastnosti determinantu˚: u´pravou na troju´helnı´kovy´ tvar.

det A = det AT det(A · B) = det A · det B Ma´-li matice A dva rˇa´dky (sloupce) stejne´, pak det A = 0. Vznikne-li matice B z A: a) vza´jemnou vy´meˇnou dvou rˇa´dku˚ (sloupcu˚), pak: det B = − det A, b) vyna´sobenı´m jednoho rˇa´dku (sloupce) cˇ´ıslem k ∈ R, pak det B = k · det A, c) prˇicˇtenı´m k−na´sobku, k ∈ R, jednoho rˇa´dku (sloupce) k jine´mu, pak: det B = det A. Jsou-li rˇa´dky (sloupce) matice A linea´rneˇ za´visle´, pak det A = 0. Determinant troju´helnı´kove´ matice se rovna´ soucˇinu prvku˚ na hlavnı´ diagona´le.



70 - Determinanty Zadańı´ Vypocˇteˇte na´sledujıćı´ determinant:

ˇ esˇenı´ R

Taha´k Vlastnosti determinantu˚:

3 1 0 2

2 3 1 0

0 2 3 1

1 0 2 3

.

det A = det AT det(A · B) = det A · det B Ma´-li matice A dva rˇa´dky (sloupce) stejne´, pak det A = 0. Vznikne-li matice B z A: a) vza´jemnou vy´meˇnou dvou rˇa´dku˚ (sloupcu˚), pak: det B = − det A, b) vyna´sobenı´m jednoho rˇa´dku (sloupce) cˇ´ıslem k ∈ R, pak det B = k · det A, c) prˇicˇtenı´m k−na´sobku, k ∈ R, jednoho rˇa´dku (sloupce) k jine´mu, pak: det B = det A. Jsou-li rˇa´dky (sloupce) matice A linea´rneˇ za´visle´, pak det A = 0. Determinant troju´helnı´kove´ matice se rovna´ soucˇinu prvku˚ na hlavnı´ diagona´le.



71 - Determinanty Zadańı´ Vypocˇteˇte na´sledujıćı´ determinant:

ˇ esˇenı´ R

−1 −1 1 1 −1 1 −1 −1 1 1 1 2 −1 −1 −1 1 −1 1 1 −1 1 −1 2 1 1

Taha´k Vlastnosti determinantu˚: det A = det AT det(A · B) = det A · det B Ma´-li matice A dva rˇa´dky (sloupce) stejne´, pak det A = 0. Vznikne-li matice B z A: a) vza´jemnou vy´meˇnou dvou rˇa´dku˚ (sloupcu˚), pak: det B = − det A, b) vyna´sobenı´m jednoho rˇa´dku (sloupce) cˇ´ıslem k ∈ R, pak det B = k · det A, c) prˇicˇtenı´m k−na´sobku, k ∈ R, jednoho rˇa´dku (sloupce) k jine´mu, pak: det B = det A. Jsou-li rˇa´dky (sloupce) matice A linea´rneˇ za´visle´, pak det A = 0. Determinant troju´helnı´kove´ matice se rovna´ soucˇinu prvku˚ na hlavnı´ diagona´le.




x 0 −x 0 roven 0? Pro ktera´ x je determinant 0 x 1 x 1 ˇ esˇenı´ R

Taha´k Pro sestavenı´ rovnice s nezna´mou x pouzˇijte Sarrusovo pravidlo.



73 - Matice Zadańı´ Vypocˇteˇte matici D danou vztahem: D = 2 · A − B + C,      2 −1 3 1 0 −1 2 1 0  0     4 5  3 2 5  −3 −7 5 kde A= , B= , C=  −3  −4 3  −4 7 6  0  3 −1 8 0 1 7 1 −2 0 3 −5 ˇ esˇenı´ R

Taha´k

  . 

Rovnici aplikujeme na jednotlive´ prvky na stejnyćh pozicıćh danyćh matic.



74 - Matice Zadańı´ Vypocˇteˇte matici D danou vztahem: D = −3 · A + 2 · B − C,      2 −1 3 1 0 −1 2 1 0  0     4 5  3 2 5  −3 −7 5 kde A= , B= , C=  −3  −4 3  −4 7 6  0  3 −1 8 0 1 7 1 −2 0 3 −5 ˇ esˇenı´ R

Taha´k

  . 

Rovnici aplikujeme na jednotlive´ prvky na stejnyćh pozicıćh danyćh matic.



