KAJIAN PADA RANCANGAN FRACTIONAL FACTORIAL DAN FRACTIONAL FACTORIAL SPLIT-PLOT
SRI WINARNI
SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2006
SURAT PERNYATAAN Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis yang berjudul : Kajian pada Rancangan Fractional Factorial dan Fractional Factorial Split-Plot adalah benar merupakan hasil karya sendiri dan belum dipublikasikan. Semua sumber data dan informasi telah dinyatakan dengan jelas dan dapat diperiksa kebenarannya.
Bogor, Agustus 2006
Sri Winarni NRP : G151020191
ABSTRAK SRI WINARNI. Kajian pada Rancangan Fractional Factorial dan Fractional Factorial Split-Plot. Dibimbing oleh BUDI SUSETYO dan BAGUS SARTONO Rancangan faktorial lengkap yang mencobakan banyak faktor dengan ulangan tunggal membutuhkan satuan percobaan yang homogen sejumlah kombinasi perlakuan lengkapnya. Biaya yang besar untuk menyediakan satuan percobaan dan kesulitan dalam interpretasi hasil untuk pengaruh interaksi tingkat tinggi membuat rancangan ini sangat mahal untuk dilakukan. Rancangan Fractional factorial (FF) merupakan solusi bagi masalah tersebut. Jika teknik pengacakan lengkap sulit untuk dilakukan pada rancangan FF maka rancangan Fractional Factorial Split-Plot (FFSP) dapat digunakan. Pembentukan struktur rancangan FF dan FFSP dapat dilakukan dengan menentukan banyaknya faktor yang akan dicobakan dan fraksi percobaan, struktur generator, defining relation, alias dan resolusi. Pemilihan struktur rancangan ditentukan oleh kriteria resolusi maksimum dan minimum aberration atau dengan menggunakan kriteria mampu menduga pengaruh faktor tertentu. Proses pembentukan struktur rancangan dan teknik analisis dapat dilakukan dengan mudah menggunakan perangkat lunak yang tersedia. Kata Kunci : generator, alias, resolusi maksimum, minimum aberration
© Hak cipta milik Institut Pertanian Bogor, tahun 2006 Hak cipta dilindungi Dilarang mengutip dan memperbanyak tanpa izin tertulis dari Institut Pertanian Bogor, sebagian atau seluruhnya dalam bentuk apa pun, baik cetak, fotokopi, mikrofilm, dan sebagainya
KAJIAN PADA RANCANGAN FRACTIONAL FACTORIAL DAN FRACTIONAL FACTORIAL SPLIT-PLOT
SRI WINARNI
Tesis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Program Studi Statistika
SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2006
Judul Tesis
:
Nama NRP Program Studi
: : :
Kajian pada Rancangan Fractional Factorial dan Fractional Factorial Split-Plot Sri Winarni G151020191 Statistika
Disetujui Komisi Pembimbing
Dr. Ir. Budi Susetyo, MS Ketua
Bagus Sartono , M.Si Anggota
Diketahui
Ketua Program Studi Statistika
Dekan Sekolah Pascasarjana
Dr. Ir. Aji Hamim Wigena, MSc
Dr. Ir. Khairil Anwar Notodiputro, MS
Tanggal lulus : 2 September 2006
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan sebagai anak kedua dari pasangan Muryono dan Sri Kamilah di Metro pada tanggal 4 Mei 1979.
sebelum menjalani pendidikan
pascasarjana di program magister pada tahun 2002, penulis menjalani pendidikan sarjana di Program Studi Statistika, FMIPA-IPB, pada kurun waktu 1997-2001.
PRAKATA Penghargaan yang setinggi-tingginya penulis sampaikan kepada Dr. Ir. Budi Susetyo, MS. dan Bagus Sartono, Msi. selaku komisi pembimbing. Ucapan terima kasih juga penulis sampaikan kepada rekan-rekan Statistika 2002 dan EPN 2004, keluarga Bagunde 12B, keluarga M20, dan sahabat-sahabat atas diskusi dan semangat yang diberikan. Karya ini penulis persembahkan kepada bapak dan mamak tercinta, Luqman, Apri, Yayu’ Wati, Mas Nung dan Atha tersayang atas curahan kasih sayang dan perhatiannya, baiti jannati. Bogor, Agustus 2006
Sri Winarni
DAFTAR ISI Halaman DAFTAR TABEL ........................................................................................... viii DAFTAR GAMBAR ...................................................................................... ix DAFTAR LAMPIRAN ................................................................................... x PENDAHULUAN............................................................................................ 1 TINJAUAN PUSTAKA .................................................................................. Rancangan Fractional Factorial (FF) ................................................... Rancangan Fractional Factorial Split-Plot (FFSP) .............................. Plot Kwantil Half-Normal ..................................................................... Analisis Regresi dengan Metode Forward Selection ............................ Analisis Ragam pada Rancangan FF dan FFSP .....................................
4 4 9 13 16 17
BAHAN DAN METODE ............................................................................... 20 HASIL ..... ....................................................................................................... Penggunaan Rancangan FF dan FFSP ................................................... Teknik Pembentukan dan Pemilihan Struktur Rancangan .................... Teknik Analisis Data ............................................................................. Contoh Kasus untuk Percobaan dengan Rancangan FF ........................ Contoh Kasus untuk Percobaan dengan Rancangan FFSP ....................
21 21 25 40 42 47
SIMPULAN ..................................................................................................... 52 DAFTAR PUSTAKA ...................................................................................... 53 LAMPIRAN .................................................................................................... 54
DAFTAR TABEL Halaman 1. Matriks rancangan 25V−1 dengan defining relation I = ABCDE ................ 5 2. Resolusi dan maknanya................................................................................ 7 3. Tiga alternatif rancangan 27IV− 2 dengan defining relation berbeda .............. 8 4. Karakteristik dua jenis proses pembauran pada rancangan FFSP ............... 10 5. Generator untuk rancangan 25−2 ................................................................. 29 6. Generator pilihan untuk rancangan 2 5 − 2 ..................................................... 30 7. Struktur rancangan 2 5 − 2 yang dapat dibentuk dengan resolusi maksimum. 31 8. Struktur rancangan 2 5 − 2 isomorphic ............................................................ 33 9. Struktur rancangan 25− 2 dengan generator D = AB dan E = AC .............. 32 10. Struktur rancangan 25− 2 dengan generator D = AC ; E = ABC .............. 33 11. Matriks rancangan 2 5 − 2 dengan generator D = AB dan E = AC .............. 34 12. Matriks rancangan 25− 2 dengan generator D = AC dan E = ABC ......... 34 13. Generator rancangan 2( 2+3)− (0+ 2) ................................................................. 36 14. Generator pilihan untuk rancangan 2 (2+ 3)− (0+ 2) ........................................... 36 15. Struktur rancangan MA 2 ( 2 +3 )− (0 + 2 ) ........................................................... 37 16. Struktur rancangan MA 2 ( 2 +3 )− (0 + 2 ) isomorphic ......................................... 37 17. Generator rancangan 2( 2+3)−(1+1) .................................................................. 38 18. Matriks rancangan 2( 2+3)− (0+ 2) dengan generator Q = AP ; R = BP ......... 38 19. Faktor dan taraf yang digunakan pada contoh kasus rancangan FF........... 42 20. Data percobaan pada contoh kasus rancangan FF...................................... 42 21. Struktur alias dan pendugaan pengaruh pada kasus rancangan FF ............ 43 22. Nilai kwantil half-normal pada contoh kasus rancangan FF...................... 44 23. Tabel analisis ragam untuk contoh kasus rancangan FF............................ 46 24. Faktor dan taraf yang digunakan pada contoh kasus rancangan FFSP ...... 47 25. Nilai kwantil half-normal petak utama pada contoh kasus FFSP .............. 48 26. Nilai kwantil half-normal anak petak pada contoh kasus FFSP................ 49 27. Analisis Ragam untuk contoh kasus rancangan FFSP ............................... 51
DAFTAR GAMBAR Halaman 1. Proses pembentukan struktur rancangan ..................................................... 28 2. Struktur pengacakan untuk rancangan 25−2 ................................................. 34 3. Struktur pengacakan rancangan 2( 2+3)− (0+ 2) dengan generator Q = AP ; R = BP ........................................................................................ 39 4. Plot kwantil half-normal untuk contoh kasus rancangan FF........................ 45 5. Proses penghalusan lapisan emas pada contoh kasus rancangan FFSP ....... 47 6. Plot kwantil half-normal petak utama pada contoh kasus FFSP.................. 48 7. Plot kwantil half-normal anak petak untuk contoh kasus FFSP .................. 49
DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1. Alias interaksi dua faktor untuk tiga rancangan 2 IV7-2 ............................... 54 2. Struktur pembentukan rancangan FF 25− 2 2 ................................................ 55 3. Penggunaan SAS 9.1 untuk pembentukan struktur rancangan FF............. 58 4. Penggunaan ADX SAS 9.1 untuk Pengacakan Rancangan FF.................. 62 5. Pembentukan struktur rancangan FFSP 2 ( 2 + 3) −(0 + 2 ) ..................................... 63 6. Penggunaan SAS 9.1 untuk pembentukan struktur rancangan FFSP........ 65 7. Penggunaan SAS 9.1 untuk pembentukan pengacakan struktur rancangan FFSP .......................................................................................... 68 8. Hasil analisis regresi dengan metode forward selection untuk percobaan pada contoh kasus rancangan FF............................................... 69 9. Data percobaan pada contoh kasus rancangan FFSP .................................. 70 10. Struktur aliases untuk rancangan pada contoh kasus FFSP....................... 71 11. Hasil analisis regresi dengan metode forward selection untuk percobaan pada contoh kasus rancangan FFSP.......................................... 72
PENDAHULUAN
Pada perancangan percobaan dengan rancangan faktorial lengkap, jumlah kombinasi perlakuan terus meningkat seiring dengan meningkatnya jumlah faktor yang digunakan. Jika biaya yang dibutuhkan untuk menggunakan faktor-faktor tersebut sangat besar, maka menambah jumlah faktor berarti juga menambah biaya yang diperlukan dan hal ini tentu sangat tidak diharapkan. Selain itu, kadangkala ditemui kesulitan dalam menginterpretasikan pengaruh interaksi tingkat tinggi pada rancangan faktorial lengkap dengan banyak faktor. Rancangan fractional factorial (FF) merupakan salah satu solusi untuk mengatasi masalahmasalah tersebut (Box & Hunter 1961). Rancangan FF merupakan rancangan yang hanya melakukan sebagian dari kombinasi perlakuan lengkap. Penerapan rancangan FF dapat menghilangkan informasi tentang pengaruh interaksi tingkat tinggi, tetapi tidak menghilangkan informasi tentang pengaruh faktor utama dan interaksi tingkat rendah yang merupakan informasi penting dalam percobaan (Gomes & Gomes 1995). Masalah yang dihadapi dalam rancangan FF adalah bagaimana memilih sebagian dari kombinasi perlakuan lengkap yang akan dicobakan tetapi tetap mendapatkan informasi penting yang diperlukan (Musa 1999). Pembentukan struktur rancangan FF ditentukan oleh banyaknya faktor dan kombinasi perlakuan yang dicobakan. Dengan jumlah faktor tertentu, dapat dibentuk beberapa struktur rancangan FF yang berbeda. Perbedaan struktur rancangan tersebut ditentukan oleh struktur generator, defining relation , alias, dan resolusi yang d igunakan. Pemilihan struktur rancangan terbaik dilakukan dengan kriteria resolusi maksimum dan minimum-aberration (Fries & Hunter 1980).
Pemilihan
rancangan juga dapat ditentukan oleh pengaruh faktor tertentu atau pengaruh interaksi faktor tertentu yang ingin diduga. Kombinasi perlakuan yang digunakan pada rancangan FF ditempatkan secara acak lengkap pada unit percobaan yang digunakan. Pengacakan lengkap pada rancangan FF tersebut kadangkala sulit dilakukan. Dua hal yang membuat pengacakan lengkap tidak dilakukan adalah :
1. Ada kendala teknis di lapang. Kendala teknis tersebut muncul ketika ada faktor yang sulit untuk diubah pengaturan tarafnya berulang kali pada setiap unit percobaan yang digunakan. Contoh : Faktor suhu pemanasan. Tidak mudah untuk memberikan taraf suhu yang berbeda dari unit percobaan yang satu ke unit percobaan yang lain. Lebih mudah jika unit-unit percobaan yang mendapat taraf suhu yang sama di kumpulkan, kemudian diberikan taraf suhu tertentu secara bersamaan (Kulahci et al. 2006). 2. Secara teknis tidak ada masalah untuk melakukan pengacakan lengkap , tetapi mengubah taraf faktor tertentu dari unit percobaan satu ke unit percobaan yang lain dikhawatirkan akan mengganggu pengaruh dari faktor yang dicobakan. Contoh : Faktor pemberian air.
Jika dilakukan pengacakan lengkap ,
dikhawatirkan air yang diberikan pada beberapa unit percobaan akan mengalir pada unit percobaan di sekitarnya yang seharusnya tidak mendapat pemberian
air. Akan lebih aman jika unit-unit
percobaan yang diberi air di p isah dengan unit-unit percobaan yang tidak diberi air. Rancangan fractional factorial split-plot (FFSP) merupakan solusi yang tepat digunakan untuk melakukan percobaan dengan kondisi tersebut di atas. Pada rancangan FFSP terdapat petak utama dan anak petak. Faktor yang sulit untuk diubah pengaturan tarafnya ditempatkan sebagai faktor petak utama dan faktor lainnya ditempatkan sebagai faktor anak petak. Petak utama merupakan kombinasi taraf dari faktor-faktor petak utama yang digunakan dan anak petak merupakan kombinasi taraf dari faktor-faktor anak petak (Bingham & Sitter 2001). Rancangan FF dan FFSP sangat berguna dalam proses penyeleksian faktor (screening experiment), yaitu percobaan
yang melibatkan banyak faktor dan
bertujuan untuk mengidentifikasi faktor-faktor yang memiliki pengaruh besar. Percobaan dilakukan dengan dua taraf, yaitu taraf tinggi (1) dan taraf rendah (-1). Faktor-faktor yang teridentifikasi memiliki pengaruh besar akan diinvestigasi lebih lanjut pada percobaan lanjutan (Montgomery 2001).
Analisis yang digunakan dalam rancangan FF dan FFSP berupa pendekatan analisis secara visual menggunakan plot kuantil half-normal yang kemudian dilanjutkan dengan analisis ragam (Box et al. 1978, Montgomery 2001).
Pendekatan analisis regresi dengan metode forward selection (seleksi
maju) juga dapat digunakan untuk penyeleksian pengaruh faktor. Masalah umum yang dihadapi pada rancangan FF dan FFSP adalah teknik pembentukan struktur rancangan yang relatif rumit dan ketersediaan perangkat lunak yang langka untuk melakukan pembentukan struktur rancangan sekaligus analisis data. Dengan pertimbangan sulitnya mendapatkan data sekunder dari kasus riil dan tidak memungkinkan untuk melakukan percobaan, maka penelitian ini lebih mengarah kepada kajian teori dan pustaka. Tujuan penelitian ini adalah melakukan kajian teori terhadap dua jenis rancangan percobaan, yaitu rancangan FF dan rancangan FFSP.
Kajian teori
dilakukan terhadap proses pembentukan struktur rancangan dan teknik analisis pada kedua rancangan tersebut.
TINJAUAN PUSTAKA Rancangan Fractional Factorial (FF) Rancangan FF dengan dua taraf yang dinotasikan dengan 2 n− p merupakan rancangan yang mencobakan hanya 2 n− p kombinasi perlakuan dari selu ruh 2 n kombinasi perlakuan lengkap . Seberapa besar proporsi total kombinasi perlakuan yang akan dicobakan dalam rancangan FF disebut dengan fraksi percobaan (Box & Hunter 1961). Fraksi percobaan yang sering digunakan adalah : Ø Fraksi setengah, mencobakan hanya setengah bagian dari kombinasi perlakuan lengkap. Bentuk rancangan dari percobaan setengah fraksi ini adalah 2 n −1 . Contoh : percobaan 2 5 −1 melakukan 16 kombinasi perlakuan dari 32 kombinasi perlakuan lengkap. Ø Fraksi seperempat, percobaan fraksi seperempat mencobakan hanya seperempat bagian dari kombinasi perlakuan lengkap dan bentuk rancangannya adalah 2 n− 2 . Contoh : percobaan 25−2 melakukan 8 dari 32 kombinasi perlakuan lengkap. Secara umum percobaan FF dengan fraksi 1 2 p mencobakan 1 2 p bagian dari jumlah kombinasi perlakuan lengkap . Bentuk umum dari rancangan ini adalah 2 n− p . Penentuan fraksi percobaan yang digunakan harus menyeimbangkan antara
informasi yang ingin diperoleh dengan biaya yang tersedia (Hines & Montgomery 1996). Struktur rancangan FF ditentukan oleh banyaknya faktor yang dicobakan dan fraksi percobaan yang digunakan. Dengan jumlah faktor dan fraksi tertentu, dapat dibentuk beberapa struktur rancangan FF yang berbeda. Perbedaan struktur rancangan tersebut ditentukan oleh struktur generator, defining relation, alias, dan resolusi yang digunakan. Sebuah ilustrasi rancangan FF yang mencobakan 5 faktor dengan fraksi setengah diberikan untuk memberi gambaran tentang rancangan FF.
Ilustrasi : Sebuah percobaan fraksi setengah yang mencobakan 5 faktor (A, B, C, D, dan E) masing-masing dengan dua taraf yaitu taraf tinggi (1) dan taraf rendah (-1) dilakukan dengan 16 kombinasi perlakuan. Defining relation yang digunakan adalah I = ABCDE .
