A biomatematika alapjai és a kapcsolódó feladatok megoldása számítógép segítségével
Miért fontos a valószínűségszámítás és a statisztika? • Mert el szeretnénk dönteni, hogy egy-egy konkrét esetben szerencsénk volt-e, pechünk volt-e, vagy épp a várható módon történt minden. o Ahogy odaértünk a megállóba, fél percen belül jött a busz.
Abonyi-Tóth Zsolt, 2005-2006
o Öt percet kellett várnunk a megállóban a buszra. • Mert el szeretnénk dönteni, miért mennyit érdemes kockáztatni.
készült Harnos Andrea, Reiczigel Jenő zoológus előadásainak valamint Fodor János és Solymosi Norbert tananyagainak a felhasználásával
o Minden második telefonáló 500 Ft-os könyvutalványt kap. A szerencsés nyertes pedig 1 millió forinttal lesz gazdagabb. A hívás díja 800 Ft + ÁFA. o Melyik az a légitársaság, amelyikkel a legolcsóbban jutok el Londonba úgy, hogy nem késem le a koncertet?
• Mert el szeretnénk dönteni, elhiggyünk-e valamit, amit olvasunk, vagy hogy észrevegyük, hol van benne a hiba. o A megkérdezettek 40%-a egyetért az Önkormányzat döntésével, 45%-a ellenzi azt, 10%-uk pedig nem nyilatkozott a kérdésről. o Az intelligenciatesztek során a gyerekek minden megyében jobb eredményt értek el az országos átlagnál. o A vizsgálati eredmények nem állnak ellentmondásban azzal a feltételezéssel, hogy az új és a hagyományos módszer esetén azonos a gyógyulási arány. • Mert a vizsgálataink alapján olyan állításokat szeretnénk megfogalmazni, amelyek megfelelnek a valóságnak. o Hatásosabb-e az éppen tesztelt új gyógyszer? o Javítja-e a cukorbeteg kutyák állapotát a vizsgált táplálék-kiegészítő? o A májenzimszintek vizsgálatával előre megadható, hogy az állat reagál-e a gyógyszeres kezelésre?
Valószínűségszámítás Sok egyformán valószínű kimenetel esetén a kimenetelek számától függ egy esemény valószínűsége. „kedvező esetek / összes esetek” (néha nem éppen „kedvező”) Példák:
kockadobás : 6 szám, mind egyformán valószínű ⇒ mindnek két kocka: 6⋅6 = 36 számpár ⇒ mindegyiknek két kockán a két szám összege 10, annak
1 a valószínűsége 6
1 a valószínűsége 36
3 a valószínűsége (4+6, 5+5, 6+4) 36
o Miért van a 4+6 és a 6+4 így is, úgy is, és az 5+5 csak egyszer ?! tételhúzás (I. rész 9, II rész 8 tétel): 9⋅8 = 72 pár ⇒ minden párnak
1 a valósz. 72
Valószínűségi modellek
Példa:
Modellnek nevezzük azoknak a feltételezéseknek az együttesét, amelyek a keretet adják egy valószínűségszámítási vagy statisztikai probléma megoldásához, vagyis amelyeken a számolások alapulnak. Ezeket gyakran csak hallgatólagosan feltételezzük (azonban helyesebb, ha kimondjuk).
Mennyi a valószínűsége, hogy négy nővér közül először a legidősebb megy férjhez, másodszor a második legidősebb, és így tovább? Hallgatólagos feltételezés: minden lehetséges sorrend egyformán valószínű A feltételezésen alapuló megoldás:
1 24
Példa:
Mennyi a valószínűsége, hogy egy pénzérmével egymás után négy fejet dobunk?
Realisztikus? Elfogadható?
Hallgatólagos feltételezések:
az érme szabályos, azaz a fej valószínűsége minden egyes dobásnál
1 2
az egyes dobások eredménye egymástól független A feltételezéseken alapuló megoldás:
Ha már megvan a modell, a számítások nem nehezek (egy matematikus is segíthet), nehezebb egy valósághű modellt találni (abban a matematikus sem sokat tud segíteni).
