Daniel Franta Ústav fyzikální elektroniky, Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita

ˇ Pokrocilé disperzní modely v optice tenkých vrstev Lekce 3: Kvantoveˇ mechanický popis – Thomas-Reiche-Kuhnovo (TRK) sumaˇcní pravidlo; Fermiho zlaté pravidlo; dipólová aproximace; dielektrická odezva Daniel Franta ˇ Ústav fyzikální elektroniky, Pˇrírodovedecká fakulta, Masarykova univerzita

24. 3. 2016

Thomas-Reiche-Kuhnovo (TRK) sumaˇcní pravidlo

Obsah

1


2

Fermiho zlaté pravidlo

3

Dipólová aproximace

4

Dielektrická odezva

5

Shrnutí

Daniel Franta (Ústav fyzikální elektroniky)

Pokroˇcilé disperzní modely

2 / 21


TRK sumaˇcní pravidlo ˇ pravidlo je odvozené v rámci Thomas-Reiche-Kuhnovo (TRK) sumacní nerelativistické kvantové mechaniky z obecných principu, ˚ které tvoˇrí jádro teorie. ˇ Pˇredpokládejme hamiltonián uzavˇreného systému v následující forme: ˆ0 = H

NX e +Nn j=1

NX e +Nn ˆj · p ˆj p qj qk + , 2mj 4π0 |ˆrj − ˆrk | j>k≥1

ˆj = (ˆ kde ˆrj = (ˆxj , ˆyj , ˆzj ) a p pxj , ˆ pyj , ˆ pzj ) jsou vektorové operátory polohy a hybnosti j-té cˇ ástice, pro které platí (postulát) Heisenbergovi relace neurˇcitosti: [ˆxj , ˆ pxj ] = i~ ,

[ˆyj , ˆ pyj ] = i~ ,

[ˆzj , ˆ pzj ] = i~ .

Speciální tvar hamiltoniánu, tj. že ho mužeme ˚ psát jako souˇcet kinetické a potenciální ˆj a druhá je funkcí ˆrj , nám umožní napsat energie, kde první z nich závisí pouze na p následující komutátorové relace: ˆ pxj =

imj ˆ [H0 , ˆxj ] , ~


ˆ pyj =

imj ˆ [H0 , ˆyj ] , ~


ˆ pzj =

imj ˆ [H0 , ˆzj ] . ~

3 / 21


TRK sumaˇcní pravidlo ˆ 0 a Ei a Ef Dále pˇredpokládejme, že |ii a |f i jsou libovolné vlatní stavy hamiltoniánu H jsou odpovídající vlastní energie: ˆ 0 |ii = Ei |ii H

and

ˆ 0 |f i = Ef |f i , H

pro které platí relace úplnosti: X

|f ihf | = 1 .

f

Na základeˇ pˇredchozích vztahu˚ mužeme ˚ napsat následující identitu pro operátory libovolné cˇ ástice j: 1 X 1 1 = hi|1|ii = hi|[ˆxj , ˆ pxj ]|ii = hi|ˆxj |f ihf |ˆ pxj |ii − hi|ˆ pxj |f ihf |ˆxj |ii i~ i~ f mj X ˆ 0 , ˆxj ]|ii − hi|[H ˆ 0 , ˆxj ]|f ihf |ˆxj |ii = hi|ˆxj |f ihf |[H 2 ~ f 2mj X 2mj X = (Ef − Ei )hi|ˆxj |f ihf |ˆxj |ii = 2 (Ef − Ei )|hf |ˆxj |ii|2 . 2 ~ ~ f f



4 / 21


TRK sumaˇcní pravidlo Tato identita muže ˚ být vyjádˇrena taktéž pomocí operátoru momentu dané cˇ ástice: f 6=i pxj |ii|2 2 X |hf |ˆ 2mj X (Ef − Ei )|hf |ˆxj |ii|2 = = 1. 2 ~ mj f Ef − Ei f

