Bujur Sangkar Latin (Latin Square Design) Arum H. Primandari, M.Sc

Percobaan Satu Faktor: Rancangan Bujur Sangkar Latin (Latin Square Design) Arum H. Primandari, M.Sc.

Rancangan Bujur Sangkar Latin (RBSL) • Pada kondisi-kondisi tertentu, keheterogenan unit percobaan tidak bisa dikendalikan hanya dengan satu sisi keragaman unit-unit percobaan. • Salah satu yang mampu mengendalikan keragaman lebih dari satu adalah RBSL. • RAKL hanya mengendalikan keragaman dari satu arah, sementara RBSL mengendalikan keragaman dari dua arah (baris dan kolom)

Kelebihan dan Kekurangan • Kelebihan: – mampu mengendalikan komponen keragaman unit – unit percobaan dari dua arah (arah baris dan arah kolom).

• Kekurangan: – persyaratan RSBL sering dianggap kekurangan, yaitu bahwa jumlah ulangan harus sama dengan jumlah perlakuan. – Untuk jumlah perlakuan yang lebih kecil dari 4 akan mengakibatkan jumlah db galat percobaan menjadi sangat kecil dengan konsekuensi bahwa galat percobaan akan menjadi besar. – Akibat dari dua kekurangan sebelumnya, RBSL hanya digunakan untuk percobaan yang menggunakan 4 – 8 perlakuan.

Syarat RBSL • Jumlah perlakuan = jumlah baris = jumlah kolom • Pengacakan, setiap perlakuan harus muncul sekali di setiap baris dan sekali di setiap kolom

Pengacakan dan Denah Rancangan • Kasus: suatu penelitian melibatkan 4 perlakuan (A, B, C, D) dimana penempatan perlakuan diacak berdasar posisi baris dan kolom. • Oleh karena Jumlah perlakuan = jumlah baris = jumlah kolom, maka banyak unit percobaan adalah 4 x 4 = 16. • Penempatan perlakuan harus memperhatikan aturan: setiap perlakuan hanya muncul sekali pada arah baris dan sekali pada arah kolom.

• Cara pengacakannya yaitu: 1. Tempatkan perlakuan pada arah diagonal secara acak. 1 2 3 4

A B D C 1

C A B D 2

D C A B 3

B D C A 4

2. Acaklah penempatan baris 3 2 4 1

D B C A 1

B A D C 2

A C B D 3

C D A B 4

3. Acaklah penempatan kolom 3 2 4 1

B A D C 2

C D A B 4

D B C A 1

Bagan percobaan akhir

A C B D 3

Tabulasi Data

Model Linier • Model linier untuk RBSL:

Yijk    i   j  k  ijk

i, j,k  1,2,...,r ij  N 0, 2  iid

dimana: Yijk: nilai pengamatan pada perlakuan ke-k dalam baris ke-i dan kolom ke-j μ: rataan umum αi: pengaruh baris ke-i βj: pengaruh kolom ke-j τk: pengaruh perlakuan ke-k εijk: pengaruh galat percobaan dari perlakuan ke-k pada baris ke-i dan kolom ke-j

Asumsi • Asumsi untuk model tetap t

r

t

i1

j1

i1

2   0,   0,   0 dan   N 0,     i  j k ijk iiid

• Asumsi untuk model acak

i  N 0,   , j  N 0,   , k  N 0,  iid

2 

iid

2 

iid

2 

 dan 

2  N 0,    ijk iiid

Hipotesis Model Tetap • Hipotesis pengaruh perlakuan H0 : 1  2  ...  r  0 Perlakuan tidak berpengaruh terhadap

H1 : k  0,(k  1,2,...,r) • Hipotesis pengaruh baris H0 : 1   2  ...  r  0 H1 : i  0,(i  1,2,...,r)

• Hipotesis pengaruh kolom

H0 : 1  2  ...  r  0 H1 :  j  0,( j  1,2,...,r)

respon yang diamati

Hipotesis Model Acak • Hipotesis pengaruh perlakuan H0 : 2  0 H1 : 2  0 • Hipotesis pengaruh baris H0 : 2  0 H1 : 2  0 • Hipotesis pengaruh kolom H0 : 2  0 H1 : 2  0

