Matematika I: Pracovní listy do cvičení

Matematika I: Pracovní listy do cviˇcení Dagmar Dlouhá, Radka Hamˇríková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Pro FAST upravil Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava

Pracovní listy – Funkce jedné promˇenné

Matematika I - pracovní listy

Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava

ˇ - Rovnice a nerovnice Ry 165

Tahák Koˇreny rovnice

146.

Zadání Vyˇrešte: a) x2 − x − 2 = 0 ˇ Rešení

b) x2 − x − 2 < 0

c) 2x2 + 9x − 5 ≥ 0

d) − x2 + 3x > 0 Video

x1,2 =

kvadratické

−b ±

√

b2 − 4ac 2a




147.

Zadání Vyˇrešte: a) x2 = 3 ˇ Rešení

b) x2 > 3

c) x ( x − 2) > 0

d) ( x + 1)( x − 2) ≤ 0

e) x (3 − x ) ≥ 5

f) x2 ≤ −4( x + 1) Video




148.

Zadání Vyˇrešte: a)

x+1 <0 3−x

ˇ Rešení

b)

2x − 1 >1 x+3

c)

1 >0 x−4

d)

x+1 <0 −3

e)

−2 − x ≤0 1 2 +x

f) − 32 ·

x−1 ≥0 x+7

Video




149.

Zadání Vyˇrešte: a)

5x − 8 < −2 5−x

ˇ Rešení

b)

( x + 1)(5 − x ) >0 x

c)

x+1 3−x < 2x + 3 2x + 3

d)

3−x 1 ≤ x+5 x Video




150.

Zadání Vyˇrešte: a) | x | = 5 ˇ Rešení

b) | x | + 2 = 0

c) | x | − 3 < 0

d) |2x | > 3

e) 3 − | x | = 7

f) 3 − | x | < 7 Video




151.

Zadání Vyˇrešte: a) | x − 1| = 5 ˇ Rešení

b) | x − 1| > 5

c) |4 − 2x | = 6

d) |4 − 2x | < 6 Video



ˇ - Definiˇcní obory Ry 171

Tahák

Zadání Urˇcete podmínky a najdˇete definiˇcní obor funkce. √ a) y = x + 2 √ b) y = 3 − x

Zlomek jmenovatel je ruzný ˚ od 0

152.

ˇ Rešení

c) y = d) y = Video

√ √

9 − x2 x2 − 4

ˇ Teorie: 11 Rešené pˇríklady: 82, 83, 84 , 85, 86

Sudá odmocnina výraz pod odmocninou je nezáporný

Logaritmus argument je kladný Tangens argument je ruzný ˚ π 2 + k · π, k ∈ Z

od

Kotangens argument je ruzný ˚ od k · π, k∈Z

Arkussinus, arkuskosinus argument leží v intervalu h−1, 1i




Tahák

Zadání Urˇcete podmínky a najdˇete definiˇcní obor funkce.


153.

a) y = b) y = ˇ Rešení

√ √

−x +

√

4x − x2

4+x

c) y = d) y = Video

x2

1−x + 2x + 15

x−1 2 x − 2x − 15


ˇ Teorie: 11 Rešené pˇríklady: 82, 83, 84 , 85, 86 Logaritmus argument je kladný Tangens argument je ruzný ˚ π 2 + k · π, k ∈ Z

od






Tahák



154.

2+x p + 4 − 3x − x2 a) y = ln x q b) y = (1 − 2x ) ln x ˇ Rešení

2x + 6 c) y = ln 2 + 3−x

1 d) y = (4 − x ) ln ( x − 2) Video


ˇ Teorie: 11 Rešené pˇríklady: 82, 83, 84 , 85, 86 Logaritmus argument je kladný Tangens argument je ruzný ˚ π 2 + k · π, k ∈ Z

od






Tahák



155.

a) y = tan 4x − ˇ Rešení

π 3

b) y =

x sin 2x

c) y = cot

Video

2x + π 5

d) y =

1 1 − cos 2x




od






Tahák

Zadání Urˇcete podmínky a najdˇete definiˇcní obor funkce. x 2x − 1 2x + 6 b) y = arcsin 2 − c) y = arccos a) y = arcsin 3 2x + 3 3x


156.

ˇ Rešení

Video

1 d) y = arccos 1 − x




od





ˇ - Graf lineární funkce Ry 176

157.

Zadání Pˇriˇrad’te k obrázku správný pˇredpis. a) y = 2

c) y = 2x − 3

b) y = 2x + 3

e) y = − 12 x + 1

d) y = 12 x + 1

f) x = 2.5

Doplnte ˇ definiˇcní obor a obor hodnot. Zjistˇete, zda je funkce sudá nebo lichá. Najdˇete intervaly, na kterých je funkce rostoucí, klesající. Je funkce ohraniˇcená? Má funkce extrémy? Který z tˇechto pˇredpisu˚ není lineární funkcí? ˇ Rešení

Video

¬

®

4

4

4

3

3

3

2

2

2

1

1

1

−5 −4 −3 −2 −1 −1

0 1

2

3

−5 −4 −3 −2 −1 −1

4

0 1

2

3

−5 −4 −3 −2 −1 −1

4

−2

−2

−2

−3

−3

−3

−4

−4

−4

−5

−5

−5

¯

° 4

4

3

3

3

2

2

2

1

1

1

0 1

2

3

4

0 1

2

3

4

0 1

2

3

4

±

4

−5 −4 −3 −2 −1 −1

Teorie: 17

−5 −4 −3 −2 −1 −1

0 1

2

3

4

−5 −4 −3 −2 −1 −1

−2

−2

−2

−3

−3

−3

−4

−4

−4

−5

−5

−5



ˇ - Graf kvadratické funkce Ry 177

158.

Zadání Pˇriˇrad’te k obrázku správný funkˇcní pˇredpis. a) y = x2 + 1

b) y = x2 − 1

c) y = 3 − x2

d) y = ( x − 2)2

e) y =

1 2

6 − x − x2

f) y = 4 − x − x2

Doplnte ˇ definiˇcní obor a obor hodnot. Zjistˇete, zda je funkce sudá nebo lichá. Najdˇete intervaly, na kterých je funkce rostoucí, klesající. Je funkce ohraniˇcená? Má funkce extrémy? ˇ Rešení

Video

¬

®

4

4

4

3

3

3

2

2

2

1

1

1

−5 −4 −3 −2 −1 −1

0 1

2

3

−5 −4 −3 −2 −1 −1

4

0 1

2

3

−5 −4 −3 −2 −1 −1

4

−2

−2

−2

−3

−3

−3

−4

−4

−4

−5

−5

−5

¯

° 4

4

3

3

3

2

2

2

1

1

1

0 1

2

3

4

0 1

2

3

4

0 1

2

3

4

±

4

−5 −4 −3 −2 −1 −1

Teorie: 18

−5 −4 −3 −2 −1 −1

0 1

2

3

4

−5 −4 −3 −2 −1 −1

−2

−2

−2

−3

−3

−3

−4

−4

−4

−5

−5

−5



ˇ - Graf lineární lomené funkce Ry 178

159.

Zadání Pˇriˇrad’te k obrázku správný funkˇcní pˇredpis. a) y =

1 x

b) y =

1 x+1

c) y =

2 x

d) y = −

3 x−1

e) y =

2x + 1 x

f) y =

1 − 2x x−2


Video

¬

®

4

4

4

3

3

3

2

2

2

1

1

1

−5 −4 −3 −2 −1 −1

0 1

2

3

−5 −4 −3 −2 −1 −1

4

0 1

2

3

−5 −4 −3 −2 −1 −1

4

−2

−2

−2

−3

−3

−3

−4

−4

−4

−5

−5

−5

4

4

4

3

3

3

2

2

2

1

1

1

−5 −4 −3 −2 −1 −1

0 1

2

3

4

0 1

2

3

4

0 1

2

3

4

±

°

¯

Teorie: 21

−5 −4 −3 −2 −1 −1

0 1

2

3

4

−5 −4 −3 −2 −1 −1

−2

−2

−2

−3

−3

−3

−4

−4

−4

−5

−5

−5



ˇ - Graf exponenciální funkce Ry 179

160.

Zadání Pˇriˇrad’te k obrázku správný funkˇcní pˇredpis. a) y = 2x

b) y = −2x

c) y = 2x + 1

d) y = 2( x+1)

e) y =

x 1 2

f) y = 2 +


Video

¬

4

4

3

3

3

2

2

2

1

1

1

−5 −4 −3 −2 −1 −1

0 1

2

3

−5 −4 −3 −2 −1 −1

4

0 1

2

3

−5 −4 −3 −2 −1 −1

4

−2

−2

−2

−3

−3

−3

−4

−4

−4

−5

−5

−5

°

¯

4

4

3

3

3

2

2

2

1

1

1

−5 −4 −3 −2 −1 −1

0 1

2

3

4

0 1

2

3

4

0 1

2

3

4

±

4

−5 −4 −3 −2 −1 −1

0 1

2

3

4

−5 −4 −3 −2 −1 −1

−2

−2

−2

−3

−3

−3

−4

−4

−4

−5

−5

−5

1 2

Teorie: 23

®

4

x −1



ˇ - Graf logaritmické funkce Ry 180

161.

Zadání Pˇriˇrad’te k obrázku správný funkˇcní pˇredpis. a) y = log3 x

c) y = log3 ( x − 2)

b) y = log1/3 x

d) y = 2 log1/3 x

e) y = 2 + log3 x

f) y = log3 ( x + 2)


Video

¬

®

4

4

4

3

3

3

2

2

2

1

1

1

−1 −1

0 1

2

3

4

5

6

7

−1 −1

8

0 1

2

3

4

5

6

7

−1 −1

8

−2

−2

−2

−3

−3

−3

−4

−4

−4

−5

−5

−5

¯

°

0 1

2

4

4

3

3

3

2

2

2

1

1

1

0 1

2

3

4

5

6

7

8

3

4

5

6

7

8

0 1

2

3

4

5

6

±

4

−1 −1

Teorie: 24

−1 −1

0 1

2

3

4

5

6

7

8

−3 −2 −1 −1

−2

−2

−2

−3

−3

−3

−4

−4

−4

−5

−5

−5



ˇ - Graf goniometrické funkce sinus Ry 181

162.