Struktur rancangan
dengan I = ABCDE pada ilustrasi ini merupakan salah satu dari beberapa struktur rancangan yang dapat dibentuk, matriks rancangan pada ilustrasi ini seperti pada Tabel 1. . Tabel 1. Matriks rancangan 25V−1 dengan defining relation I = ABCDE Run 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
A 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1
B 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1
C 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1
D 1 1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
E = ABCD 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1
Kombinasi perlakuan a1b1 c1 d1e 1 a0b1 c1 d1e 0 a1b0 c1 d1e 0 a0b0 c1 d1e 1 a1b1 c0 d1e 0 a0b1 c0 d1e 1 a1b0 c0 d1e 1 a0b0 c0 d1e 0 a1b1 c1 d0e 0 a0b1 c1 d0e 1 a1b0 c1 d0e 1 a0b0 c1 d0e 0 a1b1 c0 d0e 1 a0b1 c0 d0e 0 a1b0 c0 d0e 0 a0b0 c0 d0e 1
Taraf faktor E ditentukan oleh kombinasi taraf dari faktor A, B, C, dan D melalui persamaan E = ABCD . Jika kedua ruas dikalikan dengan E akan didapat persamaan :
E 2 = ABCDE menjadi I = ABCDE Hubungan I = ABCDE disebut dengan defining relation dan interaksi ABCDE disebut sebagai generator. Cochran (1957) menyebut defining relation dengan defining contrast. Jika terdapat lebih dari satu defining relation yang digunakan, misalnya pada rancangan dengan fraksi seperempat yang menggunakan dua generator, maka akan ada generalized defining relation yang merupakan perkalian antar defining relation. Sebagai defining relation alternatif dapat diambil defining
relation yang bertanda negatif. Struktur generator dan defining relation menentukan struktur alias yang berkaitan dengan pengaruh faktor yang dianalisis. Alias merupakan hubungan pendugaan pengaruh yang saling terpaut (confounded), hubungan tersebut didapatkan dari generalized interaction yang merupakan perkalian antara pengaruh faktor dengan defining relation yang digunakan.
Pada ilustrasi diatas, dari defining relation yang digunakan
I = ABCDE dapat ditentukan hubungan alias pengaruh faktor tertentu. Sebagai contoh, generalized interaction pengaruh utama faktor A dengan defining relation sebagai berikut :
I = ABCDE ; kedua ruas dikali dengan A
IA = A 2 BCDE ; menjadi A = BCDE Dengan demikian, pengaruh utama faktor A terpaut dengan pengaruh interaksi BCDE. Begitu juga dengan pengaruh interaksi AB yang terpaut dengan pengaruh interaksi CDE. Hubungan alias pengaruh yang lain dapat diperoleh dengan cara yang sama. Hubungan alias A = BCDE menunjukkan bahwa kombinasi pengaruh perlakuan yang digunakan untuk menduga pengaruh utama faktor A sama dengan kombinasi pengaruh perlakuan yang digunakan untuk menduga pengaruh interaksi faktor BCDE. Menduga pengaruh utama A sebenarnya adalah menduga pengaruh faktor A + BCDE . Pengaruh utama faktor A tidak dapat diduga kecuali jika pengaruh interaksi faktor BCDE dianggap bernilai nol atau diabaikan.
Sama
halnya dengan pengaruh interaksi faktor AB yang tidak dapat diduga kecuali pengaruh interaksi faktor CDE diabaikan. Rancangan 2 n-p memiliki p generator bebas yang membentuk defining relation. Struktur generator yang berbeda akan menghasilkan struktur alias yang berbeda, hal ini akan berpengaruh pada struktur pengaruh faktor tertentu yang dianalisis. Perlu dipilih struktur p generator yang tepat dan resolusi untuk dapat memenuhi pengaruh faktor tertentu yang ingin dianalisis (Box & Hunter 1961).
Sebuah rancangan dikatakan memiliki resolusi R jika tidak ada pengaruh i faktor yang ber-alias dengan pengaruh lain yang mengandung kurang dari R-i faktor (Box et al. 1978). Beberapa resolusi yang biasa digunakan dapat dilihat pada Tabel 2.
Tabel 2. Resolusi dan maknanya Resolusi
Keterangan
Resolusi III
Pengaruh faktor utama tidak ber-alias dengan pengaruh faktor utama tetapi ber-alias dengan pengaruh interaksi dua faktor dan yang lebih tinggi. Pengaruh interaksi dua faktor tidak ber-alias dengan pengaruh faktor utama tetapi ber-alias dengan pengaruh interaksi dua faktor dan yang lebih tinggi . Pengaruh interaksi dua faktor tidak ber-alias dengan pengaruh utama dan pengaruh interaksi dua faktor, tetapi ber-alias dengan interaksi tiga faktor dan yang lebih tinggi .
Resolusi IV Resolusi V
Secara umum resolusi dari rancangan FF sama dengan jumlah huruf terkecil pada defining relation yang digunakan.
Pada contoh sebelumnya, rancangan 25−1
dengan defining relation I = ABCDE memiliki resolusi V. Pemilihan tingkat resolusi tergantung pada interaksi tingkat berapa yang akan diabaikan dan tergantung dari banyaknya generator yang digunakan (p). Menurut Fries & Hunter (1980), tingkat resolusi maksimum yang dapat dicapai untuk p = 1 dan p = 2 adalah sebagai berikut: •
Untuk p = 1 maka resolusi maksimum = n
•
Untuk p = 2 maka resolusi maksimum = [2n/3]
Dengan n adalah banyaknya faktor yang dicobakan dan [x] adalah nilai bilangan bulat terbesar yang lebih besar dari x. Kriteria resolusi tertinggi kadangkala tidak cukup karena beberapa rancangan berbeda dapat memiliki resolusi yang sama. Sebagai contoh, pada rancangan 27IV− 2 yang menggunakan 7 faktor, 2 generator dan memiliki resolusi IV terdapat tiga alternatif rancangan dengan generator yang berbeda. Ketiga alternatif rancangan tersebut dapat disajikan pada Tabel 3.
Tabel 3. Tiga alternatif rancangan 27IV− 2 dengan defining relation berbeda. Kode
Generator
Defining relation
(D1) (D2) (D3)
F = ABC dan G = BCD F = ABC dan G = ADE F = ABCD dan G = ABDE
I = ABCF = BCDG = ADFG I = ABCF = ADEG = BCDEFG I = ABCDF = ABDEG = CEFG
Panjang huruf terkecil dari ketiga defining relation adalah 4, dengan begitu ketiga rancangan tersebut sama-sama memiliki resolusi IV. Pola panjang huruf dari defining relation disebut dengan Word Length Pattern (WLP). WLP untuk rancangan D1 = {4,4,4} , rancangan D2 = {4,4,6} , dan rancangan D3 = {4,5,5} . Rancangan D1 memiliki panjang huruf 4 sebanyak 3, rancangan D2 sebanyak 2 dan rancangan D3 hanya 1.
Rancangan D3 memiliki panjang huruf terkecil
minimum, dan dikatakan rancangan D 3 merupakan rancangan yang memiliki minimum-aberration. Rancangan minimum -aberration (MA) adalah rancangan yang meminimalkan banyaknya kata dalam defin ing relation yang panjangnya minimum (Fries & Hunter 1980). Rancangan minimum aberration meminimalkan banyaknya interaksi tingkat rendah (dua faktor) yang saling ber -confounded .
Pada ilustrasi tiga
rancangan di atas, rancangan D1 menyebabkan 15 pasang interaksi dua faktor saling ber-confounded, rancangan D2 12 pasang, dan rancangan D3 hanya 6 pasang, hal ini dapat dilihat pada Lampiran 1. Rancangan FF yang memenuhi kriteria resolusi maksimum dan minimum aberration dipilih sebagai rancangan terbaik.
Pemilihan rancangan terbaik
kadangkala tidak hanya didasarkan pada kriteria di atas, jika diinginkan untuk mengetahui pengaruh faktor tertentu yang spesifik, maka pemilihan rancangan dilakukan berdasarkan kemampuan rancangan untuk menduga pengaruh spesifik yang diinginkan.
Rancangan Fractional Factorial Split-Plot (FFSP)
Huang et al. (1998) menotasikan rancangan FFSP dua taraf dengan 2 ( n1 + n2 )− ( p1 + p 2 ) . Rancangan ini dibentuk dengan mengkombinasikan rancangan
petak utama (2 n1 − p1 ) yang memiliki n 1 faktor dan p 1 generator dengan rancangan anak petak ( 2 n2 − p2 ) yang memiliki
n 2 faktor dan
p 2 generator. Ada 2 n1 − p1
kombinasi perlakuan yang dilakukan pada rancangan petak utama, sedangkan pada rancangan anak petak ada sebanyak 2 ( n1 + n 2 ) −( p1 + p2 ) kombinasi perlakuan yang dilakukan. Pembentukan generator dalam rancangan FFSP dilakukan dengan memperhatikan dua hal, yaitu : (Bingham & Sitter 1999). 1. Generator anak petak boleh mengandung beberapa faktor petak utama. 2. Generator petak utama harus bebas dari faktor anak petak dan generator anak petak harus mengandung sedikitnya dua faktor anak petak . Jika generator petak utama mengandung faktor anak petak maka sama halnya dengan melibatkan taraf faktor anak petak ke dalam penentuan taraf faktor petak utama. Sama dengan apa yang berlaku pada rancangan FF, generator yang dibentuk akan menentukan defining relation yang digunakan. Defining relation pada rancangan FFSP disebut dengan defining contrast subgroup (DCS). Nembehard et al. (2006) menjelaskan bahwa ada dua kemungkinan proses pembauran yang dapat terjadi pada rancangan FFSP, yaitu : pembauran dalam anak petak (confounding within sub -plots) dan pembauran split-plot (confounding split-plot). Penggunaan dari pembauran dalam anak petak dan pembauran splitplot tergantung tujuan dari percobaan yang dilakukan. Pembauran dalam anak petak lebih mampu untuk menduga pengaruh interaksi antara faktor petak utama dan faktor anak petak, sedangkan pembauran split-plot lebih mampu untuk menduga pengaruh utama faktor petak utama dan pengaruh utama faktor anaka petak. Ilustrasi rancangan yang digunakan adalah sebuah rancangan FFSP dengan A dan B sebagai faktor petak utama dan P, Q, R, S, T, U sebagai faktor anak petak.
Karakteristik kedua pembauran dijelaskan oleh Tabel 4.
Tabel 4. Karakteristik dua jenis proses pembauran pada rancangan FFSP Pembauran dalam anak petak (confounding within sub-plots) • •
Generator anak petak tidak mengandung faktor petak utama Contoh : S = PQ , T = QR dan U = PR DCS :
Pembauran split-plot (confounding split-plot) • •
I = PQS = QRT = PRU = PRST = PQTU = QRSU
I = APQS = BQRT = APRU = ABPRST = QRSU = ABPQTU
Resolusi III * Pengaruh utama faktor petak utama dan faktor anak petak berconfounded dengan interaksi dua faktor. * Interaksi antara petak utama dan anak petak bebas dari pembauran (dengan asumsi interaksi tiga faktor atau lebih diabaikan)
•
Tepat digunakan pada percobaan yang ingin mengetahui pengaruh interaksi antara faktor petak utama dan faktor anak petak
Generator anak petak mengandung faktor petak utama Contoh : S = APQ , T = BQR , dan U = APR DCS :
Resolusi IV * Pengaruh utama faktor anak petak bebas dari pembauran. * Interaksi dua faktor saling berconfounded .
•
•
Tepat digunakan pada percobaan yang ingin mengetahui pengaruh utama dari faktor petak utama dan faktor anak petak Meningkatkan resolusi parsial dari petak utama.
Generator dibangun dari beberapa huruf (letter) yang membentuk satu kata (word). Banyaknya kata yang memiliki panjang i dapat dituliskan dalam suatu pola yang disebut dengan word length pattern . Misal Ai(D) merupakan banyaknya kata yang panjangnya i, yang didefinisikan dalam defining contrast subgroup rancangan D, dan misal :
(
WLP = A3 ( D), A4 ( D ), A5 ( D),..., An1 +n2 ( D)
)
adalah word length pattern (panjang kata 1 dan 2 tidak digunakan). A3 (D) merupakan banyaknya kata dalam defining contrast subgroup rancangan D yang panjangnya 3 huruf, A 4(D) dengan panjang 4 huruf,
A5(D) dengan panjang 5
huruf, dan seterusnya sampai An1 + n2 ( D) dengan panjang n1 + n2 huruf.
Resolusi merupakan panjang kata terpendek yang didefinisikan dalam defining contrast subgroup . Sebagai contoh rancangan 2 (5 +3 )− (1 +1 ) dengan huruf kapital A, B, C, D dan E merupakan faktor-faktor petak utama dan huruf kecil p, q, r adalah faktor-faktor anak petak. Defining contrast subgroup yang dibentuk:
I = pqr = ABCDE = ABCDEpqr memiliki WLP = (1,0,1,0,0,1) dan memiliki resolusi tingkat III karena panjang kata terpendek adalah 3 (Bingham & Sitter 2001). Sebuah rancangan FFSP
2 ( n1 + n 2 ) −( p1 + p2 )
dikatakan memiliki resolusi
maksimum jika tidak ada rancangan FFSP lain 2 ( n1 + n 2 ) −( p1 + p2 ) yang memiliki resolusi lebih besar. Rancangan dengan resolusi yang sama bisa memiliki WLP yang berbeda. Dalam kondisi demikian, Fries & Hunter (1980) memperkenalkan minimum-aberration sebagai kriteria untuk pemilihan rancangan terbaik. Pertanyaan yang kemudian muncul adalah, yang mana dari banyak kemungkinan rancangan FFSP yang sebaiknya digunakan? Penentuan ini mempertimbangkan seberapa banyak unit percobaan yang digunakan, dan faktorfaktor mana saja yang masuk sebagai petak utama dan faktor-faktor mana yang masuk sebagai anak petak. Kebutuhan untuk mendapatkan informasi yang luas harus diimbangi keinginan untuk mereduksi biaya percobaan. Bingham & Sitter (2001) memberikan beberapa petunjuk yang bisa digunakan untuk melakukan rancangan FFSP : 1. Menempatkan hard-to-change factors sebagai faktor petak utama dan menempatkan faktor-faktor sisanya sebagai faktor anak petak. 2. Memilih WLP terbaik, pada umumnya yaitu WLP yang menghasilkan resolusi tertinggi. Misalkan ada dua rancangan FFSP, yaitu :
D1 : I = ABC = Apqr = BCpqr D 2 : I = ABpq = ACpr = BCqr WLP ( D1 ) = (1,1,1,0 ) dan WLP ( D 2 ) = ( 0,3,0 ,0 ) sehingga D1 memiliki resolusi
III dan D2 memiliki resolusi IV. Secara umum, D2 lebih baik daripada D1.
3. Memilih rancangan minimum aberration. 4. Pertimbangan biaya dan run-size Hal lain yang perlu dipertimbangkan selain minimum-aberration adalah pemilihan rancangan yang paling ekonomis. Perhitungan biaya dilakukan pada unit percobaan yang digunakan. Pertimbangan-pertimbangan tersebut di atas diselaraskan untuk mendapatkan rancangan yang terbaik dengan tidak menentukan pengaruh faktor tertentu yang ingin dianalisis. Huang et al. (1998) menggunakan generating matrix yang merupakan matriks dari generator-generator yang digunakan.
Generating matrix untuk
rancangan FF 2 n− p dapat dituliskan secara umum dalam bentuk matriks : G FF = (I C ) ……… ..…………………….. (1)
dengan I adalah matriks identitas p × p dan C adalah matriks p × (n − p) yang elemennya sama dengan 0 atau 1 dan setiap baris harus mengandung paling sedikit satu elemen tak nol. Sebagai contoh rancangan 2 7−3 dengan generating relation I = ADEF = BDEG = CDFG bisa dijelaskan dengan:
G FF
A 1 = 0 0
BC D E F G 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1
Berdasarkan bentuk umum generating matrix untuk rancangan FF, dapat dibentuk generating matrix untuk rancangan FFSP dengan rancangan petak utama 2 ( n1 − p1 ) dan rancangan anak petak 2 ( n2 − p 2 ) sebagai berikut: G 1 = (I 1
C 1 ) adalah generating matrix petak utama, dan
G 2 = (I 2
C 2 ) adalah generating matrix anak petak.
dengan I1 merupakan matriks identitas berukuran p1 × p1 dan C1 merupakan matriks
berukuran p1 × ( n1 − p1 ) , begitu juga dengan I 2 merupakan matriks
identitas berukuran
p2 × p2
dan C2 merupakan matriks
berukuran
p2 × ( n2 − p2 ) . Jika generator anak petak tidak mengandung faktor petak utama, maka generating matri x untuk rancangan FFSP berbentuk sebagai berikut: O G G FFSP = 1 O G2
n1 − p C1 O4
p1 I = 1 O3
p2 O1 I2
n2 − p2 O 2 p1 ….……………….. (2) C 2 p 2
Generating matrix untuk rancangan FFSP dengan generator anak petak yang mengandung faktor petak utama adalah :
G FFSP
n1 − p p2 C1 O1 B2 I2
p1 = I1 B1
n2 − p 2 O 2 p1 C 2 p2
........……………….. (3)
dengan B1 dan B 2 adalah matriks dengan element 0 atau 1; (I 1 C1) dinotasikan dengan
(B1
G1
B2
I2
menjelaskan
generating
matrix
dari
petak
utama,
dan
C 2 ) dinotasikan dengan G2 merupakan generating matrix dari
anak petak. Jika pada awal percobaan telah ditentukan pengaruh faktor tertentu yang ingin dianalisis, maka struktur rancangan FFSP dipilih berdasarkan kriteria struktur rancangan yang dapat menduga pengaruh faktor yang diinginkan tersebut. Plot kuantil Half-Normal
Plot kuantil half-normal merupakan plot antara nilai mutlak pengaruh faktor yang telah diurutkan dengan nilai kuantil half-normal dari masing-masing pengaruh faktor. Pengaruh faktor ke-i dapat diduga dengan persamaan :
λi =
2( kontras i ) kontras i = N ( N 2)
Kontrasi didapatkan dari penjumlahan respon menurut tanda plus dan minus pada pengaruh faktor ke-i dan N = 2 k − p (Montgomery 2001). Angka 2 muncul karena taraf yang digunakan pada masing -masing faktor adalah dua.