Perhitungan 2 Y FK  2 r r

r

r

JKT   Yijk2  FK i1 j1 k 1

Yi2 JKB    FK i1 r r

r

Y2j

j1

r

JKK  

 FK

Y2k JKP    FK k 1 r JKG  JKT  JKB  JKK  JKP r

Tabel Analisis Variansi SV

db

JK

KT

F-hitung

Perlakuan

r–1

JKP

KTP

KTP/KTG

Baris

r–1

JKB

KTB

KTB/KTG

Kolom

r–1

JKK

KTK

KTK/KTG

Galat

(r – 1)(r – 2)

JKG

KTG

Total

r2 – 1

JKT

Uji Hipotesis, maka kriteria keputusan : H0 ditolak jika:

Fhitung  F ,r1,(r1)(r2)

Efisiensi Relatif (ER) dari RBSL • Tingkat efisiensi RBSL terhadap RAK: db  1   dbb  3   ˆ b2  ER   2  db  3  dbb  1 ˆ  dimana dbl: derajat bebas galat dari RBSL, dbb: derajat bebas galat dari RAK, ragam galat dari RBSL dan RAK: ˆ l2  KTG ˆ

2 b

r  1KTK   r  1  r  1r  2  KTG  r r  1

• Misal ER = 5 berarti agar sensifitas RAK sama dengan RBSL maka ulangan dalam RAK sebanyak 5 kali dari banyak kolom yang digunakan RBSL

Efisiensi RBSL terhadap RAK • Efisiensi RBSL terhadap RAK terdapat 2 ukuran: 1. Memperlakukan baris sebagai kelompok • Dugaan KTG (RAK): fcKTK   ft  fe KTG  KTG(RAK)  fc  ft  fe dengan: KTK dan KTG adalah kuadrat tengah kolom dan kuadrat tengah galat dari RBSL; fc, ft, fe berturut-turut adalah derajat bebas untuk kolom, perlakuan, dan galat dari RBSL.

2. Memperlakukan kolom sebagai kelompok • Dugaan KTG (RAK) adalah:

frKTB   ft  fe KTG  KTG(RAK)  fr  ft  fe dengan: KTB dan KTG adalah kuadrat tengah baris dan kuadrat tengah galat dari RBSL; fr, ft, fe berturut-turut adalah derajat bebas untuk baris, perlakuan, dan galat dari RBSL.

• dengan demikian, ER(RBSL terhadap RAK) dihitung berdasarkan formula:  f1  1 f2  3KTG(RAK)  ER(RBSL terhadap RAK)   f2  1 f1  3KTG(RBSL) dengan: f1 dalah db galat untuk RBSL dan f2 adalah db galat untuk RAK.

Data Hilang dalam RBSL • Pendugaan data hilang:

Y

r B  K  P   2G

r  1r  2 

• dengan: r: banyaknya perlakuan. B: total nilai pengamatan dari baris yang mengandung data hilang. K: total nilai pengamatan dari kolom yang mengandung data hilang. P: total nilai pengamatan dari perlakuan yang mengandung data hilang. G: total seluruh pengamatan

• Jumlah kuadrat perlakuan melalui analisis ragam akan berbias ke atas dengan besar bias:

G  B  K  r  1P  Bias 

2

r  1r  2 

2

Latihan

Pengulangan dari RBSL • Salah satu kelemahan RBL berukuran kecil adalah bahwa rancangan itu hanya memiliki derajat bebas yang kecil, konsekuensinya tingkat ketelitian akan rendah. • Misalkan: untuk RBSL 3×3 hanya memiliki db: (3-1)(3-2)=2 • Oleh karena itu, apabila kita menggunakan RBSL dalam ukuran kecil, sering dipertimbangkan untuk mengulang RBSL tersebut sehingga diperoleh db galat yang besar.

• Contoh: Kita melakukan percobaan pemberian makanan jenis A, B, dan C pada sapi. Dalam percobaan, kita menggunakan RBSL ukuran 3×3, dengan menyiapkan 3 ekor sapi untuk dicobakan secara bergantian selama 3 periode waktu.

Periode

Misalkan denah percobaannya adalah: 1

A

B

C

2

B

C

A

3

C

A

B

1

2 Sapi

3

Untuk meningkatkan db galat, maka kita mengulang percobaan dengan RBL 3×3 itu sebanyak n kali, katakanlah sebanyak 3 atau 4 kali.

