RNDr. Jiří Dočkal, CSc.
MATEMATIKA I Řešené příklady
Uváděné řešené příklady jsou vybrány a řazeny v návaznosti na orientační učební pomůcku Doc.RNDr.Ing. Josef Nedoma, CSc.: MATEMATIKA I. Tato sbírka řešených příkladů je určena jako orientační pomůcka pro samostatnou přípravu ke konzultacím kombinovaného studia FSI VUT v Brně.
BRNO, září 2002
autor
2
Řazení příkladů: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16)
Množiny ………………………………………… Matematická logika ………………………………………... Reálná a komplexní čísla ……………………………………….. Matice a algebraické vektory …………………………………… Determinanty ………………………………………… Soustavy lineárních rovnic ……………………………………… Polynomy a jejich podíly ………………………………………. Geometrické vektory ………………………………………… Analytická geometrie v prostoru ………………………………... Funkce jedné reálné proměnné ………………………………... Limita a spojitost …………………………………………. Derivace funkce ………………………………………….. Taylorova věta a aplikace ………………………………………. Primitivní funkce …………………………………………… Riemannův integrál …………………………………………… Aplikace Riemannova integrálu …………………………………
. .
. . . .
Seznam použité literatury:
1.
Eliaš,J.,Horváth,J.,Kajan,J.: Zbierka úloh z vyššej matematiky.1.časť (4.vydanie),Bratislava, Alfa,1976
2.
Jirásek,F.,Kriegelstein,E,Tichý,Z.: Sbírka řešených příkladů z matematiky. Praha,SNTL-Alfa,1987
3.
Mrhačová,H.: Cvičení z lineární algebry, Skriptum, VUT v Brně, ES Brno, 1982
4.
Nedoma,J.: Matematika I,Shrnutí a přehled, Orientační metodická pomůcka, rukopis,2002
5.
Nedoma,J.: Matematika I. Skriptum FSI VUT v Brně, 2002
6.
Skála,J.: Matematika I, řešené úlohy pro cvičení, Skriptum, VŠST v Liberci, 1982
7.
Tomica,R.: Cvičení z matematiky pro I.ročník, Skriptum, VUT Brno, SNTL Praha, 1965
8.
Vosmanská,G.,Rádl,P.: Cvičení z matematické analýzy, Skriptum,(3.vydání), VŠZ Brno,1994
2
3 1.
1.1.1
Množiny Určete všechny podmnožiny množiny M= {3, −4,5} . Množina M má tyto podmnožiny: Prázdná množina ∅ Podmnožiny o jednom prvku Podmnožiny o dvou prvcích Podmnožiny o třech prvcích
{3} , {−4} , {5} {3, −4} , {3,5} , {−4,5} {3, −4,5} = M
Množina M obsahuje 8 podmnožin včetně prázdné množiny a dané množiny. 1.1.2
Určete průnik A ∩ B množin A , B , kde A je množina všech prvočísel, B množina všech sudých čísel . A= {2,3,5, 7,11,...} , B= {2, 4, 6,8,10,...}
1.1.3
A∩ B =
{2}
Jsou dány množiny A={1,3,5,7}, B={4,5,6,7,8}, C={2,5,6,7,8,9}. Určete a) A ∩ B , B ∩ C b) A ∩ B ∩ C c) A ∪ B , B ∪ C d) A ∪ B ∪ C Hledané množiny jsou : a) A ∩ B={5,7}, B ∩ C ={5,6,7,8} b) A ∩ B ∩ C = {5,7} c) A ∪ B = {1,3,4,5,7,8}, B ∪ C = {2,4,5,6,7,8,9} d) A ∪ B ∪ C ={1,3,4,5,6,7,8,9}
1.2.1
Jsou dány intervaly A = (-4,3) , B = <-2,2> , C=(1,5> .
Určete:
a) A ∪ B b) A ∪ C
c) B ∪ C d) A ∪ B ∪ C
Hledané množiny jsou : a) A ∪ B = (-4,3) b) A ∪ C = (-4,5> g) B ∩ C = (1,2> 1.2.2
e) A ∩ B f) A ∩ C
c) B ∪ C = <-2,5> d) A ∪ B ∪ C = (-4,5> h) A ∩ B ∩ C =(1,2>
Jsou dány intervaly A=(- ∞ ,2), B= 〈1,3〉 , C= 〈 -1,1 〉 Určete: a) (A ∪ B) ∩ C b) ( C ∪ B) ∩ A c) A ∩ B ∩ C d) A ∪ B ∪ C Výsledné intervaly jsou: a) (A ∪ B) ∩ C = 〈 -1,1 〉 ∪ 〈 2,3〉 b) ( C ∪ B) ∩ A = 〈 -1,2) c) A ∩ B ∩ C = { 1 } d) A ∪ B ∪ C = ( - ∞ , ∞ )
3
g) B ∩ C h) A ∩ B ∩ C e) A ∩ B = <-2,2> f) A ∩ C = (1,3)
∪ 〈 2, ∞ ) .
4 2.
Matematická logika
2.1.1
Rozhodněte, které z následujících slovních spojení je výrok . Pokud se jedná o výrok, určete jeho pravdivost: a) Číslo x je nezáporné. b) Číslo 5 je záporné. c) Každý obdélník je rovnoběžník. d) Trojúhelník ABC je pravoúhlý. e) 3:0 je 0
Řešení : a) není výrok, protože o x nic nevíme b) je výrok a to nepravdivý c) je výrok a to pravdivý d) není výrok, protože o trojúhelníku ABC nic nevíme e) není výrok, protože dělení nulou není definováno
2.1.2
Utvořte negaci výroků: a) dnes je svátek b) všichni žijící lidé jsou menší než 280 cm c) x>1, je-li x reálné číslo
Řešení: a) dnes není svátek b) existuje žijící člověk, který má 280 cm nebo více c) x ≤ 1, je-li x reálné číslo
2.1.3
Utvořte disjunkci ∨ dvou výroků p , q a určete pravdivost složeného výroku, je-li p = číslo 12 je násobkem čísla 2, q = číslo 12 je násobkem čísla 5 ,
Řešení :
p ∨ q = (číslo 12 je násobkem čísla 2) ∨ (číslo 12 je násobkem čísla 5)= = číslo 12 je násobkem čísla 2 nebo 5 Složený výrok je pravdivý přesto, že výrok q je nepravdivý.
2.1.4
Určete konjunkci ∧ dvou výroků p, q , je-li p = reálné číslo x je menší než 2 , q = reálné číslo x je větší nebo rovno číslu –1 ,
Řešení : p ∧ q = ( x ≤ 2) ∧ ( x > −1) = (−1, 2〉
4
5
2.1.5
Dosaďte výroky p= 4 = −2 , q= 3 + 4 = 7 p⇒q a) b) ¬ p ⇒ q c) q ⇒ p d) ¬ q ⇒ ¬ p a) je-li
Řešení :
2.1.6
do uváděné výrokové formule
4 = −2, pak 3+4=7
výrok pravdivý
4 ≠ −2, pak 3+4=7
výrok pravdivý
b)
je-li
c)
je-li 3+4=7 , pak
4 = −2,
výrok nepravdivý
d)
je-li 3+4 ≠ 7 , pak
4 ≠ −2,
výrok pravdivý
((2.3 = 6) ∨ (3.4 = 16)) ∧ (1 < 2)
Určete pravdivostní hodnotu složeného výroku
p = (2.3 = 6),
q = (3.4 = 16), p ∨ q = ((2.3 = 6) ∨ (3.4 = 16)),
v = ((2.3 = 6) ∨ (3.4 = 16)) ∧ (1 < 2) Pravdivostní tabulka pak má tvar: p
q
p∨q
v
1
0
1
1
Z uvedené tabulky plyne, že složený výrok je pravdivý.
2.1.7
Určete pravdivostní hodnotu složeného výroku
( p ⇒ q) ⇔ (¬p ∨ q) ⇔ ¬( p ∧ ¬q)
( p ⇒ q ) ⇔ (¬ p ∨ q ) ⇔ ¬ ( p ∧ ¬ q ) 1 1 0 0
1 0 1 1
1 0 1 0
1 1 1 1
0 0 1 1
1 1 0 0
1 0 1 1
1 0 1 0
5
1 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 0 0
0 1 0 1
1 0 1 0
6
3. 3.1.1
Reálná a komplexní čísla Určete supremum, infimum, maximum a minimum množiny M a) M = 〈 -5,-2) b) M = 〈 0,1 〉 ∪ 〈 2,3 〉 c)
M = (-1, ∞ )
a) sup M = -2 , inf M =-5 , max M neexistuje (otevřená množina), min M =-5 b) sup M = 3 , inf M =0 , max M = 3, min M = 0 c) sup M neexistuje , inf M =-1 , max M neexistuje (otevřená množina), min M neexistuje 3.1.2
Zapište pomocí nerovnic s absolutní hodnotou okolí daného čísla o daném poloměru: a) okolí čísla 6 o poloměru 2 b) okolí čísla –3 o poloměru 1 c) okolí čísla 1.5 o poloměru 0.5 Řešením jsou nerovnice:
3.1.3
a)
(6-2,6+2) = (4 , 8 ) = {x ∈ R ; x − 6 < 2 }
b)
(-3-1,-3+1) = (-4 , -2 ) = {x ∈ R ; x + 3 < 1 }
c)
(1.5-0.52,1.5+0.5) = (1 , 2 ) = {x ∈ R ; x − 1.5 < 0.5 }
Pomocí binomické věty řešte (2 −
3)3
3 3 3 3 (2 − 3)3 = .23.(− 3)0 + .23−1.(− 3)1 + .23− 2.(− 3) 2 + .23−3.(− 3)3 = 0 1 2 3 = 1.8.1 − 3.4. 3 + 3.2.3 − 1.1.3. 3 = 8 − 12 3 + 18 − 3 3 = 26 − 15 3
3.2.1
Vypočtěte (2 + 3i ) + (1 − 2i ) 2
(2 + 3i ) 2 + (1 − 2i ) = (2 + 3i ).(2 + 3i ) + (1 − 2i ) = 2.2 + 2.3i + 2.3i + 3.3i 2 + 1 − 2i = = 4 + 6i + 6i − 9 + 1 − 2i = −4 + 10i
3.2.2
2 − 3i 5 + 2i 2 − 3i 2 − 3i 5 − 2i (2 − 3i ).(5 − 2i ) 10 − 15i − 4i + 6i 2 . = = = = 5 + 2i 5 + 2i 5 − 2i (5 + 2i ).(5 − 2i ) 25 + 10i − 10i − 4i 2 10 − 19i − 6 4 − 19i 4 19 = = = − i 25 + 4 29 29 29
Vypočtěte
6
7
3.2.3
Vypočtěte 2 − 3i
2 − 3i = 22 + 32 = 4 + 9 = 13 3.3.1
Řešte binomickou rovnici x − 1 = 0 3
x3 − 1 = 0 ( x3 − 1) : ( x − 1) = x2 + x + 1 −
x2 + x + 1 = 0
x1,2 =
−1 ± 1 − 4 1 = − ± 3.i 2 2
x3 − x 2 + 0 + x2 − 1 −
x2 − x + 0 + x −1 −
x − 1 + 0 1 x0 = 1, x1 = − + i 3 , 2
Kořeny jsou
1 x2 = − x1 = − + i 3 2
Zkouška : 1
1
2
2
(x -1).(x + − i 3 ).( x +
3.3.2
− i 3 ) = ( x − 1).( x 2 + x + 1) = x3 − 1
Řešte rovnici z + 1 = 0 . 5
Budeme hledat řešení rovnice převedením na problematiku nalezení kořenů komplexního čísla z = -1 .
z5 + 1 = 0
→ z 5 = −1 → z = 5 − 1
číslo z = -1 převedeme na goniometrický tvar
−1 = cos π + i sin π pak π + 2 kπ π + 2 kπ 5 + i sin −1 = cos 5
5
pro
Dostaneme tedy pět kořenů :
z0 = cos 360 + i sin 360 , z1 = cos1080 + i sin1080 , z2 = cos π + i sin π , z3 = cos 2520 + i sin 2520 , z4 = cos 3240 + i sin 3240 .
7
k = 0,1, 2,3, 4.
8 4.
