Rancangan Bujur Sangkar Latin (Latin Square Design) Week 5 By : Ika Damayanti, S. Si, M. Si
Rancangan Bujur Sangkar Latin z
Dinamakan bujur sangkar latin karena desainnya berbentuk bujur sangkar dan perlakuannya diberi simbol huruf2 latin kapital (misal : A,B,C,D).
z
Desain bersifat bahwa tiap perlakuan terdapat satu dan hanya satu kali dalam tiap baris dan satu tiap kolom, sedangkan pengacakan dilakukan berdasarkan dua buah pembatas yakni baris dan kolom.
Rancangan Bujur Sangkar Latin z
Jika terdapat m buah perlakuan yang diteliti maka rancangan berupa mxm
z
banyak kolom = banyak baris = banyak ulangan
Model Rancangan Bujur Sangkar Latin Yij ( k ) = µ + β i + γ j + τ k + ε ij ( k ) i =1,2,...,m ; j =1,2,...,m ; k =1,2,...,m dengan keterangan : Yij (k )
µ βi γj
τk ε ij ( k )
= hasil pengamatan yang dicatat dari perlakuan ke-k yang dipengaruhi oleh baris ke-i, kolom ke-j = nilai tengah umum = efek/pengaruh baris (row) ke i = efek/pengaruh lajur (kolom) ke j = efek/pengaruh perlakuan ke k = pengaruh acak (galat percobaan) pada baris kei, lajur ke-j , yang diberikan utk perlakuan ke k .
Contoh RBSL z
Misal kita bermaksud meneliti apakah empat buah mesin A,B,C,D pembuat barang Z memperlihatkan kemampuan produksi yang berbeda atau tidak. Produksi dipengaruhi oleh adanya operator dan hari kerja yang berlainan.
z
Dalam hal ini kita buat desain dengan empat operator sebagai kolom dan empat hari kerja sebagai baris, kemudian ambil mesin2 secara acak untuk ditempatkan dalam sel bujursangkar dengan batasan bahwa tiap mesin hanya digunakan satu kali oleh tiap operator dalam tiap hari kerja.
Tabel 1 zDesainnya
4x4, terdapat dalam tabel 1 berikut :
Hari kerja 1 2 3 4
1 B C A D
operator 2 3 A D B A D C C B
4 C D B A
RBSL Desain lain : Baris 1 2 3 4
1 A B C D
Kolom 2 3 B C C D D B A B
4 D A A C
1 A B C D
Kolom 2 3 B C C D D A A B
4 D A B C
Baris 1 2 3 4
Bujur Sangkar Latin dan Variasinya
ABC…..P BCD…..A CDE…..B . . PAB….(P-1)
p!(p-1)! x jumlah bentuk latin
Pengacakan z
(1) Buat latin baku : ABCD BCDA CDAB DABC
z z
(2) Acak menurut baris (3) Acak menurut kolom ABCD BCDA CDAB DABC (1)
BCDA DABC ABCD CDAB (2)
CABD ACDB BDAC DBCA (3)
ANOVA Sumber Perlakuan
SS
Baris
Kolom
Error
Total
p
1 p
∑
1 p
p
1 p
y.2j . −
j =1
2 ...
y N
F
SSTreatments p −1
MSTreatment MS E
∑
p-1
SS baris p −1
MSbaris MS E
p
y...2 y − N
p-1
SS kolom p −1
MS kolom MS E
(p-2)(p-1)
SS E ( p − 2)( p − 1)
i =1
∑ k =1
2 ..k
p
p
∑∑∑ i =1
MS
y..2 y − N 2 i ..
SS E = SST − SS Treatments − SS Blok p
db p-1
j =1 k =1
y...2 y − N 2 ijk
p2-1
Partisi dari SST :
SST = SSrows + SSKolom + SSTreatments + SSE
Contoh Soal : z
Seorang peneliti mempelajari efek 5 formulasi (perlakuan) berbeda dari bahan bakar roket yang dinotasikan A, B, C, D, E terhadap tingkat pembakaran pada aircrew escape system. Masing – masing formulasi dicampur berdasarkan bahan mentah dan disiapkan oleh beberapa operator. Dimana operator mempunyai mempunyai skill dan pengalaman berbeda. Desain untuk percobaan adalah Bujur sangkar latin berukuran 5x5. Dengan batasan pengacakan adalah bahan mentah dan operator. Organisasi data dari desain ini adalah :