Zadání Pˇriˇrad’te k obrázku správný funkˇcní pˇredpis. a) y = sin x

b) y = sin 2x

c) y = sin x −

π 3

d) y = 2 sin x

e) y = 2 + sin x

f) y = sin x +

π 4


Video

¬

−3π −5π/2 −2π −3π/2 −π

3

3

2

2

2

1

1

1

0

π/2

−1

0

−π/2

π/2

−1

π −3π 2π −2π 3π −π 3π/2 −5π/2 5π/2 −3π/2

−π/2

−2

−2

−3

−3

−3

° 3

3

2

2

2

1

1

1

0

−1

π/2

π −3π 2π −2π 3π −π 3π/2 −5π/2 5π/2 −3π/2

π/2

π

3π/2

2π

5π/2

3π

0

π/2

π

3π/2

2π

5π/2

3π

±

3

−π/2

0

−1

−2

¯

−3π −5π/2 −2π −3π/2 −π

π −3π 2π −2π 3π −π 3π/2 −5π/2 5π/2 −3π/2

Teorie: 25

®

3

−π/2

0

−π/2 −1

π/2

π −3π 2π −2π 3π −π 3π/2 −5π/2 5π/2 −3π/2

−π/2 −1

−2

−2

−2

−3

−3

−3



ˇ - Graf goniometrické funkce kosinus Ry 182

163.

Zadání Pˇriˇrad’te k obrázku správný funkˇcní pˇredpis. a) y = cos x

b) y = cos 3x

c) y =

1 3

d) y = cos x −

cos x

π 4

e) y = cos x +

π 6

f) y = 1 − cos x


Video

¬

−3π −5π/2 −2π −3π/2 −π

3

3

2

2

2

1

1

1

0

π/2

−1

π −3π 2π −2π 3π −π 3π/2 −5π/2 5π/2 −3π/2

0

−π/2

π/2

−1

π −3π 2π −2π 3π −π 3π/2 −5π/2 5π/2 −3π/2

−π/2

−2

−2

−3

−3

−3

° 3

3

2

2

2

1

1

1

0

−1

π/2

π −3π 2π −2π 3π −π 3π/2 −5π/2 5π/2 −3π/2

π/2

π

3π/2

2π

5π/2

3π

0

π/2

π

3π/2

2π

5π/2

3π

±

3

−π/2

0

−1

−2

¯

−3π −5π/2 −2π −3π/2 −π

®

3

−π/2

Teorie: 25

0

−π/2 −1

π/2

π −3π 2π −2π 3π −π 3π/2 −5π/2 5π/2 −3π/2

−π/2 −1

−2

−2

−2

−3

−3

−3



ˇ - Graf goniometrické funkce tangens a kotangens Ry 183

164.

Zadání Pˇriˇrad’te k obrázku správný funkˇcní pˇredpis. c) y = − tan x a) y = tan x b) y = tan x + π6

d) y = cot x

f) y = − cot x

e) y = tan 2x


Video 5

¬

−3π −5π/2 −2π −3π/2 −π

4

−3π −5π/2 −2π −3π/2 −π

5

®

4

4

3

3

3

2

2

2

1

1

1

0

−π/2

π/2

−1

π −3π 2π −2π 3π −π 3π/2 −5π/2 5π/2 −3π/2

0

−π/2

π/2

−1

π −3π 2π −2π 3π −π 3π/2 −5π/2 5π/2 −3π/2

−π/2

−2

−2

−3

−3

−3

−4

−4

−4

−5

−5

−5

5

°

4

3

3

2

2

2

1

1

1

0

−1

π/2

π −3π 2π −2π 3π −π 3π/2 −5π/2 5π/2 −3π/2

0

−π/2 −1

π/2

π −3π 2π −2π 3π −π 3π/2 −5π/2 5π/2 −3π/2

π

3π/2

2π

5π/2

3π

0

π/2

π

3π/2

2π

5π/2

3π

4

3

−π/2

π/2

5

±

4

0

−1

−2

5

¯

5

Teorie: 26

−π/2 −1

−2

−2

−2

−3

−3

−3

−4

−4

−4

−5

−5

−5



ˇ - Graf lineární funkce - doplnit Ry 184

165.

Zadání Do pˇripravených obrázku˚ nakreslete grafy zadaných funkcí. a) y = 2x − 4

b) y = 4 − x

c) y =

1 x+2 3

d) y =

x−1 2

e) y =

1 − 3x 2

f) y = 4

Doplnte ˇ definiˇcní obor a obor hodnot. Zjistˇete, zda je funkce sudá nebo lichá. Najdˇete intervaly, na kterých je funkce rostoucí, klesající. Je funkce ohraniˇcená? Má funkce extrémy? ˇ Rešení 4

4

4

3

3

3

2

2

2

1

1

1

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1

0 1

2

3

4

5

6

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1

0 1

2

3

4

5

6

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1

−2

−2

−2

−3

−3

−3

−4

−4

−4

−5

−5

−5

4

4

4

3

3

3

2

2

2

1

1

1

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1

0 1

2

3

4

5

6

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1

0 1

2

3

4

5

6

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1

−2

−2

−2

−3

−3

−3

−4

−4

−4

−5

−5

−5

Video

Teorie: 17

0 1

2

3

4

5

6

0 1

2

3

4

5

6



ˇ - Graf lineární funkce s absolutní hodnotou - doplnit Ry 185

166.

Zadání Do pˇripravených obrázku˚ nakreslete grafy zadaných funkcí. a) y = | x − 2| + |2x − 1|

b) y = | x + 1| − | x | + |2 − x | − 3


Video 8 7 6 5 4 3 2 1

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1

0 1

2

3

4

5

6

0 1

2

3

4

5

6

4 3 2 1

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1 −2 −3 −4 −5

Teorie: 17



ˇ - Graf kvadratické funkce - doplnit Ry 186

167.

Zadání Do pˇripravených obrázku˚ nakreslete grafy zadaných funkcí. a) y = x2 + 4x + 4

b) y = x2 − 2x + 2

c) y = − x2 − 2x + 2

d) y = x2 − 2x

e) y = 3 − 3x2

f) y = x2 − 4x + 3


4

4

3

3

3

2

2

2

1

1

1

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1

0 1

2

3

4

5

6

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1

0 1

2

3

4

5

6

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1

−2

−2

−2

−3

−3

−3

−4

−4

−4

−5

−5

−5

4

4

4

3

3

3

2

2

2

1

1

1

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1

0 1

2

3

4

5

6

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1

0 1

2

3

4

5

6

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1

−2

−2

−2

−3

−3

−3

−4

−4

−4

−5

−5

−5

Video

Teorie: 18

0 1

2

3

4

5

6

0 1

2

3

4

5

6



ˇ - Graf lineární lomené funkce - doplnit Ry 187

168.

Zadání Do pˇripravených obrázku˚ nakreslete grafy zadaných funkcí. a) y = −

1 x

b) y =

2 x−1

c) y =

x x−1

d) y =

2x − 1 x

e) y = 1 −

1 x

f) y =

1−x 2−x


4

4

3

3

3

2

2

2

1

1

1

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1

0 1

2

3

4

5

6

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1

0 1

2

3

4

5

6

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1

−2

−2

−2

−3

−3

−3

−4

−4

−4

−5

−5

−5

4

4

4

3

3

3

2

2

2

1

1

1

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1

0 1

2

3

4

5

6

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1

0 1

2

3

4

5

6

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1

−2

−2

−2

−3

−3

−3

−4

−4

−4

−5

−5

−5

Video

Teorie: 21

0 1

2

3

4

5

6

0 1

2

3

4

5

6



ˇ - Graf exponenciální funkce - doplnit Ry 188

169.

Zadání Do pˇripravených obrázku˚ nakreslete grafy zadaných funkcí. a) y = 3x

c) y = 3x+1

b) y = 1 + 3x

e) y = 3− x

d) y = 1 − 3x

f) y = 3 − 3− x


4

4

3

3

3

2

2

2

1

1

1

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1

0 1

2

3

4

5

6

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1

0 1

2

3

4

5

6

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1

−2

−2

−2

−3

−3

−3

−4

−4

−4

−5

−5

−5

4

4

4

3

3

3

2

2

2

1

1

1

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1

0 1

2

3

4

5

6

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1

0 1

2

3

4

5

6

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1

−2

−2

−2

−3

−3

−3

−4

−4

−4

−5

−5

−5

Video

Teorie: 23

0 1

2

3

4

5

6

0 1

2

3

4

5

6



ˇ - Graf logaritmické funkce - doplnit Ry 189

170.

Zadání Do pˇripravených obrázku˚ nakreslete grafy zadaných funkcí. a) y = ln x

b) y = ln (2x )

c) y = ln (2 + x )

d) y = 2 + ln x

f) y = 2 − ln x

e) y = 2 ln x


4

4

3

3

3

2

2

2

1

1

1

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1

0 1

2

3

4

5

6

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1

0 1

2

3

4

5

6

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1

−2

−2

−2

−3

−3

−3

−4

−4

−4

−5

−5

−5

4

4

4

3

3

3

2

2

2

1

1

1

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1

0 1

2

3

4

5

6

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1

0 1

2

3

4

5

6

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1

−2

−2

−2

−3

−3

−3

−4

−4

−4

−5

−5

−5

Video

Teorie: 24

0 1

2

3

4

5

6

0 1

2

3

4

5

6



ˇ - Graf goniometrické funkce sinus - doplnit Ry 190

171.

Zadání Do pˇripravených obrázku˚ nakreslete grafy zadaných funkcí. c) y = sin (4x ) a) y = sin x b) y = sin x − π4

d) y = sin x + 4

e) y = sin

π 4

−x

f) y = 4 sin x


−3π −5π/2 −2π −3π/2 −π

−3π −5π/2 −2π −3π/2 −π

Video 5

5

5

4

4

4

3

3

3

2

2

2

1

1

1

0

−π/2

π/2

π

−1

3π/2−3π2π−5π/2 5π/2−2π3π−3π/2 −π

0

−π/2

π/2

π

−1

3π/2−3π2π−5π/2 5π/2−2π3π−3π/2 −π

−π/2

−2

−2

−3

−3

−3

−4

−4

−4

−5

−5

−5

5

5

5

4

4

4

3

3

3

2

2

2

1

1

1

0

−1

π/2

π

3π/2−3π2π−5π/2 5π/2−2π3π−3π/2 −π

0

−π/2 −1

π/2

π

3π/2−3π2π−5π/2 5π/2−2π3π−3π/2 −π

0

π/2

π

3π/2

2π

5π/2

3π

0

π/2

π

3π/2

2π

5π/2

3π

−1

−2

−π/2

Teorie: 25

−π/2 −1

−2

−2

−2

−3

−3

−3

−4

−4

−4

−5

−5

−5



ˇ - Graf goniometrické funkce kosinus - doplnit Ry 191

172.