Vektory a matice
4.1.1
a = [1, 4, −2] , b = [3, −2, 2]
Sečtěte vektory
a+b = [1, 4, −2] + [3, −2, 2] = [1 + 3, 4 − 2, −2 + 2] = [ 4, 2, 0] 4.1.2
Odečtěte vektory
a = [1, 4, −2] , b = [3, −2, 2]
a-b = [1, 4, −2] − [3, −2, 2] = [1 − 3, 4 + 2, −2 − 2] = [ −2, 6, −4] b-a = [3, −2, 2] − [1, 4, −2] = [3 − 1, −2 − 4, 2 + 2] = [ 2, −6, 4] Platí tedy:
a-b= - (b-a)
[
Určete vektor v = 2a , je-li a= 2,-5,1,9,-7
4.1.3
]
v = 2 [ 2, −5,1,9, −7 ] = [ 4. − 10, 2,18, −14] 4.1.4
Určete vektor v = -3a-0b , je-li a=[3,2,-1] b=[0,3,9]
v = -3a-0b =-3[3,2,-1] -0[0,3,9] = [ -9,-6,3] 4.2.1
Jsou dány čtvercové matice A,B,C
3 0 −1 A = 2 5 1 7 −2 0 a)
−3 2 1 B = 6 5 4 0 2 −4
1 2 1 C = 2 2 1 0 −1 0
vypočtěte A+B
3 0 −1 −3 2 1 0 2 0 A+B= 2 5 1 + 6 5 4 = 8 10 5 7 −2 0 0 2 −4 7 0 −4 b) vypočtěte B-A
−3 2 1 3 0 −1 −6 2 2 B - A = 6 5 4 − 2 5 1 = 4 0 3 0 2 −4 7 −2 0 −7 4 −4 c)
vypočtěte 2.C
1 2 1 2 4 2 2.C=2. 2 2 1 = 4 4 2 0 −1 0 0 −2 0 d) vypočtěte A-3B+2C
8
9
3 0 −1 −3 2 A-3B+2C = 2 5 1 − 3 6 5 7 −2 0 0 2 −6 −3 2 9 + −18 −15 −12 + 4 0 −6 12 0
e)
1 1 2 1 3 0 −1 4 + 2 2 2 1 = 2 5 1 + 0 −1 0 7 −2 0 −4 4 2 14 −2 −2 4 2 = −12 −6 −9 −2 0 7 −10 12
vypočtěte (A+B)-(B-A)-2A
0 2 0 −6 2 2 3 0 (A+B)-(B - A)-2A= 8 10 5 − 4 0 3 − 2 2 5 7 0 −4 −7 4 −4 7 −2 0 2 0 6 −2 − 2 − 6 + −4 0 −3 + −4 −10 −2 = 0 7 −4 4 −14 4 0 0 4.2.2
Vypočtěte A+E ,je-li
2 1 A= -1 4
4 6 8 3 5 7 2 -3 4 2 0 0
2 1 A+E= -1 4
4.2.3
,
1 0 E= 0 0
4 6 8 1 3 5 7 0 + 2 -3 4 0 2 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 1
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 1 0
0 3 0 1 = 0 -1 1 4
Vypočtěte A+B , je-li
a c A= d b
-a b , B= c -b
a c -a b 0 c+b A+B= + = d b c -b d+c 0
9
4 6 8 4 5 7 2 -2 4 2 0 1
−1 0 2 0 1 = 8 10 5 + 0 7 0 −4 0 0 0 0 0 0
10
4.3.1
Vypočtěte součin matic A . B a B . A, jestliže
3 −5 7 A= , −2 9 4
1 0 B= −3 4 5 7
1 0 3 −5 7 3.1 + (−5).(−3) + 7.5 3.0 + (−5).4 + 7.7 A.B= . −3 4 = = −2 9 4 5 7 (−2).1 + 9.(−3) + 4.5 (−2).0 + 9.4 + 4.7 53 29 = −9 64 1.(−5) + 0.9 1.7 + 0.4 1 0 1.3 + 0.(−2) 3 −5 7 B.A= −3 4 . = (−3).3 + 4.(−2) (−3).(−5) + 4.9 (−3).7 + 4.4 = −2 9 4 5 7 5.3 + 7.(−2) 5.(−5) + 7.9 5.7 + 7.4 3 −5 7 = −17 51 −5 1 38 63
4.3.2
Přesvědčeme se, že platí A. E = E . A = A je-li E jednotková matice stejného řádu jako matice A, která je tvaru
3 -7 A= 4 5
3 A.E= 4 1 E.A= 0 4.3.3
-7 1 . 5 0 0 3 . 1 4
0 3.1 + (−7).0 3.0 + 0.5 3 -7 = = =A 1 4.1 + 5.0 4.0 + 5.1 4 5 -7 1.3 + 0.4 1.(−7) + 0. 5 3 -7 = = =A 5 0.3 + 1.4 0.(−7) + 1.5 4 5
Vypočtěte součin matic A . B a B . A, jestliže
1 -2 5 6 A= B= -4 3 7 -8 1 -2 5 6 −9 22 A.B = . = -4 3 7 -8 1 −48 5 6 1 -2 −19 8 B.A = . = 7 -8 -4 3 39 −38
10
11 4.3.4
Vypočtěte součin matic A . B a B . A, jestliže
2 A= [5 2 -3] B= -1 4 2 A.B = [5 2 -3] . -1 = [ −4] 4 2 10 4 −6 B.A = -1 .[5 2 -3] = −5 −2 3 4 20 8 −12
4.3.5
Vypočtěte součin A
2
, A 3 , je-li
3 4 A= -2 1 3 4 3 4 1 A 2 = A , A= . = -2 1 -2 1 −8 3 4 3 4 3 A 3 = A , A.A= . . -2 1 -2 1 -2
16 −7 4 1 16 3 4 −29 20 = A 2 .A= . = 1 −8 −7 -2 1 −10 −39
1 2 3 4.3.6
Vypočtěte součin matic A.B , kde
1 2 3 1 1 1
1 1 1
A= 0 1 2 , B= 0 1 1 0 0 1 0 0 1
1 3 5
A.B = 0 1 2 . 0 1 1 = 0 1 3 0 0 1 0 0 1 0 0 1
11
12 4.4.1
Vypočtěte hodnost h(A) matice A, je-li
6 −8 0 2 4 A= 3 7 −2 −1 5 10 22 8 −18 10
2 A= 3 10 1 ~ 0 0 4.4.2
4 6 −8 0 /(2) 1 2 3 −4 0 1.ř 7 −2 − 1 5 ~ 3 7 −2 −1 5 +(1.ř ).(−3) ~ 22 8 −18 10 /(2) 5 11 4 −9 5 + (1.ř ).(−5) 2 3 −4 0 1 2 3 −4 0 1 −11 11 5 → h(A) = 2 ~ 0 1 −11 11 5 1 −11 11 5 vynech.
Vypočtěte hodnost h(A) matice A, je-li
1 2 A= 3 -1 1 2 A= 3 -1 4.4.3
-1 3 2 1 1.ř -1 1 -1 0 5 3 −2.(1.ř ) ~ ~ 2 −(1.ř + 2.ř ) 0 0 vynech. +1.ř 1 0 0 vynech.
1 -1 0 5 →
h(A)=2
Rozhodněte, pro které číslo a má matice A hodnost h(A)=3
-2 0 1 A= 1 2 1 0 3 a
-2 0 1 → 3.ř 1 A= 1 2 1 → 1.ř ~ 0 0 3 a → 2.ř -2 4 h(A)=3 jen pro 3 − a 3
2 1 1.ř 3 a 2.ř ~ 0 1 +2.(1.ř )
1 2 1 1.ř 0 3 a 2.ř ~ 0 4 3 − 43 .( 2.ř ) 9 ≠ 0 , tedy pro a ≠ 4
12
1 2 1 a 0 3 0 0 3 − 4 a 3
13 5.
Determinanty
5.1.1
det A=
5.1.2
3 4 = (3).(−6) − (4).(5) = −18 − 20 = −38 5 −6
Vypočtěte hodnotu determinantu det A=
det A= 5.1.3
3 4 5 −6
det A=
Vypočtěte hodnotu determinantu
a e
a e
c g
c = a . g − c .e g
Vypočtěte hodnotu determinantu det A=
2 + 3i 1 + i 1 − i 2 − 3i
2 + 3i 1 + i = (2 + 3i ).(2 − 3i ) − (1 + i ).(1 − i ) = (4 + 9) − (1 + 1) = 11 1 − i 2 − 3i 1 0 Vypočtěte hodnotu determinantu det E= 0 1 1 0 det E= = 1.1 − 0.0 = 1 0 1 sin x cos x Vypočtěte hodnotu determinantu det C= − cos x sin x
det A= 5.1.4
5.1.5
det C=
sin x cos x = sin x .sin x − cos x .(− cos x) = sin 2 x + cos 2 x = 1 − cos x sin x 2
5.2.1
Vypočtěte hodnotu determinantu
−3
−7 6 5 8 −9 10
2
−3
4
2
−3
−7
6
5
−7
6
−9
10
8
−9
8
4 pomocí Sarrusova pravidla
=
= +2.6.10 + (−3).5.8 + 4.(−7).(−9) − 4.6.8 − 2.5.(−9) − (−3).(−7).10 = +120 − 120 + 252 − 192 + 90 − 210 = = −60
13
14
a b 5.2.2
Vypočtěte hodnotu determinantu
a b
c
b c a c a b
pomocí Sarrusova pravidla
c
b c a = a.c.b + b.a.c + c.b.a − c.c.c − b.b.b − c.c.c = 3.a.b.c − c3 − b3 − a 3 c a b
.cos x 5.2.3 Vypočtěte hodnotu determinantu
sin x
0
det J(r,x,z)= −r sin x r cos x 0 0 0 1
.cos x sin x 0 det J(r,x,z)= − r sin x r cos x 0 = cos x.(r cos x ).1 + sin x.0.0 + (− r sin x).0.0 − 0 0 1 − 0.(r cos x).0 − cos x.0.0 − sin x.(− r.sin x).1 = r.cos 2 x + 0 + 0 − 0 − 0 + r.sin 2 x = = r.(cos 2 x + sin 2 x) = r.1 = r 5.2.4
T
Přesvědčete se, že determinant matice A a transponované matice A mají stejnou hodnotu,
1 -2 3 když matice A= -6 5 4 . 7 0 8 1 -2 3 Původní matice A= -6 5 4 7 0 8
1
-2 3
det A= -6 7 1 det A = -2 3 T
1 -6 7 , transponovaná matice A = -2 5 0 , 3 4 8 T
4 = 40 − 56 − 105 − 96 = −217 8
5 0
-6 7 5 4
0 = 40 − 56 − 105 − 96 = −217 8
14
15
3 2 0 1 2 −1 Vypočtěte hodnotu determinantu 4.řádu det D= 2 −7 6 −8 0 8
5.3.1
5 4 0 9
pomocí Laplaceovy věty o rozvoji determinantu a to podle 3.řádku
3 2 0 1 2 −1 det D = 2 −7 6 −8 0 8 + 6.(−1)
3+ 3
5 2 0 5 3 0 5 4 3+1 3+ 2 = 2.(−1) . 2 −1 4 + (−7).(−1) . 1 −1 4 + 0 −8 8 9 0 8 9 9
3 2 5 1 2 4 = 2.(−18 + 80 − 64) + 7.(−27 + 40 − 40 − 96) + −8 0 9
+ 6.(54 − 64 + 80 − 18) = −4 − 861 + 312 = −553
5.3.2
Přesvědčete se, že různé rozvoje dají stejnou hodnotu determinantu. Rozviňte determinant 4.řádu
2 1 0 −1 2 −1 1 3 4 0 1 2 0 2 −1 −4
0
−1
2 −1
1
3
4
0
1
2
0
2
−1 −4
2
1
podle 1.řádku a podle 1.sloupce
−1 = 2.(−1)1+1 . 0 2
2 −1
1
3
2
1
3
1
2 + 1.(−1)1+ 2 . 4
1
2
+ 0 + (−1).(−1)1+ 4 . 4
0
1 =
0 −1 −4
0
2
−1
− 1 −4
= 2.(4 + 4 + 0 − 6 − 2 − 0) − (−8 + 0 − 12 − 0 + 4 + 16) + (0 + 0 + 8 − 0 − 4 − 4) = 0 − 0 + 0 = 0 0
−1
2 −1
1
3
4
0
1
2
0
2
−1 −4
2
1
−1 1+1
= 2.(−1) . 0 2
1
1
3 2 +1
0
−1
1
0
−1
3+1
2 + 2.(−1) . 0 1 2 + 4.(−1) . −1 1 3 + 0 = 2 −1 −4 2 −1 −4 −1 −4 1
= 2.(4 + 4 + 0 − 6 − 2 − 0) − 2.(−4 + 0 + 0 + 2 + 2 − 0) + 4 ( −4 + 0 − 1 + 2 + 3 − 0 ) = 0 + 0 + 0 = 0
15
1
16 5.3.3
Rozvojem dle řádku samých nul se přesvědčete, že hodnota determinantu A, jehož řádek (sloupec) obsahuje samé nuly má nulovou hodnotu.
1 0 . det A = 2 −1 1 0 det A = 2 −1 + 0.(−1)
2+ 4
2 0 1 0
2 0 1 0
2 1 0 0 0 −1 1 2
2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 0 0 = 0.(−1)2+1 . 1 0 −1 + 0.(−1) 2+ 2 . 2 0 −1 + 0.(−1) 2+3 . 2 1 −1 + 0 −1 −1 1 2 −1 0 2 0 1 2 1 2
1 2 2 . 2 1 0 = −0 + 0 − 0 + 0 = 0 −1 0 1 3 2
5.4.1
1
Úpravou na trojúhelníkový tvar vypočtěte hodnotu determinantu det D= 2
1 0 1 0 −1
2 1 3 2 1 3 det D = 2 1 0 = 3. 2 1 1 0 −1 1 0 2 3 1 = 3.(− ). 0 1 3 0 0 1
2 1 1 3 3 1.ř 1 0 −2.(1.ř ) = 3. 0 − 3 −1 −1.(1.ř ) 2 0 − 3
1 2 1 3 3 2 1 − = 3.(− ). 0 1 3 3 2 4 0 − − 3 3
1 1.ř 3 2.ř = 2 4 2 − + ( )(2.ř ) 3 3
1 3 1 2 = 3.(− ).1.1.0 = 0 3 0
Zkouška pomocí Sarrusova pravidla : 3
2
1
2
1
0 = 3.1.( −1) + 2.0.1 + 1.2.0 − 1.1.1 − 3.0.0 − 2.2.(−1) = −3 − 1 + 4 = 0
1
0
−1
16
17 5.4.2
Úpravou na trojúhelníkový tvar vypočtěte hodnotu determinantu
3 6 10 8
3 6 10 8
13 28 40 37
17 4 33 8 54 13 46 11
1.ř 17 4 3 13 −2.(1.ř ) 33 8 1 0 2 . = 54 13 .3 + (−5).(2.ř ) 3.5 0 −20 46 11 .5 − 4.(3.ř ) 0 25
13 28 40 37
1.ř 17 4 2.ř −1 0 = −3 −1 +10.(2.ř ) 14 3 .4 + 5.(3.ř )
1.ř 3 13 17 4 1.ř 3 13 17 4 2.ř 2.ř 1 0 2 −1 0 1 0 2 −1 0 = . . = = 3.ř 3.5.4 0 0 −13 −1 3.ř 3.5.4 0 0 −13 −1 0 0 41 7 +3.(3.ř ) 0 0 2 4 .13 + 2.(3.ř ) 3 13 17 4 0 2 −1 0 1 3.2.(−13).50 = = = −5 . 3.5.4.13 3.5.4.13 0 0 −13 −1 0 0 0 50 5.4.3
Přesvědčete se, že hodnota determinantu A a determinantu transponované matice k matici A je stejná.
det A=
a
b −a
det A T =
5.4.4
c
a
= a.(− a ) − c.b = − a 2 − c.b
b
c −a
= a.(−a ) − b.c = − a 2 − c.b
Přesvědčete se, že výměna dvou po sobě jdoucích řádků způsobí změnu znaménka.