Menurut Aunuddin (1989), pengertian dari kuantil serupa dengan pengertian persentil. Sebagai contoh adalah nilai kuantil 0.67 berarti bahwa ada 0.67 bagian data yang nilainya lebih kecil dari nilai kuantil dan 0.33 bagian lainnya memiliki nilai yang lebih tinggi. Penetapan nilai kuantil dilakukan dengan mengurutkan terlebih dahulu data yang dimiliki dari data yang terkecil sampai dengan data yang terbesar. Kumpulan data yang telah diurutkan tersebut membentuk suatu kumpulan data baru y i dengan i adalah nomor urut besarnya data tersebut.
Kuantil empirik
didefinisikan sebagai berikut : Q (∗pi ) = y i
untuk i = 1,2,...,n dan p i = (i − 0 .5) / n
Secara umum dapat dirumuskan bahwa :
F {Q( pi ) } = pi dan Q ( pi ) = F −1 ( p i ) Dengan F −1 adalah kebalikan fungsi F yang merupakan fungsi sebaran kumulatif yang digunakan, dan pi = (i − 0.5) / n . Prosedur pembuatan plot kuantil-kuantil ini dapat dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut : •
Urutkan data menjadi y1,...,yi,...,yn Dengan y1 adalah nilai y terkecil, yi adalah nilai y urutan ke-i, dan yn adalah nilai y terbesar.
•
Untuk setiap yi, tetapkan p i = ( i − 0.5) / n
•
Untuk setiap p i, tetapkan F −1 ( pi ) = Q( pi ) . Nilai Q( pi ) adalah kuantil berdasarkan sebaran hipotetik.
•
Plotkan antara y i dengan Q( p i ) . Plot kuantil half-normal dapat digunakan untuk mendeteksi pengaruh
faktor yang memiliki pengaruh besar. Pengaruh faktor yang berada diluar pola garis lurus yang terbentuk, dideteksi sebagai pengaruh faktor yang memiliki
pengaruh besar terhadap respon. Hal ini karena nilai mutlak dari pendugaan pengaruh faktor tersebut relatif lebih besar dibandingkan dengan pengaruh faktor lain. Jika peubah x menyebar menurut sebaran normal dengan nilai tengah = 0 dan ragam σ 2 , maka |x| akan menyebar menurut sebaran half-normal dengan nilai tengah = 2 π σ dan ragam σ 2 .
Fungsi sebaran half-normal dengan nilai
tengah = 2 π σ dan ragam σ 2 adalah sebagai berikut :
2
f ( x) =
2π σ
e −x
2σ 2
2
untuk x ≥ 0
,
=0
untuk x < 0
dengan demikian fungsi sebaran half-normal kumulatifnya adalah:
F ( x) =
x
∫ 0
2 2π σ
e− x
2
2σ 2
x 1 2 = 2 ∫ e −x −∞ 2π σ
dx
2σ 2
dx −
0
∫
−∞
1 2π σ
e −x
2
2σ 2
dx
x = 2 Φ − 0.5 σ Dengan Φ (x ) adalah sebaran normal baku yang dapat dengan mudah didapatkan dengan bantuan tabel sebaran normal baku. Nilai kuantil half-normal merupakan nilai fungsi kebalikan dari fungsi half-normal kumulatif di atas. Pengujian terhadap penentuan pengaruh faktor yang memiliki pengaruh besar digunakan statistik uji modulus-ratio (Daniel 1959, Birnbaum 1959). Uji tersebut dapat diberikan sebagai berikut : tn =
yn ya
dengan yn : nilai mutlak pengaruh terbesar y a : nilai mutlak pengaruh pada urutan yang mendekati (0.683 n + 0 .5)
jika nilai n = 15 maka ya merupakan nilai mulak pengaruh pada urutan 11. dengan n = 31 , y a merupakan nilai mutlak pengaruh pada urutan 22. Nilai t n kemudian dibandingkan dengan nilai kritik k ( n ,α ) yang didapat dengan persamaan berikut :
1 (1 − α )1 / n k ( n, α ) = Φ −1 + 2 2
Batas signifikan pengaruh faktor :
t n > k ( n ,α ) yn > k ( n ,α ) ya y n > k ( n ,α ) y a
Pengaruh faktor yang bernilai lebih besar dari k ( n, α ) y a
diputuskan sebagai
pengaruh faktor yang signifikan.
Analisis Regresi dengan Metode Forward Selection
Analisis regresi merupakan hubungan antara peubah bebas dan peubah tak bebas.
Peubah bebas yang diamati tidak semuanya memiliki kontribusi yang
besar terhadap peubah tak bebas. Jika terdapat banyak peubah bebas yang diamati maka perlu dilakukan penyeleksian untuk mendapatkan peubah bebas yang memiliki kontribusi besar dalam menjelaskan keragaman yang terdapat pada peubah tak bebas. Penyeleksian peubah bebas dengan metode forward selection (seleksi maju) dilakukan dengan tahap pertama adalah memasukkan satu peubah bebas yang memiliki nilai R2 terbesar diantara peubah bebas yang lain, misal peubah tersebut adalah x1.
Tahap kedua adalah memilih peubah bebas kedua yang
memberi kenaikan terbesar terhadap nilai R2 pada saat sudah ada x1 di dalam model, misal peubah tersebut adalah x2. Proses pemilihan tersebut sama halnya
dengan memilih peubah bebas yang memiliki nilai F parsial terbesar. Pada tahap kedua di atas, nilai F parsial dirumuskan dengan : F =
R ( x 2 | x1 ) s 2 ( x1 , x 2 )
Dimana R ( x2 | x1 ) adalah jumlah kuadrat regresi parsial x2 pada saat x 1 sudah ada di dalam model dan s 2 ( x1 , x 2 ) adalah kuadrat tengah galat dari model regresi yang peubah bebasnya terdiri dari x1 dan x2. Nilai R ( x2 | x1 ) dirumuskan dengan persamaan berikut : R ( x 2 | x1 ) = R ( x 2 , x1 ) − R ( x1 )
R( x2 , x1 ) adalah jumlah kuadrat regresi dengan peubah bebas x1 dan x2, dan R ( x1 ) merupakan jumlah kuadrat regresi dengan peubah bebas x1 (Myers 1990). Proses pemilihan peubah bebas di atas sama juga halnya dengan memilih peubah bebas dengan P-value terkecil. Proses pemilihan terus berlanjut sampai tidak ada peubah bebas x yang memiliki P-value lebih kecil dari nilai alpha yang telah ditentukan. Jika tidak dibatasi pada sebuah nilai tertentu maka proses di atas akan berlanjut sampai semua peubah bebas masuk ke dalam model.
Analisis Ragam pada Rancangan FF dan FFSP
Analisis ragam yang dilakukan pada rancangan FF dan FFSP sedikit berbeda dengan analisis ragam yang dilakukan pada rancangan faktorial lengkap dan rancangan split-plot lengkap. Pada percobaan FF dan FFSP, analisis ragam dilakukan hanya terhadap pengaruh faktor dan interaksi tertentu yang dianalisis, tidak untuk semua pengaruh faktor dan interaksi. (Montgomery 2001, Nembhard et al. 2006). Model matematis yang digunakan dalam rancangan FF ini adalah sebagai berikut : y = f (x ) + ε
Dengan y adalah respon, f(x) merupakan fungsi dari faktor pengaruh perlakuan yang signifikan dan ε adalah komponen galat yang diasumsikan merupakan variabel acak yang saling bebas dan ε ∼ N (0,σ 2 ) . Berbeda dengan analisis ragam pada rancangan FF, analisis ragam pada rancangan FFSP memiliki dua jenis galat yang dihasilkan dalam rancangan FFSP, yaitu galat petak utama dan galat anak petak. Hal ini sama seperti pada rancangan split-p lot lengkap. Perbedaannya adalah pada pengujian pengaruh faktor yang beralias. Model yang digunakan pada rancangan FFSP adalah : y = f ( x) + δ + g ( x ) + ε
dimana δ adalah galat petak utama dan ε adalah galat dari anak petak. f (x ) dan g (x ) merupakan fungsi parameter dari rancangan petak utama dan fungsi
parameter dari rancangan anak petak. Diasumsikan bahwa δ dan ε merupakan 2 2 variabel acak yang saling bebas , δ ∼ N (0,σ PU ) dan ε ∼ N (0, σ AP ) . Keragaman 2 2 ), antar plot (σ PU ) diharapkan lebih besar daripada keragaman dalam plot (σ AP 2 atau σ PU > σ 2AP (Bingham & Sitter 2001, Loeppky & Sitter 2002).
Nembhard et a.l (2006) melakukan pendekatan analisis ragam pada rancangan FFSP dengan menggunakan pengaruh -pengaruh faktor tertentu sebagai komponen ragam model dan pengaruh faktor yang diabaikan sebagai komponen galat. Ada beberapa aturan untuk pengujian pengaruh faktor pada rancangan FFSP (Bingham & Sitter 2001): 1. Pengaruh petak utama dan interaksi antara faktor-faktor petak utama dibandingkan dengan galat petak utama. 2. Pengaruh anak petak dan interaksi yang beralias dengan pengaruh petak utama atau ber-alias dengan interaksi antara faktor-faktor petak utama dibandingkan dengan galat petak utama.
3. Pengaruh anak petak dan interaksi yang melibatkan paling tidak satu faktor anak petak yang tidak beralias dengan pengaruh petak utama atau tidak beralias dengan interaksi antara faktor-faktor petak utama dibandingkan dengan galat anak petak. Dalam rancangan ini galat petak utama lebih besar daripada galat anak petak, oleh karena itu titik berat pengujian pada rancangan ini lebih kepada anak petak.
BAHAN DAN METODE Data yang akan digunakan dalam penelitian ini berupa contoh kasus percobaan yang diambil dari artikel Quality Engeenering (1988) dalam Montgomery (2001) untuk rancangan FF dan dari Nembhard et al. (2006) untuk rancangan FFSP. Dua contoh kasus tersebut diambil untuk memberikan gambaran tentang penerapan rancangan FF dan rancangan FFSP beserta analisis nya untuk mendapatkan faktor yang memiliki pengaruh besar. Kajian teori yang dilakukan dalam penelitian ini mengikuti tahapan metode sebagai berikut : 1. Pengkajian teori dan literatur terhadap rancangan FF dan FFSP , meliputi kegunaan dan konsep-konsep penting yang terdapat pada kedua rancangan. 2. Menjelaskan proses pembentukan struktur rancangan dan ilustrasinya yang diperoleh secara manual dan dengan bantuan modul ADX (Analysis Design of Experiments) yang terdapat pada paket software SAS 9.1. 3. Analisis data pada contoh kasus yang diambil dari Montgomery 2001 untuk rancangan FF dan dari Nembhard 2006 untuk rancangan FFSP. Analisis secara visual dilakukan dengan plot kuantil half-normal yang diperoleh secara manual dan dengan bantuan modul ADX pada SAS 9.1. Analisis secara formal dilakukan dengan pendekatan analisis regresi menggunakan metode seleksi maju yang dilanjutkan dengan analisis ragam menggunakan software SAS 9.1.
HASIL Penggunaan Rancangan FF dan FFSP
Penggunaan rancangan FF muncul karena keterbatasan satuan percobaan yang dimiliki. Satuan percobaan yang bersifat homogen hanya cukup untuk melakukan sebagian dari kombinasi perlakuan lengkap. Keterbatasan juga bis a muncul dari faktor waktu dan biaya yang tersedia. Jumlah kombinasi perlakuan dari percobaan faktorial lengkap bertambah dengan bertambahnya faktor perlakuan yang digunakan. Pengaruh faktor utama dan interaksi h faktor yang diduga dari percobaan faktoria l lengkap 2 n ada sebanyak : n
n( n − 1) 2 n( n − 1)( n − 2) 2.3 . . . n( n − 1)( n − 2)...(n − h − 1) h!
pengaruh faktor utama pengaruh interaksi dua faktor pengaruh interaksi tiga faktor
pengaruh interaksi h faktor.
Secara umum ada sebanyak n pengaruh faktor utama dan C(n,h) pengaruh interaksi berordo h-1 yang dapat diduga pada percobaan faktorial lengkap 2n . Hal ini dapat terjadi karena kombinasi perlakuan yang dilakukan pada percobaan faktorial lengkap ada sebanyak 2 n sehingga nilai rataan umum dan 2 n − 1 pengaruh faktor dapat diduga.
Sebagai contoh adalah percobaan dengan
rancangan faktorial lengkap menggunakan 7 faktor yang melakukan 2 7 = 128 kombinasi perlakuan dapat menduga 127 pengaruh faktor masing-masing adalah 7 pengaruh faktor utama, 21 pengaruh interaksi dua faktor, dan 99 sisanya adalah pengaruh interaksi lebih besar dari tiga faktor. Berdasarkan prinsip urutan pengaruh hirarki bahwa pengaruh faktor interaksi berordo rendah lebih penting daripada pengaruh faktor interaksi berordo 21
tinggi. Pengaruh interaksi tingkat tinggi dapat dianggap memiliki pengaruh yang kurang penting dalam analisis, sehingga pengaruh tersebut dapat diasumsikan untuk diabaikan. Kehilangan informasi tentang pengaruh interaksi tingkat tinggi ini merupakan kerugian yang harus dibayar dalam menggunakan rancangan FF. Dalam percobaan yang melibatkan banyak faktor, kehilangan informasi tersebut tidak begitu berarti karena informasi yang dibutuhkan lebih ditekankan pada pengaruh faktor utama dan pengaruh interaksi tingkat rendah. Selain itu, kadangkala ditemui kesulitan untuk mengintepretasikan interaksi tingkat tinggi. Pada rancangan FF hanya sebanyak 2 n− p kombinasi perlakuan yang dapat dilakukan, hal ini dikarenakan keterbat asan sumberdaya yang dimiliki, sehingga tidak semua pengaruh faktor dapat diduga. Pengaruh faktor utama dan pengaruh interaksi tingkat rendah lebih diutamakan untuk dilakukan pendugaan, sedangkan pengaruh
interaksi
faktor
tingkat
tinggi
diasumsikan
untuk
diabaikan.
Ketidakmampuan rancangan FF untuk menduga semua pengaruh faktor merupakan salah satu kelemahan dalam penerapan rancangan ini. Rancangan FF menduga nilai rataan dan 2 n− p − 1 pengaruh faktor, hal ini terjadi karena kombinasi perlakuan yang dicobakan hanya sebagian dari jumlah kombinasi lengkap. Kesalahan dalam penafsiran penafsiran pengaruh faktor dapat terjadi pada penerapan rancangan FF akibat adanya pengaruh faktor yang saling terpaut (Cochran & Cox 1957). Pendugaan terhadap pengaruh faktor tertentu bisa jadi adalah bukan pengaruh sebenarnya dari pengaruh faktor tersebut. Hal ini berkaitan dengan clear effects, yaitu pengaruh faktor penting yang tidak terpaut dengan pengaruh faktor penting yang lain. Pengaruh penting yang dimaksud adalah pengaruh faktor utama dan pengaruh interaksi dua faktor, sedangkan pengaruh yang tidak penting merupakan pengaruh interaksi tingkat tinggi yang diabaikan. Clear effects dapat diduga apabila terdapat asumsi untuk mengabaikan pengaruh interaksi tiga faktor dan interaksi yang lebih tinggi. Jika pengaruh faktor tersebut bukan suatu clear effects, maka pendugaan terhadap pengaruh faktor tersebut sebenarnya adalah pendugaan terhadap faktor itu sendiri dan pengaruh faktor yang terpaut dengannya. Kesalahan dalam penafsiran pengaruh faktor ini juga merupakan kelemahan dari penerapan rancangan FF.