Desain : Bahan Mentah 1 2 3 4 5
1 A=24 B=17 C=18 D=26 E=22
2 B=20 C=24 D=38 E=31 A=30
Operator 3 C=19 D=30 E=26 A=26 B=20
4 D=24 E=27 A=27 B=23 C=29
5 E=24 A=36 B=21 C=22 D=31
Perhitungan Bahan Mentah 1 2 3 4 5 y..k y..k2 Huruf A B C D E
1 A=24 B=17 C=18 D=26 E=22 107 11449 y.j. y.1. y.2. y.3. y.4. y.5.
total 143 101 112 149 130
Operator 2 3 B=20 C=19 C=24 D=30 D=38 E=26 E=31 A=26 A=30 B=20 143 121 20449 14641
4 D=24 E=27 A=27 B=23 C=29 130 16900
5 E=24 A=36 B=21 C=22 D=31 134 17956
Yi..
Yi..2
111 134 130 128 132 635
12321 17956 16900 16384 17424
Hipotesis : 1. H 0 = tidak ada perbedaan tingkat pembakaran pada aircrew system
berdasarkan formulasi H 1 = paling tidak terdapat satu perbedaan tingkat pembakaran pada aircrew system berdasarkan formulasi 2. H 0 = tidak ada perbedaan rata – rata tingkat pembakaran pada aircrew system
berdasarkan bahan mentah H 1 = paling tidak terdapat satu perbedaan rata - rata tingkat pembakaran pada aircrew system berdasarkan bahan mentah. 3. H 0 = tidak ada perbedaan rata – rata tingkat pembakaran pada aircrew system
berdasarkan operator H 1 = paling tidak terdapat rata – rata tingkat pembakaran pada aircrew system berdasarkan operator
ANOVA Sumber Formulasi (Perlakuan) Bahan Mentah Operator Error Total
Note : F(0.05,4,12) = 3.26
SS 330
db 4
MS 82.50
F 7.73
68
4
17
1.593
150 128 676
4 12 24
37.50 10.67
3.51
Desain Bujur Sangkar Graeco - Latin
Desain Bujur Sangkar Latin z
z
Desain bujur sangkar latin pengacakan dilakukan secara ganda, yakni baris dan kolom. Desain bujur sangkar Graeco-Latin desain diperluas dengan pengacakan yang ketiga,yakni faktor α , β , γ , δ
Model Yijkl = µ + θi + τ j + ωk + Ψij (k )
i = 1,2,..., p j = 1,2,..., p k = 1,2,..., p l = 1,2,..., p
yijkl = observasi pada baris ke i, kolom je l, untuk huruf latin ke j, dan huruf
θi = τj = ωk =
Yunani ke k. efek dari perlakuan baris ke - i efek dari perlakuan huruf latin ke-j
efek dari perlakuan huruf Yunani ke-k Ψl = efek perlakuan kolom ke-l ∈ijkl = komponen error, NID(0, σ 2 )
Contoh soal : z
Sama seperti contoh pada Bujur Sangkar Latin, hanya diberikan faktor tambahan yaitu uji perakitan (assemblies test),yaitu α , β , γ , δ ,∈ Bahan Mentah 1 2 3 4 5 y…l y…l2
1 A α =24 B β =17 C γ =18 D δ =26 E ∈ =22 107 11449
2 B γ =20 C δ =24 D ∈ =38 E α =31 A β =30 143 20449
Operator 3 C ∈ =19 D α =30 E β =26 A γ =26 B δ =20 121 14641
4 D β =24 E γ =27 A δ =27 B ∈ =23 C α =29 130 16900
5 E δ =24 A∈ =36 B α =21 C β =22 D γ =31 134 17956
α = y..1. = 135; β = y..2. = 119; γ = y..3. = 122;δ = y..4. = 121;∈= y..5. = 138
Yi…
Yi...2
111 134 130 128 132 635
12321 17956 16900 16384 17424
Anova Sumber Formulasi (Perlakuan) Bahan Mentah Operator Uji Perakitan Error Total
Note : F(0.05,4,8) = 3.84
SS 330
db 4
MS 82.50
F 10
68 150 62 66 676
4 4 4 8 24
17 37.50 15.50 8.25
2.06 4.54 1.89
