C o IFFER ENTIAALMEETKUNDE VRAAGSTUKKEN VECTORANAL YSE. Dr. R. J. Wille. Dr. G. W. M. Kallenberg. door

Bereken in bolcoördinaten : 1e. grad 2e. 9.

~


4> •

Druk het lijnelement uit in cylindrische coördinaten r, 0 en z.

10. Druk de componenten van een vector in cylindrische coördinaten a , a M a uit in de componenten a , a , a . r .. z x y z 11. Toon aan, dat 1e. grad

.if. 'If

= or ël4>

r

e_ r + 1 00 O:P

ël4> + oZ

~0

~z

.

12. Toon aan, dat . 1 1e. dlV !!: =

r { or0

2e. rot !!: =

r1 {

+

0

0 0 00 (az) - äZ (aOr) } ~ r +

~ { o~

13. Gegeven: al = 0, Bereken:

Cl

(arr) + 00 (aO) + oz (azr)}.

(aOr) -

ao

= r,

o~ a

z

(ar) }

= O.

~z

.

- 14 Ie. rot a. 2e. diva.

i

14. Gegeven:

~

= x i + y

Ie. Druk

~

in cylindrische

co~rdinaten

uit.

2e. Bereken div

~

in cylindrische

3e. Bereken rot

~

in cylindrische coBrdinaten.

15. Gegeven: 41 = 0 r, 0 Bereken: fl cP •

<

0

< fT

;

r

co~rdinaten.

>

O.

HOOFDSTUKn

Toepas singen Par. 1. Mechanica. 1.

Op een lichaam werkt een kracht F van de grootte 2 en een koppel

g1 !

van de grootte 3. Kies de oörsprong op de werklijn van ! en het assenstelsel zo, dat de positieve x-as en F resp. de positieve y-as en g dezelfde richtingen hebben. Vervang! en g door een schroeving. 1e. Bepaal de vectorvergelijking van de schroefas. 2e. Bereken de spoed. 3e. Controleer de resultaten aan de hand van een figuur.

2.

Op een lichaam werkt een kracht ter grootte P langs een rechte door het punt (0,0,1) evenwijdig aan de x-as. Een tweede kracht ter grootte 3 P werkt langs een rechte door het punt (1,0, 0) en heeft richtingscosinussen (0 ~ ! ) , 5' 5 • Vervang de krachten door een schroeving.

1e. Bepaal de vectorvergelijking van de schroefas. 2e. Bereken de spoed. 3.

Twee krachten ter grootte Presp. Q werken langs twee rechten waarvan de loodrechte afstand r is en die een hoek ginsluiten. Toon aan, dat de absolute waarde van de spoed gelijk is aan PQr sin g p

2

+

Q2

+ 2PQ cos g

indien men de krachten vervangt door een schroeving. 4.

Twee krachten ter grootte Presp. Q werken langs twee elkaar loodrecht kruisende rechten. Vervang de krachten door een schroeving. Toon aan, dat de verhouding van de afstanden van de schroefas tot de werklijnen der krachten gelijk is aan Q2 : p 2 •

5.

Een massapunt met massa m bevindt zich in een krachtveld gelijk aan - k !:., waarbij k constant is. 1e. Toon aan, dat het veld rotatievrij is. 2e. Bepaal de potentHHe energie, indien de oorsprong nulpunt is.

- 16 6.

Een massapunt met massa m bevindt zich in een krachtveld kr - ;-, waarbij k constant is. r

le. Toon aan, dat het veld rotatievrij is. 2e. Bepaal de potenWHe energie, indien de potenWHe energie op afstand a van de oorsprong nul is. 7.

Een lichaam roteert om de oorsprong en heeft een hoeksnelheid w. Toon aan, dat voor de snelheid van een punt geldt:

. =w x

r 8.

r

Een lichaam roteert om de oorsprong. le. Gegeven is, dat de som G van de momenten van de krachten t.o.v. de oorsprong loodrecht staat op de hoeksnelheid ~ Toon aan, dat de kinetische energie constant is. 2e. Gegeven is, dat de som G van de momenten van de krachten t.o.v. de oorsprong loodrecht staat op de som h van de momenten van de impulsmomenten t.o.v. de oorsprong. Toon aan, dat de grootte van !! constant is.

9.

Het assenstelsel Oxtytz' roteert met een hoeksnelheid w om 0 in het assenstelsel Oxyz. Toon aan, dat voor elke 'vector in Oxyz (in Ox'y'z' met ~I aangeduid) geldt: -

a.

i

=

i'

+

(IJ

x a'

10. Een punt P beweegt in een plat vlak met constante hoeksnelheid wom O. Als de toename van de versnelling per tijdseenheid vol1 2 gens OP gericht is, bewijs dan, dat r = 3" r (IJ • Par.2. Potentiaaltheorie.

1.

Bepaal: le. De gravitatiepotentiaal van een massapunt met massa m. 2e. De electrostatische potentiaal van een positieve puntlading + e. 3e. De magnetostatische potentiaal van een "vrije" noordpool van de sterkte m. 4e. De snelheidspotentiaal van een vloeistof, die met een constante snelheid v 0 in de richting van de positieve x-as stroomt.

- 17 -

2.

Bereken de potentiaal van een homogeen met massa belegde cirkelschijf x 2 + y2 = a 2 , Z = 0, massadichtheid p, in een wille...; keurig punt (0,0, z) van de z-as.

3.

Wat kan men van de veldlijnen zeggen, indien 1e. diva = o. 2e. rot = o.

a

4.

Toon aan, dat 1e. Een massapunt met massa m een bron van veldlijnen is van de sterkte - m . 2e. Een elektrische puntlading met lading + e een bron van veldlijnen is van de sterkte + e .

5.

Toon aan, dat voor een rotatievrij veld met potentiaal 4> de vergelijking van Poisson geldt: 6.p = - 4 fT p, waarbij p de ruimtelijke dichtheid van de verdeel-de bronnen voorstelt.

6.

Toon aan, dat de potentiaal in een punt P van een dipool met moment w gelijk is aan -

w. r

=-:::r , waarbij !: de vector is die van P r

naar de dipool gericht is.

7.

Een (niet gesloten) oppervlak S is belegd met een normaal gerichte dipoollaag met constante dichtheid T. Vanuit een punt P kijkt men tegen de negatieve zijde van de dipoollaag aan. De rand van S wordt onder een ruimtehoek Q gezien. 1e. Bewijs dat de dipoollaag in P een potentiaal - T Q veroorzaakt. 2e. Hoe groot is deze potentiaal, wanneer S een zijvlak van een kubus en P het middelpunt van de kubus is.

P ar.3. Electrostatica.

1.

Toon aan, dat de elektrische veldsterkte tengevolge van een bol om de oorsprong met straal R met constante ruimtelijke ladingsdichtheid p geplaatst in een medium met dielektrische constante 4

1e. buiten de bol gelijk is aan -3

fT

2e. binnen de bol gelijk is aan !3

fT

R3 3P r. E

r

-

E!. r . €

-

- 18 2.

Leid de formule af:

fDdS

s- -

= Q,

waarbij D de dielectrische verplaatsing voorstelt en Q de totale lading billnen het oppervlak S . 3.

Toon aan, dat de dielectrische verplaatsing nadert tot cr (cr = oppervlakte ladingsdichtheid ), indien men tot het oppervlak van een geleider nadert.

4.

Een in het luchtledig geplaatst homogeen geladen boloppervlak met straal a heeft een totale lading Q. De veldsterkte binnen de bol is O. Waartoe nadert de grootte van de veldsterkte, indien men van de buitenkant tot de bol nadert.

5.

Toon aan, dat de potentiaal tengevolge van een in het luchtledig geplaatste isolator met polarisatiedichtheid P gelijk blijft, indien men de polarisatie vervangt door een ruimteÏading met dichtheid - div ~ en een oppervlaktelading met dichtheid P n , de normale component van ~ op het oppervlak.

6.

Een rechthoekig blok is homogeen gepolariseerd met polarisatiedichtheid P evenwijdig aan een der ribben. Door welke ruimtelading en oppervlaktelading kan men de polarisatie vervangen zonder dat de veldsterkte verandert.

7.

Bereken de elektrische veldsterkte in het middelpunt van een homogeen gepolariseerde bol met polarisatiedichtheid ~ .

8.

Gegeven is de ladingsdichtheid p

= E.

(r :; 1). De potentiaal op

fT

het boloppervlak met middelpunt in de oorsprong en straal R is

~,

>1

waarbij Q de totale lading is.

le. Bepaal de functie van Green behorende bij de oorsprong voor het gebied omsloten door het boloppervlak met straal R. 2e. Bereken de potentiaal in de oorsprong, indien de potentiaalfunctie voldoet aan de vergelijking van Poisson.

- 19 Par.4. Hydrodynamica.

1.

Wat verstaat men in de hydroqynamica onder

oH ät

DH en Dt ?

Hierin is H een willekeurige veldgrootheid. DH oH Leid ai dat: Dt = ar + (~.b.) H, wanneer u de stroomsnelheid is. 2.

Leid ai de continuiteitsvergelijking der hydrodynamica:

5f +

P div

~ = 4 11' P T.

waarin p de soortelijke massa van de ·vloeistof of het gas is, u de stroomsnelheid en T de dichtheid der verdeelde bronnen. 3.

