Matematika I: Pracovní listy do cviˇcení Dagmar Dlouhá, Radka Hamˇríková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Pro FAST upravil Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava
Pracovní listy – Funkce jedné promˇenné
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Rovnice a nerovnice Ry 165
Tahák Koˇreny rovnice
146.
Zadání Vyˇrešte: a) x2 − x − 2 = 0 ˇ Rešení
b) x2 − x − 2 < 0
c) 2x2 + 9x − 5 ≥ 0
d) − x2 + 3x > 0 Video
x1,2 =
kvadratické
−b ±
√
b2 − 4ac 2a
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Rovnice a nerovnice Ry 166
147.
Zadání Vyˇrešte: a) x2 = 3 ˇ Rešení
b) x2 > 3
c) x ( x − 2) > 0
d) ( x + 1)( x − 2) ≤ 0
e) x (3 − x ) ≥ 5
f) x2 ≤ −4( x + 1) Video
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Rovnice a nerovnice Ry 167
148.
Zadání Vyˇrešte: a)
x+1 <0 3−x
ˇ Rešení
b)
2x − 1 >1 x+3
c)
1 >0 x−4
d)
x+1 <0 −3
e)
−2 − x ≤0 1 2 +x
f) − 32 ·
x−1 ≥0 x+7
Video
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Rovnice a nerovnice Ry 168
149.
Zadání Vyˇrešte: a)
5x − 8 < −2 5−x
ˇ Rešení
b)
( x + 1)(5 − x ) >0 x
c)
x+1 3−x < 2x + 3 2x + 3
d)
3−x 1 ≤ x+5 x Video
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Rovnice a nerovnice Ry 169
150.
Zadání Vyˇrešte: a) | x | = 5 ˇ Rešení
b) | x | + 2 = 0
c) | x | − 3 < 0
d) |2x | > 3
e) 3 − | x | = 7
f) 3 − | x | < 7 Video
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Rovnice a nerovnice Ry 170
151.
Zadání Vyˇrešte: a) | x − 1| = 5 ˇ Rešení
b) | x − 1| > 5
c) |4 − 2x | = 6
d) |4 − 2x | < 6 Video
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Definiˇcní obory Ry 171
Tahák
Zadání Urˇcete podmínky a najdˇete definiˇcní obor funkce. √ a) y = x + 2 √ b) y = 3 − x
Zlomek jmenovatel je ruzný ˚ od 0
152.
ˇ Rešení
c) y = d) y = Video
√ √
9 − x2 x2 − 4
ˇ Teorie: 11 Rešené pˇríklady: 82, 83, 84 , 85, 86
Sudá odmocnina výraz pod odmocninou je nezáporný
Logaritmus argument je kladný Tangens argument je ruzný ˚ π 2 + k · π, k ∈ Z
od
Kotangens argument je ruzný ˚ od k · π, k∈Z
Arkussinus, arkuskosinus argument leží v intervalu h−1, 1i
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Definiˇcní obory Ry 172
Tahák
Zadání Urˇcete podmínky a najdˇete definiˇcní obor funkce.
Zlomek jmenovatel je ruzný ˚ od 0
153.
a) y = b) y = ˇ Rešení
√ √
−x +
√
4x − x2
4+x
c) y = d) y = Video
x2
1−x + 2x + 15
x−1 2 x − 2x − 15
Sudá odmocnina výraz pod odmocninou je nezáporný
ˇ Teorie: 11 Rešené pˇríklady: 82, 83, 84 , 85, 86 Logaritmus argument je kladný Tangens argument je ruzný ˚ π 2 + k · π, k ∈ Z
od
Kotangens argument je ruzný ˚ od k · π, k∈Z
Arkussinus, arkuskosinus argument leží v intervalu h−1, 1i
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Definiˇcní obory Ry 173
Tahák
Zadání Urˇcete podmínky a najdˇete definiˇcní obor funkce.
Zlomek jmenovatel je ruzný ˚ od 0
154.
2+x p + 4 − 3x − x2 a) y = ln x q b) y = (1 − 2x ) ln x ˇ Rešení
2x + 6 c) y = ln 2 + 3−x
1 d) y = (4 − x ) ln ( x − 2) Video
Sudá odmocnina výraz pod odmocninou je nezáporný
ˇ Teorie: 11 Rešené pˇríklady: 82, 83, 84 , 85, 86 Logaritmus argument je kladný Tangens argument je ruzný ˚ π 2 + k · π, k ∈ Z
od
Kotangens argument je ruzný ˚ od k · π, k∈Z
Arkussinus, arkuskosinus argument leží v intervalu h−1, 1i
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Definiˇcní obory Ry 174
Tahák
Zadání Urˇcete podmínky a najdˇete definiˇcní obor funkce.
Zlomek jmenovatel je ruzný ˚ od 0
155.
a) y = tan 4x − ˇ Rešení
π 3
b) y =
x sin 2x
c) y = cot
Video
2x + π 5
d) y =
1 1 − cos 2x
ˇ Teorie: 11 Rešené pˇríklady: 82, 83, 84 , 85, 86
Sudá odmocnina výraz pod odmocninou je nezáporný
Logaritmus argument je kladný Tangens argument je ruzný ˚ π 2 + k · π, k ∈ Z
od
Kotangens argument je ruzný ˚ od k · π, k∈Z
Arkussinus, arkuskosinus argument leží v intervalu h−1, 1i
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Definiˇcní obory Ry 175
Tahák
Zadání Urˇcete podmínky a najdˇete definiˇcní obor funkce. x 2x − 1 2x + 6 b) y = arcsin 2 − c) y = arccos a) y = arcsin 3 2x + 3 3x
Zlomek jmenovatel je ruzný ˚ od 0
156.
ˇ Rešení
Video
1 d) y = arccos 1 − x
ˇ Teorie: 11 Rešené pˇríklady: 82, 83, 84 , 85, 86
Sudá odmocnina výraz pod odmocninou je nezáporný
Logaritmus argument je kladný Tangens argument je ruzný ˚ π 2 + k · π, k ∈ Z
od
Kotangens argument je ruzný ˚ od k · π, k∈Z
Arkussinus, arkuskosinus argument leží v intervalu h−1, 1i
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Graf lineární funkce Ry 176
157.
Zadání Pˇriˇrad’te k obrázku správný pˇredpis. a) y = 2
c) y = 2x − 3
b) y = 2x + 3
e) y = − 12 x + 1
d) y = 12 x + 1
f) x = 2.5
Doplnte ˇ definiˇcní obor a obor hodnot. Zjistˇete, zda je funkce sudá nebo lichá. Najdˇete intervaly, na kterých je funkce rostoucí, klesající. Je funkce ohraniˇcená? Má funkce extrémy? Který z tˇechto pˇredpisu˚ není lineární funkcí? ˇ Rešení
Video
¬
®
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
−5 −4 −3 −2 −1 −1
0 1
2
3
−5 −4 −3 −2 −1 −1
4
0 1
2
3
−5 −4 −3 −2 −1 −1
4
−2
−2
−2
−3
−3
−3
−4
−4
−4
−5
−5
−5
¯
° 4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
0 1
2
3
4
0 1
2
3
4
0 1
2
3
4
±
4
−5 −4 −3 −2 −1 −1
Teorie: 17
−5 −4 −3 −2 −1 −1
0 1
2
3
4
−5 −4 −3 −2 −1 −1
−2
−2
−2
−3
−3
−3
−4
−4
−4
−5
−5
−5
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Graf kvadratické funkce Ry 177
158.
Zadání Pˇriˇrad’te k obrázku správný funkˇcní pˇredpis. a) y = x2 + 1
b) y = x2 − 1
c) y = 3 − x2
d) y = ( x − 2)2
e) y =
1 2
6 − x − x2
f) y = 4 − x − x2
Doplnte ˇ definiˇcní obor a obor hodnot. Zjistˇete, zda je funkce sudá nebo lichá. Najdˇete intervaly, na kterých je funkce rostoucí, klesající. Je funkce ohraniˇcená? Má funkce extrémy? ˇ Rešení
Video
¬
®
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
−5 −4 −3 −2 −1 −1
0 1
2
3
−5 −4 −3 −2 −1 −1
4
0 1
2
3
−5 −4 −3 −2 −1 −1
4
−2
−2
−2
−3
−3
−3
−4
−4
−4
−5
−5
−5
¯
° 4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
0 1
2
3
4
0 1
2
3
4
0 1
2
3
4
±
4
−5 −4 −3 −2 −1 −1
Teorie: 18
−5 −4 −3 −2 −1 −1
0 1
2
3
4
−5 −4 −3 −2 −1 −1
−2
−2
−2
−3
−3
−3
−4
−4
−4
−5
−5
−5
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Graf lineární lomené funkce Ry 178
159.
Zadání Pˇriˇrad’te k obrázku správný funkˇcní pˇredpis. a) y =
1 x
b) y =
1 x+1
c) y =
2 x
d) y = −
3 x−1
e) y =
2x + 1 x
f) y =
1 − 2x x−2
Doplnte ˇ definiˇcní obor a obor hodnot. Zjistˇete, zda je funkce sudá nebo lichá. Najdˇete intervaly, na kterých je funkce rostoucí, klesající. Je funkce ohraniˇcená? Má funkce extrémy? ˇ Rešení
Video
¬
®
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
−5 −4 −3 −2 −1 −1
0 1
2
3
−5 −4 −3 −2 −1 −1
4
0 1
2
3
−5 −4 −3 −2 −1 −1
4
−2
−2
−2
−3
−3
−3
−4
−4
−4
−5
−5
−5
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
−5 −4 −3 −2 −1 −1
0 1
2
3
4
0 1
2
3
4
0 1
2
3
4
±
°
¯
Teorie: 21
−5 −4 −3 −2 −1 −1
0 1
2
3
4
−5 −4 −3 −2 −1 −1
−2
−2
−2
−3
−3
−3
−4
−4
−4
−5
−5
−5
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Graf exponenciální funkce Ry 179
160.
Zadání Pˇriˇrad’te k obrázku správný funkˇcní pˇredpis. a) y = 2x
b) y = −2x
c) y = 2x + 1
d) y = 2( x+1)
e) y =
x 1 2
f) y = 2 +
Doplnte ˇ definiˇcní obor a obor hodnot. Zjistˇete, zda je funkce sudá nebo lichá. Najdˇete intervaly, na kterých je funkce rostoucí, klesající. Je funkce ohraniˇcená? Má funkce extrémy? ˇ Rešení
Video
¬
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
−5 −4 −3 −2 −1 −1
0 1
2
3
−5 −4 −3 −2 −1 −1
4
0 1
2
3
−5 −4 −3 −2 −1 −1
4
−2
−2
−2
−3
−3
−3
−4
−4
−4
−5
−5
−5
°
¯
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
−5 −4 −3 −2 −1 −1
0 1
2
3
4
0 1
2
3
4
0 1
2
3
4
±
4
−5 −4 −3 −2 −1 −1
0 1
2
3
4
−5 −4 −3 −2 −1 −1
−2
−2
−2
−3
−3
−3
−4
−4
−4
−5
−5
−5
1 2
Teorie: 23
®
4
x −1
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Graf logaritmické funkce Ry 180
161.
Zadání Pˇriˇrad’te k obrázku správný funkˇcní pˇredpis. a) y = log3 x
c) y = log3 ( x − 2)
b) y = log1/3 x
d) y = 2 log1/3 x
e) y = 2 + log3 x
f) y = log3 ( x + 2)
Doplnte ˇ definiˇcní obor a obor hodnot. Zjistˇete, zda je funkce sudá nebo lichá. Najdˇete intervaly, na kterých je funkce rostoucí, klesající. Je funkce ohraniˇcená? Má funkce extrémy? ˇ Rešení
Video
¬
®
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
−1 −1
0 1
2
3
4
5
6
7
−1 −1
8
0 1
2
3
4
5
6
7
−1 −1
8
−2
−2
−2
−3
−3
−3
−4
−4
−4
−5
−5
−5
¯
°
0 1
2
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
0 1
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
0 1
2
3
4
5
6
±
4
−1 −1
Teorie: 24
−1 −1
0 1
2
3
4
5
6
7
8
−3 −2 −1 −1
−2
−2
−2
−3
−3
−3
−4
−4
−4
−5
−5
−5
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Graf goniometrické funkce sinus Ry 181
162.
