Doc.RNDr.Ing.Josef Nedoma, CSc MATEMATIKA I. vbrně. Vychází zautorových skript MATEMATIKA I vydaných nakladatelstvím

Doc.RNDr.Ing.Josef Nedoma, CSc

MATEMATIKA I Shrnut´ı a pˇ rehled

Text je pˇrehledem a shrnut´ım l´ atky pˇrednáˇsené v pˇredmˇetu Matematika I posluchaˇc˚ um 1. semestru fakulty strojn´ıho inˇzen´ yrstv´ı Vysokého uˇcen´ı technického v Brnˇe. Vych´ az´ı z autorov´ ych skript MATEMATIKA I vydan´ ych nakladatelstv´ım CERM,s.r.o. Brno, 2001, kter´ a vznikla souhrnn´ ym pˇrepracov´ an´ım tˇr´ı text˚ u: ˇ J.Nedoma: Matematika I, Cást prvn´ı, Algebra a geometrie. [PC-DIR, Nakladatelstv´ı Brno, 1998] ˇ ast druh´ J.Nedoma: Matematika I, C´ a, Diferenci´ aln´ı poˇcet funkc´ı jedné promˇenné. [PC-DIR Real, s.r.o., Brno, 1999] ˇ ast tˇret´ı, Integr´ J.Nedoma: Matematika I, C´ aln´ı poˇcet funkc´ı jedné promˇenné. [PC-DIR Real, s.r.o., Brno, 2000] Za cenné pˇripom´ınky dˇekuji zejména Doc.RNDr.M.Doupovcovi,CSc. Tento text je urˇcen jako uˇcebn´ı pom˚ ucka pˇredevˇs´ım pro konsultanty a posluchaˇce kombinovaného studia FSI-VUT Brno. Brno, z´ aˇr´ı 2002.

autor

´ ´ A. ZAKLADN I POJMY. ˇ l. MNOZINY . Z´ akladn´ı pojmy teorie mnoˇ zin. Mnoˇzinou rozum´ıme soubor (mnoˇzstv´ı, souhrn) urˇcit´ ych objekt˚ u, které se daj´ı navz´ a jem rozliˇsit. Mnoˇzina je d´ ana, dovedeme-li o kaˇzdém objektu rozhodnout, jestli do n´ı patˇr´ı nebo ne. Zápis a ∈ M znamená a patˇr´ı do mnoˇziny M nebo také a je prvkem mnoˇziny M. Z´ apis a ∈ / M naopak znamená, ˇze a nepatˇr´ı do mnoˇziny M nebo také a nen´ı prvkem mnoˇziny M. Mnoˇzinu, kter´ a neobsahuje ˇzádn´ y prvek, naz´ yv´ ame pr´ azdnou mnoˇzinou a znaˇc´ıme ji ∅. Mnoˇzina, kter´ a obsahuje alespoˇ n jeden prvek se naz´ yv´ a nepr´ azdn´ a. Mnoˇzina, kter´ a obsahuje pouze koneˇcn´ y poˇcet prvk˚ u se naz´ yv´ a koneˇcn´ a. Koneˇcnou naz´ yv´ ame i pr´ azdnou mnoˇzinu. Mnoˇzina, kter´ a nen´ı koneˇcná se naz´ yv´ a nekoneˇcn´ a. ˇ Necht jsou d´ any dvˇe mnoˇziny A, B. Jestliˇze kaˇzd´ y prvek mnoˇziny A je souˇcasnˇe prvkem mnoˇziny B, potom ˇr´ık´ ame, ˇze mnoˇzina A je ˇc´ ast´ı mnoˇziny B nebo také, ˇze A je podmoˇzinou mnoˇziny B nebo také, ˇze B je nadmnoˇzinou mnoˇziny A a p´ıˇseme A ⊂ B, eventu´ alnˇe B ⊃ A. A ⊂ B ovˇsem také znamená: Kaˇzd´ y prvek nepatˇr´ıc´ı do B nepatˇr´ı ani do A. 1

Jestliˇze souˇcasnˇe A ⊂ B a B ⊂ A , potom ˇr´ık´ ame, ˇze mnoˇzinyA, B jsou sobˇe rovny a p´ıˇseme A = B. Operace s mnoˇ zinami. Mnoˇzinu tvoˇrenou vˇsemi prvky mnoˇziny A a vˇsemi prvky mnoˇziny B naz´ yv´ ame sjednocen´ım mnoˇzin A a B a oznaˇcujeme ji A ∪ B, eventu´ alnˇe B ∪ A. Mnoˇzinu tvoˇrenou vˇsemi prvky patˇr´ıc´ımi souˇcasnˇe do mnoˇziny A i do mnoˇziny B naz´ yv´ ame pr˚ unikem mnoˇzin A, B a oznaˇcujeme ji A∩B , eventu´ alnˇe B∩A. Jestliˇze A ∩ B = ∅ (pr´ azdn´ a mnoˇzina), potom ˇr´ık´ ame, ˇze mnoˇziny A, B jsou disjunktn´ı . Mnoˇzinu vˇsech prvk˚ u patˇr´ıc´ıch do mnoˇziny A a souˇcasnˇe nepatˇr´ıc´ıch do mnoˇziny B naz´ yv´ ame rozd´ılem mnoˇziny A a mnoˇziny B nebo také doplˇ nkem mnoˇziny B do mnoˇziny A a oznaˇcujeme ji A − B. Mnoˇzinu tvoˇrenou vˇsemi uspoˇra´dan´ ymi dvojicemi (a, b) takov´ ymi, ˇze a ∈ A , b ∈ B naz´ yv´ ame kartézsk´ ym souˇcinem mnoˇzin A , B a oznaˇcujeme ji A × B. Slova uspoˇra´dan´ a dvojice (a, b) znamenaj´ı, ˇze ve dvojici záleˇz´ı na poˇrad´ı, t.j. dvojice (a, b), (b, a) jsou r˚ uzné. Re´ aln´ e mnoˇ ziny, supremum a infimum. Mnoˇziny, jej´ımiˇz prvky jsou pouze reáln´ a ˇc´ısla, naz´ yv´ ame re´ aln´ ymi mnoˇzinami. Tyto mnoˇziny mohou m´ıt r˚ uzné struktury. Pro n´ as zvl´ aˇstˇe d˚ uleˇzit´ ymi jsou otevˇrené, uzavˇrené a polouzavˇrené intervaly. O re´ alné mnoˇzinˇe M ˇrekneme, ˇze je shora ohraniˇcen´ a, jestliˇze existuje reálné ˇc´ıslo ˇ h takové, ˇze pro kaˇzdé ˇc´ıslo x ∈ M plat´ı x ≤ h. C´ıslo h se pak naz´ yv´ a horn´ı z´ avora mnoˇziny M. Nejmenˇs´ı horn´ı závora se naz´ yv´ a supremum mnoˇziny M a oznaˇcuje se sup M. Jestliˇze sup M ∈ M, potom toto supremum naz´ yv´ ame maximem mnoˇziny M a oznaˇcujeme max M. Analogicky definujeme ohraniˇcenost reálné mnoˇziny zdola, doln´ı z´ avoru a nejvˇetˇs´ı doln´ı závoru, kter´ a se naz´ yv´ a infimum mnoˇziny M a oznaˇcuje se inf M. Jestliˇze nav´ıc inf M ∈ M, potom je infimum nejmenˇs´ım ˇc´ıslem v mnoˇzinˇe M a oznaˇcuje se min M (ˇcti minimum mnoˇziny M). Pˇr´ıklad:Pro M = 0, 1) plat´ı sup M = 1 , max M neexistuje, inf M = min M = 0. ´ LOGIKA. 2. MATEMATICKA V´ yrok a v´ yrokov´ a funkce.V´ yrokem rozum´ıme gramaticky spr´ avnˇe vytvoˇrenou vˇetu o které lze rozhodnout, zda je pravdiv´ a nebo nepravdiv´ a.V´ yrokovou funkc´ı pak rozum´ıme vˇetu, která sice nen´ı v´ yrokem, obsahuje vˇsak symbol x pˇripouˇstˇej´ıc´ı dosazen´ı konkretn´ı hodnoty a kter´ a po dosazen´ı se stane v´ yrokem. Tak napˇr´ıklad ˇ vˇeta: ”C´ıslo x je sudé” je v´ yrokovou funkc´ı. Dosad´ıme-li za symbol x ˇc´ıslo 5 dostaneme nepravdiv´ y v´ yrok ”ˇc´ıslo 5 je sudé”. V´ yrokové funkce budeme oznaˇcovat p(x), q(x), . . . zat´ımco v´ yroky pouh´ ymi p´ısmeny p, q, . . . . V matematice se ˇcasto m´ısto vˇety ”v´ yrok p je pravdiv´ y” ˇr´ık´ a ”v´ yrok p m´ a logickou hodnotu true (pravda)” anebo kr´ atce ”plat´ı p”. M´ısto vˇety ”v´ yrok p je nepravdiv´ y” se ˇcasto ˇr´ık´ a ”v´ yrok p m´ a logickou hodnotu false (nepravda)” anebo kr´ atce ”neplat´ı p”. ˇ ık´ Naˇse definice v´ yroku pˇripouˇst´ı pouze dvˇe logické hodnoty. R´ ame proto, ˇze pracujeme ve dvojhodnotové logice. 2

Negace v´ yroku a logick´ e kvantifik´ atory. Negac´ı v´ yroku p rozum´ıme v´ yrok q, kter´ y má tuto vlastnost: kdyˇz je v´ yrok p pravdiv´ y, je v´ yrok q nepravdiv´ ya naopak, kdyˇz v´ yrok p je nepravdiv´ y, je v´ yrok q pravdiv´ y. Negaci q v´ yroku p ˇcasto oznaˇcujeme ¬p anebo p (ˇcti non p). Nechˇt A je nˇejak´ a mnoˇzina a nechˇt p(x) je nˇejak´ a v´ yrokov´ a funkce. V´ yrok Pro kaˇzd´ y prvek x ∈ A je pravdiv´ y v´ yrok p(x) se v matematice ˇcasto zapisuje takto p(x)

∀

x ∈ A nebo

∀

x ∈ A : p(x)

a ˇcte se: p(x) plat´ı pro kaˇzdé x z mnoˇziny A. Je zˇrejmé, ˇze opaˇcn´ ym v´ yrokem k tomuto v´ yroku je v´ yrok V mnoˇzinˇe A existuje (aspoˇ n jeden) prvek a takov´ y, ˇze v´ yrok p(a) je nepravdiv´ y. Tento v´ yrok se v matematice ˇcasto zapisuje takto: ∃

a∈A:

p(a)

a ˇcte se: v mnoˇzinˇe A existuje prvek a takov´ y, ˇze neplat´ı p(a). Z uvedeného pˇr´ıkladu ˇ ık´ je v´ yznam symbol˚ u ∀, ∃ zˇrejm´ y. R´ a se jim logické kvantifik´ atory. Disjunkce a konjunkce v´ yrok˚ u. V matematice se ˇcasto ze dvou v´ yrok˚ u vytv´ aˇr´ı jeden sloˇzen´ y v´ yrok. Slouˇz´ı k tomu r˚ uzn´ a spojen´ı nebo spojky. Jestliˇze jsou d´ any dva v´ yroky p, q, potom nov´ y (sloˇzen´ y) v´ yrok tvaru ”p nebo q” naz´ yv´ ame disjunkc´ı v´ yrok˚ u p, q a oznaˇcujeme jej p ∨ q (ˇcti p or q). Disjunkce má n´ asleduj´ıc´ı vlastnost: je pravdiv´ a, kdy alespoˇ n jeden z v´ yrok˚ u p, q je pravdiv´ y a nepravdiv´ a v pˇr´ıpadˇe, kdy oba v´ yroky p, q jsou nepravdivé. Spojka ”nebo (or)” nen´ı tedy v logice vyluˇcovac´ı, neznamená ”budˇ - anebo”. Jestliˇze jsou d´ any dva v´ yroky p, q, potom nov´ y (sloˇzen´ y) v´ yrok tvaru ”p a q” naz´ yv´ ame konjunkc´ı v´ yrok˚ u p, q a oznaˇcujeme jej p ∧ q (ˇcti p et q). Konjunkce m´ a n´ asleduj´ıc´ı vlastnost: je pravdiv´ a pouze v pˇr´ıpadˇe, kdy oba v´ yroky p, q jsou pravdivé a nepravdiv´ a ve vˇsech ostatn´ıch pˇr´ıpadech. Implikace a ekvivalence v´ yrok˚ u. Jestliˇze jsou d´ any dva v´ yroky p, q, potom nov´ y (sloˇzen´ y) v´ yrok tvaru ”jestliˇze plat´ı p, potom plat´ı q” naz´ yv´ ame implikac´ı v´ yrok˚ u p, q a oznaˇcujeme p ⇒ q (ˇcti p implikuje q). Implikace m´ a n´ asleduj´ıc´ı vlastnost: je nepravdiv´ a pouze v pˇr´ıpadˇe, kdy v´ yrok p je pravdiv´ y a souˇcasnˇe v´ yrok q je nepravdiv´ y. V matematice daleko nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ım sloˇzen´ ym v´ yrokem je pr´ avˇe implikace. V souvislosti s n´ı je pouˇz´ıv´ ana speciáln´ı terminologie. M´ısto v´ yroku Jestliˇze plat´ı p, potom plat´ı q se pouˇz´ıv´ a nˇekterá z n´ asleduj´ıc´ıch konstrukc´ı: ˇ Necht plat´ı p. Potom plat´ı q, Z p plyne q. p je postaˇcuj´ıc´ı podm´ınkou pro q. q je nutnou podm´ınkou pro p. q plat´ı tehdy, kdyˇz plat´ı p. p plat´ı jen tehdy, kdyˇz plat´ı q. Podotknˇeme také, ˇze m´ısto v´ yroku ”jestliˇze x ∈ M, potom plat´ı p(x)” se pouˇz´ıv´ a v´ yrok ”pro kaˇzdé x ∈ M plat´ı p(x)”. 3

V matematice se ˇcasto setkáv´ ame s v´ yroky, kdy kromˇe implikace p ⇒ q je pravdiv´ a i implikace opaˇcná, tj. s v´ yroky tvaru (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) Tento sloˇzen´ y v´ yrok kr´ atce zapisujeme p ⇔ q nebo také p ≡ q (ˇcti p je ekvivalentn´ı s q) a v´ yroky p, q naz´ yv´ ame ekvivalentn´ı. Shodnˇe se speciáln´ı matematickou terminologi´ı, lze ekvivalenci tedy formulovat n´ asledovnˇe p je nutnou a postaˇcuj´ıc´ı podm´ınkou pro q, nebo také p plat´ı tehdy a jen tehdy, kdyˇz plat´ı q, pˇriˇcemˇz v obou formulac´ıch lze mezi sebou vymˇenit p´ısmena p a q. Teor´ emy a jejich d˚ ukazy. Pravdivé v´ yroky matematického charakteru naz´ yv´ ame matematick´ ymi vˇetami anebo teorémy.Vˇetˇsina teorém˚ u m´ a tvar implikace p ⇒ q. Platnost (pravdivost) kaˇzdého teorému je tˇreba vˇzdy dok´ azat. V´ yj´ımku tvoˇr´ı tak zvané axiomy (postul´ aty), coˇz jsou v´ yroky, které v dané teorii pˇrijmeme (bez d˚ ukazu) pˇredem (a-priory) za pravdivé. D˚ ukazy vˇet vˇetˇsinou dˇel´ıme na pˇr´ımé a nepˇr´ımé. Podstatou obou typ˚ u d˚ ukaz˚ u je opˇet implikace. Nechˇt je d´ an nˇejak´ y v´ yrok v jehoˇz platnost m´ ame dok´ azat. Podstata pˇr´ımého d˚ ukazu spoˇc´ıv´ a v n´ asleduj´ıc´ım postupu: Hled´ a se pravdiv´ y v´ yrok p (jehoˇz platnost byla jiˇz dˇr´ıve ovˇeˇrena, m˚ uˇze to b´ yt napˇr. axiom) takov´ y, aby platila implikace p ⇒ v. Platnost v´ yroku v je t´ım dok´ azána, neboˇt v pravdivé implikaci z pravdivého v´ yroku m˚ uˇze plynout pouze pravdiv´ y v´ yrok. Podstata nepˇr´ımého d˚ ukazu spoˇc´ıv´ a v n´ asleduj´ıc´ım postupu: Hled´ a se nepravdiv´ y v´ yrok n (jehoˇz neplatnost byla jiˇz dˇr´ıve ovˇeˇrena) takov´ y, aby platila implikace ˇ v ⇒ n. Platnost v´ yroku v je t´ım dok´ azána, nebot v pravdivé implikaci nem˚ uˇze z pravdivého v´ yroku plynout nepravdiv´ y v´ yrok. To vˇsak znamená, ˇze v´ yrok v je nepravdiv´ y a tedy v´ yrok v je pravdiv´ y (pokud ovˇsem pracujeme ve dvojhodnotové logice). V pˇr´ıpadˇe nepˇr´ımého d˚ ukazu mus´ıme mimo jiné dok´ azat platnost implikace v ⇒ n, tj. dok´ azat: ”jestliˇze plat´ı v, potom plat´ı n”. Abychom dok´ azali platnost v´ yroku v pˇredpokl´ ad´ ame tedy jeho neplatnost. V tom je ovˇsem rozpor. Nepˇr´ım´ y d˚ ukaz se proto ˇcasto naz´ yv´ a d˚ ukaz sporem. Na závˇer podotknˇeme,ˇze zápisem x ∈ A; w(x) rozum´ıme v matematice mnoˇzinu vˇsech prvk˚ u x z mnoˇziny A takov´ ych, ˇze pro nˇe plat´ı v´ yrok w(x). ´ ´ A KOMPLEXN´ ˇ´ 3. REALN A IC ISLA. Cel´ a tato kapitola je vˇenov´ ana opakov´ an´ı l´ atky ze stˇredoˇskolské matematiky. Re´ aln´ aˇ c´ısla. Reáln´ a ˇc´ısla dˇel´ıme na racion´ aln´ı a iracion´ aln´ı. Racion´ aln´ı jsou ta ˇc´ısla, kter´ a se daj´ı vyj´ adˇrit ve tvaru zlomku p/q, kde p je ˇc´ıslo celé a q je ˇc´ıslo pˇrirozené. Pˇrirozen´ a ˇc´ısla jsou: 1, 2, 3, 4, . . . , celá ˇc´ısla jsou: 4

0, 1, -1, 2, -2, . . . . Mnoˇzinu vˇsech pˇrirozen´ ych ˇc´ısel budeme oznaˇcovat p´ısmenem N , mnoˇzinu vˇsech cel´ ych ˇc´ısel p´ısmenem Z a mnoˇzinu vˇsech racionáln´ıch ˇc´ısel p´ısmenem W. Kaˇzdé pˇrirozené ˇc´ıslo je cel´ ym ˇc´ıslem a kaˇzdé celé ˇc´ıslo je racion´ aln´ım ˇc´ıslem. S racion´ aln´ımi ˇc´ısly v matematice nevystaˇc´ıme. Vˇsechna√reáln´ a ˇc´ısla, kter´ a nejsou racion´ aln´ı, naz´ yv´ ame iracion´ aln´ımi ˇc´ısly. Tak napˇr. Π , 2 atd. Pˇresnou definici iracion´ aln´ıch ˇc´ısel zde nepod´ av´ ame. Pˇripomeˇ nme poze, ˇze kaˇzdé iracion´ aln´ı ˇc´ıslo lze vyj´ adˇrit ve tvaru nekoneˇcného neperiodického desetinného ˇc´ısla a kaˇzdé racion´ aln´ı ˇc´ıslo lze vyjádˇrit ve tvaru nekoneˇcného periodického desetinného ˇc´ısla. Ze stˇredn´ı ˇskoly je také dobˇre zn´ am pojem ˇc´ıseln´ a osa. Na pˇr´ımce je zvolen bod, kter´ y je oznaˇcen ˇc´ıslem 0 (tak zvan´ y poˇcáteˇcn´ı bod), vpravo od nˇej se zobrazuj´ı ˇc´ısla vˇetˇs´ı neˇz nula, vlevo ˇc´ısla menˇs´ı neˇz nula a to podle velikosti (menˇs´ı ˇc´ıslo leˇz´ı vˇzdy nalevo od vˇetˇs´ıho). Operace s re´ aln´ ymi ˇ c´ısly. S re´ aln´ ymi ˇc´ısly a, b mohou b´ yt provedeny ˇctyˇri základn´ı aritmetické operace: seˇc´ıt´ an´ı a + b, odeˇc´ıt´ an´ı a − b, n´ asoben´ı a · b, dˇelen´ı a : b s v´ yj´ımkou dˇelen´ı, kdy b = 0. V´ ysledkem kaˇzdé z tˇechto operac´ı je opˇet reálné ˇc´ıslo. Operátor n´ asoben´ı · se ˇcasto vynecháv´ a, m´ısto a·b se tedy p´ıˇse ab. M´ısto (−1)·b = −b se ˇcasto p´ıˇse −b. M´ısto oper´ atoru / se ˇcasto pouˇz´ıv´ a zlomkov´ a ˇcára nebo : , tedy 1 1/a = = 1 : a. a Reáln´ a ˇc´ısla lze uspoˇra´dat podle velikosti, tj. kaˇzdá dvˇe ˇc´ısla a, b lze spojit jedn´ım ze tˇr´ı symbol˚ u: < (menˇs´ı), = (rovn´ a se), > (vˇetˇs´ı). Toto uspoˇra´d´ an´ı má n´ asleduj´ıc´ı vlastnosti (a, b, c, d znaˇc´ı libovoln´ a reáln´ a ˇc´ısla): 1. Pro kaˇzd´ a dvˇe re´ aln´ a ˇc´ısla a, b nastane pr´ avˇe jedna z moˇznost´ı a < b, a = b, a > b 2. (a < b) ∧ (b < c) ⇒ a < c (tranzitivn´ı z´ akon). Zde podotknˇeme, ˇze z´ apis (a < b) ∧ (b < c) se ˇcasto zkracuje takto: a < b < c. 3. (a < b) ∧ (c ≤ d) ⇒ a + c < b + d, kde z´ apis c ≤ d je zkr´ acen´ y z´ apis v´ yroku (c < d) ∨ (c = d). 4. (a < b) ∧ (c > 0) ⇒ ac < bc 5. (a < b) ∧ (c < 0) ⇒ ac > bc. 6. Z posledn´ıch dvou vlastnost´ı plyne d˚ uleˇzit´ a vlastnost: a·b > 0 ⇔ ((a > 0)∧(b > 0)) ∨ ((a < 0) ∧ (b < 0)). 1 1 7. 0 < a < b ⇒ 0 < < b a 1 1 8. a < b < 0 ⇒ < < 0. b a Pˇripomeˇ nme, ˇze sˇc´ıt´ an´ı, odeˇc´ıt´ an´ı, n´ asoben´ı a dˇelen´ı zlomk˚ u prov´ ad´ıme podle tˇechto pravidel (a, b, c, d jsou libovoln´ a reáln´ a ˇc´ısla): a c ad + cb 1. + = b d bd ad − cb a c 2. − = b d bd a c ac 3. · = b d bd a c a d ad a/b = : = · = 4. c/d b d b c bc 5

Z tˇechto pravidel plynou ihned n´ asleduj´ıc´ı vzorce, které se ˇcasto pouˇz´ıvaj´ı, a to oboustrannˇe: ac a = , kde c je libovolné re´ alné ˇc´ıslo (= 0) b bc a+c a c + = b b b Absolutn´ı hodnota a okol´ı re´ aln´ eho ˇ c´ısla. Absolutn´ı hodnotou | a | ˇc´ısla a rozum´ıme vzdálenost bodu reprezentuj´ıc´ıho ˇc´ıslo a na ˇc´ıselné ose od poˇcátku. Plat´ı tedy a pro a ≥ 0, | a |= −a pro a < 0 Pro absolutn´ı hodnoty plat´ı pravidla (a, b jsou libovoln´ a reáln´ a ˇc´ısla): | a |> 0√ pro a = 0, | 0 |= 0, | a |= a2 , | a + b |≤| a | + | b | tzv. (troj´ uheln´ıkov´ a nerovnost), || a | − | b ||≤| a + b |, | a· b |=| a | · | b |, a | a | = pro b = 0. b |b| Nechˇt a je libovolné re´ alné ˇc´ıslo a je libovolné kladné re´ alné ˇc´ıslo. Potom zˇrejmˇe plat´ı (a − , a + ) = {x ∈ R; | x − a |< }. Tento otevˇren´ y interval naz´ yv´ ame - okol´ım ˇc´ısla (bodu) a nebo také okol´ım ˇc´ısla a o polomˇeru . Mocniny a odmocniny z re´ aln´ ych ˇ c´ısel. Pro pˇrirozené ˇc´ıslo n = 1, 2, 3, . . . a pro libovolné reálné ˇc´ıslo α definujeme αn = α.α.α. . . . .α n kr´ at

Pro celá ˇc´ısla m = −1, −2; −3, . . . a pro libovolné reálné ˇc´ıslo β = 0 definujeme βm =

1 β −m

D´ ale definujeme β0 = 1

pro β = 0

. V´ıme, ˇze pro libovolné reálné ˇc´ıslo γ > 0 a pro libovolné pˇrirozené ˇc´ıslo n existuje yv´ a n- t´ a pr´ avˇe jedno kladné reálné ˇc´ıslo x takové, ˇze xn = γ. Toto ˇc´ılo x se naz´ √ √ √ n 2 ale odmocnina z ˇc´ısla x a oznaˇcuje se γ. M´ısto γ se ˇcasto p´ıˇse pouze γ. D´ √ n definujeme 0 = 0. Pro z´ aporn´ a reáln´ a ˇc√ ´ısla δ definujeme n- té odmocniny pouze √ √ √ pro lichá pˇrirozen´ a ˇc´ısla n a to vztahem n δ = − n −δ. Tak napˇr. 3 −8 = 2 , 4 −8 neexistuje 6

Nechˇt γ je libovolné kladné reálné ˇc´ıslo a r = p/q je libovolné racion´ aln´ı ˇc´ıslo. √ √ Potom definujeme γ r = q γ p . Pro pˇrirozené ˇc´ıslo n tedy plat´ı γ 1/n = n γ. Nechˇt koneˇcnˇe γ je libovolné kladné reálné ˇc´ıslo a s je libovolné iracion´ aln´ı ˇc´ıslo. s ym zp˚ usobem (viz literatura). Potom mocninu γ definujeme dosti komplikovan´ Pro mocniny plat´ı n´ asleduj´ıc´ı pravidla (u, v jsou libovoln´ a kladn´ a reáln´ a ˇc´ısla, a, b jsou libovoln´ a reáln´ a ˇc´ısla): a a a a a u u · v = (u · v) , v = (u/v)a , ua ub = ua−b , u−a = 1 ua , ua · ub = ua+b , (ua )b = ua·b , u0 = 1, ua > 0, (u < v) ∧ (a > 0) ⇒ ua < v a , (u < v) ∧ (a < 0) ⇒ ua > v a , (u > 1) ∧ (a < b) ⇒ ua < ub , (u < 1) ∧ (a < b) ⇒ ua > ub . Komplexn´ı ˇ c´ısla. Komplexn´ı ˇc´ısla jsou ˇc´ısla tvaru a + bi, kde a, b jsou re´ aln´ a 2 ˇ ˇc´ısla a i je tak zvan´ a imagin´ arn´ı jednotka pro kterou plat´ı i = i.i = −1. C´ıslo a se naz´ yv´ a re´ aln´ a ˇc´ ast komplexn´ıho ˇc´ısla z = a + bi a oznaˇcuje se Re z, ˇc´ıslo b se naz´ yv´ a imagin´ arn´ı ˇc´ ast komplexn´ıho ˇc´ısla z a oznaˇcuje se Im z. Komplexn´ı ˇc´ıslo z se naz´ yv´ a ryze imagin´ arn´ı je-li Re z = 0 a Im z = 0. Operace s komplexn´ımi ˇ c´ısly. Rovnost dvou komplexn´ıch ˇc´ısel ana takto: z1 = a1 + b1 i, z2 = a2 + b2 i je definov´ z1 = z2 ⇔ (a1 = a2 ) ∧ (b1 = b2 ). Souˇcet a souˇcin dvou komplexn´ıch ˇc´ısel z1 , z2 je definov´ an takto: z1 + z2 = (a1 + a2 ) + (b1 + b2 )i z1 · z2 = (a1 a2 − b1 b2 ) + (a1 b2 + a2 b1 )i Pro sˇc´ıt´ an´ı a n´ asoben´ı komplexn´ıch ˇc´ısel plat´ı tat´ aˇz pravidla jako pro re´ aln´ a ˇc´ısla. Nechˇt z = a + bi = 0 + 0i je libovolné komplexn´ı ˇc´ıslo. Potom komplexn´ı ˇc´ıslo y takové, ˇze z · y = 1 oznaˇcujeme 1/z nebo také z −1 . Snadno se pˇresvˇedˇc´ıme, ˇze plat´ı 1/z =

a2

a b − 2 i 2 +b a + b2

M´ısto oper´ atoru / se ˇcasto, stejnˇe jako u re´ aln´ ych ˇc´ısel, pouˇz´ıv´ a zlomkov´ a ˇcára nebo 1 dvojteˇcka, tedy 1/z = = 1 : z. Dˇelen´ı dvou komplexn´ıch ˇc´ısel z1 , z2 v pˇr´ıpadˇe, ˇze z z2 = 0 pak definujeme vztahem z1 /z2 = z1 : z2 =

z1 1 = z1 · z2 z2

Komplexn´ı ˇc´ısla nelze uspoˇra´dat tak, aby platila pravidla platn´ a pro re´ aln´ a ˇc´ısla. Nechˇt z = a + bi je libovolné komplexn´ı ˇc´ıslo. Potom ˇc´ıslo a − bi se naz´ yv´ a azat, ˇze pro komplexnˇe sdruˇzené ˇc´ıslo k ˇc´ıslu z a oznaˇcuje se z. Snadno lze dok´ komplexnˇe sdruˇzená ˇc´ısla plat´ı pravidla z1 + z2 = z1 + z2 7

z1 · z2 = z1 · z2 z1 z2 = z1 z2 pro z2 = 0 (z) = z z = z ⇔ z je reálné ˇc´ıslo Binomick´ a vˇ eta. Ze stˇredn´ı ˇskoly pˇripomeˇ nme, ˇze a) kaˇzdá uspoˇra´dan´ a n tice utvoˇrená z dan´ ych n r˚ uzn´ ych prvk˚ u se naz´ yv´ a permutace tˇechto prvk˚ u. Snadno se uk´ aˇze, ˇze poˇcet vˇsech r˚ uzn´ ych permutac´ı je 1.2.3. . . . .(n − 1).n = n ! ˇ ık´ a permutace ˇc´ısel 1, 2, . . . , n. R´ ame, ˇze ˇc´ısla pi , pj , kde Nechˇt (p1 , p2 , . . . pn ) je nˇejak´ i < j, tvoˇr´ı v této permutaci inverzi, je-li pi > pj . M´ a-li permutace p1 , p2 , . . . , pn lich´ y poˇcet inverz´ı, potom o n´ı ˇr´ık´ ame, ˇze je lich´ a, v opaˇcném pˇr´ıpadˇe o n´ı ˇr´ık´ ame, ˇze je sud´ a. b) Kombinacemi k-té tˇr´ıdy z n r˚ uzn´ ych prvk˚ u naz´ yv´ ame skupiny po k prvc´ıch z dan´ ych n prvk˚ u bez zˇretele k uspoˇra´d´ an´ı ve skupinˇe. Snadno se uk´ aˇze, ˇze poˇcet tˇechto kombinac´ı je n! n n(n − 1)(n − 2) . . . (n − k + 1) = = 1.2.3 . . . k k !(n − k) ! k Pro k = 0 se definuje

n =1 0

D´ ale pˇripomeˇ nme binomickou vˇetu: Nechˇt n je pˇrirozené ˇc´ıslo a nechˇt a, b jsou re´ aln´ a, eventu´ alnˇe komplexn´ı ˇc´ısla. Potom plat´ı Newton˚ uv vzorec (a + b)

n

=

n

n r=0

r

an−r br

Speci´ alnˇe (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ,

(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3

D´ ale pˇripomeˇ nme, ˇze plat´ı an − bn = (a − b)(an−1 + an−2 b + an−3 b2 + · · · + bn−1 ) Speci´ alnˇe a2 − b2 = (a − b)(a + b),

a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 )

. 8

D˚ uleˇ zit´ a nerovnost. Snadno se dok´ aˇze, ˇze pro nezáporn´ a reáln´ a ˇc´ısla a1 , a2 , . . . , an plat´ı √ a + a + · · · + a a21 + a22 + · · · + a2n 1 2 n n ≤ a1 a2 . . . an ≤ n n ˇ ıslo vlevo se naz´ C´ yv´ a geometrick´ y stˇred (pr˚ umˇer), ˇc´ıslo uprostˇred aritmetick´ y stˇred (pr˚ umˇer) a ˇc´ıslo vpravo kvadratick´ y stˇred (pr˚ umˇer) ˇc´ısel a1 , a2 , . . . , an . ˇ sen´ı kvadratick´ ˇ sit kvadReˇ ych rovnic a nerovnost´ı v re´ aln´ em oboru. Reˇ ratickou rovnici nebo nerovnost v re´ alném oboru znamen´ a nalézt vˇsechna reáln´ a ˇc´ısla x takov´ a, aby platilo x2 + px + q = 0 v pˇr´ıpadˇe rovnice, x2 + px + q ≥ 0 nebo x2 + px + q ≤ 0 v pˇr´ıpadˇe nerovnic, p, q jsou zadan´ a reáln´ a ˇc´ısla. Rovnici je uvedena v tak zvaném normovaném tvaru, tj. koeficient u x2 je roven 1. y Obecnou rovnici ax2 + bx + c = 0, stejnˇe jako i nerovnici, lze snadno na normovan´ tvar pˇrevést. Kvadratickou rovnici, stejnˇe jako nerovnici, ˇreˇs´ıme n´ asleduj´ıc´ım zp˚ usobem: oznaˇc2 me d = p − 4q. Trojˇclen pˇrevedeme na tvar p 2 d p 2 p2 +q = x+ − − . x2 + px + q = x + 2 4 2 4 Rozliˇsujeme nyn´ı dva pˇr´ıpady: a) d ≥ 0. V tomto pˇr´ıpadˇe dostáv´ ame √ √

2 d p p d d p x2 + px + q = x + x+ + = (x − x1 )(x − x2 ), − = x+ − 2 4 2 2 2 2 √

√

ˇ sen´ı nerovnic pak kde x1 = −p+2 d , x2 = −p−2 d a x1 , x2 jsou ˇreˇsen´ımi rovnice. Reˇ snadno dost´ av´ ame z u ´vahy o znaménku souˇcinu dvou ˇcinitel˚ u. b) d < 0. V tomto pˇr´ıpadˇe dostáv´ ame p 2 d − > 0 pro ∀ x ∈ R x2 + px + q = x + 2 4 Odtud plyne, ˇze rovnice nemá ˇzádn´ a reáln´ a ˇreˇsen´ı, stejnˇe jako nerovnice 2 x + px + q < 0, zat´ımco ˇreˇsen´ım nerovnice x2 + px + q ≥ 0 je kaˇzdé reálné ˇc´ıslo x.