Pˇredchozí vztahy byly vztaženy k operátorum ˚ jedné cˇ ástice. Definujme celkové ˇ operátory hybnosti elektronu˚ ˆ pxe a jader ˆ pxn následovne: X X ˆ ˆ ˆ ˆ pxe = pxj a pxn = pxj , j∈electrony

j∈jádra n

které nám umožní definovat následující sumy: f 6=i pxe |ii|2 2 X |hf |ˆ = Ne me f Ef − Ei

a

f 6=i pxn |ii|2 2 X |hf |ˆ = Nn mn f Ef − Ei

kde Ne a Nn jsou celkové poˇcty elektronu˚ a jader n.



5 / 21


TRK sumaˇcní pravidlo Veliˇcina fifk : fifk =

pxk |ii|2 2mk 2 |hf |ˆ (Ef − Ei )|hf |ˆxk |ii|2 = ~2 mk Ef − Ei

se nazývá síla oscilátoru cˇ ástice typu k (elektron a ruzné ˚ druhy jader) a má tu vlastnost, že poˇcítá celkový poˇcet daných cˇ ástic. Pro daný systém potom mužeme ˚ psát ruzné ˚ TRK sumaˇcní pravidla f 6=i X

fifk =

f

f 6=i X pxk |ii|2 2 |hf |ˆ = Nk , mk Ef − Ei f

k = e, n1, n2, . . .

|ii je libovolný stav a sˇcítá se pˇres všechny možné existující |f i stavy síla oscilátoru muže ˚ nabývat jak kladných (Ef − Ei > 0), tak záporných hodnot (Ef − Ei < 0) energie Ei u koneˇcných systému˚ nenabývají pouze diskrétních hodnot, ale mohou tvoˇrit i kontinuum u velkých systému˚ (nekoneˇcných) energie tvoˇrí pásy



6 / 21


TRK sumaˇcní pravidlo Ve smyslu distribuˇcní funkce lze definovat funkci síly pˇrechodu následovneˇ Fk (E) =

f 6=i 1X k fif [δ(Ef − Ei − E) + δ(Ei − Ef − E)] . V f

Potom TRK sumaˇcní pravidlo má následující integrální formu: Z ∞ Nk Fk (E)dE = = Nk , V 0 kde Nk je hustota k cˇ ástic. TRK sumaˇcní pravidlo v obou formách je kvantoveˇ mechanická identita založená na základních postulátech. ˇ rit? Jak toto sumaˇcní pravidlo oveˇ ˇ rit oscilátorové síly nebo funkce síly pˇrechodu? Je možné meˇ Jak TRK sumaˇcní pravidlo souvisí s dielektrickou odezvou a klasickým sumaˇcním pravidlem?



7 / 21


Obsah

1


2


3


4


5

Shrnutí



8 / 21


Fermiho zlaté pravidlo K neporušené cˇ ásti hamiltoniánu pˇridáme cˇ asoveˇ závislou cˇ ást vyjadˇrující interakci ˇ se systémem, tzv. interakcní ˇ hamiltonián: svetla ˆ =H ˆ0 + H ˆ int (t) = H ˆ0 + H

NX e +Nn j=1

qjˆrj

i 1 h i(kˆrj −ωt) Ee + E∗ e−i(kˆrj −ωt) , 2

ˇ je popsané klasicky. Pro jednoduchost si zvolme souˇradný systém kde svetlo ˇ následovne: E = (A0 , 0, 0) ,

k = (0, 0, kz ) ,

kz = (n + ik)k0 ,

k0 =

2π ω = , λ c

A0 amplituda elektrického pole n index lomu k extinˇcní koeficient k0 velikost vnového vektoru ve vákuu ˇ že jsme použili aproximaci pro Z konstrukce interakˇcního hamiltoniánu je videt, ˇ tj. hElok i = E. vyjádˇrení stˇrední hodnoty lokálního pole jako v klasickém pˇrípade,