Zadání Pˇriˇrad’te k obrázku správný funkˇcní pˇredpis. a) y = sin x
b) y = sin 2x
c) y = sin x −
π 3
d) y = 2 sin x
e) y = 2 + sin x
f) y = sin x +
π 4
Doplnte ˇ definiˇcní obor a obor hodnot. Zjistˇete, zda je funkce sudá nebo lichá. Najdˇete intervaly, na kterých je funkce rostoucí, klesající. Je funkce ohraniˇcená? Má funkce extrémy? ˇ Rešení
Video
¬
−3π −5π/2 −2π −3π/2 −π
3
3
2
2
2
1
1
1
0
π/2
−1
0
−π/2
π/2
−1
π −3π 2π −2π 3π −π 3π/2 −5π/2 5π/2 −3π/2
−π/2
−2
−2
−3
−3
−3
° 3
3
2
2
2
1
1
1
0
−1
π/2
π −3π 2π −2π 3π −π 3π/2 −5π/2 5π/2 −3π/2
π/2
π
3π/2
2π
5π/2
3π
0
π/2
π
3π/2
2π
5π/2
3π
±
3
−π/2
0
−1
−2
¯
−3π −5π/2 −2π −3π/2 −π
π −3π 2π −2π 3π −π 3π/2 −5π/2 5π/2 −3π/2
Teorie: 25
®
3
−π/2
0
−π/2 −1
π/2
π −3π 2π −2π 3π −π 3π/2 −5π/2 5π/2 −3π/2
−π/2 −1
−2
−2
−2
−3
−3
−3
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Graf goniometrické funkce kosinus Ry 182
163.
Zadání Pˇriˇrad’te k obrázku správný funkˇcní pˇredpis. a) y = cos x
b) y = cos 3x
c) y =
1 3
d) y = cos x −
cos x
π 4
e) y = cos x +
π 6
f) y = 1 − cos x
Doplnte ˇ definiˇcní obor a obor hodnot. Zjistˇete, zda je funkce sudá nebo lichá. Najdˇete intervaly, na kterých je funkce rostoucí, klesající. Je funkce ohraniˇcená? Má funkce extrémy? ˇ Rešení
Video
¬
−3π −5π/2 −2π −3π/2 −π
3
3
2
2
2
1
1
1
0
π/2
−1
π −3π 2π −2π 3π −π 3π/2 −5π/2 5π/2 −3π/2
0
−π/2
π/2
−1
π −3π 2π −2π 3π −π 3π/2 −5π/2 5π/2 −3π/2
−π/2
−2
−2
−3
−3
−3
° 3
3
2
2
2
1
1
1
0
−1
π/2
π −3π 2π −2π 3π −π 3π/2 −5π/2 5π/2 −3π/2
π/2
π
3π/2
2π
5π/2
3π
0
π/2
π
3π/2
2π
5π/2
3π
±
3
−π/2
0
−1
−2
¯
−3π −5π/2 −2π −3π/2 −π
®
3
−π/2
Teorie: 25
0
−π/2 −1
π/2
π −3π 2π −2π 3π −π 3π/2 −5π/2 5π/2 −3π/2
−π/2 −1
−2
−2
−2
−3
−3
−3
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Graf goniometrické funkce tangens a kotangens Ry 183
164.
Zadání Pˇriˇrad’te k obrázku správný funkˇcní pˇredpis. c) y = − tan x a) y = tan x b) y = tan x + π6
d) y = cot x
f) y = − cot x
e) y = tan 2x
Doplnte ˇ definiˇcní obor a obor hodnot. Zjistˇete, zda je funkce sudá nebo lichá. Najdˇete intervaly, na kterých je funkce rostoucí, klesající. Je funkce ohraniˇcená? Má funkce extrémy? ˇ Rešení
Video 5
¬
−3π −5π/2 −2π −3π/2 −π
4
−3π −5π/2 −2π −3π/2 −π
5
®
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
0
−π/2
π/2
−1
π −3π 2π −2π 3π −π 3π/2 −5π/2 5π/2 −3π/2
0
−π/2
π/2
−1
π −3π 2π −2π 3π −π 3π/2 −5π/2 5π/2 −3π/2
−π/2
−2
−2
−3
−3
−3
−4
−4
−4
−5
−5
−5
5
°
4
3
3
2
2
2
1
1
1
0
−1
π/2
π −3π 2π −2π 3π −π 3π/2 −5π/2 5π/2 −3π/2
0
−π/2 −1
π/2
π −3π 2π −2π 3π −π 3π/2 −5π/2 5π/2 −3π/2
π
3π/2
2π
5π/2
3π
0
π/2
π
3π/2
2π
5π/2
3π
4
3
−π/2
π/2
5
±
4
0
−1
−2
5
¯
5
Teorie: 26
−π/2 −1
−2
−2
−2
−3
−3
−3
−4
−4
−4
−5
−5
−5
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Graf lineární funkce - doplnit Ry 184
165.
Zadání Do pˇripravených obrázku˚ nakreslete grafy zadaných funkcí. a) y = 2x − 4
b) y = 4 − x
c) y =
1 x+2 3
d) y =
x−1 2
e) y =
1 − 3x 2
f) y = 4
Doplnte ˇ definiˇcní obor a obor hodnot. Zjistˇete, zda je funkce sudá nebo lichá. Najdˇete intervaly, na kterých je funkce rostoucí, klesající. Je funkce ohraniˇcená? Má funkce extrémy? ˇ Rešení 4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1
0 1
2
3
4
5
6
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1
0 1
2
3
4
5
6
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1
−2
−2
−2
−3
−3
−3
−4
−4
−4
−5
−5
−5
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1
0 1
2
3
4
5
6
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1
0 1
2
3
4
5
6
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1
−2
−2
−2
−3
−3
−3
−4
−4
−4
−5
−5
−5
Video
Teorie: 17
0 1
2
3
4
5
6
0 1
2
3
4
5
6
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Graf lineární funkce s absolutní hodnotou - doplnit Ry 185
166.
Zadání Do pˇripravených obrázku˚ nakreslete grafy zadaných funkcí. a) y = | x − 2| + |2x − 1|
b) y = | x + 1| − | x | + |2 − x | − 3
Doplnte ˇ definiˇcní obor a obor hodnot. Zjistˇete, zda je funkce sudá nebo lichá. Najdˇete intervaly, na kterých je funkce rostoucí, klesající. Je funkce ohraniˇcená? Má funkce extrémy? ˇ Rešení
Video 8 7 6 5 4 3 2 1
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1
0 1
2
3
4
5
6
0 1
2
3
4
5
6
4 3 2 1
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1 −2 −3 −4 −5
Teorie: 17
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Graf kvadratické funkce - doplnit Ry 186
167.
Zadání Do pˇripravených obrázku˚ nakreslete grafy zadaných funkcí. a) y = x2 + 4x + 4
b) y = x2 − 2x + 2
c) y = − x2 − 2x + 2
d) y = x2 − 2x
e) y = 3 − 3x2
f) y = x2 − 4x + 3
Doplnte ˇ definiˇcní obor a obor hodnot. Zjistˇete, zda je funkce sudá nebo lichá. Najdˇete intervaly, na kterých je funkce rostoucí, klesající. Je funkce ohraniˇcená? Má funkce extrémy? ˇ Rešení 4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1
0 1
2
3
4
5
6
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1
0 1
2
3
4
5
6
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1
−2
−2
−2
−3
−3
−3
−4
−4
−4
−5
−5
−5
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1
0 1
2
3
4
5
6
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1
0 1
2
3
4
5
6
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1
−2
−2
−2
−3
−3
−3
−4
−4
−4
−5
−5
−5
Video
Teorie: 18
0 1
2
3
4
5
6
0 1
2
3
4
5
6
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Graf lineární lomené funkce - doplnit Ry 187
168.
Zadání Do pˇripravených obrázku˚ nakreslete grafy zadaných funkcí. a) y = −
1 x
b) y =
2 x−1
c) y =
x x−1
d) y =
2x − 1 x
e) y = 1 −
1 x
f) y =
1−x 2−x
Doplnte ˇ definiˇcní obor a obor hodnot. Zjistˇete, zda je funkce sudá nebo lichá. Najdˇete intervaly, na kterých je funkce rostoucí, klesající. Je funkce ohraniˇcená? Má funkce extrémy? ˇ Rešení 4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1
0 1
2
3
4
5
6
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1
0 1
2
3
4
5
6
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1
−2
−2
−2
−3
−3
−3
−4
−4
−4
−5
−5
−5
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1
0 1
2
3
4
5
6
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1
0 1
2
3
4
5
6
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1
−2
−2
−2
−3
−3
−3
−4
−4
−4
−5
−5
−5
Video
Teorie: 21
0 1
2
3
4
5
6
0 1
2
3
4
5
6
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Graf exponenciální funkce - doplnit Ry 188
169.
Zadání Do pˇripravených obrázku˚ nakreslete grafy zadaných funkcí. a) y = 3x
c) y = 3x+1
b) y = 1 + 3x
e) y = 3− x
d) y = 1 − 3x
f) y = 3 − 3− x
Doplnte ˇ definiˇcní obor a obor hodnot. Zjistˇete, zda je funkce sudá nebo lichá. Najdˇete intervaly, na kterých je funkce rostoucí, klesající. Je funkce ohraniˇcená? Má funkce extrémy? ˇ Rešení 4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1
0 1
2
3
4
5
6
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1
0 1
2
3
4
5
6
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1
−2
−2
−2
−3
−3
−3
−4
−4
−4
−5
−5
−5
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1
0 1
2
3
4
5
6
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1
0 1
2
3
4
5
6
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1
−2
−2
−2
−3
−3
−3
−4
−4
−4
−5
−5
−5
Video
Teorie: 23
0 1
2
3
4
5
6
0 1
2
3
4
5
6
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Graf logaritmické funkce - doplnit Ry 189
170.
Zadání Do pˇripravených obrázku˚ nakreslete grafy zadaných funkcí. a) y = ln x
b) y = ln (2x )
c) y = ln (2 + x )
d) y = 2 + ln x
f) y = 2 − ln x
e) y = 2 ln x
Doplnte ˇ definiˇcní obor a obor hodnot. Zjistˇete, zda je funkce sudá nebo lichá. Najdˇete intervaly, na kterých je funkce rostoucí, klesající. Je funkce ohraniˇcená? Má funkce extrémy? ˇ Rešení 4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1
0 1
2
3
4
5
6
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1
0 1
2
3
4
5
6
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1
−2
−2
−2
−3
−3
−3
−4
−4
−4
−5
−5
−5
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1
0 1
2
3
4
5
6
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1
0 1
2
3
4
5
6
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1
−2
−2
−2
−3
−3
−3
−4
−4
−4
−5
−5
−5
Video
Teorie: 24
0 1
2
3
4
5
6
0 1
2
3
4
5
6
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Graf goniometrické funkce sinus - doplnit Ry 190
171.
Zadání Do pˇripravených obrázku˚ nakreslete grafy zadaných funkcí. c) y = sin (4x ) a) y = sin x b) y = sin x − π4
d) y = sin x + 4
e) y = sin
π 4
−x
f) y = 4 sin x
Doplnte ˇ definiˇcní obor a obor hodnot. Zjistˇete, zda je funkce sudá nebo lichá. Najdˇete intervaly, na kterých je funkce rostoucí, klesající. Je funkce ohraniˇcená? Má funkce extrémy? ˇ Rešení
−3π −5π/2 −2π −3π/2 −π
−3π −5π/2 −2π −3π/2 −π
Video 5
5
5
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
0
−π/2
π/2
π
−1
3π/2−3π2π−5π/2 5π/2−2π3π−3π/2 −π
0
−π/2
π/2
π
−1
3π/2−3π2π−5π/2 5π/2−2π3π−3π/2 −π
−π/2
−2
−2
−3
−3
−3
−4
−4
−4
−5
−5
−5
5
5
5
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
0
−1
π/2
π
3π/2−3π2π−5π/2 5π/2−2π3π−3π/2 −π
0
−π/2 −1
π/2
π
3π/2−3π2π−5π/2 5π/2−2π3π−3π/2 −π
0
π/2
π
3π/2
2π
5π/2
3π
0
π/2
π
3π/2
2π
5π/2
3π
−1
−2
−π/2
Teorie: 25
−π/2 −1
−2
−2
−2
−3
−3
−3
−4
−4
−4
−5
−5
−5
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Graf goniometrické funkce kosinus - doplnit Ry 191
172.