75 - Matice

Taha´k

Zadańı´

 

Transponujte matice:

ˇ esˇenı´ R



1 2 3 12  4 −1 2 15  , A= 0 3 8 7

  B=  

 −1 2 3 13 3 0 7 0   8 1 −2 −5  . 6 −5 4 1  9 10 12 0

Transpozice: vy´meˇna rˇa´dku˚ a sloupcu˚ matice.



76 - Matice

Taha´k

Zadańı´ 

Vypocˇteˇte A · B, B · A (pokud to lze), jestlizˇe:

ˇ esˇenı´ R



2 −1 3 0  0 −2 5 1 , A= 4 1 −3 2



 −1 3  0 4   B=  2 −3  . 4 1

Soucˇin matic: A = (aij ) - matice typu m × n, B = (bjk ) - matice typu n × p. Pak C = A · B = (cik ) - matice typu m × p, kde cik =

n X

ajn · bjk =

j=1

= ai1 · b1k + ai2 · b2k + ... + ain · bnk .



77 - Matice

Taha´k

Zadańı´ Vypocˇteˇte A · B, B · A (pokud to lze), jestlizˇe:

A=

2 0 −1 3 4 5



,

B=



−3 1 2 −5  . 4 −1

Soucˇin matic: A = (aij ) - matice typu m × n, B = (bjk ) - matice typu n × p.

ˇ esˇenı´ R Pak C = A · B = (cik ) - matice typu m × p, kde cik =

n X

ajn · bjk =

j=1

= ai1 · b1k + ai2 · b2k + ... + ain · bnk .



78 - Matice

Taha´k 

Zadańı´ Vypocˇteˇte A · B, B · A (pokud to lze), jestlizˇe:

ˇ esˇenı´ R



1 1 3 A =  5 −1 2  , 3 6 7





−1 2 −3 7 . B =  −3 −2 −5 4 −1

Soucˇin matic: A = (aij ) - matice typu m × n, B = (bjk ) - matice typu n × p. Pak C = A · B = (cik ) - matice typu m × p, kde cik =

n X

ajn · bjk =

j=1

= ai1 · b1k + ai2 · b2k + ... + ain · bnk .



79 - Matice

Taha´k 

Zadańı´ Urcˇete hodnost matice:

ˇ esˇenı´ R



2 1 −1  1 −2 0  . A=  3 −2 0  3 1 1

Pu˚vodnı´ matici prˇeved’te na stupnˇovity´ tvar. Pak hodnost matice je rovna pocˇtu nenulovyćh rˇa´dku stupnˇovite´ matice.



80 - Matice

Taha´k 

Zadańı´ Urcˇete hodnost matice:

ˇ esˇenı´ R

3 1  −1 1 B=  4 −1 1 3

5 1 2 5



4 7 0 −1  . 3 7  2 1




81 - Matice Zadańı´

Urcˇete hodnost matice:

ˇ esˇenı´ R

Taha´k     C=   

 2 1 0 −3 −7 5   −4 3 −1  . 0 3 −5   2 −4 1  1 6 −5




82 - Matice Zadańı´ Urcˇete hodnost matice:

ˇ esˇenı´ R

Taha´k 

 1 2 3 1 2 5 . D =  4 −1 0 3 −2 7




83 - Matice Zadańı´ Urcˇete hodnost matice:

ˇ esˇenı´ R

Taha´k    E=  

 −1 2 3 −3 3 0 7 0   3 1 −2 −5  . 6 −5 4 1  −3 0 −2 0




84 - Matice

Taha´k 

Zadańı´ Vypocˇteˇte k dane´ matici A matici inverznı´ (A−1 ) eliminacˇnı´ metodou a proved’te zkousˇku:

ˇ esˇenı´ R



1 −2 0 A =  3 −2 0  . 3 1 1

Kazˇdou regula´rnı´ matici A prˇevedeme jen rˇa´dkovy´mi (resp. sloupcovy´mi) u´pravami na jednotkovou matici E. Stejne´ u´pravy aplikujeme na jednotkovou matici E, ktera´ tı´mto prˇejde na inverznı´ matici A−1 . Matice A a E zapı´sˇeme vedle sebe, tj. (A, E), jako matici typu n × 2n).



85 - Matice

Taha´k 


ˇ esˇenı´ R



5 4 7 A =  1 0 1 . 2 3 7




86 - Matice

Taha´k 


ˇ esˇenı´ R

A=



−3 −7 5 0 3 −5  . 1 6 −5




87 - Matice

Taha´k 

Zadańı´ Vypocˇteˇte k dane´ matici A matici inverznı´ (A−1 ) uzˇitı´m determinantu a proved’te zkousˇku:

ˇ esˇenı´ R



2 3 1 2 5 . A =  −1 3 −2 7

A−1 =

1 1 ·A∗ = ·DT , det A det A

kde A∗ = (a∗ij ) je adjungovana´ matice k matici A a D = (dij ) je matice algebraickyćh doplnˇku˚, prˇicˇemzˇ dij = (−1)i+j · det Aij . Matice Aij vynikne z A vynechańı´m i−te´ho rˇa´dku a j−te´ho sloupce.