1 1 1 1 1 ⋅ ⋅ ⋅ = 2 2 2 2 16
A legfontosabb modell-típusok (hallgatólagos feltételezések) A klasszikus valószínűségi modell Feltesszük, hogy van néhány – véges sok – olyan esemény (atom, kimenetel, elemi esemény), amelyekből a kísérlettel kapcsolatos összes esemény felépíthető, feltesszük továbbá, hogy ezek mind egyenlően valószínűek. Lásd a fenti példákat (kockadobás, tételhúzás, sorrend). Gyakran szimmetria-megfontolások alapján választjuk ezt a modellt. Itt az esetek összeszámlálására a kombinatorika módszereit és eredményeit használjuk: klasszikus ~ elemi ~ kombinatorikus valószínűségszámítás.
A tapasztalati (empirikus) valószínűségi modell Sokszor megfigyeljük a történést vagy sokszor megismételjük a kísérletet, és az egyes eseményekhez a megfigyelt relatív gyakoriságuk szerint rendelünk hozzá valószínűségeket.
Szubjektív valószínűségek Ha sem a klasszikus modell nem használható (mert semmi okunk nincs feltételezni, hogy egyenlő valószínűségű elemi események lennének a vizsgált folyamatban), sem pedig ismételt megfigyelésre nincs módunk (ilyen helyzetek például: tőzsdei döntések, állás elnyerésének, háború kitörésének esélyei stb.) akkor – jobb híján – kiindulhatunk az esélyek szubjektív megítéléséből is.
Kombinatorika Véges sok objektum (nem mindig egy halmaz elemei, néha egyenlők is lehetnek közöttük!) közül bizonyosak kiválasztása és/vagy sorba rendezése. Mindig gondolhatjuk úgy, hogy az objektumok természetes számok (hiszen megszámozhatjuk őket).
Kombináció (csak kiválasztás, sorba rendezés nélkül)
Ismétlés nélküli a kombináció, ha minden objektumot csak egyszer választhatunk ki. Ismétléses a kombináció, ha ugyanazt az objektumot többször is kiválaszthatjuk. Példák:
Permutáció (csak sorba rendezés, az összes objektumot felhasználjuk)
az 1, 2, ... , 10 számok
egy harmadosztályú ismétlés nélküli kombinációja: 1, 5, 8
Ismétlés nélküli a permutáció, ha az objektumok mind különbözők.
o az 1, 5, 8, az 1, 8, 5, az 5, 1, 8, az 5, 8, 1, a 8, 1, 5 és a 8, 5, 1 ugyanaz a kombináció (mert ugyanazok a számok vannak kiválasztva)
Ismétléses a permutáció, ha az objektumok között vannak azonosak. Példák:
egy ötödosztályú ismétléses kombinációja: 3, 3, 6, 6, 9 o ugyanaz pl. a 3, 6, 9, 6, 3 is (ugyanazok a számok, mind ugyanannyiszor)
Az 1, 2, 3, 4, 5 számok egy permutációja: 2, 1, 5, 3, 4 (ismétlés nélküli) Az 1, 1, 2, 3, 4, 4 számok egy permutációja: 1, 2, 4, 1, 3, 4 (ismétléses)
Variáció
Állítás:
n elem összes ismétlés nélküli permutációinak száma Pn = n!
(kiválasztás és a kiválasztottak sorba rendezése, vagy sorban egymás utáni kiválasztás)
Ismétlés nélküli a variáció, ha minden objektumot csak egyszer választhatunk. Ismétléses a variáció, ha ugyanazt az objektumot többször is kiválaszthatjuk. Példák:
az 1, 2, ... , 10 számok
egy harmadosztályú ismétlés nélküli variációja: 1, 5, 8 o az 1, 5, 8, az 1, 8, 5, az 5, 1, 8, az 5, 8, 1, a 8, 1, 5 és a 8, 5, 1 mind különböző variációk (bár a kiválasztás ugyanaz, a sorba rendezés más) egy ötödosztályú ismétléses variációja: 3, 3, 6, 6, 9 o a 3, 6, 9, 6, 3 nem azonos vele (ugyanazok a számok, de más a sorrend) FIGYELEM! Az angol szóhasználat más, ott a variációkat is permutációnak nevezik, és nem említik az ismétléses változatokat.