Zadání Do pˇripravených obrázku˚ nakreslete grafy zadaných funkcí. b) y = cos 2x
a) y = cos x
c) y =
1 2
d) y = 2 − cos x
cos x
e) y = cos x −
π 3
f) y = cos x +
π 3
Doplnte ˇ definiˇcní obor a obor hodnot. Zjistˇete, zda je funkce sudá nebo lichá. Najdˇete intervaly, na kterých je funkce rostoucí, klesající. Je funkce ohraniˇcená? Má funkce extrémy? ˇ Rešení
−3π −5π/2 −2π −3π/2 −π
−3π −5π/2 −2π −3π/2 −π
Video 5
5
5
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
0
−π/2
π/2
π
−1
3π/2−3π2π−5π/2 5π/2−2π3π−3π/2 −π
0
−π/2
π/2
π
−1
3π/2−3π2π−5π/2 5π/2−2π3π−3π/2 −π
−π/2
−2
−2
−3
−3
−3
−4
−4
−4
−5
−5
−5
5
5
5
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
0
−π/2 −1
π/2
π
3π/2−3π2π−5π/2 5π/2−2π3π−3π/2 −π
0
−π/2 −1
π/2
π
3π/2−3π2π−5π/2 5π/2−2π3π−3π/2 −π
Teorie: 25
0
π/2
π
3π/2
2π
5π/2
3π
0
π/2
π
3π/2
2π
5π/2
3π
−1
−2
−π/2 −1
−2
−2
−2
−3
−3
−3
−4
−4
−4
−5
−5
−5
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Graf goniometrické funkce tangens a kotangens - doplnit Ry 192
173.
Zadání Do pˇripravených obrázku˚ nakreslete grafy zadaných funkcí. a) y = tan x
b) y = cot x
d) y = cot 2x
c) y = tan 2x
e) y = tan x +
π 4
f) y = cot x +
π 4
Doplnte ˇ definiˇcní obor a obor hodnot. Zjistˇete, zda je funkce sudá nebo lichá. Najdˇete intervaly, na kterých je funkce rostoucí, klesající. Je funkce ohraniˇcená? Má funkce extrémy? ˇ Rešení
−3π −5π/2 −2π −3π/2 −π
−3π −5π/2 −2π −3π/2 −π
Video 5
5
5
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
0
−π/2
π/2
π
−1
3π/2−3π2π−5π/2 5π/2−2π3π−3π/2 −π
0
−π/2
π/2
π
−1
3π/2−3π2π−5π/2 5π/2−2π3π−3π/2 −π
−π/2
−2
−2
−3
−3
−3
−4
−4
−4
−5
−5
−5
5
5
5
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
0
−π/2 −1
π/2
π
3π/2−3π2π−5π/2 5π/2−2π3π−3π/2 −π
0
−π/2 −1
π/2
π
3π/2−3π2π−5π/2 5π/2−2π3π−3π/2 −π
Teorie: 26
0
π/2
π
3π/2
2π
5π/2
3π
0
π/2
π
3π/2
2π
5π/2
3π
−1
−2
−π/2 −1
−2
−2
−2
−3
−3
−3
−4
−4
−4
−5
−5
−5
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Vlastnosti funkce: sudá a lichá Ry 193
174.
Zadání Urˇcete, zda je funkce sudá nebo lichá. 2
a) y = 3x − b) y = 2 ˇ Rešení
x − x3
p
1−
x2
c) y = ln
2−x 2+x
e) y =
1 cos x x2
x2 − x + 1 f) y = 2 x +x+1
3x d) y = 2 + x4 Video
ˇ Teorie: 14 Rešené pˇríklady: 87, 88
Tahák Urˇcíme definiˇcní obor funkce a ovˇerˇ íme, zdali je soumˇerný podle poˇcátku reálné osy, tj. jestli platí:
∀x ∈ D f je také
−x ∈ D f . Sudá funkce: f (− x ) = f ( x ) Lichá funkce: f (− x ) = − f ( x )
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Složená funkce Ry 194
175.
Zadání Složte funkce v poˇradí g ◦ f a f ◦ g: a) f : y = x2 , g : y = log x ˇ Rešení
b) f : y = x + 2, g : y = cos x
1 c) f : y = , g : y = 2x3 + x + 2 x
d) f : y = sin x + 1, g : y = Video
Teorie: 15
√
x
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Inverzní funkce Ry 195
Tahák Funkce inverzní existuje pro funkce prosté.
176.
Zadání Urˇcete inverzní funkci, její definiˇcní obor a obor hodnot. Zakreslete graf funkce a funkce inverzní. √ b) f : y = 43 x − 2 a) f : y = 2 x + 1 ˇ Rešení
Video
ˇ Teorie: 15 Rešené pˇríklady: 89
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1
0 1
2
3
4
5
6
Pro definiˇcní obor a obor hodnot platí: D f −1 = H f H f −1 = D f
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1
−2
−2
−3
−3
−4
−4
−5
−5
−6
−6
−7
−7
Dále platí: f f −1 ( x ) = x f −1 ( f ( x )) = x
0 1
2
3
4
5
6
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Inverzní funkce Ry 196
Tahák Funkce inverzní existuje pro funkce prosté.
177.
Zadání Urˇcete inverzní funkci, její definiˇcní obor a obor hodnot. Zakreslete graf funkce a funkce inverzní. a) f : y =
Pro definiˇcní obor a obor hodnot platí: D f −1 = H f H f −1 = D f
√ b) f : y = − x + 5
5x − 1 x+2
ˇ Rešení
Video
ˇ Teorie: 15 Rešené pˇríklady: 89
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1
0 1
2
3
4
5
6
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1
−2
−2
−3
−3
−4
−4
−5
−5
−6
−6
−7
−7
Dále platí: f f −1 ( x ) = x f −1 ( f ( x )) = x
0 1
2
3
4
5
6
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Limity Ry 197
178.
Zadání Vypoˇcítejte limitu a) lim ( x2 − 3x + 2) x →2
ˇ Rešení
x+1 x →−1 3x − 2
b) lim
c) lim x2 · 2x x →3
Video
Teorie: 29 - 34
x+2 x →0 cos x
d) lim
ˇ Rešené pˇríklady: 90 - 102
Tahák Nejdˇríve dosad’te limitní bod do funkˇcního pˇredpisu. Jedná se o tou limitu?
neurˇci-
Pokud ano, její limitní typ.
urˇcíme
Funkce je v limitním bodˇe x0 spojitá, pokud lim f ( x ) = f ( x0 ).
x → x0
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Limity - racionální funkce Ry 198
179.
Zadání Vypoˇcítejte limitu x3 − 3x2 x →3 x 2 − x − 6
e) lim
x2 − 6x + 5 x →1 x 2 − 3x + 4
f) lim
x2 − 1 x →1 x − 1
c) lim
x2 − 1 x →1 x 3 − 1
d) lim
a) lim
b) lim ˇ Rešení
x3 − x x →−1 1 + 3x − 2x 3 1 x →1 ( x − 1 )2
Video
Teorie: 29 - 34
ˇ Rešené pˇríklady: 90 - 102
Tahák Nejdˇríve dosad’te limitní bod do funkˇcního pˇredpisu. Jedná se o tou limitu?
neurˇci-
Pokud ano, její limitní typ.
urˇcíme
Funkce je v limitním bodˇe x0 spojitá, pokud lim f ( x ) = f ( x0 ).
x → x0
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Limity Ry 199
180.
Zadání Vypoˇcítejte limitu 3x − tan x x →0 x + sin x
e) lim
sin 3x x →0 x
f) lim ( x cot 3x )
sin x x →0 2x2 − x
c) lim
tan x x →0 2x
d) lim
a) lim
b) lim ˇ Rešení
sin 3x x →0 sin 2x x →0
Video
Teorie: 29 - 34
ˇ Rešené pˇríklady: 90 - 102
Tahák Nejdˇríve dosad’te limitní bod do funkˇcního pˇredpisu. Jedná se o tou limitu?
neurˇci-
Pokud ano, její limitní typ.
urˇcíme
Funkce je v limitním bodˇe x0 spojitá, pokud lim f ( x ) = f ( x0 ).
x → x0
Platí: sin x = 1, x →0 x lim
resp. sin kx = 1, x →0 kx lim
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Limity Ry 200
181.
Zadání Vypoˇcítejte limitu √ x+4−3 a) lim 2 x →5 x − 3x − 10 ˇ Rešení
√ x+3−2 √ b) lim √ x →1 x+1− 2
√ c) lim
x →0
Video
x+4−2 sin 3x Teorie: 29 - 34
√ 3 d) lim
x →0
x+8−2 sin x
ˇ Rešené pˇríklady: 90 - 102
Tahák Nejdˇríve dosad’te limitní bod do funkˇcního pˇredpisu. Jedná se o tou limitu?
neurˇci-
Pokud ano, její limitní typ.
urˇcíme
Funkce je v limitním bodˇe x0 spojitá, pokud lim f ( x ) = f ( x0 ).
x → x0
Zlomek rozšíˇríme jedniˇckou ve vhodném tvaru, využijeme bud’
( a − b)( a + b) = a2 − b2 nebo
( a − b)( a2 + ab + b2 ) = a3 − b3 .
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Limity Ry 201
182.
Zadání Vypoˇcítejte limitu x x →2 x − 2
a) lim
ˇ Rešení
x2 − 9 x →0 x
b) lim
x+1 x →±5 x2 − 25
c) lim
Video
Teorie: 29 - 34
d) lim
x →−1
x+2
( x + 1)2
Tahák Nejdˇríve dosad’te limitní bod do funkˇcního pˇredpisu. Jedná se o tou limitu?
neurˇci-
Pokud ano, její limitní typ.
urˇcíme
ˇ Rešené pˇríklady: 90 - 102
Funkce je v limitním bodˇe x0 spojitá, pokud lim f ( x ) = f ( x0 ).
x → x0
ˇ Rešíme pomocí jednostranných limit.
Pracovní listy – Diferenciální poˇcet funkce jedné promˇenné
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Derivace Ry 203
Tahák
Zadání Vypoˇcítejte první derivaci funkce:
2.
( x n )0 = nx n−1
183.
1.
(c)0 = 0
a) y = x4 + ln x
c) y = ex sin x
e) y = x2 log3 x
3.
(e x ) 0 = e x
b) y = 3x4 − 5x2 + 1
d) y = ( x2 − 3x )( x2 + 2x )
f) y = ( x2 + 1) sin x ln x
4.
( a x )0 = a x ln a
ˇ Rešení
Video
Teorie: 37, 38, 39
ˇ Rešené pˇríklady: 104, 105, 106, 107
5.
(ln x )0 =
6.
(loga x )0 =
1 x 1 x ln a
7.
(sin x )0 = cos x
8.
(cos x )0 = − sin x
9.
(tan x )0 =
10.
(cot x )0 =
11.
(arcsin x )0 =
12. (arccos x )0 = 13. (arctan x )0 = 14.
(arccot x )0 = u = u( x )
1 cos2 x 1 − 2 sin x 1 √ 1 − x2 1 −√ 1 − x2 1 1 + x2 1 − 1 + x2
v = v( x )
15.
[c · u]0 = c · u0
16.
[u ± v]0 = u0 ± v0
17. 18. 19.
[u · v]0 = u0 · v + u · v0 h u i0 u0 · v − u · v0 = v v2
[u(v)]0 = u0 (v) · v0
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Derivace Ry 204
Tahák
Zadání Vypoˇcítejte první derivaci funkce:
2.
( x n )0 = nx n−1
3.
(e x ) 0 = e x
4.
( a x )0 = a x ln a
184.
a) y =
x2 − 5x − 1 x3
arccos x b) y = x ˇ Rešení
1.
c) y =
x−1 log2 x
1 cos x √ x−1 f) y = tan x
e) y =
1 − 10x d) y = 1 + 10x Video
Teorie: 37, 38, 39
ˇ Rešené pˇríklady: 104, 105, 106, 107
(c)0 = 0
5.
(ln x )0 =
6.
(loga x )0 =
1 x 1 x ln a
7.
(sin x )0 = cos x
8.
(cos x )0 = − sin x
9.
(tan x )0 =
10.
(cot x )0 =
11.
(arcsin x )0 =
12. (arccos x )0 = 13. (arctan x )0 = 14.
(arccot x )0 = u = u( x )
1 cos2 x 1 − 2 sin x 1 √ 1 − x2 1 −√ 1 − x2 1 1 + x2 1 − 1 + x2
v = v( x )
15.
[c · u]0 = c · u0
16.
[u ± v]0 = u0 ± v0
17. 18. 19.
[u · v]0 = u0 · v + u · v0 h u i0 u0 · v − u · v0 = v v2
[u(v)]0 = u0 (v) · v0
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Derivace Ry 205
Tahák
Zadání Vypoˇcítejte první derivaci funkce:
2.
( x n )0 = nx n−1
3.
(e x ) 0 = e x
4.
( a x )0 = a x ln a
185.
1.
2 +x
a) y = cos 5x
c) y = (2 + x3 )70
e) y = e3x
b) y = sin( x5 + 2x2 + 3)
d) y = ln( x2 + 8)
f) y = arctan
ˇ Rešení
Video
Teorie: 40
4 x
ˇ Rešené pˇríklady: 108, 109
(c)0 = 0
5.
(ln x )0 =
6.
(loga x )0 =
1 x 1 x ln a
7.