Zadání Do pˇripravených obrázku˚ nakreslete grafy zadaných funkcí. b) y = cos 2x

a) y = cos x

c) y =

1 2

d) y = 2 − cos x

cos x

e) y = cos x −

π 3

f) y = cos x +

π 3


−3π −5π/2 −2π −3π/2 −π

−3π −5π/2 −2π −3π/2 −π

Video 5

5

5

4

4

4

3

3

3

2

2

2

1

1

1

0

−π/2

π/2

π

−1

3π/2−3π2π−5π/2 5π/2−2π3π−3π/2 −π

0

−π/2

π/2

π

−1

3π/2−3π2π−5π/2 5π/2−2π3π−3π/2 −π

−π/2

−2

−2

−3

−3

−3

−4

−4

−4

−5

−5

−5

5

5

5

4

4

4

3

3

3

2

2

2

1

1

1

0

−π/2 −1

π/2

π

3π/2−3π2π−5π/2 5π/2−2π3π−3π/2 −π

0

−π/2 −1

π/2

π

3π/2−3π2π−5π/2 5π/2−2π3π−3π/2 −π

Teorie: 25

0

π/2

π

3π/2

2π

5π/2

3π

0

π/2

π

3π/2

2π

5π/2

3π

−1

−2

−π/2 −1

−2

−2

−2

−3

−3

−3

−4

−4

−4

−5

−5

−5



ˇ - Graf goniometrické funkce tangens a kotangens - doplnit Ry 192

173.

Zadání Do pˇripravených obrázku˚ nakreslete grafy zadaných funkcí. a) y = tan x

b) y = cot x

d) y = cot 2x

c) y = tan 2x

e) y = tan x +

π 4

f) y = cot x +

π 4


−3π −5π/2 −2π −3π/2 −π

−3π −5π/2 −2π −3π/2 −π

Video 5

5

5

4

4

4

3

3

3

2

2

2

1

1

1

0

−π/2

π/2

π

−1

3π/2−3π2π−5π/2 5π/2−2π3π−3π/2 −π

0

−π/2

π/2

π

−1

3π/2−3π2π−5π/2 5π/2−2π3π−3π/2 −π

−π/2

−2

−2

−3

−3

−3

−4

−4

−4

−5

−5

−5

5

5

5

4

4

4

3

3

3

2

2

2

1

1

1

0

−π/2 −1

π/2

π

3π/2−3π2π−5π/2 5π/2−2π3π−3π/2 −π

0

−π/2 −1

π/2

π

3π/2−3π2π−5π/2 5π/2−2π3π−3π/2 −π

Teorie: 26

0

π/2

π

3π/2

2π

5π/2

3π

0

π/2

π

3π/2

2π

5π/2

3π

−1

−2

−π/2 −1

−2

−2

−2

−3

−3

−3

−4

−4

−4

−5

−5

−5



ˇ - Vlastnosti funkce: sudá a lichá Ry 193

174.

Zadání Urˇcete, zda je funkce sudá nebo lichá. 2

a) y = 3x − b) y = 2 ˇ Rešení

x − x3

p

1−

x2

c) y = ln

2−x 2+x

e) y =

1 cos x x2

x2 − x + 1 f) y = 2 x +x+1

3x d) y = 2 + x4 Video

ˇ Teorie: 14 Rešené pˇríklady: 87, 88

Tahák Urˇcíme definiˇcní obor funkce a ovˇerˇ íme, zdali je soumˇerný podle poˇcátku reálné osy, tj. jestli platí:

∀x ∈ D f je také

−x ∈ D f . Sudá funkce: f (− x ) = f ( x ) Lichá funkce: f (− x ) = − f ( x )



ˇ - Složená funkce Ry 194

175.

Zadání Složte funkce v poˇradí g ◦ f a f ◦ g: a) f : y = x2 , g : y = log x ˇ Rešení

b) f : y = x + 2, g : y = cos x

1 c) f : y = , g : y = 2x3 + x + 2 x

d) f : y = sin x + 1, g : y = Video

Teorie: 15

√

x



ˇ - Inverzní funkce Ry 195

Tahák Funkce inverzní existuje pro funkce prosté.

176.

Zadání Urˇcete inverzní funkci, její definiˇcní obor a obor hodnot. Zakreslete graf funkce a funkce inverzní. √ b) f : y = 43 x − 2 a) f : y = 2 x + 1 ˇ Rešení

Video

ˇ Teorie: 15 Rešené pˇríklady: 89

6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1

0 1

2

3

4

5

6

Pro definiˇcní obor a obor hodnot platí: D f −1 = H f H f −1 = D f

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1

−2

−2

−3

−3

−4

−4

−5

−5

−6

−6

−7

−7

Dále platí: f f −1 ( x ) = x f −1 ( f ( x )) = x

0 1

2

3

4

5

6



ˇ - Inverzní funkce Ry 196

Tahák Funkce inverzní existuje pro funkce prosté.

177.

Zadání Urˇcete inverzní funkci, její definiˇcní obor a obor hodnot. Zakreslete graf funkce a funkce inverzní. a) f : y =

Pro definiˇcní obor a obor hodnot platí: D f −1 = H f H f −1 = D f

√ b) f : y = − x + 5

5x − 1 x+2

ˇ Rešení

Video

ˇ Teorie: 15 Rešené pˇríklady: 89

6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1

0 1

2

3

4

5

6

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1

−2

−2

−3

−3

−4

−4

−5

−5

−6

−6

−7

−7

Dále platí: f f −1 ( x ) = x f −1 ( f ( x )) = x

0 1

2

3

4

5

6



ˇ - Limity Ry 197

178.

Zadání Vypoˇcítejte limitu a) lim ( x2 − 3x + 2) x →2

ˇ Rešení

x+1 x →−1 3x − 2

b) lim

c) lim x2 · 2x x →3

Video

Teorie: 29 - 34

x+2 x →0 cos x

d) lim

ˇ Rešené pˇríklady: 90 - 102

Tahák Nejdˇríve dosad’te limitní bod do funkˇcního pˇredpisu. Jedná se o tou limitu?

neurˇci-

Pokud ano, její limitní typ.

urˇcíme

Funkce je v limitním bodˇe x0 spojitá, pokud lim f ( x ) = f ( x0 ).

x → x0



ˇ - Limity - racionální funkce Ry 198

179.

Zadání Vypoˇcítejte limitu x3 − 3x2 x →3 x 2 − x − 6

e) lim

x2 − 6x + 5 x →1 x 2 − 3x + 4

f) lim

x2 − 1 x →1 x − 1

c) lim

x2 − 1 x →1 x 3 − 1

d) lim

a) lim

b) lim ˇ Rešení

x3 − x x →−1 1 + 3x − 2x 3 1 x →1 ( x − 1 )2

Video

Teorie: 29 - 34



neurˇci-


urˇcíme


x → x0



ˇ - Limity Ry 199

180.

Zadání Vypoˇcítejte limitu 3x − tan x x →0 x + sin x

e) lim

sin 3x x →0 x

f) lim ( x cot 3x )

sin x x →0 2x2 − x

c) lim

tan x x →0 2x

d) lim

a) lim

b) lim ˇ Rešení

sin 3x x →0 sin 2x x →0

Video

Teorie: 29 - 34



neurˇci-


urˇcíme


x → x0

Platí: sin x = 1, x →0 x lim

resp. sin kx = 1, x →0 kx lim



ˇ - Limity Ry 200

181.

Zadání Vypoˇcítejte limitu √ x+4−3 a) lim 2 x →5 x − 3x − 10 ˇ Rešení

√ x+3−2 √ b) lim √ x →1 x+1− 2

√ c) lim

x →0

Video

x+4−2 sin 3x Teorie: 29 - 34

√ 3 d) lim

x →0

x+8−2 sin x



neurˇci-


urˇcíme


x → x0

Zlomek rozšíˇríme jedniˇckou ve vhodném tvaru, využijeme bud’

( a − b)( a + b) = a2 − b2 nebo

( a − b)( a2 + ab + b2 ) = a3 − b3 .



ˇ - Limity Ry 201

182.

Zadání Vypoˇcítejte limitu x x →2 x − 2

a) lim

ˇ Rešení

x2 − 9 x →0 x

b) lim

x+1 x →±5 x2 − 25

c) lim

Video

Teorie: 29 - 34

d) lim

x →−1

x+2

( x + 1)2


neurˇci-


urˇcíme



x → x0

ˇ Rešíme pomocí jednostranných limit.

Pracovní listy – Diferenciální poˇcet funkce jedné promˇenné



ˇ - Derivace Ry 203

Tahák

Zadání Vypoˇcítejte první derivaci funkce:

2.

( x n )0 = nx n−1

183.

1.

(c)0 = 0

a) y = x4 + ln x

c) y = ex sin x

e) y = x2 log3 x

3.

(e x ) 0 = e x

b) y = 3x4 − 5x2 + 1

d) y = ( x2 − 3x )( x2 + 2x )

f) y = ( x2 + 1) sin x ln x

4.

( a x )0 = a x ln a

ˇ Rešení

Video

Teorie: 37, 38, 39

ˇ Rešené pˇríklady: 104, 105, 106, 107

5.

(ln x )0 =

6.

(loga x )0 =

1 x 1 x ln a

7.

(sin x )0 = cos x

8.

(cos x )0 = − sin x

9.

(tan x )0 =

10.

(cot x )0 =

11.

(arcsin x )0 =

12. (arccos x )0 = 13. (arctan x )0 = 14.

(arccot x )0 = u = u( x )

1 cos2 x 1 − 2 sin x 1 √ 1 − x2 1 −√ 1 − x2 1 1 + x2 1 − 1 + x2

v = v( x )

15.

[c · u]0 = c · u0

16.

[u ± v]0 = u0 ± v0

17. 18. 19.

[u · v]0 = u0 · v + u · v0 h u i0 u0 · v − u · v0 = v v2

[u(v)]0 = u0 (v) · v0




Tahák


2.

( x n )0 = nx n−1

3.

(e x ) 0 = e x

4.

( a x )0 = a x ln a

184.

a) y =

x2 − 5x − 1 x3

arccos x b) y = x ˇ Rešení

1.

c) y =

x−1 log2 x

1 cos x √ x−1 f) y = tan x

e) y =

1 − 10x d) y = 1 + 10x Video

Teorie: 37, 38, 39

ˇ Rešené pˇríklady: 104, 105, 106, 107

(c)0 = 0

5.

(ln x )0 =

6.

(loga x )0 =

1 x 1 x ln a

7.

(sin x )0 = cos x

8.


9.

(tan x )0 =

10.

(cot x )0 =

11.

(arcsin x )0 =

12. (arccos x )0 = 13. (arctan x )0 = 14.


1 cos2 x 1 − 2 sin x 1 √ 1 − x2 1 −√ 1 − x2 1 1 + x2 1 − 1 + x2

v = v( x )

15.

[c · u]0 = c · u0

16.

[u ± v]0 = u0 ± v0

17. 18. 19.


[u(v)]0 = u0 (v) · v0




Tahák


2.

( x n )0 = nx n−1

3.

(e x ) 0 = e x

4.

( a x )0 = a x ln a

185.

1.

2 +x

a) y = cos 5x

c) y = (2 + x3 )70

e) y = e3x

b) y = sin( x5 + 2x2 + 3)

d) y = ln( x2 + 8)

f) y = arctan

ˇ Rešení

Video

Teorie: 40

4 x

ˇ Rešené pˇríklady: 108, 109

(c)0 = 0

5.

(ln x )0 =

6.