1 −2 3 det A = −2 1 2 = 1 − 12 − 12 − 9 − 4 − 4 = −40 3 2 1 Výměna prvých dvou řádků:
−2 1 2 det A = 1 −2 3 = 4 + 9 + 4 + 12 + 12 − 1 = 40 3 2 1
17
18 6.
Řešení soustav lineárních rovnic
6.1.1
Řešte soustavu lineárních rovnic A.X=B pomocí Gaussovy eliminační metody
2x − 3y + 4z = 8 3 x + 5 y − z = 10 7 x − y + 7 z = 15
1.ř 1.ř 8 8 2 −3 4 8 2 −3 4 2 −3 4 2.ř ~ 0 9,5 −7 −2 3 5 −1 10 +(−1,5).(1.ř ) ~ 0 9,5 −7 −2 7 −1 7 15 + (−3,5).(1.ř ) 0 9,5 −7 −13 + (−1).(2.ř ) 0 0 0 −11 Protože matice soustavy má hodnost h(A)=2 a rozšířená matice soustavy má hodnost h(A | B)=3, nemá soustava A.X=B dle Frobeniovy věty řešení
6.1.2
Řešte soustavu lineárních rovnic A.X=B pomocí Gaussovy eliminační metody
x + 2 y − 3z = 5 3x − 4 y + 5z = 6 1.ř 1 2 −3 5 1 2 −3 5 ~ 3 −4 5 6 + (−3).(1.ř ) 0 −10 14 −9 Matice soustavy i rozšířená matice soustavy mají hodnost h (A)=h (A | B)=2, počet proměnných n=3. Podle věty Frobeniovy je n-h (A) =1 proměnná volitelná. Zvolme tedy z = t. Pak ze soustavy plyne
z =t
y=
1 (14t + 9) 10
kde t je libovolné reálné číslo.
18
1 x = (t + 16) 5
,
19 6.1.3
Řešte soustavu lineárních rovnic A.X=B pomocí Gaussovy eliminační metody
5x − 9 y + 5z = 1 x − 2y + z = 0 2 x + 3 y + 3z = 2
5 −9 5 1 1 −2 1 1 −2 1 0 1.ř ~ 5 −9 5 2 3 3 2 2 3 3 1 −2 1 0 1.ř 1 ~ 0 1 0 1 2.ř ~ 0 0 7 1 2 −7.(2.ř ) 0
0 1.ř 1 −2 1 0 1.ř 1 −5.(1.ř ) ~ 0 1 0 1 −5.(1.ř ) ~ 2 −2.(1.ř ) 0 7 1 2 −2.(1.ř ) −2 1 0 1.ř 1 0 1 2.ř 0 1 −5 −7.(2.ř )
zpětný chod :
z = −5
6.1.4
y =1
x = 0 − z + 2 y = 5 + 2 = 7 , když dosadíme vypočtené hodnoty y a z .
Řešte soustavu lineárních rovnic A.X=0 pomocí Gaussovy eliminační metody
x1 + 2 x2 + 3 x3 = 0 4 x1 + 7 x2 + 5 x3 = 0 x1 + 6 x2 + 10 x3 = 0 x1 + x2 − 4 x3 = 0 1 4 1 1
2 3 1.ř 1 7 5 −4.(1.ř ) 0 ~ 6 10 −(1.ř ) 0 1 −4 −(1.ř ) 0 1 2 3 1.ř 1 0 1 7 2.ř ~ 0 0 0 −21 /(−21) 0
2 3 1.ř 1 2 3 1.ř −1 −7 2.ř ~ 0 -1 −7 .(−1) ~ 4 7 +4.(2.ř ) 0 4 7 + (4).(2.ř ) −1 −7 (vynech) 2 3 1 7 , 0 1
h (A)=h (A|B)=n=3 , soustava má triviální řešení
19
x1 = x2 = x3 = 0
20 6.1.5
Řešte soustavu lineárních rovnic A.X=B pomocí Gaussovy eliminační metody
x1 + 2 x2 + 3 x3 = 1 2 x1 + 4 x2 + 6 x3 = 2 2 x1 − 6 x2 +
x3 = 3
1 2 3 1 2 4 6 2 2 −6 1 3
3 1 1 2 0 0 0 0 0 −10 −5 1
1 2 3 1 0 1 1 −1 2 10
h(A)=2, h(A/B)=2, n=3, tedy jednu proměnnou volíme jako parametr
x3 = t 1 1 x2 = − t − 2 10 1 1 12 − 2t x1 = 1 − 2.(− t − ) − 3.t = 2 10 10
6.2.1
Pomocí Cramerova pravidla řešte soustavu lineárních rovnic
x + y + 3z = 7 x − 3y + 2z = 5 x+ y+ z =3 1 1
3
det(A) = 1 -3 2 = −3 + 3 + 2 + 9 − 2 − 1 = 8, det(A) ≠ 0, tedy soustava má právě jedno řešení 1 1 7
1 1
3
det(A x ) = 5 -3 2 = −21 + 15 + 6 + 27 − 14 − 5 = 8 3
1
x=
1
1 7 3 det(A y ) = 1 5 2 = 5 + 9 + 14 − 15 − 6 − 7 = 0
y=
1 3 1 1 1
7
det(A z ) = 1 -3 5 = −9 + 7 + 5 + 21 − 5 − 3 = 16 1 1
3
20
z=
det(A x ) 8 = =1 det(A) 8
det(A y ) det(A)
=
0 =0 8
det(A Z ) 16 = =2 det(A) 8
tedy x = 1
tedy y = 0
tedy z = 2
21 7. 7.1.1
Polynomy a jejich podíl Rozložte polynom 2 x + 3 x + 1 na součin kořenových činitelů. 2
2 x 2 + 3 x + 1 = 2 x 2 + 2 x + x + 1 = 2 x( x + 1) + ( x + 1) = ( x + 1)(2 x + 1) nebo
2 x 2 + 3 x + 1 = 0 → x1,2 =
−3 ± 9 − 8 −3 ± 1 = 2.2 4
x1 = −
1 , x2 = −1 2
1 2 x 2 + 3 x + 1 = 2.( x + ).( x + 1) = (2 x + 1)( x + 1) 2 7.1.2
Rozložte polynom x − 3 x − 2 na součin kořenových činitelů. 3
x3 − 3 x − 2 = x 3 − 4 x + x − 2 = x( x 2 − 4) + x − 2 = x.( x − 2).( x + 2) + x − 2 = = ( x − 2)( x 2 + 2 x + 1) = ( x − 2).( x + 1) 2 7.1.3
Rozložte polynom x + 7 x + 12 na součin kořenových činitelů. 2
x 2 + 7 x + 12 = ( x + 3).( x + 4) 7.1.4
Rozložte polynom x − 7 x + 14 x − 8 na součin kořenových činitelů. 3
2
x3 − 7 x 2 + 14 x − 8 = x 3 − 8 − 7 x( x − 2) = ( x − 2)( x 2 + 2 x + 4) − 7 x( x − 2) = = ( x − 2)( x 2 + 2 x + 4 − 7 x) = ( x − 2)( x 2 − 5 x + 4) = ( x − 2)( x − 1)( x − 4) 7.1.5
Rozložte polynom x − 3 x + 4 na součin kořenových činitelů. 3
2
x3 − 3 x 2 + 4 = x 3 − 2 x 2 − x 2 + 4 = x 2 ( x − 2) − ( x 2 − 4) = ( x − 2)( x 2 − x − 2) = = ( x − 2) 2 ( x + 1) 7.2.1
Užitím Hornerova schematu rozložte na součin kořenových činitelů
x5 + 2 x 4 − 9 x 3 − 4 x 2 + 30 x − 36
1 -1 2 2 -2 3 -3 -3
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 3 1 4 6 2 7 1 -2
-9 -6 -10 -1 11 -5 20 -4 2
-4 -10 6 -6 16 4 54 6 0
30 20 24 18 50 10 180 0
-36 -16 -60 0
x5 + 2 x 4 − 9 x 3 − 4 x 2 + 30 x − 36 = ( x − 2)( x 4 + 4 x3 − x 2 − 6 x + 18) =
= ( x − 2)( x + 3)( x 3 + x 2 − 4 x + 6) = = ( x − 2)( x + 3) 2 ( x 2 − 2 x + 2)
21
22
7.2.2
Užitím Hornerova schematu rozložte na součin kořenových činitelů
x 6 − 6 x 5 + 11x 4 − 2 x 3 − 12 x 2 + 8 x
0 1 1 -1 -1 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
-6 -6 -5 -4 -6 -7 -4 -2 0
11 11 6 2 -2 19 4 0
-2 -2 4 6 -8 -27 0
-12 -12 -8 -2 0
8 8 0
0 0
x 6 − 6 x 5 + 11x 4 − 2 x 3 − 12 x 2 + 8 x = x( x − 1)( x + 1)( x − 2)3
7.3.1
Rozložte racionální lomenou funkci f ( x ) =
x ( x + 1)(2 x + 1)
na parciální zlomky
x A B = + .( x + 1)(2 x + 1) ( x + 1)(2 x + 1) x + 1 2 x + 1 x = A(2 x + 1) + B( x + 1) = x(2 A + B) + ( A + B )
x
A = 1,
tedy
¨
2A + B = 1 , A + B = 0
B = −1
x 1 −1 = + ( x + 1)(2 x + 1) x + 1 2 x + 1
7.3.2
Rozložte racionální lomenou funkci f ( x ) =
x 3 − 6 x 2 + 11x − 5 ( x − 2)
4
=
x 3 − 6 x 2 + 11x − 5 ( x − 2) 4
na parciální zlomky
A B C D + + + 2 3 x − 2 ( x − 2) ( x − 2) ( x − 2) 4
.( x − 2) 4
x − 6 x 2 + 11x − 5 = A( x − 2)3 + B( x − 2) 2 + C ( x − 2) + D 3
x3 − 6 x 2 + 11x − 5 = A( x 3 − 6 x 2 + 12 x − 8) + B ( x 2 − 4 x + 4) + C ( x − 2) + D vyřešením soustavy pro
A = 1,
B = 0,
x 3 − 6 x 2 + 11x − 5 ( x − 2)
4
A, B, C , D
C = −1, =
dostaneme
D =1
1 −1 1 + + 3 x − 2 ( x − 2) ( x − 2) 4
22
23
7.3.3
8 x − 31 na parciální zlomky x − 9 x + 14
Rozložte racionální lomenou funkci f ( x ) =
2
8 x − 31 A B = + .( x − 7)( x − 2) x − 9 x + 14 x − 7 x − 2 8 x − 31 = A( x − 2) + B( x − 7) 2
užijeme dosazovací metodu
x=2 → 16 − 31 = B(2 − 7) x=7 → 56 − 31 = A(7 − 2) 8 x − 31 5 3 = + 2 x − 9 x + 14 x − 7 x − 2
7.3.4
→ B=3 → A=5
Rozložte racionální lomenou funkci f ( x ) =
1 na parciální zlomky 1 + x3
1 1 A Bx + C = = + 2 .(1 + x3 ) 2 3 ( x + 1)( x − x + 1) x + 1 x − x + 1 1+ x 1
= A( x 2 − x + 1) + ( Bx + C )( x + 1)
1 = x 2 ( A + B ) + x(− A + B + C ) + ( A + C ) A+ B =0 1 1 2 −A + B + C = 0 → A= , B=− , C= 3 3 3 A +C =1 1 1 1 1 x−2 = − 3 3 x + 1 3 x2 − x + 1 1+ x 7.3.5
x3 + x − 1 Rozložte racionální lomenou funkci f ( x ) = 2 na parciální zlomky ( x + 2) 2 x 3 + x − 1 Ax + B Cx + D = 2 + x + 2 ( x 2 + 2) 2 ( x 2 + 2) 2
.( x 2 + 2) 2
x3 + x − 1 = ( Ax + B)( x 2 + 2) + Cx + D x3 + x − 1 = x 3 ( A) + x 2 ( B ) + x(2 A + C ) + (2 B + D) A =1 B =0 2A + C =1 → C = −1 , D = − 1 2 B + D = −1 x3 + x − 1 x x +1 = 2 − 2 2 2 x + 2 ( x + 2) 2 ( x + 2)
23
24
8. 8.1.1
Geometrické vektory
uur
r
uur
r
V trojúhelníku ABC je AB = a , BC = b
r
r
, S je střed strany BC, T těžiště trojúhelníka .
uur uur uur
Pomocí vektorů a a b určete vektory AC , AS , AT.
uur uur
uur
r
r
AC =AB + BC = a + b,
8.1.2
r
π
, proto a p = 2.cos
4
= 2.
r
π 4
,
r
r k .b →
r
a = 2.