(sin x )0 = cos x
8.
(cos x )0 = − sin x
9.
(tan x )0 =
10.
(cot x )0 =
11.
(arcsin x )0 =
12. (arccos x )0 = 13. (arctan x )0 = 14.
(arccot x )0 = u = u( x )
1 cos2 x 1 − 2 sin x 1 √ 1 − x2 1 −√ 1 − x2 1 1 + x2 1 − 1 + x2
v = v( x )
15.
[c · u]0 = c · u0
16.
[u ± v]0 = u0 ± v0
17. 18. 19.
[u · v]0 = u0 · v + u · v0 h u i0 u0 · v − u · v0 = v v2
[u(v)]0 = u0 (v) · v0
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Derivace Ry 206
Tahák
Zadání Vypoˇcítejte první derivaci funkce: p c) y = 14 tan4 x a) y = 1 + x2 r x+1 b) y = d) y = ln( x sin x ) x−1
2.
( x n )0 = nx n−1
arctan e3x
3.
(e x ) 0 = e x
1 + tan( x + 1x )
4.
( a x )0 = a x ln a
186.
ˇ Rešení
1.
e) y = ln sin f) y = Video
Teorie: 40
q
√ 3
ˇ Rešené pˇríklady: 108, 109
(c)0 = 0
5.
(ln x )0 =
6.
(loga x )0 =
1 x 1 x ln a
7.
(sin x )0 = cos x
8.
(cos x )0 = − sin x
9.
(tan x )0 =
10.
(cot x )0 =
11.
(arcsin x )0 =
12. (arccos x )0 = 13. (arctan x )0 = 14.
(arccot x )0 = u = u( x )
1 cos2 x 1 − 2 sin x 1 √ 1 − x2 1 −√ 1 − x2 1 1 + x2 1 − 1 + x2
v = v( x )
15.
[c · u]0 = c · u0
16.
[u ± v]0 = u0 ± v0
17. 18. 19.
[u · v]0 = u0 · v + u · v0 h u i0 u0 · v − u · v0 = v v2
[u(v)]0 = u0 (v) · v0
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Druhá derivace Ry 207
Tahák
Zadání Vypoˇcítejte druhou derivaci explicitní funkce a výsledek upravte:
2.
( x n )0 = nx n−1
3.
(e x ) 0 = e x
4.
( a x )0 = a x ln a
187.
a) y = ˇ Rešení
1+x 1−x
1.
b) y = x (sin (ln x ) + cos (ln x ))
Video
Teorie: 41
ˇ Rešené pˇríklady: 110, 111, 112
(c)0 = 0
5.
(ln x )0 =
6.
(loga x )0 =
1 x 1 x ln a
7.
(sin x )0 = cos x
8.
(cos x )0 = − sin x
9.
(tan x )0 =
10.
(cot x )0 =
11.
(arcsin x )0 =
12. (arccos x )0 = 13. (arctan x )0 = 14.
(arccot x )0 = u = u( x )
1 cos2 x 1 − 2 sin x 1 √ 1 − x2 1 −√ 1 − x2 1 1 + x2 1 − 1 + x2
v = v( x )
15.
[c · u]0 = c · u0
16.
[u ± v]0 = u0 ± v0
17. 18. 19.
[u · v]0 = u0 · v + u · v0 h u i0 u0 · v − u · v0 = v v2
[u(v)]0 = u0 (v) · v0
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Derivace - logaritmické derivování Ry 208
Tahák Logaritmické derivování
188.
Zadání Logaritmickým derivováním vypoˇcítejte derivaci funkce: a) y = x ˇ Rešení
x2
b) y = x
ln x
c) y = (sin x ) Video
Teorie: 41
cos x
ˇ Rešené pˇríklady: 113
y = f ( x ) g( x ) ln y = ln f ( x ) g( x) ln y = g ( x ) · ln f ( x ) 1 0 1 · y = g0 ( x ) · ln f ( x ) + g ( x ) · · f 0 (x) y f (x) 1 0 0 0 y = y · g ( x ) · ln f ( x ) + g ( x ) · · f (x) f (x) 1 g( x ) 0 0 0 y = f (x) · f (x) · g ( x ) · ln f ( x ) + g ( x ) · f (x) Druhý zpusob, ˚ který lze použít, je následující identita: g( x ) f ( x ) g( x) = eln f ( x) = eg(x) ln f (x)
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - l’Hospitalovo pravidlo Ry 209
Tahák
189.
Limita typu „ 00 “
Zadání Spoˇcítejte limity l’Hospitalovým pravidlem: x3 + 2x2 − x − 2 x →−1 2x4 − x2 − 1
c) lim
ex − 1 b) lim x →0 2x
ex − 1 d) lim x →0 cos x − 1
x →0+
x − sin x x →0 x3
e3x − 2x − 1 sin2 2x
a) lim
e) lim
2
ln cos x x →0 x
l´Hospitalovo dlo
f) lim
lim
x → x0
ˇ Rešení
Video
Teorie: 42
ˇ Rešené pˇríklady: 114, 115
pravi-
f (x) f 0 (x) = lim 0 x → x0 g ( x ) g( x )
lze realizovat pˇrímo.
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - l’Hospitalovo pravidlo Ry 210
Tahák
190.
∞ Limita typu „ ± ±∞ “
Zadání Spoˇcítejte limity l’Hospitalovým pravidlem: ln x x →∞ x3
a) lim ˇ Rešení
2x3 − x2 + x − 3 x →∞ 5x 3 + 4x2 + 2
b) lim
c) lim
x →0+
ln x cot x
Video
Teorie: 42
ln sin x x →0 ln x
d) lim
l´Hospitalovo dlo
ˇ Rešené pˇríklady: 114, 115 lim
x → x0
pravi-
f (x) f 0 (x) = lim 0 x → x0 g ( x ) g( x )
lze realizovat pˇrímo.
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - l’Hospitalovo pravidlo Ry 211
Tahák
191.
Limita typu „0 · ∞“
Zadání Spoˇcítejte limity l’Hospitalovým pravidlem: a) lim x2 ln x x →0+
ˇ Rešení
1
b) lim x2 e x2 x →0
c) lim log x ln(1 − x ) x →1−
Video
Teorie: 42
d) lim (π − x ) tan x →π
ˇ Rešené pˇríklady: 114, 115
x 2
l´Hospitalovo pravidlo f 0 (x) f (x) = lim 0 lim x → x0 g ( x ) x → x0 g ( x ) nelze realizovat pˇrímo. Limitu je tˇreba upravit na typ pˇríznivý pro l´Hospitalovo pravidlo, tj. na ∞ typ „ 00 “nebo „ ± ±∞ “, lim f ( x ) g( x ) = lim
x → x0
x → x0
lim f ( x ) g( x ) = lim
x → x0
x → x0
f (x) 1 g( x )
g( x ) 1 f (x)
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - l’Hospitalovo pravidlo Ry 212
Tahák
192.
Limita typu „∞ − ∞“
Zadání Spoˇcítejte limity l’Hospitalovým pravidlem: 1 1 1 1 − b) lim − x a) lim sin x e −1 x →0+ 2x x →0+ x ˇ Rešení
Video
c) lim
x →0
Teorie: 42
1 1 − 2 x sin x x
ˇ Rešené pˇríklady: 114, 115
l´Hospitalovo pravidlo f 0 (x) f (x) = lim 0 lim x → x0 g ( x ) x → x0 g ( x ) nelze realizovat pˇrímo. Limitu je tˇreba upravit na typ pˇríznivý pro l´Hospitalovo pravidlo, tj. na ∞ typ „ 00 “nebo „ ± ±∞ “, použitím známých algebraických manipulací: vytýkání, pˇrevod na spoleˇcný jmenovatel, násobení jedniˇckou ve vhodném tvaru, apod.
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - l’Hospitalovo pravidlo Ry 213
Tahák
193.
Limita typu „00 , ∞0 , 0∞ , 1∞ “
Zadání Spoˇcítejte limity l’Hospitalovým pravidlem: 1 x a) lim 1 + b) lim x x x →∞ x x →0+ ˇ Rešení
1
c) lim (1 + 2x ) x x →0
Video
Teorie: 42
ˇ Rešené pˇríklady: 114, 115
l´Hospitalovo pravidlo lim
x → x0
f 0 (x) f (x) = lim 0 x → x0 g ( x ) g( x )
nelze realizovat pˇrímo. Limitu je tˇreba upravit na typ pˇríznivý pro l´Hospitalovo pravidlo, tj. na ∞ typ „ 00 “nebo „ ± ±∞ “, použitím následující identity: f ( x ) g( x) = eg( x) ln f ( x) .
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Derivace parametricky zadané funkce Ry 214
Tahák
194.
Zadání Vypoˇcítejte první derivaci parametricky zadané funkce: a) x = tan t , ˇ Rešení
y=
sin 2t , 2
t ∈ h0, π2 )
b) x = 5 (t − cos t) , Video
Teorie: 43
y = 5 (1 + sin t) ,
t ∈ h0, π i
ˇ Rešené pˇríklady: 116, 117
x = ϕ (t) y = ψ (t) ψ˙ (t) y0 = ϕ˙ (t)
ϕ˙ (t) 6= 0
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Derivace parametricky zadané funkce Ry 215
Tahák
195.
Zadání Vypoˇcítejte druhou derivaci parametricky zadané funkce: a) x = ˇ Rešení
1−t 1+t
y=
2t 1+t
t ∈ h0, 1i
b) x = a cos t ,
Video Teorie: 43
y = b sin t ,
a, b ∈ R , t ∈ (0, π )
ˇ Rešené pˇríklady: 116, 117
x = ϕ (t) y = ψ (t) ψ˙ (t) ϕ˙ (t) 6= 0 y0 = ϕ˙ (t) ψ¨ (t) · ϕ(˙ t) − ψ˙ (t) · ϕ¨ (t) y00 = ( ϕ˙ (t))3
ϕ˙ (t) 6= 0
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Teˇcna ke grafu funkce Ry 216
Tahák
Zadání Urˇcete obecnou rovnici teˇcny t a normály n v dotykovém bodˇe T ke grafu funkce f dané pˇredpisem:
smˇernicový tvar rovnice teˇcny
196.
a) y = ˇ Rešení
8 4 + x2
T = [2, ?]
b) y = ln x, Video
T = [e, ?]
Teorie: 45
ˇ Rešené pˇríklady: 119, 120
t : y − y0 = k t ( x − x0 ) bod dotyku T = [ x0 , y0 ] smˇernice teˇcny k t = f 0 ( x0 ) smˇernicový tvar rovnice normály t : y − y0 = k n ( x − x0 ) bod dotyku T = [ x0 , y0 ] smˇernice normály kn = −
1 f 0 (x
0)
obecná rovnice pˇrímky ax + by + c = 0
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Teˇcna ke grafu funkce Ry 217
Tahák
Zadání Urˇcete rovnice teˇcen ke grafu funkce f , které jsou rovnobˇežné s pˇrímkou p:
smˇernicový tvar rovnice teˇcny
197.
a) y = x2 + 4x − 5, ˇ Rešení
p : x + 4y = 0
b) y = x3 − 12x, Video
Teorie: 45
p:y=2 ˇ Rešené pˇríklady: 119, 120
t : y − y0 = k t ( x − x0 ) bod dotyku T = [ x0 , y0 ] smˇernice teˇcny k t = f 0 ( x0 )
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Teˇcna ke grafu funkce Ry 218
Tahák
Zadání Urˇcete rovnice teˇcen ke grafu funkce f , které jsou rovnobˇežné s osou x:
smˇernicový tvar rovnice teˇcny
198.
a) y = x4 − 12x ˇ Rešení
b) y = x2 + 4x − 5 Video
Teorie: 45
t : y − y0 = k t ( x − x0 ) ˇ Rešené pˇríklady: 119, 120
bod dotyku T = [ x0 , y0 ] smˇernice teˇcny k t = f 0 ( x0 )
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Teˇcna ke grafu parametricky zadané funkce Ry 219
Tahák
199.
Zadání Urˇcete rovnici teˇcny t a normály n cykloidy v dotykovém bodˇe T, v nˇemž t = Parametrické rovnice cykloidy jsou: x = a (t − sin t) y = a (1 − cos t) ; a > 0, t ∈ h0, 2π i
π 2.
smˇernicový tvar rovnice teˇcny t : y − y0 = k t ( x − x0 ) bod dotyku
ˇ Rešení
Video
Teorie: 45
ˇ Rešené pˇríklady: 119, 120
T = [ x0 , y0 ] smˇernice teˇcny k t = f 0 ( x0 ) smˇernicový tvar rovnice normály t : y − y0 = k n ( x − x0 ) bod dotyku T = [ x0 , y0 ] smˇernice normály kn = −
1 f 0 (x
0)
obecná rovnice pˇrímky ax + by + c = 0
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Diferenciál Ry 220
Tahák
Zadání Vypoˇcítejte diferenciál funkce y = f ( x ) v obecném bodˇe x vzhledem k obecnému pˇrírustku ˚ dx:
Diferenciál funkce y = f ( x )
200.