(loga x )0 =

1 x 1 x ln a

7.

(sin x )0 = cos x

8.


9.

(tan x )0 =

10.

(cot x )0 =

11.

(arcsin x )0 =

12. (arccos x )0 = 13. (arctan x )0 = 14.


1 cos2 x 1 − 2 sin x 1 √ 1 − x2 1 −√ 1 − x2 1 1 + x2 1 − 1 + x2

v = v( x )

15.

[c · u]0 = c · u0

16.

[u ± v]0 = u0 ± v0

17. 18. 19.


[u(v)]0 = u0 (v) · v0




Tahák

Zadání Vypoˇcítejte první derivaci funkce: p c) y = 14 tan4 x a) y = 1 + x2 r x+1 b) y = d) y = ln( x sin x ) x−1

2.

( x n )0 = nx n−1

arctan e3x

3.

(e x ) 0 = e x

1 + tan( x + 1x )

4.

( a x )0 = a x ln a

186.

ˇ Rešení

1.

e) y = ln sin f) y = Video

Teorie: 40

q

√ 3


(c)0 = 0

5.

(ln x )0 =

6.

(loga x )0 =

1 x 1 x ln a

7.

(sin x )0 = cos x

8.


9.

(tan x )0 =

10.

(cot x )0 =

11.

(arcsin x )0 =

12. (arccos x )0 = 13. (arctan x )0 = 14.


1 cos2 x 1 − 2 sin x 1 √ 1 − x2 1 −√ 1 − x2 1 1 + x2 1 − 1 + x2

v = v( x )

15.

[c · u]0 = c · u0

16.

[u ± v]0 = u0 ± v0

17. 18. 19.


[u(v)]0 = u0 (v) · v0



ˇ - Druhá derivace Ry 207

Tahák

Zadání Vypoˇcítejte druhou derivaci explicitní funkce a výsledek upravte:

2.

( x n )0 = nx n−1

3.

(e x ) 0 = e x

4.

( a x )0 = a x ln a

187.

a) y = ˇ Rešení

1+x 1−x

1.

b) y = x (sin (ln x ) + cos (ln x ))

Video

Teorie: 41

ˇ Rešené pˇríklady: 110, 111, 112

(c)0 = 0

5.

(ln x )0 =

6.

(loga x )0 =

1 x 1 x ln a

7.

(sin x )0 = cos x

8.


9.

(tan x )0 =

10.

(cot x )0 =

11.

(arcsin x )0 =

12. (arccos x )0 = 13. (arctan x )0 = 14.


1 cos2 x 1 − 2 sin x 1 √ 1 − x2 1 −√ 1 − x2 1 1 + x2 1 − 1 + x2

v = v( x )

15.

[c · u]0 = c · u0

16.

[u ± v]0 = u0 ± v0

17. 18. 19.


[u(v)]0 = u0 (v) · v0



ˇ - Derivace - logaritmické derivování Ry 208

Tahák Logaritmické derivování

188.

Zadání Logaritmickým derivováním vypoˇcítejte derivaci funkce: a) y = x ˇ Rešení

x2

b) y = x

ln x

c) y = (sin x ) Video

Teorie: 41

cos x

ˇ Rešené pˇríklady: 113

y = f ( x ) g( x ) ln y = ln f ( x ) g( x) ln y = g ( x ) · ln f ( x ) 1 0 1 · y = g0 ( x ) · ln f ( x ) + g ( x ) · · f 0 (x) y f (x) 1 0 0 0 y = y · g ( x ) · ln f ( x ) + g ( x ) · · f (x) f (x) 1 g( x ) 0 0 0 y = f (x) · f (x) · g ( x ) · ln f ( x ) + g ( x ) · f (x) Druhý zpusob, ˚ který lze použít, je následující identita: g( x ) f ( x ) g( x) = eln f ( x) = eg(x) ln f (x)



ˇ - l’Hospitalovo pravidlo Ry 209

Tahák

189.

Limita typu „ 00 “

Zadání Spoˇcítejte limity l’Hospitalovým pravidlem: x3 + 2x2 − x − 2 x →−1 2x4 − x2 − 1

c) lim

ex − 1 b) lim x →0 2x

ex − 1 d) lim x →0 cos x − 1

x →0+

x − sin x x →0 x3

e3x − 2x − 1 sin2 2x

a) lim

e) lim

2

ln cos x x →0 x

l´Hospitalovo dlo

f) lim

lim

x → x0

ˇ Rešení

Video

Teorie: 42


pravi-

f (x) f 0 (x) = lim 0 x → x0 g ( x ) g( x )

lze realizovat pˇrímo.




Tahák

190.

∞ Limita typu „ ± ±∞ “

Zadání Spoˇcítejte limity l’Hospitalovým pravidlem: ln x x →∞ x3

a) lim ˇ Rešení

2x3 − x2 + x − 3 x →∞ 5x 3 + 4x2 + 2

b) lim

c) lim

x →0+

ln x cot x

Video

Teorie: 42

ln sin x x →0 ln x

d) lim

l´Hospitalovo dlo

ˇ Rešené pˇríklady: 114, 115 lim

x → x0

pravi-

f (x) f 0 (x) = lim 0 x → x0 g ( x ) g( x )

lze realizovat pˇrímo.




Tahák

191.

Limita typu „0 · ∞“

Zadání Spoˇcítejte limity l’Hospitalovým pravidlem: a) lim x2 ln x x →0+

ˇ Rešení

1

b) lim x2 e x2 x →0

c) lim log x ln(1 − x ) x →1−

Video

Teorie: 42

d) lim (π − x ) tan x →π


x 2

l´Hospitalovo pravidlo f 0 (x) f (x) = lim 0 lim x → x0 g ( x ) x → x0 g ( x ) nelze realizovat pˇrímo. Limitu je tˇreba upravit na typ pˇríznivý pro l´Hospitalovo pravidlo, tj. na ∞ typ „ 00 “nebo „ ± ±∞ “, lim f ( x ) g( x ) = lim

x → x0

x → x0

lim f ( x ) g( x ) = lim

x → x0

x → x0

f (x) 1 g( x )

g( x ) 1 f (x)




Tahák

192.

Limita typu „∞ − ∞“

Zadání Spoˇcítejte limity l’Hospitalovým pravidlem: 1 1 1 1 − b) lim − x a) lim sin x e −1 x →0+ 2x x →0+ x ˇ Rešení

Video

c) lim

x →0

Teorie: 42

1 1 − 2 x sin x x


l´Hospitalovo pravidlo f 0 (x) f (x) = lim 0 lim x → x0 g ( x ) x → x0 g ( x ) nelze realizovat pˇrímo. Limitu je tˇreba upravit na typ pˇríznivý pro l´Hospitalovo pravidlo, tj. na ∞ typ „ 00 “nebo „ ± ±∞ “, použitím známých algebraických manipulací: vytýkání, pˇrevod na spoleˇcný jmenovatel, násobení jedniˇckou ve vhodném tvaru, apod.




Tahák

193.

Limita typu „00 , ∞0 , 0∞ , 1∞ “

Zadání Spoˇcítejte limity l’Hospitalovým pravidlem: 1 x a) lim 1 + b) lim x x x →∞ x x →0+ ˇ Rešení

1

c) lim (1 + 2x ) x x →0

Video

Teorie: 42


l´Hospitalovo pravidlo lim

x → x0

f 0 (x) f (x) = lim 0 x → x0 g ( x ) g( x )

nelze realizovat pˇrímo. Limitu je tˇreba upravit na typ pˇríznivý pro l´Hospitalovo pravidlo, tj. na ∞ typ „ 00 “nebo „ ± ±∞ “, použitím následující identity: f ( x ) g( x) = eg( x) ln f ( x) .



ˇ - Derivace parametricky zadané funkce Ry 214

Tahák

194.

Zadání Vypoˇcítejte první derivaci parametricky zadané funkce: a) x = tan t , ˇ Rešení

y=

sin 2t , 2

t ∈ h0, π2 )

b) x = 5 (t − cos t) , Video

Teorie: 43

y = 5 (1 + sin t) ,

t ∈ h0, π i


x = ϕ (t) y = ψ (t) ψ˙ (t) y0 = ϕ˙ (t)

ϕ˙ (t) 6= 0



ˇ - Derivace parametricky zadané funkce Ry 215

Tahák

195.

Zadání Vypoˇcítejte druhou derivaci parametricky zadané funkce: a) x = ˇ Rešení

1−t 1+t

y=

2t 1+t

t ∈ h0, 1i

b) x = a cos t ,

Video Teorie: 43

y = b sin t ,

a, b ∈ R , t ∈ (0, π )


x = ϕ (t) y = ψ (t) ψ˙ (t) ϕ˙ (t) 6= 0 y0 = ϕ˙ (t) ψ¨ (t) · ϕ(˙ t) − ψ˙ (t) · ϕ¨ (t) y00 = ( ϕ˙ (t))3

ϕ˙ (t) 6= 0



ˇ - Teˇcna ke grafu funkce Ry 216

Tahák

Zadání Urˇcete obecnou rovnici teˇcny t a normály n v dotykovém bodˇe T ke grafu funkce f dané pˇredpisem:

smˇernicový tvar rovnice teˇcny

196.

a) y = ˇ Rešení

8 4 + x2

T = [2, ?]

b) y = ln x, Video

T = [e, ?]

Teorie: 45


t : y − y0 = k t ( x − x0 ) bod dotyku T = [ x0 , y0 ] smˇernice teˇcny k t = f 0 ( x0 ) smˇernicový tvar rovnice normály t : y − y0 = k n ( x − x0 ) bod dotyku T = [ x0 , y0 ] smˇernice normály kn = −

1 f 0 (x

0)

obecná rovnice pˇrímky ax + by + c = 0




Tahák

Zadání Urˇcete rovnice teˇcen ke grafu funkce f , které jsou rovnobˇežné s pˇrímkou p:


197.

a) y = x2 + 4x − 5, ˇ Rešení

p : x + 4y = 0

b) y = x3 − 12x, Video

Teorie: 45

p:y=2 ˇ Rešené pˇríklady: 119, 120

t : y − y0 = k t ( x − x0 ) bod dotyku T = [ x0 , y0 ] smˇernice teˇcny k t = f 0 ( x0 )




Tahák

Zadání Urˇcete rovnice teˇcen ke grafu funkce f , které jsou rovnobˇežné s osou x:


198.

a) y = x4 − 12x ˇ Rešení

b) y = x2 + 4x − 5 Video

Teorie: 45

t : y − y0 = k t ( x − x0 ) ˇ Rešené pˇríklady: 119, 120

bod dotyku T = [ x0 , y0 ] smˇernice teˇcny k t = f 0 ( x0 )



ˇ - Teˇcna ke grafu parametricky zadané funkce Ry 219

Tahák

199.