9 / 21


Fermiho zlaté pravidlo Interakˇcní hamiltonián má potom tvar: ˆ int (t) = H

NX e +Nn j=1

o qjˆxj A0 n i[(n+ik)k0ˆzj −ωt] e + e−i[(n+ik)k0ˆzj −ωt] . 2

ˇ Casov eˇ závislý interakˇcní hamiltonián zpusobí, ˚ že systém pˇrechází (osciluje) ze stavu ˇ pˇriˇcemž si s EM polem vymeˇ nuje ˇ |ii do stavu |f i a obrácene, energii ~ω = Ef − Ei s ˇ jistou pravdepodobností za jednotku cˇ asu. ˇ ˇ Fermiho zlaté pravidlo tuto pravdepodobnost definuje následovne: 2π |hf |ˆ w± |ii|2 δ(Ef − Ei ± ~ω) , ~ ˆ ± (z) se nazývají operátory poruchy: kde operátory w W± (ω) =

ˆ int (t) . ˆ − e−iωt + w ˆ + eiωt = H w Potom energie emitovaná/absorbovaná systémem za jednotku cˇ asu (výkon) na frekvenci ω je: P± (ω) = ~ωW± (ω) = 2πω

f 6=i X

|hf |ˆ w± |ii|2 δ(Ef − Ei − ~ω) .

f Daniel Franta (Ústav fyzikální elektroniky)


10 / 21


Obsah

1


2


3


4


5

Shrnutí



11 / 21


Dipólová aproximace ˇ Poruchové operátory mužeme ˚ v rámci dipólové aproximace nahradit následovne: ˆ± = w

NX e +Nn j=1

dˆx A0 qjˆxj A0 ∓i(n+ik)k0ˆzj e ≈ , 2 2

dˆx =

NX e +Nn

qjˆxj ,

j=1

kde dˆx celkový dipólový operátor systému. ˇ Výkon emitovaný/absorbovaný na frekvenci ω je potom úmerný frekvenci, intenziteˇ ˇ a druhé mocnineˇ dipólového maticového elementu: svetla f 6=i

P± (ω) =

πω 2 X A0 |hf |dˆx |ii|2 δ(Ef − Ei ± ~ω) , 2 f

ˇ ˇ a síle oscilátoru daného pˇrechodu: respektive úmerný intenziteˇ svetla f 6=i

P± (ω) =

f 6=i

X π 2X fif δ(Ef − Ei ± ~ω) . A0 (Ef − Ei )|hf |dˆx |ii|2 δ(Ef − Ei ± ~ω) ∝ A20 2~ f f

Srovnejte s oscilátorovými silami fife a fifn definovanými v souvislosti TRK sumou. Daniel Franta (Ústav fyzikální elektroniky)


12 / 21


Obsah

1


2


3


4


5

Shrnutí



13 / 21


Dielektrická odezva Absorbovaný výkon ve vzorku (v prostorovém elementu, kde platí dipólová ˇ aproximace) tedy mužeme ˚ psát následovne: f 6=i

P(ω) = P− (ω) − P+ (ω) =

πω 2 X |hf |dˆx |ii|2 [δ(Ef − Ei − ~ω) − δ(Ef − Ei + ~ω)] . A0 2 f

ˇ vstupujícího a vystupujícího z Stejný výkon mužeme ˚ vyjádˇrit pomocí intenzity svetla tohoto elementu: P(ω) = Axy [I(0) − I(Lz )] = V

I(0) − I(Lz ) Lz

a nebo lépe P(ω) = VI 0 (0) pro Lz → 0 . ˇ vyjádˇríme jako cˇ asoveˇ vystˇredovaný Intenzitu svetla Poyntinguv ˚ vektor pro rovinnou tlumenou vlnu:

Axy I(O)

Lz

I(Lz)

n0 c 2 −2kk0 z A0 e = I0 e−αz . 2 Derivací pˇredchozího vztahu dostaneme vztah mezi absorbovaným výkonem a imaginární cˇ ástí dielektrické funkce: I(z) = Sz (t) = Ex (t)Hy (t) =