1 a) y = √ 2 x ˇ Rešení
b) y =
x3 + 1 x3 − 1
c) y = tan2 x
d) y = arctan e2x
Video
Teorie: 44
dy = f 0 ( x )dx
Diferenciál funkce f v bodˇe x0 dy( x0 ) = f 0 ( x0 ) · ( x − x0 )
Diferenciál funkce f v bodˇe x0 pˇri známém pˇrírustku ˚ dx dy( x0 )(dx ) = f 0 ( x0 ) · dx ∈ R
Diferenciál druhého rˇádu funkce y = f ( x ) d2 y = f 00 ( x )dx2
Diferenciál n-tého rˇádu funkce y = f ( x ) dn y = f (n) ( x )dx n
Pˇribližný výpoˇcet funkˇcních hodnot f ( x ) ≈ f ( x0 ) + d f ( x0 )(dx )
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Diferenciál Ry 221
Tahák
201.
Zadání Vypoˇcítejte pˇribližnˇe s využitím diferenciálu funkˇcí hodnotu funkce y = ˇ Rešení
√
x v bodˇe x0 = 4,4.
Video
Teorie: 44
Diferenciál funkce y = f ( x ) dy = f 0 ( x )dx
Diferenciál funkce f v bodˇe x0 dy( x0 ) = f 0 ( x0 ) · ( x − x0 )
Diferenciál funkce f v bodˇe x0 pˇri známém pˇrírustku ˚ dx dy( x0 )(dx ) = f 0 ( x0 ) · dx ∈ R
Diferenciál druhého rˇádu funkce y = f ( x ) d2 y = f 00 ( x )dx2
Diferenciál n-tého rˇádu funkce y = f ( x ) dn y = f (n) ( x )dx n
Pˇribližný výpoˇcet funkˇcních hodnot f ( x ) ≈ f ( x0 ) + d f ( x0 )(dx )
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Diferenciál Ry 222
Tahák
Zadání Vypoˇcítejte diferenciál druhého rˇ ádu funkce y = f ( x ) v obecném bodˇe x vzhledem k obecnému pˇrírustku ˚ dx: √ 3 b) y = ( x + 1)3 ( x − 1)2 c) y = sin2 x a) y = x2
Diferenciál funkce y = f ( x )
ˇ Rešení
Diferenciál funkce f v bodˇe x0
202.
Video
Teorie: 44
dy = f 0 ( x )dx
dy( x0 ) = f 0 ( x0 ) · ( x − x0 )
Diferenciál funkce f v bodˇe x0 pˇri známém pˇrírustku ˚ dx dy( x0 )(dx ) = f 0 ( x0 ) · dx ∈ R
Diferenciál druhého rˇádu funkce y = f ( x ) d2 y = f 00 ( x )dx2
Diferenciál n-tého rˇádu funkce y = f ( x ) dn y = f (n) ( x )dx n
Pˇribližný výpoˇcet funkˇcních hodnot f ( x ) ≈ f ( x0 ) + d f ( x0 )(dx )
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Tayloruv Ry 223 ˚ polynom
Tahák
Zadání Napište Tayloruv ˚ polynom n-tého stupnˇe Tn ( x ) na okolí bodu x0 pro funkci:
Tayloruv ˚ polynom n-tého stupnˇe funkce y = f ( x ) v bodˇe x0
203.
1 a) f : y = √ , x0 = 1, n = 3 x ˇ Rešení
b) f : y = ln x, x0 = 1, n = 3 Tn ( x0 ) = f ( x0 ) + Video Teorie: 46
ˇ Rešené pˇríklady: 121, 122
d n f ( x0 ) d f ( x0 ) +···+ 1! n!
Tayloruv ˚ polynom tˇretího stupnˇe funkce y = f ( x ) v bodˇe x0 T3 ( x0 ) = f ( x0 ) + d3 f ( x0 ) 3!
d f ( x0 ) d2 f ( x0 ) + + 1! 2!
resp. 1 0 f ( x0 )( x − x0 ) 1! 1 1 + f 00 ( x0 )( x − x0 )2 + f 000 ( x0 )( x − x0 )3 2! 3!
T3 ( x0 ) = f ( x0 ) +
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Monotónnost a lokální extrémy funkce Ry 224
Tahák
Zadání Naleznˇete intervaly monotónnosti a lokální extrémy.
1. Definiˇcní obor.
204.
a) f ( x ) = x3 + 3x2 ˇ Rešení
b) f ( x ) = x3 + x2 − x + 1 Video
ˇ Teorie: 48 Rešené pˇríklady: 123, 124, 125, 126
2. První derivace definiˇcní obor.
a
její
3. Stacionární body, tervaly plus mínus.
in-
4. Znaménko vace. Funkce jestliže f 0 ( x ) > klesající, jestliže
první derije rostoucí, 0. Funkce je f 0 ( x ) < 0.
5. Lokální extrémy. 6. Pozor na definiˇcní obor. V bodech nespojitosti neexistují extrémy!
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Monotónnost a lokální extrémy funkce Ry 225
Tahák
Zadání Naleznˇete intervaly monotónnosti a lokální extrémy.
1. Definiˇcní obor.
205.
a) f ( x ) = x − 2 ln ( x + 1) ˇ Rešení
b) f ( x ) = Video
x2 + 2x + ln x 2
ˇ Teorie: 48 Rešené pˇríklady: 123, 124, 125, 126
2. První derivace definiˇcní obor.
a
její
3. Stacionární body, tervaly plus mínus.
in-
4. Znaménko vace. Funkce jestliže f 0 ( x ) > klesající, jestliže
první derije rostoucí, 0. Funkce je f 0 ( x ) < 0.
5. Lokální extrémy. 6. Pozor na definiˇcní obor. V bodech nespojitosti neexistují extrémy!
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Konvexnost, konkávnost, inflexní body Ry 226
Tahák
Zadání Najdˇete intervaly, kde je funkce konvexní a kde konkávní, najdˇete její inflexní body.
1. Definiˇcní obor.
206.
a) f ( x ) = x4 − 6x3 + 24x2 − 12 ˇ Rešení
b) f ( x ) =
x+1 x−2
Video
Teorie: 49
2. První derivace definiˇcní obor. ˇ Rešené pˇríklady: 127
a
její
3. Druhá derivace a její definiˇcní obor. 4. Nulové body druhé derivace, intervaly plus mínus. 5. Znaménko druhé derivace. Funkce je konvexní, jestliže f 00 ( x ) > 0. Funkce je konkávní, jestliže f 00 ( x ) < 0. 6. Inflexní body.
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Asymptoty Ry 227
Tahák
Zadání Urˇcete všechny asymptoty grafu funkce:
1. Definiˇcní obor.
207.
a) y = ˇ Rešení
2x2 − 3x + 1 3x + 3
b) y =
2x − 1 x2
Video
2. Urˇcíme v krajních bodech intervalu˚ spojitosti jednostranné limity.
ˇ Teorie: 50 Rešené pˇríklady: 128, 129 3. Asymptota bez smˇernice existuje v daném bodˇe pouze v pˇrípadˇe, že nˇekterá z jednostranných limit vyjde nevlastní. 4. Asymptota nicí y = kx + q
se
smˇer-
f (x) x q = lim ( f ( x ) − kx ) k = lim
x →∞ x →∞
nebo f (x) x →−∞ x q = lim ( f ( x ) − kx ) k = lim
x →−∞
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Asymptoty Ry 228
Tahák
Zadání Urˇcete všechny asymptoty grafu funkce:
1. Definiˇcní obor.
208.
a) y = ˇ Rešení
x2 − 2x + 1 2x − 1
b) y =
2x3 x2 − 1
Video
2. Urˇcíme v krajních bodech intervalu˚ spojitosti jednostranné limity.
ˇ Teorie: 50 Rešené pˇríklady: 128, 129 3. Asymptota bez smˇernice existuje v daném bodˇe pouze v pˇrípadˇe, že nˇekterá z jednostranných limit vyjde nevlastní. 4. Asymptota nicí y = kx + q
se
smˇer-
f (x) x q = lim ( f ( x ) − kx ) k = lim
x →∞ x →∞
nebo f (x) x →−∞ x q = lim ( f ( x ) − kx ) k = lim
x →−∞
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Prubˇ Ry 229 ˚ eh funkce
Tahák
209.
Zadání Urˇcete prubˇ ˚ eh funkce y = ˇ Rešení
x2 . x+1 Video
ˇ Teorie: 51 Rešené pˇríklady: 123 - 129
1. definiˇcní obor funkce, nulové body, intervaly plus mínus 2. sudost, dicita
lichost,
perio-
3. spojist, asymptoty bez smˇernice 4. první derivace, její definiˇcní obor, nulové (stacionární) body, intervaly plus mínus 5. monotónnost 6. lokální extrémy 7. druhá derivace, její definiˇcní obor, nulové body, intervaly plus mínus 8. konvexnost, nost, inflexe
konkáv-
9. asymptoty se smˇernicí 10. graf, obor hodnot
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Prubˇ Ry 230 ˚ eh funkce
Tahák
Zadání Urˇcete prubˇ ˚ eh funkce y = ln cos x.
1. definiˇcní obor funkce, nulové body, intervaly plus mínus
210.
ˇ Rešení
Video
ˇ Teorie: 51 Rešené pˇríklady: 123 - 129
2. sudost, dicita
lichost,
perio-
3. spojist, asymptoty bez smˇernice 4. první derivace, její definiˇcní obor, nulové (stacionární) body, intervaly plus mínus 5. monotónnost 6. lokální extrémy 7. druhá derivace, její definiˇcní obor, nulové body, intervaly plus mínus 8. konvexnost, nost, inflexe
konkáv-
9. asymptoty se smˇernicí 10. graf, obor hodnot
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Prubˇ Ry 231 ˚ eh funkce
Tahák
Zadání Urˇcete prubˇ ˚ eh funkce y = x2 ln x.
1. definiˇcní obor funkce, nulové body, intervaly plus mínus
211.
ˇ Rešení
Video
ˇ Teorie: 51 Rešené pˇríklady: 123 - 129
2. sudost, dicita
lichost,
perio-
3. spojist, asymptoty bez smˇernice 4. první derivace, její definiˇcní obor, nulové (stacionární) body, intervaly plus mínus 5. monotónnost 6. lokální extrémy 7. druhá derivace, její definiˇcní obor, nulové body, intervaly plus mínus 8. konvexnost, nost, inflexe
konkáv-
9. asymptoty se smˇernicí 10. graf, obor hodnot
Matematika I - pracovní listy
ˇ - Prubˇ Ry 232 ˚ eh funkce
212.
Zadání Zakreslete graf funkce f , víte-li, že:
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ Rešení
Video
Teorie: 51
y
1. D f = R Hf = R 2. funkce nemá body nespojitosti limity v krajních bodech jsou lim f ( x ) = −∞ x →−∞
lim f ( x ) = ∞
x →∞
3. funkce není sudá, není lichá, není periodická 4. pruseˇ ˚ cík s osou x je: [−3, 0] pruseˇ ˚ cík s osou y je: [0, 1] funkce je kladná na intervalu (−3, ∞) záporná na (−∞, −3) 5. funkce má lokální maximum v bodˇe [−1, 5] a lokální minimum v bodˇe [1, 21 ] je rostoucí na intervalech (−∞, −1) a (1, ∞) a klesající na (−1, 1) 6. funkce má inflexní body [− 21 , 2] funkce je konvexní na intervalu (− 12 , ∞) a konkávní na (−∞, − 12 ) 7. funkce nemá asymptoty
0
x
Matematika I - pracovní listy
ˇ - Prubˇ Ry 233 ˚ eh funkce
213.
Zadání Zakreslete graf funkce f , víte-li, že:
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ Rešení
Video
Teorie: 51
y
1. D f = R H f = h0, 3) 2. funkce nemá body nespojitosti limity v krajních bodech jsou lim f ( x ) = 3 x →−∞
lim f ( x ) = 3
x →∞
3. funkce je sudá, není lichá, není periodická 4. pruseˇ ˚ cík s osou x je: [0, 0] pruseˇ ˚ cík s osou y je: [0, 0] funkce je kladná na R 5. funkce má lokální minimum v bodˇe [0, 0] je rostoucí na interval (0, ∞) a klesajicí na (−∞, 0) 6. funkce má inflexní body [−2, 1] a [2, 1] funkce je konvexní na intervalu (−2, 2) a konkávní na (−∞, −2) a (2, ∞) 7. funkce má v ∞ a v −∞ asymptotu y = 3
0
x
Matematika I - pracovní listy
ˇ - Prubˇ Ry 234 ˚ eh funkce
214.
