Rancangan Faktorial Factorial Design
By : Ika Damayanti, SSi, MSi
Rancangan Faktorial Î Rancangan faktorial digunakan untuk menyelidiki
secara bersamaan efek beberapa faktor berlainan. Î Terdapat efek kombinasi dari beberapa faktor Î Disebut rancangan faktorial karena : hampir semua faktor dikombinasikan atau disilangkan dengan hampir semua taraf tiap faktor lainnya yang ada dalam eksperimen.
Rancangan Faktorial Berdasarkan adanya banyak taraf dalam tiap faktor,
eksperimen ini sering diberi nama dengan menambahkan perkalian antara banyak taraf faktor yang satu dengan lainnya. Jika ada a level dari faktor A dan b level dari faktor B, maka terdapat ab kombinasi perlakuan. Misal dalam eksperimen terdapat 2 faktor, terdiri atas 4 taraf dan 3 taraf, maka diperoleh percobaan faktorial 4x3
Organisasi Data untuk Desain Faktorial 2 Faktor Faktor B
1
2
1
2
…
b
y111 , y112
y121 , y122
y1b1 , y1b 2
......, y11n
......, y12 n
......, y1bn
y 211 , y 212
y 221 , y 222
y 2 b1 , y 2b 2
......, y 21n
......, y 22 n
......, y 2 bn
y a11 , y a12
y a 21 , y a 22
y ab1 , y ab 2
......, y a1n
......, y a 2 n
......, y abn
Faktor A M
a
Model dari efek tetap: a Level faktor diambil dari A faktor yang tetap, b level faktor diambil
dari B faktor yang tetap. Model dari pengamatan ini adalah : ⎧ i = 1,2,..., a ⎪ y ijk = µ + τ i + β j + (τβ ) ij + ∈ijk ⎨ j = 1,2,..., b ⎪k = 1,2,..., n ⎩
µ τi βj
= rata-rata umum = efek dari level ke-i dari faktor A = efek dari level ke-j dari faktor B
(τβ ) ij
= efek dari interaksi antara τ i dan β j
∈ijk
= komponen random error
Hipotesis H 0 = τ i = 0 (tidak terdapat efek dari faktor A) H1 = τ i ≠ 0 H 0 = β j = 0 (tidak terdapat efek dari faktor B) H1 = β j ≠ 0 H 0 = (τβ ) ij = 0 (tidak terdapat efek interaksi) H 1 = (τβ ) ij ≠ 0
ANOVA Sumber Variasi Perlakuan A
Sum of Squares SS A =
∑
y i2..
df a-1
b
y .2j .
b-1
a
y...2 − bn abn
i =1
Perlakuan B
SS B =
∑
y...2 − an abn
j =1
Interaksi
SS AB = SS subtotal − SS A − SS B
(a-1)(b-1)
dengan : SS subtotal =
a
b
∑∑
SS E = SS T − SS AB − SS A − SS B
ab(n-1)
SS E = SS T − SS subtotal SS T =
a
b
n
∑∑∑ a =1 j =1 k =1
MS A =
SS A a −1
MS A MS E
MS B =
SS B b −1
MS B MS E
MS AB =
SS AB (a − 1)(b − 1)
y ...2 − n abn
atau Total
F
y ij2.
a =1 j =1
Error
Mean Square
y
2 ijk
y...2 − abn
abn-1
MS E =
SS E ab(n − 1)
MS AB MS E
Model dari efek random a Level faktor A dan b level faktor B diambil dari faktor yang random.