Zadání Urˇcete rovnici teˇcny t a normály n cykloidy v dotykovém bodˇe T, v nˇemž t = Parametrické rovnice cykloidy jsou: x = a (t − sin t) y = a (1 − cos t) ; a > 0, t ∈ h0, 2π i

π 2.

smˇernicový tvar rovnice teˇcny t : y − y0 = k t ( x − x0 ) bod dotyku

ˇ Rešení

Video

Teorie: 45


T = [ x0 , y0 ] smˇernice teˇcny k t = f 0 ( x0 ) smˇernicový tvar rovnice normály t : y − y0 = k n ( x − x0 ) bod dotyku T = [ x0 , y0 ] smˇernice normály kn = −

1 f 0 (x

0)

obecná rovnice pˇrímky ax + by + c = 0



ˇ - Diferenciál Ry 220

Tahák

Zadání Vypoˇcítejte diferenciál funkce y = f ( x ) v obecném bodˇe x vzhledem k obecnému pˇrírustku ˚ dx:

Diferenciál funkce y = f ( x )

200.

1 a) y = √ 2 x ˇ Rešení

b) y =

x3 + 1 x3 − 1

c) y = tan2 x

d) y = arctan e2x

Video

Teorie: 44

dy = f 0 ( x )dx

Diferenciál funkce f v bodˇe x0 dy( x0 ) = f 0 ( x0 ) · ( x − x0 )

Diferenciál funkce f v bodˇe x0 pˇri známém pˇrírustku ˚ dx dy( x0 )(dx ) = f 0 ( x0 ) · dx ∈ R

Diferenciál druhého rˇádu funkce y = f ( x ) d2 y = f 00 ( x )dx2

Diferenciál n-tého rˇádu funkce y = f ( x ) dn y = f (n) ( x )dx n

Pˇribližný výpoˇcet funkˇcních hodnot f ( x ) ≈ f ( x0 ) + d f ( x0 )(dx )




Tahák

201.

Zadání Vypoˇcítejte pˇribližnˇe s využitím diferenciálu funkˇcí hodnotu funkce y = ˇ Rešení

√

x v bodˇe x0 = 4,4.

Video

Teorie: 44

Diferenciál funkce y = f ( x ) dy = f 0 ( x )dx

Diferenciál funkce f v bodˇe x0 dy( x0 ) = f 0 ( x0 ) · ( x − x0 )








Tahák

Zadání Vypoˇcítejte diferenciál druhého rˇ ádu funkce y = f ( x ) v obecném bodˇe x vzhledem k obecnému pˇrírustku ˚ dx: √ 3 b) y = ( x + 1)3 ( x − 1)2 c) y = sin2 x a) y = x2

Diferenciál funkce y = f ( x )

ˇ Rešení

Diferenciál funkce f v bodˇe x0

202.

Video

Teorie: 44

dy = f 0 ( x )dx

dy( x0 ) = f 0 ( x0 ) · ( x − x0 )







ˇ - Tayloruv Ry 223 ˚ polynom

Tahák

Zadání Napište Tayloruv ˚ polynom n-tého stupnˇe Tn ( x ) na okolí bodu x0 pro funkci:

Tayloruv ˚ polynom n-tého stupnˇe funkce y = f ( x ) v bodˇe x0

203.

1 a) f : y = √ , x0 = 1, n = 3 x ˇ Rešení

b) f : y = ln x, x0 = 1, n = 3 Tn ( x0 ) = f ( x0 ) + Video Teorie: 46


d n f ( x0 ) d f ( x0 ) +···+ 1! n!

Tayloruv ˚ polynom tˇretího stupnˇe funkce y = f ( x ) v bodˇe x0 T3 ( x0 ) = f ( x0 ) + d3 f ( x0 ) 3!

d f ( x0 ) d2 f ( x0 ) + + 1! 2!

resp. 1 0 f ( x0 )( x − x0 ) 1! 1 1 + f 00 ( x0 )( x − x0 )2 + f 000 ( x0 )( x − x0 )3 2! 3!

T3 ( x0 ) = f ( x0 ) +



ˇ - Monotónnost a lokální extrémy funkce Ry 224

Tahák

Zadání Naleznˇete intervaly monotónnosti a lokální extrémy.

1. Definiˇcní obor.

204.

a) f ( x ) = x3 + 3x2 ˇ Rešení

b) f ( x ) = x3 + x2 − x + 1 Video

ˇ Teorie: 48 Rešené pˇríklady: 123, 124, 125, 126

2. První derivace definiˇcní obor.

a

její

3. Stacionární body, tervaly plus mínus.

in-

4. Znaménko vace. Funkce jestliže f 0 ( x ) > klesající, jestliže

první derije rostoucí, 0. Funkce je f 0 ( x ) < 0.

5. Lokální extrémy. 6. Pozor na definiˇcní obor. V bodech nespojitosti neexistují extrémy!



ˇ - Monotónnost a lokální extrémy funkce Ry 225

Tahák

Zadání Naleznˇete intervaly monotónnosti a lokální extrémy.


205.

a) f ( x ) = x − 2 ln ( x + 1) ˇ Rešení

b) f ( x ) = Video

x2 + 2x + ln x 2

ˇ Teorie: 48 Rešené pˇríklady: 123, 124, 125, 126

2. První derivace definiˇcní obor.

a

její

3. Stacionární body, tervaly plus mínus.

in-

4. Znaménko vace. Funkce jestliže f 0 ( x ) > klesající, jestliže

první derije rostoucí, 0. Funkce je f 0 ( x ) < 0.

5. Lokální extrémy. 6. Pozor na definiˇcní obor. V bodech nespojitosti neexistují extrémy!



ˇ - Konvexnost, konkávnost, inflexní body Ry 226

Tahák

Zadání Najdˇete intervaly, kde je funkce konvexní a kde konkávní, najdˇete její inflexní body.


206.

a) f ( x ) = x4 − 6x3 + 24x2 − 12 ˇ Rešení

b) f ( x ) =

x+1 x−2

Video

Teorie: 49

2. První derivace definiˇcní obor. ˇ Rešené pˇríklady: 127

a

její

3. Druhá derivace a její definiˇcní obor. 4. Nulové body druhé derivace, intervaly plus mínus. 5. Znaménko druhé derivace. Funkce je konvexní, jestliže f 00 ( x ) > 0. Funkce je konkávní, jestliže f 00 ( x ) < 0. 6. Inflexní body.



ˇ - Asymptoty Ry 227

Tahák

Zadání Urˇcete všechny asymptoty grafu funkce:


207.

a) y = ˇ Rešení

2x2 − 3x + 1 3x + 3

b) y =

2x − 1 x2

Video

2. Urˇcíme v krajních bodech intervalu˚ spojitosti jednostranné limity.

ˇ Teorie: 50 Rešené pˇríklady: 128, 129 3. Asymptota bez smˇernice existuje v daném bodˇe pouze v pˇrípadˇe, že nˇekterá z jednostranných limit vyjde nevlastní. 4. Asymptota nicí y = kx + q

se

smˇer-

f (x) x q = lim ( f ( x ) − kx ) k = lim

x →∞ x →∞

nebo f (x) x →−∞ x q = lim ( f ( x ) − kx ) k = lim

x →−∞



ˇ - Asymptoty Ry 228

Tahák

Zadání Urˇcete všechny asymptoty grafu funkce:


208.

a) y = ˇ Rešení

x2 − 2x + 1 2x − 1

b) y =

2x3 x2 − 1

Video

2. Urˇcíme v krajních bodech intervalu˚ spojitosti jednostranné limity.

ˇ Teorie: 50 Rešené pˇríklady: 128, 129 3. Asymptota bez smˇernice existuje v daném bodˇe pouze v pˇrípadˇe, že nˇekterá z jednostranných limit vyjde nevlastní. 4. Asymptota nicí y = kx + q

se

smˇer-

f (x) x q = lim ( f ( x ) − kx ) k = lim

x →∞ x →∞

nebo f (x) x →−∞ x q = lim ( f ( x ) − kx ) k = lim

x →−∞



ˇ - Prubˇ Ry 229 ˚ eh funkce

Tahák

209.

Zadání Urˇcete prubˇ ˚ eh funkce y = ˇ Rešení

x2 . x+1 Video

ˇ Teorie: 51 Rešené pˇríklady: 123 - 129

1. definiˇcní obor funkce, nulové body, intervaly plus mínus 2. sudost, dicita

lichost,

perio-

3. spojist, asymptoty bez smˇernice 4. první derivace, její definiˇcní obor, nulové (stacionární) body, intervaly plus mínus 5. monotónnost 6. lokální extrémy 7. druhá derivace, její definiˇcní obor, nulové body, intervaly plus mínus 8. konvexnost, nost, inflexe

konkáv-

9. asymptoty se smˇernicí 10. graf, obor hodnot




Tahák

Zadání Urˇcete prubˇ ˚ eh funkce y = ln cos x.

1. definiˇcní obor funkce, nulové body, intervaly plus mínus

210.

ˇ Rešení

Video


2. sudost, dicita

lichost,

perio-


konkáv-





Tahák

Zadání Urˇcete prubˇ ˚ eh funkce y = x2 ln x.

1. definiˇcní obor funkce, nulové body, intervaly plus mínus

211.

ˇ Rešení

Video


2. sudost, dicita

lichost,

perio-


konkáv-




212.

Zadání Zakreslete graf funkce f , víte-li, že:


ˇ Rešení

Video

Teorie: 51

y

1. D f = R Hf = R 2. funkce nemá body nespojitosti limity v krajních bodech jsou lim f ( x ) = −∞ x →−∞

lim f ( x ) = ∞

x →∞

3. funkce není sudá, není lichá, není periodická 4. pruseˇ ˚ cík s osou x je: [−3, 0] pruseˇ ˚ cík s osou y je: [0, 1] funkce je kladná na intervalu (−3, ∞) záporná na (−∞, −3) 5. funkce má lokální maximum v bodˇe [−1, 5] a lokální minimum v bodˇe [1, 21 ] je rostoucí na intervalech (−∞, −1) a (1, ∞) a klesající na (−1, 1) 6. funkce má inflexní body [− 21 , 2] funkce je konvexní na intervalu (− 12 , ∞) a konkávní na (−∞, − 12 ) 7. funkce nemá asymptoty

0

x



213.



ˇ Rešení

Video

Teorie: 51

y

1. D f = R H f = h0, 3) 2. funkce nemá body nespojitosti limity v krajních bodech jsou lim f ( x ) = 3 x →−∞

lim f ( x ) = 3

x →∞

3. funkce je sudá, není lichá, není periodická 4. pruseˇ ˚ cík s osou x je: [0, 0] pruseˇ ˚ cík s osou y je: [0, 0] funkce je kladná na R 5. funkce má lokální minimum v bodˇe [0, 0] je rostoucí na interval (0, ∞) a klesajicí na (−∞, 0) 6. funkce má inflexní body [−2, 1] a [2, 1] funkce je konvexní na intervalu (−2, 2) a konkávní na (−∞, −2) a (2, ∞) 7. funkce má v ∞ a v −∞ asymptotu y = 3

0

x



214.