Zadání Zakreslete graf funkce f , víte-li, že:
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ Rešení
Video
Teorie: 51
y
1. D f = (1, ∞) Hf = R 2. funkce nemá body nespojitosti limity v krajních bodech jsou lim f ( x ) = −∞ x →1+
lim f ( x ) = ∞
x →∞
3. funkce není sudá, není lichá, není periodická 4. pruseˇ ˚ cík s osou x je: [4, 0] pruseˇ ˚ cík s osou y není funkce je kladná na intervalu (4, ∞) záporná na (1, 4) 5. funkce nemá lokální extrémy je rostoucí na celém D f 6. funkce má inflexní bod [3, −2] funkce je konvexní na intervalu (3, ∞) a konkávní na (1, 3) 7. funkce má asymptotu x = 1
0
x
Matematika I - pracovní listy
ˇ - Prubˇ Ry 235 ˚ eh funkce
215.
Zadání Zakreslete graf funkce f , víte-li, že:
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ Rešení
Video
Teorie: 51
y
1. D f = R H f = h−5, ∞) 2. funkce nemá body nespojitosti limity v krajních bodech jsou lim f ( x ) = ∞ x →−∞
lim f ( x ) = ∞
x →∞
3. funkce není sudá, není lichá, není periodická 4. pruseˇ ˚ cíky s osou x jsou: [−4, 0], a [2, 0] pruseˇ ˚ cík s osou y je: [0, −3] funkce je kladná na (−∞, −4) a (2, ∞) záporná na (−4, 2) 5. funkce má lokální minimum v bodˇe [−1, −5] je rostoucí na interval (−1, ∞) a klesajicí na (−∞, −1) 6. funkce má inflexní bod [4, 5] funkce je konvexní na intervalu (−∞, 4) a konkávní na (4, ∞) 7. funkce má v ∞ asymptotu y = x + 3
0
x
Pracovní listy – Lineární algebra
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Matice Ry 237
Tahák
Zadání Vypoˇctˇete matici D danou vztahem: D = 2 · A − B + C, 1 0 −1 2 −1 3 3 2 5 0 4 5 , , B= A= −4 3 0 −3 7 6 8 0 1 7 1 −2
Nejdˇríve násobíme každý prvek matice A cˇ íslem 2, poté od výsledné matice odeˇcteme matici B, odeˇcítáme vzájemnˇe si odpovídající prvky, nakonec pˇriˇcteme matici C.
216.
ˇ Rešení
Video
2
1
0
0
3
−5
−3 −7 5 . C= −4 3 −1 Teorie: 53, 54, 55
ˇ Rešené pˇríklady: 131
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Matice Ry 238
Tahák
Zadání Diskutujte existenci souˇcinu a poté vypoˇctˇete A · B, B · A:
Souˇcin matic:
217.
a) A =
ˇ Rešení
2
1
7 −5
!
, B=
−3 1 0
4
!
−1 1 −1 1 2 3 , B = 2 3 1 b) A = 1 − 1 1 3 1 2 −1 1 −1 Video
Teorie: 53, 54, 55
ˇ Rešené pˇríklady: 132
A = ( aik ) matice typu m × p B = (bkj ) matice typu p × n. Pak C = A · B = (cij ) matice typu m × n, kde p
cij =
∑ aik · bkj
k =1
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Matice Ry 239
Tahák
Zadání Diskutujte existenci souˇcinu matic a vynásobte matice: 5 −1 b) 0 1 2 · a) 1 −2 · −1 3 4 3 −1
Souˇcin matic:
218.
ˇ Rešení
Video
2
−2
−4 0 · c) 3 4 3 1 −1 −3 Teorie: 53, 54, 55
!
ˇ Rešené pˇríklady: 132
A = ( aik ) matice typu m × p B = (bkj ) matice typu p × n. Pak C = A · B = (cij ) matice typu m × n, kde p
cij =
∑ aik · bkj
k =1
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Matice Ry 240
Tahák
Zadání Diskutujte existenci souˇcinu matic a vynásobte matice: ! ! 2 1 0 2 1 −5 −2 0 · b) a) −1 −3 3 −4 · −1 3 1 −4 3 −2 5 −2
Souˇcin matic:
219.
ˇ Rešení
Video
c)
Teorie: 53, 54, 55
5
6 −8
−2 0
1
!
·
2
−1
!
ˇ Rešené pˇríklady: 132
A = ( aik ) matice typu m × p B = (bkj ) matice typu p × n. Pak C = A · B = (cij ) matice typu m × n, kde p
cij =
∑ aik · bkj
k =1
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Matice Ry 241
Tahák
220.
Zadání
Transponujte matice:
ˇ Rešení
1
2 3 12
, A= 4 − 1 2 15 0 3 8 7
B=
−1
2
3
3
0
7
13
Transpozice:
0 8 1 −2 −5 . 6 −5 4 1 9 10 12 0
výmˇena rˇ ádku˚ a sloupcu˚ matice. A = ( aij ) ⇒ AT = ( a ji )
Video
Teorie: 53, 54, 55
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Hodnost matice Ry 242
Tahák
221.
Zadání Urˇcete hodnost matice:
ˇ Rešení
2
1
0 3 A= 1 −2 3 1
−1
Matici pˇrevedeme na schodovitý tvar. Poté spoˇcítáme nenulové rˇ ádky matice ve schodovitém tvaru.
1 . 0 1 Video
Teorie: 56
ˇ Rešené pˇríklady: 133
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Hodnost matice Ry 243
Tahák
222.
Zadání Urˇcete hodnost matice:
ˇ Rešení
0
1
3
1
Matici pˇrevedeme na schodovitý tvar. Poté spoˇcítáme nenulové rˇ ádky matice ve schodovitém tvaru.
2 −2 1 3 B= 2 −1 4 4 . 2 −3 −2 2 Video
Teorie: 56
ˇ Rešené pˇríklady: 133
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Hodnost matice Ry 244
Tahák
223.
Zadání
Urˇcete hodnost matice:
2 2 C= 4
−1
ˇ Rešení
−1 6 0 3
3
0 2
Matici pˇrevedeme na schodovitý tvar. Poté spoˇcítáme nenulové rˇ ádky matice ve schodovitém tvaru.
1 3 . −1 1 1 2 0 1 3
Video
Teorie: 56
ˇ Rešené pˇríklady: 133
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Hodnost matice Ry 245
Tahák
224.
Zadání
Urˇcete hodnost matice:
ˇ Rešení
4 8 D = 4 4 8
3 −5 2
3
Matici pˇrevedeme na schodovitý tvar. Poté spoˇcítáme nenulové rˇ ádky matice ve schodovitém tvaru.
2 3 −8 2 7 . 3 1 2 −5 6 −1 4 −6 6 −7 4
Video
Teorie: 56
ˇ Rešené pˇríklady: 133
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Determinanty Ry 246
Tahák
Zadání Vypoˇctˇete následující determinanty 2. rˇ ádu: −5 4 3 −8 b) a) −2 3 2 4
Determinanty 2. rˇ ádu
225.
ˇ Rešení
Video
Teorie: 57, 58, 59
−2 3 c) 0 −5
ˇ Rešené pˇríklady: 134 - 141
- kˇrížové pravidlo: Souˇcin prvku˚ na hlavní diagonále mínus souˇcin prvku˚ na vedlejší diagonále. a a 11 12 | A| = = a11 · a22 − a12 · a21 a21 a22
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Determinanty Ry 247
Tahák
Zadání Vypoˇctˇete následující determinanty 3. rˇ ádu: 5 −1 3 3 −2 0 b) 2 4 −2 a) −1 −5 2 14 6 2 2 3 1
Determinanty 3. rˇ ádu
226.
ˇ Rešení
Video
0 2 2 c) 2 0 2 2 2 0
Teorie: 57, 58, 59
1 0 0 d) 2 1 0 3 2 1
ˇ Rešené pˇríklady: 134 - 141
- Sarrusovo pravidlo: Opíšeme první 2 rˇ ádky. Prvky ležící na úhlopˇríˇckách vynásobíme, pˇriˇcemž tˇem, které smˇerˇ ují zleva doprava (hlavní diagonála) pˇriˇradíme znaménko + a tˇem, které smˇerˇ ují zprava doleva (vedlejší diagonála) pˇriˇradíme znaménko -. a11 a12 a13 | A| = a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 a12 a13 a21 a22 a23
= a11 · a22 · a33 + a21 · a32 · a13 + a31 · a12 · a23 − ( a13 · a22 · a31 + a23 · a32 · a11 + a33 · a12 · a21 )
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Determinanty Ry 248
Tahák
Zadání
Vhodný rˇ ádek (sloupec) je ten, který obsahuje co nejvíce nul.
227.
2 1 −8 3 0 −2 8 −1 rozvojem podle cˇ tvrtého sloupce. Vypoˇctˇete determinant 4 −7 −2 0 −1 3 1 1 ˇ Rešení
Video
Teorie: 57, 58, 59
Laplaceuv ˚ rozvoj pro matici A rˇ ádu n:
ˇ Rešené pˇríklady: 134 - 141
a) rozvoj determinantu podle i-tého rˇ ádku
| A| = ai1 · aˆ i1 + ai2 · aˆ i2 + · · · + ain · aˆ in , respektive n
| A| =
∑ (−1)i+ j · aij · | Aij |,
j =1
b) rozvoj determinantu podle j-tého sloupce
| A| = a1j · aˆ 1j + a2j · aˆ 2j + · · · + anj · aˆ nj . respektive n
| A| =
∑ (−1)i+ j · aij · | Aij |,
i =1
kde matice Aij vznikne z matice A vynecháním i-tého rˇ ádku a j-tého sloupce.
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Determinanty Ry 249
Tahák
228.
Zadání
1 2 1 −1 Vypoˇctˇete determinant 0 1 −1 0 ˇ Rešení
1 2 2 1
−1 1 pˇrevodem na trojúhelníkový tvar. 2 2 Video
Teorie: 57, 58, 59
Vlastnosti determinantu: ˚
• | A | = | AT | • | A · B| = | A| · | B| ˇ Rešené pˇríklady: 134 - 141
• Má-li matice A dva rˇádky (sloupce) stejné, pak | A| = 0. • Vznikne-li matice B z A: a) vzájemnou výmˇenou dvou rˇ ádku˚ (sloupcu), ˚ pak: | B| = −| A|, b) vynásobením jednoho rˇ ádku (sloupce) cˇ íslem k ∈ R, pak | B | = k · | A |, c) pˇriˇctením k-násobku, k ∈ R, jednoho rˇ ádku (sloupce) k jinému, pak: | B| = | A|. • Jsou-li rˇádky (sloupce) matice A lineárnˇe závislé, pak | A| = 0. • Determinant trojúhelníkové matice je roven souˇcinu prvku˚ hlavní diagonály.
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Determinanty Ry 250
Tahák
229.
Zadání
Vypoˇctˇete následující determinant:
ˇ Rešení
1 2 1 −1 0 1 −1 0
1 2 2 1
−1 1 . 2 2
Video
Vlastnosti determinantu: ˚
• | A | = | AT | • | A · B| = | A| · | B|
Teorie: 57, 58, 59
ˇ Rešené pˇríklady: 134 - 141
• Má-li matice A dva rˇádky (sloupce) stejné, pak | A| = 0. • Vznikne-li matice B z A: a) vzájemnou výmˇenou dvou rˇ ádku˚ (sloupcu), ˚ pak: | B| = −| A|, b) vynásobením jednoho rˇ ádku (sloupce) cˇ íslem k ∈ R, pak | B | = k · | A |, c) pˇriˇctením k-násobku, k ∈ R, jednoho rˇ ádku (sloupce) k jinému, pak: | B| = | A|. • Jsou-li rˇádky (sloupce) matice A lineárnˇe závislé, pak | A| = 0. • Determinant trojúhelníkové matice je roven souˇcinu prvku˚ hlavní diagonály.
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Determinanty Ry 251
Tahák Pro sestavení rovnice s neznámou x použijte Sarrusovo pravidlo.
230.
Zadání
x 0 −x Pro která x je determinant 0 x 0 roven 0? 1 x 1 ˇ Rešení
Video
Teorie: 57, 58, 59
ˇ Rešené pˇríklady: 134 - 141
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Inverzní matice Ry 252
Tahák
Zadání Vypoˇctˇete k dané matici A matici inverzní (A−1 ) eliminaˇcní metodou a proved’te zkoušku: ! ! 2 1 0 −6 a) b) 2 3 −3 4
Každou regulární matici A pˇrevedeme jen rˇ ádkovˇe ekvivalentními úpravami na jednotkovou matici E. Stejné úpravy aplikujeme na jednotkovou matici E, která tímto pˇrejde na inverzní matici A−1 , symbolicky
231.