2 = 2 . 2 r
Jaké musí být číslo x , aby dané dva vektory a = xi + 5 j Musí platit a =
8.2.2
r 1r uur 2 uur 2r 1r b , AT = AS = a + b 2 3 3 3
Určete projekci vektoru a na přímku p , je-li dáno ϕ =
r a p = a .cos ϕ 8.2.1
uur
AS = a +
,
b = 3i − j byly kolineární .
5 j = − k . j → k = −5 . Tedy je x=k .3 = (−5).3 = −15 .
r
r
r
Vyšetřete, zda dané tři vektory a = k , b = i − j − k , c = i − j + k jsou komplanární. Jestliže ano, nalezněte vztah mezi nimi.
r
r
Pro závislost musí platit m.a + n.b +
r r p.c = 0 , tedy musíme řešit soustavu tří lineárních rovnic :
0.m + 1.n + 1. p = 0 0.m − 1.n − 1. p = 0 1.m − 1.n + 1. p = 0 Z prvních dvou rovnic plyne p = -1 a n = 1 , dosazením do třetí rovnice je m = 2. Dané tři vektory jsou komplanární .
8.3.1
r , b = ( i + 4 j) .
r
Vynásobte skalárně vektory a = (3i − 2 j )
rr a.b = (3i − 2 j ).( i + 4 j ) = 3.1 + (−2).4 = −5
8.3.2
r
Vynásobte skalárně vektory a = 2i + 3 j +
3
r 2k , b = −2i + 2 j + 3 4k .
rr a.b = (2i + 3 j + 3 2k ).(−2i + 2 j + 3 4k ) = 2.(−2) + 3.2 + 3 2. 3 4 = −4 + 6 + 2 = 4
24
25
8.3.3
r
r
Určete úhel vektorů a = 3i + 2 j , b = i + 5 j .
r r a = 3i + 2 j , b = i + 5 j rr a.b 3.1 + 2.5 13 13 1 cos ϕ = r r = = = = 13. 26 13. 2 2 a .b 32 + 22 . 12 + 52 tedy ϕ =
8.3.4
π 4
r
Zjistěte, zda vektory a = 2i − 5 j + k , b = 3i + 2 j + 4k
jsou na sebe kolmé.
r a = 2i − 5 j + k , b = 3i + 2 j + 4k rr a.b 2.3 + (−5).2 + 1.4 0 π cos ϕ = r r = = = 0 →ϕ = 2 30. 29 a .b 22 + (−5) 2 + 12 . 32 + 22 + 42 Tedy vektory jsou na sebe kolmé.
8.4.1
r
r
Určete vektorový součin vektorů a = 2i − 3 j + k , b = −i + 2 j − 4k .
r r a × b = (2i − 3 j + k ) × (−i + 2 j − 4k ) = i j k = 2 −3 1 = 12i − j + 4k − 3k − 2i + 8 j = 10i + 7 j + k −1 2 − 4
8.4.2
r
r
Vypočtěte a × b a určete geometrický význam vypočtené hodnoty, je-li
r r a = 2i + 3 j , b = 3 j + 2k r r a × b = (2i + 3 j ) × (3 j + 2k ) = i
j k
= 2 3 0 = 6i + 0 + 6k − 0 − 0 − 4 j = 6i − 4 j + 6k
0 3 2 r r a × b = 62 + (−4) 2 + 62 = 88 = 2 22 Geometrický význam je obsah rovnoběžníka z uvedených vektorů.
25
26
8.5.1
r rr
Vypočtěte hodnotu smíšeného součinu abc , jsou-li vektory dány
r r r a = i − 3 j + k , b = 2i + j − 3k , c = i + 2 j + k
r rr r r r r r r abc = (a × b ) ⋅ c = c .(a × b ) a1 a2 a3 1 −3 1 = b1 b2 b3 = 2 1 −3 = 1 + 9 + 4 − 1 + 6 + 6 = 25 1 2 1 c1 c2 c3 nebo
c1 = a1 b1 8.5.2
c2 a2 b2
c3 1 2 1 a3 = 1 −3 1 = 6 + 4 + 1 + 6 + 6 − 1 = 25 b3 2 1 −3
Zjistěte, zda zadané vektory jsou komplanární
r r r a = i − 2 j + k , b = 3i + j − 2k , c = 7i + 14 j − 13k 1 −2 1 r rr r r r abc = (a × b ) ⋅ c = 3 1 −2 = −13 + 28 + 42 − 7 + 28 − 78 = 0 7 14 −13 Tedy zadané vektrory jsou komplanární.
8.5.3
Vypočtěte objem rovnoběžnostěnu ABCDEFGH , jsou-li dány vrcholy A[3,0,4] , B[-1,-1,7] , C[0,-2,-3] , E[6,5,4].
uuuuruuuuruuuur
Objem je dán jako smíšený součin tří vektorů AB AC AE
uuuur uuuur uuuur AB = (−4, −1, 3) , AC = (−3, −2, −7) , AE = ( 3, 5, 0)
−4 −1 3 −3 −2 −7 = 0 + 21 − 45 + 18 − 140 − 0 = −146 3 5 0 8.5.4
Vypočtěte objem čtyřstěnu ABCD, jsou-li dány body A[1,2,3] , B[-1,0,0] , C[0,-2,0] , D[0,0,-3].
1 uuuuruuuuruuuur AB AC AD . 6 −2 −2 −3 1 uuuuruuuuruuuur 1 1 AB AC AD = −1 −4 −3 = (−48 − 6 − 6 + 12 + 12 + 12) = 6 6 6 −1 −2 −6
Objem čtyřstěnu ABCD je dán jako
=
−24 = −4 6
1 uuuuruuuuruuuur AB AC AD = −4 = 4 6
26
27
9. 9.1.1
Analytická geometrie v prostoru Napište rovnici roviny, která je určena body A[1,-2,3], B[-4,5,6], C[7,8,-9]. 1) Jeden způsob řešení: Normálový vektor n je kolmý k vektorům AB =(r2–r1) =c=(-5,7,3) a AC =(r3–r1) b=(6,10,-12),
i
j
k
10 −12 = 114 i +42 j +92 k =(114,42,92). 3 −5 7
Tedy n = b x c = 6
Rovnice hledané roviny je (r –r1).n=0, tedy (x-1,y+2,z-3). (114,42,92)=0. Tedy rovnice je tvaru 57x+21y+46z -153=0. 2) Druhý způsob řešení: V kartézské soustavě souřadnic má rovnice hledané roviny tvar
x −1 y + 2 z − 3 7 3 = −84( x − 1) − 50( z − 3) + 18( y + 2) − −5 6 10 −12 −42( z − 3) − 30( x − 1) − 60( y + 2) = −114 x − 42 y − 92 z + 306 = 0 57 x + 21y + 46 z − 153 = 0 Tedy 9.1.2
rovnice je tvaru 57x+21y+46z -153=0.
Určete rovnici roviny, která prochází body M[3,4,5 ] a N[-6,7,2] a je kolmá k rovině 2x- 3y +4z –5=0. Vektor n2 normály hledané roviny je kolmý k vektoru MN =(r2–r1)=(-9,3,-3) a k normálovému vektoru n1 (2,-3,4) dané roviny, a proto je n2 = (r2–r1) x n1 . Rovnice hledané roviny je pak (r- r1 ). n2 =0 respektive (r- r2 ). n2 =0 .
i
j
k
n2 = −9 3 −3 = 3 i + 30 j + 21 k = (3,30,21) 2 −3 4
(r- r1 ) = (x-3,y-4,z-5) , (r- r2 ) = (x+6,y-7,z-2) pak rovnice je tvaru nebo
3(x-3)+30(y-4)+21(z-5)=0 , 3(x+6)+30(y-7)+21(z-2)=0 .
Po úpravách dávají obě rovnice týž výsledek 9.2.1
x + 10y + 7z – 78 =0 .
Napišme obecnou rovnici roviny , která je určena parametrickými rovnicemi x= 3 – 2u + 3v , y= 1 + u - 2v , z= 3 –4u + v . Z daných tří rovnic vyloučíme nejprve parametr u . Dostaneme x + 2y = 5 - v , z + 4y = 7 –7v . Vyloučením parametru v z těchto dvou rovnic dostaneme -7x - 10y + z = -28 , Po úpravě je obecný tvar rovnice roviny 7x + 10y –z – 28 = 0 .
27
28
9.2.2
Napište parametrické rovnice roviny určené třemi body A[3,-4,5], B[-5,7,3], C[2,4,-5] . Platí
AB = s(-8,11,-2),
AC =t(-1,8,-10)
. Tedy parametrické rovnice jsou
x = 3 - 8u - v , y = -4 +11u + 8v , z = 5 - 2u -10v . 9.3.1
Určeme vzdálenost bodu T[3,6,1] od roviny x + 10y + 7z – 78 = 0 . Ze vzorce o vzdálenosti plyne
v= 9.3.2
3+10.6+7.1-78
=
(1 + 100 + 49
8 150
=
4 6 15
Určete úhel rovin x + y + z + 1 = 0 a x - 5y - 4z + 3 = 0 . Jde o ostrý úhel, který svírají normály obou rovin. Vypočteme jej pomocí skalárního součinu těchto normálových vektorů n1 (1,1,1) a n2 (1,-5,-4) .
cos ϕ = 9.4.1
n1 .n2 n1 . n2
=
1− 5 − 4 3. 42
=
8 126
Napište rovnici přímky dané dvěma body M[2,9,3] a N[5,3,11]. Směrový vektor přímky MN =s(5-2,3-9,11-3)=s(3,-6,8). Parametrické rovnice přímky jsou x = 2 + 3t , y = 9 – 6t , z = 3 + 8t . nebo x = 5 + 3t , y = 3 – 6t , z = 11 + 8t . Vyloučením parametru dostaneme kanonický tvar rovnice přímky x−2 y−9 z−3 x − 5 y − 3 z − 11 . = = nebo = = 3 −6 8 3 −6 8 Přímku můžeme také určit jako průsečnici dvou rovin. Rovnice dostaneme vyloučením parametru t z parametrických rovnic, takže daná přímka je dána vždy dvojicí rovnic : 2x +y = 13 , 4y + 3z = 45 nebo 2x +y = 13 , 8x – 3z = 7 nebo 4y + 3z = 45 , 8x – 3z = 7 .
9.4.2
Napište rovnici přímky , která je rovnoběžná s přímkou p , určenou body A[2,1,3] , B[7,3,1] a prochází bodem C[-3,5,9] . Směrový vektor dané přímky je AB = s(7-2,3-1,1-3)= s(5,2,-2) . Kanonické rovnice mají tvar
x+3 y −5 z −9 , = = 5 2 −2
Nebo jako průsečnice dvou rovin
2x – 5y + 31 = 0 a 2x + 5z –39 = 0
28
29
9.5.1
x
Vypočtěte vzdálenost bodu M[3,-5,-4] od přímky
7
=
y +1 6
=
z −3 2
.
Bodem M proložíme rovinu kolmou k zadané přímce. Obecná rovnice roviny je tvaru 7(x-3) + 6(y+5) + 2(z+4) = 0 , úpravou 7x + 6y + 2z + 17 = 0. Přímku vyjádříme jako průsečnici dvou rovin ve tvaru 6x –7y =7 a 2x –7z = -21 . Řešíme tedy soustavu tří rovnic o třech neznámých 7x + 6y + 2z = -17 6x – 7y = 7 2x – 7z = -21 , která má právě jedno řešení P[ −
119 89
, −
191 89
233
,
89
] , což je průsečík přímky s rovinou.
Vzdálenost bodu M od zadané přímky je vzdáleností bodů M a P v = MP =
9.5.2
119
(−
89
− 3) + ( − 2
191 89
Zjistěte vzájemnou polohu přímky p: a roviny ρ : x − y − z = 0
+ 5) + ( 2
233 89
+ 4) = ... = 2
6297 89
.
x = t + 1 , y = −2t − 1 , z = 3t + 2
Dosazením z rovnice přímky do rovnice roviny dostaneme t + 1 − ( −2t − 1) − (3t + 2) = 0 2t = 0 → t = 0 → tedy přímka p leží v rovině ρ
9.5.3
Určete úhel přímky p : x = t + 1 , y = t + 2 , z = 3 , ρ : 2x + 4 y + 4z − 3 = 0 .
který svírá s rovinou
r r Normálový vektor roviny je: n =(2,4,4) , směrový vektor přímky je : s =(1,1,0) . Tedy úhel ϕ , který svírá přímka s rovinou získáme z rovnice
rr n .s sin ϕ = r r = n.s odkud plyne ϕ =
9.5.4
π 4
2.1 + 4.1 + 4.0 22 + 4 2 + 42 . 12 + 12 + 0
=
6 6. 2
=
1 2
.
Vypočtěte ostrý úhel dvou rovin
ρ : x+ y+z 2 =3 ,
τ : x− y+z
2
= −2
Ostrý úhel dvou rovin je ostrý úhel jejich normál , tedy platí
r r 1.1 − 1.1 + 2. 2 nρ .nτ co s ϕ = r = = r 2 2 nρ . nτ 2 2 2 2 1 + 1 + 2 . 1 + ( −1) + 2 ϕ=
π 3
29
2 4 4
=
2 4
=
1 2
30
10.