ˇ Rešení

Video

Teorie: 51

y

1. D f = (1, ∞) Hf = R 2. funkce nemá body nespojitosti limity v krajních bodech jsou lim f ( x ) = −∞ x →1+

lim f ( x ) = ∞

x →∞

3. funkce není sudá, není lichá, není periodická 4. pruseˇ ˚ cík s osou x je: [4, 0] pruseˇ ˚ cík s osou y není funkce je kladná na intervalu (4, ∞) záporná na (1, 4) 5. funkce nemá lokální extrémy je rostoucí na celém D f 6. funkce má inflexní bod [3, −2] funkce je konvexní na intervalu (3, ∞) a konkávní na (1, 3) 7. funkce má asymptotu x = 1

0

x



215.



ˇ Rešení

Video

Teorie: 51

y

1. D f = R H f = h−5, ∞) 2. funkce nemá body nespojitosti limity v krajních bodech jsou lim f ( x ) = ∞ x →−∞

lim f ( x ) = ∞

x →∞

3. funkce není sudá, není lichá, není periodická 4. pruseˇ ˚ cíky s osou x jsou: [−4, 0], a [2, 0] pruseˇ ˚ cík s osou y je: [0, −3] funkce je kladná na (−∞, −4) a (2, ∞) záporná na (−4, 2) 5. funkce má lokální minimum v bodˇe [−1, −5] je rostoucí na interval (−1, ∞) a klesajicí na (−∞, −1) 6. funkce má inflexní bod [4, 5] funkce je konvexní na intervalu (−∞, 4) a konkávní na (4, ∞) 7. funkce má v ∞ asymptotu y = x + 3

0

x

Pracovní listy – Lineární algebra



ˇ - Matice Ry 237

Tahák

Zadání Vypoˇctˇete matici D danou vztahem: D = 2 · A − B + C,     1 0 −1 2 −1 3     3 2 5  0 4 5  ,   , B= A=   −4 3 0  −3 7 6 8 0 1 7 1 −2

Nejdˇríve násobíme každý prvek matice A cˇ íslem 2, poté od výsledné matice odeˇcteme matici B, odeˇcítáme vzájemnˇe si odpovídající prvky, nakonec pˇriˇcteme matici C.

216.

ˇ Rešení

Video



2

1

0

0

3

−5



  −3 −7 5  .  C=  −4 3 −1 Teorie: 53, 54, 55




ˇ - Matice Ry 238

Tahák

Zadání Diskutujte existenci souˇcinu a poté vypoˇctˇete A · B, B · A:

Souˇcin matic:

217.

a) A =

ˇ Rešení

2

1

7 −5

!

, B=

−3 1 0

4

!

    −1 1 −1 1 2 3      , B = 2 3 1 b) A =  1 − 1 1     3 1 2 −1 1 −1 Video

Teorie: 53, 54, 55


A = ( aik ) matice typu m × p B = (bkj ) matice typu p × n. Pak C = A · B = (cij ) matice typu m × n, kde p

cij =

∑ aik · bkj

k =1



ˇ - Matice Ry 239

Tahák

Zadání Diskutujte existenci souˇcinu matic a vynásobte matice:     5 −1     b) 0 1 2 ·  a)  1 −2 · −1 3 4 3 −1

Souˇcin matic:

218.

ˇ Rešení

Video



2

−2



 −4 0  · c)  3 4   3 1 −1 −3 Teorie: 53, 54, 55

!



cij =

∑ aik · bkj

k =1



ˇ - Matice Ry 240

Tahák

Zadání Diskutujte existenci souˇcinu matic a vynásobte matice:     ! ! 2 1 0 2     1 −5 −2 0   · b)  a) −1 −3  3 −4  · −1 3 1 −4 3 −2 5 −2

Souˇcin matic:

219.

ˇ Rešení

Video

c)

Teorie: 53, 54, 55

5

6 −8

−2 0

1

!

·

2

−1

!



cij =

∑ aik · bkj

k =1



ˇ - Matice Ry 241

Tahák

220.

Zadání

Transponujte matice:

ˇ Rešení



1

2 3 12



  , A= 4 − 1 2 15   0 3 8 7



    B=   

−1

2

3

3

0

7

13

Transpozice:



 0    8 1 −2 −5  .  6 −5 4 1   9 10 12 0

výmˇena rˇ ádku˚ a sloupcu˚ matice. A = ( aij ) ⇒ AT = ( a ji )

Video

Teorie: 53, 54, 55



ˇ - Hodnost matice Ry 242

Tahák

221.

Zadání Urˇcete hodnost matice:

ˇ Rešení



2

1

 0 3 A=  1 −2  3 1

−1



Matici pˇrevedeme na schodovitý tvar. Poté spoˇcítáme nenulové rˇ ádky matice ve schodovitém tvaru.

 1 . 0  1 Video

Teorie: 56





Tahák

222.

Zadání Urˇcete hodnost matice:

ˇ Rešení



0

1

3

1




   2 −2 1 3   B=  2 −1 4 4  .   2 −3 −2 2 Video

Teorie: 56





Tahák

223.

Zadání

Urˇcete hodnost matice:



2  2 C= 4 

−1

ˇ Rešení

−1 6 0 3

3

0 2




 1 3 . −1 1 1   2 0 1 3

Video

Teorie: 56





Tahák

224.

Zadání

Urˇcete hodnost matice:

ˇ Rešení



4  8   D = 4  4  8

3 −5 2

3




 2   3 −8 2 7  .  3 1 2 −5   6 −1 4 −6 6 −7 4

Video

Teorie: 56




ˇ - Determinanty Ry 246

Tahák

Zadání Vypoˇctˇete následující determinanty 2. rˇ ádu: −5 4 3 −8 b) a) −2 3 2 4

Determinanty 2. rˇ ádu

225.

ˇ Rešení

Video

Teorie: 57, 58, 59

−2 3 c) 0 −5


- kˇrížové pravidlo: Souˇcin prvku˚ na hlavní diagonále mínus souˇcin prvku˚ na vedlejší diagonále. a a 11 12 | A| = = a11 · a22 − a12 · a21 a21 a22




Tahák

Zadání Vypoˇctˇete následující determinanty 3. rˇ ádu: 5 −1 3 3 −2 0 b) 2 4 −2 a) −1 −5 2 14 6 2 2 3 1

Determinanty 3. rˇ ádu

226.

ˇ Rešení

Video

0 2 2 c) 2 0 2 2 2 0

Teorie: 57, 58, 59

1 0 0 d) 2 1 0 3 2 1


- Sarrusovo pravidlo: Opíšeme první 2 rˇ ádky. Prvky ležící na úhlopˇríˇckách vynásobíme, pˇriˇcemž tˇem, které smˇerˇ ují zleva doprava (hlavní diagonála) pˇriˇradíme znaménko + a tˇem, které smˇerˇ ují zprava doleva (vedlejší diagonála) pˇriˇradíme znaménko -. a11 a12 a13 | A| = a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 a12 a13 a21 a22 a23

= a11 · a22 · a33 + a21 · a32 · a13 + a31 · a12 · a23 − ( a13 · a22 · a31 + a23 · a32 · a11 + a33 · a12 · a21 )




Tahák

Zadání

Vhodný rˇ ádek (sloupec) je ten, který obsahuje co nejvíce nul.

227.

2 1 −8 3 0 −2 8 −1 rozvojem podle cˇ tvrtého sloupce. Vypoˇctˇete determinant 4 −7 −2 0 −1 3 1 1 ˇ Rešení

Video

Teorie: 57, 58, 59

Laplaceuv ˚ rozvoj pro matici A rˇ ádu n:


a) rozvoj determinantu podle i-tého rˇ ádku

| A| = ai1 · aˆ i1 + ai2 · aˆ i2 + · · · + ain · aˆ in , respektive n

| A| =

∑ (−1)i+ j · aij · | Aij |,

j =1

b) rozvoj determinantu podle j-tého sloupce

| A| = a1j · aˆ 1j + a2j · aˆ 2j + · · · + anj · aˆ nj . respektive n

| A| =

∑ (−1)i+ j · aij · | Aij |,

i =1

kde matice Aij vznikne z matice A vynecháním i-tého rˇ ádku a j-tého sloupce.




Tahák

228.

Zadání

1 2 1 −1 Vypoˇctˇete determinant 0 1 −1 0 ˇ Rešení

1 2 2 1

−1 1 pˇrevodem na trojúhelníkový tvar. 2 2 Video

Teorie: 57, 58, 59

Vlastnosti determinantu: ˚

• | A | = | AT | • | A · B| = | A| · | B| ˇ Rešené pˇríklady: 134 - 141

• Má-li matice A dva rˇádky (sloupce) stejné, pak | A| = 0. • Vznikne-li matice B z A: a) vzájemnou výmˇenou dvou rˇ ádku˚ (sloupcu), ˚ pak: | B| = −| A|, b) vynásobením jednoho rˇ ádku (sloupce) cˇ íslem k ∈ R, pak | B | = k · | A |, c) pˇriˇctením k-násobku, k ∈ R, jednoho rˇ ádku (sloupce) k jinému, pak: | B| = | A|. • Jsou-li rˇádky (sloupce) matice A lineárnˇe závislé, pak | A| = 0. • Determinant trojúhelníkové matice je roven souˇcinu prvku˚ hlavní diagonály.




Tahák

229.

Zadání

Vypoˇctˇete následující determinant:

ˇ Rešení

1 2 1 −1 0 1 −1 0

1 2 2 1

−1 1 . 2 2

Video

Vlastnosti determinantu: ˚

• | A | = | AT | • | A · B| = | A| · | B|

Teorie: 57, 58, 59


• Má-li matice A dva rˇádky (sloupce) stejné, pak | A| = 0. • Vznikne-li matice B z A: a) vzájemnou výmˇenou dvou rˇ ádku˚ (sloupcu), ˚ pak: | B| = −| A|, b) vynásobením jednoho rˇ ádku (sloupce) cˇ íslem k ∈ R, pak | B | = k · | A |, c) pˇriˇctením k-násobku, k ∈ R, jednoho rˇ ádku (sloupce) k jinému, pak: | B| = | A|. • Jsou-li rˇádky (sloupce) matice A lineárnˇe závislé, pak | A| = 0. • Determinant trojúhelníkové matice je roven souˇcinu prvku˚ hlavní diagonály.




Tahák Pro sestavení rovnice s neznámou x použijte Sarrusovo pravidlo.

230.

Zadání

x 0 −x Pro která x je determinant 0 x 0 roven 0? 1 x 1 ˇ Rešení

Video

Teorie: 57, 58, 59




ˇ - Inverzní matice Ry 252

Tahák

Zadání Vypoˇctˇete k dané matici A matici inverzní (A−1 ) eliminaˇcní metodou a proved’te zkoušku: ! ! 2 1 0 −6 a) b) 2 3 −3 4

Každou regulární matici A pˇrevedeme jen rˇ ádkovˇe ekvivalentními úpravami na jednotkovou matici E. Stejné úpravy aplikujeme na jednotkovou matici E, která tímto pˇrejde na inverzní matici A−1 , symbolicky

231.