Toon aan, dat de continuiteitsvergelijking voor een vloeistof met radHHe snelheid ter grootte u (r, t) luidt:

2e. Los de vergelijking op in het geval dat de vloeistof onsamendrukbaar is en 4

11'

PT

= r ~.

HOOFDSTUK

m

Examenopgaven I.

1.

19 januari 1962. a. Gegeven zijn drie willekeurige vectoren a, b en c. Herleid de uitdrukking (~ + ~) . {(~ + ~) x (~ + ~) }

tot een eenvoudiger gecI3.ante. b. Bewijs, dat voor drie willekeurige vectoren

~,

b en

(~x~) x~+ (~x~) x~+ (~x~) x~ =

= !:(t),

c. Van een ruimtekromme r is gegeven, dat -

met r

~

geldt

Q..

= (x,y,z),

d t2 = f (r) !.. 1

waarin r

(!:. !:)II. Bewijs, dat dan dr !: x = ~,

dt

waarin h een constante vector is. 2.

Geef de formules voor div (~ x !') en rot (~ x !'), waarin v en w continu düferentieerbare vectorvelden zijn. Neem v-= a en w = r , waarin a een constante vector is 'en !. '" (x-;-y,z). Herlei
3.

Formuleer het divergentietheorema van Gauss. Bewijs met behulp hiervan de volgende stelling /

S

(~

x !') d S '" /

rot !' d V .

V

Hierin is ween continu differentieerbaar vectorveld, S een gesloten oppervlak en V het gebied binnen S. (Geef richting en grootte van n). Neem in deze stelling w = a x r en bewijs, dat - -

- 21 -

.r (~. ~) ~ dS = ~ /

dV,

v

S

indien a een constante vector is en r

(x, y, z) .

-I1 . 4 september 1961. 1.

a. Het volgende product (~ x ~) x (~ x ~)

van vier willekeurige vectoren a, b, c en d kan geschreven worden zowel als lineaire combinatie-van en b als van c en d. Bepaal in beide gevallen de co~ffici~nten.

a.

-

b. Bewij s, dat (~x~) x (~x~) + (~x~) x (~x~) + (~x~) x (~x~) = - 2 [~. (~

2.

x ~)] ~ .

Van het vectorveld

! = f(r)~ is gegeven, dat het overal differentieerbaar is, terwijl div. v = r m (m > 0). Bepaal f ( r) en schrijf met behulp van de stelling van Gauss /

rmdV

V

als een oppervlakte integraal. Hierin is 3.

~

= (x, y, z ) .

a. Bewijs met behulp van de stelling van Stokes de volgende integraalstelling voor het scalairveld cp :

fCP!ds C

= .r(~ xVcp)dS;

hoe is de toevoeging van

S ~

aan ! ?

b. Bewijs met behulp van deze stelling, dat

.r

[~x(!x~))ds

C waarin a een constante vector is.

- a x

f S

~ dS,

- 22 lIl.

1.

14 juni 1961.

Gegeven zijn drie niet-coplanaire vectoren a, b en c. a. Bepaal drie vectoren al, bI en Cl, zOdanlg,-dat al . a = bI . b = Cl ~ c- = 1,al . b = al . ë = bI . a = bI . C = Cl . a = Cl . b

-

-

-

-

-

-

-

-

-

- - = o.

b. Zij V de inhoud van het parallelepipedum opgespannen op a, b en c en V' de inhoud van het parallelepipedum opgespannen op ~I, -!?,I en ~I. Bewijs, dat VVI = 1. c. Een vierde vector d kan geschreven worden als een lineaire combinatie van a, ben c. Bewijs, dat deze-lineaire combinatie de volgende gedäante heeft : ~ = (~ • ~')~ + (~ •

2.

!?,')!?,

+ (~ • ~I)~.

Zij C een enkelvoudig gesloten kromme, die de rand vormt van een oppervlak S. De eenheidsvector langs de raaklijn aan C zij T, de eenheidsvector langs de normaal op S zij n . a. Formuleer de stelling van Stokes (hoe is de toevoeging van n un!?) b. Pas de stelling van Stokes toe op het vectorveld ~IP, waarin a een willekeurige constante vector is. Dit leidt tot een integraalstelling voor het scalairveld lP. c. Als r = (x,y,z), bewijs dan dat n x r = ~n x'Vr 2 • d. Geef-met behulp van de onder b. gevonden stelling een uitdrukking voor -

.r (~ x !:.) dS S

in de vorm van een integrul langs C • 3.

< a binnen een bol met straal a is een continu differentieerbur vectorveld F gedefinieerd. Gegeven is, dat rot F == 0 en div F = -I-', wurin I-' een constante is. a. Als r -= (x,y,i), bewijs dan dat rot r == 0 en div r = 3. Bepaal met behulp van deze resultaten-hefvectorveld F. b. Bewijs, dat het vectorveld afgeleid kan worden van een scalaire potentiaal lP, zodanig dat F = grad lP. Druk lP uit in F met behulp van-een lijnintegraal. c. Bepaal met behulp van de gevonden lijnintegraal lP = lP ( r ) voor 0 ~ r ~ a, indien gegeven is dat lP ( a) = O. Welke waarde heeft de potentiaal in het middelpunt van de bol? Geef een schets van lP = lP ( r ) •

In het gebied 0 ~ r

I

- 23 -

IV 24 mei 1961.

1.

a. Als a, b en c drie willekeurige vectoren zijn, bewijs dan dat ~ x (~x ~) "+ ~ x (~ x ~) + ~ x (~ x ~) = Q; , b. Als a, b, c en d vier willekeurige vectoren zijn, bewijs dan dat (~ x-~) ~ (~ x ~") + (~ x ~) • (~ x ~) + ( ~ x ~). (~x ~) = 0

2.

a. Als a een constante vector is en r = (x, y, z), bewijs dan V(~.~)=~;

b. Als ({) (x, y, z) en I/J (x, y, z) twee scalarvelden zijn, die tweemaal continu differentieerbaar zijn, bewijs dan, dat V({) x VI/J =V x (({)VI/J). Zij verder C een enkelvoudig gesloten ruimtekromme, die de rand vormt van een oppervlak S. Geef met behulp van de stelling van Stokes een uitdrukking voor

.r ~. (V({) x VI/J)dS

i

I '.

S

in de vorm van een integraal langs C. Hoe is de toevoeging van ~ aan de richting waarin C doorlopen wordt? 3.

Van een continu vectorveld F, dat overal behalve in de punten r = a continue afgeleiden beZit, is gegeven dat V x F == Q en V.F=IJ,

I

O~r
\l.F 1

waarin IJ een constante is en r = (x 2 + y2 + Z2)2. Geef een uitdrukking voor de scalaire potentiaal <1'( r) van F, indien verder gegeven is, dat lim <1'( r) = 0 en <1'( r) continu is. r

~

'"

V 31 januari 1961.

1.

a. Gegeven zijn drie niet-coplanaire vectoren a, b en c. Een vierde vector ~ wordt geschreven als een Ïineaire combinatie van ~, b en c : ~ = À ~ + IJ~ + u~.

Schrijf de

I

co~ffici~nten À,

IJ en u als scalartripelproducten

- 24 -

van de gegeven vectoren

~, ~, ~

en d.

b. Bewij s, dat (~x~) .{(~ x~) x (~x ~)}= [~, ~, ~]2,

waarin [a, en cis.

~, ~]

het scalartripelproduct van de

vectoren~,

b

2.

Gegeven zijn twee vectorvelden u = ~ (x, y, z) en ! = ! (x, y, z ) Geef de formule voor V (u . v).Bewijs met behulp van deze üitdrukking, dat: 1 (!. V) ! = 2:V(!. !) - ! x (V x !).

3.

Gegeven zijn twee vectorvelden v = v (x, y, z) en VI = w (x, y, z ), terwijl overal rot w = o. - - Als S een gesloten-oppërvlak is dat het gebied V in de ruimte begrenst, bewijs dan met behulp van de stelling van Gauss, dat

.r '!!.

rot ! d V =

V

.r '!!.

(~x!) d S

S

Hierbij is !! de naar buitengerichte eenheidsnormaalvector. VI 20 januari 1961. 1.

a. Gegeven zijn drie niet-coplanaire vectoren a, b en c. Een vierde vector ~ wordt geschreven als eën ÏineaiÏe combinatie ~, ~ en c: ~=À~+I.L~+\)~.

Schrijf de co~ffici~nten À, I.L en \) als scalartripelproducten van de gegeven vectoren ~, ~, ~ en ~. b. Als a + b +

~ =

Q., bewijs dan, dat:

- = b-

a x b

-

- = -c

x c

x a

-

en interpreteer het resultaat meetkundig. 2.

Gegeven zijn twee vectorvelden u = u (x, y, z) en v = v (x, y, z). Geef de formule voor V (u . v).Bewijs met behulp van deze uitdrukking, dat: 1 (! . 9)! = 2: V (!. !) - ! x (V x !).

- 25 -

3.