´ ´ ´ B. UVOD DO ELEMENTARN I ALGEBRY. ´ VEKTORY. 4. MATICE A ALGEBRAICKE Algebraick´ e vektory. Nechˇt n je nˇejaké pˇrirozené ˇc´ıslo. Algebraick´ ym re´ aln´ ym vektorem a dimense n rozum´ıme uspoˇra´danou n–tici re´ aln´ ych ˇc´ısel [a1 , a2 , a3 , . . . , an ]. ˇ ıslo ai , i = 1, 2, 3, . . . , n se naz´ C´ yv´ a i-t´ a sloˇzka vektoru a. O dvou vektorech a,b ˇr´ık´ ame, ˇze se rovnaj´ı, a p´ıˇseme a = b, pr´ avˇe tehdy, kdyˇz jsou stejné dimense a kdyˇz jejich odpov´ıdaj´ıc´ı si sloˇzky ai , bi jsou sobˇe rovny, tj. ai = bi ∀ i. Souˇctem a 9

+ b dvou algebraick´ ych vektor˚ u stejné dimense n o sloˇzkách ai , bi naz´ yv´ ame vekych, ˇze ci = ai + bi ∀ i. Souˇcinem αa re´ alného ˇc´ısla α tor c o sloˇzkách ci takov´ yv´ ame vektor d o sloˇzkách s algebraick´ ym vektorem a dimense n o sloˇzkách ai naz´ ych, ˇze di = αai , i = 1, 2, . . . , n. Mnoˇzinu vˇsech algebraick´ ych re´ aln´ ych di takov´ vektor˚ u (tj. mnoˇzinu vˇsech uspoˇra´dan´ ych n-tic re´ aln´ ych ˇc´ısel v n´ıˇz je definov´ ano v´ yˇse uvedené sˇc´ıt´ an´ı a n´ asoben´ı ˇc´ıslem) naz´ yv´ ame n-rozmˇern´ ym vektorov´ ym proaln´ ych ˇc´ısel. Vektor, jehoˇz vˇsechny sloˇzky jsou rovny nule, storem Vn nad oborem re´ naz´ yv´ ame nulov´ ym vektorem a oznaˇcujeme o. Zcela analogicky definujeme algebraick´ y komplexn´ı vektor dimense n (je to uspoˇra´dan´ a n–tice komplexn´ıch ˇc´ısel) a n-rozmˇern´ y vektorov´ y prostor Vn nad oborem komplexn´ıch ˇc´ısel. M´ısto (-1)a se p´ıˇse -a; tedy sloˇzky vektoru -a jsou sloˇzkami vektoru a s opaˇcn´ ymi znaménky. Vˇsechny pojmy a vˇety vyslovené v této kapitole plat´ı pro algebraické komplexn´ı vektory i pro algebraické reálné vektory. Budeme v nich proto kr´ atce pouˇz´ıvat pouze term´ın algebraick´ y vektor. Velmi ˇcasto budeme vynech´ avat i pˇr´ıvlastek algebraick´ y. Skal´ arn´ı souˇ cin dvou algebraick´ ych vektor˚ u. Skal´ arn´ım souˇcinem a·b dvou yv´ ame ˇc´ıslo definované vektor˚ u stejné dimense n o sloˇzkách ai , bi , i = 1, 2, . . . , n naz´ vztahem a·b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 + · · · + an bn Tak napˇr. pro a=[3,5,2], b=[6,4,-2] je a· b=34. Line´ arn´ı z´ avislost vektor˚ u. ˇ R´ık´ ame, ˇze vektor a ∈ Vn je line´ arn´ı kombinac´ı vektor˚ u a1 , a2 , . . . , ak z Vn , existuj´ıli takov´ a ˇc´ısla α1 , α2 , . . . , αk (komplexn´ı v pˇr´ıpadˇe, kdy prostor Vn je nad oborem ych ˇc´ısel), komplexn´ıch ˇc´ısel, reáln´ a v pˇr´ıpadˇe, kdy prostor Vn je nad oborem reáln´ ˇze plat´ı a = α1 a1 + α2 a2 + · · · + αk ak Tak napˇr. vektor c=[20,6,28] je lineárn´ı kombinac´ı vektor˚ u a=[4,6,5] a b=[2,-1,3], ˇ nebot c=2a+6b. ame,ˇze jsou line´ arnˇe z´ avislé, jestliˇze aspoˇ n O vektorech a1 , a2 , . . . , ak z Vn ˇr´ık´ jeden z nich je line´ arn´ı kombinac´ı ostatn´ıch. Tak napˇr. vektory a, b,c y pˇredcházej´ıc´ıho pˇr´ıkladu jsou line´ arnˇe závislé. arnˇe závislé, potom ˇr´ık´ ame, ˇze jsou liNejsou-li vektory a1 , a2 , . . . , ak z Vn line´ ne´ arnˇe nez´ avislé. Tak napˇr. vektory [1,0,0], [0,1,0], [0,0,1] jsou line´ arnˇe nezávislé (proˇc?). Pˇr´ımo z definice plyne, ˇze nulov´ y vektor je line´ arn´ı kombinac´ı jak´ ychkoliv vektor˚ u a tedy, jestliˇze v nˇejaké skupinˇe vektor˚ u se vyskytuje nulov´ y vektor, potom tato skupina tvoˇr´ı line´ arnˇe závislé vektory. Plat´ı vˇeta arnˇe z´ avislé tehdy a jen tehdy, kdyˇz existuj´ı Vektory a1 , a2 , . . . , ak z Vn jsou line´ a, ˇze aspoˇ n jedno z nich je r˚ uzné od nuly a plat´ı β1 a1 + ˇc´ısla β1 , β2 , . . . , βk takov´ β2 a2 + · · · + βk ak = o. Souˇ radnice vektoru. Libovolnou mnoˇzinu {a1 , a2 , . . . , an } tvoˇrenou n line´ arnˇe yv´ ame b´ az´ı vektorového prostoru Vn . Tak napˇr. mnoˇzina nezávisl´ ymi vektory z Vn naz´ vektor˚ u {a,b,c}, kde a=[1,0,0], b=[0,1,0], c=[0,0,1] je b´ az´ı vektorového prostoru V3 . 10

Plat´ı vˇeta Nechˇt {a1 , a2 , . . . , an } je libovoln´ a b´ aze vektorového prostoru Vn . Potom kaˇzd´ y arn´ı kombinac´ı vektor˚ u z této b´ aze, tj. existuj´ı ˇc´ısla vektor a z prostoru Vn je line´ a, ˇze a = α1 a1 + α2 a2 + · · · + αn an . α1 , α2 , . . . , αn takov´ ˇ a v pˇredcházej´ıc´ı vˇetˇe se naz´ yvaj´ı souˇradnice vektoru C´ısla α1 , α2 , . . . , αn uveden´ a vzhledem k b´ azi {a1 , a2 , . . . , an }. Hodnost soustavy vektor˚ u. Nechˇt je d´ ana soustava {a1 , a2 , . . . , ak } libovolarnˇe nezávisl´ ych vektor˚ u a ne n´ ych vektor˚ u z Vn . Jestliˇze v soustavˇe existuje h line´ v´ıce, potom ˇc´ıslo h naz´ yv´ ame hodnost soustavy. Tak napˇr. hodnost soustavy {a,b,c }, kde a=[1,0,0], b=[0,1,0], c=[0,0,1] je rovna 3, zat´ımco hodnost soustavy {d,e,f}, kde d= [1,0,0], e=[1,1,1], f=[0,1,1] je rovna 2 (neboˇt e=d+f a vektory d,f jsou line´ arnˇe nezávislé). Zˇrejmˇe plat´ı: Nechˇt je d´ ana soustava k libovoln´ ych vektor˚ u z Vn . Potom pro jej´ı hodnost h plat´ı h ≤ min(k, n) Snadno se dok´ aˇze platnost n´ asleduj´ıc´ı d˚ uleˇzité vˇety uˇziteˇcné k urˇcen´ı hodnosti dané soustavy vektor˚ u u z Vn se nezmˇen´ı Hodnost libovolné soustavy {a1 , a2 , . . . , ak } vektor˚ 1. zamˇen´ıme-li poˇrad´ı vektor˚ u v soustavˇe, 2. vymˇen´ıme-li v kaˇzdém vektoru soustavy mezi sebou i-tou a j-tou sloˇzku, 3. vyn´ asob´ıme-li jeden vektor soustavy ˇc´ıslem r˚ uzn´ ym od nuly, 4. pˇriˇcteme-li k jednomu vektoru soustavy line´ arn´ı kombinaci ostatn´ıch vektor˚ u soustavy, 5. vynech´ ame-li v soustavˇe vektor, kter´ y je line´ arn´ı kombinac´ı ostatn´ıch vektor˚ u soustavy (takov´ ym je napˇr. nulov´ y vektor a vektor rovn´ y jinému vektoru). Matice. Mnoˇzinu m·n ˇc´ısel (reáln´ ych nebo ˇra´dk˚ u a n–sloupc˚ u, tj. uspoˇra´danou do tvaru  a11 a12 . . . a1j  a21 a22 . . . a2j   .. .. .. ..  . . . .   ai1 ai2 . . . aij   . .. .. ..  .. . . . am1 am2 . . . amj

komplexn´ıch) uspoˇra´danou do m– ... ... .. .

a1n a2n .. .



     . . . ain   ..  .. . .  . . . amn

ˇ ısla aij se naz´ yvaj´ı prvky matice. Prvn´ı index i naz´ yv´ ame matic´ı typu (m, n). C´ oznaˇcuje ˇra´dek, druh´ y index j sloupec ve kterém prvek leˇz´ı. Matice oznaˇcujeme n velk´ ymi tuˇcn´ ymi tiskac´ımi p´ısmeny, nebo také symbolicky (aij )m . Jestliˇze vˇsechny prvky matice typu (m, n) jsou rovny nule, potom matici naz´ yn v´ ame nulovou matic´ı typu (m, n) a oznaˇcujeme Om . n n ame, ˇze se sobˇe rovnaj´ı, a p´ıˇseme O dvou matic´ıch A = (aij )m , B = (bij )m ˇr´ık´ A = B, jestliˇze jsou téhoˇz typu a odpov´ıdaj´ıc´ı si prvky jsou sobˇe rovny, tj. aij = bij

pro

i = 1, 2, . . . , m, 11

j = 1, 2, . . . , n

n

n

Souˇctem dvou matic A = (aij )m , B = (bij )m jednoho a téhoˇz typu (m, n) n rozum´ıme matici C = (cij )m typu (m, n) takovou, ˇze cij = aij + bij . Oznaˇcujeme ji C = A + B. Souˇcet matic r˚ uzného typu se nedefinuje. n n Souˇcinem ˇc´ısla α s matic´ı A = (aij )m typu (m, n) rozum´ıme matici C = (cij )m typu (m, n) takovou, ˇze cij = αaij . Oznaˇcujeme ji C = αA. M´ısto (−1)A ˇcasto p´ıˇseme −A. M´ısto A + (−1)B p´ıˇseme A − B a matici naz´ yv´ ame rozd´ılem matic A, B. Pro sˇc´ıt´ an´ı matic a pro n´ asoben´ı matice ˇc´ıslem plat´ı Jestliˇze matice jsou stejného typu, potom 1. A + B = B + A 2. (A + B) + C = A + (B + C) 3. A + O = A 4. K matic´ım A, B existuje pr´ avˇe jedna matice X takov´ a, ˇze A + X = B. Plat´ı X = B + (−1)A = B − A 5. α(A + B) = αA + αB, (α + β)A = αA + βB n Gaussovsk´ a matice. Nechˇt je d´ ana matice A = (aij )m typu (m, n). Potom o ame, ˇze tvoˇr´ı hlavn´ı diagon´ alu. prvc´ıch a11 , a22 , a33 , . . . , akk , kde k = min(m, n), ˇr´ık´ Jestliˇze m ≤ n (matice A má nanejv´ yˇs tolik ˇra´dk˚ u kolik sloupc˚ u), vˇsechny prvky na hlavn´ı diagon´ ale matice A jsou r˚ uzné od nuly a vˇsechny jej´ı prvky pod hlavn´ı diagon´ alou jsou nulové, potom o matici A ˇr´ık´ ame, ˇze je gaussovsk´ a. Tak napˇr. nechˇt



4 0 A= 0 0

2 3 0 0

0 6 5 0

3 0 8 1

 7 5 , 0 4



4 3 B= 0 0

2 0 0 0

0 6 5 0

3 0 8 1

 7 5 , 0 4

potom matice A je gaussovská, zat´ımco matice B nen´ı gaussovská. n

Transponovan´ a matice. Jestliˇze z matice A = (aij )m typu (m, n) vytvoˇr´ıme m novou matici B = (bij )n typu (n, m) tak, ˇze za r-t´ y sloupec matice B dosad´ıme r-t´ y ˇra´dek matice A, tj. bij = aji

pro

i = 1, 2, . . . , n,

j = 1, 2, . . . , m ,

potom tuto matici B nazveme matic´   ı transponovanou k matici A a oznaˇ  cujemeji 3 6 1 3 4 6 T    A . Tak napˇr. matice 4 2 0 je transponovanou matic´ı k matici 6 2 3 . 6 3 4 1 0 4 Kaˇzd´ y algebraick´ y vektor x dimense n lze zˇrejmˇe povaˇzovat za jednoˇra´dkovou matici typu (1, n) nebo za jednosloupcovou matici typu (n, 1). Nen´ı-li v´ yslovnˇe uvedeno jinak, budeme symbolem x oznaˇcovat vektor zapsan´ y jako jednoˇra´dkov´ a matice. Vektor zapsan´ y jako jednosloupcov´ a matice budeme oznaˇcovat symbolem xT . N´ asoben´ı matice matic´ı. Tato operace se definuje pouze v pˇr´ıpadˇe, kdy matice p A má tent´ yˇz poˇcet sloupc˚ u jako matice B ˇra´dk˚ u. Souˇcinem AB matice A = (aij )m n n typu (m, p) s matic´ı B = (bij )p typu (p, n) naz´ yv´ ame matici C = (cij )m typu (m, n) 12

takovou, ˇze ˇra´dky a sloupce matic povaˇzujeme za vektory a prvek cij je skal´ arn´ım souˇcinem i-tého ˇra´dku matice A a j-tého sloupce matice B. Tak napˇr pro matice     3 4 2 1 −1 2 A =  −1 2 3  B =  2 1 −2  2 1 4 3 2 1 

dost´ av´ ame

17  AB = 12 16

 5 0 9 −3  7 6



8  BA = 1 9

 4 7 8 −1  17 16

Pro n´ asoben´ı matic A, B, C plat´ı pravidla 1. A(BC) = (AB)C 2. (A + B)C = AC + BC , C(A + B) = CA + CB 3. OA = O, AO = O 4. (AB)T = BT AT 5. α(AB) = (αA)B = A(αB) pokud ovˇsem jsou v tˇechto rovnostech definov´ any souˇcty a souˇciny pˇr´ısluˇsn´ ych matic (tj. maj´ı-li matice A, B, C pˇredepsan´ y typ). Komutativn´ı zákon obecnˇe neplat´ı, nemus´ı tedy platit rovnost AB = BA. Vid2li jsme to ve v´ yˇse uvedeném pˇr´ıkladu. V pˇr´ıpadˇe, ˇze rovnost AB = BA plat´ı, potom ˇr´ık´ ame, ˇze matice A, B komutuj´ı. Nen´ı také obecnˇe pravda, ˇze jestliˇze souˇcin dvou matic je nulov´ y, potom alespoˇ n jedna z nich je nulov´ a. ˇ Necht je d´ ana libovoln´ a soustava m line´ arn´ıch rovnic o n neznám´ ych: a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + . . . + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + . . . + a2n xn = b2 ................................................... am1 x1 + am2 x2 + am3 x3 + . . . + amn xn = bm Zavedeme-li oznaˇcen´ı  a11 a12  a21 a22 A= ..  ... .

a13 a23 .. .

... ... .. .

am2

am3

. . . amn

am1

 a1n a2n  , ..  . 



 x1  x2   xT =   ...  , xn



 b1  b2   bT =   ...  , bm

potom soustavu lze zˇrejmˇe psát obzvl´ aˇstˇe jednoduˇse a pˇrehlednˇe ve tvaru AxT = bT Podotknˇeme, ˇze v posledn´ım vzorci matice A se naz´ yv´ a matice soustavy, vektor x se naz´ yv´ a vektor nezn´ am´ ych a vektor b vektor prav´ ych stran. n ˇ Ctvercov´ e matice. Jestliˇze v matici A = (aij )m typu (m, n) je m = n, potom ˇ ji naz´ yv´ ame ˇctvercovou matic´ı ˇra ´du n. Ctvercovou matici jej´ıˇz vˇsechny prvky neyv´ ame diagon´ aln´ı leˇz´ıc´ı na hlavn´ı diagon´ ale jsou nulové (tj. aij = 0 pro i = j) naz´ matic´ı. Jestliˇze v diagonáln´ı matici vˇsechny prvky na hlavn´ı diagon´ ale jsou rovny

13

jedné, potom ji naz´ yv´ ame jednotkovou matic´ı ˇra ´du n a znaˇcujeme En , kr´ atce E. V jednotkové matici tedy plat´ı aij = 0 pro i = j, aij = 1 pro i = j. Jestliˇze ve ˇctvercové matici vˇsechny prvky pod hlavn´ı diagon´ alou jsou rovny nule, potom ji naz´ yv´ ame horn´ı troj´ uheln´ıkovou matic´ı. V horn´ı troj´ uheln´ıkové matici tedy uheln´ıkovou matici. plat´ı aij = 0 pro j < i. Podobnˇe definujeme doln´ı troj´ n Jestliˇze ve ˇctvercové matici A = (aij )n pro vˇsechny jej´ı prvky plat´ı aij = aji , potom ji naz´ yv´ ame symetrickou matic´ı. Pro symetrickou matici A tedy plat´ı AT = yv´ ame antisymetrickou matic´ı. A. Jestliˇze vˇsak plat´ı AT = −A, potom A naz´ n ˇ Necht A = (aij )n je ˇctvercová matice ˇra´du n. Potom souˇcet vˇsech jej´ıch prvk˚ u yv´ ame stopou matice. leˇz´ıc´ıch na hlavn´ı diagon´ ale, tj. ˇc´ıslo a11 + a22 + · · · + ann , naz´ Nechˇt A je libovoln´ a matice typu (m, n) a nechˇt Em , En jsou jednotkové matice ˇra´du m a n. Potom zˇrejmˇe plat´ı AEn = A , Em A = A. Nechˇt A je libovoln´ a ˇctvercová matice ˇra´du n a α0 , α1 , . . . , αk , αk = 0, jsou libovoln´ a ˇc´ısla. Potom m´ısto AA ˇcasto p´ıˇseme A2 , m´ısto AAA p´ıˇseme A3 atd. yv´ ame V´ yraz p(A) = αk Ak + αk−1 Ak−1 + · · · + α2 A2 + α1 A + α0 En pak naz´ polynomem k-tého stupnˇe v matici A. Inverzn´ı matice. Nechˇt A je ˇctvercová matice ˇra´du n. Jestliˇze existuje ˇctvercová a matice ˇra´du n, matice B téhoˇz ˇra´du n takov´ a, ˇze AB = En , kde En je jednotkov´ potom tuto matici naz´ yv´ ame inverzn´ı matic´ı k matici A a oznaˇcujeme ji Ainv nebo En ). Lze dok´ azat, ˇze jestliˇze AB = En , potom i BA = En . A−1 (nˇekdy také A Ne ke kaˇzdé matici A existuje inverzn´ı matice, tj. ne kaˇzdá matice A je invertovateln´ a. Pro invertovatelné matice plat´ı a) ke kaˇzdé matici A existuje nanejv´ yˇs jedna inverzn´ı matice, −1 −1 −1 b) (AB) = B A (tento vztah je podobný jako pro transposici souˇcinu). Ortogon´ aln´ı matice. O ˇctvercové matici A ˇra´du n ˇr´ık´ ame, ˇze je ortogon´ aln´ı, −1 T jestliˇze je invertovateln´ a a plat´ı A = A Ortogonalitu matice A snadno urˇc´ıme podle n´ asleduj´ıc´ı vˇety: n aln´ı matice ˇra ´du n. Potom skal´ arn´ı souˇcin jej´ıho Nechˇt A = (aij )n je ortogon´ libovolného ˇra ´dku se sebou sam´ ym je roven jedné a s jak´ ymkoliv jin´ ym ˇra ´dkem je roven nule. Obdobné tvrzen´ı plat´ı o sloupc´ıch ortogon´ aln´ı matice A. Naopak, n yˇse uvedené vztahy, potom matice A je jestliˇze pro prvky matice A = (aij )n plat´ı v´ ortogon´ aln´ı. Hodnost matice. Hodnost´ı matice A typu (m, n) naz´ yv´ ame hodnost soustavy vektor˚ u vytvoˇren´ ych ˇra´dky této matice. Oznaˇcujeme ji h(A). Matice A má tedy hodnost h(A), jestliˇze v n´ı existuje h(A) line´ arnˇe nezávisl´ ych ˇra´dk˚ u a ne v´ıce. Plat´ı vˇeta: Hodnost libovolné matice A typu (m, n) se nezmˇen´ı a) zamˇen´ıme-li poˇrad´ı ˇra ´dk˚ u v matici, b) zamˇen´ıme-li poˇrad´ı sloupc˚ u v matici, c) vyn´ asob´ıme-li kter´ ykoliv ˇra ´dek nenulov´ ym ˇc´ıslem, d) pˇripoˇcteme-li k jednomu ˇra ´dku matice line´ arn´ı kombinaci ostatn´ıch ˇra ´dk˚ u matice 14

e) vynech´ ame-li v matici ˇra ´dek, kter´ y je line´ arn´ı kombinac´ı ostatn´ıch ˇra ´dk˚ u (takov´ ym je napˇr´ıklad nulov´ y ˇra ´dek a ˇra ´dek rovn´ y jinému ˇra ´dku). D´ ale se velmi snadno pˇresvˇedˇc´ıme, ˇze plat´ı vˇeta: Hodnost kaˇzdé gaussovské matice A typu (m, n), kde m ≤ n, je rovna ˇc´ıslu m. Obˇe pˇredcházej´ıc´ı vˇety n´ am umoˇzn ˇuj´ı snadno spoˇc´ıtat hodnost libovolné matice A (a libovolné soustavy vektor˚ u z prostoru Vn ). Staˇc´ı totiˇz upravit matici A na gaussovsk´ y tvar. Povolené u ´pravy jsou v´ yˇse uvedeny. Vol´ıme je zcela analogicky jako v pˇr´ıpadˇe Gaussovy eliminaˇcn´ı metody pro soustavu rovnic. Vlastn´ı ˇ c´ısla a vlastn´ı vektory matice. Nechˇt je d´ ana ˇctvercová matice A (obecnˇe komplexn´ı) n-tého ˇra´du. Jestliˇze existuje komplexn´ı ˇc´ıslo λ a nenulov´ y T T vektor x takov´ y, ˇze Ax = λx , potom ˇrekneme, ˇze λ je vlastn´ım ˇc´ıslem matice A a x jej´ım vlastn´ım vektorem pˇr´ısluˇsn´ ym tomuto vlastn´ımu ˇc´ıslu. Mnoˇzinu vˇsech vlastn´ıch ˇc´ısel matice A naz´ yv´ ame jej´ım spektrem. 5. DETERMINANTY Definice determinantu. Nechˇt je d´ ana ˇctvercová matice A n - tého ˇra´du, tj. 

 a1n a2n  ..  . 

a11  a21 A=  ...

a12 a22 .. .

... ... .. .

an1

an2

. . . ann

a permutace ˇc´ısel 1, 2, . . . , (permutac´ı je n !). UtvoˇrNechˇt p1 , p2 , . . . , pn je libovoln´ asobme jej ˇc´ıslem (-1) v pˇr´ıpadˇe, ˇze perme souˇcin a1p1 · a2p2 · a3p3 · · · anpn a vyn´ mutace je lich´ a. Jinak ponechejme souˇcin beze zmˇeny. Provedeme-li to pro vˇsechny permutace, dostneme n ! souˇcin˚ u. Jejich souˇcet se pak naz´ yv´ a determinant n - tého ˇra ´du matice A a oznaˇcuje se det A nebo také a11 a21 . . . an1

a12 a22 .. . an2

a1n a2n .. . . . . ann ... ... .. .

Plat´ı tedy det A =



nebo

 a1n a2n  ..  . 

a11  a21 det   ...

a12 a22 .. .

... ... .. .

an1

an2

. . . ann

(−1)r(p1 ,p2 ,...,pn ) a1p1 a2p2 · · · anpn ,

p1 ,p2 ,...,pn

kde souˇcet se bere pˇres vˇsechny permutace p1 , p2 , . . . , pn ˇc´ısel 1, 2, . . . , n a r(p1 , . . . pn ) je poˇcet inverz´ı v dané permutaci (je-li permutace lichá, pak tento poˇcet je liché ˇc´ıslo a plat´ı (−1)r(p1 ,p2 ,...,pn ) = −1, jinak plat´ı (−1)r(p1 ,p2 ,...,pn ) = 1). ˇ Kˇ r´ıˇ zov´ e a Sarrusovo pravidlo. Odvodme vzorec pro v´ ypoˇcet determinant˚ u druhého ˇra´du. Permutace ˇc´ısel 1,2 jsou: 1,2 (sud´ a) a 2,1 (lich´ a). V´ ypoˇcet tedy prob´ıh´ a podle vzorce a11 a12 a21 a22 = a11 a22 − a12 a21 15

Vzorec se dobˇre pamatuje podle vyznaˇcen´ı uvedeného v determinantu a naz´ yvaného kˇr´ıˇzov´ ym pravidlem. Plné ˇcárce odpov´ıd´ a znaménko plus, pˇreruˇsované ˇcárce znaménko m´ınus. ˇ Odvodme vzorec pro v´ ypoˇcet determinantu tˇret´ıho ˇra´du. Vˇsechny moˇzné permutace ˇc´ısel 1,2,3 jsou: 1,2,3(sudá), 1,3,2(lich´ a), 2,1,3(lich´ a),2,3,1(sud´ a), 3,1,2(sud´ a), 3,2,1(lich´ a). Tedy a11 a21 a31

a13 a11 a23 a21 a33 a31

a12 a22 a32

a12 a22 a32

= a11 a22 a33 − a11 a23 a32 − a12 a21 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a13 a22 a31 = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a13 a22 a31 − a11 a23 a32 − a12 a21 a33 Vzorec se dobˇre pamatuje podle vyznaˇcen´ı uvedeného v determinantu a naz´ yvaného Sarrusov´ ym pravidlem. Zde opˇet pln´ ym ˇcárk´ am odpov´ıd´ a znaménko plus a pˇreruˇsovan´ ym ˇcárk´ am znaménko m´ınus. n

Subdeterminant a algebraick´ y doplnˇ ek. Jestliˇze v matici A = (aij )m typu (m, n) vynech´ ame r-t´ y ˇra´dek a s-t´ y sloupec, pak dostaneme novou matici typu (m − 1, n − 1), kterou naz´ yv´ ame submatic´ı matice A pˇr´ısluˇsnou k r-tému ˇra ´dku a s-tému sloupci nebo kr´ atce, pˇr´ısluˇsnou k prvku ars a oznaˇcujeme ji Ars . Jestliˇze yv´ ame subdeterminantem determimatice A je ˇctvercová ˇra´du n, potom det Ars naz´ ˇ ıslo (−1)r+s ·det Ars naz´ yv´ ame algebraicnantu matice A pˇr´ısluˇsn´ ym k prvku ars . C´ k´ ym doplˇ nkem pˇr´ısluˇsn´ ym k prvku ars a oznaˇcujeme jej Ars . Tak napˇr. pro matici   3 6 5 3 3 6 5  2 −1 3 0  A=  máme det A34 = 2 −1 3 a A34 = (−1)3+4 detA34 = 2 1 0 −1 4 3 2 4 3 2 5 − det A34 . ˇ Cramerovo pravidlo a v´ ypoˇ cet inverzn´ı matice. Ctvercovou matici A jej´ıˇz determinant je r˚ uzn´ y od nuly naz´ yv´ ame regul´ arn´ı matic´ı. Jestliˇze det A = 0, potom o matici A ˇr´ık´ ame, ˇze je singul´ arn´ı. Zaveden´ı pojmu determinant bylo v minulosti pˇrev´ aˇznˇe motivov´ ano snahou odvodit vzorce pro ˇreˇsen´ı soustav n rovnic o n neznám´ ych a pro v´ ypoˇcet inverzn´ıch matic. Byla dokázána pravidla: arn´ı matic´ı α)Jestliˇze je d´ ana soustava n rovnic o n nezn´ am´ ych AxT = bT s regul´ A, potom x1 =

det A1 det A

,

x2 =

det A2 det A

,

...

,

xn =

det An , det A

kde Ak , k=1,2, . . . ,n, je matice vytvoˇren´ a z matice A t´ım, ˇze jej´ı k-t´ y sloupec je yv´ a Cramerovo pravidlo. nahrazen sloupcem bT . Vzorec se naz´ n n β) Inverzn´ı matici A−1 = a∗ij n k matici A = (aij )n , pokud matice A je regul´ arn´ı, lze spoˇc´ıtat podle vzorc˚ u a∗ij =

Aji det A

,

i, j = 1, 2, . . . , n 16

Obˇe tato pravidla maj´ı znaˇcn´ y teoretick´ y v´ yznam. Pro praktické pouˇzit´ı se vˇsak v˚ ubec nehod´ı. Z´ akladn´ı vlastnosti determinant˚ u.Jsou uvedeny v n´ asleduj´ıc´ı vˇetˇe n Nechˇt A = (aij )n je ˇctvercov´ a matice n-tého ˇra ´du. Potom plat´ı a) Jestliˇze B je matice, kter´ a vznikne z matice A t´ım, ˇze v n´ı vymˇen´ıme mezi sebou dva ˇra ´dky, eventu´ alnˇe dva sloupce, potom plat´ı det B = − det A. b) Jestliˇze C je matice, kter´ a vznikne z matice A t´ım, ˇze v n´ı vyn´ asob´ıme nˇekter´ y ˇra ´dek, eventu´ alnˇe nˇekter´ y sloupec, ˇc´ıslem λ, potom plat´ı det C = λ det A. c) Jestliˇze matice A m´ a dva stejné ˇra ´dky, eventu´ alnˇe dva stejné sloupce, potom jej´ı determinant je roven nule. d) Jestliˇze matice A obsahuje nulov´ y ˇra ´dek, eventu´ alnˇe nulov´ y sloupec, potom jej´ı determinant je roven nule. Rozvoj determinantu podle ˇ r´ adku a podle sloupce. Plat´ı vˇeta n a matice n-tého ˇra ´du a nechˇt r je libovolné ˇc´ıslo Nechˇt A = (aij )n je ˇctvercov´ z mnoˇziny {1, 2, 3, . . . , n}. Potom plat´ı vztahy det A = ar1Ar1 + ar2Ar2 + · · · + arnArn , det A = a1rA1r + a2rA2r + · · · + arnAnr , y doplnˇek pˇr´ısluˇsn´ y k prvku aij v determinantu matice A. kde Aij je algebraick´ Vztahy se naz´ yvaj´ı rozvoj determinantu podle r-tého ˇra ´dku a rozvoj determinantu podle r-tého sloupce. u V´ıme, ˇze Aij = (−1)i+j det Aij . Ve vztaz´ıch se proto znaménka subdeterminant˚ det Aij stˇr´ıdaj´ı. Dalˇ s´ı vlastnosti detertminant˚ u jsou uvedeny v n´ asleduj´ıc´ı vˇetˇe a) Pro libovolné ˇc´ıslo r ∈ {1, 2, . . . , n} plat´ı

a11 a21 . . . an1

a11 a21 . . . an1

a12 a22 .. .

... ... .. .

a1,r−1 a2,r−1 .. .

a1r + b1r a2r + b2r .. .

a1,r+1 a2,r+2 .. .

... ... .. .

an2

...

an,r−1

anr + bnr

an,r+1

...

a1n a2n .. . ann

a12 a22 .. .

... ... .. .

a1r a2r .. .

... ... .. .

a12 a22 .. .

... ... .. .

b1r b2r .. .

... ... .. .

an2

...

anr

...

an2

...

bnr

...

a1n a2n .. . ann

+

a11 a21 . . . an1

n

=

a1n a2n .. . ann

y jej´ı ˇra ´dek b) Jestliˇze matice B vznikne z matice A = (aij )n t´ım, ˇze nˇekter´ vyn´ asob´ıme ˇc´ıslem ω a pˇripoˇcteme k jinému ˇra ´dku, potom det B = det A. Totéˇz plat´ı o sloupc´ıch. c) Determinant horn´ı, eventu´ alnˇe doln´ı troj´ uheln´ıkové matice je roven souˇcinu prvk˚ u leˇz´ıc´ıch na jej´ı hlavn´ı diagon´ ale. d) Determinant jednotkové matice je roven jedné. 17

Vlastnosti determinant˚ u uvedené v pˇredchj´ azej´ıc´ıch odstavc´ıch a Gaussova eliminaˇcn´ı metoda n´ am d´ avaj´ı n´ avod, jak poˇc´ıtat determinanty. Nutn´ a podm´ınka invertovatelnosti matic. Pro determinanty plat´ı vˇeta ˇ Necht A, B jsou ˇctvercové matice n-tého ˇra ´du. Potom plat´ı T a) det A = det A b) det(AB) = det A det B Jestliˇze A je ˇctvercová matice n-tého ˇra´du a jestliˇze k n´ı existuje inverzn´ı matice A (tj. matice A je invertovateln´ a), potom, jak v´ıme, AAinv = En . Odtud a ze skuteˇcnosti, ˇze determinant jenotkové matice je roven jedné, ihned plyne det A · 1 . Dostáv´ ame tak vˇetu det Ainv = 1, tj. det A = 0 a souˇcasnˇe det Ainv = det A Nutnou podm´ınkou invertovatelnosti ˇctvercové matice A je jej´ı regul´ arnost. D´ ale uvid´ıme, ˇze regulárnost matice A je i postaˇcuj´ıc´ı podm´ınkou jej´ı invertovatelnosti. inv

´ ´ 6. SOUSTAVY LINEARN ICH ROVNIC. Matice a rozˇ s´ıˇ ren´ a matice soustavy. Soustavu m line´ arn´ıch rovnic o n neznám´ ych a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2 ................................... am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm lze psát ve tvaru AxT = bT kde jsme zavedli oznaˇcen´ı  a11 a12  a21 a22 A= ..  ... . am1

am2

... ... .. .

 a1n a2n  , ..  . 