Model dari pengamatan ini adalah : ⎧ i = 1,2,..., a ⎪ y ijk = µ + τ i + β j + (τβ ) ij + ∈ijk ⎨ j = 1,2,..., b ⎪k = 1,2,..., n ⎩
µ , τ i , β j , (τβ ) ij , ∈ijk merupakan variabel random
Hipotesis H 0 = σ τ2 = 0 (tidak terdapat efek dari faktor A) H 1 = σ τ2 ≠ 0 H 0 = σ β2 = 0 (tidak terdapat efek dari faktor B)
H 1 = σ β2 ≠ 0 H 0 = σ τβ2 = 0 (tidak terdapat efek interaksi) H 1 = σ τβ2 ≠ 0
!!!! Perhatikan bahwa : ANOVA pada efek random dikerjakan sama dengan efek tetap
Model Efek Mixed (Campuran) Jika A merupakan faktor tetap, dan B merupakan
faktor random. Model dari pengamatan ini adalah : ⎧ i = 1,2,..., a ⎪ y ijk = µ + τ i + β j + (τβ ) ij + ∈ijk ⎨ j = 1,2,..., b ⎪k = 1,2,..., n ⎩
Hipotesis H 0 = τ i = 0 (tidak terdapat efek dari faktor A) H1 = τ i ≠ 0
H 0 = σ β2 = 0 (tidak terdapat efek dari faktor B) H 1 = σ β2 ≠ 0 H 0 = σ τβ2 = 0 (tidak terdapat efek interaksi) H 1 = σ τβ2 ≠ 0
Perhitungan ANOVA & Uji F Untuk perhitungan ANOVA, nilai SS, MS sama seperti model efek tetap. Yang berbeda adalah pengujian F-nya. Perhatikan :
•
untuk hipotesis H 0 = τ i = 0 F=
•
untuk hipotesis H 0 = σ β2 = 0 F=
•
MS A MS AB
MS B MS E
untuk hipotesis H 0 = σ τβ2 = 0 F=
MS AB MS E
Contoh Latihan Example 6-1. (Montgomerry, 1976, pg. 129) Or Example 5-1 (Montgomerry, 2001, pg. 180)
Rancangan Faktorial Umum Rancangan faktorial 2 faktor, bisa digeneralisasi
menjadi bentuk umum dengan a level dari faktor A, b level dari faktor B, c level dari faktor C, dst… Sehingga secara umum terdapat abc…n observasi, jika terdapat n pengulangan.
Rancangan Faktorial 3 Faktor Model dari pengamatan ini adalah : y ijk = µ + τ i + β j + γ k + (τβ ) ij + (τγ ) ik + ( βγ ) jk + (τβγ ) ijk + ∈ijkl
µ τi βj
= rata-rata umum = efek dari level ke-i dari faktor A = efek dari level ke-j dari faktor B
γk (τβ ) ij
= efek dari level ke-k dari faktor C = efek dari interaksi antara τ i dan β j
(τβγ ) ij = efek dari interaksi antara τ i , β j dan γ l ∈ijkl
= komponen random error
⎧ i = 1,2,..., a ⎪⎪ j = 1,2,..., b ⎨ ⎪ k = 1,2,..., c ⎪⎩l = 1,2,...., n
ANOVA untuk Rancangan Faktorial 3 Faktor Sumber Variasi A
SS A =
Sum of Squares
df
−
y....2 abcn
a-1
−
y....2 abcn
b-1
y..2k . y2 − .... abn abcn
c-1
yij2..
y....2 − − SS A − SS B cn abcn
(a-1)(b-1)
yi2.k . y....2 − − SS A − SS C bn abcn
(a-1)(c-1)
y.2jk .
(b-1)(c-1)
y i2...
a
∑ bcn i =1
B
SS B =
y.2j ..
b
∑ acn j =1
C
SSC =
c
∑ k =1
AB AC
a
b
a =1
j =1
a
c
∑∑
SS AB = SS AC =
∑∑ a =1 k =1
BC
SS BC =
b
c
∑∑ j =1 k =1
ABC
SS ABC =
a
y....2 − − SS B − SS C an abcn
b
c
∑∑∑ i =1
y ijk2 .
j =1 k =1
n
−
y....2 + abcn
(a-1)(b-1)(c-1)
Mean Square MS A =
SS A a −1
MS A MS E
MS B =
SS B b −1
MS B MS E
MSC =
SSC C −1
MSC MS E
MS AB =
SS AB (a − 1)(b − 1)
MS AB MS E
MS AC =
SS AC (a − 1)(c − 1)
MS AC MS E
MS BC =
SS BC (b − 1)(c − 1)
MS BC MS E
MS ABC =
SS ABC (a − 1)(b − 1)(c − 1)
− SS A − SS B − SS C − SS AB − SS AC − SS BC
Error Total
abc(n-1)
SS E = SST − SS subtotal ( ABC )
SS T =
a
b
c
n
∑∑∑∑ y a =1 j =1 k =1 l =1
2 ijkl
y ....2 − abcn
abcn-1
F
MS E =
SS E abc(n − 1)
MS ABC MS E
Contoh Latihan : Example 6-3. (Montgomerry, 1976, pg. 145)
Or Example (Montgomerry, … 2001, pg… )