Funkce jedné proměnné
10.1.1
Určete sudost, lichost a periodičnost funkcí :
a)
f ( x) = 6.sin 2x
b)
f ( x) =
c)
f ( x) = 2( x −1)
1 2
.x3
Zadané funkce mají tyto vlastnosti : a)
b)
c)
f (− x) = 6.sin 2(-x) = -6.sin 2x = - f ( x) f ( x + 4π ) = 6.sin 2(x+ 4π )= 6.sin2x = f ( x) f (− x) =
1
1
1
→ lichá funkce → periodická funkce
.(− x)3 = .(−1)3 .( x)3 = − .( x)3 = - f ( x)
2 2 polynom není periodická funkce
2
f (− x) = 2( − x −1) = 2− ( x +1) ≠ - f ( x) f (− x) = 2( − x −1) = 2− ( x +1) ≠ f ( x)
→ lichá funkce
→ není lichá funkce → není ani sudá funkce
exponenciální funkce není periodická funkce
10.2.1
Určete definiční obor funkce f ( x ) = ln( x − 1)
Zadaná funkce je posunutý přirozený logaritmus o jedničku doprava. Pro argument této funkce platí nerovnice ( x − 1) > 0 → x > 1 → x ∈ (1, ∞) Tedy D ( f ) = {x ∈
; x > 1}
30
31
10.2.2
Určete definiční obor funkce f ( x ) = arcsin
2− x 4
Složená cyklometrická funkce má za argument polynom 1.stupně. Tento argument je tedy určen nerovnicí
2−x ≤ 1 → −4 ≤ 2 − x ≤ 4 4 − 2 ≤ x ≤ 6 → x ∈ 〈−2, 6〉
−1 ≤
Definiční obor D ( f ) = {x ∈
10.2.3
→ − 6 ≤ −x ≤ 2
; −2≤ x≤6}
Určete definiční obor funkce f ( x ) =
x .ln x
f ( x) = x .ln x je součin dvou funkcí f1 = x , která má D(f1 ) =< 0.∞) , a
f 2 = ln x , která má D(f 2 ) = (0, ∞).
D(f)=D(f1 ) ∩ D(f 2 ) , tedy D(f)= < 0.∞ ) ∩ (0, ∞ ) = (0, ∞ )
31
32
11.
Limita a spojitost
2n + 1 3n 2n + 1 2n 1 2 1 1 2 2 lim an = lim = lim + lim = lim1 + lim = + 0 = n →∞ n →∞ n →∞ 3n n →∞ 3n 3n 3 n→∞ 3 n→∞ n 3 3
11.1.1
Vypočtěte limitu posloupnosti {an } , jestliže an =
11.1.2
an =
Vypočtěte limitu posloupnosti
{an } , jestliže
n2 − n + 2 n3 + 1
n2 − n + 2 = ( v čitateli je polynom n →∞ n3 + 1
lim an = lim n →∞
nižšího stupně než ve jmenovateli, proto limita)=0
11.2.1
Vypočtěte limitu
lim( x 2 − x + 1) x →2
lim( x 2 − x + 1) = lim x 2 − lim x + lim1 = (lim x)2 − lim x + lim1 = x →2
x→2
x→2
x→2
x→2
x→2
x→ 2
= 2 − 2 +1 = 4 − 2 +1 = 3 2
= 22 − 2 + 1 = 4 − 2 + 1 = 3
nebo přímo dosazenim do polynomu
11.2.2
lim( x − 1).(sin x →2
11.2.3
lim( x − 1).(sin
Vypočtěte limitu
πx
x →2
πx 4
4
)
) = lim( x − 1).lim(sin x→2
x→2
πx 4
) = (2 − 1).sin
π 2
=1
Vypočtěte limitu
lim x →1
x3 − 3x + 2 x3 − x 2 − x + 1
x3 − 3x + 2 ( x − 1)( x 2 + x − 2) ( x 2 + x − 2) lim lim = = = x →1 x 3 − x 2 − x + 1 x →1 x →1 ( x − 1)( x 2 − 1) ( x 2 − 1) ( x − 1)( x + 2) ( x + 2) 3 = lim = lim = x →1 ( x − 1)( x + 1) x →1 ( x + 1) 2
lim
32
33
11.2.4
lim
Vypočtěte limitu
x→
lim x→
π
4
4
cos x − sin x cos 2 x
− cos x + sin x −(cos x − sin x) −(cos x − sin x) = lim = lim = 2 2 π cos x − sin x π cos 2 x x→ x → (cos x − sin x )(cos x + sin x ) 4
= lim x→
11.2.5
π
π
4
−1 = (cos x + sin x)
4
−1 2 2
2
+
=−
1 2
2
sin x = 1 vypočtěte limitu x →0 x
Pomocí vztahu lim
sin 5 x x →0 x
lim
sin 5 x sin 5 x sin 5 x = 1 = 5.1 = 5 = 5.lim = protože lim x →0 x →0 x →0 x 5x 5x
lim
11.3.1
Vypočtěte jednostrannou limitu pomocí substituce x=a-t (resp.x=a+t)
a)
b)
lim
x→2−
lim
x →2+
x−2 x−2 x−2 x−2
Výpočet:
a) b)
11.3.2
lim
x→2−
lim
x →2+
x−2 x−2 x−2 x−2
= lim t →0
= lim
Vypočtěte jednostrannou limitu
t →0
(2 − t ) − 2 (2 − t ) − 2 (2 + t ) − 2 (2 + t ) − 2
= lim t →0
= lim t →0
−t
t = − lim = − lim1 = −1 t →0 t t →0 −t
t
t = lim = lim1 = 1 t → 0 t t t →0
lim (3x − 5)
x → 3−
lim (3x − 5) = lim(3(3 − t ) − 5) = lim(4 − t ) = lim 4 = 4
x → 3−
11.4.1
t →0
t →0
t →0
2x − 1 x → 2 ln( x − 1)
Vypočtěte nevlastní limitu lim
2x − 1 2(2 − t ) − 1 3−t = lim = lim = −∞ t → 0 t → 0 ln( x − 1) ln((2 − t ) − 1) ln(1 − t ) 2x − 1 2(2 + t ) − 1 3+t lim = lim = lim = +∞ x → 2 + ln( x − 1) t → 0 ln((2 + t ) − 1) t → 0 ln(1 + t ) lim
x →2−
33
34
11.4.2
2x − 1 x →3 9 − x 2
Vypočtěte nevlastní limitu lim
2x − 1 2(3 − t ) − 1 5 − 2t = lim = lim = +∞ 2 2 t → 0 t → 0 9− x 9 − (3 − t ) 6t − t 2 2x − 1 2(3 + t ) − 1 5 + 2t 5 + 2t lim = lim = lim = − lim = −∞ 2 2 2 x →3+− 9 − x t → 0 9 − (3 + t ) t → 0 −6t − t t → 0 6t + t 2 lim
x →3−
lim
11.5.1
x →+∞
Vypočtěte limitu funkce v nevlastním bodě
x x +1
1 1 x 1 lim lim t = lim t = lim = =1 x →+∞ x + 1 t →0 1 t →0 1 + t t →0 1 + t +1 t t
lim 11.5.2
Vypočtěte limitu v nevlastním bodě
x →∞
11.5.3
3x 4 − 1 −2
2x + 3 : x 2 + 3x = lim 2 4 x →∞ 3x − 1 : x 3 − x −4 2
lim
x →∞
2x2 + 3
2
Vypočtěte pomocí vztahů
1 x →∞ x 2 2 + 3.0 2 = = = 1 3−0 3 3 − lim 4 x →∞ x
1 lim(1 + ) x = e x →∞ x
2 + 3lim
1
resp. lim(1 + x) x x →0
=e
3 lim(1 + ) X x →∞ x 3 X 3 3z 1 lim(1 + ) = lim(1 + ) = (lim(1 + ) z )3 = e3 x →∞ z →∞ z →∞ x z 3z
limitu v nevlastním bodě
11.5.4
ex − 1 ax −1 = 1 resp. lim = ln a limitu x →0 x →0 x x
Vypočtěte pomocí vztahů lim
e2 x − 1 e2 x − 1 ez − 1 = 2 lim = 2. lim = 2.1 = 2 x →0 x →0 z →0 x 2x z
lim
34
e2 x − 1 x →0 x
lim
35
11.6.1
Zjistěte, kde je nespojitá funkce
f ( x) =
2 ( x − 1) 2
x −1 = 0
f ( x) =
2 ( x − 1) 2
je racionální funkce, která není definovaná v nulovém bodě jmenovatele →
x = 1 , ale je definovaná v levém i pravém okolí tohoto bodu.
Tedy funkce v bodě x=1 není spojitá.
11.6.2
Zjistěte, kde je spojitá funkce f ( x ) = sin(2 x + π )
f ( x) = sin(2 x + π )
je goniometrická funkce sinx posunutá o
π 2
se základní periodou π .
Je definována pro všechna reálná čísla. Jde tedy o funkci spojitou v R.
35
36 12.
12.1.1
Derivace funkce
Vypočtěte 1.derivaci funkce
f ( x) = 6.sin x
f ´( x) = 6.cos x 12.1.2
f ´( x) = e x − 12.1.3
f ( x) = e x − 2.ln x
Vypočtěte 1.derivaci funkce
Vypočtěte 1.derivaci funkce
2 x f ( x) = 5 x 4 − 4 x3 + 8 x 2 − 7 x − 6
f ´( x) = (5 x 4 − 4 x 3 + 8 x 2 − 7 x − 6)´= (5 x 4 )´−(4 x3 )´+ (8 x 2 )´−(7 x)´−(6)´= = 5.4.x3 − 4.3.x 2 + 8.2.x − 7 − 0 = 20 x3 − 12 x 2 + 16 x − 7
12.1.4
x .( x 3 − x + 1)
f ( x) =
Vypočtěte 1.derivaci funkce
1
1
1
1
7
1
f ´( x) = ( x .( x3 − x + 1))´= ( x 2 .x3 − x 2 .x 2 + x 2 )´= ( x 2 − x + x 2 )´= 5
=
12.1.5
−1
7 2 1 7 1 x − 1 + x 2 = x2 x − 1 + 2 2 2 2 x
Vypočtěte 1.derivaci funkce
f ( x) =10 x − 5log 2 x
1 1 f ´( x) = (10 x − 5log 2 x)′ = (10 x )′ − 5.(log 2 x)′ = 10 x .ln10 − 5. . x ln 2 12.2.1
Vypočtěte 1.derivaci funkce
f ( x) = ( x 2 − 3 x + 3).( x 2 + 2 x − 1)
f ´( x) = ( ( x 2 − 3 x + 3).( x 2 + 2 x − 1) )´= ( x 2 − 3 x + 3)´.( x 2 + 2 x − 1) + ( x 2 − 3 x + 3).( x 2 + 2 x − 1)´= = (2x − 3).( x 2 + 2 x − 1) + ( x 2 − 3x + 3).(2 x + 2) = 2 x3 − 3 x 2 + 4 x 2 − 6 x − 2 x + 3 + 2 x3 − 6 x 2 + + 6 x + 2 x 2 − 6 x + 6 = 4 x3 − 3 x 2 − 8 x + 9 12.2.2
Vypočtěte 1.derivaci funkce
f ( x) = sin x.cos x
f ´( x) = (sin x.cos x)′ = (sin x) ′.cos x + sin x.(cos x)′ = cos x.cos x + sin x.(− sin x) = = cos 2 x − sin 2 x = cos 2 x
36
37
12.2.3
f ( x) = x. 1 − x 2 + arcsin x
Vypočtěte 1.derivaci funkce
f ´( x) = ( x. 1 − x 2 + arcsin x)′ = ( x. 1 − x 2 )′ + (arcsin x)′ = ( x)′. 1 − x 2 + −2 x 1 + x.( 1 − x 2 )′ + (arcsin x)′ = 1 − x 2 + x. + = 2 2. 1 − x 1 − x2 x2 1 (1 − x 2 ) − x 2 + 1 = 1 − x2 − + = = 1 − x2 1 − x2 1 − x2 2.(1 − x 2 ) = = 2 1 − x2 2 1− x 12.3.1
2x f ´( x) = 2 1− x = 12.3.2.