,

 x1  x2   xT =   ...  , 

. . . amn

xn

 b1  b2   bT =   ...  

bm

Matici A naz´ yv´ ame matic´ı soustavy, vektor x vektorem nezn´ am´ ych a vektor b vektorem prav´ ych stran. Pˇridáme-li k matici A vektor prav´ ych stran, dostaneme matici   a11 a12 . . . a1n b1  a21 a22 . . . a2n b2  , A|bT =  .. .. ..  ..  ... . . . .  am1 am2 . . . amn bm kterou naz´ yv´ ame rozˇs´ıˇrenou matic´ı soustavy. ˇ sitelnost soustavy. Frobeniova vˇ Reˇ eta. Plat´ı tzv. Frobeniova vˇeta: T T 1. Soustava Ax = b m´ a ˇreˇsen´ı tehdy a jen tehdy, kdyˇz h(A) = h(A|bT ), tj., kdyˇz hodnosti matice soustavy a rozˇs´ıˇrené matice soustavy se sobˇe rovnaj´ı. 18

2. Jestliˇze h(A) = h(A|bT ) = k, potom v pˇr´ıpadˇe k < n m´ a soustava nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı, kter´ a mohou b´ yt zaps´ ana pomoc´ı n − k parametr˚ u a v pˇr´ıpadˇe k = n m´ a soustava pr´ avˇe jedno ˇreˇsen´ı. V pˇr´ıpadˇe, kdy m = n (tj. poˇcet rovnic je roven poˇctu nezn´ am´ ych), ˇr´ık´ ame, ˇze soustava je ˇctvercov´ a. V tomto pˇr´ıpadˇe mohou zˇrejmˇe nastat dvˇe moˇznosti: h(A) = n a h(A) < n. V prvn´ım pˇr´ıpadˇe je automaticky splnˇen vztah h(A) = avˇe jedno ˇreˇsen´ı. V tomto h(A|bT ) a shodnˇe s Frobeniovou vˇetou má tato soustava pr´ pˇr´ıpadˇe je det A = 0, tj. matice A je regulárn´ı. Ve druhém pˇr´ıpadˇe je det A = 0, tj. ˇ nemá ˇzádné matice A je singul´ arn´ı a shodnˇe s Frobeniovou vˇetou soustava budto ˇreˇsen´ı nebo m´ a nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı. Homogenn´ı soustavy. Jestliˇze vektor b prav´ ych stran v soustavˇe je nulov´ y, tj. ame, ˇze je homogenn´ı. V tomto pˇr´ıpadˇe soustava m´ a tvar AxT = o, potom o n´ı ˇr´ık´ je automaticky splnˇena podm´ınka h(A) = h(A|bT ) = k a soustava má, shodnˇe ˇ jedno ˇreˇsen´ı (v pˇr´ıpadˇe k = n) anebo nekoneˇcnˇe mnoho s Frobeniovou vˇetou, budto ˇreˇsen´ı (v pˇr´ıpadˇe k < n). V prvn´ım pˇr´ıpadˇe je to pochopitelnˇe pouze nulové ˇreˇsen´ı. Ve druhém pˇr´ıpadˇe pak má kromˇe nulového i nenulové ˇreˇsen´ı. Lze uk´ azat, ˇze mezi vˇsemi ˇreˇsen´ımi homogenn´ı soustavy existuje n − k line´ arnˇe nezávisl´ ych ˇreˇsen´ı a ne v´ıce. ˇ sen´ı soustav. Cramerovo pravidlo pro ˇreˇsen´ı soustav n rovnic o n neznáReˇ m´ ych pomoc´ı determinant˚ u se uˇz´ıv´ a jen zcela v´ yj´ımeˇcnˇe. Vˇetˇsinou se pouˇz´ıv´ a zn´ amá Gaussova eliminaˇcn´ı metoda. Tato metoda spoˇc´ıv´ a v tom, ˇze postupn´ ymi u ´pravaustala v 1. rovnici a byla vyeliminov´ ana ze mi dosáhneme toho, aby nezn´ amá x1 z˚ ustala ve 2. rovnici (eventu´ alnˇe i v prvn´ı) a byla 2. aˇz m. rovnice, nezn´ amá x2 z˚ ustala ve 3. rovnici (eventu´ alnˇe vyeliminov´ ana ze 3. aˇz m. rovnice, nezn´ amá x3 z˚ i v prvn´ı a ve druhé) a byla vyeliminov´ ana ze 4. aˇz m. rovnice atd. Dostaneme tak z p˚ uvodn´ı soustavy rovnic soustavu ve tvaru (nazveme ji soustavou v Gaussovˇe tvaru), kdy je jiˇz snadno ˇreˇsiteln´ a od zadu (tzv zpˇetn´ y chod). Zm´ınˇené postupné u ´pravy nemohou b´ yt libovolné. Mus´ı m´ıt pochopitelnˇe tu vlastnost, ˇze soustava po u ´pravˇe je ekvivalentn´ı se soustavou pˇred u ´pravou, tj., ˇze kaˇzdé ˇreˇsen´ı soustavy pˇred u ´pravou je ˇreˇsen´ım soustavy po u ´pravˇe a naopak. Takov´ ymi povolen´ ymi u ´pravami zˇrejmˇe jsou: G1) z´ amˇena poˇrad´ı rovnic v soustavˇe, G2) z´ amˇena poˇrad´ı ˇclen˚ u s neznám´ ymi v rovnic´ıch, G3) vyn´ asoben´ı kterékoliv rovnice libovoln´ ym nenulov´ ym ˇc´ıslem, G4) pˇripoˇcten´ı ke kterékoliv rovnici libovolné násobky jin´ ych rovnic, G5) vynech´ an´ı rovnice, kter´ a je souˇctem libovoln´ ych n´ asobk˚ u jin´ ych rovnic (odame j´ı nulov´ a tud plyne, ˇze lze vynechat rovnici tvaru 0.x1 +0.x2 +· · ·+0.xn = 0, ˇr´ık´ rovnice, a také ze vˇsech stejn´ ych rovnic ponechat jen jednu). Uvedené u ´pravy naz´ yv´ ame Gaussov´ ymi element´ arn´ımi u ´pravami soustavy rovnic. Proti metodˇe pouˇz´ıv´ an´ı determinant˚ u m´ a Gaussova eliminaˇcn´ı metoda jeˇstˇe i dalˇs´ı velkou v´ yhodu, poˇcet rovnic nemus´ı b´ yt shodn´ y s poˇctem neznám´ ych. n V´ ypoˇ cet inverzn´ı matice. V´ıme, ˇze nalézt inverzn´ı matici Ainv = a∗ij n ke n ˇctvercové matici A = (aij )n n-tého ˇra´du. znamená ˇreˇsit maticovou rovnici AAinv = a mativce n-tého ˇra´du. To ovˇsem znamená ˇreˇsit n soustav En , kde En je jednotkov´ ASTr = ITr

,

r = 1, 2, . . . , n , 19

kde v prvn´ı soustavˇe je vektorem neznám´ ych prvn´ı sloupec inverzn´ı matice a vektorem prav´ ych stran prvn´ı sloupec jednotkové matice, ve druhé soustavˇe je vektorem neznám´ ych druh´ y sloupec inverzn´ı matice a vektorem prav´ ych stran druh´ y sloupec ˇ sen´ı prov´ jednotkové matice atd. Reˇ ad´ıme Gaussovou eliminaˇcn´ı metodou. Vyuˇzijeme pˇritom skuteˇcnost, ˇze vˇsechny soustavy maj´ı tutéˇz matici soustavy A, mˇen´ı se pouze jejich vektory prav´ ych stran. Charakteristick´ a rovnice matice. V´ıme, ˇze vlastn´ı ˇc´ısla ˇctvercové matice A ntého ˇra´du jsou takov´ a ˇc´ısla λ, pro kter´ a má homogenn´ı soustava rovnic (A − λEn ) xT = oT nenulové ˇreˇsen´ı x. To je vˇsak moˇzné pouze v pˇr´ıpadˇe, kdy determinant soustavy n je roven nule. Dosp´ıv´ ame tak k definici: Nechˇt A = (aij )n je matice n-tého ˇra´du. Potom rovnice det (A − λEn ) = 0, tj. rovnice

a12 a11 − λ a22 − λ a21 . .. .. . an2 an1

... ... .. .

a1n a2n .. .

. . . ann − λ

=

0

se naz´ yv´ a charakteristick´ a rovnice matice A. Z definice determinantu ihned plyne, ˇze charakteristická rovnice m´ a tvar αn λn + αn−1 λn−1 + · · · + α2 λ2 + α1 λ + α0 = 0, kde λ je neznámé ˇc´ıslo a αn , αn−1 , . . . , α1 , α0 jsou ˇc´ısla závisej´ıc´ı na prvc´ıch matice. 7. POLYNOMY A JEJICH POD´ ILY. a Polynom a jeho koˇ reny. Ze stˇredn´ı ˇskoly v´ıme: Nechˇt α0 , α1 , . . . , αn jsou dan´ yraz), které kaˇzdému reáln´ a, pˇr´ıpadnˇe komplexn´ı ˇc´ısla, pˇriˇcemˇz αn = 0. Pravidlo (v´ komplexn´ımu ˇc´ıslu x pˇriˇrazuje ˇc´ıslo p(x), kde p(x) = α0 + α1 x + α2 x2 + · · · + αn xn , naz´ yv´ ame polynomem (mnohoˇclenem) stupnˇe n v promˇenné x s koeficienty αi . Tak napˇr. polynom q(x) = 3 + 2x je polynomem prvn´ıho stupnˇe (zvan´ ym line´ arn´ım), 2 ym kvadratick´ ym), polynom r(x) = −2+x+3x je polynomem druhého stupnˇe (zvan´ 4 2 3 4 s(x) = x − 1(= −1 + 0 · x + 0 · x + 0 · x + 1 · x ) je polynomem ˇctvtého stupnˇe. aln´ a ˇc´ısla, potom polynom Jestliˇze vˇsechny koeficienty αi , i = 0, 1, . . . , n jsou re´ naz´ yv´ ame re´ aln´ ym polynomem. Kaˇzdé komplexn´ı ˇc´ıslo ξ takové, ˇze p(ξ) = 0, tj. α0 + α1 ξ + α2 ξ 2 + · · · + αn ξ n = 0

,

se naz´ yv´ a koˇren polynomu p(x). Kaˇzd´ y koˇren je tedy ˇreˇsen´ım rovnice α 0 + α 1 x + α 2 x2 + · · · + α n xn = 0 Tato rovnice se naz´ yv´ a algebraickou rovnic´ı n-tého stupnˇe. 20

.

Napˇr.polynom s(x) má ˇctyˇri koˇreny ξ1 = 1, ξ2 = −1, ξ3 = i, ξ4 = −i, tj. rovnice x4 − 1 = 0 má ˇctyˇri ˇreˇsen´ı 1, −1, i, −i. B´ ezoutova vˇ eta. Francouzsk´ y matematik E.Bézout odvodil n´ asleduj´ıc´ı velmi d˚ uleˇzitou vˇetu Nechˇt n je libovolné pˇrirozené ˇc´ıslo a nechˇt p(x) = α0 + α1 x + α2 x2 + · · · + αn xn je libovoln´ y polynom n-tého stupnˇe. Potom ˇc´ıslo ξ je ˇreˇsen´ım algebraické rovnice p(x) = 0 tehdy a jen tehdy, kdyˇz pro kaˇzdé komplexn´ı ˇc´ıslo x plat´ı p(x) = (x − ξ)q(x), kde q(x) = β0 + β1 x + β2 x2 + · · · + βn−1 xn−1 je polynom n − 1-n´ıho stupnˇe takov´ y, ˇze βn−1 = αn Znamená to tedy: Je–li ξ koˇrenem polynomu p(x), potom p(x) lze dˇelit beze zbytku polynomem (x − ξ). Z´ akladn´ı vˇ eta algebry. Pˇredn´ı m´ısto v algebˇre zauj´ım´ a tzv. základn´ı vˇeta algebry, kterou v r. 1799 dok´ azal Gauss: Kaˇzd´ a algebraick´ a rovnice p(x) = 0 n-tého stupnˇe, kde n je libovolné pˇrirozené ˇc´ıslo (tj. n ≥ 1), m´ a v oboru komplexn´ıch ˇc´ısel alespoˇ n jedno ˇreˇsen´ı. D’Alembertova vˇ eta. Ze základn´ı vˇety algebry a z Bézoutovy vˇety ihned plyne n´ asleduj´ıc´ı D’Alembertova vˇeta: Pro kaˇzd´ y polynom p(x) = α0 + α1 x + α2 x2 + · · · + αn xn n-tého stupnˇe, kde yt vˇsechna navz´ an ≥ 1, existuje pr´ avˇe n komplexn´ıch ˇc´ısel ξ1 , ξ2 , . . . , ξn (nemus´ı b´ jem r˚ uzn´ a) takov´ ych, ˇze pro kaˇzdé komplexn´ı ˇc´ıslo x plat´ı p(x) = αn (x − ξ1 ) (x − ξ2 ) . . . (x − ξn )

(7.1)

Rozklad polynomu v komplexn´ım oboru. V´ yrazy (x − ξk ) v (7.1) naz´ yv´ ame line´ arn´ımi koˇrenov´ ymi ˇciniteli polynomu p(x). N´ azev je odvozen ze skuteˇcnosti, ˇze p (ξk ) = 0, k = 1, 2, . . . , n, tj., ˇze vˇsechna ˇc´ısla ξk jsou ˇreˇsen´ımi (koˇreny) algebraické rovnice p(x) = 0. Nˇekteˇr´ı ˇcinitelé v (7.1) se mohou opakovat. Jestliˇze nˇejak´ y avˇe tr kr´ at (tj. tr kr´ at a ne v´ıcekr´ at), potom ˇcinitel (x − ξr ) vystupuje v (7.1) pr´ asobn´ ym koˇrenem polynomu p(x). Vzorec (7.1) lze tedy ˇr´ık´ ame, ˇze ˇc´ıslo ξr je tr -n´ psát ve tvaru t t t (7.2) p(x) = αn (x − ξ1 ) 1 (x − ξ2 ) 2 · · · (x − ξs ) s , kde t1 + t2 + · · · + ts = n a vˇsechny koˇreny ξ1 , ξ2 , . . . , ξs jsou navz´ a jem r˚ uzné. Vzorci (7.2) ˇr´ık´ ame rozklad polynomu v komplexn´ım oboru. Tak napˇr. x4 − 1 = (x + 1)(x − 1)(x + i)(x − i), x3 − x2 = x2 (x − 1). Vˇsimnˇeme si, ˇze poˇc´ıt´ ame-li kaˇzd´ y k-n´ asobn´ y koˇren za k koˇren˚ u, m´ a algebraick´ a rovnice p(x) = 0 stupnˇe n ≥ 1 pr´ avˇe n ˇreˇsen´ı. Odtud ihned plyne, ˇze m´ a-li rovnice α0 + α1 x + α2 x2 + · · · + αn xn = 0 v´ıce neˇz n ˇreˇsen´ı, pak nutnˇe α0 = α1 = α2 = · · · = αn = 0, tj. p(x) = 0 pro kaˇzdé ˇc´ıslo x. Takov´ y polynom pak naz´ yv´ ame nulov´ ym polynomem (nemá ˇzádn´ y stupeˇ n). Vˇ eta o imagin´ arn´ıch koˇ renech re´ aln´ ych polynom˚ u. Reálné polynomy maj´ı speciáln´ı vlastnost, kterou nyn´ı uvedeme ve tvaru tzv.vˇety o imagin´ arn´ıch koˇrenech: 21

Nechˇt p(x) je re´ aln´ y polynom. M´ a-li tento polynom koˇren ξ = u + iv, potom i komplexnˇe sdruˇzené ˇc´ıslo ξ¯ = u − iv je koˇrenem tohoto polynomu. Je-li koˇren ξ = u + iv k-n´ asobn´ y, je i koˇren ξ¯ = u − iv k-n´ asobn´ y. ¯ = (x − u − iv)(x − u + iv) = (x − u)2 + v 2 a to je Podotknˇeme, ˇze (x − ξ)(x − ξ) reáln´ y kvadratick´ y polynom. Rozklad re´ aln´ eho polynomu v re´ aln´ em oboru. Shodnˇe s pˇredcházej´ıc´ı vˇetou plyne z D’Alembertovy vˇety ihned z´ avˇer: aln´ y polynom stupnˇe n ≥ 1. Nechˇt p(x) = α0 + α1 x + α2 x2 + · · · + αn xn je re´ ˇ alné koˇreny, kaˇzd´ y s n´ asobnost´ı tr a Necht ξr , r = 1, 2, . . . , j jsou vˇsechny jeho re´ arn´ı koˇreny, kaˇzd´ y nechˇt ξs = us + ivs , s = 1, 2, . . . , k jsou vˇsechny jeho imagin´ s n´ asobnost´ı qs . Potom plat´ı p(x) =αn (x − ξn )t1 · (x− ξ2)t2 · · · (x − ξj )tj · q1

2

· (x − u1 ) + v12

2

· (x − u2 ) + v22

q2

qk 2 · · · (x − uk ) + vk2 ,

(7.3)

pˇriˇcemˇz t1 + t2 + · · · + tj + 2 (q1 + q2 + · · · + qk ) = n.

2

yv´ ame kvadratick´ ymi koˇrenov´ ymi ˇciniteli a V´ yrazy (x − us ) + vs2 v (7.3) naz´ samotn´ y vzorec (7.3) naz´ yv´ ame rozkladem re´ alného polynomu v re´ alném oboru. Re´ aln´ y racion´ aln´ı v´ yraz. Pod´ıl dvou re´ aln´ ych polynom˚ u naz´ yv´ ame re´ aln´ ym p(x) n polynoracion´ aln´ım v´ yrazem. Jestliˇze v reálném racionáln´ım v´ yrazu q(x) je stupeˇ mu p(x) menˇs´ı neˇz stupeˇ n polynomu q(x), potom re´ aln´ y racion´ aln´ı v´ yraz se naz´ yv´ a re´ aln´ y ryz´ı racion´ aln´ı v´ yraz. Plat´ı vˇeta, ˇze kaˇzd´ y re´ aln´ y racion´ aln´ı v´ yraz lze vyj´ adˇrit jako souˇcet re´ alného polynomu a re´ alného ryz´ıho racion´ aln´ıho v´ yrazu. Rozklad re´ aln´ eho ryz´ıho racion´ aln´ıho v´ yrazu na parci´ aln´ı zlomky. V dalˇs´ı ˇcásti, zejména v kapitole o integrov´ an´ı, hraje d˚ uleˇzitou roli n´ asleduj´ıc´ı vˇeta: p(x) je re´ aln´ y ryz´ı racion´ aln´ı v´ yraz a nechˇt polynom q(x) stupnˇe n m´ a Nechˇt q(x) v re´ alném oboru rozklad q(x)

=

t

t

t

αn (x − ξ1 ) 1 (x − ξ2 ) 2 · · · (x − ξj ) j · q1 q2 q (x − u2 )2 + v22 · · · (x − uk )2 + vk2 k , · (x − u1 )2 + v12

pˇriˇcemˇz t1 + t2 + · · · + 2(q1 + q2 + · · · + qk ) = n. 22

Potom existuj´ı re´ aln´ a ˇc´ısla Ars , Mrs , Nrs , v celkovém poˇctu n, takov´ a, ˇze plat´ı r(x)

=

A11 x−ξ1

+

A12 (x−ξ1 )2

+···+

A1t1 (x−ξ1 )t1

+. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A

j1 + x−ξ + j

Aj2 (x−ξj )2

M11 x+N11 + (x−u 2 + 2 1 ) +v 1

+···+

Ajtj

(x−ξj )tj

M12 x+N12 [(x−u1 )2 +v12 ]2

+···+

M1q1 x+N1q1 [(x−u1 )2 +v12 ]q1

+. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mk1 x+Nk1 + (x−u 2 + 2 k ) +v 1

Mk2 x+Nk2

2

[(x−uk )2 +vk2 ]

+···+

Mkqk x+Nkqk

[(x−uk )2 +vk2 ]

qk

V´ yrazy A (x − ξ)r

Mx + N s [(x − u)2 + v 2 ]

,

se naz´ yvaj´ı parci´ aln´ı zlomky a samotn´ y vzorec pak rozklad na parci´ aln´ı zlomky.

´ ´ GEOMETRIE. C. UVOD DO ANALYTICKE ´ VEKTORY. 8. GEOMETRICKE Kart´ ezsk´ a soustava souˇ radnic. Zvolme v prostoru tˇri navzá jem kolmé pˇr´ımky ym bodem O a povaˇzujme je za ˇc´ıselné osy s jednou Ox , Oy , Oz procházej´ıc´ı spoleˇcn´ ˇ ˇ a touˇze jednotkou. C´ıselné osy orientujme (tj. uvedme, které poloosy jsou kladné a které záporné) takto: osy Ox , Oy libovolnˇe, osu Oz tak, ˇze pozorujeme-li osy Ox , Oy z nˇekterého bodu kladné ˇcásti osy Oz , musela by kladn´ a ˇcást osy Ox opsat kladnˇe orientovan´ y (tj. proti smˇeru ot´ aˇcen´ı hodinov´ ych ruˇciˇcek) u ´hel π/2, aby poprvé ˇ splynula s kladnou ˇcást´ı osy Oy . R´ık´ ame pak, ˇze jsme vytvoˇrili pravo´ uhlou pravotoˇcivou soustavu souˇradnic. Podobnˇe bychom mohli definovat levotoˇcivou soustavu. Budeme pracovat pouze v pravo´ uhlé pravotoˇcivé soustavˇe, kterou kr´ atce naz´ yv´ ayme kartézskou soustavou souˇradnic. Pˇr´ımky Ox , Oy , Oz pak nazveme souˇradnicov´ mi osami a roviny urˇcené dvojicemi souˇradnicov´ ych os (Ox , Oy ), (Oy , Oz ), (Ox , Oz ) nazveme souˇradnicov´ ymi rovinami (p˚ udorysnou, n´ arysnou a bokorysnou). Jestliˇze z bodu A v prostoru spust´ıme kolmice na ˇc´ıselné osy Ox , Oy , Oz , potom jejich a naz´ yv´ ame prvn´ı (x-ovou), druhou paty P, Q, R odpov´ıdaj´ı ˇc´ısl˚ um a1 , a2 , a3 , kter´ (y-ovou) a tˇret´ı (z-ovou) souˇradnic´ı bodu A a oznaˇcujeme A = (a1 , a2 , a3 ). Pro kaˇzdé dva r˚ uzné body v prostoru dostaneme dvˇe r˚ uzné (uspoˇra´dané) trojice ˇc´ısel (souˇradnic) a opaˇcnˇe, dvˇema r˚ uzn´ ym trojic´ım odpov´ıdaj´ı dva r˚ uzné body. Prostor, ve kterém jsme zavedli kartézskou soustavu souˇradnic, kr´ atce kartézsk´ y prostor, lze ych ˇc´ısel tedy povaˇzovat za trojrozmˇern´ y vektorov´ y prostor V3 nad oborem reáln´ a jeho body za algebraické vektory dimense 3, pokud ovˇsem definujeme rovnost dvou vektor˚ u, jejich souˇcet a souˇcin re´ alného ˇc´ısla s vektorem tak, jak je uvedeatce naz´ yv´ ame kartézskou no ve ˇctvrté kapitole. Souˇradnicovou rovinu (Ox , Oy ) kr´ rovinou. Opˇet bychom se snadno pˇresvˇedˇcili, ˇze ji lze povaˇzovat za dvojrozmˇern´ y udorysny vˇsak m˚ uˇzeme pochopitelnˇe intervektorov´ y prostor V2 . Vˇsechny body p˚ pretovat také jako body kartézského prostoru, jejichˇz tˇret´ı souˇradnice je nulov´ a. A 23

tuto interpretaci budeme vˇetˇsinou pouˇz´ıvat. Podobnˇe, vˇsechny body osy Ox m˚ uˇzeme interpretovat jako body kartézského prostoru, jejichˇz druh´ a a tˇret´ı souˇradnice jsou nulové. Euklidovsk´ y prostor. Jestliˇze v kartézském prostoru, shodnˇe s Pythagorovou vˇetou, zavedeme vzdálenost dvou bod˚ u A = (a1 , a2 , a3 ), B = (b1 , b2 , b3 ) vztahem 2 2 2 d(A, B) = (b1 − a1 ) + (b2 − a2 ) + (b3 − a3 ) , potom ˇr´ık´ ame, ˇze jsme kartézsk´ y prostor metrizovali euklidovskou vzd´ alenost´ı a nazveme jej euklidovsk´ ym prostorem R3 . Poznamenejme, ˇze euklidovskou vzd´ alenost lze formálnˇe zavést v kaˇzdém nych ˇc´ısel vztahem rozmˇerném vektorovém prostoru Vn nad oborem reáln´ 2 2 2 d(a, b) = (b1 − a1 ) + (b2 − a2 ) + · · · + (bn − an ) , kde a = [a1 , a2 , · · · , an ],

b = [b1 , b2 , · · · , bn ].

Vektory ve fyzice. Ve fyzice a v technick´ ych vˇedách se vyskytuj´ı veliˇciny r˚ uzného charakteru. Ty, které jsou charakterizov´ any pouze velikost´ı (a samozˇrejmˇe rozmˇerem a fyzikáln´ım v´ yznamem) naz´ yv´ ame skal´ arn´ımi veliˇcinami. Jsou to napˇr´ıklad ˇcas, teplota atd. Pro jejich popis se uˇz´ıvaj´ı ˇc´ısla. Ty veliˇciny, které jsou kromˇe velikosti, rozmˇeru a fyzikáln´ıho v´ yznamu charakterizovány nav´ıc smˇerem a orientac´ı naz´ yv´ ame vektorov´ ymi veliˇcinami. Jsou to napˇr´ıklad s´ıla, okamˇzit´ a rychlost atd. Pro jejich popis se pouˇz´ıvaj´ı tak zvané volné (geometrické) vektory, v´ azané vektory a klouzavé vektory. Tyto pojmy si v dalˇs´ıch ˇcástech vysvˇetl´ıme. −→ 8.6. Orientovan´ au ´ seˇ cka. Orientovanou u ´seˇckou AB v euklidovském prostoru u A = (a1 , a2 , a3 ), B = R3 rozum´ıme nejkratˇs´ı spojnici uspoˇra´dané dvojice (A, B) bod˚ yv´ ame poˇc´ ateˇcn´ım, bod B koncov´ ym bodem (b1 , b2 , b3 ) tohoto prostoru. Bod A naz´ −→ −→ ˇ u ´seˇcky. O u ´seˇcce BA pak ˇr´ık´ ame, ˇze je orientov´ ana opaˇcnˇe neˇz u ´seˇcka AB. C´ısla yv´ ame prvn´ı, druhou a tˇret´ı souˇradnic´ı orientované u ´seˇcky b1 −a1 , b2 −a2 , b3 −a3 naz´ −→ −→ y bod B u ´seˇcky AB a p´ıˇseme AB = (b1 − a1 , b2 − a2 , b3 − a3 ). V pˇr´ıpadˇe, kdy koncov´ −→ spl´ yv´ a s jej´ım poˇcáteˇcn´ım bodem A, tj. B = A, potom orientovan´ au ´seˇcka AB se ˇ ıslo redukujedo jednoho bodu a m´ a zˇrejmˇe vˇsechny tˇri souˇradnice nulové. C´ −→ 2 2 2 |AB| = (b1 − a1 ) + (b2 − a2 ) + (b3 − a3 ) −→ naz´ yv´ ame velikost´ı (délkou) u ´seˇcky AB , kde pro pˇrehlednost jsme pouˇzili pouze kartézskou rovinu). −→ Vˇsimnˇeme si, ˇze kaˇzdá orientovan´ au ´seˇcka CD, kde C = (c1 , c2 , c3 ), −→ a vznikne rovnobˇeˇzn´ ym posunut´ım u ´seˇcky AB má stejné souD = (d1 , d2 , d3 ), kter´ ˇradnice, tj. d1 − c1 = b1 − a1 , d2 − c2 = b2 − a2 , d3 − c3 = b3 − a3 . Mezi tyto −→ u ´seˇcky patˇr´ı i orientovan´ a u ´seˇcka OU , kde O = (0, 0, 0)), U = (u1 , u2 , u3 ), tedy −→ −→ ´seˇcky DC a U O maj´ı nau1 = b1 − a1 , u2 = b2 − a2 , u3 = b3 − a3 . Orientované u opak souˇradnice opaˇcné. Vˇsimnˇeme si dále, ˇze vˇsechny tyto u ´seˇcky jsou navz´ a jem 24

rovnobˇeˇzné, stejnˇe dlouhé (maj´ı tutéˇz velikost rovnou ˇc´ıslu u21 + u22 + u23 ) a vyznaˇcuj´ı tent´ yˇz smˇer. Naopak, orientovan´ au ´seˇcka, kter´ a mezi nˇe nepatˇr´ı, m´ a nutnˇe jiné souˇradnice v1 , v2 , v3 , tj. (v1 , v2 , v3 ) = (u1 , u2 , u3 ). Geometrick´ y vektor. Mnoˇzinu vˇsech orientovan´ ych u ´seˇcek v euklidovském prostoru R3 , které maj´ı jedny a tytéˇz souˇradnice v1 , v2 , v3 (v uvedeném poˇrad´ı) → v anebo také (v1 , v2 , v3 ). naz´ yv´ ame geometrick´ ym vektorem v R3 a oznaˇcujeme − −→ − → → Kaˇzdou orientovanou u ´seˇcku AB ∈ v budeme naz´ yvat reprezentantem vektoru − v → s poˇca ´tkem A, nebo také vektorem − v s poˇc´ ateˇcn´ım bodem A a naopak, o vektoru −→ − → v budeme ˇr´ıkat, ˇze je indukov´ an orientovanou u ´seˇckou AB. Reprezentanta vektoru − → → v s poˇcátkem O = (0, 0, 0) budeme naz´ yvat polohov´ ym reprezentantem vektoru − v (ve fyzice se ˇcasto naz´ yv´ a polohov´ ym vektorem). Shodnˇe s definic´ı rovnosti dvou → → v = (v1 , v2 , v3 ), mnoˇzin ˇr´ık´ ame o dvou geometrick´ ych vektorech − u = (u1 , u2 , u3 ), − − → − → ˇze se sobˇe rovnaj´ı a p´ıˇseme u = v , jestliˇze u1 = v1 , u2 = v2 , u3 = v3 . Souˇctem → → dvou geometrick´ ych vektor˚ u− u = (u1 , u2 , u3 ), − v = (v1 , v2 , v3 ) naz´ yv´ ame geomet− → − → → → rick´ y vektor, kter´ y oznaˇcujeme u + v a kter´ y definujeme vztahem − u +− v = (u1 + v1 , u2 + v2 , u3 + v3 ). Souˇcinem re´ alného ˇc´ısla α a geometrického vektoru − → → u = (u1 , u2 , u3 ) naz´ yv´ ame geometrick´ y vektor, kter´ y oznaˇcujeme α− u a kter´ y − → definujeme vztahem α u = (αu1 , αu2 , αu3 ). Rozd´ılem dvou geometrick´ ych vektor˚ u − → − → u = (u1 , u2 , u3 ), v = (v1 , v2 , v3 ) naz´ yv´ ame geometrick´ y vektor, kter´ y oznaˇcujeme − → − → − → − → − → − → u − v a kter´ y definujeme vztahem u − v = u + (−1) v . Vztah mezi geometrick´ ym a algebraick´ ym vektorem. Geometrick´ y vektor s uvedenou definic´ı sˇc´ıt´ an´ı a n´ asoben´ı re´ aln´ ym ˇc´ıslem lze povaˇzovat za speciáln´ı pˇr´ıpad trojrozmˇerného algebraického re´ alného vektoru, pˇresnˇeji ˇreˇceno, za jeho ymi vektory plat´ı geometrickou interpretaci v R3 . Proto pro operace s geometrick´ − → − → − → − vˇsechna pravidla pro algebraické vektory (napˇr. u + v = v + → u atd.). − → − → − → − → Nechˇt i , j , k jsou geometrické vektory v R3 dané vztahy i = (1, 0, 0), − → − → → y geometrick´ y vekj = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1) a nechˇt − v = (v1 , v2 , v3 ) je libovoln´ tor. Potom z definice souˇctu vektor˚ u a souˇcinu reálného ˇc´ısla s vektorem ihned − → − → − → → − → v je line´ arn´ı kombinac´ı b´ azov´ ych plyne v = v1 i + v2 j + v3 k , tj. vektor − − → − → − → − → vektor˚ u i , j , k a ˇc´ısla v1 , v2 , v3 jsou souˇradnicemi vektoru v vzhledem k b´ azi → − → − → − { i , j , k }. Skal´ arn´ı souˇ cin geometrick´ ych vektor˚ u. Geometrick´ y vektor je speci´ aln´ım − → pˇr´ıpadem algebraického vektoru. Proto i pro geometrické vektory u = (u1 , u2 , u3 ), − → → → → → v = (v1 , v2 , v3 ) definujeme jejich skal´ arn´ı souˇcin − u ·− v vztahem − u ·− v = u1 v1 + azat: u2 v2 + u3 v3 . Snadno lze dok´ → → → v = (v , v , v ), − w = (w , w , w ) jsou libovolné geoJestliˇze − u = (u , u , u ), − 1

2

3

1

2

3

1

2

metrické vektory a α je libovolné re´ alné ˇc´ıslo, potom plat´ı − → − → − → − → a) u · v = v · u → → → → b) (α− u)·− v = α(− u ·− v) − → − → − → − → → → → c) ( u + v ) · w = u · − w +− v ·− w 25

3

→ − → → → u ·− u , kde − u je velikost vektoru − u= − u , tj., shodnˇe s definic´ı veli→ → u = u21 + u22 + u23 . kosti u ´seˇcky, − d)

Odchylka dvou geometrick´ ych vektor˚ u. Dvˇe polopˇr´ımky p, q se spoleˇcn´ ym ´ poˇcátkem sv´ıraj´ı dva u ´hly jejichˇz souˇcet je 2π. Uhlem polopˇr´ımek p, q naz´ yv´ ame vˇzdy ten u ´hel ω pro kter´ y plat´ı 0 ≤ ω ≤ π. → → Odchylkou dvou nenulov´ ych geometrických vektor˚ u − u ,− v naz´ yv´ ame u ´hel ω ∈ −→ −→ → → 0, π polopˇr´ımek OU, OV , kde OU , OV jsou polohov´ı reprezentanti vektor˚ u− u ,− v . − → − → Jestliˇze ω = π/2, potom o vektorech u , v ˇr´ık´ ame, ˇze jsou orthogon´ aln´ı (kolmé). Vztah mezi odchylkou a skal´ arn´ım souˇ cinem vektor˚ u. V aplikac´ıch je velmi d˚ uleˇzitá formule: → → v = (v1 , v2 , v3 ) jsou libovolné nenulové vektory a ω je Jestliˇze − u = (u1 , u2 , u3 ), − jejich odchylka, potom plat´ı − → → → → u ·− v = |− u ||− v | cos ω Poznamenejme, ˇze odtud ihned plyne: Skal´ arn´ı souˇcin dvou nenulov´ ych geometrických vektor˚ u je roven nule tehdy a jen tehdy, kdyˇz vektory jsou orthogon´ aln´ı. → − → − → − Smˇ erov´ e kosiny vektoru. Snadnmo se pˇresvˇedˇc´ıme, ˇze orty i , j , k jsou → navz´ a jem orthogon´ aln´ı a jednotkové (tj., jejich velikost je rovna jedné). Nechˇt − v = (v1 , v2 , v3 ) je libovoln´ y nenulov´ y geometrick´ y vektor. Kosiny odchylek, které sv´ır´ a − → − → vektor v s jednotliv´ ymi ortami se naz´ yvaj´ı smˇerov´ ymi kosiny vektoru v a oznaˇcuj´ı se cos α, cos β, cos γ. V aplikac´ıch se ˇcasto pouˇz´ıv´ a vzorec − → v = → |− v|

v1 v2 v3 , →, − → |− v | |− v | |→ v|

= (cos α, cos β, cos γ)

Vektorov´ y souˇ cin vektor˚ u. Moment s´ıly a ˇrada dalˇs´ıch pojm˚ u v aplikac´ıch − → − → n´ as vedou k n´ asleduj´ıc´ı definici: Nechˇt u = (u1 , u2 , u3 ), v = (v1 , v2 , v3 ) jsou nenulové geometrické vektory a ω jejich odchylka. Vektorov´ ym souˇcinem vektor˚ u − → − → − → u , v (v tomto poˇrad´ı) rozum´ıme geometrick´ y vektor w takov´ y, ˇze − → − → a) je kolm´ y na oba vektory u , v , → → → → b) jeho velikost |− w | je d´ ana vztahem |− w | = |− u ||− v | sin ω, → → → c) uspoˇra´dan´ a trojice polohov´ ych reprezentant˚ u vektor˚ u− u ,− v ,− w tvoˇr´ı pravotoˇciv´ y systém, kter´ y je definov´ an obdobnˇe jako pravotoˇciv´ a soustava souˇradnic s t´ım rozd´ılem, ˇze ω ∈ 0, π. → → → Vektor − w se ˇcasto oznaˇcuje − u ×− v (v tomto poˇrad´ı). → → Vektorov´ y souˇcin definujeme i v pˇr´ıpadˇe, kdy nˇekter´ y z vektor˚ u − u ,− v je nulov´ y. → → V tomto pˇr´ıpadˇe pˇr´ımo z definice poloˇz´ıme − u ×− v = (0, 0, 0). Z vlastnosti b) ihned plyne, ˇze 26