Gegeven is, dat de functie lP = lP (x, y, z) aan de vergelijking van Laplace voldoet. Laat S een gesloten oppervlak zijn, dat het punt P (x , y , z ) omsluit. p p p a. Leidt met behulp van het theorema van Gauss een formule voor de potentiaal in P af, uitgedrukt in de waarden, die lP en zijn normale afgeleide op S aannemen. (derde stelling van Green) . b. Welke term in deze formule correspondeert met een enkelvoudige poolbelegging en welke term met een dubbellaag. Welke zijn de dichtheden van deze beleggingen. c. Pas de genoemde derde stelling van Green toe op een bol met middelpunt P en straal R en bewijs hiermee dat de waarde van lP in P gelijk is aan het gemiddelde van de waarden van lP op het boloppervlak.

4.

Bewijs met behulp van het theorema van Gauss, dat:

a.

.r V lP d V = .r ~ IPd S , V

b.

IV x v dV

S

.r

nxvdS.

S

VII september 1960.

1.

a. Bewijs dat: V. (V lP x VI/» = 0, waarbij lP en I/> willekeurige differentieerbare functies zijn van x, y en z. b. Beschrijf de bewegingen van een stoffelijk punt, die aan de onderstaande vectorvergelijking voldoen:

!: x (~ x

i)

= O.

Hierin is a een constante vector, r = {x ( t), y ( t), z ( t)} en ~ is de afgeleide naar de tijd t Vall !:. 2.

Leid kort en zakelijk de noodzakelijke en voldoende voorwaarde ( n ) af, opdat een vectorveld ! (u, v, w) een potentiaal lP bezit.

3.

a. Formuleer de definitie van een dipool met behulp van twee enkelvoudige polen. b. Bereken in een punt (x, y, z) de potentiaal lP van een dipool in

-- -

---

-

- 26 -

het pWlt (xp ,yp ,zp ) met sterkte

J..L

en as richting !! .

c. Wat is de waarde van de integraal:

f ~: dS, voor een willekeurig enkelvoudig geS

sloten oppervlak S om de dipool? (u is de uitwendige eenheidsnormaal op het oppervlak S). VIn 16 juni 1960.

1.

a. Bewijs de distributieve wet der vectorvermenigvuldiging voor het uitwendig product: ~x(~+~)=~x~+~x~ .

b. Laat zien dat de 2 rechte lijnen r = a + ku en r = b + hv in de ruimte elkaar snijden, indien: -

2.

~

is een constante vector, bewijs dat: ( ~. !:)

V

= ~,

V. (~ x !:)

=0

en

V x(~ x!:) = 2~.

3.

Bewijs met behulp van het theorema van Gauss, dat:

a.

IVqJdV = f!!qJdS,

V b.

Iv x!dV

S

=

V

f!!X!dS.

S

IX 9 mei 1960.

1.

Bewijs de volgende identiteiten a) (~ x ~) x (~ x ~) • (~x ~) = [~, ~, ~]

b) V(~.~)

= (~.

2

V)~ + ~ x rot ~ + (~. V)~ + ~ x rot ~

N.B. Gegeven is ~ x (~x ~)

= (~.

~)~

-

(~. ~)~

[~, ~, ~] = (~ x ~). ~ = (~ x ~). ~ = (~ x ~). ~ .

-

----

- 27 2.

a. Noem de noodzakelijke en voldoende voorwaarden (n ), opdat een vectorveld ~ (u, v, w) een potentiaal cp bezit. b. Noem de additionele voorwaarde (n) opdat deze potentiaal voldoet aan de vergelijkmg van Laplace: I::. cp = o.

3.