Bizonyítás: (intuitív, matematikailag nem teljesen precíz – a következőkre is ugyanez érvényes):
Az első elem számára n hely közül választhatunk, a második elem számára – bármelyiket is választottuk elsőre – a megmaradó n-1 hely közül, ... végül az n-ik elem számára már csak egyetlen szabad hely marad. Állítás:
n elem összes ismétléses permutációinak száma, ha az elemek között n1 azonos, n2 n! szintén azonos, de az előzőektől különböző, stb. található: Pn ,n ,L,n = n1!⋅n2 !⋅K ⋅ nk ! 1
2
k
Bizonyítás:
Ha mind az n elem különbözne, akkor n! számú permutációjuk volna. Azonban most mindazok a permutációk megegyeznek, ahol azonos elemek egymás között vannak permutálva, ezek száma pedig n1! n2! … .
Állítás:
Állítás:
n elem összes k-adosztályú ismétlés nélküli variációinak száma: Vn ,k
n! = (n − k )!
n elem összes k-adosztályú ismétlés nélküli kombinációinak száma C n ,k =
n! (n − k )!k!
Bizonyítás:
Bizonyítás:
Az első helyre az n elem bármelyikét választhatjuk, a második helyre a megmaradó n-1 elem bármelyikét, ... végül a k-ik helyre (n–k+1) elem közül választhatunk.
Vn ,k = C n ,k Pk , hiszen a variáció azt jelenti, hogy kiválasztunk k elemet és sorba rendezzük őket.
Állítás:
n elem összes k-adosztályú ismétléses variációinak száma: Vni,k = n k
A zsebszámológépeken C n ,k helyett keressünk nCk -t vagy nCr -t!
Bizonyítás:
Ha sorban egymás után k-szor választunk, és – az ismételhetőség miatt – mind a k alkalommal mind az n elem választható, akkor az összes lehetőségek száma nn…n=nk . Nyilvánvaló, hogy Pn = Vn ,n . A zsebszámológépeken (mert a nyelvük angol) Vn ,k helyett Pn,k – sőt, még gyakrabban nPk vagy nPr – szerepel.
Állítás:
Állítás:
C n ,k = Pk ,n−k
n elem összes k-adosztályú ismétléses kombinációinak száma C ni ,k = C n+ k −1,k
Bizonyítás:
Bizonyítás vázlata:
Modellezzük az n elem közül k darab kiválasztását úgy, hogy sorban felírjuk az n elemet, és mindegyik alá + vagy – jelet írunk, aszerint, hogy választjuk, vagy nem. Tehát k db + jelet és (n–k) db – jelet használunk.
Minden ismétléses kombinációnak megfeleltetünk egy k db • jelből és n–1 db | jelből álló jelsorozatot, például ha n = 5 (az elemek 1, 2, 3, 4, 5) és k = 8, akkor
Például:
1 2 3 4 … (n–1) n + + – – … +
–
11224445
~
••|••||•••|•
12234444
~
•|••|•|••••||
44444444
~
|||••••••••|
stb. Láthatóan egy ilyen jelsorozat kölcsönösen egyértelműen megfelel egy kiválasztásnak (a megfeleltetés oda-vissza egyértelmű). C n ,k a lehetséges kiválasztások, Pk ,n−k a jelsorozatok száma, tehát egyenlők.
Ez kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés, tehát ugyanannyian kell, hogy legyenek.
Számítógép
Binomiális együtthatók n Egy másik megszokott jelölés és elnevezés a C n ,k -ra: (olvasd: „n alatt a k”), k binomiális együttható
Az elnevezés hátterében a binomiális tétel áll:
(a + b )
n
n = ∑ a k b n−k k =0 k n
Excel n!= FAKT(n) Pn = VARIÁCIÓK(n;n)
Vn ,k = VARIÁCIÓK(n;k) Cn ,k = KOMBINÁCIÓK(n;k)
R n!= factorial(n) Pn = factorial(n)
Vn ,k = factorial(n)/factorial(n-k) Cn ,k = factorial(n)/(factorial(n-k)*factorial(k))