→ → vektorov´ y souˇcin dvou nenulov´ ych vektor˚ u − u ,− v je nulov´ ym vektorem tehdy a → → jen tehdy, kdyˇz jejich odchylka je rovna nule, tj., kdyˇz − v = α− u , kde α je re´ alné − → − → ˇc´ıslo.V tomto pˇr´ıpadˇe ˇr´ık´ ame, ˇze vektory u , v jsou koline´ arn´ı. Z vlastnosti b) d´ ale ihned plyne geometrick´ a interpretace velikosti vektorového souˇcinu: → → velikost vektorového souˇcinu − u ×− v je ˇc´ıselnˇe rovna obsahu rovnobˇeˇzn´ıku vy−→ − −→ → u , AC ∈ − v. tvoˇreného u ´seˇckami AB, AC, kde AB ∈ → Vlastnosti vektorov´ eho souˇ cinu. Snadno lze dok´ azat vˇetu: − → − → − → Jestliˇze u = (u1 , u2 , u3 ), v = (v1 , v2 , v3 ), w = (w1 , w2 , w3 ) jsou libovolné geometrické vektory a α, β jsou libovoln´ a re´ aln´ a ˇc´ısla, potom plat´ı − → − → − → − → a) u × v = −( v × u ), tzv. antikomutativn´ı z´ akon, − → − → − → − → b) α u × β v = αβ( u × v ), → → → → → → → c) (− u +− v )×− w =− u ×− w +− v ×− w , tzv. prvn´ı distributivn´ı z´ akon, − → − → − → − → − → − → − → d) u × ( v + w ) = u × v + u × w , tzv. druh´ y distributivn´ı z´ akon. V´ ypoˇ cet souˇ radnic vektorov´ eho souˇ cinu. Plat´ı vˇeta: → → v = (v1 , v2 , v3 ) geometrické vektory, potom pro jejich Jsou–li − u = (u1 , u2 , u3 ), − − → − → vektorov´ y souˇcin u × v plat´ı − → → u ×− v = (u2 v3 − u3 v2 , u3 v1 − u1 v3 , u1 v2 − u2 v1 ) Tento vzorec lze také zapsat ve tvaru − → − → − → i j k − → → u ×− v = u1 u2 u3 v v2 v3 1 Objem rovnobˇ eˇ znostˇ enu a ˇ ctyˇ rstˇ enu. Objemy vr rovnobˇeˇznostˇenu a objem ych u ´seˇckami AB, AC, AD jsou d´ any vztahy vc ˇctyˇrstˇenu zadan´ → → → vr = |− u · (− v ×− w )|,

vc =

1 − → → u · (− v ×− w ) → 6

→ → → v = (v1 , v2 , v3 ), − w = Sm´ıˇ sen´ y souˇ cin vektor˚ u. Nechˇt − u = (u1 , u2 , u3 ), − − → → → (w1 , w2 , w3 ) jsou libovolné geometrické vektory. Sm´ıˇsen´ ym souˇcinem vektor˚ u u ,− v ,− w − → − → − → (v tomto poˇrad´ı) rozum´ıme ˇc´ıslo, které znaˇc´ıme [ u v w ] a které definujeme vztahem − → → → → → → u − v − w = − u · (− v ×− w) V´ ypoˇ cet sm´ıˇ sen´ eho souˇ cinu. Sm´ıˇsen´ y souˇcin poˇc´ıt´ ame ze vzorce u 1 u2 u3 → → → [− u − v − w ] = v1 v2 v3 w1 w2 w3 27

Vlastnosti sm´ıˇ sen´ eho souˇ cinu. Snadno lze dok´ azat: − → − → − → → Jestliˇze u = (u1 , u2 , u3 ), v = (v1 , v2 , v3 ), w = (w1 , w2 , w3 ), − z = (z1 , z2 , z3 ) jsou libovolné geometrické vektory a α je libovolné re´ alné ˇc´ıslo, potom plat´ı → → → → → → → → → a) [− u − v − w ] = [− v − w− u ] = [− w− u − v] − → − → − → − → − → − → − → − → → → b) [ u + v w z ] = [ u w z ] + [ v − w− z ] (distributivn´ı z´ akon) − → − → − → − → − → − → c) [α u v w ] = α[ u v , w ] d) Jsou-li alespoˇ n dva vektory sobˇe rovny, potom sm´ıˇsen´ y souˇcin je roven nule, − → − → − → napˇr. [ u u v ] = 0. ´ GEOMETRIE V PROSTORU. 9. ANALYTICKA Parametrick´ e rovnice pˇ r´ımky. O pˇr´ımce v prostoru ˇrekneme, ˇze m´ a smˇer −→ − → nenulového vektoru s = (s1 , s2 , s3 ), jestliˇze obsahuje orientovanou u ´seˇcku CD −→ → takovou, ˇze CD ∈ − s . Plat´ı vˇeta: any bod A = (a1 , a2 , a3 ) a nenulov´ y Nechˇt v euklidovském prostoru R3 jsou zad´ − → geometrick´ y vektor s = (s1 , s2 , s3 ). Potom pro kaˇzd´ y bod P = (p1 , p2 , p3 ) leˇz´ıc´ı na → pˇr´ımce q proch´ azej´ıc´ı bodem A a maj´ıc´ı smˇer vektoru − s existuje pr´ avˇe jedno re´ alné ˇc´ıslo t takové, ˇze plat´ı − → → → p = − a + t− s, (9.1) → → a = (a1 , a2 , a3 ) jsou geometrické vektory indukované orienkde − p = (p1 , p2 , p3 ) a − −→ −→ tovan´ ymi u ´seˇckami OP a OA a naopak, pro kaˇzdé re´ alné ˇc´ıslo t bod P dan´ y vztahem (1) leˇz´ı na pˇr´ımce q. Jestliˇze bod P neleˇz´ı na pˇr´ımce q, potom ˇza ´dné takové ˇc´ıslo t neexistuje. ˇ ıslo Rovnici (1) naz´ yv´ ame parametrickou rovnic´ı pˇr´ımky q ve vektorovém tvaru. C´ t se naz´ yv´ a parametr. Porovn´ ame-li v rovnici (1) jednotlivé sloˇzky vektor˚ u a oznaˇc´ıme-li x, y, z m´ısto p1 , p2 , p3 dostaneme rovnice x = a1 + ts1 ,

y = a2 + ts2 ,

z = a3 + ts3 ,

(9.2)

které se naz´ yvaj´ı parametrické rovnice pˇr´ımky. Kanonick´ e rovnice pˇ r´ımky. Za pˇredpokladu si = 0, i = 1, 2, 3 vyeliminov´ an´ım parametru t z parametrick´ ych rovnic (2) dost´ av´ ame tzv. kanonické rovnice pˇr´ımky q: y − a2 z − a3 x − a1 = = s1 s2 s3 Vektorov´ a rovnice roviny urˇ cen´ e norm´ alov´ ym smˇ erem. V´ıme, ˇze libovoln´ a pˇr´ımka q je kolm´ a na rovinu ρ tehdy a jen tehdy, kdyˇz je kolmá na kaˇzdou pˇr´ımku leˇz´ıc´ı v rovinˇe. Odtud ihned plyne vˇeta: any bod A = (a1 , a2 , a3 ) a nenulov´ y Nechˇt v euklidovském prostoru R3 jsou zad´ − → geometrick´ y vektor n = (n1 , n2 , n3 ). Potom pro kaˇzd´ y bod P = (p1 , p2 , p3 ) leˇz´ıc´ı − → v rovinˇe ρ proch´ azej´ıc´ı bodem A a kolmé na vektor n plat´ı → → → (− p −− a )·− n = 0 28

,

(9.3)

→ → kde − p = (p1 , p2 , p3 ) a − a = (a1 , a2 , a3 ) jsou geometrické vektory indukované orien−→ −→ tovan´ ymi u ´seˇckami OP a OA. Jestliˇze bod P neleˇz´ı v rovinˇe ρ, potom pro nˇej vztah (3) neplat´ı. Rovnici (3) naz´ yv´ ame vektorovou rovnic´ı roviny urˇcené kolm´ ym (norm´ alov´ ym) smˇerem. Obecn´ a rovnice roviny. Rozep´ıˇseme–li skal´ arn´ı souˇcin (3) ve sloˇzkách a p´ıˇseme– li x, y, z m´ısto p1 , p2 , p3 , dostaneme n1 x + n2 y + n3 z + d = 0 kde

,

→ → n ·− a d = −(n1 a1 + n2 a2 + n3 a3 ) = −−

(9.4)

(9.5)

Rovnice (4) se naz´ yv´ a obecn´ a, nebo také norm´ alov´ a rovnice roviny. Podotknˇeme, ˇze z rovnice (4) roviny ρ ihned plyne: Jestliˇze poˇc´ atek O = (0, 0, 0) leˇz´ı v rovinˇe ρ, potom d = 0 a naopak, jestliˇze d = 0, potom rovina ρ proch´ az´ı poˇc´ atkem. Obecn´ a rovnice roviny v u ´ sekov´ em tvaru. Pˇredpokl´ adejme, ˇze ˇc´ıslo d v obecné rovnici roviny (4) je r˚ uzné od nuly. Po vydˇelen´ı rovnice ˇc´ıslem −d a po zaveden´ı oznaˇcen´ı (pˇredpokl´ adejme, ˇze ni = 0, i = 1, 2, 3) p = − nd1 , q = − nd2 , r = − nd3 , rovnice (4) nabude tak zvan´ yu ´sekov´ y tvar x y z + + = 1. p q r ´ ´ Uhel dvou pˇ r´ımek v prostoru. Uhel ϕ ∈ 0, π2 , kter´ y sv´ıraj´ı pˇr´ımky p, q dané − → − → smˇerov´ ymi vektory s , r je definov´ an vztahem → → |− s ·− r| cos ϕ = − → |→ s | · |− r| ´ ´ Uhel pˇ r´ımky a roviny. Uhlem pˇr´ımky q a roviny ρ naz´ yv´ ame u ´hel, kter´ y sv´ır´ a dan´ a pˇr´ımka q se sv´ ym pravo´ uhl´ ym pr˚ umˇetem q do roviny ρ. Snadno se pˇresvˇedˇc´ıme, ˇze plat´ı vˇeta: → ´ Uhel ϕ ∈ 0, π2 , kter´ y sv´ır´ a pˇr´ımka q maj´ıc´ı smˇer vektoru − s s rovinou ρ maj´ıc´ı − → norm´ alov´ y vektor n , je d´ an vztahem → → |− n ·− s| sin ϕ = − → |→ n | · |− s|

.

´ ´ Uhel dvou rovin. Uhlem dvou rovin ρ a τ naz´ yv´ ame u ´hel, kter´ y sv´ıraj´ı norm´ aly dan´ ych rovin. Zˇrejmˇe plat´ı: 29

→ → Jestliˇze − m a− n jsou norm´ alové smˇery rovin ρ a τ , potom u ´hel ϕ, kter´ y sv´ıraj´ı roviny ρ a τ je d´ an vztahem → → |− n ·− m| cos ϕ = − → → | n | · |− m|

.

Vzd´ alenost bodu od roviny. Vzd´ alenost´ı bodu Q = (q1 , q2 , q3 ) od roviny ρ rozum´ıme délku v u ´seˇcky QR, kde R je kolm´ y pr˚ umˇet bodu Q do roviny ρ. Plat´ı vˇeta: Nechˇt v prostoru R3 jsou d´ any rovina ρ obecnou rovnic´ı n1 x + n2 y + n3 z + d = 0 alenost v bodu Q od roviny ρ je d´ ana vztahem a bod Q = (q1 , q2 , q3 ). Potom vzd´ v=

|n1 q1 + n2 q2 + n3 q3 + d| n21 + n22 + n23

.

Vzd´ alenost bodu od pˇ r´ımky. Vzd´ alenost´ı v bodu Q = (q1 , q2 , q3 ) od pˇr´ımky r v prostoru R3 rozum´ıme délku u ´seˇcky QP , kde P je kolm´ y pr˚ umˇet bodu Q na pˇr´ımku r. Plat´ı vˇeta: Nechˇt v prostoru R3 jsou d´ any bod Q = (q1 , q2 , q3 ) a pˇr´ımka r proch´ azej´ıc´ı bodem − → A = (a , a , a ) a maj´ıc´ı smˇer vektoru s . Potom vzd´ alenost v bodu Q od pˇr´ımky r 1

2

3

je d´ ana vztahem

→ |(q1 − a1 , q2 − a2 , q3 − a3 ) × − s| v= − → |s|

.

V´ alcov´ e plochy. Nechˇt jsou d´ any kˇrivka k leˇz´ıc´ı v rovinˇe ρ a pˇr´ımka q, kter´ a nen´ı rovnobˇeˇzná s touto rovinou. Potom vˇsechny pˇr´ımky rovnobˇeˇzné s pˇr´ımkou q a proch´ azej´ıc´ı body kˇrivky k vytvoˇr´ı plochu, kterou naz´ yv´ ame v´ alcovou plochou. V pˇr´ıpadˇe, kdy kˇrivka k leˇz´ı v nˇekteré ze souˇradnicov´ ych rovin a pˇr´ımka q je na tuto rovinu kolm´ a, v´ alcovou plochu naz´ yv´ ame kolmou v´ alcovou plochou. Z kolm´ ych v´ alcov´ ych ploch jsou pak nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı ty, kdy kˇrivkou k je kuˇzeloseˇcka (kruˇznice, elipsa, hyperbola, parabola). Potom hovoˇr´ıme o kruhové, eliptické, hyperbolické a parabolické válcové ploˇse. Kuˇ zelov´ e a rotaˇ cn´ı plochy. Nechˇt jsou d´ any kˇrivka k leˇz´ıc´ı v rovinˇe ρ a bod V , kter´ y v této rovinˇe neleˇz´ı. Potom vˇsechny spojnice bodu V s body kˇrivky k vytvoˇr´ı plochu, kterou naz´ yv´ yme kuˇzelovou plochou. Nechˇt jsou d´ any kˇrivka k leˇz´ıc´ı v rovinˇe ρ a pˇr´ımka q, kter´ a rovnˇeˇz leˇz´ı v této rovinˇe. Jestliˇze rovina ρ rotuje kolem pˇr´ımky q, potom kˇrivka k vytv´ aˇr´ı plochu, kterou naz´ yv´ ame rotaˇcn´ı plochou s osou rotace q. Kvadriky. Vˇetˇsina ploch nejˇcastˇeji uvaˇzovan´ ych v technické praxi m´ a rovnici tvaru A1 x2 + A2 y 2 + A3 z 2 + B1 xy + B2 xz + B3 yz + ax + by + cz + d = 0, 30

kde A1 , A2 , A3 , B1 , B2 , B3 , a, b, c, d jsou zadan´ a reáln´ a ˇc´ısla. Jestliˇze alespoˇ n jedno uzné od nuly, potom plocha se naz´ yv´ a kvadratick´ a plocha nebo z ˇc´ısel Ai , Bi je r˚ kr´ atce kvadrika.

´ ´ ˇ D. DIFERENCIALN I POCET FUNKC´ I ´ ˇ ´ JEDNE PROMENNE. ´ PROMENN ˇ ´ 10. FUNKCE JEDNE E Obecn´ y pojem zobrazen´ı. Mˇejme dvˇe nepr´ azdné mnoˇziny A, B. Zobrazen´ım mnoˇziny A do mnoˇziny B rozum´ıme pˇredpis (pravidlo), kter´ y kaˇzdému prvku a mnoˇziny A pˇriˇrad´ı nˇejak´ y jedin´ y prvek b z mnoˇziny B. Pojem pˇredpis mus´ıme upˇresnit. Definujeme pˇresnˇe: Zobrazen´ım f mnoˇziny A do mnoˇziny B rozum´ıme mnoˇzinu C vˇsech uspoˇra´dan´ ych dvojic (a, b) takov´ ych, ˇze a ∈ A, b ∈ B a pˇritom je splnˇena podm´ınka: kaˇzd´ y prvek mnoˇziny A se vyskytuje pouze v jedné dvojici patˇr´ıc´ı do C. Skuteˇcnost, ˇze f je zobrazen´ım mnoˇziny A do mnoˇziny B se ˇcasto zapisuje takto: f : a ∈ A −→ b ∈ B anebo kr´ atce f : A −→ B,, eventu´ alnˇe f : a −→ b.. Ve dvojici (a, b) prvn´ı prvek a se naz´ yv´ a vzorem prvku b, druh´ y prvek b obrazem prvku a, nebo také hodnotou zobrazen´ı f v bodˇe a a oznaˇcuje se f (a). M´ısto zápisu (a, b) se pak pouˇz´ıv´ a zápis (a, f (a)) nebo také b = f (a). Vˇsechny prvky z mnoˇziny B, které se vyskytuj´ı alespoˇ n v jedné dvojici (a, b) tvoˇr´ı podmnoˇzinu mnoˇziny B. Tato podmnoˇzina se naz´ yv´ a obor hodnot zobrazen´ı f a ˇcasto se oznaˇcuje H(f ), nebo také f (A). Plat´ı tedy Prvek b ∈ H(f ) tehdy a jen tehdy, kdyˇz existuje (aspoˇ n jeden) prvek a ∈ A takov´ y, ˇze b = f (a). Mnoˇzina A se naz´ yv´ a definiˇcn´ı obor zobrazen´ı f a ˇcasto se oznaˇcuje D(f ). Re´ aln´ e a vektorov´ e funkce. Charakter mnoˇzin A, B m˚ uˇze b´ yt r˚ uznorod´ y. Budou n´ as zaj´ımat pouze pˇr´ıpady, kdy jejich prvky jsou a) re´ aln´ a ˇc´ısla, b) algebraické reálné vektory dimense vˇetˇs´ı neˇz jedna. Jestliˇze B = R (tj. vˇsechny prvky mnoˇziny B jsou re´ aln´ a ˇc´ısla), potom zobrazen´ı f : A −→ B naz´ yv´ ame re´ alnou funkc´ı. Jestliˇze B = Rm (tj. vˇsechny prvky mnoˇziny B jsou uspoˇra´dané m-tice reáln´ ych ˇc´ısel) a pˇritom m ≥ 2, potom zobrazen´ı naz´ yv´ ame re´ alnou vektorovou funkc´ı. Jestliˇze zobrazen´ı je re´ alnou nebo re´ alnou vektorovou funkc´ı a souˇcasnˇe A ⊂ R, eventu´ alnˇe A ⊂ Rn , potom hovoˇr´ıme o reálné nebo o reálné vektorové funkci jedné, eventu´ alnˇe n re´ aln´ ych promˇenn´ ych. Zad´ av´ an´ı funkc´ı. Reálné funkce jedné reálné promˇenné, a pouze takov´ ymi se budeme v dalˇs´ım textu zab´ yvat, mohou b´ yt zad´ any r˚ uzn´ ymi zp˚ usoby: a) pomoc´ı urˇcitého slovn´ıho popisu - vˇetˇsinou to nen´ı matematické, b) pomoc´ı tabulek, tj. uveden´ım vˇsech dvojic (a, f (a)) tvoˇr´ıc´ıch funkci, napˇr´ıklad logaritmick´ ymi tabulkami, tarifn´ımi tabulkami atd., c) pomoc´ı jednoho nebo v´ıce matematick´ ych vzorc˚ u ud´ avaj´ıc´ıch, jak poˇc´ıtat hodnoty funkc´ı v jejich libovolném vzoru, napˇr´ıklad f (α) =

α2 − 1 α−1 31

,

α = 0.

P´ısmeno α v tomto vzorci naz´ yv´ ame nez´ avisle promˇennou. Budeme se vˇetˇsinou zab´ yvat funkcemi zadan´ ymi t´ımto zp˚ usobem. V takovém pˇr´ıpadˇe vˇsak mus´ıme jeˇstˇe specifikovat jejich definiˇcn´ı obor. Dˇeláme to tak, jak vid´ıme v´ yˇse, ˇze jej pˇr´ımo uvedeme. V matematice, zejména v klasické, je pˇrijata u ´mluva, ˇze nen´ı–li definiˇcn´ı obor uveden, pak se j´ım rozum´ı tzv. pˇrirozen´ y definiˇcn´ı obor, kter´ ym je mnoˇzina vˇsech reáln´ ych ˇc´ısel pro nˇeˇz má vzorec smysl. d) pomoc´ı rovnic ud´ avaj´ıc´ıch vztah mezi vzorem a obrazem. Tyto rovnice jsou tvaru F (a, b) = 0, kde F je reáln´ a funkce dvou promˇenn´ ych zadan´ a matematick´ ymi vzorci ud´ avaj´ıc´ımi, jak poˇc´ıtat jej´ı hodnoty. O re´ alné funkci definované pr´ avˇe popsan´ ym zp˚ usobem rovnic´ı ˇr´ık´ ame, ˇze je zad´ ana implicitnˇe, nebo kr´ atce, ˇze to je implicitn´ı funkce. O funkc´ıch, které jsou zad´ any zp˚ usobem uveden´ ym v bodu c) zase ˇr´ık´ ame, ˇze jsou zad´ any explicitnˇe, nebo kr´ atce, ˇze to jsou explicitn´ı funkce. V naˇsem uˇcebn´ım textu se budeme zab´ yvat pouze funkcemi zadan´ ymi explicitnˇe a implicitnˇe. Slovo explicitn´ı budeme ˇcasto vynechávat. Pouˇzijeme-li pouze slovo funkce, potom j´ım rozum´ıme explicitnˇe zadanou re´ alnou funkci jedné promˇenné. Kart´ ezsk´ e a pol´ arn´ı souˇ radnice v rovinˇ e. V´ıme, ˇze kaˇzd´ y bod P v rovinˇe lze povaˇzovat za uspoˇra´danou dvojici re´ aln´ ych ˇc´ısel (a, b) zvan´ ych jeho kartézsk´ ymi souˇradnicemi. Prvn´ı sloˇzku ve dvojici naz´ yv´ ame x-ovou souˇradnic´ı, druhou sloˇzku y-ovou souˇradnic´ı bodu P . x-ov´ a souˇradnice je rovna orientované vzdálenosti bodu a souˇradnice pak orientované vzdálenosti bodu P od osy Ox . P od osy Oy , y-ov´ Orientovanou vzd´ alenost´ı pˇritom rozum´ıme vzdálenost se znaménkem + nebo – podle toho, zda pata kolmice spuˇstˇené na pˇr´ısluˇsnou ˇc´ıselnou osu leˇz´ı na kladné nebo z´ aporné poloose. ˇ V technické praxi ani zdaleka nevystaˇc´ıme s kartézsk´ ymi souˇradnicemi. Casto jsme nuceni pouˇz´ıvat tzv. pol´ arn´ı souˇradnice. V kartézské rovinˇe kladnou poloosu arn´ı osou a oznaˇcme ji p´ısmenem p. Bod Ox s poˇcáteˇcn´ım bodem O nazveme pol´ O nazveme p´ olem. Kaˇzdé uspoˇra´dané dvojici re´ aln´ ych ˇc´ısel (θ, r), kde r ≥ 0 ˇ pˇriˇradme v rovinˇe bod P takto: Sestrojme polopˇr´ımku q s poˇcátkem v p´ olu O a sv´ıraj´ıc´ı s pol´ arn´ı osou p orientovan´ yu ´hel (mˇeˇren´ y v radianech) rovnaj´ıc´ı se ˇc´ıslu θ. Polopˇr´ımku p povaˇzujeme pˇritom za poˇcáteˇcn´ı. Jako bod P zvolme bod leˇz´ıc´ı na polopˇr´ımce q ve vzd´ alenosti r od p´ olu. Uspoˇra´danou dvojici (θ, r) naz´ yv´ ame pol´ arn´ımi souˇradnicemi bodu P , jej´ı prvn´ı sloˇzku θ pak pol´ arn´ım u ´hlem a druhou sloˇzku r orientovanou vzd´ alenost´ı od p´ olu. Je zˇrejmé, ˇze kaˇzdé dvojici (θ, r) reáln´ ych ˇc´ısel odpov´ıd´ a pr´ avˇe jeden bod P v rovinˇe. Vztah mezi kartézsk´ ymi a pol´ arn´ımi souˇradnicemi je jednoduch´ y: x = r cos θ

,

y = r sin θ

Obecn´ yu ´ hel a jeho velikost. Nechˇt v rovinˇe jsou d´ any bod O, kruˇznice k o polomˇeru r = 1 se stˇredem v bodˇe O a dvˇe polopˇr´ımky p, q s poˇcátkem v O. Tyto dvˇe polopˇr´ımky urˇc´ı dva u ´hly α, β (menˇs´ı z nich naz´ yv´ ame odchylkou polopˇr´ımek). Jejich velikost se mˇeˇr´ı ve stupˇ nové nebo v obloukové m´ıˇre. Jednotkou stupˇ nové m´ıry je stupeˇ n, kter´ ym rozum´ıme jednu stoosmdesátinu u ´hlu vytvoˇreného opaˇcn´ ymi polopˇr´ımkami p, p . Ve vyˇsˇs´ı matematice, ve fyzice i v technick´ ych vˇedách se velikost u ´hlu uv´ ad´ı témˇeˇr v´ yhradnˇe v obloukové m´ıˇre. I v naˇsem textu tomu tak bude. Jednotkou obloukové 32

m´ıry je radian, kter´ ym rozum´ıme u ´hel vytvoˇren´ y polopˇr´ımkami p, q takov´ ymi, ˇze délka oblouˇcku P Q na jednotkové kruˇznici k je rovna jedné. Ponˇevadˇz celá délka oblouku jednotkové kruˇznice je 2π, odpov´ıd´ a 2π radian˚ u 360-ti stupˇ n˚ um a tedy 1 radian

=

360 stupˇ n˚ u ≈ 57 stupˇ n˚ u 17 minut 45 vteˇrin 2π

a opaˇcnˇe 1 stupeˇ n =

π radian˚ u 180

Funkce sinus a kosinus. Ze stˇredn´ı ˇskoly je dobˇre zn´ am pojem sinus, eventu´ alnˇe kosinus u ´hlu pro obecn´ yu ´hel ϕ zaveden´ y v minulém odstavci (mˇeˇren´ y v radianech a definovan´ y pro vˇsechna reáln´ a ˇc´ısla). ˇ Graf funkce. Nechˇt je d´ ana re´ aln´ a funkce f jedné reálné promˇenné. Casto je velmi d˚ uleˇzité graficky zn´ azornit funkci f , abychom mohli posoudit jej´ı vlastnosti. Grafické znázorˇ nov´ an´ı prov´ adéme pomoc´ı graf˚ u v kartézsk´ ych nebo v pol´ arn´ıch souˇradnic´ıch. Grafem re´ alné funkce jedné promˇenné v kartézsk´ ych souˇradnic´ıch rou A v rovinˇe R2 takov´ ych, ˇze pro jejich kartézské zum´ıme mnoˇzinu Kf vˇsech bod˚ souˇradnice (x, y) plat´ı y = f (x), tj. druh´ a souˇradnice bodu A ∈ Kf je ˇc´ıselnˇe rovna hodnotˇe funkce f v jeho prvn´ı souˇradnici. Rovnici y = f (x), x ∈ A pak naz´ yv´ ame rovnic´ı grafu funkce f v kartézsk´ ych souˇradnic´ıch (x, y), nebo kr´ atce, rovnic´ı kartézského grafu funkce f . Analogicky, grafem funkce v polárn´ıch souˇradnic´ıch (kr´ atce u P v rovinˇe R2 takov´ ych, ˇze pol´ arn´ım grafem) rozum´ıme mnoˇzinu Gf vˇsech bod˚ pro jejich pol´ arn´ı souˇradnice (θ, r) plat´ı r = f (θ). Rovnici r = f (θ) , θ ∈ A, pak naz´ yv´ ame rovnic´ı grafu funkce f v pol´ arn´ıch souˇradnic´ıch (θ, r), nebo kr´ atce, rovnic´ı pol´ arn´ıho grafu funkce f . V´ıme, ˇze reáln´ a funkce f jedné promˇenné m˚ uˇze b´ yt zad´ ana i implicitnˇe, tj. pomoc´ı rovnice ud´ avaj´ıc´ı vztah mezi vzorem a obrazem. Tato rovnice je tvaru F (a, b) = 0, kde F je reáln´ a funkce dvou promˇenn´ ych. Pro kaˇzdé ˇc´ıslo a ∈ D(f ) pˇritom plat´ı F (a, f (a)) = 0. Odtud ihned plyne, ˇze mnoˇzina vˇsech bod˚ u A s kartézsk´ ymi souˇradnicemi (x, y), {resp. s pol´ arn´ımi souˇradnicemi (θ, r)} takov´ ymi, ˇze F (x, y) = 0 {resp. F (θ, r) = 0}, je nadmnoˇzinou grafu funkce f . Tato nadmnoˇzina se ˇcasto naz´ yv´ a kartézsk´ y {resp.pol´ arn´ı}implicitn´ı graf funkce f . Rovnost dvou funkc´ı, rozˇ s´ıˇ ren´ı a z´ uˇ zen´ı. Nechˇt jsou d´ any dvˇe reálné funkce f, g jedné reálné promˇenné Jestliˇze D(f ) ⊂ D(g) a f (x) = g(x) ∀ x ∈ D(f ), potom ˇr´ık´ ame, ˇze funkce f je z´ uˇzen´ım (restrikc´ı) funkce g z definiˇcn´ıho oboru D(g) na obor D(f ), anebo také, ˇze funkce g je rozˇs´ıˇren´ım funkce f z D(f ) na D(g). Jestliˇze D(f ) = D(g) a f (x) = g(x) ∀ x ∈ D(f ), potom ˇr´ık´ ame, ˇze funkce f, g se sobˇe rovnaj´ı a p´ıˇseme f = g. Nulov´ y bod funkce. Nulov´ ym bodem (ˇc´ıslem) funkce f naz´ yv´ ame kaˇzd´ y prvek α ∈ A takov´ y, ˇze f (α) = 0. Posloupnosti. Reálnou funkci f jedné reálné promˇenné jej´ımˇz definiˇcn´ım oborem je mnoˇzina vˇsech pˇrirozen´ ych ˇc´ısel N naz´ yv´ ame posloupnost´ı reáln´ ych ˇc´ısel. Posloupnost je tedy funkce, kter´ a kaˇzdému pˇrirozenému ˇc´ıslu n pˇriˇrazuje nˇejaké alné reálné ˇc´ıslo. M´ısto f (n) (hodnota funkce f v bodˇe n) ˇcasto p´ıˇseme fn . Toto re´ ˇc´ıslo pak naz´ yv´ ame n-t´ ym ˇclenem posloupnosti. 33

Operace s funkcemi.Souˇctem dvou re´ aln´ ych funkc´ı jedné promˇenné f, g naz´ yv´ ame reálnou funkci v jedné promˇenné takovou, ˇze v:

x ∈ D(f ) ∩ D(g) −→ f (x) + g(x) ∈ R.

Podobnˇe definujeme rozd´ıl a souˇcin dvou funkc´ı f, g. Pod´ıl f /g dvou funkc´ı f, g definujeme také obdobnˇe aˇz na to, ˇze definiˇcn´ım oborem je mnoˇzina D(f ) ∩ D(g) z n´ıˇz jsou vyjmuty nulové body funkce g. D´ ale definujeme absolutn´ı hodnotu |f | reálné funkce f jedné promˇenné jako funkci |f | : x ∈ D(f ) −→ |f (x)|. Sloˇ zen´ a funkce. Nechˇt g, f jsou dvˇe reálné funkce jedné promˇenné. Nechˇt P je mnoˇzina vˇsech reáln´ ych ˇc´ısel x patˇr´ıc´ıch do D(g) takov´ ych, ˇze g(x) ∈ D(f ). Potom reáln´ a funkce h jedné promˇenné definovan´ a vztahem h(x) = f (g(x)) ∀ x ∈ P

(10.1)

se naz´ yv´ a funkce sloˇzen´ a z funkc´ı g, f a oznaˇcuje se f •g. Funkce g se naz´ yv´ a vnitˇrn´ı, zat´ımco f vnˇejˇs´ı sloˇzka sloˇzené funkce f • g. Vztah (1) je pro praktické pouˇzit´ı dost sloˇzit´ y. Zaˇcáteˇcn´ık˚ um dˇelá pot´ıˇze sestavit podle nˇej sloˇzenou funkci, zvl´ aˇstˇe v pˇr´ıpadˇe, kdy obˇe funkce g, f jsou zad´ any matematick´ ymi vzorci. Sestaven´ı vzorce pro v´ ypoˇcet hodnot sloˇzené funkce f • g n´ am m˚ uˇze podstatnˇeji usnadnit n´ asleduj´ıc´ı formulace vztahu (1): (f • g)(x) = f (g(x)) = f (u) , kde u = g(x) ∀ x ∈ P ,

(10.1’)

kter´ a je samozˇrejmˇe stejná jako (1). Inverzn´ı zobrazen´ı. Zobrazen´ı f : A −→ B naz´ yv´ ame prost´ ym, jestliˇze pro jakékoliv dva r˚ uzné prvky α1 , α2 z definiˇcn´ıho oboru A jsou i jejich obrazy f (α1 ), f (α2 ) r˚ uzné. To ovˇsem znamená, ˇze kaˇzd´ y prvek z oboru hodnot zobrazen´ı H(f ) má pr´ avˇe jeden vzor v A. M˚ uˇzeme tedy definovat nové zobrazen´ı, oznaˇcme je invf , které má definiˇcn´ı obor H(f ) a které kaˇzdému prvku z H(f ) pˇriˇrazuje právˇe tento jeden vzor v A, tj. plat´ı invf :

β ∈ H(f ) −→ α ∈ D(f ) ∧ f (α) = β .