22
Kelebihan rancangan FF jika dibandingkan dengan rancangan faktorial lengkap adalah rancangan FF mampu menduga pengaruh-pengaruh penting dari banyak faktor yang digunakan dalam percobaan tanpa harus melakukan semua kombinasi perlakuan lengkap . Hal ini tentu saja akan meningkatkan efisiensi biaya dan waktu. Rancangan FF digunakan secara luas dalam proses screening experiment. Screening experiment merupakan percobaan yang dilakukan dengan melibatkan banyak faktor perlakuan dengan tujuan mencari faktor-faktor yang memiliki pengaruh besar terhadap respon yang diamati. Proses ini banyak digunakan pada percobaan industri manufaktur dimana ingin diketahui faktor apa yang sebenarnya berpengaruh terhadap respon dari banyak faktor yang dicobakan . Dalam proses screening experiment, taraf yang digunakan untuk setiap faktor yang dicobakan idealnya terdiri dari dua taraf yaitu taraf tinggi dan taraf rendah. Jika telah diketahui faktor-faktor yang berpengaruh terhadap respon, maka kemudian dilakukan percobaan lanjutan dengan jumlah taraf yang lebih banyak untuk mendapatkan informasi yang lebih luas. Sebuah contoh percobaan yang dilakukan untuk proses screening experiment berupa percobaan pembuatan roti oleh Anderson (2005) dengan menggunakan rancangan FF dengan fraksi setengah . Percobaan dilakukan dengan mencobakan empat faktor masing-masing dengan dua taraf, yaitu : A. Pengencer: air (–) atau susu (+) B. Minyak: margarin (–) atau mentega (+) C. Tepung: tepung biasa (–) atau tepung roti (+) D. Gandum: gandum biasa (–) atau gandum roti (+) Hasilnya, tiga pengaruh faktor memiliki pengaruh yang besar yaitu pengaruh faktor A, C dan AC. Artinya dari empat faktor yang dicobakan, faktor yang berpengaruh adalah faktor A dan B. Kedua faktor tersebut diinvestigasi lebih lanjut pada percobaan lanjutan. Menurut montgomery (2001), keberhasilan dari penggunaan rancangan FF didasarkan pada tiga ide dasar berikut: 1. The sparsity of effects principle. Dalam proses screening yang melibatkan banyak faktor dan beberapa kemungkinan pengaruh faktor yang dianalisis,
23
pengaruh faktor utama dan pengaruh interaksi tingkat rendah lebih memegang peranan. 2. The projection property. Rancangan FF dapat diproyeksikan menjadi rancangan yang lebih kuat dengan melibatkan faktor-faktor yang memiliki pengaruh signifikan. 3. Sequential experimentation. Memungkinkan untuk menggabungkan dua atau lebih rancangan FF untuk membentuk rancangan yang lebih besar untuk menduga pengaruh faktor dan interaksi yang menarik. Rancangan FF yang dilakukan dengan mengutamakan pengaruh faktor utama dan interaksi dua faktor diharapkan dapat menghasilkan pengaruh faktor tertentu yang berpengaruh besar terhadap respon. Faktor-faktor yang memiliki pengaruh besar kemudian digunakan dalam percobaan selanjutnya untuk mendapatkan informasi yang lebih luas. Menggabungkan dua rancangan FF dapat dilakukan untuk mendapatkan informasi yang menarik tentang pengaruh faktor interaksi yang penting. Contoh penggabungan dua rancangan FF ini adalah pada rancangan fractional factorial split-plot (FFSP) yang juga akan dikaji dalam penelitian ini. Rancangan FFSP digunakan pada kondisi dimana terdapat kendala teknis di lapang yang tidak memungkinkan untuk melakukan pengacakan lengkap. Kendala teknis yang melatarbelakangi penggunaan rancangan FFSP ini sama dengan kondisi yang terjadi pada rancangan split-plot. Perbedaan antara kedua rancangan ini terletak pada keterbatasan satuan percobaan yang tersedia. Pada rancangan
split-plot satuan percobaan yang tersedia
mencukupi
untuk
mencobakan semua kombinasi perlakuan lengkap, sedangkan pada rancangan FFSP keterbatasan satuan percobaan yang tersedia membuat percobaan yang dilakukan hanya melakukan sebagian dari kombinasi perlakuan lengkap. Kelebihan dari rancangan FFSP adalah bahwa rancangan ini secara teknis memudahkan pelaksanaan percobaan di lapang ketimbang pelaksanaan rancangan FF. Rancangan ini mampu menganalisis pengaruh anak petak dengan tingkat ketelitian yang lebih tinggi dibandingkan dengan tingkat ketelitian untuk menganalisis pengaruh petak utama. Kesulitan yang muncul adalah teknik analisis yang lebih rumit dibandingkan dengan rancangan FF.
24
Pengggunaan utama dari rancangan FFSP adalah pada proses screening experiment, hal ini sama dengan penggunaan rancangan FF. Faktor-faktor yang terlibat dalam rancangan FFSP ini dicobakan untuk dapat menentukan pengaruh faktor tertentu yang memilik i pengaruh besar terhadap respon untuk kemudian dilakukan percobaan lanjutan terhadap faktor-faktor yang memiliki pengaruh besar tersebut.
Teknik Pembentukan dan Pemilihan Struktur Rancangan
Pembentukan struktur rancangan dilakukan untuk menentukan kombinasi perlakuan yang akan dicobakan. Struktur rancangan yang berbeda akan menghasilkan kombinasi perlakuan yang berbeda, dengan demikian akan berbeda pula pengaruh faktor yang dapat diduga. Perbedaan struktur rancangan yang terbentuk akan tergantung dari generator yang digunakan dalam rancangan. Sebuah rancangan dapat dibentuk dalam beberapa struktur rancangan yang berbeda, dengan demikian perlu dipilih struktur rancangan yang sesuai dengan tujuan penelitian. Ada dua jenis pemilihan struktur rancangan (Bingham & Sitter 2001): 1. Pemilihan struktur rancangan berdasarkan kriteria terbaik 2. Pemilihan struktur rancangan berdasarkan pengaruh faktor tertentu yang ingin diduga Struktur rancangan terbaik merupakan struktur rancangan yang dapat menduga pengaruh fakto r yang penting, yaitu pengaruh faktor utama dan pengaruh interaksi dua faktor. Pemilihan struktur rancangan berdasarkan kriteria rancangan terbaik memiliki dua kriteria yang harus dipenuhi, yaitu : 1. Resolusi maksimum 2. Minimum aberration Kedua kriteria ters ebut di atas diperlukan untuk mendapatkan struktur rancangan terbaik (Montgomery 2001, Fries & Hunter 1980). Kriteria resolusi maksimum diberikan agar pengaruh faktor yang penting dapat diduga. Hal ini berkaitan dengan clear effects, yaitu pengaruh faktor penting
25
yang tidak terpaut dengan pengaruh faktor penting yang lain. Clear effects dapat diduga apabila terdapat asumsi untuk mengabaikan pengaruh interaksi tiga faktor dan interaksi yang lebih tinggi. Beberapa hal tentang resolusi terkait dengan clear effects: •
Dalam rancangan dengan resolusi IV, pengaruh faktor utama merupakan clear effects.
•
Dalam rancangan dengan resolusi V, pengaruh faktor utama dan interaksi dua faktor merupakan clear effects.
Pengaruh interaksi dua faktor bukan merupakan clear effects pada rancangan dengan resolusi IV karena pengaruh tersebut terpaut dengan pengaruh interaksi dua faktor yang lain. Semakin tinggi resolusi sebuah rancangan maka akan semakin banyak clear effects, dengan demikian rancangan dengan resolusi tertinggi dipilih sebagai rancangan terbaik. Resolusi maksimum dapat dicapai dengan pembentukan generator yang tepat. Beberapa hal yang harus diperhatikan untuk mendapatkan struktur rancangan dengan resolusi maksimum adalah sebagai berikut: •
Resolusi maksimum pada rancangan fraksi setengah diperoleh dengan cara membentuk defining relation yang melibatkan semua faktor yang dicobakan.
Rancangan dengan empat faktor 2 4 mencapai resolusi
maksimum dengan defining relation I = ABCD yaitu resolusi IV dan rancangan 2 5 mencapai resolusi V dengan defining relation I = ABCDE . Dengan membentuk defining relation di atas maka pengaruh faktor utama dan interaksi dua faktor akan terpaut dengan pengaruh interaksi tingkat tinggi yang diasumsikan dapat diabaikan, sehingga pengaruh faktor utama dan interaksi dua faktor dapat diduga. Pada contoh rancangan 2 5 dengan defining relation I = ABCDE akan didapatkan bahwa pengaruh faktor utama akan terpaut dengan pengaruh interaksi empat faktor dan pengaruh interaksi dua faktor akan terpaut dengan pengaruh interaksi tiga faktor. Karena pengaruh interaksi tiga dan empat faktor diasumsikan untuk diabaikan, maka pengaruh faktor utama dan pengaruh interaksi dua faktor dapat diduga.
26
•
Penentuan resolusi maksimum pada rancangan fraksi seperempat yang menggunakan dua defining relation dan satu generalized defining relation dilakukan pemilihan defining relation dengan teknik trial and error.
Dapat dipastikan bahwa untuk mendapatkan resolusi maksimum pada rancangan fraksi setengah adalah dengan membentuk generator yang melibatkan semua faktor yang dicobakan. Rancangan
minimum
aberration
meminimumkan defining relation terpendek.
merupakan
rancangan
yang
Defining relation terpendek
merupakan penentu tingkat resolusi, untuk itu bisa jadi beberapa alternatif rancangan terbaik memiliki tingkat resolusi yang sama. Meminimumkan defining relation terpendek berarti meminimumkan banyaknya pengaruh interaksi tingkat rendah yang saling terpaut. Pemilihan struktur rancangan adakalanya tidak berdasarkan kriteria rancangan terbaik tetapi berdasarkan kemampuan rancangan untuk menduga pengaruh tertentu yang diinginkan.
Pada struktur rancangan berdasarkan
pengaruh faktor yang ingin diduga, defining relation dibentuk sedemikian rupa sehingga pengaruh yang ingin diduga tidak terpaut dengan pengaruh lain yang juga ingin diduga. Pengaruh yang ingin diduga diusahakan untuk terpaut dengan hanya pengaruh lain yang diasumsikan untuk diabaikan. Pembentukan struktur rancangan dilakukan dengan trial and error. Proses pembentukan struktur rancangan dalam bagan di atas dapat dijelaskan oleh tahap – tahap sebagai berikut (Cochran & Cox 1957) : 1. Menentukan banyaknya faktor yang akan dicobakan. 2. Menentukan ukuran percobaan yang terkait dengan fraksi percobaan yang digunakan dengan mempertimbangkan jumlah satuan percobaan yang tersedia. 3. Menentukan generator dan defining relation yang mungkin untuk dibentuk dengan trial and error. 4. Menentukan struktur alias berdasarkan defining relation yang mungkin untuk dibentuk untuk kemudian dapat menentukan pengaruh faktor yang dapat diduga.
27
5. Memilih struktur rancangan yang sesuai dengan kriteria yang telah ditentukan sehingga dapat ditentukan defining relation tertentu yang akan digunakan dalam percobaan. 6. Membentuk matriks rancangan untuk struktur yang sesuai dengan defining relation yang telah ditentukan. 7. Menentukan kombinasi perlakuan yang akan dicobakan yang didapat dari matriks percobaan. Langkah -langkah yang dilakukan dalam pembentukan struktur rancangan jenis ini dapat dijelaskan oleh bagan pada Gambar 1.
Faktor percobaan
Fraksi percobaan Kombinasi perlakuan Trial and error dengan generator
Matriks rancangan
Struktur alias dan pengaruh faktor yang dapat diduga
Memilih struktur rancangan yang akan digunakan
Kriteria struktur terbaik
Kriteria pengaruh faktor tertentu
Gambar 1. Proses pembentukan struktur rancangan
Pemilihan defining relation yang menentukan struktur rancangan dipilih berdasarkan kriteria yang sesuai dengan tujuan penelitian. Jika penelitian ingin menduga pengaruh faktor utama dan pengaruh interaksi dua faktor yang tidak spesifik, maka pemilihan struktur rancangan didasarkan pada kriteria pemilihan struktur rancangan terbaik. Tetapi jika ditentukan pengaruh faktor tertentu yang
28
ingin dianalisis maka pemilihan struktur rancangan didasarkan pada pengaruh faktor spesifik tersebut. Sebuah contoh pembentukan struktur rancangan FF 25− 2 dilakukan untuk memberikan ilustrasi proses pembentukan rancangan FF. Sebuah rancangan FF dengan 5 faktor (A, B, C, D dan E) dilakukan dengan fraksi seperempat sehingga bentuk rancangannya adalah 25− 2 .
Dalam Tabel 5 disajikan kemungkinan -
kemungkinan generator yang dapat dibentuk yang terdiri 7 kemungkinan generator yang dapat dibentuk untuk faktor D dan 15 untuk faktor E, sehingga ada
7 × 15 = 105 struktur rancangan yang dapat dibentuk. Pembentukan struktur rancangan tersebut dapat dilakukan dengan cara manual.
Tabel 5. Generator untuk rancangan 25− 2 D= 1 2 3 4 5 6 7
A B C AB AC BC ABC
Generator E= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
A B C D AB AC AD BC BD CD ABC ABD ACD BCD ABCD
Beberapa hal yang perlu diperhatikan dalam membentuk generator agar dapat mengurangi banyaknya kemungkinan yang mungkin dibentuk, yaitu : •
Tidak membentuk generator dengan hanya satu huruf yang membentuk defining relation yang terdiri dari dua huruf. Defining relation yang terdiri dari dua huruf akan menyebabkan pengaruh utama tertentu terpaut dengan pengaruh utama yang lain, sedangkan kedua pengaruh faktor utama tersebut ingin diduga. Pendugaan terhadap kedua pengaruh utama tersebut tidak dapat dilakukan karena kedua pengaruh utama saling terpaut.
29
Contoh : D = A dan E = C
I = AD = CE = ACDE Pengaruh utama faktor A terpaut dengan faktor D Pengaruh utama faktor C terpaut dengan faktor E Dengan begitu pengaruh utama faktor A dan C tidak dapat diduga kecuali pengaruh faktor D dan E diabaikan. •
Tidak membentuk generator kedua yang melibatkan faktor pada generator pertama, dalam kasus ini tidak melibatkan faktor D dalam generator E. Melibatkan faktor D dalam generator E akan menghasilkan struktur yang sama dengan struktur lain. Contoh : D = AB dan E = AD ; akan sama dengan
D = AB dan E = AAB = B Dengan memperhatikan kedua petunjuk di atas, generator yang sebaiknya dicobakan menjadi berkurang. Dari semua generator yang mungkin untuk dibentuk dapat diambil hanya beberapa saja seperti pada Tabel 6. Tabel 6. Generator pilihan untuk rancangan 25− 2 Generator Pilihan D= 1 2 3 4
AB AC BC ABC
E= 1 2 3 4
AB AC BC ABC
Faktor D memiliki 4 kemungkinan generator dan faktor E juga memiliki 4 kemungkinan generator yang bisa dibentuk, dengan demikian maka ada 4 × 4 = 16 kemungkinan struktur rancangan yang bisa dibentuk. Struktur rancangan yang bisa dibentuk tersebut diberikan pada Lampiran. 2. Seleksi pertama dilakukan dengan kriteria resolusi maksimum. Resolusi maksimum yang dapat dicap ai adalah resolusi III.
Hal ini dapat dilihat dari
struktur defining relation terpendek memiliki panjang maksimum 3 huruf. Dari 16 struktur rancangan yang dibentuk terdapat 12 struktur rancangan yang mencapai resolusi III. Struktur rancangan yang memenuhi kriteria resolusi maksimum tersebut diberikan pada Tabel 7. Struktur rancangan yang memenuhi kriteria
30
resolusi maksimum tersebut memiliki WLP yang sama yaitu {3,3,4} , sehingga 12 struktur rancangan tersebut juga memenuhi kriteria minimum aberration. Tabel 7. Struktur rancangan 2 5 − 2 yang dapat dibentuk dengan resolusi maksimum Generator D = AB ; E = AC D = AB ; E = BC D = AB ; E = ABC D = AC ; E = AB D = AC ; E = BC D = AC ; E = ABC D = BC ; E = AB D = BC ; E = AC D = BC ; E = ABC D = ABC ; E = AB D = ABC ; E = AC D = ABC ; E = BC
Defining relation I = ABD = ACE = BCDE I = ABD = BCE = ACDE I = ABD = ABCE = CDE I = ACD = ABE = BCDE I = ACD = BCE = ABDE I = ACD = ABCE = BDE I = BCD = ABE = ACDE I = BCD = ACE = ABDE I = BCD = ABCE = ADE I = ABCD = ABE = CDE I = ABCD = ACE = BDE I = ABCD = BCE = ADE
WLP
{3,3,4} {3,3,4} {3,3,4} {3,3,4} {3,3,4} {3,3,4} {3,3,4} {3,3,4} {3,3,4} {3,3,4} {3,3,4} {3,3,4}
Dari 12 struktur rancangan yang dapat dibentuk terdapat beberapa struktur rancangan yang merupakan isomorphic. Rancangan isomorphic adalah rancangan yang merupakan relabeling (pengkodean kembali) dari rancangan yang lain (Bingham & Sitter 2001). Rancangan yang bersifat isomorphic memiliki struktur alias yang sama, dengan demikian rancangan tersebut memiliki kemampuan yang sama dalam menduga pengaruh faktor. Rancangan yang bersifat isomorphic dari 12 struktur rancangan yang terbentuk dapat dilihat pada Tabel 8. Tabel 8. Struktur rancangan 2 5 − 2 isomorphic Struktur rancangan
Relabeling
D = AB ; E = AC D = AB ; E = BC D = AC ; E = AB D = AC ; E = BC D = BC ; E = AB D = BC ; E = AC
A à B ;B à A C à B ;B à C Aà B;B àC; C à A Aà C;C àB;Bà A C à A;Aà C
D = AB ; E = ABC D = AC ; E = ABC D = BC ; E = ABC D = ABC ; E = AB D = ABC ; E = AC D = ABC ; E = BC
B à C ; Cà B A à C ; Cà A Dà E;EàD Dà E;EàD;Bà C ;CàB Dà E;EàD ; Aà C ; CàA
31
Dari Tabel 8 dapat dikatakan bahwa dari 12 kemungkinan struktur rancangan terdapat 2 struktur rancangan isomorphic, yaitu rancangan dengan struktur generator
D = AB ; E = AC , dan rancangan dengan struktur generator
D = AB ; E = ABC . Kedua rancangan ini merupakan rancangan dengan struktur rancangan terbaik yang memenuhi kriteria resolusi maksimum dan minimum aberration. Jika tidak ditentukan pengaruh faktor tertentu yang ingin diduga, maka dapat diambil salah satu dari dua struktur rancangan terseleksi d i atas. Rancangan dengan struktur generator D = AB ; E = AC dan struktur defining relation I = ABD = ACE = BCDE mampu menduga kelima pengaruh faktor utama (A, B,
C, D, dan E) serta dua pengaruh interaksi dua faktor. Struktur rancangan tersebut dapat lebih jelas dilihat pada Tabel 9. Tabel 9. Struktur rancangan 2 5 − 2 dengan generator D = AB dan E = AC Generator & defining relation D = AB ; E = AC I = ABD = ACE = BCDE sesuai kriteria maksimum dan aberration
resolusi minimum
Alias A = BD = CE = ABCDE B = AD = ABCE = CDE C = ABCD = AE = BDE D = AB = ACDE = BCE E = ABDE = AC = BCD BC = ACD = ABE = DE BE = ADE = ABC = CD
Pengaruh yg dianalisis A = BD = CE B = AD C = AE D = AB E = AC BC = DE BE = CD
Kelima pengaruh faktor utama dapat diduga bila pengaruh interaksi yang terpaut dengannya dapat diabaikan. Pengaruh interaksi dua faktor yang dapat diduga adalah pengaruh interaksi BC yang terpaut dengan DE dan pengaruh interaksi BE yang terpaut dengan CD.