ˇ Rešení
Video
Teorie: 60
ˇ Rešené pˇríklady: 142, 143
( A | E ) ∼ · · · ∼ ( E | A −1 ).
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Inverzní matice Ry 253
Tahák
Zadání Vypoˇctˇete k dané matici A matici inverzní (A−1 ) eliminaˇcní metodou a proved’te zkoušku: −1 7 −5 1 0 −1 2 −1 1 b) a) 3 1 5 2 8 0 1 1 −2
Každou regulární matici A pˇrevedeme jen rˇ ádkovˇe ekvivalentními úpravami na jednotkovou matici E. Stejné úpravy aplikujeme na jednotkovou matici E, která tímto pˇrejde na inverzní matici A−1 , symbolicky
232.
ˇ Rešení
Video
Teorie: 60
ˇ Rešené pˇríklady: 142, 143
( A | E ) ∼ · · · ∼ ( E | A −1 ).
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Inverzní matice Ry 254
Tahák
233.
Zadání Vypoˇctˇete k dané matici A matici inverzní (A−1 ) eliminaˇcní metodou a proved’te zkoušku:
ˇ Rešení
Video
Teorie: 60
1 1 2 1
4 2 2 1 2 1 3 1 2 2 3 2
ˇ Rešené pˇríklady: 142, 143
Každou regulární matici A pˇrevedeme jen rˇ ádkovˇe ekvivalentními úpravami na jednotkovou matici E. Stejné úpravy aplikujeme na jednotkovou matici E, která tímto pˇrejde na inverzní matici A−1 , symbolicky
( A | E ) ∼ · · · ∼ ( E | A −1 ).
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Inverzní matice Ry 255
Tahák
234.
−1 Zadání Vypoˇctˇete k dané matici A matici inverzní (A ) užitím determinantu a proved’te zkoušku: 2 3 1 A = −1 2 5 . 3 −2 7
ˇ Rešení
Video
Teorie: 60
ˇ Rešené pˇríklady: 142, 143
A −1 =
1 · ( Aalg )T , | A|
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Soustavy lineárních rovnic Ry 256
Tahák
Zadání ˇ Rešte soustavu lineárních rovnic a proved’te zkoušku:
Frobeniova vˇeta: Soustava m lineárních rovnic o n neznámých
235.
a)
3x + y = 1 x−y = 7
ˇ Rešení
b)
5x1 − 6x2 = −3 x1 + 2x2 = −7 Video
Teorie: 61, 62
c)
2x1 − 6x2 = 4 3x1 − 9x2 = 1
ˇ Rešené pˇríklady: 144, 146, 147, 149, 151, 152
A·x = B má alesponˇ jedno rˇ ešení právˇe když h ( A ) = h ( A | B ), tj. když hodnost matice soustavy se rovná hodnosti matice rozšíˇrené. Pokud h ( A ) 6 = h ( A | B ), pak soustava nemá rˇ ešení. Má-li soustava rˇ ešení, tj h( A) = h( A| B) = h, pak pro h=n má soustava právˇe jedno rˇ ešení, jinak, tj. pro h < n, má soustava ∞-mnoho rˇ ešení závislých na n − h parametrech.
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Soustavy lineárních rovnic Ry 257
Tahák
236.
Zadání ˇ Rešte soustavu lineárních rovnic a proved’te zkoušku: ˇ Rešení
Video
3x1 + 4x2 + 2x3 = 2 x1 − 2x2 + 3x3 = 2. 2x1 + 6x2 − x3 = 0 Teorie: 61, 62
ˇ Rešené pˇríklady: 144, 146, 147, 149, 151, 152
Frobeniova vˇeta: Soustava m lineárních rovnic o n neznámých A·x = B má alesponˇ jedno rˇ ešení právˇe když h ( A ) = h ( A | B ), tj. když hodnost matice soustavy se rovná hodnosti matice rozšíˇrené. Pokud h ( A ) 6 = h ( A | B ), pak soustava nemá rˇ ešení. Má-li soustava rˇ ešení, tj h( A) = h( A| B) = h, pak pro h=n má soustava právˇe jedno rˇ ešení, jinak, tj. pro h < n, má soustava ∞-mnoho rˇ ešení závislých na n − h parametrech.
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Soustavy lineárních rovnic Ry 258
Tahák
237.
Zadání ˇ Rešte soustavu lineárních rovnic a proved’te zkoušku:
ˇ Rešení
Video
x1 + x2 + x3 + x4 2x1 + 3x2 + 2x3 + 4x4 2x1 + 2x2 + x3 − 3x4 x1 + x2 + x3 − x4 Teorie: 61, 62
=2 =8 . =1 =0
ˇ Rešené pˇríklady: 144, 146, 147, 149, 151, 152
Frobeniova vˇeta: Soustava m lineárních rovnic o n neznámých A·x = B má alesponˇ jedno rˇ ešení právˇe když h ( A ) = h ( A | B ), tj. když hodnost matice soustavy se rovná hodnosti matice rozšíˇrené. Pokud h ( A ) 6 = h ( A | B ), pak soustava nemá rˇ ešení. Má-li soustava rˇ ešení, tj h( A) = h( A| B) = h, pak pro h=n má soustava právˇe jedno rˇ ešení, jinak, tj. pro h < n, má soustava ∞-mnoho rˇ ešení závislých na n − h parametrech.
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Soustavy lineárních rovnic Ry 259
Tahák
238.
Zadání ˇ Rešte soustavu lineárních rovnic a proved’te zkoušku:
ˇ Rešení
Video
2x1 + x2 − x3 + x4 x1 − x2 + x3 − x4 x1 + 2x2 − 2x3 + 2x4 2x1 + x2 + 2x4 Teorie: 61, 62
=0 =3 . =1 =3
ˇ Rešené pˇríklady: 144, 146, 147, 149, 151, 152
Frobeniova vˇeta: Soustava m lineárních rovnic o n neznámých A·x = B má alesponˇ jedno rˇ ešení právˇe když h ( A ) = h ( A | B ), tj. když hodnost matice soustavy se rovná hodnosti matice rozšíˇrené. Pokud h ( A ) 6 = h ( A | B ), pak soustava nemá rˇ ešení. Má-li soustava rˇ ešení, tj h( A) = h( A| B) = h, pak pro h=n má soustava právˇe jedno rˇ ešení, jinak, tj. pro h < n, má soustava ∞-mnoho rˇ ešení závislých na n − h parametrech.
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Soustavy lineárních rovnic Ry 260
Tahák
239.
Zadání ˇ Rešte soustavu lineárních rovnic a proved’te zkoušku:
ˇ Rešení
Video
x1 − 2x2 + x3 − 3x4 x1 + x2 − 2x3 + 2x4 3x1 − 3x3 + x4 2x1 − x2 − x3 − x4 Teorie: 61, 62
= −3 =5 . =7 =2
ˇ Rešené pˇríklady: 144, 146, 147, 149, 151, 152
Frobeniova vˇeta: Soustava m lineárních rovnic o n neznámých A·x = B má alesponˇ jedno rˇ ešení právˇe když h ( A ) = h ( A | B ), tj. když hodnost matice soustavy se rovná hodnosti matice rozšíˇrené. Pokud h ( A ) 6 = h ( A | B ), pak soustava nemá rˇ ešení. Má-li soustava rˇ ešení, tj h( A) = h( A| B) = h, pak pro h=n má soustava právˇe jedno rˇ ešení, jinak, tj. pro h < n, má soustava ∞-mnoho rˇ ešení závislých na n − h parametrech.
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Soustavy homogenních lineárních rovnic Ry 261
Tahák
Zadání
Soustava homogenních lineárních rovnic má vždy rˇ ešení - viz. Frobeniova vˇeta, jejiž podmínky jsou zde vždy splnˇeny.
240.
ˇ Rešte soustavu homogenních lineárních rovnic a proved’te zkoušku: ˇ Rešení
Video
Teorie: 61, 62
2x1 − x2 + x3 =0 x 1 + x 2 − x 3 = 0. 4x1 − 2x2 + x3 =0 ˇ Rešené pˇríklady: 144, 146, 147, 149, 151, 152
Lze rˇ ešit Gaussovou eliminaˇcní metodou, nebo zde pˇrímo za pomoci determinantu soustavy (proˇc?).
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Soustavy homogenních lineárních rovnic Ry 262
Tahák
241.
Zadání ˇ Rešte soustavu homogenních lineárních rovnic a proved’te zkoušku:
ˇ Rešení
Video
Teorie: 61, 62
5x1 − 2x2 + 7x3 − 4x4 − x5 3x1 + 4x3 − x4 − 2x5 x1 + 2x2 + x3 + 2x4 − 3x5 2x1 − 2x2 + 3x3 − 3x4 + x5
=0 =0 . =0 =0
ˇ Rešené pˇríklady: 144, 146, 147, 149, 151, 152
Soustava homogenních lineárních rovnic má vždy rˇ ešení - viz. Frobeniova vˇeta, jejiž podmínky jsou zde vždy splnˇeny. Lze rˇ ešit Gaussovou eliminaˇcní metodou.
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Soustavy lineárních rovnic - Cramerovo pravidlo Ry 263
Tahák
Zadání
Cramerovo pravidlo:
242.
ˇ Rešte soustavu lineárních rovnic pomocí Cramerova pravidla a proved’te zkoušku: ˇ Rešení
Video
5x1 + x2 − 2x3 =9 3x1 + x2 − 5x3 = − 12. 2x1 − x2 − x3 = − 3
Teorie: 63
ˇ Rešené pˇríklady: 154
1. jen pro soustavy s regulární maticí soustavy A, tj.
| A| 6= 0, 2. urˇcí se determinanty A, Ai (nahradí se pˇríslušný sloupec pravou stranou), 3. urˇcí se složky rˇ ešení xi =
| Ai | . | A|
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Maticová rovnice Ry 264
Tahák
ˇ Zadání Rešte rovnici pro neznámou matici X a proved’te zkoušku: 7 2 12 1 −2 0 −1 3 4 · X = 0 10 7 37 23 73 4 −7 5
Maticová tvaru
243.
ˇ Rešení
Video
rovnice
ve
A·X = B
Teorie: 64
ˇ Rešené pˇríklady: 155
Násobením zleva inverzní maticí A−1 dostaneme rˇ ešení soustavy X = A−1 · B.
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Soustavy lineárních rovnic Ry 265
Tahák
244.
Zadání ˇ Rešte soustavu lineárních rovnic pomocí inverzní matice a proved’te zkoušku: ˇ Rešení
Video
5x1 + x2 − 2x3 =9 3x1 + x2 − 5x3 = − 12. 2x1 − x2 − x3 = − 3 Teorie: 65
ˇ Rešené pˇríklady: 156
Soustavu mužeme ˚ napsat v maticovém tvaru A·x = B Násobením zleva inverzní maticí A−1 dostaneme rˇ ešení soustavy x = A −1 · B
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Soustavy lineárních rovnic Ry 266
Tahák
245.
Zadání ˇ Rešte soustavu lineárních rovnic pomocí inverzní matice a proved’te zkoušku: ˇ Rešení
Video
5x1 − x2 − 3x3 =9 x1 + x2 + 2x3 =0 . 4x1 − x2 + 2x3 = − 7 Teorie: 65
ˇ Rešené pˇríklady: 156
Soustavu mužeme ˚ napsat v maticovém tvaru A·x = B Násobením zleva inverzní maticí A−1 dostaneme rˇ ešení soustavy x = A −1 · B
Pracovní listy – Analytická geometrie
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Skalární souˇcin vektoru˚ Ry 268
Tahák
Zadání Vypoˇctˇete skalární souˇcin a odchylku vektoru˚ u, v. Jsou tyto vektory na sebe kolmé?
Skalární souˇcin:
246.
a) u = (−1, −1, 4), v = (−1, 2, −2),
u · v = u1 · v1 + u2 · v2 + u3 · v3 ,
b) u = (2, 3, −1), v = (13, −6, 8).
Odchylka vektoru: ˚ ˇ Rešení
Video
Teorie: 69
cos ϕ =
u·v |u||v|
Velikost vektoru: q |u| = u21 + u22 + u23 POZOR: Co je výsledkem skalárního souˇcinu? Kolmost vektoru: ˚ u⊥v ⇔ u · v = 0
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Vektorový souˇcin Ry 269
Tahák
Zadání Vypoˇctˇete vektorový souˇcin vektoru˚ u, v. Urˇcete obsah rovnobˇežníku urˇceného vektory u a v.