f ( x) =
Vypočtěte 1.derivaci funkce
2x 1 − x2
2 2 ′ (2 x)´.(1 − x ) − (2 x).(1 − x )´ = = (1 − x 2 ) 2
2.(1 − x 2 ) − 2 x.(−2 x) 2(1 + x 2 ) = (1 − x 2 ) 2 (1 − x 2 ) 2
Vypočtěte 1.derivaci funkce
f ( x) =
ex sin x
e x ′ (e x )′.sin x − e x .(sin x)´ e x .sin x − e x cos x = = f ´( x) = = (sin x) 2 sin 2 x sin x e x .(sin x − cos x) = sin 2 x 12.3.3
Vypočtěte 1.derivaci funkce f ( x ) =
1 − ln x 1 + ln x
1 1 (− ).(1 + ln x) − (1 − ln x).( ) ′ 1 − ln x (1 − ln x)′.(1 + ln x) − (1 − ln x).(1 + ln x)′ x = = x f ´( x) = = 2 2 + x 1 ln + + x x (1 ln ) (1 ln ) 1 2 − (− ).((1 + ln x) + (1 − ln x)) −2 x x = = = 2 2 x.(1 + ln x) 2 (1 + ln x) (1 + ln x)
12.4.1
x 2 x x x x 1 1 x f ´( x) = (sin )′ = cos .( )′ = cos .( ) = cos 2 2 2 2 2 2 2
Vypočtěte 1.derivaci složené funkce f ( x ) = sin
37
38
12.4.2
Vypočtěte 1.derivaci složené funkce f ( x ) = arccos
2 x 2 − 5 ′ f ´( x) = arccos =− 3
=
12.4.3
−3
2 x2 − 5 3
2 x 2 − 5 ′ . = 2 3 2 2x − 5 1− 3 −4 x 1
4 . x= 9 − (2 x 2 − 5) 2 3 9 − (2 x 2 − 5) 2
Vypočtěte 1.derivaci složené funkce f ( x ) = e
1+ x
e 1+ x f ´( x) = (e 1+ x )´= (e 1+ x ).( 1 + x )′ =
2 1+ x
12.4.4
Vypočtěte 1.derivaci složené funkce f ( x ) = arctan(5 x − 3)
f ´( x) = (arctan(5 x − 3))′ =
12.4.5
(5 x − 3)′ 5 5 = = 2 2 2 1 + (5 x − 3) 1 + 25 x − 30 x + 9 25 x − 30 x + 10
Vypočtěte 1.derivaci složené funkce f ( x ) = x
2x
f ´( x) = ( x 2 x )′ = (e2 x.ln x )′ = (e 2 x.ln x ).((2 x)´.ln x + 2 x(ln x)´) = 1 = ( x 2 x ).(2 ln x + 2 x. ) = ( x 2 x ).(2 ln x + 2) = 2.( x 2 x ).(ln x + 1) x 12.5.1
Vypočtěte 2.derivaci složené funkce f ( x ) = sin 2x
f ´( x) = (sin 2 x)´= 2 cos x f ´´( x) = (2 cos x)′ = −2sin x 12.5.2
Vypočtěte 2.derivaci složené funkce f ( x ) =
e x − e− x 4
e x − e− x f ´( x) = 4
′ e x + e − x = 4
e x + e− x f ´´( x) = 4
′ e x − e − x = 4
38
39
12.5.3
Vypočtěte derivaci složené funkce f ( x ) =
f ( x) =
2x 1 − x2
2x f ′( x) = 2 1− x 12.5.4
2x 1 − x2
2 2 2 ′ 2.(1 − x ) − 2 x.(−2 x) 2 x + 2 2( x + 1) = = = 2 2 2 (1 − x 2 ) (1 − x2 ) (1 − x2 )
f ( x) = 5 x3
Vypočtěte 3. derivaci složené funkce
f ( x) = 5 x3 f ′( x) = 15 x 2 f ′′( x) = 30 x f ′′′( x) = 30
12.6.1
Vypočtěte 1.a 2. derivaci funkce zadané svými parametrickými rovnicemi
x = 2(t 2 + 1) , y = 2.t 3 x = 2(t 2 + 1) , x& = 2t y = 2.t 3
,
, y& = 6t 2
,
&& x=2 && y = 12t
2
6t = 3t 2t && 12t.2t − 2.6t 2 12t 2 3 y& y.x& − && x. y& ′′ = = 3 = y → y ′′ = ( )& = 3 3 2t x& (2t ) 8t x&
y′ =
12.6.2
y& x&
→
y′ =
Vypočtěte 1.a 2. derivaci funkce zadané svými parametrickými rovnicemi
x = cos t , y = sin t
x = cos t , x& = − sin t , y = sin t , y& = cos t , cos t y& y′ = → y′ = x& − sin t && y& y.x& − && x. y& y ′′ = ( )& = → 3 x& x&
&& x = − cos t &y& = − sin t = − cot t y ′′ = =
39
(− sin t ).(− sin t ) − (− cos t ).(cos t ) = (− sin t )3 sin 2 t + cos 2 t −1 = 3 sin 3 t − sin t
40 13. 13.1.1
Taylorova věta a aplikace Vypočtěte diferenciál df ( x ) funkce f ( x ) = 2
( x − 2)
df ( x) = f ´( x).dx = (2( x − 2) )´dx = (2( x − 2).ln 2)dx
13.1.2
Vypočtěte diferenciál df ( x ) funkce f ( x ) = 3cos
df ( x0 ) = f ´( x0 ).( x − x0 ) = (3cos =
13.1.3
x −π v bodě x0 = π . 2
x −π )′ .( x − π ) = 2 ( x0 =π )
3 (− sin(π − π )).( x − π ) = 0.( x − π ) = 0 2
Vypočtěte druhý diferenciál d f ( x) funkce f ( x ) = tan x . 2
d 2 f ( x) = f ´´( x).(dx) 2 = (tan x)´´.(dx) 2 = (
13.2.1
1 cos x )′.(dx) 2 = −2 3 (dx) 2 2 sin x sin x
Vypočtěte Taylorův rozvoj 3.stupně funkce f ( x ) =
1 1 =− 1− 3 2 1 1 1 = f ´( x) = (−1).(1 − x) −2 .(−1) = f ´(3) = 2 2 4 (1 − x) (1 − 3) 2 2 2 1 = =− f ´´( x) = (−2).(1 − x) −3 .(−1) = f ´´(3) = 3 3 −8 4 (1 − x) (1 − 3) 6 6 6 3 = = f ´´´( x) = 2.(−3).(1 − x) −4 .(−1) = f ´´´(3) = 4 4 16 8 (1 − x) (1 − 3) f ´´(3) f ´´´(3) 1 f ´(3) ( x − 3) + ( x − 3) 2 + ( x − 3)3 = = f (3) + 1! 2! 3! 1− x 3 1 − 1 1 = − + ( x − 3) + 4 ( x − 3) 2 + 8 ( x − 3)3 = 2 4 2 6 1 1 1 1 = − + ( x − 3) − ( x − 3) 2 + ( x − 3)3 2 4 8 16 f ( x) =
1 = (1 − x) −1 1− x
1 v bodě x0 = 3 1− x f (3) =
40
41
13.2.2
Vypočtěte Maclaurinův rozvoj funkce f ( x ) = cos x
f ( x) = cos x f ´( x) = − sin x f ´´( x) = − cos x f ´´´( x) = sin x f ´´´´( x) = cos x
f (0) = 1 f ´(0) = 0 f ´´(0) = −1 f ´´´(0) = 0 f ´´´´(0) = 1 f ´(0) f ´´(0) 2 f ´´´(0) 3 f ´´´´(0) 4 x+ x + .... = x + x + cos x = f (0) + 3! 1! 2! 4! 1 1 4 = 1 + 0 − x2 + 0 + x + 0 − .... 2 24 13.3.1
Zjistěte, kde funkce f ( x ) = x − 3 x − 1 je rostoucí, klesající, a kde nabývá svého lokálního minima a maxima. 3
f ( x) = x3 − 3 x − 1 f ´( x) = 3 x 2 − 3
→ 3x 2 − 3 = 0 3.( x 2 − 1) = 0 x1 = 1,
stacionární body
f (−2) = 12 − 3 = 9 > 0
→ 3.( x − 1).( x + 1) = 0 x2 = −1
f (0) = −3 < 0
f (2) = 12 − 3 = 9 > 0
V intervalu (-∞,-1) funkce roste, v intervalu (-1,1) funkce klesá, v intervalu (1,∞ ) funkce roste. Bod x=-1 je bodem lokálního maxima, bod x=1 bodem lokálního minima.
13.3.2
Zjistěte, kde funkce f ( x ) = e lokálního minima a maxima.
f ( x) = e2 x
2x
je rostoucí, klesající, a kde nabývá svého
f ´( x) = 2e 2 x > 0 f ´( x) > 0 → 1.derivace je stále kladná
funkce je rostoucí na celém definičním oboru D(f)=R ,
13.3.3
Zjistěte, kde funkce
f ( x) =
2 x+3
nemá žádné extrémy
je rostoucí, klesající, a kde nabývá svého
lokálního minima a maxima.
f ( x) =
2 x+3
f ´( x) =
−2 <0 ( x + 3) 2
s vyjímkou bodu x=-3, kde f(x) není definovaná
Funkce je tedy po částech rostoucí na intervalech (-∞,-3) , (-3,∞ )
41
42
13.4.1
Zjistěte inflexní body, konvexnost a konkávnost funkce f ( x ) = ( x − 1) . 3
f ( x) = ( x − 1)3 , f ´( x) = 3( x − 1) 2 , f ´´( x) = 6( x − 1) f ´´( x) = 0 → 6( x − 1) = 0 → x = 1 je inflexní bod f ´´(0) = −6 < 0 , f ´´(2) = 6 > 0 , tedy na intervalu (-∞,1) je funkce konkávní (pod tečnou) na intervalu (1,∞ ) je funkce konvexní (nad tečnou)
.
13.4.2
Zjistěte inflexní body, konvexnost a konkávnost funkce f ( x ) = ln( x − 2) .
f ( x) = ln( x − 2)
f ´( x) =
1 x−2
f ´´( x) =
−1 ( x − 2) 2
<0
Na D(f)=(2,∞) je funkce konkávní, inflexi nemá.
13.5.1
Nalezněte tečnu a normálu k funkci f ( x ) =
8 v bodě T(2,?). 4 + x2
8 −16 x , f ´( x) = 2 4+ x (4 + x 2 ) 2 −32 −32 −1 8 = 1 , f ´(2) = = = f (2) = 2 4+4 64 2 (4 + 4) Rovnice tečny ...... y-f(x 0 ) = f´(x 0 ).( x − x0 ) f ( x) =
Rovnice normály
...... y-f(x 0 ) =
1 ( x − 2) 2 n : y − 1 = −2.( x − 2)
t: y −1 =
−1 .( x − x0 ) f´(x 0 )
→ x + 2y − 4 = 0 → 2x − y − 3 = 0
42
43
13.5.3
Nalezněte tečnu a normálu k funkci zadané parametrickými rovnicemi
x=
3at 1 + t3
,
y=
3at 2 1 + t3
3at 3at 2 = y , 1 + t3 1 + t3 3a.(1 + t 3 ) − 3at.3t 2 x& = , (1 + t 3 ) 2 x=
v bodě t=2.
6a 2a 12a 4a = = y (2) = 9 3 9 3 3 2 2 6at.(1 + t ) − 3at .3t y& = (1 + t 3 ) 2 x(2) =
6at.(1 + t 3 ) − 3at 2 .3t 2 y& 6at − 3at 4 3at.(1 − t 3 ) t.(1 − t 3 ) (1 + t 3 ) 2 = = = y′ = = x& 3a.(1 + t 3 ) − 3at.3t 2 3a − 6at 3 3a.(1 − 2t 3 ) (1 − 2t 3 ) (1 + t 3 ) 2 14 y ′(2) = 15 t : 4 x − 5 y + 4a = 0 n : 15 x + 12 y − 26a = 0 13.6.1
Pomocí L´Hospitalova pravidla vypočtěte limitu lim x →0
lim x →0
13.6.2
x cos x − sin x . x3
x cos x − sin x cos x − x sin x − cos x − sin x = lim = lim = 3 2 x →0 x →0 3x x 3x 1 sin x 1 = − lim =− 3 x →0 x 3 e x − e− x − 2 x x →0 x − sin x
Pomocí L´Hospitalova pravidla vypočtěte limitu lim
e x − e− x − 2 x e x + e− x − 2 e x + e− x e x − e− x 2 = lim = lim = lim = =2 x →0 x → 0 1 − co s x x →0 x → 0 cos x x − sin x sin x 1
lim
13.7.1
Vyšetřete průběh funkce f ( x ) =
x − 3x + 3x + 1 3
2
x −1
43
44
x ≠ 1, tedy
f ´( x ) = 2
D(f)=(-∞ ,1) ∪ (1, ∞ )
( x − 1)3 − 1 ( x − 1) 2
na intervalech (-∞,1 +
x ≠ 1,
,
3
−2 ), (1 +
3
kořeny
x = 2 , lokální minimum
−2,1), (1, 2) je klesající
na intervalu (2, ∞ ) je rostoucí
f ´´( x ) = 2
( x − 1)3 + 2 ( x − 1)
3
,
x ≠ 1.
konvexní na intervalech (-∞ ,1 + konkávní na intervalu
(1 +
3
3
−2 ), (1, 2), (2, ∞ )
−2,1)
Asymptota bez směrnice : x=1 ,
13.7.2
kořeny x = 1 − 3 2 , inflexní bod
lim f ( x) = −∞, lim f ( x) = ∞
x →1−
x →1+
Vyšetřete průběh funkce f ( x ) = − x + 3 x 3
Funkce je lichá funkce, definovaná v R . Nulové body má x=0, x= ±
3.
Lokální minimum je y=-2 v bodě x=-1 , lokální maximum je y= 2 v bodě x= 1. Je klesající na intervalech (-∞ ,1) a (1,+∞ ) ,rostoucí na intervalu (-1,1). Inflexní bod je x=0 , na (-∞ ,0) je konvexní, na (0,∞ ) je konkávní.
lim f ( x ) = +∞, lim f ( x ) = −∞,
x →−∞
x →+∞
44
45
13.5.4
Vyšetřete průběh funkce f ( x ) =
x2 1 + x2
Všude definovaná, nezáporná, sudá funkce. Nulové hodnoty nabývá v bodě x=0. Lokální minimum v bodě x=0, na (-∞,0) je klesající , na intervalu (0,∞ ) rostoucí. Inflexní body jsou [
- 3 1 3 1 , ], [ , ]. 3 4 3 4
V intervalech (-∞ ,
- 3 3
)a(
3 3
,+∞ ) je konvexní, v intervale (
- 3 3
,
3 3
) konkávní.
lim f ( x) = lim f ( x) = 1, asymptota se směrnicí je tedy y=1.
x →−∞
13.5.5
x →∞
Vyšetřete průběh funkce f ( x ) =
ln x x
D(f)=(0,+∞), nulový bod x=1 . Lokální maximum y= 8 3
Inflexní bod [ e ,
8 3
2 e
2
v bodě x=e , na (0,e
-4 3
2
) je rostoucí, na (e2 ,+∞) klesající .