88 - Matice

Taha´k 

Zadańı´ Vypocˇteˇte k dane´ matici A matici inverznı´ (A−1 ) uzˇitı´m determinantu a proved’te zkousˇku:

ˇ esˇenı´ R



3 0 7 1 . A =  −5 4 −3 0 −2

A−1 =





89 - Matice

Taha´k 

−1

Zadańı´ Vypocˇteˇte k dane´ matici A matici inverznı´ (A ) uzˇitı´m determinantu a proved’te zkousˇku:

ˇ esˇenı´ R

3 1  −1 1 A=  −1 2 3 5

5 1 3 2



4 0  . 7  1

A−1 =





90 - Matice

Taha´k

ˇ esˇte rovnici pro nezna´mou matici X a proved’te zkousˇku: Zadańı´ R     1 −2 0 5 10 −16 44  −1 3 4 0  · X =  −13 14 −21  4 −7 5 8 0 −49 78

Vyuzˇijte vhodne´ho na´sobenı´ zprava (resp. zleva) rovnice inverznı´ maticı´ tak, aby se osamostatnila matice X.

ˇ esˇenı´ R



91 - Matice ˇ esˇte rovnici pro nezna´mou matici X a proved’te zkousˇku: Zadańı´ R    −6 3 0 7 3 43 4 5  1 4 −5   3   −24 30 35 16 X · =  −3 1 8 0   13 13 8 −17 2 3 0 −2 −31 13 −9 48 ˇ esˇenı´ R

Taha´k

   

Vyuzˇijte vhodne´ho na´sobenı´ zprava (resp. zleva) rovnice inverznı´ maticı´ tak, aby se osamostatnila matice X.



92 - Matice ˇ esˇte rovnici pro nezna´mou matici X a proved’te zkousˇku: Zadańı´ R 4 −1 5 2 −4 1 23 −101 72 ·X · = 2 −3 6 −1 −3 5 43 −141 82 ˇ esˇenı´ R

Taha´k Vyuzˇijte vhodne´ho na´sobenı´ zprava (resp. zleva) rovnice inverznı´ maticı´ tak, aby se osamostatnila matice X.



93 - Soustavy linea´rnıćh rovnic Zadańı´ Rˇesˇte soustavu linea´rnıćh rovnic pomocı´ Cramerova pravidla a proved’te zkousˇku:

ˇ esˇenı´ R

Taha´k Cramerovo pravidlo: 5x1 + x2 − 2x3 = 9 3x1 + x2 − 5x3 = −12 . 2x1 − x2 − x3 = −3

1. jen pro soustavy s regula´rnı´ maticı´ soustavy A, tj. detA 6= 0, 2. vypocˇtou se determinanty A, Ai (nahradı´ se prˇ´ıslusˇny´ sloupec pravou stranou), 3. spocˇ´ıta´jı´ se slozˇky rˇesˇenı´ xi =

det Ai . det A



94 - Soustavy linea´rnıćh rovnic Zadańı´ Rˇesˇte soustavu linea´rnıćh rovnic pomocı´ inverznı´ matice a proved’te zkousˇku:

ˇ esˇenı´ R

5x1 + x2 − 2x3 = 9 3x1 + x2 − 5x3 = −12 . 2x1 − x2 − x3 = −3

Taha´k Soustavu mu˚zˇeme napsat v maticove´m tvaru A·X =B Na´sobenı´m zleva inverznı´ maticı´ A−1 dostaneme rˇesˇenı´ soustavy X = A−1 · B



95 - Soustavy linea´rnıćh rovnic Zadańı´ Rˇesˇte soustavu linea´rnıćh rovnic a proved’te zkousˇku:

Taha´k Frobeniova veˇta: 5x1 − x2 − 3x3 = 9 x1 + x2 + 2x3 = 0 . 4x1 − x2 + 2x3 = −7

Soustava m linea´rnıćh rovnic o n nezna´myćh A · ~x = ~b

ˇ esˇenı´ R ma´ alesponˇ jedno rˇesˇenı´ pra´veˇ kdyzˇ h(A) = h(A/~b), tj. kdyzˇ hodnost matice soustavy se rovna´ hodnosti matice rozsˇ´ırˇene´. Pokud h(A) 6= h(A/~b), pak soustava nema´ rˇesˇenı´. Ma´-li soustava rˇesˇenı´, tj h(A) = h(A/~b) = h, pak pro h=n ma´ soustava pra´veˇ jedno rˇesˇenı´, jinak, tj. pro h < n, ma´ soustava ∞-mnoho rˇesˇenı´ za´vislyćh na n − h parametrech.