Gegeven is een dubbellaag (dipoollaag ) op een cirkelschijf met straat R van constante sterkte IJ.. a. Bepaal de potentiaal en het veld in een punt P op de as van de cirkel met afstand z tot het middelpunt. b. Laat zien, dat deze potentiaal en veldsterkte ook verkregen kunnen worden uit een wervelbelegging en bepaal de aard van deze wervelbelegging. c. Laat in beide gevallen zien, dat de potentiaal een sprong maakt als P langs de as bewegend het vlak van de cirkel passeert en bepaal de grootte van deze sprong.

~~~~~~~~~~---------

~~--- - - - - - - -

DEEL 11 DIFFERENTIAALMEETKUNDE HOOFDSTUK I Ruimtekrommen Par. 1. Algemene voorstelling; booglengte, raaklijn en osculatievlak. Geef parametervoorstellingen voor de snijkromme van de oppervlakken: 1.

Xl

-

2x 2

=0

2x 22

+ 2

2.

Xl

3.

2 Xl

+

X2 2

X2

+

X2 2

4.

1

Xl

0

9

-

2x 1

=0

= 6. ,

+ x 2 + 3x 3

= O.

x2

x3

X

2 arctg x 2

3

X2 1

1

•

Xl

+

+

X2 2

X2 3

= 4.

Geef in elk van de volgende opgaven een tweetal oppervlakken, waarvan de gegeven kromme de snijkromme is • 2 t2

X

X2

u2

X3

=3t • = U + u3

x2

sin 2u

X

= 2 cos u.

Xl

_

7.

~

=1

- cos 2u

8.

Bereken qe booglengte van de kromme

Xl

6.

Xl

u3

=6t

3

x2

=t =U

5.

, x2

= 3 e..[2

3

3

, x3

•

= 2t3

tussen de oorsprong en het punt (6, 3..[2,2). 9.

Bereken de booglengte van een omwenteling van de schroeflijn X

2 1

+

X2

= 16

,

2

=

X 3

3 arctg x_2 . Xl

10. Bereken de booglengte van het door de vlakken x 3 = ..[2 afgesneden stuk van de kromme Xl

= e u ,x2

= e

-u

X

3

Xs

u..[2.

0 en

-

--.---

- 29 -

11. Bewijs dat de x 3 -as in de oorsprong raakt aan de kromme Xl

= u-sin· u,

x2

=1

- cos u,

x3

= 2 u.

12. Bereken de hoeken, die de raaklijn in het punt (0,1,.0) aan de kromme Xl

= 2 sin t

,

x2

= cos t

X3

=-

>F3 sin 2 t

getrokken, met de coördinaatassen maakt. 13. Bereken de hoek, waaronder de kromme 1 x3 X2 = Xl = v,

v'

de rechte

Xl

+ x 2 = 0,

x3 =

>F2 In v

o kruist.

14. Bepaal parametervoorstellingen van de dubbelpuntsraaklijnen in het punt (1, 0, 0) aan de kromme X2

= sin u cos u,

x3

cos

U

getrokken. 15. Bepaal vergelijkingen voor de raaklijn in het punt (1,1, >F2) aan de kromme X~ + x~ - 2x l = 0 ,

16. Bepaal: le. de parametervoorstelling van de kromme Xl

=

~

(cos t + t sin t), xa =

~

(sin t - t cos t),

X

s

indien de booglengte als parameter gekozen wordt; 2e. de kentallen van de eenheidsvector langs de raaklijn in een willekeurig punt van de kromme. 17. Bepaal de vergelijking van het osculatievlak in het punt (1, 1,0 ) van de kromme X3

= >F2 In v.

18. Bepaal een parametervoorstelling van het osculatievlak aan de kromme Xl

= 1 + cos 2 t, X 2 = sin 2t ,

X3

= 2 sin t

- 30 -

in het snijpunt van de kromme met de

xI! -as.

19. Waarom is Xl + X~ + X 3 "" 3 de vergelijking van het osculatievlak in een willekeurig punt van de kromme

20. Gegeven is de kromme 1e. Bepaal de vergelijkingen van de osculatievlakken die door het 4

punt (3"' 1, 0) gaan. 2~.

Bewijs dat door een willekeurig punt van de ruimte drie osculatievlakken aan de gegeven kromme gaan.

Par.2. Normalen, kromming en torsie.

1.

Bewijs dat de normalenvlakken van de kromme Xl

=a

•

2

sIn u,

X

2

=a

•

x3

sm u cos u,

=a

cos u

alle door de oorsprong gaan. 2.

Gegeven is de kromme U Xl = e + e-u ,x2 = e U

-

u e- ,

= 2u.

XI!

1e. Bepaal in het punt (2,0,0) de vectorvergelijking van de hoofdnormaal. 2e. Bepaal de kromming x in dat punt. 3.

Bepaal: 1e. kentallen van de hoofdnormaal in een willekeurig punt van de kromme Xl

=t

+ sin t,

X2 =

cos t,

2e. de kromming in dat punt. 4.

Bepaal in de oorsprong de vergelijkingen van het osculatievlak en de binormaal aan de kromme Xl

5.

= 2t,

X2

=

e - 2t,

X3

=t3

+

2e.

Bepaal de kentallen van de eenheidsvector langs de bin or maal in een willekeurig punt van de kromme

- 31 X1

6.

Xs

= .[2 In v.

Bepaal de kromming x en de torsie de kromme Xl

7.

= V,

= 3 (cos t

+ t sin t),

x

=3

in een willekeurig punt van

(sin t - t cos t),

x s

2e.

Eveneens voor de kromme l+u

Xl

8.

2

T

= u, x 2 = -u- ,

X S

=

Bewijs door berekening dat in een willekeurig punt van de kromme Xl

= 3u - US,

x

2

2

= 3u ,

XS

= 3u + US

kromming en torsie gelijk zijn. Par. 3. De formules van Frenet en de kromtecirkel. 1.11'} Leid uit _1 = "h' v, -2

VI

V_IS

= -

TV_ 2 ,

v_ 2 = v_s

X !l

af:

2.

Bereken met behulp van de formule Vi

_S

= -

TV

-2

de torsie in een willekeurig punt van de kromme Xl

3.

= a (t-sint),

x

2

= a (l-cost),

Xs

1 = 4acosït

Gegeven is de kromme C: ~ = ~ (s)

1e. Bewijs dat ~(s)+À(S}!1

een punt van de raaklijn voorstelt. 2e. Bewijs met behulp van de formules van Frenet dat, indien alle raaklijnen aan C door een vast punt gaan, C een rechte is. 4.

Gegeven is de kromme C:

- 32 ~=~(s).

le. Bewijs dat ~ (s) + À (s) !

+ IJ. (s) !z

1

een punt van het osculatievlak voorstelt. 2e. Bewijs met behulp van de formules van Frenet dat, indien alle osculatievlakken van C door een vast punt gaan, C een vlakke kromme is. 5.

Bewijs dat een kromme vlak is, indien alle osculatievlakken evenwijdig zijn aan een vaste rechte.

6.

Bij een gegeven kromme C:

~ = ~ (sj bepaalt men een andere kromme Cl: X=~(s)+ À(s)!z' le. Bepaal À (s) als gegeven is, dat de hoofdnormalen van C normalen van C 1 zijn. 2e. Als bovendien gegeven is, dat in elk punt van Cl het osculatievlak door het bijbehorende punt van C gaat, bewijs dan dat er een lineair verband bestaat tussen de torsie en de kromming van C.

7.

Men kiest een punt van een kromme als oorsprong en de vectoren !1' !z en !3 in dat punt als eenheidsvectoren van een coBrdinatenstelsel. Bewijs dat nu voor de kromme geldt: 1 z

- '6 x

s

!

2

X SZ

+

!

6

s

3

Xl S 3

'16 xT S 3 waarbij men voor x, dient in te vullen. 8.

Xl

........ + ........ + ........

+

en

T

de in dat punt aangenomen waarden

Bepaal de coBrdinaten van het kromtemiddelpunt bij de kromme

- 33 voor het punt, behorende bij t 9.

= 1.

Bewijs dat de meetkundige plaats van de kromtemiddelpunten van een cirkelschroeflijn weer een cirkelschroeflijn is.

10. Gegeven is de kromme C:

!=!(s). Ie. Bewijs dat de kromme Cl: ~=!(S)+P!2

de meetkundige plaats is van de kromtemiddelpunten. 2e. Bewijs dat in corresponderende punten van C en Cl de raaklijnen loodrecht op elkaar staan.

11. Gegeven is dat de kromme C:

!=!(s) een constante kromming heeft. C 1 is de meetkundige plaats van de kromtemiddelpunten. Ie. Bewijs dat voor de booglengte dS _ l

Sl

van Cl geldt:

= pr

ds 2e. Bewijs dat Cl eveneens een constante kromming heeft. 3e. Bewijs dat C de meetkundige plaats van de kromtemiddelpunten van Cl is.

I()

!

11 ~ en ! 3 zijn eenheidsvectoren respectievelijk langs raaklijn , hoofdnormaal en binormaal; een accent betekent (ook in de volgende opgaven): differentH~ren naar de booglengte s.

------=~

- 34 -

Par.4. Gemengde opgaven.

1.

Bewijs dat voor een vlakke kromme y

x=

f (x) geldt:

df 2 a/2 {1+ (-) } dx

2.

Bewijs dat de binormaal van een cirkelschroeflijn een constante hoek maakt met de as van de rechte cirkel cylinder, waarop de schroeflijn ligt.

3.

Bewijs: Indien in elk punt van een kromme bij düferentiatie naar de booglengte geldt, dat ~II

dan is

=

À

(s) ~I

À (s)

=0

,

en de kromme een rechte lijn.

4.

Bewijs dat, indien alle raaklijnen aan een kromme evenwijdig zijn aan een vaste rechte, deze kromme een rechte lijn is.

5.