8
8
e ] ,na intervalu (0,e 3 ) je konvexní , na intervalu (e 3 ,+∞) .
Asymptoty : bez směrnice se směrnicí -
lim f ( x) = −∞ , tedy x=0 ,
x →0+
lim f ( x) = 0 , tedy y=0 .
x →+∞
45
46
13.7.4
Vyšetřete průběh funkce f ( x ) = x arctan x
Funkce je všude definovaná , nezáporná a sudá. Nulové hodnoty nabývá v bodě x=0 , minima nabývá v bodě x=0 , na intervalu (-∞,0) je klesající , na intervalu (0,∞ ) je rostoucí , funkce nemá inflexní body a je stále konvexní. Asymptoty bez směrnice nejsou, asymptoty se směrnicí jsou y=y=
13.5.6
π 2
π 2
x − 1 pro x → -∞,
x − 1 pro x → ∞ .
Vyšetřete průběh funkce f ( x ) = x arccos
1 − cos x 1 − 2x
2
D(f)=(-∞ ,0> ∪ < , ∞ ) , nulový bod x=0 . 3
2
Platí y´- (0) = y´+ ( ) = −∞. Lokální minimum y=0 v bodě x=0, 3
lokální maximum y=π v bodě x=
2 3
2
, na intervalech (-∞,0) a ( , ∞ ) je klesající. 3
2
Na intervalu (-∞ ,0) je funkce konkávní a na intervalu ( , ∞ ) je konvexní. 3
Asymptota se směrnicí y=
π 3
pro x → +∞ i pro x → -∞ .
46
47
13.5.7
Vyšetřete průběh funkce f ( x ) = x
X
D(f)=(0,∞ ) , funkce je kladná , nulový bod nemá. 1 1 Lokální minimum y=( ) e e
Na intervalu (0,
1 e
v bodě x=
1 e
. 1
) je klesající , na intervalu ( , ∞ ) je rostoucí. e
Na celém definičním intervalu je konvexní.
lim f ( x ) = 1 , lim f ( x) = ∞
x →0+
13.5.8
x →+∞
Vyšetřete průběh funkce f ( x ) = e
−2 x
sin 3 x
D(f)=(-∞,∞ ), spojitá, ani sudá ani lichá. Nulové body jsou x=k
π 3
V bodech, kde tan(3 x) =
, kde k je celé číslo. 3 2
, má lokální extrémy, inflexní body v x, pro něž tan(3 x) =
47
-12 5
.
48
14. 14.1.1
Primitivní funkce Užitím základních vzorců integrujte: 1
3 4
1 3 − 1 5 2 4 ∫ ( x + x − x + 3 x + 1)dx = ∫ x dx + ∫ x dx − ∫ x dx + ∫ x 3 dx + ∫ dx = 5
2
x 6 2 32 4 74 3 3 x6 2 4 3 + x − x + x + x + C = + x x − x 7 x3 + 3 x 2 + x + C 6 3 7 2 6 3 7 2 14.1.2
Užitím základních vzorců integrujte:
∫ (3sin x − 14.1.3
Užitím základních vzorců integrujte:
∫x 14.1.4
cos x 1 1 )dx =3∫ sin xdx − ∫ cos xdx = −3cos x − sin x + C 5 5 5
2
1 1 x dx = arctan + C +9 3 3
Užitím základních vzorců integrujte:
cos x
∫ sin x dx = ln sin x + C 14.2.1
Integrujte pomocí úpravy integrandu:
x4 1 x3 2 dx = vydělíme = ( x − 1 + ) dx = − x + arctan x + C ∫ x2 + 1 ∫ 1 + x2 3 14.2.2
Integrujte pomocí úpravy integrandu:
5
∫ 1 + cos 2 x dx = gon.vzorce = ∫ 1 + cos 14.2.3
5 5 1 5 dx = ∫ dx = tan x + C 2 2 x − sin x 2 cos x 2
Integrujte pomocí úpravy integrandu:
∫ cos
2
xdx = gon.vzorce = ∫ =
14.3.1
2
1 + cos 2 x 1 1 dx = ∫ dx + ∫ cos 2 xdx = 2 2 2
1 1 x + sin 2 x + C 2 4
Pomocí substituce integrujte:
sub. x − 2 = t 1 dx dt t −2 =∫ 3 = +C = − +C ∫ ( x − 2)3 = dx = dt −2 2( x − 2) 2 t
48
49
14.3.2
Pomocí substituce integrujte:
∫ xe 14.3.3.
x2
dx =
sub. x 2 = t 2 xdx = dt xdx =
1 dt 2
=
1 t 1 2 e dt = e x + C ∫ 2 2
Pomocí substituce integrujte:
sub. x = t
cos x
∫ cot xdx = ∫ sin x dx = cos xdx = dt = ∫ 14.3.4.
Pomocí substituce integrujte:
∫ sin(5 x + 3)dx = 14.3.5.
dt = ln t + C t
sub. 5 x + 3 = t 1 1 1 = ∫ sin tdt = − cos t + C = − cos(5 x + 3) + C 5dx = dt 5 5 5
Pomocí substituce integrujte:
sin 2 x 1 − cos 2 x sin 3 x sin xdx = = dx ∫ 2 + cos x ∫ 2 + cos x ∫ 2 + cos x sin xdx = (t − 2) (t + 2) sub. cos x = t dt t 2 −1 t2 − 4 + 3 dt + 3∫ dt = ∫ dt = ∫ = = =∫ − sin xdx = dt t+2 t+2 t+2 (t + 2) = 14.4.1
cos 2 x t2 − 2t + 3ln t + 2 + C = − 2 cos x + 3ln cos x + 2 + C 2 2
Pomocí „per partes“ integrujte:
∫ xe 14.4.2
2x
dx =
p. p. u´= e 2 x v=x
1 u = e2 x 1 2 x 1 2 x 1 1 = xe − ∫ e dx = xe 2 x − e 2 x + C 2 2 2 2 4 v´= 1
Pomocí „per partes“ integrujte:
∫ ln xdx = ∫ 1. ln xdx =
p. p. v´= 1
v=x 1 1 = x ln x − ∫ x dx = x ln x − x + C x u = ln x u´= x
49
50
14.4.3
Pomocí opakované „per partes“ integrujte:
2 ∫ x sin xdx =
=
v´= 2 x p. p. v = x 2 = − x 2 cos x + 2∫ x cos xdx = u´= sin x u = − cos x
p. p. v = x v´= 1 = − x 2 cos x + 2( x sin x − ∫ sin xdx) = u´= cos x u = sin x
= − x 2 cos x + 2 x sin x + 2 cos x + C
14.4.4
Pomocí „per partes“ a převedením na rovnici integrujte:
∫e =
x
cos xdx =
p. p. u´= e x
u = ex
v = cos x v´= − sin x
p. p. u´= e x
u = ex
v = sin x
v´= cos x
= e x cos x + ∫ e x sin xdx =
= e x cos x + e x sin x − ∫ e x cos xdx
2 ∫ e x cos xdx =e x cos x + e x sin x
∫e 14.5.1
x
1 cos xdx = (e x cos x + e x sin x) 2
Integrujte racionální funkci:
sub. 3 x + 2 = t 3dx = dt
5 ∫ (3x + 2)3 dx = =−
14.5.2
5 5dx = dt 3
=
5 dt 5 −3 5 t −2 51 = = =− 2 +C = t dt 3 ∫ ∫ 3 t 3 3 −2 6t
5 1 +C 6 (3 x + 2) 2
Integrujte racionální funkci:
4 4 2x + (2 x + 2) − 2 + 5x + 2 5 5 5 2x + 2 ∫ x 2 + 2 x + 10 dx = 2 ∫ x 2 + 2 x +5 10 dx = 2 ∫ x 2 + 2 x + 10 5 dx = 2 ∫ x 2 + 2 x + 10 dx + 5 6 1 5 5 x +1 + (− ) ∫ 2 dx = I1 − 3I 2 = ln x 2 + x + 10 − arctan +C 2 5 x + 2 x + 10 2 2 3
Integrál I1 řešíme podle vzorce
I1 = ∫
∫
f ´( x) dx = ln f ( x) + c f ( x)
2x + 2 dx = ln x 2 + x + 10 + C1 x + x + 10 2
50
51
Integrál I 2 řešíme úpravou a substitucí
I2 = ∫ =∫
14.5.3
sub. x + 1 = t 1 1 1 dx = ∫ 2 dx = ∫ dx = = 2 dx = dt x + 2 x + 10 ( x + 2 x + 1) + 9 ( x + 1) + 9 2
1 1 t 1 ( x + 1) dt = arctan( ) + C2 = arctan + C2 2 (9 + t ) 3 3 3 3
Pomocí rozkladu na parciální zlomky integrujte racionální funkci:
I =∫
dx dx dx dx =∫ =∫ =∫ 2 7 1 3 1 6 x − 7 x − 3x x(2 x − 3)(3 x + 1) 6 x( x 2 − x − ) 6 x( x − )( x + ) 9 2 2 3 3
Rozklad na parciální zlomky:
1 A B C 1 4 9 = + + = A = − , B = ,C = = x(2 x − 3)(3 x + 1) x 2 x − 3 3 x + 1 3 33 11 11 4 1 9 1 =− + + 3 x 33 2 x − 3 11 3 x + 1 1 dx 4 dx 9 dx 1 2 3 + ∫ = − ln x + ln 2 x − 3 + ln 3x + 1 + C I =− ∫ + ∫ 3 x 33 2 x − 3 11 3x + 1 3 33 11
14.5.4
Pomocí rozkladu na parciální zlomky integrujte racionální funkci:
I =∫
x 2 − 3x + 2 x 2 − 3x + 2 dx = ∫ x( x + 1)2 dx x( x 2 + 2 x + 1)
Rozklad na parciální zlomky:
x 2 − 3x + 2 A = + x x( x + 1) 2 2 = + x
B C + = { A = 2, B = −1, C = −6} = x + 1 ( x + 1) 2 −1 −6 + x + 1 ( x + 1) 2
⌠ dx ⌠ dx −1 ⌠ dx I = 2 − − 6 = 2 ln x − ln x + 1 − 6 +C = 2 x +1 ⌡ x ⌡ x + 1 ⌡ ( x + 1) 6 = 2 ln x − ln x + 1 + +C x +1
51
52
14.5.5
Pomocí rozkladu na parciální zlomky integrujte racionální funkci:
I =∫
dx dx =∫ x + 1 ( x + 1)( x 2 − x + 1) 3
Rozklad na parciální zlomky:
A Mx + N 1 1 1 2 1 −x + 2 = + 2 = A = , M = − , N = = + 2 ( x + 1)( x − x + 1) x + 1 x − x + 1 3 3 3 3( x + 1) 3( x 2 − x + 1) x−2 1 1 1 1 1 1 2x − 4 1 1 1 2x −1 − 3 dx − ⌠ dx = ⌠ dx − ⌠ dx = ⌠ dx − ⌠ dx = I= ⌠ 2 2 3 ⌡ x +1 3 ⌡ x − x +1 3 ⌡ x +1 6 ⌡ x − x +1 3 ⌡ x +1 6 ⌡ x2 − x + 1
⌠ ⌠ dx dx 1 1 1⌠ 1 1 1 2x −1 1⌠ 2 x x x dx − dx ln 1 ln 1 = + − − + + = = + 2 1 3 1 3 3 6 2 x x x 3 1 6 1 2 + − + 2 2 ⌡ (x − x + ) + ⌡ (x − ) + ⌡ ⌡ 4 4 2 4 1 ( x + 1) 2 1 2x −1 arctan = ln 2 + +C 6 x − x +1 3 3
14.6.1
Integrujte složenou racionální funkci z goniometrických funkcí:
sub. cos x = t sin 3 x sin 2 x 1 − cos 2 x = = sin dx x dx ∫ 2 + cos x ∫ 2 + cos x ∫ 2 + cos x sin x dx = sin xdx = −dt =
=∫ =
14.6.2
(t − 2) (t + 2) dx dx t 2 −1 t2 − 4 + 3 dt + 3∫ = ∫ (t − 2)dt + 3∫ = dt = ∫ dt = ∫ t+2 t+2 t+2 t+2 t+2
(
)
t2 cos 2 x − 2t + 3ln t + 2 + C = − 2 cos x + 3ln cos x + 2 + C 2 2
Integrujte složenou racionální funkci z goniometrických funkcí:
dx
sin x
∫ (2 + cos x) sin x = ∫ (2 + cos x) sin =
2
x
dx = ∫
sin x dx = (2 + cos x)(1 − cos 2 x)
sub. cos x = t dt =∫ = {....pomocí rozkladu na parciální zlomky...........} = sin xdx = − dt (2 + t )(t 2 − 1)
1 dt 1 dt 1 dt 1 1 1 + ∫ − ∫ = ln 2 + t + ln t − 1 − ln t + 1 + C = ∫ 3 2 + t 6 t −1 2 t + 1 3 6 2 2 1 (cos x + 2) (cos x − 1) = ln +C 6 (cos x + 1)3
=
52
53
14.6.3
Univerzální metodou integrujte složenou racionální funkci z goniometrických funkcí:
sub.