P(ω) = Vn(ω)k(ω)0 ck0 A20 = V Daniel Franta (Ústav fyzikální elektroniky)


εi (ω)0 ω 2 A0 . 2 14 / 21


Dielektrická odezva V rámci dipólové aproximace dielektrická funkce uzavˇreného systému je reprezentována jako souˇcet netlumených oscilátoru: ˚ εi (E) =

f 6=i π X |hf |dˆx |ii|2 [δ(Ef − Ei − E) − δ(Ei − Ef − E)] , 0 V f

kde reálná cˇ ást muže ˚ být získána pomocí KK relací: εr (E) =

f 6=i 2 X Ef − Ei Ei − Ef |hf |dˆx |ii|2 − . 0 V f (Ef − Ei )2 − E2 (Ei − Ef )2 − E2

Zvláštní popis. Nekoneˇcná odezva v bodeˇ rezonance. Kde je disipace? Odpovídá Sellmeierovu empirickému modelu. ˇ zavedeno a nemá v Podobné jako u klasických modelu, ˚ kde tˇrení je umele ˇ klasickém atomistickém modelu oduvodn ˚ ení.



15 / 21


Dielektrická odezva Vzhledem k definici funkce síly pˇrechodu: Fk (E) =

f 6=i 1 X 2mk (Ef − Ei )|hf |ˆxk |ii|2 [δ(Ef − Ei − E) + δ(Ei − Ef − E)] V f ~2

ˇ mužeme ˚ redefinovat funkci síly pˇrechodu následovne: εi (E) E =

f 6=i π X E|hf |dˆx |ii|2 [δ(Ef − Ei − E) − δ(Ei − Ef − E)] 0 V f

f 6=i π X (Ef − Ei )|hf |dˆx |ii|2 [δ(Ef − Ei − E) + δ(Ei − Ef − E)] 0 V f " # f 6=i X 2 πe2 X 2 2 = (Ef − Ei ) |hf |ˆxe |ii| + Zn |hf |ˆxn |ii| [δ(Ef − Ei − E) + δ(Ei − Ef − E)] 0 V f n # " " # X 2 me X 2 me (eh)2 = Fe (E) + Zn Fn (E) = M Fe (E) + Zn Fn (E) 8π0 me mn mn n n

=

nebo integrálneˇ sumaˇcní pravidlo stejné jako u klasického modelu: Z ∞ me = 1.000274 . εi (E) E dE = M Ne U kde U ≈1+ 2u 0 Daniel Franta (Ústav fyzikální elektroniky)


16 / 21


Dielektrická odezva Abychom do modelu zavedli disipaci je nutné model otevˇrít a spojit ho s termostatem: εi (E) =

f 6=i π X Ω − Ei exp |hf |dˆx |ii|2 [δ(Ef − Ei − E) − δ(Ei − Ef − E)] , 0 V i,f kB T

ˇ kde Ω je termodynamický potenciál definovaný tak, že pro kanonické rozdelení platí: X Ω − Ei exp = 1, kB T i takže tento krok nemá vliv na sumaˇcní pravidlo. Otevˇrení systému má za následek fakt, že v reprezentaci obsazovacích cˇ ísel mají elektrony Fermi–Diracovo a fonony ˇ Bose–Einsteinovo rozdelení.