Bewijs dat, indien in elk punt P van een kromme de hoofdnormaal loodrecht staat op een vaste rechte, de raaklijn een vaste hoek met deze rechte maakt en de projectie van OP op deze rechte lineair van de booglengte afhangt.

6.

Indien de kromme C e.e n constante kromming heeft en Cl de meetkundige plaats van de kromtemiddelpunten is, dan is TT 1 constant, waarbij Ten Tl de torsies zijn in corresponderende punten van C en Cl. Bewijs dit.

HOOFDSTUK II

Oppervlakken Par. 1. Parametervoor ste lling, oppe rvlakkrommen en raakvlak. Geef parametervoorstellingen van de volgende oppervlakken:

2.

X2 I

+

X2

-

2

X

o.

=

3

3.

4.

Een rechte cirkelcylinder met R als straal en de

5.

Een bol met 0 als middelpunt en R als straal.

6.

Het oppervlak, beschreven bij wenteling van de kromme X

0, x 2

s =

=f

Xl -

as als as.

(Xl)

om de x 2 -as.

7.

Het oppervlak, beschreven door omhoogschroeven van de om de x 3 -as.

Geef de vergelijking in

Xl' X ' X 2

8.

Xl

= U + v, x 2 = U - v,

9.

Xl

= u sin

((X

is constant) •

10.

Xl

=U

11.

Xl

= r cos IJ,

-

(X

v,

12. Bewijs dat Xl

X

s van de volgende oppervlakken:

s = uv

cos v, x 2 = u sin

x2

= (u X

2

-

V)2 ,

= r sin IJ,

X

(X

sin v,

X

s = u cos

=u+v.

3

X

= h 4?

X

2

= cos 9 sin IJ ,

X

3

en Xl

=u

sin v,

(X

S -------------------------

= cos 9 cos IJ,

X2

Xl -

= U cos v,

Xs

.J 1 - u 2

sin 9

as

- 36 hetzelfde oppervlak voorstellen. 13. Gegeven is het oppervlak Xl

= U -

v,

Xa

1 - uv

= -u--'

= ...[2 In uv.

Xs

le. Bereken de lengte van de u - kromme tussen de punten, bepaald door u = 1, v = 1 en u = ...[3, v = 1. 2e. Geef de vectorvorm van de raaklijn aan de v - kromme in het punt, bepaald door u = 1, v = 1. 3e. Door de betrekking u = 2v wordt een kromme op het oppervlak gegeven. Geef een parametervoorstelling van de raaklijn aan deze kromme, in het punt, dat bepaald is door u = 2, v = 1.

14. Op het oppervlak Xl

= ua

+ v2

,

x a = ua - va,

X

s

= uv

geeft men een kromme door de betrekkingen u Bewijs dat dit een halfrechte is.

3t, v

4t.

15. Bepaal de parametervoorstelling van het oppervlak

+ v, x a = u a - v a , indien de krommenstelseis

Xl

= U

u+v

= constant,

u :..

V

X

= 4 u v,

s

= constant

als parameterkrommen gekozen worden. _ 16. le. Geef de vectorvoorstelling van het raakvlak in het punt (1,1,1) aan het oppervlak 2 = u,

xa

= uv,

2

s = uv . 2e. Bepaal de kentallen van de eenheidsvector langs de normaal in dat punt.

Xl

X

_ 17. le. Bepaal de vergelijking van het raakvlak in het punt (1,1 , 2) aan het oppervlak Xs

=

2

Xl

+

Xl X 2 •

2e. Bepaal de vergelijkingen van de normaal door dat punt. ) 18. Bepaal de vergelijking van het raakvlak aan het oppervlak

ti

- 372x 1 x 2 + x 2 x 112 +

X 3 _ 1

XII 2

in net snijpunt met de x 2

-

1

-

=0

as.

" 19. Bepaal de richting van de raaklijn in het punt- (0,1,2) van de kromme Xl X

3

-

ln

X

2

= 0,

X

1

x2 +

X

X

-

X

X

1323

+ 2 = O.

,, 20. ie. Bepaal een parametervoórstelling voor het oppervlak, gevormd door de raaklijnen aan de kromme C: ~=~(s) •

..

2e. Bewijs dat de oppervlaktenormaal in een willekeurig punt P van dit oppervlak dezelfde richting heeft als de bin or maal in het punt van C, dat met P op dezelfde raaklijn ligt. Par.2. De eerste fundamentaalvorm.

rt .

ie. Bepaal de eerste fundamentaalvorm van het oppervlak x 1 = sin u cos v, x 2 = sin u sin v, x 3 = 2 cos _

U

2e. Bewijs dat de stelsels parameterkrommen elkaar loodrecht snijden. ~

2.

Bereken de sinus en de cosinus van de hoek, waaronder de stelsels parameterkrommen elkaar op het oppervlak Xl

=U

+

v,

x2 = U

-

v,

x3

= uv

snijden. --3.

ie. Bepaal het lijnelement voor het oppervlak 2

XII

2

= xr x 2

•

2e. Onder welke hoek snijden de parameterkrommen elkaar in het punt (1, 1, 1) ? l

4.

Op welke oppervlakken x 11 seIs Xl = constant en x 2

-

5.

Op het oppervlak Xl

=U

cos v,

x2

f (x t , x 2 ) vormen de krommenstelconstant een orthogonaal stelsel?

= 11 sin v,

x3

=v

bepaalt men een kromme door de betrekking

-----

~-

- 38 -

v = In (u +

.J U 2

+ 1) +

i. TT

le. Bepaal de richting van de raaklijn in het punt (0,0, 2)' 2e. Bepaal de lengte van de boog van de kromme, gelegen tussen de punten, behorende bij u = 0 en u = 2..[2. 6.

Op een oppervlak met eerste fundamentaalvorm

ds 2 = u- 2 du 2 + u 2 dv 2

>

bepaalt men een kromme door de formules u = C \

v = t..[3.

Bepaal de booglengte van de kromme, gelegen tussen de punten behorende bij t = 1 en t = e. _

,, 7.

Gegeven is een oppervlak met eerste fundamentaalvorm ds 2 = du 2 + G(u,v) dv 2

•

le. Bewijs dat twee krommen u = constant gelijke segmenten afsnijden van alle krommen v = constant. 2e. Door de betrekking v = cp (u) bepaalt men een kromme op het oppervlak. Hoe dient men cp (u) te kiezen, opdat het door twee krommen u = constant afgesneden segment zo klein mogelijk is? 8.

Druk de cosinus van de hoek, waaronder de krommenstelseis u + v = constant en u - v = constant elkaar op het oppervlak snijden, uit in de u- en v- waarde van het snijpunt.

9.

Bepaal de hoek, waaronder de kromme u = v..[3 op het oppervlak met eerste fundamentaalvorm ds 2 = v

2

(du 2 + dv 2 )

de u-kromme snijdt. 10. le. Bewijs dat op het oppervlak Xl

= U cos v,

X

2

= u sin v,

de krommen bepaald door du 2 = (u 2 + 1) dv 2

,

X

3

=V

- 39 -

een orthogonaal net vormen. 2e! Bepaal op dit oppervlak de krommen die de v- krommen onder een hoek van 450 snijden. ) 3e. Geef de eerste fundamentaalvorm bij gebruik van het onder Ie genoemde net als parameternet. - 11. Bereken voor een oppervlak met eerste fundamentaalvorm 2 ds = du 2 + u 2 dv a de grootte van het door de krommen u = 1,

u = 2,

v = 1,

v

=2

ingesloten oppervlak.

-z 12. Gegeven is een oppervlak met eerste fundamentaalvorm ds 2 = v 2 du 2 + uv du dv + u 2 dv a •

Bepaal de grootte van het oppervlak, ingesloten door de krommen

u = 1, v

=

2, u

= v.

- 13. Gegeven is het oppervlak Xl

= u,

xa

= v,

Xs

=~

Bereken de grootte van- het deel van het oppervlak, waarvoor geldt: 1

> u> 0, v > 0, (u - 1)2 > v.

14. Bereken de grootte van het binnen de eerste ruimtehoek gelegen

:'\j~l_VVV

deel van het oppervlak X2 + X2 = (1 _ X )2 I

2

3

'

afgesneden door de vlakken

Xs =

0 en

Xl

+

Xa

= 1. -

'--

V-;:-... l

Par.3. Gemengde opgaven.

) J ~otv~

1.

o

Gegeven is het oppervlak

a sin u cos v, x a = b sin u sin v, x 3 Ie. Bewijs dat dit een ellipsoide is. Xl

=

::

c cos u .

2e. Bepaal de meetkundige plaats van de punten, waar de parameterkrommen orthogonaal zijn.

I _ ""

------ 40 -

3e. Bepaal de kentallen van de oppervlaktenormaal in een willekeurig punt van het oppervlak. 2.

Op een oppervlak met eerste fundamentaalvorm

E du 2 + 2 F du dv + G dv 2 ligt een stelsel krommen, bepaald door M (u, v) du + N (u, v) dv

=0

Bewijs dat de orthogonale trajectorien bepaald worden door de differentiaalvergelijking (EN - FM) du + (FN - GM) dv

3.

= o.

Bepaal in een plat vlak de orthogonale trajectorien van het stelsel cirkels r ::

À

cos

e,

À

is veranderlijk.

4.

Bereken de oppervlakte van het gedeelte van de bol, dat gelegen is tussen de breedtecirkels e = el en e "" e;a.

5.

Gegeven is een ds

2

= (u

oppervl~

+ v) (du

2

met eerste fundamentaalvorm

+ dv 2

).

Geef de eerste fundamentaalvorm bij gebruik van het bissectricenet als net van parameterkrommen. 6.

Gegeven is het oppervlak

waarbij dus

:s

u

I f.}a a = _ ~ .J a 2

_

u2

2

-

e dt,

is.