Kedua pengaruh tersebut dapat diduga
bila pengaruh yang terpaut dengannya dapat diabaikan. Pemilihan struktur rancangan berdasarkan kriteria pengaruh yang ingin diduga dilakukan jika ingin diketahui pengaruh tertentu dari suatu faktor atau ingin diketahui pengaruh interaksi faktor tertentu. Jika telah ditentukan pengaruh yang ingin diduga, maka dipilih struktur rancangan yang tidak menyebabkan pengaruh yang ingin diduga tersebut terpaut dengan pengaruh utama atau pengaruh lain yang juga ingin diduga.
32
Misalkan dari contoh pembentukan struktur rancangan 2 5 − 2 di atas ingin dipilih struktur rancangan yang dapat menduga pengaruh kelima faktor utama dan ingin diketahui pengaruh interaksi dua faktor yaitu AB dan BC, dengan begitu ketujuh pengaruh faktor yang ingin diduga tidak boleh saling terpaut. Dari ke-16 kemungkinan struktur rancangan yang terbentuk, ada 2 rancangan yang mampu untuk menduga ketuju h pengaruh faktor tersebut.
Rancangan tersebut adalah
rancangan dengan generator D = AC ; E = ABC dan rancangan dengan generator D = ABC ; E = AC . Kedua struktur generator ini bersifat isomorphic dengan
generator D = AB ; E = ABC
yang merupakan struktur generator terbaik.
Struktur rancangan dengan generator
D = AC ; E = ABC
dapat lebih jelas
dilihat pada Tabel 10. Tabel 10. Struktur rancangan 2 5 −2 dengan generator D = AC ; E = ABC Generator & defining relation D = AC ; E = ABC I = ACD = ABCE = BDE
Alias A = CD = BCE = ABDE B = ABCD = ACE = DE C = AD = ABE = BCE D = AC = ABCDE = BE E = ABDE = ABC = BD AB = BCD = CE = ADE AE = CDE = BC = ABD
Pengaruh yg dianalisis A = CD B = DE C = AD D = AC E = BD AB = CE AE = BC
Pembentukan struktur rancangan menurut kriteria terbaik dapat dilakukan dengan modul ADX pada perangkat software SAS 9.1 Dengan modul ADX tersebut penentuan jumlah faktor yang digunakan dan fraksi rancangan ditentukan terlebih dahulu, kemudian secara otomatis defining relation yang menghasilkan struktur rancangan terbaik ditentukan oleh ADX. Langkah pembentukan rancangan FF ini dapat disajikan dalam Lampiran 3. Pada contoh pembentukan struktur rancangan 25− 2 tersebut di atas yang dilakukan dengan trial and error dapat dilakukan dengan mudah menggunakan modul ADX dan menghasilkan struktur rancangan yang sama yaitu rancangan dengan D = AB dan E = AC . Meskipun demikian, modul ADX tidak dapat digunakan untuk menentukan struktur rancangan dengan kriteria pengaruh faktor spesifik. Kombinasi perlakuan ditentukan dari matriks rancangan yang dibentuk berdasarkan generator yang digunakan. Matriks rancangan untuk struktur rancangan dengan generator D = AB ; E = AC diperoleh seperti pada Tabel 11. 33
Tabel 11. Matriks rancangan 25− 2 dengan generator D = AB dan E = AC
1 2 3 4 5 6 7 8
A
B
C
D = AB
E = AC
Kombinasi Perlakuan
+ + + + -
+ + + + -
+ + + + -
+ + + +
+ + + +
a1b1c1d1e 1 a0b1c1d0e 0 a1b0c1d0e 1 a0b0c1d1e 0 a1b1c0d1e 0 a0b1c0d0e 1 a1b0c0d0e 0 a0b0c0d1e 1
Kombinasi perlakuan untuk stuktur rancangan yang dapat menduga pengaruh interaksi AB dan BC, yaitu struktur rancangan dengan generator
D = AC ; E = ABC tidak dapat dilakukan dengan modul ADX. Penentuan kombinasi perlakuan dilakukan secara manual seperti pada Tabel 12. Tabel 12. Matriks rancangan 25− 2 dengan generator D = AC dan E = ABC
1 2 3 4 5 6 7 8
A
B
C
D = AC
E = ABC
Kombinasi Perlakuan
+ + + + -
+ + + + -
+ + + + -
+ + + +
+ + + + -
a1b1c1d1e 1 a0b1c1d0e 0 a1b0c1d1e 0 a0b0c1d0e 1 a1b1c0d0e 0 a0b1c0d1e 1 a1b0c0d0e 1 a0b0c0d1e 0
Setelah didapatkan kombinasi perlakuan kemudian dilakukan pengacakan kombinasi perlakuan terhadap satuan percobaan yang tersed ia.
Pengacakan
dilakukan seperti pada rancangan faktorial lengkap. Teknik pengacakan dapat pula dilakukan dengan modul ADX seperti pada lampiran 4. Hasil pengacakan pada lampiran 4 tersebut dapat digambarkan dengan Gambar 2.
(1) a 0b 0c0d1e1
(2) a1b1c0d1e0
(3) a0b1c0d0e1
(4) a 1b1c1d1e1
(5) a 0b 1c1d0e0
(6) a0b0c1d1e0
(7) a1b0c1d0e1
(8) a 1b0c0d0e0
Gambar 2. Struktur pengacakan untuk rancangan 25− 2 34
Satuan percobaan pertama mendapatkan kombinasi perlakuan a0b 0c 0d 1e1, satuan percobaan kedua mendapatkan a1b 1c 0d 1e0, begitu seterusnya. Pembentukan struktur rancangan FFSP hampir sama dengan pembentukan struktur rancangan FF.
Pada rancangan FFSP terdapat dua generator, yaitu
generator petak utama dan generator anak petak. Seperti pada rancangan FF, sebuah rancangan FFSP juga menghasilkan beberapa struktur yang berbeda. Pemilihan rancangan FFSP terbaik juga didasarkan pada kriteria resolusi maksimum dan minimum aberration. Jika diinginkan untuk menduga pengaruh faktor tertentu maka pembentukan struktur rancangan FFSP juga dilakukan dengan menyesuaikan tujuan pendugaan pengaruh faktor spesifik tersebut. Untuk lebih menjelaskan bagaimana proses pembentukan struktur rancangan FFSP, maka diberikan sebuah contoh pembentukan rancangan FFSP sebagai berikut:
Contoh : Sebuah rancangan FFSP yang mencobakan 5 faktor (A, B, P, Q, dan R) dengan A dan B sebagai faktor petak utama dan P, Q, serta R sebagai faktor anak petak. Satuan percobaan yang tersedia hanya 8 sehingga kombinasi perlakuan yang dapat dilakukan hanya 8 dari 32 kombinasi perlakuan yang mungkin. Struktur rancangan FFSP yang dibentuk adalah 2( 2+3)− ( p1 + p2 ) dengan p1 + p 2 = 2 karena kombinasi perlakuan yang dilakukan adalah seperempat dari
semua kombinasi perlakuan yang mungkin. Alternatif rancangan yang mungkin untuk dibentuk adalah 2 ( 2 +3 )− (0 + 2 ) dan 2 ( 2 +3 )−(1+1 ) . Pada rancangan 2 ( 2 +3 )− (0 + 2 ) petak utama dibentuk dengan rancangan faktorial penuh 2 2 dan anak petak dibentuk dengan rancangan FF 23-2, sedangkan pada rancangan 2 ( 2 +3 )−(1+1 ) petak utama dan anak petak dibentuk dengan rancangan FF 22-1 dan 23-1. Pembentukan rancangan 2( 2+3)− (0+ 2) dilakukan dengan membentuk dua generator untuk rancangan anak petak . Generator anak petak yang mungkin dibentuk dapat disajikan pada Tabel 13.
35
Tabel 13. Generator rancangan 2 (2 + 3 )− (0 + 2 ) Q= 1 2 3 4
Generator R=
P AP BP ABP
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P Q PQ AP AQ APQ BP BQ BPQ ABP ABQ ABPQ
Ada 4 kemungkinan generator yang dapat dibentuk untuk faktor Q dan 12 untuk faktor R, dengan demikian ada 48 struktur rancangan yang dapat dibentuk dengan mengkombinasikan generator untuk faktor Q dan R. Seperti pada rancangan FF, generator yang hanya terdiri dari satu huruf akan menyebabkan pengaruh faktor utama terpaut dengan pengaruh faktor utama. Generator faktor R yang memasukkan faktor Q akan membentuk struktur yang sama dengan struktur lain, dengan begitu generator R sebaiknya tidak mengandung faktor Q. Generator yang sebaiknya dibentuk dapat dilihat pada Tabel 14. Tabel 14. Generator pilihan untuk rancangan 2( 2+3)− (0+ 2) Generator Pilihan Q= 1 2 3
R=
AP BP ABP
1 2 3
AP BP ABP
Masing-masing ada 3 generator yang sebaiknya dibentuk untuk Q dan R sehingga ada
9
struktur
rancangan
yang
mungkin
untuk
dibentuk
dengan
mengkombinasikan generator dari Q dan R. Struktur rancangan yang mungkin untuk dibentuk diberikan pada Lampiran 5. Kriteria resolusi maksimum kembali digunakan untuk memilih struktur rancangan terbaik. Resolusi maksimum yang dapat dicapai oleh rancangan ini adalah resolusi tingkat III, dicapai oleh 6 dari 9 struktur rancangan yang dibentuk.
36
Ke-6 struk tur rancangan tersebut memiliki WLP yang sama, yaitu {2,1,0} , dengan demikian kriteria minimum aberration juga terpenuhi.
Struktur rancangan
tersebut dapat dilihat pada Tabel 15. Tabel 15. Struktur rancangan MA 2( 2+3)− (0+ 2) Generator Q = AP ; R = BP Q = AP ; R = ABP Q = BP ; R = AP Q = BP ; R = ABP Q = ABP ; R = AP Q = ABP ; R = BP
Defining Contrast Subgroup I = APQ = BPR = ABQR I = APQ = ABPR = BQR I = BPQ = APR = ABQR I = BPQ = ABPR = AQR I = ABPQ = AP R = BQR I = ABPQ = BPR = AQR
WLP {2,1,0} {2,1,0} {2,1,0} {2,1,0} {2,1,0} {2,1,0}
Beberapa struktur rancangan di atas dapat diperoleh dari struktur rancangan lain melalui proses relabeling pada Tabel 16. Tabel 16. Struktur rancangan MA 2 (2 + 3 )− (0 + 2 ) isomorphic Struktur Rancangan
Relabeling
Q = AP ; R = BP Q = BP ; R = AP
AàB;Bà A
Q = AP ; R = ABP Q = BP ; R = ABP Q = ABP ; R = AP Q = ABP ; R = BP
AàB;Bà A Q à R;Rà Q A à B ; B à A ; A à B ;B à A
Dari Tabel 16 d i atas dapat diketahui bahwa pada dasarnya ada dua struktur rancangan yang memenuhi kriteria resolusi maksimum dan minimum aberration. Bentuk lain rancangan FFSP 2 (2+ 3) −( p1 + p2 ) fraksi seperempat adalah rancangan dengan bentuk 2 ( 2 +3 )−(1+1 ) . Rancangan 2 ( 2 +3 )−(1+1 ) ini melibatkan rancangan FF fraksi setengah untuk petak utama dan anak petak . Rancangan petak utama berbentuk 2 2 −1 dan anak petak berbentuk 2 3 −1 yang melibatkan satu generator pada petak utama dan satu generator pada anak petak. Tabel 17 memberikan generator petak utama dan anak petak yang dapat dibentuk:
37
Tabel 17. Generator rancangan 2 ( 2 + 3) −(1 +1) B= 1
Generator R=
A
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P Q PQ AP AQ APQ BP BQ BPQ ABP ABQ ABPQ
Hanya ada satu generator yang dapat dibentuk oleh faktor B, yaitu B = A . Generator pada petak utama ini akan mengakibatkan pengaruh utama faktor B akan terpaut dengan pengaruh utama faktor A, sehingga kedua pengaruh faktor utama ini tidak dapat diduga. Dengan begitu bentuk rancangan ini sebaiknya tidak dilakukan. Pada contoh kasus ini, struktur rancangan yang terpilih sebagai rancangan terbaik adalah rancangan 2 ( 2 +3 )− (0 + 2 ) dengan generator Q = AP ; R = BP dan
Q = AP ; R = ABP . Struktur rancangan terbaik tersebut dapat diperoleh dengan mengunakan modul ADX pada SAS 9.1. Langkah-langkah pembentukan struktur rancangan tersebut diberikan pada Lampiran 6. Jumlah faktor petak utama dan anak petak ditentukan terlebih dahulu kemudian berapa kombinasi perlakuan yang akan dicobakan dipilih pada TYPE DESIGNS. Struktur rancangan terbaik yang dipilih memiliki matriks rancangan seperti pada Tabel 18. Tabel 18. Matriks rancangan 2( 2+3)− (0+ 2) dengan generator Q = AP ; R = BP
1 2 3 4 5 6 7 8
A
B
P
Q = AP
R = BP
+
+
+
-
-
+
-
-
+ + + + -
+ + + +
+ + + +
Kombinasi perlakuan a 1b1p1q1r1 a 1b1p0q0r0 a 1b0p1q1r0 a 1b0p0q0r1 a 0b1p1q0r1 a 0b1p0q1r0 a 0b0p1q0r0 a 0b0p0q1r1
38
Dari matriks rancangan pada Tabel 18 didapatkan kombinasi perlakuan yang dicobakan. Terdapat 4 kombinasi taraf faktor petak utama yaitu a1b 1, a1b 0, a0b 1,dan a0b 0. Keempat kombinasi taraf itulah yang disebut dengan petak utama. Sedangkan yang disebut dengan anak petak adalah kombinasi taraf dari faktorfaktor anak petak yang digunakan. Pengacakan pada rancangan FFSP dilakukan dua kali, yang pertama yaitu pengacakan pada petak utama dan selanjutnya adalah pengacakan pada anak petak. Pengacakan anak petak didasarkan pada masing-masing petak utama. Prinsip pengacakan pada rancangan FFSP ini sama dengan pengacakan pada rancangan split-plot.
Pengacakan rancangan FFSP ini juga dapat dilakukan
dengan ADX mengikuti cara yang diberikan pada Lampiran 7. Hasil pengacakan dapat digambarkan dengan Gambar 3. Pengacakan pada petak utama PU 1
PU 4
PU 2
PU 3
a 1b 1
a 1b 0
a0b 0
a 0b 1
Pengacakan pada anak petak a 1b 1 p 0q 0r0
a1b 0 p 0q 0r1
a 0b 0 p 0q 1r1
a0b 1 p 1q 0r1
a 1b 1 p 1q 1r1
a1b 0 p 1q 1r0
a 0b 0 p 1q 0r0
a0b 1 p 0q 1r0
Gambar 3. Struktur pengacakan rancangan 2 ( 2 +3 )− (0 + 2 ) dengan generator Q = AP ; R = BP Setelah dilakukan pengacakan pada satuan percobaan yang digunakan, maka percobaan pun dilakukan.
Pengamatan terhadap respon dilakukan
kemudian dilakukan analisis data.
Teknik Analisis Data
Setelah percobaan dilakukan dan didapatkan data hasil pengamatan , dilakukan analisis data untuk mendapatkan pengaruh -pengaruh faktor yang memiliki pengaruh besar terhadap respon. Analisis yang digunakan adalah plot
39
kuantil half-normal, pendekatan regresi dengan metode forward selection dan analisis ragam. Plot kuantil half-normal digunakan untuk mendeteksi secara visual pengaruh-pengaruh faktor yang memiliki pengaruh besar.