Taha´k Frobeniova veˇta: x1 − 2x2 + 3x3 = 2 3x1 + 4x2 + 2x3 = 2 . 2x1 + 6x2 − x3 = 0

Soustava m linea´rnıćh rovnic o n nezna´myćh A · ~x = ~b

ˇ esˇenı´ R ma´ alesponˇ jedno rˇesˇenı´ pra´veˇ kdyzˇ h(A) = h(A/~b), tj. kdyzˇ hodnost matice soustavy se rovna´ hodnosti matice rozsˇ´ırˇene´. Pokud h(A) 6= h(A/~b), pak soustava nema´ rˇesˇenı´. Ma´-li soustava rˇesˇenı´, tj h(A) = h(A/~b) = h, pak pro h=n ma´ soustava pra´veˇ jedno rˇesˇenı´, jinak, tj. pro h < n, ma´ soustava ∞-mnoho rˇesˇenı´ za´vislyćh na n − h parametrech.




ˇ esˇenı´ R

Taha´k Frobeniova veˇta: 2x1 − 3x2 x1 − x2 x1 − 2x2 2x2

− 2x3 − x3 − x3 + 2x3

+ x4 − x4 + 2x4 + x4

= = = =

3 2 . 1 1

Soustava m linea´rnıćh rovnic o n nezna´myćh A · ~x = ~b ma´ alesponˇ jedno rˇesˇenı´ pra´veˇ kdyzˇ h(A) = h(A/~b), tj. kdyzˇ hodnost matice soustavy se rovna´ hodnosti matice rozsˇ´ırˇene´. Pokud h(A) 6= h(A/~b), pak soustava nema´ rˇesˇenı´. Ma´-li soustava rˇesˇenı´, tj h(A) = h(A/~b) = h, pak pro h=n ma´ soustava pra´veˇ jedno rˇesˇenı´, jinak, tj. pro h < n, ma´ soustava ∞-mnoho rˇesˇenı´ za´vislyćh na n − h parametrech.



98 - Soustavy linea´rnıćh rovnic

Taha´k Frobeniova veˇta:

Zadańı´ Rˇesˇte soustavu linea´rnıćh rovnic a proved’te zkousˇku:

ˇ esˇenı´ R

2x1 2x1 x1 x1

+ x2 + x2 − x3 − x2 + x3 + 2x2 − 2x3

+ 2x4 + x4 − x4 + 2x4

= = = =

3 0 . 3 1

Soustava m linea´rnıćh rovnic o n nezna´myćh A · ~x = ~b ma´ alesponˇ jedno rˇesˇenı´ pra´veˇ kdyzˇ h(A) = h(A/~b), tj. kdyzˇ hodnost matice soustavy se rovna´ hodnosti matice rozsˇ´ırˇene´. Pokud h(A) 6= h(A/~b), pak soustava nema´ rˇesˇenı´. Ma´-li soustava rˇesˇenı´, tj h(A) = h(A/~b) = h, pak pro h=n ma´ soustava pra´veˇ jedno rˇesˇenı´, jinak, tj. pro h < n, ma´ soustava ∞-mnoho rˇesˇenı´ za´vislyćh na n − h parametrech.



99 - Soustavy homogennıćh linea´rnıćh rovnic Zadańı´ Rˇesˇte soustavu homogennıćh linea´rnıćh rovnic a proved’te zkousˇku:

ˇ esˇenı´ R

2x1 − x2 + x3 = 0 x1 + x2 − x3 = 0 . 4x1 − 2x2 + x3 = 0

Taha´k Soustava homogennıćh linea´rnıćh rovnic ma´ vzˇdy rˇesˇenı´ - viz. Frobeniova veˇta, jejizˇ podmıńky jsou zde vzˇdy splneˇny. Lze rˇesˇit Gaussovou eliminacˇnı´ metodou, nebo zde prˇ´ımo za pomoci determinantu soustavy (procˇ?).