Ie. Bereken de oppervlakte van het gedeelte gelegen tussen u .. Ot en ti "" f3. (f3 > Ot) • 2e. Bepaal de bissectricekrommen. 3e. Bepaal de lengte van zo'n kromme, voor zover deze gelegen is tussen u ,.. Ot en u .. f3. 4e. Bepaal de eerste fundamentaalvorm bij gebruik van de bissectricekrommen als parameterkrommen.

- 41 7.

Een loxodroom op een bpl snijdt de equator onder een hoek a en draait spiraalsgewijs om een pool. Bereken de limtetlengte van deze kromme, gemeten vanaf het snijpunt met de equator.

8.

Gegeven is het omwentelingsoppervlak Xl

= r cos ~,

X2

= r sin ~,

Xs

= er .

Als nieuwe parameterkrommen neemt men de krommen, die de meridianen onder een hoek van 60 0 snijden en de orthogonale trajectorien van deze krommen. Bepaal de eerste fundamentaalvorm. Par.4. De tweede fundamentaalvormj de geodetische torsie.

1.

Geef de tweede fundamentaalvorm voor een boloppervlak.

2.

Geef de tweede fundamentaalvorm voor een omwentelingsoppervlak.

3.

Geef de tweede fundamentaalvorm voor het recht schroefoppervlak, Xl

4.

=r

cos

~, X 2

=r

sin CP, x s = h

~.

Geef de tweede fundamentaalvorm voor het oppervlak xs

=f

(x l'

X 2 )·

5.

Bereken de normale kromming langs de parameterkrommen in een willekeurig punt van de oppervlakken, genoemd in de opgaven 1, 2 en 3.

6.

Bereken de normale kromming langs de bissectricekrommen in een willekeurig punt van het oppervlak, genoemd in opgave 3.

7.

Bepaal de hoofdrichtingen, de hoofdkromtestralen en de totale kromming in een willekeurig punt van het oppervlak Xl

8.

= r cos

~,

r

X

2

= r sin 4!,

Gegeven is het oppervlak 2) • X = 21 (2 Xl + X s

2

Xs

= - (! .J 1 '1 t

-

e dt

- 42 le. Bereken de hoofdkromtestralen in het punt (a, 0,

ia

2

) •

2e. Bepaal de vergelijking van de indicatrix van Dupin in de eenvoudigste gedaante. 3e. Vergelijk de hoofdkromtestraal die behoort bij de richting van de breedtecirkel met de straal van deze cirkel. 9.

le. Bepaal de hoofdkromtestralen in een willekeurig punt van het oppervlak x 2 cosx 3

-

x 1 sinx 3 = O.

2e. Bewijs dat de indicatrix van Dupin een orthogonale hyperbool is. 10. Bepaal de indicatrix van Dupin in een willekeurig punt van le. een bol; 2e. een omwentelingscylinder ; 3e. een recht schroefoppervlak . 11. Bepaal de kromtelijnen op een omwentelingsoppervlak. 12. Bepaal de kromtelijnen op de in opgave 10 genoemde oppervlakken. 13. Bewijs dat de geodetische torsie van de kromtelijnen gelijk aan nul is. 14. Bewijs dat de geodetische torsie van de bissectricekrommenvan het kromtelijnennet gelijk is aan

i <x

2 - Xl) •

15. Bewijs dat de torsie van een willekeurige kromme op een boloppervlak gelijk is aan - : ' waarbij

e

de hoek is, die de hoofd-

normaal van de kromme maakt met de oppervlaktenormaal. 16. Bewijs dat in eIk punt van een orthogonaal net op een oppervlak de geodetische torsies van de twee krommen van het net tegengesteld gelijk zijn.

- 43 -

Par.5. Conforme afbeelding op een plat vlak. 1.

Gegeven is een oppervlak met eerste fundamentaalvorm ds Z = (u + v) (du Z + dv 2

).

ie. Bewijs dat u = xl' V = Xz een conforme afbeelding geeft van het oppervlak op een plat vlak, met daarin een rechthoekig coördinatenstelsel (Xl' XZ). 2e. Bepaal de beeldkrommen van de bissectricekrommen van het parameternet. 2.

Gegeven is een oppervlak met eerste fundamentaalvorm ds z = u- z du z +

UZ

dv z

•

z

ie. Schrijf ds in de isometrische vorm. 2e. Geef een conforme afbeelding op een plat vlak. 3e. Van welke kromme op het oppervlak is de rechte Xl + Xz = 1 het beeld? 3.

Geef een conforme afbeelding van een recht schroefoppervlak op een plat vlak.

4.

Toon aan, dat een loxodroom op een boloppervlak afgebeeld wordt ie. bij de mercatorprojectie Xl ::

q, ,

Xz

x

In tg

(~ 2

+

!!) 4

op een rechte; 2e. bij de stereografische projectie r

=2R

tg (; +

i), cp

= cp

op een spiraal. 5.

Gegeven is het oppervlak . Xl :: U

cos v,

Xz =

u sin v,

X3 =

f (v) .

ie. Bepaal f (v) zodanig, dat het parameternet isometrisch is en schrijf het lijnelement in de isometrische vorm. 2e. Geef een conforme afbeelding van het oppervlak op een plat vlak, waarbij de parameterkrommen overgaan in een lijnenwaaier en een stelsel concentrische cirkels met de top van de

- 44 waaier als middelpunt. Par.6. Geodetische lijnen en geodetische kromming. 1.

Wat zijn de geodetische lijnen in een plat vlak en op een boloppervlak?

2.

Bepaal de geodetische lijnen op de cylinder: Xl

=a

cos v, x 2

=a

sin v,

Xs

= u.

3.

Geef een stelsel geodetische lijnen op een omwentelingsoppervlak.

4.

1e. Bewijs dat voor een willekeurige geodetische lijn op een omwentelingsoppervlak geldt: dcll

ds

c

=r2

'

2e. Leid hieruit met behulp van de eerste fundamentaalvorm af : dr 1 ds = ±

r

Vr

2 -

1 +

c

2

fl2

3e. Leid hieruit voor een geodetische lijn op een omwentelingsoppervlak af: ip=±c

5.

1

( . -r

vg+

fl2

r 2 - c 2 dr .

1e. Bepaal de geodetische lijnen op het oppervlak . 1 2 X 1 = U cos v, x 2 = u sm v, X 3 = 2 u 2e. Bewijs dat de geodetische lijn die in het punt (..[2, ..[2, 2) een hoek van 300 met de u- kromme maakt, de kromme u = 1 raakt.

6.

1e. Bereken voor een oppervlak met lijnelement ds 2 = (u + V)2 (du 2 + dv 2 ) de waarden van du dv d 2u d 2v 2 ds ' ds ' ds en ds2 langs de krommen v - u

constant

c.

- 45 2e. Bewijs dat de onder le. genoemde krommen geodetische lijnen op het oppervlak zijn. 7.

Bepaal de geodetische lijnen op het oppervlak. met lijnelement ds 2 = u 2 (du 2 + dv 2

).

8.

Bewijs dat de breedtecirkels op een omwentelingsvlak. een constante geodetische kromming hebben.

9.

Bewijs dat een kleine cirkel op een bol een confltante geodetische kromming heeft.

10. Op een omwentelingsoppervlak. bepaalt men een stelselloxodromen, die de meridianen onder dezelfde hoek snijden. Bewijs met behulp van de stelling van Liouville dat deze loxodromen in hun snijpunten met een breedtecirkel dezelfde geodetische kromming hebben. 11. le. Bereken de geodetische kromming van de parameterkrommen op een oppervlak met eerste fundamentaalvorm : ds

2

=

du 2 + dv 2 (u + V)2

2e. Bereken de geodetische kromming van de krommen van het bissectricenet. 12. Gegeven is een oppervlak. met eerste fundamentaalvorm ds 2

=a

(u,v) (du 2 + dv 2

)

le. Bereken de geodetische kromming langs de parameterkrommen. 2e. Bereken de geodetische kromming van de krommen, die de u- krommen onder een hoek van 30 0 snijden. 3e. Bewijs dat, indien langs elke u- kromme de geodetische kromming constant is, dit ook geldt langs elke v- kromme. 13. le. Bewijs: indien de geodetische lijnen door een vast punt en hun orthogonale trajectorien als parameterkrommen gekozen worden, dan is voor het lijnelement te schrijven: ds 2

= du 2

+ h 2 (u, v) dv 2

•

- 46 ah 2e. Bereken hen ·oU voor u = 0, v

TT 2.

14. Op eEm oppervlak met lijnelement ds 2 = du 2 + (u +

V)2

dv 2

trekt men een geodetische lijn C; de (veranderlijke) hoek, waaronder deze de u- krommen snijdt, noemen we a. Bewijs dat langs C geldt: da= ± dv. 15. Bereken de totale kromming van het in de vorige opgave genoemde oppervlak. . 16. Bewijs: indien op een oppervlak twee stelsels geodetische lijnen elkaar onder een constante hoek snijden, dan is de totale kromming van het oppervlak gelijk aan nul. 17. 1e. Bereken de totale kromming van het oppervlak met lijnele. ment ds 2 = du 2 + e 2U dv 2

•

2e. Bewijs dat bij voortgang langs een geodetische lijn in de richting van toenemende v, de hoek die deze met de ukromme maakt, niet toeneemt. 18. Op een oppervlak met lijnelement ds 2