Plot kuantil half-
normal mengunakan fungsi sebaran half-normal. Teknik pembuatan plot ini memerlukan nilai kuantil yang diperoleh dari fungsi kebalikan dari fungsi kumulatif sebaran yang digunakan. Nilai kuantil yang diperoleh kemudian diplotkan dengan nilai pengaruh faktor yang dianalisis. Plot kuantil half-normal yang digunakan untuk menganalisis rancangan FFPS dilakukan secara terpisah antara pengaruh faktor petak utama dan pengaruh anak petak. Sebuah indikasi bahwa suatu pengaruh faktor memiliki pengaruh besar adalah jika nilai mutlak pengaruh faktor tersebut relatif lebih besar dari nilai mutlak pengaruh faktor lainnya. Plot pengaruh tersebut berada relatif jauh dari pengaruh faktor yang lain dan berada diluar pola garis lurus yang dibentuk. Pengujian dilakukan dengan uji statistik modulus ratio (t n ) . Plot kuantil half-normal dapat mendeteksi pengaruh faktor yang memiliki pengaruh besar tetapi tidak dapat menjelaskan seberapa besar pengaruh faktor tersebut terhadap respon. Dengan demikian perlu dilakukan analisis secara formal yaitu dengan analisis regresi menggunakan metode langkah maju yang dilanjutkan dengan analisis ragam. Analisis regresi dengan metode langkah maju digunakan untuk menyeleksi pengaruh faktor yang memiliki kontribusi besar terhadap respon. Pengaruh faktor yang memiliki pengaruh paling besar masuk terlebih dahulu ke dalam model. Sekali pengaruh faktor tesebut masuk ke dalam model maka pengaruh faktor tersebut tidak akan keluar dari model. Selanjutnya pengaruh faktor lain yang memiliki pengaruh besar secara berurutan masuk kedalam model. Proses ini berlanjut sampai tidak ada pengaruh faktor yang memiliki P-value lebih kecil dari nilai alpha yang telah ditentukan. Hasil akhir yang didapat adalah bahwa model hanya mengandung pengaruh faktor-faktor tertentu saja yang berpengaruh terhadap respon, sehingga analisis regresi dengan metode langkah maju ini dapat menyeleksi dengan jelas pengaruh faktor mana yang memiliki pengaruh besar
40
terhadap respon. Pengujian terhadap asumsi-asumsi yang mendasari penggunaan analisis regresi tetap dilakukan. Analisis regresi dengan metode langkah maju pada rancangan FFSP tidak dilakukan secara terpisah antara pengaruh faktor petak utama dan pengaruh faktor anak petak. Galat yang dihasilkan pada analisis regresi dengan metode langkah maju adalah galat total dari model, sehingga analisis ini tidak dapat menguji pengaruh faktor petak utama dan anak petak berdasarkan galat masing-masing. Pengujian lebih lanjut dilakukan dengan analisis ragam. Analisis ragam dapat dilakukan menurut teknik yang diberikan oleh Montgomery (2001), yaitu dengan menggunakan pengaruh-pengaruh yang signifikan sebagai komponen ragam model dan pengaruh -pengaruh diabaikan sebagai komponen ragam galat.
yang
Komponen ragam model yang diuji
dalam analisis ragam merupakan pengaruh faktor yang memiliki pengaruh besar yang dideteksi awal dengan plot kuantil half-normal dan analisis regresi dengan metode langkah maju. Pengujian terhadap asumsi-asumsi yang mendasari analisis ragam tetap dilakukan. Hasil analisis ragam yang diperoleh pada rancangan FF akan sama dengan analisis ragam yang juga dihasilkan o leh analisis regresi dengan metode langkah maju.
Hal ini karena galat yang digunakan untuk pengujian masing-masing
pengaruh faktor adalah galat total dari model. Tetapi tidak demikian dengan analisis ragam yang dihasilkan pada rancangan FFSP, pengujian terhadap pengaruh faktor utama dilakukan dengan menggunakan galat petak utama dan pengujian terhadap pengaruh anak petak dilakukan dengan menggunakan galat anak petak. Hal ini tidak dapat dilakukan pada analisis regresi dengan metode langkah maju. Ketiga alat analisis yaitu analisis dengan plot kuantil half-normal, analisis regresi dengan metode langkah maju yang dilanjutkan dengan analisis ragam diharapkan memberi hasil yang konsisten sehingga dapat diputuskan faktor-faktor mana yang berpengaruh terhadap respon.
41
Contoh Kasus untuk Percobaan dengan Rancangan FF
Sebuah percobaan dirancang untuk mengetahui pengaruh lima faktor terhadap produksi total minyak kacang tanah (Montgomery 2001). Kelima faktor yang digunakan adalah : A = Tekanan gas CO 2 B = Suhu gas CO 2 C = Kelembaban kacang tanah D = Tingkat aliran gas CO2 E = Ukuran partikel kacang tanah Setiap faktor memiliki dua taraf yang disajikan pada Tabel 19.
Tabel 19. Faktor dan taraf yang digunakan pada contoh kasus rancangan FF Kode taraf -1 1
A Tekanan (bar) 415 550
B Suhu (ºC) 25 95
C Kelembaban (% berat) 5 15
D Aliran (liter/detik) 40 60
E Ukuran partikel (mm) 1.28 4.05
Fraksi percobaan yang digunakan adalah fraksi setengah dengan defining relation
E = − ABCD . Matriks rancangan dan data yang digunakan diberikan pada Tabel 20. Tabel 20. Data percobaan pada contoh kasus rancangan FF
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Kombinasi Perlakuan
A
B
C
D
E = - ABCD
a0b0c0d0e0 a1b0c0d0e1 a0b1c0d0e1 a1b1c0d0e0 a0b0c1d0e1 a1b0c1d0e0 a0b1c1d0e0 a1b1c1d0e1 a0b0c0d1e1 a1b0c0d1e0 a0b1c0d1e0 a1b1c0d1e1 a0b0c1d1e0 a1b0c1d1e1 a0b1c1d1e1 a1b1c1d1e0
-1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1
-1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1
-1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1
-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 1 1
-1 1 1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1
Respon 63 21 36 99 24 66 71 54 23 74 80 33 63 21 44 96
42
Dengan menggunakan defining relation I = − ABCDE maka pengaruh faktor A terpaut dengan pengaruh interaksi BCDE, nilai pendugaan untuk pengaruh tersebut dapat dihitung dengan persamaan berikut :
λi =
2( kontras i ) kontras i = N ( N 2)
λ'A = 18 ( −63 + 21 − 36 + 99 − 24 + 66 − 71 + 54 − 23 + 74 − 80 + 33 − 63 + 21 − 44 + 96 ) = 7 .50
Nilai 7.50 ini merupakan nilai pengurangan pendugaan pengaruh faktor BCDE dari pengaruh faktor A. Mengabaikan pengaruh interaksi BCDE berarti nilai 7.50 adalah benar-benar pengaruh A, dalam hal ini pengaruh faktor A merupakan clear effect. Begitu pula dengan pengaruh faktor lain yang terpaut dengan pengaruh interaksi tiga faktor dan yang lebih tinggi. Struktur alias dan nilai pendugaan pengaruh faktor pada percobaan ini dib erikan pada Tabel 21. Tabel 21. Struktur alias dan pendugaan pengaruh pada kasus rancangan FF. Pengaruh Faktor
Alias
λ' A λ'B
A − BCDE B − ACDE
19.75
λ'C
C − ABDE
1.25
λ'D
D − ABCE
0.00
E − ABCD AB − CDE AC − BDE
-44.50
AD − BCE
-4.00
AE − BCD
-7.00
λ'BC
BC − ADE
3.00
λ'BD λ'BE λ'CD
BD − ACE
-1.75
BE − A CD
-0.25
CD − A BE
2.25
λ'CE
CE − ABD
6.25
λ'DE
DE − ABC
-3.50
λ λ'AB ' E
λ'AC λ'AD λ'AE
Pendugaan Pengaruh 7.50
5.25 1.25
43
Dalam rancangan tersebut terdapat 15 pengaruh faktor yang dapat diduga yang terdiri dari 5 pengaruh faktor utama dan 10 pengaruh interaksi dua faktor. Pengaruh faktor utama terpaut dengan interaksi empat faktor dan pengaruh interaksi dua faktor terpaut dengan interaksi tiga faktor. Pengaruh faktor utama dan interaksi dua faktor tersebut dapat diduga karena interaksi empat dan tiga faktor diabaikan. Jika dilihat dari nilai pengaruh masing-masing faktor, pengaruh yang relatif jauh dari pengaruh yang lain adalah pengaruh faktor E yang bernilai 44.50 dan faktor B bernilai 19.75. Pendeteksian faktor yang berpengaruh besar dapat dilakukan dengan menggunakan plot kuantil half-normal. Pembentukan plot ini melibatkan nilai mutlak pengaruh faktor yang telah diurutkan dan nilai kuantil half-normal untuk masing-masing pengaruh faktor seperti ditunjukkan pada Tabel 22. Tabel 22. Nilai kuantil half-normal pada contoh kasus rancangan FF. Urutan
Pengaruh faktor
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
D BE C AC BD CD BC DE AD AB CE AE A B E
yi 0.00 0.25 1.25 1.25 1.75 2.25 3.00 3.50 4.00 5.25 6.25 7.00 7.50 19.75 44.50
Pi = (i-0.5)/n 0.03333 0.10000 0.16667 0.23333 0.30000 0.36667 0.43333 0.50000 0.56667 0.63333 0.70000 0.76667 0.83333 0.90000 0.96667
Q(pi) 0.04 0.13 0.21 0.30 0.39 0.48 0.57 0.67 0.78 0.90 1.04 1.19 1.38 1.64 2.13
Plot kuantil half-normal merupakan plot antara nilai mutlak pengaruh faktor yang telah diurutkan (y i) dengan nilai kuantil half-normal (Q (pi)) . Plot ini bisa didapatkan dengan modul ADX dengan cara memilih tombol FIT pada kotak dialog ADX : TWO LEVEL DESIGN, kemudian memilih HALF-NORMAL PLOT pada tanda panah ke bawah. Plot kuantil half-normal yang didapatkan dapat dilihat pada Gambar 4.
44
Gambar 4. Plot kuantil half-normal untuk contoh kasus rancangan FF.
Pada plot kuantil half-normal pada Gambar 4 di atas dapat dikatakan bahwa faktor yang diduga memiliki pengaruh besar adalah faktor B dan E. Hal ini dapat dilihat dengan jelas bahwa pengaruh faktor B dan E berada jauh dari pengaruh faktor lainnya dan berada di luar pola garis lurus yang terbentuk. Uji statistik modulus-ratio dilakukan untuk menentukan pengaruh faktor yang signifikan. Untuk n = 15 maka k (15,0.05) = 2.93 , sehingga batas faktor yang berpengaruh adalah :
yn > 2.93 ya
; dengan ( y a = y11 = 6 .25 )
yn > 2 .93 6 .25
yn > 18.3
Pengaruh faktor yang bernilai lebih besar dari 18.3 merupakan faktor yang berpengaruh. Pada Tabel 22 dapat dilihat bahwa pengaruh faktor yang bernilai lebih besar dari 18.3 adalah pengaruh faktor B dan E, dengan demikian kedua faktor ini merupakan faktor yang berpengaruh dari lima faktor yang dicobakan. Plot kuantil half-normal tidak dapat mengukur seberapa besar pengaruh faktor B
45
dan E terhadap respon. Uji secara formal dilakukan untuk menjawab masalah tersebut. Hasil pendekatan analisis regresi dengan metode seleksi maju pada Lampiran 8 menunjukkan bahwa pengaruh faktor yang pertama kali masuk ke dalam model adalah faktor E dengan nilai F = 45.41 dan P-Value lebih kecil dari 0.0001. Pengaruh faktor kedua yang masuk adalah pengaruh faktor B dengan nilai F = 23.00 dan P-Value = 0.0003. Proses ini berhenti karena pada taraf nyata 5% tidak ada lagi pengaruh faktor yang masuk ke dalam model. Model yang melibatkan pengaruh faktor B dan E ini menghasilkan nilai R2 yang mencapai 91.49%. Analisis ragam dilakukan dengan pengaruh faktor E dan B sebagai komponen ragam model dan pengaruh faktor lain sebagai komponen ragam galat. Analisis ragam yang dihasilkan diberikan ada Tabel 23. Tabel 23. Tabel analisis ragam untuk contoh kasus rancangan FF. Sumber Keragaman
Jumlah Kuadrat
Kuadrat Tengah
B 1 1560.2500 E 1 7921.0000 Galat 13 881.7500 Total 15 10363.0000 Ket : (**) = nyata pada taraf 1%
1560.2500 7921.0000 67.8269 225.0000
db
F-Hitung P-Value 23.00 0.0003** 116.78 <.0001**
Dari analisis ragam di atas didapatkan bahwa pengaruh faktor B dan E berbeda nyata pada taraf 1%, hal ini ditunjukkan dengan nilai P-Value yang lebih kecil dari 0.01. Ketiga alat analisis yang digunakan menunjukkan hasil yang sama. Hasil analisis melalui plot kuantil half-normal didukung oleh hasil analisis regresi dengan metode langkah maju dan analisis ragam menunjukkan bahwa pengaruh faktor yang memiliki pengaruh besar terhadap respon adalah pengaruh faktor B dan E. Dapat disimpulkan bahwa dari 5 faktor yang dicobakan, faktor B dan E memiliki pengaruh yang paling besar dibandingkan pengaruh faktor lain. Dengan demikian faktor B dan E ini digunakan untuk percobaan lanjutan guna mendapatkan informasi yang lebih luas.
46
Contoh Kasus untuk Percobaan dengan Rancangan FFSP
Sebuah percobaan yang dilakukan pada industri pelapisan emas mencobakan delapan faktor yang berpengaruh terhadap kualitas pelapisan emas tersebut (Nembhard et al. 2006). Respon yang diamati adalah ketebalan lapisan emas pada substrat yang digunakan. Ada dua tahap proses yang dilakukan dalam percobaan, yaitu : 1. Pelapisan emas yang dilakukan dengan vacuum evaporation system. 2. Penghalusan lapisan emas. Proses ini dilakukan dengan alat focused ion beam (FIB). Faktor dan taraf yang digunakan dalam percobaan ini disajikan dalam Tabel 24.
Tabel 24. Faktor dan taraf yang digunakan pada contoh kasus rancangan FFSP Faktor Petak Utama
Anak Petak
A B P Q R S T U
= = = = = = = =
Suhu substrat Kecepatan pengendapan Arus beam Beda potensial Pixel spacing Diameter beam Dwell time Sudut kejadian
Taraf Rendah (-) 25 ºC 0.02 nm/detik 5 pA 45 kV 14.5 nm 50 nm 5 mdetik 20 º
Tinggi (+) 360 ºC 0.06 nm/detik 10 pA 50 kV 15 nm 55 nm 50 mdetik 75 º
Proses penghalusan lapisan emas dapat dijelaskan dengan Gambar 5.
Gambar 5. Proses penghalusan lapisan emas pada contoh kasus rancangan FFSP
47
Rancangan FFSP ini menggunakan defining contrast subgroup sebagai berikut : I = PQS = QRT = PRU = PRST
= PQTU = QRSU
Percobaan yang mencobakan 32 kombinasi perlakuan ini menghasilkan data seperti pada Lampiran 9. Struktur rancangan yang digunakan dalam percobaan ini tidak sesuai dengan kriteria resolusi maksimum dan minimum aberration . Defining contrast subgroup yang digunakan dalam rancangan ini dibentuk dengan pertimbangan ingin mengetahui pengaruh interaksi antara faktor petak utama dan faktor anak petak. Pengaruh interaksi antara faktor utama dan faktor anak petak dapat diduga karena tidak terpaut dengan pengaruh penting lainnya.
Struktur alias yang
dibentuk diberikan pada Lampiran 10. Pendeteksian awal terhadap faktor yang berpengaruh dilakukan dengan plot kuantil half-normal. Plot tersebut dilakukan secara terpisah terhadap petak utama dan anak petak. Plot kuantil half-normal untuk pengaruh petak utama diberikan pada Gambar 6 dan data pada Tabel 25. Tabel 25. Nilai kuantil half-normal petak utama pada contoh kasus FFSP Urutan
Pengaruh faktor
yi
AB B A
2.44 3.14 12.87
1 2 3
Pi = (i-0.5)/n
Q(pi)
0.16667 0.50000 0.83333
0.21 0.67 1.38
14 A Pengaruh Faktor (yi)
12 10 8 6 4 B
AB
2 0 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
Kwantil Half-Normal Petak Utama (Q(pi))
Gambar 6. Plot kuantil half-normal petak utama pada contoh kasus FFSP
48
Pengaruh faktor petak utama yang dianalisis adalah pengaruh faktor utama A, pengaruh faktor utama B dan pengaruh interaksi faktor AB. Masing-masing pengaruh faktor tersebut diplotkan dengan nilai kuantil half-normal. Dari tiga titik yang terdapat pada plot kuantil half-normal pada Gambar 6, belum dapat dideteksi pengaruh faktor mana yang memiliki pengaruh besar. Berdasarkan uji statistik modulus-ratio untuk n = 3 maka
ya = y (0.683*3+ 0.5) = y2.55 = y3 , dengan
demikian ketiga pengaruh tersebut tidak dapat dianalisis. Plot kuantil half-normal untuk pengaruh anak petak diberikan pada Tabel 26 dan Gambar 7.