tan
x =t, 2
x = 2 arctan t , dx =
2 dt 1+ t2
1 x t x = , cos = 2 2 2 2 t +1 t +1 x x x t 1 2t = 2 sin x = sin(2 ) = 2sin cos = 2 2 2 2 2 2 t +1 t +1 t +1 x x x t2 1 1− t2 − 2 = cos x = cos(2 ) = cos 2 − sin 2 = 2 2 2 2 t +1 t +1 1+ t2 sin
1
∫ 3sin x − 4 cos x dx = ∫
1
2 1 1 dt = 2∫ dt = ∫ dt = 2 2 2t 1− t 1+ t 6t − 4 + 4t 3t − 2 + 2t 2 −4 3 1+ t2 1+ t2 2
dt ⌠ = = {...pomocí rozkladu na parciální zlomky..........} = ⌡ (2t − 1)(t + 2) x 2 tan − 1 2 1 1 1 21 1 1 2 = ∫ +C ln 2t − 1 − ln t + 2 + C = ln dt − ∫ dt = x 5 2t − 1 5 t+2 52 5 5 tan + 2 2
14.7.1
Integrujte iracionální funkci:
sub. 2 x + 1 = t ⌠ 2x +1 dx = x ⌡ 2dx = dt
t 2 −1 ⌠ 2 x= t ⌠ t dt = 2 t dt = = 2 2 t 2 −1 ⌡ t −1 dx = t dt ⌡ 2
1 ⌠ dt = 2 ∫ dt + {...rozklad na parciální zlomky...} = = 2 ∫ dt + 2 ⌡ (t − 1)(t + 1) dt ⌠ dt = 2 ∫ dt + ⌠ − = 2t + ln t + 1 − ln t − 1 + C = 2 2 x + 1 + ln ⌡ t +1 ⌡ t −1
53
2x +1 +1 +C 2x +1 −1
54
14.7.2
Integrujte iracionální funkci: 5 ⌠ sub. x = t 4 ⌠ x t4 ⌠ t dt = 3 d x t dt 4 4 = = = dx = 4t 3 dt ⌡ 1 + 4 t12 ⌡ t3 + 1 ⌡ 1 + 4 x3 t2 4 ⌠ 3t 2 4 3 4 ⌠ ⌠ 2 3 dt t dt 4 = 4 t 2 dt − 4⌠ = − 3 3 dt = t − ln t + 1 + C = 3 ⌡ t +1 3 3 ⌡ t +1 ⌡ ⌡ 4 4 = 4 x 3 − ln 1 + 4 x 3 + C 3 3
14.7.3
Integrujte iracionální funkci:
⌠ ⌠ ⌠ 1 1 1 dx = dx = dx = 5 − 4 x − x2 2 ⌡ 9 − ( x + 2) 2 ⌡ 5 − ( x + 4 x + 4) + 4 ⌡ sub. x + 2 = t ⌠ 1 t = dt = arcsin + C = = 2 dx = dt 3 ⌡ 9−t == arcsin
14.8.1
x+2 +C 3
Integrujte pomocí goniometrických funkcí iracionální funkci:
sub. x = 3cos t ⌠ 2 2 2 9 − x dx = dx = −3sin tdt = ∫ 9 − 9 cos t (−3) sin tdt = −9∫ sin t sin tdt = ⌡ 2 ⌠ 1 − cos 2t dt = −9( 1 t − sin 2t ) + C = − 9 arccos x + 9 sin(2 arccos x ) + C = = −9⌠ sin tdt = −9 ⌡ 2 2 4 2 3 4 3 ⌡ x 9 x x x 3x 9 9 x 1 − (cos arccos ) 2 + C = = − arccos + 2sin arccos arccos cos + C = − arccos + 2 3 4 3 3 2 3 2 3 x x 9 = − arccos + 9 − x2 + C 2 3 2
54
55
14.8.2
Integrujte pomocí goniometrických funkcí iracionální funkci:
⌠ ⌠ ⌠ 1 dx 1 dx = dx = = 2 2 ⌡ ( x + 2) 2 − 4 ⌡ ( x + 4 x + 4) − 4 ⌡ 4x + x 2 sub. x + 2 = cos t ⌠ 2sin t 4 2sin t cos t 2sin t 1 ⌠ dt dt = dt = ⌠ dt = = dx = = 2 2 2 ⌡ cos t cos t cos t 4 ⌡ 2 1 − cos 2 t cos t −4 ⌡ 2 cos 2 t t = arc cos x+2 cos t ⌠ cos t dt = sub. sin t = u = ⌠ du = {...rozklad na parc. zlomky... } = dt =⌠ = cos tdt = du ⌡ 1 − u 2 ⌡ cos 2 t ⌡ 1 − sin 2 t du 1 ⌠ du 1 1 1 1 1 + sin t = ⌠ + = ln 1 + u − ln 1 − u + C = ln +C = 2 ⌡ 1+ u 2 ⌡ 1− u 2 2 2 1 − sin t 2 2 2 1+ 1− ( ) 1 + sin arccos 1 1 x 2 + x 2 + = ln + C = ln + C = {...úpravou...} = 2 1 − sin arccos 2 2 2 2 1− 1− ( ) x+2 x+2 = ln( x + 2 + x 2 + 4 x ) + C
55
56
15.
Riemannův určitý integrál
15.1.1
Metodou „per partes“ vypočtěte hodnotu určitého integrálu:
p. p. u´= 1
u=x 1 x 1 dx = 1 = [ x ln( x + 1) ]0 − ∫ x +1 v = ln( x + 1) v´= 0 x +1
1
∫ ln( x + 1)dx = 0
1 1 1 1 1 = [1ln 2 − 0 ln1] − ∫ dx − ∫ = ln 2 − [ x ]0 + [ ln( x + 1) ]0 = 2 ln 2 − 1 x + 1 0 0
15.1.2
Metodou substituční vypočtěte hodnotu určitého integrálu: (pomocí transformací mezí)
ln x = t 1 dx = dt x
sub. e3
1 + ln x ∫1 x dx = e
e −1 −1
x t
15.1.3
3
t2 9 1 = ∫ (1 + t )dt = t + = 3 + + 1 − = 8 2 2 2 −1 −1 3
e3 3
Metodou substituční vypočtěte hodnotu určitého integrálu: (pomocí dosazení do primitivní funkce) 8
8
8 x −1 1 2x − 2 1 1 2 − − dx dx ln x 2 x 3 = = ∫4 x 2 − 2 x − 3 2 ∫4 x 2 − 2 x − 3 2 4 = 2 (ln 45 − ln 5) = ln 3
Výpočet primitivní funkce:
sub. 2x − 2 ∫ x 2 − 2 x − 3 dx =
x2 − 2 x − 3 = t (2 x − 2)dx = dt
56
=∫
dt = ln t + C = ln x 2 − 2 x − 3 + C t
57
16.
Aplikace Riemannova integrálu
16.1.1
Vypočtěte obsah obrazce omezeného křivkou y
b
=
1 , osou x a přímkami x = 1, x = 5 x
5
5 1 P = ∫ f ( x)dx = ∫ dx = ln x 1 = ln 5 − ln 1 = ln 5 x 1 a
16.1.2
Vypočtěte obsah obrazce omezeného křivkou y
= x 3 + 2 x 2 − 3 x a osou x
Průsečíky s osou x jsou :
x3 + 2 x 2 − 3 x = x( x + 3)( x − 1) = 0 x = −3 , x = 0 , x = 1 v intervalu 〈−3, 0〉 je funkce nezáporná v intervalu 〈0,1〉 je funkce záporná
57
58
0
0
1
2 3 1 P = ∫ ( x + 2 x − 3 x)dx + ∫ ( x + 2 x − 3 x)dx = x 4 + x 3 − x 2 + 3 2 −3 4 −3 0 3
2
3
2
1
2 3 27 1 81 + x 4 + x 3 − x 2 = 0 − + 18 + + 3 2 0 4 2 4
=
16.1.3
7 1 2 3 45 4 + 3 − 2 − 0 = 4 + − 12 =
135 + 7 142 71 = = 12 12 6
Vypočtěte obsah obrazce omezeného křivkami y
=
1 1 , y = x2 2 1+ x 2
Vypočteme souřadnice průsečíků grafů:
1 x2 = 1 + x2 2
⇒ x4 + x2 − 2 = 0 sub. z = x 2 ⇒ z 2 + z − 2 = 0
( z + 2)( z − 1) = 0 z1 = −2 ⇒ x1,2 ∉ Integrujeme v intervalu 〈 -1,1〉 , kde
b
, z2 = 1 ⇒ x3,4 = ± 1 1 1 ≥ x 2 . Proto 2 1+ x 2 1
1
1 1 x2 )dx = arctan x − x3 = P = ∫ ( f ( x) − g ( x))dx = ∫ ( − 2 1+ x 2 6 −1 a −1 1 1 π 1 π 1 π 1 = arctan1 − − arctan(−1) − = − + − = − 6 6 4 6 4 6 2 3
58
59
16.1.4
Vypočtěte obsah obrazce omezeného křivkami ( y − 1)
2
= 2x +1 , x − y = 0
Záměnou závislosti proměnných při průsečících y=0 a y=4 obdržíme: 4
4
4 1 1 1 64 16 P = ∫ ( y − y 2 + y )dy = ∫ (2 y − y 2 )dy = y 2 − y 3 = 16 − = 0 2 2 6 0 6 3 0
16.1.5
Vypočtěte obsah P kruhu o poloměru r Kruh je obrazec symetrický dle osy x , proto vezmeme dvakrát obsah horní poloviny
x2 + y 2 = r 2
r
P = 2∫
sub. x = r cos t 0 π 2 2 2 2 r − x dx = dx = − r sin tdt = 2 ∫ r − r cos t (− r sin t )dt = 2r ∫ sin 2 t dt = 2
−r
⇒ y1 = + r 2 − x 2 , y2 = − r 2 − x 2
2
π
x
−r
r
t
π
0
0
π
π
π 1 − cos 2t 1 1 = 2r ∫ dt = 2r 2 t 2 − sin 2t = 2r 2 = π r 2 2 4 2 2 0 0 2
16.1.6
Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami, které jsou dány parametrickými rovnicemi
x = 2t − t 2 y = 2t 2 − t 3 t2
P = ∫ψ (t )ϕ& (t )dt = t1
2
x = ϕ (t ) = 2t − t 2 y = ψ (t ) = 2t 2 − t 3
dx = ϕ& (t )dt = (2 − 2t )dt = t ∈ 〈 0, 2〉 2
2
3 2 112 1 = ∫ (2t − t )(2 − 2t )dt = 2∫ (t − 3t + 2t )dt = 2 t 5 − t 4 + t 3 = 4 3 0 15 5 0 0 2
3
4
3
59
2
60
16.2.1
Vypočtěte délku oblouku rovinné křivky, který má křivka o rovnici x osou x
y=1- 4-x 2
rovnice dolní půlkružnice je tvaru
b
a
3
=
∫
− 3
− 3 5π t 6 5π π 4 = 2 − = π 6 6 3
3 1 x2 4 − x2 + x2 = = dx = d x d x 2 ∫ 2 2 2 ∫ 4−x 4− x 4− x − 3 − 3
π
5π 6
5π 6
6
6
5π sin t =2∫ ( )dt = 2 ∫ ( )dt = 2 ∫ dt = 2 [t ]π6 = 2 t sin 4 − 4 cos t 5π π π 6
−2sin t
6
3
x
16.2.2
x2 4 − x2
3
1+
x = 2 cos t dx = −2sin tdt
sub.
+ ( y − 1) 2 = 4 pod
x1 = − 3 , x2 = + 3
průsečíky s osou x jsou
L = ∫ 1 + ( y´( x)) 2 dx =
y´2 =
2
6
π 6
Vypočtěte délku oblouku rovinné křivky, který má křivka o parametrických rovnicích
x=t
y = 1 + 2t pro t ∈ 〈 0,1〉
t2
L = ∫ ϕ& 2 (t ) + ψ& 2 (t )dt = t1
1
1
0
0
ϕ& (t ) = 1 x = ϕ (t ) = t t ∈ 〈 0,1〉 = y = ψ (t ) = 1 + 2t ψ& (t ) = 2
= ∫ 1 + 4dt = 5 ∫ dt = 5 [ x ]0 = 5(1 − 0) = 5 1
60
61 16.3.1
Vypočtěte objem rotačního tělesa , které vznikne rotací obrazce P kolem osy x. Obrazec P je omezen křivkami y
2
= 2 px ,
x = 3. 3
x2 V = π ∫ f ( x)dx = π ∫ 2 pxdx = 2π p = π p (9 − 0) = 9π p 2 0 a 0 b
3
2
16.3.2
Vypočtěte objem rotačního tělesa , které vznikne rotací obrazce P kolem osy x. Obrazec P je omezen křivkami y = 4
b
4 , x
2
x =1 , x = 4. 4
4
1 1 4 −1 V = π ∫ f ( x)dx = π ∫ dx = 16π ∫ 2 dx = 16π == −16π ( − 1) = 12π x x 4 x 1 1 1 a 2
16.4.1
Vypočtěte obsah rotační plochy (plášť rotačního tělesa) vzniklého rotací rovinného obrazce P omezeného přímkami x = 1 , x = 2 , osou y = 0 a grafem funkce y =
y = f ( x) = 9 − x 2 x y´= f ´( x) = − 9 − x2
b
S = 2π ∫ f ( x) 1 + ( f ( x)) 2 dx = a
2
= 2π ∫ 9 − x 2 ⋅ 1 + 1
2
= 2π ∫ 1
3 9 − x2 9− x
2
x2 dx = 9 − x2 2
dx = 6π ∫ dx = 6π [ x ]1 = 6π (2 − 1) = 6π 2
1
61
9 − x2
x ∈ 〈1, 2〉
62
62