= du 2 +

u 2 dv 2

wordt een "driehoek" ingesloten door de krommen TT

v = 0, v = :{, u cos v = 1. 1e. Bewijs dat dit geodetische lijnen zijn. 2e. Bewijs niet behulp van de stelling van Gauss-Bonnet dat de som van de hoeken van deze "driehoek" 1800 is. 19. 1e. Bereken op een oppervlak met lijnelement ds 2 = du 2 + e 2U dv 2 de hoeken van de "vierhoek", ingesloten door de krommen v = 0, v =

TT 2'

u = 1, u = 2.

2e. Controleer voor deze "vierhoek" de stelling van Gauss-Bonnet.

- 47 -

20. Bewijs met behulp van de stelling van Gauss-Bonnet: op een oppervlak met een negatieve totale kromming kunnen twee geodetische lijnen geen enkelvoudig samenhangend stuk uitsnijden. Par. 7. Gemengde opgaven. 1.

Gegeven is het oppervlak =

Xl

a

2" (u + v), x 2

= '2b

(u - v),

Xs

= uv "2.

Ie. Waarom zijn de bissectricekrommen van de parameterkrommen de kromtelijnen ? 2e. Bewijs dat de geodetische kromming van de parameterkrommen nul is. 2.

Bepaal de kromming, de geodetische kromming, de torsie en de geodetische torsie van een parallel op een omwentelingsvlak.

3.

Ie. Bepaal het lijnelement van het oppervlak s = 4> (v). 2e. Welk stelsel parameterkrommen bestaat uit geodetische lijnen? Is dat direct te zien? =

Xl

U

cos v,

x 2 = u sin v,

X

3e. Bewijs dat de hoofdkrommingen in elk punt van teken verschillen. 4.

Gegeven is een oppervlak met ds

2

= du 2

+ e 2U dv 2

•

Ie. Bepaal de totale kromming. 2e. Beeld het oppervlak conform af op een plat vlak. 3e. Wat zijn daarbij de beeldkrommen van de parameterkrommen? 5.

Gegeven is het oppervlak Xl .: U COS

Bepaal:

v, x a

= u sin v,

xa

=

II

u

t

,J I -

e dt.

- 48 -

ie. de kromte lijnen ; 2e. een isomet rische lijnele ment ; 3e. een confor me afbeeld ing op een plat vlak; 4e. een confor me afbeeld ing op een bolopp ervlak ; 5e. een geodet isch lijnele ment. 6.

Gegeve n is een opperv lak met 2 2 ds 2 = (u + v) (du + dv ) ie. Geef een confor me afbeeld ing op een plat vlak. 2e. Bepaal de geodet ische kromm ing van de param eterkro mmen en van hun bissec tricekr omme n.

7.

de Neem op een bolopp ervlak geodet ische poolco Brdina ten vanuit "noord pool" . ie. Bepaal het lijnele ment. 2e. Contro leer de formul es oh) ( oU u=o = 1,

h (0, v) "" 0,

1 o2h K = - iï ou 2 ·

3e. Geef een confor me afbeeld ing van het opperv lak op een plat vlak. de 4e. Bepaal de geodet ische kromm ing van de loxodr oom, die 0 meridi anen onder 60 snijdt. 8.

ie. Bereke n de geodet ische kromm ing van de v- lijnen op een opperv lak met lijnele ment U 2 2 2 ds = du + e dv 2e. Bewijs dat

x

1

= 2 e -:au,

y

=v

een confor me afbeeld ing geeft van dit opperv lak op een plat vlàk. 3e. Toon aan, dat daarbi j de geodet ische lijnen afgebe eld worden op cirkels . (Ga voor de bereke ning uit van de x, y - param eters. ) 9.

Gegeve n is het opperv lak

- 49 Xl = U + V,

X2 = U - V,

X·

3

=

UV.

le. Bepaal de eerste en tweede fundamentaalvorm. 2e.

B~paal in de oorsprong de hoofdkromtestralen en de totale kromming.

3e. Bepaal de hoofdrichtingen in de oorsprong. 4e. Bepaal in de oorsprong de geodetische kromming van de parameterkrommen. 5e. Bepaal de vergelijking van de orthogonale trajectorien van de u- krommen. 10. Op een boloppervlak met straal R kiest men de "geografische breedte" g en de "geografische lengte" q. als parameters. Op de bol liggen de punten A, B en C: A (g = ~, cp = 0), B (g =

i, cp

= ~), C (g = ~, q.

= 0).

Gevraagd: le. Bepaal het lijnelement. 2e. Bepaal het oppervlakte element en met behulp daarvan de grootte van het oppervlak van de "driehoek" ABC, ingesloten door de krommen g

TT = {3'

cp

= '2TT

en q.

= O.

3e. Bepaal de tweéde fundamentaalvorm. 4e. Bereken de totale kromming in A. 5e. Geef de definitie en een eigenschap van een geodetische lijn op een oppervlak. 6e. Bewijs meetkundig, met behulp van de definitie, dat de geodetische kromming van de breedtecirkel door A gelijk is aan 1 -~.

7e. Controleer het verband tussen de totale kromming van een oppervlakdeel en de geodetische kromming langs de rand er van door de stelling van Gauss-Bonnet toe te passen op het onder 2e genoemde deel van het boloppervlak.

- 50 •.

Formules vectoranalyse Vectoralgebra.

1.

~

x (~ x ~) :: (~ . ~) ~ - (~ • ~) ~

2.

(~x~). (~x~) :: (~. ~) (~ . ~) - (~ • ~) (~ . ~)

Roterend ass enste 15 e 1. 3.

l ä:: - ä-

4.

r- = -r' + w- x

-r

5.

~:: ~1 + ~

!:1 + 2 w x jol + ~

+

W

-

Geaccentueerde grootheden t.o. v. roterend assenstelsel.

x al

X

1

(~

X

X

!:')

V- operaties.

6.

V. ( cP~ ) = cP V • ~ + ( V cP) • a

7.

V x (cP~) :: cPV

8.

V x (V x ~) :: V (V. ~) - ~~

9.

V. (~x~)

~ + (V cP)

X

= (V

x ~

x ~) • ~ - (V x ~) • a

10. V x (~x~):: ~ (V. ~) - (V. ~)~ + (~.V) ~ - (~. V)~ 11. V (~. ~) :: (~. V) ~ + (~. V) ~ + ~ x (V x~) + ~ x (V x ~) V- operaties in orthogonale kromlijnige coördinaten.

1 ocP 12. V cP :: h- -.,.1

1 13. V . ~ :: h h h 1 2

2 1 14. V cP:: h h h 1

15. V x ~ ::

~1

+ cycl.

"ql

2

a

0 {-.,. (al h2 ha) + cycl.} uql

{o a

1

.,.oql

à

iïh {aq 2

a

2

(h2 ha Oe) } -h- ~-)+ cycl. 1

oql

0 (aaha) - oq a

(a 2h 2 )} ~l + cycl.

N.B. : h 1 h 2 en ha zijn de lengte schaaHactoren in de richtingen

- 51 dQl' dQ2 en dQ3; ~l ~2 ~s zijn de plaatselijke eenheiasvectoren. BolcoBrdinaten r, 0, I/> • 16. dI 2 = dr 2 + r 2' d0 2 + r 2 sin 2 0 dl/>~

cq, lMl 1 ow 17. V ~:: or ~ + 0 e ~O + r sin 0 ~~ ~I/>

r

18. V •

~

2 =r 2 !in 0 { :r (ar r sin O)} +

;0

(aO r sin 0) +

:1/> (al/> r)}

+

2 02 41 2 ~ 1 0241 cotO ~ 1 02~ 19. V ~ = ora + r or + r2 002 + 00 + ·r 2 sin 20 0",2

--ra

20. V x

~

= r 2 ;in 0 { :0 . (a r sin 0) - :1/> (ao r)} + r s!n 0 { 0 r1 { ar

+

:1/>

(~)

= dz2

22. V ~

= or

èIP

0

(aO r) - ~ (ar)} ~I/>

23. V • ~:: 24 . V

2

+ r 2 d0 2 + dz2 1 èIP 0 00 ~O + oZ ~

r

~ +

r1 { or0

02~

0

0

(ar r) + 00 (ag) + ~ (az r) 1 024> r ooa

1 ~ r or

02~

~=-+--+--+2 2

or

25. V x ~ =

r1 {

+

oZ2

0

0

o

0 ar a z } ~O +

0 r1 { or

(aO r) - 00 ar} ~

00 az - oZ (aO r)} ~ +

+ { oZ ar -

+

- :r (al/> r sin O)} ~O +

Cy linde r c oBrdina ten. 21. dI 2

~

0

- 52 -

Gauss, 8tokes en Green. 26. Theorema van Gauss:

.r ~. elS

=

8

.rV V • ~

dv

27. Theorema van 8tokes :

r

a. dl = ( (V x a) ·L - - · 8 -

elS

28. Theorema van Green: a)

f8 (~ V ~ ). elS = ·Vr
dv +

b)

.r

.r (

(f.tV

2

+2

2

-

V

8

29. Formule van Green (P binnen 8; V2

- -

p -

Sr
-.!. 411

(!.) elS +

r

-.!. .r!. 411 S r

ol)

on

dS

30. Integraal van Gauss:

1

.( !!..VrelS= 8

{ -4 0

P binnen 8 P buiten 8

11

31. Functie van Green: 1

G=--U r

(V 2 U

=0

binnen S; G

=0

op S)

(P binnen S)

- 53 Poten tiaalthe 0 r ie.

_ V~ 33. a - ± .."

+ gravitatie - electrostatica - magnetos t a t"lca ± hydrodynamica

l

34. veldlijnen: dx = cycl. ax 35.

I~. dS = 4 'IT Emi

(wet van Gauss)

S

38. Bij oppervlaktedichtheid cr van bronnen ( ~)1 - (~) 2 = 4

(at)l = (at)2

'IT

cr

ANTWOORDEN VECTORANALYSE DEEL I HOOFDSTUK I

.

Par. 2. 3.

3"

2" R + 12" Ril

5. 4

fT.

6. le. Stokes; 2e. 0.

a Par. 3. 2. 2e. f (r) = -r + b. 3.c 2 (a 1 +a 2 )· 6. R" (a 2 + ba + ca).

Par. 4. 1. 4

fT

R".

4. 1.

Par. 5. 1. x + Y + z

= const. ,

x 2 + y2 + z 2

= const.

2. 2e. al = const. , a 2 = const. en bijgevolg aa = const. . ). 3e. x 2 + y 2 = const ., z = cons t • 3. 2e. n r n-2 (y '!. - Xl, Par. 6. 6. a r '" sin Q cos

+ sin Q sin

rJ>

a

a n = cos Q cos I/J a + cos Q sin .., x

rJ>

a