Tabel 26. Nilai kuantil half-normal anak petak pada contoh kasus FFSP Urutan 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Pengaruh Faktor
yi
BQ AR BT AQ BR BS Q AU S BU AS U R BP AT PT T AP P
0.13 0.15 0.17 0.22 0.74 0.77 0.8 0.84 0.92 1.29 1.57 1.59 1.81 2.59 5.87 9.98 26.53 27.84 28.82
Pi = (i-0.5)/n 0.02632 0.07895 0.13158 0.18421 0.23684 0.28947 0.34211 0.39474 0.44737 0.50000 0.55263 0.60526 0.65789 0.71053 0.76316 0.81579 0.86842 0.92105 0.97368
Q(pi) 0.03 0.10 0.17 0.23 0.30 0.37 0.44 0.52 0.59 0.67 0.76 0.85 0.95 1.06 1.18 1.33 1.51 1.76 2.22
49
35
Pengaruh Faktor(yi)
30 T
25
P
AP
20 15 10
PT AT
5 0 0
0.5
1
1.5
2
2.5
Kwantil Half-normal Anak Petak (Q(pi))
Gambar 7. Plot kuantil half-normal anak petak untuk contoh kasus FFSP
Dari plot kuantil half-normal di atas dapat diduga bahwa pengaruh faktor P, AP, T, PT, dan AT memiliki pengaruh yang besar. Empat pengaruh tersebut terlihat jelas berada jauh dari pengaruh faktor yang lain. Uji modulus-ratio untuk
n = 18 maka k (18,0.05) = 2.98 . Pada kasus ini didapatkan data ya = y13 = 1.81 , sehingga batas pengaruh faktor didapatkan sebagai berikut :
yn > 2.98 ya yn > 2 .98 1 .81
yn > 5.4 Pengaruh faktor yang bernilai lebih besar dari 5.4 diputuskan sebagai pengaruh faktor yang memiliki pengaruh besar. Pada kasus ini, pengaruh faktor P, AP, T, PT, dan AT dideteksi memiliki pengaruh yang besar. Hasil analisis regresi dengan metode seleksi maju yang melibatkan pengaruh faktor petak utama dan anak petak yang dianalisis diberikan pada Lampiran 11. Pengaruh faktor P masuk terlebih dahulu ke dalam model dengan nilai F = 13.08 dan P-Value = 0.0011. Pengaruh faktor kedua yang masuk ke dalam model adalah pengaruh faktor AP dengan nilai F = 19.91 dan P-Value = 0.0001. selanjutnya pengaruh yang masuk ke dalam model adalah pengaruh
50
faktor T, A, kemudian pengaruh faktor PT. Pengaruh faktor AT masuk ke dalam model dengan nilai F = 6.85 dan P-Value = 0.0148. Dengan begitu keraguan yang ada pada plot kuantil half-normal dapat terjawab bahwa pengaruh faktor AT memiliki pengaruh yang besar. Enam pengaruh faktor tersebut, yaitu pengaruh faktor P, AP, T, A, PT dan AT, membentuk model dengan nilai R2 = 95.41%. Analisis ragam dilakukan dengan menguji pengaruh faktor A dengan galat 1 yang merupakan penjumlahan pengaruh faktor B dengan AB. Pengaruh faktor P, T, PT, AP dan AT diuji dengan galat 2 yang merupakan penjumlahan dari pengaruh faktor anak petak yang diabaikan. Pengujian pengaruh faktor PT, AP, dan AT terhadap galat anak petak dilakukan karena ketiga pengaruh interaksi tersebut tidak beralias dengan pengaruh faktor utama (lihat Lampiran 10). Tabel analisis ragam yang dihasilkan adalah seperti pada Tabel 27. Tabel 27. Analisis Ragam untuk contoh kasus rancangan FFSP Sumber Keragaman
df
Jumlah Kuadrat
Kuadrat Tengah
A 1 1324.8378 1324.8378 Galat 1 2 126.8406 63.4203 P 1 6644.1628 6644.1628 T 1 5631.2578 5631.2578 PT 1 797.0028 797.0028 AP 1 6202.1953 6202.1953 AT 1 275.5378 275.5378 Galat 2 23 878.2108 38.1830 Total 31 21880.0458 Ket : (*) = nyata pada taraf 5%, (**) = nyata pada taraf 1%
F-hitung
P-value
20.89
0.0447*
174.01 147.48
<.0001** <.0001**
20.87
0.0001**
162.43
<.0001**
7.22
0.0132*
Hasil analisis ragam menunjukkan bahwa pengaruh faktor P, AP, T, A, PT dan AT berpengaruh nyata terhadap respon. Pengaruh faktor P, T, PT dan AP berbeda nyata pada taraf 1%, dan pengaruh faktor A dan AT berbeda nyata pada taraf 5%. Dari hasil analisis plot kuantil half-normal, analisis regresi dengan metode seleksi maju, dan analisis ragam dapat disimpulkan bahwa dari 8 faktor yang dicobakan, faktor yang berpengaruh terhadap ketebalan lapisan emas adalah faktor A, P, dan T. Faktor A, P dan T inilah yang kemudian digunakan pada percobaan lanjutan guna mendapatkan informasi yang lebih luas tentang pengaruh faktor-faktor tersebut. 51
SIMPULAN Kajian pada rancangan FF dan FFSP menunjukkkan bahwa dengan hanya mencobakan sebagian dari kombinasi lengkap, kedua rancangan ini mampu untuk menghasilkan informasi penting tentang faktor yang berpengaruh terhadap respon pada proses screening experiment yang melibatkan banyak faktor. Hal ini menunjukkan bahwa kedua jenis rancangan ini memberikan efisiensi biaya dan waktu yang cukup tinggi. Kesulitan dalam hal pembentukan struktur rancangan dan teknik analisis yang selama ini menjadi kendala penerapan rancangan FF dan FFSP telah dapat diatasi dengan mudah menggunakan software statistik yang tersedia, antara lain SAS dan MINITAB.
52
DAFTAR PUSTAKA Anderson MJ. Screening Ingredients Most Efficiently with Two-Level Design of Experiment (DOE). http://www.computer.org/publications/dlib. html [10 Januari 2006] Aunuddin 1989. Analisis Data. Bogor : PAU Ilmu Hayat Institut Pertanian Bogor. Bingham D, Sitter RR. 1999. Minimum aberration two-level fractional factorial split -plot design. Technometrics 41: 62-70. Bingham D, Sitter RR. 2001. Design issues in fractional factorial split-plot experiments. Journal of Technology. 33: 2-15. Birnbaum A. 1959. On the Analysis of Factorial Experiments Without Replication. Technometrics 1: 343 -59. Box GEP, Hunter JS. 1961. The fractional factorial design part I., II Technometrics 3: 311-48. Box GEP, William HG, Stuard HJ. 1978. Statistics for Experimenter. New York: John Wiley & Sons inc. Cochran WG, Cox GM. 1957. Experimental Designs. Ed ke-2. New York: John Wiley & Sons inc. Daniel C. 1959. Use of Half -Normal Plots Interpreting Factorial Two-Level Experiment. Technometrics 1: 311-41. Fries A, William HG. 1980. Minimum aberration 2 k-p . Technometrics 22: 601-08. Gomez KA, Arturo GA. 1995. Prosedur Statistika untuk Penelitian Pertanian. Ed ke-2. Sjamsuddin E, Baharsjah JS, penerjemah; Jakarta: UI Pr. Terjemahan dari: Statistical Procedures for Agricultural Research. Hines WW, Montgomery DC. 1996. Probability and Statistics in Engineering and Management Science. Ed ke-3. New York: John Wiley & Sons inc. Huang P, Dechang C, Joseph OV. 1998. Minimum aberration two-level split-plot designs. Technometrics 410: 314-26. Kulahci M, Ramirez JG, Tobias R. Split-plot Fractional Design: Is Minimum Aberration Enough?. Journal of Quality Technology 38 : 56-64. Loeppky JL, Sitter RR. 2002. Analyzing Unreplicated Blocked or Split-Plot Fractional Factorial Designs. Journal of Quality Technology 34 : 229-43. Montgomery DC. 2001. Design and Analysis of Experiments. Ed ke-5. New York: John Wiley & Sons, inc. Musa MS. 1999. Perancangan dan Analisis Percobaan. Bogor : Jurusan Statistika Institut Pertanian Bogor. Myers RH. 1990. Classical and Modern Regression with Application. Boston : PWS KENT Publishing Company. Nembhard HB, Navin A, Mehmet A, Seong K. 2006. Design Issue and Analysis of Experiments in Nanomanufacturing. Handbook of Industrial and Systems Engineering.
Lampiran 1. Alias interaksi dua faktor untuk tiga rancangan 2IV7-2
Interaksi 2 faktor AB AC AD AE AF AG BC BD BE BF BG CD CE CF CG DE DF DG EF EG FG
D1 CF + ACDG + BDFG BF + ABDG + ACDFG BCDF + BCG + FG BCF + ABCDEG + DEFG BC + ABCDFG + DG BCFG + ABCD + DF AF + DG + ABCDFG ACDF + CG + ABFG ACEF + CDEG + ABDEFG AC + CDFG + ADG ACFG + CD + ABDF ABDF + BG + ACFG ABEF + BDEG + ACDEFG AB + BDFG + ACDG ABFG + BD + ACDF ABCDEF + BCEG + AEFG ABCD + BCFG + AG ABCDFG + BC + AF ABCE + BCDEFG + ADEG ABCEFG + BCDE + ADEF ABCG + BCDF + AD
Alias interaksi dua faktor D2 CF + BDEG + ACDEFG BF + CDEG + ABDEFG BCDF + EG + ABCEFG BCEF + DG + ABCDFG BC + DEFG + ABCDG BCFG + DE + ABCDEF AF + ABCDEG + DEFG ACDF + ABEG + CEFG ACEF + ABDG + CDFG AC + ABDEFG + CDEG ACFG + ABE + CDEF ABDF + ACEG + BEFG ABEF + ACDG + BDFG AB + ACDEFG + BDEG ABFG + ACDE + BDEF ABCDEF + AG + BCFG ABCD + AEFG + BCEG ABCDFG + AE + BCEF ABCE + ADFG + BCDG ABCEFG + AD + BCDF ABCG + ADEF + BCDE
D3 CDF + DEG + ABCEFG BDF + BCDEG + AEFG BCF + BEG + ACDEFG BCDEF + BDG + ACFG BCD + BDEFG + ACEG BCDFG + BDE + ACEF ADF + ACDEG + BEFG ACF + AEG + BCDEFG ACDEF + ADG + BCFG ACD + ADEFG + BCEG ACDFG + ADE + BCEF ABF + ABCEG + DEFG ABDEF + ABCDG + FG ABD + ABCDEFG + EG ABDFG + ABCDE + EF ABCEF + ABG + CDEG ABC + ABEFG + CDEG ABCFG + ABE + CDEF ABCDE + ABDFG + CG ABCDEFG + ABD + CF ABCDG + ABDEF + CE
54
Lampiran 2. Struktur pembentukan rancangan FF 2 5 − 2 No
Generator & defining relation
1
D = AB ; E = AB I = ABD = ABE = DE
2
D = AB ; E = AC I = ABD = ACE = BCDE (Resolusi III)
3
(sesuai kriteria resolusi maksimum dan minimum aberration) D = AB ; E = BC I = ABD = BCE = ACDE (Resolusi III) Isomorphic dari no 2 (A à B ; B à A)
4
D = AB ; E = ABC I = ABD = ABCE = CDE (Resolusi III)
5
(sesuai kriteria resolusi maksimum dan minimum aberration) D = AC ; E = AB I = ACD = ABE = BCDE (Resolusi III) Isomorphic dari no 2 (C à B ; B à C)
6
D = AC ; E = AC I = ACD = ACE = DE
Alias
Pengaruh yg dianalisis
A = BD = BE A = BD = BE = ADE B = AD = AE B = AD = AE = BDE C C = ABCD = ABCE = CDE D = E = AB D = AB = ABDE = E AC AC = BCD = BCE = ACDE BC BC = ACD = ACE = BCDE CD = CE CD = ABC = ABCDE = CE AB terpaut dengan D&E; AD terpaut dengan B A = BD = CE = ABCDE A = BD = CE B = AD = ABCE = CDE B = AD C = ABCD = AE = BDE C = AE D = AB = ACDE = BCE D = AB E = ABDE = AC = BCD E = AC BC = ACD = ABE = DE BC = DE BE = AD E = ABC = CD BE = CD AB terpaut dengan D; AD terpaut dengan B A = BD = ABCE = CDE A = BD B = AD = CE = ABCDE B = AD = CE C = ABCD = BE = ADE C = BE D = AB = BCDE = ACE D = AB E = ABDE = BC = ACD E = BC AC = BCD = ABE = DE AC = DE AE = BDE = ABC = CD AE = CD AB terpaut dengan D; AD terpaut dengan B; BC terpaut dengan E A = BD = BCE = ACDE A = BD B = AD = ACE = BCDE B = AD C = ABCD = ABE = DE C = DE D = AB = ABCDE = CE D = AB = CE E = ABDE = ABC =CD E = CD AC = BCD = BE = ADE AC = BE AE = BDE = BC = ACD AE = BC AB terpaut dengan D; AD terpaut dengan B A = CD = BE = ABCDE A = CD = BE B = ABCD = AE = ABCD B = AE C = AD = ABCE = BDE C = AD D = AC = ABDE = BCE D = AC E = ACDE = AB = BCD E = AB BC = ABD = ACE = DE BC = DE BD = ABC = ADE = CE BD = CE AB terpaut dengan E; AD terpaut dengan C A = CD = CE = ADE A = CD = CE B = ABCD = ABCE = BDE B C = AD = AE = CDE C = AD = AE D = AC = ACDE = E D = AC = E AB = BCD = BCE = ABDE AB BC = ABD = ABE = BCDE BC BD = ABC = ABCDE = BE BD = BE AD terpaut dengan C
55
Lampiran 2. (lanjutan) No 7
Generator & defining relation D = AC ; E = BC I = ACD = BCE = ABDE (Resolusi III) Isomorphic dari no 2 (AàB ; BàC ; CàA)
8
D = AC ; E = ABC I = ACD = ABCE = BDE (Resolusi III) Isomorphic dari no 4 (B à C ; C à B)
9
D = BC ; E = AB I = BCD = ABE = ACDE (Resolusi III) Isomorphic dari no 2 (AàC ; CàB ; BàA)
10
D = BC ; E = AC I = BCD = ACE = ABDE (Resolusi III) Isomorphic dari no 2 (CàA ; AàC)
11
D = BC ; E = BC I = BCD = BCE = DE Isomorphic dari no 1 (C à A)
12
D = BC ; E = ABC I = BCD = ABCE = ADE (Resolusi III) Isomorphic dari no 4 (A à C ; C à A)
Alias
Pengaruh yg dianalisis
A = CD A = CD = ABCE = BDE B = CE B = ABCD = CE = ADE C = AD = BE C = AD = BE = ABCDE D = AC D = AC = BCDE = ABE E = BC E = ACDE = BC = ABD AB = DE AB = BCD = ACE = DE AE = BD AE = CDE = ABC = BD AD terpaut dengan C ; BC terpaut dengan E A = CD A = CD = BCE = ABDE B = DE B = ABCD = ACE = DE C = AD C = AD = ABE = BCE D = AC = BE D = AC = ABCDE = BE E = BD E = ABDE = ABC = BD AB = CE AB = BCD = CE = ADE AE = BC AE = CDE = BC = ABD AD terpaut dengan C A = ABCD = BE = CDE A = BE B = CD = AE = ABCDE B = CD = AE C = BD = ABCE = ADE C = BD D = BC = ABED = ACE D = BC E = BCDE = AB = ACD E = AB AC = ABD = BCE = DE AC = DE AD = ABC = BED = CE AD = CE AB terpaut dengan E; BC terpaut dengan D A = ABCD = CE = BDE A = CE B = CD = ABCE = ADE B = CD C = BD = AE = ABCDE C = BD = AE D = BC = ACED = ABE D = BC E = BCDE = AC = ABD E = AC AB = ACD = BCE = DE AB = DE AD = ABC = CDE = BE AD = BE BC terpaut dengan D A = ABCD = ABCE = ADE A B = CD = CE = BDE B = CD = CE C = BD = BE = CDE C = BD = BE D = BC = BCDE = E D = BC = E AB = ACD = ACE = ABDE AB AC = ABD = ABE = ACDE AC AD = ABC = ABCDE = AE AD = AE BC terpaut dengan D&E A = ABCD = BCE = DE A = DE B = CD = ACE = ABDE B = CD C = BD = ABE = ACDE C = BD D = BC = ABCDE = AE D = BC = AE E = BCDE = ABC = AD E = AD AB = ACD = CE = BDE AB = CE AC = ABD = BE = CDE AC = BE AD terpaut dengan E; BC terpaut dengan D
56
Lampiran 2. (lanjutan) No 13
Generator & defining relation D = ABC ; E = AB I = ABCD = ABE = CDE (Resolusi III) Isomorphic dari no 4 (D à E ; E à D)
14
D = ABC ; E = AC I = ABCD = ACE = BDE (Resolusi III)
15
Isomorphic dari no 4 (D à E ; E à D) (B à C ; C à B) D = ABC ; E = BC I = ABCD = BCE = ADE (Resolusi III)
16
Isomorphic dari no 4 (D à E ; E à D) (A à C ; C à A) D = ABC ; E = ABC I = ABCD = ABCE = DE
Alias
Pengaruh yg dianalisis
A = BE A = BCD = BE = ACDE B = AE B = ACD = AE = BCDE C = DE C = ABD = ABCE = DE D = CE D = ABC = ABDE = CE E = AB = CD E = ABCDE = AB = CD AC = BD AC = BD = BCE = ADE AD = BC AD = BC = BDE = ACE AB terpaut dengan E ; AD terpaut dengan BC A = CE A = BCD = CE = ABDE B = DE B = ACD = ABCE = DE C = AE C = ABD = AE = BCDE D = BE D = ABC = ACDE = BE E = AC = BD E = ABCDE = AC = BD AB = CD AB = CD = BCE = ADE AD = BC AD = BC = CDE = ABE AD terpaut dengan BC A = BCD = ABCE = DE A = DE B = ACD = CE = ABDE B = CE C = ABD = BE = ACDE C = BE D = ABC = BCDE = AE D = AE E = ABCDE = BC = AD E = BC = AD AB = CD = ACE = BDE AB = CD AC = BD = ABE = CDE AC = BD AD terpaut dengan BC & E A = BCD = BCE = ADE A B = ACD = ACE = BDE B C = ABD = ABE = CDE C D = ABC = ABCDE = E D =E AB = CD = CE = ABDE AB = CD = CE AC = BD = BE = ACDE AC = BD = BE AD = BC = BCDE = AE AD = BC = AE AD terpaut dengan BC
57
Lampiran 3. Penggunaan SAS 9.1 untuk pembentukan struktur rancangan FF Tahapan pembentukan struktur rancangan FF dengan SAS 9.1 adalah sebagai berikut : 1. Pilih menu SOLUTIONS à Analysis à Design of Experiments
2. untuk membuat rancangan FF yang baru, pilih menu FILE à Create New Design à Two-level…
58
Lampiran 3. (lanjutan) 3. Klik Define Variables. Klik Add> untuk menentukan banyaknya faktor yang akan dicobakan, untuk contoh ini dipilih 5 faktor yang digunakan. Kemudian klik OK untuk kembali ke kotak dialog sebelumnya.