ˇ Rešení

Video

Teorie: 60


( A | E ) ∼ · · · ∼ ( E | A −1 ).




Tahák

Zadání Vypoˇctˇete k dané matici A matici inverzní (A−1 ) eliminaˇcní metodou a proved’te zkoušku:     −1 7 −5 1 0 −1       2 −1 1  b) a)  3 1 5     2 8 0 1 1 −2


232.

ˇ Rešení

Video

Teorie: 60


( A | E ) ∼ · · · ∼ ( E | A −1 ).




Tahák

233.

Zadání Vypoˇctˇete k dané matici A matici inverzní (A−1 ) eliminaˇcní metodou a proved’te zkoušku:

ˇ Rešení

Video

Teorie: 60



1 1 2 1



  4 2 2 1   2 1 3 1   2 2 3 2



( A | E ) ∼ · · · ∼ ( E | A −1 ).




Tahák

234.

−1 Zadání  Vypoˇctˇete k dané matici A matici inverzní (A ) užitím determinantu a proved’te zkoušku: 2 3 1    A = −1 2 5 . 3 −2 7

ˇ Rešení

Video

Teorie: 60


A −1 =

1 · ( Aalg )T , | A|



ˇ - Soustavy lineárních rovnic Ry 256

Tahák

Zadání ˇ Rešte soustavu lineárních rovnic a proved’te zkoušku:

Frobeniova vˇeta: Soustava m lineárních rovnic o n neznámých

235.

a)

3x + y = 1 x−y = 7

ˇ Rešení

b)

5x1 − 6x2 = −3 x1 + 2x2 = −7 Video

Teorie: 61, 62

c)

2x1 − 6x2 = 4 3x1 − 9x2 = 1

ˇ Rešené pˇríklady: 144, 146, 147, 149, 151, 152

A·x = B má alesponˇ jedno rˇ ešení právˇe když h ( A ) = h ( A | B ), tj. když hodnost matice soustavy se rovná hodnosti matice rozšíˇrené. Pokud h ( A ) 6 = h ( A | B ), pak soustava nemá rˇ ešení. Má-li soustava rˇ ešení, tj h( A) = h( A| B) = h, pak pro h=n má soustava právˇe jedno rˇ ešení, jinak, tj. pro h < n, má soustava ∞-mnoho rˇ ešení závislých na n − h parametrech.




Tahák

236.

Zadání ˇ Rešte soustavu lineárních rovnic a proved’te zkoušku: ˇ Rešení

Video

3x1 + 4x2 + 2x3 = 2 x1 − 2x2 + 3x3 = 2. 2x1 + 6x2 − x3 = 0 Teorie: 61, 62


Frobeniova vˇeta: Soustava m lineárních rovnic o n neznámých A·x = B má alesponˇ jedno rˇ ešení právˇe když h ( A ) = h ( A | B ), tj. když hodnost matice soustavy se rovná hodnosti matice rozšíˇrené. Pokud h ( A ) 6 = h ( A | B ), pak soustava nemá rˇ ešení. Má-li soustava rˇ ešení, tj h( A) = h( A| B) = h, pak pro h=n má soustava právˇe jedno rˇ ešení, jinak, tj. pro h < n, má soustava ∞-mnoho rˇ ešení závislých na n − h parametrech.




Tahák

237.


ˇ Rešení

Video

x1 + x2 + x3 + x4 2x1 + 3x2 + 2x3 + 4x4 2x1 + 2x2 + x3 − 3x4 x1 + x2 + x3 − x4 Teorie: 61, 62

=2 =8 . =1 =0






Tahák

238.


ˇ Rešení

Video

2x1 + x2 − x3 + x4 x1 − x2 + x3 − x4 x1 + 2x2 − 2x3 + 2x4 2x1 + x2 + 2x4 Teorie: 61, 62

=0 =3 . =1 =3






Tahák

239.


ˇ Rešení

Video

x1 − 2x2 + x3 − 3x4 x1 + x2 − 2x3 + 2x4 3x1 − 3x3 + x4 2x1 − x2 − x3 − x4 Teorie: 61, 62

= −3 =5 . =7 =2





ˇ - Soustavy homogenních lineárních rovnic Ry 261

Tahák

Zadání

Soustava homogenních lineárních rovnic má vždy rˇ ešení - viz. Frobeniova vˇeta, jejiž podmínky jsou zde vždy splnˇeny.

240.

ˇ Rešte soustavu homogenních lineárních rovnic a proved’te zkoušku: ˇ Rešení

Video

Teorie: 61, 62

2x1 − x2 + x3 =0 x 1 + x 2 − x 3 = 0. 4x1 − 2x2 + x3 =0 ˇ Rešené pˇríklady: 144, 146, 147, 149, 151, 152

Lze rˇ ešit Gaussovou eliminaˇcní metodou, nebo zde pˇrímo za pomoci determinantu soustavy (proˇc?).



ˇ - Soustavy homogenních lineárních rovnic Ry 262

Tahák

241.

Zadání ˇ Rešte soustavu homogenních lineárních rovnic a proved’te zkoušku:

ˇ Rešení

Video

Teorie: 61, 62

5x1 − 2x2 + 7x3 − 4x4 − x5 3x1 + 4x3 − x4 − 2x5 x1 + 2x2 + x3 + 2x4 − 3x5 2x1 − 2x2 + 3x3 − 3x4 + x5

=0 =0 . =0 =0


Soustava homogenních lineárních rovnic má vždy rˇ ešení - viz. Frobeniova vˇeta, jejiž podmínky jsou zde vždy splnˇeny. Lze rˇ ešit Gaussovou eliminaˇcní metodou.



ˇ - Soustavy lineárních rovnic - Cramerovo pravidlo Ry 263

Tahák

Zadání

Cramerovo pravidlo:

242.

ˇ Rešte soustavu lineárních rovnic pomocí Cramerova pravidla a proved’te zkoušku: ˇ Rešení

Video

5x1 + x2 − 2x3 =9 3x1 + x2 − 5x3 = − 12. 2x1 − x2 − x3 = − 3

Teorie: 63


1. jen pro soustavy s regulární maticí soustavy A, tj.

| A| 6= 0, 2. urˇcí se determinanty A, Ai (nahradí se pˇríslušný sloupec pravou stranou), 3. urˇcí se složky rˇ ešení xi =

| Ai | . | A|



ˇ - Maticová rovnice Ry 264

Tahák

ˇ Zadání Rešte rovnici pro neznámou matici X a proved’te zkoušku:     7 2 12 1 −2 0     −1 3 4 · X =  0 10 7      37 23 73 4 −7 5

Maticová tvaru

243.

ˇ Rešení

Video

rovnice

ve

A·X = B

Teorie: 64


Násobením zleva inverzní maticí A−1 dostaneme rˇ ešení soustavy X = A−1 · B.




Tahák

244.

Zadání ˇ Rešte soustavu lineárních rovnic pomocí inverzní matice a proved’te zkoušku: ˇ Rešení

Video

5x1 + x2 − 2x3 =9 3x1 + x2 − 5x3 = − 12. 2x1 − x2 − x3 = − 3 Teorie: 65


Soustavu mužeme ˚ napsat v maticovém tvaru A·x = B Násobením zleva inverzní maticí A−1 dostaneme rˇ ešení soustavy x = A −1 · B




Tahák

245.

Zadání ˇ Rešte soustavu lineárních rovnic pomocí inverzní matice a proved’te zkoušku: ˇ Rešení

Video

5x1 − x2 − 3x3 =9 x1 + x2 + 2x3 =0 . 4x1 − x2 + 2x3 = − 7 Teorie: 65


Soustavu mužeme ˚ napsat v maticovém tvaru A·x = B Násobením zleva inverzní maticí A−1 dostaneme rˇ ešení soustavy x = A −1 · B

Pracovní listy – Analytická geometrie



ˇ - Skalární souˇcin vektoru˚ Ry 268

Tahák

Zadání Vypoˇctˇete skalární souˇcin a odchylku vektoru˚ u, v. Jsou tyto vektory na sebe kolmé?

Skalární souˇcin:

246.

a) u = (−1, −1, 4), v = (−1, 2, −2),

u · v = u1 · v1 + u2 · v2 + u3 · v3 ,

b) u = (2, 3, −1), v = (13, −6, 8).

Odchylka vektoru: ˚ ˇ Rešení

Video

Teorie: 69

cos ϕ =

u·v |u||v|

Velikost vektoru: q |u| = u21 + u22 + u23 POZOR: Co je výsledkem skalárního souˇcinu? Kolmost vektoru: ˚ u⊥v ⇔ u · v = 0



ˇ - Vektorový souˇcin Ry 269

Tahák

Zadání Vypoˇctˇete vektorový souˇcin vektoru˚ u, v. Urˇcete obsah rovnobˇežníku urˇceného vektory u a v.

Vektorový souˇcin:

247.

a) u = (1, 2, −1), v = (3, −1, −2),

ˇ Rešení

b) u = (−2, 2, −1), v = (3, −6, 5).

Video

Teorie: 70

j k i u × v = u1 u2 u3 , v1 v2 v3

kde i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1) jsou jednotkové vektory ve smˇeru os kartézské soustavy souˇradnic. Nebo ! u u u u u u 2 3 1 3 1 2 u×v = ,− , . v2 v3 v1 v3 v1 v2 POZOR: Co je výsledkem vektorového souˇcinu? Obsah rovnobˇežníku: S = | u × v |.



ˇ - Smíšený souˇcin Ry 270

Tahák

Zadání Vypoˇctˇete smíšený souˇcin trojice vektoru˚ a, b, c ( tedy [ a, b, c] = a · (b × c) ). Urˇcete objem rovnobˇežnostˇenu urˇceného vektory a, b, c.

Smíšený souˇcin:

248.

a) a = (2, −1, 3), b = (1, −3, 2), c = (3, 2, −4),

ˇ Rešení

b) a = (3, 0, −2), b = (0, −3, 5), c = (1, −1, 4).

Video

Teorie: 71

a1 a2 a3 [ a, b, c] = a · (b × c) = b1 b2 b3 . c1 c2 c3

POZOR: Co je výsledkem smíšeného souˇcinu? Objem rovnobˇežnostˇenu: V = |[ a, b, c]| .



ˇ - Rovnice pˇrímky Ry 271

Tahák

Zadání

Bod leží na pˇrímce, jestliže jeho složky vyhovují rovnici pˇrímky.