rJ>

a

x

Y

+ cos Q a

Y

al/J = - sin lP a x + cos lP a y

7. le. (O,r,O); 2e. cot Q; 3e. 2~1P· 2 Q Q. ; 2e. -Q+-cotg r r2 a 2 2 9. ds 2 = dr + r dQ2 + dz . 10. a :: cos Q a x + sin Q ay r

8. le. Q ~r +

~Q

a Q = - sin Q a x + cos Q a y a

z

= a

z

- sin Q a

z z

- 55 -

e ; 2e. O. -r + 2 -z

13. 1e. - 2 e 14. 1e. r 15.

~r

~r

; 2e. r; 3e. O.

HOOFDSTUK 11

3 Par. 1. 1. Ie. r = (0, 0, 2) +

À

(1, 0, 0); 2e. 0.

2. Ie. r = (0,66, - 0,18, - 0,14) +

À

(5,9,12); 2e. 0,18.

5. 2e. !k r 2 m. 2 1 1 6. 2e. k (- - -) m. a r mem Par. 2. 1. Ie. -r ; 2e. -; r 3e. -r ; 4e. - v_x. IT-

3. Ie. breken niet ai; 2e. sluiten zich niet. 7. 2e. -

2

3"

fT T

Q Par. 3. 4. a 2

6. ruimte lading 0, oppervlakte lading op de zijvlakken aan de uiteinden van de ribbe in de richting van p met dichtheid - presp. + p. 7. -

i

8. Ie.

fT

P (de veldsterkte binnen de bol is overal

1 r1 - R;

2e.

r + c Par. 4. 3. 2e. P = r2 + u

4

3"

gelijk~)

HOOFDSTUKm

Antwoorden bij examenopgaven: 19-1-62:

1. a. c. 2.

2

[~, ~, ~]

d

.

.

-

dt(E,X!)=!x!=!xf(r)!=Q, !xt=!!. div ! x ~

= rot

! . ~ - ! • rot ~ ,

rot v x w = v div w - (div!)

~

+ (~. 'V)! _

- (!. V)~. Voor v = a en w = ! verkrijgt men: 0, 2a. 4-9-61:

1. a.

[~,~, ~]~ - [~,~, ~]~;

-

[~, ~, ~] ~

14-6-61:

2.

1 - - rm m+ 3

3. b.

lP = a . r

1.

al

2. b.

=[

[~, ~, ~] ~

(

r

m

r. dS.

-

gebruiken in 3a .

b x c b

~'-'~

]

en cycl.

((~ x VIP)dS =

I


c

S

2. d.

1

--3 S m+

.

~.r

r

2

dr.

C

'"

3. a.

- -3 r-

3. b.

qJ

(!~) = const. +

.f

o

!~F

dr.

- 58 24-5-61 :

2. b.

.r C

3.

31-1-61:

20-1-61:

fP. vI/!. d!: , overeenkomstig de kurketrekker regel.

IJr 2 IJa 2 fP (r) ,. -6- - -2- voor r

<

a

voor r

>

a.

en

1. a.

[~,~,~]~ = [~,~,~]~ + [~,~,~]~ + [~,~,~]~.

2.

(~

3.

Pas de stelling van Gauss toe op ! x !: .

3. a.

resp. b.

. V ) ! + (!. V) ~ + ~ x rot! + ! x rot ~ .

fP (P)

r = 4lfT.

1àp

lr

r an d S + 4 fT.

S

(-

01 fP) ärï (r) d S ,

S

veroorzaakt door een enkelvoudige poolbelegging met dichtheid o~

tp

en een dubbellaag met dicht-

heid - fP. r is de afstand van P tot het oppervlakte element dS. 3. c.

r

1 ofP dS = 0 De eerste integraal in 3b. wordt 4'1fR. ärï S

en de tweede

41Ti2

I

fPdS.

S

September 1960. 3. b. 3. c •

{IJ n . (r - r -

.r!. S

-

-p

)}

gradfP dS

11 r- -_ p r 11-

=.r !.

3 •

~ dS = 0 (de alge-

S

braische som van de sterkten van de bronnen is 0).

- 59 9-5-60 :

2. a.

rot v =' 0

2. b.

div v = O.

3. a.

cp

1

(z

=-2"" '-zJ-

H = - Vcp

1 =

2""

z).

,,[R 2 + Z2

'

R2 ,,[(R2+Z2)3

b.

vervang de dipolen door solenorden, en die weer door een kringstroom met sterkte "" en straal R; of het geheel door een cirkelvormige wervel met straal R en sterkte "".

c.

"".

ANTWOORDEN DIF FERENTIAA LME ETKUNDE HOOFDSTUK I

Par. 1.

, , ,

1. x 1 = 2t 2.

Xl

= 21 2

3.

Xl

=3cost

4.

-

2

x2 = t

,

x s =-t+2.

X

z

=t

,

Xs

=t

X

z

= 3 sin t ,

Xs

= 2t + 2 k

= 1 + cos t , x 2

Xl

5. 2x 21

- X2

,

, 3x~ -

= 0

6. (x 1 +

X )2 -

7. 2x l +

x: -4 = 0

S

,

= sin t

4

X

2

= 0,

- 1. fT •

4 . ?v t xe = ,2 sm '2.

Xs

=

o.

(x 1 + x S )" + 4 (x l : -9 x ) =

, x~ + x! + x: -

4 =

o.

o.

8. 8. 9. 10

fT.

10. e - e - 1 • 12. 600, 90°, 150°. 13. 45°. 14. Xl

= 1,

= u,

Xz

x.

= u;

Xl

15. xa - 1 = 0, Xl + .,[2 xe - 3 16.

Xl

=~

x. =

= 1,

,r

cos'" s,

17. x 1 - x2 - /2 x :9 = 18.

Xl

= 2 iJ,

20.

Xs

=

Xz

0, 3x l

-

53

Xs

= - v.

= o.

(cos .,[s + .,[s sin .,[s), x 2 =

54 s; (35

= v,

Xz

.. r 4) sm", s, 5

~

(sin .,[s - .,[s

-

9xz +

COS .,[s)

.

o.

= À, ±

xe

=2-

Il.

3x2 + xe - 1 = 0, 27x l

Xs -

27 =

o.

,

- 61 -

Par. 2. 2. ! = 3. ( -

À

(1, 0, O};

1

1 4.

1

1

1

1

4 sin t, - 4 cos t, - 4 cos 2 t) ; 8' ..J

-1 5. (va + 1 ' 3 6. 25t '

va va + 1 '

4 25t .

Par. 3. 1

2.

1 Ba sin 2 t

6.

À

= constant.

v..r2

va + 1 ) .

6 + 2 cos t .

HOOFDSTUK

n

Par. 1. 1. Xl ==

U -

x2

2v + 4,

== u,

Xs ==

v.

2. Xl == u,

X2 ==

v,

Xs ==

u2 + v2 •

3.

u,

X2 ==

v,

Xs ==

f (u, v) •

4. Xl == t ,

X2 ==

R

Xs ==

R sin

5.

Xl ==

8.

X2

X2 ==

f(r),

Xs ==

r cos CP,

X2 ==

r

Xs == h~.

- X22 -

1

9. X21 + X22 10.

x: -

11.

X

13.

3'2

-

X2 ==

4 Xs == tg 2

sin~,

~.

o.

(X

X2 == S

X2

+ k '".

o.

o.

h arctg

s ==

r sin

~,

6. Xl == r cos Xl ==

~.

R cos g cos ~, X2 == R cos g sin 41, Xs == R sin g .

Xl ==

7.

cos~,

Xl

,.,[3; ~ == ~ ( - 1 , - 1 , ,.,[2) ;

Xl

== 1 + 2~,

1 x 2 == - 2 - 3~,

Xs

== ,.,[2 In 2 + 4,.,[2~ .

1

-4

2

16. ~ == (1,1,1) + ~ (2, 1, 1) + IJ. (0, 1, 2); (,.,[21' ,.,[21 ',.,[21)·

18. 2x l

-

3x2 + 3

==

O.

19. (1, 2, -1). 20.

~ == ~

(s) +

U

YI (s), u en s als parameters.

- 63 Par. 2.

3. ds 2

= (1+4x21

4

3 4 x 2 )ctx2+8x x 211 dx 1 dx 2 +(1+4x 1 x22 )dx22 '• 1 1

4

5.

arccos

4. Cylinderoppervlakken Xl - of x 2 - as. 5. (0, 1, 1)

j

m~t

beschrijvenden evenwijdig aan de

4.

6. 2. 7•

~

8.

I

= constant.

(u)

3 (u 2

_

v2 2

)

2

'" 25 u 4 + 46 u v + 25 v 4

9. 30°. 2

10. du 2 = (u + 1) dv

1 11. 1 2 . 9

12. 16 .[3. 4

13.

"7 ,,[2.

14.

ft -2,,[2

1 -.[2

2

j

ds 2 =

~

(u 2 + 1)

(du~

+

dv~)

met

- 64 -

Par. 3.

1. De snijkrommen met de coördinaatvlakken ; O!

(be sin u cos v, ac sin u sin v, ab cos u), waarbij

O!

== (a 2 b 2 cos u + a 2 c 2 sin 2 u sin 2 v + b 2 c 2 sin 2

2

1

U

cos 2 v}-ra

3. r = I.l sin g, I.l veranderlijk. 4. 2

TT

R 2 (sin O2

sin Ol ) •

-

2 + dv12) 1 u 1 (dU 5. ds 2 '"' 2 1 6. 2

TT

a ( {3 -

2

= (u

ds 7.

2a2

1 2 'fT R cosec

8. ds 2

'"'

u ,. cJI

± a =u

O! };

1 - V 1

~ r2

(v + c); a

2

+ dv 2

r! J ~

. r

),

~

waarbij

+ e 2r dr, v

°

1. R (dg 2 + cos 2 d ~2).

3.

In

(cru: + dv:).

}2

Par. 4.

2.

..r 2

O!

(du

+..r3

•

',J

fll 2 1 + pz dr +

IJ

- 2h r 2 + h2

rfl

.Jl + fr a

dr d 4>.

d

4>2 •

=-

cJI..r 3 +

r! J

. r

1 + eH dr •

- 65 1 1 5. ft ' R

7. cp

ft!

(1+

= const. ,

f

fl2 )

r

e /2

,

r (1 +

I

fl2 )

= const. ; .J 1 -

r

0, O.

11 a

Z

-r

-1.

r

X2 2

X2 1

8. (l+a2 )1/2, (1 + a 2 )3/2;

(1 + a 2

+ )1/2

(1 + a 2 )3/8

= 1.

9. ± (x~ + x~ + 1). 10.

X2 1

+

X2 2

=R

. '

X

1

= +- ..rr'' 1 X2

_

X2 2

=+

r 2 + h2 h

11. Meridianen en parallelcirkels.

12. onbepaald; beschrijvende en cirkeldoorsneden; de bissectricekrommen van de rechten en de schroeflijnen .

•

Par. 5. 1.

Xl

:t

X2

= constant.

1 Xl '

= h sin h Xl' cp = X 2 • 2 f (v) = av + b; ds = (u 2 + 2 2 r = u + J u + a , cp = av.

V

= X2 ;

1

Ü + v = 1.

3. r

5.

a2

)

(du~ + dv~);

-------

- 66 Par. 6. 1. Rechten; grote cirkels.

2. De beschrijvenden en de schroeflijnen op de cylinder. 3. De meridianen.

= ::!:

5. v

c t-l I~ (-2 ln t + 1 - arctg ct) + Cl' waarbij t = V u~ 2 _c 2

du dv 6. ds = ds

11. - 1, 1", 0, .J2. a au v 12.

d2 u d2 v -1 -= -= ds 2 ds 2 (2U+C)3

1 = .J2 ( 2u + c)

7. v = ::!: a ln (u +

.J u 2

- - - , -2a.Ja' -" 2a.Ja

"

_ a2

)

+ b

au _ a v .J3

4a.Ja

13. 0,1. 15. O. 17. -1. 19. elk 900

•

Par. 7. 1 , 0, O. r.Jl+f t2 3. ds z = du z ; (UZ + W2) dv Z.; v = constant. 2.

1

r'

4. - 1; u = - ln y, v = x;

de rechten x = constant en y = constant. 5. u

= constant,

v = constant, ds 2

= u12" 1

(du Z + dv 1

2

);

U=

~,

- 67 -

v = y; u

±

6. u .. x, v = y;

u R

1 2 (u + V)3/2

,

0,

-1

..r2 (u + V)3/2

COtg -

2R

..r3.

1

8. 2

_ + 2, -

!. 4'

u

=+ V' "

O' u 2 (v 2 + 2)

2 2 10. R dg2 + R 2 cos gd~; dO

R dg 2 + R cos

2

gd~;

i2

= R2

= constant.

•

cos g dgd~, } ", R2;