100 - Soustavy homogennıćh linea´rnıćh rovnic Zadańı´ Rˇesˇte soustavu homogennıćh linea´rnıćh rovnic a proved’te zkousˇku:

ˇ esˇenı´ R

5x1 − 2x2 3x1 x1 + 2x2 2x1 − 2x2

+ 7x3 + 4x3 + x3 + 3x3

− 4x4 − x4 + 2x4 − 3x4

− x5 − 2x5 − 3x5 + x5

= = = =

0 0 . 0 0

Taha´k Soustava homogennıćh linea´rnıćh rovnic ma´ vzˇdy rˇesˇenı´ - viz. Frobeniova veˇta, jejizˇ podmıńky jsou zde vzˇdy splneˇny. Lze rˇesˇit Gaussovou eliminacˇnı´ metodou.



101 - Skala´rnı´ soucˇin vektoru˚ Zadańı´ Vypocˇteˇte skla´rnı´ soucˇin a u´hel vektoru˚ ~u, ~v (tedy ~u · ~v ):

Taha´k Skala´rnı´ soucˇin dvou vektoru˚: ~u · ~v = |~u| · |~v | cosφ,

a) ~u = (−1, −1, 4), ~v = (−1, 2, −2), b) ~u = (2, 5, 7), ~v = (−3, 0, 6),

kde φ je u´hel svı´rajıćı´ vektory ~u, ~v nebo

c) ~u = (1, 1, −4), ~v = (1, −2, 2). ~u·~v = u1 ·v1 +u2 ·v2 +...+un ·vn , ˇ esˇenı´ R

kde ~u = (u1 , u2 , ..., un ), ~v = (v1 , v2 , ..., vn ). Velikost (de´lka) vektoru ~u: q |~u| = a21 + a22 + ... + a2n POZOR: Co je vy´sledkem skala´rnı´ho soucˇinu?



102 - Aplikace skala´rnı´ho soucˇinu Zadańı´ Zjisteˇte, zda jsou vektory ~u, ~v na sebe kolme´: a) ~u = (−2, −3, 5), ~v = (4, 2, 7), b) ~u = (2, 3, −1), ~v = (13, −6, 8), c) ~u = (3, −1, −4), ~v = (9, −12, 0).

ˇ esˇenı´ R

Taha´k ~u⊥~v ⇔ ~u · ~v = 0



103 - Vektorovy´ soucˇin Zadańı´ Vypocˇteˇte vektorovy´ soucˇin vektoru˚ ~u, ~v (tedy ~u × ~v ): a) ~u = (1, 2, −1), ~v = (3, −1, −2), b) ~u = (−2, 2, −1), ~v = (3, −6, 5),

Taha´k Vektorovy´ soucˇin dvou vektoru˚: ~i ~j ~k ~u × ~v = u1 u2 u3 v1 v2 v3

,

kde ~i = (1, 0, 0), ~j = (0, 1, 0), ~k = (0, 0, 1) jsou jednotkove´ vektory ve smeˇru os karte´zske´ soustavy sourˇadnic.

c) ~u = (−3, −1, 0), ~v = (4, −3, 7). Nebo ˇ esˇenı´ R

u2 u3 u3 u1 u1 u2 . ~u×~v = , , v2 v3 v3 v1 v1 v2 POZOR: Co je vy´sledkem vektorove´ho soucˇinu?



104 - Aplikace vektorove´ho soucˇinu Zadańı´ a) Vypocˇteˇte obsah rovnobeˇzˇnı´ku dane´ho stranami ~a = (1, 1, −2), ~b = (5, −4, 7). b) Vypocˇteˇte obsah troju´helnı´ku ABC, prˇicˇemzˇ A = [4, 5, −2], B = [1, 0, 6], C = [7, 3, 4].

ˇ esˇenı´ R

Taha´k Obsah rovnobeˇzˇnı´ku dane´ho stranami ~a, ~b: S = ~a × ~b .



105 - Smı´sˇeny´ soucˇin Zadańı´ Vypocˇteˇte smı´sˇeny´ soucˇin trojice vektoru˚ ~a, ~b, ~c ( tedy [~a, ~b, ~c] = ~a · (~b × ~c) ): a) ~a = (2, −1, 3), ~b = (1, −3, 2), ~c = (3, 2, −4), b) ~a = (3, 0, −2), ~b = (0, −3, 5), ~c = (1, −1, 4), c) ~a = (−7, −2, 5), ~b = (3, −8, 1), ~c = (2, −1, −3).

ˇ esˇenı´ R

Taha´k Smı´sˇeny´ soucˇin trojice vektoru˚: a1 a2 a3 [~a, ~b, ~c] = ~a · (~b × ~c) = b1 b2 b3 . c1 c2 c3 POZOR: Co je vy´sledkem smı´sˇene´ho soucˇinu?