249.

x = −1 + 3t a) Zjistˇete zda body A = [1, −3, 2], B = [−2, −4, 5], C = [2, 0, 2] leží na pˇrímce

p: y = z =

2 − 2t 1 +

Smˇerový vektor pˇrímky p je také smˇerovým vektorem rovnobˇežné pˇrímky q.

t

b) Urˇcete rovnici pˇrímky p urˇcené bodem M = [1, −1, −3] a smˇerem a = (5, −4, 2). x = −1 + 3t c) Urˇcete rovnici pˇrímky q procházející bodem R = [1, −1, −3] a rovnobˇežné s pˇrímkou p : y = z = ˇ Rešení

3 − 2t . 2 + 5t

Video

Teorie: 72



ˇ - Vzájemná poloha dvou pˇrímek Ry 272

Tahák

Zadání Urˇcete vzájemnou polohu dvou pˇrímek, p = { A, u}, q = { B, v}. V pˇrípadˇe ruznobˇ ˚ ežné polohy naleznˇete pruseˇ ˚ cík.

Sestavíme klasifikaˇcní matici

250.

a)

A = [1, 2, 3], u =(1, −3, 2) B = [0, 5, 1], v =(−2, 6, −4)

ˇ Rešení

b)

A = [1, −3, 4], u =(2, 2, −1) B = [3, 0, −1], v =(0, 1, 3) Video

Teorie: 73

p = { A, u}, q = { B, v},   u    v    AB

Matici pˇrevedeme na schodovitý tvar. Pak vzájemná poloha je: a) ruznobˇ ˚ ežná - nemají spoleˇcný smˇer, mají spoleˇcný bod (pruseˇ ˚ cík), b) rovnobˇežná - mají spoleˇcný smˇer, nemají spoleˇcný bod, c) mimobˇežná - nemají spoleˇcný smˇer ani bod, d) totožná - mají spoleˇcné všechny body.



ˇ - Vzájemná poloha dvou pˇrímek Ry 273

Tahák

Zadání Urˇcete vzájemnou polohu dvou pˇrímek, p = { A, u}, q = { B, v}. V pˇrípadˇe ruznobˇ ˚ ežné polohy naleznˇete pruseˇ ˚ cík.


251.

a)

A = [1, 3, −1], u =(2, −4, 3) B = [0, −3, 1], v

ˇ Rešení

=(−1, 2, − 32 )

b)

A = [0, 1, −1], u =(1, 0, 1) B = [2, 3, 2], v =(1, 2, 2) Video

Teorie: 73

p = { A, u}, q = { B, v},   u    v    AB

Matici pˇrevedeme na schodovitý tvar. Pak vzájemná poloha je: a) ruznobˇ ˚ ežná - nemají spoleˇcný smˇer, mají spoleˇcný bod (pruseˇ ˚ cík), b) rovnobˇežná - mají spoleˇcný smˇer, nemají spoleˇcný bod, c) mimobˇežná - nemají spoleˇcný smˇer ani bod, d) totožná - mají spoleˇcné všechny body.



ˇ - Rovnice roviny Ry 274

Tahák

Zadání

a) Dosad’te jednotlivé body do rovnice a zjistˇetˇe, zda ji splnují. ˇ

252.

a) Zjistˇete zda body A = [−1, 2, 5], B = [3, −1, 0], C = [−5, −4, 2] leží v rovinˇe α : 2x − 5y + 6z − 11 = 0. b) Sestavte symbolickou, parametrickou a obecnou rovnici roviny ρ = { B = [2, 3, 1], v = (1, 2, −1), w = (3, 1, −2)}. ˇ Rešení

Video

Teorie: 74, 75


b) Sestavíme jednotlivé typy rovnic. Jak se pˇrechází od parametrického vyjádˇrení roviny k obecnému?



ˇ - Rovnice roviny Ry 275

Tahák

Zadání

Zjistˇete normálový vektor dané roviny a pak dosazením bodu M (resp. Q) do obecné rovnice roviny, tj. ax + by + cz + d = 0 dopoˇcítejte absolutní cˇ len d.

253.

a) Urˇcete rovnici roviny procházející bodem M = [1, −2, 3] a kolmé na vektor a = (1, 1, −2). b) Urˇcete rovnici roviny procházející bodem Q = [1, −2, 3] a kolmé k ose x. c) Urˇcete rovnici roviny procházející bodem M = [1, −2, 3] a rovnobˇežnˇe s rovinou α : 2x − y + 3z = 0.

ˇ Rešení

Video

Teorie: 74, 75




ˇ - Vzájemná poloha pˇrímky a roviny Ry 276

Tahák

Zadání Urˇcete vzájemnou polohu pˇrímky p = { A, u} a roviny ρ = { B, v, w}. V pˇrípadˇe ruznobˇ ˚ ežné polohy naleznˇete pruseˇ ˚ cík.


254.

a)

A = [1, 4, −3], u =(−1, 3, −4) B = [3, 3, 0], v =(1, 2, −1), w = (3, 1, 2)

ˇ Rešení

b)

A = [1, 1, −2], u =(−1, 3, 0) B = [2, 3, 1], v =(1, 2, −1), w = (3, 1, −2) Video

Teorie: 76

p = { A, u}, ρ = { B, v, w}, 

u



   v    w   AB

Matici pˇrevedeme na schodovitý tvar. Pak vzájemná poloha je: a) ruznobˇ ˚ ežná - nemají spoleˇcný smˇer, mají spoleˇcný bod (pruseˇ ˚ cík), b) rovnobˇežná - mají spoleˇcný smˇer, nemají spoleˇcný bod, c) pˇrímka leží v rovinˇe mají spoleˇcný smˇer a bod.



ˇ - Vzájemná poloha pˇrímky a roviny Ry 277

Tahák

Zadání Urˇcete vzájemnou polohu pˇrímky p = { A, u} a roviny ρ = { B, v, w}. V pˇrípadˇe ruznobˇ ˚ ežné polohy naleznˇete pruseˇ ˚ cík.


255.

a)

A = [0, −2, 4], u =(1, −1, 2) B = [−1, −1, −3], v =(1, 3, 3), w = (−2, −2, 0)

ˇ Rešení

b)

A = [−2, 1, 0], u =(−2, 1, −2) B = [1, 2, 2], v =(1, 0, 0), w = (1, 3, −2) Video

Teorie: 76

p = { A, u}, ρ = { B, v, w}, 

u



   v    w   AB

Matici pˇrevedeme na schodovitý tvar. Pak vzájemná poloha je: a) ruznobˇ ˚ ežná - nemají spoleˇcný smˇer, mají spoleˇcný bod (pruseˇ ˚ cík), b) rovnobˇežná - mají spoleˇcný smˇer, nemají spoleˇcný bod, c) pˇrímka leží v rovinˇe mají spoleˇcný smˇer a bod.



ˇ - Vzájemná poloha dvou rovin Ry 278

Tahák

˚ ežné polohy Zadání Urˇcete vzájemnou polohu roviny α = { B, v, w} a roviny β = { B0 , v0 , w0 }. V pˇrípadˇe ruznobˇ naleznˇete pruseˇ ˚ cnici.


256.

a)

B = [3, 3, −4], 0

B = [0, 0, 0],

ˇ Rešení

v =(1, 2, −1), 0

w =(0, 1, 3) 0

v =(−2, −1, 3), w =(3, 4, −1)

b)

B = [3, 0, 1], 0

v =(1, 2, 2),

w =(3, 1, −1)

0

B = [−2, −5, −2], v =(4, 3, 1), w0 =(−1, 3, 5) Video

Teorie: 77

α = { B, v, w}, β = { B0 , v0 , w0 },   v   w    0  v     w0    0 BB

Matici pˇrevedeme na schodovitý tvar. Pak vzájemná poloha je:

a) ruznobˇ ˚ ežná - nemají spoleˇcný smˇer, mají spoleˇcný bod (pruseˇ ˚ cík), b) rovnobˇežná - mají spoleˇcný smˇer, nemají spoleˇcný bod, c) pˇrímka leží v rovinˇe mají spoleˇcný smˇer a bod.



ˇ - Vzdálenost útvaru˚ v E 3 Ry 279

Tahák

Zadání

Vzdálenost bodu od pˇrímky:

257.

a) Urˇcete vzdálenost bodu M = [2, 4, 3] od pˇrímky p dané body P = [2, 3, 1], Q = [−2, 1, 0]. b) Urˇcete vzdálenost bodu M = [−2, 1, 3] od roviny ρ : 2x + y − 2z + 5 = 0. ˇ Rešení

Video

Teorie: 78


d( M, p) =

|u × AM | , |u|

kde u je smˇerový vektor pˇrímky a A je bod na této pˇrímce. AM = M − A. Vzdálenost bodu od roviny: d( M, ρ) =

| am1 + bm2 + cm3 + d| √ . a2 + b2 + c2



ˇ - Vzdálenost útvaru˚ v E 3 Ry 280

Tahák

Zadání

Vzdálenost rovnobˇežek: Zvolíme bod na jedné z rovnobˇežek a úlohu pˇrevedeme na hledání vzdálenosti bodu od pˇrímky.

258.

a) Urˇcete vzdálenost dvou rovnobˇežek

x =

3t − 7

x =

p: y =

4t − 4

q: y =

ˇ Rešení

α : −3x + 7y − 2z + 4 = 0, Video

8s −

z = −4s +

z = −2t − 3 b) Urˇcete vzdálenost rovnobˇežných rovin

6s + 21

Teorie: 78

5 . 2

β : 3x − 7y + 2z + 10 = 0. ˇ Rešené pˇríklady: 160, 161

Vzdálenost rovnobˇežných rovin: α : ax + by + cz + d1 = 0, β : ax + by + cz + d2 = 0: d(α, β) = √

| d2 − d1 | . a2 + b2 + c2



ˇ - Odchylky útvaru˚ v E 3 Ry 281

Tahák

Zadání

Odchylka ϕ dvou pˇrímek p, q:

259.

x = a) Urˇcete odchylku dvou pˇrímek

p: y = z = x =

b) Urˇcete odchylku pˇrímky

c) Urˇcete odchylku rovin ˇ Rešení

√

t + 3 ,

α : x−y+

√

−r + 3

q: y =

2t + 5

−r + 2 . √ z = 2r

cos ϕ =

ρ : 2x − 4y − 3z + 6 = 0.

od roviny

Odchylka ϕ pˇrímky p od roviny ρ:

t − 5 2z + 2 = 0,

β : x+y+

√

|u · v| , |u| · |v|

kde u, v jsou smˇerové vektory pˇrímek p, q.

3t − 2

p : y = −2t + 1 z =

x =

t + 2

2z − 3 = 0.

sin ϕ = Video

Teorie: 78

|u · n| , |u| · |n|

kde u je smˇerový vektor pˇrímky p, n je normálový vektor roviny ρ. Odchylka vin α, β: cos ϕ =

ϕ

dvou

|nα · n β | , |nα | · n β

ro-

kde nα , n β jsou normálové vektory rovin α, β.

Matematika I: Pracovní listy do cvičení

Recommend Documents