(10.2)

Zobrazen´ı invf se naz´ yv´ a inverzn´ı zobrazen´ı k f . Ze vztah˚ u invf (β) = α ∧ f (α) = β ihned dost´ av´ ame invf (f (α)) = α ∀ α ∈ D(f ) a také f (invf (β)) = β ∀ β ∈ H(f )

(10.3)

ˇovat M´ısto oznaˇcen´ı invf se v literatuˇre ˇcasto pouˇz´ıv´ a oznaˇcen´ı f −1 (nezamˇen 1 s f ). V´ ypoˇ cet inverzn´ı funkce. Jestliˇze f je prostá reáln´ a funkce jedné promˇenné, potom shodnˇe s (3) plat´ı f (invf (x)) = x, ∀ x ∈ H(f ), coˇz m˚ uˇzeme samozˇrejmˇe formulovat takto f (u) = x ∀ x ∈ H(f ), kde u = invf (x) . 34

Jestliˇze funkce f je d´ ana explicitnˇe, potom f (u) = x pˇredstavuje rovnici. Pokud se nám podaˇr´ı ji vyˇreˇsit vzhledem k nezn´ amé u, dostaneme hledanou funkci invf . Nezapom´ınejme ovˇsem, ˇze ˇreˇsen´ı u mus´ı patˇrit do D(f ). Graf inverzn´ı funkce. Nechˇt A = (a, b) je libovoln´ y bod grafu funkce f , tj. a ∈ D(f ) ∧ b = f (a). Z definice inverzn´ı funkce pak plyne, ˇze bod A = (b, a) je bodem grafu funkce invf , neboˇt b ∈ H(f ) = D(invf ) ∧ a = invf (b). Bod A je vˇsak symetrick´ y k bodu A podle pˇr´ımky y = x. Dosp´ıv´ ame tak k z´ avˇeru grafy funkc´ı f a invf jsou symetrické podle pˇr´ımky y = x. V´ yznaˇ cn´ e typy funkc´ı. Nechˇt f je libovoln´ a reáln´ a funkce jedné promˇenné. 1. Jestliˇze pro kaˇzdé dva prvky α, β z A ⊂ D(f ) takové, ˇze α < β plat´ı a) f (α) ≤ f (β), potom o funkci f ˇr´ık´ ame, ˇze je neklesaj´ıc´ı v A, b) f (α) ≥ f (β), potom o funkci f ˇr´ık´ ame, ˇze je nerostouc´ı v A, c) f (α) < f (β), potom o funkci f ˇr´ık´ ame, ˇze je rostouc´ı v A, d) f (α) > f (β), potom o funkci f ˇr´ık´ ame, ˇze je klesaj´ıc´ı v A. Jestliˇze funkce je neklesaj´ıc´ı nebo nerostouc´ı, potom o n´ı ˇr´ık´ ame, ˇze je monotonn´ı v A, jestliˇze je rostouc´ı nebo klesaj´ıc´ı, potom o n´ı ˇr´ık´ ame,ˇze je ryze monotonn´ı v A. Samozˇrejmˇe kaˇzdá ryze monotonn´ı funkce je i monotonn´ı. Opak neplat´ı. Z definice ihned plyne, ˇze kaˇzd´ a ryze monotonn´ı funkce v A je prost´ a v A (a tud´ıˇz k n´ı existuje inverzn´ı funkce). 2. Nechˇt definiˇcn´ı obor D(f ) funkce f má vlastnost: Jestliˇze ˇc´ıslo a patˇr´ı do D(f ), potom i ˇc´ıslo −a patˇr´ı do D(f ). V pˇr´ıpadˇe, ˇze pro kaˇzdé ˇc´ıslo x ∈ D(f ) plat´ı a) f (−x) = f (x), potom o funkci f ˇr´ık´ ame, ˇze je sud´ a, b) f (−x) = −f (x), potom o funkci f ˇr´ık´ ame, ˇze je lich´ a. Graf sudé funkce je zˇrejmˇe symetrick´ y podle osy Oy , graf liché funkce je symetrick´ y podle poˇcátku O. 3. Nechˇt existuje kladné ˇc´ıslo p takové, ˇze plat´ı a) jestliˇze x ∈ D(f ), potom i x + p ∈ D(f ), b) f (x + p) = f (x) ∀ x ∈ D(f ) , c) ˇc´ıslo p > 0 je nejmenˇs´ı ze vˇsech kladn´ ych ˇc´ısel pro kter´ a plat´ı souˇcasnˇe podm´ınky a), b), tj. existuje aspoˇ n jedno kladné ˇc´ıslo menˇs´ı neˇz p pro nˇeˇz alespoˇ n jedna z podm´ınek a), b) neplat´ı. Potom o funkci f ˇr´ık´ ame, ˇze je periodick´ a s periodou p. Jestliˇze ˇzádné takové ˇc´ıslo p neexistuje, potom o funkci f ˇr´ık´ ame, ˇze je neperiodick´ a. 4. Jestliˇze obor hodnot H(f ) funkce f je ohraniˇcená mnoˇzina, potom i o samotné funkci f ˇr´ık´ ame, ˇze je ohraniˇcen´ a nebo také omezen´ a. Z´ akladn´ı element´ arn´ı funkce. V matematick´ ych popisech (modelech) fysik´ aln´ıch a inˇzen´ yrsk´ ych problém˚ u se ˇcasto vyskytuj´ı tzv. element´ arn´ı funkce. Rozum´ıme jimi kaˇzdou funkci, kter´ a vznikne jako v´ ysledek koneˇcného poˇctu operac´ı sˇc´ıt´ an´ı, odeˇc´ıt´ an´ı, n´ asoben´ı, dˇelen´ı a tvoˇren´ı sloˇzen´ ych funkc´ı z tzv. z´ akladn´ıch element´ arn´ıch funkc´ı. Tˇemi jsou konstantn´ı, mocninné, exponenci´ aln´ı, logaritmické, goniometrické a cyklometrické funkce. ana Konstantn´ı a mocninn´ e funkce. Konstantn´ı funkce consta je definov´ explicitnˇe vztahem consta (x) = a, kde a je pevnˇe zvolené reálné ˇc´ıslo. Jej´ım definiˇcn´ım oborem je mnoˇzina vˇsech reáln´ ych ˇc´ısel R. Funkce je monotonn´ı (neklesaj´ıc´ı 35

i nerostouc´ı), nen´ı prost´ a. Je sud´ a. Nen´ı periodick´ a. Je omezen´ a, jej´ı obor hodnot je tvoˇren jedin´ ym prvkem, ˇc´ıslem a. ana explicitnˇe vztahem powa (x) = xa , kde a Mocninn´ a funkce powa je definov´ je zadané reálné ˇc´ıslo. Jej´ı definiˇcn´ı obor z´ avis´ı na typu ˇc´ısla a a je urˇcen definic´ı mocniny. ana explicitnˇe Exponenci´ aln´ı funkce. Exponenci´ aln´ı funkce expa je definov´ x vztahem expa (x) = a , kde a > 0 je zadané kladné reálné ˇc´ıslo. Jej´ı definiˇcn´ı obor je R. Pˇri a = 1 je exponenci´ aln´ı funkce konstantn´ı, pˇri 0 < a < 1 je klesaj´ıc´ı, pˇri a > 1 je rostouc´ı. V posledn´ıch dvou pˇr´ıpadech je tedy prostá a má obor hodnot (0, ∞). V teorii i v aplikac´ıch je zdaleka nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı pˇr´ıpad, kdy a = e, kde e = 2, 718 281 828 459 . . . je tzv. Eulerovo ˇc´ıslo. V tomto pˇr´ıpadˇe se exponenciáln´ı funkce naz´ yv´ a pˇrirozen´ a a m´ısto expe se krátce oznaˇcuje exp. Funkce exp je tedy definov´ ana explicitnˇe vztahem exp(x) = ex . a. ExistuLogaritmick´ e funkce. Exponenci´ aln´ı funkce expa je pˇri a = 1 prost´ a pro vˇsechna kladn´ a ˇc´ısla, neboˇt je proto k n´ı inverzn´ı funkce invexpa definovan´ yvaj´ıc´ı jako hodnoty vˇsechna reáln´ a ˇc´ısla (i D(invexpa ) = H(expa ) = (0, ∞) a nab´ ˇ yzáporn´ a), nebot H(invexpa ) = D(expa ) = R. Tuto inverzn´ı funkci invexpa naz´ v´ ame logaritmickou funkc´ı nebo kr´ atce logaritmem pˇri z´ akladu a a oznaˇcujeme loga . V pˇr´ıpadˇe a = 10 logaritmick´ a funkce se naz´ yv´ a dekadick´ a a m´ısto log10 se krátce oznaˇcuje log. Daleko nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı je pˇr´ıpad, kdy a = e. Logaritmick´ a funkce loge se pak naz´ yv´ a pˇrirozen´ a a m´ısto loge se krátce p´ıˇse ln nebo lg. Tedy ln = invexp. Zˇrejmˇe plat´ı loga ax = x ∀ x ∈ R ,

aloga x = x ∀ x ∈ (0, ∞) .

Z posledn´ıho vztahu ihned plyne,ˇze kaˇzdé kladné ˇc´ıslo α lze vyj´ adˇrit ve tvaru α = elnα . ˇ Na závˇer uvedme nˇekolik základn´ıch vlastnost´ı logaritmick´ ych funkc´ı, které ˇcin´ı tyto funkce nepostradateln´ ymi v teorii i v aplikac´ıch: ˇ Necht a, b, α, β jsou libovoln´ a kladn´ a re´ aln´ a ˇc´ısla, pˇriˇcemˇz a = 1, b = 1. Potom plat´ı loga (αβ) = loga α + loga β , loga (α/β) = loga α − loga β , loga (αγ ) = γlogaα ∀ γ ∈ R logb α lnα , loga α = , aα = eαlna loga α = logb a lna Goniometrick´ e funkce. Základn´ımi goniometrick´ ymi funkcemi jsou funkce sinus a kosinus. Tyto funkce nejsou monotonn´ı. Funkce sin je lich´ a, funkce cos sud´ a. Obˇe funkce jsou periodické s periodou 2π. Obˇe jsou také ohraniˇcené, jejich oborem hodnot je interval −1, 1. ˇ jen horn´ı znaménka, nebo Plat´ı pro nˇe n´ asleduj´ıc´ı d˚ uleˇzité vzorce (plat´ı vˇzdy bud jen doln´ı znaménka): cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β 36

Dalˇs´ımi goniometrick´ ymi funkcemi jsou tangens, kotangens (funkcemi sekans a kosekans se zab´ yvat nebudeme). Jsou definov´ any vztahy sin x cos x cos x cot(x) = sin x

tan(x) =

Plat´ı pro nˇe vztah: tan(α ± β) =

∀ x ∈ R ∧ cos x = 0 ∀ x ∈ R ∧ sin x = 0 tan α ± tan β 1 ∓ tan α tan β

Cyklometrick´ e funkce. Funkce sinus a tangens nejsou prosté. Proto k nim neexistuj´ı funkce inverzn´ı. Z´ uˇzen´ım tˇechto funkc´ı na menˇs´ı definiˇcn´ı obory lze dosáhnout toho, aby byly prosté. Definujme tedy nové funkce Sinus a Tangens (z metodick´ ych d˚ uvod˚ u jsme pouˇzili stejné názvy, rozliˇsili jsme je pouze velk´ ymi poˇcáteˇcn´ımi p´ısmeny) vztahy π π π π , T an(x) = tan x , x ∈ (− , ) Sin(x) = sin x , x ∈ − , 2 2 2 2 Tyto funkce jsou jiˇz ryze monotonn´ı a tud´ıˇz prosté. Existuj´ı k nim proto funkce inverzn´ı. Naz´ yv´ ame je cyklometrick´ ymi funkcemi arkussinus a arkustangens a oznaˇcujeme arcsin, arctan. Zˇrejmˇe plat´ı π π D(arcsin) = −1, 1 , H(arcsin) = − , , 2 2 π π D(arctan) = (−∞, ∞) , H(arctan) = (− , ). 2 2 Dalˇs´ımi cyklometrick´ ymi funkcemi jsou arkuskosinus a arkuskotangens (cyklometrick´ ymi funkcemi arkussekans a arkuskosekans se zab´ yvat nebudeme). Jsou to inverzn´ı funkce k funkc´ım Kosinus a Kotangens definovan´ ym n´ asledovnˇe: Cos(x) = cos x , x ∈ 0, π

,

Cot(x) = cot x , x ∈ (0, π

Plat´ı tedy D(arccos) = −1, 1 , H(arccos) = 0, π D(arccot) = (−∞, ∞) , H(arccot) = (0, π) Pro cyklometrické funkce plat´ı vztahy arcsin x + arccos x = π/2 , arccos x + arccos(−x) = π , π arctan x + arccot x = ∀ x ∈ (−∞, ∞) 2 Vektorov´ e funkce. Zobrazen´ı f : A −→ B naz´ yv´ ame re´ alnou vektorovou funkc´ı jedné re´ alné promˇenné, jestliˇze A je mnoˇzina reáln´ ych ˇc´ısel a B je mnoˇzina uspoych re´ aln´ ych alˇra´dan´ ych m-tic reáln´ ych ˇc´ısel ai , i = 1, 2, . . . , m, tj. m-rozmˇern´ atce naz´ yvat mgebraick´ ych vektor˚ u a = [a1 , a2 , . . . , am ]. Tuto funkci budeme kr´ rozmˇernou vektorovou funkc´ı a oznaˇcovat f . Budeme vˇzdy automaticky pˇredpokl´ adat, ˇze m ≥ 2. m-rozmˇerná vektorov´ a funkce f je tedy pravidlo, které kaˇzdému 37

reálnému ˇc´ıslu x ∈ A pˇriˇrazuje nˇejak´ y vektor a = [a1 , a2 , . . . , am ]. Vˇsechny sloˇzky uˇzeme je proto povaˇzovat za hodnoty ai vektoru a samozˇrejmˇe závis´ı na vzoru x. M˚ reáln´ ych funkc´ı fi promˇenné x a m-rozmˇernou vektorovou funkci f definovanou v A pak za uspoˇra´danou m-tici reáln´ ych funkc´ı fi , i = 1, 2, . . . , m, tj. f = [f1 , f2 , . . . , fm ] definovan´ ych v jedné a téˇze mnoˇzinˇe reáln´ ych ˇc´ısel A. Hodnotou f (x) m-rozmˇerné vektorové funkce f je potom vektor f (x) = [f1 (x), f2 (x), . . . , fm (x)] . Operace s vektorov´ ymi funkcemi. Nechˇt f = [f1 , f2 , . . . , fm ], g = [g1 , g2 , . . . , gm ] jsou dvˇe m-rozmˇerné vektorové funkce definované v A ⊂ R a nechˇt α je reáln´ a funkce, rovnˇeˇz definovan´ a v A. ˇ ık´ a) R´ ame, ˇze vektorové funkce f , g jsou sobˇe rovny a p´ıˇseme f = g, jestliˇze fi = gi pro i = 1, 2, . . . , m. b) Souˇctem vektorov´ ych funkc´ı f , g naz´ yv´ ame vektorovou funkci f +g definovanou vztahem f + g = [f1 + g1 , f2 + g2 , . . . , fm + gm ] . Podobnˇe definujeme rozd´ıl f − g. c) Souˇcinem re´ alné funkce α a re´ alné vektorové funkce f naz´ yv´ ame vektorovou funkci αf definovanou vztahem αf = [αf1 , αf2 , . . . , αfm ] . d) Skal´ arn´ım souˇcinem vektorov´ ych funkc´ı f , g naz´ yv´ ame reálnou funkci f · g definovanou vztahem f · g = f1 g 1 + f2 g 2 + · · · + fm g m . M´ısto f · g ˇcasto pouˇz´ıv´ ame oznaˇcen´ı (f , g). e) Velikost´ı vektorové funkce f naz´ yv´ ame reálnou funkci |f | definovanou vztahem 2 . |f | = f12 + f22 + · · · + fm Zˇrejmˇe plat´ı |f |2 = f · f = (f , f ) . f) V pˇr´ıpadˇe , ˇze vektorové funkce f , g jsou trojrozmˇerné, tj. f = [f1 , f2 , f3 ], y souˇcin f × g a to vztahem g = [g1 , g2 , g3 ], definujeme i jejich vektorov´ f × g = [f2 g3 − f3 g2 , f3 g1 − f1 g3 , f1 g2 − f2 g1 ] . Oznaˇc´ıme-li i, j, k konstantn´ı vektorové funkce i = [1, 0, 0] , j = [0, 1, 0] , k = [0, 0, 1] , potom trojrozmˇerné vektorové funkce f = [f1 , f2 , f3 ], g = [g1 , g2 , g3 ] m˚ uˇzeme zˇrejmˇe, shodnˇe s v´ yˇse uveden´ ymi definicemi souˇcinu reálné a vektorové funkce a souˇctu dvou vektorov´ ych funkc´ı, ps´ at ve tvaru f = f1 i + f2 j + f3 k , g = g 1 i + g 2 j + g 3 k a vektorov´ y souˇcin f × g vyj´ adˇrit pomoc´ı determinantu i j k f × g = f1 f2 f3 . g1 g2 g3 38

11. LIMITA A SPOJITOST. ˇ ık´ Definice limity posloupnosti. R´ ame, ˇze ˇc´ıslo g je limitou dané posloupnosti ˇc´ısel a1 , a2 , a3 , . . . (nebo také, ˇze posloupnost {an } konverguje k ˇc´ıslu g), jestliˇze ke kaˇzdému kladnému ˇc´ıslu existuje pˇrirozené ˇc´ıslo n∗ takové, ˇze poˇc´ınaje indexem n∗ vˇsechna ˇc´ısla an se liˇs´ı od g ménˇe neˇz o , tj. |an − g| < ∀ n ≥ n∗ anebo, coˇz je totéˇz, an ∈ (g − , g + ) ∀ n ≥ n∗ . Skuteˇcnost, ˇze posloupnost {an } má limitu g zapisujeme takto: lim an = g nebo také an → g. Podotknˇeme, ˇze pˇrirozené ˇc´ıslo n∗ obecnˇe závis´ı na ˇc´ıslu . Jednoznaˇ cnost limity posloupnosti. Plat´ı vˇeta: Kaˇzd´ a posloupnost m˚ uˇze m´ıt nanejv´ yˇs jednu limitu. Kriteria konvergence posloupnosti. Je d˚ uleˇzité zab´ yvat se otázkou, za jak´ ych podm´ınek je dan´ a posloupnost konvergentn´ı a kdy konvergentn´ı nen´ı. Tˇemto podm´ınk´ am se ˇr´ık´ a kriteria konvergence. Plat´ı vˇeta: 1. Neohraniˇcen´ a posloupnost nen´ı konvergentn´ı, tj. nutnou podm´ınkou konvergence posloupnosti je jej´ı ohraniˇcenost. 2. Kaˇzd´ a monotonn´ı ohraniˇcen´ a posloupnost je konvergentn´ı. nuj´ı nerovnosti 3. Jestliˇze tˇri posloupnosti {an }, {bn }, {cn } splˇ an ≤ bn ≤ cn

,

n = 1, 2, 3, . . .

a krajn´ı posloupnosti {an }, {cn } konverguj´ı k jednomu a témuˇz ˇc´ıslu g, potom i yv´ a vˇetou o posloupnost {bn } konverguje a to k témuˇz ˇc´ıslu g. Toto tvrzen´ı se naz´ tˇrech posloupnostech. Algebra limit posloupnost´ı. Jestliˇze jsou d´ any dvˇe posloupnosti {an }, {bn }, potom z nich m˚ uˇzeme vytvoˇrit ˇctyˇri nové posloupnosti {an + bn } , {an − bn } , {an · bn } ,

an bn

(11.1)

naz´ yvané souˇctem, rozd´ılem, souˇcinem a pod´ılem dan´ ych posloupnost´ı. Pod´ıl m´ a zˇrejmˇe smysl pouze tehdy, kdyˇz vˇsechna ˇc´ısla bn jsou r˚ uzn´ a od nuly. Plat´ı vˇeta, kter´ a je jednou z nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ıch vˇet v diferenci´ aln´ım poˇctu: Jestliˇze an → a a bn → b, potom vˇsechny prvn´ı tˇri posloupnosti v (1) jsou také konvergentn´ı a plat´ı an + bn → a + b

,

an − bn → a − b

,

an · bn → a · b .

Jestliˇze nav´ıc b = 0, potom také posledn´ı posloupnost v (1) je konvergentn´ı a plat´ı a an → . bn b a posloupnost a nechˇt n1 , n2 , n3 , . . . Podposloupnost. Nechˇt {an } je libovoln´ je libovoln´ a rostouc´ı posloupnost pˇrirozen´ ych ˇc´ısel. Potom posloupnost an1 , an2 , an3 , . . . 39

naz´ yv´ ame podposloupnost´ı posloupnosti {an } (nebo také vybranou posloupnost´ı z posloupnosti {an }). Plat´ı vˇeta Kaˇzd´ a podposloupnost posloupnosti {an } konverguj´ıc´ı k ˇc´ıslu g rovnˇeˇz konverguje k ˇc´ıslu g. Hromadn´ y bod mnoˇ ziny. Nechˇt A je libovoln´ a mnoˇzina reáln´ ych ˇc´ısel a nechˇt α je libovolné reálné ˇc´ıslo (patˇr´ıc´ı do A nebo nikoliv). Jestliˇze v kaˇzdém -okol´ı (α − , α + ) ˇc´ısla α leˇz´ı alespoˇ n jedno ˇc´ıslo z mnoˇziny A r˚ uzné od α, potom ˇc´ıslo α naz´ yv´ ame hromadn´ ym bodem mnoˇziny A. Plat´ı vˇeta: ˇ ıslo α je hromadn´ C´ ym bodem re´ alné mnoˇziny A tehdy a jen tehdy, kdyˇz v mnoˇzinˇe u r˚ uzn´ ych od α takov´ a, ˇze xn → α. A existuje posloupnost {xn } bod˚ ˇ ık´ Nevlastn´ı limity posloupnosti. R´ ame, ˇze posloupnost {an } má nevlastn´ı limitu plus nekoneˇcno, jestliˇze ke kaˇzdému (libovolnˇe velkému) ˇc´ıslu M existuje pˇrirozené ˇc´ıslo n∗ (závisej´ıc´ı na M ) takové, ˇze poˇc´ınaje indexem n∗ vˇsechna ˇc´ısla an jsou vˇetˇs´ı neˇz M .Skuteˇcnost, ˇze posloupnost {an } má nevlastn´ı limitu plus nebo také an → ∞ . nekoneˇcno, zapisujeme takto: lim an = ∞ Analogicky definujeme nevlastn´ı limitu m´ınus nekoneˇcno. Posloupnosti maj´ıc´ı nevlastn´ı limitu plus nekoneˇcno nebo m´ınus nekoneˇcno naz´ yv´ ame divergentn´ımi a zápisy an → ∞, an → −∞ ˇcteme: an diverguje k plus nekoneˇcnu, an diverguje k m´ınus nekoneˇcnu. Nekonvergentn´ı posloupnosti, které nediverguj´ı naz´ yv´ ame osciluj´ıc´ımi. Plat´ı a a posloupnost {bn } diverguje k plus 1. Jestliˇze posloupnost {an } je ohraniˇcen´ nekoneˇcnu, potom an + bn → ∞

an − bn → −∞

,

an →0. bn

,

2. Jestliˇze posloupnost {a!n } diverguje (k plus nekoneˇcnu anebo k m´ınus neko" 1 neˇcnu), potom posloupnost an konverguje k nule. Opaˇcnˇe, jestliˇze an → 0 a souˇcasnˇe an > 0 ∀ n, potom a1n → ∞. 3. Jestliˇze posloupnost {an } konverguje ke kladnému ˇc´ıslu a posloupnost {bn } diverguje k plus nekoneˇcnu, potom posloupnost {an bn } diverguje k plus nekoneˇcnu. Heine’ho definice limity funkce. Nechˇt f je reáln´ a funkce jedné reálné proˇ mˇenné a necht α je hromadn´ y bod jej´ıho definiˇcn´ıho oboru D(f ) (α m˚ uˇze, ale také nemus´ı, patˇrit do D(f ), tj. funkce f m˚ uˇze, ale také nemus´ı, b´ yt definov´ ana v α ). ˇ R´ık´ ame, ˇze ˇc´ıslo g je limitou funkce f v bodˇe α (nebo také, ˇze f konverguje k ˇc´ıslu u xn z D(f ) r˚ uzn´ ych od α g v bodˇe α), jestliˇze pro kaˇzdou posloupnost {xn } bod˚ konverguj´ıc´ı k ˇc´ıslu α, tj. pro kaˇzdou posloupnost x1 , x2 , x3 , . . .

,

xn = α ,

xn → α

,

xn ∈ D(f )

(11.2)

j´ı odpov´ıdaj´ıc´ı posloupnost hodnot f (x1 ), f (x2 ), f (x3 ), . . . 40

(11.3)

konverguje k ˇc´ıslu g. Skuteˇcnost, ˇze funkce f má v bodˇe α limitu g zapisujeme takto: lim f (x) = g , nebo také f (x) → g

x→α

kdyˇz x → α

Jednostrann´ e limity funkce. Nechˇt f je reáln´ a funkce jedné promˇenné a nechˇt α je hromadn´ y bod jej´ıho definiˇcn´ıho oboru D(f ) takov´ ym, ˇze v D(f ) existuje ˇ ık´ alespoˇ n jedna posloupnost {xn } bod˚ u xn > α ∀ n konverguj´ıc´ı k α. R´ ame, ˇze funkce f má v bodˇe α limitu zprava rovnaj´ıc´ı se ˇc´ıslu g, a p´ıˇseme lim f (x) = g, x→α+

jestliˇze pro kaˇzdou posloupnost (2) takovou, ˇze xn > α, n = 1, 2, . . . , posloupnost 3 konverguje k ˇc´ıslu g. Analogicky definujeme limitu zleva lim f (x). Limita zprava x→α−

i limita zleva se souhrnnˇe naz´ yvaj´ı jednostranné limity. Algebra limit funkc´ı. V´ıme, ˇze ze dvou dan´ ych funkc´ı f, g m˚ uˇzeme vytvoˇrit jejich souˇcet, rozd´ıl, souˇcin a pod´ıl. Plat´ı d˚ uleˇzitá vˇeta Jestliˇze funkce f a g, definované na jedné a téˇze mnoˇzinˇe A, maj´ı v hromadném bodˇe α mnoˇziny A limity lim f (x) = a

x→α

,

lim g(x) = b ,

x→α

potom jejich souˇcet, rozd´ıl a souˇcin maj´ı rovnˇeˇz limitu v α a plat´ı lim [f (x) + g(x)] = a + b

x→α

,

lim [f (x) − g(x)] = a − b ,

x→α

lim [f (x)g(x)] = a · b

x→α

Pod´ıl, za pˇredpokladu, ˇze g(x) = 0 ∧ b = 0, m´ a také limitu a plat´ı a f (x) = . x→α g(x) b lim

Tato vˇeta plat´ı i pro jednostranné limity. Vˇ eta o tˇ rech funkc´ıch. D˚ uleˇzitá v aplikac´ıch je tzv. vˇeta o tˇrech funkc´ıch (ˇcasto se také naz´ yv´ a vˇeta o sevˇren´ı): Nechˇt tˇri funkce u, v, w jsou definov´ any na spoleˇcné mnoˇzinˇe A a nechˇt α je hromadn´ y bod této mnoˇziny. Jestliˇze pro vˇsechna ˇc´ısla x z mnoˇziny A plat´ı u(x) ≤ w(x) ≤ v(x) a krajn´ı funkce u, v konverguj´ı v α k jedné a téˇze limitˇe g, potom i prostˇredn´ı funkce w konverguje v α k limitˇe g. Vˇeta plat´ı i pro jednostranné limity. Nevlastn´ı limity funkce. Definujme: Nechˇt f je reáln´ a funkce jedné reálné ˇ promˇenné definovan´ a na mnoˇzinˇe D(f ) a necht α je hromadn´ y bod této mnoˇziny ˇ ık´ (α m˚ uˇze, ale také nemus´ı patˇrit do mnoˇziny D(f )). R´ ame, ˇze funkce f má v bodˇe α nevlastn´ı limitu plus nekoneˇcno (nebo také, ˇze f diverguje k plus nekoneˇcnu 41

v bodˇe α ), jestliˇze pro kaˇzdou posloupnost (2) j´ı odpov´ıdaj´ıc´ı posloupnost hodnot 3 diverguje k plus nekoneˇcnu. Skuteˇcnost, ˇze funkce f má v bodˇe α nevlastn´ı limitu plus nekoneˇcno zapisujeme takto lim f (x) = ∞

nebo také f (x) → ∞

x→α

x→α.

kdyˇz

Analogicky definujeme nevlastn´ı limitu m´ınus nekoneˇcno funkce f a jednostranné ˇ sami). nevlastn´ı limity funkce (provedte Limita funkce v nekoneˇ cnu. Definujeme: Jestliˇze A je mnoˇzina reáln´ ych ˇc´ısel a, ˇze xn → ∞, evenv n´ıˇz existuje alespoˇ n jedna posloupnost prvk˚ u {xn } takov´ ame, ˇze mnoˇzina A má nevlastn´ı hromadn´ y bod plus tu´ alnˇe xn → −∞, potom ˇr´ık´ ˇ nekoneˇcno, eventu´ alnˇe m´ınus nekoneˇcno. Necht f je reáln´ a funkce jedné promˇenné definovan´ a na mnoˇzinˇe D(f ) maj´ıc´ı nevlastn´ı hromadn´ y bod plus nekoneˇcno. ˇ R´ık´ ame, ˇze ˇc´ıslo g je limitou funkce f v plus nekoneˇcnu (nebo také, ˇze f konverguje k ˇc´ıslu g v plus nekoneˇcnu), jestliˇze pro kaˇzdou posloupnost x1 , x2 , x3 , . . .

,

xn → ∞

,

xn ∈ D(f ) ,

(11.4)

j´ı odpov´ıdaj´ıc´ı posloupnost 3 hodnot funkce konverguje k ˇc´ıslu g. Skuteˇcnost, ˇze funkce f má v plus nekoneˇcnu limitu g zapisujeme takto: nebo také f (x) → g

lim f (x) = g,

x→∞

kdyˇz x → ∞ .

Jestliˇze ve (4) podm´ınku xn → ∞ nahrad´ıme podm´ınkou xn → −∞, potom ˇc´ıslo g naz´ yv´ ame limitou funkce f v m´ınus nekoneˇcnu a p´ıˇseme lim f (x) = g. x→−∞

Analogicky definujeme nevlastn´ı limity plus a m´ınus nekoneˇcno v plus a v m´ınus nekoneˇcnu. Algebra nevlastn´ıch limit a limit v nekoneˇ cnu. Pˇri v´ ypoˇctu nevlastn´ıch limit a jednostrann´ ych nevlastn´ıch limit funkc´ı a limit funkc´ı v nekoneˇcnu se ˇcasto vyuˇz´ıvaj´ı n´ asleduj´ıc´ı pravidla: 1. Jestliˇze funkce f je ohraniˇcen´ a a funkce g m´ a v α nevlastn´ı limitu ∞ {resp. −∞}, potom plat´ı lim [f (x) + g(x)] = ∞

{resp. lim [f (x) + g(x)] = −∞} ,

x→α

x→α

lim [f (x) − g(x)] = −∞

x→α

{resp. lim [f (x) − g(x)] = ∞} x→α

f (x) =0 x→α g(x) lim

2. Jestliˇze lim f (x) = 0 a souˇcasnˇe f (x) > 0 {resp. f (x) < 0}, potom lim ∞ {resp.

x→α 1 lim f (x) x→α

1 x→α f (x)

= −∞} ,

=

3. Jestliˇze lim f (x) = a > 0 {resp. a < 0} a souˇcasnˇe lim g(x) = ∞, potom x→α

x→α

lim [f (x)g(x)] = ∞ {resp. lim [f (x)g(x)] = −∞}. Samozˇrejmˇe plat´ı f (x)g(x) =

x→α

x→α

42

g(x)f (x) a tedy symbolicky takto

lim [f (x)g(x)] = lim [g(x)f (x)]. Toto pravidlo zap´ıˇseme kr´ atce

x→α

x→α

a·∞ = ∞·a =

∞ −∞

pro pro

a>0 a<0

4. Jestliˇze lim f (x) = a a souˇcasnˇe lim g(x) = ∞ {resp. lim g(x) = −∞}, x→α

x→α

x→α

atce potom lim [f (x) + g(x)] = ∞ {resp. −∞}. Toto pravidlo zap´ıˇseme kr´ x→α

a+∞ =∞ {resp. a + (−∞) = −∞}. 5. ∞ + ∞ = ∞ , −∞ + (−∞) = −∞ . Prvn´ı ˇc´ ast z´ apisu znamen´ a: Jestliˇze funkce f, g maj´ı v bodˇe α nevlastn´ı limitu plus nekoneˇcno, potom i jejich souˇcet f +g m´ a v bodˇe α nevlastn´ı limitu plus nekoneˇcno. Analogick´ y v´ yznam m´ a druh´ a ˇc´ ast z´ apisu. 6. 7.

∞ − (−∞) = ∞ − ∞ − ∞ = a − ∞ = −∞ − a = −∞

8.

∞−a= ∞

9.

a − (−∞) = ∞

10.

∞ · ∞ = (−∞) · (−∞) = ∞

11.

∞ · (−∞) = (−∞) · ∞ = −∞ −∞ a · (−∞) = −(∞) · a = ∞ a a = =0 ∞ −∞ ∞ pro a > 0 ∞ = a −∞ pro a < 0 −∞ pro a > 0 −∞ = a ∞ pro a < 0

12. 13. 14. 15.

pro pro

a>0 a<0

. Vˇsechna v´ yˇse uveden´ a pravidla plat´ı i pro jednostranné limity a limity funkc´ı v nekoneˇcnu, tj. ve vˇsech formul´ıch symbol x → α m˚ uˇzeme nahradit libovoln´ ym ze symbol˚ u x → α−, x → α+, x → ∞, x → −∞. Existuj´ı kombinace, které se v pravidlech nevyskytuj´ı, napˇr. ∞−∞, 0·∞, 00 , ∞ ∞, ∞ 0 0 yv´ ame je neurˇcit´ ymi v´ yrazy. V praktick´ ych problémech se vyskytuj´ı 1 , 0 , ∞ . Naz´ velmi ˇcasto a o v´ ypoˇctu jejich limit bude pojedn´ ano pozdˇeji. Asymptoty. O funkci f ˇr´ık´ ame, ˇze je definov´ ana v okol´ı plus nekoneˇcna {resp. m´ınus nekoneˇcna}, jestliˇze existuje neohraniˇcen´ y interval J = (a, ∞) {resp. J = (−∞, b)} takov´ y, ˇze J ⊂ D(f ). V tomto pˇr´ıpadˇe má definiˇcn´ı obor D(f ) nevlastn´ı hromadn´ y bod plus nekoneˇcno {resp. m´ınus nekoneˇcno}. Definujeme: Nechˇt f je funkce definovan´ a v okol´ı plus nekoneˇcna {resp. m´ınus nekoneˇcna}. Jestliˇze existuj´ı re´ alné konstanty a, b takové, ˇze lim [f (x) − (ax + b)] = 0 {resp. lim [f (x) − (ax + b)] = 0} , potom pˇr´ımku o

x→∞

x→−∞

43

rovnici y = ax + b naz´ yv´ ame asymptotou grafu y = f (x) funkce f v plus nekoneˇcnu {resp.v m´ınus nekoneˇcnu} (nebo také kr´ atce asymptotou se smˇernic´ı. Snadno se pˇresvˇedˇc´ıme, ˇze plat´ı vˇeta: Graf y = f (x) funkce f definované v okol´ı plus nekoneˇcna m´ a asymptotu v plus f (x) lim [f (x) − nekoneˇcnu tehdy a jen tehdy, kdyˇz existuj´ı limity lim x = a a x→∞

x→∞

ax] = b. Kdyˇz tyto limity existuj´ı, potom asymptotou je pˇr´ımka y = ax + b. Zcela analogick´ a vˇeta plat´ı pro asymptotu v m´ınus nekoneˇcnu, symbol x → ∞ se zamˇen´ı pouze symbolem x → −∞. D´ ale definujeme: Jestliˇze funkce f je takov´ a, ˇze v jej´ım definiˇcn´ım oboru D(f ) leˇz´ı alespoˇ n jeden z interval˚ u (η, α), (α, ), kde η, jsou dan´ a kladn´ a reáln´ a ˇc´ısla a α je dané libovolné reálné ˇc´ıslo, a jestliˇze existuje alespoˇ n jedna z limit lim f (x), x→α+

ame, ˇze pˇr´ımka x = α je svislou asymptotou lim f (x) a je nevlastn´ı, potom ˇr´ık´

x→α−

grafu y = f (x) funkce f . Spojitost funkce. Pojem spojitosti funkce patˇr´ı mezi nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı pojmy diferenciáln´ıho a integr´ aln´ıho poˇctu. Intervalem I zde a v dalˇs´ıch odstavc´ıch budeme rozumˇet jak´ ykoliv interval (otevˇren´ y, uzavˇren´ y, polouzavˇren´ y, ohraniˇcen´ y, neohraniˇcen´ y atd.). Stanovme n´ asleduj´ıc´ı terminologii: Slovy, ˇze nˇejak´ a funkce f je definov´ ana v okol´ı bodu α rozum´ıme, ˇze existuje otevˇren´ y interval (α−η, α+η), kter´ y cel´ y leˇz´ı v definiˇcn´ım oboru funkce f . Slovy, ˇze nˇejak´ a funkce# f je definov´ ana zprava od bodu α rozum´ıme, ˇze existuje polootevˇren´ y interval I = α, η) takov´ y, ˇze I ⊂ D(f ). Analogick´ y v´ yznam maj´ı slova, ˇze funkce f je definov´ ana zleva od bodu α. ˇ Definujeme: Necht f je reáln´ a funkce jedné reálné promˇenné definovan´ a v okol´ı ˇ ık´ bodu α. R´ ame, ˇze funkce f je v bodˇe α spojit´ a, jestliˇze existuje limita funkce f uˇzeme podm´ınku v bodˇe α a plat´ı lim f (x) = f (α). Jestliˇze oznaˇc´ıme x−α = h, m˚ x→α

zˇrejmˇe zapsat ve tvaru lim f (α + h) = f (α). h→0

Jestliˇze funkce f je spojit´ a v kaˇzdém bodˇe nˇejaké podmnoˇziny A jej´ıho definiˇcn´ıho oboru D(f ), potom o n´ı ˇr´ık´ ame, ˇze je spojit´ a v A. Jestliˇze funkce f je spojit´ a v D(f ), potom o n´ı kr´ atce ˇr´ık´ ame, ˇze je spojit´ a, nebo také, ˇze je tˇr´ıdy C nula a p´ıˇseme f ∈ C 0 . Bod β ∈ D(f ), ve kterém funkce f nen´ı spojit´ a, naz´ yv´ ame bodem nespojitosti funkce f . Snadno vid´ıme, ˇze nespojitost v bodˇe β m˚ uˇze b´ yt ”zp˚ usobena” tˇremi d˚ uvody: a) funkce nen´ı definov´ ana v ˇzádném okol´ı bodu β , b) limita funkce f v bodˇe β sice existuje, nen´ı vˇsak rovna hodnotˇe funkce f v bodˇe β, c) limita funkce f v bodˇe β neexistuje. Jestliˇze v definici spojitosti funkce limitu nahrad´ıme levostrannou nebo pravostrannou limitou, potom hovoˇr´ıme o spojitosti zleva nebo o spojitosti zprava. V tomto pˇr´ıpadˇe staˇc´ı pˇredpokl´ adat, ˇze funkce f je definov´ ana pouze zleva nebo zprava od bodu α. Je ihned zˇrejmé, ˇze plat´ı vˇeta: Funkce f je spojit´ a ve vniˇrn´ım bodˇe intervalu tehdy a jen tehdy, kdyˇz je v nˇem spojit´ a zleva i zprava. 44