106 - Aplikace smı´sˇene´ho soucˇinu Zadańı´ a) Vypocˇteˇte objem rovnobeˇzˇnosteˇnu a cˇtyrˇsteˇnu urcˇene´ho vektory ~a = (1, 1, −2), ~b = (5, −4, 3), ~c = (3, −1, 0). 0

0

0

0

0

b) Je dań rovnobeˇzˇnosteˇn ABCDA B C D a vrcholy A = [0, 1, 2], B = [5, 2, 3], D = [−1, 6, 4], A = [1, 1, 6]. Urcˇete sourˇadnice zby´vajıćıćh vrcholu˚ a objem teˇlesa.

ˇ esˇenı´ R

Taha´k Objem rovnobeˇzˇnosteˇnu urcˇene´ho vektory ~a, ~b, ~c: V = [~a, ~b, ~c] .



107 - Rovnice roviny Zadańı´ a) Zjisteˇte zda body A = [−1, 2, 5], B = [3, −1, 0], C = [−5, −4, 2] lezˇ´ı v rovineˇ α : 2x − 5y + 6z − 11 = 0. b) Je dańa rovina β : −3x + 2y − 5z + 8 = 0. Vyja´drˇete danou rovinu parametricky. x = −2 + 3s + r 2s + 2r . c) Urcˇete obecnou rovnici roviny ρ dane´ parametricky: y = z = 1 + 2r ˇ esˇenı´ R

Taha´k a) Dosad’te jednotlive´ body do rovnice a zjisteˇteˇ, zda ji splnˇujı´. b) Naprˇ. urcˇete 3 body, ktere´ lezˇ´ı v rovineˇ a z nich prˇ´ıslusˇne´ smeˇrove´ vektory. c) Naprˇ. rˇesˇte jako soustavu trˇ´ı rovnic o dvou nezna´myćh s, r, tak zˇe vyloucˇ´ıte jeden parametr (tj. nezna´mou s, r) a dosazenı´m bodu, ktery´ lezˇ´ı v rovineˇ, dopocˇ´ıta´te parametr druhy´. Pozor - x, y, z zde nejsou nezna´me´! Musı´ se vyskytovat v obecne´ rovnici.



108 - Rovnice roviny Zadańı´ a) Urcˇete rovnici roviny procha´zejıćı´ bodem M = [1, −2, 3] a kolme´ na vektor ~a = (1, 1, −2). b) Urcˇete rovnici roviny procha´zejıćı´ bodem Q = [1, −2, 3] a rovnobeˇzˇne´ s osou x.

ˇ esˇenı´ R

Taha´k Zjisteˇte norma´lovy´ vektor dane´ roviny a pak dosazenı´m bodu M (resp. Q) do obecne´ rovnice roviny, tj. ax + by + cz + d = 0 dopocˇ´ıtejte absolutnı´ cˇlen d.



109 - Rovnice prˇ´ımky

Taha´k

Zadańı´ a) Zjisteˇte zda body A = [1, −3, 2], B = [−2, −4, 5], C = [1, 1, 2] lezˇ´ı na prˇ´ımce

b) Prˇ´ımka p je dańa jako pru˚secˇnice rovin Vyja´drˇete danou prˇ´ımku parametricky.

ˇ esˇenı´ R

α : 3x + y − 5z + 1 = 0

a

x = −1 + 3t 2 − 2t p: y = z = 1 + t β : 2x + 3y − 8z + 3 = 0.

a) Dosad’te jednotlive´ body do rovnice prˇ´ımky a zjisteˇteˇ, zda ji splnˇujı´. ˇ esˇte jako soustavu b) R dvou rovnic o trˇech nezna´myćh, tedy soustavu s jednı´m parametrem. Tj. jednu z nezna´myćh x, y, z zvolte jako parametr a zby´vajıćı´ dveˇ dopocˇteˇte.



110 - Rovnice prˇ´ımky Zadańı´ a) Urcˇete rovnici prˇ´ımky procha´zejıćı´ bodem M = [1, −1, −3] a kolme´ na vektor ~a = (5, −4, 2). x = −1 + 3t 3 − 2t . b) Urcˇete rovnici prˇ´ımky procha´zejıćı´ bodem R = [1, −1, −3] a rovnobeˇzˇne´ s prˇ´ımkou p : y = z = 2 + 5t ˇ esˇenı´ R

Taha´k Zjisteˇte smeˇrovy´ vektor dane´ prˇ´ımky a pak dosad’te bod M (resp. R) a prˇ´ıslusˇny´ smeˇrovy´ vektor do parametricke´ rovnice prˇ´ımky.