Vektorový souˇcin:
247.
a) u = (1, 2, −1), v = (3, −1, −2),
ˇ Rešení
b) u = (−2, 2, −1), v = (3, −6, 5).
Video
Teorie: 70
j k i u × v = u1 u2 u3 , v1 v2 v3
kde i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1) jsou jednotkové vektory ve smˇeru os kartézské soustavy souˇradnic. Nebo ! u u u u u u 2 3 1 3 1 2 u×v = ,− , . v2 v3 v1 v3 v1 v2 POZOR: Co je výsledkem vektorového souˇcinu? Obsah rovnobˇežníku: S = | u × v |.
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Smíšený souˇcin Ry 270
Tahák
Zadání Vypoˇctˇete smíšený souˇcin trojice vektoru˚ a, b, c ( tedy [ a, b, c] = a · (b × c) ). Urˇcete objem rovnobˇežnostˇenu urˇceného vektory a, b, c.
Smíšený souˇcin:
248.
a) a = (2, −1, 3), b = (1, −3, 2), c = (3, 2, −4),
ˇ Rešení
b) a = (3, 0, −2), b = (0, −3, 5), c = (1, −1, 4).
Video
Teorie: 71
a1 a2 a3 [ a, b, c] = a · (b × c) = b1 b2 b3 . c1 c2 c3
POZOR: Co je výsledkem smíšeného souˇcinu? Objem rovnobˇežnostˇenu: V = |[ a, b, c]| .
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Rovnice pˇrímky Ry 271
Tahák
Zadání
Bod leží na pˇrímce, jestliže jeho složky vyhovují rovnici pˇrímky.
249.
x = −1 + 3t a) Zjistˇete zda body A = [1, −3, 2], B = [−2, −4, 5], C = [2, 0, 2] leží na pˇrímce
p: y = z =
2 − 2t 1 +
Smˇerový vektor pˇrímky p je také smˇerovým vektorem rovnobˇežné pˇrímky q.
t
b) Urˇcete rovnici pˇrímky p urˇcené bodem M = [1, −1, −3] a smˇerem a = (5, −4, 2). x = −1 + 3t c) Urˇcete rovnici pˇrímky q procházející bodem R = [1, −1, −3] a rovnobˇežné s pˇrímkou p : y = z = ˇ Rešení
3 − 2t . 2 + 5t
Video
Teorie: 72
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Vzájemná poloha dvou pˇrímek Ry 272
Tahák
Zadání Urˇcete vzájemnou polohu dvou pˇrímek, p = { A, u}, q = { B, v}. V pˇrípadˇe ruznobˇ ˚ ežné polohy naleznˇete pruseˇ ˚ cík.
Sestavíme klasifikaˇcní matici
250.
a)
A = [1, 2, 3], u =(1, −3, 2) B = [0, 5, 1], v =(−2, 6, −4)
ˇ Rešení
b)
A = [1, −3, 4], u =(2, 2, −1) B = [3, 0, −1], v =(0, 1, 3) Video
Teorie: 73
p = { A, u}, q = { B, v}, u v AB
Matici pˇrevedeme na schodovitý tvar. Pak vzájemná poloha je: a) ruznobˇ ˚ ežná - nemají spoleˇcný smˇer, mají spoleˇcný bod (pruseˇ ˚ cík), b) rovnobˇežná - mají spoleˇcný smˇer, nemají spoleˇcný bod, c) mimobˇežná - nemají spoleˇcný smˇer ani bod, d) totožná - mají spoleˇcné všechny body.
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Vzájemná poloha dvou pˇrímek Ry 273
Tahák
Zadání Urˇcete vzájemnou polohu dvou pˇrímek, p = { A, u}, q = { B, v}. V pˇrípadˇe ruznobˇ ˚ ežné polohy naleznˇete pruseˇ ˚ cík.
Sestavíme klasifikaˇcní matici
251.
a)
A = [1, 3, −1], u =(2, −4, 3) B = [0, −3, 1], v
ˇ Rešení
=(−1, 2, − 32 )
b)
A = [0, 1, −1], u =(1, 0, 1) B = [2, 3, 2], v =(1, 2, 2) Video
Teorie: 73
p = { A, u}, q = { B, v}, u v AB
Matici pˇrevedeme na schodovitý tvar. Pak vzájemná poloha je: a) ruznobˇ ˚ ežná - nemají spoleˇcný smˇer, mají spoleˇcný bod (pruseˇ ˚ cík), b) rovnobˇežná - mají spoleˇcný smˇer, nemají spoleˇcný bod, c) mimobˇežná - nemají spoleˇcný smˇer ani bod, d) totožná - mají spoleˇcné všechny body.
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Rovnice roviny Ry 274
Tahák
Zadání
a) Dosad’te jednotlivé body do rovnice a zjistˇetˇe, zda ji splnují. ˇ
252.
a) Zjistˇete zda body A = [−1, 2, 5], B = [3, −1, 0], C = [−5, −4, 2] leží v rovinˇe α : 2x − 5y + 6z − 11 = 0. b) Sestavte symbolickou, parametrickou a obecnou rovnici roviny ρ = { B = [2, 3, 1], v = (1, 2, −1), w = (3, 1, −2)}. ˇ Rešení
Video
Teorie: 74, 75
ˇ Rešené pˇríklady: 158, 159
b) Sestavíme jednotlivé typy rovnic. Jak se pˇrechází od parametrického vyjádˇrení roviny k obecnému?
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Rovnice roviny Ry 275
Tahák
Zadání
Zjistˇete normálový vektor dané roviny a pak dosazením bodu M (resp. Q) do obecné rovnice roviny, tj. ax + by + cz + d = 0 dopoˇcítejte absolutní cˇ len d.
253.
a) Urˇcete rovnici roviny procházející bodem M = [1, −2, 3] a kolmé na vektor a = (1, 1, −2). b) Urˇcete rovnici roviny procházející bodem Q = [1, −2, 3] a kolmé k ose x. c) Urˇcete rovnici roviny procházející bodem M = [1, −2, 3] a rovnobˇežnˇe s rovinou α : 2x − y + 3z = 0.
ˇ Rešení
Video
Teorie: 74, 75
ˇ Rešené pˇríklady: 158, 159
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Vzájemná poloha pˇrímky a roviny Ry 276
Tahák
Zadání Urˇcete vzájemnou polohu pˇrímky p = { A, u} a roviny ρ = { B, v, w}. V pˇrípadˇe ruznobˇ ˚ ežné polohy naleznˇete pruseˇ ˚ cík.
Sestavíme klasifikaˇcní matici
254.
a)
A = [1, 4, −3], u =(−1, 3, −4) B = [3, 3, 0], v =(1, 2, −1), w = (3, 1, 2)
ˇ Rešení
b)
A = [1, 1, −2], u =(−1, 3, 0) B = [2, 3, 1], v =(1, 2, −1), w = (3, 1, −2) Video
Teorie: 76
p = { A, u}, ρ = { B, v, w},
u
v w AB
Matici pˇrevedeme na schodovitý tvar. Pak vzájemná poloha je: a) ruznobˇ ˚ ežná - nemají spoleˇcný smˇer, mají spoleˇcný bod (pruseˇ ˚ cík), b) rovnobˇežná - mají spoleˇcný smˇer, nemají spoleˇcný bod, c) pˇrímka leží v rovinˇe mají spoleˇcný smˇer a bod.
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Vzájemná poloha pˇrímky a roviny Ry 277
Tahák
Zadání Urˇcete vzájemnou polohu pˇrímky p = { A, u} a roviny ρ = { B, v, w}. V pˇrípadˇe ruznobˇ ˚ ežné polohy naleznˇete pruseˇ ˚ cík.
Sestavíme klasifikaˇcní matici
255.
a)
A = [0, −2, 4], u =(1, −1, 2) B = [−1, −1, −3], v =(1, 3, 3), w = (−2, −2, 0)
ˇ Rešení
b)
A = [−2, 1, 0], u =(−2, 1, −2) B = [1, 2, 2], v =(1, 0, 0), w = (1, 3, −2) Video
Teorie: 76
p = { A, u}, ρ = { B, v, w},
u
v w AB
Matici pˇrevedeme na schodovitý tvar. Pak vzájemná poloha je: a) ruznobˇ ˚ ežná - nemají spoleˇcný smˇer, mají spoleˇcný bod (pruseˇ ˚ cík), b) rovnobˇežná - mají spoleˇcný smˇer, nemají spoleˇcný bod, c) pˇrímka leží v rovinˇe mají spoleˇcný smˇer a bod.
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Vzájemná poloha dvou rovin Ry 278
Tahák
˚ ežné polohy Zadání Urˇcete vzájemnou polohu roviny α = { B, v, w} a roviny β = { B0 , v0 , w0 }. V pˇrípadˇe ruznobˇ naleznˇete pruseˇ ˚ cnici.
Sestavíme klasifikaˇcní matici
256.
a)
B = [3, 3, −4], 0
B = [0, 0, 0],
ˇ Rešení
v =(1, 2, −1), 0
w =(0, 1, 3) 0
v =(−2, −1, 3), w =(3, 4, −1)
b)
B = [3, 0, 1], 0
v =(1, 2, 2),
w =(3, 1, −1)
0
B = [−2, −5, −2], v =(4, 3, 1), w0 =(−1, 3, 5) Video
Teorie: 77
α = { B, v, w}, β = { B0 , v0 , w0 }, v w 0 v w0 0 BB
Matici pˇrevedeme na schodovitý tvar. Pak vzájemná poloha je:
a) ruznobˇ ˚ ežná - nemají spoleˇcný smˇer, mají spoleˇcný bod (pruseˇ ˚ cík), b) rovnobˇežná - mají spoleˇcný smˇer, nemají spoleˇcný bod, c) pˇrímka leží v rovinˇe mají spoleˇcný smˇer a bod.
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Vzdálenost útvaru˚ v E 3 Ry 279
Tahák
Zadání
Vzdálenost bodu od pˇrímky:
257.
a) Urˇcete vzdálenost bodu M = [2, 4, 3] od pˇrímky p dané body P = [2, 3, 1], Q = [−2, 1, 0]. b) Urˇcete vzdálenost bodu M = [−2, 1, 3] od roviny ρ : 2x + y − 2z + 5 = 0. ˇ Rešení
Video
Teorie: 78
ˇ Rešené pˇríklady: 160, 161
d( M, p) =
|u × AM | , |u|
kde u je smˇerový vektor pˇrímky a A je bod na této pˇrímce. AM = M − A. Vzdálenost bodu od roviny: d( M, ρ) =
| am1 + bm2 + cm3 + d| √ . a2 + b2 + c2
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Vzdálenost útvaru˚ v E 3 Ry 280
Tahák
Zadání
Vzdálenost rovnobˇežek: Zvolíme bod na jedné z rovnobˇežek a úlohu pˇrevedeme na hledání vzdálenosti bodu od pˇrímky.
258.
a) Urˇcete vzdálenost dvou rovnobˇežek
x =
3t − 7
x =
p: y =
4t − 4
q: y =
ˇ Rešení
α : −3x + 7y − 2z + 4 = 0, Video
8s −
z = −4s +
z = −2t − 3 b) Urˇcete vzdálenost rovnobˇežných rovin
6s + 21
Teorie: 78
5 . 2
β : 3x − 7y + 2z + 10 = 0. ˇ Rešené pˇríklady: 160, 161
Vzdálenost rovnobˇežných rovin: α : ax + by + cz + d1 = 0, β : ax + by + cz + d2 = 0: d(α, β) = √
| d2 − d1 | . a2 + b2 + c2
Matematika I - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ - Odchylky útvaru˚ v E 3 Ry 281
Tahák
Zadání
Odchylka ϕ dvou pˇrímek p, q:
259.
x = a) Urˇcete odchylku dvou pˇrímek
p: y = z = x =
b) Urˇcete odchylku pˇrímky
c) Urˇcete odchylku rovin ˇ Rešení
√
t + 3 ,
α : x−y+
√
−r + 3
q: y =
2t + 5
−r + 2 . √ z = 2r
cos ϕ =
ρ : 2x − 4y − 3z + 6 = 0.
od roviny
Odchylka ϕ pˇrímky p od roviny ρ:
t − 5 2z + 2 = 0,
β : x+y+
√
|u · v| , |u| · |v|
kde u, v jsou smˇerové vektory pˇrímek p, q.
3t − 2
p : y = −2t + 1 z =
x =
t + 2
2z − 3 = 0.
sin ϕ = Video
Teorie: 78
|u · n| , |u| · |n|
kde u je smˇerový vektor pˇrímky p, n je normálový vektor roviny ρ. Odchylka vin α, β: cos ϕ =
ϕ
dvou
|nα · n β | , |nα | · n β
ro-
kde nα , n β jsou normálové vektory rovin α, β.