# $ O funkci f ˇr´ık´ ame, ˇze je spojit´ a v uzavˇreném intervalu a, b , jestliˇze je spojit´ a v kaˇzdém bodˇe otevˇreného intervalu (a, b), spojit´ a zprava v bodˇ e a a spojit´ a zleva # $ v bodˇe b. Obdobnˇe definujeme spojitost v intervalech a, b), (a, b . Algebra spojit´ ych funkc´ı. Zˇrejmˇe plat´ı vˇeta: Jestliˇze funkce f, g definované v jednom a témˇze intervalu I jsou v nˇejakém bodˇe α ∈ I spojité, potom je v tomto bodˇe spojit´ y i jejich souˇcet, rozd´ıl a souˇcin. Za a funkce v α. pˇredpokladu, ˇze g(x) = 0 pro ∀ x ∈ I, potom i jejich pod´ıl fg je spojit´ Obdobn´ a vˇeta plat´ı i pro spojitost zleva nebo zprava. Z´ akladn´ı vlastnosti spojit´ ych funkc´ı. Spojité funkce maj´ı nˇekolik ”velmi uˇziteˇcn´ ych” vlastnost´ı, které nyn´ı souhrnnˇe uvedeme: 1. Funkce f spojit´ a a kladn´ a {resp. z´ aporn´ a} v bodˇe α, je kladn´ a {resp. z´ aporn´ a} i v nˇejakém okol´ı bodu α. 2. Nechˇt funkce f je spojit´ a v intervalu I a nechˇt α, β ∈ I jsou takov´ a ˇc´ısla, ˇze f (α)f (β) < 0 (tj. hodnoty f (α), f (β) maj´ı opaˇcn´ a znaménka). Potom mezi ˇc´ısly α, β leˇz´ı alespoˇ n jeden nulov´ y bod c funkce f , tj. takové ˇc´ıslo c, ˇze f (c) = 0. Jin´ ymi slovy, potom rovnice f (x) = 0 m´ a v intervalu (α, β) alespoˇ n jedno ˇreˇsen´ı. 3. Nechˇt funkce f je spojit´ a v uzavˇreném intervalu α, β. Potom funkce f nab´ yv´ a v intervalu α, β kaˇzdou hodnotu leˇz´ıc´ı mezi ˇc´ısly f (α) a f (β). Této vlastnosti se ˇr´ık´ a vlastnost Darboux, nebo také Bolzanova mezihodnotov´ a vˇeta. 4. Nechˇt funkce f je spojit´ a v uzavˇreném intervalu α, β. Potom funkce f je v intervalu α, β ohraniˇcen´ a. 5. Nechˇt funkce f je spojit´ a v uzavˇreném intervalu α, β. Potom funkce f nab´ yv´ a alespoˇ n v jednom bodˇe i ∈ α, β svou nejmenˇs´ı hodnotu a alespoˇ n v jednom bodˇe s ∈ α, β svou nejvˇetˇs´ı hodnotu, tj. pro vˇsechna ˇc´ısla x ∈ α, β plat´ı f (i) ≤ f (x) ≤ f (s) . 6. Nechˇt f je funkce definovan´ a a spojit´ a v uzavˇreném intervalu α, β. Potom jej´ım oborem hodnot H(f ) je opˇet uzavˇren´ y interval. 7. Nechˇt f je funkce definovan´ a, spojit´ a a ryze monotonn´ı v intervalu I (interval I nemus´ı b´ yt uzavˇren´ y). Potom jej´ım oborem hodnot H(f ) je opˇet interval (nemus´ı b´ yt uzavˇren´ y a ani ohraniˇcen´ y). Spojitost inverzn´ı funkce. Pro spojitost inverzn´ı funkce plat´ı n´ asleduj´ıc´ı vˇeta Nechˇt f je spojit´ a a ryze monotonn´ı funkce v intervalu I. Potom inverzn´ı funkce invf je rovnˇeˇz ryze monotonn´ı (rostouc´ı kdyˇz f je rostouc´ı, klesaj´ıc´ı kdyˇz f je klesaj´ıc´ı) a spojit´ a v H(f ). Limita a spojitost sloˇ zen´ e funkce. Pro limitu a spojitost sloˇzené funkce plat´ı n´ asleduj´ıc´ı vˇeta: Nechˇt f je funkce definovan´ a a spojit´ a v intervalu I a nechˇt g je funkce definovan´ a na mnoˇzinˇe A pˇriˇcemˇz obor hodnot funkce g patˇr´ı do I. Nechˇt h = f • g je sloˇzen´ a funkce definovan´ a v A vztahem h(x) = f (g(x)). 45

a) Jestliˇze vnitˇrn´ı sloˇzka g m´ a v bodˇe α limitu t patˇr´ıc´ı do I, potom i sloˇzen´ a funkce h m´ a v bodˇe α limitu a plat´ı

lim f (g(x)) = f lim g(x) . x→α

v A.

x→α

b) Jestliˇze vnitˇrn´ı funkce g je spojit´ a v A, potom i sloˇzen´ a funkce h je spojit´ a

a funkce defiLimita vektorov´ e funkce. Nechˇt f = [f1 , f2 , . . . , fm ] je vektorov´ novan´ a na mnoˇzinˇe reáln´ ych ˇc´ısel A. Potom definujeme lim f (x) = lim f1 (x), lim f2 (x), . . . , lim fm (x) , x→α

x→α

x→α

x→α

ovˇsem za pˇredpokladu, ˇze vˇsechny limity na pravé stranˇe existuj´ı. Pˇr´ımo z definice lze snadno dok´ azat n´ asleduj´ıc´ı vˇetu: Nechˇt f = [f1 , f2 , . . . , fm ], g = [g1 , g2 , . . . , gm ] jsou dvˇe m-rozmˇerné re´ alné vekˇ torové funkce definované v A ⊂ R a necht h je re´ aln´ a funkce, rovnˇeˇz definovan´ a v A. Nechˇt v hromadném bodˇe α mnoˇziny A existuj´ı limity lim f (x), lim g(x), x→α

x→α

lim h(x). Potom

x→α

a) existuje limita souˇctu a rozd´ılu funkc´ı f , g a plat´ı lim (f (x) ± g(x)) = lim f (x) ± lim g(x) ,

x→α

x→α

x→α

b) existuje limita souˇcinu re´ alné funkce h a vektorové funkce f a plat´ı lim (h(x)f (x)) = lim h(x) · lim f (x) ,

x→α

x→α

x→α

c) existuje limita skal´ arn´ıho souˇcinu vektorových funkc´ı f , g a plat´ı lim (f (x) · g(x)) = lim f (x) · lim g(x) ,

x→α

x→α

x→α

d) existuje limita velikosti |f | vektorové funkce f a plat´ı lim |f (x)| = lim f (x) , x→α

x→α

e) v pˇr´ıpadˇe, ˇze vektorové funkce f , g jsou trojrozmˇerné, existuje limita jejich vektorového souˇcinu a plat´ı lim (f (x) × g(x)) = lim f (x) × lim g(x) .

x→α

x→α

x→α

Analogicky definujeme jednostranné limity vektorové funkce. V´ yˇse uvedená vˇeta plat´ı i pro nˇe. 11.26. Spojitost vektorov´ e funkce. Nechˇt m-rozmˇerná vektorov´ a funkce f = ˇ ana v okol´ı bodu α. R´ık´ ame, ˇze je spojit´ a v bodˇe α, jestliˇze [f1 , f2 , . . . , fm ] je definov´ v bodˇe α jsou spojité vˇsechny jej´ı sloˇzky fi , tj. jestliˇze plat´ı lim f (x) = f (α). x→α

46

Plat´ı vˇeta: Jestliˇze vektorové funkce f , g a re´ aln´ a funkce h jsou spojité v bodˇe α, potom jsou spojité v bodˇe α i funkce f ± g, hf , f · g, |f |, f × g. 12. DERIVACE FUNKCE. Definice derivace. Nechˇt re´ aln´ a funkce f jedné reálné promˇenné x je definov´ ana v okol´ı bodu α. Jestliˇze existuje limita f (α + h) − f (α) , h→0 h lim

potom ˇr´ık´ ame, ˇze funkce f je derivovateln´ a v bodˇe α a limitu naz´ yv´ ame derivac´ı funkce f v bodˇe α. Oznaˇcujeme ji f (α), nebo také Df (α). Jestliˇze oznaˇc´ıme α+h = x, potom zˇrejmˇe h → 0 tehdy a jen tehdy, kdyˇz x → α. Plat´ı tedy f (α + h) − f (α) f (x) − f (α) = lim f (α) = lim x→α h→0 h x−α Jestliˇze funkce f je derivovateln´ a v kaˇzdém bodˇe x svého definiˇcn´ıho oboru D(f ), potom m˚ uˇzeme definovat na D(f ) novou funkci g vztahem g(x) = f (x). Tuto novou alnˇe funkci g naz´ yv´ ame derivac´ı funkce f a znaˇc´ıme f , nebo také (f (x)) , eventu´ ∂ ∂x (f (x)). Nutn´ a podm´ınka derivovatelnosti. Plat´ı vˇeta Jestliˇze funkce f je derivovateln´ a v bodˇe α, potom je v tomto bodˇe spojit´ a. Spojitost je tedy nutnou podm´ınkou derivovatelnosti. Nen´ı vˇsak postaˇcuj´ıc´ı. Geometrick´ a a fyzik´ aln´ı interpretace derivace. Definujeme: Nechˇt y = f (x) je rovnice kartézského grafu funkce f definované a spojité v intervalu I. Nechˇt funkce f je derivovateln´ a v bodˇe α. Potom pˇr´ımku danou rovnic´ı y − f (α) = f (α)(x − α) naz´ yv´ ame teˇcnou kartézského grafu funkce f v bodˇe A = (α, f (α)) (krátce v α) a pˇr´ımku danou rovnic´ı y − f (α) =

1 f (α)

(x − α) v pˇr´ıpadˇe f (α) = 0 ,

nebo rovnic´ı x = α v pˇr´ıpadˇe f (α) = 0 pak norm´ alou v bodˇe A = (α, f (α)) (krátce v α). Podobnˇe, jak n´ as derivace pˇrivedla ke geometrické interpretaci smˇernice teˇcny, vede n´ as k n´ asleduj´ıc´ı fyzik´ aln´ı interpretaci: a) Jestliˇze se tˇeleso pohybuje pˇr´ımoˇcaˇre a jeho dr´ aha s je funkc´ı ˇcasu t, potom jeho okamˇzitá rychlost v v ˇcase t je d´ ana vztahem v(t) = s (t) a okamˇzité zrychlen´ı a v ˇcase t je d´ ano vztahem a(t) = v (t). b) Jestliˇze pr˚ ubˇeh m fyzik´ aln´ı veliˇciny je funkc´ı ˇcasu t, potom okamˇzitá zmˇena v této veliˇciny v ˇcase t je d´ ana vztahem v(t) = m (t). Jako pˇr´ıklady lze zde uvést intenzitu elektrického proudu, rychlost rozpadu mnoˇzstv´ı radioaktivn´ı l´ atky, rychlost chemické reakce atd. 47

Jednostrann´ e derivace. Jestliˇze v definici derivace limitu nahrad´ıme jednostrannou limitou zleva nebo zprava, potom hovoˇr´ıme o derivaci zleva nebo o derivaci zprava v bodˇe α a oznaˇcujeme je f (α−) a f (α+). Plat´ı tedy f (α + h) − f (α) f (x) − f (α) = lim x→α− h→0− h x−α f (α + h) − f (α) f (x) − f (α) = lim f (α+) = lim x→α+ h→0+ h x−α f (α−) = lim

V pˇr´ıpadˇe tˇechto derivac´ı staˇc´ı pˇredpokl´ adat, ˇze funkce f je definov´ ana pouze zleva, eventu´ alnˇe zprava od bodu α. O funkci f ˇr´ık´ ame, ˇze je derivovateln´ a v uzavˇreném intervalu a, b, jestliˇze je derivovateln´ a v kaˇzdém bodˇe intervalu (a, b) a na konc´ıch existuj´ı jednostranné derivace f (a+), f (b−). Obdobnˇe definujeme derivovatelnost v intervalech a, b) , (a, b. Nevlastn´ı derivace. Jestliˇze v definici derivace limitu nahrad´ıme nevlastn´ı limitou plus nekoneˇcno nebo nevlastn´ı limitou m´ınus nekoneˇcno, potom m´ısto o derivaci hovoˇr´ıme o nevlastn´ı derivaci (plus nebo m´ınus nekoneˇcno). Algebra derivac´ı funkc´ı. V´ıme, ˇze limita souˇctu, rozd´ılu, souˇcinu a pod´ılu dvou funkc´ı se rovn´ a souˇctu. rozd´ılu, souˇcinu a pod´ılu jejich limit. V pˇr´ıpadˇe derivac´ı je vˇsak situace sloˇzitˇejˇs´ı. Zde plat´ı vˇeta: Jestliˇze funkce f a g jsou v nˇejakém bodˇe α derivovatelné, potom i jejich souˇcet (f + g), rozd´ıl (f − g) a souˇcin (f g) jsou funkce derivovatelné v α a plat´ı (f + g) (α) = f (α) + g (α) (f − g) (α) = f (α) − g (α) (f g) (α) = f (α)g(α) + f (α)g (α) Pod´ıl

f g

, za pˇredpokladu, ˇze g(α) = 0, je také v α derivovateln´ y a plat´ı f f (α)g(α) − f (α)g (α) (α) = g g 2 (α)

Derivace sloˇ zen´ e funkce. Pro derivaci sloˇzené funkce plat´ı n´ asleduj´ıc´ı vˇeta: Nechˇt s = f • g je sloˇzen´ a funkce definovan´ a vztahem s(x) = f (g(x)) (jinak zaps´ ano, s(x) = f (u), kde u = g(x)). Jestliˇze vnitˇrn´ı sloˇzka g je derivovateln´ a v bodˇe α a vnˇejˇs´ı sloˇzka f je derivovateln´ a v bodˇe g(α), potom i sloˇzen´ a funkce s je derivovateln´ a v bodˇe α a plat´ı s (α) = f (g(α)) · g (α) (tj.

s (α) = f (β) · g (α),

kde

β = g(α) )

Derivace inverzn´ı funkce. Pro derivov´ an´ı inverzn´ıch funkc´ı plat´ı n´ asleduj´ıc´ı d˚ uleˇzitá vˇeta: 48

Nechˇt f je ryze monotonn´ı a spojit´ a funkce definovan´ a na intervalu J. Nechˇt invf je inverzn´ı funkce k funkci f a nechˇt α je vnitˇrn´ım bodem jej´ıho definiˇcn´ıho oboru (pˇripom´ın´ am, ˇze D(invf ) = H(f )). Jestliˇze funkce f m´ a nenulovou derivaci v bodˇe β = invf (α), potom funkce invf je derivovateln´ a v bodˇe α a plat´ı invf (α) =

1 , f (β)

kde

β = invf (α) .

Logaritmick´ a derivace. Nechˇt funkce f je derivovateln´ a a r˚ uzn´ a od nuly v mnoˇzinˇe A. Ze vzorce pro derivov´ an´ı sloˇzené funkce plyne d˚ uleˇzit´ y vzorec (ln |f (x)|) = f (x) yraz na jeho levé stranˇe naz´ yv´ ame logaritmickou derivac´ı funkce f . f (x) . V´ Ze vzorce ihned plyne tzv. vzorec pro logaritmické derivov´ an´ı y n´ am ˇcasto zjednoduˇs´ı v´ ypoˇcet derivace. f (x) = f (x) · (ln |f (x)|) , x = 0, kter´ V´ ypoˇcet logaritmické derivace funkce b´ yv´ a totiˇz v mnoh´ ych pˇr´ıpadech jednoduˇsˇs´ı neˇz v´ ypoˇcet samotné derivace funkce. V nˇekter´ ych pˇr´ıpadech se dokonce bez vzorce pro logaritmické derivov´ an´ı ani neobejdeme. Derivace element´ arn´ıch funkc´ı. V bodech x, které splˇ nuj´ı uvedené podm´ınky, plat´ı n´ asleduj´ıc´ı vzorce pro derivov´ an´ı: a reáln´ a konstanta. (c) = 0, kde c je libovoln´ a a−1 (x ) = ax pro ∀ x > 0, kde a je libovolné reálné ˇc´ıslo. Tento vzorec ana. z˚ ustáv´ a v platnosti i pro x < 0, pokud ovˇsem je mocnina xa definov´ x x x ∈ (−∞, ∞), kde a je libovolné kladné reálné ˇc´ıslo. (a ) = a ln a x x (e ) = e , x ∈ (−∞, ∞) 1 x ∈ (−∞, 0) ∪ (0, ∞), kde a je libovolné kladné reálné ˇc´ıslo (loga |x|) = x ln a r˚ uzné od jedné. (ln |x|) = x1 , (sin x) = cos x , (cos x) = − sin x, 1 (arcsin x) = √1−x , (tan x) = cos12 x , (cot x) = − sin12 x 2 1 1 1 , (arctan x) = 1+x , (arccot x) = − 1+x (arccos x) = − √1−x 2 2. 2 Z´ akladn´ı vlastnosti derivovateln´ ych funkc´ı. Derivovatelné funkce maj´ı nˇekolik velmi ”uˇziteˇcn´ ych” vlastnost´ı, které jsou v aplikac´ıch ˇcasto vyuˇz´ıv´ any: 1. Jestliˇze funkce f je spojit´ a v uzavˇreném intervalu a, b, derivovateln´ a ve vˇsech vnitˇrn´ıch bodech tohoto intervalu a plat´ı f (a) = f (b), potom v intervalu (a, b) existuje aspoˇ n jedno ˇc´ıslo ξ takové, ˇze f (ξ) = 0. Tomuto tvrzen´ı se ˇr´ık´ a Rolle’ova vˇeta. 2. Jestliˇze funkce f, g jsou spojité v uzavˇreném intervalu a, b a derivovatelné v intervalu (a, b), potom v intervalu (a, b) existuje aspoˇ n jedno ˇc´ıslo ξ takové, ˇze [f (b) − f (a)]g (ξ) = [g(b) − g(a)]f (ξ) . Tomuto tvrzen´ı se ˇr´ık´ a Cauchy‘ova vˇeta o stˇredn´ı hodnotˇe. 3. Jestliˇze funkce f je spojit´ a v uzavˇreném intervalu a, b a derivovateln´ a v intervalu (a, b), potom v intervalu (a, b) existuje aspoˇ n jedno ˇc´ıslo ξ takové, ˇze f (b) − f (a) = f (ξ) b−a 49

Tomuto tvrzen´ı, které je jedn´ım z nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ıch v diferenci´ aln´ım poˇctu, se ˇr´ık´ a Lagrange‘ova vˇeta o stˇredn´ı hodnotˇe. 4. Jestliˇze funkce f je derivovateln´ a v uzavˇreném intervalu a, b a jej´ı derivace a (tj. f (a+) = f (b−) = 0 a f (x) = 0 ∀ x ∈ (a, b)), potom f je v a, b nulov´ funkce f je v intervalu a, b konstantn´ı.

5. Jestliˇze funkce f je derivovateln´ a v intervalu (a, b) a ve vˇsech bodech x tohoto intervalu plat´ı f (x) > 0 {resp. f (x) < 0, resp. f (x) ≥ 0, resp. f (x) ≤ 0}, potom je funkce f na tomto intervalu rostouc´ı {resp. klesaj´ıc´ı, resp. neklesaj´ıc´ı, resp. nerostouc´ı}. Tomuto tvrzen´ı se ˇr´ık´ a vˇeta o monotonnii funkce na intervalu. 6. Nechˇt f je funkce spojit´ a v uzavˇreném intervalu a, b. Jestliˇze v kaˇzdém bodˇe uzn´ a od nuly, potom intervalu (a, b) je funkce f derivovateln´ a a jej´ı derivace f je r˚ funkce f je ryze monotonn´ı v a, b. Tomuto tvrzen´ı budeme ˇr´ıkat zobecnˇen´ a vˇeta o monotonnii na uzavˇreném intervalu. Vyˇ sˇ s´ı derivace. Nechˇt je d´ ana nˇejak´ a funkce f s definiˇcn´ım oborem D(f ) a (1) ˇ u, ve kter´ ych je funkce f derivovateln´ a. necht D (f ) ⊂ D(f ) je mnoˇzina vˇsech bod˚ M˚ uˇzeme tedy na mnoˇzinˇe D (1) (f ) definovat novou funkci f (1) vztahem f (1) (x) = f (x). Podobnˇe, nechˇt D (2) (f ) ⊂ D (1) (f ) je mnoˇzina vˇsech tˇech bod˚ u x, (1) (2) ve kter´ ych je funkce f derivovateln´ a. M˚ uˇzeme tedy na mnoˇzinˇe D (f ) definovat (1) (2) (2) vztahem f (x) = f (x) = [f (x)] . Tuto funkci naz´ yv´ ame novou funkci f druhou derivac´ı funkce f nebo také derivac´ı druhého ˇra ´du funkce f a znaˇc´ıme f . ame derivaci n-tého Obecnˇe definujeme n-tou derivaci f (n) funkce f (nebo také ˇr´ık´ ˇra ´du funkce f ) vztahem (n) (n−1) (x) . f (x) = f u, ve kter´ ych je derivovateln´ a Jej´ım definiˇcn´ım oborem D (n) (f ) je mnoˇzina vˇsech bod˚ (n−1) (n) (n) (0) funkce f . M´ısto f (x) ˇcasto p´ıˇseme [f (x)] a m´ısto f , event. f p´ıˇseme f , event. f (1) . V´ ypoˇ cet limit pomoc´ı derivac´ı. Je ponˇekud paradoxn´ı, ˇze derivace, kter´ a je sama definov´ ana jako limita, je velmi siln´ ym prostˇredkem pro v´ ypoˇcet limit. Jedn´ a 0 ∞ ∞ 0 0 se o limity tzv. neurˇcit´ ych v´ yraz˚ u , , 0 · ∞, ∞ − ∞, 1 , 0 , ∞ . 0 ∞ Neurˇ cit´ e v´ yrazy typu pravidlo:

0 ∞ 0, ∞.

Vyjdeme z d˚ uleˇzité vˇety, zvané l‘Hospitalovo

Nechˇt f a g jsou funkce derivovatelné v nˇejakém okol´ı U = (α − η, α + η) bodu α uzn´ a od nuly v kaˇzdém s vyj´ımkou nanejv´ yˇs samotného bodu α a nechˇt derivace g je r˚ f (x) (m˚ uˇze b´ yt i nevlastn´ı) a nechˇt bodˇe tohoto okol´ı. D´ ale nechˇt existuje limita lim x→α g (x) a) lim f (x) = lim g(x) = 0 , x→α x→α nebo b) lim f (x) = ±∞ a také lim g(x) = ±∞. x→α

x→α

50

f (x) a plat´ı x→α g(x)

Potom existuje i limita lim

f (x) f (x) = lim . x→α g(x) x→α g (x) lim

Vˇeta z˚ ust´ av´ a v platnosti i tehdy, kdy v n´ı vˇsude zamˇen´ıme symbol x → α kter´ ymkoliv ze symbol˚ u x → α+, x → α−, x → ∞, x → −∞ a pˇredpoklad o derivovatelnosti v okol´ı U nahrad´ıme pˇredpokladem o derivovatelnosti v okol´ı zprava, v okol´ı zleva, v okol´ı plus nekoneˇcna (podot´ yk´ ame, ˇze okol´ım nekoneˇcna naz´ yv´ yme kaˇzd´ y interval (a, ∞), kde a je libovolné re´ alné ˇc´ıslo) nebo v okol´ı m´ınus nekoneˇcna. Neurˇ cit´ e v´ yrazy typu 0 · ∞ a ∞ − ∞. Jde o v´ ypoˇcet limit a) b)

lim [u(x)v(x)], pˇriˇcemˇz lim u(x) = 0 a lim v(x) = ∞ nebo lim v(x) = −∞,

x→α

x→α

x→α

x→α

lim [u(x) − v(x)], pˇriˇcemˇz lim u(x) = lim v(x) = ∞ nebo lim u(x) =

x→α

x→α

x→α

x→α

lim v(x) = −∞. x→α V obou pˇr´ıpadech, abychom mohli pouˇz´ıt l‘Hospitalovo pravidlo, pˇrev´ ad´ıme tyto 0 ∞ ame k tomu v´ yrazy na neurˇcité v´ yrazy typu 0 , popˇr. typu ∞ . To vˇzdycky jde. Pouˇz´ıv´ napˇr. v u v pˇr´ıpadˇe a) identitu u · v = 1 nebo identitu u · v = 1 , a dostaneme tak typ 00

g=

1 v

∞ ∞

v

u

pro f = v a g = u1 , 1 −1 v pˇr´ıpadˇe b) identitu u − v = v 1 u a dostaneme tak typ

pro f = u a g =

nebo typ

0 0

pro f =

1 v

−

1 u

a

uv

1 uv .

ypoˇcet limity l = lim u(x)v(x) Neurˇ cit´ e v´ yrazy typu 00 , 1∞ , ∞0 . Jde o v´ x→α v pˇr´ıpadech, kdy a) lim u(x) = lim v(x) = 0 , x→α

b) c)

x→α

lim u(x) = 1 a lim v(x) = ∞ ,

x→α

x→α

lim u(x) = ∞ a lim v(x) = 0 .

x→α

x→α

Ve vˇsech tˇrech pˇr´ıpadech vyuˇzijeme identitu u(x)v(x) = ev(x)·ln u(x) a pouˇzijeme vztah pro v´ ypoˇcet limity sloˇzené funkce. Dostáv´ ame lim [v(x) ln u(x)] v(x) = ex→α , tj. l = lim u(x) x→α

l = ek , kde k = lim [v(x) ln u(x)]. x→α Pˇri v´ ypoˇctu limity k se pak ve vˇsech tˇrech pˇr´ıpadech jedn´ a o neurˇcit´ y v´ yraz typu 0 · ∞. Kˇ rivost kart´ ezsk´ eho grafu funkce. Nechˇt je d´ ana funkce f derivovateln´ a ˇ ˇ v intervalu (a, b) , necht α je libovolné ˇc´ıslo z (a, b) a necht nα je normála ke grafu y = f (x) v bodˇe Aα = (α, f (α)). Nechˇt h je libovolné ˇc´ıslo (kladné nebo záporné) takové, ˇze α + h ∈ (a, b) a nechˇt nα+h je normála ke grafu y = f (x) v bodˇe useˇc´ık norm´ al nα , nα+h . Aα+h = (α + h, f (α + h)). Nechˇt M = (m1 , m2 ) je pr˚ Jestliˇze bod Aα+h se bl´ıˇz´ı k bodu Aα po grafu y = f (x), potom bod M = (m1 , m2 ) 51

se bl´ıˇz´ı (za pˇredpokladu, ˇze f (α) = 0) po norm´ ale nα k bodu Sα = (ξα , ηα ), jehoˇz any vztahy souˇradnice ξα , ηα jsou d´ 1 + [f (α)] 1 + [f (α)] (α) , η = f (α) + ξα = α − f . α f (α) f (α) 2

2

yv´ ame stˇredem kˇrivosti grafu y = f (x) v bodˇe Aα = (α, f (α)), nebo Bod Sα naz´ kr´ atce, v bodˇe α. 3 2 1+[f (α)] 2 u Aα a Sα , tj. ˇc´ıslo ρα = |Aα Sα | = naz´ yv´ ame Vzdálenost ρα bod˚ |f (α)| 1 |f (α)| , tj. ˇc´ıslo ρ1α = yv´ ame polomˇerem kˇrivosti a jej´ı opaˇcnou hodnotu 3 naz´ ρα [1+[f (α)]2 ] 2 kˇrivost´ı grafu y = f (x) v bodˇe Aα = (α, f (α)) (krátce, v α). yv´ ame oscilaˇcn´ı kruˇznic´ı Kruˇznici se stˇredem Sα = (ξα , ηα ) a s polomˇerem ρα naz´ grafu y = f (x) v bodˇe Aα . yv´ a poKdyˇz bod Aα = (α, f (α)) ”se pohybuje” po grafu y = f (x), tj. α nab´ aˇr´ı v kartézské rovinˇe stupnˇe vˇsechny hodnoty z intervalu (a, b), potom bod Sα vytv´ mnoˇzinu bod˚ u E = ((x, y) ∈ R2 : x = ϕ(α), y = ψ(α), α ∈ (a, b)) , kde 1 + [f (α)] f (α) , ϕ(α) = α − f (α) 2

1 + [f (α)] . ψ(α) = f (α) + f (α) 2

Mnoˇzina E se naz´ yv´ a evoluta grafu y = f (x) a rovnice x = ϕ(α), y = ψ(α) parametrické rovnice evoluty. Parametrick´ e rovnice kˇ rivky v rovinˇ e. Mnoˇzinu bod˚ u, jejichˇz kartézské souˇradnice x, y jsou funkce dané vztahy x = ϕ(t) , y = ψ(t) , t ∈ I naz´ yv´ ame kˇrivkou v kartézské rovinˇe definovanou parametricky v intervalu I (nejˇcastˇeji I = a, b nebo I = (−∞, ∞)). Pˇritom pˇredpokl´ ad´ ame, ˇze funkce ϕ(t), ψ(t) argumentu t maj´ı tyto vlastnosti: 1. Jsou v intervalu I spojité. ˙ 2. Maj´ı spojité derivace ϕ(t), ˙ ψ(t) vzhledem k promˇenné t v celém intervalu I s v´ yj´ımkou nanejv´ yˇs koneˇcného poˇctu bod˚ u, pˇriˇcemˇz nanejv´ yˇs s v´ yj´ımkou koneˇc2 2 ˙ n jedna z derivac´ı ϕ, ˙ ψ˙ je r˚ uzn´ a od ného poˇctu bod˚ u plat´ı ϕ˙ + ψ > 0 (tj. alespoˇ nuly). Argument t naz´ yv´ ame parametrem kˇrivky a samotn´ ym rovnic´ım ˇr´ık´ ame parametrické rovnice kˇrivky (v kartézské rovinˇe). Podobnˇe definujeme parametrick´ ymi rovnicemi i kˇrivku v pol´ arn´ıch souˇradnic´ıch. Teˇ cna a norm´ ala k rovinn´ e kˇ rivce dan´ e parametricky. Teˇcna a norm´ ala v bodˇe A = (ϕ (tA ) , ψ (tA )) jsou d´ any rovnicemi teˇcna : norm´ ala :

ψ˙ (tA ) (x − ϕ (tA )) − ϕ˙ (tA ) (y − ψ (tA )) = 0 ϕ˙ (tA ) (x − ϕ (tA )) + ψ˙ (tA ) (y − ψ (tA )) = 0 52

Pˇ r´ıklady technick´ ych kˇ rivek. 1. Cykloida. Je to trajektorie bodu P maj´ıc´ıho fixovanou polohu vzhledem ke kruˇznici ot´ aˇcej´ıc´ı se po pevné (nepohybuj´ıc´ı se) pˇr´ımce. Jej´ı parametrické rovnice v pˇr´ıpadˇe, kdy kruˇznice se stˇredem S a s polomˇerem r se otáˇc´ı po ose Ox a bod P leˇz´ı na polopˇr´ımce SA, kde A je pevn´ y bod na obvodu kruˇznice jsou (vzdálenost bod˚ u S a P oznaˇcme c) x = rt − c sin t ,

y = r − c cos t .

Odtud, pro tzv. obyˇcejnou cykloidu (c = r), plat´ı x = r(t − sin t)

,

y = r(1 − cos t) .

2. Evolventa kruˇznice. Je to trajektorie bodu P fixovaného na pˇr´ımce p ot´ aˇcej´ıc´ı se po obvodu pevné (nepohybuj´ıc´ı se) kruˇcnice k o polomˇeru r. Jej´ı parametrické rovnice v pˇr´ıpadˇe, kdy stˇred kruˇznice k spl´ yv´ a s poˇcátkem kartézské soustavy souˇradnic a kdy pˇr´ımka p se dot´ yk´ a v urˇcitém ˇcase obvodu kruˇznice v bodˇe M jsou x = r(cos t + t sin t) ,

y = r(sin t − t cos t) .

3. Spir´ aly. V technick´ ych problémech se vyskytuj´ı tˇri kˇrivky dané následuj´ıc´ımi pol´ arn´ımi grafy ( c a λ jsou kladné konstanty) r = cθ c r= θ r = ceλθ

Archimedova spir´ ala hyperbolick´ a spir´ ala logaritmick´ a spir´ ala

Derivace vektorov´ e funkce. Nechˇt v okol´ı bodu α je definov´ ana m-rozmˇerná vektorov´ a funkce f = [f1 , f2 , . . . , fm ]. Jestliˇze vˇsechny funkce fi jsou derivovatelné v bodˇe α, potom o vektorové funkci f ˇr´ık´ ame, ˇze je derivovateln´ a v bodˇe α a vektor (α)] naz´ yv´ ame jej´ı derivac´ı v α. f (α) = [f1 (α), f2 (α), · · · , fm Pˇr´ımo z definice lze snadno dok´ azat n´ asleduj´ıc´ı vˇetu Nechˇt f = [f1 , f2 , . . . , fm ], g = [g1 , g2 , . . . , gm ] jsou dvˇe m-rozmˇerné vektorové aln´ a funkce jedné re´ alné promˇenné definované v okol´ı Uα bodu α a nechˇt q je re´ ˇ funkce jedné re´ alné promˇenné, rovnˇeˇz definovan´ a v okol´ı Uα . Necht funkce f , g, q jsou derivovatelné v bodˇe α. Potom a) souˇcet a rozd´ıl funkc´ı f , g je derivovateln´ y v α a plat´ı (f ± g) (α) = f (α) ± g (α) , b) souˇcin re´ alné funkce q a vektorové funkce f je derivovateln´ y v α a plat´ı (qf ) (α) = q (α)f (α) + q(α)f (α) , c) skal´ arn´ı souˇcin vektorov´ ych funkc´ı f , g je derivovateln´ y v α a plat´ı (f · g) (α) = f (α) · g(α) + f (α) · g (α) , 53

d) jestliˇze nav´ıc f (α) = o, potom i velikost |f | vektorové funkce f je derivovateln´ a v α a plat´ı f (α) · f (α) |f | (α) = , |f (α)| e) v pˇr´ıpadˇe, ˇze vektorové funkce f , g jsou trojrozmˇerné, je i jejich vektorov´ y souˇcin derivovateln´ y v α a plat´ı (f × g) (α) = f (α) × g(α) + f (α) × g (α) . ˇ 13. TAYLOROVA VETA A APLIKACE. Taylorova vˇ eta s Lagrange’ov´ ym zbytkem. Plat´ı vˇeta: Nechˇt funkce f m´ a v uzavˇreném intervalu a, b derivace aˇz do n-tého ˇra ´du vˇcetnˇe (n je pevnˇe zvolené celé nez´ aporné ˇc´ıslo) a vˇsechny tyto derivace jsou v a, b spojité. ˇ Necht vˇsude uvnitˇr tohoto intervalu existuje n+1-n´ı derivace f (n+1) funkce f . Nechˇt body α, α + h (h = 0, ˇc´ıslo h m˚ uˇze b´ yt i z´ aporné) patˇr´ı do a, b. Potom existuje kladné ˇc´ıslo θ menˇs´ı neˇz jedna (0 < θ < 1) takové, ˇze plat´ı f (α + h) = Tn,α (h) + en (h) ,

(13.1)

kde Tn,α (h) je polynom n-tého stupnˇe v promˇenné h (tzv.Taylor˚ uv polynom) definovan´ y vztahem Tn,α (h) = f (α) +

f (α) 2 f (α) f (n) (α) n h+ h +···+ h 1! 2! n!