Periode

Sapi 1

2

3

1

A

B

C

2

B

C

A

3

C

A

B

4

B

C

A

5

A

B

C

6

C

A

B

7

C

A

B

8

A

B

C

9

B

C

A

10

A

B

C

11

B

C

A

12

C

A

B

RBSL ukuran 3×3

RBSL ukuran 3×3

RBSL ukuran 3×3

RBSL ukuran 3×3

• Derajat bebas dari 4 buah RBSL 3×3: SV

db

Baris/ Periode dalam RBSL (Ulangan)

nr – 1 = (4)(3) – 1 = 11

Kolom (sapi)

r–1=3–1=2

Perlakuan (makanan)

r–1=3–1=2

Galat

(r – 1)(nr – 2) = (2)(10) = 20

Total

nr2 – 1 = 35

Perhitungan 2 Y FK  2 nr r

r

r

r

2 JKT   Yijkl  FK i1 j1 k 1 l 1

1 r 2 JK(RBSL)  JK(ulangan)  2  Yl  FK r l1 Yi2l 1 r 2 JKB(RBSL)    2  Y l r l1 i1 l1 r r

r

Y2j

j1

nr

JKK  

r

 FK

Y2k  JKP    FK k 1 nr JKG  JKT  JK(RBSL)  JKB(RBSL)  JKK  JKP r

Tabel Anava SV

db

JK

KT

Baris/ Periode

nr – 1

JK(RBSL) + JKB(RBSL)

KTB

Kolom

r–1

JKK

KTK

Perlakuan

r–1

JKP

KTP

Galat

(r – 1)(nr – 2)

JKG

KTG

Total

nr2 – 1

JKT

F

KTP/KTG

Rancangan Beralih (Cross-Over Design)

Cross-Over Design • Digunakan dalam percobaan yang menggunakan rotasi dengan panjang periode tetap (panjang periode ditentukan oleh peneliti). • Pengaruh bawaan dari perlakuan terdahulu akan mempengaruhi pengukuran dari pengaruh perlakuan sekarang. • Pengaruh bawaan dapat diatasi melalui pemilihan rancangan percobaan yang sesuai atau melalui penyisipan suatu periode istirahat di antara periode-periode perlakuan. • Periode istirahat merupakan suatu periode waktu tanpa pengamatan pada perlakuan sekarang atau suatu periode tanpa perlakuan. • Pada dasarnya rancangan beralih merupakan kombinasi antara RBSL dan RAK

• Contoh: Misalkan kita memiliki 2 perlakuan:

– A: pemberian makanan tambahan – B: tanpa pemberian makanan tambahan

Perlakuan A dan B akan dicobakan pada 8 ekor sapi. Setiap ekor sapi akan menerima 2 perlakuan A dan B dalam periode 1 dan 2. Perlakuan A dan B diberikan secara acak, dengan pembatasan separuh sapi mendapat perlakuan A dan separuhnya lagi mendapat perlakuan B dalam periode 1. Selanjutnya, sapi-sapi yang mendapat perlakuan A pada periode 1 akan beralih mendapat perlakuan B pada periode 2, vise-versa.

Denah Percobaan Sapi atau Ulangan Baris

1

2

3

4

5

6

7

8

Periode 1

B

A

B

A

A

B

B

A

Periode 2

A

B

A

B

B

A

A

B

Jika percobaan yang sama dilakukan dengan menggunakan RBSL, maka kita perlu menggunakan RBSL ukuran 2×2 diulang sebanyak 4 kali. Sapi atau Ulangan 1

2

3

4

5

6

7

8

1

B

A

B

A

A

B

B

A

2

A

B

A

B

B

A

A

B

RBSL 1

RBSL 2

RBSL 3

RBSL 4

Perhitungan 2 Y FK  bk b

k

JKT   Yij2  FK i1 j1

Yi2 JKB    FK i1 b b

k

Y2j

j1

k

JKK  

 FK

Y2k JKP    FK k 1 r JKG  JKT  JKB  JKK  JKP r

• dengan: b: banyak baris k: banyak kolom

Tabel Anava SV

db

JK

KT

Baris/ Periode

b–1

JKB

KTB

Kolom

k–1

JKK

KTK

Perlakuan

t–1

JKP

KTP

Galat

*

JKG

KTG

Total

bk – 1

JKT

* db galat: db total – db baris – db kolom – db perlakuan

F

KTP/KTG

Referensi • Gaspersz, Vincent, 1991, Teknik Analisis Dalam Penelitian Percobaan, Tarsito, Bandung. • Mattjik, Ahmad Anshori., dan Sumertajaya, Made I, Perancangan Percobaan dengan Aplikasi SAS dan Minitab, IPB Press, Bandung. • Montgomery, Douglas C., 2001, Design and Analysis of Experiments 5th Ed, John Wiley & Sons, Inc., USA.