17 / 21


Dielektrická odezva Navíc je nutné pˇri výpoˇctu uvažovat všechny možné procesy libovolných ˇrádu, ˚ což se v praxi obchází tak, že se zavede empirické rozšíˇrení pomocí symetrických ˇ normovaných rozdelovacích funkcí: εi (E) =

f 6=i π X Ω − Ei exp |hf |dˆx |ii|2 [βif (Ef − Ei − E) − βif (Ei − Ef − E)] , 0 V i,f kB T

kde βif je Gaussova nebo Lorentzova funkce. Nebo též jejich kombinace Voigtuv ˚ profil. Takovéto rozšíˇrení též nemá vliv na sumaˇcní pravidlo. Lorentzovské rozšíˇrení diskrétního spektra vede k tlumenému harmonickému oscilátoru (Lorentzuv ˚ model). Gaussovské rozšíˇrení diskrétního spektra vede k cˇ emu? ˚ Kramers-Kroniguv obraz Gaussovké funkce vede k Dawsonovu integrálu.



18 / 21


Dielektrická odezva – Gaussovské rozšíˇrení diskrétních pˇrechodu˚

dielectrická funkce, εr

10.0 8.0 6.0 4.0 2.0 0.0 -2.0 -4.0 -6.0

dielectrická funkce, εi

Fononová absorpce taveného kˇremene

16.0 14.0 12.0 10.0 8.0 6.0 4.0 2.0 0.0

LithosilQ2 UDM Drude-Lorentz 12 Gauss 2

0.0161 0.00363

A = 2.26 Nph = 0.01976 eV2

0

0.05

0.1

0.15

0.2

energie fotonu, E (eV)



19 / 21




10.0 8.0 6.0 4.0 2.0 0.0 -2.0 -4.0 -6.0



16.0 14.0 12.0 10.0 8.0 6.0 4.0 2.0 0.0


0.0032 0.00361 0.0088

0.001423 0.00133 0.00115 0.001237

Nph = 0.02169 eV2 Nph/Nn = 0.02183

0.000092

0

0.05

A = 2.1109

0.000714 0.1

0.00018

0.15

0.2


εi (E) =

X j

n h i h io Nj √ exp −(E − Ej )2 /(2B2j ) − exp −(E + Ej )2 /(2B2j ) 2πBj Ej



19 / 21




10.0 8.0 6.0 4.0 2.0 0.0 -2.0 -4.0 -6.0



16.0 14.0 12.0 10.0 8.0 6.0 4.0 2.0 0.0


0.0032 0.00361 0.0088

0.001423 0.00133 0.00115 0.001237

Nph = 0.02169 eV2 Nph/Nn = 0.02183

0.000092

0

0.05

A = 2.1109

0.000714 0.1

0.00018

0.15

0.2


εr (E) = A +

X

−

j Daniel Franta (Ústav fyzikální elektroniky)

√ i h io √ √ Nj 2 n h D (E − Ej )/( 2Bj ) − D (E + Ej )/( 2Bj ) πBj Ej Pokroˇcilé disperzní modely

19 / 21

Shrnutí

Obsah

1


2


3


4


5

Shrnutí



20 / 21

Shrnutí

Shrnutí Ukázali jsme si, že TRK sumaˇcní pravidlo je jistá kvantoveˇ mechanická identita, založená na základních postulátech nerelativistické teorie, do kterých se dá zahrnout i speciální tvar kinetické cˇ ásti hamiltoniánu. Pomocí Fermiho zlatého pravidla jsme si ukázali jak jednoduše zavést interakci mezi stˇredním EM polem a nabitými cˇ ásticemi. ˇ V rámci dipólové aproximace jsme si ukázali, že výkon, který si pole vymeˇ nuje se ˇ ˇ a síle oscilátoru daného systémem je úmerný intenziteˇ dopadajícího svetla pˇrechodu. V rámci uzavˇreného systému jsme ukázali, že dielektrická odezva je daná jako suma netlumených oscilátoru. ˚ Pro uzavˇrený systém jsme si ukázali, že v rámci dipólové aproximace se dá najít souvislost mezi TRK sumaˇcními pravidly a klasickým sumaˇcním pravidlem. Dále jsme si ukázali, že otevˇrení systému a zavedení rozšiˇrování nemá vliv na sumaˇcní pravidlo.



21 / 21

Daniel Franta Ústav fyzikální elektroniky, Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita

Recommend Documents