(13.2)

uv zbytek) je d´ an vztahem a v´ yraz en (h) (tzv.Lagrange‘˚ en (h) =

hn+1 (n+1) f (α + θh) . (n + 1) !

(13.3)

Podotknˇeme, ˇze pro chybu en (h) byly odvozeny i jiné vztahy (napˇr. Pe´ an˚ uv zbytek, Cauchy˚ uv zbytek). Vzorec (1) se naz´ yv´ a Taylorov´ ym rozvojem n–tého stupnˇe v bodˇe α. Maclaurin˚ uv rozvoj. Oznaˇc´ıme-li ve vzorc´ıch (1) –(3) α + h = x, tj. h = x − α, potom dostaneme ˇcasto pouˇz´ıvan´ y tvar Taylorova rozvoje f (α) f (α) (x − α) + (x − α)2 + · · · 1! 2! (n) (n+1) (α + θ(x − α)) f f (α) (x − α)n + (x − α)n+1 + n! (n + 1) !

f (x) = f (α) +

V pˇr´ıpadˇe α = 0 odtud dost´ av´ ame f (0) 2 f (n) (0) n f (n+1) (θx) n+1 f (0) x + x x + x +···+ . f (x) = f (0) + 1! 2! n! (n + 1) ! 54

a to je tzv. Maclaurin‘˚ uv rozvoj n-tého stupnˇe funkce f s Lagrange‘ov´ ym zbytkem. Diferenci´ aly funkce. V´ yrazy f (α) · h, f (α) · h2 , . . . f (n) (α) · hn v Taylorovˇe polynomu (2) se naz´ yvaj´ı prvn´ım, druh´ ym, . . . , n-t´ ym diferenci´ alem funkce f v bodˇe 1 2 n α a oznaˇcuj´ı se d f (α), d f (α), . . . d f (α). Plat´ı tedy d1 f (α) = f (α) · h , d2 f (α) = f (α) · h2 a obecnˇe dn f (α) = f (n) (α) · hn . Prvn´ı diferenci´ al vˇetˇsinou oznaˇcujeme df (α) m´ısto d1 f (α) a naz´ yv´ ame jej diferenci´ alem (bez pˇr´ıvlastku prvn´ı). Zd˚ uraznˇeme, ˇze diferenciály v bodˇe α jsou funkcemi nové promˇenné h. Samozˇrejmˇe závis´ı i na bodu α. Obecnˇe tedy plat´ı df (x) = f (x)·h, coˇz se ˇcasto krátce zapisuje df = f (x)·h . Pro funkci f (x) = x tedy dost´ av´ ame df = dx = h. Zde je d˚ uvod, proˇc m´ısto p´ısmene h se velmi ˇcasto pouˇz´ıv´ a dvojp´ısmeno dx, tj. proˇc vzorec df = f (x) · h se p´ıˇse ve tvaru df = f (x) · dx

nebo také f (x) =

df dx

a proˇc se v technick´ ych oborech derivace ˇcasto zapisuje jako pod´ıl diferenci´ al˚ u a m´ısto derivovatelnosti se hovoˇr´ı o diferencovatelnosti. Pˇri pr´ aci s diferenci´ aly je tedy tˇreba rozliˇsovat, zda promˇenn´ a x je nebo nen´ı závisl´ a na jiné promˇenné, napˇr. t. V prvn´ım pˇr´ıpadˇe symbol dx pˇredstavuje diferenciál avisle promˇennou. funkce, tj. dx = x (t)dt. Ve druhém pˇr´ıpadˇe pak je novou nez´ Algebra diferenci´ al˚ u funkc´ı. Ze vzorc˚ u ud´ avaj´ıc´ıch vztah pro derivov´ an´ı souˇctu, rozd´ılu, souˇcinu a pod´ılu dvou funkc´ı ihned plyne vˇeta Jestliˇze funkce f a g jsou diferencovatelné (tj. derivovatelné) v intervalu I, potom i jejich souˇcet (f + g), rozd´ıl (f − g) a souˇcin (f g) jsou funkce diferencovatelné v I a plat´ı d(f + g) = df + dg , d(f − g) = df − dg , d(f · g) = g · df + f · dg . y vˇsude tam, kde g(x) = 0 a plat´ı Pod´ıl fg je také diferencovateln´ f g · df − f · dg d = . g g2 Vzorce plat´ı i pro diferenci´ aly v jednotliv´ ych bodech. ˇ ık´ Lok´ aln´ı extr´ emy funkc´ı. R´ ame, ˇze funkce f definovan´ a v okol´ı Uα bodu α má v bodˇe α lok´ aln´ı maximum {resp.lok´ aln´ı minimum}, jestliˇze existuje takové okol´ı (α − δ, α + δ) ⊂ Uα bodu α, ˇze plat´ı {resp.

f (α) ≥ f (x) pro

|x − α| < δ

f (α) ≤ f (x) pro

|x − α| < δ} .

Jestliˇze v nerovnostech znaménko rovnosti plat´ı pouze pro x = α, potom ˇr´ık´ ame, ˇze lokáln´ı maximum {resp. lok´ aln´ı minimum} je ostré. 55

Jestliˇze funkce f nab´ yv´ a v bodˇe α lok´ aln´ı maximum nebo lok´ aln´ı minimum, potom ˇr´ık´ ame krátce, ˇze v nˇem nab´ yv´ a lok´ aln´ı extrém. O samotném bodu α pak ˇr´ık´ ame, ˇze je bodem lok´ aln´ıho extrému (lok´ aln´ıho maxima nebo lok´ aln´ıho minima) funkce f . Plat´ı d˚ uleˇzitá vˇeta. Jestliˇze funkce f je v bodˇe α derivovateln´ a a nab´ yv´ a v nˇem lok´ aln´ı extrém, potom nutnˇe f (α) = 0 . Body α ve kter´ ych je funkce f derivovateln´ a a jej´ı derivace je nulov´ a naz´ yv´ ame stacion´ arn´ımi body funkce. Z v´ yˇse uvedené vˇety tedy plyne z´ avˇer Funkce f definovan´ a v intervalu I m˚ uˇze nab´ yvat lok´ aln´ı extrém pouze v tˇech ˇ stacion´ vnitˇrn´ıch bodech intervalu I, které jsou budto arn´ı anebo funkce f v nich nen´ı derivovateln´ a. Postaˇ cuj´ıc´ı podm´ınka pro existenci lok´ aln´ıho extr´ emu. V pˇr´ıpadˇe, ˇze funkce f je derivovateln´ a v bodˇe α podm´ınka stacion´ arnosti je podm´ınkou nutnou pro existenci lok´ aln´ıho extrému. Nen´ı vˇsak podm´ınkou postaˇcuj´ıc´ı. Plat´ı vˇsak vˇeta Podm´ınka stacion´ arnosti se stane i postaˇcuj´ıc´ı podm´ınkou pro existenci lok´ aln´ıho extrému v bodˇe α, jestliˇze funkce f je derivovateln´ a v nˇejakém okol´ı (α − δ, α + δ) a z jedné a z´ aporn´ a ze druhé strany bodu bodu α a derivace f je v tomto okol´ı kladn´ α (ˇr´ık´ ame, ˇze derivace mˇen´ı v bodˇe α znam´ anko). Test s druhou derivac´ı. V´ıme, ˇze podm´ınka stacion´ arnosti je pouze podm´ınkou nutnou pro existenci lok´ aln´ıho extrému v bodˇe α, nikoli postaˇcuj´ıc´ı. Postaˇcuj´ıc´ı se stane, kdyˇz derivace f mˇen´ı v bodˇe α znaménko. Ovˇeˇren´ı této skuteˇcnosti vˇsak nen´ı v nˇekter´ ych pˇr´ıpadech snadné. Proto se nˇekdy pouˇz´ıv´ a jin´ a postaˇcuj´ıc´ı podm´ınka, naz´ yvan´ a test s druhou derivac´ı: Jestliˇze funkce f m´ a spojitou derivaci f v nˇejakém okol´ı bodu α a v samotném bodˇe α existuje i druh´ a derivace f (α) pˇriˇcemˇz plat´ı f (α) = 0 a f (α) = 0, potom funkce f nab´ yv´ a v bodˇe α ostrý lok´ aln´ı extrém a to maximum v pˇr´ıpadˇe f (α) < 0 a minimum v pˇr´ıpadˇe f (α) > 0. ˇ ık´ Glob´ aln´ı extr´ emy. Nechˇt funkce f je definov´ ana v intervalu I. R´ ame, ˇze funkce f nab´ yv´ a v bodˇe α ∈ I glob´ aln´ı maximum {resp. glob´ aln´ı minimum}, jestliˇze plat´ı f (α) ≥ f (x) {resp. f (α) ≤ f (x)} pro ∀ x ∈ I . Jestliˇze funkce f nab´ yv´ a v bodˇe α glob´ aln´ı maximum nebo glob´ aln´ı minimum, potom ˇr´ık´ ame, ˇze v nˇem nab´ yv´ a glob´ aln´ı extrém. O samotném bodu α pak ˇr´ık´ ame, ˇze je bodem glob´ aln´ıho extrému (glob´ aln´ıho maxima nebo glob´ aln´ıho minima) funkce f . Z definice je zˇrejmé, ˇze leˇz´ı-li bod glob´ aln´ıho extrému uvnitˇr intervalu I, potom je i bodem lok´ aln´ıho extrému. Odtud plyne z´ avˇer: Funkce f definovan´ a v intervalu I m˚ uˇze nab´ yt svou maxim´ aln´ı i minim´ aln´ı hodnotu pouze v n´ asleduj´ıc´ıch bodech: a) v krajn´ıch bodech intervalu I a to pouze v tˇech, ve kter´ ych je definov´ ana, b) ve vnitˇrn´ıch bodech intervalu I v nichˇz nen´ı funkce derivovateln´ a, c) ve stacion´ arn´ıch bodech. 56

Vˇsechny v´ yˇse uvedené body nazveme testovac´ımi body. Vˇetˇsinou jich neb´ yv´ a mnoho. ˇ ık´ Konk´ avnost a konvexnost. Inflexn´ı bod. R´ ame, ˇze funkce f definovan´ a v okol´ı Uα bodu α je v bodˇe α konvexn´ı {resp. konk´ avn´ı}, jestliˇze existuje takové um x okol´ı (α − δ, α + δ) ⊂ Uα bodu α, ˇze ˇcást grafu funkce f odpov´ıdaj´ıc´ı bod˚ z tohoto okol´ı leˇz´ı nad {resp. pod} teˇcnou v bodˇe α. Pˇrecház´ı-li graf v bodˇe α z jedné strany teˇcny na druhou, potom ˇr´ık´ ame, ˇze funkce f m´ a v bodˇe α inflexn´ı bod. Z rovnice teˇcny v bodˇe α ihned dost´ av´ ame Funkce f je v bodˇe α konvexn´ı {resp. konk´ avn´ı} jestliˇze plat´ı f (x) ≥ f (α) + f (α)(x − α)

{resp. f (x) ≤ f (α) + f (α)(x − α)

pro |x − α| < δ pro |x − α| < δ}

Jestliˇze v nerovnostech znaménko rovnosti plat´ı pouze pro x = α, potom ˇr´ık´ ame, ˇze funkce f je v bodˇe α ryze konvexn´ı {resp. ryze konk´ avn´ı }. Je-li funkce f konvexn´ı v kaˇzdém bodˇe intervalu I, potom ˇr´ık´ ame, ˇze je konvexn´ı v intervalu I. Obdobnˇe definujeme ryze konvexn´ı, konk´ avn´ı a ryze konk´ avn´ı funkci v intervalu I. Z Taylorovy vˇety (viz (1)) ihned dost´ av´ ame následuj´ıc´ı postaˇcuj´ıc´ı podm´ınku pro konvexnost a konk´ avnost: Jestliˇze funkce f m´ a spojitou derivaci f v nˇejakém okol´ı bodu α a v samotném bodˇe α existuje i druh´ a derivace f (α), pˇriˇcemˇz f (α) = 0, potom funkce f je avn´ı (v pˇr´ıpadˇe, v bodˇe α ryze konvexn´ı (v pˇr´ıpadˇe, kdy f (α) > 0) nebo ryze konk´ kdy f (α) < 0). Z vˇety ihned plynou dva d˚ usledky: 1. Jestliˇze f (α) = 0, potom funkce f nem˚ uˇze m´ıt v α inflexn´ı bod. Existuje-li a v bodˇe α inflexn´ı bod, potom plat´ı tedy druh´ a derivace f (α) a funkce f m´ f (α) = 0 .

(13.4)

2. Je-li f (x) > 0 {resp. f (x) < 0} vˇsude v intervalu I, potom je funkce f v intervalu I ryze konvexn´ı {resp. ryze konk´ avn´ı}. Postaˇ cuj´ıc´ı podm´ınka pro existenci inflexn´ıho bodu. Podm´ınka (4) je podm´ınkou nutnou k tomu, aby funkce f mˇela v bodˇe α inflexn´ı bod. Nen´ı podm´ınkou postaˇcuj´ıc´ı. Plat´ı vˇsak vˇeta. Podm´ınka (4) se stane i postaˇcuj´ıc´ı podm´ınkou k tomu, aby funkce f mˇela v bodˇe a v nˇejakém okol´ı (α − δ, α + δ) bodu α inflexn´ı bod, jestliˇze funkce f je derivovateln´ a z jedné a z´ aporn´ a ze druhé strany bodu α α a derivace f je v tomto okol´ı kladn´ ( ˇr´ık´ ame, ˇze druh´ a derivace funkce f mˇen´ı v bodˇe α znaménko). Pr˚ ubˇ eh funkce. Vˇety o derivov´ an´ı a vˇety této kapitoly n´ am umoˇzn ˇuj´ı urˇcovat charakteristické vlastnosti (ˇr´ık´ ame také pr˚ ubˇeh) funkce. Shrˇ nme, co zjiˇsˇtujeme pˇri urˇcován´ı pr˚ ubˇehu dané funkce. 1. Pˇrirozen´ y obor definice funkce. 57

2. Zda funkce je sud´ a, lich´ a nebo periodick´ a. Sudost nebo lichost n´ am umoˇzn ˇuje omezit se na studium vlastnost´ı funkce pouze pro kladné hodnoty nez´ avisle promˇenné, periodicita pak dokonce pro hodnoty nez´ avisle promˇenné tvoˇr´ıc´ı pouze libovoln´ y interval jehoˇz délka se rovn´ a periodˇe. 3. Vˇsechny body nespojitosti funkce, limity a jednostranné limity v tˇechto bodech a intervaly v nichˇz je funkce spojit´ a. 4. Vˇsechny intervaly v nichˇz je funkce kladn´ a nebo z´ aporn´ a a vˇsechny nulové body funkce. Nulové body se n´ am podaˇr´ı analyticky nalézt málokdy. Mus´ıme vˇetˇsinou pouˇz´ıt pˇribliˇzné (numerické) metody. Zm´ın´ıme se o nich v následuj´ıc´ım odstavci. 5. Vˇsechny intervaly, kde je funkce rostouc´ı, klesaj´ıc´ı, nerostouc´ı anebo neklesaj´ıc´ı. 6. Vˇsechny lok´ aln´ı i glob´ aln´ı extrémy funkce. 7. Vˇsechny intervaly, kde je funkce konvexn´ı nebo konk´ avn´ı. 8. Vˇsechny inflexn´ı body funkce. 9. Vˇsechny asymptoty grafu funkce. 10. Dalˇs´ı vlastnosti, jako napˇr. body ve kter´ ych funkce nen´ı derivovateln´ a a jednostranné derivace v tˇechto bodech, body nespojitosti derivace atd. Na základˇe vˇsech tˇechto zjiˇstˇen´ı pak naˇcrtneme graf dané funkce.

´ ´ ˇ E. INTEGRALN I POCET FUNKC´ I ´ ˇ ´ JEDNE PROMENNE. 14. PRIMITIVN´ I FUNKCE. Definice primitivn´ı funkce. Nechˇt v intervalu I je definov´ ana funkce f . Kaˇzdou funkci g definovanou a derivovatelnou v témˇze intervalu I takovou, ˇze plat´ı g (x) = f (x) ∀ x ∈ I naz´ yv´ ame primitivn´ı funkc´ı k funkci f v intervalu I a oznaˇcujeme ji f ∗%nebo také [f (x)]∗ . Leibniz zavedl pro oznaˇcen´ı primitivn´ı funkce k funkci f symbol f (x)dx a primitivn´ ı funkci nazval neurˇcit´ ym integr´ alem funkce f . Hled´ an´ı primitivn´ı funkce % f (x)dx k funkci f naz´ yv´ ame integrov´ an´ım funkce f a samotnou funkci f integrandem. V´ıme, ˇze nutnou podm´ınkou diferencovatelnosti funkce je jej´ı spojitost. Odtud ihned dosp´ıv´ ame k d˚ uleˇzitému závˇeru: Jestliˇze g je primitivn´ı funkce k funkci f v intervalu I, potom je spojit´ a v intervalu I (nez´ avisle na tom, zda je nebo nen´ı spojit´ a funkce f ). Existence primitivn´ı funkce. Funkce, ke kter´ ym existuj´ı primitivn´ı funkce, naz´ yv´ ame integrovateln´ ymi funkcemi. Ne kaˇzdá funkce f je integrovateln´ a. Plat´ı vˇsak vˇeta: Kaˇzd´ a funkce f spojit´ a v intervalu I je v tomto intervalu integrovateln´ a. Mnohoznaˇ cnost primitivn´ı funkce. Plat´ı n´ asleduj´ıc´ı vˇeta a) Jestliˇze g je primitivn´ı funkce k funkci f v intervalu I, potom i kaˇzd´ a funkce h definovan´ a v intervalu I vztahem h(x) = g(x) + C ∀ x ∈ I, kde C je libovolné re´ alné ˇc´ıslo, je primitivn´ı funkce k funkci f . 58

b) Jestliˇze g, h jsou primitivn´ı funkce k jedné a téˇze funkci f v intervalu I, potom se v celém tomto intervalu liˇs´ı o konstantu. Vid´ıme, ˇze u ´loha “nalézt funkci g primitivn´ı k dané funkci f v intervalu I” nen´ı jednoznaˇcná. Zn´ ame-li vˇsak jednu konkretn´ı (partikul´ arn´ı) primitivn´ı funkci g, dostaneme vˇsechny ostatn´ı primitivn´ı funkce pˇripoˇcten´ım libovolné reálné konstanty C (naz´ yv´ ame ji integraˇcn´ı konstantou). ˇ na ot´ Stanoven´ı integraˇ cn´ı konstanty. Odpovˇed azku, jak v konkretn´ı u ´loze vybrat z nekoneˇcnˇe mnoha primitivn´ıch funkc´ı tu jedinou, kter´ a ˇreˇs´ı danou u ´lohu, tj., jak stanovit hodnotu integraˇcn´ı konstanty, d´ av´ a n´ asleduj´ıc´ı vˇeta Nechˇt α, β jsou libovolnˇe zadan´ a re´ aln´ a ˇc´ısla, pˇriˇcemˇz α ∈ I. Potom ke kaˇzdé funkci f integrovatelné v intervalu I existuje pr´ avˇe jedna primitivn´ı funkce g takov´ a, ˇze g(α) = β. Tato funkce je definov´ ana vztahem g(x) = h(x) + β − h(α) , kde h(x) je libovolnˇe zvolen´ a partikul´ arn´ı primitivn´ı funkce k funkci f . Integrov´ an´ı souˇ ctu, rozd´ılu a souˇ cinu s konstantou. Pˇr´ımo z definice primitivn´ı funkce a ze vzorc˚ u pro derivov´ an´ı plyne n´ asleduj´ıc´ı vˇeta: Nechˇt f, g jsou integrovatelné funkce v intervalu I a nechˇt k je libovoln´ a konstanta. Potom i funkce f + g, f − g, kf jsou integrovatelné v I a plat´ı &

&

ad

[f (x) + g(x)] dx = &

& f (x) dx +

&

ad

g(x) dx &

[f (x) − g(x)] dx = f (x) dx − & & ad kf (x) dx = k f (x) dx

g(x) dx

Ve vzorc´ıch symbol ”ad” nad rovn´ıtkem znamená, ˇze levá a prav´ a strana se mohou liˇsit o konstantu. Z´ akladn´ı vzorce pro integrov´ an´ı. Pˇr´ımo z definice primitivn´ı funkce bezprostˇrednˇe plynou dva n´ asleduj´ıc´ı vzorce

& f (x) dx

& = f (x) ,

f (x) dx = f (x) + C

Ze vzorc˚ u pro derivov´ an´ı ihned dost´ av´ ame základn´ı vzorce pro integrov´ an´ı (symbol ”ad” vynech´ av´ ame, integrov´ an´ı se vztahuje na ty intervaly, ve kter´ ych jsou definov´ any integrandy). & &

& 0 · dx = 0

xα−1 dx = xα

α &

ax a dx = ln a x

59

1 dx = ln |x| x

&

& cos x dx = sin x &

&

sin x dx = − cos x

1 dx = − cot x 2 sin x & 1 dx = arctan x 1 + x2

1 dx = tan x cos2 x & 1 √ dx = arcsin x 1 − x2 D´ ale se snadno pˇresvˇedˇc´ıme, ˇze plat´ı &

1 2 √ dx = ln x + x + 1 , −∞ < x < ∞ 1 + x2 &

1 2 √ dx = − ln x + x − 1 , x ≥ 1 x2 − 1

Substituˇ cn´ı metoda integrov´ an´ı. Nechˇt a) f je funkce definovan´ a a spojit´ a v intervalu L, b) ϕ je funkce definovan´ a v intervalu K a má v nˇem spojitou derivaci ϕ , c) plat´ı H(ϕ) = L. Substituˇcn´ı metoda integrov´ an´ı vych´ azej´ıc´ı ze známé vˇety o derivov´ an´ı sloˇzené funkce se op´ır´ a o n´ asleduj´ıc´ı vzorce &

ad

&

f (ϕ(x)) · ϕ (x) dx = u

&

f (u) du

du ad

f (x) dx =

&

, x∈K

u = ϕ(x)

f (ϕ(u)) · ϕ (u) du x

, x∈L

u = ϕ−1 (x)

dx

Metoda per partes. Pˇredpokl´ adejme, ˇze funkce f a g jsou definov´ any a spojité v intervalu I a ˇze funkce f má spojitou derivaci v tomto intervalu. Metoda per partes pro integrov´ an´ı vych´ azej´ıc´ı ze známé vˇety o derivov´ an´ı souˇcinu dvou funkc´ı se op´ır´ a o n´ asleduj´ıc´ı vzorec &

ad

∗

f (x)g(x) dx = f (x)g (x) −

&

f (x)g ∗ (x) dx .

Rekurentn´ı vzorce pro integrov´ an´ı. Snadno, s pouˇzit´ım metody per partes, lze odvodit, ˇze pro libovoln´ a reáln´ a ˇc´ısla a = 0, c = 0, α = −1, β = 0 a pro libovolné pˇrirozené ˇc´ıslo n plat´ı &

α+1 & 2 α α+1 x ax2 + c 3 + 2α + ax + c dx ax + c dx = − 2c(α + 1) 2c(α + 1) & & β β−1 x cos x + (β − 1) sinβ−2 x dx β sin x dx = − sin 2

60

& β &

& β

cos x dx = cos

β−1

x sin x + (β − 1)

x 3 − 2n 1 dx = − + n n−1 2(1 − n) (1 + x2 ) 2(1 − n) (1 + x2 )

cosβ−2 x dx &

1 n−1

(1 + x2 )

dx , n ≥ 2

Integrov´ an´ı parci´ aln´ıch zlomk˚ u. V´ıme, ˇze parciáln´ı zlomky jsou funkce tvaru αx+β nebo (x2 +px+q) e pˇrirozené ˇc´ıslo a α , β , a , p , q jsou n , kde n je libovoln´ p 2 libovoln´ a reáln´ a ˇc´ısla, pˇriˇcemˇz ∆ = q − 2 > 0. Zlomky prvn´ıho tvaru integrujeme substituc´ı x − a = u. Dostaneme α (x−a)n

&

α dx = (x − a)n

α (x 1−n

− a)1−n

α ln |x − a|

pro

n = 1

pro

n=1

Integrov´ an´ı zlomk˚ u druhého druhu prov´ ad´ıme ve dvou kroc´ıch. 1. krok. . V´ yraz αx + β uprav´ıme do tvaru αx + β = b(2x + p) + c, kde b = α2 , c = β − αp 2 Dostaneme & & & α αp 2x + p dx αx + β n dx = n dx + β − n 2 2 2 2 2 (x + px + q) (x + px + q) (x + px + q) A(x)

A1 (x)

A2 (x)

V´ ypoˇcet primitivn´ı funkce A1 (x) provedeme substituc´ı x2 +px+q = u . Dostaneme & A1 (x) =

2x + p n dx = 2 (x + px + q)

'

2 1−n x + px + q ln x2 + px + q 1 1−n

pro

n = 1

pro

n=1

2. krok. √ Poˇc´ıt´ ame primitivn´ı funkci A2 (x) substituc´ı x = ∆u − p2 . Dostaneme tak √

∆ A2 (x) = ∆n Pro v´ ypoˇcet integrálu &

%

1 (u2 +1)n

& (u2

1 n du + 1)

du pak pouˇzijeme zn´ am´ y rekurentn´ı vzorec

u 3 − 2n du + n = − n−1 2 2(1 − n) (u + 1) 2(1 − n) (u2 + 1)

&

du (u2 + 1)

n−1

, n≥2

Integrov´ an´ı racion´ aln´ıch funkc´ı. V´ıme, ˇze racionáln´ı funkce R(x) je definov´ ana jako pod´ıl dvou re´ aln´ ych polynom˚ u P (x) , Q(x). Jestliˇze polynom ve jmenovateli Q(x) je vyˇsˇs´ıho stupnˇe neˇz polynom v ˇcitateli P (x), potom funkci R(x) naz´ yv´ ame ryze racionáln´ı. V opaˇcném pˇr´ıpadˇe m˚ uˇzeme polynom P (x) dˇelit polynomem Q(x). Dostaneme tak polynom a zbytek, kter´ y je jiˇz ryze racionáln´ı funkc´ı, tj. doZ(x) staneme R(x) = V (x) + Q(x) , kde obˇe funkce V (x) a Z(x) jsou polynomy a funkce 61

Z(x) Q(x)

je ryze racionáln´ı. Rozloˇz´ıme-li tuto ryze racionáln´ı funkci na parci´ aln´ı zlomky, dostaneme R(x) = V (x) + souˇcet parciáln´ıch zlomk˚ u a jak polynom, tak i parci´ aln´ı zlomky jiˇz um´ıme integrovat. Pˇri integrov´ an´ı ˇrady r˚ uzn´ ych funkc´ı se pouˇz´ıvaj´ı substituce, které vedou na integrov´ an´ı racion´ aln´ıch funkc´ı. Neelement´ arn´ı primitivn´ı funkce. V´ ypoˇcet primitivn´ıch funkc´ı nen´ı obecnˇe snadnou z´ aleˇzitost´ı. Opr´ avnˇenˇe tuˇs´ıme, ˇze existuj´ı jednoduché funkce, jejichˇz primitivn´ı funkce sice existuj´ı, nelze je vˇsak vyj´ adˇrit pomoc´ı n´ am znám´ ych elementárn´ıch funkc´ı. Mnohé z nich jsou vyj´ adˇreny pr´ a%vˇe ve tvaru primitivn´ıch funkc´ı. Jsou to napˇr´ıklad funkce: 2 a) Gaussova funkce e−x dx, % x b) integr´ aln´ı logaritmus lit = ex dx, % x c) integráln´ı sinus Six = sin %x cosdx, x d) integr´ aln´ı kosinus Cix = x% dx, % e) Fresnelovy funkce sin x2 dx , cos x2 dx. Mezi neelementárn´ı funkce patˇr´ı také velmi d˚ uleˇzité tzv. Legendre’ovy eliptické integr´ aly a hypereliptick´ y integr´ al. Jsou%definov´ any n´ asledovnˇe: dx √ , a) eliptick´ y integr´ al prvn´ıho druhu (1−x2 )(1−λ2 x2 ) % 1−λ2 x2 b) eliptick´ y integr´ al druhého druhu 1−x2 dx, % √ dx , c) eliptick´ y integr´ al tˇret´ıho druhu (x2 −µ) (1−x2 )(1−λ2 x2 ) % dx √ d) hypereliptick´ y integr´ al . 1+x5 Ve vˇsech tˇechto pˇr´ıpadech jsou λ , µ libovoln´ a reáln´ a ˇc´ısla, pˇriˇcemˇz 0 < λ < 1. ˇ Rusk´ y matematik P.L. Cebyˇ s ev dok´ a zal, ˇ z e i tzv. binomické integr´ aly % m n p yj´ımkou nˇekolika pˇr´ıpad˚ u patˇr´ı mezi neelementárn´ı funkce. x (a + bx ) dx s v´ ˚ INTEGRAL. ´ 15. RIEMANNUV Norm´ aln´ı posloupnost dˇ elen´ı intervalu. Nechˇt a, b je libovoln´ y uzavˇren´ y interval (a tedy ohraniˇcen´ y). Pro n = 1, 2, · · · rozdˇelme interval a, b na n ˇcást´ı ych, ˇze pomoc´ı dˇel´ıc´ıch bod˚ u xn0 , xn1 , xn2 , · · · , xnn−1 , xnn takov´ a = xn0 < xn1 < xn2 < · · · < xnn−1 < xnn = b Dostaneme tak posloupnost {∆n } dˇelen´ı intervalu a, b: ) ( ∆1 = x10 , x11 pˇriˇcemˇz a = x10 < x11 = b ) ( ∆2 = x20 , x21 , x22 pˇriˇcemˇz a = x20 < x21 < x22 = b ) ( ∆3 = x30 , x31 , x32 , x33 pˇriˇcemˇz a = x30 < x31 < x32 < x33 = b ................... $ # n n naz´ yv´ ame normou dˇelen´ı ∆n a oznaˇcujeme , x Délku nejvˇetˇs´ıho z interval˚ u x i−1 i n xi − xni−1 . O posloupnosti {∆n } ˇr´ık´ max ame, ˇze je norm´ aln´ı δn , tj. δn = i = 1,2,··· ,n

posloupnost´ı dˇelen´ı intervalu, jestliˇze δn → 0 kdyˇz n → ∞. 62

Definice Riemannova integr´ alu. Nechˇt f je libovoln´ a funkce (nemus´ı b´ yt a nornezáporn´ a) definovan´ a v uzavˇreném intervalu a, b a nechˇt {∆n } je libovoln´ máln´ı posloupnost dˇelen´ı intervalu a, b. Pro kaˇzdé dˇelen´ı ∆n vytvoˇrme souˇcet ρn =

n

f (ξkn ) xnk − xnk−1 ,

k=1

# $ kde ξkn je libovolnˇe vybran´ y bod v intervalu xnk−1 , xnk . Jestliˇze posloupnost ˇc´ısel {ρn } konverguje a to vˇzdy k jednomu a témuˇz ˇc´ıslu g , bez ohledu na konkrétn´ı v´ ybˇer ybˇer norm´ aln´ı posloupnosti {∆n } dˇelen´ı intervalu a, b a bez ohledu na konkretn´ı v´ n yv´ ame Riemannov´ ym integr´ alem funkce f v intervalu bod˚ u ξk , potom toto ˇc´ıslo g naz´ %b yv´ ame integrandem, ˇc´ısla a, b a oznaˇcujeme je symbolem f (x) dx. Funkci f naz´ a

yv´ ame n-t´ ym Riemannovým souˇctem. Jestliˇze a, b doln´ı a horn´ı mez´ı. Souˇcet ρn naz´ Riemann˚ uv integr´ al funkce f v intervalu a, b existuje, potom o funkci f ˇr´ık´ ame, ˇze je v a, b integrovateln´ a ve smyslu Riemanna, nebo také, ˇze je R-integrovateln´ a v a, b. V ˇceské literatuˇre se nˇekdy m´ısto term´ınu Riemann˚ uv integr´ al pouˇz´ıv´ a term´ın urˇcit´ y integr´ al. Nutn´ a podm´ınka R-integrovatelnosti. Plat´ı vˇeta Jestliˇze funkce f je R-integrovateln´ a v intervalu a, b, potom je v tomto intervalu ohraniˇcen´ a. Vˇ ety o R-integrovatelnosti. Plat´ı vˇety: a) Jestliˇze funkce f je R-integrovateln´ a v uzavˇreném intervalu a, b, potom je R-integrovateln´ a v kaˇzdém jeho uzavˇreném podintervalu α, β, kde a ≤ α < β ≤ b. b) Kaˇzd´ a monotonn´ı funkce v uzavˇreném intervalu a, b je v nˇem R-integrovateln´ a. c) Jestliˇze funkce f a g splˇ nuj´ı v kaˇzd´ ych dvou bodech α, β uzavˇreného intervalu a, b nerovnost |f (α) − f (β)| ≤ |g(α) − g(β)| a funkce g je R-integrovateln´ a v a, b, potom je v a, b R-integrovateln´ a i funkce f . d) Jestliˇze funkce h je R-integrovateln´ a v uzavˇreném intervalu a, b, potom i jej´ı absolutn´ı hodnota |h| je R-integrovateln´ a v a, b. R-integrovatelnost spojit´ e funkce. Lze snadno dok´ azat platnost následuj´ıc´ı velmi d˚ uleˇzité vˇety Kaˇzd´ a funkce f spojit´ a v uzavˇreném intervalu a, b je v tomto intervalu Rintegrovateln´ a. Poznamenejme, ˇze vˇetu lze zobecnit takto Ohraniˇcen´ a funkce v intervalu a, b, jej´ıˇz mnoˇzina bod˚ u nespojitosti je koneˇcn´ a (anebo nekoneˇcn´ a, avˇsak d´ a se pokr´ yt koneˇcn´ ym poˇctem interval˚ u o celkové libovolnˇe malé délce) je R-integrovateln´ a. Rieman˚ uv integr´ al ze souˇ ctu a souˇ cinu funkc´ı. Plat´ı vˇeta Jestliˇze funkce f a g jsou v intervalu a, b R-integrovatelné a K je libovoln´ a re´ aln´ a konstanta, potom i funkce a) f + g , b) Kf , c) f g jsou v a, b R-integrovatelné 63

a plat´ı &b

&b [f (x) + g(x)] dx =

a

&b f (x) dx +

a

&b

g(x) dx a

&b Kf (x) dx = K

a

f (x) dx a

Z vˇety plyne d˚ usledek Nechˇt funkce f (x) je R-integrovateln´ a v a, b a nechˇt funkce g(x) definovan´ a v a, b se liˇs´ı od funkce f (x) nanejv´ yˇs v koneˇcném poˇctu bod˚ u x1 , x2 , . . . , xk . Potom %b %b i funkce g(x) je R-integrovateln´ a v a, b a plat´ı g(x) dx = f (x) dx. a

a

Aditivnost a ohraniˇ cenost Riemannova integr´ alu. Snadno lze dok´ azat vˇetu, kter´ a je velmi d˚ uleˇzitá, zejména v aplikac´ıch: Nechˇt f je funkce R-integrovateln´ a v uzavˇreném intervalu a, b a nechˇt c je libovolné ˇc´ıslo takové, ˇze a < c < b. Potom plat´ı &b

&c f (x) dx =

&b f (x) dx +

a

a

f (x) dx ,

(15.1)

c

&b (b − a) inf f (x) ≤

f (x) dx ≤ (b − a) sup f (x) .

x∈a,b

(15.2)

x∈a,b

a

Vlastnost (1) naz´ yv´ ame aditivnost´ı Riemannova integr´ alu, vlastnost (2) pak ohraniˇcenost´ı Riemannova integr´ alu. Z vˇety ihned plyne n´ asleduj´ıc´ı d˚ usledek: Jestliˇze funkce f je R-integrovateln´ a v a, b, potom plat´ı b & &b f (x) dx ≤ |f (x)| dx a

a

Stˇ redn´ı hodnota funkce. Nechˇt f je R-integrovateln´ a funkce v uzavˇreném b % ˇ ıslo 1 f (x) dx naz´ yv´ ame stˇredn´ı hodnotou funkce f v intervalu intervalu a, b. C´ b−a a

a, b. Pro spojité funkce f plat´ı n´ asleduj´ıc´ı vˇeta: Jestliˇze f je spojit´ a funkce v uzavˇreném intervalu a, b, potom v tomto intervalu existuje takov´ y bod ξ, ˇze stˇredn´ı hodnota funkce f v a, b je rovna hodnotˇe funkce f v bodˇe ξ, tj. &b 1 f (x) dx = f (ξ) . b−a a

64

Integraˇ cn´ı meze. V definici Riemannova integr´ alu

%b

f (x) dx jsme pˇredpokl´ a-

a

dali, ˇze a < b. Definici rozˇs´ıˇr´ıme i na pˇr´ıpady, kdy b < a nebo b = a a to tak, ˇze definujeme &b &a &a f (x) dx = − f (x) dx , f (x) dx = 0 . a

a

b

V Riemannovˇe integr´ alu

%b

f (x) dx ˇc´ıslo a naz´ yv´ ame doln´ı mez´ı, ˇc´ıslo b horn´ı mez´ı

a

a to nezávisle na tom, zda a ≤ b nebo a > b. Snadno se m˚ uˇzeme pˇresvˇedˇcit, ˇze vzorec (1) (aditivnost) z˚ ustáv´ a v platnosti pˇri libovolné poloze ˇc´ısel a, b, c, pokud ovˇsem vˇsechna leˇz´ı v uzavˇreném intervalu v nˇemˇz je funkce f R-integrovateln´ a. Vztah mezi Riemannov´ ym integr´ alem a derivac´ı funkce. Uvedeme nyn´ı jednu z nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ıch vˇet integráln´ıho poˇctu. Jej´ı d˚ uleˇzitost spoˇc´ıv´ a v tom, ˇze ukazuje na velmi u ´zkou souvislost mezi Riemannov´ ym integr´ alem a derivac´ı funkce: Nechˇt f je R-integrovateln´ a funkce v uzavˇreném intervalu a, b. Potom funkce G definovan´ a vztahem &x f (t) dt

G(x) =

a ≤ x ≤ b

pro

a

a) je spojit´ a v a, b, b) je derivovateln´ a v kaˇzdém bodˇe α ∈ a, b v nˇemˇz je spojit´ a funkce f a plat´ı G (α) = f (α). Z vˇety ihned plyne n´ asleduj´ıc´ı d˚ usledek Ke kaˇzdé funkci f spojité v uzavˇreném intervalu a, b existuje primitivn´ı funkce. Fundament´ aln´ı vˇ eta integr´ aln´ıho poˇ ctu. Z vˇety uvedené v pˇredcházej´ıc´ım odstavci plyne tzv. fundament´ aln´ı vˇeta integr´ aln´ıho poˇctu naz´ yvan´ a téˇz Newton Leibnizova vˇeta: Jestliˇze funkce f je spojit´ a v uzavˇreném intervalu a, b, potom &b f (x) dx = Φ(b) − Φ(a) ,

(15.3)

a

kde Φ je libovoln´ a primitivn´ı funkce k funkci f . Vzorec (3) je jedn´ım z nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ıch vzorc˚ u integr´ aln´ıho poˇctu. Umoˇzn ˇuje n´ am vypoˇc´ıtat Riemann˚ uv integr´ al, kdyˇz známe primitivn´ı funkci. V´ ypoˇ cet Riemannova integr´ alu metodou per partes. Z vˇety o integrován´ı souˇcinu dvou funkc´ı a z Newton - Leibnizovy vˇety dostáv´ ame vzorec pro v´ ypoˇcet Riemannova integr´ alu metodou per partes &b

∗

∗

&b

f (x)g(x) dx = f (b)g (b) − f (a)g (a) − a

a

65

f (x)g ∗ (x) dx .