111 - Vzda´lenost u´tvaru˚ v E3

Taha´k

Zadańı´ a) Urcˇete vzda´lenost bodu R = [2, 4, 3] od prˇ´ımky dane´ body P = [2, 3, 1], Q = [−2, 1, 0]. b) Urcˇete vzda´lenost bodu M = [−2, 1, 3] od roviny

ˇ esˇenı´ R

ρ : 2x + y − 2z + 5 = 0.

Vzda´lenost dp bodu R = [r1 , r2 , r3 ] od prˇ´ımky p : ~x = A + t · ~u: ~ ~ u × AM , dp = |~u| kde ~u je smeˇrovy´ vektor prˇ´ımky a A je bod na te´to prˇ´ımce. ~ = M − A. AM Vzda´lenost dr bodu M = [m1 , m2 , m3 ] od roviny ax + by + cz + d = 0: dr =

|am1 + bm2 + cm3 + d| √ . a2 + b 2 + c 2



112 - Vzda´lenost u´tvaru˚ v E3 Zadańı´ a) Urcˇete vzda´lenost dvou mimobeˇzˇek

b) Urcˇete vzda´lenost rovnobeˇzˇnyćh rovin

ˇ esˇenı´ R

x = 3t − 7 4t − 4 p: y = z = −2t − 3

x = 6s + 21 q : y = −4s − 5 . z = −s + 2

α : −3x + 7y − 2z + 4 = 0,

β : −3x + 7y − 2z + 10 = 0.

Taha´k Vzda´lenost d dvou mimobeˇzˇek p : x~1 = A + t · ~u, q : x~2 = B + s · ~v : ~ [AB, ~u, ~v ] . d= |~u × ~v | Jde tedy o podı´l smı´sˇene´ho a vektorove´ho soucˇinu. Vzda´lenost ρ dvou rovnobeˇzˇnyćh rovin α : ax + by + cz + d1 = 0, β : ax + by + cz + d2 = 0: ρ= √

|d2 − d1 | . a2 + b 2 + c 2



113 - Odchylky u´tvaru˚ v E3

Taha´k

Zadańı´ a) Urcˇete odchylku dvou prˇ´ımek

b) Urcˇete odchylku prˇ´ımky

c) Urcˇete odchylku rovin

ˇ esˇenı´ R

x = t + 2 p: y = √ t + 3 , z = 2t + 5 x = 3t − 2 p : y = −2t + 1 z = t − 5

α:x−y+

√

2z + 2 = 0,

x = −t + 3 q : y = √−t + 2 . z = 2t ρ : 2x − 4y − 3z + 6 = 0.

od roviny

β :x+y+

√

2z − 3 = 0.

Odchylka ϕ dvou prˇ´ımek p, q: ~u · ~v , cos ϕ = |~u| · |~v | kde ~u, ~v jsou smeˇrove´ vektory prˇ´ımek p, q. Odchylka ϕ dvou rovin ρ, σ: n~ρ · n~σ , cos ϕ = |n~ρ | · |n~σ | kde n~ρ , n~σ jsou norma´love´ vektory rovin ρ, σ. Odchylka ϕ prˇ´ımky p od roviny ρ: ~u · ~n , sin ϕ = |~u| · |~n| kde ~u je smeˇrovy´ vektor prˇ´ımky p, ~n je norma´lovy´ vektor roviny ρ.



114 - Vza´jemna´ poloha u´tvaru˚ v E3 Zadańı´ Urcˇete vza´jemnou polohu dvou prˇ´ımek:

a)

x = t + 2 p: y = √ t + 3 , z = 2t + 5

x = −t + 3 q : y = √−t + 2 , z = 2t

b)

x = 2t − 2 p : y = −3t , z = 4t + 8

x = 3 + 2t q : y = 1 + 4t . z = 7 + 2t

ˇ esˇenı´ R

Taha´k Urcˇete spolecˇne´ body prˇ´ımek, tj. sestavte si a rˇesˇte prˇ´ıslusˇnou soustavu linea´rnıćh rovnic. Pak: a) ru˚znobeˇzˇky - jeden spolecˇny´ bod (pru˚secˇ´ık), b) rovnobeˇzˇky - zˇa´dny´ spolecˇny´ bod, ale lezˇ´ı v jedne´ rovineˇ, c) mimobeˇzˇky - zˇa´dny´ spolecˇny´ bod a nelezˇ´ı v jedne´ rovineˇ, d) totozˇne´ prˇ´ımky - ∞-mnoho spolecˇnyćh bodu˚.