4. Klik Select Design. Pilih Fractional factorial designs pada show designs of type. Tentukan fraksi percobaan dengan memilih type rancangan yang tersedia, dalam contoh ini pilih rancangan dengan fraksi ¼.
59
Lampiran 3. (lanjutan) 5. Klik Design Details... untuk mengetahui struktur rancangan yang terbentuk. Pada Design Information dapat diketahui informasi tentang resolusi maksimum yang bisa dicapai, didapat resolusi III sebagai resolusi maksimum
6. Pada Confounding Rules didapatkan generator yang terpilih sebagai pembentuk struktur rancangan terbaik. Dengan menekan panah ke bawah pada Principal : ++ dapat ditentukan seperempat bagian yang mana yang akan dicobakan, hal ini berkaitan dengan fold over.
60
Lampiran 3. (lanjutan) 7. Pada Alias Structure dap at diketahui susunan pengaruh faktor yang saling terpaut.
8. Klik tanda silang untuk menutup kotak Design Details dan kembali pada kotak dialog Two-Level design spesifications. Klik tanda silang untuk mengahiri pembentukan struktur rancangan FF.
61
Lampiran 4. Penggunaan ADX SAS 9.1 untuk Pengacakan Rancangan FF. Teknik pengacakan pada rancangan FF dapat dilakukan dengan klik edit response kemudian memilih menu Design à Randomized Design...
Hasil pengacakan akan didapatkan seperti pada kotak berikut:
62
Lampiran 5. Pembentukan struktur rancangan FFSP 2 ( 2 + 3) −(0 + 2 ) No
Defining contrast subgroups AP
1
Q = AP ; R = AP I = APQ = APR = QR
2
Q = AP ; R = BP I = APQ = BPR = ABQR (terbaik menurut kriteria resolusi maksimum dan minimum aberration)
3
Q = AP ; R = ABP I = APQ = ABPR = BQR (Resolusi III)
4
Q = BP ; R = AP I = BPQ = APR = ABQR (Resolusi III) Isomorphic dari no 2 (A à B ; B à A)
5
Q = BP ; R = BP I = BPQ = BPR = QR
6
Q = BP ; R = ABP I = BPQ = ABPR = AQR (Resolusi III) Isomorphic dari no 3 (A à B ; B à A)
Alias A = PQ = PR = AQR B = ABPQ = ABPR = BQR AB = BPQ = BPR = ABQR P = AQ = AR = PQR Q = AP = APQR = R BP = ABQ = ABR = BPQR BQ = ABP = ABPQR = BR Q terpaut dengan R A = PQ = ABPR = BQR B = ABPQ = PR = AQR AB = BPQ = APR = QR P = AQ = BR = ABPQR Q = AP = BPQR = ABR R = APQR = BP = ABQ AR = PQR = ABP = BQ Tidak ada pengaruh utama utama lain A = PQ = BPR = ABQR B = ABPQ = APR = QR AB = BPQ = PR = AQR P = AQ = ABR = BPQR Q = AP = ABPQR = BR R = APQR = ABP = BQ AR = PQR = BP = ABQ Tidak ada pengaruh utama utama lain A = ABPQ = PR = BQR B = PQ = ABPR = AQR AB = APQ = BPR = QR P = BQ = AR = ABPQR Q = BP = APQR = ABR R = BPQR = AP = ABQ AQ = ABP = PQR = BR Tidak ada pengaruh utama utama lain A = ABPQ = ABPR = AQ R B = PQ = PR = BQR AB = APQ = APR = ABQR P = BQ = BR = PQR Q = BP = BPQR = R AP = ABQ = ABR = APQR AQ = ABP = ABPQR = AR Q terpaut dengan R A = ABPQ = BPR = QR B = PQ = APR = AQR AB = APQ = PR = BQR P = BQ = ABR = APQR Q = BP = ABPQR = AR R = BPQR = ABP = AQ AP = ABQ = BR = PQR Tidak ada pengaruh utama utama lain
Pengaruh yg dianalisis A = PQ = PR B AB P = AQ = AR Q = AP = R BP BQ = BR A = PQ B = PR AB = QR P = AQ = BR Q = AP R = BP AR = BQ yang terpaut dengan pengaruh A = PQ B = QR AB = PR P = AQ Q = QP = BR R = BQ AR = BP yang terpaut dengan pengaruh A = PR B = PQ AB = QR P = BQ = AR Q = BP R = AP AQ = BR yang terpaut dengan pengaruh A B = PQ = PR AB P = BQ = BR Q = BP = R AP AQ = AR A = QR B = PQ AB = PR P = BQ Q = BP = AR R = AQ AP = BR yang terpaut dengan pengaruh
63
Lampiran 5. (Lanjutan) No 7
Defining contrast subgroups AP Q = ABP ; R = AP I = ABPQ = APR = BQR (Resolusi III) Isomorphic dari no 3 (Q à R ; R à Q)
8
Q = ABP ; R = BP I = ABPQ = BPR = AQR (Resolusi III)
9
Isomorphic dari no 3 (A à B ; B à A) (Q à R ; R à Q) Q = ABP ; R = ABP I = ABPQ = ABPR = QR
Alias
Pengaruh yg dianalisis
A = PR A = BPQ = PR = ABQR B = QR B = APQ = APR = QR AB = PQ AB = PQ = BPR = AQR P = AR P = ABQ = AR = BPQR Q = BR Q = ABP = APQR = BR R = AP = BQ R = ABPQR = AP = BQ AQ = BP AQ = BP = PQR = ABR Tidak ada pengaruh utama yang terpaut dengan pengaruh utama lain A = QR A = BPQ = ABPR = QR B = PR B = APQ = PR = ABQR AB = PQ AB = PQ = APR = BQR P = BR P = ABQ = BR = APQR Q = AR Q = ABP = BPQR = AR R = BP = AQ R = ABPQR = BP = AQ AP = BQ AP = BQ = ABR = PQR Tidak ada pengaruh utama yang terpaut dengan pengaruh utama lain A = BPQ = BPR = AQR A B = APQ = APR = BQR B AB = PQ = PR = ABQR AB = PQ = PR P = ABQ = ABR = PQR P Q = ABP = ABPQR = R Q=R AP = BQ = BR = APQR AP = BQ = BR AQ = BP = BPQR = AR AQ = BP = AR Q terpaut dengan R
64
Lampiran 6. Penggunaan SAS 9.1 untuk pembentukan struktur rancangan FFSP Tahapan pembentukan struktur rancangan FFSP dengan SAS 9.1 adalah sebagai berikut : 1. Pilih menu FILE à Create New Design à Split-plot…
2. Klik Define Variables. Pada Whole Plot Factor Klik Add> untuk menentukan banyaknya faktor petak utama yang akan dicobakan,untuk contoh ini dipilih 2.
65
Lampiran 6 (lanjutan) Pada Sub -plot Factor klik Add> untuk menentukan banyaknya faktor anak petak yang dicobakan, untuk contoh ini dipilih 3. kemudian klik OK untuk kembali pada kotak dialog sebelumnya.
3. Klik Select Design. Pilih type rancangan yang diinginkan, untuk contoh ini dipilih rancangan dengan 8 run.
66
Lampiran 6 (lanjutan) 4. Klik Design Details... untuk mengetahui struktur rancangan yang terbentuk. Pada Design Information dapat diketahui informasi tentang resolusi maksimum yang bisa dicapai, didapat resolusi III sebagai resolusi maksimum. Defining relation yang terbaik adalah APQ=BPR dengan WLP {2,1,0}
67
Lampiran 7. Penggunaan SAS 9.1 untuk pembentukan pengacakan struktur rancangan FFSP Pilih Edit Respon kemudian klik Design à Randomize Design...
Hasil pengacakan akan terlihat sebagai berikut :
68
Lampiran 8. Hasil analisis regresi dengan metode forward selection untuk percobaan pada contoh kasus rancangan FF •
Tahap 1 : Pengaruh faktor E masuk ke dalam model, R 2 model = 76.44% Analysis of Variance Source
Sum of Squares
Mean Square
F Value
Pr > F
45.41
<.0001
Type II SS
F Value
Pr > F
Model
1
7921.000 0
7921.0000
Error
14
2442.0000
174.4286
Corrected Total
15
10363.0000
Variable
Intercept E
•
DF
Parameter Estimate
Standard Error
54.2500
3.3018
47089 .0000
269.96
<.0001
-22.2500
3.3018
7921.0000
45.41
<.0001
Tahap 2 : Pengaruh faktor B masuk ke dalam model, R 2 model = 91.49% Analysis of Variance Source
DF
Sum of Squares
Mean Square
F Value
Pr > F
69.89
<.0001
Type II SS
F Value
Pr > F
Model
2
9481.2500
4740.6250
Error
13
881.7500
67.8269
Corrected Total
15
10363.0000
Variable
Parameter Estimate
Standard Error
54.2500
2.0589
47089.0000
694.25
<.0001
B
9.8750
2.0589
1560.2500
23.00
0.0003
E
-22.2500
2.0589
7921.000 0
116.78
<.0001
Intercept
No other variable met the 0.0500 significance level for entry into the model.
69
Lampiran 9. Data percobaan pada contoh kasus rancangan FFSP
A
B
P
Q
R
S
T
U
y
-1
-1
1
-1
-1
1
1
1
-1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1
-1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1
-1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1
1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1
1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 1 1
1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1
1.00 0.50 37.46 32.26 36.54 33.34 4.00 2.50 1.00 34.74 1.20 76.86 2.10 76.34 1.10 37.66 1.90 2.50 31.06 37.06 31.34 40.94 3.20 5.20 6.10 37.54 6.00 82.06 7.10 84.34 2.10 50.46
70
Lampiran 10. Struktur alias untuk rancangan pada contoh kasus FFSP
Struktur Alias A = APQS = AQRT = APRU = APRST = APQTU = AQRSU B = BPQS = BQRT = BPRU = BPRST = BPQTU = BQRSU P = QS = PQRT = RU =PRST = QTU = PQRSU Q = PS = RT = PQRU = PQRST = PTU = RSU R = PQRS = QT = PU = PST = PQRTU = QSU S = PQ = QRST = PRSU = PRT = PQSTU = QRU T = PQST = QR = PRTU = PRS = PQT = QRSTU U = PQSU = QRTU = PR = PRSTU = PQT = QRS AB = ABPQS = ABQRT = ABPRU = ABPRST = ABPQTU = ABQRSU PT = QST = PQR = RUT = RS = QU = PQRSTU AP = AQS = APQRT = ARU = ARST = AQTU = APQRSU AQ = APS = ART = APQRU = APQRST = APTU = ARSU AR = APQRS = AQT = APU = APST = APQRTU = AQSU AS = APQ = AQRST = APRSU = APRT = APQSTU = AQRU AT = APQST = AQR = APRTU = APRS = APQU = AQRSTU AU = APQSU = AQRTU = APR = APRSTU = APQT = AQRS BP = BQS = BPQRT = BRU = BRST = BQTU = BPQRSU BQ = BPS = BRT = BPQRU = BPQRST = BPTU = BRSU BR = BPQRS = BQT = BPU = BPST = BPQRTU = BQSU BS = BPQ = BQRST = BPRSU = BPRT = BPQSTU = BQRU BT = BPQST = BQR = BPRTU = BPRS = BPQU = BQRSTU BU = BPQSU = BQRTU = BPR = BPRSTU = BPQT = BQRS ABP = ABQS = ABPQRT = ABRU = ABRST = ABQTU = ABPQRSU ABQ = ABPS = ABRT = ABPQRU = ABPQRST = ABPTU = ABRSU ABR = ABPQRS = ABQT = ABPU = ABPST = ABPQRTU = ABQSU ABS = ABPQ = ABQRST = ABPRSU = ABPRT = ABAQTU = ABQRU ABT = ABPQST = ABQR = ABPRTU = ABPRS = ABPQU = ABQRSTU ABU = ABPQSU = ABQRTU = ABPR = ABSTU = ABPQT = ABQRS APT = AQST = APQR = ARTU = ARS = AQU = APQRSTU BPT = BQST = BPQR = BRTU = BRS = BQU = BPQRSTU ABPT = ABQST = ABPQR = ABRTU = ABRS = ABQU = ABPQRSTU
Pengaruh Faktor 12.87 3.14 28.82 0.80 1.81 0.92 -26.53 1.59 2.44 -9.98 27.84 0.22 0.15 1.57 5.87 0.84 2.59 -0.13 0.74 0.77 0.17 1.29 -0.98 0.49 0.37 0.67 -0.33 0.79 -9.16 -0.83 1.59
71
Lampiran 11. Hasil analisis regresi dengan metode forward selection untuk percobaan pada contoh kasus rancangan FFSP •
Tahap 1 : Pengaruh faktor P masuk ke dalam model, R2 model = 30.37% Analysis of Variance Source
Sum of Squares
Mean Square
F Value
Pr > F
13.08
0.0011
Type II SS
F Value
Pr > F
Model
1
6644.1628
6644.1628
Error
30
15236.0000
507.8628
Corrected Total
31
21880.0000
Variable
•
DF
Parameter Estimate
Standard Error
Intercept
25.2344
3.9838
20377 .0000
40.12
<.0001
P
14.4094
3.9838
6644.1628
13.08
0.0011
Tahap 2 : Pengaruh faktor AP masuk ke dalam model, R2 model = 58.71% Analysis of Variance Source
DF
Sum of Squares
Mean Square
F Value
Pr > F
20.62
<.0001
Model
2
12846.0000
6423.1791
Error
29
9033.6877
311.5065
Corrected Total
31
21880.0000
Variable
Parameter Estimate
Standard Error
Type II SS
F Value
Pr > F
Intercept
25.2344
3.12003
20377 .0000
65.41
<.0001
P
14.4094
3.12003
6644.1628
21.33
<.0001
AP
13.9219
3.12003
6202.1953
19.91
0.0001
72
Lampiran 11 (Lanjutan). •
Tahap 3 : Pengaruh faktor T masuk ke dalam model, R 2 model = 84.45% Analysis of Variance Source
Sum of Squares
Mean Square
F Value
Pr > F
50.69
<.0001
Model
3
18478.0000
6159.2053
Error
28
3402.4298
121.5153
Corrected Total
31
21880.0000
Variable
Parameter Estimate
Standard Error
Type II SS
F Value
Pr > F
Intercept
25.2344
1.94868
20377 .0000
167.69
<.0001
P
14.4094
1.94868
6644.1628
54.68
<.0001
T
-13.2656
1.94868
5631.2578
46.34
<.0001
13.9219
1.94868
6202.1953
51.04
<.0001
AP
•
DF
Tahap 4 : Pengaruh faktor A masuk ke dalam model, R 2 model = 90.5% Analysis of Variance Source
DF
Sum of Squares
Mean Square
F Value
Pr > F
64.34
<.0001
Type II SS
F Value
Pr > F
Model
4
19802.0000
4950.613 4
Error
27
2077.5920
76.9478
Corrected Total
31
21880.0000
Variable
Parameter Estimate
Standard Error
25.2344
1.5507
20377 .0000
264.81
<.0001
A
6.4344
1.5507
1324.8378
17.22
0.0003
P
14.4094
1.5507
6644.1628
86.35
<.0001
T
-13.2656
1.5507
5631.2578
73.18
<.0001
13.9219
1.5507
6202.1953
80.60
<.0001
Intercept
AP
73
Lampiran 11 (Lanjutan). •
Tahap 5 : Pengaruh faktor PT masuk ke dalam model, R2 model = 94.15% Analysis of Variance Source
DF
Sum of Squares
Mean Square
F Value
Pr > F
5
20599.0000
4119.8913
83.65
<.0001
Error
26
1280.5892
49.2534
Corrected Total
31
21880.0000
Model
Variable
Parameter Estimate
Standard Error
Type II SS
F Value
Pr > F
25.2344
1.2406
20377 .0000
413.71
<.0001
A
6.4344
1.2406
1324.8378
26.90
<.0001
P
14.4094
1.2406
6644.1628
134.90
<.0001
T
-13.2656
1.2406
5631.2578
114.33
<.0001
PT
-4.9906
1.2406
797.0028
16.18
0.0004
AP
13.9219
1.2406
6202.1953
125.92
<.0001
Intercept
74
Lampiran 11 (Lanjutan). •
Tahap 6 : Pengaruh faktor AT masuk ke dalam model, R2 model = 95.41% Analysis of Variance Source
DF
Sum of Squares
Mean Square
F Value
Pr > F
86.54
<.0001
Type II SS
F Value
Pr > F
Model
6
20875.0000
3479.1657
Error
25
1005.0514
40.2021
Corrected Total
31
21880.0000
Variable
Parameter Estimate
Standard Error
25.2344
1.1208
20377 .0000
506.86
<.0001
A
6.4344
1.1208
1324.8378
32.95
<.0001
P
14.4094
1.1208
6644.1628
165.27
<.0001
T
-13.2656
1.1208
5631.2578
140.07
<.0001
PT
-4.9906
1.1208
797.0028
19.82
0.0002
AP
13.9219
1.1208
6202.1953
154.28
<.0001
AT
2.9344
1.1208
275.5378
6.85
0.0148
Intercept
No other variable met the 0.0500 significance level for entry into the model.
75