Substituˇ cn´ı metoda v´ ypoˇ ctu Riemannova integr´ alu. Z vˇety o integrován´ı sloˇzené funkce plyne n´ asleduj´ıc´ı vˇeta Jestliˇze funkce f je spojit´ a v oboru hodnot H(ϕ) funkce ϕ spojité a maj´ıc´ı spojitou derivaci v intervalu α, β, potom plat´ı ϕ(β) &

&β

f (s) ds =

f (ϕ(t)) · ϕ (t) dt .

α

ϕ(α)

Vzorec naz´ yv´ ame vzorcem pro v´ ypoˇcet Riemannova integr´ alu substituˇcn´ı metodou. Lze jej samozˇrejmˇe pouˇz´ıt jak pro v´ ypoˇcet Riemannova integrálu na levé stranˇe, tak i Riemannova integr´ alu na pravé stranˇe. Singul´ arn´ı body funkce. V definici Riemannova integr´ alu funkce f je podstatné, ˇze interval a, b je uzavˇren´ y a tedy i omezen´ y. Z definice také plyne, ˇze má - li b´ yt funkce f R-integrovateln´ a, mus´ı b´ yt nutnˇe ohraniˇcená. Ukazuje se, ˇze nˇekdy lze pojem Riemannova integr´ alu rozˇs´ıˇrit i na pˇr´ıpady, kdy jedna nebo obˇe podm´ınky nejsou splnˇeny. Za t´ım u ´ˇcelem definujeme: ˇ a) Necht s je vlastn´ım hromadn´ ym bodem definiˇcn´ıho oboru D(f ) funkce f . u xn ∈ D(f ) konverguj´ıc´ı k s takov´ a, ˇze Jestliˇze existuje posloupnost {xn } bod˚ posloupnost f (xn ) diverguje (k plus nebo k m´ınus nekoneˇcnu), potom o funkci f ˇr´ık´ ame, ˇze je neohraniˇcen´ a v bodˇe s. b) O funkci f (x) ˇr´ık´ ame, ˇze m´ a singularitu (je singul´ arn´ı) v bodˇe s, jestliˇze s je ˇ budto nevlastn´ım hromadn´ ym bodem (plus nebo m´ınus nekoneˇcno) jeho definiˇcn´ıho oboru D(f ) anebo funkce f je neohraniˇcená v bodˇe s. Rozˇs´ıˇren´ım pojmu Riemannova integr´ alu se zab´ yv´ ame v pˇr´ıpadech, kdy funkce f definovan´ a v intervalu I má na jednom nebo na obou konc´ıch intervalu singularitu. D´ ale se zab´ yv´ ame pˇr´ıpadem, kdy funkce f je definov´ ana v intervalu I nanejv´ yˇs s v´ yj´ımkou vnitˇrn´ıho bodu c ∈ I v nˇemˇz má singularitu. Ve vˇsech tˇechto pˇr´ıpadech n´ as snaha rozˇs´ıˇrit pojem Riemannova integrálu vede k pojmu nevlastn´ı integr´ al. Definice nevlastn´ıho integr´ alu v intervalu s jedn´ım singul´ arn´ım bodem. Definujeme a) Nechˇt funkce f je definov´ ana v intervalu I = a, b) (b m˚ uˇze b´ yt i plus nekoneˇcno) z pravé strany otevˇreném a nechˇt je R-integrovateln´ a v kaˇzdém uzavˇreném intervalu a, x, kde x < b. Jestliˇze funkce f (x) je singul´ arn´ı v bodˇe b a jestliˇze existuje vlastn´ı (koneˇcná) limita &x f (t) dt ,

lim

x→b− a

potom tuto limitu naz´ yv´ ame nevlastn´ım integr´ alem v intervalu a, b) . O integr´ alu pak ˇr´ık´ ame, ˇze existuje anebo také, ˇze konverguje. V opaˇcném pˇr´ıpadˇe ˇr´ık´ ame, ˇze neexistuje anebo také, ˇze nekonverguje. b) Analogicky definujeme nevlastn´ı integr´ al v intervalu (a, b v pˇr´ıpadˇe, kdy %b funkce f (x) je singul´ arn´ı v bodˇe a. Je to tedy lim f (t) dt . x→a+ x

66

c) Nechˇt funkce f (x) je definov´ ana v uzavˇreném intervalu a, b s v´ yj´ımkou bodu c ∈ (a, b), v nˇemˇz m˚ uˇze, ale také nemus´ı b´ yt definov´ ana. Jestliˇze funkce f je singul´ arn´ı v bodˇe c a existuj´ı nevlastn´ı integr´ aly v intervalech a, c) , (c, b, potom jejich souˇcet naz´ yv´ ame nevlastn´ım integr´ alem v intervalu a, b se singularitou v c. Definice nevlastn´ıho integr´ alu v otevˇ ren´ em intervalu. Nechˇt funkce f (x) je definov´ ana v otevˇreném intervalu I = (a, b) (a m˚ uˇze b´ yt m´ınus nekoneˇcno, b m˚ uˇze b´ yt plus nekoneˇcno). Jestliˇze funkce f (x) je singul´ arn´ı v bodech a i b a jestliˇze existuj´ı nevlastn´ı Riemannovy integr´ aly v intervalech (a, c) , (c, b) pro kaˇzdé ˇc´ıslo c z intervalu (a, b), potom jejich souˇcet naz´ yv´ ame nevlastn´ım integr´ alem v otevˇreném intervalu (a, b). Korektnost definice samozˇrejmˇe vyˇzaduje, aby souˇcet nezávisel na v´ ybˇeru ˇc´ısla c. Ten vˇsak skuteˇcnˇe nezávis´ı. V´ ypoˇ cet nevlastn´ıch integr´ al˚ u. Dovedeme-li nalézt k integrované funkci primitivn´ı funkci, pak jiˇz zpravidla m˚ uˇzeme rozhodnout o konvergenci nevlastn´ıho integr´ alu a vypoˇc´ıtat jeho hodnotu. Urˇcen´ı primitivn´ı funkce vˇsak ˇcasto ˇcin´ı pot´ıˇze. Nevlastn´ı integr´ al se pak snaˇz´ıme vypoˇc´ıtat numericky (pˇribliˇznˇe). K tomu je vˇsak nutné pˇredem vˇedˇet, zda dan´ y integr´ al existuje nebo nikoliv. O tom m˚ uˇzeme rozhodnout na z´ akladˇe kriteri´ı, kter´ a d´ ale uvedeme. Uvedeme je pouze v pˇr´ıpadˇe, kdy funkce f je definov´ ana v intervalu a, b), je singul´ arn´ı v bodˇe b a je integrovateln´ a v kaˇzdém intervalu a, x , a < x < b. Ostatn´ı pˇr´ıpady jsou zcela analogické. Abychom zd˚ uraznili, ˇze funkce f je singul´ arn´ı v bodˇe b, budeme ˇcasto m´ısto a, b) psát a, B). Absolutn´ı konvergence nevlastn´ıho integr´ alu. Plat´ı vˇeta: %B %B %B alu f (x) dx a) Je-li |f (x)| dx konvergentn´ı, je i f (x) dx konvergentn´ı. O integr´ a

a

a

v tomto pˇr´ıpadˇe ˇr´ık´ ame, ˇze je absolutnˇe konvergentn´ı. B % %B b) Jestliˇze f (x) dx nekonverguje, potom ani nekonverguje |f (x)| dx. a

a

Porovn´ avac´ı kriterium konvergence nevlastn´ıho integr´ alu. Plat´ı vˇeta %B Nechˇt 0 ≤ ϕ(x) ≤ ψ(x) pro ∀ x ∈ a, B). Konverguje-li integr´ al (n) ψ(t) dt, a

%B

potom také konverguje integr´ al (n) ϕ(t) dt. a

Limitn´ı kriterium konvergence nevlastn´ıho integr´ alu v intervalu a, ∞).. Plat´ı vˇeta Nechˇt funkce f (x) je R-integrovateln´ a v kaˇzdém intervalu a, c, kde c > a je libovolné re´ alné ˇc´ıslo. Potom %∞ f (t) dt konverguje, a to absolutnˇe, jestliˇze pro nˇejaké ˇc´ıslo a) integr´ al K = a

p > 1 existuje (koneˇcn´ a) limita L = lim [xp f (x)] , x→∞

67

b) integr´ al K nekonverguje, jestliˇze pro nˇejaké ˇc´ıslo p ≤ 1 plat´ı budˇ

lim [xp f (x)] = L = 0 , nebo

x→∞

L = ±∞ .

Limitn´ı kriterium konvergence nevlastn´ıho integr´ alu z neohraniˇ cen´ e funkce. Plat´ı vˇeta %b Nechˇt funkce f (x) je neohraniˇcen´ a v bodˇe b . Potom integr´ al (n) f (t) dt a

a) konverguje, a to absolutnˇe, jestliˇze pro nˇejaké ˇc´ıslo p < 1 existuje koneˇcn´ a limita L = lim [(b − x)p f (x)] , x→b−

b) nekonverguje, jestliˇze pro nˇejaké ˇc´ıslo p ≥ 1 budˇ

lim [(b − x)p f (x)] = L = 0 , nebo

x→b−

L = ±∞ .

´ 16. APLIKACE RIEMANNOVA INTEGRALU. %v Zobecnˇ en´ a ohraniˇ cenost. Riemann˚ uv integr´ al f (x) dx funkce f spojité v uzavˇreu

ném intervalu a, b, kde a ≤ u ≤ v ≤ b, lze zˇrejmˇe povaˇzovat za veliˇcinu (funkci) V (u, v) závisej´ıc´ı na u, v (a samozˇrejmˇe také na f ). V´ıme, ˇze veliˇcina V (u, v) má pro a ≤ u ≤ v ≤ b dvˇe n´ asleduj´ıc´ı vlastnosti V (a, u) + V (u, v) = V (a, v)

(16.1)

(v − u) min f (x) ≤ V (u, v) ≤ (v − u) max f (x) x∈u,v

x∈u,v

(16.2)

Vlastnost (1) naz´ yv´ ame aditivitou a vlastnost (2) ohraniˇcenost´ı vzhledem k f . Ve vztahu (2) jsme nahradili infimum minimem a supremum maximem, neboˇt funkce f je podle pˇredpokladu spojit´ a. Jestliˇze má tedy Riemann˚ uv integr´ al matematicky modelovat nˇejakou geometrickou nebo fysik´ aln´ı veliˇcinu (obsah, objem, pr´ aci, moment setrvaˇcnosti atd.), potom tato veliˇcina mus´ı m´ıt pochopitelnˇe zm´ınˇené vlastnosti (1) a (2). Vznik´ a pˇrirozenˇe otázka, zda plat´ı i opak, tj. zda kaˇzdá geometrická nebo fysik´ aln´ı veliˇcina obdaˇrená vlastnostmi (1), (2) mus´ı b´ yt jiˇz nutnˇe vyj´ adˇrena Riemannov´ ym ˇ je kladn´ integr´ alem. Jak uvid´ıme pozdˇeji, odpovˇed a. Ovˇeˇrov´ an´ı vlastnosti (2) b´ yv´ a nˇekdy komplikované. Uvedeme zde jinou vlastnost, kter´ a se ovˇeˇruje vˇetˇsinou snadnˇeji a pˇritom staˇc´ı k tomu, aby veliˇcina V (u, v) musela b´ yt vyj´ adˇrena Riemannov´ ym integr´ alem. Definujeme: Nechˇt V (u, v) je veliˇcina (funkce) z´ avisej´ıc´ı na dvou promˇenn´ ych u, v takov´ ych, ˇze a ≤ u ≤ v ≤ b a nechˇt f je spojit´ a funkce v intervalu a, b. Jestliˇze existuj´ı funkce η(u, v) a ζ(u, v) , a ≤ u ≤ v ≤ b takové, ˇze  lim η(u, v) = lim ζ(u, v) = f (u)  v→u+ v→u+ (16.3) lim η(u, v) = lim ζ(u, v) = f (v)  u→v−

u→v−

68

a jestliˇze (v − u)η(u, v) ≤ V (u, v) ≤ (v − u)ζ(u, v) ,

(16.4)

potom ˇr´ık´ ame, ˇze veliˇcina V (u, v) m´ a vlastnost zobecnˇené ohraniˇcenosti vzhledem k funkci f . Poloˇz´ıme-li η(u, v) = min f (x) a ζ(u, v) = max f (x), potom ze spojitosti x∈u,v

x∈u,v

funkce f zˇrejmˇe plyne (3). Odtud ihned dost´ av´ ame vˇetu: Jestliˇze veliˇcina V (u, v) m´ a vlastnost ohraniˇcenosti (2), potom m´ a i vlastnost zobecnˇené ohraniˇcenosti (4). Z´ akladn´ı vˇ eta o aplikaci Riemannova integr´ alu. Plat´ı n´ asleduj´ıc´ı d˚ uleˇzitá vˇeta: Nechˇt f je spojit´ a funkce v uzavˇreném intervalu a, b a nechˇt veliˇcina V (u, v) , a ≤ u ≤ v ≤ b m´ a vlastnosti aditivity (1) a zobecnˇené ohraniˇcenosti (4) vzhledem k funkci f . Potom &b f (x) dx . V (a, b) = a

D´ ale plat´ı vˇeta: Nechˇt f a g jsou spojité funkce v intervalu a, b takové, ˇze f (x) ≥ g(x), a ≤ x ≤ b. Nechˇt funkce V (u, v) , a ≤ u ≤ v ≤ b m´ a vlastnost aditivity (1) a nechˇt pro a ≤ u ≤ v ≤ b plat´ı (v−u) min f (x) − max g(x) ≤ V (u, v) ≤ (v−u) max f (x) − min g(x) . x∈u,v

x∈u,v

x∈u,v

Potom

x∈u,v

&b [f (x) − g(x)] dx .

V (a, b) = a

Ploˇ sn´ y obsah mnoˇ ziny mezi dvˇ ema kart´ ezsk´ ymi grafy. Nechˇt f a g jsou dvˇe funkce spojité v intervalu a, b takové, ˇze f (x) ≥ g(x) , a ≤ x ≤ b. Chceme definovat ploˇsn´ y obsah |A| mnoˇziny A mezi kartézsk´ ymi grafy funkc´ı f a g a mezi pˇr´ımkami x = a a x = ab , tj. mnoˇziny definované vztahem A = {(x, y) ∈ R2 , a ≤ x ≤ b , g(x) ≤ y ≤ f (x)}

(16.5)

Plat´ı: Nechˇt f a g jsou spojité funkce v intervalu a, b takové, ˇze f (x) ≥ g(x) ∀ x ∈ a vztahem (5). Potom a, b. Nechˇt A je mnoˇzina bod˚ u (x, y) v rovinˇe R2 definovan´ obsahem mnoˇziny A naz´ yv´ ame ˇc´ıslo |A| definované vztahem &b [f (x) − g(x)] dx .

|A| = a

69

Ploˇ sn´ y obsah v´ yseˇ ce pod pol´ arn´ım grafem. Nechˇt f je spojit´ a funkce v intervalu α, β. Chceme definovat a vypoˇc´ıtat ploˇsn´ y obsah mnoˇziny A vymezené pol´ arn´ım grafem r = f (θ) a polopˇr´ımkami θ = α a θ = β. Shodnˇe se základn´ı vˇetou o aplikaci Riemannova integr´ alu definujeme Nechˇt f je spojit´ a funkce v uzavˇreném intervalu α, β. Nechˇt A je mnoˇzina bod˚ u (r, θ) v pol´ arn´ı rovinˇe definovan´ a vztahem A = {α ≤ θ ≤ β , 0 ≤ r ≤ f (θ)} . Potom ploˇsn´ ym obsahem mnoˇziny A naz´ yv´ ame ˇc´ıslo |A| definované vztahem 1 |A| = 2

&β f 2 (θ) dθ . α

Pr´ ace. Základn´ı vˇeta o aplikaci Riemannova integr´ alu n´ as vede k n´ asleduj´ıc´ı definici: Pr´ ace W vykonan´ a spojitˇe se mˇen´ıc´ı silou f (x) v intervalu a, b je d´ ana vztahem &b f (x) dx .

W = a

D´ elka kart´ ezsk´ eho grafu funkce. Základn´ı vˇeta o aplikaci Riemannova integr´ alu n´ as vede k n´ asleduj´ıc´ı definici: Délkou l hladkého oblouku generovaného funkc´ı f v uzavˇreném intervalu a, b naz´ yv´ ame ˇc´ıslo dané vztahem &b

2

1 + [f (x)] dx .

l = a

D´ elka kˇ rivky zadan´ e parametricky. Základn´ı vˇeta o aplikaci Riemannova integr´ alu n´ as vede k n´ asleduj´ıc´ı definici: Délka l hladkého oblouku zadaného parametrick´ ymi rovnicemi x = ϕ(t) , y = ψ(t) , z = χ(t) , α ≤ t ≤ β je d´ ana vztahem

&β ϕ˙ 2 (t) + ψ˙ 2 (t) + χ˙ 2 (t) dt . l = α

D´ elka rovinn´ eho oblouku zadan´ eho pol´ arnˇ e. Nechˇt f je spojit´ a funkce ypoˇcet délky zároveˇ n se svou prvn´ı derivac´ı f v intervalu α, β. Ve vzorci pro v´ kˇrivky zadané parametricky poloˇz´ıme 70

x = ϕ(t) = f (t) cos t , y = ψ(t) = f (t) sin t , α ≤ t ≤ β , coˇz je parametrické vyj´ adˇren´ı kˇrivky r = f (θ). Dostaneme &β l =

2

f 2 (θ) + [f (θ)] dθ .

α

Objem rotaˇ cn´ıho tˇ elesa. Základn´ı vˇeta o aplikaci Riemannova integr´ alu n´ as vede k n´ asleduj´ıc´ım definic´ım: a) Nechˇt f je nez´ aporn´ a spojit´ a funkce v intervalu a, b. Objemem |V| tˇelesa V vzniklého rotac´ı rovinné oblasti A = {(x, y) ∈ R2 ; a ≤ x ≤ b , 0 ≤ y ≤ f (x)} yv´ ame ˇc´ıslo definované vztahem kolem osy Ox naz´ &b |V| = π

f 2 (x) dx . a

b) Nechˇt g(y) , f (y) jsou spojité funkce definované v intervalu α, β , α ≥ 0 takové, ˇze g(y) ≤ f (y) ∀ y ∈ α, β. Objemem |V| tˇelesa V vzniklého rotac´ı kolem yv´ ame osy Ox rovinné oblasti B = {(x, y) ∈ R2 , g(y) ≤ x ≤ f (y) , α ≤ y ≤ β} naz´ ˇc´ıslo definované vztahem &β y[f (y) − g(y)] dy .

|V| = 2π α

Obsah rotaˇ cn´ı plochy. Základn´ı vˇeta o aplikaci Riemannova integr´ alu n´ as vede k n´ asleduj´ıc´ım definic´ım: a) Nechˇt nez´ aporn´ a funkce f (x) je spojit´ a z´ aroveˇ n se svou derivac´ı f (x) v uzavˇreném intervalu a, b. Obsah |S| plochy S vzniklé rotac´ı kolem osy Ox grafu y = f (x) , a ≤ x ≤ b funkce f je definov´ an vztahem &b |S| = 2π

2 f (x) 1 + [f (x)] dx .

a

b Nechˇt funkce g(y) je spojit´ a z´ aroveˇ n se svou derivac´ı g (y) v uzavˇreném intervalu α, β, kde α ≥ 0. Obsah |S| plochy S vzniklé rotac´ı kolem osy Ox grafu x = g(y) , α ≤ y ≤ β je definov´ an vztahem &β 2 |S| = 2π y 1 + [g (y)] dy . α

71

OBSAH ´kladn´ı pojmy (1) a. za 1. Mnoˇ ziny (1). Základn´ı pojmy teorie mnoˇzin (1). Operace s mnoˇzinami (2). Reálné mnoˇziny, supremum a infimum (2). 2. Matematick´ a logika (2). V´ yrok a v´ yrokov´ a funkce (2). Negace v´ yroku a logické kvantifik´ atory (3). Disjunkce a konjunkce v´ yrok˚ u (3). Implikace a ekvivalence v´ yrok˚ u (3). Teorémy a jejich d˚ ukazy (4). 3. Re´ aln´ a a komplexn´ı ˇ c´ısla (4). Reáln´ a ˇc´ısla (4). Operace s reáln´ ymi ˇc´ısly (5). Absolutn´ı hodnota a okol´ı re´ alného ˇc´ısla (6). Mocniny a odmocniny z re´ aln´ ych ˇc´ısel (6). Komplexn´ı ˇc´ısla (7). Opeˇ sen´ı race s komplexn´ımi ˇc´ısly (7). Binomick´ a vˇeta (8). D˚ uleˇzitá nerovnost (9). Reˇ kvadratick´ ych rovnic a nerovnost´ı v re´ alném oboru (9). ´vod do elementa ´rn´ı algebry (9). b. u 4. Matice a algebraick´ e vektory‘(9). Algebraické vektory (9). Skal´ arn´ı souˇcin dvou algebraick´ ych vektor˚ u (10). Lineárn´ı závislost vektor˚ u (10). Souˇradnice vektoru (10). Hodnost soustavy vektor˚ u (11). Matice (11). Gaussovská matice (12). Transponovan´ a matice (12). Násoben´ı matice ˇ matic´ı (12). Ctvercov´ e matice (13). Inverzn´ı matice (14). Ortogon´ aln´ı matice (14). Hodnost matice (14). Vlastn´ı ˇc´ısla a vlastn´ı vektory matice (15). 5. Determinanty (15). Definice determinantu (15). Kˇr´ıˇzové a Sarrusovo pravidlo (15). Subdeterminant a algebraick´ y doplnˇek (16). Cramerovo pravidlo a v´ ypoˇcet inverzn´ı matice (16). Základn´ı vlastnosti determinant˚ u (17). Rozvoj determinantu podle ˇra´dku a podle sloupce (17). Dalˇs´ı vlastnosti determinant˚ u (17). Nutn´ a podm´ınka invertovatelnosti matic (18). 6. Soustavy line´ arn´ıch rovnic (18). ˇ sitelnost soustavy, Frobeniova vˇeta (18). Matice a rozˇs´ıˇrená matice soustavy (18). Reˇ ˇ Homogenn´ı soustavy (19). Reˇsen´ı soustav (19). V´ ypoˇcet inverzn´ı matice (19). Charakteristick´ a rovnice matice (20). 7. Polynomy a jejich pod´ıly (20). Polynom a jeho koˇreny (20). Bézoutova vˇeta (21). Základn´ı vˇeta algebry (21). D‘Alembertova vˇeta (21). Rozklad polynomu v komplexn´ım oboru (21). Vˇeta o imagin´ arn´ıch koˇrenech reáln´ ych polynom˚ u (22). Rozklad re´ alného polynomu v re´ alném oboru (22). Reáln´ y racion´ aln´ı v´ yraz (22). Rozklad re´ alného ryz´ıho racion´ aln´ıho v´ yrazu na parci´ aln´ı zlomky (22). ´vod do analytick´ c. u e geometrie (23). 8. Geometrick´ e vektory (23). Kartézská soustava souˇradnic (23). Euklidovsk´ y prostor (24). Vektory ve fyzice (24). Orientovan´ au ´seˇcka (24). Geometrick´ y vektor (24). Vztah mezi geometrick´ ym a algebraick´ ym vektorem (25). Skalárn´ı souˇcin geometrick´ ych vektor˚ u (25). Odchylka 72

dvou geometrick´ ych vektor˚ u (25). Vztah mezi odchylkou a skalárn´ım souˇcinem vektor˚ u (26). Smˇerové kosiny vektoru (26). Vektorov´ y souˇcin vektor˚ u (26). Vlastnosti vektorového souˇcinu (26). V´ ypoˇcet souˇradnic vektorového souˇcinu (27). Objem rovnobˇeˇznostˇenu a ˇctyˇrstˇenu (27). Sm´ıˇsen´ y souˇcin vektor˚ u (27). V´ ypoˇcet sm´ıˇseného souˇcinu (27). Vlastnosti sm´ıˇseného souˇcinu (27). 9. Analytick´ a geometrie v prostoru (27). Parametrické rovnice pˇr´ımky (27). Kanonické rovnice pˇr´ımky (28). Vektorov´ a rovnice roviny urˇcené normálov´ ym smˇerem (28). Obecn´ a rovnice roviny (28). Obecn´ a ´ ´ rovnice roviny v u ´sekovém tvaru (29). Uhel dvou pˇr´ımek v prostoru (29). Uhel ´ pˇr´ımky a roviny (29). Uhel dvou rovin (29). Vzdálenost bodu od roviny (29). Vzd´ alenost bodu od pˇr´ımky (30). V´ alcové plochy (30). Kuˇzelové a rotaˇcn´ı plochy (30). Kvadriky (30). ´ln´ı poc ˇet funkc´ı jedn´ ˇnn´ d. diferencia e prome e (30). 10. Funkce jedn´ e promˇ enn´ e (30). Obecn´ y pojem zobrazen´ı (30). Reálné a vektorové funkce (31). Zadáv´ an´ı funkc´ı (31). Kartézské a pol´ arn´ı souˇradnice v rovinˇe (32). Obecn´ y u ´hel a jeho velikost (32). Funkce sinus a kosinus (32). Graf funkce (32). Rovnost dvou funkc´ı, rozˇs´ıˇren´ı a z´ uˇzen´ı (33). Nulov´ y bod funkce (33). Posloupnosti (33). Operace s funkcemi (33). Sloˇzená funkce (33). Inverzn´ı zobrazen´ı (34). V´ ypoˇcet inverzn´ı funkce (34). Graf inverzn´ı funkce (34). V´ yznaˇcné typy funkc´ı (34). Z´ akladn´ı elementárn´ı funkce (35). Konstantn´ı a mocninné funkce (35). Exponenci´ aln´ı funkce (35). Logaritmické funkce (36). Goniometrické funkce (36). Cyklometrické funkce (37). Vektorové funkce (37). Operace s vektorov´ ymi funkcemi (38). 11. Limita a spojitost (39). Definice limity posloupnosti (39). Jednoznaˇcnost limity posloupnosti (39). Kriteria konvergence posloupnosti (39). Algebra limit posloupnost´ı (39). Podposloupnost (39). Hromadn´ y bod mnoˇziny (40). Nevlastn´ı limity posloupnosti (40). Heineho definice limity funkce (40). Jednostranné limity funkce (41). Algebra limit funkc´ı (41). Vˇeta o tˇrech funkc´ıch (41). Nevlastn´ı limity funkce (41). Limita funkce v nekoneˇcnu (42). Algebra nevlastn´ıch limit a limit v nekoneˇcnu (42). Asymptoty (43). Spojitost funkce (44). Algebra spojit´ ych funkc´ı (45). Z´ akladn´ı vlastnosti spojit´ ych funkc´ı (45). Spojitost inverzn´ı funkce (45). Limita a spojitost sloˇzené funkce (45). Limita vektorové funkce (46). Spojitost vektorové funkce (46). 12. Derivace (47). Definice derivace (47). Nutn´ a podm´ınka derivovatelnosti (47). Geometrick´ a a fyzik´ aln´ı interpretace derivace (47). Jednostranné derivace (48). Nevlastn´ı derivace (48). Algebra derivac´ı funkc´ı (48). Derivace sloˇzené funkce (48). Derivace inverzn´ı funkce (48). Logaritmická derivace (49). Derivace element´ arn´ıch funkc´ı (49). Z´ akladn´ı vlastnosti derivovateln´ ych funkc´ı (49). Vyˇsˇs´ı derivace (50). V´ ypoˇcet limit pomocité v´ yrazy typu 0 · ∞ , c´ı derivac´ı (50). Neurˇcité v´ yrazy typu 00 , ∞ ∞ (50). Neurˇ 0 ∞ 0 ∞ − ∞ (51). Neurˇcité v´ yrazy typu 0 , 1 , ∞ (51). Kˇrivost kartézského grafu funkce (51). Parametrické rovnice kˇrivky v rovinˇe (52). Teˇcna a norm´ ala k rovinné kˇrivce dané parametricky (52). Pˇr´ıklady technick´ ych kˇrivek (53). Derivace vektorové funkce (53). 73

13. Taylorova vˇ eta a aplikace (54). Taylorova vˇeta s Lagrange’ov´ ym zbytkem (54). Maclaurin˚ uv rozvoj (54). Diferenci´ aly funkce (55). Algebra diferenci´ al˚ u funkc´ı (55). Lok´ aln´ı extrémy funkc´ı (55). Postaˇcuj´ıc´ı podm´ınka pro existenci lok´ aln´ıho extrému (56). Test s druhou derivac´ı (56). Glob´ aln´ı extrémy (56). Konkávnost a konvexnost, inflexn´ı bod (57). Postaˇcuj´ıc´ı podm´ınka pro existenci inflexn´ıho bodu (57). Pr˚ ubˇeh funkce (57). ´ln´ı poc ˇet funkc´ı jedn´ e. integra e promˇ enn´ e (58). 14. Primitivn´ı funkce (58). Definice primitivn´ı funkce (58). Existence primitivn´ı funkce (58). Mnohoznaˇcnost primitivn´ı funkce (58). Stanoven´ı integraˇcn´ı konstanty (59). Integrov´ an´ı souˇctu, rozd´ılu a souˇcinu s konstantou (59). Z´ akladn´ı vzorce pro integrov´ an´ı (59). Substituˇcn´ı metoda integrov´ an´ı (60). Metoda per partes (60). Rekurentn´ı vzorce pro integrov´ an´ı (60). Integrov´ an´ı parci´ aln´ıch zlomk˚ u (61). Integrov´ an´ı racion´ aln´ıch funkc´ı (61). Neelementárn´ı primitivn´ı funkce (62). 15. Riemann˚ uv integr´ al (62). Normáln´ı posloupnost dˇelen´ı intervalu (62). Definice Riemannova integrálu (63). Nutn´ a podm´ınka R-integrovatelnosti (63). Vˇety o R-integrovatelnosti (63). R-integrovatelnost spojité funkce (63). Riemann˚ uv integr´ al ze souˇctu a souˇcinu funkc´ı (63). Aditivnost a ohraniˇcenost Riemannova integr´ alu (64). Stˇredn´ı hodnota funkce (64). Integraˇcn´ı meze (65). Vztah mezi Riemannov´ ym integr´ alem a derivac´ı funkce (65). Fundament´ aln´ı vˇeta integráln´ıho poˇctu (65). V´ ypoˇcet Riemannova integr´ alu metodou per partes (65). Substituˇcn´ı metoda v´ ypoˇctu Riemannova integr´ alu (66). Singul´ arn´ı body funkce (66). Definice nevlastn´ıho Riemannova integr´ alu v intervalu s jedn´ım singul´ arn´ım bodem (66). Definice nevlastn´ıho Riemannova integr´ alu v otevˇreném intervalu (67). V´ ypoˇcet nevlastn´ıch integr´ al˚ u (67). Absolutn´ı konvergence nevlastn´ıho integr´ alu (67). Porovn´ avac´ı kriterium konvergence nevlastn´ıho integr´ alu (67). Limitn´ı kriterium konvergence nevlastn´ıho integr´ alu v intervalu a, ∞) (67). Limitn´ı kriterium konvergence nevlastn´ıho integr´ alu z neohraniˇcené funkce (68). 16. Aplikace Riemannova integr´ alu (68). Zobecnˇená ohraniˇcenost (68). Základn´ı vˇeta o aplikaci Riemannova integr´ alu (69). Ploˇsn´ y obsah mnoˇziny mezi dvˇema kartézsk´ ymi grafy (69). Ploˇsn´ y obsah v´ yseˇce pod pol´ arn´ım grafem (70). Práce (70). Délka kartézského grafu funkce (70). Délka kˇrivky zadané parametricky (70). Délka rovinného oblouku zadaného pol´ arnˇe (70). Objem rotaˇcn´ıho tˇelesa (71). Obsah rotaˇcn´ı plochy (71).

74

Doc.RNDr.Ing.Josef Nedoma, CSc MATEMATIKA I. vbrně. Vychází zautorových skript MATEMATIKA I vydaných nakladatelstvím

Recommend Documents