115 - Vza´jemna´ poloha u´tvaru˚ v E3 Zadańı´ Urcˇete vza´jemnou polohu prˇ´ımky a roviny: a)

x = 3t − 2 p : y = −t + 1 , z = t − 5

b)

x = −t − 2 p : y = −2t + 4 , z = −2t − 1

ˇ esˇenı´ R

ρ : 2x + 3y − 3z − 14 = 0, x = −2 + 3s + r 4 + 2s + 2r . ρ: y = z = 1 + 2r

Taha´k Urcˇete spolecˇne´ body prˇ´ımky a roviny, tj. sestavte si a rˇesˇte prˇ´ıslusˇnou soustavu linea´rnıćh rovnic. Pak: a) ru˚znobeˇzˇne´ - jeden spolecˇny´ bod (pru˚secˇ´ık), b) rovnobeˇzˇne´ - zˇa´dny´ spolecˇny´ bod, c) totozˇne´ - ∞-mnoho spolecˇnyćh bodu˚.



116 - Vza´jemna´ poloha u´tvaru˚ v E3 Zadańı´ Urcˇete vza´jemnou polohu dvo rovin: a)

α : x − y + 2z + 2 = 0,

β : x − 5y + 4z − 3 = 0,

b)

x = −2 + 3s − 4r ρ1 : y = −3 + 2s + r , z = 1 − s − 2r

Taha´k Urcˇete spolecˇne´ body rovin, tj. sestavte si a rˇesˇte prˇ´ıslusˇnou soustavu linea´rnıćh rovnic. Pak:

ˇ esˇenı´ R

ρ2 : −3x + 10y + 11z − 2 = 0.

a) ru˚znobeˇzˇne´ - jedna spolecˇna´ prˇ´ımka (pru˚secˇnice), b) rovnobeˇzˇne´ - zˇa´dny´ spolecˇny´ bod, c) totozˇne´ - ∞-mnoho spolecˇnyćh bodu˚.

Matematika I — dodatky k pracovnı´m listu˚m



117 - Vlastnosti funkce: suda´ a licha´ Zadańı´ Z obra´zku rozhodneˇte, zda se jedna´ o graf sude´ nebo liche´ funkce. (Suda´ funkce ma´ graf soumeˇrny´ podle osy y, licha´ funkce ma´ graf soumeˇrny´ podle pocˇa´tku.) ˇ esˇenı´ R



118 - Vlastnosti funkce: suda´ a licha´ Zadańı´ Urcˇete, zda je funkce suda´ nebo licha´. x4 − 1 a) y = x + 2 +4 x +2 2

ˇ esˇenı´ R

b) y =

x −x sin 2x

c) y = x3 · cos x + 4

d) y = ln

2−x 2+x

Taha´k Pro kazˇde´ x ∈ D (f ) je take´ −x ∈ D (f ). Suda´ funkce: f (−x) = f (x) Licha´ funkce: f (−x) = −f (x)



119 - Slozˇena´ funkce Zadańı´ Napisˇte prˇedpis slozˇene´ funkce f : y = h (g(x)) a urcˇete jejı´ definicˇnı´ obor: a) g : y = x2 h : y = log(x)

ˇ esˇenı´ R

b) g : y = x + 2 h : y = cos(x)

1 x h : y = 2x3 + x + 2

c) g : y =

d) g : y = sin(x) +1 √ h:y= x



120 - Pru˚beˇh funkce Zadańı´ Zakreslete graf funkce f , vı´te-li, zˇe: 1. Df = R Hf = R 2. funkce nema´ body nespojitosti limity v krajnıćh bodech jsou lim f (x) = −∞ x→−∞

lim f (x) = ∞

x→∞

3. funkce nenı´ ani suda´, ani licha´, ani periodicka´ 4. pru˚secˇ´ık s osou x je: [−3, 0] pru˚secˇ´ık s osou y je: [0, 1] funkce je kladna´ intervalu (−3, ∞) za´porna´ na (−∞, −3) 5. funkce ma´ loka´lnı´ maximum v bodeˇ [−1, 5] a loka´lnı´ minimum v bodeˇ [1, 21 ] je rostoucı´ na intervalech (−∞, −1) a (1, ∞) a klesajicı´ na (−1, 1) 6. funkce ma´ inflexnı´ body [− 21 , 2] funkce je konvexnı´ na intervalu (− 12 , ∞) a konka´vnı´ na (−∞, − 12 ) 7. funkce nema´ asymptoty

ˇ esˇenı´ R

Matematika I pracovní listy

Recommend Documents